工程數學的基礎 - opentech
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1 工程數學的基礎
一、指數與指數函數
二、對數與對數函數
三、微分的定義與應用
四、積分的定義與應用
本章針對工程數學中常會用到的基礎數學如指數、指數函
數、對數、對數函數以及微分與積分等加以介紹，其中尤以
自然底指數和對數，以及它們的函數在微分和積分運算時的
種種性質最為重要。學習完本章並融會貫通後對工程數學的
學習成效將會有很大的助益。
1-2 基礎工程數學
數學是一門普通而又實用的學科，每一個人在成長過程的日常生活中
都與它脫離不了關係，甚至是密不可分。在數學的學習歷程上，很多人曾
經有過不愉快的經驗，甚至對它感到害怕，想逃避它。其實，數學是很有
趣的學科，只要用對了方法，了解了它真實的涵義，就可以重拾信心，甚
至對它產生興趣。
工程數學顧名思義，是在探討工程領域中所需運用到的數學方法。既
然是要用來解決工程問題，工程數學的每一個主題背後都會有其物理意義
存在，必需加以了解才能增加學習的成效。
在進入工程數學各個主題前，基礎的數學方法必需加以了解才能事半
功倍，本章將針對指數、對數、三角函數、微分和積分等，常會用到的數
學基礎加以複習，以增加後續的學習效果。
一 指數與指數函數
指數在數學的應用中極為普遍，定義與運算方法如下：
A. 指數
設 a 為一非零實數，n 為一正整數，則 a 自乘 n 次所得到的積可以用
an 表示，亦即 a × a ×…a = an，此處 an 就是指數的基本型式，其中 a 稱為
底數，n 稱為指數。
指數有幾個主要性質，設有非零的正實數 a、b，以及正整數 m、n，
則下列各關係式成立。
1. am × an = am + n
2. (am)n = amn
3. (ab)n = an × bn
4. n n
n
a ab b
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5. m
n
aa
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= am − n
6. m
m
aa
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= am − m = a0 = 1
第一講 工程數學的基礎 1-3
7. a−n = 1na
8. 1
nna a=
9. m
n mna a=
B. 指數函數
如果指數的基本型式中，指數不是一個整數 n，而是任意任意實數 x，則 f
(x) = ax 稱為以 a 為底的指數函數。若 a 為一正數且 a≠1，則指數函數有
下列性質
1. f (x) = ax > 0 2. 設 x2 > x1， f (x2) = 2xa ， f (x1) = 1xa ，則當 a > 1 時 f (x2) > f (x2)，當 a <
1 時 f (x2) < f (x1) 3. 若 x1 和 x2 為任意數，則
f (x1 + x2) = 1 2 1 2x x x xa a a+ = ⋅ = f (x1) f (x2)
指數函數的物理意義為何呢？我們都聽過國王要獎賞大臣的寓言，大
臣請國王在棋盤上放米當他的獎品，第一格放一粒，第二格放二粒，第三
格放四粒，以此倍增，國王沒有請人算算看，不知道要放滿 64 格棋盤的
米是多少？
以上的問題可以用指數函數來表示，也就是第 x 格的米粒數 f (x) = 2x − 1，
因此第 64 格需放米粒數為 f (64) = 263，約為 9.22 × 1018 粒，如以 100 粒米 1公克計，大約是 922 億公噸，是個天文數字。在 x−y 平面上把指數函數畫出
來如圖 1-1 所示。
指數函數的其他例子如細菌的分裂，如果每秒分裂一次，則第 x 秒的
細菌數為 f (x) = 2x，如果這個細菌比較奇特，每秒分裂一次，每次分裂成
三個，則指數函數為 f (x) = 3x，需注意的是，上述例子中橫座標即棋盤的
格子數和時間秒數 x 都是一個一個不連續的點，因此 f (x)也是不連續的
點，稱為不連續函數，如果 x 是連續的，則 f (x)也會是連續函數。
1-4 基礎工程數學
圖 1-1
郭董要嫁女兒，女兒的嫁妝有兩種選擇，一是郭董每天給女兒 100 萬
元，連續一個月；另一是郭董第一天給女兒 1 元，第二天 2 元，第三
天 4 元，以此倍增類推至一個月為止，請問選擇那一個方案較有利？
(1) 第一種方案，S = 100 萬元 /天 30 天 = 3,000 萬元
(2) 第二種方案 f (x) = 2x − 1 元
當 x = 1， f (x) = 1 元
x = 2， f (x) = 2 元
x = 25， f (x) = 16,777,216 元
x = 26， f (x) = 33,554,432 元
x = 30， f (x) = 536,870,912 元
第 26 天，一天就比第一種方案 30 天的總數還要多，故選第二種方案較
有利
1-1
第一講 工程數學的基礎 1-5
某國家人口數的估算於 2000 年到 2010 年可用指數函數 p(t) =
23.21(0.993) t 來表示，其中 p(t)為百萬人口數，t 為年數 (1)試估算該國
2030 年之人口數 (2)試估算該國人口少於 1800 萬人之年數？
(1) p(t) = 23.21(0.993)20 = 20.17(百萬 )
(2) p(t) = 23.21(0.993) t = 18，則 (0.993)t = 1823.21
= 0.77553，解得 t = 36.2
年，故在 2047 年該國人口將少於 1800 萬
C. 自然指數函數
前述指數函數是以任意正數 a 為底，而在實際應用中有一特殊的無理
數也常被拿來當作底數，那就是自然底數 e，記為 ex = b，e 的近似值為 e ≈
2.718281808，這個奇怪的無理數和圓周率 π ≈ 3.141615962 一樣，帶有一
點神祕色彩但卻又和我們密不可分。
圓周率 π的物理意義容易了解，是圓周 S 和其直徑 D 之間的比值，任何不同直
徑的圓，它的圓周和直徑的比值一定相同，都是 π，關係式可以寫為SD
= π或 S = πD。
至於 e 呢？據考證是來自於存款時複利計算而得到的，後來更發現它和自然界中的
許多現象、狀態、定理有著密不可分的關係。
當一個人把數目為 P 的錢存在銀行，銀行會給利率 r，如果以複利計
算，經過 t 年後本利和 S 為
S = P(1 + r) t
如果把每年為週期改為每半年為週期，則利率減半，期數加倍，亦即
S =2
12
trP ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
1-2
1-6 基礎工程數學
如果將週期變得更短，一年 n 期，則
S = 1ntrP
n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
從觀察中可以得知 n 越大則 S 越大。為了簡化起見，假設 P = 1 元，r
為 100%， t 為 1 年，則 S = 11n
n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
當 n 越大時 S 也越大，但計算時卻發現當 n 大到一定程度時，S 卻幾
乎不再增加。
n 1 10 102 103 104 105 106 107
S 2 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 2.71828
由上可知，如果 n 不斷增大，S 不會無限制增大，極限為 2.71828，
此數被稱為自然指數的底 e。
試畫出前述 S = 11n
n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
複利存款本利和與期數 n 之關係圖。
將 n 分別以 1，10，102，103，104，105，代入求 S
1-3
第一講 工程數學的基礎 1-7
試畫出 ( ) xf x e= 的圖形。
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f (x) 0.056 0.135 0.368 1 2.718 7.389 20.086
1-4
1-8 基礎工程數學
1. 若 (3.6)a = (8.8)b = 100，求ab
=？
2. 若 15a = 300，225b = 300，求ab
=？
3. 銀行 A 的存款年利率為 6%，半年計息一次，銀行 B 的存款
年利率為 6.6%，一年計息一次，某人欲將 100 萬元存入 5
年，採複利計算，存在那家銀行較有利？
SA = 100(1.03)10 = 134.39 萬
SB = 100(1.066)5 = 137.65 萬，故存 B 銀行較有利
4. 上題中，若存款 10 年後存在 A 銀行會變得較有利，則 A 銀
行的最低年利率為多少？
5. 試畫出下列各函數圖形
(1) y = 3| x |
(2) y = x2
(3) y = 12
x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
第一講 工程數學的基礎 1-9
二 對數與對數函數
A. 對數
前述的指數函數 f (x) = ax 中，若 f (x)為一個正數 y，則寫為 ax = y，
此時可以說 x 為以 a 為底，真數為 y 的對數，一般記做
x = loga y
對數中若底數 a 為 10，可以簡寫為
x = log10 y = log y
B. 自然對數
指數函數若以自然指數 e 為底，y 為真數，即 ex = y(有時寫為 exp x =
y)，則 x = loge y，可簡寫為 x = ln y。
C. 對數函數
指數函數和對數函數互為反函數，亦即若 f (x) = ex，g(x) = ln x，則 f (x)
和 g(x)互為反函數，記為 f (x) = g−1(x)或 g(x) = f −1(x)，以自然指數和自然
對數為例做比較，可得
指數型式 e0 = 1 e1 = e e−1 = 1e
e2 = 7.398
對數型式 ln1 = 0 ln e = 11lne
= −1 ln 7.398 = 2
試畫出 f (x) = ex 和 g(x) = ln x 之圖形。
將 x 分別以−3，−2，−1，0，1，2，3 代入可得圖形， f (x)和 g(x)分別
對稱於 x = y 直線
1-5
1-10 基礎工程數學
自然指數和自然對數常見之性質如下：
1. f (f −1(x)) = x， f −1(f (x)) = x
2. ln ex = x，e ln x = x
3. ln e3x = 3x，e ln 3x = 3x
4. ln xy = ln x + ln y
5. ln xy
= ln x – ln y
6. ln xn = n ln x
當方程式中含有指數或對數之項次時，即稱為指數方程式或對數方程
式，運用前述定義或性質可以求得解答。
世界第一高樓杜拜塔高 828 公尺，若從海平面算起，在某一高度處之
大氣壓力為 P = 00
exp gxPRT
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
，P0 為一大氣壓，求塔頂之大氣壓力？
假設地表數百公尺間之重力加速度為常數 (g = 9.8m/s2)，溫度亦為常
數 (T0 = 288°K)，氣溫常數 R = 286.9J/kg°K，則
1-6
第一講 工程數學的基礎 1-11
2
0
9.8m/s(286.9J / kg K)(288 K)
gRT
=° °
= 1.186 × 10−4
故得
P = P0e−0.0001186x
當 x = 828 代入得
P = P0e−0.154 = 0.857P0
故塔頂之大氣壓力為 0.857P0
1. 若 log3 9 = a， log5 25 = b，求ab
=？
2. 若 log3 a = log5 b = 100，求ab
=？
3. 試畫出函數 y = 3 + log3 x 之圖形。
4. 求方程試 log3 (x + 2) + log3 x = 5 的解。
5. 試求下列各式之解
(1) 3ex = 12
(2) 3(1 − e−2x) = 9
(3) 1 − e−0.2x = 0.6
(4) e2x – 3 = 6