: یروآدای · 2020. 10. 19. · x m y b ٻُ٣ٶ b x b y ٻُ٣ٶ تاهترٲ ٴزط٦...

رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر

1

یادآوری: ✓

سال های گذشته با مفاهیم خط ، شیب خط ، عرض از مبدا ، تابع خطی و ... آشنا شدید . یه مرور سریع رو این مطالب

داشته باشیم بد نیست .

y الف( معادله خط استاندارد : ax b= + (y ) یه طرف ، بقیه یه طرف

aیعنی xشیب خط : ضریب

ها ، اگر y) میدونید دیگه عرض از مبدا یعنی محل برخورد با محور bعرض از مبدا : عدد ثابت یعنی

0x 00باشه ، عرض از مبدا به دست می آید ( = xy ax b y b

== + = ⎯⎯→ =

0yها )با قراردادن xریشه )طول از مبدا( : محل برخورد با محور به دست می آید( =

0 by ax b x

a

−= + = → =

0ax: گستردهب( معادله خط by c+ + ) همه یه طرف ، اون طرف صفر ( =

مقدار شیب خط : a

b

−یعنی

𝑥 منفی ضریب

𝑦 ضریب

:xمیشه همون ضریب شیب اگه نمی خوای حفظ کنی اول استانداردش کن ، بعد

0 a cax by c by ax c y x

b b

−+ + = → = − − → = −

cعرض از مبدا : مقدار

b ) از حالت استاندارد شده معلومه دیگه ( −

0yها )با قراردادن xریشه )طول از مبدا( : محل برخورد با محور به دست می آید( =

00 0y cax by c ax c x

a

=+ + = ⎯⎯⎯→ + = → = −

اما مفهوم شیب خط : 𝑦 تغییرات

𝑥 تغییرات =

ym

x

=

tanmتعریف سال گذشته خوندید : و =


2

نوشتن معادله خط( ج

برای نوشتن معادله خط دو حالت داریم :

داشتن شیب و یک نقطه از خط : (1

0که از نقطه mمعادله خطی با شیب

0

xA

y)به دست می آید : مقابل گذرد از رابطه می )0 0y y m x x− = −

داشتن دو نقطه : (2

1اگر دو نقطه مثل

1

xA

y2و

2

xB

yرا داشته باشیم ، اول شیب رو به دست می آوریم و بعد به کمک رابطه بالا ،

معادله خط می نویسیم .

( ) or ( )2 11 1 2 2

2 1

y yym y y m x x y y m x x

x x x

−= = → − = − − = − −

ها می سازد . xیادآوری : شیب خط برابر است با تانژانت زاویه ای که خط با جهت مثبت محور

(

(

(

(

−

−

−

−

1 2 2 1

3 2 2

1 2 3 3

2 2 2 4

12

A27

B

(

(

(

(

−

−

1 141 241 351 45


3

وضعیت دو خط نسبت به هم در صفحه : ✓

الف( دو خط موازی : شرط موازی بودن دو خط برابر بودن شیب هاست.

:

:

:

:

1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 21 2

2 2 2 2 1 2

00

d y m x hd d m m

d y m x h

d a x b y c a ad d

d a x b y c b b

= + =

= +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + = =

+ + =

اند.: شیب و عرض از مبدا ها برابر بر هم منطبق( دو خط ب

:,

:

:

:

بق نط 1م 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2

بق نط 1م 1 1 1 1 2 1

2 2 2 2 1 2 2

00

d y m x hm m h h

d y m x h

d a x b y c a a c

d a x b y c b b c

= +⎯⎯⎯⎯→ = =

= +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + =⎯⎯⎯⎯→ = =

+ + =

باشد ، دو خط بر هم عمودند. -1ضرب شیب های دو خط اگر حاصل( دو خط عمود بر هم : ج

:

:

1 1 1 11 2 1 2 1

2 2 2 2 2

11d y m x h

d d m m or md y m x h m

= + − ⊥ = − =

= +

.تا حالت بالا نباشه سه: متقاطع غیر عمود( دو خط د

شامل دو خط به دست می آید. از حل دستگاه دو معادله دو مجهول محل برخورد دو خط متقاطعیادت باشه :

دو خط خاص : ✓

y ثابت: معادله این خطوط به شکل الف( خطوط موازی محو طول ها است. =

x ثابتمعادله این خطوط به شکل :ب( خطوط موازی محور عرض ها است. =


4

AB3 4 6 0x y− + =BC

( ( ( (17 15 14 114 3 2 13 2 3 2

L1dx

( ( ( (2 14 3 2 3 2 3 13 3

ABAC2y x+ =4 3 8x y+ =

A

(

(

(

(

1 11 22 32 4

−

−

94 -تجربی -2آزمون گزینه


5

( , ), ( , ), ( , )1 4 1 2 3 1C B A−CH

(

(

(

(

4 15 26 37 4

( , ), ( , ), ( , )2 5 3 1 0 2A B C−AH

( )

)

(

)

(

(

( (

(

( )−

− 4

1 و32 2

5

1

21 و2 21 و5

2و1

2 2

32

1

1394- تجربی-سنجش


6

فاصله دو نقطه ✓

Aنقاط

A

xA

yBو

B

xB

y را در نظر بگیرید . فاصله این دو نقطه از رابطه زیر به دست می آید :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2A B A B

AB x y

AB x x y y

= +

= − + −

: فاصله نقطه نکتهx

Py

2تا مبدا مختصات از رابطه مقابل به دست می آید : 2OP x y= +

: نقطه وسط یک پاره خط ✓

Aنقاط

A

xA

yBو

B

xB

yMرا در نظر بگیرید . اگر نقطه

M

xM

y گاه :باشد ، آن ABوسط پاره خط

2

2

A BM

A BM

x xx

My y

y

+=

+=

A−

01

B+

+

31

C+

−

24

مختلف الاضلاع (1

الزاویه نیست.متساوی الساقین است ، ولی قائم (2

متساوی الساقین و قائم الزاویه (3

. قائم الزاویه است ، ولی متساوی الساقین نیست (4

) نقاط , ), ( , ), ( , )2 5 3 1 0 2A B C−.طول میانه سه راس مثلثی هستند AM . را به دست آورید


7

( , )1 6A − −( , )3 3B − −( , )4 8C − −

الاضلاع متساوی (1

متساوی الساقین است ، ولی قائم الزاویه نیست. (2

متساوی الساقین و قائم الزاویه (3

قائم الزاویه است ، ولی متساوی الساقین نیست. (4

( , )1 3A −( , )3 1B −

(

(

(

(

12 116 218 324 4

3با داشتن مختصات : میدونیم که در متوازی الاضلاع ، مستطیل و مربع ، قطرها همدیگرو نصف می کنن پس نکته

راس ، میتونیم مختصات راس چهارم رو به دست بیاریم .

A c B DM A c B D

A c B DM A c B D

x x x xx x x x x

My y y y

y y y y y

+ += = → + = +

+ += = → + = +

2 2

2 2

D

) کتاب درسی 9صفحه -6تمرین )

( )

( )

( )

, (

, (

, (

, (

−

−

−

−

2 1 1

1 2 2

3 2 3

2 3 4

97 -ریاضی –قلم چی


8

( ),7 6

,2 3 11 3 4 8y x y x− = + =

( )

( )

( )

( )

, (

, (

, (

, (

1 5 1

3 4 2

3 5 3

4 3 4

قرینه یک نقطه نسبت به نقطه ای دیگر ✓

Aفرض کنید قرینه نقطه

A

xA

yMنقطه نسبت به

M

xM

yBنقطه

B

xB

yBباشد ، هدف پیدا کردن مختصات نقطه

است .

باشد : Aقرینه نقطه Bباشه تا نقطه ABباید وسط Mبا توجه به شکل مشخصه که نقطه

22

22

A BB M AM

A BM A M B

x x x x xx

My y

y y y y

+ = −=

→ + = = −

)( نقطهقرینه ,1 2C نسبت به نقطه,( )1 4M .دست آورید را به −

( , )A −2 1( , )B −1 3

( )

( )

( )

( )

, (

, (

, (

, (

−

−

4 7 1

0 7 2

4 7 3

4 7 4

90 -سراسری تجربی

کتاب درسی 7صفحه -کاردرکلاس


9

( , )A −3 2( , )B BB x y( , )C 1 5

B By x−

(

(

(

(

+

+

−

−

4 15 23 36 4

RPQSRQQ

(

(

(

(

14 118 2

8 315 4

97 -ریاضی و تجربی –قلم چی


10

فاصله نقطه از خط : ✓

نقطه فاصله A

A

xA

y0axاز خط به معادله by c+ + :است با برابر =

2 2A Aax by c

da b

+ +=

+

)( نقطهفاصله ,7 4P . دست آوریدهای زیر بهرا از هر یک از خطوط با معادله −

) :

) :

) :

2 5

5

0

a L x y

b T x

c y

+ =

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

=

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

=

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

: شعاع دایره بر هر خطی که بر دایره مماس است ، عمود می باشد . 1نکته

: هر خط عمود بر دایره از مرکز دایره می گذرد ، یعنی مختصات مرکز در آن صدق می کند . 2نکته

: 3 4 0L x y− =)( ,2 1W −

(

(

(

(

1234

کتاب درسی 9 صفحه -2لاس کار در ک

کتاب درسی 9صفحه -1کار در کلاس


11

: 2 3AB x y+ =: 2 1AC y x= −: 4BC x y+ =

( ( ( (4 32 3 2 2 2 22 1

.را بدست آوریمAتوانیم مختصات رأس میACو ABاز تلاقی دادن معادلات دو ضلع

,2 3 1

1 12 1 1

x yx y A

y x

+ =→ = = →

= −

: بدست آوریمBCرا از ضلع A ی نقطه ی ،کافی است فاصله حال

, 2 2

1 1 1 4 24 0 21 21 1

A x y AH+ −

+ − = → = = =+

3 4 7x y− =12

A

( ( ( (48 144 124 3 2 12 15 25 5

را از ضلع A ی نقطه ی ،کافی است فاصله پسدانیم طول ضلع مربع برابر است با فاصله یک راس تا ضلع مقابل آن . می

: بدست آوریمداده شده را

( ) ( )2 2

13 1 4 2 7 12 12 4842

5 5253 43 4 7 0

Aa P a

x y

− −

→ = = = ⎯⎯→ = =+

− − =

( , )2 1A −5x y+ =

(

(

(

(

6 112 224 348 4

94 -قلم چی تجربی


12

A2 1y x= − +5

11

B

( ( ( (6 5 33 2 24 1

)سوم و اول ی هر نقطه روی نیمساز ناحیه )y x= صورت به

به خط از را نقطه این ی فاصله است کافی. باشد می

2 ی معادله 1y x= − قرار دهیم : 5طبق گفته سوال برابر +

( ) ( )

| | | || |

12 21

2 1 02 1 3 15 5 5 3 1

1 4 5

23 1 5 3 6 2 2 1 2 1 2

2

44 33 1 5 3 4

433

B

y x

A

A AB

A

+ − = + − −

→ = → = → = −+

− = → = → = ⎯⎯→ ⎯⎯→ = − + − = −

− = − → = − → = − → −

غیر قابل قبول ، چون روی نیم ساز

ناحیه سوم است


13

فاصله دو خط موازی ✓

0axدو خط موازی به معادله های فاصله by c+ + 0axو = by c+ + با: است برابر =2 2

c cd

a b

−=

+

باید xو y در استفاده از این فرمول حواستان باشد که همه یه طرف باشند و طرف دیگر صفر باشه و اینکه ضرایب : نکته

برابر باشند .

2 5 3x y+ =5 2 5 0y x+ =

( ( ( (5 4 33 2 14 1

1x y− =

2 3 6x y+ =13

(

(

(

(

1

2

3

4

175

225

8545

( )

5

2 2

2 2 52 5 355

2 55 2 5 05

2 5 3 5 2 5 3 5

3 5 05 2 5 3 5 5 2 5 3 5 0 3 5 3 5 145 3 55 2 5 0 5 2 5 0 0 2 5 5

x y m

m m

y x m

x y y x

y x y xd

y x y x

+ = → = − = −

=−

+ = → = −

+ = ⎯⎯⎯→ + =

− + = + − = → → = = = =

+ =

→

+ − = +

93 - 2گزینه

شیب ها مساوی اند ، پس دو خط داده شده

معادله دو ضلع موازی مربع است ، فاصله دو

مربع . ضلع مربع برابر است با طول ضلع

96 -قلم چی


14

11

B−

−

32

A3 4x y a+ =a

(

(

(

(

1

2

3521717

2

3

435

−

−

+

0ax دو خط موازی به معادله های مجموعه نقاطی که ازتذکر : by c+ + 0axو = by c+ + فاصله برابر =

0دارند ، بر روی خطی موازی دو خط قبلی و به معادله 2

c cax by

++ + =

5ax y+ =7x y a+ =

(

(

(

(

6 06 06 06 0

1234

x y

x y

x y

x y

+ + =

+ − =

− + =

− − =


15

راس آن 3محاسبه مساحت مثلث با داشتن ✓

,نکته : اگر نقاط ,CA B

A B C

xx xA B C

y y y سه راس یک مثلث باشند ، مساحت مثلث از فرمول زیر به دست می آید:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B B C C A A C C B B A

A B C B C A C A B

S x y x y x y x y x y x y

or

S S x y y x y y x y y

= + + − + +

= = − + − + −

12

12

)مساحت مثلثی با رئوس , ) , ( , ) , ( , )A B C k −11 2 3 کدام اند ؟ kاست . مقادیر 3برابر 1


16

) مهلت تحویل : یک هفته بعد از تدریس ( تمرین ها ✓

)نقاط , ) , ( , )A B −14 3 10 بدست ABخط فاصلۀ مبدأ مختصات را از وسط پاره را در نظر بگیرید. 13

.آورید

)نشان دهید مثلث , ), ( , ), ( , )A B C12 2 5 4 . الزاویه استقائمالساقین یک مثلث متساوی، 1

)نقاط , ), ( , ), ( , )C B A−2 3 5 4 2 : بگیرید در نظر را 0

.را بدست آورید ABC مثلث محیط الف(

چه نوع مثلثی است؟ ABCب(

.را بدست آورید ABC مثلث مساحت ج(

)ای نقاطو انتهای یکی از قطرهای دایرهد , ), ( , )A B−2 2 6 هستند. 4

. بیابید را دایره مرکز مختصات و شعاع اندازۀ الف(

)نقطۀ آیا ب( , )C 7 بر روی محیط این دایره قرار دارد؟ چرا؟ 3

) قاطن , ), ( , ), ( , )A B C− −2 3 10 1 مستطیل 2 از رأس چهارم هستند. ABCDسه رأس مختصات

.مستطیل را بیابید


17

)های مثلث با رأس , ), ( , ), ( , )A B C19 3 1 7 د. را در نظر بگیری11

.را مشخص کنیدBC، نقطۀ وسط ضلع Mمختصات الف(

.را محاسبه کنیدAM میانۀ طول ب(

را به دست آورید. AM میانۀ معادلۀ ج(

)نقطه , )N −5 )و Aوسط پاره خط واصل 4 , )B −7 را به دست آورید. Aاست. مختصات نقطه 2

)قرینه نقطه , )C 1 )را نسب به نقطه 2 , )M −1 به دست آورید . 4

| |y x= +2

(

(

(

(4

0211

332

( , )A 3 2y x= −3

( , )

( , )

( , )

( , )

(

(

(

(

12

3

4

4 35 0

11 72 2

13 93 4


18

( , ), ( , )A B− − − −4 1 2 3

( )my m x+ − =2 1m

(

(

(

(4

224

3

2 2

1

2

,y x y x= − = − −2 2 7 1AA

( , )B 0 3

(

(

(

(4

3243

6

1

5


19

2و معادله درجه 2تابع درجه ✓

یادآوری :

2: 2فرم کلی معادله درجه 0ax bx c+ + =

,

2

1 2

21 2

402

4 02

0

b b acx

a

bb ac x x

a

− −→ =

−

= − = → = =

→

2دو حالت خاص : در معادله 0ax bx c+ + اگر: =

)الف( جمع ضرایب صفر باشد )0a b c+ + 1، آنگاه یک ریشه = 1x 2و ریشه دیگر =c

xa

است . =

)شود bبرابر cو aب(جمع )a c b+ 1، آنگاه یک ریشه = 1x = 2و ریشه دیگر −c

xa

= . است −

)معادله )2 2 1 5 1 0mx m x m− + + − مضاعف است ، ریشه های مضاعف آن را به دارای ریشه =

دست آورید .

در این حالت معادله ریشه حقیقی ندارد .

در این حالت معادله یک ریشه مضاعف دارد .

. ساده داردریشه 2در این حالت معادله


20

ر) معادلات دو مجذوری( به کمک تغییر متغی 2حل معادله درجه ✓

4: 1فرم شماره ✓ 2 0ax bx c+ + =

( ) ( )x x+ − + + =2 2 22 4 2 3 0

(

(

(

(

012

123

4 4

( )x x

x x+ − =

+ +

2 22

2 2 6 01 1

ریشه مضاعف دارد. -1

ریشه حقیقی ندارد. -2

چهار ریشه حقیقی دارد. -3

دو ریشه متمایز دارد. -4

ax تذکر : بحث درباره تعداد ریشه های معادله دو مجذوری ✓ bx c+ + =4 2 0

معادله ریشه حقیقی ندارد


معادله دو ریشه قرینه دارد

معادله دو ریشه قرینه دارد


معادله چهار ریشه دارد


21

x x a− + − =4 24 2 0a

(

(

(

(

a

a

a

a

−

−

−

−

2 128 2

22 2

34

ax: 2فرم شماره b x c+ + =0

xمعادله x− − =2 1 را حل کنید . 0

ax: بحث درباره تعداد ریشه های معادله دو مجذوری نکته ✓ bx c+ + =4 2 0

mx x m− + − =2 1 0x

(

(

(

(

m

m

m

21

2

42

1 1

3


معادله ریشه ندارد

معادله یک ریشه قرینه دارد

معادله یک ریشه دارد

معادله ریشه ندارد

معادله دو ریشه دارد

88 -خارج از کشور تجربی


22

2ضرب ریشه های معادله درجه مجموع و حاصل ✓

axریشه های معادله و فرض کنید که bx c+ + =2 باشند ، در این صورت مجموع و حاصلضرب 0

ریشه ها بدون حل معادله و از روابط زیر به دست می آیند .

S جمع ریشه ها :b

Sa

−

= + =

P ضرب ریشه ها : حاصلc

Pa

= =

D : : قدر مطلق تفاضل ریشه هاΔ

| || |

Da

= − =

روابط متقارن بین ریشه های معادله درجه دو

تغییری در رابطه ایجاد نمیشه ! و منظورم از رابطه متقارن رابطه ای هستش که با عوض کردن جای

برسیم . Pو Sباید به گیری مشترک مخرج و رسانی توان ، فاکتورگیری ، اتحاددر این روابط به کمک

نوشت : Pو Sباشند ، می توان روابط زیر را برحسب 2ریشه های معادله درجه و اگر

)

)

)

)

S P

S PS

S

P

S P

+ = −

+ = −

+ =

+ = +

2 2 2

3 3 3

1 2

2 3

1 13

4 2


23

xریشه های معادله و اگر x− + =2 7 3 باشند ، حاصل موارد خواسته شده را بدون حل 0

معادله و به دست آوردن ریشه ها ، بنویسید.

)

)

)

)

)

)

) A

+

+

+

+

++ +

+− −

= +

2 2

3 3

1

2

1 13

4

1 151 1

61 1

7

, ( )x x − = −4 8 1 +

1 1

(

(

(

(

4 15 26 38 4



24

متقارن بین ریشه های معادله درجه دو نا روابط ✓

وجود داره ، ولی مهمترین آن ها جایگذاری 2روش های زیادی در حل روابط نامتقارن بین ریشه های معادله درجه

ریشه ها در معادله است .

سعی بر این است که با جایگذاری ریشه ها در معادله ، رابطه متقارن بسازیم .

, x x− − =2 2 2 0 − +2

(

(

(

(

+

−

2 12 20 34 4

, x x− − =22 6 1 0 +2 3

/ (

/ (

/ (

/ (

6 5 17 5 28 5 39 5 4

معادله و اگر های xریشه x− − =23 5 حاصل 0 ، باشند −3 دست 23 به را

آورید .

98 -تجربی –قلم چی



25

نکته مهم : ✓

معادله صدق میمید (1 ای در خود اگر ونیم که هر ریشه یعنی . xکنه a= ریشه عبارت( )f x آنگاه ، باشد

( )f a . است0=

xیه بیان دیگه هم هست که میگه اگر (2 a= ریشه عبارت( )f x آنگاه باشد ،( )f x برx a− بخش پذیر ،

است .

xیادتون باشه که اگر جمع ضرایب یک چند جمله ای صفر باشه ، (3 یکی از ریشه های آن چند جمله ای است. 1=

)عبارت )f x x x x= − + +3 25 3 را تجزیه کنید . 1

xاگر = )یکی از ریشه های عبارت 2 )f x x x mx= − + −3 25 باشد ، در مورد سایر ریشه های 2

عبارت بحث کنید.

, , 1( )f x x x mx= − + −3 25 2

+

(

(

(

(

2 14 26 38 4



26

Pو Sجدید با داشتن 2تشکیل معادله درجه ✓

xی معادلهباشند آن دو عدد از حل Pحاصلضرب آن دو و Sهرگاه مجموع دو عدد Sx P− + =2 به 0

.آیند دست می

xدوم خواستند یاد فرمول ی ی درجههرگاه در سوالی از شما معادله Sx P− + =2 . بیفتید 0

3+معادله درجه دومی بنویسید که ریشه های آن 52

3−و 52

. باشند

x x+ − =2 3 1 0

(

(

(

(

x x

x x

x x

x x

− + =

+ − =

+ − =

− + =

2

2

2

2 4

11 1 0

11 1 0

10 1 0

1

2

2

3

0

1

1

x x− − =22 3 1 0

(

(

(

(

x x

x x

x x

x x

+ − =

+ − =

− − =

+ + =

2

2

2

2

2

4

13 2 0

4 13 2 0

4 13 2 0

2 1

1

3

2

0

3

2

کتاب درسی 13کار درکلاس صفحه


27

:خاص حالات در جدید دوم ی درجه ی نوشتن معادله تذکر : ✓

ax دوم ی درجه ی معادله هرگاه bx c+ + =2 که بنویسید جدیدی دوم ی درجه ی را دادند و گفتند معادله 0

:هایشریشه

cx .را عوض کنید cو aهای معادله فوق باشند کافی است جای عکس ریشه -1 bx a+ + =2 0

ax . را قرینه کنیدb علامت است کافی باشند فوق ی معادله هایریشه ی قرینه -2 bx c− + =2 0

را قرینه b علامت کرده و را عوض cو aجای است کافی باشند فوق ی معادله هایریشه ی عکس و قرینه -3

cx .قرینه کنید bx a− + =2 0

4- k است کافی باشند فوق ی های معادلهبرابر ریشه b را درk وc را درk2ضرب کنید .

ax bkx ck+ + =2 2 0

5- kاست کافی باشند فوق ی های معادلهواحد کمتر از ریشهx را بهx k+تبدیل کنید.

( ) ( )a x k b x k c+ + + + =2 0

6 - k است کافی باشند فوق ی های معادلهاز ریشه بیشتر واحدx را بهx k−تبدیل کنید.

( ) ( )a x k b x k c− + − + =2 0

x ax b+ + =23 0

x x− + =24 7 3 0a

(

(

(

(

−

−

−

−

68

1223

14

1

4

86 -سراسری تجربی


28

, 22 3 4 0x x− − =

,1 11 1

+ +

(

(

(

(

x x

x x

x x

x x

− + =

− + =

− − =

− − =

2

2

2

2

4

4

3 1 0

4 5 1 0

4 5 1 0

4

1

3

2

0

3

1

m( )x m x+ − =22 1 1134

( ( (, , ,(−− − −2 4 3 43 2 24 42 1

)معادله را به صورت )x m x+ − − =22 1 1 حواسمان هست چون مرتب می کنیم) 0c

a ، دلتا حتما مثبت است .( 0

( ) ( )

22 2 2

1

4 2 2

113 13 1 1 132 2 2

1 4 4 2 2 42

1 3 21 4 13 1 9

1 3 4

b mS

maS P

cP

a

m mm m

m m

− − = + = = − −

→ + = → − = → − = − = = =

− = → = −⎯⎯→ − + = → − = →

− = − → = +

a( )x a x a− − + − =2 2 2 14 0

( ( ( (4 3 2 2 2 15 14 2 14 2 5a a a a −

: ی متمایز مثبت باشد آن است کهی دوم دارای دو ریشهی درجهشرط آنکه یک معادله0 10 20 3

S

P

−

− −

Δ ( ) ( ) ( ) (

(

)

( ))( )

2 2 2

2 2

0 4 0 4 2 4 14 0 2 14 0

2 2 5 14

14 14 0

4 4 14 0 3 10 0 2 5

0 0 0 2 2 0 21

0 0 0 141

a a a a a I

bS a a II

a

cP a II

a

b ac a a a a

a a

aa

aa

− + − + − − ⎯⎯→ −

− − → → →

−

− ⎯⎯→

→ − → − − −

⎯

→ − −

→

− −

⎯⎯→

→ → → ⎯ →

−

−

94 -تجربی -سنجش

96 -سراسری ریاضی


29

نکته مهم :

شرط داشتن دو ریشه مثبت متمایز (1

متمایز شرط داشتن دو ریشه منفی (2

شرط داشتن دو ریشه مختلف العلامت (3

شرط داشتن دو ریشه معکوس (4

m( )2 12 1 08

x m x− + + =

( ( ( (6 5 44 3 2 3 1

2 ی دومی درجههای معادلهاگر ریشه 0ax bx c+ + ,را = : بنامیم

, 2 4 2 0x x− − =

2 5 − −

( ( ( (4 3 16 6 2 2 2− −

رابطه نامتقارن بین ریشه ها : روش حل جایگذاری در معادله :

: 2 ریشه معادله است ، با جایگذاری آن در معادله داریم 24 2 0 4 2 − =− = → +

( ):2

4

4 22 5 4 2 5 2 2 6

bS

a

we had

=

−= =

+− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ + − − = − − + = − + + =

96 -سراسری ریاضی

96 -قلم چی


30

S یاP . بسازیم

تست های پایین رو ببینی ، دستت میاد که چی کار باید بکنی :

2 8 0x x m− + =m

(

(

(

(4

121

24

10 1

315

x x m− + =2 312 8 0

m

(

(

(

(

+

−

+

−

1 12

2

2 32

2

1

4

( )x m x− + + =2 12 2 08

− =2 m

(

(

(

34 27

1

3

این رابطه برقرار نیست. mبه ازای هیچ مقدار 4)


31

2y ax bx c= + +

0aاین تابع، نمایشگر یک سهمی قائم است اگر (1 باشد شکل دارایMin 0است و اگرa باشد شکل

.استMaxدارای

:آیدکه مختصات آن از این رابطه بدست می )Minیا Max ی نامند )نقطهرا رأس سهمی می Sی نقطه (2

2

4

S

S

bx

aS

ya

−=

−=

.را بدست آوریم Sی ی سهمی قرار داده و عرض نقطهتوانیم آن را در معادلهرا داشته باشیم میSی اگر طول نقطه

.کندسهمی قائم دارای یک محور تقارن است که حتماً از رأس سهمی عبور می (3

های آن عبور کند طول رأس سهمی برابر میانگین طول Bو Aی هم عرض ی دوم از دو نقطهاگر تابع درجهتذکر :

.دو نقطه است

سهمی قائم مرکز تقارن ندارد . (4

کند کافی کند و برای آنکه مشاهده کنید کجا محور عرض را قطع میسهمی قائم، همیشه محور عرض را قطع می (5

.، صفر دهیدxاست به

دوم (6 درجه 2yتابع ax bx c= + فرم + به توان می )را )20 0y a x x y= − این + در که نوشت

0حالت

0

xS

y نوشت .

طول نقطه راس سهی

این مقدار است Minیا Maxعرض نقطه راس سهمی = منظور از مقدار


32

ماکزیمم یا مینیمم سپس مقداردارند. ماکزیمم و کدام یک مینیممهای زیر از سهمی یک کنیدکدام تعیین

. هر یک را مشخص کنید

( ) ( )

( )

g x x

h x x x

= − + +

= − +

2

2

1 3

4 9

شکل زمین مورد نظر مستطیلی باشد ، ابعاد متر نرده ، لب ساحلی نرده کشی شود . اگر 80قرار است با

زمین را به گونه ای بیابید که مساحت آن ماکزیمم شود ) سمت دریا نرده کشی نمی شود (

بیشترین مساحت مربوط به چه مستطیلی است ؟ مساحت و ابعاد آن kاز بین مستطیل هایی با محیط ثابت

را بیابید .

مستطیلی بین محورهای مختصات و خط رسم شده به گونه ای محاط شده است که دو ضلع آن روی محور

های مختصات و یک راس آن روی خط مورد نظر است . ماکزیمم مساحت مستطیل را به دست آورید .

کتاب درسی 15صفحه –کار در کلاس


33

2صفرهای تابع درجه ✓

مانند نقاط تابع یک نمودار محور fبرخورد میxبا تابع صفرهای را درها که ریشه نامیم معادله هایواقع

( ) 0f x . برابر صفر است هستند. به عبارت دیگر، در این نقاط مقدار تابع =

, ,a b c رو تشخیص بدهید ، به موارد

زیر به ترتیب اولویت توجه کنید .

cعرض از مبدا : برای تشخیص علامت -1

aرو به بالا بودن یا رو به پایین بودن دهانه سهمی : برای تشخیص علامت -2

طول راس سهمی -32

bx

a

− b، برای تشخیص علامت =

, ,a b c . را مشخص کنید


34


35

2y ax bx c= + +a b c+ +

( ( ( (6 4 36 5 2 5 1−−

( )f x ax bx c= + +23a b− = −( )1f

( ( ( (6 4 36 5 2 5 1−−

( )y f x=( )f x =0

(

(

(

(

5 16 27 38 4

y

( ( ( (−− 13334

2 34

3 4

( (

( (

2 2

2 2

2 22 1

3242

y x x y x x

y x x y x x

= − + = +

= − − = −


94 -قلم چی ریاضی


96-تجربی –قلم چی


36

معادلات گویا ✓

کسر هایی که صورت و مخرج آن ها چند جمله ای باشند ، عبارت های گویا می نامند . مقدار یک عبارت گویا زمانی

با معنی است که مخرج صفر نباشد ، اگر مخرج صفر شود ، عبارت گویا تعریف نشده است .

. مخرج ها را تجزیه کرده سپس طرفین را در ک . م . م مخرج ها ضرب می کنیم برای حل معادلات گویا ، ابتدا تمامی

بعد از ساده سازی و حل معادله به دست آمده ، مشخص می کنیم که ریشه های به دست آمده قابل قبول هستن یا نه .

( صفر کننده های مخرج ، غیر قابل قبولن)

معادلات گویای زیر را حل کنید .

)

)

)

2

2

2

2 114 3

2 2 1 1222

2 832 2 4

x x

x x

x x x x

x xx x

x x

x x x

− +=

− +

− + + −− =

−−

−− =

+ − −

x a=21 2 4 42

a x

x x x a

− −+ =

+ −a

( (

( (

1 2 012 4 3 3

94 -ریاضی -قلم چی


37

x x x

x x x x

++ =

− + + −

2

21 2 31 2 2

(

(

(

(

011 23 32 4

x = 2( )

m m x

x x x x x

− −+ =

+ + −25 3

2 4 3 4

(

(

(

(

3 13 25 35 4

−

−

(

(

(

(

12 120 228 330 4

/ ( / ( / ( / (0 8 4 0 6 3 0 5 2 0 4 1

96 -تجربی -قلم چی

96 -تجربی -قلم چی


38

معادلات گنک ✓

xمعادله معادلات رادیکالی را معادلات گنگ می نامند . مثل x− + − =3 2 4 3 که متغیر رفته زیر رادیکال. 0

است . انقدر به توان برسونید تا رادیکال ها حذف بشن . قبل توان رسانی ، رسانی توانروش حل معادلات گنگ ،

اگه یه رادیکال رو یه طرف نگه داری و بقیه رو ببری طرف دیگه خیلی بهتره .

اب های معادله به دست آمده از توان رسانی ، حتما آن ها را چک کنید که در معادله اولیه بعد از به دست آوردن جو

. صادق باشند

معادلات زیر را حل کنید .

) ) )

) )( ) )

t t x x x x

x x x x x x xx

− − = = − − + − =

+ − − = − = − − − + =− +

2

1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 374 3 1 1 5 4 4 3 6 3 7

3 1

کتاب درسی 23کار در کلاس صفحه


39

معادلات گنگ خاص ✓

به کمک دامنه و برد : -1

2مثال آموزشی : معادله 2 2 2x x x x+ − = − + را حل کنید . −

مجموع چند عبارت نامنفی صفر شود : -2

هرگاه مجموع چند عبارت نامنفی صفر شود ، اشتراک ریشه های عبارت های نامنفی ، جواب معادله است .

)مثال آموزشی : معادله )22 24 4 8 3 2 0x x x x− + − + − + را حل کنید . =

معادلاتی که به کمک تغییر متغیر )مجهول معاون( حل می شوند . -3

مثال آموزشی : معادله x x

x x

++ =

+

9 4 49

را حل کنید .

x x x x+ + = + +2 24 3 4 5

(

(

(

(

−

+

+

+

2 12 24 31 4

94 -ریاضی –سراسری


40

x x− + − =3 2 4 3 0

یک جواب -1

دو جواب هم علامت -2

های مختلفدو جواب با علامت -3

جواب ندارد . -4

x x+ − = −2 5 13

(

(

(

(

011 22 33 4

4x =x a x x+ = − 25

( ( ( (14 3 3 2 2 12

جواب دیگر ندارد.

87 -خارج از کشور تجربی

87 -تجربی -سراسری

: یروآدای · 2020. 10. 19. · x m y b ٻُ٣ٶ b x b y ٻُ٣ٶ تاهترٲ ٴزط٦...

Documents