一、洛伦兹力的大小和方向1. 洛伦兹力的大小F=qvBsinθ,θ为 v 与 B 的夹角 , 如图 1 所示 .

第 3课时 磁场对运动电荷的作用

考点自清

图 1

（ 1 ） v∥B 时 ,θ=0° 或 180°, 洛伦兹力 F= .（ 2 ） v⊥B 时 ,θ=90°, 洛伦兹力 F= .（ 3 ） v =0 时 , 洛伦兹力 F= .

2. 洛伦兹力的方向（ 1 ）判定方法 : 应用左手定则 , 注意四指应指向电流的方向即正电荷 或负电荷

.（ 2 ）方向特点 :F⊥B,F⊥v. 即 F 垂直于 决定的平面 . （注意 B 和 v 可以有任意夹角） .名师点拨由于洛伦兹力始终与速度垂直 , 因此它永不做功 .

qvB0

运动的方向 运动的反方向

B 和 v

0

二、带电粒子在匀强磁场中的运动1. 若 v∥B, 带电粒子不受洛伦兹力 , 在匀强磁场中

做 运动 .

2. 若 v⊥B, 带电粒子仅受洛伦兹力作用 , 在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做 运动 .

匀速直线

匀速圆周

特别提醒

（ 1） T、 f 的大小与轨道半径 R和运行速率 v

无关 ,只与磁场的磁感应强度 B和粒子的比荷

有关 .

（ 2）比荷 相同的带电粒子 ,在同样的匀强

磁场中 ,T、 f 相同 .

mq

mq

热点一 洛伦兹力的理解1. 洛伦兹力和安培力的关系

洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力 ,而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现 .

2. 洛伦兹力方向的特点（ 1 ）洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直 , 即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面 .

热点聚焦

（ 2 ）当电荷运动方向发生变化时 , 洛伦兹力的方向也随之变化 .（ 3 ）用左手定则判定负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时 , 要注意将四指指向电荷运动的反方向 .

3. 洛伦兹力与电场力的比较

项 目

洛伦兹力 电场力

性质 磁场对在其中运动电荷的作用力

电场对放入其中电荷的作用力

内 容对应力

产生条件

v≠0 且 v不与 B 平行

电场中的电荷一定受到电场

力作用

大小 F=qvB

（ v⊥B ） F=qE

力方向与场方向的

关系

一定是 F⊥B,F⊥v 与电荷电

性无关

正电荷与电场方向相同 , 负电荷与电场方向

相反

做功情况

任何情况下都不做功

可能做正功、负功 , 也可能

不做功

力 F 为零时场的情况

F 为零 ,B 不一定为零

F为零 ,E一定为零

作用效果

只改变电荷运动的速度方向 , 不改变速度大小

既可以改变电荷运动的速度

大小 , 也可以改变电荷运动的

方向

特别提示

（ 1）洛伦兹力方向与速度方向一定垂直 ,而电

场力的方向与速度方向无必然联系 .

（ 2）安培力是洛伦兹力的宏观表现 ,但各自的

表现形式不同 ,洛伦兹力对运动电荷永远不做

功 ,而安培力对通电导线可做正功 ,可做负功 ,

也可不做功 .

热点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分 析方法

1. 分析方法 : 定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提 , 确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础 , 有时需要建立运动时间 t 和转过的圆心角 α 之间的关系作为辅助 .（ 1 ）圆心的确定基本思路 : 即圆心一定在与速度方向垂直的直线上 . 有两种方法 :① 已知入射方向和出射方向时 , 可通过入射点和出射点分别作垂直于入射速度方向和出射速度方向的直线 , 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图 2 甲所示 ,P 点为入射点 ,M 为出射点） .

② 已知入射点和出射点的位置时 , 可以通过入射点作入射方向的垂线 , 连接入射点和出射点 ,作其中垂线 , 这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图 2 乙所示 ,P 为入射点 ,M 为出射点） .

图 2

（ 2 ）半径的确定和计算利用平面几何关系 , 求出该圆的可能半径（或圆心角） , 并注意以下两个重要的几何特点 :① 粒子速度的偏向角等于圆心角（ α ） , 并等于 AB 弦与切线的夹角（弦切角 θ ）的 2 倍（如图 3 所示） .即 φ=α=2θ=ωt② 相对的弦切角（ θ ）相等 , 与相邻的弦切角（ θ ′ ）互补 , 即 θ+θ′=180°.

图 3

（ 3 ）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为 T, 当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 α 时 , 其运动时间可表示为 t= T 或 t = T.360

π2

2. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法（ 1 ）画轨迹 : 即确定圆心 , 几何方法求半径并画出轨迹 .（ 2 ）找联系 : 轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系 , 偏转角度与圆心角、运动时间相联系 , 在磁场中运动的时间与周期相联系 .

（ 3 ）用规律 : 即牛顿第二定律和圆周运动的规律 , 特别是周期公式、半径公式 .特别提示①解题时做图尽量准确 ,以利于几何关系的确定 .②特别关注几何图形中边角关系 ,勾股定理与三角函数是常用的数学方法 .

题型 1 带电粒子在有界磁场中的运动【例 1】 在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内 ,存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场 , 如图4所示 . 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x轴的交点 A处以速度 v沿 -x 方向射入磁场 , 它恰好从磁场边界与 y轴的交点 C处沿 +y 方向飞出 .

题型探究

图 4

（ 1 ）请判断该粒子带何种电荷 , 并求出其比荷 .

（ 2 ）若磁场的方向和所在空间范围不变 , 而磁感应

强度的大小变为 B′, 该粒子仍从 A处以相同的速度射

入磁场 ,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改

变了 60° 角 , 求磁感应强度 B′多大？此次粒子在磁

场中运动所用时间 t 是多少？

思路点拨 如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹 ?磁

场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系 ?

mq

解析 （ 1）由粒子的运行轨迹 ,利用左手定则可知 ,该粒子带负电荷 .粒子由 A点射入 ,由 C点飞出 ,其速度方向改变了 90°, 则粒子轨迹半径 R =r又 qvB=则粒子的比荷（ 2）粒子从 D点飞出磁场速度方向改变了 60° 角 ,故 AD 弧所对圆心角为 60°, 如右图所示 .粒子做圆周运动的半径

Brmq v

Rm

2v

R′=rcot 30°= r

又 R′=

所以 B′= B

粒子在磁场中运行时间

t=

答案 （ 1 ）负电荷 （ 2 ）

3

Bqm

v

33

v3π3π2

61

61 r

Bqm

T

Brv

v3π3 r

B33

方法提炼解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时 ,我们可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动 .确定粒子圆周运动的圆心 ,作好辅助线 ,充分利用圆的有关特性和公式定理、圆的对称性等几何知识是解题关键 ,如弦切角等于圆心角的一半、速度的偏转角等于圆心角 .粒子在磁场中的运动时间与速度方向的偏转角成正比 .

变式练习 1 圆心为 O 、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场 , 与区域边缘的最短距离为 L 的 O′处有一竖直放置的荧屏 MN,今有一质量为 m 的电子以速率 v从左侧沿 OO′ 方向垂直射入磁场 ,越出磁场后打在荧光屏上的 P 点 , 如图 5所示 , 电子的重力不计 . 求 O′P 的长度和电子通过磁场所用的时间 .

图 5

解析 电子在磁场中做匀速圆周运动 ,圆心为 O″,

半径为 R.圆弧段轨迹 AB所对的圆心角为θ,电子

越出磁场后做速率仍为 v的匀速直线运动 ,如图

所示 ,连结 OB.

因△ OAO″≌△OBO″

又 OA⊥O″A

故 OB⊥O″B

由于 BP⊥O″B, 可见 O 、 B 、 P

在同一直线上 , 且∠ O′OP=

∠AO″B=θ, 在直角三角形 OO′P 中 ,O′P= （ L+

r ） tan θ, 而

tanθ= ,tan ,所以求得 R 后

就可以求出 O′P, 电子经过磁场的时间可用 t =

来求得 .

由 evB=m 得 R=

tan

tanθ=

2tan1

2tan2

2

Rr

2

R

2veBmv

vmeBr

Rr

2

222222

2

2tan1

2tan2

rBemeBrm

v

v

θ=arctan（ ）

t=

答案

O′P= （ L+r ） tan θ= 22222

)(2rBem

eBrmrL

v

v

22222

2rBem

eBrmv

v

)2

arctan( 22222 rBemeBrm

eBm

vR

vv

22222

)(2rBem

eBrmrL

v

v )2

arctan( 22222 rBemeBrm

eBm

vv

题型 2 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运 动的多解问题【例 2】 如图 6甲所示 ,MN 为竖直放置彼此平行

的两块平板 ,板间距离为 d, 两板中央各有一个小孔 O 、 O′ 正对 , 在两板间有垂直于纸面方向的磁场 , 磁感应强度随时间的变化如图乙所示 .

有一群正离子在 t=0时垂直于 M板从小孔 O 射入磁场 . 已知正离子质量为 m 、带电荷量为 q,

正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0, 不考虑由于磁场变化

而产生的电场的影响 , 不计离子所受重力 . 求 :

图 6

（ 1 ）磁感应强度 B0 的大小 .

（ 2 ）要使正离子从 O′孔垂直于 N板射出磁场 ,正离子射入磁场时的速度 v0 的可能值 .

思路点拨

磁感应强度的变化规律

画出正离子一个周期的运动轨迹

根据 R=

求 v0 的多解qB

m

nd 0

4

v

解析 设垂直纸面向里的磁场方向为正方向

（ 1）正粒子射入磁场 ,洛伦兹力提供向心力 B0q

v0= ①

做匀速圆周运动的周期 T0= ②

联立①②两式得磁感应强度 B0=

（ 2）要使正粒子从 O′孔垂直于 N板射出磁场 ,v0

的方向应如右图所示 ,两板之间正粒子只运动一

个周期即 T0 时 ,有 R= .当两板之间正粒子运动

n个

Rm

20v

0

π2vR

0

π2Tm

q

4d

周期即 nT0 时 ,有 R= （ n=1,2,3…） .联立求

解 ,得正粒子的速度的可能值为 v0=

（ n=1,2,3…） .

答案 （ 1 ） （ 2 ） （ n=1,2,3

…）

nd4

0

0

2πnTd

m

qRB

0

π2Tm

q 02πnTd

方法提炼1. 分析题目特点 ,确定题目多解性形成的原因 .2. 作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性） .3. 如果是周期性重复的多解问题 ,应列出通项式 .如果是出现几种解的可能性 ,注意每种解出现的条件 .

题型 3 带电粒子在磁场中运动的极值问题【例 3】 如图 7所示 , 匀强磁场

的磁感应强度为 B,宽度为 d,边界为 CD 和 EF. 一电子从 CD边界外侧以速率 v0 垂直匀强磁场射入 ,

入射方向与 CD边界间夹角为 θ.已知电子的质量为 m, 电荷量为 e,为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出 , 求电子的速率 v0至少多大 ?

图 7

思维导图

解析 当入射速率 v0很小时 ,电子会在磁场中转动

一段圆弧后又从 CD一侧射出 ,速率越大 ,轨道半径越大 ,当轨道的边界与 EF相切时 ,电子恰好不能从 EF射出 ,如图所示 .电子恰好射出时 ,由几何知识可得 :r+rcosθ=d ①

又 r= ②

由①②得 v0= ③

故电子要射出磁场时速率至少应为

答案

Be

m 0v

)cos1( mBed

)cos1( mBed

)cos1( mBed

规律总结1. 解决此类问题的关键是 : 找准临界点 .2. 找临界点的方法是 :以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口 ,借助半径 R 和速度 v （或磁场 B ）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析 , 确定轨迹圆和边界的关系 , 找出临界点 ,然后利用数学方法求解极值 ,常用结论如下 :（ 1 ）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 .（ 2 ）当速度 v 一定时 , 弧长（或弦长）越长 , 圆周角越大 , 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 .（ 3 ）当速率 v 变化时 , 圆周角大的 , 运动时间越长 .

变式练习 2 电子质量为 m, 电荷

量为 e,从坐标原点 O处沿 xOy 平面

射入第一象限 , 射入时速度方向不

同 , 速度大小均为 v0, 如图 8 所示 .

现在某一区域加一方向向外且垂直于 xOy 平面的

匀强磁场 , 磁感应强度为 B, 若这些电子穿过磁场

后都能垂直射到荧光屏 MN 上 ,荧光屏与 y轴平行 ,

求 :

（ 1 ）荧光屏上光斑的长度 .

（ 2 ）所加磁场范围的最小面积 .

图 8

解析 （ 1）如右图所示 ,求光斑的长度 ,关键是找到两个边界点沿弧 OB运动到 P,初速度方向沿 y轴正方向的电子 ,初速度方向沿 x轴正方向的电子 ,沿弧 OC运动到 Q. 设粒子在磁场中运动的半径为 R,由牛顿第二定律得 :

qv0B=m ,即 R=

从图中可以看出 PQ=R=R

20v

Be

m 0v

Be

m 0v

（ 2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏

转后都能垂直打到荧光屏 MN 上 ,所加最小面积的

磁场的边界是以 O′ 为圆心、坐标为（ 0,R ）、半

径为 R的圆的一部分 ,如图中实线包围面积 . 所

以磁场范围的最小面积

S= πR2+R2- πR2= （ +1 ）（ ） 2

答案 （ 1 ） （ 2 ）（ +1 ）（ ） 2

43

41

2π

Bem 0v

Be

m 0v2π

Be

m 0v

题型 4 质谱仪的工作原理【例 4】 （ 16分）如图 9 为一种质谱仪工作原

理示意图 . 在以 O 为圆心 ,OH为对称轴 , 夹角为2α 的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场 . 对称于 OH轴的 C 和 D 分别是离子发射点和收集点 .CM 垂直磁场左边界于 M, 且 OM=d, 现有一正离子束以小发射角（纸面内）从 C 射出 ,这些离子在 CM 方向上的分速度均为 v0, 若该离

子束中比荷为 的离子都能汇聚到 D,试求 :mq

图 9（ 1 ）磁感应强度的大小和方向（提示 : 可考虑沿CM 方向运动的离子为研究对象） .（ 2 ）离子沿与 CM成 θ 角的直线 CN进入磁场 ,求其轨道半径和在磁场中的运动时间 .

解析 （ 1）设沿 CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R

由 qv0B= ,R =d

①

可得 B= ②

磁场方向垂直纸面向外 . ③（ 2）设沿 CN 运动的离子速度大小为 v,在磁场中的轨道半径为 R′, 运动时间为 t.如图分析有 :

R

m 20v

qd

m 0v

vcosθ=v0

得 v= ④

R′= ⑤

方法一 :设弧长为 s

t= ,s =2 （ θ+α） R′

t=

方法二 : 离子在磁场中做匀速圆周运动的周期

T= ⑥

t=T× ⑦

cos0v

cosd

qBm v

vs

0vd)(2

qBmπ2

0

)(2π v

d

答案 （ 1 ） 磁场方向垂直纸面向外

（ 2 ）

qd

m 0v

cosd

0

)(2v

d

【评分标准】 本题共 16 分 .其中①⑥⑦式各 3分 ,②④⑤式 2分 ,③式 1分 .【名师导析】本题以质谱仪工作原理为背景材料 , 考查离子在磁场中的匀速圆周运动 .由于质谱仪中离子存在小角度散射 ,试题研究讨论了散射离子的轨道半径和运动时间等问题 ,给人耳目一新的感觉 , 充分展示了物理知识在与实际相联系时的活力 .试题的设计有利于考查学生分析问题和解决问题的能力、应用几何知识解题的能力 .

1. 初速度为 v0 的电子 ,沿平行于通电长直导线的

方向射出 , 直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图 10 所示 . 则 （ ）A. 电子将向右偏转 , 速率不变B. 电子将向左偏转 , 速率改变C. 电子将向左偏转 , 速率不变D. 电子将向右偏转 , 速率改变解析 导线在电子附近产生的磁场方向垂直纸面向里 ,由左手定则知 ,电子受到的洛伦兹力方向向右 ,电子向右偏转 ,但由于洛伦兹力不做功 ,电子速率不变 ,A正确 .

图 10

A

素能提升

2. 如图 11 所示 , 在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场（磁场足够大） , 一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成 30° 角的方向从原点垂直射入磁场 , 则负电子与正电子在磁场中运动时间之比为（不计正、负电子间的相互作用力） （ ）A.1∶ B.2∶1 C. ∶1 D.1∶2

图 11

3 3

解析 由题图和左手定则可知负电子向下偏转 ,

在磁场中运动的轨迹对应圆心角为 60°, 正电子

向上偏转 ,在磁场中运动的轨迹对应圆心角为

120°. 因为带电粒子在磁场中运动时间 t= T,

正、负电子的运动周期又相等 ,所以负电子与正

电子在磁场中运动的时间之比为 1∶2.

答案 D

360

3. 如图 12 所示 , 在屏 MN 的右方有磁感应强度为 B 的匀强磁场 , 磁场方向垂直纸面向里 .P 为屏上的一小孔 .PC 与 MN 垂直 , 一群质量为 m 、带电荷量为 -q 的粒子（不计重力） ,以相同的速率 v从 P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域 . 粒子入射方向在与磁场 B 垂直的平面内 , 且散开在与 PC 夹角为 θ 的范围内 , 则在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为 （ ）A. B.

C. D.

图 12

qBm cos2 v

qBmv2

qBm )sin1(2 v

qBm )cos1(2 v

解析 各粒子进入磁场后做匀速圆周运动 ,轨道

半径相同为 R = , 运用左手定则确定各粒子

的洛伦兹力方向 ,并定出圆心和轨迹 .垂直于屏

MN 方向射入磁场的粒子落点离 P点距离最远为

x1=2R, 与 PC夹角为θ的粒子射入磁场时落点离

P点距离最近为 x2=2Rcosθ, 所以屏 MN 上被粒

子打中的区域的长度为 Δx=x1-x2=2R （ 1-cosθ）

= , 所以 D正确 .

答案 D

qBmv

qBm )cos1(2 v

4. 如图 13 所示 , ABC 为与匀强磁场

垂直的边长为 a的等边三角形 , 磁

场垂直纸面向外 , 比荷为 e/m 的电

子以速度 v0从 A 点沿 AB边入射 ,欲

使电子经过 BC边 , 磁感应强度 B 的

取值为 （ ）

A.B > B.B<

C.B < D.B>

图 13

ae

mv03

ae

mv02

ae

mv02

ae

mv03

解析 由题意 , 如右图所示 ,

电子正好经过 C 点 , 此时圆周

运动的半径 R= /cos 30°=

, 要想电子从 BC边经过 , 圆

周运动的半径要大于 , 由带电粒子在磁场中运

动的公式 r = 有 , 即 B< ,

C正确 .

答案 C

2a

3a

3a

qBmv

3a

eB

mv0ae

mv03

5. 如图 14所示 ,边长为 L 的等边三角形 ABC 为两个有界匀强磁场的理想边界 , 三角形内的磁场方向垂直纸面向外 , 磁感应强度大小为 B, 三角形外的磁场 ( 足够大 )方向垂直纸面向里 , 磁感应强度大小也为 B.把粒子源放在顶点 A处 , 它将沿∠ A 的角平分线发射质量为 m 、电荷量为 q 、初速度为 v= 的负电粒子 (粒子重力不计 ).求 :

mqBL

图 14

(1) 从 A 射出的粒子第一次到达 C 点所用时间为多少 ?(2)带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期 .解析 (1)带电粒子垂直进入磁场 ,做匀速圆周运动qvB=

T=

将已知条件代入有 r =L从 A点到达 C 点的运动轨迹如图所示 ,可得

qBmπ2rm 2v

tAC= T

tAC=

(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第 (1)

问图所示 .

粒子通过圆弧从 C点运动至 B 点的时间为

tCB=

带电粒子运动的周期为 TABC=3(tAC+tCB)

解得 TABC=

答案 (1) (2)

61

qBm3π

qBm

T3π5

65

qBmπ6

qBm3π

qBmπ6

6. 如图 15所示 , 在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内 , 分布着磁感应强度均为 B=5.0×10-2 T的匀强磁场 , 方向分别垂直纸面向外和向里 . 质量为 m=6.64×10-27 kg、电荷量为 q=+3.2×10-19 C的 粒子 (不计 粒子重力 ), 由静止开始经加速电压为U=1 205 V的电场 (图中未画出 ) 加速后 ,从坐标点 M(-4, ) 处平行于 x轴向右运动 , 并先后通过匀强磁场区域 .

图 15

2

(1) 请你求出 粒子在磁场中的运动半径 .(2) 请你在图中画出 粒子从直线 x=-4到直线 x=4之间的运动轨迹 , 并在图中标明轨迹与直线 x=4交点的坐标 .(3)求出 粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间 .

解答 (1) 粒子在电场中被加速 , 由动能定理得

qU= mv2

粒子在磁场中偏转 , 由牛顿第二定律得

qvB= 联立解得 r=

21

rmv2

qmU

B21

= m

= ×10-1 m(2)如下图所示

19

27

102.3

20511064.6205.01

2

(3)带电粒子在磁场中的运动周期

T= 粒子在两个磁场中偏转的角度均为 , 在磁场中的运动总时间

t=

=

=6.5×10-7 s

qBmπ2

4π

qBm

T2π

41

s105102.32

1064.614.3219

27

反思总结

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