Обобщающее повторение по теме: Правильные...

МОУ «Ломоносовская СОШ №3»

Проектная работа

Обобщающее повторение

по теме

«Правильные многоугольники

и правильные многогранники»

Выполнила слушатель курсов

повышения квалификации ЛОИРО

учитель математики

Чувашева Любовь Михайловна

Санкт-Петербург, 2013 г.

Обобщающее повторение по теме

«Правильные многоугольники и правильные

многогранники»

Цель данного занятия – помочь учащимся 11 класса в формировании

системных знаний по данным темам. Показать ученикам, как важны знания

по планиметрии для решения задач по стереометрии. Это поможет им более

успешно решать задания ЕГЭ B-9 и B-11.

Нужно еще раз напомнить выпускникам школы, что геометрия в

настоящее время тесно связана с другими разделами математики. Одним из

источников развития новых понятий в геометрии являются современные

задачи естествознания, физики и техники.

Небольшая историческая справка

Начиная с седьмого века до новой эры, в Древней Греции создаются

философские школы, в которых происходит постепенный переход от

практической к теоретической геометрии. Большое значение в этих школах

приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получить новые

геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была пифагорейская (5-6 в. до

н.э.), названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма. На языке

математики «пентаграмма» – это правильный невыпуклый или звездчатый

пятиугольник, который можно получить из выпуклого правильного

пятиугольника путем проведения его диагоналей.

Пентаграмме приписывалась способность защищать человека от злых

духов. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали

правильные многогранники. Их форму придавали элементам первооснов

бытия, а именно:

огонь – тетраэдр; воздух – октаэдр; земля – куб; вода – икосаэдр.

Названия многогранников также имеют древнегреческое

происхождение, в них зашифровано число граней. «Эдра» – грань, «тетра» –

четыре, «гекса» – шесть, «окта» – восемь, «икоса» – двадцать, «додека» –

двенадцать. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела Вселенная, то

есть они считали, что мы живем внутри небесного свода, имеющего форму

поверхности правильного додекаэдра. Более поздняя философская школа –

Александрийская – дала миру знаменитого ученого Евклида, который жил

около 300 г. до н.э. К сожалению, о его жизни известно очень мало. В одном

из своих сочинений по математике Папп, современник Евклида, изображает

его как человека исключительно честного, тихого и скоромного, которому

были чужды гордость и эгоизм. Насколько серьезно и строго Евклид

относился к изучению математики, можно судить по следующему

известному рассказу.

Царь Птолемей спросил у Евклида:

- Нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к

изучению Геометрии, чем Начала?

Евклид на это сказал:

- В геометрии нет царского пути.

План занятий:

1. Вступительное слово учителя.

2. Историческая справка (сообщение ученика).

3. Повторяется тема «Правильные многоугольники" (общие правила и

понятия для всех правильных многоугольников).

4. Рассматривается таблица, повторяются формулы выражения сторон

через R и r.

5. Рассматриваются свойства:

a) правильного треугольника, решаются задачи;

б) квадрата и решаются задачи;

в) правильного шестиугольника и решаются задачи;

г) правильной пирамиды;

д) куба;

е) правильной призмы.

6. Проводятся тесты.

7. Анализ работ и работа над ошибками.

Правильные многоугольники

Треугольник

∆ АВС АВ - ВС = АС

Назвать: 1) медиану, биссектрису, высоту

2) R, r

3) Каким свойством обладают медианы

4) Назвать центр вписанной и описанной

окружностей

5) Повторить формулы (АВ = а):

Устные задачи:

Дано Найти

1) r = 4 R ; h ; a

2) h = 18 r ; R ; a

3) R = 9 r ; h ; S ; P

4) Медиана равна 12 r ; R ; a

5) r ; h ; биссектрису B ; P

6) r ; R ; h ; a ; P

7) ВМ = 48 r ; R ; h

Решение задач:

1 r = 4 R = 8 h = 12

2 h = 18 r = 3 R = 12

3 R = 9 r = 9/2 h = 27/2

4 KC = BM =

12 r = 4 R = 8 BM = 12

5

a = 6

P = 18

6

64 = a2

a = 8

P = 24

7 ВМ = 48 r = 16 R = 32 h = 48

Квадрат

1) Определение

2) Свойства квадрата

3) Где находятся центры вписанной и описанной

окружностей

4) Повторить формулы (если АВ = а):

Задачи:

Дано Найти

1 a = 10 r ; R ; AC ; S

2 r = 6 a ; R ; P ; S

3 AC ; r ; A ; S

4 OB = 3 AB ; r ; P

5 S = 16 r ; R ; a

6 P = 24 r ; R ; S


1 a = 10 r = 5 S = 100

2 r = 6 a = 12 P = 48 S = 144

3 a = 8 S = 64

4 OB = 3

5 S = 16 a = 4 r = 2

6 P = 24 a = 6 r = 3 S = 36

Правильный шестиугольник

(Напомнить, как правильно его

изображать).

1) Дать определение.

2) Назвать R, r.

3) ∆ АОВ

4) S = 1/2 pr

5) АОВ = 360/6 = 60°

6) CBA = α, , α = 120°

7) FD = DB = FB = a3,

Задачи:

Дано Найти

1 a = AB = 8 r ; R ; P ; S

2 R ; a ; P

3 a ; r ; R ; P

4 AD = 24 r ; R ; a

5 P = 48 r ; R ; S


1 a = AB = 8

R = 8 P = 48

2

a = 8 R = 8 P = 48

3

R = 12

a = 12 P = 72

4 AD = 24 R = a = 12

5 P = 48 a = R = 4

Правильная треугольная пирамида

Повторение теоретического материала:

1) Определение и как грамотно ее

изобразить.

2) Элементы.

3) Апофема, высота.

4) Площадь боковой поверхности и площадь

полной поверхности.

5) Объем пирамиды.

6) Угол между ребром и плоскостью основания.

7) Определение двугранного угла и линейного угла (назвать эти углы).

Устные задачи:

1) ОК = 4, двугранный угол ВС = 45°. Найти SO, ОС.

2) sin SCO = 4/5, SC = 25. Найти ОС.

3) Биссектриса основания равна 18, SO = 5. Найти V.

4) SO = 4, ОК = 3. Найти Sполн.

5) Апофема равна 10, SO = 8. Найти Sбок.


1 ОК = 4 SO = 4 OC = 8

2 ∆SCO: O = 90°, sin C = SO/SC = 4/5, SC = 5x

25 = 5x, x = 5

OC = 3x, OC = 15

3

h = 18

4 SO = 4,

OK = 3 h = SK = 5

r = 3

5

OK = 6

Правильная четырехугольная пирамида


1) Определение и как грамотно ее изобразить.


3) Апофема, высота.

4) Площадь боковой поверхности и площадь

полной поверхности.

5) Объем пирамиды.

6) Угол между ребром и плоскостью

основания.

7) Определение двугранного угла и линейного угла (назвать эти углы).

Задачи:

1) r = 4 , SO = 3. Найти Sбок

2) , SCO = 45°. Найти объем пирамиды.

3) sin SBO = 0,6, OB = 16. Найти объем пирамиды.

4) tg SCO = 0,75, OC = 24. Найти SC.


1) ∆SOK: SK = 5, a = 8.

2) , , AB = 12,

3) 4x = 16, x = 4

SO = 12

Sосн = 32

4) OB = OC = 16

4x = 16, x = 4

SC = SB, SO = 12, OB = 16

Правильная шестиугольная призма

1) Определение правильной призмы.


3) Площадь поверхности

S = Sбок + Sосн

4) V = Sосн * AA1

Задачи:

1) AB = 6, AA1 = 4. Найти tg α.

Решение: BE = 12, tg α = 4/12 = 1/3

2) , DD1 = 10. Найти Sбок

Решение: ,

R = 18, R = a = 18, Sбок = 18 * 10 * 6 = 1440

3) , DB = 3. Найти угол D1BD

Решение: Найдем угол D1BD из треугольника D1BD.

D1BD = 30°

4) R = 8, . Найти V.

Решение: a = 8, ,

.

Правильная шестиугольная пирамида


1) Изображение.


3) Угол между ребром и плоскостью

основания.

4) Угол между боковой гранью и

плоскостью основания.

5) Sбок , Sполн

6) V = 1/3 Sосн * h.

Задачи:

1) BC = 6, SO = 8. Найти синус угла наклона бокового ребра к плоскости

основания.

Решение:

∆SOC - прямоугольный. . sin C = 8/10 = 0,8.

2) , SC = 8. Найти V.

Решение: , .

В треугольнике SOC .

В треугольнике BOC .

3) , апофема равна 10. Найти Sбок

Решение: , , a = 12

4) Двугранный угол CD равен 45°, SO = 6. Найти площадь поверхности

пирамиды.

Решение: В треугольнике SOA K = 45°, SO = OK = 6,

, , .

Куб

Формулы (AA1 = a):

V = a3, Sосн = a

2, Sбок = 4a

2, Sполн = 6a

2,

, , r = a /2

Задачи:

1) a = 10. Найти объѐм и площадь полной поверхности куба.

2) Длина диагонали куба равна . Найти объѐм куба.

3) Ребро куба . Найти диагональ грани.

4) Ребро куба . Найти площадь полной поверхности куба.

Примечание: после повторения теоретического материала и подробного

разбора задач провести тесты. После проверки этих тестов сделать разбор тех

задач, которые вызвали затруднения.

Занятия проходят после уроков. Это еженедельные двухчасовые занятия

для подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе.

Тест № 1

1. 0бъем куба равен . Найдите площадь его поверхности.

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен

, а высота равна 5.

3. Найти объем правильной треугольной пирамиды, стороны

основания которой равны 3, а высота равна .

4. Найти объем правильной шестиугольной призмы, стороны

основания которой равны 3, а боковые ребра равны .

5. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара,

деленный на π.

6. В сосуд имеющий форму правильной треугольной призмы, налили

воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет

находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд,

у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

7. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной

пирамиды SABCD с основанием АВСD, если АВ =6, АS =5.

8. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью

правильной шестиугольной пирамиды SАВСDЕF, равен 7. Найти

объем шестиугольной пирамиды.

9. Диагональ куба равна . Найти его объем.

10. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем

равен 200. Найти боковое ребро пирамиды.

11. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона

основания равна 8. Найти тангенс угла между плоскостью боковой

грани и плоскостью основания.

12. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6,

боковые ребра 5. Найти площадь поверхности этой пирамиды.

13. Высота основания правильной треугольной пирамиды в 1,8

раза больше высоты боковой грани, проведенной к ребру

основания. Найти синус угла между боковой гранью и

основанием пирамиды.

14. Высота правильной треугольной пирамиды равна 12, а высота

боковой грани пирамиды, проведенной к ребру основания, равна 13.

Найти тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью

основания.

15. Угол между плоскостью боковой грани правильной

четырехугольной пирамиды и плоскостью основания пирамиды

равен 30, сторона основания пирамиды равна 16. Найти расстояние

от основания высоты пирамиды до плоскости боковой грани.

Тест № 2

В—9 Рабочая тетрадь

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 5, а сторона

основания равна 15. Найдите боковую сторону пирамиды.

2. Тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и

плоскостью ее основания равна 7,5. Найдите сторону основания

пирамиды, если ее высота равна .

3. Расстояние от вершины основания правильной треугольной

пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту

вершину, равно , а высота пирамиды равна 16. Найдите

сторону основания пирамиды.

4. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды,

проведенная к стороне основания, равна , а диагональ основания

равна 36. Найдите боковое ребро пирамиды.

5. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна

24, а боковое ребро равно 15. Найдите площадь поверхности

пирамиды.

6. Сторона основания АВСD правильной четырехугольной пирамиды

РАВСD равна . Н - основание высоты пирамиды, К - серединa

PH. Найдите АК, если .

7. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды в раз

больше стороны основания. Найдите угол между плоскостями

несмежных боковых граней пирамиды. Ответ дайте в градусах.

8. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 ,

, К— середина АС. Найдите С1K.

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 4, АD = 12,

АА1 = 3. Найдите диагональ В1D.

10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1

, a AA1 в 2 раза больше АВ. К—середина ВЕ1. Найдите

длину отрезка ВК.

11. Высота боковой грани правильной треугольной пирамиды,

проведенная к ребру основания, равна 10, а высота основания

пирамиды равна 18. Найдите высоту пирамиды.

12. Длина высоты правильной треугольной пирамиды на 20% меньше

длины высоты боковой грани, проведенной к ребру основания.

Найдите косинус угла между боковой гранью и основанием

пирамиды.

13. Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с

плоскостью основания угол, синус которого равен , а сторона

основания пирамиды равна 10. Найдите расстояние от вершины

основания пирамиды до плоскости боковой грани.

14. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с

плоскостью основания угол, синус которого равен , а сторона

основания пирамиды равна 16. Найдите расстояние между

скрещивающимися ребрами пирамиды.

15. Расстояние от вершины основания правильной треугольной

пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину,

равно 4, а синус угла между боковой гранью и основанием пирамиды

равен 0,4. Найдите высоту основания пирамиды.

16. В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD с вершиной Р

все ребра равны. Найдите угол между прямыми РА и СD. Ответ дайте

в градусах.

17. Сторона основания АВСD правильной четырехугольной пирамиды

РАВСD равна . Найдите расстояние от вершины D до плоскости

РАС.

18. Дана правильная четырехугольная пирамида РАВСD с вершиной Р.

Отрезок ВМ является медианой треугольника ВРD. Найдите угол

между прямыми ВМ и АС. Ответ дайте в градусах.

Список литературы

1. Геометрия. Обобщающее повторение 9-11 кл. Автор Киселѐва.

Издательство «Учитель», 2009 г.

2. Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА. Учимся решать задачи.

«Легион-М», 2011 г.

3. Супертренинг. Тематические тренировочные задания. Авторы Лаппо,

Попов. Издательство «Экзамен», 2013 г.

4. Математика. Рабочая программа. Повторение курса в форме ЕГЭ. 11 класс.

Авторы Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. «Легион», 2012 г.

5. ЕГЭ 3000 задач. Под редакцией А.П. Семѐнова, И.В. Ященко, 2012 год

6. Математика. ЕГЭ. Тематическая рабочая тетрадь. Под редакцией Ященко,

Шестакова. Изд-во «Экзамен», 2012 год

7. Л.С. Сагателова. Геометрия. Элективный курс. Изд-во «Учитель», 2010 г.

8. Математика. Оптимальный банк заданий. А.В. Семенов, И.В. Ященко.

«Интеллект-центр», 2013 год

Обобщающее повторение по теме: Правильные...

Documents