判断下图中带电粒子（电量 q 重力不计）所受洛伦兹力的大小和方向

- B v + v

times times times times times

times times times times times

times times times times times

times times times times times

times times times times times

B F

一运动形式1 匀速直线运动

2 匀速圆周运动

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力就是它做圆周运动的向心力

学生自己推导半径和周期表达式

（ 3 ）粒子运动方向与磁场有一夹角 （大于 0 度小于 90度）轨迹为螺线

例题一个质量为 m 电荷量为 q 的粒子从容器下方的小孔 S1 飘入电势差为 U 的加速电场然后经过 S

3 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中最后打到照相底片 D 上（图 36-4 ）⑴ 求粒子进入磁场时的速率⑵ 求粒子在磁场中运动的轨道半径质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的他用质谱仪发现了氖 20 和氖 22 证实了同位素的存在现在质谱仪已经是一种十分精密的仪器是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力就是它做圆周运动的向心力

学生自己推导半径和周期表达式

（ 3 ）粒子运动方向与磁场有一夹角 （大于 0 度小于 90度）轨迹为螺线

例题一个质量为 m 电荷量为 q 的粒子从容器下方的小孔 S1 飘入电势差为 U 的加速电场然后经过 S

3 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中最后打到照相底片 D 上（图 36-4 ）⑴ 求粒子进入磁场时的速率⑵ 求粒子在磁场中运动的轨道半径质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的他用质谱仪发现了氖 20 和氖 22 证实了同位素的存在现在质谱仪已经是一种十分精密的仪器是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具

（ 3 ）粒子运动方向与磁场有一夹角 （大于 0 度小于 90度）轨迹为螺线

例题一个质量为 m 电荷量为 q 的粒子从容器下方的小孔 S1 飘入电势差为 U 的加速电场然后经过 S

3 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中最后打到照相底片 D 上（图 36-4 ）⑴ 求粒子进入磁场时的速率⑵ 求粒子在磁场中运动的轨道半径质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的他用质谱仪发现了氖 20 和氖 22 证实了同位素的存在现在质谱仪已经是一种十分精密的仪器是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具

例题一个质量为 m 电荷量为 q 的粒子从容器下方的小孔 S1 飘入电势差为 U 的加速电场然后经过 S

3 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中最后打到照相底片 D 上（图 36-4 ）⑴ 求粒子进入磁场时的速率⑵ 求粒子在磁场中运动的轨道半径质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的他用质谱仪发现了氖 20 和氖 22 证实了同位素的存在现在质谱仪已经是一种十分精密的仪器是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具

带电粒子在汽泡室运动径迹的照片有的粒子运动过程中能量降低速度减小径迹就呈螺旋形

2 回旋加速器

1 直线加速器

2 回旋加速器

1 直线加速器

带电粒子在匀强磁场中的运动

练习回旋加速器中磁场的磁感应强度为 BD形盒的直径为 d用该回旋加速器加速质量为m电量为 q的粒子设粒子加速前的初速度为零求（ 1） 粒子的回转周期是多大（ 2）高频电极的周期为多大（ 3） 粒子的最大动能是多大

（ 4） 粒子在同一个 D形盒中相邻两条轨道半径之比

1 如图所示一束电子（电量为 e ）以速度 v垂直从 A 点射入磁感应强度为 B 宽度为 d 的匀强磁场中且与磁场的边界垂直通过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30deg 则电子的质量是 通过磁场的时间是 300

v

B

A B

v

d

一磁场作用下粒子的偏转

1 如图虚线上方存在无穷大的磁场一带正电的粒子质量 m电量 q若它以速度 v沿与虚线成300 600 900 1200 1500 1800 角分别射入请你作出上述几种情况下粒子的轨迹并求其在磁场中运动的时间

二有界磁场问题

入射角 300 时

qB

m

qB

mt

3

2

6

1

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

练习回旋加速器中磁场的磁感应强度为 BD形盒的直径为 d用该回旋加速器加速质量为m电量为 q的粒子设粒子加速前的初速度为零求（ 1） 粒子的回转周期是多大（ 2）高频电极的周期为多大（ 3） 粒子的最大动能是多大

（ 4） 粒子在同一个 D形盒中相邻两条轨道半径之比

1 如图所示一束电子（电量为 e ）以速度 v垂直从 A 点射入磁感应强度为 B 宽度为 d 的匀强磁场中且与磁场的边界垂直通过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30deg 则电子的质量是 通过磁场的时间是 300

v

B

A B

v

d

一磁场作用下粒子的偏转

1 如图虚线上方存在无穷大的磁场一带正电的粒子质量 m电量 q若它以速度 v沿与虚线成300 600 900 1200 1500 1800 角分别射入请你作出上述几种情况下粒子的轨迹并求其在磁场中运动的时间

二有界磁场问题

入射角 300 时

qB

m

qB

mt

3

2

6

1

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

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C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

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times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

1 如图所示一束电子（电量为 e ）以速度 v垂直从 A 点射入磁感应强度为 B 宽度为 d 的匀强磁场中且与磁场的边界垂直通过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30deg 则电子的质量是 通过磁场的时间是 300

v

B

A B

v

d

一磁场作用下粒子的偏转

1 如图虚线上方存在无穷大的磁场一带正电的粒子质量 m电量 q若它以速度 v沿与虚线成300 600 900 1200 1500 1800 角分别射入请你作出上述几种情况下粒子的轨迹并求其在磁场中运动的时间

二有界磁场问题

入射角 300 时

qB

m

qB

mt

3

2

6

1

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

1 如图虚线上方存在无穷大的磁场一带正电的粒子质量 m电量 q若它以速度 v沿与虚线成300 600 900 1200 1500 1800 角分别射入请你作出上述几种情况下粒子的轨迹并求其在磁场中运动的时间

二有界磁场问题

入射角 300 时

qB

m

qB

mt

3

2

6

1

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

入射角 300 时

qB

m

qB

mt

3

2

6

1

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

入射角 1500 时

qB

m

qB

mt

3

52

6

5

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

粒子在磁场中做圆周运动的对称规律从同一直线边界射入的粒子从同一边界射出时速度与边界的夹角相等

1 两个对称规律

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

2 图中 MN 表示真空室中垂直于纸面的平板它的一侧有匀强磁场磁场方向垂直纸面向里磁感应强度大小为 B 一带电粒子从平板上的狭缝 O处以垂直于平板的初速 v 射入磁场区域最后到达平板上的 P 点已知 B v 以及 P 到 O 的距离 l 不计重力 求此粒子的电荷 q 与质量 m 之比

P OM N

B

v

l

解粒子初速 v 垂直于磁场粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动设其半径为 R

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律 有 qvB=mv2R

因粒子经 O 点时的速度垂直于 OP 故 OP 是直径 l=2R

由此得 qm=2v Bl

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

2 如图所示在 ylt0 的区域内存在匀强磁场磁场方向垂直纸面向外磁感应强度为 B 一个正电子以速度 v 从 O 点射入磁场入射方向在 xy 平面内与 x 轴正向的夹角为 θ 若正电子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求正电子的电量和质量之比

思考如果是负电子 那么两种情况下的时间之比为多少

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

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C

D

E

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V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

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C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

4 如图所示在第一象限有磁感应强度为 B的匀强磁场一个质量为 m 带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点射入磁场 θ 角已知求粒子在磁场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力不计）

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

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O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

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L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

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C

D

E

F

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V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

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times times times

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C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

圆形磁场区 画好辅助线（半径速度轨迹圆的圆心连心线）

vr

Ar

vA

vR

O

θ

θ偏角R

r

2

θtan

经历时间qB

mθt

注意对称性在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子必沿径向射出

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

3 如图所示在半径为 r 的圆形区域内有一个匀强磁场一带电粒子以速度 v0 从 M 点沿半径方向射入磁场区并由 N 点射出 O 点为圆心angMON=120deg 求粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间（粒子重力不计）

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

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times times times

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C

D

E

F

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V

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（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

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C

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分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

4电视机的显像管中电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为 U的加速电场后进入一圆形匀强磁场区如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为 O半径为 r当不加磁场时电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘P需要加磁场使电子束偏转一已知角度 θ此时磁场的磁感应强度 B 应为多少

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

5 如图所示比荷为 em 的电子垂直射入宽为 d 磁感应强度为 B 的匀强磁场区域则电子能穿过这个区域至少应具有的初速度 v0 大小为多少

总结临界条件的寻找是关键2 临界问题

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

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C

D

E

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（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

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C

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分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

3 长为 L的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图所示磁场强度为 B 板间距离也为 L板不带电现有质量为m电量为 q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度 v 平行极板射入磁场欲使粒子不打在极板上则粒子入射速度 v 应满足什么条件

+q

m v

L

L

B

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

meθ

V

d

（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 2 如图所示匀强磁场的磁感应强度为 B 宽度为 d 边界为 CD 和 EF 一电子从 CD 边界外侧以速率 V0 垂直射入匀强磁 场 入射方向与 CD 边界间夹

角为 θ 已知电子的质量为m 电量为 e 为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出求电子的速率 V0至少多大

timestimes times

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C

D

E

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（ 1 ）速度方向一定大小不定

关键先画圆心轨迹再画圆轨迹寻找临界情形

V0θ

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C

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分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

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mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

V0θ

θ o

times times times

times times times

times times times

times times times

times times times

C

D

E

F

分析当入射速率很小时电子在磁场中转动一段圆弧后又从一侧射出速率越大轨道半径越大当轨道与边界相切时电子恰好不能从射出如图所示电子恰好射出时由几何知识可得

r+rcosθ=d ① r=mv0

Be ②又

解得 V0=Bed

（ 1+cos

θ ）m

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 3 一个质量为m带电量为 q的带正电粒子（不计重力）从 O点沿＋ y方向以初速度 v0 射入一个边界为矩形的匀强磁场中磁场方向垂直于 xy平面向内它的边界分别是 y ＝ 0 y ＝ a x＝－ 15a x ＝ 15a如图 7所示改变磁感应强度 B 的大小粒子可从磁场的不同边界面射出并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变试讨论粒子可以从哪几个边界射出从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度各在什么范围内

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 4 如图所示电子源 S 能在图示纸面上 360deg度范围内发射速率相同的电子（质量为 m 电量为 e ） MN 是足够大的竖直挡板与 S 的水平距离 OS=L 挡板左侧是垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场

（ 1 ）要使放射的电子可能到达挡板电子的速度至少为多大

（ 2 ）若 S发射的电子速率为 eBLm时挡板被电子击中的范围有多大

（ 2 ）速度大小一定方向不定

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 5 一匀强磁场宽度 d=16cm磁感应强度 B=05T电子源在 A 点以速度大小 v=10times1010m发射电子在纸面内不同方向从 A 点射入磁场（足够大）中且在右侧边界处放一荧光屏（足够大）电子的比荷 em=2times1011ckg求电子打中荧光屏的区域的长度

A

变化如果在 A 点左侧无磁场问题同上

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

d

B

v

A

B

C

R

mvBev

2

解由牛顿第二定律得

R=10cm ②由题意得电子打到荧光屏上的区域为图中 BC之间的区域由几何关系 BC=2AB③

AB= ④22 )( RdR

代入数据得BC=16cm⑤

o o1①

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 6一匀强磁场磁场方向垂直于 xy平面在xy平面上磁场分布在以 O为中心的一个圆形区域内一个质量为m电荷为 q的带电粒子由原点 O开始运动初速为 v 方向沿 x正方向后来粒子经过 y轴上的 P点此时速度方向与 y轴的夹角为 30ordm P到 O的距离为 L如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度 B 的大小和 xy平面上磁场区域的半径 R 求磁场区域关键在于定圆轨迹

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

三带电粒子在复合场中的运动

例 1 如图所示实线表示在竖直平面内的匀强电场的电场线电场线与水平方向的夹角为 α水平方向的匀强磁场与电场线正交有一带电液滴沿斜向上的虚线 L做直线运动 L与水平方向的夹角为 β且 αgtβ则下列说法中正确的是A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带负电C 电场线方向一定斜向下D液滴也有可能做匀变速直线运动

（ 1 ）直线运动的情形

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 2 如图套在足够长的绝缘直棒上的小球其质量为m带电量 +q小球可在棒上滑动将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中电场强度为 E磁感应强度为 B 小球与棒的动摩擦因数为 μ求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度

变化 4 假如电场反向判断运动情形

变化 1 小球加速度为最大加速度的一半时的速度

变化 3 小球下滑速度为最大速度一半时的加速度

变化 2 假如 问题同变化 1 qE

mg

2

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

变化 5 如图所示质量是m的小球带有正电荷电量为 q小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上杆与水平方向成θ角与球的动摩擦因数为 μ此装置放在沿水平方向磁感应强度为 B的匀强磁场中若从高处将小球无初速释放求小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

变化 6如图所示在空间存在着水平向右场强为 E的匀强电场同时存在着竖直向上磁感强度为 B 的匀强磁场在这个电磁场共同存在的区域内有一足够长的绝缘杆沿水平方向放置杆上套有一个质量为m带电荷量为 q的金属环已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为且mgltqE现将金属环由静止释放设在运动过程中金属环所带电荷量不变(1) 试定性说明金属环沿杆的运动情况(3)求金属环运动的最大速度的大小(2)求金属环运动的最大加速度的大小

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

变7带负电的小物体 A放在倾角为 θ（ sinθ=06）的绝缘斜面上整个斜面处于范围足够大方向水平向右的匀强电场中如图所示物体 A 的质量为m电量为 -q与斜面间的动摩擦因数为 μ它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半物体 A 在斜面上由静止开始下滑经时间 t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场磁场方向垂直于纸面磁感应强度大小为 B 此后物体 A沿斜面继续下滑距离 L后离开斜面⑴物体 A 在斜面上的运动情况如何说明理由⑵物体 A 在斜面上运动过程中由多少能量转化为内能

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 2 如图 PQ 为一块长为 L 水平放置的绝缘平板整个空间存在着水平向左的匀强电场板的右半部分还存在着垂直于纸面向里的有界匀强磁场一质量为 m 带电量为 q 的物体从板左端 P 由静止开始做匀加速运动进入磁场后恰作匀速运动碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回且电场立即被撤消物体在磁场中仍做匀速运动离开磁场后做匀减速运动最后停在 C 点已知 PC=L4 物体与板间动摩擦因数为 μ 求（ 1 ）物体带何种电荷（ 2 ）物体与板碰撞前后的速度 v1 和 v2

（ 3 ）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 3 如图所示匀强电场的场强 E=4Vm方向水平向左匀强磁场的磁感强度 B=2T方向垂直于纸面向里一个质量为m=1g带正电的小物体 A 从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑当它滑行 h=08m到N点时离开壁做曲线运动运动到 P点时恰好处于平衡状态此时速度方向与水平成450 角设 P与M的高度差 H=16m求

（ 1 ） A 沿壁下滑过程中摩擦力作的功 （ 2 ） P与M的水平距离

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 1 用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀匀强磁场中做简谐运动则

A 当小球每次通过平衡位置时动能相同

B 当小球每次通过平衡位置时速度相同

C 当小球每次通过平衡位置时丝线拉力相同

D 撤消磁场后小球摆动周期变化

（ 2 ）圆周运动情形

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 2 如图所示水平放置的平行金属板 AB 间距为 d 水平方向的匀强磁场为 B 今有一带电粒子在 AB 间竖直平面内作半径为 R 的匀速圆周运动则带电粒子转动方向为 时针速率为

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 3 在光滑绝缘水平面上一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴 O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动磁场方向竖直向下其俯视图如图 9 所示若小球运动到 A 点时绳子突然断开关于小球在绳断开后可能的运动情况以下说法正确的是（ ）

A 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径不变B 小球仍做逆时针匀速圆周运动半径减小C小球做顺时针匀速圆周运动半径不变D小球做顺时针匀速圆周运动半径减小

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 4在如图所示的直角坐标系中 坐标原点 O处固定有正电荷 另有平行于 y轴的匀强磁场一个质量为m带电量为 q的微粒 恰能以 y轴上 P点 (0a0)为圆心做匀速圆周运动 其轨迹平面与xOz平面平行 角速度为ω旋转方向如图中箭头所示 试求匀强的磁感应强度大小和方向

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 5 在竖直放置的光滑绝缘圆环中套有一个带电荷量为一 q质量为m的小环整个装置放在如图所示的正交电磁场中已知 E=mgq 当小环从大环顶无初速下滑时在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 1 如图所示一个质量为 m 带电量为 q 的正离子在 D 处沿着图示的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场此磁场方向垂直纸面向里结果离子正好从离开 A 点距离为 d 的小孔 C 沿垂直于 AC 的方向进入匀强电场此电场方向与 AC 平行且向上最后离子打在 B 处而 B 离 A点距离为 2d （ AB ACperp ）不计粒子重力离子运动轨迹始终在纸面内求（ 1 ）离子从 D 到 B 所需的时间（ 2 ）离子到达 B 处时的动能

（ 3 ）多种运动综合

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 2 如图所示在 x 轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场在 x 轴下方是方向与 y 轴正方向相反的场强为 E 的匀强电场已知沿 x 轴方向跟坐标原点相距为 L 处有一垂直于 x轴的屏MN 现有一质量 m 带电荷量为 -q 的粒子从坐标原点沿 y 轴正方向射入磁场如果想使粒子垂直打在光屏MN 上那么（ 1 ）电荷从坐标原点射入时速度应为多大（ 2 ）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要用多少时间

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 3 如图所示在 y ＞ 0 的空间中存在匀强电场场强沿 y轴负方向在 y ＜ 0 的空间中存在匀强磁场磁场方向垂直 xy平面（纸面）向外一电量为 q质量为m的带正电的运动粒子经过 y轴上 y ＝ h处的点 P1 时速率为 v0 方向沿 x轴正方向然后经过 x轴上 x ＝ 2h处的 P2 点进入磁场并经过 y轴上 y ＝－ 2h处的 P3 点不计重力求

24（ 2 ）粒子到达 P2 时速

度的大小和方向（ 3 ）磁感应强度的大小（ l）电场强度的大小

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

例 4如图所示水平虚线上方有场强为 E1的匀强电场方向竖直向下虚线下方有场强为 E2的匀强电场方向水平向右在虚线上下方均有磁感应强度相同的匀强磁场方向垂直纸面向外 ab是一长为 L的绝缘细杆竖直位于虚线上方 b端恰在虚线上将一套在杆上的带电小环从 a端由静止开始释放小环先加速而后匀速到达 b端环与杆之间的动摩擦因数 v=03环的重力不计 当环脱离杆后在虚线下方沿原方向作匀速直线运动 求 (1)E1 与 E2 的比值

(2) 若撤去虚线下方的电场 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆 圆周半径为 环从 a到 b的过程中克服摩擦力做功 Wf与电场做功 WE之比有多大

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

1 速度选择器如图在平行板电容器中电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直具有某一速度 v 的带电粒子将沿虚线通过不发生偏转而其它速度的带电粒子将发生偏转这种器件能把上述速度为v 的粒子选择出来所以叫速度选择器试证明带电粒子具有的速度 v=EB 才能沿图示的虚线通过

四几种实际应用

2 霍尔效应如图厚度为 h 宽度为 d 的导体板放在垂直于它的磁感应强度为 B 的匀强磁场中当电流通过导体时在导体板的上侧面 A 和下侧面 Aprime 之间会产生电势差这种现象称为霍尔效应实验表明当磁场不太强时电势差为 U 电流 I 和 B 的关系为 U=KIBd 式中的比例系数 K 为霍尔系数设电流 I 是电子的定向移动形成的电子的平均定向速度为 v 电量为 e 回答以下问题

（ 1 ）达到稳定状态时导体板上侧面 A 的电势 下侧面 Aprime 的电势（填ldquo高于rdquoldquo低于rdquo或ldquo等于rdquo）

（ 2 ）电子所受洛伦兹力的大小为 （ 3 ）当导体板上下两侧之间的电势差为 U 时电子所受静电力的大小为

（ 4 ）证明霍尔系数为 K=1ne 其中 n 为导体单位体积中电子的个数

３磁流体发电机（ 1 ）如图一束等离子体射入两平行金属板之间的匀强磁场中导线 CD将受到力的作用下列说法正确的是 （ ）A 等离子体从右方射入 CD受到向左的作用力B 等离子体从右方射入 CD受到向右的作用力C等离子体从左方射入 CD受到向左的作用力D等离子体从左方射入 CD受到向右的作用力

３磁流体发电机（ 1 ）如图一束等离子体射入两平行金属板之间的匀强磁场中导线 CD将受到力的作用下列说法正确的是 （ ）A 等离子体从右方射入 CD受到向左的作用力B 等离子体从右方射入 CD受到向右的作用力C等离子体从左方射入 CD受到向左的作用力D等离子体从左方射入 CD受到向右的作用力

（ 2 ）实验用磁流体发电机两极板间距 d=20cm 磁场的磁感应强度 B=5T 若接入额定功率P=100W 的灯泡正好正常发光且灯泡正常发光时电阻 R=100Ω 不计发电机内阻求①等离子体的流速为多大②若等离子体均为一价离子每秒钟有多少个什么性质的离子打在下极板

４电磁流量计如图为电磁流量计的示意图非磁性管直径为 d 内有导电液体流动在垂直液体流向的方向上加一指向纸里的匀强磁场测得液体 a b 两点间的电势差为 U 则管内导电液体的流量 Q= m3s

5 高能粒子在现代高科技活动中具有广泛应用如微观粒子的研究核能的生产等粒子加速器是实现高能粒子的主要途径如图所示为环形粒子加速器的示意图图中实线所示环形区域内存在垂直纸面向外的大小可调节的匀强磁场质量为m电荷量为 q的带正电的粒子在环中做半径为 R的圆周运动 A B为两块中心开有小孔的极板原来电势都为零每当粒子飞经 A 板时 A 板电势升高为 +U B 板的电势保持为零粒子在两板之间电场中加速每当粒子离开 B 板时 A 板电势又突然变为零粒子在电场的一次次加速下动能不断增大 但绕行半径 R却始终保持不变（ 1 ）设 t=0 时粒子静止在 A 板小孔处

在电场作用下开始加速并绕行第一圈求粒子绕行 n圈回到 A 板时获得的总动能 Ek

（ 2 ）为使粒子始终保持在半径为 R 的圆轨道上运动磁场必须周期性递增求粒子绕行第 n圈时磁感应强度 Bn 应为多少

（ 3 ）求粒子绕行 n圈所需总时间（粒子通过 A B 之间的时间不计）

（ 4 ）在粒子绕行的整个过程中 A 板电势是否可始终保持 +U 为什么

６质谱仪质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器设从离子源 S产生出来的离子初速度为零经过电压为 U 的加速电场加速后进入一平行板电容器 C 中电场强度为 E 的电场和磁感应强度为 B1 的磁场相互垂直具有某一速度的离子将沿如图所示的直线穿过两板间的空间而不发生偏转再进入磁感应强度为B2 的磁场最后打在记录它的照相底片上的 P点（ 1 ）证明能穿过电容器 C 的离子具有的速度为 v=EB（ 2 ）若测得 P 点到入口处 S1 的距离为 x 证明离子的质量为

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４电磁流量计如图为电磁流量计的示意图非磁性管直径为 d 内有导电液体流动在垂直液体流向的方向上加一指向纸里的匀强磁场测得液体 a b 两点间的电势差为 U 则管内导电液体的流量 Q= m3s

5 高能粒子在现代高科技活动中具有广泛应用如微观粒子的研究核能的生产等粒子加速器是实现高能粒子的主要途径如图所示为环形粒子加速器的示意图图中实线所示环形区域内存在垂直纸面向外的大小可调节的匀强磁场质量为m电荷量为 q的带正电的粒子在环中做半径为 R的圆周运动 A B为两块中心开有小孔的极板原来电势都为零每当粒子飞经 A 板时 A 板电势升高为 +U B 板的电势保持为零粒子在两板之间电场中加速每当粒子离开 B 板时 A 板电势又突然变为零粒子在电场的一次次加速下动能不断增大 但绕行半径 R却始终保持不变（ 1 ）设 t=0 时粒子静止在 A 板小孔处

在电场作用下开始加速并绕行第一圈求粒子绕行 n圈回到 A 板时获得的总动能 Ek

（ 2 ）为使粒子始终保持在半径为 R 的圆轨道上运动磁场必须周期性递增求粒子绕行第 n圈时磁感应强度 Bn 应为多少

（ 3 ）求粒子绕行 n圈所需总时间（粒子通过 A B 之间的时间不计）

（ 4 ）在粒子绕行的整个过程中 A 板电势是否可始终保持 +U 为什么

６质谱仪质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器设从离子源 S产生出来的离子初速度为零经过电压为 U 的加速电场加速后进入一平行板电容器 C 中电场强度为 E 的电场和磁感应强度为 B1 的磁场相互垂直具有某一速度的离子将沿如图所示的直线穿过两板间的空间而不发生偏转再进入磁感应强度为B2 的磁场最后打在记录它的照相底片上的 P点（ 1 ）证明能穿过电容器 C 的离子具有的速度为 v=EB（ 2 ）若测得 P 点到入口处 S1 的距离为 x 证明离子的质量为

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5 高能粒子在现代高科技活动中具有广泛应用如微观粒子的研究核能的生产等粒子加速器是实现高能粒子的主要途径如图所示为环形粒子加速器的示意图图中实线所示环形区域内存在垂直纸面向外的大小可调节的匀强磁场质量为m电荷量为 q的带正电的粒子在环中做半径为 R的圆周运动 A B为两块中心开有小孔的极板原来电势都为零每当粒子飞经 A 板时 A 板电势升高为 +U B 板的电势保持为零粒子在两板之间电场中加速每当粒子离开 B 板时 A 板电势又突然变为零粒子在电场的一次次加速下动能不断增大 但绕行半径 R却始终保持不变（ 1 ）设 t=0 时粒子静止在 A 板小孔处

在电场作用下开始加速并绕行第一圈求粒子绕行 n圈回到 A 板时获得的总动能 Ek

（ 2 ）为使粒子始终保持在半径为 R 的圆轨道上运动磁场必须周期性递增求粒子绕行第 n圈时磁感应强度 Bn 应为多少

（ 3 ）求粒子绕行 n圈所需总时间（粒子通过 A B 之间的时间不计）

（ 4 ）在粒子绕行的整个过程中 A 板电势是否可始终保持 +U 为什么

６质谱仪质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器设从离子源 S产生出来的离子初速度为零经过电压为 U 的加速电场加速后进入一平行板电容器 C 中电场强度为 E 的电场和磁感应强度为 B1 的磁场相互垂直具有某一速度的离子将沿如图所示的直线穿过两板间的空间而不发生偏转再进入磁感应强度为B2 的磁场最后打在记录它的照相底片上的 P点（ 1 ）证明能穿过电容器 C 的离子具有的速度为 v=EB（ 2 ）若测得 P 点到入口处 S1 的距离为 x 证明离子的质量为

U8

xqBm

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６质谱仪质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要仪器设从离子源 S产生出来的离子初速度为零经过电压为 U 的加速电场加速后进入一平行板电容器 C 中电场强度为 E 的电场和磁感应强度为 B1 的磁场相互垂直具有某一速度的离子将沿如图所示的直线穿过两板间的空间而不发生偏转再进入磁感应强度为B2 的磁场最后打在记录它的照相底片上的 P点（ 1 ）证明能穿过电容器 C 的离子具有的速度为 v=EB（ 2 ）若测得 P 点到入口处 S1 的距离为 x 证明离子的质量为

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