ตวับ่งปริมาณ · 4.1...

บทท 4

ตวบงปรมาณ

ในบทนจะให

แทนเซตของจ านวนเตม

+ แทนเซตของจ านวนเตมบวก

แทนเซตของจ านวนนบ

แทนเซตของจ านวนตรรกยะ

+ แทนเซตของจ านวนตรรกยะบวก

แทนเซตของจ านวนจรง

+ แทนเซตของจ านวนจรงบวก

ขอความตอไปนเรามกใชกนอยเสมอ

“นสตทกคนในมหาวทยาลยเกษตรศาสตรแตงกายเรยบรอย”

“สามเหลยมดานเทาทกรปเปนสามเหลยมหนาจว”

“สามเหลยมหนาจวบางรปเปนสามเหลยมดานเทา”

“แตละจ านวนเตม x จะไดวา 0x2 ”

ค าวา “ทกๆ” “ทงหมด” “แตละ” และ ค าวา “บาง” เรยกวา ตวบงปรมาณ

(quantifier) พบวาประโยคบางประโยคไมเปนประพจน เชน

06x5x2

จะเหนวาประโยคขางบนเกยวของกบตวแปร x เราจงเรยกประโยคขางบนวา ประโยคเปดหรอขอความฟงกชน

บทนยาม 4.1 ประโยคเปดหรอขอความฟงกชน (open statement or predicate) คอประโยคซงมสมบตตอไปน

1. ประกอบดวยตวแปรตงแตหนงตวขนไป

2. ไมใชประพจน

3. จะเปนประพจนเมอแทนคาตวแปรทปรากฏอยท งหมดดวยคาบางคาในเอกภพ สมพทธ

รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

ตวอยาง 4.1 1. 06x5x2 เปนประโยคเปดทม x เปนตวแปรอสระและใช

สญลกษณเหมอนเปนฟงกชน เขยนแทนดวย

06x5x:)x(p 2

หมายถง “p(x) แทนขอความ 06x5x2 ” และเมอแทนคา x ดวยจ านวนใด

จ านวนหนง แลวจะท าใหประโยคเปดนเปนประพจน เชน 06)1(5)1(:)1(p 2 เปนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

06)2(52:)2(p 2 เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง

2. 22 y6xy5x เปนประโยคเปดทม x และ y เปนตวแปรอสระและ

เขยนแทนดวย

22 y6xy5x:)y,x(p

ถาแทน y ดวย 2 ได 22 26x10x:)2,x(p เปนประโยคเปดทม x เปนตวแปรอสระ

ถาแทน x ดวย 1 ได 22 y6y51:)y,1(p เปนประโยคเปดทม y เปนตวแปรอสระ

แตถาแทนคาทง x และ y ในประโยคเปด p(x, y) กจะไดประพจน เชน 22 26)2)(1(51:)2,1(p เปนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

22 16)1)(10(510:)1,10(p เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง

ประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว

พจารณาประพจนประโยคเปดทมตวแปรเพยงตวเดยว เชน

06x5x2

เมอใสตวบงปรมาณเขาไปแลวจะท าใหประโยคเปดนนกลายเปนประพจน เชน

ส าหรบทกจ านวนจรง x, 06x5x2 เปนเทจ

ส าหรบบางจ านวนจรง x, 06x5x2 เปนจรง

มจ านวนจรง x เพยงจ านวนเดยวซงท าให 06x5x2 เปนเทจ

เรยกประพจนทมตวบงปรมาณ วา ประพจนบงปรมาณ แบงตวบงปรมาณออกเปน 2 แบบ คอ

คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

แบบท 1 ตวบงปรมาณทงหมด (universal quantifier)

ในประโยคจะมค าวา “ส าหรบทก” หรอ “ส าหรบทงหมด” หรอ “ส าหรบแตละ”

(for every or for all or for each) หรอวลในท านองเดยวกนน เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ”

ถา p(x) เปนประโยคเปด และ D เปนเอกภพสมพทธของ x ขอความตอไปน เขยนแทนกนได

ส าหรบทก x ใน D, p(x)

ส าหรบแตละ x ใน D, p(x)

ส าหรบ x ทกตวใน D, p(x)

ส าหรบ x แตละตวใน D, p(x)

เขยนแทนดวยสญลกษณ

)x(p,Dx หรอ )]x(p[Dx

หรออาจละเอกภพสมพทธไวในกรณทไมสบสนเกยวกบเอกภพสมพทธโดยเขยนอยในรป

)x(p,x หรอ )]x(p[x

ตวอยาง 4.2 ประพจนบงปรมาณตอไปนมความหมายเหมอนกน

จ านวนเตมทกจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ ส าหรบทก x, ถา x เปนจ านวนเตม แลว x เปนจ านวนตรรกยะ ส าหรบแตละ x, ถา x เปนจ านวนเตม แลว x เปนจ านวนตรรกยะ จ านวนเตมแตละจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ

เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน

x,x x หรอ x[,x x ]

หรอ x x

ขอสงเกต ขอความในต าราคณตศาสตรทงทเปนทฤษฎบทและบทนยามสวนมากจะละตวบงปรมาณ “ ” ไวใหผอานเขาใจเอง เชน

“ถา x เปนจ านวนเตมแลว x เปนจ านวนตรรกยะ” “ 1xcosxsin 22 ”

ขอความทงสองละตวบงปรมาณ “ ” และละเอกภพสมพทธของ x ซงคอ เซตของจ านวนจรงไว นนคอ ขอความแรกหมายถง

“ส าหรบทกจ านวนจรง x, ถา x เปนจ านวนเตมแลว x เปนจ านวนตรรกยะ”

ขอความทสองหมายถง


4

“ส าหรบทกจ านวนจรง x, 1xcosxsin 22 ”

พจารณาขอความ

“ถา BA และ CB แลว CA ”

นนคอ ขอความนละตวบงปรมาณ “ ” ไว ขอความดงกลาวหมายถง “ส าหรบทกเซต A, B และ C ใด ๆ ทเปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ จะไดวา

ถา BA และ CB แลว CA ”

แบบท 2 ตวบงปรมาณมอยางนอยหนง (existential quantifier)

ในประโยคจะมค าวา “ส าหรบบาง” หรอ “ส าหรบอยางนอยหนง” หรอ “มอยางนอยหนง” (for some or there exist) เขยนแทนดวย “ ”

ถา p(x) เปนประโยคเปด และ D เปนเอกภพสมพทธของ x ขอความตอไปนเขยนแทนกนได ส าหรบบาง x ใน D, p(x)

ม x อยางนอยหนงตวใน D, p(x)

ม x ใน D , p(x)

เขยนแทนดวยสญลกษณ

)x(p,Dx หรอ )]x(p[Dx

หรออาจละเอกภพสมพทธไวโดยเขยนอยในรป

)x(p,x หรอ )]x(p[x

ตวอยาง 4.3 ประพจนบงปรมาณตอไปนมความหมายเหมอนกน

มจ านวนตรรกยะอยางนอยหนงจ านวนทเปนจ านวนเตม มจ านวนบางจ านวนเปนจ านวนตรรกยะและเปนจ านวนเตม ส าหรบบาง x, x เปนจ านวนตรรกยะและเปนจ านวนเตม เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน

x,x x หรอ x[x x ]

ขอสงเกต มกใชตวเชอม “และ” ในประโยคทมตวบงปรมาณ

นอกจากนยงมตวบงปรมาณทเฉพาะเจาะจงลงไปอก คอ “ มเพยงหนงเดยวเทานน ”

หรอ “ มเพยงหนง ” (there exists a unique) เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ! ”

เชน


5

“มจ านวนเตม x เพยงจ านวนเดยวเทานน ซง 72x ”

เขยนแทนดวยสญลกษณได x! , 72x

ตวอยาง 4.4 ตวอยางของประพจนทอยในรปขอความและรปสญลกษณ

1. ถาให A แทนเซตของสามเหลยมดานเทา และ B แทนเซตของสามเหลยมหนาจวประพจน : สามเหลยมดานเทาทกรปเปนสามเหลยมหนาจว

สญลกษณ : ]BxAx[x

ประพจน : สามเหลยมหนาจวบางรปเปนสามเหลยมดานเทา สญลกษณ : ]AyBy[y

2. ประพจน : แตละจ านวนเตม x จะไดวา 0x2

สญลกษณ : x , 0x2 หรอ x[x ]0x2

3. ประพจน : ม x เพยงจ านวนเดยวเทานนซง x + 3 = 5

สญลกษณ : 53x,x!

4. ประพจน : มจ านวนเตมบวกบางจ านวน ซง x2 = 5

สญลกษณ : x +, 5x2

คาความจรงของประพจนบงปรมาณทมตวเพยงแปรเดยว

บทนยาม 4.2 ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ในการแทนท x

ดวยสมาชก a ทกตวใน D แลวท าให p(a) มคาความจรงเปนจรง ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ มสมาชก a อยางนอย

หนงตวในเซต D ซงท าให p(a) มคาความจรงเปนจรง ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ มสมาชก b บางตวใน

D ทท าให p(b) เปนเทจ ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอแทน x ดวยสมาชก b

ทกตวใน D แลวท าให p(b) เปนเทจ


6

ตวอยาง 4.5 ให D = {1, 2, 3, 4} และ S = {-1, 0, 1, 2} p(x) : x < 3

จงพจารณาคาความจรงของประพจนบงปรมาณตอไปน 1. )x(p,Dx 2. )x(p,Sx

3. )x(p,Dx 4. )x(p,Sx

วธท า 1. เนองจาก p(3) เปนเทจ โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Dx เปนเทจ

2. เนองจาก p(-1), p(0), p(1) และ p(2) เปนจรง นนคอ )2(p)1(p)0(p)1(p เปนจรง

โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx เปนจรง

3. เนองจาก p(2) เปนจรง นนคอ )4(p)3(p)2(p)1(p เปนจรง โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Dx เปนจรง

4. เนองจาก p(-1) เปนจรง โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx เปนจรง

5. เนองจาก p(3), p(4), p(5) เปนเทจ นนคอ )5(p)4(p)3(p เปนเทจ โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx

ขอสงเกต 1. ถาให }x,...,x,x{D n21 แลวจะไดวา

)x(p,Dx เปนจรง )x(p...)x(p)x(p n21 เปนจรง

)x(p,Dx เปนจรง )x(p...)x(p)x(p n21 เปนจรง

2. ถาเอกภพสมพทธ D แลวจะไดวา )x(p,Dx เปนจรง แต )x(p,Dx เปนเทจเสมอ

ตวอยาง 4.6 จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน 1. 91x1,}8,6,4,2,0{x

2. x , xx2

3. x , 104x

4. 3x,}3,2,1,0{x

วธท า


7

นเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว

ตอไปเราจะหานเสธของขอความ )x(p,Dx และ )x(p,Dx เพราะใน

บางครงเรากจ าเปนตองใชนเสธของประพจนบงปรมาณในการหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณดวย

จากบทนยาม 4.2 กลาววา ถา )x(p,Dx เปนเทจ แลวตองมสมาชก x

บางตวใน D ทท าให p(x) เปนเทจ ดงนนได )x(p~,Dx)]x(p,Dx[~

ดวยเหตผลท านองเดยวกน เราจงไดนเสธของประพจนบงปรมาณ ดงบทนยามตอไปน บทนยาม 4.3 )x(p~,Dx)]x(p,Dx[~

)x(p~,Dx)]x(p,Dx[~

ตวอยาง 4.7 จงหานเสธของขอความตอไปน

1. ขอความ : )x(q)x(p,Dx

นเสธ : )]x(q)x(p,Dx[~

))x(q)x(p(~,Dx (บทนยาม 4.3)

)x(q~)x(p~,Dx (เดอรมอแกน)

2. ขอความ : )]x(p,x[)]x(q~,x[

นเสธ : ])]x(p,x[)]x(q~,x[[~

])]x(p,x[~)]x(q~,x[ (T12 ขอ ข.)

)]x(p~,x[~)]x(q~,x[ (บทนยาม 4.3)

3. ขอความ : )]x(r)x(q)x(p[x

นเสธ :


8

เนอหาการพสจน

4. ขอความ : ส าหรบ x ทกตวทอยในเซต A จะท าให 5)x(f

สญลกษณ :

นเสธ :

ขอความ :

5. ขอความ : มจ านวนบวก y ซงท าให 1yg0


นเสธ :

ขอความ :

การพสจนประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว

จากบทนยาม 4.2 ไดวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง กตอเมอ แทนท x

ดวยสมาชก a ทกตวใน D แลวท าให p(a) เปนจรง และประพจน )x(p,Dx เปนจรง

กตอเมอ แทนท x ดวยสมาชก a บางตวใน D แลวท าให p(a) เปนจรง ส าหรบกรณทเซต D มสมาชกไมมาก เราอาจใชวธแทนท x ดวยสมาชก a แตละ

ตว แลวพจารณาวา p(a) เปนจรงหรอไม ดงทไดแสดงในตวอยาง 4.6 แตคงไมสะดวกหรอท าไมไดในกรณท D เปนเซตทมสมาชกจ านวนมากหรออนนตตว ปญหาคอแลวเราจะแสดงไดอยางไรจงจะสามารถแทนท x ดวยสมาชก a ทกตวในเซต D ไดทงหมด ในกรณเชนน

การพสจนวาประพจนบงปรมาณเปนจรงท าไดดงน

การพสจนวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง เรมตนโดยการสมมตให x เปน

สมาชกใด ๆ ในเซต D ซงหมายถง x เปนสมาชกใน D ทตรง (fixed) และแทนสมาชกตวใดกได (arbitrary) ในเซต D น แลวใหเหตผลในทางตรรกศาสตรเพอแสดงวา p(x) เปนจรง มโครงรางการพสจน ดงน

การพสจน )x(p,Dx เปนจรง

พสจน สมมตวา x เปนสมาชกใด ๆ ในเซต D

เพราะฉะนน p(x)

นนคอ )x(p,Dx


9

เนอหาการพสจน

ตวอยาง 4.10 จงพสจนวา x , 1x3x3x)1x( 233

พสจน ให x เปนจ านวนจรงใด ๆ ดงนนได

23 )1x)(1x()1x(

)1x2x)(1x( 2

1x3x3x 23

นนคอ x , 1x3x3x)1x( 233

การพสจนวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง เรมตนโดยการเลอก a ทเปนสมาชก

ในเซต D ตวใดตวหนงอยางนอยหนงตวทท าให p(a) เปนจรง มโครงรางการพสจน ดงน

การพสจน )x(p,Dx เปนจรง

พสจน เลอก x = a ซงเปนสมาชกในเซต D

เพราะฉะนน p(a)

นนคอ )x(p,Dx

ตวอยาง 4.11 จงพสจนวา x , 03x2x2

พสจน เลอก 1x ซงเปนจ านวนเตม จะไดวา 3)1(213x2x 22

0

นนคอ x , 03x2x2

จากบทนยาม 4.2 ไดวาประพจน )x(p,Dx เปนเทจ กตอเมอ มสมาชก b

บางตวใน D ทท าให p(b) เปนเทจ และประพจน )x(p,Dx เปนเทจ กตอเมอ

แทน x ดวยสมาชก b ทกตวใน D แลวท าให p(b) เปนเทจ ดงนนส าหรบการแสดงวาประพจน )x(p,Dx หรอ ประพจน )x(p,Dx เปนเทจนน เราจะพสจนวานเสธ

ของประพจนดงกลาวเปนจรงแทน ดงตวอยางตอไปน


10

ตวอยาง 4.12 จงพจารณาวา ทกจ านวนจรง x จะท าให xx2 เปนจรงหรอไมพรอมพสจนค าตอบ พสจน เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน

ตวอยาง 4.13 จงพจารณาวา มบางจ านวนจรง x จะท าให 01xx2 เปนจรงหรอไมพรอมพสจนค าตอบ พสจน เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน


11

การสมมลกนของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว

ตวอยาง 4.13 ให }5,4,3,2,1{D

p(x) แทนขอความ 4x q(x) แทนขอความ 4x

จงหาคาความจรงของ 1. )x(p,Dx

2. )x(q,Dx

3. )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ )]x(q)x(p[Dx

4. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[

พสจน

ขอสงเกต จากตวอยาง 4.13 จะเหนวา ประพจนบงปรมาณ )]x(q)x(p[Dx กบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ ใชแทนกนไมได

นนคอ )]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )x(p,Dx )]x(q,Dx[

หรออาจกลาวไดวาไมสามารถแจกแจง “ ” เขาไปในตวเชอม “ ” ได ท าไมจงเปนเชนนได


12

ให }2,1{D พจารณาประพจน )]x(q)x(p[Dx

หมายถง )]2(q)2(p[)]1(q)1(p[ (4.1)

แตประพจน

[ )x(p,Dx ] )]x(q,Dx[

หมายถง )]2(q)1(q[)]2(p)1(p[ (4.2)

จะเหนวาประพจน (4.1) ไมสมมลกบประพจน (4.2) เนองจากการสลบอนดบของ “ ” กบ “ ” จะไดประพจนทตางกน

ดวยเหตผลท านองเดยวกน จะไดประพจน

)]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[

)]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[

การสมมลของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเดยว

ทฤษฎบท 4.1 ให )x(p และ )x(q เปนประพจนใด ๆ จะไดวา 1. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[


3. )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ )]x(q)x(p[Dx


5. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[

หมายเหต ส าหรบขอ 3. หมายความวา ถา )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ เปนจรง

แลวจะท าให )]x(q)x(p[Dx เปนจรงดวย

แตในทางกลบกน ถา )]x(q)x(p[Dx เปนจรง แลว

)]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ อาจเปนเทจได


13

แบบฝกหด 4.1 1. จงเขยนประโยคตอไปนในรปสญลกษณทางตรรกศาสตร

1.1 ทกจ านวนค n จะมจ านวนเตม k ซงท าให n = 2k

1.2 ส าหรบทกสมาชก y ทอยใน B จะมสมาชก x ทอยใน A ซงท าให y = f(x)

1.3 ส าหรบแตละ x ทอยในโดเมนของ f และทก 0 จะม 0 ซงท าให

ไดวา ถา cx แลว Lxf

1.4 ส าหรบแตละสมาชก x ทอยใน G จะมสมาชก x ทอยใน G ซงท าให

exx

1.5 ถาทกจ านวนเตมเปนจ านวนค แลวจะไดวาทกจ านวนเตมเปนจ านวนค

2. จงหานเสธของขอ 1.

3. จงพสจนทฤษฎบท 4.1 ขอ 2. ขอ 3. และขอ 5.

4. จงยกตวอยางคานเพอแสดงใหเหนวาประพจนบงปรมาณตอไปนเปนเทจ 4.1 )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[

4.2 )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[ )]}x(q)x(p[Dx{

4.3 )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[ )]}x(q)x(p[Dx{

5. จงหาคาความจรงประพจนตอไปนพรอมพสจนค าตอบ

5.1 x , 34x2

5.2 x , 34x2

5.3 x )]xx()01x2x[( 22

5.4 x , 020xx2

5.5 x , 12x3

5.6 ( x , xx2 ) x( , 03xx2

5.7 x , )01x20x(

5.8 x , )01x( 2 x , 5x2x4 2


14

ประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว

ขอความทางคณตศาสตรหลายขอความทเกยวของกบตวบงปรมาณมากกวาหนงตว เชน

ส าหรบทกจ านวนนบ x จะมจ านวนเตม y ทท าให xyx 22

ทกจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก ซง ส าหรบทกจ านวนจรง x ถา 2x แลวจะได x2x2

พจารณาประพจนบงปรมาณดงกลาว จะเหนวามตวบงปรมาณซอนกนอย เขยนอยในรปสญลกษณได ดงน x y , xyx 22

+ + x , 2x x2x2

ตามล าดบ

ตวบงปรมาณทใชก ากบในประพจนบงปรมาณตองมจ านวนเทากบจ านวนตวแปรอสระทปรากฏในประโยคเปด และในการหาคาความจรงและการพสจนประพจนบงปรมาณพจารณาในท านองเดยวกนกบประพจนทมตวบงปรมาณเพยงตวเดยว

ตวอยาง 4.15 ตวอยางของประพจนทอยในรปขอความและรปสญลกษณ

1. ขอความ : ส าหรบทกจ านวนเตม x และ y ใดๆ จะไดวา 0yx

สญลกษณ : x y , 0yx

หรอ y,x , 0yx

2. ขอความ : มจ านวนเตม x และ y บางจ านวนทท าให 0yx


หรอ y,x , 0yx

3. ขอความ : ไมวา x จะเปนจ านวนเตมใด ๆ จะมจ านวนเตม y

อยางนอยหนงจ านวนทท าให x + y = 0



15

4. ขอความ : มจ านวนเตม y อยางนอยหนงจ านวนซงท าให x + y = 0 ส าหรบจ านวนเตม x ทกจ านวน


5. ขอความ : ถา Nn แลว 3)x(f)x(fn ทก x ทอยในเซต A


6. ประพจน : ทกจ านวนจรงบวก M จะมจ านวนจรงบวก N ซง M

1N


พจารณาประพจนบงปรมาณทมสองตวแปร และตวบงปรมาณทงสองตวตางกน คอ )y,x(p,TySx

ประพจนน สมมลกบ

)]y,x(p,Ty[Sx

ถาให }2,1{S และ }4,3{T เราจะใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” กอนดงน )]y,2(p,Ty[)]y,1(p,Ty[

แลวจงใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” ไดประพจนทสมมลกน คอ )]4,2(p)3,2(p[)]4,1(p)3,1(p[ (4.3)

ตอไปพจารณาในท านองเดยวกนส าหรบประพจน )y,x(p,SxTy

สมมลกบประพจน

])y,x(p,Sx[Ty

เราจะใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” กอนไดประพจนทสมมลกน คอ )]4,x(p,Sx[])3,x(p,Sx[

แลวจงใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” จะไดประพจนทสมมล คอ )]4,2(p)4,1(p[])3,2(p)3,1(p[ (4.4)

พจารณา (4.3) และ (4.4) จะเหนวาประพจนทงสองไมสมมลกน เนองจากถาให )4,1(p และ )3,2(p เปนจรงทงค

)3,1(p และ )4,2(p เปนเทจทงค

จะไดวา ประพจน (4.3) เปนจรง แตประพจน (4.4) เปนเทจ นนคอ ประพจน )y,x(p,TySx กบ )y,x(p,SxTy ไมสมมลกน


16

ดงนนผเรยนตองระมดระวงเปนอยางมากในการสลบอนดบของตวบงปรมาณ เนองจากถาพจารณาไมรอบคอบแลวใชเพยงความรสกโดยไมใชหลกในการใหเหตผลทถกตองจะดเหมอนวาประพจนทงสองนใชแทนกนได แตในความเปนจรงแลวประพจนทงสองมความหมายตางกนมาก โดยพจารณาดงน

ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง หมายความวา ส าหรบแตละ x

ใน S จะตองม y0 อยางนอยหนงตวใน T ทท าให p(x, y0) เปนจรง ในกรณน y0 จะขนกบ x

ส าหรบประพจน )y,x(p,SxTy จะเปนจรง เมอม y0 บางตวใน T ท

ส าหรบ x ทกตวใน S จะท าให p(x, y0) เปนจรง ในกรณน y0 จะไมขนกบ x เพอใหเขาใจยงขน พจารณาตวอยางตอไปน

ให S = T เปนเซตของคนทงหลายและ p(x, y) แทนขอความ y เปนพอของ x

ดงนนประพจน

)y,x(p,TySx

หมายถง “ไมวา x จะเปนใครกตามจะตองมคนอยางนอยหนงคนคอ y ซง y เปนพอของ x”

หรอ กลาวไดอกแบบวา “คนทกคนตองมพอ” (แตละคนอาจมพอคนเดยวกนหรอตางกนกได) ซงเปนประพจนทเปนจรง ในขณะทประพจน

)y,x(p,SxTy

หมายถง “มคนอยางนอยหนงคนซงเปนพอของคนทกคนรวมถงตวเองดวย” ซงเปนเทจ จากตวอยางน จะเหนไดชดวาประพจนทงสองมความหมายทตางกน

ถาสมมตใหประพจน )y,x(p,SxTy เปนจรง จะไดวา ประพจน

)y,x(p,TySx เปนจรงดวย นนคอ

)y,x(p,SxTy )y,x(p,TySx เปนจรงเสมอ

แตในกรณกลบ ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง แลวไมจ าเปนวาประพจน

)y,x(p,SxTy จะเปนจรงดวย

จากตวอยาง 4.15 ไดวา ขอความ 3. อยในรป x y , 0yx เปนจรง แต

ขอความ 4. อยในรป y x , 0yx เปนเทจ

ดงนนไดขอสรป คอ ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง แลวประพจน

)y,x(p,SxTy อาจไมเปนจรงดวย นนคอ

)y,x(p,TySx )y,x(p,SxTy เปนเทจ


17

ขอสงเกต จากกฎการสลบทเปนจรงส าหรบตวเชอม กบ ท าใหแสดงไดวาสามารถสลบอนดบของสองตวบงปรมาณทเปนแบบเดยวกนได ดงนนสรปไดวา

1. )y,x(p,SxTy)y,x(p,TySx

2. )y,x(p,SxTy)y,x(p,TySx

3. )]y,x(p,TySx[)]y,x(p,SxTy[

นเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว

นยามในท านองเดยวกบนเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเดยว

)y,x(p~,TySx)]y,x(p,TySx[~




)z,y,x(p~,WzTySx)]z,y,x(p,WzTySx[~

ตวอยาง 4.16 จงเขยนประพจนบงปรมาณตอไปนใหอยในรปสญลกษณ และหานเสธทงในรปสญลกษณและในรปขอความ

1. ขอความ : มจ านวนจรง x บางจ านวนทส าหรบทกจ านวนจรง y ท าให 222 yxyx

สญลกษณ : x y , 222 yxyx

หรอ 222 yxyx,yx

นเสธ : 222 yxyx,yx

2. ขอความ : มจ านวนจรง x และ y บางตวซง x = 2y

สญลกษณ : y2x,yx

นเสธ : y2x,yx

3. ขอความ : ส าหรบจ านวนเตม x, y และ z ใด ๆ จะท าให

(x + y) + z = x + (y + z)

สญลกษณ : นเสธ :


18

4. สญลกษณ : y,x , )0y0x()0xy(

นเสธ :

5. สญลกษณ : N0 n ])x(f)x(f,SxNn[ n

นเสธ :

การพสจนประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว

ตวอยาง 4.17 จงหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณตอไปนพรอมทงพสจนค าตอบ

1. }2,1{x }2,1{y yxx,

2. xyyx,yx 2

3. yx},2,1,0{y}1,0,1{x

4. 333 xyxy,yx

5. y,x ]xyyx[ 22

6. y,x , yxyx

7. 0y2xy3x,xy 22

8. 0y2xy3x,yx 22

9. zzyx,zyx

10. ]53x251x1[00


19

แบบฝกหด 4.2

1. ให p(x, y) : x + 2 > y จงหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณ

ตอไปน พรอมพสจนค าตอบ

1.1 x y , y,xp

1.2 x y , y,xp

1.3 x y , y,xp

1.4 x y , y,xp

2. จงพสจนวาขอความตอไปนเปนเทจโดยยกตวอยางคาน

2.1 x y ]yxyx[ 22

2.2 x y ]yxyx[

2.3 x - {0} y - {0} ]yxyx[ 22

2.4 x y ]0yx0y0x[

2.5 ทกจ านวนเตมบวก n จะไดวา 13nn2 เปนจ านวนเฉพาะ

3. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ พรอมพสจนค าตอบ

3.1 x y ]1yx[

3.2 x y , 1yx

3.3 x y ]yxy[

3.4 x - {0} y ]xxy[ x y ]yx[

3.5 y,x +

])2xy

xy()0y3xy10x3()yx([ 22

3.6 x y , 2yx34x2

3.7 b,a - {0},

ba

ba+ -

b

1

a

1+

3.8 x1z y , x(y + z) = xyz

3.9 x y , 1x2y 2


20

3.10. x y , 1x2y 2

3.11 x y , 1x2y 2

3.12 x y , 1x2y 2

3.13 x y , xyx

3.14 y,x z , z = 2x – 3y

3.15 x y , 9x

y

3.16 x y , 1xy

3.17 x y , 1xy

3.18 c,b,a x , 0cbxax2

4. จงพสจนวา ทกจ านวนจรง z ซง z > 3 จะมจ านวนจรงบวก x และ y ซงไมเทากน ทท าให

y2

3y2

x2

3x2z

22

ตวับ่งปริมาณ · 4.1...

Documents