Министерство образования Российской Федерации

Ульяновский государственный технический университет

К. К. Васильев

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

(следящие системы)

2-е издание Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматики, электроники,

микроэлектроники и радиотехники в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 5511

и специальностям 2008 и 2205

Ульяновск 2001

2

УДК 621.37/39 (075) ББК 32 я 7 В19

Рецензенты: ОКБ Ульяновского механического завода;

д-р техн. наук, профессор Кумунжиев К. В.

Васильев К. К.

В 19 Теория автоматического управления (следящие систе-мы): Учебное пособие.–2-е изд.– Ульяновск, 2001. – 98 с.

ISBN 5-89146-234-6

Приведены основные понятия и определения теории сле-дящих систем автоматического управления, изложены методы анализа и синтеза следящих систем, особое внимание уделено оп-тимальным непрерывным и дискретным следящим системам. Может быть использовано при чтении курсов «Основы автомати-ки и системы автоматического управления», «Радиоавтоматика», «Теория автоматического управления» и др.

УДК 621.37/39 (075) ББК 32 я 7

© Васильев К. К., 2001

ISBN 5-89146-234-6 ©Оформление. УлГТУ, 2001

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ…………………………. 4 ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................... 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ..................

1.1. Управляемые системы ............................................................ 1.2. Линейные системы управления .............................................

2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ ............. 2.1. Устойчивость систем управления ......................................... 2.2. Динамические ошибки систем управления .......................... 2.3. Эффективность систем управления при воздействии помех

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ......................... 3.1. Оптимальные стационарные системы. Фильтр Винера ...... 3.2. Оптимальные реализуемые системы управления.

Фильтр Калмана ...................................................................... 3.3. Многомерные оптимальные системы ...................................

4. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ... 4.1. Цифровые системы управления ............................................. 4.2. Цифровые фильтры ............................................................... 4.3. Действие помех на цифровые системы управления ............ 4.4. Многомерные и адаптивные системы управления ……........................................................................

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................

5 6 6 12 23 23 31 39 52 53 57 65 74 74 81 86 91 96 97

4

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ

Первое издание учебного пособия быстро разошлось и оказалось особенно полезным для студентов младших курсов радиотехнических специальностей. При подготовке второго издания пособие было значительно переработано. В него вошли новые примеры, были исправлены ошибки и опечатки, заново отредактирован текст.

5

ВВЕДЕНИЕ

Повсюду в окружающем нас мире (природе, технике, челове-ческом обществе) протекают различные процессы, характер кото-рых зависит от множества условий и факторов. Изменяя условия протекания процессов, человек может влиять на их характер, изме-нять их, приспосабливать к своим целям. Это вмешательство в ес-тественный ход процесса и представляет собой сущность управле-ния в широком смысле слова. Можно сказать, что управление пред-ставляет собой такую организацию того или иного процесса, кото-рая обеспечивает достижение определенных целей. Управление, осуществляемое без участия человека, называ-ется автоматическим управлением. В учебном пособии рассмат-риваются системы, позволяющие производить автоматическое управление различными объектами. Простыми примерами таких систем служат стабилизаторы напряжения, системы регулировки усиления и автоматической подстройки частоты генераторов. Более сложными являются радиолокационные системы сопровождения движущихся объектов по дальности или угловым координатам. Все названные и многие другие системы описываются с помощью схо-жих математических моделей; для их исследования применяются одни и те же методы теории автоматического управления. В первом разделе пособия представлены основные определе-ния и классификация систем автоматического управления. Второй раздел посвящен анализу устойчивости, точности и помехоустой-чивости систем с известной структурой. Изучение третьего раздела позволит познакомиться с современными подходами к решению задачи проектирования оптимальных систем управления. В заклю-чительном четвертом разделе рассмотрены особенности построения дискретных систем управления, которые могут быть непосредст-венно реализованы на базе электронных вычислительных машин.

6

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

Понятие системы Системой называется совокупность целенаправленно взаи-модействующих объектов любой природы. Примерами систем мо-гут служить весь окружающий нас мир или любая его часть, чело-веческое общество, отрасль народного хозяйства, завод, летатель-ный аппарат, вычислительная машина, организм человека или жи-вотного и т. д. Чтобы применить математические методы для изучения функционирования какой-либо системы, необходимо построить ее математическую модель. Для этого нужно определить совокуп-ность величин, которые могут служить количественными характе-ристиками функционирования системы. Затем следует установить соотношения между этими величинами, приближенно описываю-щие функционирование реальной системы. Всякая система взаимодействует с окружающей средой, что-то получает извне и после переработки что-то отдает в окружаю-щую среду. В этом заключается работа системы. Летательный аппарат получает на входе (от летчика или ав-тономной системы управления) управляющие воздействия – поло-жение его органов управления (рулей и дросселей двигательной ус-тановки) как функции времени. Вследствие этого изменяется ори-ентация осей летательного аппарата и направление его движения. В результате работы такой системы получается определенная тра-ектория полета. Заметим, что эта траектория определяется и массой других внешних факторов, связанных, например, с метеоусловиями полета. Первым шагом к построению математической модели систе-мы является математическое описание того, что система получает на входе и выдает на выходе. Величины, определяющие внешние воздействия на систему, называются ее входными сигналами. Величины, определяющие действие системы на окружающую среду, называются выходными сигналами системы.

7

Кроме входных и выходных сигналов, для построения мате-матической модели вводятся вспомогательные величины, характе-ризующие внутреннее состояние системы в каждый момент време-ни. Такие величины называются переменными состояния систе-мы. Множество всех возможных входных сигналов системы бу-дем называть ее пространством входных сигналов. Множество всех выходных сигналов – пространством выходных сигналов. Множество всех возможных состояний системы будем называть ее пространством состояний.

Математическая модель системы После определения входных и выходных сигналов и пере-менных состояний системы для получения ее математической мо-дели нужно установить соотношения между этими величинами. Эти соотношения могут быть относительно простыми или весьма сложными, носить детерминированный или вероятностный харак-тер. Математической моделью системы называется совокуп-ность четырех элементов:

1) пространство состояний; 2) пространство входных сигналов; 3) пространство выходных сигналов; 4) соотношения, связывающие входные и выходные сигна-

лы и переменные состояния. Пример. Движение материальной точки массой m описывается с помощью второго закона Ньютона:

)()( tamtU = или )(2

2tU

dtxdm = .

Входным сигналом служит сила )(tU , действующая на точку, а вы-ходным – вектор ))(),(),(()( 321 txtxtxtx = положения точки в трех-мерном пространстве. Состояние точки в каждый момент времени определяется ее координатами x и вектором скорости /v dx dt= . Таким образом, вектором состояния служит шестимерный вектор ( , )x v . Пространством входных сигналов является множест-во всех трехмерных функций времени. Пространство выходных

8

сигналов представляет собой множество непрерывных трехмерных функций времени. Пространством состояний является шестимерное пространство.

Управляемые системы

Предположим, что нам точно известна математическая мо-дель некоторой системы, которую представим в виде рис. 1. Это означает, что при любом заданном входном сигнале ( )U t можно определить, как будет вести себя эта система. Пусть, например, ( )x t – координата материальной точки на прямой. Тогда уравнение

движения 2

2 ( )d xm U tdt

= и при заданной силе ( )U t можно построить

график изменения состояния системы в пространстве состояний (рис. 2).

СИСТЕМА ( )U t ( )x t

Рис. 1

x

kt t=v

Рис. 2

0t =

В том случае, когда внешнее воздействие ( )U t формируется без нашего участия, задача управления системой отсутствует. На-пример, если ( )U t – сила притяжения Земли. Вместе с тем, сущест-вует очень широкий класс задач управления, связанный с требуе-мым вмешательством в процесс изменения состояния системы. Этот класс задач возникает в том случае, когда все или часть внеш-них воздействий ( )U t может формироваться специально для дос-тижения заданной цели. Например, необходимо переместить грузик массой m (рис. 3) из состояния ( 0x = , 0V = ) в состояние ( 0x x= ,

0V = ) за наименьшее время.

9

В этом случае мы должны сами выбрать величину и направ-ление силы ( )U t , обеспечивающие наилучшее значение показателя качества - времени перемещения. Даже в рассматриваемом про-стейшем случае это не тривиальная задача, если учесть дополни-тельные ограничения на величину ( )U t , связанные, например, c механической прочностью грузика. Подумайте, как нужно посту-пить, если 0)( UtU ≤ . Итак, если имеется возможность управления системой, т. е. формирования входных сигналов ( )U t , и цель такого управле-ния, то система называется объектом управления (рис. 4). Кроме управляющих сигналов ( )U t на вход объекта управления могут по-ступать мешающие сигналы ( )MU t . Полное математическое описание управляемой системы со-стоит из математической модели объекта управления, сформиро-ванной цели управления и показателя качества, позволяющего сравнивать между собой различные способы достижения цели.

Показатели качества управления Рассмотрим некоторые показатели или критерии качества управления. Предположим, что некоторый объект управления необходи-мо перевести из исходного состояния ( )0x t в заданное состояние ( )kx t с помощью какого-либо управления ( )U t . Обычно существу-

ет множество управлений ( )U t , обеспечивающих выполнение зада-чи. Показатель качества предназначен для сравнения всех возмож-ных управлений между собой и выбора наилучшего или оптималь-

0 х0 x

Рис. 3

ОУ

UM (t)

x (t)

Рис. 4

U(t)

10

ного управления ( )0U t , минимизирующего этот показатель. Одним из показателей может служить время 0kT t t= - достижения цели. Наилучшим или оптимальным будет управление ( )0U t , соответст-вующее минимальному T . В этом случае говорят об оптимальных по быстродействию системах.

В других задачах величина 0

2 ( )kt

t

J U t dt= т соответствует

расходу топлива на перемещение объекта. Такие задачи характер-ны, например, для управления ракетами. В этом случае из множест-ва допустимых управлений желательно выбрать такое, которое обеспечивает

U(t)min J .

Очень часто требуется обеспечить равенство выходного сиг-нала системы ( )x t заданной величине ( )g t . В этом случае все кри-терии качества, как правило, основаны на величине рассогласова-ния ( ) ( ) ( )t g t x te = - между заданным и действительным состоя-

нием системы. Например, ( )0

maxkt t t

J teЈ Ј

= или 0

2 ( )kt

t

J t dte= т . Такие сис-

темы называются системами слежения. В частном случае, когда ( ) 0g t g= – системами стабилизации. В системах слежения

управляющее воздействие ( )U t формируется на основании измере-ния величины ошибки ( )te . При этом системы приобретают замк-нутую структуру, включающую объект управления, измеритель рассогласования и устройство управления (рис. 5). Объект управления вместе с устройством управления обра-зуют систему управления. На рис. 5 представлена замкнутая систе- g(t) ε (t) U(t) x (t)

УУ ОУ +

–

Рис. 5

11

ма управления. В таких системах выходной сигнал ( )x t передается на вход и сравнивается с заданной функцией ( )g t . Цепь, по кото-рой происходит передача сигнала, называется цепью главной об-ратной связи. В качестве примера следящей системы рассмотрим автома-тическое управление углом поворота вала, который может быть связан, например, с направленной антенной для приема спутнико-вых сигналов, рулевым механизмом летательного аппарата или ва-лом прокатного стана. Следящий вал приводится во вращение элек-тродвигателем (ДВ) постоянного тока (рис. 6).

Напряжение ( )tu , подводимое к двигателю, пропорционально рассогласованию ( ) ( ) ( )t g t x te = - между заданным углом поворо-та ( )g t и действительным угловым положением ( )x t вала двигате-ля. Назначение такой системы заключается в обеспечении ми-нимума рассогласования ( )te . На рис. 7 представлена эквивалент-ная схема такой следящей системы.

Измерительноеустройство

Усилитель

Рис. 6

ДВ ( )tg

( )tu

( )x t

( )te

–

+

12

Рис.7 Для того, чтобы дать математическое описание системы, не-обходимо установить связь между углом ( )x t поворота вала двига-теля и напряжением ( )u t . Если не учитывать инерционность двига-теля, то можно приблизительно полагать, что скорость вращения ( )tΩ пропорциональна ( )u t , т. е. ( ) ( )двt K U tΩ = . Поскольку ( ) ( )t dx t dtΩ = , то связь между напряжением и углом поворота за-

пишется в виде

( ) ( )t

дв0

x t K u t dt= ∫ .

Таким образом, электродвигатель рассмотренной системы может быть приближенно заменен интегрирующим звеном.

1.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В этом разделе рассматривается важнейший класс систем управления – линейные системы. Центральное место, которое за-нимают линейные системы в теории управления, обусловлено тре-мя основными причинами. Во-первых, многие реальные системы управления хорошо описываются линейными моделями. Во-вторых, именно для линейных систем разработаны сравнительно простые математические методы анализа. Основой для исследова-ния нелинейных систем управления служит математический аппа-рат теории линейных систем. Вначале обсуждается классификация систем управления и выделяется класс линейных систем. Затем рассматриваются основ-ные математические методы анализа линейных систем.

g(t) ε (t) u(t) x (t)

Усилитель Двигатель +

–

13

Классификация систем управления Основным типом являются замкнутые системы управления, которые можно представить в виде структурной схемы, приведен-ной на рис. 5. Система управления содержит управляющую подсистему или объект управления (ОУ), устройство управления (УУ) и схему сравнения входного сигнала ( )g t и выходного сигнала ( )x t . При этом заданная функция времени ( )g t определяет требуемое изме-нение выходного сигнала ( )x t системы управления. В схеме срав-нения вычисляется рассогласование ( ) ( ) ( )t g t x tε = − , возникаю-щее в процессе управления. Устройство управления предназначено для выработки сигналов управления ( )U t . Математическая модель любой из систем управления вклю-чает в себя описание входных и выходных сигналов и вид преобра-зования входных сигналов ( )g t в выходные сигналы ( )x t . Всю со-вокупность этих преобразований можно представить с помощью оператора A: ( ) ( )x t Ag t= . Как следует из этой формулы, класси-фикация систем управления может быть основана либо на свойст-вах входных и выходных сигналов, либо на свойствах оператора A . Остановимся вначале на классификации систем управления по виду входных и выходных сигналов. Системы управления, имеющие один вход и один выход, на-зывают одномерными. Системы, имеющие несколько входов или выходов, называют многомерными. Системы управления называют непрерывными, если вход-ные и выходные сигналы имеют непрерывное множество значений по времени. Если сигналы поступают в дискретные моменты вре-мени, то такие системы называют дискретными или импульсны-ми. Дискретные системы управления с конечным числом уровней сигналов называют цифровыми. Представим реализации сигналов систем различных типов в виде графиков. На рис. 8,а изображен характерный вид сигнала в непрерывной системе. На рис. 8,б представлен характерный вид сигнала в дискретной или импульсной системе. На рис. 9 – в циф-

14

ровой. Заметим, что все системы, построенные на базе ЭВМ, явля-ются цифровыми. Теперь остановимся на классификации систем управления, основанной на свойствах оператора A . Систему называют стационарной, если вид и свойства опе-ратора A не изменяются во времени. Если же свойства оператора A изменяются во времени, то систему называют нестационарной. Стационарность означает, что вид выходного сигнала системы не зависит от сдвига по времени входного сигнала. Системы управления называют линейными, если выполня-ются принцип суперпозиции. Если этот принцип несправедлив, то систему называют нелинейной. Сущность принципа суперпозиции заключается в том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов

)(,),(),( 21 tgtgtg NK соответствует линейная комбинация соответст-

вующих выходных сигналов: ( )( )1 1

( )= =

ж цчз =чз ччзи ше еN N

k k k kk k

A a g t a A g t .

3 2 1

а

g(t)

t

t х(t)

0

Рис. 8

Рис. 9

t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t

g(t)

t1 t2 t3 ... tn t

t1 t2 t3 ... tn t

б

g(t)

0

х(t)

0

t

t

3 2 1 0

15

Принцип суперпозиции всегда выполняется, если выполня-ются следующие два условия:

1) при суммировании любых двух входных сигналов соответст-вующие выходные сигналы суммируются;

2) при любом увеличении (уменьшении) входного сигнала без изменения его формы выходной сигнал увеличивается (уменьшает-ся) во столько же раз, также не изменяя своей формы. Оператор A , соответствующий линейной системе, называют линейным оператором. Примерами линейных операторов могут служить операторы дифференцирования или интегрирования:

( ) ( )x t dg t dt= , ( ) ( )o

t

t

x t g t dt= ∫ .

Математическое описание линейных систем управления

Существует два основных, тесно связанных между собой, ме-тода анализа линейных систем. Это анализ систем во временной области и анализ систем в частотной области. Рассмотрим вначале метод анализа систем во временной области. Для этого вспомним определение и свойства импульсной δ -функции Дирака. В частно-

сти, ( ) 1t dtδ∞

−∞

=∫ , ( ) ( ) ( )f t d f tτ δ τ τ∞

−∞

− =∫ . Запишем второе из этих

свойств δ - функции в виде: ( ) ( ) ( )g t g t dτ δ τ τ∞

−∞

= −∫ . Тогда вы-

ходной сигнал линейной системы можно представить следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ag t A g t d g A t dτ δ τ τ τ δ τ τ∞ ∞

−∞ −∞

= = − = −∫ ∫ .

Введем функцию ( ) ( )h t A tδ= , которая представляет собой выходной сигнал системы управления при входном сигнале в виде δ -функции. Функция ( )h t называется импульсной переходной ха-рактеристикой системы или весовой функцией. Тогда выходной сигнал линейной системы при любом входном воздействии опреде-ляется по формуле:

16

( ) ( )( )x t h t g dτ τ τ∞

−∞

= −∫ .

Эта формула называется интегралом Дюамеля или инте-гралом свертки. Ее смысл заключается в том, что выходной сигнал любой линейной системы получается с помощью взвешивания и последующего интегрирования входного сигнала ( )g t с весовой функцией ( )h t τ− . Наиболее прост анализ линейных систем управления в час-тотной области. Действительно, обозначим преобразование Лапла-са от ( )x t , через ( )x p , т. е. ( ) ( )x t x p÷ ; соответственно ( ) ( )h t H p÷ ; ( ) ( )g t g p÷ . Учитывая свойство преобразования Лап-

ласа свертки функций, получаем ( ) ( ) ( )x p H p g p= .

Если в этом равенстве положить p jω= , то ( ) ( ) ( )x j H j g jω ω ω= , где ( )x jω , ( )H jω , ( )g jω – преобразова-

ния Фурье выходного сигнала линейной системы, импульсной пе-реходной характеристики и входного сигнала соответственно. Функция ( )H p или ( )H jω , играющая центральную роль в анализе систем, называется передаточной функцией системы управления. Эта комплексная функция действительного аргумента – частоты ω . Ее модуль ( )H jω называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) системы; аргумент

( )( )Arg H jω – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для анализа систем управления часто применяются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ):

( ) ( )20lgL H jω ω= . Итак, если известна передаточная функция ( )H p линейной системы, то задача определения выходного сигнала по входному решается с помощью простого умножения ( ) ( ) ( )x p H p g p= . Ка-ким же образом можно найти ( )H p ? Очень широкий класс линейных систем управления описыва-ется с помощью линейных дифференциальных уравнений:

17

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 0 11 1

n n m m

n mn n m m

d x t d x t d g t d g ta a x t b b b g t

dt dt dt at

− −

− −+ + + = + + +K K .

Преобразуем левую и правую часть этого уравнения по Лап-ласу и получим следующее выражение

( )( ) ( ) ( )1 11 0 1... ...n n m m

n mx p p a p a b p b p b g p− −+ + + = + + +

или ( ) ( ) ( )x p H p g p= , где ( )1

0 11

1

m mm

n nn

b p b p bH pp a p a

−

−

+ + +=

+ + +K

K – переда-

точная функция системы управления. Таким образом, при заданном описании системы в виде диф-ференциального уравнения передаточная функция находится очень просто и, следовательно, легко осуществляется анализ линейных систем.

Типовые звенья систем управления Рассмотрим примеры построения частотных характеристик трех звеньев, которые встречаются во многих системах автоматиче-ского управления.

1. Интегрирующее звено Предположим, что выходной сигнал звена системы управле-ния определяется как интеграл

( ) ( )∫=t

dttgktx0

от входного сигнала ( )g t , где 0k > – постоянный коэффициент. После преобразования Лапласа получим

( ) ( )kx p g pp

= .

Таким образом, передаточная функция интегрирующего зве-

на запишется в виде ( ) kH pp

= . Амплитудно-частотная характери-

стика ( ) k kH jj

ωω ω

= = , а ФЧХ – ( )2

ArgH j πω = − . Для построе-

ния графика ЛАХ по оси ординат откладывают

18

( ) ( )20lg 20lg 20lgL H j kω ω ω= = − в децибелах, а по оси абсцисс откладывают частоту ω в логарифмическом масштабе (рис. 10, а).

При этом отрезок оси абсцисс, длина которого соответствует десятикратному изменению частоты ω , называется декадой. В та-ком масштабе ЛАХ интегрирующего звена будет представлена прямой линией, наклон которой составляет –20 децибел на декаду. Примером интегрирующего звена служит исполнительный двига-тель следящей системы (рис. 6).

2. Апериодическое звено Апериодическим называют звено, описываемое следующим дифференциальным уравнением

( ) ( ) ( )dx tT x t kU t

dt+ = ,

где T – постоянная времени апериодического звена. Простым при-мером такого звена может служить интегрирующая RC цепь. Пре-образуя дифференциальное уравнение по Лапласу, находим переда-точную функцию апериодического звена

( ) ( )1kH ppT

=+

.

Для апериодического звена АЧХ ( )2 21

kH jT

ωω

=+

, а ФЧХ

( ) ( )Arg H j arctg Tω ω= − . Рассмотрим выражение для ЛАХ, пред-ставленное в виде

( )2

20lg 20lg 1c

L k ωωω⎛ ⎞

= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

L(ω)

20lgK 40 20

-20 10 100 1000 0,1 0,01

60 L(ω)

20lgK 40

20

-2010

1000 ω

ω

0,10,01

60

а) б)

ωc T=

1

Рис. 10

19

где 1c T

ω = .

Такая ЛАХ может быть приближенно представлена ломаной линией, показанной на рис. 10, б. Эта приближенная характеристи-ка составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАХ при

0ω → и ω →∞ . Действительно, при малых ω отношение 2

1c

ωω⎛ ⎞

<<⎜ ⎟⎝ ⎠

и ( ) 20lgL kω ≅ . При 2

1c

ωω⎛ ⎞

>>⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 20lg 20lgc

L k ωωω

≅ − ,

то есть характеристика представляет собой прямую, имеющую на-клон –20 децибел на декаду. Обе асимптоты пересекаются в точке

cω ω= ; поэтому cω называется сопрягающей частотой. 3. Дифференцирующее звено

Связь между выходным и входным сигналами идеального дифференцирующего звена определяется соотношением

( ) ( )dg tx t k

dt= .

Легко убедиться, что передаточная функция ( )H p kp= , АЧХ ( )H j kω ω= , ФЧХ ( ) / 2ArgH jω π= . Логарифмическая АЧХ ( ) 20lgL kω ω= может быть представлена на графике прямой лини-

ей, имеющей наклон к оси абсцисс 20+ децибел на декаду. Примером близкого к идеальному дифференцирующего звена

является тахогенератор (датчик частоты вращения вала), выходное напряжение которого ( )TU t пропорционально частоте вращения ( )tΩ его якоря, то есть ( ) ( )TU t k t= Ω . Если в качестве входной ве-

личины рассматривать не скорость вращения, а угол поворота ( )tϕ

его якоря, то ( ) ( )T

d tU t k

dtϕ

= .

Передаточные функции систем управления с обратной связью

Предположим, что некоторая линейная система состоит из двух последовательно соединенных подсистем, имеющих переда-точные функции ( )1H p и ( )2H p (рис. 11).

20

Очевидно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1X p H p G p H p H p G p= = . Таким образом, при последовательном соединении линейных систем их передаточные функции перемножаются. g (p) g1 (p) x (p)

Рис. 11

При параллельном соединении систем (рис. 12) их переда-точные функции складываются: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2X p H p H p G p= + .

g (p) x (p)

Рис. 12 Рассмотрим теперь систему с обратной связью (рис. 13). Передаточная функция ( )H p называется передаточной функцией разомкнутой системы управления. Действительно, разрывая цепь главной обратной связи, получим ( ) ( ) ( )X p H p G p= . Найдем передаточную функцию замкнутой

системы из следующих соотношений: ( ) ( ) ( )X p H p pε= , ( ) ( ) ( )p G p X pΕ = − . После подстановки получаем:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X p H p G p H p X p= − или ( )( ) ( )1 ( )

H pX p G pH p

=+

.

g (p) ε (p) х (р)

Рис. 13

+

- Н (р)

H1 (p)

H2(p)

)p(g)p(H1

)p(g)p(H2

H1 (p) H2(p)

21

Передаточная функция ( )( )1 ( )

H pW pH p

=+

называется переда-

точной функцией замкнутой системы управления. Пример 1. Реальный исполнительный двигатель обладает инерци-онностью и поэтому описывается следующим дифференциальным уравнением

( ) ( ) ( )дв

d tT t ku t

dtΩ

+Ω = .

При малой постоянной времени двигателя 0двT → частота враще-ния ( )tΩ прямо пропорциональна входному напряжению ( )u t . Рассматривая в качестве выходного параметра угол поворота

( ) ( ) ( )0 0

t t

x t t dt k u t dt= Ω =∫ ∫ , видим, что при малой постоянной вре-

мени исполнительный двигатель в системе управления представля-

ет собой интегрирующее звено. Подставляя ( ) ( )dx tt

dtΩ = в диффе-

ренциальное уравнение, после преобразования по Лапласу, нахо-дим

( ) ( ) ( )1 дв

kx p u pp pT

=+

,

т. е. реальный двигатель может быть представлен в виде последова-тельного соединения двух звеньев – интегрирующего с передаточ-ной функцией /k p и апериодического с передаточной функцией ( )1/ 1 двpT+ .

Пример 2. Предположим, что осуществлено параллельное соеди-нение (рис. 12) интегрирующего звена с передаточной функцией

( )1 /H p k p= и безынерционного звена с передаточной функцией ( )2 0 0H p k= > . Суммарная передаточная функция

( ) ( ) ( )1 2 01 Ôk pTH p H p H p k k

p p+

= + = + =

соответствует последовательному соединению интегрирующего звена и так называемого форсирующего звена с передаточной функцией ( ) 1ф фH p pT= + , где 0 /фT k k= – постоянная времени форсирующего звена. Важно, что полученное при рассмотренном

22

параллельном соединении интегратора и усилителя форсирующее звено часто оказывается необходимым при проектировании систем автоматического управления. Пример 3. Рассмотрим более сложную систему, в цепь обратной связи которой включено звено с передаточной функцией ( )1H p (рис. 14, а). Для определения передаточной функции замкнутой системы запишем ( ) ( ) ( )x p H p pε= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1p g p x p g p H p x pε = − = − или ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x p H p g p H p H p x p= − . Таким образом, ( ) ( ) ( )x p W p g p= ,

где ( ) ( )( ) ( )11H p

W pH p H p

=+

–

передаточная функция замкнутой системы управления, представ-ленной на рис. 14, а. Важным примером может служить система, показанная на рис. 14, б. Этой системе соответствует, например, последовательное соединение усилителя с коэффициентом усиле-ния 1k и двигателя, охваченного обратной связью с использованием тахогенератора. При этом вал тахогенератора вращается точно так же, как вал двигателя, а напряжение ( ) ( )T Tu p k px p= вычитается из напряжения, подаваемого на исполнительный двигатель. Такое включение тахогенератора позволяет уменьшить постоянную вре-мени двигателя T , что может быть очень важно для систем слеже-ния за быстро перемещающимися объектами. Действительно, най-дем передаточную функцию замкнутой системы, показанной на рис. 14, б:

+

- Н (р)

g (p) ε (p) х (р)

Н 1(р) x1 (р)

Рис. 14

( )pT1pk+

uT(p)

х (р)

pkT

1kg (p) +

-

a б

23

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

++

+=

0

0

11

1

1

11

1

kTpp

kkk

pkpTp

kpTP

k

kpWT

,

где Tkkk =0 . Таким образом, выбирая 01 kk = , получаем систему, в которой постоянная времени уменьшена в 0k раз.

2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ

2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В этом разделе рассматриваются важнейшие характеристики

качества управляемых систем. Этими характеристиками являются устойчивость систем, точность и помехоустойчивость. Понятие устойчивости относится к ситуации, когда входные сигналы системы равны нулю, т.е. внешние воздействия отсутст-вуют. При этом правильно построенная система должна находиться в состоянии равновесия (покоя) или постепенно приближаться к этому состоянию. В неустойчивых системах даже при нулевых входных сигналах возникают собственные колебания и, как след-ствие, – недопустимо большие ошибки. Понятие точности связано с качеством работы управляемых систем при изменяющихся входных сигналах. В правильно спроек-тированных системах управления величина рассогласования между заданным законом управления g(t) и выходным сигналом x(t) долж-на быть мала. Наконец, для характеристики влияния помех на системы управления используют дисперсию или среднее квадратическое от-клонение составляющей ошибки за счет действия помех.

Понятие устойчивости

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой, ес-

24

ли при выведении ее внешними воздействиями из состояния равно-весия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия сис-тема не возвращается к состоянию равновесия, то она является не-устойчивой. Для нормального функционирования системы управ-ления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в против-ном случае в ней возникают большие ошибки. Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причи-нами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобра-зованы в устойчивые с помощью добавления специальных коррек-тирующих звеньев.

Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описы-вается дифференциальным уравнением

bmgdt

gdb

dtgd

bxadt

xdadt

xdm

m

m

m

nn

n

n

n......

1101

1

1 ++=+++−−

−

или, после преобразования Лапласа, )()...()()...( 1

101

1 pgbpbpbpxapap mmm

nnn +++=+++ −− ,

где g(p) – входное воздействие. Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) ≡ 0 . Таким образом, для устойчивой сис-темы решение однородного дифференциального уравнения ( ) ( )1

1 ... 0n nnp a p a x p-+ + + = должно стремиться к нулю при t→ ∞.

Если найдены корни p1, p2, ... , pn характеристического урав-нения 0...1

1 =+++ −n

nn apap , то решение однородного уравнения

запишется в виде tpn

kk

kectx ∑=

=1

)( .

В каких же случаях система устойчива? Предположим, что pk = ak – действительный корень.

25

Ему соответствует слагаемое cktake . При ak < 0 это слагаемое

будет стремиться к нулю, если t → ∞. Если же ak > 0, то x(t) →∞ , когда t →∞ . Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t→ ∞, kk ctx =)( Допустим теперь, что kkk jbap += – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае

kkk jbap −=~ также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида ta

kkktebc sin , ta

kkktebc cos .

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие ко-лебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk. Таким образом, система устойчива, если действительные час-ти всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ≥ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчи-вости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны. Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15). Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень ле-жит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе ус-тойчивости. Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему управления c од-ним интегрирующим звеном. В этом случае H(p) = k

p, 0>k , а передаточная

функция замкнутой системы

kpk

pkpk

pHpHpW

+=

+=

+=

/1/

)(1)()( .

p1 p7

p3 p2

p6 p5

p4

Ym

Rl

Рис. 15

26

Выходной сигнал системы x(p) = W(p)g(p) или

( ) )( pgkp

kpx+

= . Заметим, что характеристическое уравнение

p+k=0 записывается с помощью приравнивания к нулю знаменате-ля передаточной функции замкнутой системы управления. В дан-ном случае имеется один корень p1= -k < 0 и поэтому система

управления всегда устойчива. Предположим теперь, что 2

)(pkpH = .

Тогда kp

kpk

pkpW+

=+

=22

2

/1/)( . Характеристическое уравнение p2 +

+ k = 0. Поэтому p1,2= kj± . Система находится на границе устой-чивости. В ней существуют незатухающие колебания.

Анализ устойчивости с помощью частотных критериев

Основным недостатком рассмотренного алгебраического подхода к анализу устойчивости является то, что в сложных систе-мах управления трудно установить связь между корнями знамена-теля рk , k=1, 2, …, n, и параметрами элементарных звеньев, со-ставляющих систему управления. Это приводит к трудностям кор-рекции неустойчивых систем. Для того, чтобы упростить анализ устойчивости, желательно проводить этот анализ по передаточной функции H(p) разомкнутой системы управления. В 1932 г. американский ученый Найквист разработал эффек-тивный метод анализа устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 г. советский ученый А.В. Михайлов обобщил метод Найк-виста на замкнутые системы автоматического управления. Критерий Найквиста основан на построении годографа пере-даточной функции H(jω) разомкнутой системы управления. Годо-графом передаточной функции H(jω) называется кривая, прочер-чиваемая концом вектора H(jω) =|H(jω)|ejϕ(ω) на комплексной плос-кости при измерении частоты ω от 0 до ∞. Наиболее просто формулируется критерий устойчивости Найквиста: замкнутая система управления устойчива, если годо-граф передаточной функции H(jω) разомкнутой системы не охва-тывает на комплексной плоскости точку c координатами (-1, j0). На

27

рисунках показаны примеры годографов устойчивой (рис. 16,а) и неустойчивой (рис. 16,б) систем управления.

Рис. 16

Если годограф проходит через точку -1, то говорят, что сис-тема находится на границе устойчивости. В этом случае на некото-рой частоте H(jω0)= -1 и в системе могут существовать незатухаю-щие колебания частоты ω0. В неустойчивых системах уровень сиг-нала x(t) будет нарастать со временем. В устойчивых - уменьшать-ся.

Запас устойчивости

Еще одним достоинством рассматриваемого критерия явля-ется возможность определения запаса устойчивости системы управления. Запас устойчивости характеризуют двумя показателя-ми: запасом устойчивости по усилению и запасом устойчивости по фазе. Запас устойчивости по усилению определяется величиной γ =1/|H(jω0)|, где ω0 - частота, на которой ArgH j( )ω π0 = − (рис. 17,а). Запас устойчивости γ показывает, во сколько раз должен изменить-ся (увеличиться) модуль передаточной функции разомкнутой сис-темы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, на-сколько в процессе работы может возрастать коэффициент переда-чи системы по сравнению с расчетным. Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла ∆ )j(ArgH180 cp

0 ωϕ −−= , где частота ωсp , называемая частотой сре-за, определяется условием |H(jωcp)|=1 (рис. 17, б).

-1

Ym

Rl -1 Rl 0 0

а б

Ym

28

Величина ∆ϕ показывает, насколько должна измениться фа-зовая характеристика разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас ус-тойчивости по фазе обычно считается достаточным, если |∆ϕ| ≥ 30o.

Рис. 17

Анализ устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик

Во многих случаях разомкнутую систему управления можно представить в виде последовательного соединения n типовых звеньев с передаточными функциями ( ) nkjH k ,...,2,1, =ω . При этом передаточная функция разомкнутой системы определяется произ-

ведением ( ) ( )∏=

=n

kkk jHjH

1ωω . Логарифмическая амплитудно-

частотная характеристика ( ) ( )ωω jHL lg20= будет равна сумме ЛАХ отдельных звеньев:

( ) ( )∑=

=n

kkLL

1ωω .

Поскольку ЛАХ многих элементарных звеньев могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, то ЛАХ ( )ωL разомк-нутой системы управления также будет представлена в виде отрез-ков прямых линий, имеющих наклоны к оси частот, кратные 20 де-цибелам на декаду. Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий вид

-1

Ym

Rl

-1

Rl

а б

∆ϕ

H(jω0)

Arg H(jωcp)

29

( ) ( )( )2

21

11

pTppTk

pH+

+= .

Такая система содержит два интегратора, форсирующее звено с пе-редаточной функцией ( ) ( )11фH p k pT= + и апериодическое звено с передаточной функцией ( ) ( )21/1 pTpH а += . Представим ЛАХ от-дельных звеньев такой системы в виде графиков на рис. 18, а. Сум-мируя представленные графики, получим ЛАХ разомкнутой систе-мы (рис. 18, б).

Как следует из приведенных рисунков, построение суммар-ной ЛАХ осуществляется достаточно просто. Необходимо лишь учитывать изменение наклона ЛАХ в точках 11 /1 T=ω и 22 /1 T=ω , соответствующих сопрягающим частотам форсирующего и аперио-дического звеньев. Для проверки условий устойчивости замкнутой системы ав-томатического управления необходимо в таком же логарифмиче-ском масштабе по оси частот построить фазочастотную характери-стику ( ) ( )ωωϕ jHArg= . Однако опыт инженерных расчетов пока-зывает, что замкнутая САУ, как правило, устойчива и обладает за-пасом устойчивости, если ЛАХ разомкнутой системы вблизи часто- ты среза имеет наклон –20 дБ/дек. При этом запас устойчивости тем больше, чем больше протяженность этого участка ЛАХ. Обыч-но считают, что, протяженность участка с наклоном - 20 дБ/дек

40 20 -20

Рис. 18 а

( )ωL -40 дБ/дек

20 lg k20 дБ/дек

2ω

-20 дБ/дек

1ω

40 20 -20

б

( )ωL -40 дБ/дек

20 lg k

2ω

-20 дБ/дек

1ω

0.001 0.01 0.1 10 100 1000

-40 дБ/дек

0.001 0.01 0.1 10 100 1000

30

должна составлять не менее 1 декады. Существуют устойчивые САУ с наклоном ЛАХ большим, чем - 20 дБ/дек, но для таких сис-тем, как правило, очень мал запас устойчивости. Предположим, что исследуемая САУ имеет наклон около частоты среза больший, чем - 20 дБ/дек (рис. 19)

Рис. 19 Учитывая, что при последовательном соединении звеньев САУ их ЛАХ суммируются, нужно включить в САУ такое звено, которое обеспечит устойчивость системы. В рассматриваемом слу-чае таким звеном может быть звено с ЛАХ, показанной на рис. 20.

Рис. 20

Действительно, после суммирования ЛАХ системы управле-ния (рис. 19) и дополнительного звена получим ЛАХ, имеющую постоянный наклон - 20 дБ/дек на всех частотах, в том числе и на

L(ω)

20дБ/дек40

20

-2010 100 10000,1 0,01

60

ω1 ω

L(ω)

-20 дБ/дек 40

20

-20

10 100

ω

0,1 0,01

60

ω1

1000

-40 дБ/дек

31

частоте среза. В рассматриваемом примере передаточная функция дополнительного корректирующего звена Hф(jω) =1+jωTф, причем ω1 = 1/Tф. Введение дополнительных звеньев для обеспечения ус-тойчивости систем управления называется коррекцией САУ, а сами звенья – корректирующими.

* * * В этом разделе были рассмотрены методы исследования од-ного из важнейших показателей качества систем управления - ус-тойчивости линейных систем. Применение этих методов для анали-за конкретных систем обычно осуществляется следующим образом. Вначале строят ЛАХ разомкнутой системы управления. Если сис-тема неустойчива, то подбирают и вводят в нее корректирующие звенья таким образом, чтобы наклон ЛАХ на частоте среза состав-лял - 20 дБ/дек и обеспечивался необходимый запас устойчивости. После этого обязательно исследуют устойчивость скорректирован-ной системы с помощью критерия Найквиста-Михайлова и опреде-ляют точные значения запасов устойчивости по усилению и по фа-зе. При необходимости после этого изменяются параметры системы управления для обеспечения заданного запаса устойчивости.

2.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОШИБКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Точность систем управления является важнейшим показате-лем их качества. Чем выше точность, тем выше качество системы. Однако предъявление повышенных требований к точности вызыва-ет неоправданное удорожание системы, усложняет ее конструкцию. Недостаточная точность может привести к несоответствию харак-теристик системы условиям функционирования и необходимости ее повторной разработки. Поэтому на этапе проектирования системы должно быть проведено тщательное обоснование требуемых пока-зателей точности. В этом разделе рассматриваются методы определения оши-бок, возникающих при работе систем управления с детерминиро-ванными входными воздействиями. Вначале анализируются ошиб-ки систем в переходном режиме. Затем особое внимание уделено

32

простым способам расчета ошибок систем в установившемся ре-жиме. Будет показано, что все системы управления можно разде-лить по величине установившихся ошибок на системы без памяти, так называемые статические системы, и системы, обладающие памятью, – астатические системы управления.

Типовые входные воздействия

Для оценки качества работы систем управления рассматри-вают их поведение при некоторых типовых воздействиях. Обычно такими воздействиями служат следующие три основные вида функций:

а) ступенчатое воздействие: g(t) = ⎩⎨⎧

≤>0,0

0,0

ttg

, g(p) = p

g0 ;

б) линейное воздействие: g(t) = ϑ t , t > 0 ;

2)(

ppg ϑ

= ;

в) квадратичное воздействие: g t at( ) = 2 /2 , t > 0 ; g(p) =

3pa .

В некоторых случаях рассматривают обобщенное полиноми-альное воздействие:

nn tatatatgtg 1

32

210 ...)( −++++= ϑ , t > 0.

t

t

g(t)

g(t)

0

0

t

g(t)

0

33

Ступенчатое воздействие является одним из простейших, но именно с его помощью определяется ряд важных свойств систем управления, связанных с видом переходного процесса. Линейное и квадратичное воздействия часто бывают связаны с задачами слеже-ния за координатами движущегося объекта. Тогда линейное воз-действие соответствует движению объекта с постоянной скоро-стью; квадратичное - движению объекта с постоянным ускорением. Переходные процессы при типовых воздействиях можно по-строить следующим образом. Пусть задана передаточная функ-ция замкнутой системы управления W(p). Тогда

x(p) = W(p) g(p), где g(p) – изображение соответствующего воздействия.

Например, если pkpH =)( , то

kpk

pkpkpW

+=

+=

/1/)( и

для g(t) = g0 получим )(

.)()()( 00

kppkg

pg

kpkpgpWpx

+=

+== .

С помощью вычетов или по таблицам находим обратное пре-образование Лапласа и получаем вид переходного процесса x(t) для заданного входного воздействия:

)1()(

Re)(

Re)( 000

0

ktpt

k

pt egekpp

kgsekpp

kgstx −

−−=

++

+= ,

где Res x(p) – вычет функции x(p) в точке a. Обычно реакция системы на ступенчатое воздействие имеет вид, показанный на рис. 21,а или рис. 21,б.

Рис. 21 Переходный процесс, как правило, характеризуют двумя пара-

метрами – длительностью переходного процесса (временем уста-новления) и величиной перерегулирования. Под временем установления tу понимают временной интер-вал, по истечении которого отклонение |x(t) - xуст | выходного про-цесса от установившегося значения xуст не превышает опреде-

tба

x(t)

0

g0

t

x(t)

0

g0

хmax

tуtу

34

ленную величину, например, 0,1gо. Время установления является важным параметром САУ, позволяющим оценить ее быстродейст-вие. Величину tу можно оценить приближенно по амплитудно-частотной характеристике системы. При заданной частоте среза

1 2 2y срt ( ) /π ω≅ ÷ ⋅ . Для оценки качества системы используется также величина перерегулирования, определяемая соотношением

00max /)( ggx −=δ . В зависимости от характера собственных колебаний системы

переходный процесс в ней может быть колебательным, как это по-казано на рис. 21, б, или плавным гладким, называемым апериоди-ческим (рис. 21,а). Если корни характеристического уравнения сис-темы действительны, то переходный процесс в ней апериодиче-ский. В случае комплексных корней характеристического уравне-ния собственные колебания устойчивой системы управления явля-ются затухающими гармоническими и переходный процесс в сис-теме имеет колебательный характер. При малом запасе устойчивости САУ ее собственные коле-бания затухают медленно, и перерегулирование в переходном ре-жиме получается значительным. Как следствие, величина перерегу-лирования может служить мерой запаса устойчивости системы. Для многих систем запас устойчивости считается достаточным, ес-ли величина перерегулирования %3010 ÷≤δ .

Установившийся режим При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме уст t

lim ( t )ε ε→∞

= .

В зависимости от вида воздействия и свойств системы эта ошибка может быть нулевой, постоянной или бесконечно большой величи-ной. Очень важно, что величина установившейся ошибки может быть легко найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала: )(lim)(lim

0ppt

ptуст εεε→∞→

== .

При использовании этой теоремы нужно выразить величину ошибки ε (p) через g(p). Для этого рассмотрим структурную схе-му замкнутой системы управления (рис. 22).

35

Рис. 22

Очевидно, ε (p) = g(p) - x(p) = g(p) - H(p)ε(p). Отсюда

ε( )( )

( )pH p

g p=+

11

или ε (p) = Hε(p)g(p) , где Hε(p) = )(1

1pH+

назы-

вается передаточной функцией системы управления от входного воздействия g(p) к ошибке слежения ε(p). Таким образом, величину установившейся ошибки можно найти с помощью следующего со-отношения:

)()(lim0

pgppHpуст εε→

= ,

где Hε(p) = 1/(1+H(p)); g(p) - изображение типового входного воз-действия. Пример 1. Рассмотрим систему управления, в составе кото-рой нет интеграторов, например,

)1)(1(

)1()(

21

3

pTpTpTk

pH++

+= .

Найдем величину установившейся ошибки при ступен-чатом входном воздействии g(t) = g0, t ≥ 0. В этом случае

kg

pTpTpTk

gp

gpH

pppуст +

=

+++

+=

+=

→→ 1)1)(1(

1(1

lim)(1

1lim 0

21

3

0

0

0

0ε .

Предположим теперь, что входное воздействие изменяется

линейно ϑ=)(tg t или 2

)(p

pg ϑ= .

Тогда ∞→+

=→ 20 )(1

1limppH

ppуст

ϑε . Соответствующие вход-

ные воздействия и переходные процессы можно представить гра-фиками на рис. 23,а и б.

g(p) x(p) H(p)ε (p)=g(p)-x(p) +

-

36

Рис. 23 Пример 2. Рассмотрим теперь систему, содержащую один интегратор. Типичным примером может быть система сервоприво-

да (рис. 6) с )1(

)(ДВpTp

kpH+

= .

Для ступенчатого воздействия g(t) = g0 или g(p) = gp

0 полу-

чим 0 0

00

1 01 1

1

уст pp

ДВ

g glim p limk kpp( pT ) p

ε→→

= = =+ +

+

.

При линейном входном воздействии

kppTpk

p

ДВ

pустϑϑε =

++

=→ 20

)1(1

1lim .

Такие процессы можно проиллюстрировать соответствующими кривыми на рис.24, а и б.

Рис. 24

Пример 3. Рассмотрим систему с двумя интеграторами.

Пусть, например, 2

)1()(

ppTk

pH+

= . При ступенчатом воздействии

t

х(t)

0t

х(t)

0

ε( )t g0

0

εус т

t t

vt

0

g0

ба

ε уст

g(t) х(t)

ба

X(t)

37

0)1(1

1lim 0

20

=+

+=

→ pg

ppTk

ppустε .

При линейном 0)1(1

1lim 2

20

=+

+=

→ pp

pTkp

pустϑε .

Наконец, если входное воздействие квадратичное g(t) = at2/2 (g(p) = a/p3), то

30

2

1lim (1 )1óñò p

a ap k pT p kp

e®

= =++.

Таким образом, в системе с двумя интеграторами может осуществляться слежение за квадратичным входным воздействием при конечной величине установившейся ошибки. Например, можно следить за координатами объекта, движущегося с постоянным ус-корением.

Статические и астатические системы управления

Анализ рассмотренных примеров показывает, что системы управления, содержащие интегрирующие звенья, выгодно отлича-ются от систем без интеграторов. По этому признаку все системы делятся на статические системы, не содержащие интегрирующих звеньев, и астатические системы, которые содержат интеграторы. Системы с одним интегратором называются системами с аста-тизмом первого порядка. Системы с двумя интеграторами – сис-темами с астатизмом второго порядка и т.д. Для статических систем даже при неизменяющемся воздей-ствии g(t) = g0 установившаяся ошибка имеет конечную величину g(t) = g0 . В системах с астатизмом первого порядка при ступенча-том воздействии установившаяся ошибка равна нулю, но при ли-нейно изменяющемся воздействии kуст /ϑε = . Наконец, в систе-мах с астатизмом второго порядка ненулевая установившаяся ошибка появляется только при квадратичных входных воздействи-ях g(t) = at2 /2 и составляет величину εуст = a/k.

38

Какие же физические причины лежат в основе таких свойств астатических систем управления? Рассмотрим систему управления с астатизмом второго по-рядка (рис. 25)

Рис. 25

Пусть входной сигнал системы управления изменяется ли-нейно: g t( ) = ϑ t. Как было установлено, в такой системе устано-вившаяся ошибка равна нулю, т.е. ε (t) =0. Каким же образом сис-тема работает при нулевом сигнале ошибки? Если x(t) = ϑ t , то на входе второго интегратора должен быть сигнал U t

k( ) = ϑ

2. Действи-

тельно, при нулевом рассогласовании ε (t) =0 в системе с интегра-торами возможно существование ненулевого выходного сигнала первого интегратора U t k( ) /= ϑ 2 . Первый интегратор после окон-чания переходного процесса «запоминает» скорость изменения входного воздействия и в дальнейшем работа системы управления осуществляется по «памяти». Таким образом, физическим объясне-нием такого значительного различия статических и астатических систем является наличие памяти у астатических систем управления.

* * * Итак, существуют простые возможности определения важ-нейшего показателя систем управления – величины их динамиче-ских ошибок. Детальный анализ переходных процессов в системах управления обычно выполняют с помощью моделирования на ПЭВМ. Вместе с тем величины установившихся ошибок легко на-ходятся аналитически. При этом астатические системы управления, т.е. системы с интеграторами, имеют существенно лучшие показа-тели качества по сравнению со статическими системами.

1k p 2k p

0kg(t)=vt +

–

++

х(t)

ε( )t U(t)

39

2.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОМЕХ

Кроме динамических ошибок, в системах управления, как правило, имеются ошибки, вызванные действием помех. Случай-ные помехи возникают из-за целого ряда причин. Основными из них являются погрешности измерения координат объектов или со-стояния системы управления, пассивные или активные помехи, су-ществующие в информационных каналах, а также разнообразные внутренние возмущения, действующие в системах управления. При выборе параметров систем необходимо учитывать величину и ха-рактер действующих помех таким образом, чтобы минимизировать их влияние на качество работы системы управления. Вначале кратко рассмотрим математические методы описа-ния помех в системах управления, которые базируются на теории вероятностей и теории случайных процессов. Если изучение этого материала вызывает трудности, то следует повторить курс теории вероятностей [15]. После этого проанализируем возможности на-хождения дисперсии ошибок в системах управления за счет дейст-вия помех. В заключение рассмотрим конкретные значения диспер-сии помех для системы управления сервоприводом и определим оптимальные параметры системы, минимизирующие суммарную ошибку за счет действия помех и динамики изменения входных воздействий.

Математическое описание помех в системах управления

Представление о случайных процессах Помехи в системах управления описываются методами тео-рии случайных процессов. Функция называется случайной, если в результате экспери-мента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

40

Рис. 26

На рис. 26 показана совокупность нескольких (трех) реализа-ций случайного процесса x(1) (t), x(2) (t), x(3) (t). Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени t = t1 в первом эксперименте получим конкретное значение x(1) (t1), во втором – x(2) (t1) , в третьем – x(3) (t1). Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных вели-чин. Действительно, рассмотрим случайный процесс X (t) в фик-сированный момент времени t = t1 . Тогда X (t1) в каждом экспери-менте принимает одно значение 1( )x t , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматривае-мый в фиксированный момент времени t = t1, является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени t1 и t2 , то в каждом эксперименте будем получать два значения х(t1) и х(t2) . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к сис-теме (X(t1), X(t2)) двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин (X(t1), ..., X(tN)).

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса

Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксиро-ванный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

( ) ( )1x t

( ) ( )2x t ( ) ( )3x t

1t 2t t

41

)()( tXMtm = , 2))()()( tmtXMtD −= . Так же, как и для случайной величины, дисперсия характери-зует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения m(t). Чем больше D(t) , тем больше вероятность появле-ния очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадра-тичное отклонение (СКО) )()( tDt =σ , имеющее ту же размер-ность, что и сам случайный процесс. Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя даль-ность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а СКО – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней. Среднее значение и дисперсия являются очень важными ха-рактеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необхо-димо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две слу-чайные величины (X(t1), X(t2)), рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между X(t1)и X(t2). Для случайного процесса эта харак-теристика зависит от двух моментов времени t1 и t2 и называется корреляционной функцией:

))()()(()((),( 221121 tmtXtmtXMttR −−= .

Стационарные случайные процессы

Многие процессы в системах управления протекают одно-родно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называются стационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс X(t) называ-ется стационарным, если любые его вероятностные характеристи-ки не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: m(t) = m , D(t) = D= σ 2.

42

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности 12 tt −=τ мо-ментов времени:

1 1R( ) M (X(t ) m) (X(t ) m)τ τ= − ⋅ − − . Корреляционная функция стационарного случайного процес-са имеет следующие свойства: 1) 2=0)=R( στ ; 2) )R(=)R( ττ − ; 3) 0)( =∞→τR .

Часто корреляционные функции процессов в системах управ-ления имеют вид, показанный на рис. 27.

Интервал времени τ k , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называется интервалом или временем кор-реляции случайного процесса. Обычно М=10 или М=е. Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по вре-мени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом. Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса. Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

∫∞

∞−

−= ττω ωτ deRG j)()( .

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

∫∞

∞−

= ωωπ

τ ωτ deGR j)(21)( .

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот. При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных

Рис. 27

R(τ)σ 2

τ τk 0

σ2/е

43

характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что ли-нейная система задана импульсной переходной характеристикой ( )τh . Тогда выходной сигнал в момент времени 1t определяется ин-

тегралом Дюамеля:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−= 11111 τττ dtghtx ,

где ( )tg – процесс на входе системы. Для нахождения корреляцион-ной функции ( ) ( ) ( ) 2121, txtxMttRx = запишем

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−= 22222 ττ dtgthtx и после перемножения найдем математи-

ческое ожидание

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−= 2122112121 , ττττττ ddtgtgMhhttRx .

Таким образом, связь между корреляционными функциями входного и выходного случайных процессов устанавливается с по-мощью следующего двойного интеграла:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−= 2122112121 ,, ττττττ ddttRhhttR gx .

Для стационарных процессов корреляционные функции зави-сят только от разности аргументов utt =− 21 , ( ) ( ) vtt =−−− 2211 ττ и поэтому

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 2121 ττττ ddvRhhuR gx .

Более простое соотношение можно найти для энергетических спектров )(ωgG и )(ωxG входного и выходного сигналов при из-вестной передаточной функции ( )ωjW линейной системы. Дейст-вительно, найдем преобразование Фурье от левой и правой частей последнего равенства. Получим следующее выражение:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x gj uG h h R e d d duωω τ τ ν τ τ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

−= ∫ ∫ ∫ .

После замены переменной ( ) 212121 ττττ −−=−−−= uttv или 21 ττ −+= vu тройной интеграл преобразуется в произведение

44

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2

x gj j j vG h e d h e d R v e dvwt wt ww t t t t

Ґ Ґ Ґ

- Ґ - Ґ - Ґ

- -ж цж цж цч ч чз з зч ч чз з з= ч ч чз з зч ч чч ч чз з зи ши ши шт т т .

Поскольку преобразование Фурье от импульсной характеристики дает передаточную функцию, находим окончательно связь между энергетическими спектрами процессов на входе и на выходе ли-нейной системы:

( ) ( ) ( ) ( ) )()( 2 ωωωωωω ggx GjWGjWjWG =−= . Часто помехи в системах управления имеют очень широкий спектр. В таких случаях их удобно представить в виде так называе-мого белого шума – процесса с постоянным энергетическим спек-тром: G(ω) = No. Корреляционная функция белого шума

)()( 0 τδτ NR = , где δ (t) – импульсная дельта-функция. Это означает, что даже очень близкие по времени значения белого шума не свя-заны друг с другом.

Воздействие помех на системы управления

Рассмотрим воздействие помехи n(t) на замкнутую линей-ную систему управления (рис. 28). Будем предполагать, что нам из-вестен энергетический спектр Gn (ω) помехи.

Найдем дисперсию ошибки, возникающей при действии по-мехи n(t). Для этого вначале определим энергетический спектр на выходе системы 2( ) ( ) ( )вых nG W p Gω ω= , где W(p) = H(p) / (1+H(p)) – передаточная функция замкнутой системы управления. После этого с помощью обратного преобразования Фурье можно найти корре-ляционную функцию помехи на выходе системы:

1( ) ( )2

jвых выхR G e dωττ ω ω

π

∞

−∞

= ∫ .

+

Рис. 28

g(t) n(t)

H(p) X(t) +

-

45

Наконец, учитывая, что дисперсия 2 (0)вых выхRσ = , получаем оконча-тельное выражение для дисперсии ошибки системы управления:

2 1 ( ) .2 выхG dσ ω ωπ

∞

−∞

= ∫

Пример. Пусть на входе системы, содержащей один интегра-тор, например, в системе управления приводом, действует широко-полосная помеха с энергетическим спектром G n (ω) = N o. Переда-точная функция системы с одним интегратором H p k

p( ) = . Опреде-

лим дисперсию ошибки, вызванной действием помехи. Для этого вначале запишем выражение для передаточной функции замкнутой

системы kp

kpH

pHpW+

=+

=)(1

)()( и найдем квадрат ее модуля:

.)( 222

kkpW+

=ω

Энергетический спектр помехи на выходе рас-

сматриваемой системы 2

202 2( ) ( ) ( ) .вых n

kG W p G Nk

ω ωω

= = ⋅+

Таким образом, дисперсия ошибки САУ, вызванной действием помехи, находится по формуле:

.21

1221

020

220

22 kN

zdzkN

dk

Nkвых =

+=

+= ∫∫

∞

∞−

∞

∞− πω

ωπσ

Описание траекторий движения объектов

с помощью случайных процессов Входные сигналы САУ часто могут быть представлены с по-мощью типовых детерминированных воздействий. Например, дви-жение объекта с известной постоянной скоростью определяется уравнением ( ) 0g t g vt= + . Однако изменение входных сигналов во времени не всегда может быть задано с помощью известных детер-минированных функций. Во многих случаях для более реалистич-ного описания, например, траектории движения самолета или ко-рабля, необходимо использовать случайные процессы. При этом известная детерминированная составляющая входного сигнала мо-

46

жет рассматриваться как математическое ожидание ( )tm случайного процесса:

( ) ( ) ( )tgtmtg 0+= , где ( )tg0 – стационарный случайный процесс с нулевым математи-ческим ожиданием и корреляционной функцией ( )τgR . Таким образом, второе слагаемое ( )tg0 описывает неизвест-ный нам до эксперимента входной сигнал САУ в виде реализаций случайного процесса. Корреляционная функция этого случайного процесса позволяет задать дисперсию ( )0R g

2g == τσ и «среднюю

скорость» изменения входного сигнала, связанную с интервалом корреляции процесса ( )tg0 . На практике приближенные значения ( )tm и ( )τgR можно получить экспериментально, если в распоряже-

нии разработчика системы имеется большое число N записей ( ) N,...,2,1k,tg )k( = , реальных входных сигналов. Математическое

ожидание в этом случае оценивается средним арифметическим

( ) ( )∑=

=N

1k

)k(* tgN1tm ,

а для оценки корреляционной функции используется следующая формула:

( ) ( ) ( )∑=

+=N

1k

)k()k(*g tgtg

N1R ττ .

Процесс ( )tg0 можно считать стационарным, если результаты рас-четов по этой формуле мало зависят от выбора начала отсчета вре-мени t. Пусть входной сигнал САУ задан в виде суммы ( ) ( ) ( )tgtmtg 0+= . Для нахождения динамических ошибок, возни-кающих в линейной системе управления, можно воспользоваться принципом суперпозиции. Величина установившейся динамиче-ской ошибки за счет детерминированной составляющей изменения входного сигнала находится по известной формуле:

( )pplim0pуст εε

→= ,

где ( ) ( ) ( )pmpHp εε = ; ( ) ( )pH11pH

+=ε – передаточная функция по

ошибке; ( )pm – изображение ( )tm по Лапласу.

47

Случайная составляющая характеризуется величиной дис-персии динамической ошибки:

( )0R2 == τσ εε . Для нахождения корреляционной функции ( )τεR случайной состав-ляющей динамической ошибки вначале находят энергетический спектр ( )ωgG процесса ( )tg0 как преобразование Фурье ( )τgR . После этого легко находятся энергетический спектр

( ) ( ) ( )ωωω εε g2 GjHG =

и корреляционная функция динамической ошибки

( ) ( ) ωωπ

τ ωτεε deG

21R j∫

∞

∞−

= .

Суммарное воздействие детерминированного ( )tm и случай-ного ( )tg0 входного сигнала ( )tg может быть оценено средним квад-ратом динамической ошибки

( ) ( )( ) 22уст

2txtgM εσε +=− . Пример 1. Предположим, что на САУ (рис. 28) с одним инте-гратором ( ( ) p/kpH = ) поступает входной сигнал ( ) ( )tgvttg 0+= , где

( )tg0 – случайный процесс с корреляционной функцией ( ) τστ a2

gg eR −= . Определим в отсутствие помех ( ( ) 0tn ≡ ) средний квадрат динамической ошибки такой системы управления. Вначале найдем установившуюся ошибку за счет детермини-рованного слагаемого ( ) vttm = входного воздействия. Для системы с астатизмом первого порядка k/vуст =ε . Энергетический спектр

( )ωgG случайной составляющей ( )tg0 входного воздействия нахо-дится как преобразование Фурье корреляционной функции:

( ) ( )2

2 2

2 gjg g

aG R e d

aωτ σ

ω τ τω

∞−

−∞

= =+∫ .

Заметим, что aTk /1= является интервалом корреляции случайного процесса ( )tg0 на уровне e/1 . С другой стороны, параметр a равен ширине энергетического спектра случайного процесса ( )tg0 на уровне 0.5, т.е. ( ) ( ) 5.00G/aG gg === ωω . После нахождения энергетического спектра случайной со-ставляющей динамической ошибки

48

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2g

22

2

g

2

g2

aa2

kG

jH11GjHG

++=

+==

ω

σ

ωωω

ωωωω εε

находим дисперсию динамической ошибки

( ) ( )ka

adG

210R

2g2

+=== ∫

∞

∞−

σωω

πσ εεε .

Средний квадрат динамической ошибки с учетом детерминирован-ной и случайной составляющих определяется как сумма

kaa

kv 2

g2

222

уст ++=+

σσε ε .

Из полученного выражения следует, что при заданных параметрах 2, , ga v σ входного сигнала уменьшение динамической ошибки

достигается при увеличении коэффициента k усиления звена САУ.

Оптимизация параметров системы управления

Динамические ошибки при описании входного сигнала де-терминированными функциями ( )pg в установившемся режиме оп-ределяются по формуле:

( ) ( )pgpHpуст εε

0lim→

= ,

где ( ) ( )pH11pH

+=ε ; ( )pH - передаточная функция разомкнутой САУ.

При описании входного сигнала реализациями случайного процесса ( )tg0 динамические ошибки характеризуются величиной дисперсии

( ) ( ) ωωωπ

σ εε dGjH21

g22 ∫

∞

∞−

= ,

где ( )ωgG - энергетический спектр входного сигнала ( )tg0 . При на-личии детерминированных ( )tm и случайных ( )tg0 составляющих входного сигнала ( ) ( ) ( )tgtmtg 0+= величину динамических ошибок целесообразно оценивать средним квадратом суммарной ошибки

22уст εσε + .

Кроме динамических, в САУ имеются ошибки, вызванные действием помех ( )tn . Влияние помех можно характеризовать

49

дисперсией 2выхσ выходного сигнала САУ

( ) ( ) ωωωπ

σ dGjW21

n2

n2вых ∫

∞

∞−

= ,

где ( )ωjWn - передаточная функция по помехе; ( )ωnG - энергетиче-ский спектр помехи. Как правило, помехи в САУ могут быть пред-ставлены белым шумом с постоянным на всех частотах энергетиче-ским спектром ( ) 0n NG =ω . Кроме того, помехи часто действуют на вход системы и тогда передаточная функция по помехе ( )ωjWn сов-

падает с передаточной функцией ( ) ( )( )ωωωjH1

jHjW+

= замкнутой САУ.

Во всех современных САУ присутствуют как динамические ошибки, так и ошибки за счет действия помех. Для характеристики качества системы управления при наличии динамических и случай-ных ошибок используют средний квадрат суммарной ошибки:

2вых

22уст

2с σσεε ε ++= ,

который зависит от параметров a a a amT= ( , , ... , )1 2 системы. Парамет-

ры a обычно выбираются таким образом, чтобы обеспечить усло-вие минимума квадрата суммарной ошибки min

aСε2 . В этом случае

говорят об оптимизации параметров системы управления по крите-рию минимума квадрата суммарной ошибки. Пример 2. Рассмотрим систему привода антенны или рулей летательного аппарата (см. п. 1.1), находящуюся под воздействием помех (рис. 29).

Рис. 29

В такой системе угол поворота х(t) вала двигателя должен повторять заданную траекторию движения – входной сигнал g(t).

Ку g(t)

n(t)

u(t)

x(t)

+

50

Помеха n(t) в данном случае описывает погрешности измерения х(t). Упрощенная эквивалентная схема такой системы представ-лена на рис. 30, где H p

kp pT

( )( )

=+1

, k=ку кдв – коэффициент пере-

дачи системы; Т – постоянная времени двигателя.

Рис. 30

Предположим, что заданная траектория движения описыва-ется линейной функцией g(t)=Vt. Тогда установившиеся динамиче-ские ошибки системы с одним интегратором определяются по фор-муле ε уст V k= / . Чем выше коэффициент усиления k , тем меньше величина динамической ошибки в установившемся режиме. Будем аппроксимировать помеху белым шумом со спек-

тральной плотностью Gn(ω)=N0. Тогда Gвых(ω)= H jH j

N( )( )ωω1

2

0+ и

после преобразований находим: σε2 02

=N K . Из этой формулы следу-

ет, что для уменьшения влияния помех необходимо снижать коэф-фициент усиления k, т.е. повышать инерционность системы управ-ления. Квадрат суммарной ошибки определяется следующим выра-

жением: 2

2 2 2 02 2c уст вых

V N kk

ε ε σ= + = + . На основе этой формулы можно

построить график зависимости ε εС С k2 2= ( ) (рис. 31).

k0 k

n(t)

0

g(t) x(t) H(p)+

Рис. 31

+ –

2cε

51

Очевидно, существует оптимальное значение k0 параметра k, обеспечивающее минимум суммарной ошибки. После дифферен-цирования εС

2 и приравнивания к нулю производной находим: ddk

Vk

NСε2 2

302

20= − + = или k

VN0

2

03

4= . Выбирая k=k0, мы решаем за-

дачу оптимизации системы управления по параметру k. Возвратимся к условиям рассмотренного примера 1. При этом предположим, что траектория движения вместо детерминиро-ванной функции описывается с помощью реализаций случайного процесса ( )g t , имеющего нулевое среднее и корреляционную функцию ( ) 2 a

g gR e ττ σ −= . Динамические ошибки системы определяются величиной дисперсии

( ) ( ) ωωωπ

σ εε dGjH g∫∞

∞−

= 22

21 .

Для системы с одним интегратором ( ) ( )ωωε j/k1/1jH += . Учи-тывая также, что

( ) ( ) 22

22a

adeeRG gja

gg +== ∫

∞

∞−

−−

ω

σττω ωττ .

получим дисперсию динамической ошибки в следующем виде

( )( ) kaa

dka

a gg

+=

++= ∫

∞

∞−

2

2222

222 2

21 σ

ωωω

ωσπ

σ ε .

Как уже было показано в первом примере, дисперсия ошибки за счет действия помех определяется по формуле 2

0 2вых N kσ = . Вновь обратим внимание на то, что динамические ошибки уменьшаются при увеличении коэффициента усиления k системы управления. Вместе с тем влияние помех при увеличении k возрастает. Обобщенным показателем качества для рассматриваемой системы служит средний квадрат ошибки:

2kN

kaa 0

2g2

вых22

c ++

=+=σ

σσε ε . Зависимость 2

cε от параметра k носит характер, близкий к графику на рис. 31. Вместе с тем определенным отличием является конечное значение ( )2 0c kε = . Действительно, если k=0, то выходной сигнал системы ( ) 0≡tx и дисперсия динамической ошибки конеч-

52

на: ( ) ( )( ) 22 2gM x t g tεσ σ= − = . После дифференцирования 2

cε по пара-

метру k можно определить точку минимума среднего квадрата ошибки из условия 2 0cd dkε = . Полученное при этом оптимальное значение ok обеспечивает наилучшие условия функционирования рассмотренной САУ при заданных моделях изменения входного сигнала и помех.

* * * В этом разделе были рассмотрены важнейшие показатели эффективности систем управления. К ним относится устойчивость, характеризуемая двумя показателями: запас устойчивости по уси-лению и запас устойчивости по фазе. Точность систем управления определяется видом входных воздействий и построением самой системы. С точки зрения минимальных установившихся ошибок важную роль играют астатические системы, т.е. системы управле-ния с интеграторами. Наконец, действие помех связано с появлени-ем случайных ошибок, которые оцениваются величиной их диспер-сии 2

выхσ на выходе системы управления.

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В предыдущих разделах были рассмотрены три важных пока-

зателя качества систем управления. Это – устойчивость, точность и дисперсия ошибки за счет действия помех, Все эти важнейшие по-казатели позволяют проводить анализ конкретных систем управ-ления. Т.е. при заданной структуре системы управления, видах входных воздействий и характеристиках помех можно рассчитать величины динамических ошибок и ошибок за счет действия помех. В этом разделе будет дано решение задачи синтеза или по-строения оптимальных систем управления, т.е. дан ответ на во-прос о том, какая именно система управления обеспечивает наи-меньшие ошибки при заданных внешних воздействиях. Решение задачи математического синтеза оптимальной сис-темы управления сложнее, чем уже рассмотренное нами решение задачи анализа систем. Задача анализа была в основном решена в 20-х годах нашего столетия. Но только через много лет советским

53

n(t)

x(t)g(t) z(t) W(jω) +

Рис. 32

математиком А.Н.Колмогоровым (1940) и американским Н.Винером (1948) были даны первые примеры синтеза оптималь-ных систем. Обобщение и развитие результатов теории синтеза систем управления связано с важными работами Р.Калмана, выпол-ненными в 60-х годах. В этих работах получено простое и вместе с тем довольно общее решение задачи синтеза оптимальных систем управления с изменяющимися параметрами. Именно благодаря этим результатам был достигнут существенный прогресс в управ-лении космическими аппаратами, ракетами, современными прокат-ными станами и другими сложными объектами

3.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ.

ФИЛЬТР ВИНЕРА

Постановка задачи синтеза оптимальной системы управления Решение задачи оптимизации параметров очень важно, но оно вызывает чувство неудовлетворенности, связанное с полностью заданной структурой исследуемой системы. Действительно, введем в систему какой-нибудь дополнительный элемент, например инте-гратор или апериодическое звено. Как при этом изменится суммар-ная ошибка? Если она окажется меньше, то, может быть, следует ввести еще какие-нибудь звенья? При этом, естественно, возникает вопрос о поиске наилучшей структуры системы управления

среди всех возможных систем. Для решения задачи синтеза оп-

тимальной системы управления пере-несем помеху на её вход и предста-вим систему в виде рис. 32, где W(jω) – произвольная передаточная функ-ция замкнутой системы управления. Ей соответствует импульсная пере-

ходная характеристика h(τ). Будем теперь описывать возможные входные сигналы g(t) с помощью реализаций стационарного случайного процесса с задан-ным математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией Rg(τ).

54

В такой постановке показателем качества может быть сред-ний квадрат ошибки системы управления 22

0 ))()(( tgtxМ −=σ . При заданных характеристиках входного сигнала Rg(τ) и по-мех Rn(τ) будем искать систему управления, в которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Речь идет о том, чтобы мини-мизировать σ0

2 не по параметрам конкретной системы, а по виду системы, заданному неизвестной передаточной функцией W(jω) или импульсной переходной характеристикой h(τ). Таким образом, необходимо найти такую систему управления, для которой дости-гается 2

0)(minσ

τh, где h(τ) – все возможные импульсные переходные

характеристики. Решение задачи синтеза оптимальной системы управления

Известно, что реакция любой линейной системы на входное воздействие z(t)=g(t)+n(t) может быть записана с помощью инте-грала свертки:

( ) ( ) ( )x t h z t dτ τ τ∞

−∞

= −∫ .

Подставим х(t) в формулу для среднего квадрата ошибки:

σ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

02 2

2 22

= − −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= − − − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫∫

M h z t d g t

M h z t d g t h z t d g t

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

Каждое из трех слагаемых можно легко выразить через инте-гралы от корреляционных функций. Например,

=−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ττττττ d)t(z)t(g)(hMd)t(z)(h)t(gM

( ) ( ) ( )h M g t z t dτ τ τ∞

−∞

= −∫ . Поскольку

M g t z t M g t g t M g t n t Rg( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),− = − + − =τ τ τ τ 2g

2 )t(gM σ= , то

2ggng

20 d)(R)(h2dvd))v(R)v(R)(v(h)(h στττττττσ +−−+−= ∫∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

.

55

Для нахождения вида импульсной переходной характеристи-ки h0(τ), минимизирующей σ0

2 , необходимо применить методы ва-риационного исчисления[12]. Представим h(τ) в виде суммы

)()(h)(h 0 τγχττ += импульсной характеристики h0(τ) оптимальной системы и ее «приращения» )(τγχ – произвольной функции. В соот-ветствии с теорией необходимым условием минимума σ0

2 служит

равенство 0

20 /0

dd

=≡ γγσ .

После дифференцирования это условие можно записать в следующей форме:

2 0χ τ τ τ τ τ( )( ( )( ( ) ( )) ( ))−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ − + − − ≡h v R v R v dv R dg n g .

Учитывая произвольный характер χ τ( ) , получаем интеграль-ное уравнение для переходной характеристики оптимальной систе-мы управления:

h v R v R v dv Rg n g( )( ( ) ( )) ( )−∞

∞

∫ − + − =τ τ τ .

Это уравнение впервые было найдено Н. Винером. Анало-гичное соотношение для дискретного времени на несколько лет раньше Н. Винера получил советский математик А.Н. Колмогоров. Интегральное уравнение Винера для стационарных процес-сов легко решается с помощью преобразования Фурье. Действи-тельно, после преобразования Фурье левой и правой части нахо-дим:

W G G Gg n g( )( ( ) ( )) ( )ω ω ω ω+ = или WG

G Gg

g n( )

( )( ) ( )

ωω

ω ω=

+.

Таким образом, передаточная функция оптимальной системы полностью определяется энергетическим спектром Gg ( )ω входного сигнала, возможными траекториями движения объекта управления, и энергетическим спектром помехи )(Gn ω , действующей в системе. Пример. Пусть возможные траектории описываются стацио-нарным случайным процессом с корреляционной функцией

τστ a2gg e)(R −= , где

a1 – интервал корреляции полезного сигнала.

Помеха, действующая на систему, - белый шум Gn(ω)=N0. С помо-

56

щью преобразования Фурье корреляционной функции Rg ( )τ найдем спектр полезного сигнала:

Ga

agg( )ω

σ

ω=

+

2 2

2 2

Тогда оптимальная система управления должна иметь пере-даточную функцию следующего вида:

)21()/(2

2

2

)()()(

)( 2

022

2

22

2

qaq

Na

aa

a

GGG

Wg

g

ng

g

++=

++

+=+

=ω

ωσω

σ

ωωω

ω ,

где aN

q g

0

2σ= - отношение мощности полезной составляющей и мощ-

ности помехи в полосе полезного сигнала. Импульсная переходная характеристика находится с помо-щью обратного преобразования Фурье:

q21aeq21

aq)(h +−

+= ττ .

Таким образом, по заданным характеристикам входных воз-действий и помех получаем передаточную функцию и импульсную характеристику оптимальной системы управления, т.е. системы управления, для которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Рассмотренный подход имеет ряд недостатков. Во-первых, полученное решение физически нереализуемо. Действительно, представим импульсную переходную характеристику оптимальной системы управления в виде графика (рис. 33) .

Рис. 33 Эта характеристика по определению является реакцией сис-темы на δ -функцию – импульс в начале координат. У всех физиче-ски реализуемых систем отклик будет только после появления входного воздействия, т.е. у всех физически реализуемых систем

h( )τ

0 τ

57

,0)(h ≡τ τ < 0. Второй недостаток – требование стационарности входных воздействий. Это не позволяет рассматривать целый ряд систем управления, например, управление ракетой. Динамика тако-го управления изменяется по мере сгорания топлива. Кроме того, стационарный режим не позволяет учесть переходные процессы на начальном этапе работы САУ. Наконец, само решение уравнения Н. Винера во многих случаях оказывается очень сложным. Назван-ные недостатки устраняются с помощью методов, рассматриваемых в следующем разделе.

* * *

Несмотря на недостатки рассмотренного метода синтеза оп-тимальных систем, следует заметить, что Н. Винер впервые поста-вил и решил важнейшую задачу о поиске структуры оптимальной системы управления, т.е. задачу синтеза оптимальной системы. Имея в своем распоряжении структуру оптимальной системы, раз-работчик реальных систем управления может опираться на основ-ные рекомендации теории, может осуществлять сравнение кон-кретных систем с оптимальной по заданному показателю качества – среднему квадрату суммарной ошибки.

3.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ. ФИЛЬТР КАЛМАНА

Как уже отмечалось, наряду с принципиальной возможно-стью синтеза оптимальной системы управления, метод Н. Винера обладает существенными недостатками. Главные из этих недостат-ков – нереализуемость фильтра, требование стационарности вход-ных воздействий и трудности решения интегрального уравнения Винера-Хопфа в общем случае. В этом разделе вначале будет предпринята попытка извлечь все то полезное, что имеется в под-ходе Н. Винера. Это, прежде всего, возможность определить мини-мально достижимую дисперсию ошибки управления, а также по-строение фильтров для некоторых конкретных примеров. Затем анализируются возможности получения физически реализуемых систем на основе решения уравнения Н. Винера. Важным шагом будет представление входных сигналов и реализуемой системы

58

управления в форме стохастических дифференциальных уравнений. В заключение рассматривается обобщение полученных результа-тов на случай нестационарных воздействий на конечном интервале времени.

Потенциальная эффективность нереализуемых систем управления

Важным достоинством уравнений Н. Винера является воз-можность довольно простого нахождения дисперсии ошибки опти-мальной системы управления, т.е. минимально достижимой дис-персии ошибки для всех возможных систем при заданных характе-ристиках сигналов и помех. Это позволяет сравнивать дисперсию ошибки реальной системы с полученным граничным значением и тем самым оценивать реальную эффективность конкретных систем в виде величины проигрыша 2

min020 /σσ=Q по отношению к опти-

мальной САУ. Минимальную дисперсию ошибки можно найти с помощью подстановки в формулу (см. п. 3.1)

∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−−= 22min0 )()(2)()()( ggz dRhdvdvRhvh σττττττσ

импульсной переходной характеристики )(h τ оптимальной системы управления. Эта характеристика находится из решения интеграль-

ного уравнения Н. Винера )()()( ττ gz RdvvRvh =−∫∞

∞−

, где

( ) ( ) ( )z g hR R Rτ ν τ ν τ ν− = − + − . Преобразуем формулу для дисперсии ошибки:

2 20 min

2

( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) .

z g g g

g g

h h v R v dv R d h R d

h R d

σ τ τ τ τ τ τ τ σ

σ τ τ τ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

∞

−∞

= − − − + =

= −

∫ ∫ ∫

∫.

Полученное выражение значительно упрощается для случая, когда помеха может быть представлена белым шумом с корреляци-онной функцией ( ) ( )0nR Nν δ ν= . Действительно, полагая τ = 0 в урав-нении Н.Винера, найдем следующее соотношение:

59

2( ) ( ( ) ( ))g n gh v R v R dvν σ∞

−∞

+ =∫

или dvvRvhdvvRvh ngg )()()()(2 ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=−σ . Таким образом

20minσ = dvvRvhdvvRvh ngg )()()()(2 ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

=−σ

и, после подстановки )()( 0 vNvRn δ= , окончательно запишем: )0(hN0

2min0 =σ .

Пример 1. Пусть 20( ) , ( )a

g g nR e G Nττ σ ω−= = . В этом случае

2

2 2

2( ) g

g

aG

aσ

ωω

=+

, ( )2

2 2

( ) 2( )( ) ( ) 1 2

g

g n

G a qW jG G a q

ωω

ω ω ω= =

+ + +

21 2

0

( ) ,1 2

a q gaqh e qN aq

τ στ − += =

+.

Таким образом, в рассмотренном примере 2

20 min 0 1 2 1 2

gaqNq q

σσ = ⋅ =

+ +.

Построим зависимость 2 20min / ( )g qσ σ относительной дисперсии ошиб-

ки оптимальной системы от величины отношения q дисперсий по-лезного сигнала 2

gσ и помехи в полосе сигнала 0N a (рис. 34).

Рис. 34 Задавая требуемое значение дисперсии ошибки с помощью найденной зависимости, можно определить пороговое отношение сигнал/помеха nq , начиная с которого будет обеспечена заданная точность. Таким образом, при заданном показателе качества

2 20 min gγ σ σ= формируются требования к характеристикам входно-

σ σ02 2

min / g

1.0

q qn 0

γ

60

го воздействия и к уровню помехи, необходимые при проектирова-нии САУ.

Физически реализуемые системы. Фильтр Винера

Обратимся к уже рассмотренному примеру, в котором им-

пульсная переходная характеристика q21aeq21

aq)(h +−

+= ττ . Пред-

ставим такую характеристику в виде графика на рис. 33. Еще раз отметим, что на рис. 33 представлена реакция конкретной линей-ной системы на действие короткого импульса в момент времени

0=τ . При этом реакция системы появляется раньше, чем воздейст-вие на систему. Такие системы называются физически нереализуе-мыми При выводе уравнения Н.Винера это обстоятельство не учи-тывалось. Именно поэтому решение задачи построения оптималь-ной системы и приводит к физически нереализуемым устройствам. Тем не менее, можно произвести модификацию уравнения Н.Винера и получить на его основе физически реализуемые систе-мы. Это осуществляется следующим образом. Представим синтези-руемую систему в виде рис. 35.

Рис. 35

Система получается физически нереализуемой. Однако, если бы входное воздействие z (t) было белым шумом, то можно им-пульсную переходную характеристику оптимальной реализуемой системы просто положить равной нулю при 0τ < . Для реальных воздействий ( )z t сделаем дополнительное преобразование с коэф-фициентом передачи H1(jω), такое, чтобы свести задачу к построе-нию системы управления, на входе которой присутствует белый шум z1(t) (рис. 36).

W(jω)+x(t)g(t)

n(t) z(t)

61

Рис. 36

После этого с помощью уравнения Винера найдем переда-точную функцию H2(jω) и выделим ее реализуемую часть H2P(jω). Общая передаточная функция оптимальной реализуемой системы запишется в виде: W(jω)=H1(jω) H2P(jω). Каким же образом превратить z(t) в белый шум с помощью фильтра? Нам известен энергетический спектр Gz(ω)=Gg(ω)+Gn(ω). Необходимо, чтобы ( ) 2

1 1( )zG H j Nω ω = , где N1 - спектральная плот-ность белого шума z1 , например, N1 =1. Запишем это выражение по-другому. Представим энергетический спектр Gz(ω) в виде про-изведения ( ) ( ) ( )zG j jω ψ ω ψ ω= − , а ( ) 2

1 1 1( ) ( )H j H j H jω ω ω= − . Тогда требуется, чтобы

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1j j H j H jψ ω ψ ω ω ω− − = . Для этого необходимо выбрать фильтр с передаточной функ-цией ( )1( ) 1H j jω ψ ω= . Такой фильтр превращает входное воздейст-вие в белый шум и называется обеляющим. Заметим, что введение обеляющего фильтра не приводит к потере оптимальности систе-мы. Действительно, всегда можно восстановить входной сигнал с помощью фильтра с передаточной функцией ( )1H jω . Вместе с тем, преобразование ( )z t в белый шум ( )1z t позволяет построить опти-мальную реализуемую систему. Для этого из уравнения Н.Винера найдем передаточную функцию ( )2H jω оптимальной нереализуе-мой системы, выделим реализуемую часть и в результате получим оптимальный реализуемый фильтр Винера. Наиболее просто это осуществляется, если помеха n(t) является белым шумом со спек-тральной плотностью N0. Тогда передаточная функция оптимального реализуемого фильтра записывается в виде W j

NjP ( )

( )ω

ψ ω= −1 0 . Для по-

строения такого фильтра достаточно представить энергетический спектр Gz(ω)=Gg(ω)+N0 в виде произведения двух комплексно-

+ H1(jω) H2(jω)z1(t) x(t) g(t)

n(t) z(t)

62

сопряженных сомножителей G j jz ( ) ( ) ( )ω ψ ω ψ ω= − и воспользо-ваться записанной формулой для передаточной функции оптималь-ной реализуемой системы управления. Пример 2. Пусть τστ a2

gg e)(R −= , 0n22

2

g N)(G,aw

ga2)(G =+

= ωσω .

Разложим G G Gz g n( ) ( ) ( )ω ω ω= + на комплексно-сопряженные множи-тели:

2 2 2

0 02 2 2 2

2 (1 2 )( )za g a qG N N

a aσ ωω

ω ω+ +

= + = =+ +

= 0 01 2 1 2a q j a q j

N Na j a j

ω ωω ω

+ + + −+ −

.

Таким образом, 0

1 2( )

a q jj N

a jω

ψ ωω

+ +=

+ . Найдем теперь переда-

точную функцию оптимального реализуемого фильтра: 0 2( ) 1 1 ,

( ) 1 2 1 2 ( 1 2 1)(1 )P

N a j qW jj a q j q q j T

ωωψ ω ω ω

+= − = − =

+ + + + + +

где 1

1 2T

a q=

+. Импульсная характеристика такого фильтра оп-

ределяется с помощью обратного преобразования Фурье: ττ q21ae

1q21aq2)(h +−

++= , 0≥τ .

Точно так же, как и раньше, может быть найдена минимально достижимая дисперсия ошибки реализуемой системы:

1q21

2

1q21aqN2

)0(hN2g0

02P0 ++

=++

==σ

σ .

Заметим, что найденная дисперсия ошибки 2OPσ больше, чем

дисперсия ошибки q21

2g2

mino +=

σσ нереализуемой системы управле-

ния (см. пример 1). Таким образом, подход Винера хотя и с дополнительными усложнениями, но все-таки дает возможность построения физиче-ски реализуемой системы управления и определения ее точностных характеристик для стационарных входных воздействий и бесконеч-ного времени наблюдения.

63

Фильтр Калмана для стационарных процессов

Полученное в последнем примере решение задачи синтеза оптимальной реализуемой системы дает возможность определить импульсную переходную характеристику ( )h τ или передаточную функцию ( )pW jω . Вместе с тем, существует еще одна форма пред-ставления оптимальной системы с помощью дифференциального уравнения. На это обстоятельство в 1959 г. обратил внимание Р. Калман. Помимо простоты реализации оптимальных САУ для определенного, но достаточно широкого класса входных сигналов, метод Р. Калмана позволяет произвести синтез оптимальных мно-гомерных нестационарных САУ. Рассмотрим вначале возможности описания оптимальной системы, с помощью дифференциального уравнения. Как было ус-тановлено, передаточная функция оптимальной реализуемой сис-темы управления записывается в виде:

2( ) ,1 2 ( 1 2 1)(1 )P

qW jq q j T

ωω

=+ + + +

где 1 .1 2

Ta q

=+

При этом выходной сигнал

( ) ( ) ( )Px p W p z p= или 2( ) ( )

1 2 ( 1 2 1)(1 )qx p z p

q q pT=

+ + + +.

После несложных преобразований: 2( ) ( ) ( )

1 2 ( 1 2 1)qx p pTx p z p

q q+ =

+ + +,

( ) 1 2 /( ) ( )1 2 ( 1 2 1)

dx t q Tx t z tdt T q q

+ =+ + +

,

( ) 2( ) ( ( ) ( ))( 1 2 1)

dx t aqax t z t x tdt q

+ = −+ +

,

получим следующее дифференциальное уравнение, описывающее оптимальную систему:

10

( ) ( ) ( ( ) ( ))dx t ax t VN z t x tdt

−= − + − ,

64

где 2

20

2.

1 2 1g

PVq

σσ= =

+ + Такую систему можно представить с

помощью структурной схемы на рис.37, где K=VN0-1 .

Рис. 37

Эта структурная схема и является решением Калмана рассматри-ваемой задачи. Оказывается, процедуру оптимального управления можно представить в виде системы с обратной связью. Очень важ-но, что структура не изменяется и остается оптимальной, если из-меняются параметры сигналов и помех, а также на этапе переход-ного процесса. В этих случаях оптимальная система (рис. 37) ста-новится системой с переменными параметрами k=k(t) и ).(taa = Р. Калман обратил также внимание, что часть системы управления полностью определяется видом входного сигнала. Дей-ствительно, если спектр входного воздействия G a g

ag ( )ω σω

=+

2 2

2 2, то та-

кое воздействие может быть сформировано из белого шума ξ(t) с помощью фильтра, описываемого дифференциальным уравнением dg t

dtag t a t( ) ( ) ( )+ = ξ .

Найдем величину ξN энергетического спектра белого шума ( )tξ , обеспечивающего формирование сигнала ( )g t с заданным

спектром ( ) ( )2 2 22g gG a aω σ ω= + . После преобразования по Лап-ласу дифференциальное уравнение запишется в виде

( )pg ag a pξ+ = – энергетический спектр. При этом передаточная функция соответствующего фильтра H p a

p aϕ ( ) =+

или

H j aaϕ ω

ω( )

2 2

2 2=+

. Таким образом, спектр сигнала ( )g t на выходе

фильтра G N H jN a

w ag ( ) ( )ω ωξ ϕξ= =+

22

2 2, т.е. для полного соответствия

К

a

+

--

++ g(t) n(t)

x(t) z(t)

∫0

t

65

спектру входного воздействия достаточно выбрать 2 22ξ = σN a a g или 22= gN aξ σ . С другой стороны, рассмотренное дифференциальное урав-нение можно представить как уравнение, описывающее систему с обратной связью, показанную на рис. 38.

Рис. 38

Сравним структурные схемы оптимальной САУ (рис. 37) и полученной системы (рис.38), формирующей входной сигнал g(t) . Анализ структурных схем и связанных с ними дифференциальных уравнений показывает полное соответствие формирующего фильт-ра и значительной части структуры оптимальной САУ.

* * * Таким образом, Р.Калман предложил другое представление для решения задачи построения оптимальной системы управления, данной Н.Винером. Но это представление решения в виде замкну-той системы, близкой по виду к формирующему фильтру, имело далеко идущие последствия. Было установлено, что структура сис-темы управления не изменяется и при управлении одновременно несколькими параметрами, а также при нестационарных воздейст-виях. Эта структура сохраняется и остается оптимальной для ши-рокого класса возможных входных сигналов и помех.

3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Вначале подытожим основные результаты, полученные при решении задачи синтеза одномерной оптимальной реализуемой системы управления.

ξ( )t

a

a

Х g(t)

t0∫

+

-

66

Пусть входное воздействие g(t) представляется реализацией случайного процесса с энергетическим спектром G a g

ag ( )ω σω

=+

2 2

2 2 и в

сумме z(t)=g(t)+n(t) с белым шумом (помехой) n(t) поступает на систему управления. В соответствии с методом Винера оптималь-ная реализуемая система имеет передаточную функцию

W jNj

qq q j TP ( )

( ) ( )( )ω

ψ ω ω= − =

+ + + +1 2

1 2 1 2 1 10 ,

где qN a

g=σ2

0 , x(jω)=WP(jω)Z(jω).

Р.Калман предложил другое представление того же решения в виде дифференциального уравнения dx t

dtax t VN z t x t( ) ( ) ( ( ) ( ))= − + −−

01 .

При этом входное воздействие g(t) удобно представить в виде выходного сигнала фильтра (рис.38), описываемого дифференци-альным уравнением ( ) ( ) ( )dg t ag t t

dtξ= − + .

Фильтр, с помощью которого моделируется входное воздей-ствие g(t), обычно называют формирующим фильтром. Само же входное воздействие g(t) при этом является состоянием форми-рующей системы. Было установлено, что при описании входных сигналов в ви-де состояния некоторой системы всегда получается решение в виде точно такой же по виду системы с обратной связью. При этом структура САУ сохраняется для любого интервала времени, в том числе и во время переходного процесса, при изменении коэффици-ентов a N g, ,0

2σ во времени, а также в случае, когда x(t) является век-тором, т.е. при одновременном управлении по нескольким пара-метрам. И во всех этих случаях структура системы управления ока-зывается оптимальной в смысле минимума дисперсии ошибки

σ02 2( ) ( ) ( ))t M x t g t= − .

В этом разделе вначале рассматриваются математические мо-дели входных многомерных нестационарных воздействий. После этого обсуждается структура оптимальной многомерной системы, которая называется фильтром Калмана.

+

67

Описание входных воздействий

Пусть нам необходимо осуществлять управление одновре-менно n выходными сигналами системы x t x tn1( ),..., ( ). При этом мы хотим получить наименьшие отличия этих сигналов от заданных

функций – входных воздействий g tg t

g tn

( )( )

...( )

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1. Будем описывать

входные воздействия с помощью системы линейных дифференци-альных уравнений состояния:

dg tdt

A t g t V t t( )

( ) ( ) ( ) ( )= + ξ ,

где A(t) – (n × n) – матрица:

a t a ta t a t

a t a t

n

n

n nn

11 1

21 2

1

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ...( ) ... ( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

; ξξ

ξ( )

( )...( )

tt

tm

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

– век-

торный белый шум с энергетическим спектром каждой компоненты N t N t N tmξ ξ ξ1 2( ), ( ),..., ( ) соответственно.

V(t) - (n × m)-матрица V(t)=

v t v tv t v t

v t v t

n

n

n nn

11 1

21 2

1

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ...( ) ... ( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

.

Рассмотрим примеры. Пример 1. Уравнение состояния для трех независимых пара-метров. Предположим, что необходимо обеспечить измерение траек-тории по 3 координатам, не связанным друг с другом. Эти коорди-наты описываются случайными процессами, соответствующими дифференциальным уравнениям:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

+−=

+−=

).t()t(g)t(adt

)t(dg

),t()t(g)t(adt

)t(dg

),t()t(g)t(adt

)t(dg

3333

2222

1111

ξ

ξ

ξ

68

Введем вектор g tg tg tg t

( )( )( )( )

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

2

3

, матрицу A ta t

a ta t

( )( )

( )( )

=−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

2

3

0 00 00 0

и

белый шум ξξξξ

( )( )( )( )

tttt

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

2

3

. Тогда одновекторное уравнение состояния

d g tdt

A t g t t( ) ( ) ( ) ( )= + ξ в точности описывает все заданные входные воз-

действия Для проверки достаточно раскрыть в этом уравнении мат-ричные и векторные обозначения. Пример 2. Входное воздействие с дробно-рациональным энергетическим спектром. Пусть g(t) описывается дифференциальным уравнением ви-да:

d g tdt

a d g tdt

a dg tdt

a g t t3

3 1

2

2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + = ξ .

Найдем энергетический спектр такого воздействия. Для этого вначале выполним преобразование Лапласа p g p a p g p a pg p a g p p3

12

2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + = ξ и запишем передаточную функ-цию формирующего фильтра

H pp a p a p aϕ ( ) =

+ + +1

31

22 3

.

Энергетический спектр входного воздействия находится по форму-ле ( ) ( ) 2

g gG H j Nξω ω= . При выборе различных коэффици-ентов a a a1 2 3, , могут быть получены энергетические спектры разно-

образной формы. Но рассматриваемое уравнение имеет третий по-рядок. Преобразуем его в одно векторное уравнение. Введем вспо-могательные переменные: d g t

dtg t dg t

dtg t

2

2 2 1( ) ( ), ( ) ( )= = . Тогда исходное

уравнение перепишется в форме: dg t

dta g t a g t a g t t

dg tdt

g t

dg tdt

g t

21 2 2 1 3

12

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= − − − +

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

ξ

.

69

Введем теперь вектор g tg tg tg t

( )( )( )

( )=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2

1 и тогда

d gdt

a a ag t t=

− − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+1 2 3

1 0 00 1 0

( ) ( )ξ , где ξξ

( )( )

;tt

Aa a a

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

00

1 0 00 1 0

1 2 3 . Таким

образом дифференциальное уравнение третьего порядка удается преобразовать к стандартной векторной форме. Очевидно, что точ-но так же к векторному уравнению первого порядка можно преоб-разовать дифференциальное уравнение произвольного порядка. Пример 3. Полиномиальное воздействие. Пусть 2

0( ) 2g t g Vt at= + + . Такой входной сигнал получается

как решение следующего дифференциального уравнения d gdt

3

3 0= .

Заметим, что этот результат можно рассматривать как частный слу-чай предыдущего примера, полагая a a a1 2 3 0= = = ≡ξ . Тогда d g

dt

3

3 0= , 2

20 02 , , ( ) 2 , , ,d g dga at V g t Vt at g a V g

dt dt= = + = + + – начальные

условия. Введем вспомогательные переменные d g t

dtg t dg t

dtg t

2

2 2 1( ) ( ), ( ) ( )= = .

Тогда уравнения состояния запишутся в виде:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

),t(gdt

)t(dg

),t(gdt

)t(dg

,0dt

)t(dg

1

21

2

или в стандартной форме: d g

dtAg t t= +( ) ( )ξ ,

где A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 0 01 0 00 1 0

, ξ( )t =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

000

.

70

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение со-стояния d g

dtA t g t t= +( ) ( ) ( )ξ описывает широкий класс реальных слу-

чайных процессов. Пусть теперь g t( ) передается по каналу связи и вместе с по-мехой поступает на вход системы управления:

Z t C t g t n t( ) ( ) ( ) ( )= + , где Z tz t

z tm

( )( )...( )

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1, C(t)=

c t c tc t c t

c t c t

n

n

m mn

11 1

21 2

1

( ) ... ( )( ) ... ( )

... ... ...( ) ... ( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

;

n t( ) =n t

n tm

1 ( )...( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟– помеха в виде векторного белого шума со спектраль-

ными плотностями каждой компоненты 01 02 0( ), ( ),..., ( )mN t N t N t со-ответственно. Рассмотренная векторная модель позволяет дать математиче-ское описание различных ситуаций, возникающих при формирова-нии входных сигналов проектируемых САУ. Пример 4. Предположим, что один и тот же входной сигнал g(t) передается по двум независимым каналам связи. При этом на выходе первого канала наблюдается смесь ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1z t c t g t n t= + сигнала ( )g t с помехой ( )1n t , а на выходе второго канала наблюда-ется процесс ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2z t c t g t n t= + . Для того, чтобы представить такие наблюдения в стандартной векторной форме, введем векторы ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2,

T Tz t z t z t n t n t n t= = и матрицу

( ) ( )( )

1

2

c tc t

c t⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. В этом случае одно векторное уравнение

( ) ( ) ( ) ( )z t c t g t n t= + или ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )1 1 1

2 2 2

z t c t n tg t

z t c t n t⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

описыва-

ет двухканальную систему наблюдений скалярного процесса ( )g t . Пример 5. Пусть входной сигнал ( )g t имеет сложный энер-гетический спектр и описывается дифференциальным уравнением третьего порядка (см. пример 2). В этом случае уравнение состоя-

71

ния включает трехмерный вектор ( )( )( )( )

2

1

g tg t g t

g t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Производятся на-

блюдения сигнала ( )g t на фоне помехи ( ) :n t ( ) ( ) ( ) ( )z t c t g t n t= + . Для того, чтобы получить стандартное пред-

ставление наблюдений ( ) ( ) ( ) ( )z t c t g t n t= + необходимо ввести

матрицу ( ) ( )( )0 0t tC C= .

Многомерный фильтр Калмана

Наблюдаемый многомерный сигнал Z t( ) поступает на систе-му управления. В наилучшей системе обеспечивается минимум суммарной ошибки:

σ02

1 12

2 22 2= − + − + + −M g x M g x M g xn n( ) ( ) ... ( ) .

Структура оптимальной системы описывается следующим уравнением:

d xdt

A t x t K t z t C t x t= + −( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )) ,

где K t V t N C t N t

N tN t

N t

T

m

( ) ( ) ( ); ( )

( ) ...( ) ...

... ... ... ...... ( )

= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−0

10

01

02

0

0 00 0

0 0

,

а dV tdt

A t V t V t A t V t N V t N tT( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − +−0

1ξ . Последнее уравнение явля-

ется дифференциальным уравнением Риккати и обычно требует ЭВМ для решения. Но это решение находится, как правило, один раз до проведения эксперимента. После этого значения V(t) могут храниться в памяти. Уравнение для матрицы V(t) называется дис-персионным, поскольку V(t) – точная матрица дисперсий и взаим-ных ковариаций ошибок управления. Итак, и в многомерном нестационарном случае система управления сохраняет свою структуру (рис. 39). По-прежнему это система, в которой формируется сигнал ошибки z t C t x t( ) ( ) ( )− . Он поступает на фильтр, включающий переменный коэффициент уси-ления K(t) и интеграторы, охваченные обратной связью.

72

Рис. 39

При этом часть системы в точности соответствует формирующему фильтру. Пример 6. Еще раз рассмотрим систему управления при входном сигнале, заданном уравнением:

dgdt

ag t t= − +( ) ( )ξ , t ≥ 0,

где 2( ) 2 gN t ax s= . В этом случае уравнение Калмана для наблюдений z(t)=g(t)+n(t) запишется в виде:

dxdt

ax K t z t x t t= − + − ≥( )( ( ) ( )), 0 ,

где K(t)=V(t) N 01− ;

dV tdt

aV t V N N( ) ( )= − − +−2 20

1ξ .

Существенной особенностью записанного уравнения фильтрации является зависимость коэффициента усиления K(t) от времени. Это связано

с тем, что фильтр Калмана учитывает переходный процесс в систе-ме и оптимален для каждого момента времени t. Характерную зави-симость V(t) можно проиллюстрировать графиком на рис. 40. В начальный момент времени (t=0) рассогласование между выходным сигналом x(t=0)=0 системы управления и заданной тра-екторией движения g(t=0)=g(0) может быть большим. Поэтому и коэффициент усиления К(t=0)=σ g N2

0 в этот момент наибольший. По мере уменьшения динамической ошибки в процессе работы сис-темы коэффициент усиления уменьшается и стремится к опти-мальному для установившегося режима значению σ0

2min. Это значе-

ние можно найти, полагая dV tdt

( ) =0 в установившемся режиме. То-

z t( )K(t) 1

P

A(t)

C(t)

x t( )

Ax

V(t)

σg2

σ02

mint

Рис. 40

73

гда из уравнения Риккати получаем: − − + =−2 020

1aV V N Nξ , где 22 gN ax s= или 2 2

02 2 0gV aN V as+ - = . Решение этого уравнения

σσ

02

221 2 1min = =+ +

Vqg совпадает с известной величиной дисперсии

ошибки стационарного реализуемого фильтра Винера. Итак, для одномерного случая отличием приведенного реше-ния является учет переходного процесса и выбор оптимальных па-раметров системы управления в каждый момент времени. Оптимальное управление предполагает точное знание моде-лей входных воздействий и характеристик помех. Однако на прак-тике численные значения параметров моделей известны не точно. Кроме того, вычислительные трудности ограничивают применение сложных моделей высокой размерности, предопределяя примене-ние более грубых и более простых приближений к реальным про-цессам. Указанные причины приводят к отклонению действительных характеристик эффективности от расчетных. Величина отклонений действительных характеристик систем управления от потенциаль-ных за счет изменения параметров внешних воздействий называет-ся чувствительностью системы управления. Предположим, что Q – некоторый показатель качества, на-пример, средний квадрат ошибки системы, зависящий от некоторо-го параметра α входного сигнала. При отклонении α от заданного значения α 0 показатель качества Q также отклоняется от оптималь-ного значения Q0. В этом случае чувствительность можно характе-ризовать отношением: ∆

∆Q

Qαα

, а при малых отклонениях – величиной

γα

α=

dQQd

. Чем выше чувствительность, тем больше опасений, что в

реальных условиях система управления будет иметь худшие харак-теристики качества по сравнению с расчетными. Если, наоборот, величина γ мала, то допустимы значительные отклонения парамет-ров внешних воздействий. В предельном случае, когда γ =0, пока-затель качества системы вообще не зависит от параметра α . В та-ком случае говорят, что система управления инвариантна отно-сительно параметра a. В этом разделе рассмотрены два подхода к построению оп-тимальных систем управления. Первый подход связан с именем Н.

74

Винера и основан на нахождении структуры оптимальной системы с помощью решения интегрального уравнения. Главные недостатки этого метода – сложность решения задач синтеза САУ и требования к стационарности входных воздействий. Поэтому при проектирова-нии современных нестационарных систем управления применяется метод пространства состояний, предложенный Р. Калманом. Этот метод позволяет на инженерном уровне решать сложные задачи по-строения оптимальных многомерных систем с учетом переходных процессов в условиях нестационарных помех и нестационарных воздействий.

4. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

4.1. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотренные в предыдущем разделе пособия аналоговые

системы управления обладают рядом недостатков. Отметим основ-ные из них. 1. Нестабильность параметров. При изменении внешних воздействий, особенно таких, как температура, влажность, вибра-ция, давление изменяются параметры аналоговых усилителей, фильтров, интеграторов и других элементов. Это приводит к изме-нению основных показателей качества системы управления. 2. Сложность централизованного управления нескольки-ми объектами. Этот недостаток связан с проблемой точной пере-дачи аналоговых сигналов на большие расстояния. При прохожде-нии непрерывных сигналов по кабелям, проводам или радиокана-лам они претерпевают искажения за счет ограниченности полосы пропускания канала связи, нелинейности приемопередающего тракта, а также из-за действия разнообразных помех. 3. Сложность серийного производства аналоговых систем управления. Обычно системы управления являются сложными объектами, включающими большое число аналоговых элементов и устройств. При серийном производстве таких систем возникают значительные трудности индивидуальной настройки каждой от-дельной системы управления. В итоге все выпускаемые системы

75

отличаются друг от друга параметрами и требуют постоянных до-вольно сложных и трудоемких регулировок. Названные и ряд других причин обусловили широкое рас-пространение цифровых систем управления. В цифровых системах информация заключена не в таких параметрах сигналов, как вели-чина напряжения или тока, а в числах, представленных обычно в двоичном коде. Для формирования, передачи и преобразования двоичных сигналов в цифровых системах управления используются отдельные элементы цифровой техники, т.е. регистры, счетчики, логические элементы, а также микропроцессорные комплекты, спе-циализированные или универсальные цифровые вычислительные машины. Применение цифровых систем позволяет устранить основные недостатки аналоговых систем управления. Вместе с тем, следует отметить, что широкое использование цифровых систем управле-ния пока еще сдерживается их большой стоимостью и ограничен-ным быстродействием. Очень важным является то, что математическое описание и анализ большинства современных цифровых систем управления ба-зируются на методах анализа аналоговых систем. Поэтому остано-вимся лишь на тех особенностях, которые возникают при проекти-ровании и расчете характеристик цифровых систем управления.

Структурная схема цифровой системы управления

Структурная схема аналоговой следящей системы имеет следующий вид (рис.41). Основная задача такой САУ – обеспечить минималь-ное рассогласование )(tε между выходным сигналом системы x(t), например, реаль-ной траекторией движения ра-кеты, и входным сигналом g(t) – заданной траекторией движения. Фильтр с передаточной функцией H(p) выбирается как раз с учетом требования минимизации ошибки за счет динамики движе-ния объекта и помех n(t), действующих на систему управления.

ε( )tg(t) x(t)H(p) +

n(t)

Рис. 41

+

–

76

При этом передаточная функция H(p) учитывает как элемен-ты, которые включаются специально для улучшения характеристик системы, так и устройства с заданными передаточными функциями, например, рулевые устройства ракеты. Рассмотрим с точки зрения преобразования в цифровую систему управления уже знакомую нам систему управления двигателем (рис. 42).

Анализ такой системы показывает, что основным нестабильным элементом является фильтр. В меньшей степени при изменении климатических воздействий изменяются характеристики усилителя мощности и двигателя. Таким образом, для повышения стабильности рассматривае-мой системы было бы целесообразно, в первую очередь, заменить аналоговый фильтр цифровым. Это можно сделать следующим об-разом.

Рис.43

Фильтр

Усилитель мощности

ε( )t

g(t) +

x(t) –

U(t)

Uф(t)

Рис. 42

АЦП ЦФ ЦАП УМ ДВ

АЦП

g(t)

x(t)

Uф(t)Uф(t)g(t) x(t)

~

~

77

Преобразуем входной и выходной сигналы g(t) и x(t) в циф-ровые коды. Тогда фильтр можно будет реализовать на ЦВМ. Вы-ходные коды )(~ tU™ преобразуем в аналоговый сигнал )(tU™ . В этом случае система будет иметь вид, показанный на рис. 43. Преобразование аналоговых сигналов g(t) и x(t) в цифровые

)(~ tg и )(~ tx осуществляется с помощью аналого–цифровых преобразователей АЦП. В цифровом фильтре реализуются те же операции, что и в аналоговом, например, интегрирование или кор-рекция. Обычно такой фильтр реализуется в виде специализиро-ванной цифровой вычислительной машины. В цифроаналоговом преобразователе числа на выходе цифрового фильтра превращают-ся в напряжение, поступающее на усилитель мощности.

В рассматриваемом случае систему можно было бы сделать полностью цифровой. Например, если двигатель приводит в дви-жение спутниковую антенну, то вместо двигателя и обычной ан-тенны можно применить фазированную антенную решетку с циф-ровым управлением диаграммой направленности. Но это приведет к значительному повышению стоимости такой системы при не-большом улучшении характеристик. Поэтому реальные цифровые системы управления, как правило, включают в себя аналоговые ис-полнительные устройства, а все схемы фильтрации и коррекции выполняются в цифровом виде. Таким образом, структурная схема цифровой системы управления приобретает вид, показанный на рис. 44.

Аналого-цифровые преобразования

Итак, для реализации основных операций управления на ЦВМ необходимо аналоговый входной сигнал g(t) преобразовать в

АЦП ЦВМ ЦАП ОУ

АЦП

g(t)

x(t)

U(t) U(t) g(t) x(t)

~

~~

Рис. 44

78

цифровую форму )(~ tg , т.е. представить его в виде последователь-ности кодов, поступающих с определенным тактовым интервалом (рис. 44). Такое преобразование включает в себя два этапа: ампли-тудное квантование и временное квантование.

Амплитудное квантование сигналов

Квантование по уровню заключается в округлении значений процесса g(t) до величин )(~ tg , представленных конечным числом разрядов. Этот процесс можно пояснить графиком, представлен-ными на рис. 45.

Процесс с непрерывными значениями сравнивается по вели-чине с расположенными через интервал ∆ амплитудного квантова-ния уровнями. При этом вместо g(t) выбирается номер )(~ tg бли-жайшего уровня квантования. Предположим, что динамический диапазон значений входно-го сигнала g(t) ограничен и составляет интервал (gmin, gmax). Оче-видно, общее число N уровней квантования определяется по фор-

муле ∆−

= minmax ggN .

При заданном числе уровней квантования N можно опреде-лить необходимое число разрядов для передачи )(~ tg . Например, для наиболее часто встречающейся двоичной системы число разрядов

0 t

g(t), g(t) ~

Рис. 45

∆

79

n = log 2 N . Если, скажем, N = 1024, то необходимо применять де-сятиразрядный двоичный код. Как правильно выбрать число уровней N или интервал ∆ квантования? При замене аналогового сигнала g(t) числом ~( )g t с конеч-ным числом разрядов возникает случайная ошибка амплитудного квантования ε( ) ~( ) ( )t g t g t= − . Диапазон возможных значений этой ошибки ограничен: – ∆/2<ε (t)<∆/2. При большом числе уровней квантования считается, что ошибка имеет равномерное распределение в пределах этого диапазона (рис. 46). Нетрудно найти дисперсию случайной ошибки с равномер-

ным распределением: σ εε2 2=

−∞

∞

∫ f (ε) dε = ∆2

12

Поскольку ~( )g t =g (t)+ ε (t), можно считать, что амплитудное квантование приводит к появлению дополнительной помехи ε (t) с дисперсией ∆2 12/ . Таким образом, эквивалентная схема процесса амплитудного квантования может быть представлена в виде рис. 47. Число уровней квантования обычно выбирают исходя из ана-лиза действия этой дополнительной помехи ε(t) на систему управ-ления. Обычно применяют стандартные схемы преобразования аналоговых сигналов в 8–, 10–, 12– или 16 – разрядный двоичный код. При этом соответственно число уровней квантования 28 = 256, 210 = 1024, 212 = 4096 или 216 = 64000.

f(ε )

Рис. 46

– ∆ / 2 ∆ / 2 0 ε

1/∆ ε( )t

g(t) g(t)~

+

Рис. 47

80

Временное квантование сигналов Как мы хорошо знаем, вся цифровая техника работает в дис-кретном времени, т.е. с определенной тактовой частотой. Процесс преобразования непрерывного по времени сигнала g(t) в последова-тельность g(ti) называется временным квантованием (рис. 48).

Период Ткв, через который берутся отсчеты входного про-цесса, обычно называется периодом или интервалом временного квантования. Большой интервал временного квантования может привести к значительной потере информации. Mалый интервал потребует увеличения быстродействия цифровой системы. Для вы-бора интервала временного квантования часто используют теорему Котельникова. Ее суть заключается в следующем. Пусть g(t) – про-цесс с ограниченным некоторой частотой fm спектром. Тогда при выборе интервала временного квантования mкв fТ 2/1= функция g(t) может быть абсолютно точно восстановлена по отсче-там g(KTкв):

∑∞

−∞= −

−=

k ђ‰m

ђ‰mкв kTtf

kTtfnkTgtg

)(2)(2sin

)()(ππ .

Приведенное разложение непрерывной во времени функции g(t) по функциям вида

xxsin называется обычно рядом Котельникова.

Однако при использовании теоремы Котельникова возникают две проблемы . Одна из них – ограниченность спектра. Дело в том, что процессы g(t), заданные на конечном интервале времени, всегда имеют спектр бесконечной ширины. Таким образом, строго указать

Рис. 48

g(t1) g(t)

g(t2) g(t3)

g(ti)

t1 t2 t3 ti tTкв

81

fm для реальных процессов не удается. Вторая проблема – слишком высокая частота временного квантования, которая получается при использовании теоремы Котельникова. Поэтому при проектирова-нии систем управления обычно производят расчеты дополнитель-ных погрешностей системы, вызванных временной дискретизацией. Интервал квантования Ткв при этом выбирается исходя из заданной величины погрешности за счет временного квантования.

* * *

Итак, в современных цифровых сиcтемах управления обычно выбирается достаточно малый интервал амплитудного квантования. При этом дополнительные погрешности системы, вызванные ам-плитудной дискретизацией, оказываются малыми. Во многих слу-чаях ими пренебрегают. Вместе с тем выбор интервала временно-го квантования в соответствии с теоремой Котельникова часто при-водит к неоправданному повышению тактовой частоты вычисли-тельной машины. Поэтому для анализа систем управления, рабо-тающих в дискретном времени, применяют специальные методы анализа, которые мы рассмотрим на следующих занятиях.

4.2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Как мы уже знаем, основные операции, которые выполняет ЦВМ в контуре управления, связаны с реализацией цифровых фильтров. На этой лекции вначале мы установим связь между уже известными нам аналоговыми фильтрами и соответствующими цифровыми фильтрами. Затем познакомимся с основными метода-ми и алгоритмами цифровой фильтрации сигналов. Рассматривае-мые методы важны не только для систем управления. Они приме-няются в самых различных системах обработки сигналов, напри-мер, в системах цифровой связи.

Связь аналоговых и цифровых фильтров

Любой линейный аналоговый фильтр с передаточной функ-цией H(p) описывается дифференциальным уравнением следующе-го общего вида:

82

)(...)()(...)()(01

1

1 tgbdt

tgdbtxadt

txdadt

txdmm

m

nn

n

n

n++=++ −

−

.

Предположим, что входные и выходные сигналы этого фильтра наблюдаются в дискретные моменты времени ti = iTкв . При малых интервалах временного квантования Ткв можно при-ближенно заменить производную первого порядка на отношение разностей:

кв

i

кв

ii

кв

iiii

кв

квii

Тx

Тxx

Ttxtx

xxT

Ttxtxdtdx ∆

=−

=−

=−+−−

= −−−

111

)()()(

)()(~ .

Соответственно вторая производная может быть приближенно за-писана в виде

d xdt

x x

Т Тx x x x

Тx x x

x

Тi i

кв квi i i i

квi i i

i

кв

2

21

2 2 1 1 2 2 1 222

1 12~ ( ) ( )=

−= − − + = − + =−

− − − − −∆ ∆ ∆ .

Третья производная d xdt

x x

Т

x x x x x

Т

x x x x

Т

x

Тi i

кв

i i i i i

кв

i i i i

кв

i

кв

3

32 2 1

21 1 2 3

21 2 3

23 1

22 2 3 3~=

−=

− − + −=

− + −=− − − − − − − − −∆ ∆ ∆

. Продолжая этот процесс замены производных конечными разно-стями, получим

d xdt Т

x c x c x c xn

nквn i i i n i n~ ( ... )= + + + +− − − −

11 1 2 2 1 .

Подставим теперь все выражения для производных в диффе-ренциальное уравнение аналогового фильтра. Получим следующее выражение для эквивалентного цифрового фильтра:

mimiininiii gggxxdxx −−−−− +++++++= βββαα ...... 1102211 . Таким образом, мы нашли цифровой эквивалент аналогового фильтра; все операции цифровой фильтрации могут выполняться теперь на ЭВМ. Пример 1. Пусть имеется апериодическое звено с переда-

точной функцией pT

kpH+

=1

)( . Выходной сигнал этого звена

x(p) = H(p) g(p) или x(p) (1+pT) = kg(p). Во временной области функционирование звена описывается соответствующим диффе-

ренциальным уравнением: )()()( tkgtxdt

tdxT =+ .

83

Найдем эквивалентный этому звену цифровой фильтр. Для этого заменим квii Тxxdttdx /)(~/)( 1−−= и тогда

kgixxxТТ

iiiкв

=+− − )( 1 .

После элементарных преобразований получим: x

Т Tx

kT T

giiкв

iкв

=+

++−

11 11/ /

или iii gxx 011 βα += − ,

где α11

1=

+ T Tкв/,

ђ‰TTk/10 +

=β .

Анализ общего выражения для цифрового фильтра показыва-ет, что фильтр состоит из двух частей. Первая часть, соответст-вующая случаю 0...21 === mβββ , записывается в виде

gixxxx niniii 02211 ... βααα ++++= −−− . Вычисление каждого следующего значения xi выходного сигнала фильтра осуществляется с помощью взвешивания преды-дущих выходных значений фильтра x xi i n− −1,... и одного входного значения gi. Такой фильтр называется рекурсивным фильтром n-го порядка. Если же α α α1 2 0= = = =... n , то x g g gi i i m i m= + + +− −β β β0 1 1 ... . В этом случае для фильтрации используется только текущее gi и предыдущие значения входного сигнала, взвешиваемые с ко-эффициентами β β0 ,... m . Такой фильтр называется нерекурсивным, или фильтром скользящего окна.

Математическое описание цифровых систем

Пусть процесс с дискретным временем gi поступает на вход цифрового фильтра. На выходе будет уже другой процесс xi . Как можно описать характеристики процесса gi , и как они изменят-ся после прохождения через цифровой фильтр? Для процессов с непрерывным временем подобная проблема решается на основе преобразования Лапласа или преобразования Фурье. Действительно, если известен спектр непрерывного входно-го процесса dtetgjg tj∫

∞

∞−

−= ωω )()( , то спектр выходного сигнала

G(jω) = H(jω) g(jω) , где H(jω) – передаточная функция фильтра.

84

Для процессов с дискретным временем существуют точно такие же по смыслу соотношения. Для них вводится дискретное преобразование Фурье:

vTj

vegjg ω

νω −∞

=∑=

0)( или .)( giФjg =ω

Отметим следующие два важных свойства дискретного пре-образования Фурье: 1) линейность vibФgiaФbviagiФ +=+ ; 2) Tmj

imi egФgФ ω−− = .

Применение этих свойств позволяет легко находить спектр процесса на выходе цифрового фильтра. Пример 2. Пусть цифровой фильтр описывается следующим выражением: iii gxdxxi βα ++= −− 2211 . Преобразуем по Фурье левую и правую часть этого выражения:

)()()()( 221 ωβωαωαω ωω jgjxejxejx TjTj ++= −− .

Тогда )()()( ωωω jgjHjx = , где TjTj ee

jH ωω ααβω 2

211)( −− −−= –

передаточная функция цифрового фильтра. Так же, как и в системах с непрерывным временем, H j( )ω называется амплитудно-частотной характеристикой цифрового фильтра, а Arg H(jω) – фазочастотной характеристикой. Если H(jω) – передаточная функция замкнутой цифровой системы управления, то полюсы р1 и р2 (нули знаменателя) H p

e epTкв pTкв( ) =− −− −

βα α1 1 2

2 долж-

ны лежать в левой полуплоскости комплексного переменного. Вместе с тем, появляется очевидное неудобство использова-ния дискретного преобразования Фурье: передаточные функции содержат экспоненты в знаменателе и числителе. Поэтому было предложено в дискретном преобразовании Фурье ввести новую пе-ременную e zj Tквω = . Тогда дискретное преобразование Фурье g j g ei

j iTкв

i( )ω ω= −

=

∞

∑0

превращается в так называемое Z–преобразование:

g z g zii

i( ) = −

=

∞

∑0

. Обычно записывают g z Z gi( ) = .

Z – преобразование имеет ряд свойств, аналогичных дис-кретному преобразованию Фурье. Отметим линейность Z – преоб-разования и Z gi m Z gi z m− = − .

85

Пример 3. Рассмотрим цифровой фильтр, описываемый уравнением: 1102211 −−− +++= iiiii ggxxx ββαα . Применим Z–преобразование к правой и левой части. Тогда

)()()()()( 110

22

11 zgzzgzxzzxzzx −−− +++= ββαα , т.е. )()()( zgzHzx = , где

22

11

10

1)( −− −−

+=

zzzzHααββ . Для нахождения амплитудно-частотной харак-

теристики фильтра можно подставить Tjez ω= и найти )()( TjezHwH ω== .

Таким образом, с помощью Z–преобразования легко полу-чить передаточную функцию любого линейного цифрового фильт-ра. Устойчивость систем управления принято проверять с помо-щью анализа передаточной функции H(z). Если z e ej Tкв pTкв= =ω , то в том случае, когда корень p = a + jb находится в левой полуплоско-сти комплексного переменного, т.е. когда система устойчива, то z e e ea j Tкв aTкв j Tкв= = ⋅+( )β β , и если a < 0 , то z <1. Таким образом, условие устойчивости мож-но сформулировать следующим образом. Цифровая система управления или цифро-вой фильтр устойчив, если все корни знаме-нателя передаточной функции H(z) находится внутри единичного круга на плоскости комплексного переменного (рис. 49).

* * * Полученные результаты позволяют реализовать процесс фильтрации в виде программы для специализированной или уни-версальной ЭВМ. Как мы видели, существует приближенный спо-соб построения цифрового фильтра, основанный на аналоговом прототипе. Точный способ заключается в подборе подходящих ко-эффициентов α α β β β1 0 1,..., , , ,...,n m цифрового фильтра. Более под-робные сведения о цифровой фильтрации можно найти в книгах [16–18].

z1 z2

z3 z4

Ym

Rl

Рис. 49

86

4.3. ДЕЙСТВИЕ ПОМЕХ НА ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим особенности анализа цифровых систем управления, находящихся под воздействием помех. Вначале приведем основные формулы, позволяющие определить дисперсию ошибки сопровож-дения, обусловленную действием помех. Затем кратко проанализи-руем методы построения оптимальных линейных дискретных сис-тем, которые в настоящее время широко используются при проек-тировании и анализе цифровых систем управления.

Дисперсия ошибки в цифровых системах управления

Цифровую систему управления с учетом действия помех можно представить в виде рис. 50.

На вход системы действует сумма zi управляющего воздействия g g ti i= ~( ) и помех Ni = N(ti). В результате действия помехи в выходном сигнале xi содер-жится случайная составляющая, которую можно охарактеризовать величиной

дисперсии 2xσ . При этом цифровая система управления описывает-

ся разностным уравнением: mimiininii zzzxxx −−−− +++++++= βββαα ......... 11011 .

Поскольку система управления линейна, то можно отдельно рассматривать прохождение сигналов и помех через эту систему. Таким образом, достаточно найти дисперсию процесса, описывае-мого следующим уравнением общего вида:

mimiininii NNNxxx −−−− ++++++= βββαα ...... 11011 . Помехой в системе управления обычно служат независимые отсчеты Ni гауссовских случайных величин с нулевым средним и дисперсией 2

nσ . В общем случае дисперсия результирующего процесса xi находится с помощью известных методов теории веро-ятностей. Действительно, разностное уравнение представляет собой закон преобразования случайных величин iN в случайные вели-чины ix . Поэтому любые вероятностные характеристики x i выражаются через известные характеристики помех.

gi zi xi ni

САУ

Рис. 50

87

Пример. Система первого порядка. Пусть система управления описывается простейшим разно-стным уравнением вида iii Nxx 011 βα += − . Найдем дисперсию ошибки на выходе такой системы. Для этого возведем левую и правую части в квадрат и найдем матема-тическое ожидание. После возведения в квадрат получаем

220101

21

21

2 2 iiii NNixxx ββαα ++= −− . Теперь находим математическое ожидание левой и правой частей: 22

022

12

nxx σβσασ += . Таким образом, дисперсия ошибки за счет действия помех

221

202

1 nx σα

βσ

−= . Заметим, что 11 <α , т.к. в противном случае система

управления будет неустойчивой.

Оптимальные цифровые системы Описания динамики движения объектов в цифровых сис-

темах В непрерывных системах для описания динамики движения объекта или входного сигнала системы управления используется следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

)()()( ttagdt

tdg ξ=+ , где )(tξ – белый шум. В этом случае траектория

движения объекта представляет собой одну из множества реализа-ций случайного процесса g(t) . В цифровых системах дифференциальному уравнению пер-вого порядка будет соответствовать разностное уравнение

iii gg ξν += −1 , где ν – постоянный коэффициент; iξ – гауссовские не-зависимые случайные величины с дисперсией 2

ξσ . Определим веро-ятностные характеристики возможных траекторий объекта в дис-кретном времени. Так же, как и в рассмотренном примере, возведем левую и правую части уравнения движения объекта в квадрат и найдем математическое ожидание. Получим 22

g2g ξσνσσ += или

νσ

σ ξ

−=

1

22g . Эта величина дисперсии σ g

2 определяет динамический

диапазон возможных отклонений траектории от среднего значения.

88

Другим параметром, описывающим движение объекта, явля-ется характеристика скорости изменения траектории. В рассмат-риваемом случае мерой этой скорости может быть коэффициент корреляции двух соседних значений g(ti–1) =gi–1 и g(ti) = gi траекто-рии. Для его нахождения умножим левую и правую части уравне-ния на gi–1 и найдем их средние значения:

12

11 −−− += iiiii gMgMggM ξν . Поскольку M gi iξ − =1 0, то коэффици-ент корреляции

ν=−

−2

1

1

i

ii

gMggM . Таким образом, параметр ν <1 ока-

зывается равным значению коэффициента корреляции двух сосед-них значений траектории. Нормированная корреляционная функция последовательно-сти gi описывается при этом простым выражением ||)( mmR ν= . Допустим, что с помощью приведенного уравнения мы хо-тим описать траекторию движения объекта, значительно изменяю-щегося за 100 тактовых интервалов. Это означает, что

100(100) 0,5= ν =R . В этом случае можно выбрать 100 0,5 0,993ν = ≅ .

Оптимальная цифровая линейная система управления Пусть на вход линейной системы управления действует сум-ма zi =gi + ni управляющего сигнала gi , который описы-вается уравнением iii vgg ξ+= −1 и помехи ni в виде независимых отсчетов мешающего процесса с дисперсией 2

nσ . Состояние цифровой линейной системы управления xi связа-но с входным сигналом следующим разностным уравнением

iiiii zxx βα += −1 . Основной задачей системы является минимизация дисперсии ошибки iii gx −=ε управления. Рассмотрим возможности построе-ния оптимальной системы, для которой дисперсия ошибки мини-мальна. Для минимизации дисперсии имеется возможность выбора коэффициентов iα и iβ системы управления. Итак, необходимо найти .)(min)(min 22

iii gxMM −=ξ Подставим в формулу для ошибки известные соотношения:

.n)1(g)1((n)g)(1(xg)ng(x

iiii1ii1iii

iii1i1iiiiii1iii

βεβεαβναβενβαβαε

+−++−+=++−+=−++=

−−

−−−

89

Величины gi–1 имеют большие значения. Если необходимо минимизировать ошибки, то нужно положить α ν β+ − =( )i 1 0. Тогда ε α ε β ε βi i i i i i in= + − +−1 1( ) или ε ν β ε β ε βi i i i i i in= − + − +−( ) ( )1 11 . В этой формуле отражены три составляющие ошибки систе-мы управления. Первое слагаемое учитывает ошибку ε i i ix g− − −= −1 1 1 на предыдущем шаге работы системы. Второе слагаемое – дина-мическая ошибка за счет изменения траектории движения. Третье слагаемое β i in – ошибка, вызванная действием помех на систему управления. Поскольку все слагаемые являются независимыми, то дисперсия будет равна сумме дисперсий ошибок всех трех слагае-мых:

D Di i i i i n= − + − +−ν β β σ β σξ2 2

12 2 2 21 1( ) ( ) ,

где D Mi i= ε2 , σ εξ2 2= M i , σ n iM n2 2= .

Продифференцируем Di по βi и приравняем производную к нулю. Легко подсчитать, что минимальное значение Pi = Di min дисперсии ошибки достигается при )P)(1/(P)( эi

12nэi

12ni

−− += σσβ , где 2

1i2

эi PP ξσν += − . После подстановки оптимального значения βi в уравнение системы получаем следующий алгоритм функциониро-вания оптимальной цифровой системы управления:

)(12 эiin

iэii xZPxx −+=σ

, )11/( 2 эin

эii PPPσ

+= , 21

2ξσ+= −iэi PVP ,

где 1−= iэi xx ν . В этом уравнении величина эix является экстраполированной на один шаг траекторией объекта или прогнозом значения траекто-рии. Действительно, на предыдущем шаге состояние системы было

1−ix . Динамика изменения траектории описывается уравнением g gi i i= +−ν ξ1 . Лучшее, что мы можем сделать с точки зрения про-гноза траектории движения gi – предсказать, что сигнал gi будет иметь величину хэi = 1−ixν . Таким образом, в найденной системе управления вначале формируется прогноз x эi траектории движения. Затем определяется рассогласование z xi эi− между сделанным прогнозом и очередным сигналом управления zi , искаженном помехами. После этого оче-редное состояние системы x i формируется как сумма прогноза x эi и взвешенного рассогласования.

90

Весовым коэффициентом р /i nσ

2 служит отношение диспер-сии ошибки системы управления рi и дисперсии помех, дейст-вующих на систему управления. Структурная схема рас-смотренной оптимальной цифро-вой системы управления может быть представлена в виде рис.51.

* * * Рассмотренные вопросы действия помех на цифровые систе-мы управления позволяют решить две важные задачи. Во–первых, для любой заданной линейной системы управления можно дать оценку ее эффективности, т.е. оценить дисперсию ошибки за счет действия помех. Вторая важная задача – построение оптимальной цифровой системы управления, учитывающей как динамику дви-жения объекта, так и величину помехи, действующей на систему управления.

4.4. МНОГОМЕРНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим два вопроса, связанные с современными метода-ми построения систем управления. Вначале проанализируем мно-гомерный дискретный фильтр Калмана, который применяется при управлении системами по нескольким параметрам одновременно. Затем кратко рассмотрим адаптивные системы, которые предназна-чены для работы в условиях изменяющихся внешних воздействий.

Многомерный цифровой фильтр Калмана

Модели входных сигналов

В предыдущем разделе была рассмотрена модель движения объекта в виде скалярного разностного уравнения g vgi i= +−ξ ξ1 . При

Задержка на такт Х

– +

++Х

zi

xэi

xi

xi−1 ν

pi nσ2

Рис. 51

91

управлении несколькими параметрами их объединяют в один век-тор:

g

gg

g

i

i

i

mi

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

2...

.

В этом случае одномерное уравнение заменяется следующим векторным разностным уравнением для описания входных сигна-лов:

g Г g Vi i i= +−1 ξ , где

Г

v v vv v v

v v v

m

m

m m mm

=− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

– m • m – матрица, коэффициенты которой определяют динамику изменения входных воздействий точно так же, как параметр ν в рассмотренном одномерном случае. Вместе с тем векторное опи-сание дает возможность не только задавать одновременно измене-ние нескольких параметров пространственной траектории, но и описывать более сложные входные процессы. Пример 1. Движение объекта со случайным ускорением. Предположим, что траектория движения некоторого объекта описывается следующей системой уравнений в дискретном време-ни:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

+=

−

−−

−−

.1

,11

,11

iii

iii

iii

vaaa

gg

ξ

νν

ν

Такая система определяет следующую траекторию движения

объекта g g v ai

i i i= + +0 0

2

2, т.е. движение со случайно изменяю-

щимся ускорением.

Для записи в стандартной форме введем вектор ggva

i

i

i

i

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

и

определим элементы матрицы Г в уравнении:

92

gva

gva

i

i

i

i

i

i

i

i

i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

−

γ γ γγ γ γγ γ γ

ξξξ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

1

1

1

2

3

.

Анализ показывает, что представленные три уравнения за-пишутся в виде одного векторного следующим образом

gva v

gva

i

i

i

i

i

i i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−

−

1 1 00 1 10 0

00

1

1

1 ξ, т.е. iii gГg ξ+= − , где Г =

1 1 00 1 10 0 v

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

i

i 00

ξξ .

Пример 2. Векторная форма для линейного цифрового фильтра произвольного порядка. Известно, что любой линейный цифровой фильтр описывает-ся следующим уравнением: g a g a gi i n i n i i m i m= + + + + + +− − − −1 1 0 1 1... ...β ξ β ξ β ξ . Для записи этого уравне-ния в стандартной форме введем векторы g g g gi i i i n

Т= − − +( ... )1 1 и g g g gi i i i n

Т− − − −=1 1 2( ... ) . Положим ξ ξ ξ ξi i i i m

Т= − −( ... )1 . Запишем теперь: g

g

g

i

i

i n

−

− +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=1

1

.

.

a a a a gg

g

n n i

i

i m

m i

i

i m

1 2 1 1

2

0 1

11 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 00 0 0

0 0 0

.. .

. . .

. . . ..

. . .

. . .

. . . ..

− −

−

−

−

−

− − − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

+− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

β β β ξξ

ξ

.

Таким образом, векторное уравнение вида g Гg Vi i i= +−1 ξ ,

где Г

a a an

=− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 2

1 0 0

0 0 0

...

... , V=

β β β0 1

0 0 0

0 0 0

...

...

...

m

− − − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

, описывает в ком-

пактной форме любой линейный цифровой фильтр с постоянными параметрами.

Многомерная цифровая оптимальная система управления Предположим, что входной сигнал gi в сумме с помехой ni поступает на цифровую систему управления объектом одновремен-но по m параметрам. Представим такую систему в виде рис.52.

93

Во многих приложениях построить оптимальную цифровую систему, обес-печивающую минимизацию ошибок по всем параметрам одновременно и учи-тывающую как динамику изменения входного сигнала gi , так и помехи ni . Повторяя те же выкладки, что и для одномерного варианта цифровой системы, получим следующие уравнения, описывающие многомерную оптимальную цифровую систему:

x x P z xi эi i n i эi= + −−

ν1( ) ,

где x Гxэi i= −1 , р р ( р )i эi n эi= +− −1 1 1ν , P Г P Гэi

ti= +−1 νξ ; V n – ковариа-

ционная матрица помехи, Vξ – ковариационная матрица случайного процесса ξi . Структурная схема оптимальной многомерной системы управления показана на рис. 53.

Приведенные результаты обобщают алгоритмы оптимально-го цифрового управления системами по одному параметру. При этом сохраняются все основные особенности оптимальной системы управления. Вначале на основе предыдущего состояния системы x i−1 осуществляется прогноз следующего значения траектории x Гxэi i= −1 . Затем с помощью сравнения входного сигнала zi и про-гноза x эi вырабатывается сигнал ошибки ε i i эiz x= − . Эти ошибки взвешиваются с учетом динамики изменения траектории и уровней помех и корректируется прогнозированное значение. В результате очередное состояние объекта управления получается как взвешен-ная сумма x x ki эi i i= + ε прогноза и ошибки.

gi

ni

zi xiСАУ

Рис. 52

zi

xi−1

xi

xэi

Г

Ткв

Х

Х

– +

++

Рис. 53

94

Рис. 54

Адаптивные системы управления

Условия работы реальных систем управления часто таковы, что характеристики входных сигналов и помех либо известны не-точно, либо существенно изменяются во времени. Определенным случайным изменениям могут быть подвержены также параметры самих систем управления, особенно аналоговых. Поэтому качество работы системы управления, спроектированной в расчете на неиз-меняющиеся условия работы, на практике может оказаться суще-ственно ниже ожидаемого. Избежать этого позволяет применение адаптивных систем, параметры или даже структура которых при изменении внешних условий автоматически изменяются, поддер-живая тем самым близкий к оптимальному режим работы. Адаптивные системы с перестройкой только параметров на-зывают самонастраивающимися, с перестройкой структуры – самоорганизующимися.

Самонастраивающиеся системы обычно содержат, кроме ос-новной системы управления, устройство для оценки наилучших па-раметров. Упрощенная схема самонастраивающейся системы при-ведена на рис. 54.

Кроме сигналов, поступающих от основной системы, в уст-ройстве настройки параметров может быть использована также до-полнительная полезная информация о ходе процесса управления. Самонастраивающиеся системы классифицируют по различ-ным признакам. Например, по способу получения исходной ин-формации для настройки параметров системы классифицируют на самонастраивающиеся: – по сигналам внешних воздействий; – по динамическим характеристикам объектов;

Устройство настройки

Основная система управления

z(t)=g(t)+n(t) x(t)

Дополнительная информация

95

– по сигналам внешних воздействий и динамическим харак-теристикам (комбинированные). Самонастраивающиеся системы разделяют, кроме того, на разомкнутые и замкнутые относительно контура самонастройки и выхода системы, а также на аналитические, поисковые, комбиниро-ванные, с активной и пассивной самонастройкой и т.д. Имеется существенное различие между настраиваемыми и самонастраивающимися системами. Зная общие характеристики объекта, а также их зависимость от окружающих условий, можно ввести в систему соответствующую программу, которая произведет необходимую настройку регулятора. При этом получается система программной настройки. Самонастраивающаяся система не требует полной информации обо всех данных и при изменении внешних условий ее параметры автоматически настраиваются, обеспечивая заданные показатели качества. Для обнаружения отклонения пара-метров объекта от оптимальных в самонастраивающихся системах используются различные средства, например, организация автома-тических пробных движений системы с последующим анализом исходной и вырабатываемой информации. Автоматический поиск является наиболее характерным признаком самонастраивающихся систем. В качестве пробных движений в ряде случаев используют имеющиеся в системе случайные изменения состояния. Элементы самонастройки вводят в систему, если закон изме-нения характеристик объекта во времени неизвестен, а разовая или программная настройка не позволяет получить желаемое качество работы системы. Для обеспечения самонастройки широко применяются вы-числительные средства, корректирующие устройства с изменяемы-ми параметрами, регуляторы с изменяющимися параметрами и др. Самонастраивающиеся системы являются, прежде всего, ди-намически устойчивыми системами, работающими по принципу измерения отклонения регулируемой переменной или с использо-ванием комбинированного принципа регулирования. Такие систе-мы имеют следующие характерные черты:

− наличие не менее двух контуров – основного и самонастрой-ки;

− наличие элементов с изменяющимися параметрами; − наличие вычислительных средств;

96

− повышенная чувствительность к изменению параметров сис-темы и входных сигналов;

− использование случайных сигналов для осуществления авто-матического поиска экстремума.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии рассмотрены основные вопросы построения и анализа систем автоматического управления. Основными характе-ристиками качества систем являются устойчивость, точность и по-мехоустойчивость. При определенных условиях удается построить оптимальные системы управления с непрерывным или дискретным временем, в которых обеспечивается минимальная дисперсия ошибки управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. – М.: Высш. шк., 1990.– 335 с.

2. Радиоавтоматика / В.А. Бесекерский, А.А.Елисеев, А.В. Не-былов и др.; Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Высшая шк., 1985. – 271 с.

3. Максимов М.В. , Меркулов В.И. Радиоэлектронные следя-щие системы (Синтез методами теории оптимального управления). – М.: Радио и связь, 1990. – 256 с.

4. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1982.–296 с.

5. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.:Энергия,1975.– 412 с.

6. Вагапов В.Б., Автоматика радиоэлектронных систем. – К.: Вища шк., 1988. – 351 с.

7. Задачник по теории автоматического управления: Учеб. по-собие для вузов / Под ред. А.С. Шаталова. – М.: Энергия, 1979. – 544 с.

8. Васильев К.К. Методы обработки сигналов. – Ульяновск: УлПИ, 1990. – 96с.

9. Теория автоматического управления / Под ред. А.В.Нетушила. – М.: Высшая школа, 1976. – 432 с.

10. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических сис-темах. – М.: Наука, 1968. – 400 с.

97

11. Синицын И.Н., Пугачев В.С. Стохастические дифференци-альные системы. Анализ и фильтрация. – М.: Наука, 1990. – 632 с.

12. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – М.: Наука, 1978. – 552 с.

13.Васильев К.К., Цветов М.А. Системы автоматического управления: Сборник лабораторных работ. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. –28 с.

14. Васильев К.К., Цветов М.А. Теория автоматического управления: Сборник лабораторных работ. – Ульяновск: УлГТУ, 1999. – 40 с.

15. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами матема-тической статистики. – М.: Высшая школа, 1971. – 328 с.

16. Мизин И.А., Матвеев А.А. Цифровые фильтры. – М.: Связь, 1979. – 240 с.

17. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. – М.: Радио и связь, 1990. – 256 с.

18. Рабинер П., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обра-ботки сигналов. – М.: Мир, 1978. – 848 с.

98

Учебное издание ВАСИЛЬЕВ Константин Константинович

Теория автоматического управления (следящие системы) Учебное пособие

Редактор Н. А. Евдокимова Изд. лиц. 020640 от 22.10.97. Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 5,58. Уч.–изд. л. 5,20.

Тираж 200 экз. Заказ

Ульяновский государственный технический университет. 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.