地基与基础工程地基与基础工程Soil Mechanics and Foundation EngineeringSoil Mechanics and Foundation Engineering

基本内容： 掌握土中两种应力（自重应力以及各种荷载条件下的土中附加应力）计算方法。学习基本要求 ◆掌握土中自重应力计算； ◆掌握基底压力和基底附加压力分布与计算； ◇掌握矩形面积均布荷载、 矩形面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法；

地基中应力计算第二章

• 2.1 土自重应力的计算• 2.2 基底压力的计算• 2.3 荷载作用下地基附加应力计算

假设地表面是无限延伸的水平面，在深度 z 水平面上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面和水平面上均无剪力存在，故地基中任意深度 z 处的竖向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。

§ 2.1 土自重应力的计算 一、竖向自重应力

竖向自重应力： sz = z

自重应力数值大小与土层厚度成正比当地基有多个不同重度的土层组成时，则任意深度处的竖向自重应力可按应力叠加的方法求得：

天然地面

cz

cx

cy 11

z

zcz

z

cz

σcz= z

土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量

天然地面z1

z2

z33

2

1

水位面

1 z1

1 z1 + 2z2

1 z1 + 2z2 + 3z3

说明：1.地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层考虑浮力作用采用浮重度2.非均质土中自重应力沿深度呈折线分布

n

innc izizzz

12211 ......

土当地基由多个不同重度的土层（成层土）时：

czcycx K 0cz

cx

cy zcz

静止侧压力系数是小于 1 的系数，一般在 0.5左右

天然地面

z

二、水平向自重应力土在自重作用下 不仅产生竖向自重应力，同时也产生水平自重应力。其水平自重应力的数值大小是随着竖向自重应力 变化而变化。

2

自然界中的天然土层，一般形成至今已有很长的地质年代，它在自重作用下的变形早巳稳定。但对于近期沉积或堆积的土层，应考虑它在自应力作用下的变形。地下水位下降浮力消失自重应力增加该自重应力相当于大面积附加均布荷载能引起下部土体产生新的变形，属于附加应力。地下水位升降对自重应力的影响

（ a) 地下水位下降；（ b) 地下水位上升

三、地下水位变化对自重应力的影响

例 2-1 ：某地基土层剖面如图所示，试计算各土层自重应力分布图。【解】 2

11cz mkN857=50×715=zγ=σ /...填土层底

22211cz mkN7516=50×817+857=zγ+zγ=σ /....地下水位处

( ) 2

332211cz

mkN41.05=3×10118+7516=

zγ′+zγ+zγ=σ

/.. －

粉质黏土层底

2cz 1 1 2 2 3 3 4 4z z z z 41.05 16.7 10 7 87.95kN / m －

( )( )

2

43w44332211cz

mkN187.95=7+3×10+87.95=

z+zγ+zγ′+zγ′+zγ+zγ=σ

/

不透水层层面

mkN266.35=4×19.6+95187=σcz /.钻孔底

kN/m2

7.85 16.75

41.05

87.95 187.95

266.35

淤泥层底

§ 2.2 基础底面压力 基地压力：建筑荷载在基础底面上产生的压应力，即基础底面与地基接触面上的压应力。

基底附加应力基底压力分布规律

基底压力简化计算

地基反力：地基支撑基础的反力。

大小相等、方向相反的作用力与反作用力

分析地基中 应力、变形 及稳定性的外荷载 计算基础结 构内力的外荷载

重要的工程意义

建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）

一、基底压力的分布规律

地基土性质

（ 2 ）接触压力的大小影响因素地基和基础的刚度荷载大小基础埋深

1 、（ 1 ）基底接触压力的产生

（ 1 ）柔性基础，基础刚度较小，对地基变形没有抵抗能力。地基与基础二者变形协调一致，因此基底压力分布均匀，按平均压力考虑。

( 柔性基础基底压力分布 ) 例如：油罐 土坝

荷载

反力变形地面

2 、 基底压力分布形式

荷载

反力变形地面

( 刚性基础基底压力分布 ) 例如：箱形基础 混凝土坝

（ 2 ）刚性基础刚度较大， 具有抵抗变形的能力，所以变形不均匀，出现马鞍形、抛物线形、钟形等。

AG+F

=P kkk

A L b

式中 Fk— 作用任基础上的竖向力设计值 (kN) ； Gk — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重 (kN) ； Gk=GAd ,G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3 ， 但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取 10kN/m3 ； d — 基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起 (m) ； A — 基底面积 (m 2) ，对矩形基础 A ＝ lb， l和 b 分别为其的长 和宽 。对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设计值 p(kPa) 计算， A 改为 b(m) ，而 F 及 G 则为基础截面内的相应值 (kN/m) 。

1. 轴心荷载下的基底压力二 基底压力的简化计算

2 ．偏心荷载下的基底压力 }

WM

±lb

G+F=

pp kkk

k

k

min

max

} )(min

max

le6

±1lb

G+F=

pp kk

k

k

6bl

=W2

eG+F=M kkk )(

ab3G+F2

=p kkk

)(max e

2l

=a －

e>L/6, 应力重新分布

kk

k

G+FM

=e

e ＝ L/6, 应力重新分布：基底压力三角形分布e ＜ L/6, 应力重新分布 : 基底压力呈梯形分布

min0P

czk0 σP=P －

※一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。

max0P

maxkP

minkP= czσ-

轴心荷载时：偏心荷载时：

三 基底附加压力※基底附加压力是考虑基础有一定埋置深度，对天然地基而言开挖基槽相当于卸去一部分自重应力，即： σcz= γ×d

例 2-2 : 某基础底面尺寸 l=3m， b=2m ，基础顶面作用轴心力 Fk=450kN ，弯矩 M=150kN.m, 基础埋深 d=1.2m ，试计算基底压力并绘出分布图。144kN=21×2×3×20=Ad=G Gk .γ

土重基础自重及基础上回填

m2530=144+450

150=

G+FM

=ekk

k .偏心矩

( ) ( ) kPa9481149

=32530×6±13×2144+450

=le6±1bl

G+F=

pp kk

...

min

max基底压力

例 2-3 ：某轴心受压基础底面尺寸 l=b=2m ，基础顶面作用 Fk=450kN ，基础埋深 d=1.5m ，已知地质剖面第一层为杂填土，厚 0.5m,γ1=16.8kN/m3 ；以下为黏土， γ2=18.5kN/m3 ，试计算基底压力和基底附加应力。基础自重及基础上回填土重

kN120=51×2×2×20=Adγ=G G .

【解】

5kPa142=2×2120+450

=A

G+F=p KK

k .基底压力

26.9kPa=1.0×18.5+0.5×16.8=zγ+zγ=σ 2211cz基底处土自重应力

6kPa115=9265142=σp=p czk0 ... －－基底附加应力

1 、定义 地基附加应力是由新增加建筑物荷载在地基中产生的应力。是引起地基变形和破坏的主要原因。

§ 2.3 土中附加应力

2、基本假定 地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的。 采用的计算方法是根据弹性理论推导的。

基本概念

附加应力分布特点 ：1 、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散的范围越来越广。 2 、附加应力随地基土深度增加 其数值逐渐减小。

θRπ2P3

=Rz

π2P3

=σ 325

3

z cos

x

y

P

y

zx

r

R

M(x,y,z,)

x

y

z

xy

xz

yx

zx

yz

zy

2 2r x y

22 zrR

z

W

O

一、竖向集中力作用下地基附加应力计算 布辛奈斯克用弹性理论解答

建筑荷载主要以竖向荷载为主，故只考虑竖向应力。

5

3

z Rz

•π2P3

=σ

22 z+r=R

22522522

3

z zP

1+zr1

π23

=z+r

zπ2P3

=σ // ])/[()(

2z zP

•k=σk-集中力作用下的竖向附加应力系数 查表 2-1 。

• 集中荷载产生的竖向附加应力存在着如下规律：• 1. 在集中力 P 的作用线上 , 沿 P作用线上 的分布随深度增加而递减。• 2.在 r>0 的竖直线上， 从零逐渐增大，至一定深度后又随着 z 的增加而逐渐变小。• 3.在 z 为常数的水平面上， 随着深度 z 的增加，集中力作用线上的 减小，但随 r的增加而逐渐减小。• 若在空间将 的点连成曲面，就可以得到 的等值线，其空间曲面的性状如同泡状，所以也称为应力泡。 zz

z

z

z

z

z 的分布 的等压力线

土中应力的概念：即集中力 P 在地基中引起的附加应力，在地基中向下、向四周无限扩散，并在扩散的过程 中应力逐渐降低。

叠加原理 由两个集中力共同作用时，地基附加压力扩散产生叠加现象，如下图。

P1

z

P2

a b

两个集中力作用下 σz 的叠加

由此可见，相邻荷载距离过近相互之间压力扩散叠加使附加压力增加并重新分布，从而引起相邻建筑产生附加沉降。

对于矩形基础，基底压力可视为矩形荷载面。在矩形面积 (l×b)上作用均布荷载 p ，计算矩形面积中心点下任意深度 z 处M 点的竖向附加应力 σz 值，可从下式解得：

。均布矩形荷载强度，—

可得；查表），（

系数，均布荷载土的附加应力

kPap

22bm

bl

f=K

K

c

c

.,

二 、 竖向矩形均布荷载下地基附加力

s 2 2 22 2 2 2

p m mn 1 1arctan2 m n n 1n m n 1 m n 1

1、矩形均布荷载角点下土中附加应力 pdxdy荷载微单元

——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表 2-2得到。Kc

dxdyzyx

zpRzdpd z 25222

3

5

3

23

23

pKcz

1

11

11arctan

21

2222222 nnmnm

mn

nmn

mKc

2 角点法的应用

(1) M 点在矩形荷载面以内(2) M 点在矩形荷载面边缘 (3) M 点在矩形荷载面以外(4) M 点在矩形荷载面角点外侧

注： M 点为地基中任意一点在基底平面上的投影点。

角点法具体做法：通过M 点做一些相应的辅助线，使M 点成为几个小矩形的公共角点， M 点以下任意深度 z 处的附加应力，就等于这几块小矩形荷载在该深度处所引起的应力之和。

(1)m 点在矩形荷载面以内 σz＝ (KcⅠ＋ KcⅡ＋ KcⅢ＋ KcⅣ)p0

(2)m 点在矩形荷载面边缘 σz＝（ KcⅠ＋ KcⅡ） p0

(3)m 点在矩形荷载面以外 σz＝ (Kcmecg+Kcmgbf- Kcmedh－ Kcmhaf)p0

(4)m 点在矩形荷载面角点外侧 σz＝ (Kcmech－ Kcmedg－ Kcmfbh＋Kcmfag)p0

σz=4kcp0

• 将矩形荷载面分成四块，使中心点 O 成为四块小矩形荷载面的公共角点。然后先求出其中一块矩形荷载，在基础中心点下任意深度处的附加应力，再乘以四倍 。其表达式为：

2 、矩形均布荷载中心点下土中附加应力

3 、竖向条形均布荷载作用下土中附加应力计算条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应力问题，对路堤、堤坝以及长宽比 l／ b≥10 的条形基础均可视作平面应力问题进行处理。 均布条形荷载作用下 ：

Ksz- 条形均布荷载作用下竖向附加应力分布系数，查表2-3

(1) 地基附加应力的扩散分布性；(2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴 线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。

均布条形荷载下地基中附加应力的分布规律：

例 2-4 ：如图所示，荷载面积 2m×1m， p=100kPa ，求A， E， O， F， G 各点下 z=1m 深度处的附加应力，并利用计算结果说明附加应力的扩展规律。

• （ 1）A 点下的应力

19.99kPa=100×0.1999=PK=σ cAcA

• A 点是矩形ABCD的角点， 由表2-2查得KcA=0.1999，故 A 点下的竖向附加应力为：

1=bz

=n2,=12

=bl

=m

• （ 2） E点下的应力

kPa 35.04=100×0.17522=P2K=σ cEcE ×

• E 点将矩形荷载面积分为两个相等小矩形EADI和 EBCI。任一小矩形 m=1,n=1,由表 2-2查得 KcE=0.1752，故E 点下的竖向附加应力为：

【解】

• （ 3）O点下的应力

kPa48.08 =100×0.12024=P4K=σ cOcO ×

• O 点将矩形荷载面积分为四个相等小矩形。任一小矩形m=1/0.5=2,n=1/0.5=2,由表2-2查得KcO=0.0.1202，故O 点下的竖向附加应力为：

• （ 4） F 点下的应力

( ) ( ) kPa .=100×.2=PK2=σ ccF 6410084013630×K c .－－ ⅡⅠ

• 过 F 点做矩形FGAJ、FJDH、FKCH和FGBK。设矩形FGAJ和FJDH的角点应力系数为KcⅠ；矩形FGBK和FKCH的角点应力系数为KcⅡ

故 G 点下的竖向附加应力为：

13630=K2=0.51

=n5=5052

=mK CC .,,..

ⅠⅠ 由表查出：求

0840=K2=0.51

=n1=5050

=mK cc .,,..

ⅡⅡ 由表查出：求

• （ 5）G 点下的应力

( ) ( ) kPa .14=100×016.2=PK2=σ ccG 82021020×K c .－－ ⅡⅠ

• 过 G 点做矩形 GADH和 GBCH。分别求出它们的角点应力系数为 KcⅠ KcⅡ

故 G 点下的竖向附加应力为：

01620=K1=11

=n52=152

=mK CC .,,..ⅠⅠ 由表查出：求

20210=K2=0.51

=n2=50

1=mK cc .,,. ⅡⅡ 由表查出：求

将计算结果绘成图；将点 O 和点 F 下不同深度的 σz 求出并绘制成图，可以形象的表现出附加应力的分布规律。

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