ЗБІРНИК РОЗРАХУНКОВО ГРАФІЧНИХ...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

«Харківський політехнічний інститут»

ЗБІРНИК

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНИХ ЗАВДАНЬ

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

У двох частинах

Частина 2

За редакцією Н.О. Чікіної

Харків

Підручник НТУ «ХПІ»

2013

УДК 51(076)

ББК 22.1

З-41

Колектив авторів :

Н.О. Чікіна, А.М. Гайдаш, В.Д. Крупка, Л.Т. Кобізська,

Т.М. Марченко, В.Ф. Мясникова, Т.В. Потаніна, К.Ю. Тарсіс,

І.А. Туренко, І.І. Цехмістро, В.Й. Щеглов

Рецензенти:

В.А. Ванін, д-р техн. наук, провідний науковий співробітник Інституту проблем

машинобудування ім. А.М. Подгорного НАН України

Є.Л. Піротті, д-р техн. наук, професор кафедри комп’ютерної математики і

математичного моделювання НТУ «ХПІ»

Затверджено редакційно-видавничою радою НТУ «ХПІ»

(протокол № 1 від 24.06.2010 р.)

Збірник розрахунково-графічних завдань з вищої математики :

З-41 у 2 ч. – Ч. 2 / Н.О. Чікіна, А.М. Гайдаш, В.Д. Крупка [та ін.] ;

за ред. Н.О. Чікіної. – Харків: Підручник НТУ «ХПІ», 2013. – 216 с.

ISBN 978-966-2426-50-2 (повне вид.)

ISBN

Збірник розрахунково-графічних завдань з вищої математики містить задачі

і приклади варіантів до усіх основних розділів курсу. Наведено відповіді до

кожного завдання варіантів РГЗ.

Призначено для студентів та викладачів вищих технічних навчальних закла-

дів.

Іл. 24. Табл. 1 Бібліогр.: 17 назв.

УДК 51(076)

ББК 22.1

ISBN 978-966-2426-50-2 (повне вид.)

ISBN 978-966-2426-77-9 (ч. 2)

© Колектив авторів, 2013

© Вид-во «Підручник НТУ “ХПІ”», 2013

3

ПЕРЕДМОВА

«Збірник розрахунково-графічних завдань з вищої математики» гру-

пи авторів – викладачів кафедри вищої математики НТУ «ХПІ» – охоплює

навчальні програми з курсу вищої математики для студентів механіко-

технологічного, машинобудівного, електромашинобудівного, електроенер-

гетичного факультетів, а також факультетів автоматики і приладобудуван-

ня, технології органічних і неорганічних речовин, комп’ютерних та інфор-

мативних технологій. «Збірник» продовжує серію підручників і навчаль-

них посібників, розроблених на кафедрі вищої математики НТУ «ХПІ» за

останні 15 років, і є необхідною її складовою.

У другу частину збірника розрахунково-графічних завдань увійшли

такі теми: «Диференціальні рівняння» (Туренко І.А.), «Ряди» (Крупка В.Д.,

Кобізська Л.Т.), «Теорія функцій комплексного змінного» (Тарсіс К.Ю.,

Мясникова В.Ф.), «Операційне числення» (Мясникова В.Ф., Гайдаш А.М.),

«Кратні інтеграли» (Марченко Т.М.), «Криволінійні і поверхневі інтегра-

ли» (Цехмістро І.І., Потаніна Т.В.), «Теорія поля» (Щеглов В.Й.).

УВАГА!

Розрахунково-графічні завдання слід виконувати в окремому

зошиті строго за своїм варіантом. Умови завдань повинні бути записа-

ні повністю. Робота, яка виконана не за своїм варіантом, не буде зара-

хована. Для зарахування РГЗ з окремої теми студент повинен пройти

співбесіду з викладачем, в якій перевіряються знання студента з від-

повідного теоретичного матеріалу і навички розв’язання типових за-

дач.

З найкращими побажаннями успіхів у навчанні

Автори

4

Розділ 8. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Розрахунково-графічні завдання з цієї теми складаються з десяти

завдань, в яких необхідно розв’язати:

1–3) диференціальні рівняння першого порядку та задачу Коші з ни-

ми (рівняння з відокремлюваними змінними, однорідне рівняння, лінійне

рівняння (або рівняння Бернуллі) відповідно);

4) рівняння першого порядку в диференціалах, що має інтегруваль-

ний множник;

5) диференціальне рівняння другого порядку та задачу Коші з ним;

6) лінійне однорідне рівняння третього або четвертого порядку зі

сталими коефіцієнтами;

7) лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами та правою

частиною, що є сумою двох функцій спеціального вигляду, а також задачу

Коші з таким рівнянням;

8) лінійне неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіці-

єнтами та неспеціальною правою частиною (потребує застосування методу

варіації);

9) однорідну систему лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами;

10) неоднорідну систему лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та

спеціальним виглядом неоднорідності, а також задачу Коші з такою систе-

мою.

Перед виконанням роботи необхідно ознайомитися з літературою [2,

4, 5, 6, 7], в якій висвітлюються теоретичні та практичні аспекти даного

матеріалу.

Контрольні питання

1. Поняття диференціального рівняння, його порядок. Розв’язок ди-

ференціального рівняння.

2. Типи диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються

в скінченному вигляді, способи їх розв’язання.

3. Типи диференціальних рівнянь вищих порядків, що допускають

зниження порядку, способи їх розв’язання.

5

4. Спосіб розв’язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами.

5. Способи розв’язання лінійних неоднорідних диференціальних рів-

нянь зі сталими коефіцієнтами.

6. Способи розв’язання однорідних та неоднорідних систем лінійних

диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

7. Задача Коші з диференціальним рівнянням або системою таких

рівнянь.

Зразок розв’язання прикладів контрольного завдання

Приклад 1. Розв’язати рівняння sin

tg1 cos

xy y

x

.

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змін-

ними. Перейдемо до диференціалів та відокремимо змінні за умови, що

tg 0y :

sintg

1 cos

dy xy

dx x

tg

dx

y , тоді

sin

tg 1 cos

dy x dx

y x

.

Зінтегруємо одержану рівність:

sinctg

1 cos

x dxydy

x

, 1 cossin

sin 1 cos

d xd y

y x

,

1ln sin ln 1 cosy c x , 1

sin1 cos

ce

yx

.

Отже, ми отримали загальний інтеграл диференціального рівняння:

sin1 cos

cy

x

, де 1 0

cc e .

Якщо tg 0y , то маємо набір частинних розв’язків y n , де n Z ,

який отримуємо в загальному інтегралі при 0c ( тобто обмеження 0c

можна відкинути). Із загального інтегралу в даному випадку одержуємо за-

гальний розв’язок рівняння: 1 arcsin1 cos

n cy n

x

, n Z .

Відповідь: sin1 cos

cy

x

.

6

Приклад 2. Розв’язати рівняння 22 ln 1 0xy y dx x dy .

Розв’язання. Поділимо обидві частини цього рівняння на

21 ln 0x y y , відокремимо змінні та зінтегруємо його:

2

2

ln1

xdx dy

y yx

,

2

2

1 ln

ln1

d x d y

yx

, 2

1ln ln ln 1y c x ,

2ln 1y c x , де 1 0c

c e , 2 1c x

y e

, де 0c .

При 21 ln 0x y y маємо частинні розв’язки:

1) ln 0 1y y ; 2) 21 0 1x x .

Останнє підтверджується безпосередньою підстановкою в диферен-

ціальне рівняння.

При 0c з формули для загального розв’язку одержуємо розв’язок

1y , тобто обмеження 0c можна відкинути. Розв’язки 1x є особли-

вими, оскільки вони не входять до сім’ї розв’язків 2 1c x

y e

при жодному

значенні сталої c .

Відповідь: 1) 2 1c x

y e

; 2) 1x .

Приклад 3. Розв’язати рівняння 2

2

1x

yy xy y ex

.

Розв’язання. Подане рівняння є однорідним рівнянням першого по-

рядку. Перетворимо його у стандартний вигляд:

2 x

yy yy e

x x

.

Виконаємо заміну невідомої функції: y

tx , y tx , y t x t .

Одержуємо рівняння з відокремлюваними змінними, яке розв’язуємо

так:

1

2 tt x t t t e

,

1

2 tdt

x t edx

,

1

2 tdx

t e dtx

,

11t dx

e dt x

,

7

1

lnte c x ,

1

ln lnt

c x

.

Тепер знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння:

ln ln

xy tx

c x

.

Відповідь: ln ln

xy

c x

.

Приклад 4. Розв’язати рівняння 2 22 0xy y dx x xy dy .

Розв’язання. Проведемо заміну x на kx , а y на ky const 0k :

2 2 2 22 0kxky k y dx k y kxky dy 2:k , тоді

2 22 0xy y dx x xy dy .

Оскільки рівняння при цьому не змінилось, то ми маємо справу з од-

норідним рівнянням.

Виконаємо заміну: y

tx

при 0x , y tx , dy tdx xdt . Тоді:

2 2 2 2 22 0tx t x dx x tx tdx xdt , 2 2 0t t dx t tdx xdt ,

звідки 2 t xdt t dx , або 2 t dx

dtt x

при 0t .

Зінтегруємо одержану рівність:

2dt dx

dtt x , 12ln lnt t c x , 2 tt xe c (загальний інтеграл),

де 1 0c

c e .

Розв’язком рівняння є також 0t , що перевіряється безпосередньою

підстановкою його в рівняння. Однак ту ж функцію ми отримуємо з зага-

льного інтегралу при 0c . Це означає, що обмеження 0c можна відки-

нути.

8

Запишемо загальний інтеграл через x та y: 2

2 .

y y

x xy

e c y cxex

Особливим розв’язком початкового рівняння є 0x , що легко пере-

вірити.

Відповідь: 1) 2

y

xy cxe

; 2) 0x .

Приклад 5. Розв’язати рівняння 4 323 cos

yy x x

x .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним.

Зробимо заміну , ,y uv y u v uv тоді рівняння набуває вигляду:

4 3 4 32 23 cos , 3 cos .

uv vu v uv x x u v u v x x

x x

Доберемо 0v так: 2 2

0, , 2 ,v dv v dv dx

vx dx x v x

ln 2lnv x

(сталу інтегрування покладаємо рівною нулю), 2 2,v x v x (вибрано

знак «+»).

Підставимо v в рівняння: 2 4 3 2 33 cos , 3 cos ;u x x x u x x

2 3 3 3 33 cos cos sin .u x x dx x d x x c

Загальний розв’язок рівняння: 2 3sin .y uv x x c

Відповідь: 2 3sin .y x x c

Приклад 6. Розв’язати рівняння 4tg cos .y y x y x

Розв’язання. Диференціальні рівняння такого вигляду є рівняннями

Бернуллі.

Поділимо обидві частини рівняння на 4y за умови, що 0y :

4 3

tgcos

y xx

y y

. Виконаємо заміну:

3 4

1; 3 .

yz z

y y

Таким чином при-

ходимо до лінійного рівняння: 3 tg 3cosz z x x .

9

Проводимо ще одну заміну: ,z uv z u v uv . Рівняння:

3 tg 3cosu v u v v x x . Доберемо 0v :

33 tg , 3 tg , ln 3ln cos , cos .dv dv

v x xdx v x v xdx v

Підставимо v в рівняння: 3

2

3cos 3cos , ,

cosu x x u

x

3tg .u c x

Тепер визначаємо загальний розв’язок:

3 3

3

1 1cos 3tg

cos 3tgz uv x c x y

z x c x

,

звідки 3 3

1 sec.

cos 3tg 3tg

xy

x c x c x

Функція 0y є особливим розв’язком, що підтверджується її підс-

тановкою в дане рівняння в початковому вигляді.


sec

3tg

xy

c x

; 2) 0y .

Приклад 7. Розв’язати рівняння

2 2 5 3 33 5 2 4 0xx y e dx x y y dy .

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах,

оскільки 2 2 5 3 3 23 5 , 2 4 , 6 .x P GP x y e G x y y x y

y x

Шукаймо функцію ,F x y із системи:

2 2 5

3 3

, 3 5 ,

, 2 4 .

xF FP x y e

x x

F FG x y y

y y

Перше рівняння цієї системи зінтегруємо по x, вважаючи у сталою:

2 2 5 3 2 5, 3 5 x xF x y x y e dx x y e y .

Отриманий результат використаємо у другому рівнянні системи для

знаходження функції y :

10

3 2 5 3 3 3 3 32 4 , 2 2 4 ,xx y e y x y y x y y x y yy

звідки 3 44 ,y y y y (сталу інтегрування прийнято рівною ну-

лю).

Тепер виписуємо загальний інтеграл рівняння: ,F x y c

або 3 2 5 4 .xx y e y c

Відповідь: 3 2 5 4 .xx y e y c

Приклад 8. Розв’язати рівняння 21 2 arcsin 0y x y dx xdy .

Розв’язання. В цьому рівнянні 21 2 arcsinP y x y , G x .

Звідси: 2

arcsin 2 1

1

P yy x

y y

при 1; 1.G

yx

Оскільки P

y

G

x

, то рівняння не є рівнянням у повних диференціа-

лах. Знайдемо різницю: 2

arcsin 2 .

1

P G yy x

y x y

Якщо одержаний

вираз поділити на P , то одержимо функцію тільки від y. Тоді інтегру-

вальний множник ,x y можна шукати як функцію лише від y:

212 2 2

1 1 1, , ln ln 1

21 1 1

d y d ydyy c

dy y y y

(при 1 0c ) 2

1

1 y

(вибрано знак «+»), де 1.y

Помноживши обидві частини початкового рівняння на , одержимо

рівняння в повних диференціалах:

2

2 arcsin 0

1

xx y dx dy

y

(при 1y ).

Розв’яжемо його:

11

2

2 arcsin ,

;

1

Fx y

x

F x

y y

22 arcsin arcsinF x y dx x x y y

2 2

0 const

1 1

F x xy y y

y y y

2 2arcsin arcsinF x x y x x y c (загальний інтеграл за умови, що

1y ).

Маємо також два особливих розв’язки початкового рівняння 1,y

що легко перевірити безпосередньою підстановкою їх у рівняння.

Відповідь: 1) 2 arcsinx x y c ; 2) 1y .

Приклад 9. Розв’язати рівняння cosy x x .

Розв’язання. Це диференціальне рівняння допускає зниження поряд-

ку. Послідовно інтегруємо тричі:

1cos sin sin sin cos ,y x xdx x x xdx x x x c

1 1 2sin cos cos 2sin ,y x x x c dx x x x c x c

211 2 2 3cos 2sin sin 3cos .

2

cy x x x c x c dx x x x x c x c

Оскільки стала 1

2

c приймає будь-які числові значення незалежно від

2 3, ,c c то можна замінити її на 1c .

Відповідь: 21 2 3sin 3cos .y x x x c x c x c

Приклад 10. Розв’язати рівняння 22x y y .

Розв’язання. Після заміни ,y p y p , одержуємо рівняння I-го

порядку, а саме – рівняння з відокремлюваними змінними, яке розв’язуємо

так: 2 2

2 2,

dp dxx p p

p x при 1

1

1 10, ,

1

c x xp p

p x c x

– загальний

розв’язок, 0p – особливий розв’язок.

Двокрaтним інтегруванням одержаного загального розв’язку p (при

1 0c ) знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння:

12

1 221 1 1 1 1 1

1 1 1, ln 1 ,

1 1

x xy y dx c x c

c x c c c x c c

2 2

2 1 2 1 12 21 1 11 1

1 1ln 1 ln 1

2 2 1

x x xdxy c x c x dx c x x c x c

c c c xc c

2

12 1 32 3

1 1 1

1 1ln 1

2

x c xc x c x c

c c c

(сталу 2 21

1c

c можемо замінити просто на 2c без втрат у розв’язанні вна-

слідок довільності 2c ). Отже, ми одержали трипараметричну сім'ю

розв’язків початкового рівняння.

При 1 0c з того ж загального виразу для p отримуємо двопарамет-

ричну сім'ю: 2 3

1 1 2, , .2 6

x xy x y c y c x c

З особливого розв'язку 0p добуваємо ще одну двопараметричну

сім'ю розв’язків початкового рівняння: 1 1 20, , .y y c y c x c


12 3 13

1 1

1ln 1 ;

2

x c xy c x c c x

c c

2)

3

1 2;6

xy c x c

3) 1 2.y c x c

Приклад 11. Розв’язати рівняння 2 2

y y y y y .

Розв’язання. Порядок даного рівняння знижується після заміни

, ,y z y z y z . Одержуємо такий його вигляд: 2 2z z z z z .

Функції вигляду 1 constz c задовольняють це рівняння. Звідси

знаходимо двопараметричну сім’ю розв’язків: 1 1 2,y c y c x c .

У рівнянні для z за умови z const виконаємо заміну 0z p ,

zz p p .

Одержуємо лінійне рівняння I порядку:

2 2 ,z zp

z p p p z p p zz

.

Після заміни , z z zp uv p u v u v отримуємо:

13

1

, ,0,

1, ,,

zzz z

zz

vv z v zvuv

u v u v z zu u z cz

u v z

1 .p uv z z c

Тепер знаходимо z:

1 1

1 1

1 1, ,

dzz z z c dx dz c dx

z z c z z c

при 1 0c ,

11

1 1 2

1ln , ,

c xz zc x c e

z c z c c

де

1

1

12

2

0, .c x

c

c x

c ec e z y

c e

Звідси визначається трипараметрична сім'я розв’язків початкового

рівняння:

11

1

13 2

2

ln ,c x

c x

c x

c e dxy c c e

c e

де 1 20, 0.с с

При 2 0c отримуємо з останньої формули сім'ю функцій

13 3 1ln

c xy c e c c x , яка збігається з сім’єю розв’язків 1 2y c x c , що

була знайдена вище. Отже, обмеження 2 0c можна відкинути.

При 1 0c маємо для z рівняння: 222

1 1, , .

dzdx c x z y

z c xz

Звідси знаходимо ще одну двопараметричну сім’ю розв’язків:

1 2ln .y c c x

Відповідь: 1) 13 2ln ;

c xy c c e 2) 1 2lny c c x .

Приклад 12. Розв’язати рівняння 3 5 2 0IYy y y y y .

Розв'язання. Дане рівняння є лінійним однорідним зі сталими коефі-

цієнтами.

Складемо характеристичне рівняння та розв’яжемо його:

34 3 23 5 2 0, 2 1 0,

1 1 – корінь кратності 1 23, 2m – корінь кратності 2 1m .

Фундаментальна система розв’язків даного рівняння:

2 21 2 3 4, , ,x x x xf x e f x xe f x x e f x e .

Загальний розв’язок цього рівняння:

з.о 1 1 2 2 3 3 4 4y y c f x c f x c f x c f x

14

2 21 2 3 4

x x x xc e c xe c x e c e .

Відповідь: 2 21 2 3 4

x xy c c x c x e c e .

Приклад 13. Розв'язати рівняння 22 27 xy y y x e .

Розв'язання. Права частина даного лінійного неоднорідного дифере-

нціального рівнянням зі сталими коефіцієнтами має так званий спеціаль-

ний вигляд. Спочатку знайдемо загальний розв’язок відповідного однорід-

ного рівняння 2 0y y y . Його характеристичне рівняння

2 2 0 має корені 1 21, 2 , тому 2з.о 1 2

x xy c e c e .

Параметри правої частини неоднорідного рівняння:

21, 0, 27 , 2, 0, 0.s uP x x s G x u

Знаходимо тепер загальний вигляд частинного розв'язку ч.нy неод-

норідного рівняння відповідно методу добору:

1, 1i (кратність i як кореня характеристичного рівняння),

max , max 2,0 2v s u

ч.н cos sinxy x e M x x N x x

1 22 2cos0 sin0x xx e M x N x xe Ax Bx C ,

де , ,A B C невизначені коефіцієнти.

Похідні:

3 2 2ч.н 3 2 xy Ax Ax Bx Bx Cx C e ,

3 2 2ч.н 6 6 4 2 2 .xy Ax Ax Bx Ax Bx Cx B C e

Підставимо ч.нy в неоднорідне рівняння, отримаємо систему для

, ,A B C та розв’яжемо її:

2 2 2ч.н ч.н ч.н2 27 : , 9 6 6 2 3 27x xy y y x e e Ax A B x B C x ,

2 :

:

:

x

x

x

9 27, 3,

6 6 0, 3,

2 3 0 2.

A A

A B B

B C C

Отже, 3 2ч.н 3 3 2 .xy x x x e Тепер указуємо загальний розв'язок

неоднорідного рівняння: 2 3 2з.н з.о ч.н 1 2 3 3 2x x xy y y c e c e x x x e .

Відповідь: 3 2 21 23 3 2 x xy x x x c e c e .

15

Приклад 14. Розв'язати рівняння 2 5 289 cos2y y y x x .

Розв'язання. Загальний розв'язок з.оy однорідного рівняння:

22 5 0, 2 5 0y y y (характеристичне рівняння),

1,2 1 2i , тоді з.о 1 2cos2 sin2xy e c x c x . Параметри правої частини

спеціального вигляду:

0, 2, 289 , 1, 0, 0.s uP x x s G x u

Знаходимо загальний вигляд ч.нy за методом добору:

2 , 0, max 1,0 1i i v

0 0ч.н 1 1cos2 sin2 cos2 sin2y x e M x x N x x Ax B x Cx D x .

Похідні:

ч.н 2 2 cos2 2 2 sin2 ;y Cx A D x Ax B C x

ч.н 4 4 4 cos2 4 4 4 sin2 .y Ax B C x Cx A D x

Підставимо ч.нy у неоднорідне рівняння та знайдемо невизначені

коефіцієнти , , , :A B C D

ч.н ч.н ч.н2 5 289 cos2 , 4 cos2 4 sin2y y y x x A C x x A C x x

2 4 4 cos2 4 4 2 sin2 289 cos2 ,A B C D x A B C D x x x

cos2 :

sin 2 :

cos2 :

sin 2 :

x x

x x

x

x

4 289, 17,

4 0, 2,

2 4 4 0, 68,

4 4 2 0 76.

A C A

A C B

A B C D C

A B C D D

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння:

ч.н 17 2 cos2 68 76 sin2 .y x x x x

Загальний розв'язок цього рівняння:

з.н з.о ч.н 1 2cos2 sin2 17 2 cos2 68 76 sin2 .xy y y e с x с x x x x x

Відповідь: 1 217 2 cos2 68 76 sin2x xy c e x x c e x x .

Приклад 15. Розв'язати рівняння 2

13 2

1 xy y y

e

.

Розв'язання. Наведене рівняння є лінійним неоднорідним зі сталими

коефіцієнтами та неспеціальною правою частиною. Його загальний розв'я-

зок може бути знайденим за методом варіації сталих.

Характеристичне рівняння: 21 23 2 0, 1, 2.

16

Загальний розв'язок однорідного рівняння з тією ж лівою частиною: 2

з.о 1 2x xy c e c e .

Знайдемо функції 1 2,c x c x із системи:

211 2 2

2 21 2

22

2

,0,1

12 ,

,11

x

x xx

x x xx

x

ecc e c e

e

c e c e ece

e

тоді

2

21 1 2 2

2 2arcsin , 1 .

1 1

x xx x

x x

e ec x dx e c c x dx e c

e e

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння визначається за форму-

лою: 21 2 .x xy c x e c x e

Відповідь: 2 21 2arcsin 1x x x xy c e e c e e

.

Приклад 16. Розв'язати систему диференціальних рівнянь

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2 2 3 ,

2 2 ,

.

x x x x

x x x x

x x x x

Розв'язання. Маємо справу з однорідною системою x Ax лінійних

диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Складемо характеристичне рівняння та відшукаємо його корені:

det 0A E ,

2

2 2 3

1 2 2 0, 3 1 0,

1 1 1

1 1 – корінь кратності 1 2m , 2 3 - корінь кратності 2 1m .

Власний вектор 1 2 3; ;T

h h h h , відповідний власному значенню 1 1 :

1 0A E h ,

1 2 3

1 2 3

1 2

2 3 0,

2 0,

0,

h h h

h h h

h h

1 3

1 22 3

,1, 1

h hh h

h h

при 1

3 1 1; 1; 1T

h h .

17

Перший частинний розв’язок системи:

11 11; 1; 1 ; ; .

TTt t t t tx e h e e e e

Ще один частинний розв’язок шукаємо у вигляді:

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

, ,

, ,

.

t t

t t

t t

x A B t e x A B B t e



Підставляємо ці вирази в початкову систему та добираємо невизна-

чені коефіцієнти:

1 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 2 1 1 2 2 3 3

3 3 3 1 1 2 2 3 3

2 2 3 ,

2 2 ,

t t t t

t t t t

t t t t

A B B t e A B t e A B t e A B t e



1 1 2 3

2 1 2 3 1

3 1 2 3 2

1 1 1 2 3 1

22 2 1 2 3

3 3 1 2 3

2 2 3 ,

2 2 , 1,

, 0,

2 2 3 , 1,

12 2 ,

B B B B

B B B B A

B B B B A

A B A A A B

BA B A A A

A B A A A

при 3 30, 1.A B

Другий частинний розв’язок системи, що відповідає 1 1 , знайде-

ний:

21 2 3; ; 1 ; ; .

TT t t tx x x x t e te te

Власний вектор h , що відповідає власному значенню 2 3 :

1 2 32 3

1 2 3 1 21 3

1 2 3

2 3 0,5 ,

2 0, 7, 57

2 0,

h h hh h

h h h h hh h

h h h

при 3 1h

27; 5; 1 .

Th

Третій частинний розв’язок системи:

23 2 3 3 3 37; 5; 1 7 ; 5 ; .TTt t t t tx e h e e e e

18

Розв'язки 1 2 3

, ,x x x лінійно незалежні. Загальний розв’язок

початкової системи 1 2 3

1 2 3x c x c x c x 1 2 3; ;T

x x x

3 3 31 2 3 1 2 3 1 2 31 7 ; 5 ; .

Tt t t t t tc c t e c e c c t e c e c c t e c e

Відповідь:

31 1 2 3

32 1 2 3

33 1 2 3

1 7 ,

5 ,

.

t t

t t

t t

x c c t e c e

x c c t e c e

x c c t e c e

Приклад 17. Розв'язати систему 1 1 2

2 1 2

6 5 13 ,

5 2 1.

x x x t

x x x

Розв'язання. Це – неоднорідна система x Ax f t лінійних дифе-

ренціальних рівнянь зі спеціальним виглядом неоднорідності.

Корені характеристичного рівняння:

6 50

5 2

,

21,24 13 0, 2 3i корені кратностей 1,2 1.m

Власний вектор 1 2;T

h h h , відповідний власному значенню

1 2 3i :

2 2

1 21

1 2

4 3 5 0, 4 34 3

55 4 3 0

i h h ih h h i

h i h

при 1 5h

5;4 3T

h i .

Комплексний частинний розв’язок однорідної системи x Ax , що

відповідає початковій системі:

1 2 3 2 25;4 3 5 cos3 sin3 ; 4cos3 3sin3Ti tt t t

kx e h e i e t i t e t t

4sin3 3cos3 ,T

i t t де використана формула Ейлера cos sinie i .

Два лінійно незалежних дійсних частинних розв’язки тієї ж однорід-

ної системи:

1 2 2Re 5 cos3 ; 4cos3 3sin3 ,T

t tkx x e t e t t

2 2 2Im 5 sin3 ; 4sin3 3cos3 ,T

t tkx x e t e t t

19

де Re ,Imz z – дійсна та уявна частини комплексної величини z .

Загальний розв’язок однорідної системи: 1 2

з.о 1 2x c x c x

2 21 2 1 2 1 25 cos3 sin3 ; 4 3 cos3 3 4 sin3

Tt te c t c t e c c t c c t .

Параметри вектор-функції 13 ; 1 :T

f t t

0, 0, 13 ; 1 ,T

sP t t 1, 0;0 , 0.T

us G t u

Вигляд частинного розв’язку ч.нx початкової неоднорідної системи:

0, 0i (кратність i як кореня характеристичного рівняння),

ч.н 1ч 2чmax , max 1,0 1 ; cosT t

vv s u x x x e M t t

01 1 1sin cos0 sin0 ;

TT TTvN t t e M t N t M t At B Ct D

1ч 2ч, .x At B x Ct D

Підставимо ч.нx у неоднорідну систему та знайдемо його:

6 5 ,

6 5 13 , 0 6 5 13,

5 2 1,5 2 1

0 5 2

A B D

A At B Ct D t A C

C B DC At B Ct D

A C

ч.н2, 5 2 2;5 2 .T

A B D C x t t

Загальний розв’язок неоднорідної системи:

2з.н 1 2 з.о ч.н 1 2; 2 2 5 cos3 sin3 ;

T tx x x x x t e c t c t

21 2 1 25 2 4 3 cos3 3 4 sin3

Ttt e c c t c c t .

Відповідь:

21 1 2

22 1 2 1 2

2 2 5 cos3 sin3 ,

5 2 4 3 cos3 3 4 sin3 .

t

t

x t e c t c t

x t e c c t c c t

20

Контрольні завдання до теми «Диференціальні рівняння»

Завдання 1. Розв’язати рівняння (див. приклади 1,2); знайти частин-

ні інтеграли або частинні розв’язки, що задовольняють вказану умову (за-

дача Коші):

1. 2tg 3 3 tg , 1.4

y x y y x y

2. 2 2 2 2 2

2 1 cos 2 1 sin , .2 8

x ydy xdx x ydy y

3. 2 11 arcsin , ln2 .

2

x xe y y e y y y

4. 2 4 1 0, 2 0.yxe dx x dy y

5. 22 1sin sin , 0 2.y y x y x y

6. 2 3 2 3 2cos 1 sin cos 0, 0.2

y x y dy y x xdx y

7. 2 24 4, 0 5.y x y y y y

8. 23 1, .

3 8

xy dx ctg dy ydx y

9. 2 3cos ( ) , (ln ) 2.x x xy e e y ye y

10. 2 2cosec arctg 1 cos 0, tg1.2

x y dy y xdx y

11. sin 1 cos cos 0, 1 .2

x ydy x y x y dx y

12. 41 1, 0 0.

2 2

xy e y y y y

13. 2

tg , 0.36

ydx x xdy ydx y

14. cos cos , 0 1.2 2

x xy y y

15. 2 2 2 21 1 1 2 2 arcsin 0, 1 0.x x y dy x y xy ydx y

16. 2

6326 62 sin 0, 1.

4096

yxy x y

x

21

17. 1 0,5cos 1 , 0 3.y dx xdy y dx y

18. 2 2 2 6 6ctg tg 1 1 , 0.4

x y y x y y y

19. 2sec 1cos 1 , 3 ln2.6 6

y y yx xe dy e dx e dx y

20. 2sin cos sin cos cos , .y xdy x ydx ydx y

21. 2 2 2sin 2 ln 2 , 1.2

y x xy y xy y

22. 22cos sin sin 2 , 0.2

xdy y xdx xdx dy y

23. 2, 36 ln 90.y

e y xy y y

24. 2 24 sec arctg , 0 .2

xy x y y y y

25. 3 2

2 213 cos 0, 0 .

16

ydx y xdy x

x

26. 2 1 arctg y 0, 0 1.x x xy y e ye dx e x dy y

27. ln cos cos2 cosec cos , .2

y y y x x x y x y e

28. 2 2 21 sec 2 0, 0 0.x y xy dx x x dy y

29. 2 1 ctgctg , 0 .

1 4

x yy y y e y

x

30. 2 24 tg tg , 0 4 .xydx ydy e ydy y

Завдання 2. Розв’язати рівняння (приклади 3,4); знайти частинні ін-

теграли або частинні розв’язки, що задовольняють вказану умову (задача

Коші):

1. 2 2 24 2 0, 3 .x xy y dx x dy y e e

2. 2 2 2, 1 1.x y x xy y y

3. / / 2 , 1 2ln2.y x y xxe dy x y e x dx y

22

4. 21sec 1 ctg , 1 .

3

y y yy y

x x x

5. 2 2 3 2 3 0, .x y xy y dx xy x dy y e e

6. 2 2

2

2, 1 1.

2

x xy yy y

xy x

7. / 2 / /2 2 , 1 0.y x y x y xxe dy xe ye x dx y

8. 2 24 0 , 1 1.xy y x y x y

9. 2 2 22 3 2 , 1 1.x xy y dx x xy dy y

10. 24 , 1 ln 2.

x

yx xx e x

y y

11. 2 2 2, 1 2.x y x xy y x

12. 2 2 4sin sin cos , 1 0.x x x

y dx x y dy xy y y

13. 2 2 , 1 1.y x yy y

14. / /sec , 1 ln .x y x yydx x ye e dy x

15. 3 2 3 2 33 3 3 , .x xy y x x y y y e e

16. 3 4 2 2 3 42 2 2 , 1 1.xy x dy x y x y y dx y

17. 2

1 1 ln ln , 1 1.yx x y x x

18. 3 4 3 3 42 2 , 1 1.xy x dy xy x y y dx y

19. 2 , 1 0.x y

yx x y xy

20. / /2 1 , 1 0.y x y xxy xe e y y

21. 22 , 1 0.y y xdx xy y x y x y x dy x

22. 2

2 , 1 4.x xy y x y y x y

23

23. 2 2 2

2 sin cos 2 sin 0, 1 .6

x x xy dx y x dy x

y y y

24. 1 2 ln ln , 1 .xdy y x ydx y e

25. 1 ln ln , 1 .xy y y x y e

26. 2sin sec , 1 .6

x xyx x y x

y y

27. 2 2 20,5 , 0.x xy dy x xy y dx y e

28. 2

2 3 3 3 3 , 0.x yx x y x y x e

29. 231

, 1 0.3

x dy y x y x dx y

30. 2 2 , 1 1.x xy x y y x y y y

Завдання 3. Розв’язати рівняння (приклади 5,6); знайти частинні ін-

теграли або частинні розв’язки, що задовольняють вказану умову (задача

Коші):

1. 33 2 , 0 0.xy y xe y

2. 2 ln , 1 1.xy y x x y

3.

2

2 1, 0 0.

2 1 cos 2

y xy y

x x

4. ln

2 , 2 .ln

y xy y e e

x x y

5. 2 22 , 1 .xxy y e y e

6. 21 1 1 , 0 .2

y x x x y x y

7. 33 2

sinctg , .

2 23

xy y x y

x

8. 3 22 3 sin3 0, .xy y x x y

9. 2

2

1arctg arctg , 1 .

41y x y x y

x

24

10. 6

2 2, 4 60.

6 3 1

y x xy y

x y x

11. 2 3 5cos sin 3sin cos , .

4 4y x y x x x y

12. 2 4 cos2 , .xy y x x y

13. 2 2 22 0, 1 .xx y y e y e

14. 2 1 2 2cosec , .xy y y

x

15. 246 2 1 , 1 1 .xxy y x e y y e

16. 2 3 22 ctg2 3 sin2 0, .

3 3

xy y x y e x ye

17. 2 3

2 22 3 sec , .16 32

xy y x x y

18. 242 2 , 1 2 .xxy y x e y e

19. 3cos 6

tg , .2 6 4

xy y x y

y

20. 2

2

12 , 1 .

41x y xy y

x

21. 2 22 sin 0, .

2xy y x x y

22. 2 3 22 1 , 0 1.xx y y xy e y

23. 2 1 1 1 0 , 4 3.x x y x y x x y

24. 2

1, 0 0.1

xyy y

x

25. cos sin 2cos2 , 1.y x y x x y

26. 3 21 1 1

tg 2cos 0, .x y xy yx x

27. 2 , 1 2 .xxy y e y e

28. sin 1 cos , 2.4

y x x y y

25

29. 2ln 2

4 tg2 4 ctg2 cos2 , .8 8

y y x y x x y

30. 2

4 2 3 2 21 1 2 1 0, 1 0.x x y x x y x y

Завдання 4. Знайти інтегрувальний множник даного рівняння; пе-

ретворити останнє у рівняння в повних диференціалах та розв’язати його

(приклади 7,8):

1. 2 2 2 2 22cos sin 2 sin .xy xy xy dx x y xy dy

2. 1 .yxdy ydx y e dy

3. 2 21 2 1 0.xydx x y x dy

4. 22 0.x y dx x xy x dy

5. 2 ln 0.y x y dx x y x x x dy

6. 23sin cos 2 cos sin sin .y x ydy x ydx

7. 2 2 3 34 4 2 2 .x y dx y x y y dy y

8. ln 2 2ln 3 0.y y y x dy y y dx

9. 24 2 3 0.x xye x x dx x e y dy

10. sin sin cos sin cos 0.y x y dx x x y dy

11. cos sin 2sin 3 cos 0.y x y x dx x y x dy

12. 2 21 2 2 2 0.x xy dx ydy

13. 22 arcsin 2 1 arcsin 0.y y y x dx x y y y dy

14. 2 2 2sin2 sin2 sin sin 0.x x x y dx y x x y dy

15. 3 32 23 3 33 sin cos 3 sin .x x x y x dx x xdy

16. 3 2 23 6 .x y dy x ydx

17.

2

2tg0.

dx dy ydy

x yx y

18. 2 21 1 2 arctg .x y dx x y x dy

26

19. 2 2 22 ln 2 ln 0.x x x y dx xy xdy

20. cos cos 2sin sin 2sin sin .y x y y x y dy y x y dx

21. 22 2 0.ydx x y xy dy

22. 2 24 6 sin2 sin 3sin 2 cos cos 0.x y x xdx x y x xdy

23.

2 2

sin cos2 3cos .

x y y yx yydx dy

x x y x y

24. cos 1 sin 1 2 .y x y x x ye e dy e e e e dx

25. 2cos cos cos sin sin 2 cos 0.x y ydx x y y y dy

26. 3 33 cos 4 cos 0.y x y x dx x x y dy

27. 3 32 23 3cos 3 3 2 sin 0.y x x dx x y x dy

28. 2 4 2 23 3 1 3 arctg 0.y x x dx x y x dy

29. 2 22 3 3 3 2 0.x y dx x y xy x y dy

30. 3 3 2 42 cos sin cos 3 sin cos 0.x y y ydx x y y dy

Завдання 5. Розв’язати рівняння (приклади 9, 10, 11); знайти час-

тинні інтеграли або частинні розв’язки, що задовольняють вказані умови

(задача Коші):

1. 2sin sin2 1, 1, .

2 2 2y x y x y y

2. 2

2 0 , 0 0 1.yy yy y y y y

3. 2 ln21 arctg , , 1.

4 2 4xy y y y y

4. 2 1

ln , 1, .y y y y y e y ee

5. 2ctg sin 0, 0, 1.

2 2y y x x y y

6. 2

, 0 0 .y y y yy y y e

27

7. 2 2

2 22 1 , 2, .

16 16 2xy y y y

8. 2 2 3 33 , 1.

5 5yy y yy y y y

9. 2 , 1 2 , 1 .xy xy e y e y e

10. 22cos sin2 , 0 0, 0 1.y y y y y y y

11. 2 1

2 1 0, , .4 8 4 2

y y y y y

12. 2

1 arctg , 0 , 0 1.4

y y y y y y y

13. 3 22 cos , 1, 0.xy y x x y y

14. 2

2 , ln2 ln2 1.y yy yy y y

15. 2

ln ln , 1, .y x y x x y y e y ee

16. 3 2 2 1 1

, .2 2

y y y y y y y e

17. 2 12ln , 1 0, 1 .

3x y xy x y y

18. 2

2 , 1 0, 1 1.yy y y e y y

19. 22 1 , 1 1 2 .xy x y y y e

20. 2 3 3 3 3 8

1 3cos2 sin2 0, , .8 3 8 9

y y y y y y

21. sin 3cos sin cos , 0 0, 0 1.xy x y x e x y y

22. 2 2 1 1

sin cos ctg sin , , 2.4 4 4

y y y y y y y y y

23. 2 cos , 0 2, 0 1.y y x y y

24. 2

ln 1 ln 0, 1 , 1 .2

eyy y y y y e y

25. 21 1 1 , 0 0 0.y x xy x y y

26. 2 32 , 0 0 1.yy y y y y y

28

27. 3 3, 0 , 0 .

6 3y y y y y

28. 3 2

, 1 1 1.y y yy y y

29. 3 22 2 1 2 1 sin , 0 2, 0 1.y x y x x x y y

30. 2 2 2 2

tg tg 1 sin 0, 0 , 0 .4 2

y y y y y y y y

Завдання 6. Розв’язати рівняння (приклад 12); у дужках наведені де-

які корені характеристичного рівняння:

1. 4 3 18 0 3 .y y y y

2. 4 4 0 1 .y y y y

3. 2 2 10 25 0 2 .IV

y y y y y i

4. 2 7 28 52 0 3 2 .IV

y y y y y i

5. 8 21 20 0 4 .y y y y

6. 7 5 75 0 5 .y y y y

7. 2 23 24 144 0 3, 4 .IV

y y y y y

8. 13 45 25 250 0 5, 2 .IV

y y y y y

9. 3 10 24 0 2 .y y y y

10. 12 48 64 0 4 .y y y y

11. 12 58 132 121 0 3 2 .IV

y y y y y i

12. 7 9 18 0 3 .IV

y y y y y i

13. 7 8 16 0 4 .y y y y

14. 4 30 0 3 .y y y y

15. 4 14 36 45 0 3 .IV

y y y y y i

16. 2 8 6 63 0 2 3 .IV

y y y y y i

17. 10 0 2 .y y y

18. 10 33 36 0 3 .y y y y

19. 4 14 20 25 0 1 2 .IV

y y y y y i

29

20. 7 7 15 0 5 .y y y y

21. 17 65 0 5 .y y y y

22. 8 35 294 0 7 .y y y y

23. 6 12 6 11 0 .IV

y y y y y i

24. 2 6 8 40 0 1 3 .IV

y y y y y i

25. 12 39 28 0 4 .y y y y

26. 1

18 3 4 0 .3

y y y y

27. 8 42 104 169 0 2 3 .IV

y y y y y i

28. 6 16 20 12 0 1 .IV

y y y y y i

29. 1

4 16 19 5 0 .2

y y y y

30. 2 30 0 3 .y y y y

Завдання 7. Розв’язати рівняння (приклади 13, 14); знайти частин-

ний розв’язок, що задовольняє вказані умови (задача Коші):

1. 22 5 10 4 cos2 , 0 2, 0 6.x xy y y e e x y y

2. 24 5 5 14 2 cos sin , 0 3, 0 2.xy y y x e x x y y

3. 22 2sin2 6cos2 9 , 0 3, 0 1.xy y y x x e y y

4. 33 14cos3 8sin3 18 , 0 0, 0 3.x xy y e x x xe y y

5. 24 4 8 25cos5 , 0 0, 0 2.xy y y e x y y

6. 2 10 6 sin3 10 8, 0 0, 0 1.xy y y e x x y y

7. 24 29 20 cos5 54 26 , 0 0 3.x xy y y e x x e y y

8. 34 4cos2 8sin2 13 6 , 0 2, 0 1.xy y x x x e y y

9. 5 210 25 6 4 10cos 20sin ,x xy y y x e e x x

0 0, 0 4.y y

10. 3 56 25 24 cos4 36 20 , 0 2, 0 1.x xy y y e x x e y y

11. 2 26 10 2 4 cos4 9sin4 ,x xy y y x e e x x

0 0, 0 4.y y

30

12. 48 16 18 40cos2 20sin2 , 0 5, 0 13.xy y y xe x x y y

13. 24 13 12sin3 6cos3 24 18 ,x xy y y e x x e x

0 0 3.y y

14. 3 36 9 5cos5 311sin5 12 6 ,x xy y y e x x e x

0 2, 0 17.y y

15. 24 3 10 8 102 sin3 , 0 3, 0 13.x xy y y x e e x y y

16. 5 47 10 12 4 6cos2 22sin2 ,x xy y y x e e x x

0 4, 0 24.y y

17. 24 4 10 18 52cos4 36sin4 ,xy y y x e x x

0 8, 0 17.y y

18. 4 28 25 12cos3 6sin3 13 22 ,x xy y y e x x x e

0 4, 0 26.y y

19. 3 35 6 6 5 580 cos2 ;x xy y y x e e x

0 11, 0 66.y y


0 5, 0 12.y y

21. 4 58 16 6 8 90 2cos3 sin3 ,x xy y y x e e x x

0 3, 0 28.y y


0 4, 0 16.y y

23. 412 12 14 cos 43sin ,xy y y e x x x

0 7, 0 17.y y

24. 32 24 6 13cos5 129sin5 ,x xy y y x e e x x

0 0, 0 21.y y

25. 2 34 20 16 sin4 cos4 82 21 ,x xy y y e x x x e

0 0, 0 1.y y


0 8, 0 10.y y

27. 26 20 11 78 sin3 , 0 0, 0 4.x xy y y x e e x y y

31


0 8, 0 2.y y

29. 4 38 17 8cos 6sin 2 2 ,x xy y y e x x x e

0 8, 0 42.y y

30. 36 9 30 10 2cos5 76sin5 ,xy y y x e x x

0 3, 0 25.y y

Завдання 8. Розв’язати рівняння (приклад 15):

1. 4

5 6 .

1

x

x

ey y y

e

2.

3

32

6 9 .

1

xey y y

x

3. 4

3

2sin8 16 .

cos

xxy y y e

x

4. 2

34 5 .

sin

xey y y

x

5. 3

2

24 3 .

1

x

x

ey y y

e

6. 2

92 10 0.

sin3 cos 3

xey y y

x x

7. 3 2 sin .xy y y e

8.

7

23

95 4 0.

1

x

x

ey y y

e

9. 4

cos22 5 8 .

sin 2

x xy y y e

x

10. 5

3

92 0.

1

x

x

ey y y

e

11. 22

4 4 ln .xy y y e xx

32

12.

12

210

6 50 .

1

x

x

ey y y

e

13. 2 cos4 4 .

4

x xy y y e

x

14.

5

32 2

7 12 .

1

x

x

ey y y

e

15. 5 1

10 25 .2

x xy y y e

x x

16. 2

3

184 13 0.

cos 3

xey y y

x

17. 11

8

322 3 .

1

x

x

ey y y

e

18.

3

24

80.

1 4

x

x

ey y

e

19. 51

10 25 .x xy y y ex

20. 4

2

1 ln8 16 .x x

y y y ex

21. 2

3

254 29 .

2sin 5 1 ctg5

xey y y

x x

22. 7 42 3 16 cos .x xy y y e e

23. 33

6 9 .1

xey y y

x

24. 3 ctg

36 10 .

sin

x xey y y

x

25. 2

cos2 .

sin

x xy y y e

x

26. 26 8 4sin 2 .xy y y e

33

27. 6

3

212 36 0.xx

y y y ex

28. 2

22 .

4

xey y y

x

29.

3

23 2 0.

1

x

x

ey y y

e

30. 2

3 3

12ctg 26 13 .

sin 2x

xy y y

e x

Завдання 9. Розв’язати систему dx

xdt

(приклад 16); у дужках на-

ведені корені характеристичного рівняння:

1.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2

2 ,

3 3 7 ,

7 3 ;

x x x x

x x x x

x x x

1 2 31, 2, 5 .

2.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

5 4 2 ,

25 14 5 ,

19 9 2 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2,31, 3 2 .i

3.

1 1 2

2 1 2 3

3 1 2 3

5 2 ,

6 ,

4 4 3 ;

x x x

x x x x

x x x x

1,2 33, 1 .

4.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2 10 4 ,

2 7 2 ,

2 8 3 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 31, 1, 2 .

5.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

19 44 8 ,

12 27 4 ,

8 26 9 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 33 2 , 5 .i

6.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

24 28 12 ,

13 16 6 ,

14 16 8 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 32, 4 .

34

7.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 3

5 4 8 ,

8 7 8 ,

3 ;

x x x x

x x x x

x x

1,2 33, 1 .

8.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

9 7 13 ,

4 8 13 ,

8 9 16 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 32 , 3 .i

9.

1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2 ,

19 18 28 ,

10 10 16 ;

x x x

x x x x

x x x x

1,2 31, 4 .

10.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

12 2 8 ,

7 7 8 ,

14 10 14 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 32, 2, 5 .

11.

1 1 2

2 1 2 3

3 1 2 3

13 16 ,

12 7 4 ,

20 12 7 ;

x x x

x x x x

x x x x

1,2 31 4 , 3 .i

12.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

6 8 2 ,

6 4 ,

2 14 9 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 34, 1 .

13.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2

2 2 ,

8 7 6 ,

2 ;

x x x x

x x x x

x x x

1 2 31, 2, 3 .

14.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

16 9 10 ,

23 14 14 ,

5 2 4 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 32 , 2 .i

15.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

10 4 4 ,

6 6 8 ,

15 8 10 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 34, 2 .

16.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

13 36 6 ,

4 11 2 ,

4 12 3 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 31, 3 .

35

17.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

13 46 8 ,

5 18 3 ,

5 20 3 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 3, 2 .i

18.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

11 32 7 ,

2 4 ,

6 28 6 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 32, 3 .

19.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

66 8 108 ,

36 2 60 ,

34 4 56 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 32, 4, 6 .

20.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

22 18 21 ,

12 2 24 ,

18 12 20 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 31 3 , 2 .i

21.

1 1 2 3

2 2 3

3 1 2 3

13 2 28 ,

3 4 ,

8 17 ;

x x x x

x x x

x x x x

1,2 31, 3 .

22.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

18 8 28 ,

20 10 28 ,

10 4 16 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 32, 4 .

23.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

77 28 110 ,

40 15 56 ,

44 16 63 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 31 2 , 1 .i

24.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

9 2 4 ,

31 14 22 ,

23 8 13 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 33, 4 .

25.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

8 2 4 ,

3 15 22 ,

6 6 8 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 32, 3, 4 .

26.

1 1 3

2 1 2 3

3 1 2 3

11 2 ,

42 13 23 ,

31 5 11 ;

x x x

x x x x

x x x x

1,2 35 , 3 .i

36

27.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

13 4 24 ,

11 20 ,

14 4 25 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 35, 1 .

28.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

31 52 36 ,

10 15 14 ,

4 8 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 33, 5, 7 .

29.

1 1 2 3

2 2 3

3 1 2 3

43 16 63 ,

2 3 ,

26 10 37 ;

x x x x

x x x

x x x x

1,2 32 3 , 4 .i

30.

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

18 6 26 ,

18 7 27 ,

17 6 25 ;

x x x x

x x x x

x x x x

1,2 31, 2 .

Завдання 10. Розв’язати систему (приклад 17); знайти частинний

розв’язок, що задовольняє вказані умови (задача Коші):

1. 1 1 2

2 1 2

2 ,

4 6 15cos 8sin ;

x x x

x x x t t

1 20 1, 0 3.x x

2. 1 1 2

2 1 2

3 9 20 ,

10 10 ;

x x x t

x x x

1 20 0 0.x x

3. 1 1 2

2 1 2

52 30 9 ,

87 50 15 ;

t

t

x x x e

x x x e

1 20 11, 0 18.x x

4. 1 1 2

2 1 2

14 9 8cos3 6sin3 ,

25 16 ;

x x x t t

x x x

1 20 16, 0 26.x x

5. 1 1 2

22 1 2

26 15 ,

50 29 6 ;t

x x x

x x x e

1 20 2, 0 7.x x

6. 1 1 2

2 1 2

34 20 6 5,

58 34 10 8;

x x x t

x x x t

1 20 11, 0 9.x x

7.

41 1 2

42 1 2

2 9 ,

4 12 ;

t

t

x x x e

x x x e

1 20 7, 0 1.x x

37

8. 1 1 2

2 1 2

13 30 11cos 7sin ,

4 9 4cos 2sin ;

x x x t t

x x x t t

1 20 10, 0 4.x x

9. 1 1 2

2 1 2

41 102 ,

15 37 4cos3 12sin3 ;

x x x

x x x t t

1 20 0, 0 1.x x

10. 1 1 2

2 1 2

13 25 ,

4 7 6 9 ;

x x x

x x x t

1 20 1, 0 1.x x

11. 1 1 2

2 1 2

7 6 cos2 3sin2 ,

12 10 ;

x x x t t

x x x

1 20 0, 0 1.x x

12. 2

1 1 2

2 1 2

21 13 26 ,

25 15 ;

tx x x e

x x x

1 20 0 0.x x

13. 1 1 2

2 1 2

9 4 21 ,

9 3 27 ;

x x x t

x x x t

1 20 7, 0 9.x x

14. 1 1 2

2 1 2

17 12 ,

24 17 ;

x x x

x x x t

1 20 0, 0 2.x x

15. 1 1 2

2 1 2

33 26 ,

50 39 10 ;t

x x x

x x x e

1 20 0 0.x x

16. 1 1 2

2 1 2

10 9 4 1 ,

16 14 ;

x x x t

x x x

1 20 0, 0 2.x x

17. 1 1 2

2 1 2

6 15 3 5,

6 13 2;

x x x t

x x x t

1 20 4, 0 2.x x

18. 1 1 2

2 1 2

23 34 4 cos sin ,

13 19 ;

x x x t t

x x x

1 20 0 0.x x

19. 1 1 2

32 1 2

8 9 ,

4 4 25 ;

t

x x x

x x x e

1 20 1, 0 14.x x

20. 3

1 1 2

2 1 2

16 12 ,

30 22 ;

tx x x e

x x x

1 20 0, 0 1.x x

21. 1 1 2

2 1 2

20 13 4cos ,

34 22 7cos ;

x x x t

x x x t

1 20 18, 0 36.x x

38

22. 1 1 2

2 1 2

10 4 25 ,

9 2 ;

tx x x e

x x x

1 20 3, 0 4.x x

23. 1 1 2

2 1 2

72 30 ,

175 73 cos3 5sin3 ;

x x x

x x x t t

1 20 1, 0 3.x x

24. 1 1 2

2 1 2

63 26 5 2,

148 61 ;

x x x t

x x x

1 20 14, 0 41.x x

25. 1 1 2

2 1 2

15 4 60sin ,

25 5 5cos 99sin ;

x x x t

x x x t t

1 20 0 1.x x

26.

21 1 2

22 1 2

59 40 21 ,

84 57 29 ;

t

t

x x x e

x x x e

1 20 0 0.x x

27.

1 1 2

2 1 2

164 116 ,

232 164 16 1 ;

x x x

x x x t

1 20 0, 0 1.x x

28. 1 1 2

2 1 2

11 4 20cos2 21sin2 ,

9 ;

x x x t t

x x x

1 20 2, 0 1.x x

29. 1 1 2

2 1 2

17 6 ,

35 12 12 ;t

x x x

x x x e

1 20 2, 0 9.x x

30. 1 1 2

2 1 2

116 80 46cos2 42sin2 ,

168 116 68cos2 60sin2 ;

x x x t t

x x x t t

1 20 0 0.x x

39

Розділ 9. РЯДИ

В цьому розділі розглядається розв’язання типових прикладів з теми

«Ряди» (ряди числові, функціональні, Фур’є та їх застосування), надається

список рекомендованої літератури [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10], пропонується 30

варіантів розрахунково-графічних завдань (РГЗ), які складаються із 12

прикладів. Перед виконанням варіанту РГЗ студент повинен вивчити від-

повідний теоретичний матеріал з цієї теми і вміти відповісти на контрольні

питання, які пропонуються.


1. Означення числового ряду. Який ряд називається збіжним, розбі-

жним?

2. Необхідна умова збіжності рядів.

3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами.

4. Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами: інтегральна

ознака Коші, ознака Даламбера, радикальна ознака Коші.

5. Ознака збіжності ряду з довільними членами. Умовна та абсолют-

на збіжність.

6. Знакопереміжний ряд. Умова Лейбніця.

7. Функціональний ряд. Точка його збіжності.

8. Область збіжності функціонального ряду. Як використовують

ознаку Даламбера та радикальну ознаку Коші для знаходження області

збіжності функціональних рядів?

9. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ря-

ду.

10. Ряди Тейлора та Маклорена.

11. Ряди Маклорена функцій 1

, sin , cos , ln 1 , , arctg ,1

xe x x x xx

1 , const.x

12. Означення ряду Фур’є. Теорема Діріхле.

13. Розкладання в ряд Фур’є парних і непарних функцій.

40


Приклад 1. Дослідити ряд

1

2 1

7 5n

n

n


Розв’язання. Скористаємось необхідною ознакою збіжності, за

якою, якщо ряд

1n

n

a

збігається, то lim 0nn

a

. Але, якщо lim 0nn

a

, то

ряд розбігається. Обчислимо 2 1 2

lim lim 07 5 7

nn n

na

n

, з цього випливає,

що ряд розбігається, так як не виконана необхідна умова збіжності.

Відповідь: ряд розбігається.

Приклад 2. Дослідити ряд 3 5

1 3 5

n

n

e

n


Розв’язання. Скористаємось інтегральною ознакою Коші:

якщо функція f x неперервна, додатна, не зростаюча для 1x і

( ) nf n a для всіх n , то справедливо наступне: 1) із збіжності невласного

інтегралу 1

f x dx

випливає збіжність ряду

1n

n

a

; 2) із розбіжності не-

власного інтегралу 1

f x dx

випливає розбіжність ряду

1n

n

a

.

Треба зауважити, що нижньою межею інтегрування в інтегралі

1

f x dx

може бути будь-яке додатне число із області існування функції.

Для заданого ряду умови ознаки Коші виконуються. Дослідимо на

збіжність відповідний ряду невласний інтеграл:

3 5 3 5

3 5 8

1 1

2 2 23 .

13 3 33 5 2 3 5

x xxe e

dx dx e ex x

З цього випливає, що невласний інтеграл збігається, а, значить, і ряд

збігається.

Відповідь: ряд збігається.

41

Приклад 3. Дослідити ряд 3

1

1

5 3 2n

n

n n


Розв'язання. Скористаємось ознакою порівняння в граничній фор-

мі: якщо існує скінченна границя lim 0n

n n

ak

b , то ряди

1n

n

a

і

1n

n

b

з

додатними членами поводять себе однаково (збігаються або розбігаються

одночасно). Для порівняння часто використовують наступні ряди:

а)

1

, 1,1

, 1;n

збігається якщо

розбігається якщоn

б) 1

1

, 1,

, 1.

n

n

збігається якщо qq

розбігається якщо q

Для порівняння візьмемо ряд

1

1

n n

. Обчислимо границю:

3

3

1

1 15 3 2lim lim lim1 55 3 2

n

n n nn

n

n na n n

b n n

n

,

якщо 2 . Оскільки ряд 2

1

1

n n

збігається, то збігається і вихідний ряд.



1

1 4 7 ... (3 2)

!n

n

n


Розв'язання. Скористаємось ознакою Даламбера: якщо для ряду

1n

n

a

з додатними членами існує границя 1lim n

n n

ag

a

, тоді: 1) якщо

1g , то ряд

1n

n

a

збігається; 2) якщо 1g , то ряд

1n

n

a

розбігається;

3) якщо 1g , то ознака відповіді не дає, потрібні додаткові дослідження.

Обчислимо границю:

42

1 3 1 !1 4 7 ... (3 2)(3 1) !lim lim lim

( 1)!1 4 7 ... (3 2) ! 1

n

n n nn

n na n n n

a n n n n

3 1lim 3 1.

1n

n

n

З цього випливає, що вихідний ряд розбігається.



1

1arctgn

n n


Розв'язання. Скористаємось радикальною ознакою Коші: якщо для

ряду з додатними членами

1n

n

a

існує границя lim nn

na g

, тоді: 1) якщо

1g , то ряд

1n

n

a

збігається; 2) якщо 1g , то ряд

1n

n

a

розбігається;

3) якщо 1g , то ознака відповіді не дає, потрібні додаткові дослідження.

Обчислимо границю:

1 1lim lim arctg lim arctg 0 1

n

n nn

n n na

n n

.

З цього випливає, що вихідний ряд збігається.



2

2( 1) arcsinn

n n


Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Скористаємось достат-

ньою ознакою збіжності рядів з довільними членами. Складемо ряд із

абсолютних величин вихідного ряду: 3 3

2 2

2 21 arcsin arcsin

n

n nn n

.

Отриманий ряд є ряд з додатними членами, тому можна скористатись

ознакою порівняння в граничній формі. Для порівняння візьмемо збіжний

ряд 3

1

1

n n

і обчислимо границю:

43

333 3

3

3

22 2arcsin

arcsin 2lim lim 2 0

1n n

nnn n

nn

n

.

Таким чином, ряд, складений із абсолютних величин вихідного ряду,

збігається, а тому вихідний ряд збігається абсолютно.

Відповідь: ряд збігається абсолютно.


1

2 7( 1)

3 4

n

n

n

n


Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Складемо ряд із абсо-

лютних величин вихідного ряду: 2 2

1 1

2 7 2 7( 1)

3 4 3 4

n

n n

n n

n n

. Отриманий

ряд є рядом з додатними членами. Скористаємось ознакою порівняння в

граничній формі. Для порівняння візьмемо розбіжний ряд

1

1

nn

. Обчисли-

мо границю: 2

2

2 7

(2 7) 23 4lim lim 01 3(3 4)n n

n

n nn

nn

, тому ряд із абсолютних

величин розбігається. Це означає, що вихідний ряд не є абсолютно збіж-

ним.

Перевіримо вихідний ряд на умовну збіжність. Скористаємось озна-

кою Лейбніця: якщо члени ряду 1

1

( 1) ( 0)nn n

n

a a

задовольняють умо-

вам: 1) 1 2 3 ... ...;na a a a 2) lim 0nn

a

, тоді ряд збігається і його

сума 1S a .

Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніця:

1) 1 2 3 ... ...na a a a – умова виконується тому, що 1n na a

44

2 2

2 2 2

2 7 3 1 4 2 1 7 3 42 1 72 7

3 4 3 1 4 3 4 3 1 4

n n n nnn

n n n n

2 22

2 22 2

2 7 3 6 7 2 9 3 4 6 48 130

3 4 3 1 4 3 4 3 1 4

n n n n n n n

n n n n

,

отже,

12 2

2 1 72 7

3 4 3 1 4n n

nna a

n n

для будь-якого 1n ;

2)2

2 7lim lim 0

3 4n

n n

na

n

– умова теж виконується, тому за озна-

кою Лейбніця ряд збігається. Але абсолютної збіжності вихідний ряд не-

має, тому він збігається умовно.

Відповідь: ряд збігається умовно.


1

5 2( 1)

7 3

n

n

n

n


Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Перевіримо необхідну

умову збіжності ряду. Для цього знайдемо lim nn

a

. Необхідна умова не ви-

конується, тому що 15 2 15

lim 07 3 7n

n

n

, а, значить, ряд розбігається.


Приклад 9. Знайти область збіжності функціонального ряду

1

nx

n

e

.

Розв'язання. Складемо ряд із абсолютних величин вихідного ряду:

1 1

nx nx

n n

e e

, тому що 0nxe x R , і скористаємось радикаль-

ною ознакою Коші.

Обчислимо границю lim limn nx xn

nn n

U x e e

. За ознакою

Коші цей ряд збігається, коли 1xe , тобто, коли 0,x .

45

Перевіримо цей ряд на збіжність, коли 1xe , тобто при 0x .

Отриманий при 0x числовий ряд має вигляд: 0

1 1

1n

n n

e

. Цей ряд

розбігається, тому що для нього не виконується необхідна умова збіжності.

Отже, область збіжності вихідного ряду є 0, .

Відповідь: 0, .

Приклад 10. Знайти область збіжності функціонального ряду

31

( 3)

2

n

nn

x

n

.

Розв'язання. Скористаємось ознакою Даламбера для ряду, що скла-

дений із абсолютних величин вихідного ряду. Обчислимо границю:

1 31 3

1 3

( ) 3 2 3 3lim lim lim

( ) 2 1 22 1 3

n nn

nnn n nn

U x x n x xn

U x nn x

.

Для всіх х, що задовольняють нерівність 3

12

x , ряд розбігається,

а для всіх х, що задовольняють нерівність 3

12

x , тобто для 1, 5x ,

ряд збігається. Перевіримо на збіжність ряд в точках 1x і 5x .

Числовий ряд, що відповідає 1x , має вигляд: 3

1

11

n

n n

. Цей ряд

збігається за ознакою Лейбніця.

Числовий ряд, що відповідає 5x , має вигляд: 3

1

1

n n

. Цей ряд роз-

біжний. Отже область збіжності вихідного ряду [1, 5).

Відповідь: [1, 5).

Приклад 11. Знайти радіус та область збіжності ряду 2

1

( 3)n

n

x

n

.

Розв'язання. Заданий функціональний ряд є степеневим. Знайдемо

його радіус збіжності за формулою 1

lim .n

n n

aR

a

Таким чином,

46

2

2

2

2

1

1lim lim 1

1

1

n n

nnRn

n

.

Вихідний ряд збігається для всіх х, що задовольняють нерівність

3 1x , або 4 2x . Перевіримо ряд на збіжність в точках, які є кін-

цями інтервалу збіжності.

Числовий ряд, що відповідає 2x , має вигляд 2

1

1

n n

і збігається.

Отже, 2x є точкою збіжності ряду. Числовий ряд, що відповідає 4x ,

має вигляд

21

1n

n n

і теж збігається, більш того, абсолютно. Отже, і

4x є точкою збіжності ряду. Таким чином, область збіжності вихідного

ряду є 4, 2 .

Відповідь: 1R ; 4, 2 .

Приклад 12. Розкласти функцію ( ) ln( 4)f x x в ряд Тейлора в

околі точки 0 3x і вказати область збіжності ряду.

Розв'язання. Відомо, що

1 12 3

1

1 1ln(1 ) ... ... ,

2 3

n nn n

n

t tt tt t

n n

а областю збіжності цього ряду є інтервал ( 1,1] .

Перетворимо задану функцію таким чином:

ln( 4) ln 1 3f x x x .

Замінимо 3x t та одержимо:

2 3 1 1

1

3 3 1 3 1 3ln( 4) 3 ... ...

2 3

n n n n

n

x x x xx x

n n

.

Отриманий ряд збігається, якщо 1 3 1x , або 4 2x .

47

Отже

1

1

1 3ln( 4)

n n

n

xx

n

, а область збіжності – 4, 2 .

Відповідь:

1

1

1 3n n

n

x

n

; 4, 2 .

Приклад 13. Розкласти функцію 4( ) sin3f x x x в ряд Маклорена і

вказати область збіжності ряду.

Розв'язання. Відомо, що

1 12 1 2 13 5

1

1 1sin ... ... ,

3! 5! (2 1)! 2 1 !

n nn n

n

t tt tt t

n n

t .

Замінимо 3t x і одержимо:

1 2 1 2 13 3 1 33

sin3 3 ... ...3! (2 1)!

n n nxxx x

n

.

Тому

1 2 1 2 33 74 5 1 33sin3 3 ... ...

3! (2 1)!

n n nxxf x x x x

n

1 2 1 2 3

1

1 3,

2 1 !

n n n

n

x

n

x .

Відповідь:

1 2 1 2 3

1

1 3

2 1 !

n n n

n

x

n

; , .

Приклад 14. Обчислити наближено

1

6 6

0

1xedx

x

з точністю до

0,01 .

Розв'язання. Використаємо розклад в ряд Маклорена функції te :

48

2

1 ... ...2! !

nt t t

e tn

t .

Тоді 2 2

6 1 661 6 ... ...

2! !

n n nx xx

e xn

x .

2 2 3 3 4 41 1

6 6 2 3 2 4 3

0 0

6 6 66 ...

6 6 62! 3! 4! 6 ...2! 3! 4!

x x xx

x x xdx dx

x

1

2 2 3 3 4 4 5 5 6

0

6 6 6 6 1 1 16 ... 1 0,795

2 2! 3 3! 4 4! 5 5! 4 18 96

x x x xx

.

Задана точність виконана, тому що 51 1

0,015 5! 600

a

.

Відповідь: 0,795 .

Приклад 15. Знайти чотири перших відмінних від нуля члени роз-

кладу в степеневий ряд розв’язку диференціального рівняння

5sin cos 2 0, 0 1, 0 .2

y x y y y y

Розв'язання. Припустимо, що розв'язок цього рівняння може бути

представлений у такому вигляді: 20

0 0 ...,2!

yy x y y x x

де

0 1, 0 .2

y y

Розв'яжемо задане рівняння відносно y :

5sin cos 2,y x y y де 0 1, 0 .2

y y

Знайдемо 0y :

0 5sin0 cos 2,2

y

0 2y .

Оскільки 5cos sin ,y x y y xy y y тому 0 3.y

При необхідності можна продовжувати диференціювання поперед-

ньо отриманого рівняння далі. Таким чином,

49

2 311 ... .

2 2y x x x x

Відповідь: 2 311 ... .

2 2y x x x x

Приклад 16. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію періоду

Рисунок 9.1

8T , задану на проміжку 4,4 :

7, [ 4,0),

2, [0,4].

x xf x

x

Розв'язання. Графік цієї фун-

кції зображено на рис. 9.1.

Якщо функція має період 2l ,

то її ряд Фур'є має вигляд:

0

1

cos sin ,2

n nn

a nx nxf x a b

l l

де 01

( ) ,

l

l

a f x dxl

1( )cos ,

l

n

l

nxa f x dx

l l

1

( )sin

l

n

l

nxb f x dx

l l

, 1,2,... .n

У нашому випадку 4l . Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є:

0

24 0 44

0 04 4 0 4

71 1 1 1 1( ) ( 7) 2 2 7

4 4 4 4 2 4

xa f x dx x dx dx x

,

0 4

4 0

1 1( 7)cos 2cos

4 4 4 4n

nx nxa x dx dx

7 ,

cos4

4sin

4

x u du dx

n xdx dv

nxv

n

0

4

0 04 71 1 1 4sin sin sin

4 44 4 4 2 4

x n x n x n xdx

n n n

f x

x0 448 8 1212

2

3

7

50

2 2

04cos

44

n x

n

2 2

41 1 .

n

n

Таким чином,

2 2

0, 2 ,

8, 2 1.

n

n k

an k

n

0 4

4 0

7 ,

1 1( 7)sin sin sin

4 4 2 4 4

4cos

4

n

x u du dx

nx nx nxb x dx dx dv dx

nxv

n

00 4

4 04

4 71 4 2cos cos cos

4 4 4 4

x nx nx nxdx

n n n

0

2 24

1 28 12 16 2cos sin cos cos0

4 4

nxn n

n n nn

7 3 2 2 5 1

( 1) ( 1) 1 ,nn n

n n n n n n

4, 2 ,

6, 2 1.

n

n kn

b

n kn

Отже,

2 21

7 8 (2 1) 4 2 6 (2 1)( ) cos sin sin

2 4 2 4 (2 1) 4(2 1)k

k x kx k xf x

k kk

.

Відповідь:

2 2

1

7 8 (2 1) 4 2 6 (2 1)cos sin sin

2 4 2 4 (2 1) 4(2 1)k

k x kx k xf x

k kk

.

51

Приклад 17. Розкласти в ряд Фур'є за синусами функцію

3 5f x x , задану на проміжку 0, .

Розв'язання. Для того щоб розкласти в ряд Фур'є неперіодичну функ-

цію, що задана у певному скінченному проміжку, її періодично продовжу-

ють. Отриману в результаті періодичну функцію розкладають в ряд Фур'є.

Цей ряд дає шуканий розклад, тому що на заданому проміжку обидві фун-

кції (вихідна та періодично продовжена) співпадають.

Продовжимо задану функцію на проміжок ,0 непарно, а на всю

числову пряму – періодично з періодом 2T . Графік такої функції зо-

бражено на рис. 9.2 . Ряд Фур'є за синусами має вигляд:

1

sin ,nn

nxf x b

l

де

0

2( )sin , 1,2,...

l

nnx

b f x dx nl l

.

Рисунок 9.2

У нашому випадку l . Обчи-

слимо коефіцієнти ряду Фур’є:

0

2( 3 5)sinnb x nxdx

3 5 , 3

1sin , cos

x u du dx

dv nxdx v nxn

20

0

2 ( 3 5) 3 2 ( 3 5) 3cos cos cos sin

0 0 0

x xnx nxdx nx nx

n n n n

6 10 10

1 1n n

n n n

6, 2 ,

2(10 3 ), 2 1.

n kn

n kn

f x

x023 2 3 4

3 5

3 5

5

5

52

Отже,

1 1

6 2(10 3 )( ) sin2 sin(2 1)

2 (2 1)k k

f x kx k xk k

1 1

sin2 2(10 3 ) sin(2 1)3

(2 1)k k

kx k x

k k

.

Відповідь: 1 1

sin2 2(10 3 ) sin(2 1)3 .

(2 1)k k

kx k xf x

k k

Контрольні завдання за темoю «Ряди»

Завдання 1. Дослідити ряд на збіжність:

1. 10

1 10

n

n

e

n

. 2.

22

1

lnn n n

.

3. 2

1

arctg

1n

n

n

. 4.

32

1

lnn n n

.

5. 2

21

arctg

1n

n

n

. 6.

2 5

1 2 5

n

n

e

n

.

7. 4

21

arctg

1n

n

n

. 8.

1

1 1

n

n

e

n

.

9.

2

1

lnn n n

. 10. 3

2

1

lnn n n

.

11. 2

1 2

n

n

e

n

. 12.

72

1

lnn n n

.

53

13.

1

1

( 1)ln( 1)n

n n

. 14. 3

1

1

( 2)ln ( 2)n n n

.

15.

1

1

( 1) ln( 1)n n n

. 16.

31

1

( 3) ln( 3)n n n

.

17. 5

1

1

( 1)ln ( 1)n n n

. 18.

21

1

( 5)ln ( 5)n n n

.

19. 6

2

1

lnn n n

. 20.

2 1

1 2 1

n

n

e

n

.

21. 3 1

1 3 1

n

n

e

n

. 22.

5 1

1 5 1

n

n

e

n

.

23. 4 7

2 4 7

n

n

e

n

. 24.

4 3

1 4 3

n

n

e

n

.

25. 5

21

arctg

1n

n

n

. 26.

3

21

arctg

1n

n

n

.

27. 2

1

arctg

1n

n

n

. 28.

5

21

arctg

1n

n

n

.

29. 7

21

arctg

1n

n

n

. 30.

6

21

arctg

1n

n

n

.


1. 3

1

1

4 1n n n

. 2.

21

1

27 5 1n n n

. 3.

51

1

2 4 3n n n

.

4. 2

1

1ln 1

n n

. 5.

3

1

1

1n

n

e

. 6. 2

1

1sin

nn

.

7. 2

1

1

(2 1)( 4)n n n

. 8.

41

1

5 3 1n n n

. 9.

1

11 cos

nn

.

54

10.

3

1

1n

n

e

. 11.

1

4ln 1

nn

. 12.

5

2

1

1n

n

e

.

13. 3

1

2ln 1

n n

. 14.

31

2sin

n n

. 15.

1

4sin

n n

.

16. 4

1

3sin

n n

. 17. 5

1

3ln 1

n n

. 18.

31

5ln 1

n n

.

19. 2

1

1

(3 7)(2 1)n n n

. 20.

31

1

4 5 7n n n

. 21.

21

1

( 4)n n n

.

22.

1

1

( 2)n n n

. 23.

31

1

( 4)n n n

. 24.

51

1

( 7)n n n

.

25. 3

1

1

( 8)n n n

. 26.

21

1

( 3)n n n

. 27.

31

1

( 10)n n n

.

28. 7

1

1

( 2)n n n

. 29.

2 31

1

(5 4)n n n

. 30.

231

1

( 7)n n n

.


1. 2

1 3nn

n

. 2. 3

15nn

n

. 3.

1

!

2nn

n

.

4. 4

1 3nn

n

. 5.

1

!

4nn

n

. 6.

1

3

!

n

nn

.

7.

1

2

( 1)!

n

nn

. 8. 2

1

( 1)

2nn

n

. 9.

1

1

5

( 1)!

n

nn

.

10. 4

15nn

n

. 11.

1

1 3 5 ... (2 1)

!n

n

n

. 12.

5

13nn

n

.

13.

1

2 4 6 ... (2 )

!n

n

n

. 14.

1

( 1)!

1 3 5 ... (2 1)n

n

n

. 15.

3

16nn

n

.

55

16.

1 2nn

n

. 17.

1

3

( 2)!

n

nn

. 18. 7

1 2nn

n

.

19. 3

1 3nn

n

. 20. 4

1 6nn

n

. 21.

1 4nn

n

.

22. 3

1

( 2)

4nn

n

. 23.

3

1

( 1)

5nn

n

. 24.

1

4

!

n

nn

.

25. 3

1

( 5)

7nn

n

. 26.

3

1 2nn

n

. 27.

1

!

2 4 6 ... 2n

n

n

.

28. 5

1

( 4)

7nn

n

. 29.

21

2 !

( 1)

n

n

n

n

. 30.

31

3 !

( 2)

n

n

n

n

.


1.

1

1arcsinn

nn

. 2. 2

1

1arctgn

n n

. 3.

1

2 1

3 1

n

n

n

n

.

4.

1

2 3

4 5

n

n

n

n

. 5.

1

5 1

3 2

n

n

n

n

. 6.

1

1arcsinn

n n

.

7. 3

1

1arctgn

n n

. 8.

1

2

3 10

n

n

n

n

. 9.

1

7

2 1

n

n

n

n

.

10.

1

3 7

5 2

n

n

n

n

. 11.

1

4 1

8 5

n

n

n

n

. 12.

1

7 5

9 1

n

n

n

n

.

13.

1

2 5

7 3

n

n

n

n

. 14.

1

3 8

2 1

n

n

n

n

. 15.

1

7 11

12 1

n

n

n

n

.

16.

1

2arctgn

n n

. 17. 3

1

5arctgn

n n

. 18. 3

1

3arctgn

n n

.

19.

1

3arcsin

9

n

n n

. 20.

21

1arcsinn

n n

.

21.

1

arcsin7

n

n

n

n

. 22.

1

arctg1

n

n

n

n

.

56

23.

1

5arctg

7

n

n

n

n

. 24.

1

1arctg

3 2

n

n

n

n

.

25.

1

3arcsin

2 1

n

n

n

n

. 26.

1

arcsin2 5

n

n

n

n

.

27.

1

4 7

5 2

n

n

n

n

. 28.

1

3 5arcsin

3 1

n

n

n

n

.

29.

1

3 1arctg

2

n

n

n

n

. 30.

1

2 7

3 1

n

n

n

n

.


1.

1

1( 1)

2 ( 3)

n

nn

n

n

. 2.

1

1( 1) arctg

3

n

nn

. 3.

1

1( 1) arcsin

2

n

nn

.

4. 3

1

1

( 1) ( 1)n n

n

e

. 5. 2

1

( 1)5

n

nn

n

. 6.

1

( 1)7

n

nn

n

.

7. 3

1

4( 1) ln 1n

n n

. 8.

21

5( 1) ln 1n

n n

. 9.

1

4 1( 1)

5 3

nn

n

n

n

.

10. 5

1

1( 1)

4

n

n n

. 11. 2

4

1

( 1) 1n n

n

e

. 12.

1

1( 1) arctg

5

n

nn

.

13.

1

1( 1) arcsin

4

n

nn

. 14. 2

1

( 1)4

n

nn

n

. 15. 2

1

1( 1) arctgn

n n

.

16.

1

7( 1)

!

nn

nn

. 17.

1

2( 1)

!

nn

nn

. 18.

1

3( 1)

!

nn

nn

.

19. 5

1

2( 1) ln 1n

n n

. 20.

4

7

1

( 1) 1n n

n

e

. 21. 3

1

( 1)5

n

nn

n

.

22.

1

1( 1)

3

n

nn

n

. 23.

1

2( 1)

5

n

nn

n

. 24.

1

3( 1)

7

n

nn

n

.

57

25.

1

( 1)( 1)

5

n

nn

n n

. 26.

2

1

( 1)( 1)

3

n

nn

n n

. 27.

1

3( 1)

2 5

nn

n

n

n

.

28. 3

1

( 1)( 1)

2

n

nn

n n

. 29.

1

( 3)( 1)

3

n

nn

n n

. 30.

21

1( 1) arcsinn

n n

.


1. 2

1

2 5( 1)

3 4

n

n

n

n

. 2.

21

7 1( 1)

4 5

n

n

n

n

. 3.

31

1( 1)

2

n

n n

.

4. 5

2

1( 1)

1

n

n n

. 5. 3

1

1( 1)

5

n

n n

. 6.

1

3 5( 1)

4 7

n

n

n

n

.

7. 6

1

1( 1)

1

n

n n

. 8.

1

3( 1) ln 1n

nn

. 9.

2

1

( 1) 1n n

n

e

.

10. 4

1

1( 1)

3

n

n n

. 11.

1

5( 1) ln 1n

nn

. 12.

1

1

( 1) 1n n

n

e

.

13.

1

1( 1)

10

n

n n

. 14.

1

1( 1) ln 1n

n n

. 15.

31

1( 1)

7

n

n n

.

16. 3

1

1

( 1) 1n n

n

e

. 17.

1

1( 1)

9

n

n n

. 18.

1

1( 1)

8

n

nn

.

19. 4

5

1

( 1) 1n n

n

e

. 20. 7

3

1

( 1) 1n n

n

e

. 21. 5

1

1( 1)

2

n

n n

.

22.

1

4( 1) ln 1n

n n

. 23.

41

7( 1) ln 1n

n n

. 24.

3 21

1( 1)

1

n

n n

.

25. 5 2

1

1( 1)

10

n

n n

. 26.

4 31

1( 1)

5

n

n n

. 27.

5 21

1( 1)

1

n

n n

.

28. 3

41

2 5( 1)

9 1

n

n

n

n

. 29.

1

6 7( 1)

5 3

n

n

n

n

. 30.

1

2 11( 1)

3 7

n

n

n

n

.

58

Завдання 7. Знайти область збіжності функціонального ряду:

1. 2

1

( 1)

2

n

nn

x

n

. 2.

1

( 1)

3

n

nn

x

n

. 3.

1

( 2)n

n

x

n n

.

4. 2

1

( 3)

3

n

nn

x

n

. 5.

1

( 3)

3

n

nn

x

n

. 6.

71

( 5)n

n

x

n

.

7.

1

( 5)

1

n

n

x

n

. 8.

31

( 1)

2

n

nn

x

n

. 9.

1

( 1)

2

n

nn

x

n

.

10. 5

1

( 2)n

n

x

n

. 11.

51

( 2)

3

n

nn

x

n

. 12.

7 21

( 3)

2

n

nn

x

n

.

13.

1

( 3)

5

n

nn

x

n

. 14.

51

( 6)

2

n

nn

x

n

. 15.

1

( 6)n

n

x

n n

.

16. 5 3

1

( 7)

2

n

nn

x

n

. 17.

41

( 5)

3

n

nn

x

n

. 18.

1

( 5)

3

n

nn

x

n n

.

19. 2

1

( 1)

2

n

nn

x

n n

. 20.

31

( 1)

3

n

nn

x

n n

. 21.

31

( 2)n

n

x

n n

.

22. 2

1

( 2)n

n

x

n n

. 23.

31

( 3)n

n

x

n n

. 24.

51

( 3)n

n

x

n n

.

25. 5

1

( 7)

3

n

nn

x

n n

. 26.

31

( 7)

2

n

nn

x

n n

. 27.

41

( 8)

3

n

nn

x

n n

.

28. 7

1

( 8)

5

n

nn

x

n n

. 29.

1

( 5)

2

n

nn

x

n

. 30.

1

( 5)

( 1)

n

n

x

n n

.

Завдання 8. Розкласти в ряд Тейлора функцію y f x в околі точ-

ки 0x і вказати область збіжності ряду:

1. 02

, 2y xx

. 2. 03

, 3y xx

.

3. 04

, 4y xx

. 4. 03

, 21

y xx

.

59

5. 02

, 41

y xx

. 6. 03

, 21

y xx

.

7. 03

, 12

y xx

. 8. 01

, 32

y xx

.

9. 02

, 32

y xx

. 10. 04

, 43

y xx

.

11. 04

, 13

y xx

. 12. 02

, 13

y xx

.

13. 02

, 42

y xx

. 14. 02

, 56

y xx

.

15. 01

, 34

y xx

. 16. 05

, 53

y xx

.

17. 02

, 13

y xx

. 18. 03

, 54

y xx

.

19. 2

0, 1xy e x . 20. 3

0, 2xy e x .

21. 4

0, 3xy e x . 22. 5

0, 1xy e x .

23. 0ln( 3), 2y x x . 24. 0ln( 2), 1y x x .

25. 2

0, 2xy e x . 26. 3

0, 2xy e x .

27. 4

0, 1xy e x . 28. 0ln(4 ), 3y x x .

29. 0ln(5 ), 4y x x . 30. 0ln(2 ), 1y x x .

Завдання 9. Розкласти в ряд Маклорена функцію y f x і вказати

область збіжності ряду:

1. sin3y x x . 2. cos2y x x . 3. sin2y x x .

4. 2 2xy x e . 5.

3xy xe . 6. 2xy xe .

7. 2 3xy x e . 8.

5xy xe . 9.2 5xy x e .

10. ln(1 )y x x . 11. 3 ln(1 )y x x . 12.

2 siny x x .

13. 2 cosy x x . 14.

3 siny x x . 15. 3 xy x e .

16. 3 xy x e . 17.

2 2xy x e . 18. 3 3xy x e .

19. 2 ln(1 )y x x . 20.

2 ln(1 3 )y x x . 21. ln(1 )y x x .

60

22. 3 ln(1 )y x x . 23. 2 sin4y x x . 24. cos4y x x .

25. 3 ln(1 2 )y x x . 26. ln(1 4 )y x x . 27. sin5y x x .

28. 4 sin5y x x . 29. 2 cos3y x x . 30. 2 cos5y x x .

Завдання 10. Скориставшись розкладом підінтегральної функції в

степеневий ряд та почленним інтегруванням його, обчислити визначений

інтеграл з заданою похибкою :

1.

1

0

1( 0,1)

xedx

x

. 2.

1

2 2

0

1( 0,1)

xedx

x

.

3.

1

3 3

0

1( 0,1)

xedx

x

. 4.

1

2 2

20

1 2( 0,1)

xe xdx

x

.

5.

2 2

0

1( 0,1)

x

edx

x

. 6.

3 3

0

1( 0,1)

x

edx

x

.

7.

1

2

0

1 cos( 0,01)

xdx

x

. 8.

1

2

20

1 cos( 0,01)

xdx

x

.

9.

1

2

0

1 cos2( 0,01)

xdx

x

. 10.

1

2

20

1 cos2( 0,01)

xdx

x

.

11.

1

3

0

1 cos3( 0,01)

xdx

x

. 12.

1

3

20

1 cos3( 0,01)

xdx

x

.

13.

1

3

0

sin3( 0,01)

xdx

x . 14.

1

20

sin( 0,01)

x xdx

x

.

61

15.

1

2

0

sin 2( 0,01)

xdx

x . 16.

1

4

0

sin 4( 0,01)

xdx

x .

17.

1

2

20

2 sin 2( 0,01)

x xdx

x

. 18.

1

3

20

3 sin3( 0,01)

x xdx

x

.

19.

1

0

ln(1 )( 0,1)

xdx

x

. 20.

1

2

20

ln(1 2 ) 2( 0,1)

x xdx

x

.

21.

1

3

20

ln(1 3 ) 3( 0,1)

x xdx

x

. 22.

1

5 5

0

1( 0,1)

xedx

x

.

23.

1

4 4

0

1( 0,1)

xedx

x

. 24.

1

7 7

0

1( 0,1)

xedx

x

.

25.

1

5

0

1 cos5( 0,01)

xdx

x

. 26.

1

5

20

1 cos5( 0,01)

xdx

x

.

27.

1

4

0

1 cos4( 0,01)

xdx

x

. 28.

1

4

20

4 sin 4( 0,01)

x xdx

x

.

29.

1

5

0

5 sin5( 0,01)

x xdx

x

. 30.

1

2

0

2 sin 2( 0,01)

x xdx

x

.

Завдання 11. Методом послідовного диференціювання знайти три

перших відмінних від нуля члени розкладу в степеневий ряд розв’язку ди-

ференціального рівняння при заданих початкових умовах:

1. 2

sin 2 3 0x

y xy

; 0 2y .

62

2. 1

cos 2 4 0x

y yy

; 1 1y .

3. sin( ) 5 0y xy , 0 2y , 0 1y .

4. cos( ) 3 0y xy , 0 1y , 0 1y .

5. cos( ) 2 0y x y , 02

y

.

6. 22cos 0y x xy , 0 1y .

7. 3 2 0xyy e , 0 1y .

8. 4 5 0

x

yy e , 0 3y .

9. sin cos 4 0y x y , 12

y

, 2 2

y

.

10. 2sin cos 3 0y x y , 02

y

, 02

y

.

11. 4 3 0

x

yy e y , 0 1y .

12. 3 2 2 3 0y x y x y , 0 2y .

13. 2 3 5 0y x y y , 0 1y .

14. 2 3 5 1 0y x y y , 1 1y .

15. 2 0y xy y , 0 1y , 0 1y .

16.2

2 0y

y yxx

, 1 2y .

17. 3 2 1 0y x y x y , 1 1y .

18. 5 1 0y

y xy yx

, 2 1, 2 1.y y

19. 2 2 0xye y x , 1 0y .

20. 3 2 0xye x y x , 1 0y .

21. sin( ) 2 3 0xy y x , 0 1y .

63

22. cos( ) 3 5 0xy y x , 0 1y .

23. 2sin( 2) 3 5 0x y x y , 2 1y .

24. 5 1 0yy e y x , 2 1y , 2 0y .

25. / 4 2 0x yy e y , 0 1y , 0 1y .

26. 2sin 3 0y xy , 0 1y .

27. 3cos( ) 2 3 0y xy x , 0 1y .

28. 2 cos( 1) 3 1 0y y y x , 0 1y , 0 2y .

29. sin 3 0xyy e x y , 0 1y .

30. 2 cos 3 1 0xyy e x y , 0 2y .

Завдання 12.

1-10.Розкласти в ряд Фур’є функцію, задану на вказаному інтер-

валі:

1. 1, [ 2,0),

, [0,2].

xy

x x

2.

, [ 2,0),

2, [0,2].

x xy

x

3. , [ 4,0),

2, [0,4].

x xy

x

4.

2, [ ,0),

3 5, [0, ].

xy

x x

5. , [ ,0),

2, [0, ].

x xy

x

6.

2 1, [ ,0),

1, [0, ].

x xy

x

7. , [ ,0),

2 , [0, ].

x xy

x x

8.

1, [ ,0),

1, [0, ].

x xy

x x

9. , [ ,0),

4, [0, ].

x xy

x

10.

2, [ ,0),

3, [0, ].

x xy

x

11-20. Розкласти в ряд Фур’є за синусами функцію, задану на вказа-

ному інтервалі:

11. 2 1, [0, ]y x x . 12. 2 3, [0, ]y x x .

13. , [0, ]y x x . 14. 1, [0, ]y x x .

15. 3 , [0, ]y x x . 16. 4, [0, ]y x x .

64

17. 2 1, [0, ]y x x . 18. 5, [0, ]y x x .

19. , [0, ]y x x . 20. , [0, ]y x x .

21-30. Розкласти в ряд Фур’є за косинусами функцію, задану на вка-

заному інтервалі:

21. 2, [0, ]y x x . 22. 1, [0, ]y x x .

23. 2 1, [0, ]y x x . 24. , [0, ]y x x .

25. 2 , [0, ]y x x . 26. 2 1, [0, ]y x x .

27. 2 4, [0, ]y x x . 28. 2 5, [0, ]y x x .

29. , [0, ]y x x . 30. , [0, ]y x x .

65

Розділ 10. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ

КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО

Мета цього графічно-розрахункового завдання – допомогти студен-

там в оволодінні методикою розв’язання практичних задач і закріпленні

здобутих знань за такими темами: дії над комплексними числами, визна-

чення і побудова областей на комплексній площині, визначення аналітич-

ності функції, знаходження аналітичної функції за її відомою дійсною або

уявною частинами, обчислення інтеграла від неаналітичної та аналітичної

функції, обчислення інтеграла з використанням інтегральних формул Ко-

ші, дослідження на збіжність числових рядів з комплексними членами, ви-

значення області збіжності степеневих рядів, розкладання функцій в ряд

Лорана з використанням розкладів основних елементарних функцій, обчи-

слення інтегралів за допомогою лишків.

Перед виконанням розрахунково-графічного завдання треба ознайо-

митись з рекомендованою літературою [1, 4, 5, 8, 11, 16] та відповісти на

контрольні питання.


1. Комплексні числа та дії над ними.

2. Поняття області на комплексній площині.

3. Поняття функції комплексного змінного. Основні елементарні

функції.

4. Диференціювання функції комплексного змінного. Умови Коші

Рімана. Аналітичні функції.

5. Інтегрування функції комплексного змінного. Формула Ньютона-

Лейбніця.

6. Теорема Коші для однозв’язної та багатозв’язної областей. Інтег-

ральні формули Коші.

7. Ряди в комплексній площині.

8. Розклад аналітичної функції в ряд Тейлора.

9. Ряд Лорана. Кільце збіжності.

10. Класифікація ізольованих особливих точок.

11. Лишки. Обчислення лишків.

12. Основна теорема Коші теорії лишків.

66


Приклад 1. Виконати дії над комплексними числами:

а)

203 3

2 2

j

j

; б) 2 2 3 j .

Розв’язання. При виконанні завдання треба використати алгебраїчну,

показникову, тригонометричну форми комплексного числа, співвідношен-

ня для визначення модуля та аргументу комплексного числа, прийом мно-

ження на спряжене, формулу піднесення комплексного числа до n -го сте-

пеня, формулу вилучення кореня n -го степеня з комплексного числа.

а) Використаємо показникову форму комплексного числа jz z e ,

де z і arg z відповідно модуль і головне значення аргументу комплек-

сного числа.

Позначимо 1 3 3z j , 2 2 2z j . Визначимо модуль та аргумент

комплексного числа за такими формулами: 2 2z x y ,

arctg , ,

arg arctg , ,

arctg , .

yякщо точка z розташована в I та IV чвертях

x

yz якщо точка z розташована в II чверті

x

yякщо точка z розташована в III чверті

x

Таким чином 22

1 3 3 2 3z , 13

arg arctg3 6

z

,

2 22 2 2 2 2z , 2

2arg arctg arctg1

2 4z

.

Тоді 6 41 22 3 , 2 2 .

j jz e z e

Остаточно маємо наступне: 1 26

( )11

2 24

2 3

2 2

j

j

j

zz ee

z ze

=

56 4 12

3 3.

2 2

j je e

67

Отримане число піднесемо до степеня за формулою:

cos sinn nn jnz z e z n j n .

Маємо:

20

20 255 20 106312

4

2 3 3 3

2 22 2

jjj

j

ee e

e

10 103 25 25 3 24 24

cos sin cos sin2 3 3 2 3 3 3 3

j j

10 10 10

11

3 3 1 3 3cos sin 1 3

2 3 3 2 2 2 2j j j

.

б) Вилучення кореня з комплексного числа 2 2 3z j проведемо

за формулою:2 2

cos sinn nk k

z z jn n

, де 0,1, 2, ...,( 1)k n .

Для цього знайдемо модуль і аргумент комплексного числа

2 2 3z j :

222 2 3 16 4z ,

2 3arctg arctg 3

2 3

.

Тоді

2 23 32 2 3 4 cos sin

2 2

k kj j

, де 0,1.k

Таким чином, якщо 0k , то 13 1

2 cos sin 2 3 ,6 6 2 2

z j j j

а якщо 1,k то 25 5

2 cos sin 2 cos sin6 6 6 6

z j j

3 12 cos sin 2 3 .

6 6 2 2j j j

Відповідь: а) 10

11

31 3

2j ; б) 1 3 ,z j 2 3 .z j

68

Приклад 2. Вказати множину точок комплексної площини, яка ви-

значається певними умовами і зробити відповідний рисунок:

а) 3z z j ; б) 2 4, Re 2z j z ; в) 9, arg4

z z z

.

Розв’язання. При розв’язанні завдання,

якщо є необхідність, треба скористатись ві-

домими рівняннями прямих та кривих дру-

гого порядку.

а) Підставляючи в задану нерівність

z x jy , отримаємо: 3x jy x jy j ,

2 22 23 1x y x y . Перетворимо

останню нерівність: 2 22 23 1 ,x y x y

2 2 2 26 9 2 1x x y x y y , 6 2x y

Рисунок 10.1 8 0 , тобто 3 4y x . Ця нерівність

визначає множину точок, що лежить вище прямої 3 4y x (рис.10.1).

б) Якщо підставити z x jy в нерівність

2 4z j , отримаємо: 2 4x jy j ,

22 2 4x y , звідки

22 22 4x y .

Задана нерівність визначає круг з центром в

точці 0 2z j 0 0,x 0 2y і радіусом 4R .

Нерівність Re 2z Re , 2z x x визна-

чає півплощину, яка лежить ліворуч прямої 2x .

Рисунок 10.2 Сукупність цих умов визначає множину точок,

яка є перетином круга 22 22 4x y і півплощини 2x (рис.10.2).

в) Якщо z x jy , то z x jy , тому маємо:

2 2 2 2 2, 3 .z z x jy x jy x y x y

Ця умова визначає круг з центром в точці 0 0 00 0, 0z x y і ра-

діусом 3R . Нерівність arg4

z

або arg4 4

z

визначає частину

комплексної площини між 4

і

4

. Сукупність цих умов визначає

0

4

x

y

4

3

x

y

02

2

6

69

множину точок комплексної площини, що

відображена на рис.10.3. Це точки круга

2 2 23x y , для яких4 4

.

Відповідь: а) частина комплексної

площини, яка знаходиться вище пря-

мої 3 4y x , б) множина точок круга

22 2 16x y , для яких 2x , в) множи-

на точок круга 2 2 9x y , для яких

x y x . Рисунок 10.3

Приклад 3. З’ясувати, які з наданих функцій є аналітичними:

а) 2 2 3f z z z ; б) Im .f z z z

Розв’язання. При виконанні завдання треба скористатися умовами

Коші Рімана.

а) Знайдемо дійсну та уявну частини функції W f z = ( , )U x y

( , ).jV x y

2 2 22 3 2f z x jy x jy x y x 3 2 2j xy y , тому

2 2( , ) 2 3U x y x y x , а ( , ) 2 2V x y xy y . Оскільки

2 2,

2 ,

U Vx

x y

U Vy

y x

то умови Коші Рімана виконуються для цієї функції в усіх точках ком-

плексної площини. Отже, функція є аналітичною на всій площині.

б) Якщо z x jy , то z x jy і 2Im ( ) .z z x jy y xy jy Звідки

( , )U x y xy , 2( , )V x y y . Обчислимо необхідні частинні похідні: U

yx

,

2V

yy

,

Ux

y

, 0

V

x

. З умов Коші Рімана отримаємо:

2 ,

0.

y y

x

x

y

4

4

0 3

70

Ці умови виконуються лише в одній точці 0z . Таким чином, за

означенням функція не є аналітичною.

Відповідь: а) функція аналітична на всій комплексній площині;

б) функція не є аналітичною.

Приклад 4. Знайти аналітичну функцію f z за її відомою дійсною

або уявною частинами, якщо задано значення 0f z функції в точці 0z :

, sinxU x y e y , 1 0.f

Розв’язання. При виконанні завдання треба скористатися умовами

Коші Рімана.

Знайдемо частинні похідні U

x

і

U

y

: sinxU

e yx

, cosxU

e yy

.

За першою умовою Коші Рімана U V

x y

, тому sinxV

e yy

, звідки

, sin cosx xV x y e ydy x e y x , де x невідома функ-

ція аргументу x . Оскільки cosxVe y x

x

, то за другою умовою

Коші Рімана V U

x y

маємо: cos cosx xe y x e y , звідки

0x , тобто , cosxV x y e y c , де c стала. Шукану функцію

f z запишемо у вигляді: sin cosx xf z e y j c e y .

Для визначення c скористаємось умовою 1 0f . Оскільки

1 11 sin0 cos0 0f e j c e , тоді 0j c e , звідки 0c e ,

або c e .

Остаточно маємо: sin cosx xW f z e y j e e y

cos sin .x x jy z zje je y j y je je e je je j e e

Відповідь: .zf z j e e

71

Приклад 5. Обчислити надані інтеграли:

а) 2Im ,

l

z z dz 2: 0 1l z t t jt t ; б) 2

,

l

z dz l ламана, яка

з’єднує точки 1 2 30, 1 ,z z j z j ; в) 1

,2

l

z dzj

l дуга кола

4 arg4 4

z z

; г) 0

jzz j e dz .

Розв’язання. а) Оскільки крива задана в комплексно-параметричному

вигляді, то для обчислення інтеграла використаємо таку формулу:

2

1

( ) [ ( )] ( )

t

l t

f z dz f z t z t dt , де z t x t jy t . З рівняння 2z t t jt

0 1t маємо 2,x t t y t t , звідки 2x y , тобто це рівняння ви-

значає дугу параболи 2x y , яка з’єднує точки 1 0z і 2 1 .z j

Знайдемо уявну частину 2z :

22 2 2 3Im Im Im 2 2 2z x jy x xyj y xy t , де 0,1t .

Оскільки 2dz t j dt , то 2Im

l

z z dz

1 1 11 7 6 5

6 5 4

0 0 0 0

4 6 2 4 6 27 6 5

t t tt jt t dt j

4 2 6

7 5 35j j .

б) На відрізку AB (рис.10.4) y x , а на

Рисунок 10.4 відрізку BC 1y . Скористаємось формулою

, , , , ,

l l l l

f z dz U x y jV x y dx jdy U x y dx V x y dy j V x y dx

,U x y dy . Оскільки 2 2z z x y , то: 2 2 2

l AB BC

z dz z dz z dz

0;0A

1;1B 0;1C

x

y

72

2 2 2 2

: ,

: 1, 0

0, 1, 0AB BCA B C

AB y x dy dx

x y dx jdy x y dx jdy BC y dy

x x x

1 0 1 0 0

2 2 2 2

0 1 0 1 1

2 1 1 2 1x j dx x dx j x dx x dx dx

1 03 3

0

1

0 1

2 1 22 1 1 1 1

3 3 3 3 3

x xj x j j .

в) Для обчислення заданого інтеграла рівняння кола z R можна

подати у вигляді jz Re . У нашому випадку 4 , 4 ,j jz e z e

4 jdz je d . Тоді

4 44

44 4

1 14 4 8 8 8 4

2 2 4 4

j j

l

z dz e je d dj j

.

г) Оскільки підінтегральна функція є аналітичною на всій комплекс-

ній площині, застосуємо формулу Ньютона Лейбніця:

2

1

2 1

z

z

f z dz F z F z ,

де F z яка-небудь первісна. Обчислимо заданий інтеграл за методом ін-

тегрування частинами:

0

0 0

,

,

j jj

z z z

z z

u z j du dzz j e dz z j e e dz

dv e dz v e

0 0

0 01 cos1 sin1 1 cos1 1 sin1 .

j jz z jj z e e je e e j j j


35j ; б)

21

3j ; в) 4 ; г) 1 cos1 1 sin1 .j

Приклад 6. Використовуючи інтегральні формули Коші, обчислити

інтеграли: а) 2

cos,

2l

zdz

z z : 3l z ; б)

3

3,

1l

zdz

z : 2 3.l z

73

Розв’язання. а) Знаменник підінтегральної функції перетворюється

на нуль у точках 1 21, 2z z . Тому в області, обмеженій конту-

ром 3z , маємо дві особливі точки 1 21, 2z z . Для обчислення інтег-

рала скористаємось теоремою Коші для багатозв’язної області. Побудуємо

кола 1 і 2 з центрами в точках 1 1z і 2 2z достатньо малих радіусів

так, щоб вони не перетиналися між собою і цілком знаходились всередині

круга 3z (рис.10.5). У тризв’язній області,

обмеженій колами l, 1 і 2 , підінтегральна

функція скрізь аналітична, тому за теоремою

Коші маємо:

2

cos

2l

zdz

z z

1 2

cos cos.

1 2 1 2

z zdz dz

z z z z

Рисунок 10.5 До кожного інтегралу в правій частині засто-

суємо формулу Коші, згідно з якою

00

2

l

f zdz jf z

z z

, де

f z аналітична в області, що обмежена замкненим контуром l .

Оскільки функція cos

2

zf z

z

є аналітичною всередині 1 , тому

1 1

1

coscos cos cos12 2 2 .1 2 1 2 3z

zz zzdz dz j j

z z z z

Аналогічно для інтеграла по контуру 2 маємо:

2 2

2

coscos cos cos21 2 2 .1 2 2 1 3z

zz zzdz dz j j

z z z z

Остаточно 2

3

cos cos1 cos2 22 2 cos1 cos2 .

3 3 32z

z jdz j j

z z

2 10 x

y

l

3

12

74

б) Підінтегральна функція має одну особливу

точку 1z , що належить кругу 2 3z

(рис.10.6). Для обчислення даного інтеграла засто-

суємо інтегральні формули Коші, за якими

010

2

!

n

nl

f z dz jf z

nz z

, 1,2,... .n

Рисунок 10.6 Тоді

3

31l

z

z 3

11

26 6 .

2! zz

jz j z j


cos1 cos23

j ; б) 6 .j

Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд з комплексними

членами: а)

2

1

jn

n

e

n

; б)

1

sh6n

n

jn

.

Розв’язання. Як відомо, ряд з комплексними членами

1n

n

z

, де

n n nz x jy , збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються дійсні ряди

1n

n

x

і

1n

n

y

. Якщо збігається ряд

1n

n

z

, то вихідний ряд є абсолютно

збіжним. Якщо ряд

1n

n

z

збігається, а ряд

1n

n

z

розбігається, вихідний

ряд є умовно збіжним. Питання про збіжність рядів

1n

n

x

,

1n

n

y

і

1n

n

z

розв’язується за допомогою відомих ознак збіжності рядів з дійсними чле-

нами.

а) Подамо функцію 2

jne

у вигляді: 2

2 2cos sin

jne j

n n

, тоді

22 2

1 1 1

cos sinjn

n n n

e n njn n n

. Для дослідження ряду 2

1

sin

n

n

n

викори-

5 10 x

y

1

75

стаємо ознаку порівняння у граничній формі. У якості еталонного ряду

візьмемо узагальнений гармонічний ряд

1

1

n n

, який збігається при 1 і

розбігається при 1 . Обчислимо границю

3 32

3

sin

lim lim 01 1n n

n nn

n n

. Оскільки ряд

31

1

n n

збігається

3 1 , то ряд 2

1

sin

n

n

n

також збігається. Ряд 2

1

cos

n

n

n

порівняємо з

рядом

1

1

nn

, який є розбіжним, бо 1 . Оскільки границя

2cos

1lim lim 1 0

1 1n n

n nn

n n

, то ряд

2

1

cos

n

n

n

є розбіжним.

Остаточно робимо висновок, що вихідний ряд є розбіжним.

б) Перевіримо даний ряд на абсолютну збіжність. Відомо, що

sh sin .j z j z За ознакою Даламбера ряд

1n

n

z

збігається, оскільки

1 11

( 1)sin ( 1)sin6 6lim lim lim

sinsin66

n nn

n n nnnn

j n nz

znjn

1

6 1lim 1.

66

n

nn

Відповідь: а) ряд розбігається; б) ряд збігається абсолютно.

Приклад 8. Знайти область збіжності ряду

1 0

3 1 ( )

!( )

n n

nn n

z j

nz j

.

Розв’язання. Ряд складається з головної

1

3 1

( )

n

nn z j

і правильної

0

( )

!

n

n

z j

n

частин. Для головної частини заданого ряду радіус збіжності

76

обчислимо за формулою 1lim .n

n n

cr

c

Маємо: 3 1nnc і

11 3 1n

nc , тоді

1 3 3 33 1lim lim 3.

3 1 3 1 3

n nn

n n nn nr

Цей ряд збіга-

ється в області 3z j .

Для правильної частини знайдемо радіус збіжності за формулою

1

lim ( 0)nn

n n

cR c

c

.

Оскільки 1

!nc

n , 1

1

( 1)!nc

n

, то

1 ! 1 !lim lim

! !n n

n n nR

n n

.

Таким чином, ряд збігається в усій комплексній площині. Отже, ви-

хідний ряд збігається в області 3z j .

Відповідь: 3z j .

Приклад 9. Розкласти функцію

2

2

2 5

2 1

z zf z

z z

в ряд Лорана в

околі особливої точки 0z або у вказаній області і, якщо є необхідність, вка-

зати область збіжності ряду: а) в кільці 1 2z ; б) в зовнішності кру-

га 2z .

Розв’язання. При виконанні завдання треба використати відомі роз-

клади елементарних функцій в ряд Тейлора в околі точки 0 0z .

Розкладемо функцію f z на прості дроби:

2

22

2 5

2 12 1

z z A Bz C

z zz z

,

звідки 2 22 5 1 2 .z z A z Bz C z

Для знаходження коефіцієнтів розкладу складаємо систему рівнянь:

2

2

0

z

z

z

5 5 1,

5 2 2,

1 0,

A A

A C C

A B B

77

отже, 2

1 2

2 1f z

z z

.

а) Знайдемо розклад заданої функції в ряд Лорана в кільці 1 2z .

Перетворимо задану функцію таким чином:

2 2

2

2 1 2 1 1 1

12 21 1 12

f zzzz z

z

Скористаємось відомим розкладом:

2

0

11 ... 1 ... 1

1

n nn n

n

t t t tt

.

Тоді

1

2 21

2

11

11

n

nn z

z

, а

0

1

212

n

nn

z

z

. Остаточно отримаємо:

1

2 2 2 11 0

2

12 1 2 1 1 12

12 21 21 12

n n

n nn n

z

zzz z z

z

.

б) Враховуючи, що 2z , отримаємо

11

2 2 21 1

2

11 2 1 1 2 1 2( ) 2 .

122 1 11

nn

n nn n

f zz zz z z z

z z

Відповідь: а)

1

2 11 0

12

2

n n

n nn n

z

z

; б)

11

21 1

122

nn

n nn nz z

.

Приклад 10. Обчислити інтеграли, користуючись основною теоре-

мою теорії лишків:

а) 2

1

, : 4z

l

ze dz l z ; б)

2 2

2

1, : 1

16 42 3l

x ydz l

z z

.

Розв’язання. Інтеграл по замкненому контуру за основною теоремою

теорії лишків обчислюється за формулою: 1

2 resn

kkl

f z dz j f z

, де

78

n кількість особливих точок kz підінтегральної функції, які знаходяться

в області, обмеженій контуром інтегрування l .

а) Функція 2

1

zf z ze має одну особливу точку 0 0z . Ця точка на-

лежить області, що обмежена контуром : 4l z . Точка 0 0z є істотно

особливою точкою, бо головна частина відповідного ряду Лорана містить

нескінченну множину членів. У цьому випадку 0 1res f z c , де 1c

коефіцієнт при 0

1

z z у розкладі в ряд Лорана функції f z в околі особ-

ливої точки 0z .

Розкладемо підінтегральну функцію в ряд Лорана в околі точки

0 0z , користуючись відомим розкладом функції te :

0

.!

nt

n

te

n

Тоді

2

1

2 1 3 50

1 1 1 1...

! 2! 3!

zn

n

ze zzz n z z

, тому лишок функції

res 0 1f , а інтеграл 2

1

4

2 1 2z

z

ze dz j j

.

б) Особливими точками підінтегральної функції є точки

1 22, 3z z . Обидві точки містяться всередині контура інтегрування l .

Точка 1 2z – полюс другого порядку, оскільки

22

1lim ,

2 3z z z

а

2

22

1lim 2 1 0

2 3zz

z z

.

Аналогічно визначається, що точка 2 3z простий полюс. Лишки

функції в цих точках обчислюються таким чином:

23

1res 3 lim 3 1

2 3zf z

z z

,

79

2

2 22 2

1 1res 2 lim 2 lim 1

2 1 1z z

df z

dz z z z

.

Тоді за основною теоремою теорії лишків

22 1 1 0.

2 3l

dzj

z z

Відповідь: а) 2 j ; б) 0.

Контрольні завдання за темoю «Елементи теорії функцій

комплексного змінного»

Завдання 1. Виконати дії над комплексними числами:

1. а) 16

1 3 j , б) 5 j . 2. а)

181 1

2 2j

, б)

4

j .

3. а) 3

3 74 1j j , б) 6 1 . 4. а)

321 j

j

, б) 4 81 .

5. а) 309 2 2j j , б) 1 j . 6. а)

43 3 3 j , б) 3 27 j .

7. а)

91

1

j

j

, б) 5 5 j . 8. а)

6037 3j j , б) 3

1 3

32

j.

9. а) 7

3 3 j , б) 2

1

j

j. 10. а)

4

8

2 3

1

j

j

, б) 3 j .

11. а)

151 3

2 2

j

j

, б) 5 3 3 j . 12. а)

51 j , б) 4 16 .

13. а) 23

323 1j j

j

, б)

34 j . 14. а)

35 5 3

1

j

j

, б)

243

3j j .

15. а) 4

5 5 3 j , б) 32

2 2j . 16. а)

121 3 j , б) 3 3 j .

17. а) 6331 4 4j j , б) 3 64 . 18. а)

18 51j j , б)

25 j .

80

19. а) 8

23 1j , б) 410 10 j . 20. а)

4

6

1 1

2 2

j j

j

, б)

1

3

j

j

.

21. а) 54 2 2j j , б) 4 81 j . 22. а)

85 1

3j

, б) 33 1j j .

23. а)

2261

3j j

, б) 3125 . 24. а)

2

8

1

2 2

j

j

, б) 3

27

j.

25. а)

45 5 3

1

j

j

, б)

6 2 j

j

. 26. а)

172 2

2

j

, б) 3 3 j .

27. а) 627 10 10j j , б)

11

3j . 28. а)

1033 3j , б) 4

1

81

j.

29. а)

5

2 2 3

j

j

, б) 2 6 j . 30. а)

47

4

3

4 41

jj

jj

, б) 41 1

2 2j .

Завдання 2. Вказати множину точок комплексної площини, яка ви-

значається заданими умовами і зробити відповідний рисунок:

1. 2, Re 1z j z . 2. 1 1, Re 1z j z .

3. 2 2 1,1 Re 3z j z . 4. 1 2, Im 1z z .

5. 3

1 1,1 Re2

z j z . 6. 25, Re 2z z z .

7. arg 0, Re 1 16

z z

. 8. 2

Re 2 Im , arg 02

z z z

.

9. 2Im 2, 0 Re 1z z 10 . 2, arg

2z z

.

11. 1 1, 1 2z z . 12. 1 1

1, 0 arg2

zz z

.

13. Re 2 3z z z . 14. 2Re 1z .

15. 2Im Rez z . 16. Im 2z z .

17. 2z z j . 18. 1 1 0z z .

81

19. Re 1, arg4

z z

. 20. 4, 4z j z j .

21. 1 1, Im 5z z . 22. Re( 2) 6, Im 1z z .

23. 1

Re 0z

. 24. 1 5 5, arg 0

2z j z

.

25. 2 2 2,z j Im Re 2z z . 26. 1 1 3, Im 0z z .

27. 3, Im 1z z . 28. 1 1

1 ,2 2

z z z .

29. 4, arg4

z z z

. 30. 1 Re 0, Im 1z z z .

Завдання 3. З’ясувати, чи є функція аналітичною:

1. 2 3 5f z z z . 2. 2f z j z .

3. 3 3f z z z j . 4. 2 Im 3f z z z .

5. Re 5

z jf z

z j

. 6. zf z ze .

7. 5 3zf z e z . 8. 3sin2f z z j .

9. 2

Im 1 2zf z e z j . 10. cos4f z z .

11. 252

2f z z j . 12. 2sin 3f z z j .

13. zjf z e . 14. 2

4zf z e z .

15. 27 1f z j z . 16. cosf z j z j .

17. sh 1f z zj . 18. 22 cos 1 2f z j z jz .

19. ch2f z j z . 20. cos Imf z z j z .

21. 5

Rez

f zz j

. 22. Re chf z z z .

23. 2

j zf z

z

. 24. 2 Im 2 3f z z j z .

25. z

f z z z e . 26. 2Im 5 3f z z z j .

82

27. 3f z z z . 28. 2 1Ref z z

z .

29. 3Imf z z z . 30. Im zf z z e .

Завдання 4. Знайти аналітичну функцію f z за її відомою дійсною

або уявною частинами, якщо задано значення 0f z функції в точці 0z :

1. 2 2,U x y x y x , 0f j .

2. 3, sin3xV x y y e y , 0 1f .

3. , 2 7U x y xy y , 0 1f .

4. , sinxV x y e y , 0 1f .

5. 3 2, 3 2U x y x xy x , 1 3f .

6. , sin 1 shV x y y x , 1f j .

7. 2, 3 cos2xU x y x e y , 21 3f e .

8. , 3 ,V x y x y 0 0f .

9. , 5cos chU x y x y x , 5ch1f j .

10. 3 2, 3sh cos 3U x y x y x xy , 0 2f j .

11. , sh sin 2V x y x y , 2 1f j .

12. cos2 ch2 1

, ,2 2

y xU x y 0 0f .

13. 4, cos sinxV x y e y y x y , 4 4f .

14. 2 2, 1U x y x y , 1 0f .

15. , cos 3 shV x y x y x , 3 3f j .

16. 2 2

2 2,

yU x y x y

x y

, 1 1 6f j .

17. , cos3 sh3V x y x y , 0 0f .

18. , cos ch sh cosU x y x y x y , 0 1f .

19. 2 2

2, 2cos ch

xV x y x y

x y

, 2

2f j

.

83

20. 3 2, 3U x y x xy , 0f j .

21. , 2 ch2 sin2V x y xy x y , 0 0f .

22. 2 2

, 2x

U x y yx y

, 1 0f .

23. 2 2, 9V x y x y , 3 0f .

24. 2 21, ln

2U x y x y , 0x , 1 0f .

25. 3 2, 3V x y x xy , f j j .

26. , sh5 sin5U x y x y , 0f j .

27. , cos sin ,xV x y e y y x y x y 0 0f .

28. , 5ch cos 3 sh sin 3 ,U x y x y x y 3 5f j j .

29. , cos3 ch3U x y x y ,6

f j

.

30. 2 2, 4U x y x y , 3f j .

Завдання 5. Обчислити інтеграли:

1.

l

zdz

z, де l коло 1.z

2. ,z

l

e dz де l відрізок прямої, яка з’єднує точки 1 1z j і 2 2 2z j .

3.

1

2

1z

l

e dzz , де l ламана, яка з’єднує точки 1 2z j , 2 2 2z j , 3 2z .

4. 1

l

z z dzj

, де l дуга кола, 2z 5 3

arg4 2

z

.

5. 2Re

l

z z dz , де l відрізок прямої, яка з’єднує точки 1 0z і 2 1 2z j .

6. 2

1

lnj

zdz

z .

84

7. z

l

e dz , де l : 1 2z t t t j 0 1t .

8. Re

l

z z dz , де l дуга кола 3

2 arg2 2

z z

.

9.

2

0

ch sh2

j

z z dz .

10. 2Re

l

z dz , де l коло 5.z

11.

l

zz dz , де l : j

z t tt

1 2t .

12. 2

2

cos

j

z dz

.

13. 2Im

l

z z dz , де l дуга кола 1z , Re 0z .

14. z j

l

e dz , де l ламана, яка з’єднує точки 1 1z , 2 1 2 ,z j 3 2z j .

15.

4

2

2 sin2 cos

j

j z z dz .

16. Im1

l

zdz

j

, де l відрізок прямої, яка з’єднує точки 1 0z і 2 2z .

17. ( 3 )

l

z j dz , де l дуга кола cosx t , siny t 02

t

.

18.

23 4

0

ch

j

z z dz

.

19. Im

l

j z jz dz , де l ламана, яка з’єднує точки 1 0z ,

2 1 ,z j 3 1z j .

85

20. Im 3

l

z j dz , де l : 2( ) 1z t t jt 0 1t .

21. 1

0

5

jzz j e dz

.

22. Im

l

zdz

z

, де l дуга кола 4z , Re 0z .

23.

2

Imz

l

e z dz , де l відрізок прямої, яка з’єднує точки 1 0z і 2 2z j .

24.

0

jz jze dz

.

25. Re

l

zdz

z , де l дуга параболи 2 1y x , яка з’єднує точки

1z j , 2 2 5z j .

26.

2

Rel

zdz

z , де l ламана, яка з’єднує точки 1 1z j , 2 1 5z j , 3 5z j .

27. 2

0

ch cos

j

z z zdz .

28. 22

l

z z dz

, де l дуга кола 2z , яка з’єднує точки 1 2z і 2 2z j .

29. 2Im

l

z dz , де l : 2 4z t t jt 0 1t .

30. 0

sin 11

j

z jz dz .

Завдання 6. Обчислити інтеграл, використовуючи інтегральні фор-

мули Коші:

1.

2

2

9 cos

2l

z zdz

z j

, : 2 1l z j . 2.

2

2

1

z

l

edz

z z

, : 2l z .

86

3. 2

2

3 2

2l

z zdz

z z

, : 2 4l z . 4.

2

3

ch

8l

zdz

z ,

2 22

: 14 1

x yl

.

5. 2

tgz

l

edz

z ,

1:

2l z . 6.

2

sin 2

4 4l

zdz

z z

, : 2 1l z .

7. 2

3

2 4 3

l

z zdz

z

, : 2l z . 8.

2

2

1

4 5l

zdz

z z

, : 5 1l z .

9.

2

2 9l

zdz

z , : 3 1l z j . 10.

5

2 3

2 729,

27l

zdz

z z

: 3 1.l z

11.

6

33l

zdz

z , : 5l z . 12.

3

2

1,

l

zdz

z

: 1l z .

13. 2

2

sin,

2l

zdz

z

1

: 22

l z . 14.

2

1,

cos 9l

dzz z

: 3 1l z j .

15.

32

1,

3zl

dze z : 1 3l z . 16.

1

,cos

l

dzz z j

1:

2l z j .

17. ,

l

tg zdz

z :3

l z

. 18. 3

ch sh,

l

z zdz

z

1:

2l z .

19. 2

ch,

4l

jzdz

z : 2 1l z j . 20.

2,

3 2

jz

l

edz

z z : 1 2l z .

21. 2

ctg,

4l

zdz

z

:2 3

l z

. 22.

cos

2 3,

27

z

l

edz

z z : 3 1l z .

23. 2

2

3 4 1,

2l

z zdz

z z

1: 2

4l z . 24.

4

2,

3l

zdz

z j : 5l z .

25. cos

2l

zdz

z z , : 1 2l z . 26.

2

cosjz

l

e zdz

z j , : 1l z j .

87

27.

2

sin3 ,1l

z

dzz

: 1 2l z . 28.

sin

,z

l

edz

z z : 2.l z

29. 3 2

tg,

l

zdz

z z :

6l z

. 30.

3

1 cos,

l

zdz

z

: 1l z .

Завдання 7. Дослідити на збіжність числовий ряд з комплексними

членами:

1. 2

21

5

2 1

n

n

n j

n

. 2.

1

1arctg

3nn

jn

.

3. 3

1

2

! 1

n

n

nj

n n

. 4. 2

13 1

n

n

j

n

.

5. 1

1

2 2

4nn

j

. 6.

1

21

11

2 13 2

n

n

j

nn

.

7. 4

1

jn

n

e

n

. 8. 2

1

nj

n

e

.

9.

1 (3 )nn

n j

j

. 10.

3

1

9

2 1 !

n

n

n j

n

.

11. 5

1

2 3

1n

j

n

. 12.

2

315

j

n

n

e

n

.

13. 1

!

1 2 5nn

n

nj

. 14.

51

2

ch

n

j

n

n

.

15.

3

1

j

n

n

e

n

. 16. 2

1

1 cos

!n

n jn

n

.

17.

1

2

2 2

8 cos

n

nn

j

jn

. 18.

3 21

1 4

2n

j

n

.

88

19.

2

1n

n

tg nj

. 20.

1

2

4

n

n

nj

n

.

21. 2

1

sh2 1n

jn n

. 22.

2

13 2

n

n

nj

n

.

23.

1

ch

n

j

n

n n

. 24.

1ch

n

n

e

jn

.

25.

2

11

n

n

nj

n

. 26.

1

th3

n

j

n

n

.

27.

21

3

3n nj

. 28.

1

1 21

n

nnjn

.

29.

13 1

n

n

j

n

. 30.

1

sh2n

n

jn

.

Завдання 8. Знайти область збіжності ряду:

1.

1

1

1 2

n

n

z

j

. 2.

1

3 7 3

5 2

n

n

j

n z j

.

3.

1 1

3 2 1 3 1

73 1

nn

n nn n

n z j

njz j

. 4.

1

sin 2n

n

jn z j

.

5. 1

1ch

1n

n

jn

z j

. 6.

3

1 1

1 24

4 2

jn

n nn n

ez

nz

.

7. 2

1

n

nn

nz j

e

. 8. 1 3

n

nn

n

z j

.

9.

1 1

1!1

n nn

n nn n

zn

n nn z

. 10.

11 !

n

n

nz j

n

.

89

11. 1

2 5

2

n

nn

j

z j

. 12.

1 0

1

2

n

nn n

z

jzj

.

13.

0

311

2 3 2

nn

n

z j

n j

. 14.

1

6 4

3

n

nn z

.

15. 4

1 0

1n

nn n

z

en z

. 16.

0

3 3njn

n

e z j

.

17. 1

3

1n

n

n j

z j

. 18.

1 1

sh

4!4

j

n n

nn n

jen znz

.

19.

12

n

n

z j

jn

. 20. 1 5 4

j

nn

e

n z j

.

21.

1 1

1 2sin 1 .

! 1

n

nn n

jz j

nn z j

22.

21

sin 5nn

n

jz

n

.

23.

1

1 0

2 2 2

102

n n

n nn n

j z j

z j

. 24.

1

1

32

n n

n

z e

nj

.

25.

0 2 1

n

nn

z j

. 26.

12

1 1

2cos

2

n

n nn n

z jjn

nn z j

.

27.

0

1 3

1 2

n n

nn

z

n

. 28.

1

3 2n

nn

j

z

.

29. 2 1

1 2

11 1

ln!

nn n

nn n

z

nn z

. 30.

3

13nn

n

n

z j

.

Завдання 9. Розкласти функцію f z в ряд Лорана в заданій області,

або в околі особливої точки 0z і вказати в цьому випадку область збіжності

ряду:

1. 2 16

zf z

z

, 0 4z j . 2.

2

2

4

zf z

z z

, 4z .

90

3. 1

sin2

f z zz

, 0 2z . 4. 2

cosz

f zz

, 0 0z .

5. 3

z

zf z e , 0 3z . 6. 2

1

4 3f z

z z

, 1 3z .

7. 21 4

zf z

z z

, 2z . 8.

2

2 z ze ef z

z

, 0 0z .

9. 2

2 zf z e , 0 2z . 10. 3

1 cos zf z

z

, 0 0z .

11.

2 1,

1 3

zf z

z z j

0 1 1z . 12.

2

1

1f z

z

, 0z j .

13. 2

3cosze zf z

z

, 0 0z . 14.

2

2

8 1

1 9

z zf z

z z

, 1 3z .

15. 4 1ze

f zz

, 0 0z . 16.

2 3

zf z

z j z

, 2 3z .

17. 2 1cos

3f z z

z

, 0 3z . 18.

2 4

zf z

z

, 0 2 4z .

19. 2

3

6f z

z z

, 0 6z . 20.

2

1

6 5f z

z z

, 1 5z .

21. 3

2 1 sin2

f z zz

, 0 2z . 22. 2cos z

f zz

, 0 0z .

23.

21

zef z

z

, 0 1z . 24.

4 3

1

3f z

z z

, 0 0z .

25. 3 2

4

4f z

z z

, 0 0z . 26.

2

1

1f z

z z

, 1z .

27. 2

2

2 1

2 8

z zf z

z z

, 0 4z . 28.

2

1

3 2f z

z z

, 1 2z .

29.

1

5 1f z

z z

, 5z . 30.

2

1

9f z

z

, 3 6z .

91

Завдання 10. Обчислити інтеграл, користуючись основною теоре-

мою теорії лишків:

1.

2

21

14

2 1z

zdz

z z

. 2.

12

41 2 1z

zdz

z .

3. 2

2

1cos

z

z dzz

. 4.

2

cos

4 3z

zdz

z z

.

5. 3

11

4

1

z

z

edz

z

. 6.

1

1

5

5 z

z j

z e dz

.

7.

8

cos2

z

zdz

z

. 8.

32

cosz

z

e zdz

z j .

9.

23 4

sin

9z j

zdz

z z . 10.

3 1

2sin

3z

zdz

z

.

11.

4

1

shz

dzz

. 12.

3

23

1z

z j

edz

z jz

.

13. 2

27 1

6 9

4 21z

z zdz

z z

. 14.

3

1

2

ln 1

25z

zdz

z

.

15. 1

1

3 z

z

z e dz

. 16.

2

24 2

zj

z

edz

z .

17.

35

cos

3z

z zdz

z . 18.

2

4 3 21 3

ch

3 2z

zdz

z z z

.

19. 2

1 3

1sin

2z

z dzz

. 20.

3 51 2

ch2

z

zdz

z z

.

92

21. 2

2

3

1

8

z

z

z e dz

. 22. 3

1

cos 1

z

zdz

z

.

23.

21

2

z

z j

ze dz

. 24. 3

31

1sin sh z

z

z ze dzz

.

25.

2

22

2

5

2 3z

z zdz

z z

. 26.

2

311

2

cos

1z

zdz

z

.

27.

2

5

tg

3z

zdz

z z

. 28.

2

63 10 2

z

z

edz

z .

29. 22

11

3

11 cos

1

z

z

z ze dzz

. 30.

2

1

cos 1

z

zdz

z z

.

93

Розділ 11. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Розрахунково-графічне завдання розділу «Операційне числення»

складається з 10 практичних завдань. Мета завдання – допомогти студен-

там оволодіти методами розв’язання практичних задач і закріпити здобуті

знання за темами: оригінали і зображення; основні теореми операційного

числення; згортка функцій; теорема множення зображень; зображення фу-

нкцій, заданих графіками; зображення функцій періодичних оригіналів;

розв’язання диференціальних рівнянь операційним методом.

Для успішного виконання запропонованих завдань варто вивчити

відповідний теоретичний матеріал [1, 5, 8, 11] і відповісти на контрольні

питання.


1. Означення функції оригіналу.

2. Означення функції зображення. Достатня умова існування зобра-

ження.

3. Табличні зображення.

4. Теореми лінійності і подібності в операційному численні.

5. Теореми запізнення і зсуву.

6. Теорема про диференціювання оригіналу.

7. Сформулювати теорему про диференціювання зображення.

8. Теорема про інтегрування оригіналу.

9. Теорема про інтегрування зображення.

10. Означення згортки функцій, властивості згортки.

11. Теорема про згортку.

12. Зображення функції, заданої графічно і періодичного оригіналу.

13. Знаходження оригіналу за зображенням.

14. Перша та друга теореми розвинення.

15. Застосування операційних методів до розв’язання задачі Коші

для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

94

Функція ( )f t – оригінал. Функцію ( )F p комплексної змінної

p s jw називають зображенням функції ( )f t і визначають рівнянням

0

( ) ( ) ptF p f t e dt

.

Операція переходу від оригіналу ( )f t до зображення ( )F p назива-

ють перетворенням Лапласа. Речення «оригінал ( )f t має зображення

( )F p » записують так ( ) ( )F p f t

, або так ( ) ( )f t F p

(стрілка зав-

жди направлена від зображення до оригіналу).

Довідковий матеріал

Теореми операційного числення

1. 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c F p c F p

(теорема лінійності).

2. 1

( ) , 0p

f t F

(теорема подібності).

3. ( ) ( )te f t F p a

(теорема зсуву).

4. ( ) ( ), 0pf t e F p

(теорема запізнення).

5. ( ) ( ) (0)f t pF p f

, ( ) 1 ( 1)( ) ( ) (0) ... (0)n n n nf t p F p p f f

(теорема диференціювання оригіналу).

6.

0

( )( )

tF p

f dp

(теорема інтегрування оригіналу).

7. ( )

( )dF p

tf tdp

(теорема диференціювання зображення).

8. ( )

( )

p

f tF q dq

t

(теорема інтегрування зображення).

9. 1 2 1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

f t f t f f t d F p F p

(теорема мно-

ження зображень).

95

10. 1 2 1 2 1 2

0

( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( )

t

pF p F p f f t f f t d

,

1 2 1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( )

t

pF p F p f t f f f t d

(інтеграли Дюамеля).

11. 1 2 1 21

( ) ( ) ( ) ( )2

s j

s j

f t f t F z F p z dzj

(теорема множення ори-

гіналів).

Формули відповідності

1. 1

( )tp

2.

1( )ate t

p a

.

3. 2 2

sinw

wtp w

. 4.

2 2cos

pwt

p w

.

5. 2 2

shww

tp w

. 6.

2 2ch

pwt

p w

.

7. 2 2

sin( )

at we wt

p a w

. 8.

2 2cos

( )

at p ae wt

p a w

.

9. 2 2

sh( )

at we wt

p a w

. 10.

2 2ch

( )

at p ae wt

p a w

.

11. 1

!n

n

nt

p

. 12.

1

!

( )

n at

n

nt e

p a

.

13. 2 2 2

2sin

( )

pwt wt

p w

. 14.

2 2

2 2 2cos

( )

p wt wt

p w

.

15. 2 2 2

2sh

( )

pwt wt

p w

. 16.

2 2

2 2 2ch

( )

p wt wt

p w

.

17. 1

( 1)( 1)k

k

kt k

p

. 18.

1 1

t p

.

19. 2 1

tp p

. 20.

1 1 1(1 )te

p p

.

96

21. 1 1 1

( 1)tep p

.

22. 1 2

2 1 1 2

1

( )( )

t te e

p p

.


Завдання 1. Знайти зображення функції. При виконанні завдання

треба використати формули тригонометрії, означення гіперболічних функ-

цій та теорему 3 операційного числення (теорема зсуву).

Приклад 1. sin3 cos5f t t t .

Розв’язання. Використаємо формулу тригонометрії

1

sin cos sin sin2

.

1 1 1 1

sin3 cos5 sin8 sin 2 sin8 sin22 2 2 2

t t t t t t .

Відповідь: 2 2 2 2

1 8 1 2 4 1

2 264 4 64 4F p

p p p p

.

Приклад 2. 6 cos 2 3tf t e t .


cos cos cos sin sin ,

тоді cos 2 3 cos2 cos3 sin2 sin3t t t .

Використаємо теорему зсуву , за якою ate f t F p a

. У на-

шому випадку

6

2 2

6 2cos 2 3 cos3 sin3

6 4 6 4

t pe t

p p

.

Відповідь:

2 2

6 2cos3 sin3

6 4 6 4

pF p

p p

.

Приклад 3. 2sh 2 cos3f t t t .

Розв’язання. За означенням 2 2

sh22

t te et

, тоді

97

4 42sh 2 1

4 4

t te et

, а 4 4

2sh 2 cos3 cos3 cos3 cos34 4

t te et t t t t

.

Відповідь:

2 2 2

1 4 1 4

4 494 9 4 9

p p pF p

pp p

.



цій та теорему 7 операційного числення (теорема диференціювання зобра-

ження ).

Приклад 4. cos4 cos6f t t t t .


1

cos cos cos cos2

,

тоді 1 1

cos4 cos6 cos10 cos 2 cos10 cos22 2

t t t t t t , значить

2 2

1 1cos4 cos6

2 2100 4

p pt t

p p

.

Використаємо теорему диференціювання зображення, за якою

dF p

t f tdp

,

dF pt f t

dp

.

2 2

2 2 22

1 1 1 100 2cos4 cos6

2 2 2100 4 100

p p p pt t t

p p p

2 2 2 2

2 2 22 2 2

1 4 2 100 4

2 4 2 100 2 4

p p p p

p p p

.

Відповідь:

2 2

2 22 2

100 4

2 100 2 4

p pF p

p p

.

Приклад 5. 2

1 sh3f t t t .

Розв’язання. 2 21 sh3 sh3 2 sh3 sh3t t t t t t t .

98

2

3sh3

9t

p

,

2 2

2

3 6sh3

9 9

pt t

p p

,

22 2

2

2 42 2

6 9 6 2 9 26sh3

9 9

p p p ppt t

p p

2 2 2 2 2

4 3 32 2 2

6 9 9 4 6 3 9 18 3

9 9 9

p p p p p

p p p

.

Відповідь:

2

3 2 22 2

18 3 12 3

99 9

p pF p

pp p

.

Приклад 6. cos2 sh4f t t t t .

Розв’язання. Оскільки 4 4

sh42

t te et

, то

4 4

2 2

1 1 1 4 1 4cos2 sh4 cos2 cos2

2 2 2 24 4 4 4

t t p pt t e t e t

p p

.

Використаємо теорему диференціювання зображення:

2 2

1 4 1 4cos2 sh4

2 24 4 4 4

p pt t t

p p

2 2 2 2

2 22 2

4 4 2 4 4 4 2 41 1

2 24 4 4 4

p p p p

p p

2 2

2 22 2

4 4 4 41 1

2 24 4 4 4

p p

p p

.

Відповідь:

2 2

2 22 2

4 4 4 41 1

2 24 4 4 4

p pF p

p p

.

99



цій та теорему 4 операційного числення (теорема запізнення ).

Приклад 7. 2sin 2 2f t t t .


2 1 cos2sin

2

,

тоді

2 1 cos2 2 1 1sin 2 cos2 2

2 2 2

tt t

.

Використаємо теорему запізнення:

2 2 2

2

1 1 1 1sin 2 2 2 cos2 2 2 .

2 2 2 2 4

p ppt t t t t e e

p p


2

1 1

2 2 4

p ppF p e e

p p

.

Приклад 8. sh 2 6 cos 3 9 3f t t t t .

Розв’язання. Оскільки 2 3 2 3

sh 2 62

t te e

t

, то

2 31sh 2 6 cos 3 9 3 cos3 3 3

2

tt t t e t t

2 3 3 3

2 2

1 1 2 1 2cos3 3 3

2 2 22 9 2 9

t p pp pe t t e e

p p

.

Відповідь:

3 3

2 2

1 2 1 2

2 22 9 2 9

p pp pF p e e

p p

.

Приклад 9. cos4 3f t t t .

Розв’язання. Виконаємо необхідні перетворення:

cos4t cos 4 3 12 cos4 3 cos12 sin4 3 sin12t t t , тоді

cos4 3 cos12 cos4 3 3 sin12 sin4 3 3t t t t t t

100

3 3

2 2

4cos12 sin12

16 16

p ppe e

p p

.


2 2

4cos12 sin12

16 16

p ppF p e e

p p

.

Завдання 4. Знайти зображення за поданим графіком оригіналу. При

розв’язанні завдання потрібно задати функцію аналітичним способом, по-

тім записати f t за допомогою одиничної функції Хевісайда одним ана-

літичним виразом та застосувати формули відповідності і теорему 4 (тео-

рему запізнення).

Приклад 10.

Розв’язання. Задамо функ-

цію аналітично.

1. На інтервалі 0,a скори-

стуємося рівнянням прямої, що

проходить через дві дані точки

0;2A та ; 1B a :

1 1

2 1 2 1

f t f t t t

f t f t t t

,

Рисунок 11.1

2 0

1 2 0

f t t

a

,

32

tf t

a ,

3 3 22

t t af t

a a

.

2. На інтервалі ,2a a скористуємося тим же рівнянням прямої через

точки ;0C a та 2 ;2D a :

0 2, ,

2 0 2 2

f t f tt a t af t t a

a a a a

.

3. 2f t при 2t a .

2a t

f t

1

2

0

C

DA

B

a

101

Отже,

0, 0,

3 2, 0 ,

2, 2 ,

2, 2 .

t

t at a

af t

t a a t aa

t a

За допомогою одиничної функції Хевісайда запишемо f t одним

аналітичним виразом. 0f t при 0t , у момент 0t «вмикається» фун-

кція, що дорівнює 3 2t a

a

; у момент t a вона «гасне» і вмикається фун-

кція 2

t aa

; у момент 2t a «гасне» і ця функція, і вмикається функція,

що дорівнює 2.

Цю послідовність можна записати так:

3 2 3 2 2 2 2 2

2 2 2t a t a t a t a

f t t t a t a t a t aa a a a

.

Щоб знайти зображення цієї функції, треба подати її у такому вигля-

ді:

53 2

2 1 2 2t at

f t t t t a t a t aa a a

.

Відповідь: 2

2 2 2

3 1 2 5 1 2 1ap apF p e ea p p ap ap p

.

Завдання 5. Знайти зображення за поданим графіком оригіналу. Зо-

браження періодичного з періодом T оригіналу знаходиться за формулою

1 pT

pF p

e

, де p t

, t – оригінал, що заданий на проміжку

0,T .

102

Приклад 11. Розв’язання. Період T функції f t дорівнює 3

(рис. 11.2).

t

f t

2

0 5 9

a

1 2 3 4 6 7 8

Рисунок 11.2

Функцію t можна записати так: , 0 3,

0, 3.

f t tt

t

Запишемо функцію t за допомогою одиничної функції Хевісайда:

1 1 2 1 2 2 3t a t t a t t a t a t ,

2 3

2 2

2 2p p p pa a a a ap e e e e

p p p pp p

.


3 2 2

1 2 2

1

p p p p

p

a a a a aF p e e e e

p p p pe p p

.

Завдання 6. Знайти зображення функції. Застосувати теорему 8 (тео-

рема інтегрування зображення) і 6 (інтегрування оригіналу).

Приклад 12. 51 2cos3te t

f tt

.

Розв’язання. Знайдемо зображення чисельника:

5

2

1 1 21 2cos3

5 9

t pe t

p p p

.

Ділення оригіналу на аргумент t відповідає операції інтегрування в

просторі зображень:

103

5

2

2

1 2cos3 1 1 2ln ln 5 ln 9

5 9

t

pp

e t qdq q q q

t q q q

2 2 2

2 2 2

5 5 9ln ln ln

9 9 5p

q q p p p

q p p p

.


2

9ln

5

pF p

p p

.

Приклад 13. 0

cos5

t

f t d .

Розв’язання. Знайдемо зображення функції cos5 . Оскільки

2cos5

25

p

p

, то

2

2 22

25cos5

25 25

p p

p p

.

За теоремою інтегрування оригіналу

2

22

0

25cos5

25

tp

d

p p

.

Відповідь:

2

22

25

25

pF p

p p

.

Завдання 7. Знайти зображення функції, використовуючи теорему

про згортку двох функцій.


cos10 sin3

t

f t t d .

Розв’язання. Функція f t є згортка функцій 1 cos10f t t і

2 sin3f t t . Оскільки 1 2 100

pF p

p

, 2 2

3

9F p

p

, то за теоремою

про згортку двох функцій

104

2 2

0

3cos10 sin3

100 9

tp

t dp p

.


3

100 9

pF p

p p

.

Завдання 8. Знайти оригінал за даним зображенням. Застосувати те-

орему 4 (теорему запізнення), теорему 6 (інтегрування оригіналу) і теорему

9 (множення зображень).


2

3

2 10

peF p

p p

.

Розв’язання. Знайдемо оригінал для функції зображення

1 2

3

2 10F p

p p

:

2 2

3 3sin3

2 10 1 9

te tp p p

.

Застосуємо теорему запізнення:

2

2

2

3sin3 2 2

2 10

pte

e t tp p

.

Відповідь: 2 sin3 2 2tf t e t t .

Приклад 16. 2 2

5

4F p

p p

.

Розв’язання. 2

5 5sh2

24t

p

.

Застосуємо теорему інтегрування оригіналу:

2 00

5 5 5 1 5 5sh2 ch2 ch2

2 2 2 4 44

tt

d tp p

,

105

2 200

5 5 5 5 1 5 5 5ch2 sh2 sh2

4 4 4 2 4 8 44

tt

d t tp p

.


sh28 4

f t t t .

Приклад 17. 2 21 16

pF p

p p

.

Розв’язання. Застосуємо теорему множення зображень:

2 2

0

1sin cos4 sin cos4

1 16

tp

F p t t t dp p

00

1 1 1sin 3 sin 5 cos 3 cos 5

2 6 10

tt

t t d t t

1 1 1 1 1 1cos4 cos cos4 cos cos cos4

6 6 10 10 15 15t t t t t t .


cos cos415 15

f t t t .

Завдання 9. Знайти оригінал за даним зображенням.


3 22 3

peF p

p p p

.

Розв’язання. Знайдемо оригінал для 1 3 2

1

2 3F p

p p p

.

2

3 2 22 2

2 31 1

2 3 2 32 3 2 3

A p p p Bp CA Bp C

pp p p p pp p p p p p

,

21 2 3A p p p Bp C .

Для знаходження коефіцієнтів складаємо систему рівнянь:

106

2

0p

p

p

1 3 , 1/3,

0 , 1/3,

0 2 , 2 /3.

A A

A B B

A C C

2 22

1 1 21 1 1 1 1 33 3 3

3 32 32 3 1 2

pp

p pp pp p p p

2 2

1 1 1 1 1

3 3 1 2 1 2

p

p p p

.

Якщо 11 fp tF

, то 1

1 1 1cos 2 sin 2

3 3 2

t tf t e t e t .

Застосуємо теорему запізнення:

2 21 1 12 cos 2 2 2 sin 2 2 2 .

3 3 2

t tf t t e t t e t t

Відповідь:

2 21 1 12 cos 2 2 2 sin 2 2 2 .

3 3 2

t tf t t e t t e t t

Завдання 10. Розв’язати задачу Коші.

Приклад 19. 2 sinx x x t , 0 0,x 0 1.x

Розв’язання. Припустимо, що x t X p

, тоді

x t pX p

, 2 1x t p X p

,

2

1sin

1t

p

.

Рівняння для зображення має вигляд:

2

2

11 2

1p X p X p X p

p

,

тобто 2

2

12 1 1

1p p X p

p

, звідки

2

22 1 1

pX p

p p

.

107

2

2 2 22 1 11 1 1

p A B Cp D

p pp p p

22 2

2 2

1 1 1 1

1 1

A p B p p Cp D p

p p

,

22 2 21 1 1 1p A p B p p Cp D p .

Для знаходження коефіцієнтів складаємо систему рівнянь:

3

2

1

0

p

p

p

p

1 2 , 1 / 2,

0 ,

0 ,

1 2 .

A A

A B D

B C

A B C D

1,

2

0,

1,

2

B D

B C

B C C D

1,

2

0,

1,

2

B D

B C

C D

1,

2

,

1 1.

2 2

D B

C B

B B

З останнього рівняння системи отримаємо, що 2 1B , тобто

1

2B , тоді

10, .

2D C Таким чином,

2 2

11 1 1 1 22 2 1 11

pX p

p pp

,

1 1 1

cos2 2 2

t tx t e t e t .

Відповідь: 1 1 1

cos2 2 2

t tx t e t e t .

108

Контрольні завдання за темoю «Операційне числення»



цій та теорему 3 операційного числення.

1. 3 2cos 5te t . 2. 2sh cos2t t .

3. 2 sin4 cos2te t t . 4. 5 2sinte t .

5. 2ch sin5t t . 6. sin5 sin2t t .

7. 2 sin3 sinte t t . 8

5 1cos7te t .

9. 3 sin( 4)te t . 10. ch7 cos7t t .

11. 1

sh5 sin52

t t . 12. 2 cos(3 1)te t .

13. cos4 cos6te t t . 14. ch5 sin3t t .

15. 2sh 5 sint t . 16.

21ch 5 sin5

2t t .

17. 3 4 sin3te t . 18.

2ch 3 cos2t t .

19. 3( 1)te t . 20.

4coste t .

21. cos3 sh( 1)t t . 22. 2 41

sin2

te t .

23. sin4 ch( 1)t t . 24. 2 3sinte t .

25. 4 2(5 1)te t . 26.

20sh7t t .

27. cos3 ch2t t . 28. 7sin shat bt .

29. 2 sin sinte mt nt . 30.

1(ch sin sh cos )

2mt mt mt mt .

109




1. cos( )t at b . 2. sin2 cos3t t t . 3. 2 sint at .

4. sin7 sin3t t t . 5. 2 cost at . 6. cos5 cos2t t t .

7. sin sht wt wt . 8. ch cost at at . 9. ( 7)cos3t t .

10. 2( 2) cos2t t . 11. 3( ch3 )tt e t . 12. 2cos 7t t .

13. sin(3 4)t t . 14. 2sin 2t t . 15. 2( ) cost m nt .

16. (3 5)sin4t t . 17. (5 4)sh10t t . 18. 2( 2) ch4t t .

19. ch2 sin7t t t . 20. 2( ch4 )tt e t . 21. sh5 cos2t t t .

22. ( 1)sin cost bt at . 23. 2( ) sht a bt . 24. cos7 ch7t t t .

25. 5(sin4 )tt t e . 26. sh5 sin2t t t . 27. (3 )ch6t t .

28. 2(2 5)sint t . 29.

2(5 )cost t . 30. 2(5sin4 )tt t e .




1. 2sin ( ) ( )t a t a . 2.

( 5) 10( 5) ( 5)te t t .

3. 3( 4) ( 4)t t . 4. cos3( )cos5( ) ( )t a t a t a .

5. sh(3 6) ( 2)t t . 6. sh( )cos( ) ( )t a t a t a .

7. 2cos ( 5) ( 5)t t . 8. cos( ) ( )te t b t b .

9. 4 ( 2)te t . 10.

3 sin( ) ( )te t a t a .

11. 2 ( 4)t t . 12.

2 sh(3 6) ( 2)te t t .

13. 3sin( 3) ( 3)te t t . 14.

5 ch(5 10) ( 2)te t t .

110

15. 2 cos( 2) ( 2)te t t . 16. cos( 3) ( 3)t t t .

17 1ch( 1) ( 1)te t t . 18. sin(4 8) ( 2)t t t .

19. 3 6sh(3 6) ( 2)te t t . 20. sh(2 4) ( 2)t t t .

21. sh5( 1)cos3( 1) ( 1)t t t . 22. ( 2) ( 2)te t t .

23. ch3(2 2)cos(5 5) ( 1)t t t . 24. 5 cos( 2) ( 2)te t t .

25. 1

ch3( 1)sin4( 1) ( 1)2

t t t . 26. 2 cos(3 3) ( 1)te t t .

27. 2( 2) ( 3)t t . 28. sin5( )cos3( ) ( )t a t a t a .

29. 4( 3) ( 5)t t . 30. sin5 ( 2)t t .

Завдання 4. Знайти зображення за поданим графіком оригіналу. При

розв’язанні завдання потрібно задати функцію аналітичним виразом, потім

записати ( )f t за допомогою одиничної функції Хевісайда одним аналітич-

ним виразом і застосувати формули відповідності та теорему 4.

1. 2.

04a

f t

t

1

2a

1

f t

2aa0

1

t

3. 4.

2aa

f t

1

1

0 t

2a

f t

a

t2b 3bb0

111

5. 6.

1

f t

tba0

2

1

0

1

f t

2

a 2a t

7. 8.

( )f t

t0

1

1

a 2a

f t

2a

a

b0 t

9. 10.

f t

tb 2b 3b

1

1

2

0

f t

1

1

a 2a 3a t0

11. 12.

( )f t

t2b0

a

2a

ta 4a

f t

1

0

1

112

13. 14.

2aa 3a

2

0

2

f t

t

a b t

f t

0

2

15. 16.

f t

1

1

0 3b 6b t2b 3b 5b t

f t

0

1

2

17. 18.

( )f t

t0

1

1

b 2b

( )f t

t

2a

a

3b2bb0

19. 20.

( )f t1

0

1

tb 3b2b

f t

t2aa

2

2

0

113

21. 22.

f t

3aa 2a

2

0 t

2b

2

0 tb

2

( )f t

23. 24.

f t

2b0 tb

1

4b

f t

a

0 tb

25. 26.

f t

0 tb 2b 3b

2

2

4 f t

0 tb 2b 3b

1

1

27. 28.

f t

0 ta 2a 3a

2

2 f t

0 tb 2b 3b

1

1

114

29. 30.

f t

t2a 6a4a

b

0

f t

t2a 6a

2

2

0 a

Завдання 5. Знайти зображення періодичного оригіналу, поданого

графіком. Зображення періодичного з періодом T оригіналу знаходяться за

формулою

( )1 pT

pF p

e

, де p t

. t – оригінал, заданий на

проміжку 0,T .

1. 2.

f t

t3b

A

0

A

2b 4b 5bb

f t

t3b0 2b 4bb

2

1

3. 4.

f t

t0 a T 2T

A

f t

t0 a T 2T

A

115

5. 6.

f t

t0 b 3b 5b 6b

2

2

2b 4b

f t

t0 2bb 3b 4b 5b 6b 7b 8b

B

B

7. 8.

0

1

f t

t8a4a3aa 7a5a0

f t

t6a4a3aa

2

2

9. 10.

0

f t

t5b4b3bb

B

B

2b

0

f t

t5b4b3bb 2b

2

1

11. 12.

0

f t

t

2

2a 4a3aa

f t

t2a 6a4aa 8a

A

0

116

13. 14.

f t

t2a 6a4a 8a0

2

2

f t

2

B

B

0 4b3bb 2b t

15. 16.

f t

0 4a3aa 2a t6a5a

2

2

f t

0 4b3bb 2b t

2a

a

17. 18.

f t

0 t

1

b 2b 3b 4b 6b5b

1

f t

0 4a3a 8a7a t

1

1

19. 20.

f t

0 t

1

b 2b 3b 4b

5b

B

B

b 2b 3b 4b0

f t

t

117

21. 22.

f t

2

2

0 a 2a 3a 5a 6a t

f t

2

2

0 a 2a 3a 5a 6a t4a

23. 24.

f t

0

a

2a

3b 5b 6b t4bb 2b

f t

0 2a t

b

2b

3a 4a 7a6a 8a

25. 26.

0 tb 2b 3b 4b 5b

f t

B

a t3a 4a 6a

f t

0

A

27. 28.

f t

0 2a t3a 4a 7a6aa 5a

2

f t

0 tb 2b 3b 4b 5b 6b

B

B

118

29. 30

f t

0 t

b 2b 3b 4b 5b 6b

A

2

862 4 t

f t

0

Завдання 6. Знайти зображення функції. Використати або застосува-

ти теорему 8.

1. sh7t

t. 2.

3 1te

t

. 3.

2sin 3t

t.

4. 5 1 6te t

t

. 5.

1 cos6t

t

. 6.

cos10 cos4t t

t

.

7. 2sin8 1 tt e

t

. 8.

2 1 7te t

t

. 9.

sin4 sin12t t

t

.

10. 51 te

t

. 11.

sh5 sin3t t t

t

. 12.

7 sin4tte t

t

.

13. 4 ch2te t

t

. 14.

0

sin5

t

d . 15. 2

0

cos 7

t

d .

16 5 sh4te t

t. 17. 3

0

sin

t

e d . 18.

2cos 5te t

t

.

19. sin5 sh4t t

t

. 20.

0

sh10

t

d . 21. 10 2

0

t

e d .

22. 3 2 1te t

t

. 23.

5sh2 1tt e

t

. 24.

0

( 1)cos3

t

d .

25. 2

0

sin 4

t

d . 26. cos3 ch5t t

t

. 27. 3

0

cos6

t

e d .

119

28. ch6 1t

t

. 29.

0

sh10

t

d . 30.

0

sin7

t

d .

Завдання 7. Використовуючи теорему про згортку двох функцій,

знайти зображення заданої функції:

1. 5( )

0

cos2

tte d

. 2. 7

0

cos( )

t

t e d . 3. 3( )

0

ch7

tte d

.

4. 7

0

( ) sh7

t

t d . 5. 5( )

0

sin3

tte d

. 6.

0

ch3( )cos7

t

t d .

7.

0

sh5( )cos10

t

t d . 8.

0

sh8

tte d

. 9.

0

cos( )ch7

t

t d .

10.

0

ch5( )sin10

t

t d . 11. 5( ) 10

0

tte d

. 12.

0

sin7( )sh5

t

t d .

13. 6

0

sin2( )

t

t d . 14. 8

0

( ) sin5

t

t d . 15. 3

0

sh6( )

t

e t d .

16. 12

0

( ) cos2

t

t d . 17. 4

0

( )

t

e t d . 18. 5

0

ch10( )

t

t e d .

19. 5 7

0

( )

t

t e d . 20. 6

0

cos5( )

t

t d . 21. 2

0

ch3( )

t

t d .

22.

0

sh( )cos7

t

t d . 23.

0

sh6 cos5( )

t

t d . 24. 11

0

sh3( )

t

t d .

25. 7

0

sin(4 4 )

t

t e d . 26. 8( ) 6

0

tte d

. 27.

0

( )ch5

t

t d .

28. 8

0

cos4( )

t

t e d . 29.

0

sin15 sh(3 3 )

t

t d . 30. 7

0

cos8( )

t

t d .

120

Завдання 8. Знайти оригінал за даним зображенням. В завданнях

110 застосувати теорему 4, в завданнях 1120 застосувати теорему 6, в

завданнях 2130 застосувати теорему 9.

1. 2 4 5

ppe

p p

. 2. 2

2

2 3

7

ppe

p

. 3.

2

6

7

( 2)

pe

p

.

4. 3

5

7 4pe

p

. 5.

2 6 5

pe

p p

. 6.

3

2 4 1

pe

p p

.

7. 5

2

(2 )

10

pp e

p

. 8.

2

5

9

ppe

p

. 9. 4

4

5

( 1)

pep

.

10. 4

2

(3 8)

7

pp e

p

. 11.

3 2

2

( 1)p p . 12.

2

4

( 9)p p .

13. 2 2

10

( 7)p p . 14.

2

5

( 6 7)p p p . 15.

2

8

( 3)p p .

16. 2 2

4

( 36)p p . 17.

2

3

( 2 8)p p p . 18.

2

7

( 4 29)p p p .

19. 4

11

( 2)p p . 20.

2

1

( 4 13)p p p . 21.

2

2 2( 1)

p

p .

22. 2 2

4

( 9)p p . 23.

2

( 3)( 2)p p . 24.

2

2 2( 1)( 4)

p

p p .

25. 2

2 2( 4)( 1)

p

p p . 26.

2 2( 9)( 4)

p

p p . 27.

2( 2)( 9)

p

p p .

28. 1

( 2)( 3)p p . 29.

2

3

( 1)( 2)p p . 30.

2

2

( 2)( 1)p p .

Завдання 9. Знайти оригінал за даним зображенням:

1. 2

3

( 1)( 2 5)

p

p p p

. 2.

2

2 2

1

( 1)

p

p

. 3.

2

3

( 1) ( 4)

p

p p .

121

4. 2

1

( 1)( 2)

p

p p p

. 5.

3

2 2

2

( 4)

p

p p

. 6.

2

5 3.

( 1)( 2 5)

p

p p p

7. 2 1

( 1)( 2)

p

p p p

. 8.

2 3

1

( 1) ( 2)p p . 9.

2 2

1

( 1) ( 1)p p .

10. 3

4

8p . 11.

3

1

( 1) ( 3)p p . 12.

3 2

4

4 5

p

p p p

.

13. 2 2

1

( 1) ( 1)p p . 14.

3 2

1

( 1)p p . 15.

2

2 2

14

( 4)( 9)

p

p p

.

16. 4 3 2

1

4 4

p

p p p

. 17.

2

3 2

( 3)( 25)

p

p p

. 18.

2 2

3

( 1)p p .

19. 2

4 3

2 1p

p p

. 20.

3 1

p

p . 21.

2 3

( 1)( 3)

p

p p p

.

22. 2

2( 1)( 4)

p

e

p p p

. 23.

3 2( 4)

pe

p p

. 24.

3

4 2

6 4 1p p

p p

.

25. 3 1

p

p . 26.

2 3

( 1)( 3)

p

p p p

. 27. 3

3 2

2

2 5

ppe

p p p

.

28. 2 2

1.

( 6 13)( 6 10)p p p p 29.

2 2.

( 1)( 9)

p

p p 30.

2

5.

( 1)( 4 5)p p p

Завдання 10. Розв’язати задачу Коши:

1. , (0) 0, (0) 0x x t x x .

2. sin , (0) 1, (0) 0x x t x x .

3. 2 2 , (0) 1, (0) 2tx x e x x .

4. 2 3 2 , (0) 1, (0) 1x x x t x x .

5. , (0) 0, (0) 2, (0) 0tx x e x x x .

6. 2, (0) 0, (0) 1x x t x x .

122

7. 2 sin , (0) 0, (0) 0x x t x x .

8. 2 , (0) (0) 0x x x t x x .

9. 3 2 , (0) (0) 0tx x x e x x .

10. 2, (0) 0, (0) 1x x t x x .

11 . 2 , (0) 0, (0) 1tx x x e x x .

12. 22 2cos , (0) (0) 0x x x t x x .

13 . 6 2, (0) 1, (0) 0x x x x x .

14. 4 cos3 , (0) 0, (0) 1x x t x x .

15 . 22 , (0) 1, (0) 0x x x t x x .

16. 2sin , (0) 1, (0) 1x x t x x .

17. 4 8sin2 , (0) 3, (0) 1x x t x x .

18. 2 2( 1), (0) 1, (0) 1.x x x t x x

19. , (0) (0) 0tx x te x x .

20. 4 2cos cos3 , (0) (0) 0.x x t t x x

21. sh , (0) 2, (0) 0x x t x x .

22. 22 , (0) 1, (0) 0tx x te x x .

23. cos2 , (0) (0) 0x x t x x .

24 2 4, (0) 1, (0) 2, (0) 2x x x x x x .

25. 4 2cos2 , (0) 0, (0) 4x x t x x .

26. 29 4 , (0) 1, (0) 2x x t x x .

27. 2 , (0) (0) (0) 0tx x e x x x .

28. 2 , (0) 1, (0) 3.x x x t x x

29. 4 3sin , (0) 2, (0) 3x x t x x .

30. 4 cos2 , (0) 0, (0) 2x x t x x .

123

Розділ 12. КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ ТА ЇХ

ЗАСТОСУВАННЯ

Даний розділ містить 5 завдань по 30 варіантів у кожному за наступ-

ними темами: подвійні інтеграли та їх обчислення; заміна змінної у по-

двійному інтегралі; застосування подвійного інтеграла; потрійний інтеграл

у циліндричній та сферичній системах координат. Наведено зразки вико-

нання завдань з докладними поясненнями. Для впевненого виконання за-

вдань студенту необхідно мати відповідні теоретичні знання з даної теми,

перевірити які він зможе за допомогою контрольних питань. У процесі са-

мостійної роботи рекомендуємо скористатись [2, 3, 4, 5, 8, 9, 13, 15].


1. Означення подвійного інтеграла.

2. Поясніть властивість адитивності подвійного інтеграла відносно

області інтегрування.

3. Яка область називається правильною у декартовій та в полярній

системах координат?

4. Обчислення подвійного інтеграла.

5. Як відбувається заміна змінної у подвійному інтегралі? В яких

випадках використовується полярна система координат?

6. Які фізичні застосування подвійного інтеграла? Запишіть відпо-

відні формули.

7. Означення потрійного інтеграла. Обчислення потрійного інтег-

ралу у декартовій системі координат.

8. Наведіть приклади фізичних застосувань потрійного інтеграла.

Коли зручно використовувати циліндричну або сферичну системи коорди-

нат?


Приклад 1. Записати подвійний інтеграл ( , )

D

f x y dxdy у вигляді по-

вторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по y та зовнішнім інтегру-

ванням по x , якщо область D обмежена лініями 2 22 0x y y ,

, 1y x y .

124

Розв’язання.

1. Перший крок – зобразити область D. Вона обмежена колом та

Рисунок 12.1

двома прямими. Рівняння кола приведемо до

канонічного вигляду, тобто до вигляду 2 2 2

0 0( ) ( )x x y y R . Одержимо:

2 22 0,x y y 2 2( 1) 1 0,x y 2 2( 1) 1.x y

Отже, центр кола у точці (0;1) , радіус до-

рівнює 1 (рис. 12.1).

2. Запишемо подвійний інтеграл у вигляді повторного із зовнішнім

інтегруванням по y : 2

1

( )

( )

( , )

x yb

a x y

dy f x y dx , де a і b – кінці відрізка на осі OY ,

в який проектується область D. У нашому випадку це відрізок 0, 1 . Отже,

0, 1a b .

3. Далі треба встановити межі інтегрування 1( )x y та 2( )x y для внут-

рішнього інтеграла. Для цього через область D проводимо допоміжну лі-

нію, паралельну осі OX . Вона перетинає межі області (у напряму зростан-

ня x ): спочатку коло (це лінія «входу» в область інтегрування), потім пря-

му y x (лінія «виходу») (рис. 12.2). Отже, для будь-якого [0,1]y кожна

з ліній – «входу» та «виходу» – задається єдиним рівнянням.

Рисунок 12.2

Таким чином, рівняння кола, записане як

1( )x x y , буде нижньою межею інтегрування;

рівняння прямої 2( )x x y – верхньою межею. З

рівняння кола маємо:

2 2 22 0, 2 .x y y x y y

Ліва частина кола описується останнім

рівнянням, узятим зі знаком «–», а права части-

на – рівнянням, узятим зі знаком «+».

125

Отже, 21( ) 2x y y y , 2( ) ,x y y тому повторний інтеграл має та-

кий остаточний вигляд:

2

1

0 2

( , ) ( , )

y

D y y

f x y dxdy dy f x y dx

.

4. Змінимо порядок інтегрування. Відповідний повторний інтеграл

виглядатиме так: 2

1

( )

( )

( , )

y xd

c y x

dx f x y dy .

Знайдемо межі інтегрування. Проекцією області D на вісь OX є відрі-

зок ,c d , у нашому випадку 1, 1 .

Для визначення меж інтегрування для

внутрішнього інтегралу проводимо через

область D допоміжні прямі, паралельні осі

ОY і звертаємо увагу на те, що лінією «вхо-

ду» в область D на проміжку 1, 0 є коло,

а на проміжку 0,1 – пряма y x

(рис. 12.3). Отже, лінія «входу» не опису-

ється єдиним рівнянням, як це було у попе-

редньому випадку. Тому виникає необхід-

ність скористатись властивістю адитивнос-

ті подвійного інтеграла і розділити область

Рисунок 12.3

D на області 1D і 2D , які не мають спільних внутрішніх точок і

1 2 .D D D У таких випадках подвійний інтеграл по області D запису-

ється таким чином:

1 2

( , ) ( , ) ( , ) .

D D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

Область 1D проектується на вісь OX у відрізок 1, 0 , лінія «входу»

– коло, лінія «виходу» – пряма 1y ; область 2D проектується на вісь OX у

відрізок 0,1 , лінія «входу» – пряма y x , лінія «виходу» – пряма 1y .

Оскільки у внутрішньому інтегралі змінною інтегрування є y, рівняння лі-

ній «входу» та «виходу» (верхню та нижню межі інтегрування) записують-

ся у вигляді ( ).y y x З рівняння кола одержимо:21 1y x , де для

нижнього півкола обираємо знак «–». Запишемо повторний інтеграл по об-

126

ласті D1:

21

0 1

1 1 1

( , ) ( , )

D x

f x y dxdy dx f x y dy

. Повторний інтеграл по об-

ласті D2 виглядатиме таким чином:

2

1 1

0

( , ) ( , )

D x

f x y dxdy dx f x y dy .

Отже, остаточно маємо:

( , )

D

f x y dxdy 2

0 1 1 1

1 01 1

( , ) ( , )

xx

dx f x y dy dx f x y dy

.

Відповідь:

2 2

1 0 1 1 1

0 1 02 1 1

( , ) ; ( , ) ( , ) .

y

xy y x

dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy

Зауваження. Як бачимо, другий випадок запису повторного інтегра-

ла виявився складнішим, ніж перший. Відомо, що на результат обчислення

подвійного інтеграла не впливає обраний порядок інтегрування, тому при

обчисленні подвійного інтеграла повторний інтеграл треба будувати з мір-

кувань зручності, враховуючи вигляд області інтегрування, а також вид

підінтегральної функції.

Приклад 2. Обчислити подвійний інтеграл ( 4 )

D

y x dxdy по області

D, що обмежена лініями 2 4 , 0 ( 0)3

xy x y y .


1. Для обчислення

подвійного інтеграла тре-

ба, по-перше, зобразити

область інтегрування D.

У нашому випадку

вона обмежена парабо-

лою 2 ( 4)y x , яка

розташована вздовж осі

Рисунок 12.4

OX, прямою 1

3y x та віссю OX (рис. 12.4).

127

2. Визначаємо порядок та межі інтегрування у повторному інтегралі.

Порядок інтегрування зручно обрати такий: зовнішній інтеграл по змінній

y, внутрішній – по x. Отже, подвійний інтеграл запишемо як повторний та-

ким чином: 2

1

( )

( )

( 4 ) ( 4 )

x yb

D a x y

y x dxdy dy y x dx .

Для визначення відрізка ,a b необхідно знайти точки перетину па-

раболи та прямої, для цього розв’язати систему:

2 2

2

1

3 4 3 3 4 0

4

y xy y y y

y x

,

звідки 1 21, 4y y і 0, 4.a b Для визначення меж інтегрування для внутрішнього інтеграла 1( )x y

та 2( )x y проводимо через область D допоміжну пряму, паралельну осі OX.

Лінія «входу» – пряма 1

3y x , отже, нижня межа 1( ) 3x y y ; лінія «ви-

ходу» – парабола, рівняння якої треба розв’язати відносно x : 24x y .

Отже, верхня межа: 2

2( ) 4x y y . Остаточно маємо: 244

0 3

( 4 ) ( 4 )

y

D y

y x dxdy dy y x dx

.

3. Обчислення повторного інтеграла починаємо з внутрішнього інте-

грала, при визначенні якого змінну y вважаємо сталою величиною:

244

0 3

( 4 )

y

y

dy y x dx

244 2

0 3

42

y

y

xy x dy

4

2 2 2 2

0

(4 3 ) 2 (4 ) ( 3 )y y y y y dy

4

3 2 2 4 2

0

4 3 2(16 8 9 )y y y y y y dy

128

44 5 4 3 2

4 3 2

0 0

2 37 4 32 2 37 4 325 4 3 2

y y y yy y y y dy y

5 4 3 24 4 4 4 32962 37 4 32 4 .

5 4 3 2 15


15.

Приклад 3. Переходячи до полярної системи координат, обчислити

подвійний інтеграл 2 2x y

D

e dxdy , де область D обмежена лініями

2 2 3, , 0 ( 0, 0)x y y x x x y .


У тому випадку, коли межа області інтегрування є коло або його час-

тина, доцільно переходити до полярних координат, користуючись форму-

лами cos , sin .x y

Заміна змінної відбувається за формулою

( , ) ( cos , sin ) .

D D

f x y dxdy f d d

Зобразимо область інтегрування

(рис. 12.5).

Перейдемо до полярних координат.

З урахуванням обмежень 0, 0x y для прямої

y x одержуємо рівняння 4

, а для прямої

0x – рівняння .2

Тоді

Рисунок 12.5

2 2 2 2 2

3 32/ 2 2/ 4

0 0

4

1

2

x y

D D

e dxdy e d d d e d e d

2 33

0

( 1).8 8

e e

Відповідь: 3( 1).

8e

129

Приклад 4. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об’єм ті-

ла, обмеженого поверхнями 2 2 4, 4 2 , 0x y z x z .


Для обчислення об’єму тіла за допомогою подвійного інтеграла тре-

ба розуміти його геометричний зміст; знати канонічні рівняння поверхонь

другого порядку (циліндр, конус, параболоїд,

сфера та ін.), рівняння площини; вміти обчис-

лювати подвійний інтеграл по області.

1. Побудуємо рисунок до задачі. Тіло об-

межене циліндром 2 2 4,x y спрямованим

вздовж осі OZ , площиною 4 2 ,z x парале-

льною осі OY , та координатною площиною

XOY (рис. 12.6).

2. Якщо ( , ) 0,f x y то подвійний інтеграл

( , )

D

f x y dxdy обчислює об’єм циліндричного

Рисунок 12.6

тіла, що обмежено зверху поверхнею ( , )z f x y , яка проектується на ко-

ординатну площину XOY в область D, знизу – областю D, бічна поверхня –

циліндрична, твірні якої паралельні осі OZ , а напрямна є межою області

D. Отже, у нашому випадку підінтегральна функція – площина 4 2 ,z x

область D – коло радіусом 2R із центром у початку координат.

3. Враховуючи, що область інтегрування – круг, перейдемо до поля-

рних координат. Рівняння кола 2 2 4x y у полярній системі координат

має вигляд 2 , отже:

2 2

0 0

(4 2 ) (4 2 cos ) 2 (2 cos )

D D

x dxdy d d d d

2 2 2 2 22 2

0 0 0 0 0

2 (2 cos ) 2 2 cosd d d d d

22 2 2

220

0 0 0

2 4 sin 2 4 8 16 .2

d d

Відповідь: об’єм тіла дорівнює 16 (од3).

130

Приклад 5. Обчислити масу тіла, яке займає об’єм V, що обмежений

поверхнями 2 2 2 21, 1, 2x y z z x y , якщо дано густину

2 2x y цього тіла. При обчисленні використати циліндричні або

сферичні координати.

Розв’язання. Для розв’язання задачі використаємо потрійний інтег-

рал, який визначає масу тіла: ( , , )

V

m x y z dxdydz , де ( , , )x y z – густина

тіла. Очевидно, коли 1 , потрійний інтеграл обчислює об’єм тіла.

Коли поверхня, що обмежує тіло, є циліндром або сферою, зручно

задачу розв’язувати у циліндричній або сферичній системі координат.

Таблиця 12.1

Циліндрична система координат Сферична система координат

cos , sin , ,x y z z

0 2 , 0 , ,z

,J dxdydz d d dz .

sin cos , sin sin , cos ,x r y r z r

0 2 , 0 , 0 ,r

2 2sin , sin .J r dxdydz r drd d

У таблиці 12.1 наведено зв’язок між декартовою та циліндричною і

сферичною системами координат, зображено обидві системи координат.

Заміна змінної у потрійному інтегралі відбувається за формулою:

( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

V V

f x y z dxdydz f u v w u v w u v w J dudvdw

,

де ( , , ), ( , , ), ( , , )x u v w y u v w z u v w , J – якобіан переходу до нової

системи координат.

Обчислення потрійного інтеграла у циліндричній системі координат

здійснюється за формулою

131

( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) .

V V

x y z dxdydz x z y z z z J d d dz

У даному випадку область інтегрування обмежена циліндром 2 2 1x y , параболоїдом 2 22z x y та площиною 1z (рис.12.7). При

обчисленні потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат:

( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

V

m x z y z z z J d d dz

1 2 2

1 1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( ( , , ), ( , , ), ( , , )) .

z

z

d d x z y z z z dz

Рівняння кола 2 2 1x y у полярній системі коор-

динат має вигляд 1 , межі інтегрування в зовні-

шньому інтегралі по змінній дорівнюють 0 та

2 , межі інтегрування в проміжному інтегралі по

змінній дорівнюють 0 та 1. Тіло обмежене знизу

площиною 1z , зверху – параболоїдом 2 22z x y . Рівняння параболоїда у циліндрич-

ній системі координат має вигляд: 2 2 2 22 2 cosz x y 2 2 2sin 2 ,

тобто 22z .

Рисунок 12.7

Отже, нижня межа у внутрішньому інтегралі (по змінній z) є 1, верхня ме-

жа є 22 . Густина у циліндричних координатах:

2 2 2 2 2 2cos sinx y .

Запишемо та обчислимо відповідний інтеграл:

222 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2

0 0 1 0 0 0 0

2 1 (1 )m d d dz d d d d

12 23 5

0 00

8 16.

3 5 15 15d d

Відповідь: маса тіла 16

15 (од. маси).

132

Приклад 6. Обчислити масу тіла, яке займає об’єм V, що обмежений

сферою 2 2 2 4x y z та площиною 0 ( 0)y y , якщо дано густину

2 2 2 3( )x y z цього тіла. При обчисленні використати циліндричні

або сферичні координати.


Оскільки поверхнею, що обмежує тіло, є сфера, використаємо сфе-

ричні координати. Обчислення потрійного інтеграла в сферичній системі

координат здійснюється за формулою

2( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) sin .

V V

f x y z dxdydz f x r y r z r r dr d d

Область V є півсфера, розташована у тих

координатних октантах, де 0y (рис. 12.8). Рів-

няння сфери у сферичних координатах: 2r .

Отже, сферичні координати будуть змінюватися

у таких межах: 0 2, 0 , 0r . Пе-

рейдемо до сферичних координат у рівнянні гус-

тини:

2 2 2 3( )x y z

2 2 2 2 2 2 2 2 3( sin cos sin sin cos )r r r

2 3 3( )r r .

Рисунок 12.8

Запишемо та обчислимо інтеграл:

22 6

3 2 50 0

0 0 0 0

64sin sin ( cos ) .

6 3V

rm r r drd d d d r dr


3 .

133

Контрольні завдання за темою

«Кратні інтеграли та їх застосування»

Завдання 1. Записати подвійний інтеграл ,

D

f x y dxdy у вигляді

повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по x та зовнішнім інте-

груванням по y, якщо область D обмежена вказаними лініями:

1. 2

2: 4 , 3 , 0 .3

yD y x y x y x

2. 2: 2 , 5 2 6 0, 0.D x y x y x

3. 2: 8 , 0, .D y x x y x

4. : 0, 0, 1, ln .D x y y y x

5. 2: 2 , 0.D x y x y

6. 2 2: 2 , .D y x y x

7. 2: 2, .D y x y x

8. : 0, 1, 3, .D x y y y x

9. 2 2: 2 , 2 , 1 ( 1).D y x x y x x

10. 2: 0, , 9 .D x y x y x

11. 2: 2 , .D y x x y

12. 2 2: 2 , , 0 ( 0).D x y x y y y

13. : 0, 2 12 0, lg .D y x y y x

14. : 0, 1, 3, .D x y y y x

15. 2: 0, , 2 ( )D y y x y x y x

16. 2: 0, , 6 .D y x y x y

17. 2: , 2.D y x y x

18. 2: 4 , 0, 1, 0.D y x x x y

19. 2: 1, 2, 0, .D x x y y x

134

20. 2 2 2: 0, , 6 ( ).D x y x x y y x

21. 2: 0, 1, , 4 .D y y y x x y

22. : 0, 1, 4, .D x y y y x

23. 2: 6 , . D y x y x

24. 2: 0, 2, 0, 4.D x x y y x

25. 2: 0, 0, 1, 3 1 .D x y y x y

26. 2: 9 , , 0. D x y y x y

27. : 2 6 0, , 0. D x y y x y

28. : , 3 3, 3.D y x x y y

29. 1

2

: 0, 1, 1, log .D x y y y x

30. 2: 0, 0, 1, 4 .D x y y x y

Завдання 2. Обчислити подвійний інтеграл по області D , що обме-

жена вказаними лініями:

1. 2 2 2, : , .

D

x y dxdy D y x x y

2. 2 2, : , 2 .

D

xy dxdy D y x y x

3. 23 , : 4 , 0.

D

y dxdy D y x x

4. , : 1, 4, 2 , 1.

D

xdxdy D x x y x y

y

5. 3 22 , : 1, 0, 0 ( 0).

D

x y dxdy D y x x y x

6. 2, : , .

D

y x dxdy D y x y x

7. 21 , : , 3 .

D

y dxdy D y x y x

135

8. 2 2, : 1, 1.

D

x y dxdy D y x y x

9. 1 , : 5 , , 3.

D

x y dxdy D y x y x x

10. 1

2 , : , , 2.2

D

x dxdy D y x y x x

11. 2 2, : , 1.

D

x y dxdy D y x y

12. 3, : 2 , 0, 1.

D

xydxdy D y x y x

13. 2 2 2, : , 1.

D

x y dxdy D x y x

14. 3, : , 0, 2.

D

xydxdy D y x y x

15. 3, : , 8, 0, 3.

D

x y dxdy D y x y y x

16. 22 , : 1 , 0.

D

x x y dxdy D y x y

17. 31 , : , ( 0).

D

y x dxdy D y x y x y

18. 3 2, : 1 , 0.

D

x y dxdy D y x x

19. 5 , : 5 0, 5 0, 0.

D

x y dxdy D x y x y x

20. 2, : 1, 3.

D

x y dxdy D y x y

21. 2 21 , : 3 , 3.

D

x y dxdy D y x y

22. 2 , : , 0, 1.

D

x y dxdy D y x y x

23. 3 , : 1, 2, 1, 0.

D

x y dxdy D x y x y x x

24. 3 3, : , 4 ( 0).

D

x y dxdy D y x y x y

136

25. 3 23 , : 1, 1, 0 ( 0).

D

x y dxdy D x y y x x x

26. , : , 0, 2.

D

x ydxdy D y x y x y

27. 2

2, : , 1, 2.

D

ydxdy D y x x y y

x

28. 2 31 , : , 3 .

D

y x dxdy D y x y x

29. 2 21 2 , : 2 , 0.

D

y x dxdy D x y x

30. , : ln , 0, 2.y

D

e dxdy D y x y x

Завдання 3. Обчислити подвійний інтеграл ( , )

D

f x y dxdy , перехо-

дячи до полярної системи координат:

1. 2 2( , ) ; : 3 , , 3.f x y y D x y x y x y x

2. 2 2( , ) ; : 2 , , .3

xf x y x y D x y x y x y

3. 2 2( , ) ; : 3 , , .f x y x D x y y y x y x

4. 2 2 2 2 2( , ) ; : 2 , 3 , 0.f x y x y D x y x x y x y

5. 2 2 2 2 2( , ) ; : , 2 , 0.f x y xy D x y y x y y x

6. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : , 2 , 3.f x y y x y D x y x x y x y x

7. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : 2 , 4 , .3

xf x y x x y D x y y x y y y

8. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : 2 , 4 , 3, 0.f x y x y D x y y x y y y x x

9. 2 2 2 2( , ) 3 2; : 1, 4, , 0.3

xf x y x D x y x y y x

137

10. 2 2 2 2( , ) 9 4; : 4, 16, 3, 0.f x y y D x y x y y x y

11. 2 2 2 2( , ) 12 3 ; : 1, 9, , 0.3

xf x y x D x y x y y x

12. 2 2 2 2( , ) 18 6 ; : 1, 9, 3, 0.f x y y D x y x y y x x

13. 2 2 2 2( , ) 3 ; : , 3 , 0.f x y xy D x y x x y x y

14. 3 2 2 2 2( , ) 2 ; : , 2 , 0.f x y xy D x y y x y y x

15. 2 2( , ) ; : 4 , 3, 0.f x y y D x y x y x y

16. 2 2( , ) 12 ; : 2 , .f x y x D x y y y x

17. 2 2 2 2

2 2

1( , ) ; : 2 , 4 , , .f x y D x y x x y x y x y x

x y

18. 2 2 2 2

2 2( , ) ; : 2 , 6 , 0, 3.

xf x y D x y x x y x y y x

x y

19. 2 2 2 2

2 2( , ) ; : 4 , 8 , , .

3 3

y x xf x y D x y x x y x y y

x y

20. 2 2 2 2

2 2( , ) ; : 2 , 3 , , 0.

xf x y D x y y x y y y x x

x y

21. 2 2 2 2( , ) ; : , 5 .f x y x D x y y x y y

22. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : 3 , 4 .f x y x y D x y y x y y

23. 2 2 2 2( , ) ; : 2 , 6 .f x y y D x y x x y x

24. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : 1, 2 .f x y y x y D x y x y x

25. 2 2 2 2 2 2( , ) ; : 4, 4 .f x y x x y D x y x y y

26. 2 2 2 2

2 2( , ) ; : 2, 2 .

x yf x y D x y x y x

x y

27. 2 2( , ) ; : 1, 2 .f x y x D y x y y

28. 2 2( , ) ; : 2, 4 .f x y y D x x y x

29. 2 2

2 2( , ) ; : 2, 2 .

x yf x y y D x y x y x

x y

138

30. 2 2

2 2( , ) ; : 2, 4 .

xf x y D y x y y

x y

Завдання 4. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об’єм ті-

ла, обмеженого вказаними поверхнями:

1. 2 2, 1, 0, 0, 0.z x y x y x y z

2. 2 22 , 2 1, 0, 0, 0.z x y x y x y z

3. 2, 2 2 0, 7 0, 0, 0.z x x y x y z y

4. 2 2 22 3 , , , 0.z x y y x y x z

5. 2 22 , , 3 , 2, 0.z x y y x y x x z

6. 2, 4, 25 , 0, 0, 0.z x y x y x y z

7. , , 2, 0.y x y x x y z z

8. 21 , 3, 0, 0.y x x y z y z

9. 2 22 , 4, 0, 0, 0.z x y x y x y z

10. 2 2 24 , 4, 0, 0, 0,z x x y x y z ( 0, 0, 0).x y z

11. 22 3 12 0, 2 , 0, 0, 0.x y z y x y z

12. 2 210 2 , , 1, 0, 0.z x y y x x y z

13. 2, 6, 2 , 0, 0.z x x y y x x z

14. 2 2 23 2 1, 1, 1, 0.z x y y x y z

15. 3 , , 10, 1, 0.y x y x x y z y z

16. 2 1 , 1, 0, 0.y x x y z x z

17. 2 2, , 3 2 6, 0.y x x y z x y z

18. 2 1 , 3, 0, 0.x y x y z y z

19. 2, 1, 4, 0.x y x x y z z

20. 2 22 , 1, 0, 0, 0.z x y x y x y z

139

21. 2, 4, 2 5 10, 0.y x y z x y z

22. 2 , 2, 0, 0.y x x y z x z

23. 21 , , , 0.y z y x y x z

24. 2 2 24 , 4 , 0.x y y z y z

25. 2 2 2 2 2 21, 2 , 0 ( 1).x y z x y z x y

26. 2, 0, 2.y x z y z

27. 2 2 24 , 4 , 0.z x x y x z

28. 2 22 , , 0, 1, 0.z x y y x x y z

29. 2, 1, 0, 0.z y y x x z

30. 2 , 3, , 0.y x x z x z

Завдання 5. Обчислити масу тіла, яке займає об’єм V, якщо задано

густину , ,x y z цього тіла. При обчисленні використати циліндричні

або сферичні координати:

1. 2 2 2 2 2 2: 4, 0, 0, 0; .V x y z x y z x y z

2. 2 2 2 2 2: 4 , 2, , , .V x y z z y x y x y x y

3. 2 2 2: 1 36, 0, 0, 0; .V x y x y z z

4. 2 2 2 2 2 2: 32, , 0; .V x y z x z y y y

5. 2 2 2 2 2 2: 8, , 0; .V x y z y z x x x

6. 2 2 2: 4 16, 3, 0, 0; .V x y z y x y z x

7. 2 2 2 2 2 2: 8, , 0, 0; .V x y z x y z z y y

8. 2 2 2: 4 36, 0, 3, 0;V x y z x y x z

3

2 2 2 2( ) .x y z

9. 2 2 2 2: 3 , 0, 3, 3; .V x y z y y x z x y

10.

3

2 2 2 2 2 2 2: 16, 0; ( ) .V x y z z x y z

11. 2 2 2 2: 2 , 0, , 18; .V x y z y y x z x y

140

12.

3

2 2 2 2 2: , 0, , 4; ( ) .V x y z y y x z x y

13. 2 2 2 2: 4, 2 4, 0; .V x y y z z x y

14. 2 2 2 2: 9, 2 4, 0; .V x y y z z x y

15. 2 2 2 2: 16, 2 4, 0; .V x y z y z x y

16. 2 2 2 2: 1, 3, 0; .V x y y z z x y

17. 2 2 2 2 2 2: 4, 2 , 1; .V x y x y z z x y

18. 2 2 2 2: 2 , 4 , 0, 0, 6;V x y y x y y x z z

2 2 .x y

19. 2 2 2 2 2 2: 36, , 0, 0; .V x y z y x y z x y z

20. 2 2 2 2: 2 , 4 , 3, 0, 0, 4; .V x y x x y x y x y z z xy

21. 2 2 2 1: 1 9, 0, , 0;

3V x y z y y x z

2 2 2.

z

x y z

22. 2 2 2 2: 2 , 2, 0, 0; .V x y x x z y z x y

23. 2 2 2 2: 1 16, , 0, 0; .V x y z y x y z x

24. 2 2 2 2: 4 , 4, 0, 0; .V x y y y z x z x y

25. 2 2 2: 4 16, 3, 0, 0;V x y z y x y z

2 2 2 .x y z

26. 2 2 2 2: 2 , 0, 3, 0; .V x y x y z z z x y

27.

3

2 2 2 2 2 2 2: 1 4, 0, , 0, ( ) .V x y z z y x y x y z

28. 2 2 2: 2 , 4, 0; .V y z x x x x

29. 2 2 2 2 2 2: 1 9, 0, , 0; .V x y z y y x z x y z

30. 2 2 2 2 2 2: 18, , 0, 0; .V x y z x y z x z x

141

Розділ 13. КРИВОЛІНІЙНІ ТА ПОВЕРХНЕВІ

ІНТЕГРАЛИ

В цьому розділі посібника містяться основні теоретичні положення і

формули, необхідні для розв’язання задач за даною темою; наведені чис-

ленні приклади, які ілюструють застосування теоретичних положень.

Індивідуальне завдання складається з 5 задач, кожне з яких предста-

влено у 30 варіантах, за темами:

1. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду.

2. Застосування криволінійних інтегралів першого роду.

3. Обчислення криволінійних інтегралів другого роду безпосередньо

за означенням і за формулою Гріна.

4. Застосування криволінійних інтегралів другого роду.

5. Обчислення поверхневого інтеграла першого роду та його засто-

сування.

Мета розділу – допомогти студентам оволодіти методикою

розв’язання практичних задач за темою «Криволінійні та поверхневі інтег-

рали» і закріпити здобуті знання. Рекомендуємо перед виконанням розра-

хунково-графічного завдання ознайомитися з літературою [2, 5, 8, 15] та

відповісти на контрольні питання.


1. Означення криволінійного інтеграла першого роду.

2. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду.

3. Застосування криволінійних інтегралів першого роду (обчислення

довжини дуги, маси та координат центра мас матеріальної кривої).

4. Означення криволінійного інтеграла другого роду.

5. Обчислення криволінійних інтегралів другого роду.

6. Криволінійний інтеграл вздовж замкненого контуру. Формула

Гріна.

7. Умови незалежності криволінійного інтеграла другого роду від

шляху інтегрування. Знаходження функції за її повним диференціалом.

142

8. Застосування криволінійних інтегралів другого роду (обчислення

площі плоскої фігури, роботи сили при переміщенні матеріальної точки

вздовж заданої кривої).

9. Означення поверхневого інтеграла першого роду.

10. Обчислення поверхневого інтеграла першого роду.

11. Застосування поверхневого інтеграла першого роду (обчислення

площі поверхні, маси матеріальної поверхні, координат центра тяжіння ма-

теріальної поверхні).

12. Означення поверхневого інтеграла другого роду.

13. Обчислення поверхневого інтеграла другого роду.

14. Формула Гаусса – Остроградського.

15. Формула Стокса.


Приклад 1. Обчислити

L

xyz dl , де L – дуга лінії 3cosx t ,

3siny t , 4z t 02

t

.

Розв’язання. Лінія інтегрування задана параметрично в 3 , тому для

обчислення інтеграла скористаємося формулою

2

1

2 2 2, , , ,

t

t t t

AB t

f x y z dl f x t y t z t x y z dt .

Оскільки 3sintx t , 3costy t , 4tz , то

2 2 2 2 29sin 9cos 16 5t t tdl x y z dt t t dt dt .

За поданою формулою одержуємо:

2 2

0 0

,

3cos 3sin 4 5 90 sin 2 1sin 2 , cos2

2L

U t dU dt

xyzdl t t t dt t tdtdV tdt V t

143

22 2 2

0 0 00

1 190 cos2 cos2 90 cos2 sin 2

2 2 2 4

t tt tdt t t

1 4590 cos 0 sin 0

4 4 2

.


2

.

Приклад 2. Обчислити 2

2 2

L

x y dl , де L – коло 2 2 2x y a .

Розв’язання. Запишемо рівняння кола у параметричній формі

cosx a t , siny a t , 0 2t , а для обчислення інтеграла скористаємося

формулою

2

1

2 2, ,

t

t t

AB t

f x y dl f x t y t x y dt .

Оскільки sintx a t , costy a t , то 2 2

t tdl x y dt

2 2 2 2sin cosa t a tdt adt . Таким чином,

22 22 2

2 2 2 2 2 2 5 5 5

0 0 0

cos sin 2

L

x y dl a t a t adt a dt a t a

.

Відповідь: 52a .

Приклад 3. Обчислити 1

L

dl

x y , де L – відрізок прямої 1y x

між точками 1;0A і 3;2B .

Розв’язання. Лінія інтегрування задана рівнянням 1y x , тому для


2

, , 1

b

AB a

f x y dl f x y x y dx .

144

Оскільки 1y , то

3 33

11 1

1 1 2 2 2ln ln3

1 1 1 2 2 2L

dl dx dxx

x y x x x

.


ln32

.

Приклад 4. Обчислити 2 2 2

L

dl

x y z , де L – відрізок прямої між

точками 1;1;1A і 2;2;2B .

Розв’язання. Канонічні рівняння прямої, що проходить через дві точ-

ки: 1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

. Складемо рівняння прямої, що проходить

через точки 1;1;1A і 2;2;2B : 1 1 1

1 1 1

x y z . У даному випадку ско-

ристаємося формулою

2

1

2 2 2, , , ,

t

t t t

AB t


Від канонічних рівнянь прямої перейдемо до параметричних:

1, 1, 1.x t t y t t z t t Визначимо межі інтегрування: 0, 1.A Bt t

Отже,

1 11

02 2 2 2 2 20 0

3ln 1 ln 2.

11 1 1L

dl dt dtt

tx y z t t t

Відповідь: ln 2 .

Приклад 5. Обчислити довжину і координати центра мас дуги одно-

рідної (щільність , , 1x y z ) кривої L : 2x t , 2cosy t , 2sinz t ,

0 2t .

Розв’язання. Довжина дуги AB кривої L обчислюється за формулою

AB

AB

l dl . Оскільки лінія інтегрування задана параметрично в 3 , то для


145

2

1

2 2 2, , , ,

t

t t t

AB t


Оскільки 1tx , 2sinty t , 2costz t , то

2 21 4sin 4cos 5dl t tdt dt .

Відповідно довжина дуги

22

00

5 5 2 5AB

AB

l dl dt t

.

Формули для обчислення координат центра мас дуги AB матеріаль-

ної кривої L :

, ,AB

c

AB

x x y z dl

xm

,

, ,AB

c

AB

y x y z dl

ym

,

, ,AB

c

AB

z x y z dl

zm

,

де , ,AB

AB

m x y z dl – маса дуги AB матеріальної кривої L , а , ,x y z –

лінійна щільність матеріальної кривої L .

Щільність , , 1x y z , тому маса кривої 1 2 5AB

AB AB

m dl dl .

Обчислимо cx : 2

0

, , 5 2AB AB

x x y z dl xdl t dt

2

2 22

0

2 2 2 45 5 2 5 2 .

2 2 2

t

Отже, 22 5 2

22 5

cx

.

Обчислимо cy :

22

0 0

, , 2 5 cos 2 5sin 2 5 sin 2 sin0 0.

AB AB

y x y z dl ydl tdt t

00.

2 5cy

Обчислимо cz :

146

2

2

00

, , 2 5 sin 2 5 cos

AB AB

z x y z dl zdl tdt t

2 5 cos2 cos0 0.

00.

2 5cz

Відповідь: 2 5ABl , 2cx , 0cy , 0cz .

Приклад 6. Обчислити масу стрижня AB , якщо 0; 1; 1A ,

1;0; 1B , якщо в кожній його точці щільність 2, , 2x y z x y x z .

Розв’язання. Маса дуги AB матеріальної кривої L – криволінійний

інтеграл 2, , 2AB

AB AB

m x y z dl x y x z dl .

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки 0; 1; 1A і

1;0; 1B : x t t , 1y t t , 2z t t . Значення параметра t , які від-

повідають точкам A та B : 0At , 1Bt . Диференціал довжини дуги в на-

шому випадку 2 2 2

1 1 1 3t t tdl x y z dt dt dt . Отже,

1 1

2 2 2

0 0

2 2 1 2 3 3 3AB

AB

m x y x z dl t t t t dt t dt

13

0

1 10 33 3 3 3

3 3 3

tt

.


3.

Приклад 7. Обчислити безпосередньо за означенням криволінійного

інтеграла другого роду і за формулою Гріна інтеграл

32 3 2

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника з вершинами 0;0A ,

2;0B і 0;4C , рух вздовж якого відбувається у додатному напрямку

147

у

x0

A

2

B

4 C

(проти годинникової стрілки).

Розв’язання. 1) Обчислимо шуканий ін-

теграл безпосередньо за означенням криволі-

нійного інтеграла другого роду.

На рисунку 13.1 показано напрямок

обігу контуру. Криволінійний інтеграл

вздовж замкненого контуру ABC обчислимо

як суму криволінійних інтегралів вздовж від-

різків AB , BC , CA :

Рисунок 13.1

3 32 3 2 2 3 2

ABC AB

x y dx x y dy x y dx x y dy

3 32 3 2 2 3 2

BC CA

x y dx x y dy x y dx x y dy .

Кожен з цих інтегралів обчислюється за формулою

1 2

, ,

M M

P x y dx Q x y dy 2

1

, ,

M

M

x

x

P x y x Q x y x y x dx ,

де лінія інтегрування 1 2M M задана рівнянням y y x , а змінна x зміню-

ється від 1Mx до

2Mx , або за формулою

2

1 2 1

, , , ,

M

M

y

M M y

P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y x dy ,

де лінія інтегрування 1 2M M задана рівнянням x x y , а змінна y зміню-

ється від 1My до

2My .

1. AB : 0y , 0dy , 0Ax , 2Bx . Тоді

2 2

3 3 4

00

12 3 2 2 8

2AB

x y dx x y dy x dx x .

2. BC : 12 4

x y – рівняння прямої BC у відрізках

4 2y x , 2dy , 2Bx , 0Сx .

148

0

3 3

2

2 3 2 2 3 4 2 2 4 2 2

BC

x y dx x y dy x x x x dx

00 4 2

3

2 2

2 162 16 28 28 32

4 2

x xx x dx x

.

3. CA : 0x , 0dx , 4Cy , 0Ay .

0 0

3 2

44

2 3 2 2 16

CA

x y dx x y dy y dy y .

Остаточно маємо: 32 3 2 8 32 16 8

ABC

x y dx x y dy .

2) Обчислимо інтеграл за формулою Гріна:

, ,

L D

Q PP x y dx Q x y dy dxdy

x y

.

Оскільки 3, 2 3P x y x y і , 2Q x y x y , то 3P

y

, 1

Q

x

.

Тоді 32 3 2

L

x y dx x y dy 1 3 2

D D

dxdy dxdy

12 2 2 2 4 8

2D ABCS S .

Відповідь: 8 .

Приклад 8. Обчислити роботу сили 2 3F zi zj x y k , при пе-

реміщенні матеріальної точки вздовж кривої :L 2cosx t , 2siny t ,

3z t від точки 2;0;0A до точки 2;0;3B .

Розв’язання. Робота A сили , , , , , ,F x y z P x y z i Q x y z j

, ,R x y z k при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої L обчис-

люється за формулою , , , , , ,

L

A P x y z dx Q x y z dy R x y z dz .

У даному випадку 2 3

AB

A zdx zdy x y dz .

149

Крива задана у просторі 3 , тому доречно скористатися формулою

, , , , , ,

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

, , , , , , .B

A

t

t t t

t

P x t y t z t x Q x t y t z t y R x t y t z t z dt

Оскільки 2sintx t , 2costy t , 3tz , 0At , Bt , то

2 2

0

3 3 2sin 3 2cos 4cos 6sin 3

AB

A zdx zdy x y dz t t t t t t dt

0 0 0

6 sin cos 6 1 cos2 18 sint t t dt t dt tdt

:

,

sin cos , cos sin

для першого інтеграла

U t dU dt

dV t t dt V t t

0

0 0 0 0

6 sin cos sin cos 6 3 cos2 2 18 sint t t t t dt dt td t tdt

0 0 00 06 sin cos cos sin 6 3sin 2 18cos 24t t t t t t t t

.


Приклад 9. Обчислити 3 2x y z d

, де – частина площини

6 2 6 0x y z , яка розташована у першому октанті.

Розв’язання. Для обчислення поверхневого інтеграла першого роду

застосуємо формулу

, ,f x y z d

22

, , , 1 , , ,

xy

x y

D

f x y z x y z x y z x y dxdy

де ,z z x y – рівняння поверхні , xyD – її проекція на площину XOY .

150

z

x

y1

3

6

Dxy

0

Рисунок 13.2

Поверхня та її проекція xyD зображені

на рисунку 13.2, де xyD – трикутник: 0 1x ,

0 3 3y x .

Перепишемо рівняння поверхні у ви-

гляді 6 6 2z x y . Оскільки 6xz ,

2yz , то за поданою формулою

3 2x y z d

3 2 6 6 2 1 36 4

xyD

x y x y dxdy

1 3 3

0 0

41 9 3 12 41 9 3 12

xy

x

D

x y dxdy dx x y dy

3 31 1

22

00 0

3 341 9 12 41 9 3 3 3 3 12 3 3

2 2

x

xy y y dx x x x x dx

112 3 2

00

27 45 9 45 9 4541 36 41 18 41 18 9 41.

2 2 2 2 2 2x x dx x x x

Відповідь: 9 41 .

Приклад 10. Обчислити площу частини конічної поверхні

2 2 2z x y за умови 0 1z .

z

x

y

1

0

Dxy

Рисунок 13.3

Розв’язання. З означення криволінійного інте-

грала першого роду випливає, що площа поверхні

S d

. Поверхня та її проекція xyD на пло-

щину XOY зображені на рисунку 13.3, де xyD –

круг 2 2 1x y . Запишемо рівняння поверхні у

вигляді 2 2z x y .

151

Враховуючи те, що '

2 2x

xz

x y

і '

2 2y

yz

x y

, одержуємо

2 2

2 2 2 21 2 2 .

xy xyD D

x yS dxdy dxdy

x y x y


Приклад 11. Обчислити масу частини поверхні параболоїда

2 21z x y , 0z , якщо поверхнева щільність 2 2, , 1 4 4x y z x y .


Маса поверхні обчислюється за

формулою

, ,m x y z d

,

де , ,x y z – поверхнева щільність роз-

поділу маси. Отже, в нашому випадку

2 21 4 4m x y d

. Для обчислення

цього поверхневого інтеграла першого

z

1

1

1

x

y

Dxy

0

Рисунок 13.4

роду можна скористатися формулою

2 2

' ', , , , , 1 , ,

xy

x y

D

f x y z d f x y z x y z x y z x y dxdy

,

де ,z z x y – рівняння поверхні ; xyD – її проекція на площину XOY .

Поверхня та її проекція xyD на площину XOY зображені на рису-

нку 13.4. Область xyD – круг 2 2 1x y . Оскільки 2xz x , 2yz y , то

за поданою формулою

2 22 2 2 21 4 4 1 4 4 1 2 2

xyD

m x y d x y x y dxdy

152

2 2

1 4 4 cos , sin , 0 1

, 0 2xyD

перейдемо до полярних координат

x y dxdy x y

dxdy d d

12 1 2 2

22 40

0 0 0 0

31 4 3 .

2 2d d d


Приклад 12. Обчислити аплікату центра тяжіння однорідної поверх-

ні 2 22z x y , 0 4z .

Розв’язання. Координати центра тяжіння , ,c c cC x y z матеріальної

поверхні обчислюються за формулами:

, ,

, ,

yzc

x x y z dm

xm x y z d

,

, ,

, ,

zxc

y x y z dm

ym x y z d

,

і

, ,

, ,

xyc

z x y z dm

zm x y z d

,

де yzm , zxm , xym – статичні моменти поверхні відносно відповідних

координатних площин; m – маса поверхні, а

, ,x y z – поверхнева щільність.

Оскільки поверхня однорідна, то

, , 1x y z . Запишемо рівняння поверхні

у вигляді 2 2

2

x yz

. Отже,

xyc

zdm

zm d

.

z

x

y0

4

8

Dxy

Рисунок 13.5

153

Поверхня та її проекція xyD на площину XOY зображені на ри-

сунку 13.5, де xyD – круг 2 2 8x y . Частинні похідні xz x , yz y .

Обчислимо масу поверхні :

2 2

1 cos , sin , 0 8

, 0 2xyD


m d x y dxdy x y

dxdy d d

82 8 2 3

22 2 2 2 2 20

0 0 0 0

1 26 521 cos sin 1 .

3 3 3d d d

Статичний момент поверхні відносно площини XOY :

2 2 2 211

2xy

xy

D

m zd x y x y dxdy

2 83 2

0 0

1

1cos , sin , 0 82

, 0 2


d dx y

dxdy d d

32 3 2 5 32 2 2

4 2

0 1 0 1

1 11 , 1,

2 2 5 30 1, 8 3

t tt t d tdtd t t dt d

t t

2

0

596 596 2 596.

30 30 15

Таким чином, 596 3 149

.15 52 65

cz


.65

154

Розрахунково-графічне завдання

за темою «Криволінійні та поверхневі інтеграли»

Завдання 1. Обчислити криволінійні інтеграли першого роду:

1.

L

dl

x y , де L – відрізок прямої 1

22

y x між точками 0;2A і

4;0B .

2. 2

L

y dl , де L – чверть кола cosx a t , siny a t 02

t

.

3. 2

2 2L

z dl

x y , де L – перший виток гвинтової лінії cosx a t ,

siny a t , z at 0 2t .

4. 2 2 4L

dl

x y , де L – відрізок прямої, що з’єднує точки 0;0A і

1;2B .

5.

L

xydl , де L – контур прямокутника з вершинами 0;0A , 4;0B ,

4;2C , 0;2D .

6. 2

L

x ydl , де L – чверть кола 2 2 9x y , що лежить у першому ква-

дранті.

7. 2

L

ydl , де L – перша арка циклоїди sinx a t t ,

1 cosy a t 0 2t .

8. 34 3

L

x y dl , де L – відрізок прямої від точки 1;0A до точ-

ки 0;1B .

155

9.

L

dl

x z , де L – відрізок прямої від точки 0;0; 2A до точки

4;0;0B .

10.

L

ydl , де L – дуга параболи 2 2y x , що відтинається параболою

2 2x y .

11.

L

xydl , де L – чверть еліпса cosx a t , siny b t 02

t

.

12. 2

2

cos

1 cosL

xdl

x , де L – дуга синусоїди siny x , 0 x .

13. 3

L

ydl

x z , де L – дуга лінії x t , 2

2

ty ,

3

3

tz від точки

O 0;0;0 до точки 2 2

2; 2;3

B

.

14. 2 2 2

L

x y z dl , де L – дуга кривої cosx t , siny t , 3z t

0 2t .

15. L

x z dl , де L – дуга кривої x t , 23

2y t , 3z t 0 1t .

16. 2 2 2

L

dl

x y z , де L – перший виток гвинтової лінії cosx a t ,

siny a t , z bt , 0 2t .

17.

L

yzdl , де L – контур прямокутника з вершинами 0;0;0O ,

0;4;0A , 0;4;2B і 0;0;2C .

18. 2 2

L

x y dl , де L : 6 cos sinx t t t , 6 sin cosy t t t

0 2t .

156

19. 2 2

L

x ydl

z

, де L : cosx t t , siny t t , z t 1 2t .

20. 2 2 3

L

dl

x y , де L : 3 1y x , 0 1x .

21.

L

xyzdl , де L – відрізок прямої, що з’єднує точки 1;0;1A і

2;2;3B .

22.

L

xdl

y, де L : 2y x , 3 8x .

23. 2 2 2

L

dl

x y z , де L : costx e t , sinty e t , tz e 0 1t .

24. 2 28L

dl

x y , де L – відрізок прямої, що з’єднує точки 0;0O і

2;2B .

25. 2 2

L

x y dl , де L – коло 2 2 4x y .

26.

L

ydl , де L – дуга астроїди 3cosx t , 3siny t між точками

1;0A і 0;1B .

27.

L

xydl , де L – контур квадрата зі сторонами

1, 1x x , 1, 1y y .

28.

L

ydl , де L – дуга параболи 2 2

3y x між точками 0;0O і

35 35;

6 3B

.

29. 2

L

x ydl , де L – коло 2 2 2x y a , 0y .

30. 2 2

L

dl

x y , де L : 2 cos sinx t t t , 2 sin cosy t t t , 0 t .

157

Завдання 2. Застосування криволінійних інтегралів першого роду.

1 – 15. Обчислити довжину і координати центра мас однорідного

, , 1x y z криволінійного стрижня:

1. L : sinx t , cosy t , z t , 02

t

.

2. L : 2sinx t , 2cosy t , 3z , 02

t

.

3. L : 3cosx t , 3siny t , 1z , 02

t

.

4. L : 33cosx t , 33siny t , 3z , 02

t

.

5. L : cosx t , siny t , 2 1z t , 02

t

.

6. L : 2sinx t , 2cosy t , 1 2z t , 02

t

.

7. L : 3sinx t ,

3cosy t , 1z , 02

t

.

8. L : 2sinx t , 2y t , 2cosz t , 02

t

.

9. L : x t , siny t , cosz t , 02

t

.

10. L : 2x t , 2cosy t , 2sinz t , 0 2t .

11. L : 4sinx t , 4cosy t , 0z , 06

t

.

12. L : 3sinx t , 3cosy t , 2 1z t , 06

t

.

13. L : 1x , 3cosy t ,

3sinz t , 03

t

.

14. L : 34cosx t ,

34siny t , 3z , 04

t

.

15. L : 2sinx t , 2cosy t , 2 2z t , 0 t .

158

16 – 30. Обчислити масу стрижня 1 2A A , якщо щільність в кожній йо-

го точці дорівнює , ,x y z :

16. 1 1;0;0A , 2 1;2;1A , 2 2, ,x y z x y z .

17. 1 1;1;2A , 2 0;1;1A , 2 2, , 2x y z x y z .

18. 1 1;0;1A , 2 0;0;2A , 2 2, , 2 2x y z x y z .

19. 1 1; 1;1A , 2 1; 1;2A , 2, , 2x y z x y z .

20. 1 2;1;1A , 2 1;2;2A , , ,x y z x y z .

21. 1 3;1;0A , 2 3;0;2A , 2, ,x y z x z y .

22. 1 3;0;1A , 2 2; 1;2A , 2, ,x y z x y z .

23. 1 1; 2;3A , 2 0; 3;1A , 2, , 2x y z x y z z .

24. 1 0;1;3A , 2 1;0;2A , 2, , 2x y z x y z .

25. 1 1;0;3A , 2 2;1;2A , 2, , 2 2x y z x y z y .

26. 1 3;1;0A , 2 2;1;2A , 2, , 2x y z x y z x .

27. 1 1;1;1A , 2 2;1;3A , 2, , 2 3x y z x y z .

28. 1 0;2; 1A , 2 1;2; 3A , , , 2x y z x y z .

29. 1 1;0;1A , 2 0;1;1A , 2, , 2x y z x y z .

30. 1 1;1; 1A , 2 2;2; 1A , 2, ,x y z x y z .

Завдання 3. Обчислити безпосередньо за означенням і за формулою

Гріна криволінійний інтеграл другого роду вздовж замкненого контуру L ,

який має додатну орієнтацію:

1. 22

L

y dx x y dy , де L – контур трикутника з вершинами

3;0A , 3;3B і 0;3C .

2. 2

L

x y dx x y dy , де L – коло 2cosx t , 2siny t .

3. 2 2 2

L

x y x dx y x y dy , де L – еліпс 3cosx t , 2siny t .

159

4.

L

ydx xdy , де L – еліпс 3cosx t , 2siny t .

5.

L

xdy ydx , де L – контур трикутника з вершинами 1;0A ,

1;0B і 0;1C .

6. 2

L

x y dx , де L – контур прямокутника, що утворений прямими

0x , 0y , 1x , 2y .

7. 2 2 2 2

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника з вершина-

ми 0;0A , 1;0B і 0;1C .

8. 22 1

L

x y dx x dy , де L – контур фігури, що утворена парабо-

лою 2y x і прямою 9y .

9. 22

L

y dx x y dy , де L – контур трикутника з вершинами

2;0A , 2;2B і 0;2C .

10. 2

L

x y dx xdy , де L – контур трикутника зі сторонами 0x ,

0y , x y a .

11. 1 1

L

dx dyy x

, де L – контур трикутника з вершинами 1;1A ,

2;1B і 2;2C .

12. 22 22

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника з верши-

нами 1;1A , 2;2B і 1;3C .

13. 2 2

L

xy dy x ydx , де L – коло 2 2 2x y R .

14. 2 21 1

L

x ydx x y dy , де L – коло 2 2 2x y R .

15. L

xy x y dx xy x y dy , де L – коло 2 2 2x y R .

160

16. 23

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника зі сторона-

ми 0x , 0y , 2 2y x .

17. 2 25

L

x y dx x y dy , де L – контур чверті кола 2 2 9x y ,

0x , 0y .

18. 2 32 4

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника зі сторо-

нами 1x y , 1y x , 0y .

19. 2 26 3 4

L

x y dx x y dy , де L – еліпс 2 2

14 16

x y .

20. 2 2 22 4

L

xy x dx x ydy , де L – контур фігури, що утворена па-

раболою 24y x і прямою 0y , 0x .

21. L

x y dy , де L – контур прямокутника, що утворений прямими

0x , 0y , 1x , 1y .

22. L

x y dx x y dy , де L – коло 2 2 2x y R .

23. 2 2

L

xy dy x ydx , де L – коло 2 2 4x y .

24. 2 2

L

xdx x y dy , де L – контур трикутника з вершинами

1;0A , 0;2B і 2;0C .

25.

L

xdy , де L – контур трикутника зі сторонами x y , 2x , 0y .

26. L

x y dx x y dy , де L – коло 2 2 25x y .

27. 2 34 3

L

x y dx x y dy , де L – контур трикутника з верши-

нами 0;0A , 3;0B і 0;6C .

28. 2 26 4 2

L


2 21

x y

a b .

161

29. 23 2 4 3

L

x xy dx x y dy , де L – коло 2 2 2x y R .

30. L


2 21

x y

a b .

Завдання 4. Обчислити роботу сили F при переміщенні матеріаль-

ної точки вздовж кривої L від точки A до точки B :

1. 1F xi yj x y k , де L – відрізок прямої від точки 1;1;1A

до точки 2;3;4B .

2. 2 2 2F xy i yz j x zk , де L – відрізок прямої від точки 0;0;0A


3. 1F xi yj x y k , де L – відрізок прямої від точки 1;1;1A


4. 2 22F xyi y j z k , де L : cosx t , siny t , 2z t , 1;0;0A ,

1;0;4B .

5. 22F xyi x j zk , де L – відрізок прямої від точки 0;0;0A до

точки 2;1; 1B .

6. 21F x z i zj y k , де L – відрізок прямої від точки

2;0;0A до точки 3;3;2B

7. F zi xj yk , де L : x t , 2y t , 3z t , 0;0;0A , 1;1;1B .

8. F yzi xzj xyk , де L : cosx a t , siny a t , z ht , ;0;0A a ,

;0;2B a h .

9. 3 2F x i y j zk , де L – відрізок прямої від точки 1;2;3A до

точки 3;4;5B .

162

10. 2 2F i j x y k , де L : cosx t t , siny t t , z t , 0;0;0A ,

0; ;2 2

B

.

11. 2 2 2( ) ( )F x y z i z j x y k , де L – відрізок прямої від точ-

ки 2;1;0A до точки 4;3;1B .

12. 2 2 2F y i x z j x y z k , де L – відрізок прямої від то-

чки 1;0;2A до точки 3;1;4B .

13. yz

F i xj ykx

, де L : x t , cosy t t , sinz t t , 0;0;0A ,

2 ;2 ;0B .

14. 3 2F z i xj y k , де L :

3x t , 2y t , z t , 0;0;0A , 1;1;1B .

15. 2F y z i xzj x k , де L – відрізок прямої від точки

0;2; 1A до точки 2;1;0B .

16. 2 2F x i yj z k , де L : x t , 2y t , 3z t , 0;0;0A , 1;1;1B .

17. F yzi xzj xyk , де L : 2x t , 4y t ,

6z t , 0;0;0A , 1;1;1B .

18. 2F x y i xzj yzk , де L – відрізок прямої від точки

1;2;0A до точки 0;4;3B .

19. 6F y x i y z j z x k , де L – відрізок прямої від то-

чки 2;3;4A до точки 5;5;5B .

20. 2 2 22F y z i yzj x k , де L : x t , 2y t , 3z t , 0;0;0A ,

1;1;1B .

21. F xyi yzj zxk , де L : cosx t , siny t , 1z , 1;0;1A ,

0;1;1B .

22. 2F x i yzj zk , де L – відрізок прямої від точки 1;2; 1A до

точки 3;3;2B .

163

23. 2F xzi y j zk , де L : cosx t , siny t , 2z t , 1;0;0A ,

1;0;4B .

24. F zyi zj yk , де L : cosx t , siny t , 1z , 1;0;1A ,

0;1;1B .

25. 2 2 2F x zi z j y k , де L – відрізок прямої від точки 1;2; 1A


26. F xi yj xzk , де L : x t , 2y t , 3z t , 0;0;0A , 1;1;1B .

27. F x y z i xj y z k , де L – відрізок прямої від точки

2;0; 1A до точки 5;2;0B .

28. 2 2F x y i j z x k , де L – відрізок прямої від точки

3;2; 1A до точки 2;6;2B .

29. 3 1F y z i x j zk , де L – відрізок прямої від точки

2; 1;0A до точки 4;2;1B .

30. 22F y z i x j y k , де L – відрізок прямої від точки

1;0;0A до точки 3;3;2B .

Завдання 5. Обчислення та застосування поверхневого інтеграла

першого роду.

1. Обчислити xyzd

, де – частина площини 1x y z , яка

лежить в першому октанті.

2. Обчислити 2 2x y d

, де – частина поверхні конуса

2 2 2x y z , 0 1z .

3. Обчислити площу частини поверхні параболоїда 2 26z x y ,

0z .

4. Обчислити масу поверхні куба 0 1x , 0 1y , 0 1z , якщо

поверхнева щільність , ,x y z xyz .

164

5. Обчислити статичний момент відносно площини XOY однорідної

( , , 1x y z ) поверхні півсфери 2 2 2 2x y z R , 0z .

6. Обчислити масу частини поверхні параболоїда 2 21

2z x y ,

0 1z , якщо поверхнева щільність , ,x y z z .

7. Обчислити

21

d

x z

, де – частина площини 1x y z ,

яка лежить у першому октанті.

8. Обчислити площу частини поверхні 3 6x y z , яка лежить у

першому октанті.

9. Обчислити x y z d

, де – поверхня куба 0 1x ,

0 1y , 0 1z .

10. Обчислити масу поверхні півсфери 2 21z x y , якщо поверх-

нева щільність 2 2, ,x y z x y .

11. Обчислити 6 4 3x y z d


2 3 6x y z , яка лежить в першому октанті.

12. Обчислити 2 21 4 4x y d

, де – частина поверхні парабо-

лоїда 2 21z x y , яка відтинається площиною 0z .

13. Обчислити площу поверхні 22 2 2x y z , 0 2z .

14. Обчислити 2x y z d


3 2 6 0x y z , яка лежить в першому октанті.

15. Обчислити 2z d

, де – півсфера 2 2 2 2x y z R , 0z .

16. Обчислити площу поверхні 2 2 2x y z , 1 1z .

17. Обчислити масу поверхні півсфери 2 24z x y , якщо повер-

хнева щільність 2 2, ,x y z x y .

18. Обчислити площу частини поверхні 4x y z , яка обмежена

площинами 0x , 0y , 2x , 2y .

165

19. Обчислити масу поверхні півсфери 2 2 2 2x y z a , 0z , якщо

поверхнева щільність , ,z

x y za

.

20. Обчислити 2 25x y z d

, де – частина поверхні парабо-

лоїда 2 2x y z , 0z , яка обмежена площиною 2x .

21. Обчислити масу однорідної ( , , 1x y z ) поверхні півсфери

2 2 2 2x y z R , 0z .

22. Обчислити статичний момент відносно площини XOY однорід-

ної (щільність , , 1x y z ) поверхні x y z a , 0x , 0y , 0z .

23. Обчислити площу поверхні 2 2 2 2x y z R , 0x , 0y , 0z .

24. Обчислити 2 3z y x d


2 4 0x y z , яка лежить в першому октанті.

25. Обчислити координати центра тяжіння поверхні 1x y z ,

0x , 0y , 0z , якщо поверхнева щільність , ,x y z xy .

26. Обчислити координати центра тяжіння однорідної ( , , 1x y z )

поверхні 2 4 0x y z , яка лежить в першому октанті.

27. Обчислити 4

23

x z y d

, де – частина площи-

ни 12 3 4

x y z , яка лежить в першому октанті.

28. Обчислити масу частини поверхні конуса 2 2 2x y z , 2 2z ,

якщо поверхнева щільність 2 2, ,x y z x y .

29. Обчислити площу частини площини 6 3 2 12x y z , яка лежить

в першому октанті.

30. Обчислити 2 2 2x y z d

, де – сфера 2 2 2 1x y z .

166

Розділ 14. ТЕОРІЯ ПОЛЯ

Починати виконання розрахунково-графічних завдань з теми «Теорія

поля» належить після вивчення теоретичного матеріалу [5, 8, 12] і старан-

ного розгляду прикладів, що наведені нижче.

Спочатку необхідно повторити відповідні розділи з наведеного спис-

ку літератури. Умінню розрізняти спеціальні види векторних полів (соле-

ноїдальні, потенціальні і гармонічні) присвячено завдання № 1. Слід також

уяснити такі поняття теорії поля як циркуляція векторного поля вздовж

орієнтованої замкненої кривої і потік векторного поля через орієнтовану

поверхню, чому сприяє виконання завдання № 2 і № 3.


1. Що таке векторне поле і що таке скалярне поле? Наведіть прикла-

ди.

2. Ротор і дивергенція векторного поля.

3. Соленоїдальні і безвихрові векторні поля.

4. Потенціальні векторні поля. Яка умова є достатньою для того,

щоб безвихрове векторне поле було потенційним?

5. Гармонічні векторні поля.

6. Циркуляція векторного поля вздовж орієнтованої кривої та потік

векторного поля крізь орієнтовану поверхню.

7. Формули Гаусса – Остроградського і Стокса у векторній і скаляр-

ній формах.


Приклад 1. Нехай задано векторне поле ; ;a M x y x z y z .

Встановити, чи є векторне поле a M соленоїдальним, потенціаль-

ним, гармонічним. Якщо векторне поле a M є потенціальним, знайти йо-

го скалярний потенціал.

167

Розв’язання. Знайдемо дивергенцію заданого векторного поля

; ;a M P M Q M R M :

div P Q R

a Mx y z

x y x z y z

x y z

1 0 1 2 0.

Це означає, що векторне поле a M не є соленоїдальним.

Знайдемо ротор заданого векторного поля:

ro t

i j k i j k

a Mx y z x y z

x y x z y zP M Q M R M

y z x z y z x y x z x yi j k

y z x z x y

0 0 0 0.i j k

Це означає, що a M є безвихровим векторним полем у всьому про-

сторі 3 і, як наслідок, потенціальним. Тому що a M не є соленоїдаль-

ним векторним полем, то a M не є гармонічним векторним полем.

Знайдемо скалярний потенціал U M векторного поля a M :

, ,

grad , ,

, .

U UP M x y

x x

U Ua M U M Q M x z

y y

U UR M y z

z z

З першого рівняння системи знаходимо 2

, , , .2

xU x y z xy y z

Підставляючи одержаний вираз для , ,U x y z у ліву частину другого рів-

няння системи, маємо: , , ,y yU x y z x y z x z . Таким чином,

,y y z z , звідки , .y z yz z Враховуючи одержану рівність,

знаходимо: 2

, ,2

xU x y z xy yz z . Підставляючи цей вираз для

168

, ,U x y z у третє рівняння системи одержуємо: .zU y z y z Та-

ким чином, z z , звідки 2

, 2

zz c c R .

Остаточно маємо: 2 2

,2 2

x zU M xy yz c c R .

Відповідь: векторне поле a M не є гармонічним; потенціал поля

2 2

,2 2

x zU M xy yz c c R .

Приклад 2. Задано векторне поле 1 ; ;a M y y x z x . Знайти

за означенням циркуляцію Г векторного поля a M вздовж орієнтованої

замкненої ламаної 1 2 3 1B B B B , де 1 2 31;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3B B B . Зробити

перевірку знайденого значення циркуляції Г за допомогою формули Сток-

са.

Розв’язання. Згідно з означенням циркуляція векторного поля

( ); ( ); ( )a M P M Q M R M вздовж орієнтованої замкненої лінії L обчис-

люється за формулою

L

P M dx Q M dy R M dz .

Відповідно до властивостей криволінійного інтеграла другого роду

маємо (рис. 14.1):

1 2 3 1 1 2B B B B B B

P M dx Q M dy R M dz P M dx Q M dy

2 3 3 1B B B B

R M dz P M dx Q M dy R M dz P M dx

Q M dy R M dz .

Обчислимо перший з трьох криволінійних інтегралів, що знаходять-

ся в правій частині наведеної вище рівності:

1 2B B

P M dx Q M dy R M dz

169

Рисунок 14.1

1 2

1

B B

y dx y x dy z x dz .

Параметричні рівняння прямої 1 2B B :

1 ,

2 ,

0, ,

x t

y t

z t R

при цьому точці 1B відповідає значення

0t , а точці 2B – значення 1t .

Враховуючи це, маємо:

1 2

1

0

1

B B

P M dx Q M dy R M dz y t x t y t x t y t

1

0

1 2 1 2 1 2 0 1 0z t x t z t dt t t t t dt

1 1

1

00 0

1 2 2 2 1t t dt dt t .

Для другого інтегралу маємо:

2 3 2 3

1

B B B B

P M dx Q M dy R M dz y dx y x dy z x dz .


0,

2 2 ,

3 , ,

x

y t

z t t R

при цьому

точці 2B відповідає значення 0t , а точці 3B – значення 1t .


2 3

1

0

1 2 2 0 2 2 0 2

B B

P M dx Q M dy R M dz t t

y

z

x

1B2B

3B

M

0n

12

3

170

11 1

2

00 0

13 53 0 3 4 4 9 13 4 4 .

2 2t dt t t dt t dt t t

Обчислимо останній криволінійний інтеграл другого роду вздовж ві-

дрізка 3 1B B :

3 1 3 1

1

B B B B

P M dx Q M dy R M dz y dx y x dy z x dz .


,

0,

3 3 , ,

x t

y

z t t R

при цьому точці 3B відповідає значення 0t , а точці 1B – значення 1t .


3 1

1

0

1 0 1 0 0

B B

P M dx Q M dy R M dz t

1 1 1

2

00 0

3 3 3 1 9 6 8 6 8 3 8 3 5.t t dt t dt t dt t t

Таким чином, одержуємо значення циркуляції 5 3

1 52 2

.

Зробимо перевірку знайденого значення циркуляції Г за допомогою

формули Стокса, згідно з якою циркуляція Г векторного поля a M

вздовж орієнтованої ламаної 1 2 3 1B B B B дорівнює потоку векторного поля

rot a M через просту орієнтовану поверхню , що обмежена ламаною

1 2 3 1B B B B , причому орієнтація повинна бути узгоджена з орієнтацією

спрямованої ламаної 1 2 3 1B B B B . Як поверхню беремо трикутник 1 2 3B B B .

Орієнтація поверхні визначається полем нормалей ,on M M , що зо-

бражене на рисунку 1. Знайдемо on M :

1on M n M

n M ,

171

де 1 2 1 3, 1 2 0 6 3 2 6;3;2

1 0 3

i j k

n M B B B B i j k

, тоді 7n M і,

таким чином, 6 3 2

; ; ,7 7 7

on M

M . Враховуючи, що

rot 0 1 0 0; 1;0

1

i j k

a M i j kx y z

y y x z x

,

за формулою Стокса маємо, що

1 2 3

0 3 3rot ,

7 7B B Ba M n M d d S

.

Через те що 1 2 3 1 2 1 3

1 7,

2 2B B BS B B B B

, остаточно одержуємо:

3 7 3

7 2 2 , що співпадає з попереднім результатом.


2 .

Приклад 3. Задано векторне поле ; ;a M x y x z y z ,

1 1;0;0B , 2 0;2;0B , 3 0;0;3B і 4 0;0;0B – вершини піраміди 1 2 3 4B B B B .

Знайти потік векторного поля a M через орієнтовану відповідно до

зовнішнього поля нормалей поверхню піраміди 1 2 3 4B B B B . Зробити пе-

ревірку знайденого значення потоку за допомогою формули Гаусса –

Остроградського.

Розв’язання. Потік векторного поля a M через поверхню пі-

раміди 1 2 3 4B B B B , орієнтовану відповідно до поля нормалей 0n M , зов-

нішнім по відношенню до піраміди 1 2 3 4B B B B , дорівнює сумі потоків

1 2 3 4, , , векторного поля a M через грані піраміди відповідно

172

2 3 4B B B , 1 4 3B B B , 1 2 4B B B і 1 2 3B B B , тобто 1 2 3 4 . Грані пі-

раміди орієнтовані відповідно до вибраного вище поля нормалей 0n M .

Потік 1 векторного поля a M через орієнтовану грань 2 3 4B B B

визначається за формулою 2 3 4

01 1,

B B B

a M n M d , де 01n M – ви-

бране поле нормалей на грані 2 3 4B B B . Очевидно, 01 1;0;0n M . Тоді

2 3 4 2 3 4

3 1.52

1

0 0

y

B B B B B B

x y d ydydz ydy dz

22 2

2 3 2

0 0 0

1 33 1,5 1,5 3 4 6 2.

2 2y y dy y y dy y y



02 2,

B B B


бране поле нормалей на грані 1 4 3B B B , і 02 0; 1;0n M . Тоді

1 4 3 1 4 3

3 11

2

0 0

x

B B B B B B

x z d x z dxdz dx x z dz

3 11 12 1

2 3 2

00 00

1 13 12 9 6 9 2.

2 2 2

x

zxz dx x x dx x x x



03 3,

B B B


бране поле нормалей на грані 1 4 3B B B , і 03 0;0; 1n M . Тоді

1 2 4 1 2 4

2 11

3

0 0

x

B B B B B B

y z d ydxdy dx ydy

173

2 11 1 122 3

00 00

2 22 1 1 .

2 3 3

xy

dx x dx x



04 4,

B B B


бране поле нормалей на грані 1 2 3B B B , 04

6 3 2; ;

7 7 7n M

. Рівняння пло-

щини грані 1 2 3B B B : 12 3

y zx , звідки

33 3

2z x y . Тоді

1 2 3

46 3 2

7 7 7B B B

x y x z y z d

1 2 3

19 8 5

7B B B

x y z d

1 2 3

1 16 15

2 2xy

B B B

x y dxdy

2 11

0 0

1 16 15

2 2

x

dx x y dy

2 11 1

2 2

00 0

1 1 1 206 15 13 44 31

2 4 2 3

x

xy y y dx x x dx

.

Враховуючи усе наведене вище, маємо: 2 20

2 2 23 3

.

Перевірку знайденого значення зробимо за теоремою Гаусса –

Остроградського.

Згідно з цією теоремою потік векторного поля a M через за-

мкнену поверхню обчислюється за формулою div

G

a M dv , де G

– тіло, що обмежено поверхнею . У нашому випадку G є пірамідою

1 2 3 4B B B B . Обчислимо дивергенцію векторного поля a M :

div 2P M Q M R M

a Mx y z

,

тоді 1

2 2 2 1 2 3 26

G

G

dv V .

Відповідь: 2.

174

Контрольні завдання за темoю «Теорія поля»

Завдання 1. Встановити, чи є задане векторне поле a M соленої-

дальним, безвихровим, потенціальним, гармонічним. Якщо векторне поле

a M є потенціальним, то знайти його потенціал.

1. sin 2 ; sin 2 ; 2 cos 2 .x y x y x ya M e z e z e z

2. 3 3 3cos2 ; 3 cos2 ; 2 sin 2 .x y x y x ya M e z e z e z

3. 2 2 2cos cos ; 2 sin cos ; sin sin .y y ya M x e z e x z x e z

4. ; ; 10 .a M x y x z y z

5. 2 3 ; 3 4; 3 .a M x y z y x z x y z

6. 2 21 2 21 2 212 sin5 ; 21 sin5 ; 5 cos5 .x y x y x ya M e z e z e z

7. 2 2 1; 2 2 3 2; 2 2 3 .a M y z y x z z x y

8. 1; 2 2 2; 3 2 1 .a M x y z y x z z x y

9. sin ; sin ; cos .x x xa M ye z e z ye z

10. a M 2 2 22 1 cos 2 ; 2 1 sin 2 ; cos 2 .x x xe z y e z y e y

11. sin ; sin ; cos .x x xa M ye z e z ye z

12. sin ; sin ; cos .y y ya M e z xe z xe z

13. sin , cos , sin .x x xa M e z y e z y e y

14. 2 2 22 1 cos 2 ; 2 1 sin 2 ; cos 2 .x x xa M z e y z e y e y

15. sin ; cos ; sin .x x xa M ze y ze y e y

175

16. 2 2 3 2; 2 2 1; 2 3 2 .a M x y z x z z x y

17. 2 2 2; 1; 2 3 1 .a M x y z x y z y x z

18. 1; 3 2 1; 2 2 2 .a M x y z x y z x y z

19. 2 2 1; 2 2 3 ; 2 3 2 2 .a M z y x y z x y z

20. sin ; sin ; cos .y y ya M e z e x z xe z

21. 2 2 22 1 cos 2 ; cos 2 ; 2 1 sin 2 .x x xa M e y z e z y e z

22. 3 3 33 1 cos 3 ; sin 3 ; 3 1 sin 3 .z z za M y e x e x y e x

23. 2 2 3 ; 2 2 1; 2 2 3 2 .a M x y z z x z y x

24. 3 2 1; 2 2 2; 1 .a M x z y y z x x y z

25. 2 3 42;1 ; 5 .a M x y z z

26. 2 3; 3 ; 4 .a M x x y y z

27. a M 2 2 22 1 cos 2 ; cos 2 ; 2 1 sin 2 .x x xe y z e z y e z

28. 3 2 2 2; ; 1 .a M x x y y z

29. 3 3 33 1 cos 3 ; sin 3 ; 3 1 sin 3 .z z za M y e x e x y e x

30. 5 4 ; 4 3 1; 8 2 .a M x y z x y z x y z

Завдання 2. Задано три точки 31 2 3, ,B B B R , які не лежать на одній

прямій, та векторне поле ( ); ( ); ( )a M P M Q M R M . Знайти за означен-

ням циркуляцію Г векторного поля a M вздовж орієнтованої замкненої

ламаної i k s iB B B B , де , , 1,2,3 , ,i k s i k ,i s k s . Зробити перевірку

знайденого значення циркуляції Г за допомогою формули Стокса. Зобрази-

ти у координатному просторі орієнтовану замкнену ламану i k s iB B B B .

176

1. 1 2 31;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1B B B ; ;2 ;a M y x z ; 1, 2, 3.i k s

2. 1 2 31;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1B B B ; 2 ; ;a M x y x z y ;

2, 3, 1.i k s

3. 1 2 31;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2B B B ; 1; ;a M z y x y ;

3, 1, 2.i k s

4. 1 2 32;0;0 , 0;2;0 , 0;0;1B B B ; sin ;cos ;a M x y y z ;

1, 2, 3.i k s

5. 1 2 32;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1B B B ; 2 ; ;sinx ya M e e z z ;

2, 3, 1.i k s

6. 1 2 31;0;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2B B B ; 2 ;sin ;a M z y x ;

3, 1, 2.i k s

7. 1 2 30;1;0 , 2;0;0 , 0;0; 2B B B ; ;2 ; 2xa M e z y ;

1, 2, 3.i k s

8. 1 2 30;0;1 , 2;0;0 , 0;1;0B B B ; 5 1;3 ;a M x z y x z ;

2, 3, 1.i k s

9. 1 2 33;0;0 , 0;2;0 , 0;0;1B B B ; 3 3 ; ; 3xa M e z z y ;

3, 1, 2.i k s

10. 1 2 31;0;0 , 0;3;0 , 0;0;2B B B ; 2 ; ;a M y x z ;

1, 2, 3.i k s

11. 1 2 31;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 1B B B ; 3 ; ;a M y x y z x ;

2, 3, 1.i k s

12. 1 2 33;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2B B B ; 2 1; ;a M z x y y ;

3, 1, 2.i k s

13. 1 2 32;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 2B B B ; sin2 ;sin ;a M x y y y z ;

177

1, 2, 3.i k s

14. 1 2 31;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1B B B ; 2 ; 2 ;sinx ya M e e z z ;

3, 1, 2.i k s

15. 1 2 31;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;2B B B ; 1 2 ;sin ; 6a M z y x y ;

2, 1, 3.i k s

16. 1 2 30; 1;0 , 3;0;0 , 0;0;2B B B ; 4 ;3 1; 2xa M e z y ;

1, 2, 3.i k s

17. 1 2 33;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1B B B ; 3 5 1;8 ;a M x z y x z ;

2, 3, 1.i k s

18. 1 2 33;0;0 , 0;0; 2 , 0;2;0B B B ; 3 4 ;2 ;1 3xa M e z z y ;

3, 1, 2.i k s

19. 1 2 33;0;0 , 0;0;2 , 0;1;0B B B ; 1 ; 2 ;a M y x y x z ;

1, 2, 3.i k s

20. 1 2 30;0;3 , 3;0;0 , 0;2;0B B B ; 2 3 ;2 ;3a M y y x z x ;

2, 1, 3.i k s

21. 1 2 30;2;0 , 3;0;0 , 0;0; 3B B B ; 3 ;1 2 ;2 2xa M e z z x ;

3, 1, 2.i k s

22. 1 2 30;0;4 , 2;0;0 , 0; 1;0B B B ;

3 2 ; ;cos2x ya M e y z e z z ; 1, 2, 3.i k s

23. 1 2 30;0; 4 , 2;0;0 , 0;2;0B B B ; cos5 ;4 ;a M x z z z y ;

2, 3, 1.i k s

24. 1 2 30; 4;0 , 2;0;0 , 0;0; 2B B B ; 3 ;2 ;5 4a M x y x z y ;

3, 1, 2.i k s

25. 1 2 30;1;0 , 2;0;0 , 0;0; 3B B B ;

178

2sin3 ;cos ; 3a M x y y y z ; 1, 2, 3.i k s

26. 1 2 30;0;0 , 0;1;0 , 2;0;0B B B ; 4 32 ; 4 ;cosx ya M e y e z z ;

2, 3, 1.i k s

27. 1 2 31;0;0 , 0;0; 4 , 0;2;0B B B ; sin ;3 5 ;a M x y x z y ;

3, 1, 2.i k s

28. 1 2 30;2;0 , 0;0;0 , 4;0;0B B B ; ;sin3 ;cos2xa M e y y x z ;

1, 2, 3.i k s

29. 1 2 30; 2;0 , 0;0;0 , 3;0;0B B B ;

2cos2 4 ;cos3 ;a M x y y y z ; 2, 3, 1.i k s

30. 1 2 30; 1;0 , 0;0;0 , 2;0;0B B B ; 2 2 2; 7 ;a M x z y x z y ;

3, 1, 2.i k s

Завдання 3. Задана піраміда з вершинами у точках 31 2 3 4, , ,B B B B

і векторне поле ( ); ( ); ( )a M P M Q M R M . Знайти потік векторного

поля a M через орієнтовану поверхню піраміди 1 2 3 4B B B B (орієнтація

поверхні піраміди здійснена відповідно до поля нормалей on M , зов-

нішнім по відношенню до піраміди 1 2 3 4B B B B ). Зробити перевірку знайде-

ного значення потоку за допомогою формули Гаусса – Остроградсько-

го.

1. 1 2 3 41;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 0;0;0 ;B B B B ; ; .a M x y z

2. 1 2 3 41;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 0;0;0 ;B B B B ; ; .a M y x z

3. 1 2 3 41;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2 , 0;0;0 ;B B B B ; ; 1 .a M x y y z

179

4. 1 2 3 42;0;0 , 0;2;0 , 0;0;1 , 0;0;0 ;B B B B

2; 1; 2 .a M y x z

5. 1 2 3 42;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1 , 0;0;0 ;B B B B

2 2; 1;3 2 .a M x x z

6. 1 2 3 41;0;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 , 0;0;0 ;B B B B

; ; 1 .a M z y z x y

7. 1 2 3 40;1;0 , 2;0;0 , 0;0; 2 , 0;0;0 ;B B B B

; ; 1 .a M z y x y x

8. 1 2 3 40;0;1 , 2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;0 ;B B B B

1; 1; 2 .a M z y x

9. 1 2 3 43;0;0 , 0;2;0 , 0;0;1 , 0;0;0 ;B B B B

2 2; ;2 1 .a M z y z x y

10. 1 2 3 41;0;0 , 0;3;0 , 0;0;2 , 0;0;0 ;B B B B

;2 1; .a M x z y z x y

11. 1 2 3 41;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 1 , 0;0;0 ;B B B B

2 1; 2 3;3 2 .a M x y x y z

12. 1 2 3 43;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 , 0;0;0 ;B B B B

2 ; 2 3 ; 3 4 .a M x y z x y z x y z

13. 1 2 3 42;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 2 , 0;0;0 ;B B B B

sin ; cos ; sin .x x xa M ze y ze y e y

14. 1 2 3 41;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1 , 0;0;0 ;B B B B

sin ; sin ; cos .x x xa M e y z e z ye z

180

15. 1 2 3 41;0;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 , 0;0;0 ;B B B B

1; 1; 2 .a M z y z x y

16. 1 2 3 40; 1;0 , 3;0;0 , 0;0;2 , 0;0;0 ;B B B B

2 4;3 4; 3 .a M x y z

17. 1 2 3 43;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 1 ; 0;0;0B B B B ;

4; 4; 2 .a M z y z x y

18. 1 2 3 43;0;0 , 0;0; 2 , 0;2;0 , 0;0;0 ;B B B B

3 ; 3 ;4 .a M x y x y

19. 1 2 3 43;0;0 , 0;0;2 , 0;1;0 , 0;0;0 ;B B B B

2 ;2 ; 1 .a M y z x z x y z

20. 1 2 3 40;0;3 , 3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;0 ;B B B B

3; 2; 2 .a M y x z

21. 1 2 3 40;2;0 , 3;0;0 , 0;0; 3 , 0;0;0 ;B B B B

; ; .a M y z x z x y z

22. 1 2 3 40;0;4 , 2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;0 ;B B B B

1; 2; .a M y z x x z

23. 1 2 3 40;0; 4 , 2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;0 ;B B B B

2 1; 4;2 .a M x y x y z

24. 1 2 3 40; 4;0 , 2;0;0 , 0;0; 2 , 0;0;0 ;B B B B

2 2 1;2 2 3 ; 2 2 3 .a M y z y x z z x y

25. 1 2 3 40;1;0 , 2;0;0 , 0;0; 3 , 0;0;0 ;B B B B

; ; 10 .a M x y x z y z

26. 1 2 3 40;0;0 , 0;1;0 , 2;0;0 , 0;0;3 ;B B B B

181

5 4 ; 4 3 1; 8 2 .a M x y z x y z x y z

27. 1 2 3 41;0;0 , 0;0; 4 , 0;2;0 , 0;0;0 ;B B B B

2 1; 4;2 .a M x y x y z

28. 1 2 3 40;2;0 , 0;0;0 , 4;0;0 , 0;0;1 ;B B B B

4; ; 1 .a M z z y x y

29. 1 2 3 40; 2;0 , 0;0;0 , 3;0;0 , 0;0;2 ;B B B B

5; 1; .a M z y x z

30. 1 2 3 40; 1;0 , 0;0;0 , 2;0;0 , 0;0;1 ;B B B B

2; 3; .a M y x z

182

ВІДПОВІДІ

Розділ 8. Диференціальні рівняння

Завдання 1

1. 3 3tg ; tg .y c x y x 2. 2 21sin2 1 , 1; arcsin 1 .

2y x c x y x 3. arcsin 1 ,xy c e

11; sin .

6

xey y

4.

2 4

2 2 41

1ln 1 , 1; ln ln .

2 2 3

ye x x

e c x x x y

5. 1y

2sec , 1; tg 2.x c y y x 6. 3 31 cos 1 , 2 де ; cos .y c x x n n Z y x 7. 2 4y

arctg2 arctg2; 4 .x xce y e 8. 3

31 cos , 0, 3 0,5 де ; 1 cos .3 3

x xy c y x n n Z y

9. 2

2

2

4 1ln 1 2tg( ) , 0, 1; ln 2tg 0.

3

x xy

y e c y y ey

10. 3 3arctg sin ; tg sin .y x c y x

11. 11 cos , 0; arccos 1 .x xy cxe x y xe 12. 2 22

2

2 2

1 3 2 11 ; .

1 5 2 1

x xx

x x

y e ec e y

y e e

13. 1 sin , 0 äå 0 ; 2sin 1.c y x y x y x 14. ln 1 sin c;2

xy y

1ln 1 sin .

2 2

y xy

15. 2arcsin 1 , 1; 0.y c x x y y 16.

36ctg , 0 де 0 ;y c x y x

3

6ctg .y x 17.

2

cos cos 2sin 2cos1 1 , 0, 1; .

1 sin 1 sin

x x xxc y y y y

x x

18. 3arcsin y

3 33tg , 1; sin tg 1 .x c y y x 19. 3 61 sin , 0; ln 1 sin .

6 6

y x xe c y y

20. cos y

sin cos , де ; arccos cos sin .2 2 2 2 2

x x x xc x n n Z y

21. 2arctg ln ctg ;y x c

2tgctg xy e . 22.

1 cos1 cos , 2 1 де , 1; .

1 cos 2

y xc x x n n Z y y

y x

23. 6

ye

22 3

2 3 , 0; ln .6

x xx x c y y

24.

1/222 21

2sin arctg ; arcsin arctg .2 2 2

x xy c y

25.

22 2

3 32 11 tg , 1 де 0 , де 1, ; arctg 1 .

4

ny x c y x x y n Z x y

26. 2arctg ; tg .

4

x

xe x

y c e x y

27. sin 1 cosln 1 cos sin ; .

x xy c x x y e

183

28. 2sin 21

,1

x xyce

y

2 2sin 2 sin 21; 1 : 1 .

x x x xy y e e

29. 1ctg ,xy e c 2

y

2

1де 1, ; arcctg 1 .xn x n Z y e e 30.

22

2 11 =c cos , 0; 2 arccos .

2

xx e

e y y y

Завдання 2

1. ln 22

, 0, ; .ln ln

x xxy x x y x y

x c x

2.

tg ln 1arctg ln ; .

1 tg ln

xyx c y x

x x

3. ln 2 ;y x cx

ln 2 1 .y x x 4. 3 3sin ln ; arcsin ln .y

x c y x xx

5. ln , 0, 0;y x

x c x yx y

2 2 ln .x y xy ex 6. 2 2 ln ; 1 1 4ln .2

xy xy x x c y x 7.

1ln ; 0.

1

cxy x y

cx

8. arcsin ln , 2 де 0 ; 3sin ln cosln .2

yx c y x x y x x x

x 9. 2 2 3, 0;x xy y cx x

1 4 3 .2

xy x 10. 2 2ln ln , 0; ln 2 1 ln .

xcy x x y y

y 11.

2

2

1, ;

1

cyx y x y

cy

3

2

3.

3

y yx

y

12. 3 3tg 3ln , де ; arctg 3ln .

2

x xy c n n Z x y y

y y

13. 2arctg

x y

y

2 2 2 2ln 2 2 ;2arctg ln 2 2 .x y

x xy y c x xy yy

14. sin ln ; ln arcsin ln .

x

ye y c x y y

15. 3 2 3 3 2 3 33 ln ; 3 ln .y x y x x c y x y x e x 16. 3 3 22 ln , 0, 0;y x x y x c x y

3 3 22 ln .x

y x x ye

17. sin lnarcsin ln ln ; де 0 , де 0 ; .yxy c x ey y y ex x x ye

y

18. 3 3 2 3 3 2ln , 0, 0; ln .x y xy x c x y x y xy x 19. ln , ;x y

y c x yy

2ln 2ln .x y y y 20. 1 ln , 0; 1 ln , 0.

y y

x xe x c y e x y 21. ln ,y x

y cy x

2

2

1 lnде 0 , де 0 ; .

1 ln

eyy x x y x x x y

ey

22. ln , 0 де 0 ,y x x c x y x

2 2

2

lnде 0 ; .

ln

x e xy x x y

ex 23.

2cos ; arccos .

2 2

x y ycy x

y

24. ln ln , де 0 ;

yx c y x x

x

3 ln .xy ex 25. де 0 ; .cx xy xe x y xe 26. cosec ln , де ;x

y c x ny n Zy

184

1arcsin .

2+lnx y

y 27. 2 2 ln , 0; ln 1 .x y x x c x y x x 28.

33 ln 1,x y y c

33; ln 1.x y x y y 29. 3 31 ln , 0; 1 ln .x

y x x c x y xe

30. arctg ln ,y

x cx

2

1 tgln0 де 0 ; .

1 tgln

xy x y x

x

Завдання 3

1. 2 3 2 3; .x xy x c e y x e 2. 2 2ln ; ln 1 .y x x c y x x 3. 1 tg2 ;y x x c

1tg2 .y x x 4. 2 ln ; 3 ln .y x c x y x e x 5. 2 2

; .x xe c e

y yx x

6. 2arcsin 1 ;y c x x

21 arccos .y x x 7. 3 3sin ; sin .y x c x y x x 8. 2 2cos3 ; cos3 2 .y x x c y x x

9. arctg ; arctg .y x c x y x x 10. 63 2 31 ; .y c x x y x x

11. 3sin cos ;y c x x

32 sin cos .y x x 12. sin 2 sin2

; .c x x

y yx x

13.

221

; .x

xcx ey e y

x x

14.

1ctg ;y x c

x

11 ctg .y x

x

15.

23 3 4, 0; .x xy x e x c y y x e x 16. 31

sin 2 , 0;xe c x yy

3 cosec2 .xy e x 17. tg ; 1 tg .y x x c x y x x x 18. 2 22 2; .x xy x e c y e e x

19. 2 2sin cos ; cos sin .y x c x y x x 20. 2 2

1 arcctgarctg ; .

xy c x y

x x 21.

2cos;

c xy

x

21 cos.

xy

x

22.

4 22

, 0; .

11

x xe ey y y

xc x

23. 1 1

; .1 1

x c x xy y

x x

24. 2 2 2 21 ln 1 ; 1ln 1 .y x c x x y x x x

25. sin2

; 2sin sec .cos

c xy y x x

x

26. 2 2

1 1 1 1cos ; cos .y c y

x xx x

27. ; 1 .x xy x c e y x e 28. sec tg ; sec .y x c x y x

29. 2 2cos2 ln sin2 , 0; cos 2 ln 2sin2 .y x c x y y x x 30. 2 2

3 3

1 1 1; .

cx xy y x

x x

Завдання 4

1. 2 2; cos .x x xy c 2. 2

1; , 0.yx e cy y

y 3.

2 2

2

1; 1 , 1.

1

y x y c x

x

4. 2; .y ye e x xy c 5. 2

2

1; ln .

yy x c y

xx 6. 2sin ; sin sin cos 1 .y y y x c

185

7. 3

2 3 3 24 ; 4 де 2 .y x y y c y 8. 1

; 2 ln 3 .y x y x cy

9. 1

;x

2 2 , 0.xy e y c x x 10. 2

1 sin; tg , де .

cos 2cos

yy x c x n n Z

xx

11. ;y

2 3sin cos .y x y x c 12. 2 22; .x xe x y ce 13. 2

2

1; 1 arcsin ,x y y x c

y y

0, 1.y y 14. 2 2

2

1; ctg +cos , де .

sinx y x y c x n n Z

x 15. 3

3 2

1; sin .x y x c

x

16. 2 31; , 0.y x c y y

y y 17. 2 2cos ; cos де 0 .y y c x y с 18.

2

1;

1 x

2arctg .y x x y c 19. 2 2

2

1; ln , 1.

lnx y c x x

x x 20.

1; sin cos .

siny x y c

y

21. 2 2

; 1 .y ye xy e c 22. 2 2

3

1; 2 3 tg , де .

2cosx y x y c x n n Z

x

23. 3;x

3 cos де 0 .x y c x y x 24. 1; 1cos , 0.

1

y x

ye e c x y

e

25. 2

1;

cos y

2sin cos , де .2

x c x y y y n n Z

26. 2 3 4; sin .x x y c x 27. 3 2

1;

x

23sin , 0.y x x y c x 28. 3 3

2

1; arctg .

1y x x y c

x

29. 3 2 2 3; .y ye x y xy ce

30. 3 2

4

1; tg , де .

2cosx y c y x y n n Z

y

Завдання 5

1. 1 2 ctg ln sin ; 1 ctg ln sin .y c x c x x y x x x 2. 1 22ln , де 0 ;y c x c y c c

.xy e 3. 1 2 11

1ln cos де , ; ln cos .

2y c x c c x y c y x

c

4. 1 2

1

1ln , ;y c x c y x c

c

ln .y x 5. 2 2

1 21 1

cos cos ; cos cos .2 2

y c x x c y x x 6. 1 2ln , 0; .xx ey c c e y y e

7. 1 1 2 12 sin cos де ,2

y x c x x c c x c

де 0 ;y c x x 2 siny x

2cos

4x x

. 8. 3/5

2/31 1 2

53 2 3 10 , ; .

3

xy c y c x c y c y

9. 1 22 + ;xy e c x c

2 .xy e 10. 1 2tg , де ; arctg 1 .2

x xy c c e y n n Z y e

11. 2

xy

1 21

sin 24

x c c 1де 2 0 ,x c , ;y c x y c sin 2

.2 4

x xy

12. 12

1

1arcsin

c xy c e

c 1

2де 0 1 ,c x

c e ;y c arcsin .2

xey

13. 21y c x

186

22

1cos

2x с ;

21 cos.

2

xy

14. 2 2

1 2 ; .2

xx e

y c c e y 15. 2 21 2ln ; ln .y c x c y x

16. 2

1ln y c 22 ,x c 2; .xy c y e 17. 31 2

1ln ln ;

3y x c x c 31

ln ln .3

y x x

18. 1 1lny ye c e c 2, ; ln .x c y c y x 19. 2 2

1 2; .x xy c e c y e e 20. 31 2sin ;y c x c

3arcsin .y x 21. sin sin1 2sin ; 1.x xy e c x c y e 22. 2

1 1 1 2sin ln 1 sin ,c y c y c x c

23sin 2 ,y x c де , ;y c c n n Z arcsin 2 .y x 23. 2

11

0,5 sin24

y c x x

1 22 cosc x c 1де sin 0 ,x c 1

; 1,5 sin2 2cos .4

y c y x x x 24. 21 2ln ;y c x c .xy e

25. 2 2

1 21 1

arcsin arcsin ; arcsin .2 2

y c x x c y x 26. 1

1

22 1

22

1, ;

2

c x

c x

c ey y

c xc e

1.

1 2y

x

27. 1 2

1arcsin ; arcsin .

2

x xy c e c y e

28. 1 2ln , ; .c y y x c y c y x

29. 2 2 21 2sin ; 2 sin .y x x c x x c y x x 30.

1

1

11

2

cos де 0 , sec ;c x

c x

c ey с y x c

e c

arccos .2 1

x

x

ey

e

Завдання 6

1. 3 21 2 3 .x xy e c c x c e 2. 2 2

1 2 3 .

x x

xy c e c e c e

3. 1 2cos2 sin2xy e c x c x

23 4cos sin .xe c x c x 4. 2 3

1 2 3 4cos2 sin2 .x xy e c c x e c x c x 5. 41

xy c e

22 3cos sin .xe c x c x 6. 3 5

1 2 3 .x xy c e e c c x 7. 4 31 2 3 4 .x xy e c c x e c c x

8. 5 2 21 2 3 4 .x xy e c c x c x c e 9. 3 2 4

1 2 3 .x x xy c e c e c e 10. 4 21 2 3 .xy e c c x c x

11. 31 2 3 4cos 2 sin 2 .xy e c c x x c c x x

12. 2

1 2 3 4cos3 sin3 .x xy c e c e c x c x

13. 41 2 3 .x xy c e e c c x 14. 3

1 2 3cos3 sin3 .x xy c e e c x c x 15. 21 2cos sinxy e c x c x

3 4cos3 sin3 .c x c x 16. 3 21 2 3 4cos 3 sin 3 .x xy e c c x e c x c x 17. 2

1xy c e

2 3cos2 sin2 .xe c x c x 18. 3 41 2 3 .x xy e c c x c e 19. 1 2 cos2xy e c c x x

3 4 sin2 .c c x x 20. 3 51 2 3 .x x xy c e c e c e 21. 5 3

1 2 3cos2 sin2 .x xy c e e c x c x

22. 6 71 2 3 .x xy c e e c c x 23. 3

1 2 3 4cos sin cos 2 sin 2 .xy c x c x e c x c x 24. 21

xy c e

22 3 4cos3 sin3 .x xc e e c x c x 25. 4 7

1 2 3 .x x xy c e c e c e 26. 321 2 3 .

xx

y c e e c c x

27. 21 2 3 4cos3 sin3 .xy e c c x x c c x x 28. 2

1 2 3cos sin cos 2x xy e c x c x e c x

4 sin 2 .c x 29. 5 21 2 3 .

x

xy c e e c c x 30. 3 21 2 3cos 6 sin 6 .x xy c e e c x c x

187

Завдання 7

1. 2 21 2cos2 sin2 2 ; 1 sin2 2 .x x x xy e c x c x x e y e x x e 2. 2

12 cosxy x e c x x

2 sin ;c x x 22 1 cos 2 sin .xy x e x x x x 3. 21 23 cos2 ;x xy c x e c e x

23 2 cos2 .x xy xe e x 4. 2 31 23 2 sin3 cos3 ;x xy c x x c e e x x 3 23xy e x

2 1 sin3 cos3 .xx e x x 5. 2 2 2 21 2 4 cos5 ; 1 2 4 cos5 .x xy e c c x x x y e x x x

6. 1 21 cos3 sin3 ; 1 cos3 1 .x xy x e c x x c x y x e x 7. 21cos5xy e c x

2 2 sin5 2 ;xc x x x e 2 cos5 2 sin5 2 .x xy e x x x x e 8. 1 2 cos2y c x x

3 32 sin2 ; 2 1 cos2 1 sin2 .x xc x x xe y x x x x xe 9. 2 2cos sinxy e x x

5 2 3 2 5 21 2 2 ; 2cos sin 2 1 .x x xe c c x x x y e x x e x x 10. 3

1cos4xy e c x

5 3 52 3 sin4 2 ; 3 2 sin4 2 .x x xc x x x e y e x x x e 11. 2 2

1 sin4xy e c x x

3 2 22cos4 ; 1 sin4 cos4 .x xx c e y e x x x 12. 4 3

1 2 3 2cos2 sin2 ;xy e c c x x x x

4 33 1 2cos2 sin2 .xy e x x x x 13. 21 22 cos3 sin3 1 ;x xy e c x x c x x x e

21 2cos3 sin3 .x xy x e x x e

14. 3 2 3 31 2 3 2 sin5 5cos5 ;x xy e c c x x x e x x

3 2 33 2 1 sin5 5cos5 .x xy e x x e x x 15. 2 3 21 23 2 4cos3 sin3 ;x x xy e c x x c e e x x

2 3 21 3 2 2 4cos3 sin3 .x x xy x x e e e x x 16. 5 2 2 41 22 2cos2 3sin2 ;x x xy e c x c e e x x

5 2 42 1 2cos2 3sin2 .x xy e x e x x 17. 2 2 31 2 5 3 3cos4 sin4 ;xy e c c x x x x x

2 25 3 1 3cos4 sin4 .xy e x x x x 18. 4 21 2cos3 2 sin3 2 ;x xy e c x x c x x x e

4 22 cos3 2sin3 .x xy x e x x e 19. 3 2 2 31 23 13cos2 11sin2 ;x x xy e c x x c e e x x

3 2 2 33 2 13cos2 11sin2 .x x xy e x x e e x x 20. 3 21 2cos 3 sin 3 4 ;x xy e c x x c x x x e

3 21 cos 3sin 3 4 .x xy x e x x x e 21. 4 2 3 51 2 4 cos3 2sin3 ;x xy e c c x x x e x x

4 2 54 1 cos3 2sin3 .x xy e x x e x x 22. 51 23 cos2 4 sin2xy e c x x c x x

4 5 42 1 ; 1 3cos2 4sin2 2 1 .x x xx e y x e x x x e 23. 4 21 2 6cosxy e c x x x

32sin ;xx c e

23 42 1 6cos sin .x xy e e x x x

24. 2 31 2 3 4xy e c c x x x

3 2 33cos5 sin5 ; 4 3 1 3cos5 sin5 .x x xe x x y e x x e x x 25. 21 2 cos4xy e c x x

3 2 32 2 sin4 2 1 ; 1 2 cos4 sin4 .x x xc x x x e y x e x x e

26. 3

1 3 cos2xy e c x x

22 2 sin2 2 ;xc x x x e 3 22 3cos2 2sin2 .x xy x e x x e

27. 2

1 3xy e c x

2 322 cos3 5sin3 ;x xx c e e x x 2 2 34 3 2 5 cos3 5sin3 .x x xy e x x e e x x

188

28. 4 2 21 22 3cos sin ;x xy e c x x e c x x 4 2 23 2 2 3cos sin .x xy e x x e x x

29. 4 3 4 31 23 cos 4 sin 2 ; 2 3cos 4sin .x x x xy e c x x c x x x e y x e x x e

30. 3 2 31 2 5 5 sin5 2cos5 ;xy e c c x x x x x 3 25 1 1 sin5 2cos5 .xy e x x x x

Завдання 8

1. 3 21 2

22 1 2 1 .

3

x x x x xy e e c e e e c

2. 3 21 2 1 .xy e c c x x

3. 41 2 .xy e c c x tgx 4.

22

1 2cos

cos sin .2sin

x xy e c x c x

x

5. 2

1 1x xy e c e

3 22 ln 1 1 .x xe c x e

6. 1 2cos3 ln ctg3 sin3 .xy e c x c x x

7. 1xy c e

22 sin .x xc e e

8. 4 3

1 2 ln 1 .x x xy c e c e e

9. 21

1[( ctg 2 )cos2

3

xy e c x x

2 sin2 ].c x 10. 2 2 31 2 ln 1 .x x x x xy c e c e e e e 11. 2 2

1 2 2 ln ln .xy e c c x x x x x

12. 2 5 31 2 arctg .x x xy c e c e e

13. 2

1 2 sin cos ).xy e c c x x x x 14. 3

1(xy e c

2 421 ) .x xe c e 15.

51 2

22 .

3

xy e c x c x x x

16. 2

1 2( cos3 sin3xy e c x c x

2sin 3).

cos3

x

x 17. 4 3 8

1 22 ln 1 .x x x xy e c arctg e e c e

18. 1 2(xy c e c

2

2

1 1 2ln ) .

4 1 2

xx

x

ee

e

19. 5 5

1 2 4 1 .x x xy e c c x e x 20. 2

41 2

ln.

2

x xy e c c x

21. 3

221 2

2cos5 1 ctg5 sin5 .

3

xy e c x c x x

22. 3 41 2 cos .x x xy c e c e e

23. 31 2 2 2 3 6 1 ln 1 .xy e c c x x x x x

24. 3 ctg

1 2cos sin .x xy e c x c e x

25. 1 2 ln tg .2

x xy e c c x

26. 2 2 4

1 21

sin 2 .4

x x xy c e c e e

27.

61 2(xy e c c x

1ln ).x

x 28. 2

1 2 ln 4 .2

x xy e c c x x xarctg

29.

21

xy c e 2 ln 1 .x xc e e

30. 3 31 2

1ctg 2 cos2 sin2 .

4

xy e c x x c x

Завдання 9

1. 2 5 2 5 2 51 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 311 , 2 5 34 , 4 5 .t t t t t t t t tx c e c e c e x c e c e c e x c e c e c e 2. 1 13 tx c e

32 3cos2 sin2 ,te c t c t 3

2 1 2 3 3 210 3 cos2 3 sin2 ,t tx c e e c c t c c t 3 111 tx c e

32 3 2 32 sin2 2 cos2 .te c c t c c t 3. 3

1 1 2 2 32 ,t tx e c c c t c e 32 1 22tx e c c

189

32 3 3 1 2 32 2 , 2 4 2 .t t tc t c e x e c c t c e 4. 2 2

1 1 2 3 2 1 2 32 2 3 , 2 ,t t t t t tx c e c e c e x c e c e c e

23 1 2 32 2 .t t tx c e c e c e 5. 3 5

1 1 2 2 1 310 6 cos2 10 6 sin2 3 ,t tx e c c t c c t c e

3 5 3 52 1 2 2 1 3 3 1 2 1 2 35 3 cos2 5 3 sin2 2 , 2 9 sin2 9 2 cos2 2 .t t t tx e c c t c c t c e x e c c t c c t c e

6. 2 4 2 4 2 41 1 2 1 3 2 1 2 1 3 3 2 1 32 2 2 , , 2 2 .t t t t t tx e c c c t c e x e c c c t c e x e c c t c e

7. 3 3 31 2 3 2 1 2 3 3 1, 2 2 , .t t t t tx c e c e x c c e c e x c e 8. 2

1 1 2 1 22 cos 2 sintx e c c t c c t

33 ,tc e 2 3

2 1 2 35 cos 5 sin 2 ,t tx e c t c t c e 2 33 1 2 2 1 32 cos 2 sin 2 .t tx e c c t c c t c e

9. 4 41 2 1 2 2 1 1 3 3 1 3, 3 2 , 2 .t t t t tx e c c t x e c c c t c e x c e c e 10. 2 2 5

1 1 2 32 2 ,t t tx c e c e c e

2 2 5 2 2 52 1 2 3 3 1 2 32 , 2 3 2 .t t t t t tx c e c e c e x c e c e c e 11. 3

1 1 2 34 cos4 4 sin4 ,t tx e c t c t c e

3 32 2 1 1 2 3 3 1 2 1 2 33 cos4 3 sin4 , 5 cos4 5 sin4 2 .t t t tx e c c t c c t c e x e c c t c c t c e

12. 41 1 2 1 32 2 2 ,t tx e c c c t c e 4

2 2 1 32 ,t tx e c c t c e 43 2 1 32 2 3 .t tx e c c t c e

13. 2 3 2 3 21 2 3 2 1 2 3 3 1 22 , 2 2 , .t t t t t t tx c e c e x c e c e c e x c e c e 14. 2 2

1 1 2 3cos sin 2 ,t tx e c t c t c e

2 2 2 22 2 1 1 2 3 3 2 1 32 cos 2 sin 2 , cos sin .t t t tx e c c t c c t c e x e c t c t c e

15. 4 4 2 4 21 2 1 1 2 2 1 3 3 2 1 1 32 2 , 2 2 , .t t t t tx e c c c t x e c c t c e x e c c c t c e

16. 3 3 31 1 2 3 2 2 3 3 1 2 32 3 , , 2 2 .t t t t t tx c c e c e x c e c e x c c e c e 17. 1 2 13 cosx c c t

2 2 21 2 3 2 1 2 3 3 1 2 1 2 33 sin 2 , cos sin , 2 cos 2 sin 2 .t t tc c t c e x c t c t c e x c c t c c t c e

18. 2 31 1 2 1 32 2 ,t tx e c c c t c e 2

2 2 1 ,tx e c c t 2 33 1 2 1 32 2 2 .t tx e c c c t c e

19. 2 4 61 1 2 35 2 4 ,t t tx c e c e c e 2 4 6

2 1 2 32 2 3 ,t t tx c e c e c e 2 4 63 1 2 33 2 .t t tx c e c e c e

20. 21 1 2 2 1 3 2 1 2 2 134 27 cos3 34 27 sin3 4 , 22 6 cos3 22 6 sin3t t tx e c c t c c t c e x e c c t c c t

2 23 3 1 2 2 1 33 , 19 17 cos3 19 17 sin3 2 .t t tc e x e c c t c c t c e 21. 3

1 2 1 32 2 5 ,t tx e c c t c e

32 1 2 1 32 2 2 ,t tx e c c c t c e 3

3 2 1 33 .t tx e c c t c e 22. 2 41 1 2 35 4 2 ,t tx c c e c e

2 4 2 42 1 2 3 3 1 2 32 3 2 , 3 2 .t t t tx c c e c e x c c e c e 23. 1 1 227 34 cos2tx e c c t

2 1 327 34 sin2 4 ,tc c t c e 2 1 2 2 1 3 36 22 cos2 6 22 sin2 3 ,t tx e c c t c c t c e x

1 2 2 1 317 19 cos2 17 19 sin2 2 .t te c c t c c t c e 24. 3 4 31 1 3 2 1 2 12 , 3 2 2t t tx c e c e x e c c c t

4 3 43 3 2 1 37 , 6 .t t tc e x e c c t c e 25. 2 3 2 3 4 2

1 1 2 2 1 2 3 3 12 , 5 7 2 , 4t t t t t tx c e c e x c e c e c e x c e

3 42 36 .t tc e c e 26. 5 3 5

1 1 2 1 2 3 2 1 244 58 cos 58 44 sin , 96 247 cost t tx e c c t c c t c e x e c c t

31 2 3247 96 sin 5 ,tc c t c e 5 3

3 1 2 1 2 3103 196 cos 196 103 sin 4 .t tx e c c t c c t c e

27. 5 51 1 2 1 3 2 2 1 1 32 2 2 , 3 2 3 ,t t t tx e c c c t c e x e c c c t c e 5

3 1 2 1 32 2 .t tx e c c c t c e

28. 3 5 7 3 5 7 3 71 1 2 3 2 1 2 3 3 1 35 2 8 , 2 3 , .t t t t t t t tx c e c e c e x c e c e c e x c e c e 29. 2

1 116tx e c

4 2 42 1 2 3 2 1 2 1 2 363 cos3 63 16 sin3 2 , 41 3 cos3 3 41 sin3 3 ,t t tc t c c t c e x e c c t c c t c e

2 43 1 2 1 2 33 41 cos3 41 3 sin3 2 .t tx e c c t c c t c e 30. 2

1 1 2 1 32 2 2 ,t tx e c c c t c e

22 1 2 1 33 3 ,t tx e c c c t c e 2

3 1 2 1 32 2 .t tx e c c c t c e

190

Завдання 10

1. 4 4 41 1 2 1 2 1 2 1 1 2cos , 2 2 sin 2cos ; cos ,t t tx c c c t e t x c c c t e t t x te t x

42 1 sin 2cos .tt e t t 2. 4 5 4 5 4 51 1 2 2 1 2 13 10 1, 5 2 10 ; 6 5t t t t t tx c e c e t x c e c e t x e e

4 5210 1, 10 .t tt x e e t 3. 1 1 2 2 1 210 cos3 10 sin3 1 , 17 cos3t tx e c t c t x e c c t

1 2 1 217 sin3 2 ; 10cos3 10sin3 1 , 16cos3 18sin3 2 .t tc c t x e t t x e t t 4. 1x

1 2 1 2 1 2 1 13 3 16cos3 3sin3 , 2 5 5 25cos3 ; 9 16cos3 3sin3 ,t t te c c c t t t x e c c c t t x te t t

2 15 1 25cos3 .tx t e t 5. 4 2 4 21 1 2 2 1 2 13 15 , 5 2 28 ; 15t t t t t t tx c e c e e x c e c e e x e

4 2 4 222 15 , 25 4 28 .t t t t te e x e e e 6. 1 1 2 2 1 210 cos2 sin2 1, 17 cos2x c t c t t x c c t

2 1 1 217 sin2 2 1 ; 10cos2 100sin2 1, 7cos2 171sin2 2 2.c c t t x t t t x t t t

7. 4 4 4 41 1 2 2 1 2 1 1 29 3 4 , 3 ; 9 3 4 , 3 .t t t t t t t tx c t c e e x c c c t e e x t e e x e te

8. 3 3 31 1 2 2 1 2 15 3 3cos 2sin , 2 cos sin ; 10 3 3cost t t t t tx c e c e t t x c e c e t t x e e t

322sin , 4 cos sin .t tt x e e t t 9. 2

1 1 2 2 113 cos3 13 sin3 102cos3 ,tx e c c t c c t t

2 2 2 22 1 2 1 25 cos3 5 sin3 41cos3 3sin3 ; 102 1 cos3 34 sin3 , 10 4cos3t t t tx e c t c t t t x e t e t x e t

sin3 41cos3 3sin3 .t t t 10. 3 31 1 2 1 2 2 1 13 5 5 25 , 2 2 1 13 ;t tx e c c c t t x e c c c t t

3 31 21 10 25 , 4 1 13 .t tx t e t x te t 11. 2

1 1 2 2 13 2 5cos2 sin2 , 4t t tx c e c e t t x c e

2 2 22 1 23 6cos2 ; 3 2 5cos2 sin2 , 4 3 6cos2 .t t t t tc e t x e e t t x e e t 12. 3

1 113 costx e c t

2 3 2 32 2 1 2 2 1 1sin 13 , 18 cos 18 sin 25 ; 13 7sin cost t t tc t e x e c c t c c t e x e t t

2 3 2213 , 25 5sin cos 25 .t t te x e t t e 13. 3 3

1 1 2 1 2 1 2 12 2 1 5 , 3 3t tx e c c c t t x e c c c t

3 31 21 6 ; 4 6 1 5 , 6 8 1 6 .t tt x t e t x t e t 14. 1 1 2 2 13 2 12 , 4t t tx c e c e t x c e

2 1 23 1 17 ; 6 2 , 9 8 1 17 .t t t t tc e t x e e t x e e t 15. 31 1 213 cos2 sin2 13 ,t tx e c t c t e

3 32 1 2 2 1 1 218 cos2 18 sin2 16 ; 13 2sin2 cos2 13 ,t t t tx e c c t c c t e x e t t e x

3 16cos2 37sin2 16 .t te t t e 16. 2 21 1 2 1 2 1 2 13 3 14 27, 4 4t tx e c c c t t x e c c c t

2 21 232 16 ; 18 27 14 27, 32 16 24 34 .t tt x t e t x t t e 17. 3 4

1 1 25 3t tx c e c e

3 42 1 22 1 , 3 2 1;t tt x c e c e t 3 4 3 4

1 25 3 2 1 , 3 2 1.t t t tx e e t x e e t

18. 21 1 2 2 121 cos 21 sin 19cos sin ,tx e c c t c c t t t 2

2 1 213 cos sin 13cos ;tx e c t c t t

2 21 243sin 19cos 19cos sin , 13 2sin cos 13cos .t tx e t t t t x e t t t 19. 2

1 1 2 12 3 3tx e c c c t

2 2 23 3 3 32 1 2 1 1 281 , 2 2 69 ; 15 80 81 , 10 55 69 .

t t t t

t t te x e c c c t e x e t e x e t e 20. 1x

2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 31 2 2 1 2 1 22 3 19 , 3 5 30 ; 4 15 19 , 6 25 30 .t t t t t t t t t t t tc e c e e x c e c e e x e e e x e e e

21. 1 1 2 1 2 2 1 221 cos 21 sin cos 2sin , 34 cos sin 2cos 3sin ;t tx e c c t c c t t t x e c t c t t t

1 17 cos 5sin cos 2sin ,tx e t t t t 2 34 cos 4sin 2cos 3sin .tx e t t t t 22. 41 1

tx e c

4 4 42 1 2 1 2 1 1 22 2 , 3 3 9 ; 4 1 , 9 6 5 .t t t t t t tc c t e x e c c c t e x e t e x e t e 23. 1x

191

2 3 2 3 2 31 2 2 1 2 13 2 10sin3 , 7 5 cos3 24sin3 ; 3 2 10sin3 ,t t t t t tc e c e t x c e c e t t x e e t

2 32 7 5 cos3 24sin3 .t tx e e t t 24. 1 1 2 2 1 213 cos2 sin 2 61 1, 31 cos2t tx e c t c t t x e c c t

1 2 1 231 sin 2 148 ; 13 cos2 10sin 2 61 1, 41cos2 309sin 2 148 .t tc c t t x e t t t x e t t t

25. 5 5 51 1 2 1 2 1 2 1 1 22 2 4sin , 2 5 5 cos ; 1 2 4sin ,t t tx e c c c t t x e c c c t t x e t t x

5 2 5 cos .te t t 26. 3 2 3 2 3 21 1 2 2 1 2 15 2 , 7 3 ; 4 5 ,t t t t t t t t tx c e c e e x c e c e e x e e e

3 22 7 6 .t t tx e e e 27. 1 1 2 2 1 2 1 229 cos4 sin4 4 4 , 41 sin4 41 cos4x c t c t t x c c t c c t

1 2163 164 ; 58 2cos4 sin4 2 2 , 86sin4 162cos4 163 164 .t x t t t x t t t 28. 51 1

tx e c

5 52 1 2 2 1 1 12 2 2cos2 sin2 , 3 3 9sin2 ; 4 2cos2 sin2 ,t tc c t t t x e c c c t t x te t t

52 1 6 9sin2 .tx t e t 29. 3 2 3 2 3 2

1 1 2 2 1 2 13 2 6 , 7 5 18 ; 6 2t t t t t t t tx c e c e e x c e c e e x e e

3 226 , 14 5 18 .t t t te x e e e 30. 4 4 4 4

1 1 2 2 1 25 2 cos2 sin2 , 7 3t t t tx c e c e t t x c e c e

2 cos2 sin2 ;t t 4 41 5 6 cos2 sin2 ,t tx e e t t 4 4

2 9 7 2 cos2 sin2 .t tx e e t t

Розділ 9. Ряди

Завдання 1

1. Збігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Збігається. 5. Збігається. 6. Збігається.7. Збігається.

8. Збігається. 9. Розбігається. 10. Розбігається. 11. Збігається. 12. Розбігається. 13. Розбігається.

14. Збігається. 15. Розбігається. 16. Розбігається. 17. Збігається. 18. Збігається. 19. Розбігається.

20. Збігається. 21. Збігається. 22. Збігається. 23. Збігається. 24. Збігається. 25. Збігається.

26. Збігається. 27. Збігається. 28. Збігається. 29. Збігається. 30. Збігається.

Завдання 2

1. Збігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Збігається. 5. Збігається. 6. Збігається. 7. Збігається.

8. Збігається. 9. Збігається. 10. Розбігається. 11. Розбігається. 12. Збігається. 13. Збігається.

14. Збігається. 15. Розбігається. 16. Збігається. 17. Збігається. 18. Розбігається. 19. Збігається.

20. Збігається. 21. Збігається. 22. Розбігається. 23. Збігається. 24. Збігається. 25. Розбігається.

26. Збігається. 27. Збігається. 28. Збігається. 29. Збігається. 30. Збігається.

Завдання 3

1. Збігається. 2. Збігається. 3. Розбігається. 4. Збігається. 5. Розбігається. 6. Збігається.

7.Збігається. 8. Збігається. 9. Збігається. 10. Збігається. 11. Розбігається. 12. Збігається

13.Розбігається. 14. Збігається. 15. Збігається. 16. Збігається. 17. Збігається. 18. Збігається.

19.Збігається. 20. Збігається. 21. Збігається. 22. Збігається. 23. Збігається. 24. Збігається.

25.Збігається. 26. Збігається. 27. Збігається. 28. Збігається. 29. Розбігається. 30. Розбігається.

Завдання 4

1. Збігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Збігається. 5. Розбігається. 6. Збігається.

7.Збігається. 8. Збігається. 9. Збігається. 10. Збігається. 11. Збігається. 12. Збігається.

13.Збігається. 14. Розбігається. 15. Збігається. 16. Збігається. 17. Збігається. 18. Збігається.

192

19.Збігається. 20. Збігається. 21. Розбігається. 22. Збігається. 23. Збігається. 24. Збігається.

25. Розбігається. 26. Збігається. 27. Збігається. 28. Розбігається. 29. Розбігається. 30. Збігається.

Завдання 5

1. Збігається абсолютно. 2. Збігається абсолютно. 3. Збігається абсолютно. 4. Збігається абсо-

лютно. 5. Збігається абсолютно. 6. Збігається абсолютно. 7. Збігається абсолютно. 8.Збігається

абсолютно. 9. Збігається абсолютно. 10. Збігається абсолютно. 11. Збігається абсолютно.

12. Збігається абсолютно. 13. Збігається абсолютно. 14. Збігається абсолютно. 15.Збігається аб-

солютно. 16. Збігається абсолютно. 17. Збігається абсолютно. 18. Збігається абсолютно.

19. Збігається абсолютно. 20. Збігається абсолютно. 21. Збігається абсолютно. 22.Збігається аб-

солютно. 23. Збігається абсолютно. 24. Збігається абсолютно. 25. Збігається абсолютно.

26. Збігається абсолютно. 27. Збігається абсолютно. 28. Збігається абсолютно. 29. Збігається

абсолютно. 30. Збігається абсолютно.

Завдання 6

1. Збігається умовно. 2. Збігається умовно. 3. Збігається умовно. 4. Збігається умовно.

5.Збігається умовно. 6. Розбігається. 7. Збігається умовно. 8. Збігається умовно. 9. Збігається

умовно. 10. Збігається умовно. 11. Збігається умовно. 12. Збігається умовно. 13. Збігається умо-

вно. 14. Збігається умовно. 15. Збігається умовно. 16. Збігається умовно. 17. Збігається умовно.



26. Збігається умовно. 27. Збігається умовно. 28. Збігається умовно. 29. Розбігається.

30. Розбігається.

Завдання 7

1. 1,3 . 2. 4,2 . 3. 3, 1 . 4. 0,6 . 5. 6,0 . 6. 4,6 . 7. 6, 4 . 8. 3,1 . 9. 1,3 .

10. 1,3 . 11. 5,1 . 12. 5, 1 . 13. 2,8 . 14. 4,8 . 15. 7, 5 . 16. 5,9 . 17. 2,8 .

18. 8, 2 . 19. 1,3 . 20. 4,2 . 21. 1,3 . 22. 3, 1 . 23. 2,4 . 24. 4, 2 . 25. 4,10 .

26. 9, 5 . 27. 5,11 . 28. 13, 3 . 29. 3,7 . 30. 6, 4 .

Завдання 8

1.

1

1 21 ; 0,4 .

2

n n

nn

xy x

2.

1

1 31 ; 0,6 .

3

n n

nn

xy x

3.

1

1 41 ;

4

n n

nn

xy x

0,8 . 4. 1

3 3 1 2 ; 1,3 .n n

n

y x x

5.

11

1 422 ; 1,7 .

3 3

n n

nn

xy x

6. y x

1

1 21 ; 1,5 .

3

n n

nn

x

7.

1

1 11 ; 2,4 .

3

n n

nn

xy x

8.

1

1 1 3 ; 2,4 .n n

n

y x x

9. 1

2 2 1 3 ; 2,4 .n n

n

y x x

10. 1

4 4 1 4 ; 3,5 .n n

n

y x x

11.

1

1 11 ;

4

n n

nn

xy x

193

3,5 . 12.

1

1 11 ; 3,1 .

2

n n

nn

xy x

13.

1

41 ; 6, 2 .

2

n

nn

xy x

14. 2y x

1

2 5 ; 4,6 .n

n

x

15. 1

1 1 3 ; 4, 2 .n n

n

y x x

16.

11

555 1 ; 3,7 .

2 2

n

n

nn

xy x

17.

1

11 1 ; 3,1 .

2

n

n

nn

xy x

18.

1

3 3 1 5 ; 4,6 .n n

n

y x x

19. 2 2

1

2 1;

!

nn

n

xy x e e

n

, . 20.

6 6

1

1 3 2; , .

!

n nn

n

xy x e e

n

21.

12 12

1

4 3; , .

!

nn

n

xy x e e

n

22.

5 5

1

11 5 ; , .

!

n

n n

n

xy x e e

n

23.

1

1

2 1; 3, 1 .

n n

n

xy x

n

24. y x

1

1 1; 2,0 .

n n

n

x

n

25.

4 4

1

2 2; , .

!

nn

n

xy x e e

n

26.

6 6

1

1 3 2;

!

n nn

n

xy x e e

n

, . 27.

4 4

1

1 4 1; , .

!

n nn

n

xy x e e

n

28.

1

3; 2,4 .

n

n

xy x

n

29. y x

1

4; 3,5 .

n

n

x

n

30.

1

1; 0,2 .

n

n

xy x

n

Завдання 9

1.

12 1 2

1

3 1; , .

2 1 !

nn n

n

x

n

2.

12 2 2 1

1

2 1; , .

2 2 !

nn n

n

x

n

3.

12 1 2

1

2 1; , .

2 1 !

nn n

n

x

n

4.

1 1

1

2; , .

1 !

n n

n

x

n

5.

1

1

3; , .

1 !

n n

n

x

n

6.

1

1

2; , .

1 !

n n

n

x

n

7.

1 1

1

3; , .

1 !

n n

n

x

n

8.

1

1

5;

1 !

n n

n

x

n

, . 9.

1 1

1

5; , .

1 !

n n

n

x

n

10.

1 1

1

1; 1,1 .

n n

n

x

n

11.

1 3

1

1; 1,1 .

n n

n

x

n

12.

1 2 1

1

1;

2 1 !

n n

n

x

n

, . 13.

1 2

1

1; , .

2 2 !

n n

n

x

n

14.

1 2 2

1

1; , .

2 1 !

n n

n

x

n

15.

2

1

; , .1 !

n

n

x

n

16.

1 2

1

1;

1 !

n n

n

x

n

, . 17.

1 1 1

1

1 2; , .

1 !

n n n

n

x

n

18.

1 2 1

1

1 3; , .

1 !

n n n

n

x

n

19.

1 2

1

1; 1,1 .

n n

n

x

n

20.

1 2

1

1 3 1 1; , .

3 3

n n n

n

x

n

21. 1

1

; 1,1 .n

n

x

n

22. 3

1

; 1,1 .n

n

x

n

23.

1 2 1 2 1

1

1 4;

2 1 !

n n n

n

x

n

, .

24.

1 2 1 2 2

1

1 4; , .

2 2 !

n n n

n

x

n

25.

1 3

1

2 1 1 1; , .

2 2

nn n

n

x

n

26.

1 1

1

4 1 1 1; , .

4 4

nn n

n

x

n

194

27.

1 2 2 1

1

1 5; , .

2 1 !

n n n

n

x

n

28.

1 2 3 2 1

1

1 5; , .

2 1 !

n n n

n

x

n

29.

1 2 2 2

1

1 3; , .

2 2 !

n n n

n

x

n

30.

1 2 2 2

1

1 5; , .

2 2 !

n n n

n

x

n

Завдання 10

1. –0,75. 2. –0,75. 3. –0,75. 4. 0,83. 5. –0,75. 6. –0,75. 7. 0,06. 8. 0,25. 9. 0,24. 10. 0,97.

11. 0,24.12. 1,46. 13. 0,94. 14.0,083. 15.0,94. 16.0,94. 17. 0,33. 18. 0,25. 19. 0,61. 20. –1,65. 21. –1,1.

22. –0,75. 23. –0,75. 24. –0,75. 25. 0,24. 26. 2,43. 27. 0,24. 28. 0,33. 29. 0,06. 30. 0,06.

Завдання 11

1. 222 3 ...

2!y x x x 2.

261 3 1 1 ...

2!y x x x 3. 25

2 ...2

y x x x

4. 221 ...

2!y x x x 5.

2 33 1

2 ...2 2 2 2 2

y x x x x

6. 2

1 2 ...2

xy x x

7. 231 ...

2y x x x 8. 22

3 ...3

y x x x 9. 2

51 ...

2 2 2! 2y x x x

10. 23...

2 2 2!y x x x

11.

2

1 ...2

xy x x 12. 213

2 7 ...2!

y x x x 13. 21 4 2 ...y x x x

14 2

1 6 1 5 1 ...y x x x . 15. 21 ...y x x x 16. 2

2 8 1 24 1 ...y x x x

17. 25

1 1 1 ...2

y x x x 18. 2

1 2 2 ...y x x x 19. 2 41 5

1 1 1 ...2 48

y x x x x

20. 2 31 1

2 1 1 1 ...2 6

y x x x x 21. 23 11 ...

2 2y x x x 22. 24 1

1 ...3 6

y x x x

23. 23

1 3 2 2 ...2

y x x x 24. 29 2

1 2 2 ...2 3

y x x x 25. 2

1 ...2

xy x x

26. 21 3 ...y x x x 27. 21 6 ...y x x x 28. 21 2 2 ...y x x x 29. 21 2 2 ...y x x x

30. 2112 5 ...

2y x x x .

Завдання 12

1.

2 2

1

2 1 2 14 1 4cos sin sin .

2 2 1 22 1n

n x n xf x n x

n nn

2. 3

2f x

2 2

1

2 14 2cos sin .

2 22 1n

n x n x

nn

3.

2 2

1

2 18 22 cos sin .

4 22 1n

n x n xf x

nn

4.

21

7 3 6 3 6 3cos 2 1 sin 2 sin 2 1 .

2 4 2 2 12 1n

f x n x nx n xn nn

5. 14

f x

2

1

2 1 4cos 2 1 sin 2 sin 2 1 .

2 2 12 1n

n x nx n xn nn

6.

21

4

2 2 1n

f xn

195

1 2 4

cos 2 1 sin 2 sin 2 1 .2 1

n x nx n xn n

7.

21

3 6 1cos 2 1 sin 2 .

4 22 1n

f x n x nxnn

1

sin 2 1 .2 1

n xn

8.

2

1

4 4cos 2 1 sin 2 1 .

2 2 12 1n

f x n x n xnn

9. f x

2

1

2 1 82 cos 2 1 sin 2 sin 2 1 .

4 2 2 12 1n

n x nx n xn nn

10. 5

4 2f x

2

1

2 1 2cos 2 1 sin 2 sin 2 1 .

2 2 12 1n

n x nx n xn nn

11. 1

2sin 2

n

f x nxn

4 4sin 2 1 .

2 1n x

n

12.

1

2 12 4sin 2 sin 2 1 .

2 1n

f x nx n xn n

13.

1

2sin .

n

f x nxn

14.

1

1 2 4sin 2 sin 2 1 .

2 1n

f x nx n xn n

15.

1

1

61 sin .

n

n

f x nxn

16. f x

1

1 16 2sin 2 sin 2 1 .

2 1n

nx n xn n

17.

1

2 4 4sin2 sin 2 1 .

2 1n

f x nx n xn n

18. f x

1

1 2 20sin 2 sin 2 1 .

2 1n

nx n xn n

19.

1

1

21 sin .

n

n

f x nxn

20. 1

21 sin .

n

n

f x nxn

21.

21

4 4cos 2 1 .

2 2 1n

f x n xn

22.

2

1

41 cos 2 1 .

2 2 1n

f x n xn

23. f x

2

1

81 cos 2 1 .

2 1n

n xn

24.

2

1

4cos 2 1 .

2 2 1n

f x n xn

25. f x

2

1

8cos 2 1 .

2 1n

n xn

26.

2

1

81 cos 2 1 .

2 1n

f x n xn

27. 4f x

2

1

8cos 2 1 .

2 1n

n xn

28.

21

85 cos 2 1 .

2 1n

f x n xn

29.

2

1

4

2 2 1n

f xn

cos 2 1 .n x 30.

21

4cos 2 1 .

2 2 1n

f x n xn

Розділ 10. Елементи теорії функцій комплексного змінного

Завдання 1

1. а) 152 1 3 j ; б)

2 22 2cos sin ,

5 5

k k

j

0,1,2,3,4k . 2. а) 92 j ;

б)

3 32 2

1 2 2cos sin ,2 2 2

k k

j

0,1k . 3. а) 2 5 3 j ; б) 2 2

cos sin ,6 6

k kj

196

0,1,2,3,4,5k . 4. а) 162 ; б) 3 cos sin ,2 2

k kj

0,1,2,3k . 5. а) 452 ;

б) 42 2

4 42 cos sin ,2 2

k k

j

0,1k . 6. а) 648 1 3 j ; б)

3 32 2

2 23 cos sin ,3 3

k k

j

0,1,2k . 7. а) j ; б) 6

5 52 2

4 450 cos sin ,3 3

k k

j

0,1,2k . 8. а) 60

1 3 ,

б) 3

2 21 3 3cos sin ,

3 32 2

k k

j

0,1,2k . 9. а) 7 33 2 1 j ; б) 4

3 32 2

4 42 cos sin ,2 2

k k

j

0,1k . 10. а) 3 3

84.5 cos 4arctg sin 4arctg2 2

j

; б) 2 2

6 62 cos sin ,2 2

k k

j

0,1k . 11. а) 132 1 j ; б) 10

2 22 2

3 312 cos sin , 0,1,2,3,45 5

k k

j k

.

12. а) 4 1 j ; б) 2 2

2 cos sin ,4 4

k kj

0,1,2,3k . 13. а) 11 102 3 2 1 2 3j ;

б)

3 32 2

2 2cos sin , 0,1,2,34 4

k k

j k

. 14. а) 500 1 j ; б)

52

2 3 6cos3 2

k

52

6sin ,2

k

j

0,1k . 15. а) 3 42 5 1 3 j ; б) 3

2 21 4 4cos sin ,

3 32

k k

j

0,1,2k . 16. а) 122 ; б) 4

3 32 2

4 418 cos sin , 0,12 2

k k

j k

17. а) 152 ;

б) 2 2

4 cos sin ,3 3

k kj

0,1,2k . 18. а) 4 1j ; б)

2 2cos sin ,

5 5

k kj

0,1,2,3,4k . 19. а) 16 ; б) 42 2

4 410 2 cos sin , 0,1,2,3.4 4

k k

j k

. 20. а) 72 1j ,

б) 2 2

2 4 4cos sin , 0,1.3 2 2

k k

j k

21. а) 72 1 j ;

197

б)

3 32 2

2 23 cos sin ,4 4

k k

j

0,1,2,3k . 22. а) 7

4

21 3

3j ; б) 6

242 cos

3

k

24sin ,

3

k

j

0,1,2k . 23. а) 21

11

21 3

3j ; б)

2 25 cos sin ,

3 3

k kj

0,1,2k .

24. а) 112 j ; б)

3 32 2

2 23 cos sin ,3 3

k k

j

0,1,2k . 25. а) 3 42 5 1 3 j ;

б) 4

2 23 38 cos sin ,

2 2

k k

j

0,1k . 26. а) 33( 2) 1 j ; б) 3

52

62 cos3

k

52

6sin ,3

k

j

0,1,2k . 27. а) 3200 ; б)

5 52 2

2 6 6cos sin ,2 23

k k

j

0,1k .

28. а) 518 j ; б) 82 2

4 42 cos sin ,4 4

k k

j

0,1k . 29. а) 102 3 j ;

б) 4

2 22 2

3 38 cos sin ,2 2

k k

j

0,1k . 30. а) 17

162

j ; б) 8

21 4cos

42

k

24sin , 0,1,2,3

4

k

j k

.

Завдання 2

1.Множина точок, яка є перетином круга 22 21 2x y і частини площини, де 1x .

2. Множина точок, яка є перетином круга 2 2

1 1 1x y і частини площини, де 1x .

3. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга 2 2

2 2 1x y і частини площини,

де 1 3x . 4. Множина точок, яка є перетином круга 2 21 4x y і частини площини, де

1y . 5. Множина точок, яка є перетином круга 2 2

1 1 1x y і частини площини, де

1 1,5x . 6. Множина точок, яка є перетином круга 2 2 25x y і частини площини, де

2x .7. Множина точок, яка є перетином частини площини, де 0 2x і частини площини

між 6

і 0 . 8. Множина точок, яка є перетином частини площини, де 2 2y x і час-

тини площини між 2

і 0 . 9. Множина точок, яка є перетином частини площини, де

198

1xy і частини площини, де 0 1x .10. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга

2 2 4x y і частини площини між 2

і

2

. 11. Множина точок, яка є перетином круга

2 21 1x y і зовнішності круга

2 21 4x y . 12. Множина точок, яка є перетином круга

2 21 1x y і частини площини між 0 і

2

та без точки 0, 0x y . 13. Множина

точок, яка є кругом 2 21 4x y . 14. Множина точок, яка є частиною площини, де

2 2 1x y . 15. Множина точок, яка є частиною площини, де 2 1 0y x . 16. Множина точок,

яка є перетином частини площини, де 2y і частини площини, де 2

14

xy . 17. Множина то-

чок, яка є частиною площини, де 3

22

x y . 18. Множина точок, яка є частиною площини, де

0x . 19. Множина точок, яка є перетином частини площини, де 1x і частини площини між

4

і

4

. 20. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга

22 1 16x y і кру-

га 22 1 16x y . 21. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга

2 21 1x y і

частини площини, де 5y . 22. Множина точок, яка є перетином частини площини, де 8x і

частини площини, де 1y . 23. Множина точок, яка є частиною площини, де 0x .

24. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга 22 5 1x y , круга

22 5 25x y

і частини площини між 2

і 0 . 25. Множина точок, яка є перетином зовнішності круга

2 2

2 2 4x y і частини площини, де 2x y . 26. Множина точок, яка є перетином

зовнішності круга 2 21 1x y , круга

2 21 9x y і частини площини, де 0y .

27. Множина точок, яка є перетином круга 2 2 9x y і частини площини, де 1y . 28. Мно-

жина точок, яка є перетином круга

2

21 1

2 4x y

і частини площини, де

1

2x .

29. Множина точок, яка є перетином круга 2 2 4x y і частини площини між 4

і .

30. Множина точок, яка є перетином частини площини, де 2 1

2

yx

і частини площини, де

1y .

Завдання 3

1. Аналітична. 2. Не аналітична. 3. Аналітична. 4. Не аналітична. 5. Не аналітична. 6. Не аналі-

тична. 7. Аналітична. 8. Аналітична. 9. Не аналітична. 10. Аналітична. 11. Аналітична.

12. Аналітична. 13. Аналітична. 14. Аналітична. 15. Аналітична. 16. Аналітична.

17. Аналітична. 18. Аналітична. 19. Аналітична. 20. Не аналітична. 21. Не аналітична. 22. Не

аналітична. 23. Не аналітична. 24. Не аналітична. 25. Не аналітична. 26. Не аналітична. 27. Не

аналітична. 28. Не аналітична. 29. Не аналітична. 30. Не аналітична.

199

Завдання 4

1. 2f z z z j . 2. 3zf z z e . 3. 2 7 1f z z z . 4. zf z e . 5. 3 2f z z z .

6. ( ) ch( )f z z j . 7. 2( ) 3 zf z z e . 8. ( ) 3f z z zj . 9. ( ) 5cosf z z z j . 10. ( )f z 33sh 2z z j . 11. ( ) ch( 2 )f z z j . 12. 2( ) shf z z . 13. 4( ) zf z ze . 14. 2( ) 1f z z .

15. ( ) sin( 3)f z z jz . 16. 2

2( ) 7

jzf z z j

z . 17. ( ) sin3f z z . 18. ( ) cos shf z z z .

19. 2

2( ) 2 cos

jzf z j z

z

. 20. 3( )f z z j . 21. 2( ) sh2f z z z . 22. 21

( ) 2 2 1f z jz jz

.

23. 2( ) ( 9)f z j z . 24. ( ) lnf z z . 25. 3( ) 1f z jz j . 26. ( ) ch5f z j z . 27. ( ) zf z ze

(1 )j z . 28. ( ) (5 )cos( 3)f z j jz . 29. ( ) cos3f z z j . 30. 2( ) 4f z z .

Завдання 5

1. 2 j . 2. 2 2 21(1 )( )

2j e e . 3.

1 1cos sin

2 2e j . 4. 4( 1)j . 5.

15

4 . 6.

3

24

j.

7. 3 4

cos1 ( 1) sin1 ( 1)5

je j e

. 8.

16

3j . 9. 32

(cos 2 1)3

. 10. 0. 11. 17 15

6 8j .

12. sh 2

14 2 2

j

. 13.

4

3

j. 14. 2 2 2sin1 (1 2 ) ( cos1 2 cos1)e j e e . 15. (cos4 ch8)

2

j .

16. 2(1 )j . 17. 3(1 )2

j . 18.

1sh81

4 . 19.

2 2

3 3j . 20.

5 3

4 2j . 21.

4 4sin1 1 cos1 5j

e e

22. 16

3j . 23. 53

(1 )( 1)10

j e . 24. 1 cos1 sin1j j . 25. 22

(ln 2 6)3

j . 26. 194

(ln5 11)15

j .

27. 3

sin1 cos1 12

. 28. 32

( 1)3

j . 29. 92 9

15 2j . 30. cos12 sin12 sin11 .

Завдання 6

1. 16 (ch2 sh2) . 2. 2 j . 3. 8 j . 4. 2ch 2

6

j. 5. 2 j . 6. 2 j . 7. 4 j . 8. 8 j . 9. 0 .

10. 2 j . 11. 2430 j . 12. 0. 13. 0. 14. 6ch3

j. 15.

6

4 j

e

. 16.

2

ch1

j. 17. 0 . 18. j . 19.

ch 2

2

.

20. 2 (cos2 cos1) 2 (sin2 sin1)j . 21. 4 j . 22. cos32

243

je. 23. 2 j . 24. 216 . 25. j .

26. 2

(ch1 sh1)e

. 27.

2

3

j. 28. 2 j . 29. 2 j . 30. j .

Завдання 7

1. Розбігається. 2. Збігається абсолютно. 3. Розбігається. 4. Збігається абсолютно. 5. Збігається

абсолютно. 6. Збігається умовно. 7. Збігається абсолютно. 8. Розбігається. 9. Збігається абсолю-

тно. 10. Збігається абсолютно. 11. Збігається абсолютно. 12. Збігається абсолютно.

200

13. Розбігається. 14. Збігається абсолютно. 15. Розбігається. 16. Збігається абсолютно.

17. Збігається абсолютно. 18. Розбігається. 19. Розбігається. 20. Розбігається. 21. Збігається аб-

солютно. 22. Збігається абсолютно. 23. Збігається абсолютно. 24. Розбігається. 25. Збігається

абсолютно. 26. Збігається абсолютно. 27. Збігається абсолютно. 28. Збігається умовно.

29. Збігається умовно. 30. Збігається абсолютно.

Завдання 8

1. 1 5z . 2. 4z j . 3. 3 3 1 7z j . 4. 1

2z je

. 5. 1 1z j . 6. 1

4 12

z .

7. z j e . 8. 3 0z j . 9. 1

1ze . 10. Збігається на всій комплексній площині.

11. 2 3z j . 12. 1 2z . 13. 3 1z j . 14. 3 6z . 15. 1 z e . 16. 3 3 1z j .

17. 1 1z . 18. 4 1z . 19. Збігається на всій комплексній площині. 20. 5 4 1z j .

21. 0 1 1z j . 22. Збігається на всій комплексній площині. 23. 8 2 10z j .

24. 1z e . 25. 2z j . 26. 2z j e . 27. 3 2z . 28. 7z . 29. 0 1z .

30. 1

3z j .

Завдання 9

1.

1

0

41 1, 0 4 8

2 4 2 8

n

nn

z jz j

z j j

. 2.

11

1

1 3 41

2 2

nn

nnz z

. 3.

2

0

11

2 2 1 !

n

nn z n

1

2 10

12 1 , 2 0

2 2 1 !

n

nn

zz n

.4.

2

20

2cos1 1

2 !

nn

nn z n

2 1

2 10

2sin1 1 ,

2 1 !

nn

nn z n

0z . 5.

11

11

31 , 3 0

3 1 !

nn

nn

e zz n

. 6. 1

1 0

1 1 1

2 2 3

n

n nn n

z

z

. 7. 1

1 1( 1)

5

n

nn z

1 11

1 1

1 2 (2 ) 1 2 (2 )( 1)

10 10

n nn

n nn n

j j j j

z z

. 8.

2 1

20

1 12 2 , 0

(2 3)!

n

n

zz

z z n

. 9.

0

2( 1) ,

( 2) !

nn

nn z n

2 0z . 10. 2 1

30

2 1( 1) , 0

2 (2 4)!

nn

n

zz

z z n

.11. 1

0

1 3 19 3 ( 1)( 1)

10( 1) 10 (1 3 )

nn

nn

j j z

z j

.

12. 0

1 ( )( 1) , 0 2

2( ) 4 (2 )

nn

nn

j z jz j

z j j

. 13.

21

20 0

4 1( 1) 3 1 ,

2 ! (2 2)!

n nnn

n n

z z

z z n n

0z . 14. 2

11 0

18 ( 1)

9

nn

n nn n

z

z

.15. 1

0

4, 0

( 1)!

n n

n

zz

n

. 16. 1

1

1 0

4 6 (2 ) 3 2( 1)

13 13 3

n nn

n nn n

j j j z

z

.

17.

1

2 2 1 21 1 1

1 1 1 17( 1) 6 ( 1) 9 ( 1) 6 3

23 2 2 ! 3 2 ! 3 2 !

n n nZ

n n nn n nz n z n z n

2

3 , 3 0Z z . 18. 1

0

1 1 ( 2)( 1)

2( 2) 2 4

nn

nn

z

z

. 19.

1

2( 6)z

10

1 ( 6),0 6 6

2 6

n

nn

zz

.

20. 1

1 1

4 nn z

10

1

4 5

n

nn

z

. 21. 2 1

20

( 1) 32

( 2) (2 1)!

n n

nn z n

2 2

2 10

( 1) 3, 2 0

( 2) (2 1)!

n n

nn

zz n

.

201

22. 1

z

2 1

1

(2 )( 1) , 0

(2 )!

nn

n

zz

n

. 23. 2( 1)

e

z

1

e

z

0

( 1), 1 0

( 2)!

n

n

ze z

n

.

24. 4

0

, 0 33

n

nn

zz

. 25. 2

1 1

4z z

20

( 1) ,4

nn

nn

z

0 4z . 26. 2 1

1

1n

n z

.

27.

29

6 4z

2

0

411 1 ,

6

n

n

nn

z

0 4 6z . 28.

1

1

11

n

nn z

1

10

12

nn

nn

z

.

29. 1

1

5 11

6

nn

nn z

. 30.

2

2

6

3

n

nn z

.

Завдання 10

1. 10

9j . 2. 440 j . 3. 2 j . 4.

121 2

7j . 5.

2

3je . 6. 9 j . 7. 4 sin1j . 8. 2 sh1 cos1

sin1j . 9. sh3

9

. 10. 10 cos1j . 11. 2 j . 12. 2 sin1 cos1 1j . 13. 20 j . 14.

25

j .

15. 5 j . 16. . 17. 2sin3 3cos3j . 18. ch 4 3

2 ch14 4

j

. 19. 23

3

j. 20. (6 ch2)j .

21. 4 j . 22. j . 23. 4e j . 24. 0 . 25. 8

j . 26.

2sin1 cos1

3j . 27. 6 3 j . 28. 48

.15

e j

29. 2 j . 30. 4 j

.

Розділ 11. Операційне числення

Завдання 1

1.

2

1 1 1 3.

2 3 2 3 100

p

p p

2.

2 2 2

1 2 1 1 2.

4 2 442 4 2 4

p p p

pp p

3.

2

3

2 36p

2

1

2 4p

. 4.

2

1 1 1 5

2 5 2 5 4

p

p p

. 5.

2 2 2

5 1 1 5 1 5

4 2 4252 25 2 25pp p

.

6. 2 2

1 1

2 29 49

p p

p p

. 7.

2 2

1 2 1 2

2 22 16 2 4

p p

p p

. 8.

2

5

5 49

pe

p

.

9.

2 2

1 3cos4 sin 4 .

3 1 3 1

p

p p

10.

2 2

1 7 1 7.

2 27 49 7 49

p p

p p

11.

2

1 5

4 5 25p

2

1 5

4 5 25p

. 12.

2 2

2 3cos1 sin1

2 9 2 9

p

p p

. 13.

2 2

1 1 1 1

2 21 100 1 4

p p

p p

.

14.

2 2

1 3 1 3.

2 25 9 5 9p p

15.

2 2 2

1 1 1 1 1 1.

4 2 4110 1 10 1pp p

16.

2

1 5

8 10 25p

202

2 2

1 5 1 5

4 825 10 25p p

. 17.

4

2

3

3 9e

p

. 18.

2 2 2

1 6 1 1 6.

4 2 446 4 6 4

p p p

pp p

19.

4 3 2

3! 3 2! 3 1.

11 1 1 pp p p

20.

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 2 8 1 81 4 1 16

p p

p pp p

.

21.

1

2 2

1 1

2 21 9 1 9

e p e p

p p

. 22.

2 2

3 1 1 2 1 2

16 2 4 162 4 2 16

p p

p p p

.

23.

1

2 2

2 2

1 16 1 16

e e

p p

. 24.

2 2

3 1 3 1

4 42 1 2 9p p

. 25.

3 2

50 10 1

44 4 pp p

.

26.

21 21

1 20! 1 20!

2 27 7p p

. 27.

2 2

1 2 1 2

2 22 9 2 9

p p

p p

. 28.

2 22 2

7 7.

2 2

a a

p b a p b a

29.

2 2 2 2

1 2 1 2

2 22 2

p p

p m n p m n

. 30.

2 22 2

1 1

4 4

m m

p m m p m m

2 22 2

1 1

4 4

p m p m

p m m p m m

.

Завдання 2

1.

2 2

2 22 2 2 2

2cos sin .

9

p a pab b

p a p a

2.

2 2

2 2

5

25 1

p p

p p

. 3.

2 3

32 2

6 2ap a

p a

. 4.

2

22

1 100

2100

p

p

2

22

1 16

216

p

p

. 5.

3 2

32 2

2 6p a p

p a

. 6.

2 2

2 22 2

1 49 1 9

2 249 9

p p

p p

. 7.

2 2

2 22 2

w p w w p w

p w w p w w

.

8.

2 22 2

2 22 22 2

1 1

2 2

p a a p a a

p a a p a a

. 9.

2

2 22

9 7

99

p p

pp

. 10.

23

3 22 2

4 42 24

4 4

pp p

p p

2

4

4

p

p

. 11.

2

2 22

1 9

3 9

p

p p

. 12.

2

2 22

1 196

2 2 196

p

p p

. 13.

2

2 22 2

6 9cos4 sin 4

9 9

p p

p p

.

14.

2

2 22

1 1 16

22 16

p

p p

. 15.

3 2 2 2 2

3 2 2 22 2 2 2

2 62

p pn p n m pm

p np n p n

. 16.

2 2

2

24 20

1616

p

pp

.

17.

2 2

2

100 40

100100

p

pp

. 18.

23

3 2 22 2

4 1696 2 4

1616 16

pp p

pp p

. 19.

2 2

2 2

7 2 7 2

2 49 2 49

p p

p p

.

20.

2

2 22

1 16

2 16

p

p p

. 21.

2 2

2 22 2

5 4 4 51 1

2 25 4 5 4

p p

p p

. 22.

2

22

p a b

p b a

203

2 2 22 222

1 1

2 2

p a b a b b a

p a b p b ap a b

. 23.

2 3 2

3 2 2 22 2 2 2

6 2 4p b b apb a b

p bp b p b

.

24.

2 2

2 22 2

7 49 7 491 1

2 27 49 7 49

p p

p p

. 25.

2 2

2

8 1

516

p

pp

. 26.

2 2

2 2

2 5 2 5

5 4 5 4

p p

p p

.

27.

2

2 22

3 36

36 36

p p

p p

. 28.

2

2 2 22

1 5 4 5

2 2 44

p p

pp pp

. 29.

2

2 2 22

5 1 5 1 4

2 2 22 4 4

p p

p p p p

.

30.

2 22

1 40

2 16

p

p p

.

Завдання 3

1. 2

1 1

2 2 4

ap appe e

p p

. 2.

5

11

10!

1

pep

. 3. 4

4

3! pep

. 4. 2 2

1 1

2 264 4

ap app pe e

p p

.

5. 2

2

3

9

pep

. 6.

2 2

1 1 1 1

2 21 1 1 1

ap app pe e

p p

. 7. 5 5

2

1 1

2 2 4

p ppe e

p p

.

8.

2

1

1 1

b bppe e

p

. 9. 8 21

4

pe ep

. 10.

3

2

1

3 1

a ape ep

. 11. 4 4 4

3 2

2 8 16p p pe e epp p

.

12.

4 2

2

3

2 9

pe ep

. 13.

3

2

1

1 1

pep

. 14.

10 2

2

5

5 25

ppe e

p

. 15.

2

2

1

1 1

ppe

p

.

16.

23

2 22

1 3

11

pp pe

pp

. 17.

2

1

1 1

ppe

p

. 18.

2

2 22

8 8

1616

ppe

pp

. 19.

2

2

3

3 9

pep

.

20.

2

2 22

4 4

44

ppe

pp

. 21.

2 2

1 5 1 5

2 25 9 5 9

pp pe

p p

. 22.

2 2

2

1

1

pe ep

.

23.

2 2

1 6 1 6

2 26 25 6 25

pp pe

p p

. 24.

10 2

2

5

5 1

ppe e

p

. 25.

2 2

1 1

3 16 3 16

pep p

.

26.

2

2

2

2 9

ppe e

p

. 27. 3

3 2

2 2 1 pepp p

. 28. 2 2

4 1

64 4

apep p

. 29. 5

2

4 8 pepp

.

30. 2

2 2

5cos10 sin10

25 25

ppe

p p

.

204

Завдання 4

1. 2 2 4

2 2

1 2 1 1

2 2

ap ap ape e ep p ap ap

. 2. 2 2

2 2 2

1 1 2 1 1ap ap ape e ep pap ap ap

. 3. 2

1

ap

2

2 2

1 2 1 1ap ap ape e ep pap ap

. 4. 2 3bp bp bpa a a ae e e

p p p p

. 5. 2 2

1 1 apeap ap

2 2

1 1.ap bpe e

b a p b a p

6. 2

2 2 2

1 1 1 4 2ap ap ape e ep pap ap ap

. 7. 2

1 1

pap

2 2

2

1 1ap ape epap

. 8. 2 2

1 1 2bp bpa a a ae e

b p b pp p

. 9. 221 1 bp bpaa

e ep p p

32 bpep

. 10. 3

2 2

1 1 1ap ape ep ap ap

. 11. 2 2

2 2

1 1

2 2

bp bpa a a ae e

b p b pp p

. 12. 1 apep

42 apep

. 13. 3

2 2

2 2 1 2 1ap ape ep a ap p

. 14. 2 2 2

2 2 2 1 2 1ap bpbe e

p a b a b aap p p

2 bpep

. 15. 3 3 6

2 2 2

1 1 2 1 1

3 3 3

bp bp bpe e ep pbp bp bp

. 16. 2 3 52 2 1 1bp bp bpe e ep p p p

.

17. 2

2 2

1 1 1 1bp bp bpe e ep pbp bp

. 18. 2 3

2 2

2 1 2 1 bp bp bpa a a ae e e

b b p pp p

. 19. 2

1 1 bpep bp

. 3 3

2

2 1 1bp bp bpe e ep pbp

20. 2

2 2

2 2 2 apepap ap

. 21. 2

2 2 2

2 2 2 2ap ap ape e epap ap ap

3

2

2 apeap

. 22. 2

2 2

2 2 2 2 2bp bp bpe e ep p pbp bp

. 23. 2

2 2

1 1 3

2

bp bp bpe e epbp bp

4

2

1

2

bpebp

. 24. 2 2

1 1 bp bpa a ae e

b b pp p

. 25. 2 32 2 6 2bp bp bpe e ep p p p

. 26. 2

1

bp .

2 3

2 2 2

1 2 1 1bp bp bp bpe e e epbp bp bp

. 27. 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2ap ap ape e epap ap ap ap

32 apep

. 28. 3 3

2 2

1 1 2 1 2bp bp bp bpe e e ep p pbp bp

. 29. 2 4

2 22

ap apb b be e

p ap ap

6

22

apbe

ap

. 30. 2 6

2 2 2

2 2 5 1

2 2

ap ape epap ap ap

.

Завдання 5

1. 2

2 2 2 2

1 1 2

1

bp bp bp

bp

A e e e

p pe bp bp bp

. 2. 2

2 2 2

1 2 1

1

bp bp

bp

e e

p pe bp bp

. 3. 1 pT

A

e

2 2

1ap ape e

p ap ap

. 4. 1

1

ap

pT

A e

p pe

. 5. 3

3 2 2

1 2 2 2 4

1

bp bp bp

bp

e e e

p pe bp bp

205

32 bpe

p

. 6.

2 3 4

41

bp bp bp bp

bp

Be e e e

p e

. 7.

3 4

2 4

11

1

ap ap ap

ape e e

ap e

.

8. 3

3 2 2

1 4 2 2 2

1

ap ap ap

ap

e e e

p pe ap ap

. 9. 2 2

2 2 2

1 1

1

bp bp

bp

B e e

p pe bp bp

.

10. 2

2 2 2

1 2 2 2

1

bp bp bp

bp

e e e

p p pe bp bp

. 11. 2 2

2 2 2

1 2 2 2

1

ap ap ap

ap

e e e

pe ap ap

.

12. 2

4 2 2 2

1 2

1

ap ap

ap

A e e

e ap ap ap

. 13. 2 4 2

4 2 2

1 1 2 2 2

1

ap ap ap

ap

e e e

p p pe ap ap

.

14. 2

2

1 3

21 2

bp bp

bp

B e e

p pe p

. 15. 2

3 2 2

1 2 2 4 2

1

ap ap ap

ap

e e e

p pe ap ap

. 16. 2

1

1 bpe

22 bp bpa ae ae

p p p

. 17. 2 3

3 2 2 2

1 1 1 2

1

bp bp

bp

e e

pe bp bp bp

. 18. 3

4 2 2

1 1

1 3 3

ap

ap

e

e ap ap

3 42 ap ape e

p p

. 19. 2

2 2 2

1 1

1

bp bp

bp

e e

pe bp bp

. 20. 2 2 2

1 1

1

bp

bp

B e

pe bp bp

2bp bpe e

p p

. 21. 2 3

3 2 2

1 2 2 2 2

1

ap ap

ap

e e

p pe ap ap

. 22. 4

4 2 2 2

1 4 2 2

1

ap ap

ap

e e

e ap ap ap

3

2

4 ape

ap

. 23. 2 2 3

3 2 21

bp bp bp bp bp

bp

a e e e e e

p p pe bp bp

. 24. 41 ap

b

e

2 3

2 2

2 1

2 2

ap ape e

p pap ap

. 25.

2

2 2

1 2

1

bp bp

bp

B e e

bp e

. 26.

3 2 2

1 1

1

ap

ap

A e

pe ap ap

.

27. 2 3

3 2 2

1 2 2 2

1

ap ap ap

ap

e e e

pe ap ap

. 28. 3 3

3 2 2

1

1

bp bp bp

bp

B e e e

p pe bp bp

.

29. 2

3 2 2 2

2 1.

1

bp bp

bp

A e e

e bp bp bp

30. 2 4

4 2 2 2

1 1 2

1

p p

p

e e

e p p p

.

Завдання 6

1. 1 7

ln2 7

p

p

. 2. ln

3

p

p . 3.

2 361ln

2

p

p

. 4.

6ln

5

p

p p

. 5.

2 36ln

p

p

. 6.

2

2

1 16ln

2 100

p

p

.

7. 2

ln arctg2 8

p p

p

. 8.

7ln

2

p

p p

. 9.

2

2

1 256ln

4 64

p

p

. 10.

5ln

p

p

. 11.

2

1 5 3ln

2 5 9

p

p p

.

206

12. 1

arctg2 7 4

p

p

. 13.

2 4ln

4

p

p

. 14.

2

2

10

25p

. 15. 2 2

1 1 1

2 196p p

. 16. 1 1

ln2 9

p

p

.

17. 3 2

1

6 10p p p . 18.

4 24 100ln

1

p p

p

. 19.

1 4arctg ln

2 5 2 4

p p

p

. 20.

2

2

20

100p

.

21.

11

10!

2p p . 22.

2

1ln

3

p

p p

. 23.

2ln

5 2

p p

p p

. 24.

2

2 22

9 1

99

p

pp p

. 25.

2

3 22

1 64

2 2 64

p

p p

.

26. 2

2

1 25ln

2 9

p

p

. 27.

3 2

3

6 45

p

p p p

. 28.

2ln

36

p

p

. 29.

2

2

20

100p

. 30. 3

7

49p p.

Завдання 7

1. 25 4

p

p p . 2.

2 1 7

p

p p . 3.

23 49

p

p p . 4.

8 2

7! 7

49p p

. 5.

2

3

5 9F p

p p

.

6.

2

2 29 49

p

p p . 7.

2 2

5

25 100

p

p p . 8.

2

8

1 64p p . 9.

2

2 21 49

p

p p .

10.

2 2

10

25 100

p

p p . 11.

11

10!

5p p. 12.

2 2

35

49 25p p . 13.

7 2

6! 2

4p p

.

14.

9 2

8! 5

25p p

. 15.

2

6

3 36p p . 16.

12 2

12!

4p p . 17.

2

1

4p p . 18.

2 100 5

p

p p .

19. 6

5!

7p p

. 20.

6 2

6!

25p p . 21.

2 2

2

9p p . 22.

2 21 49

p

p p . 23.

2 2

6

36 25

p

p p .

24.

12 2

11! 3

9p p

. 25.

2

4

16 7p p . 26.

7

6!

8p p . 27.

2

1

25p p

. 28.

28 16

p

p p .

29.

2 2

45

9 225p p . 30.

7 2

7!

64p p .

Завдання 8

1. 5 1 15 1

1 16 6

t te t e t . 2.

32ch 7 2 2 sh 7 2 2

7t t t t .

3. 5 2 27

2 2120

tt e t

. 4.

4 47 13 3

24 6t t t . 5.

1 5 11 11 1

4 4

t te t e t

.

207

6. 2 31sh 3 3 3

3

te t t

. 7. 2

sin 10 5 5 cos 10 5 510

t t t t .

8. 5ch3 1 1t t . 9.

3454 4

6

te t t

. 10.

83cos 7 4 4 sin 7 4 4

7t t t t .

11. 22 2cht t . 12.

4 4ch3

9 9t . 13.

10 10sin 7

7 7 7t t . 14. 75 5 5

7 56 8

t te e .

15. 38 8 8

3 9 9

tt e . 16. 1 1

sin69 54

t t . 17. 4 23 1 1

8 8 4

t te e . 18. 27 7cos5

29 29

te t

214sin5

145

te t . 19. 3 2 211 11 11 11 11

12 8 8 16 16

tt t t e . 20. 2 21 1 2

cos3 sin313 13 39

t te t e t .

21. 1 1

cos sin2 2

t t t . 22. 4 4

sh39 27

t t . 23. 3 22 2

5 5

t te e . 24. 2 1

sin 2 sin3 3

t t . 25. 2 1

sin 2 sh5 5

t t .

26. 1 1

cos3 cos25 5

t t . 27. 2 3 32 1 1

5 2 10

t t te e e . 28. 2 3t te e . 29.

2 21 1

3 3

t t te te e .

30. 22 2 2

9 3 9

t t te te e .

Завдання 9

1. 1 1 3

cos2 sin24 4 4

t t te e t e t . 2. 1 1

ch2 2

t tte te t t . 3. 43 12 12

5 25 25

t t tte e e .

4. 23 1 2 1

4 2 3 12

t tt e e . 5. 2 21 3 5

2 8 8

t tt e e . 6. 3

cos2 sin 22

t t te e t e t . 7. 21 52

2 2

t te e .

8. 2 2 2 21

3 2 32

t t t t tt e e te te e . 9. 1 1 1

cos2 2 2

t tte t e . 10. 21 1 1cos 3 sin 3

3 3 3

t t te e t e t .

11. 2 31 1 1 1

.8 16 64 64

t t t tt e te e e 12. 2 24 4 3

cos sin5 5 5

t te t e t . 13. 1 1 1

cos2 2 2

t te te t .

14. 2 21 1 1 11 ch 1

2 2 2 2

t tt e e t t . 15. 1

sin 2 sin3 .3

t t 16. 2 21 1 3 1

4 2 4 2

t tt te e .

17. 37 7 81

cos5 sin534 34 170

te t t . 18. 3 6 3 6t tte e t . 19. 21

3 32

tt t e . 20. 1

3

te

1 1

2 21 3 3 3

cos sin3 2 3 2

t te t e t . 21. 31 1

12 2

t te e . 22.

1

21 1 1 1

4 2 5 2

t

t e t

1 1 1 1 1 1cos2 sin2

20 2 2 10 2 2t t t t

. 23. 21 1 1

1 1 1 ch2 1 18 16 16

t t t t t .

24. 4 2cos sint t t . 25.

1 1

2 21 1 3 3 3

cos sin3 3 2 3 2

t tte e t e t

. 26.

31 11

2 2

t te e .

27. 3 32 2 33 cos2 3 3 sin2 3 3

5 5 10

t tt e t t e t t

. 28.

3 31 1sin sin 2

3 6

t te t e t .

208

29. 1 1

cos cos38 8

t t . 30. 2 21 1 3cos sin

2 2 2

t t te e t e t .

Завдання 10

1. sint t . 2. 1 3 1

sin4 4 2

t te e t . 3. 21 11

3 3

t tt e e . 4. 32 4 13 1

3 7 14 2

t tt e e .

5. 1 1 3

1 cos sin2 2 2

te t t . 6. 3 21

2 3 33

tt t t e . 7. 21 1 2 1cos sin

2 10 5 5

te t t .

8. 2 2t tt te e . 9. 2t t tte e e . 10. 3 21

2 3 33

tt t t e . 11. 3 1 1

2 4 4

t t tte e e .

12. 1 1,2 0,88 0,12cos2 0,16sin2t tte e t t . 13. 2 31 4 8

3 5 15

t te e . 14. 1 1

cos2 sin 25 2

t t

1cos3

5t . 15.

2 4 6 5t tt t te e . 16. cos cost t t . 17. 1

sin 2 2 cos2 3cos22

t t t t .

18. 23 7 1

2 3 6

t tt e e . 19. 21

12

t t tt e te e . 20. 1 1 1

sin2 cos2 cos44 12 12

t t t t .

21. 1 1 1

2cos sin4 4 2

t te e t t . 22. 2 27 1 1

8 4 2

te t t

. 23. 1 1

cos2 cos3 3

t t . 24. 4 13 10 tt te

12 te . 25. sin 2 2sin 22

tt t . 26.

24 8 89 2cos3 sin3

9 81 81 3t t t . 27.

1

2 21 2 1

cos sin10 5 5

te t t .

28. 2 3t tt te e . 29. sin 2cos2 sin2t t t . 30. sin 2 sin 24

tt t .

Розділ 12. Кратні інтеграли та їх застосування

Завдання 1

1.

22

2

4-1 3 2 4- 3

0 0 1 0 0

3

( , ) ( , ) ; ( , ) ;

yx x

y

dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx

2.

2 2 6

2 0 5 52

50 3 03

2

( , ) ; ( , )

xy

x

dx f x y dy dy f x y dx

2 6

2 5 5

0 2

( , ) .

y

y

dy f x y dx

3.

22 8

0

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

282 2 2

0 0 2 0

( , ) ( , ) .

yy

dy f x y dx dy f x y dx

4.

1 1

0 0

( , )dx f x y dy

1

1 ln

( , ) ;

e

x

dx f x y dy

1

0 0

( , ) .

ye

dy f x y dx 5.

22 2

1

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

2 21 2

2 1 2

( , ) ( , ) .

y y

y y


6.

2

2

1 2

1

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

2

2

21 2

0 1 2

( , ) ( , ) .

y y

y y


7. 2

2

1 2

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

21

2 2

( , )

y

y

dy f x y dx

209

22

1

( , ) .

y

y

dy f x y dx

8.

1 3 3 3

0 1 1

( , ) ( , ) ;x

dx f x y dy dx f x y dy 3

1 0

( , ) .

y

dy f x y dx

9.2

1 2

0

2

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

2 2

12 2 12

10

22 2

( , ) ( , ) .

y

y y

dy f x y dx dy f x y dx 10.

2

3 2

92

0

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

3 2

2

0 0

( , )

y

dy f x y dx

293

03 2

2

( , ) .

y

dy f x y dx

11.

1 2 2

2 12 2

( , ) ( , ) ;

x x

x x


221

2

( , ) .

y

y

dy f x y dx

12.

21 2 2

0 0 1 0

( , ) ( , ) ;

x x


2

2

21

0

( , ) .

y

y

dy f x y dx

13.

6lg10 12 2

1 0 10 0

( , ) ( , ) ;

x

x


12 21

0 10

( , ) .y

y

dy f x y dx

14.

1 3

3

( , )x

dx f x y dy

0 3

1 1

( , ) ;dx f x y dy

3 0

1

( , ) .y

dy f x y dx

15. 2

1 0 0 0

12 2

( , ) ( , ) ;xx


2

0

1 2

( , ) .

y

y

dy f x y dx

16.

2 22 6 6

0 0 02

( , ) ( , ) ;

x x


262

0

( , ) .

y

y

dy f x y dx

17.

1 2 2

2 12 2

( , ) ( , ) ;

x x

x x


2

1

2 2

( , ) .

y

y

dy f x y dx

18.

21 4

0 0

( , ) ;

x

dx f x y dy

243 1 2

0 0 03

( , ) ( , ) .

y


19.

21

2 0

( , ) ;

x

dx f x y dy

1 1 4

0 2 1 2

( , ) ( , ) .

y


20.

2

2

2

0 6

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

262 0

0 2 06

( , ) ( , ) .

y y


21.

23 4 0 1 1 1

2 0 0 03

( , ) ( , ) ( , ) ;

x

x

dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy

2

1

0 4

( , ) .

y

y

dy f x y dx

22.

1 4

4

( , )x

dx f x y dy

0 4

1 1

( , ) ;dx f x y dy

4 0

1

( , ) .y

dy f x y dx

23.

23 6

2

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

6 62 6

3 2 6

( , ) ( , ) .

y y

y y


24.

20 4

2 0

( , ) ;

x

dx f x y dy

44 0 8

0 2 4 2

( , ) ( , ) .

y


25. 2

2 1 3 1

0 0 2 1 ( 3)

( , ) ( , ) ;

x


23 11

0 0

( , ) .

y

dy f x y dx

26.

2

3

3 92

30 0 0

2

( , ) ( , ) ;

x x


2

3

92

0

( , ) .

y

y

dy f x y dx

27.

2

0 0

( , )

x

dx f x y dy

36 2

2 0

( , ) ;

x

dx f x y dy

6 22

0

( , ) .

y

y

dy f x y dx

28.

0 3

3

( , )x

dx f x y dy

3

3 32

0

( , ) ;

x

x

dx f x y dy

13 3

3

2

( , ) .

y

y

dy f x y dx

29.

1

2

1 log

1 22

10 1 1

2

( , ) ( , ) ;

x


1

21

1 0

( , ) .

y

dy f x y dx

30.

23 1 2 4

0 0 03

( , ) ( , ) ;

x


241

0 0

( , ) .

y

dy f x y dx

210

Завдання 2

1. 29

60. 2.

32

5. 3.

16

3. 4.

1523,5ln 2

4 . 5.

37

60. 6.

1

60 . 7.

45

4. 8.

1

2. 9. 207 . 10.

2

3 . 11.

1

28 .

12. 1

4. 13.

88

105. 14. 16 . 15.

6204

35. 16.

8

15. 17.

17

240 . 18. 0 . 19.

1250

3 . 20.

224

15 . 21.

108

7.

22. 1

15. 23.

5

4. 24.

8192

21. 25.

1

6 . 26.

3

8. 27.

9

4. 28.

216 3

35. 29.

16 2

7. 30.

1

2.

Завдання 3

1. 27

64. 2.

19

96 . 3. 0 . 4.

211

40. 5.

31

40. 6.

3

128. 7.

3

8 . 8.

77

9. 9. 3,5 . 10. 84 8 . 11. 6 13 .

12. 60 26 . 13. 10 . 14.21

10. 15. 5 . 16. 2 . 17. 2 2 . 18. 6 3 . 19. 0. 20. 0,25. 21. 0. 22.

148

9. 23. 0.

24. 0. 25. 0. 26. 14

. 27. 0. 28. 0 . 29. 1

4

. 30. 0.

Завдання 4

1. 5

18. 2.

43

96. 3.

675

4. 4.

29

140. 5.

152

3. 6.

118

3. 7.

11

60. 8.

52

15. 9. 64 . 10. 3 . 11. 16 . 12.

65

12. 13. 4 .

14. 264 2

105. 15.

303

20. 16.

49

60. 17.

11

4. 18.

52

15. 19.

68

15. 20.

1

4. 21.

704

3. 22.

4

9. 23.

8

15. 24.

256

15.

25. 3

2

. 26.

32 2

15. 27.

256

15. 28.

7

12. 29.

1

12. 30.

36 3

5.

Завдання 5

1. 16

5

. 2.

2

10. 3.

1555

12

. 4. 128 . 5.

32

3

. 6.

15

2

. 7. 4 8 . 8.

11648

9 . 9.

2

15

. 10.

4096

3

.

11. 81

5 . 12.

64

35

. 13.

64

3

. 14. 36 . 15.

256

3

. 16. 2 . 17.

272

15

. 18.

244

3. 19. 81 . 20.

315

8.

21. 13

18

. 22.

64

45. 23.

3412

20 . 24.

1024

45. 25. 20 . 26. 8 . 27.

63

24

. 28. 32 . 29.5 . 30.

81 2

4

.

Розділ 13. Криволінійні та поверхневі інтеграли

Завдання 1

1. 5 ln2 . 2. 3

4

a. 3.

38 2

3

a. 4.

5 3ln

2

. 5. 24 . 6. 27 . 7. 4a a . 8. 5 2 . 9. 5 ln2 .

10. 315 1

3 . 11.

2 2

3

ab a ab b

a b

. 12.

2

. 13.

2

2. 14.

34 16 . 15. 56 7 1

54

.

211

16. 2 2 2

arctga b b

ab a

. 17. 24 . 18.

32 212 1 4 1

. 19.

18 3 3

3 . 20.

10 5ln

4 3. 21. 12 .

22. 19

3. 23. 13

12

e . 24. 2

. 25. 16 . 26.

3

5. 27. 0 . 28.

215

27. 29. 42

3a . 30. 21

ln 14

.

Завдання 2

1. 2

( )2

l L

, 2

cx

, 2

cy

, 4

cz

. 2. ( )l L , 4

cx

, 4

cy

, 3cz . 3. 3

( )2

l L , 2

5cx ,

2

5cy , 1cz . 4.

9( )

2l L ,

6

5cx ,

6

5cy , 3cz . 5.

5( )

2l L

,

2cx

,

2cy

, 1

2cz

.

6. ( ) 2l L , 4

cx

, 4

cy

, 12

cz

. 7. 3

( )2

l L , 2

5cx ,

2

5cy , 1cz . 8.

5( )

2l L

,

4cx

, 2

4cy

,

4cz

. 9.

2( )

2l L

,

4cx

,

2cy

,

2cz

. 10. ( ) 2 5l L ,

2cx , 0cy , 0cz . 11. 2

( )3

l L

, 12 2 3

cx

,

12cy

, 0cz . 12.

13( )

6l L

,

9 3 2

cx

,

9cy

, 1

6cz

. 13.

9( )

8l L , 1cx ,

31

60cy ,

3 3

20cz . 14. ( ) 3l L ,

2 2 8

5cx

,

2 2

5cy , 3cz 15. ( ) 2 2l L ,

4cx

, 0cy , 2cz . 16.

8 5

3.

17. 13 2

3. 18.

17 2

3. 19.

16

3. 20.

9 3

2. 21.

13 5

3. 22.

16 3

3. 23.

71 6

6. 24.

47 3

6. 25.

47 3

6.

26. 103 5

6. 27.

31 5

3. 28. 5 5 . 29. 3 2 . 30. 4 2 .

Завдання 3

1. 18. 2. 4 . 3. 7.5 . 4. 12 . 5. 2 . 6. 2. 7. 0 . 8. 0 . 9. 16

3. 10.

23

2

a . 11.

1

2. 12.

4

3 .

13. 4

2

R. 14.

4

2

R. 15. 0 . 16. 4 . 17. 9 . 18. 2 . 19. 32 . 20. 32 . 21. 1 . 22. 22 R . 23. 8 .

24. 3 . 25. 2 . 26. 50 . 27. 18 . 28. 6 ab . 29. 0 . 30. 2 ab .

Завдання 4

1. 13 . 2. 91 . 3. 7 . 4. 364

3

. 5.

11

6. 6.

23

2. 7.

91

60. 8.

2 22 a h . 9. 140

3. 10. 4

8

. 11.

95

3.

12. 95

3. 13.

3 28 24 3

6

. 14.

11

10. 15.

17

3. 16.

7

6. 17. 1. 18.

31

2. 19.

49

2. 20.

1

35. 21.

1

6.

22. 26

3. 23.

28 . 24. 14

. 25.

85

3. 26.

10

7. 27.

39

2. 28. 3. 29.

41

2. 30. 23.

212

Завдання 5

1. 3

120. 2.

2 2

3 . 3.

62

3 . 4.

3

4. 5. 3R . 6.

2 6 3 1

15

. 7. 3 ln2 0,5 . 8. 6 11 . 9. 9 .

10. 4

3

. 11. 54 14 . 12. 3 . 13. 4 2 . 14. 13 14 . 15. 42

3R . 16. 2 2 . 17.

128

15

. 18. 4 3 .

19. 2a . 20. 149

15 . 21. 22 R . 22.

3

2 3

a. 23. 2

2R

. 24. 8 6 . 25.

2 2 1, ,

5 5 5

. 26. 2 4 4

, ,3 3 3

.

27. 14 61

3. 28.

32 2

3

. 29.14 . 30. 4 .

Розділ 14. Теорія поля

Завдання 1

1. Гармонічне векторне поле; sin 2 ; .x yU M e z c c 2. Гармонічне векторне поле;

3 cos2 ; .x yU M e z c c 3. Гармонічне векторне поле; 2sin cos ; .yU M xe z c c

4. Гармонічне векторне поле; 2 21 110 ; .

2 2U M x xy yz z z c c 5. Гармонічне век-

торне поле; 2 2 21 33 4 ; .

2 2U M x xy xz y zy y z c c 6. Гармонічне векторне поле;

2 21 sin5 ; .x yU M e z c c 7. Гармонічне векторне поле; 2 2U M y z

2 2 1 3 2 ; .x y z y z c c 8. Гармонічне векторне поле; 2 2 21 3

2 2U M x y z

1 2 2 ; .x y z y z z c c 9. Гармонічне векторне поле; sin ;xU M ye z c

.c 10. Потенціальне векторне поле; 21 cos 2 ; .xU M z e y c c 11. Гармонічне

векторне поле; sin ; .xU M e y z c c 12. Гармонічне векторне поле;

sin ;yU M xe z c .c 13. Гармонічне векторне поле; sin ; .xU M e z y c c

14. Потенціальне векторне поле; 21 cos 2 ; .xU M z e y c c 15. Гармонічне векторне

поле; sin ;xU M ze y c .c 16. Гармонічне векторне поле;

2 2 2 2 1 3 2 ; .U M x z x z y z x c c 17. Гармонічне векторне поле;

2 2 20,5 1,5 1 2 1 ; .U M x y z x z y z x z c c 18. Гармонічне векторне поле;

2 2 20,5 1,5 1 2 1 ; .U M x z y y z x y z y c c 19. Гармонічне векторне поле;

2 2 2 2 1 3 2 ; .U M z y x z y z y c c 20. Гармонічне векторне поле;

sin ; .yU M xe z c c 21. Потенціальне векторне поле; 21 cos 2 ; .xU M y e z c c

22. Потенціальне векторне поле; 31 sin 3 ;zU M y e x c .c 23. Гармонічне векторне

поле; 2 2 2 2 1 3 2 ; .U M z x y z x z x c c 24. Гармонічне векторне поле;

2 2 21,5 0,5 1 2 2 ; .U M y x z z x y y x x c c 25. Потенціальне векторне поле;

213

3 4 5 212 0,25 0,2 2,5 ; .

3U M x x y y z z c c 26. Потенціальне векторне поле;

3 2 4 2 210,5 0,75 0,5 0,5 4 ; .

3U M x x y y z z c c 27. Потенціальне векторне поле;

21 cos 2 ; .xU M y e z c c 28. Потенціальне векторне поле; 40,25U M x

3 3 2 31 1 1 1; .

3 3 2 3x y y z z c c 29. Потенціальне векторне поле; U M

31 sin 3 ; .zy e x c c 30. Гармонічне векторне поле; 2 22,5 1,5U M x y

24 4 1 2 ; .z x z y y z z c c

Завдання 2

1. 1/ 2 . 2. 0 . 3. 1. 4. 2 . 5. 1. 6. 1. 7. 1. 8. 4. 9. 5/ 2. 10. 1,5. 11. 0,5. 12. 13/ 2. 13. 0.

14. 2. 15. 15. 16. 2. 17. 6. 18. 2. 19. 3. 20. 16,5. 21. 10,5. 22. 11. 23. 24. 24. 20. 25. 2,5.

26. 2. 27. 1. 28. 0. 29. 12. 30. 7.

Завдання 3

1. 0,5. 2. 1/6. 3. 1. 4. 2/3. 5. 10/3. 6. 2/3. 7. 2/3. 8. 1/3. 9. 1. 10. 3. 11. 3,5. 12. 0. 13. 0. 14. 0. 15. 2/3.

16. 6. 17. 1. 18. –12. 19. –1. 20. 3. 21. 3. 22. 4/3. 23. 40/3. 24. 0. 25. 0. 26. 0. 27. 4/3. 28. 4/3. 29. 4.

30. 1/3.

214

Список літератури

1. Араманович И. Г. Функции комплексного переменного. Опера-

ционное исчисление.Теория устойчивости / И. Г. Араманович, Г. Л. Лунц ,

Л. Э. Эсгольц. – М.: Наука, 1970.

2. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа /

А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – М.: Наука, 1973.

3. Будак Б. М. Кратные интегралы и ряды / Б. М. Будак , С. Р. Фо-

мин . – М.: Наука, 1969.

4. Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения.

Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного /

Я. С. Бугров, С. М.Никольский. – М.: Наука, 1985.

5. Высшая математика в примерах и задачах : учеб. пособие / под

ред. Ю. Л. Геворкяна. – Т. 2. – Х.: НТУ «ХПИ», 2005.

6. Геворкян Ю. Л. Функции нескольких переменных. Дифференци-

альные уравнения / Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина. – Х.:

ХГПУ, 1999.

7. Геворкян Ю. Л. Ряды / Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев,

Н. А. Чикина. – Х.: ХГПУ, 2000.

8. Геворкян Ю. Л. Краткий курс высшей математики / Ю. Л. Ге-

воркян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина. – Ч. 2. – Х.: НТУ «ХПИ», 2010.

9. Гусак А.А. Ряды и кратные интегралы / А.А. Гусак. – Минск:

Издательство БГУ, 1970.

10. Дорошенко Н. К. Ряди / Н. К. Дорошенко, В. Ф. Мясникова. – Х.:

НТУ «ХПІ», 2006.

11. Краснов М. Л. Функции комплексного переменного. Операцион-

ное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения) / М. Л. Крас-

нов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М.: Наука, 1981.

12. Краснов М. Л. Векторный анализ (задачи и упражнения) / М. Л.

Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М.: Наука, 1978.

13. Никольский С. М. Курс математического анализа / С. М. Николь-

ский. – Т. 2. – М.: Наука, 1991.

14. Овчинников П. П. Вища математика / П. П. Овчинников, Ф. П.

Яремчук, В. М. Михайленко. – Ч. 1, 2. – К.: Техніка, 2007.

15. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление

для втузов / Н. С. Пискунов. – Т.2 – М.: Наука, 1985.

16. Свешников А. Г. Теория функций комплексного переменного /

А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. – М.: Наука, 1970.

17. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – Т. 2, 3. – М.: Наука, 1969.

215

ЗМІСТ

Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Розділ 8. Диференціальні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Розділ 9. Ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Розділ 10. Теорія функцій комплексного змінного . . . . . . . . . . 65

Розділ 11. Операційне числення . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Розділ 12. Кратні інтеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Розділ 13. Криволінійні і поверхневі інтеграли . . . . . . . . . . . 141

Розділ 14. Теорія поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Відповіді . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Список літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Навчальне видання

ЧІКІНА Наталія Олександрівна

КОБІЗСЬКА Людмила Трохимівна

КРУПКА Валентина Дмитрівна

та інші

ЗБІРНИК

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНИХ ЗАВДАНЬ

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

У двох частинах

Частина 2

Роботу до видання рекомендувала проф. Л.В. Курпа

В авторській редакції

Комп'ютерна верстка: О.В. Фоміна

План 2010, поз. 127

Підп. до друку 04.04.12 р. Формат 60×84 /16. Папір офісний. Riso-друк.

Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 12,6. Наклад 300 прим. 1-й з-д 1-150.

Зам. № 31. Ціна договірна

________________________________________________________________________

Видавець і виготовлювач

ТОВ «Видавництво «Підручник НТУ “ХПІ”»,

вул. Фрунзе, 21, м. Харків-2, 61002

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3656 від 24.12.2009 р.

ЗБІРНИК РОЗРАХУНКОВО ГРАФІЧНИХ...

Documents