МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра естественно-научных дисциплин

Ю.Ф. Пугачев

ФИЗИКА

Методические указания

по решению задач и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

Ульяновск 2007

2

ББК В3 я7

П88

Пугачев. Ю.Ф. Физика [Текст]: Методические указания по решению задач и кон-

трольные задания для студентов заочной формы обучения / Ю.Ф.Пугачев. – Улья-

новск: УВАУ ГА, 2007. – 164 с.

Изложены общие методические указания по самостоятельному изучению курса

общей физики и выполнению контрольных работ, приведен список рекомендуемой

литературы, даны основные формулы, примеры решения задач и контрольные зада-

ния по всем разделам курса. В приложении содержатся необходимые справочные ма-

териалы.

Предназначены для студентов УВАУ ГА специализаций 160503.65 – Летная экс-

плуатация воздушных судов, 160505.65 – Аэронавигационное обслуживание и ис-

пользование воздушного пространства, 280102.65 – Безопасность технологических

процессов и производств на воздушном транспорте.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………….....................3

1. Общие методические указания……………………………………………...................4

1.1. Самостоятельная работа по учебным пособиям…………………………..................4

1.2. Решение задач……………………………………………………………......................5

1.3. Выполнение контрольных работ…………………………………………...................6

1.4. Таблицы вариантов и номера задач……………………………………......................7

2. Рекомендуемая литература……………………………………………….....................10

3. Контрольная работа № 1…………………………………………………….................11

4. Контрольная работа № 2…………………………………………………….................80

Приложение…………………………………………………………………....................156

© Пугачев Ю.Ф., 2007

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2007

3

ВВЕДЕНИЕ

Курс физики совместно с курсами высшей математики и теоретической меха-

ники составляет основу теоретической подготовки инженеров и играет роль фун-

даментальной физико-математической базы, без которой невозможна успешная

деятельность инженера любого профиля. Курс физики представляет собой единое

целое. Попытки разделить его на части между несколькими кафедрами не имеют

ни методологических, ни научных, ни дидактических оснований. Изучение цело-

стного курса физики способствует формированию у студентов и курсантов науч-

ного мировоззрения и современного физического мышления.

Для поддержания интереса студентов и курсантов к физике следует использо-

вать богатый и разнообразный материал ее специальных приложений. На всех

этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретиче-

ских знаний, в частности, решение задач. Особенно это важно при совершенство-

вании различных форм самостоятельной работы студентов и курсантов.

Данные учебно-методические указания соответствуют курсу физики для

инженерно-технических специальностей и рассчитаны на 300 часов занятий

(аудиторных и самостоятельных) продолжительностью в два семестра. Предла-

гаемое пособие задумано как практическое применение материала, изложенно-

го в типовых программах по физике Государственного образовательного стан-

дарта высшего профессионального образования по следующим направлениям

подготовки дипломированного специалиста: 160500 – Аэронавигация и 656500 –

Безопасность жизнедеятельности. Особенности подготовки инженеров специ-

альностей 160505.65 – Аэронавигационное обслуживание и использование воз-

душного пространства, 160503.65 – Летная эксплуатация воздушных судов,

280102.65 – Безопасность технологических процессов и производств на воз-

душном транспорте учтены в рассматриваемых примерах и задачах практиче-

ского приложения физики и физических методов в соответствующих об-

ластях техники. Данное пособие составлено с учетом сокращенного объема

4

часов курса физики в некоторых вузах, особенно в отношении студентов заоч-

ной формы обучения.

При увеличении объема часов курса физики желательно включение задач по

таким темам, как нелинейная оптика, голография, низкотемпературная сверх-

проводимость, жидкие кристаллы, поведение вещества в экстремальных усло-

виях и т. д. На настоящем этапе повышение качества возможно при увеличении

числа специальных задач с практическим приложением и оценочных расчетов.

В данном учебном пособии в начале каждого раздела дан перечень основ-

ных законов и формул, на основе которых решаются задачи данного и после-

дующих разделов, и примеры решения задач. Справочные материалы, необхо-

димые для решения задач, приведены в приложениях.

Настоящее пособие представляет собой третье переработанное и дополнен-

ное издание.

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1.1. Самостоятельная работа по учебным пособиям

Самостоятельная работа по учебным пособиям является главным видом ра-

боты студента заочного обучения. В связи с этим рекомендуется:

1. Изучать курс физики систематически в течение всего учебного процесса,

т. к. освоение материала в сжатые сроки перед экзаменом не даст глубоких и

прочных знаний.

2. Выбрав какое-либо учебное пособие в качестве основного по определен-

ной части курса физики, придерживаться данного пособия при изучении всей

части курса или, по крайней мере, ее раздела. Замена одного пособия другим

может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами.

5

3. При чтении учебного пособия составлять конспект, в котором записывать

законы и формулы, выражающие эти законы, определения физических величин

и единиц их измерения, делать чертежи и решать типовые задачи.

При решении задач следует преимущественно пользоваться Международ-

ной системой единиц (СИ).

4. Самостоятельную работу по изучению физики подвергать систематиче-

скому самоконтролю. Для этого после изучения очередного раздела физики

следует ставить вопросы и отвечать на них. При этом надо использовать рабо-

чую программу.

5. Пользоваться очными консультациями преподавателей, а также вести пе-

реписку с ними.

1.2. Решение задач

Систематическое решение задач – необходимое условие изучения курса фи-

зики. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, прививает

навыки практического применения теоретических знаний.

При решении задачи необходимо выполнять следующее:

1. Указать основные законы и формулы, разъяснить буквенные обозначения.

Если применяется формула, полученная для частного случая, то ее следует вывести.

2. Дать чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно).

3. Решение задачи сопровождать пояснениями.

4. Решить задачу в общем виде, то есть выразить искомую величину в бук-

венных обозначениях величин, заданных в условии задачи. Не производятся

вычисления промежуточных величин: числовые значения подставляются толь-

ко в окончательную (рабочую) формулу.

5. Подставить в рабочую формулу размерности или сокращенные обозначе-

ния единиц и убедиться в правильности размерности искомой величины.

6. Выразить все величины, входящие в рабочую формулу, в единицах СИ и

выписать их для наглядности столбиком.

6

7. Подставить в окончательную формулу числовые значения.

8. Оценить правдоподобность численного ответа, в ряде случаев такая оценка

поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффици-

ент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы, электри-

ческий заряд не может быть меньше элементарного заряда Кл1060,1 19е , ско-

рость тела не может быть больше скорости света в вакууме и т. д.

Умение решать задачи приобретается длительными и систематическими уп-

ражнениями. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению кон-

трольной работы, следует после изучения очередного раздела учебника внима-

тельно разобрать примеры решения типовых задач из задачников по физике.

1.3. Выполнение контрольных работ

К выполнению контрольных работ следует приступать только после изуче-

ния теоретического материала, соответствующего данному разделу программы,

внимательного ознакомления с примерами.

При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующим:

1. Контрольные работы выполняются только по условиям задач данного по-

собия. Замена на другое пособие другого года издания не допускается.

2. Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на лицевой

стороне которой (на обложке) приводятся сведения по следующему образцу:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ПО ФИЗИКЕ

ШИФР Д 99123

СТУДЕНТ 1 КУРСА ФАКУЛЬТЕТА БЕЗОТРЫВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ УВАУ ГА,

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 160505.65

ДМИТРИЕВ МИХАИЛ ПАВЛОВИЧ

АДРЕС: Г. САРАТОВ, УЛ. ЗАВОДСКАЯ, Д. 4, КВ. 1.

3. Контрольная работа выполняется пастой синего или черного цвета. Для

замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля. Каждая сле-

7

дующая задача должна начинаться с новой страницы. Условия задачи перепи-

сываются полностью, без сокращений.

4. В конце контрольной работы необходимо указать, каким учебным пособи-

ем студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год

издания), чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует

студенту изучить для завершения контрольной работы.

5. Если контрольная работа возвращена на доработку, студент обязан пред-

ставить ее на повторную проверку, включив в нее те задачи, решения которых

оказались неверными. Повторная работа представляется вместе с незачтенной

работой.

6. Зачет контрольных домашних заданий проводится преподавателем путем

проведения аудиторной работы либо в форме собеседования преподавателя со

студентами.

1.4. Таблицы вариантов и номера задач

Таблица 1

Варианты контрольных работ

Последние цифры шифра/номер варианта

01/1 02/2 03/3 04/4 05/5 06/6 07/7 08/8 09/9 10/10

11/11 12/12 13/13 14/14 15/15 16/16 17/17 18/18 19/19 20/20

21/21 22/22 23/23 24/24 25/25 26/26 27/27 28/1 29/2 30/3

31/4 32/5 33/6 34/7 35/8 36/9 37/10 38/11 39/12 40/13

41/14 42/15 43/16 44/17 45/18 46/19 47/20 48/21 49/22 50/23

51/24 52/25 53/26 54/27 55/1 56/2 57/3 58/4 59/5 60/6

61/7 62/8 63/9 64/10 65/11 66/12 67/13 68/14 69/15 70/16

71/17 72/18 73/19 74/20 75/21 76/22 77/23 78/24 79/25 80/26

81/27 82/1 83/2 84/3 85/4 86/5 87/6 88/7 89/8 90/9

91/10 92/11 93/12 94/13 95/14 96/15 97/16 98/17 99/18 00/19

8

Таблица 2

Контрольная работа № 1

Вариант Номера задач

1 101 128 155 182 209 301 328 355 382 409

2 102 129 156 183 210 302 329 356 383 410

3 103 130 157 184 211 303 330 357 384 411

4 104 131 158 185 212 304 331 358 385 412

5 105 132 159 186 213 305 332 359 386 413

6 106 133 160 187 214 306 333 360 387 414

7 107 134 161 188 215 307 334 361 388 415

8 108 135 162 189 216 308 335 362 389 416

9 109 136 163 190 217 309 336 363 390 417

10 110 137 164 191 218 310 337 364 391 418

11 111 138 165 192 219 311 338 365 392 419

12 112 139 166 193 220 312 339 366 393 420

13 113 140 167 194 221 313 340 367 394 421

14 114 141 168 195 222 314 341 368 395 422

15 115 142 169 196 223 315 342 369 396 423

16 116 143 170 197 224 316 343 370 397 424

17 117 144 171 198 225 317 344 371 398 425

18 118 145 172 199 226 318 345 372 399 426

19 119 146 173 200 227 319 346 373 400 427

20 120 147 174 201 228 320 347 374 401 428

21 121 148 175 202 229 321 348 375 402 429

22 122 149 176 203 230 322 349 376 403 430

23 123 150 177 204 231 323 350 377 404 431

24 124 151 178 205 232 324 351 378 405 432

25 125 152 179 206 233 325 352 379 406 433

26 126 153 180 207 234 326 353 380 407 434

27 127 154 181 208 235 327 354 381 408 435

9

Таблица 3

Контрольная работа № 2

Вариант Номера задач

1 501 528 555 582 609 701 728 755 782 809

2 502 529 556 583 610 702 729 756 783 810

3 503 530 557 584 611 703 730 757 784 811

4 504 531 558 585 612 704 731 758 785 812

5 505 532 559 586 613 705 732 759 786 813

6 506 533 560 587 614 706 733 760 787 814

7 507 534 561 588 615 707 734 761 788 815

8 508 535 562 589 616 708 735 762 789 816

9 509 536 563 590 617 709 736 763 790 817

10 510 537 564 591 618 710 737 764 791 818

11 511 538 565 592 619 711 738 765 792 819

12 512 539 566 593 620 712 739 766 793 820

13 513 540 567 594 621 713 740 767 794 821

14 514 541 568 595 622 714 741 768 795 822

15 515 542 569 596 623 715 742 769 796 823

16 516 543 570 597 624 716 743 770 797 824

17 517 544 571 598 625 717 744 771 798 825

18 518 545 572 599 626 718 745 772 799 826

19 519 546 573 600 627 719 746 773 800 827

20 520 547 574 601 628 720 747 774 801 828

21 521 548 575 602 629 721 748 775 802 829

22 522 549 576 603 630 722 749 776 803 830

23 523 550 577 604 631 723 750 777 804 831

24 524 551 578 605 632 724 751 778 805 832

25 525 552 579 606 633 725 752 779 806 833

26 526 553 580 607 634 726 753 780 807 834

27 527 554 581 608 635 727 754 781 808 835

Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами

учебного шифра. Табл. 1 позволяет определить свой вариант: всего 27 вариан-

тов, таблица расписана для студентов с двумя последними цифрами учебного

шифра от 00 до 99. Если, например, две последние цифры 47, то по табл. 1 им

соответствует вариант 20.

10

Общее число контрольных работ по учебному плану факультета безотрыв-

ных форм обучения для всех специальностей равно 2, каждая из контрольных

работ включает 10 задач.

Контрольная работа № 1 содержит задачи № 101-235 по физическим осно-

вам механики и задачи № 301-435 по электричеству и магнитизму. Контрольная

работа № 2 включает задачи № 501-635 по механическим и электрическим ко-

лебаниям, упругим и электромагнитным волнам, а также задачи № 701-835 по

статистической физике и термодинамике, основам квантовой механики.

Согласно таблицам, варианту 20 по первой контрольной работе соответствуют

задачи – 120, 147, 174, 201, 228, 320, 347, 374, 401, 428; по второй – 520, 547, 574,

601, 628, 720, 747, 774, 801, 828.

2. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – С-Пб.:

Спецлит, 2002. – 327 с.

2. Воробьев А.А., Иванов В.П., Кондакова В.Г., Чертов А.Г. Физика: Методиче-

ские указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-

технических специальностей вузов. – М.: Высшая школа, 1987. – 208 с.

3. Детлаф, А.А. Курс физики [Текст]: Учебное пособие для вузов / А.А. Дет-

лаф, Б.М. Яворский– М.: Высшая школа, 1989. – 608 с.

4. Зисман, Г.А.. Курс общей физики. [Текст]: в 3 т / Г.А. Зисман, О.М. То-

дес– Киев: Днiпро, 1994.

5. Савельев, И.В. Курс общей физики. [Текст]: в 3 т. –М.: Наука, 1987. – 432 с.

6. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2003.

7. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. – М.: Высшая школа,

1996. – 303 с.

8. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями. – М.: Выс-

шая школа, 1999. – 591 с.

9. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа,

1988. – 527 с.

11

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.

Физические основы механики

Основные формулы

1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс

твердого тела) вдоль оси X:

x = f(t),

где f(t) – некоторая функция времени.

2. Проекция средней скорости на ось Х:

t

xVx

.

3. Средняя путевая скорость:

t

SV

,

где S – путь, пройденный точкой за интервал времени t .

Путь S в отличие от разности координат 12 xxx не может убывать и

принимать отрицательные значения, т.е. S 0 .

4. Мгновенная скорость:

dt

dxVx .

5. Среднее ускорение:

t

Va x

x

.

6. Мгновенное ускорение:

dt

dVa x

x .

12

7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

const),( Rrtf .

8. Угловая скорость:

dt

dω .

9. Угловое ускорение:

dt

dωε = 2

2

dt

d .

10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими

движение точки по окружности:

RV ω , Ra ε , Ran2ω ,

где V – линейная скорость;

naa , – тангенциальное и нормальное ускорения;

ω – угловая скорость;

ε – угловое ускорение;

R – радиус окружности.

11. Полное ускорение:

2τ

2n aaa или 42 ωε Ra .

12. Угол между полным a и нормальным na ускорениями:

)arccos(αa

an .

13. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со ско-

ростью V

:

Vmp

.

13

14. Второй закон Ньютона:

dtFpd

,

где F

– сила, действующая на тело.

15. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости:

kxF ,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);

x –абсолютная деформация;

б) сила тяжести:

gmP

;

в) сила гравитационного взаимодействия:

221γ

r

mmF ,

где γ – гравитационная постоянная;

1m и 2m – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также че-

рез напряженность G гравитационного поля:

GmF

;

г) сила трения (скольжения):

fNF ,

где f – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

14

16. Закон сохранения импульса:

const1

N

iip

или для двух тел ( 2i ):

22112211 UmUmVmVm

,

где 1V

и 2V

– скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

1U

и 2U

– скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

17. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

2

2mVT или

m

pT

2

2

.

18. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины:

2

2

1kxП ,

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия:

,γ 21

r

mmП

где γ – гравитационная постоянная;

1m и 2m – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

mghП ,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива

при условии h << 0R , где 0R – радиус Земли).

15

19. Закон сохранения и превращения механической энергии:

const ПTE .

20. Работа A , совершаемая внешними силами, определяется как мера изме-

нения энергии системы:

12 EEEA .

21. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

относительно неподвижной оси Z :

zz Mtd

dN , εzz ΙN ,

где zN – результирующий момент внешних сил относительно оси Z , дейст-

вующих на тело;

ωzz IM – момент импульса тела, вращающегося относительно неподвиж-

ной оси Z ;

ω – угловая скорость тела;

ε – угловое ускорение;

zI – момент инерции тела относительно оси вращения.

22. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси Z , прохо-

дящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

20 12

1mlI ;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной

плоскости обруча и совпадающей с осью цилиндра:

20 mRI ,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

.2

1 20 mRI

16

23. Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси:

20 mdII z ,

где 0I – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр

масс тела параллельно заданной оси;

d – расстояние между осями;

m – масса тела.

24. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг

неподвижной оси:

2211 ωω II ,

где 2211 ω,,ω, ΙΙ – моменты инерции системы тел и угловые скорости вращения

в моменты времени, принятые за начальный и конечный.

25. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z :

2ω2

1zΙT ,

z

z

Ι

MT

2

2

.

26. Первая и вторая космические скорости:

01 gRV , 212 VV .

27. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как ку-

бы больших полуосей их орбит (Кеплер):

32 ~ aT .

28. Движение тела переменной массы описывается уравнением Мещерского:

,dt

dmUF

dt

Vdm

где F

– геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на тело (ракету),

U

– относительная скорость (скорость истечения газов относительно ракеты).

17

29. Уравнение неразрывности струи:

,2211 SVSV

где 1S и 2S – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

21,VV – соответствующие скорости течений.

30. Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае:

,ρ2

ρ

2

ρ2

22

21

21

1 ghV

pghV

p

где 21, pp – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока;

21,VV – скорости жидкости в этих сечениях;

2

ρ 21V

и 2

ρ 22V

– динамические давления жидкости в этих же сечениях;

21,hh – высоты их над некоторым уровнем;

1ρgh и 2ρgh – гидростатические давления.

31. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках:

,η

ρRe

Vd

где V – средняя по сечению скорость течения жидкости;

d – диаметр трубки;

ρ– плотность жидкости;

η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического

значения крRe , движение жидкости является ламинарным. При значениях

крReRe движение жидкости переходит в турбулентное.

Для движения шарика в жидкости 5,0Reкр ; для потока жидкости в длин-

ных трубках 2300Reкр .

18

32. Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны пото-

ка жидкости на медленно движущийся в ней шарик:

,πη6 rVF

где r – радиус шарика;

V – скорость шарика.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много

меньше единицы (Re << 1).

33. Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающий за время t че-

рез длинную трубку:

V = ,η8

π 4

l

ptr

где r – радиус трубки;

l – длина трубки;

p – разность давлений на концах трубки.

34. В специальной теории относительности рассматриваются только инер-

циальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сона-

правлены, а относительная скорость 0V системы координат K' относительно

системы К, направлена вдоль общей оси хх'. Релятивистское (лоренцево) со-

кращение длины стержня:

,)/(1 20 cVll

где 0l – длина стержня в системе координат К', относительно которой стержень

покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси x’;

l – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он дви-

жется со скоростью V ;

с – скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме.

19

35. Релятивистское замедление хода часов:

,)/(1 2

0

cV

tt

где 0t – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной

точке системы К’, измеренный по часам этой системы (собственное время дви-

жущихся часов);

t – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам сис-

темы К.

36. Релятивистское сложение скоростей:

,/'1

'2

0

0

cVV

VVV

где 'V – относительная скорость (скорость тела относительно системы К';

0V – переносная скорость (скорость системы К' относительно К);

V – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела

в системе координат, условно принятой за неподвижную.

37. Релятивистская масса:

2

0

)/(1 cV

mm

, или

2

0

β1

mm ,

где 0m – масса покоя;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света ( cV /β ).

38. Релятивистский импульс:

2

0

)/(1 cV

VmmVp

или

20β1

β

cmp .

39. Полная энергия релятивистской частицы:

,20

2 TcmmcE

20

где T – кинетическая энергия частицы;

02

0 Ecm – ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если ско-

рость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если cV .

40. Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

.420

222 cmcpE

41. Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

)2( 20

22 cmTTcp или .)2(1

0 TTEc

p

42. Энергия фотона:

νε h , или ,ωε

где h – постоянная Планка;

– постоянная Планка, деленная на 2π ;

– частота фотона;

ω – циклическая частота.

43. Масса фотона:

,λ

ε2 c

h

cm

где c – скорость света в вакууме;

λ – длина волны фотона, υλ c .

43. Импульс фотона:

λ

hmcp =

c

ε.

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид 3CtBtAx , где А = 2 м, B = 1 м/с, С = -0,5 м/с3. Найти координату x, ско-

рость V и ускорение a точки в момент времени t = 2 с.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые

значения коэффициентов А, В и С и времени t:

.0)25,0212( 3 мx

21

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

.3 2CtBdt

dxV

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.6Ctdt

dVa

В момент времени t = 2с:

,м/с5м/c)25,031( 2 V

.м/с6м/с2)5,0(6 22 a

Пример 2. Тело вращается вокруг не-

подвижной оси по закону 2CtBtA ,

где А = 10 рад, B = 20 рад/с, С= -2 рад/с2.

Найти полное ускорение точки, находя-

щейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вра-

щения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Полное ускорение a точки, движущейся по кривой линии, может

быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения τa , на-

правленного по касательной к траектории, и нормального ускорения na , на-

правленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

.τ naaa

Так как векторы τa

и na

взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

.22τ naaa (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выра-

жаются формулами:

ra ετ , ran 2ω , (2)

где ω – угловая скорость тела;

ε – его угловое ускорение.

Рис. 1

22

Подставляя выражения τa и na в формулу (1), находим

422422 ωεωε rrra .

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по вре-

мени:

CtBdt

d2ω

.

В момент времени t = 4 с угловая скорость составляет:

4)2(220ω рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости

по времени:

2рад/с42ω

ε Cdt

d.

Подставляя значения ,ω ε и r в формулу (2), получаем

2242 м/с65,1м/с4)4(1,0 a .

Пример 3. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой

m1 = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой

n = 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m2 = 60 кг. Какую ли-

нейную скорость V относительно пола помещения будет иметь человек, если

он перейдет на край платформы?

Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внеш-

них сил относительно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью

платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса zM системы

платформа – человек остается постоянным:

,constω zz IM (1)

где zI – момент инерции платформы с человеком относительно оси Z;

ω – угловая скорость платформы.

23

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в

состав системы, поэтому 21 III z , где 1I и 2I – моменты инерции платфор-

мы и человека.

С учетом этого равенство (1) примет вид:

constII )( 21 или ,)()( ''2

'121 IIII (2)

где значения моментов инерции 1I и 2I относятся к начальному состоянию сис-

темы; '1I и '

2I – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси Z при переходе человека не

изменяется: 21

'11 2

1 RmII . Момент инерции человека относительно той же

оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку,

то его момент инерции 2I в начальном положении (в центре платформы) мож-

но считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент

инерции человека .22

'2 RmI

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой

скорости вращения платформы с человеком ( n2πω ) и конечной угловой ско-

рости ( RV'ω , где V – скорость человека относительно пола):

RV)RmRmRm 2

22

12

1 21(0)2π)2

1( .

После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость

).2/(π2 211 mmnRmV

Произведем вычисления:

1м/с602180

1805,16114,32

V м/с.

Пример 4. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в верти-

кальном направлении. При какой минимальной скорости 1V , сообщенной раке-

те при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу

Земли (R = 61037,6 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимо-

действия ракеты и Земли, пренебречь.

24

Решение. Минимальную скорость ракеты можно найти, зная ее минималь-

ную кинетическую энергию Т1. Для определения Т1, воспользуемся законом со-

хранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой систе-

мы тел, в которой действуют только консервативные силы.

Систему ракета – Земля можно считать замкнутой. Единственная сила, дейст-

вующая на систему, гравитационная, относится к разряду консервативных. В ка-

честве системы отсчета выберем инерциальную, так как только в такой системе

справедливы законы динамики и, в частности, законы сохранения. Известно, что

система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инер-

циальной. В данном случае центр масс системы ракета – Земля практически сов-

падает с центром Земли, так как масса Земли M много больше массы ракеты т.

Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать

инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии

,2211 ПTПT (1)

где T1, П1 и Т2, П2 – кинетическая и потенциальная энергии системы ракета –

Земля в начальном (на поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном

радиусу Земли) состояниях.

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. По-

этому Т1 есть просто начальная кинетическая энергия ракеты:

.21 2

11 mVT

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии (потенциальная

энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удалённых друг от

друга, принимается равной нулю).

./γ1 RmMП

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия

возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая

энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максималь-

ного значения:

).2/(γ2 RmMП

25

Подставляя выражения T1, П1, T2 и П2 в (1), получаем

,2

γγ

2

21

R

mM

R

mMmV

откуда

.γ

1 R

MV

Заметив, что gRM 2/γ ( g – ускорение свободного падения у поверхности

Земли), перепишем эту формулу в виде

,1 gRV

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем

вычисления:

км/с791037,681,9 61 V .

Пример 5. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего

кинетической энергией Т = 5 МэВ.

Решение. Решение задачи сводится к установлению соотношения между ре-

лятивистским импульсом p частицы и ее кинетической энергией Т.

Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией

частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т.е.

2mcE . (1)

Зависимость массы от скорости определяется формулой

2

0

β1

mm . (2)

Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание,

что 02

0 Ecm , получим

26

2

0

β1

EE . (3)

Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем )β/(1 220

2 EE , откуда

20

22 )β( EEE . (4)

Очевидно, что

pcmVcmccVE 2)/(β .

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде 20

222 EcpE , откуда ре-

лятивистский импульс

)E)(EE(Ec

EEc

p 0020

2 11 .

Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энер-

гия Т частицы: Е – Е0 = Т. Легко убедиться, что Е + Е0 = Т + 2Е0, поэтому иско-

мая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы

выразится формулой

)ET(Tc

p 021

.

Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значе-

ние радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в еди-

ницах СИ. Таким образом,

.м/скг1093,2Джм/с103

101,65,5

МэВ/с5,5МэВ)51,025(5)E2(

218

13

0

cc

TTp

27

Задания

101. Движение материальной точки задано уравнением X = At + Bt2, где

А = 4 м/с, В = -0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость V

точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить

графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения

от времени.

102. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям

x1= А1 + B1t + С1t2 и x2= A2 = B2t + C2t

2, где А1 = 10 м; В1 = 1 м/с; С1= -2 м/с2;

A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,2 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек

будут одинаковы? Найти ускорения a1 и a2 этих точек в момент t = 3 c.

103. Самолет летит относительно воздуха со скоростью V1 = 800 км/ч. С запада

на восток дует ветер со скоростью V2 = 15 м/с. С какой скоростью самолет будет

двигаться относительно земли и под каким углом к меридиану надо держать курс,

чтобы перемещение было: 1) на юг; 2) на север; 3) на запад; 4) на восток?

104. Самолет, летевший на высоте h = 2940 м со скоростью V = 360 км/ч,

сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоя-

нии S от нее самолет должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротив-

лением воздуха пренебречь.

105. С какой скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад,

чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе?

106. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол,

если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максималь-

ной высоты Н траектории.

107. Точка движется по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движе-

ния точки = At + Bt3, где А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с3. Определить тангенци-

альное а, нормальное аn и полное a ускорения точки в момент времени t = 4 с.

108. Определить полное ускорение а в момент t = 3 с точки, находящейся на

ободе колеса радиусом R = 0,5 м, вращающегося согласно уравнению

= At + Bt3, где А = 2 рад/с; В = 0,2 рад/с3.

28

109. Точка движется по окружности радиусом R = 8 м. В некоторый момент

времени нормальное ускорение точки an = 4 м/с2, вектор полного ускорения a

образует в этот момент с вектором нормального ускорения an угол = 60°. Най-

ти скорость V и тангенциальное ускорение a точки.

110. Тело брошено под углом = 30° к горизонту. Найти тангенциальное a

и нормальное an ускорения в начальный момент движения.

111. Винт самолета радиусом 1,5 м вращается со скоростью 2000 об/мин,

причем посадочная скорость самолета относительно Земли равна 161 км/ч. Ка-

кова скорость точки на конце винта? Каков характер пути, описываемого этой

точкой?

112. Винт самолета, делая 1500 об/мин, при торможении стал вращаться рав-

номерно-замедленно и остановился через 30 с. Найти угловое ускорение и чис-

ло оборотов, сделанных винтом, с начала торможения до полной остановки.

113. Наклонная плоскость, образующая угол = 25° с плоскостью горизонта,

имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоско-

сти за время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

114. Посадочная скорость самолета равна 100 км/ч. Лобовое сопротивление

и трение составляют 25% от веса самолета. Найти время и длину пробега само-

лета при посадке.

115. Самолет совершает разбег от скорости, равной нулю, до скорости 200 км/ч

(при которой он отрывается от земли). Сила тяги двигателя 4,9 Н910 , сила лобово-

го сопротивления и сила трения вместе равны Н41047,1 . Масса самолета 6000 кг.

Определить длину и время разбега самолета.

116. Материальная точка массой т = 2 кг движется под действием некото-

рой силы F согласно уравнению х = A + Bt + Ct2 + Дt3, где С = 1 м/с2,

Д = 0,2 м/с3. Найти значение этой силы в моменты времени t1 = 2 с и t2 = 5 с. В

какой момент времени сила равна нулю?

117. Молот массой т = 1 т падает с высоты h = 2 м на наковальню. Длитель-

ность удара t = 0,01 с. Определить среднее значение силы <F> удара.

29

118. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением a = 20 м/с2.

Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называ-

ется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести Р).

119. Вертолет массой m = 3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м,

«висит» в воздухе. С какой скоростью V ротор отбрасывает вертикально вниз

струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора.

120. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола и начина-

ет скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его

длины, Чему равен коэффициент трения каната о стол?

121. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозит, и

его скорость равномерно изменяется за время t = 3 с от V1 = 18 км/ч до V2 = 6 км/ч.

На какой угол отклонится при этом нить с шаром?

122. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом

угол = 45°. Пройдя расстояние S = 36,4 см, тело приобретает скорость

V = 2 м/с. Чему равен коэффициент трения тела о плоскость?

123. Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикально вверх. Двига-

тель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Определить ускорение a ракеты и

силу натяжения Т троса, свободно свисающего с ракеты, на расстоянии, равном

1/4 его длины от точки прикрепления троса. Масса троса т = 10 кг. Силой сопро-

тивления воздуха пренебречь.

124. Снаряд, выпущенный со скоростью V0 = 100 м/с под углом = 45° к го-

ризонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка.

Один осколок упал на землю под точкой О со скоростью V1 = 97 м/с. С какой

скоростью упал на землю второй осколок? Сопротивления воздуха нет.

125. Шар с массой m1 = 2 кг движется со скоростью V1 = 3 м/с и сталкивает-

ся с шаром массой т2 = 1 кг, движущимся ему навстречу со скоростью

V2 = 4 м/с. Определить скорости шаров после прямого центрального удара.

Удар считать абсолютно упругим.

30

126. С высоты h = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой

т = 200 г и подпрыгивает на высоту h1 = 0,5 м. Определить импульс p

, полу-

ченный шариком при ударе.

127. Космический корабль, имеющий лобовое сечение 10 м2 и скорость 10

км/с попадает в облако микрометеоров. В 1 м3 пространства находится 2 мик-

рометеора. Масса каждого микрометеора 5102 кг. Какую силу тяги должен

развить двигатель, чтобы скорость корабля не изменилась? Удар микрометео-

ров об обшивку корабля считать неупругим.

128. Шар массой т1 = 4 кг движется со скоростью V1 = 5 м/с и сталкивается с

шаром массой m2 = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью

V2 = 2 м/с. Определить скорости U1 и U2 шаров после удара. Удар считать абсо-

лютно упругим, прямым, центральным.

129. Вагон массой m = 35 т движется на упор со скоростью V = 0,2 м/с. При

полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на l = 12 см. Оп-

ределить максимальную силу Fmax сжатия буферных пружин и продолжитель-

ность t торможения.

130. Шар массой m1 = 5 кг движется со скоростью V1 = 1 м/с и сталкивается с

покоящимся шаром массой m2 = 2 кг. Определить скорости U1 и U2 шаров после

удара. Удар считать абсолютна упругим, прямым, центральным.

131. Лодка длиной l = 3 м и массой т = 120 кг стоит на спокойной воде. На

носу и корме находятся два рыбака массами m1 = 60 кг и m2 = 90 кг. На сколько

сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

132. Плот массой m1 = 150 кг и длиной l = 2 м плавает на воде. На плоту на-

ходится человек, масса которого т2 = 80 кг. С какой наименьшей скоростью V и

под каким углом , к плоскости горизонта должен прыгнуть человек вдоль пло-

та, чтобы попасть на его противоположный край?

133. В подвешенный на нити длиной l = 1,8 м деревянный шар массой

m1 = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой скоро-

стью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от

31

вертикали на угол = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым,

центральным.

134. Конькобежец весом 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизон-

тальном направлении камень весом в 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое

расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент

трения коньков о лед равен 0,02.

135. Атом распадается на две части массами m1 = 25106,1 кг и

m2 = 25103,2 кг. Определить кинетические энергии Т1 и Т2 частей атома, если

их общая кинетическая энергия Т = 11102,2 Дж. Кинетической энергией и им-

пульсом атома до распада пренебречь.

136. Определить максимальную часть кинетической энергии, которую мо-

жет передать частица массой 221 102 m г, сталкиваясь упруго с частицей мас-

сой 222 106 m г, которая до столкновения покоилась.

137. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полу-

сферы. Какую дугу d опишет камешек, прежде чем оторвется от поверхности

купола? Трением пренебречь.

138. Две пружины жесткостью k1 = 0,5 кН/м и k2 = 1 кН/м скреплены парал-

лельно. Определить потенциальную энергию П данной системы при абсолют-

ной деформации l = 4 см.

139. Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью

k = 800 Н/м, сжатую на х = 6 см, дополнительно сжать на х = 8 см.

140. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пру-

жины положить груз, то пружина сожмется на l = 3 мм. На сколько сожмет

пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?

141. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k = 150 Н/м был про-

изведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость V пули при вылете

ее из пистолета, если пружина была сжата на х = 4 см.

142. Тело, имеющее скорость 5 м/с, движется вверх по наклонной плоско-

сти. На какую высоту поднимается оно по ней, если плоскость наклонена под

32

углом 30° к горизонту, а коэффициент трения равен 0,1? Какова будет скорость

тела, когда оно вернется в нижнюю точку?

143. Два груза массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях длиной

l = 2м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен

на угол = 60° и отпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба

груза после неупругого удара.

144. Частица массой m1 = 10-24 г имеет кинетическую энергию Т1 = 9 нДж. В

результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2 = 4·10-24 г

она сообщает ей кинетическую энергию Т2 = 5 нДж. Определить угол , на кото-

рый отклонится частица от своего первоначального направления.

145. Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и высотой Н = 0,4 м

плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить

льдину в воду?

146. Шар радиусом R = 6 см удерживается внешней силой под водой так, что его

верхняя точка касается поверхности воды. Плотность материала шара = 500 кг/м3.

Какую работу произведет выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить

ему свободно плавать?

147. Маховик имеет вид диска массой 50 кг и радиусом 20 см. Он был раскру-

чен до скорости вращения 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под

влиянием трения маховик остановился. Найти момент силы трения, считая его по-

стоянным, по следующим данным: а) если маховик остановился через 50 с, б) если

маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.

148. Маховик, имеющий вид диска радиусом R = 40 см и массой m = 50 кг,

может вращаться вокруг горизонтальной оси. На этой оси жестко закреплен

шкив радиусом r = 10 см. По касательной к шкиву приложена постоянная сила

F = 500 Н. Через сколько времени маховик раскрутится до частоты n = 1 об/с?

149. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной

оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если

человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку?

33

Масса платформы М = 240 кг, масса человека т = 60 кг. Момент инерции человека

рассчитывать, как для материальной точки.

150. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m1 = 180 кг может

вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вра-

щаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m2 = 70 кг со

скоростью V = 1,8 м/с относительно платформы?

151. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень верти-

кально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой ско-

ростью 1 = 4 рад/с. С какой угловой скоростью 2 будет вращаться скамья с

человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное поло-

жение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 5 мкг . Длина

стержня l = 1,8 м, масса т = 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком

находится на оси платформы.

152. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикаль-

ной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется плат-

форма, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в ис-

ходную (на платформе) точку?

153. Период обращения Т искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая

орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте над поверхностью Земли

движется спутник.

154. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимается ракета, пу-

щенная вертикально вверх, если начальная скорость будет равна первой косми-

ческой скорости?

155. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h = 3200 км и

начала падать. Какой путь S пройдет ракета за первую секунду своего падения?

156. Радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность

Земли в k = 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение

свободного падения gл на поверхности Луны, если на поверхности Земли уско-

рение свободного падения g считать известным.

34

157. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность = 3 г/см3.

Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты.

158. Масса Земли в n = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l между

центрами масс Земли и Луны равно 60,3 R (R – радиус Земли). На каком рас-

стоянии r (в единицах R) от центра Земли находится точка, в которой суммар-

ная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

159. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на

высоте h = 3,6 Мм. Определить линейную скорость V спутника. Радиус R Земли

и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.

160. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая

орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h над поверхностью Земли

движется спутник.

161. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плос-

кости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной

поверхности. Определить угловую скорость спутника и радиус R его орбиты.

162. Планета Нептун в k =30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить

период T обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца.

163. Луна движется вокруг Земли со скоростью V1 =1,02 км/с. Среднее рас-

стояние l от Луны до Земли равно 60,3 R (R – радиус Земли). Определить по

этим данным, с какой скоростью V2 должен двигаться искусственный спутник,

вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью.

164. Зная среднюю скорость V1 движения Земли вокруг Солнца (30 км/с),

определить, с какой средней скоростью V2 движется малая планета, радиус ор-

биты которой в n = 4 раза больше радиуса орбиты Земли.

165. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии r = 9,4 Мм от цен-

тра планеты и движется вокруг нее со скоростью V = 2,1 км/с. Определить мас-

су М Марса.

166. Определить массу М Земли по среднему расстоянию r от центра Луны до

центра Земли и периоду Т обращения Луны вокруг Земли (Т и r считать известными).

35

167. Один из спутников планеты Сатурн находится приблизительно на та-

ком же расстоянии r от планеты, как Луна от Земли, но период Т его обращения

вокруг планеты почти в n =10 раз меньше, чем у Луны. Определить отношение

масс Сатурна и Земли.

168. Найти зависимость ускорения свободного падения g от расстояния r от-

считанного от центра планеты, плотность которой можно считать для всех

точек одинаковой. Построить график зависимости g(r). Радиус R планеты счи-

тать известным.

169. Тело массой m = 1 кг находится на поверхности Земли. Определить из-

менение Р силы тяжести для двух случаев: 1) при подъеме тела на высоту

h = 5 км; 2) при опускании тела в шахту на глубину h = 5 км. Землю считать од-

нородным шаром радиусом R = 6,37 Мм и плотностью = 5,5 г/см3.

170. Определить работу A, которую совершат силы гравитационного поля

Земли, если тело массой m = 1 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты h

равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение сво-

бодного падения g на ее поверхности считать известными.

171. Какова будет скорость V ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если

ракета пущена с Земли с начальной скоростью V0 = 10 км/с? Сопротивление

воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее

поверхности считать известными.

172. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью V0 = 15 км/с. К какому

пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли

бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других не-

бесных тел, кроме Земли, не учитывать.

173. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практи-

чески можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренеб-

режимо мала. Какую скорость V будет иметь метеорит в момент, когда его расстоя-

ние от Солнца равно среднему расстоянию Земли от Солнца?

174. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать

параболической. С какой скоростью V движется комета, когда она проходит

36

через перигей (ближайшую к Солнцу точку своей орбиты), если расстояние r

кометы от Солнца в этот момент равно 50 Гм?

175. На высоте h = 2,6 Мм над поверхностью Земли космической ракете бы-

ла сообщена скорость V = 10 км/с, направленная перпендикулярно линии, со-

единяющей центр Земли с ракетой. По какой орбите относительно Земли будет

двигаться ракета? Определить вид конического сечения.

176. Ракета массой т = 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально

вверх, поднимается с ускорением a = 2g. Скорость V струи газов, вырывающих-

ся из сопла, равна 1200 м/с. Найти расход Q горючего.

177. В ракете массой 20000 кг 80% ее массы составляет горючее. Какую конеч-

ную скорость может сообщить ракете такой запас горючего, если все оно будет вы-

брошено в виде газов со средней скоростью 1 км/с по отношению к работе?

178. Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой m0

начинает движение из состояния покоя под действием постоянной силы тяги F.

Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянной скоростью μ

кг/с. Определить V(t), т.е. зависимость скорости платформы от времени.

179. На катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со ско-

ростью u = 6 м/с относительно катера назад μ = 25 кг/с воды. Пренебрегая со-

противлением движению катера, определить: 1) скорость катера через t = 3 мин

после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.

180. Ракета, масса которой в начальный момент времени M = 2 кг, запущена

вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгорания

u = 150 м/с, расход горючего μ = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха,

определить ускорение a ракеты через t = 3 с после начала движения. Поле силы

тяжести считать однородным.

181. Ракета, масса который в начальный момент времени M = 300 г, начина-

ет выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью u = 200 м/с.

Расход горючего μ = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним

силовым полем, определить: 1) за какой промежуток времени скорость ракеты

37

станет равной V1 = 50 м/с; 2) скорость V2, которую достигнет ракета, если масса

заряда m0 = 0,2 кг.

182. Ракета с начальной массой m0, начиная движение из состояния покоя, к

некоторому моменту времени t израсходовав топливо массой m, развивает ско-

рость V. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, оп-

ределить зависимость V от m, если скорость истечения топлива относительно

ракеты равна u.

183. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх.

Начальная масса ракеты m0, скорость истечения газа относительно ракеты по-

стоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразить скорость

ракеты V в зависимости от m и t (m – масса ракеты; t – время ее подъема). Поле

силы тяжести считать однородным.

184. Ракета с начальной массой m0 = 1,5 кг, начиная движение из состояния по-

коя вертикально вверх, выбрасывает струю газов с постоянной относительно нее

скоростью u = 800 м/с. Расход газа μ = 0,3 кг/с. Определить, какую скорость приоб-

ретает ракета через время t = 1 с после начала движения, если она движется: 1) при

отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести.

185. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Ско-

рость V1 воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость V2 в узкой

части трубы, диаметр d2 которой в 1,5 раза меньше диаметра d1 широкой части.

186. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со

скоростью V1 = 2 м/с. Определить скорость V2, нефти в узкой части трубы, если

разность P давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

187. В горизонтально расположенной трубе с площадью S1 поперечного се-

чения, равной 20 см2, течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение, в

котором площадь S2 сечения равна 12 см2. Разность h уровней в двух мано-

метрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна

8 см. Определить объемный расход QV жидкости.

188. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр d1 = 20 см. В нем

движется со скоростью V1 = 1 м/с поршень, выталкивая воду через отверстие

38

диаметром d2 = 2 см. С какой скоростью V2 будет вытекать вода из отверстия?

Каково будет избыточное давление р воды в цилиндре?

189. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила

F = 15 H. Определить скорость V истечения воды из наконечника спринцовки,

если площадь S поршня равна 12 см2.

190. Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определить скорость V ветра,

если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха равна 1,29 кг/м3.

191. Струя воды диаметром d = 2 см, движущаяся со скоростью V = 10 м/с,

ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендику-

лярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после

удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

192. Бак высотой h = 1,5 м наполнен до краев водой. На расстоянии d = 1 м

от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком рас-

стоянии l от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия?

193. Струя воды с площадью S1 поперечного сечения, равной 4 см2, вытекает в

горизонтальном направлении из брандспойта, расположенного на высоте H = 2 м

над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l = 8 м. Пре-

небрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление р

воды в рукаве, если площадь S2 поперечного сечения рукава равна 50 см2?

194. Бак высотой Н = 2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте h

должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи,

вытекающей из отверстия, было на максимальном расстоянии от бака?

195. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность кото-

рой в три раза больше плотности материала шарика. Определить отношение

силы трения, действующей на всплывающий шарик, к его весу.

196. Смесь свинцовых дробинок диаметром 4 и 2 мм одновременно опускают в

широкий сосуд глубиной h = 1,5 м с глицерином. Определить, на сколько больше

времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.

197. Стальной шарик (плотность ρ' = 9 г/см 3 ) диаметром d = 0,8 см пада-

ет с постоянной скоростью в касторовом масле. Учитывая, что критическое

39

значение числа Рейнольдса Reкр = 0,5, определить характер движения масла,

обусловленный падением в нем шарика.

198. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капилляр внут-

ренним диаметром d = 2 мм и длиной l = 1,2 см. Через капилляр вытекает касторо-

вое масло, уровень которого в сосуде h = 30 см выше капилляра. Определить время,

которое требуется для протекания через капилляр 10 см3 масла.

199. В боковую поверхность цилиндрического сосуда диаметром D вставлен

капилляр внутренним диаметром d и длиной l. В сосуд налита жидкость с ди-

намической вязкостью η . Определить зависимость скорости V понижения

уровня жидкости в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром.

200. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на сто-

ле, вставлен на высоте h1 = 10 см от его дна капилляр внутренним диаметром

d = 2 мм и длиной l = 1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровень машин-

ного масла на высоте h2 = 70 см выше капилляра. Определить расстояние по гори-

зонтали от конца капилляра до места, куда попадает струя масла.

201. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свобод-

но падающий в воздухе свинцовый шарик массой m = 12 г. Коэффициент Сx

принять равным 0,5.

202. Парашют (m1 = 32 кг) пилота (m2 = 65 кг) в раскрытом состоянии имеет

форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэффициентом сопротивления

Сx = 1,3. Определить максимальную скорость, развиваемую пилотом, при плот-

ности воздуха 1,29 кг/м3.

203. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по

сечению скоростью V = 10 см/с. Определить число Рейнольдса Re для потока

жидкости в трубе и указать характер течения жидкости.

204. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость Vmax, при ко-

торой движение масла в этой трубе остается еще ламинарным, равна 3,2 см/с.

При какой скорости V движение глицерина в той же трубе переходит из лами-

нарного в турбулентное?

40

205. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Определить мак-

симальный массовый расход Qm max воды при ламинарном течении.

206. Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в

касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем ша-

рика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Reкр = 0,5.

207. Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глицерине. Опреде-

лить: 1) скорость V установившегося движения шарика; 2) является ли при этой

скорости обтекание шарика ламинарным?

208. При движении шарика радиусом r1 = 2,4 мм в касторовом масле лами-

нарное обтекание наблюдается при скорости V1 шарика, не превышающей

10 см/с. При какой минимальной скорости V2 шарика радиусом r2 = 1 мм в гли-

церине обтекание станет турбулентным?

209. Частица движется со скоростью V = 0,5 с. Во сколько раз релятивист-

ская масса частицы больше массы покоя?

210. С какой скоростью V движется частица, если ее релятивистская масса в

три раза больше массы покоя?

211. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из

опыта, равно 0,88 1110 Кл/кг. Определить релятивистскую массу т электрона и

его скорость V.

212. Электрон движется со скоростью V = 0,6 с. Определить релятивистский

импульс р электрона.

213. Импульс р релятивистской частицы равен m0c (m0 – масса покоя). Оп-

ределить скорость V частицы (в долях скорости света).

214. Полная энергия тела возросла на E = 1 Дж. На сколько при этом изме-

нится масса тела?

215. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, что-

бы его релятивистская масса возросла на m = 1 г?

41

216. Известно, что объем воды в океане равен 1,37 910 км3. Определить, на сколько

возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на t = 1 °C. Плот-

ность воды в океане принять равной 31003,1 кг/м3.

217. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его реля-

тивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

218. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы

электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т = 1 ГэВ?

219. Электрон летит со скоростью V = 0,8 с. Определить кинетическую энер-

гию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).

220. При какой скорости V кинетическая энергия любой частицы вещества

равна ее энергии покоя?

221. Определить скорость V электрона, если его кинетическая энергия равна:

1) T = 4 МэВ; 2) T = 1 кэВ.

222. Найти скорость V протона, если его кинетическая энергия равна:

1) Т = 1 МэВ; 2) T = 1 ГэВ.

223. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии T = (m -

m0)c2 при V << c переходит в соответствующее выражение классической меха-

ники.

224. Какая относительная ошибка будет допущена при вычислении кинети-

ческой энергии релятивистской частицы, если вместо релятивистского выраже-

ния Т = (m – m1)c2 воспользоваться классическим 2

021 VmT ? Вычисления вы-

полнить для двух случаев: 1) V = 0,2 c; 2) V = 0,8 c.

225. Показать, что выражение релятивистского импульса через кинетиче-

скую энергию TTp c )E2()( 01 при V << с переходит в соответствующее

выражение классической механики.

226. Определить импульс р частицы (в единицах m0c), если ее кинетическая

энергия равна энергии покоя.

227. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частицы (в еди-

ницах m0c2), если ее импульс р = m0c.

42

228. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя.

Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия уве-

личится в n = 4 раза?

229. Импульс р релятивистской частицы равен m0c. Под действием внешней

силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при

этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная?

230. При неупругом столкновении частицы, обладающей импульсом

p = m0c, и такой же покоящейся частицы образуется составная частица. Опре-

делить: 1) скорость V частицы (в единицах с) до столкновения; 2) релятивист-

скую массу составной частицы (в единицах m0); 3) скорость составной частицы;

4) массу покоя составной частицы (в единицах m0); 5) кинетическую энергию

частицы до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в еди-

ницах m0c2).

231. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью

t = 0,1 мкм. При какой относительной скорости u двух инерциальных систем

отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стерж-

ня, собственная длина 0l которого равна 1 м?

232. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизирован-

ные до полета с земными. Скорость V0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько

отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам

за время 0 = 0,5 года?

233. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью V = 0,6с.

Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблю-

дателя?

234. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета

со скоростями V1 = 0,6с и V2 = 0,9с вдоль одной прямой. Определить их относи-

тельную скорость u21 в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направле-

нии; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

235. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с

одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же

системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.

43

Электростатика. Постоянный ток. Электромагнетизм.

Электромагнитные колебания и волны

Основные формулы

1. Закон Кулона:

20

21

επε4 r

QQF ,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов Q1 и Q2;

r – расстояние между зарядами;

– диэлектрическая проницаемость;

0 – электрическая постоянная.

2. Напряженность электрического поля и потенциал:

Q

FE

,

Q

П ,

где П – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q, находяще-

гося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, уда-

ленного в бесконечность, равна нулю).

3. Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом по-

ле, и потенциальная энергия этого заряда:

EQF

, QП .

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных заря-

дов (принцип суперпозиции электрических полей):

N

iiEE

1

, ,

1i

N

i

где iF

, i – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i -м

зарядом.

5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом:

44

20πεε4

Er

Q ,

r

Q

0πεε4 ,

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряжен-

ность и потенциал.

6. Напряжённость и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной

сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) E = 0, R

Q

0πεε4 (при r < R),

б) E = 2

0πεε4 R

Q,

R

Q

0πεε4 (при r = R),

в) E = 2

0πεε4 r

Q,

r

Q

0πεε4 (при r > R),

где Q – заряд сферы.

7. Линейная плотность заряда:

l

Qτ .

8. Поверхностная плотность заряда:

S

Qσ .

9. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами.

Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью , то на

линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dQ = dlτ . Такой заряд

можно рассматривать как точечный и применять формулы

r

r

r

dlEd

2

0πεε4

τ ,

r

dld

0πεε4

τ ,

где r

– радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в ко-

торой, вычисляется напряженность.

45

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрирова-

нием напряженность E и потенциал поля, создаваемого распределенным заря-

дом:

l r

r

r

dlE

2

04ππε

τ,

l r

dl

04ππε.

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

10. Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно за-

ряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:

r0πεε2

τE ,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в

которой вычисляется.

11. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной

плоскостью:

0εε2

E .

12. Связь потенциала с напряженностью:

a) E

= -grad, или )(z

ky

jx

iE

(в общем случае);

б) d

E 21 (в случае однородного поля);

в) dr

dE

(в случае поля, обладающего центральной или осевой симмет-

рией).

13. Электрический момент диполя:

lQP

,

где Q – заряд;

46

l

– плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного за-

ряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

14. Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом

1 в точку с потенциалом 2 :

)( 2112 QA .

15. Электроемкость:

С=Q/ или С =Q/U,

где – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал

проводника принимается равным нулю);

U – разность потенциалов пластин конденсатора.

16. Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R:

RС 0πεε4 .

17. Электроемкость плоского конденсатора:

dSC /εε0 ,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

18. Электроемкость батареи конденсаторов:

а)

n

i iCC 1

11(при последовательном соединении);

б) С =

N

iiC

1 (при параллельном соединении),

где N – число конденсаторов в батарее.

19. Энергия заряженного конденсатора:

W = QU/2, W = CU2/2, W = Q2/(2C).

20. Сила тока:

,/ tQI

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

47

21. Плотность тока:

SIj / ,

где S - площадь поперечного сечения проводника.

22. Связь плотности тока со средней скоростью <V> направленного движе-

ния заряженных частиц:

Venj ,

где е – заряд частицы,

n – концентрация заряженных частиц.

23. Закон Ома:

a) R

U

RI

21 (для участка цепи, не содержащего ЭДС),

где U )( 21 – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи,

R – сопротивление участка;

б) R

Iε)( 21

(для участка цепи, содержащего ЭДС),

где ε – ЭДС источника тока,

R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) iRR

I

ε

(для замкнутой (полной) цепи),

где R – внешнее сопротивление цепи,

Ri – внутреннее сопротивление цепи.

24. Законы Кирхгофа:

a) 0iI (первый закон);

б) iεii RI (второй закон),

где iI – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;

ii RI – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участ-

ков;

iε – алгебраическая сумма ЭДС.

48

25. Сопротивление R и проводимость G проводника:

SlR / ; lSG / ; ρ/1 ,

где – удельное сопротивление;

σ – удельная проводимость;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

26 Сопротивление системы проводников:

а) iRR (при последовательном соединении);

б) iRR

11 (при параллельном соединении),

где Ri – сопротивление i-го проводника.

27. Работа тока:

;IUtA ;2RtIA RtUA 2 .

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого под-

держивается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.

28. Мощность тока:

;IUP ;2RIP .2 RUP

29. Закон Джоуля-Ленца:

RtIW 2 .

30. Закон Ома в дифференциальной форме:

Ej

,

где – удельная проводимость;

E

– напряженность электрического поля;

j – плотность тока.

49

31. Связь удельной проводимости с подвижностью b заряженных частиц (ионов):

),( bbQn

где Q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b+, b- – подвижности положительных и отрицательных ионов.

32. Связь магнитной индукции B

с напряженностью H

магнитного поля:

,μμB 0H

где μ – магнитная проницаемость изотропной среды;

0μ – магнитная постоянная. В вакууме μ = I, тогда магнитная индукция в ва-

кууме:

H00 μB .

33. Закон Био-Савара-Лапласа:

3

0

4π

μμB

r

Irldd

, dlr

Id

20 sin

4π

μμB

,

где Bd – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника дли-

ной dl с током I;

r

– радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в кото-

рой определяется магнитная индукция;

α – угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе про-

водника.

34. Магнитная индукция в центре кругового тока:

R

I

2

μμB 0 ,

где R – радиус кругового витка.

35. Магнитная индукция на оси кругового тока:

2322

20

)(

π2

4π

μμB

hR

IR

,

50

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная

индукция.

36. Магнитная индукция поля прямого

тока:

B = )π2/(μμ 00 rI ,

где r0 – расстояние от оси проводника до

точки, в которой определяется магнитная

индукция.

37. Магнитная индукция поля, создавае-

мого отрезком провода с током (рис. 2,а):

)αcosα(cos4π

μμB 21

0

0 r

I.

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции

Вобозначено точкой – это значит, что В

направлен перпендикулярно плоскости

чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в

которой определяется магнитная индукция (рис. 2,б),

αcosαcosαcos 12 ,

тогда

αcos2π

μμB

0

0

r

I .

38. Магнитная индукция поля соленоида:

,μμB 0nI

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

39. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера):

B

lIF , или ,αsinBlIF

где l – длина проводника;

Рис. 2

51

α – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной ин-

дукции B

.

Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого от-

резка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то

закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

B

ldIFd .

40. Сила взаимодействия параллельных проводов с током:

dlIIF π2/μμ 210 ,

где d – расстояние между проводами.

41. Магнитный момент плоского контура с током:

ISnPm

,

где n

– единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура;

I – сила тока, протекающего по контуру;

S – площадь контура.

42. Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током,

помещенный в однородное магнитное поле:

]B[ mPN , или sinBmPN ,

где – угол между векторами mPи B

.

43. Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле:

Bмех

mPП или cosBмех mPП .

44. Отношение магнитного момента Pm к механическому M (моменту им-

пульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

,2

1

m

Q

M

Pm

где Q – заряд частицы;

т – масса частицы.

52

45. Сила Лоренца:

B

VQF или .sinB QVF

Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях,

то под силой Лоренца понимают выражение

,B

VQEQF

где V

– скорость заряженной частицы;

– угол между векторами Vи B

.

46. Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности:

cosBФ S , ,BФ Sn

где S – площадь контура;

– угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

S

ndSBФ

(интегрирование ведется по всей поверхности).

47. Потокосцепление (полный поток):

Фψ N .

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плот-

но прилегающих друг к другу N витков.

48. Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле:

.Ф IА

49. ЭДС индукции:

.ψ

εdt

di

53

50. Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью

V

в магнитном поле:

,sinB lVU

где l – длина проводника;

– угол между векторами V

и B

.

51. Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного

потока, пронизывающего этот контур:

RQ /Ф или ,/ψ/Ф RRNQ

где R – сопротивление контура.

52. Индуктивность контура:

IL /ψ .

53. ЭДС самоиндукции:

dt

dILs ε .

54. Индуктивность соленоида:

VnL 20μμ ,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине;

V – объем соленоида.

55. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R

и индуктивностью L:

а) ]exp(1[ε

LRtR

I (при замыкании цепи),

где – ЭДС источника тока;

t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) )exp(0 LRtII (при размыкании цепи),

54

где 0I – сила тока в цепи при t = 0;

t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

56. Энергия магнитного поля:

2

2LIW .

57. Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии маг-

нитного поля соленоида к его объему):

,2/BH или ),μμ2/( 02B или 2/μμ 2

0H ,

где B – магнитная индукция;

H – напряженность магнитного поля.

Примеры решения задач

Пример 1. Три точечных заряда Q1 = Q2 = Q3 = 1 нКл расположены в вер-

шинах разностороннего треугольника.

Какой заряд Q4 нужно поместить в цен-

тре треугольника, чтобы указанная сис-

тема зарядов находилась в равновесии?

Решение. Все три заряда, располо-

женные по вершинам треугольника, на-

ходятся в одинаковых условиях. Поэтому

достаточно выяснить, какой заряд следу-

ет поместить в центре треугольника, что-

бы какой-нибудь один из трех зарядов,

например Q1, находился в равновесии. За-

ряд Q1 будет находиться в равновесии, ес-

ли векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 3).

04432 FFFFF

, (1)

где 432 ,, FFF

– силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q1 заряды

Q2, Q3, Q4;

Рис.3

55

F

– равнодействующая сил 2F

и 3F

.

Так как силы F

и 4F

направлены по одной прямой в противоположные сто-

роны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F - F4 = 0, откуда

F4 = F.

Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2, по-

лучим:

.)cos1(224 FF

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q1 = Q2 = Q1, найдем

,)cos1(2πε4πε4 2

0

21

210

41 r

Q

r

QQ

откуда

.)cos1(22

211

4 r

rQQ (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

;330cos2cos

2/

21

rrrr

cos = cos60 = 1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

Q4 = Q1/ 3 .

Произведем вычисления:

3/10 94

Q Кл = 101077,5 Кл = 577 пКл.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 2. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1

см, равномерно заряженным с линейной плотностью = 20 нКл/м. Определить

разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии

а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

56

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотноше-

нием между напряженностью поля и изменением потенциала: gradE

. Для

поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение

можно записать в виде

drdE / или .Edrd

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, от-

стоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

2

1

.12

r

r

Edr (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для

выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряжен-

ности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

).2/( 0rE (2)

Подставив выражение Е в (1), получим

2

1

,ln24 1

2

0012

r

r r

r

r

dr или .ln

2 1

2

021 r

r

Произведем вычисления, учитывая, что величины r1 и r2, входящие в фор-

мулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах r1 = R + a1 = 1,5 см;

R2 = R + a = 3 см):

В.2502lg3,2106,3

)5,1/3ln(108,11022

101821

В

Пример 3. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в

течение времени t = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до AI 61 (рис. 4). Оп-

ределить теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и

Q2 – за вторую, а также найти отношение Q2/Q1.

57

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I2Rt справедлив для постоянного

тока (I = const).Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон

справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

RdtJdQ 2 . (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

,ktI (2)

где k – коэффициент пропорциональности, ха-

рактеризующий скорость изменения силы то-

ка:

3A/c2

6

t

Ik A/c.

С учетом (2) формула (1) примет вид

dtRtkdQ 22 . (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени

t , выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 и t2:

1

2

).(3

1 31

32

222t

tttRkdttRkQ

Произведем вычисления:

60Дж)01(2033

1 21 Q Дж;

420Дж)18(2033

1 22 Q Дж.

Следовательно, Q1 /Q2 = 420/60 = 7, т. е. за вторую секунду выделится тепло-

ты в 7 раз больше, чем за первую.

Рис. 4

58

Пример 4. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов,

трех сопротивлений и гальванометра (рис. 5). В этой цепи R1= 100 Ом, R2= 50

Ом, R3= 20 Ом, ЭДС элемента 1 = 2 В. Гальванометр регистрирует силу тока I3 = 50

мА, идущего в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС 2 второго

элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением эле-

ментов пренебречь.

Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа.

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления то-

ков (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже;

б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи,

подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательны-

ми. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть

на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать:

а) падение напряжения (т. е. произведение IR) входит в уравнение со знаком

«плюс», если направление тока в данном участке совпадает с выбранным на-

правлением обхода контура; в против-

ном случае произведение IR входит в

уравнение со знаком «минус»; б) ЭДС

входит в уравнение со знаком «плюс»,

если она повышает потенциал в на-

правлении обхода контура, т. е. если

при обходе приходится идти от «мину-

са» к «плюсу» внутри источника тока в

противном случае ЭДС входит в уравне-

ние со знаком «минус».

Число независимых уравнений, ко-

торые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть

меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления урав-

РИС. 5

59

нений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры

следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя

бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных

контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше спо-

собом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то

это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в

направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рис. 5, и усло-

вимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа, для узла F имеем

I1 - I2 - I3 = 0. (1)

По второму закону Кирхгофа, для контура ABCDFA имеем

12211 RIRI или .12211 RIRI (2)

Соответственно для контура AFGHA

.23311 RIRI (3)

После подстановки числовых значении в формулы (1), (2) и (3) получим

I1 - I2 - 0,05 = 0; 50I1 + 25I2 = 1; 100I1 + 0,05·20 = 2 .

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные

– в правые, получим следующую систему уравнений:

.1100

,12550

,005,0

21

21

21

I

II

II

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами ал-

гебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неиз-

вестное 2 из трех, то воспользуемся методом определителей.

60

Составим и вычислим определитель системы:

7550251100

050)1(

10

0251

10100

02550

011

.

Составим и вычислим определитель 2 :

0100

255005,0

1100

150)1(

10

1251

10100

12555

05,011

2

= - 25 - 50 - 100 - 125 = - 300.

Разделив определитель 2 на определитель , найдем числовое значение ЭДС:

4)75/(300/}{ 22 .

Следовательно, 2 = 4 В.

Пример 5. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В,

попал в однородное магнитное поле напряженностью Н = 1 кА/м. Определить

радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном

поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из сле-

дующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует си-

ла Лоренца Fл (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца пер-

пендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормаль-

ное ускорение. По второму закону Ньютона Fл= man, где an – нормальное уско-

рение, или

eVB sin = mV2/R, (1)

где е – элементарный заряд;

V – скорость электрона;

В – магнитная индукция;

m – масса электрона;

R – радиус кривизны траектории;

61

– угол между векторами V

и

(в данном случае

V и = 90°, sin = 1).

Из формулы (1) найдем

R = mV/(eB). (2)

Входящий в равенство (2) импульс mV может быть выражен через кинетиче-

скую энергию Т электрона:

.2mTmV (3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потен-

циалов U, определяется равенством T= eU. Подставив выражение Т в формулу (3),

получим .2meUmV Магнитная индукция В может быть выражена через напря-

женность Н магнитного поля в вакууме: H0B , где 0 – магнитная постоянная.

Подставив выражения В и mV в формулу (2), определим

).μ/(2 0eHmeUR (4)

Произведем вычисления:

37,5м1037,5м101060,11014,34

4001060,1101192 23197

1931

R см.

Для определения частоты обращения воспользуемся формулой, связываю-

щей частоту со скоростью и радиусом:

)2/( RVn . (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2), получим

),π2/(B men )2/(0 meHn .

Произведем вычисления:

.1052,3101011,914,32

1060,11014,34 171331

197

ccn

62

Задания

301. Три одинаковых маленьких шарика массой m = 0,12 г подвешены к одной

точке на нитях длиной l = 20 см. Какие заряды следует сообщить шарикам, чтобы

каждая нить составляла с вертикалью угол = 30°? Массу нити не учитывать.

302. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на ни-

тях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружа-

ются в масло плотностью = 2108 кг/м3. Какова диэлектрическая проницае-

мость масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло ос-

тается неизменным? Плотность материалов шариков 3106,1ρ кг/м3.

303. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды 10103 Q Кл ка-

ждый. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить в центре квадрата, что-

бы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена

силой притяжения отрицательного заряда?

304. Определить напряженность внутри и вне шара радиусом R, имеющего

заряд q, равномерно распределенный по объему. Начертить график изменения

напряженности с расстоянием.

305. Определить, как изменится напряженность между двумя параллельными

плоскостями, заряженными с равными по абсолютной величине плотностями, про-

тивоположными по знаку, если заряд одной из плоскостей увеличить в два раза.

306. Определить напряженность поля в точке, находящейся на перпендику-

ляре, восстановленном из центра проволочного кольца радиусом R на расстоя-

нии h от него. Заряд на кольце равен q.

307. Два длинных, тонких, равномерно заряженных стержня расположены пер-

пендикулярно друг другу так, что точка пересечения их осей находится на рас-

стоянии а= 8 см и b= 5 см от ближайших концов стержней. Найти силу, дейст-

вующую на заряд Q= 10 нКл, помещенный в точку пересечения осей стержней.

308. Определить напряженность поля, создаваемого тонким, длинным

стержнем, равномерно заряженным, с линейной плотностью = 0,2 мкКл/см в

63

точке, находящейся на расстоянии r = 2 см от стержня, вблизи его середины.

Определить также силу, действующую на точечный заряд Q2 = нКл, помещен-

ный в этой точке.

309. Тонкое полукольцо R = 10 см несет равномерно распределенный заряд

Q1 = 0,2 мкКл. Определить напряженность поля в центре кривизны полукольца,

а также силу, действующую в этой точке на точечный заряд Q2 = 10 нКл.

310. Определить напряженность поля, создаваемого заряженной сферой радиу-

сом 32 см, зарядом 910865,1 Кл, погруженной в воду на расстоянии 10 см от по-

верхности сферы, относительная диэлектрическая проницаемость воды равна 81.

311. Плоский конденсатор, заряженный до разности потенциалов 4900 В и

отсоединенный от источника напряжения, заполняется слюдяными листочками:

1) полностью; 2) наполовину. Определить разности потенциалов после заполне-

ния. Относительная диэлектрическая проницаемость слюды равна 7.

312. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии d = 10 см

друг от друга. На нитях равномерно распределены два заряда с линейными плотно-

стями 1 = -2 нКл/см, 2 = 4 нКл/см. Определить напряженность электрического по-

ля Е в точке, удаленной от первой нити на расстояние r1 = 6 см и от второй на рас-

стояние r2 = 8 см.

313. Определить заряд и разность потенциалов на каждом из двух последо-

вательно соединенных конденсаторов, если они подключены к батарее с на-

пряжением 100 В. Емкость конденсаторов равна 2 мкф и 0,1 мкф.

314. К бесконечной равномерно заряженной вертикальной плоскости подвешен

на нити одноименно заряженный шарик массой т = 40 мг и зарядом Q = 670 пКл.

Натяжение нити, на которой висит шарик, F = 490 мкН. Найти поверхностную плот-

ность заряда на плоскости.

315. Между обкладками плоского конденсатора находится пластинка слюды

толщиной 5 мм, покрытая с обеих сторон слоем парафина толщиной 1 мм. Опре-

делить емкость конденсатора, если площадь обкладки конденсатора – 15 см2, от-

носительная диэлектрическая проницаемость слюды равна 7, парафина – 2.

64

316. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной

плотностью заряда б = 1 мкКл/м2, расположена бесконечно длинная прямая

нить, заряженная с линейной плотностью = 10 мКл/м. Определить силу, дей-

ствующую со стороны плоскости на единицу длины нити.

317. Три одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала = 20 В, сли-

ваются в одну. Каков потенциал образовавшейся капли?

318. Определить емкость плоского конденсатора, если он заполнен слоями

диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью 1, 2 и т. д.,

толщиной d1, d2 и т. д. Площадь обкладки конденсатора равна S.

319. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями

б1 = 0,2 мкКл/м2 и б2 = -0,3 мкКл/м2, находятся на расстоянии d = 0,5 см друг от дру-

га. Определить разность потенциалов между плоскостями.

320. Два конденсатора емкостью C1 и С2, соответственно 2 мкф, 3 мкф, со-

единены последовательно и присоединены к батарее ЭДС = 30 В. Определить

заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.

321. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено

двумя слоями диэлектриков: слоем слюды толщиной d1 = 1 см и слоем парафина

толщиной d2 = 2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 3 кВ. Опре-

делить напряженность поля и падение потенциала в каждом из слоев.

322. Два металлических шарика радиусами R1 = 3 см и R2 = 2 см имеют: пер-

вый – заряд Q1 = 10 нКл, второй – потенциал = 9 кВ. Найти энергию, которая

выделится при разряде, если шары соединить проводником.

323. Два конденсатора емкостью 2 мкф и 5 мкф заряжаются до разности по-

тенциалов 10 В. Определить энергию в каждом конденсаторе, если они соеди-

нены: 1) параллельно; 2) последовательно.

324. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоя-

нии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 300 В. В пространстве

между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла (1 = 6)

толщиной 0,5 см и плоскопараллельная пластинка парафина (2 = 2) толщиной

0,5 см. Найти: 1) напряженность электрического поля в каждом слое; 2) падение

65

потенциала в каждом слое; 3) емкость конденсатора, если площадь пластины

конденсатора равна 100 см2; 4) поверхностную плотность заряда на пластинках.

325. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последо-

вательно в батарею, которая подключена к источнику тока с ЭДС = 12 В. Оп-

ределить, насколько изменится напряжение на одном из конденсаторов, если

другой погрузить в трансформаторное масло ( = 2,2).

326. Пылинка массой m = 200 мкг, несущая на себе заряд Q = 40 нКл, влете-

ла в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения

разности потенциалов U = 200 В пылинка имела скорость V0 = 10 м/с. Опреде-

лить скорость V пылинки до того, как она влетела в поле.

327. При бомбардировке неподвижного ядра натрия -частицей сила оттал-

кивания между ними достигла F = 140 Н. На какое наименьшее расстояние при-

близилась -частица к ядру атома натрия? Какую скорость имела -частица

вдали от ядра? Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.

328. Ион атома водорода Н+ прошел разность потенциалов U1 = 100 В, ион атома

калия К+ – разность потенциалов U2 = 200 В. Найти отношение скоростей этих ионов.

329. Найти отношение скоростей ионов Са++ и Na+, прошедших одинаковую

разность потенциалов.

330. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до

другой, приобрел скорость 810V cм/с. Расстояние между пластинами

d = 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами, 2) поверхност-

ную плотность заряда на пластинах.

331. В сеть с напряжением U = 120 В включили катушку с сопротивлением

r = 50 кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Показание вольтметра

U1 = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр показал U2 = 50 В. Опре-

делить сопротивление другой катушки.

332. Катушка и амперметр соединены последовательно и присоединены к

источнику тока. К клеммам катушки присоединен вольтметр с сопротивлением

r = 2 кOм. Амперметр показывает I = 0,25 А, вольтметр U = 100 В. Определить

66

сопротивление катушки. Сколько процентов составит ошибка, если при опре-

делении сопротивления катушки не будет учтено сопротивление вольтметра?

333. Ток в проводнике сопротивлением r = 100 Ом за время t = 30 с равно-

мерно нарастает от I1 = 0 до I2 = 10 А. Определить теплоту W, выделившуюся за

это время в проводнике.

334. Сила тока в проводнике меняется со временем по закону tII sin0 .

Найти заряд, протекший через поперечное сечение проводника за половину пе-

риода Т, если начальная сила тока I0 = 5 А, циклическая частота = 100 с-1.

335. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 12 Ом равномерно убывает

от I1 = 5 А до I2 = 0 в течение t = 10 c. Определить теплоту W, выделившуюся в

этом проводнике за указанный промежуток времени.

336. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некото-

рого максимального значения в течение времени t = 10 с. За это время в про-

воднике выделилась теплота W = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока

в проводнике, если сопротивление r = 3 Ом.

337. Определить силу тока в каждом элементе и напряжение на зажимах

реостата (рис. 6), если 1 = 8 В, r1 = 1 Ом, 2 = 4 В, r2 = 0,5 Ом, r = 50 Ом.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

67

338. Два источника тока 1 = 14 В с внутренним сопротивлением r1 = 2 Ом и

2 = 6 В с внутренним сопротивлением r2 = 4 Ом, а так же реостат r = 10 Ом со-

единены, как показано на рис. 7. Определить силы тока в реостате и в источни-

ках тока.

339. Сопротивление r = 4 Ом подключено к двум параллельно соединенным

источникам тока с ЭДС 1 = 2,2 В и 2 = 1,4 В, внутренним сопротивлением

r1 = 0,6 Ом и r2 = 0,4 Ом. Определить силу тока в сопротивлении r и напряже-

ние на зажимах второго источника тока.

340. Определить силы токов на всех участках электрической цепи (рис. 8),

если 1 = 3 В, 2 = 8 В, r1 = 4 Ом, r2 = 3 Ом, r3 = 1 Oм, r4 = 2 Ом. Внутренними

сопротивлениями источников тока пренебречь.

341. Две батареи (1 = 10 В, r1 = 1 Ом, 2 = 8 В, r2 = 2 Ом) и реостат (r = 6 Ом)

соединены, как показано на рис. 7 . Определить силу тока в батареях и реостате.

342. Определить разность потенциалов между точками A и В (рис. 9), если

1 = 8 В, 2 = 6 В, R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 8 Ом. Внутренними сопротивле-

ниями источников тока пренебречь ЭДС 2 подключена между точками А и В.

343. Определить силу тока I3 в проводнике сопротивлением R3 (рис. 10) и на-

пряжением U3 на концах этого проводника, если 1 = 6 В, 2 = 8 В, R1 = 4 Ом,

R2 = 8 Ом, R3 = 6 Ом. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

Рис. 9 Рис. 10

68

344. Три резистора с сопротивлением R1 = 6 Ом, R2 = 3 Ом, и R3 = 2 Ом, а

также источник тока 1 = 2,2 В соединены, как показано на рис. 10. Определить

ЭДС источника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В так,

чтобы в проводнике сопротивлением R3 шел ток силой I3 = 1 А в направлении,

указанном стрелкой. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

345. Три сопротивления R1 = 5 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 3 Ом, а также источник

тока c ЭДС 1 = 1,4 В соединены, как показано на рис. 10. Определить ЭДС ис-

точника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В так, чтобы

в сопротивлении R3 шел ток силой I3 = 1 А в направлении, указанном стрелкой.

Сопротивлением источника тока пренебречь.

346. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на напряжение 110

В каждая, мощности которых равны соответственно 40, 40 и 80 Вт. Как надо

включить эти три лампочки, чтобы они давали нормальный накал при напряже-

нии в сети 220 В? Найти силу тока, текущего через лампочки при нормальном

накале. Начертить схему.

347. В лаборатории, удаленной от генератора на 100 м, включили электри-

ческий нагревательный прибор, потребляющий 10 А. На сколько понизилось

напряжение на зажимах электрической лампочки, горящей в этой лаборатории?

Сечение медных подводящих проводов равно 5 мм2.

348. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включе-

на только первая секция, то вода закипает через t1 = 15 мин, если только вторая,

то через t2 = 30 мин. Через сколько минут закипит вода, если обе секции вклю-

чить: а) последовательно; б) параллельно?

349. ЭДС батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней цепи равно 2 Ом,

сила тока I = 4 А. Найти КПД батареи. При каком значении внешнего сопро-

тивления R КПД будет равен 99%?

350. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагреватель. ЭДС ба-

тареи равна 24 В, внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Нагреватель, включен-

ный в цепь, потребляет мощность Р = 80 Вт. Вычислить силу тока I в цепи и

КПД нагревателя.

69

351. При силе тока I = 3 А во внешней цепи батареи аккумуляторов выделя-

ется мощность Р1 = 18 Вт, при силе тока I2 = 1 А – соответственно Р2 = 10 Вт.

Определить ЭДС и внутреннее сопротивление r батареи.

352. В цепь включены последовательно медная и стальная проволоки рав-

ной длины и диаметра. Найти: 1) отношение количеств тепла, выделяющегося в

этих проволоках; 2) отношение падений напряжений на этих проволоках.

353. ЭДС батареи = 24 В. Наибольшая сила тока, которую может дать ба-

тарея, Jmax = 10 А. Определить максимальную мощность Рmax, которая может

выделяться во внешней цепи.

354. От батареи, ЭДС которой ε = 600 В, требуется передать энергию на рас-

стояние l = 1 км. Потребляемая мощность Р = 5 кВт. Найти минимальные поте-

ри мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов d = 0,5 см.

355. Определить число электронов, проходящих за время t = 1 с через попе-

речное сечение площадью S = 1 мм2 железной проволоки длиной l = 20 м при

напряжении на ее концах U = 16 В.

356. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощ-

ность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего

сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом из

этих случаев.

357. ЭДС батареи = 12 В. При силе тока I = 4 А КПД батареи равно 0,6.

Определить внутреннее сопротивление батареи.

358. Найти сопротивление трубки длиной l = 0,5 м и площадью поперечного

сечения S = 5 мм2, если она наполнена азотом, ионизированным так, что в объеме

V = 1 см3 его находится при равновесии n = 108 пар ионов. Ионы одновалентны.

359. К электродам разрядной трубки, содержащей водород, приложена раз-

ность потенциалов U = 10 В. Расстояние d между электродами равно 25 см. Ио-

низатор создает в объеме V = 1 cм3 водорода n = 107 пар ионов в секунду. Найти

плотность тока j в трубке. Определить также, какая часть силы тока создается

движением положительных ионов.

70

360. Воздух ионизируется рентгеновскими излучениями. Определить удель-

ную проводимость воздуха, если в объеме V = 1 см3 газа находится в услови-

ях равновесия n = 108 пар ионов.

361. Определить напряженность, создаваемую током в 5 А, протекающим по

отрезку провода длиной 20 см, в точке, отстоящей от концов отрезка на рас-

стояниях 15 и 24 см.

362. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым

углом. По проводникам текут токи I1 = 80 А и I2 = 60 А. Расстояние между про-

водниками d = 10 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей

на середине общего перпендикуляра к проводникам.

363. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a = 6 см и

b = 10 см, течет ток силой I = 20 А. Определить напряженность Н и индукцию В

магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

364. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой I = 40 А.

Сторона треугольника b = 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пере-

сечения высот.

365. Ток силой I = 20 А идет по проводнику, согнутому под прямым углом.

Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого

угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии b = 10 cм. Считать, что оба

конца проводника находятся очень далеко от вершины угла.

366. Определить напряженность в точке А

(рис. 11), если сила тока равна 2 А, провод

образует со стороной, равной 4 см, квадрат.

367. Определить индукцию, создаваемую

круговым током радиуса R и силой тока I, в

точке, лежащей на оси на расстоянии l от

центра круга.

368. Проволочный виток радиусом R = 29 см

расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре установлена небольшая маг-

нитная стрелка, способная вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол от-

Рис. 11

71

клонится стрелка, если по витку пустить ток силой I = 15 А? Горизонтальную состав-

ляющую индукции земного магнитного поля принять равной В = 10 мкТл.

369. Магнитная стрелка помещена в центре кругового витка, плоскость ко-

торого расположена вертикально и составляет угол = 30° с плоскостью магнит-

ного меридиана. Радиус витка R = 20 см. Определить угол , на который повер-

нется магнитная стрелка, если по проводнику пойдет ток силой I = 25 А (дать два

ответа). Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля при-

нять равной В = 10 мкТл.

370. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми

d = 5 см, текут одинаковые токи I = 10 А. Определить индукцию В и напряжен-

ность Н магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние

r = 5 см, если токи текут: а) в одинаковом, б) в противоположных направлениях.

371. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность

магнитного поля в центре окружности Н1 = 50 А/м. Не изменяя силы тока в провод-

нике, ему придали форму квадрата. Определить напряженность Н2 магнитного поля

в точке пересечения диагоналей этого квадрата.

372. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника. Длина

стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную индукцию в цен-

тре шестиугольника, если по проводу течет ток 25 А.

373. Прямой провод длиной l = 10 см, по которому течет ток I = 20 А, находится

в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найти угол между на-

правлениями вектора индукции и тока, если на провод действует сила F = 10 мН.

374. По тонкому проводу в виде кольца радиусом R = 20 см течет ток J = 100 А.

Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с ин-

дукцией В = 20 мТл. Найти силу F, растягивающую кольцо.

375. По двум параллельным проводам длиной l = 3 м каждый текут одина-

ковые токи силой I = 500 А. Расстояние между проводниками d = 10 см. Опре-

делить силу взаимодействия проводников.

376. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом

расстоянии d = 20 см друг от друга, текут токи одинаковой силы J = 400 А. В

72

двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из про-

водов отношение силы, действующей на него, к его длине.

377. Шины генератора представляют собой две параллельные медные поло-

сы длиной l = 2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d = 20 см.

Определить силу F взаимного отталкивания шин в случае короткого замыка-

ния, когда по ним течет ток I = 10 кА.

378. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, движется

параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии r = 1 см от не-

го. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропус-

тить ток I = 10 А.

379. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная

рамка с частотой n = 600 мин-1. Амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС 0 = 3 В.

Определить максимальный магнитный поток через рамку.

380. Тонкое кольцо радиусом R = 20 см несет равномерно распределенный за-

ряд Q = 40 нКл. Кольцо вращается относительно оси, совпадающей с одним из

диаметров кольца, с частотой n = 20 с-1. Определить: 1) магнитный момент рm,

обусловленный вращением заряженного кольца; 2) отношение магнитного момен-

та к моменту импульса рm/M, если кольцо имеет массу m = 10 г.

381. Диск радиусом R = 5 см несет равномерно распределенный по поверх-

ности заряд Q = 0,1 мкКл. Диск равномерно вращается относительно оси, про-

ходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Частота враще-

ния n = 50 с-1. Определить: 1) магнитный момент рm кругового тока, создавае-

мого диском; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса рm/M, ес-

ли масса диска m = 100 г.

382. По тонкому стержню длиной l = 40 см равномерно распределен заряд

Q = 500 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью

ω = 20 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей че-

рез его середину. Определить: 1) магнитный момент рm, обусловленный враще-

нием заряженного стержня; 2) отношение магнитного момента к моменту им-

пульса рm/M, если стержень имеет массу m = 10 г.

73

383. Заряженная частица c энергией Т = 1 кэВ движется в однородном маг-

нитном поле по окружности радиуса R = 21 мм. Определить силу F, действую-

щую на частицу со стороны поля.

384. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов,

влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус R1 кривизны тра-

ектории протона больше радиуса R2 кривизны траектории электрона.

385. Однородное электрическое (Е = 100 В/м) и магнитное поля (Н = 1000 А/м)

совпадают по направлению. Определить нормальное an и тангенциальное a уско-

рения протона, движущегося в этих полях по направлению силовых линий со ско-

ростью V = 5108 м/с. Определить также an и a в момент вхождения протона в по-

ля с той же скоростью, если бы он двигался перпендикулярно силовым линиям.

386. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом = 30° к на-

правлению поля и движется по спирали, радиус которой r = 1,5 см. Индукция

магнитного поля B = 0,1 Тл. Найти кинетическую энергию протона.

387. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 1мТл по окруж-

ности радиусом r = 0,5 см. Какова кинетическая энергия Т электрона? Ответ

дать в джоулях и электрон-вольтах.

388. Перпендикулярно магнитному полю напряженностью Н = 104 А/м воз-

буждено электрическое поле напряженностью Е = 1000 В/см. Перпендикулярно

обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряжен-

ная частица. Определить скорость V частицы.

389. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл движется протон. Тра-

ектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом R = 10 см и

шагом h = 60 см. Определить кинетическую энергию протона.

390. В однородном магнитном поле с индукцией В = 100 мкТл движется

электрон по винтовой линии. Определить скорость V электрона, если шаг h вин-

товой линии равен 20 см, а радиус R = 5 см.

391. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 9 мТл

по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 7,8 см. Определить пе-

риод Т обращения электрона и его скорость V.

74

392. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл движется протон. Тра-

ектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом R = 10 см и

шагом h = 60 см. Определить кинетическую энергию Т протона.

393. Протон и -частица влетают в однородное магнитное поле. Скорость час-

тиц направлена перпендикулярно силовым линиям поля. Во сколько раз период

обращения протона в магнитном поле больше периода обращения -частицы?

394. Магнитное поле напряженностью Н = 3108 А/м и электрическое поле

напряженностью Е = 10 В/см направлены одинаково. Электрон влетает в такое

электромагнитное поле со скоростью V = 105 м/с. Найти нормальное an, танген-

циальное a τ и полное a ускорения электрона. Задачу решить для случаев:

1) скорость электрона направлена параллельно силовым линиям; 2) скорость

электрона направлена перпендикулярно силовым линиям полей.

395. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов и влетела

в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 400 В/м) и магнитное

(В = 0,2 Тл) поля. Определить ускоряющую разность потенциалов U, если, двигаясь

перпендикулярно полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной

траектории. Отношение заряда к массе частицы e/m = 71064,9 Кл/кг.

396. Плоский конденсатор, между пластинами которого создано электриче-

ское поле (Е = 100 В/м), помещен в магнитное поле так, что силовые линии по-

лей взаимно перпендикулярны. Какова должна быть индукция В магнитного

поля, чтобы электрон с начальной энергией Т = 4 кэВ, влетевший в пространст-

во между пластинами конденсатора перпендикулярно силовым линиям магнит-

ного поля, не изменил направления скорости?

397. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном магнитном

поле с индукцией В = 0,03 Тл. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий

контур, если плоскость его составляет угол = 60° с направлением линий индук-

ций.

398. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см, помещен

круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом

75

= 60° к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий ви-

ток, если по обмотке соленоида течет ток силой I = 1 А.

399. На длинный картонный каркас диаметром d = 5 см уложена однослойная

обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d = 0,2 мм. Определить магнит-

ный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока I = 0,5 А.

400. Плоский контур с током силой I = 10 А свободно установился в однород-

ном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, площадь контура S = 100 см2. Под-

держивая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в

плоскости контура, на угол = 60°. Определить совершенную при этом работу.

401. Плоский контур с током силой I = 5 А свободно установился в однород-

ном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл. Площадь контура S = 200 см2. Под-

держивая ток неизменным, контур повернули относительно оси, лежащей в плос-

кости контура, на угол = 40°. Определить совершенную при этом работу А.

402. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции рас-

положен плоский контур площадью S = 100 см2. Поддерживая в контуре посто-

янную силу тока I = 50 А, его переместили из поля в область пространства, где

поле отсутствует. Определить индукцию В магнитного поля, если при переме-

щении контура была совершена работа А = 0,4 Дж.

403. Тонкий медный проводник массой т = 1 г согнут в виде квадрата и

концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле

(В = 0,1 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить

заряд Q, который протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противопо-

ложные вершины, вытянуть в линию.

404. Рамка из провода сопротивлением R = 0,04 Ом равномерно вращается в

однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоскости

рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S = 200 см2. Опре-

делить заряд Q, который потечет по рамке при изменении угла между норма-

лью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45°; 2) от 45 до 90°.

405. В однородном магнитном поле напряженностью Н = 2000 А/м, равно-

мерно с частотой n = 10 с-1 вращается стержень длиной l = 20 см так, что плос-

76

кость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения

проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах

стержня разность потенциалов.

406. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл вращается с час-

тотой n = 16 об/с стержень длиной l = 10 см. Ось вращения параллельна лини-

ям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно к его

оси. Определить разность потенциалов на концах стержня.

407. Рамка, содержащая N = 1500 витков площадью S = 502 см, равномерно враща-

ется с частотой n = 960 об/мин в магнитном поле напряженностью Н = 105 А/м. Ось

вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям напряженности. Оп-

ределить максимальную ЭДС индукции, возникшую в рамке.

408. Рамка площадью S = 200 см2 равномерно вращается с частотой n = 10 с-1

относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям ин-

дукции однородного магнитного поля (В = 0,2 Тл). Определить среднее значение

ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий

рамку, изменится от нуля до максимального значения.

409. Скорость самолета с реактивным двигателем равна 950 км/ч. Найти

ЭДС индукции, если вертикальная составляющая напряженности земного маг-

нитного поля равна 39,8 А/м и размах крыльев самолета равен 12,5 м.

410. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, движется

проводник длиной 10 см. Скорость движения проводника 15 м/с и направлена она

перпендикулярно магнитному полю. Чему равна индуцированная в проводнике

ЭДС?

411. Соленоид содержит N = 800 витков. При силе тока I = 6 А магнитный

поток Ф = 30 мкВб. Определить индуктивность соленоида.

412. Соленоид сечением S = 6 см2 содержит N = 1500 витков. Индукция маг-

нитного поля внутри соленоида при силе тока J = 4 А равна 0,08 Тл. Опреде-

лить индуктивность соленоида.

413. Соленоид содержит N = 600 витков. Сечение сердечника (из немагнит-

ного материала) S = 8 см2. По обмоткам течет ток, создаваемый полем с индук-

77

цией В = 5 мТл. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, которая воз-

никает на зажимах соленоида, если ток уменьшается практически до нуля за

время t = 0,6 мс.

414. Силу тока в катушке равномерно увеличивают с помощью реостата на

I = 0,6 А в секунду. Найти среднее значение ЭДС iε самоиндукции, если

индуктивность катушки L = 5 мГн.

415. Соленоид содержит N = 800 витков. Сечение сердечника (из немагнит-

ного материала) S = 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией

В = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС sε самоиндукции, которая

возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшается практически до

нуля за время t = 0,8 мс.

416. По катушке индуктивностью L = 8 мкГн течет ток силой I = 6А. При вы-

ключении тока его сила изменяется практически до нуля за время t = 5 мс. Опре-

делить среднее значение ЭДС sε самоиндукции, возникающей в контуре.

417. Цепь состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и источника тока.

Источник тока отключили, не разрывая цепи. Время, через которое сила тока

уменьшится до 0,001 первоначального значения, равно t = 0,07 с. Определить

сопротивление R катушки.

418. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением R = 10 Ом и ин-

дуктивностью L = 0,2 Гн. Через какое время сила тока в цепи достигнет 50 %

максимального значения?

419. В цепи шел ток I0 = 50 А. Источник тока можно отключить из цепи, не раз-

рывая ее. Определить силу тока I в этой цепи через t = 0,01 с после отключения ее от

источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L = 0,1 Гн.

420. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и ин-

дуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигнет

0,9 предельного значения?

421. Цепь состоит из катушки индуктивностью L = 1 Гн и сопротивлением

R = 10 Ом. Источник тока можно отключать, не разрывая цепи. Определить время

78

t, по истечении которого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значе-

ния?

422. К источнику тока с внутренним сопротивлением Ri = 2 Ом подключают

катушку индуктивностью L = 0,5 Гн и сопротивлением R = 8 Ом. Найти время t,

в течение которого ток в катушке, нарастая, достигнет значения, отличающего-

ся от максимального на 1 %.

423. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к

другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида ра-

вен 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества

Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной

изоляции пренебречь.

424. Электрическая лампочка, сопротивление которой в горячем состоянии

R = 10 Ом, подключается через дроссель к 12-вольтовому аккумулятору. Ин-

дуктивность дросселя L = 2 Гн, сопротивление r = 1 Ом. Через какое время t по-

сле включения лампочка загорится, если она начинает заметно светиться при

напряжении на ней U = 6 В?

425. Имеется катушка длиной l = 20 см и диаметром D = 2 см. Обмотка ка-

тушки состоит из N = 200 витков медной проволоки, площадь поперечного се-

чения которой s = 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой ЭДС. При по-

мощи переключателя ЭДС выключается, и катушка замыкается накоротко. Че-

рез какое время t после включения ЭДС ток в цепи уменьшится в 2 раза ?

426. Катушка имеет индуктивность L = 0,2 Гн и сопротивление R = 1,64 Ом.

Во сколько раз уменьшится ток в катушке через время t = 0,05 с после того, как

ЭДС выключена и катушка замкнута накоротко.

427. Катушка имеет индуктивность L = 0,144 Гн и сопротивление R = 10 Ом.

Через какое время t после включения в катушке потечет ток, равный половине

установившегося?

428. Квадратная рамка из медной проволоки сечением s = 1 мм 2 помещена в

магнитное поле, индукция которого меняется по закону B = B0sinωt, где

B0 = 0,01 Тл, Tπ2ω , T = 0,02 с, площадь рамки S = 25 см 2 . Плоскость рамки

перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти зависимость от вре-

79

мени t и наибольшее значение: а) магнитного потока Ф, пронизывающего рам-

ку; б) ЭДС индукции , возникающей в рамке; в) тока I, текущего по рамке.

429. Через катушку, индуктивность которой L = 20 мГн, течет ток, изме-

няющийся по закону I = I0sinωt, где I0 = 5 А, Tπ2ω и T = 0,02 с. Найти зави-

симость от времени t: а) ЭДС самоиндукции , возникающей в катушке;

б) энергии W магнитного поля катушки.

430. Две катушки имеют взаимную индуктивность L12 = 5 мГн. В первой ка-

тушке ток изменяется по закону I = I0sinωt, где I0 = 10 А, Tπ2ω и T = 0,02 с.

Найти зависимость от времени t ЭДС 2, индуцируемой во второй катушке, и

наибольшее значение (2)max этой ЭДС.

431. Катушка с индуктивностью L = 2 мкГн и сопротивлением R0 = 1 Ом

подключена к источнику постоянного тока с ЭДС = 3,0 В. Параллельно ка-

тушке включено сопротивление R = 2 Ом. После того, как ток в катушке дости-

гает установившегося значения, источник тока отключается. Найти количество

тепла W, выделившегося после разрыва цепи. Сопротивлением источника тока

и соединительных проводов пренебречь.

432. Сверхпроводящее кольцо индуктивности L, в котором течет ток I, вно-

сят в однородное магнитное поле индукции B0. Найти ток, который будет про-

текать по кольцу. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением поля

угол , радиус кольца R.

433. Какой минимальной скоростью должен обладать сверхпроводящий тон-

кий стержень сечения S, длины L и массы m, чтобы взлететь в продольное маг-

нитное поле индукции B?

434. Обмотка тороида имеет n = 10 витков на каждый сантиметр длины (по

средней линии тороида). Вычислить объемную плотность энергии w магнитно-

го поля при силе тока I = 10 А. Сердечник выполнен из немагнитного материа-

ла, и магнитное поле во всем объеме однородно.

435. Соленоид имеет длину l = 0,6 м и сечение S = 10 см2. При некоторой

силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток

Ф = 0,1 мВб. Чему равна энергия магнитного поля соленоида? Сердечник вы-

полнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.

80

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Механические и электромагнитные колебания.

Упругие и электромагнитные волны. Оптика

Основные формулы

1. Уравнение гармонических колебаний:

tAs 0ωcos ,

где s – смещение колеблющейся величины от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;

π2π2ω0 T – круговая (циклическая) частота;

T1 – частота;

T – период колебаний;

– начальная фаза.

2. Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания:

2

πωcosωωsinω 0000 tAtA

dt

ds,

stAdt

sd 200

202

2

ωωcosω .

3. Кинетическая энергия колеблющейся точки массой т:

tmAmV

T 02

20

22

ωsin2

ω

2.

4. Потенциальная энергия:

tmA

02

20

2

ωcos2

ωП .

81

5. Полная энергия:

2

ωE

20

2mA .

6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной

точки массой m:

kxmx '' , или 0ω'' 20 xx ,

где k – коэффициент упругости mk 20ω .

7. Период колебаний пружинного маятника:

k

mπ2T ,

где m – масса пружинного маятника;

k – жесткость пружины.

8. Период колебаний физического маятника:

g

L

mgl

Iπ2π2T ,

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний;

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;

mlJL – приведенная длина физического маятника;

g – ускорение свободного падения.

9. Период колебаний математического маятника:

g

lπ2T ,

где l – длина маятника.

10. Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом T собствен-

ных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и

емкостью контура С:

LCT π2 .

82

11. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний за-

ряда в контуре и его решение:

;01

'' QLC

Q tQQ m 0ωcos ,

где Qm – амплитуда колебаний заряда;

LC

1ω0 – собственная частота контура.

12. Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении

двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

122122

21

2 cos2 AAAAA ,

где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний;

1 и 2 – начальные фазы.

13. Начальная фаза результирующего колебания:

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAtg .

14. Период биений:

Δω

2πT .

15. Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно-

перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты:

22

2

2

2

sincos2

B

y

AB

xy

A

x,

где A и B – амплитуды складываемых колебаний;

– разность фаз обоих колебаний.

16. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний ли-

нейной системы и его решение:

0ω2 202

2

sdt

ds

dt

sd; teAs t ωcosδ

0 ,

83

где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;

– коэффициент затухания ( mr

2δ в случае механических колебаний и

LR

2δ в случае электромагнитных колебаний);

0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же коле-

бательной системы;

220 δωω – частота затухающих колебаний;

A0e-t – амплитуда затухающих колебаний.

17. Декремент затухания:

TeTtA

tA δ

)(

)(

,

где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответст-

вующих моментам времени, отличающимся на период.

18. Логарифмический декремент затухания:

N

TT

TtA

tA 1

τδ

)(

)(lnθ

,

где = 1/ – время релаксации;

N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е

раз.

19. Добротность колебательной системы:

2δ

ω

θ

π 0Q .

20. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

для установившихся колебаний:

txSdt

ds

dt

sdωcosωδ2 0

202

2

; )ωcos( tAs ,

84

где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс (x0 = F0/m в слу-

чае механических колебаний; x0 = Um/L в случае электромагнитных колебаний);

222220

0

ωδ4ωω

xA ;

220 ωω

2δδ

arctg .

21. Резонансная частота и резонансная амплитуда:

220рез 2δωω ;

220

0рез

δωδ2A

x.

22. Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последо-

вательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L

и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение

U = Umcost:

2222 )()ω

1ω( cL RRR

CLRZ ,

где RL = L – реактивное индуктивное сопротивление;

Rc = 1/(C) – реактивное емкостное сопротивление.

23. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока:

.)ω/(1ω

R

cLtg

24. Действующие (эффективные) значения тока и напряжения:

;2/mII ,2/mUU

где Im и Um – амплитудные значения силы тока и напряжения.

25. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока:

,cos2

1 mmUIP

85

где .

)ω

1ω(

cos22

CLR

R

26. Связь длины волны λ , периода Т колебаний и частоты v :

,λ VT ,λvV

где V – скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).

27. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного

направления оси х:

),ωcos(),(ξ 0 kxtAtx

где ),(ξ tx – смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

А – амплитуда волны;

ω – циклическая (круговая) частота;

VVTk ω)(π2λπ2 – волновое число;

λ – длина волны;

V – фазовая скорость;

T – период колебании;

0 – начальная фаза колебании.

28. Связь между разностью фаз и разностью хода :

.λ

π2

29. Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн:

;2

λ2max m ,

2

λ)12(min m

где m = 0, I, 2, ...

30. Фазовая V и групповая u скорости, а также связь между ними:

;ω

kV ;

ω

dk

du .

λλ

d

dVVu

86

31. Уравнение стоячей волны:

.ωcoscos2ωcosλ

2πcos2),(ξ tkxAtxAtx

32. Координаты пучностей и узлов:

;2

λmxn ,

2

λ)

2

1( mxy

где m = 0, 1, 2 …

33. Скорость распространения акустических колебаний в упругой среде оп-

ределяется формулой

ρ

EV ,

где E – модуль Юнга среды, ρ – плотность среды.

34. Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой зву-

кового давления p соотношением

0p p

plg20L ,

где 0p – амплитуда звукового давления при нулевом уровне громкости.

35. Уровень громкости IL (в фонах) связан с интенсивностью звука соотноше-

нием

,lg100

I I

IL

где I0 – порог слышимости (нулевой уровень громкости) звука. Условно прини-

мается, что 120 10I Вт/м2 и 5

0 102p Па.

36. Скорость распространения звуковых волн в газах:

,μγRTV

где R – молярная газовая постоянная;

87

μ – молярная масса;

γ = Сp /Сv – отношение малярных теплоемкостей газа при постоянных дав-

лении и объеме;

Т – термодинамическая температура.

37. Эффект Доплера в акустике:

,)( 0

ист

пр

VV

vVVv

где v – частота звука, воспринимаемая движущимся приемником;

0v – частота звука, посылаемая источником;

Vпр – скорость движения приемника;

Vист – скорость движения источника;

V – скорость распространения звука. Верхний знак берется, если при дви-

жении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в

случае их взаимного удаления.

38. Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде:

,εμεμ

1

με

1

00

cV

где 00με1с – скорость распространения света в вакууме;

0ε и 0μ – соответственно электрическая и магнитная постоянные;

ε и μ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

39. Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического

(Е) и магнитного (Н) полей электромагнитной волны:

,μμεε 00 HE

где Е и Н – соответственно мгновенные значения напряженностей электриче-

ского и магнитного полей волны.

40. Уравнения плоской электромагнитной волны:

);ωcos(0 kxtEE

),ωcos(0 kxtHH

88

где 0E

и 0H

– соответственно амплитуды напряженностей электрического и

магнитного полей волны;

ω – круговая частота;

k = Vω – волновое число;

– начальные фазы колебаний в точках с координатой x = 0.

41. Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

.2

μμ

2

εεω

20

20 HE

42. Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Умова-Пойнтинга:

H][ES .

43. Законы отражения и преломления света:

;1'1 ii ,sinsin 2121 nii

где i1 – угол падения;

i’1 – угол отражения;

i2 – угол преломления;

n21 = n2/n1 – относительный показатель преломления второй среды относи-

тельно первой;

n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй среды.

44. Предельный угол полного отражения при распространении света из сре-

ды оптически более плотной в среду оптически менее плотную:

.sin 2112 nnniпр

45. Скорость света в среде:

,ncV

где с – скорость света в вакууме;

n – абсолютный показатель преломления среды.

46. Разность фаз двух когерентных волн:

,λ

2π)(

λ

2πδ

012

0

LL

89

где L = sn – оптическая длина пути;

s – геометрическая длина пути световой волны в среде;

n – показатель преломления этой среды;

12 LL – оптическая разность хода двух световых волн;

0λ – длина волны в вакууме, n0λλ .

47. Условие интерференционных максимумов:

0λm (m = 0, 1, 2…).

48. Условие интерференционных минимумов:

2

λ12 0 m (m = 0, 1, 2…).

49. Ширина интерференционной полосы:

0λd

lx ,

где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на

расстоянии l от экрана, параллельного обоим источникам, при условии .dl

50. Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отражен-

ного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки,

находящейся в воздухе (n0 = 1):

00220 λ

2

λsin2

2

λcos2 mindrdn (m = 0, 1, 2…),

2

λ)12(

2

λsin2

2

λcos2 00220 mindrdn (m = 0, 1, 2…),

где d – толщина пленки;

n – ее показатель преломления;

i – угол падения;

r – угол преломления.

В общем случае член 2

λ0 обусловлен потерей полуволны при отражении

света от границы раздела: если n > n0, то необходимо употреблять знак «плюс»,

если n < n0 – знак «минус».

90

50. Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в про-

ходящем свете):

Rmrm 021 λ (m = 1, 2, 3…),

где т – номер кольца;

R – радиус кривизны линзы.

51. Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в про-

ходящем свете):

Rmrm 0λ (m = 0, 1, 2…).

В случае «просветления оптики» интерферирующие лучи в отраженном све-

те гасят друг друга при условии

,cnn

где nc – показатель преломления стекла;

n – показатель преломления пленки.

52. Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны:

λmba

abrm

,

где m – номер зоны Френеля;

– длина волны;

а и b – соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точеч-

ного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается.

53. Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для плоской волны:

λbmrm .

54. Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на

которую свет падает нормально:

2

λ12sin ma ,

2

λ2sin ma ,

91

где а – ширина щели;

– угол дифракции;

m – порядок спектра (m = 1, 2, 3…);

λ – длина волны.

55. Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракци-

онной решетки, на которую свет падает нормально:

2

λ2sin md (m = 0, 1, 2…);

Nmd

λ'sin (m’ = 1, 2, 3…, кроме 0, N, 2N…),

где d – период дифракционной решетки;

N – число штрихов решетки.

56. Период дифракционной решетки:

0

1Nd ,

где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

57. Условие дифракционных максимумов от пространственной решетки

(формула Вульфа-Брэггов):

λθsin2 md (m = 1, 2, 3…),

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла;

θ – угол скольжения.

58. Угловая дисперсия дифракционной решетки:

cosδλ

δ

d

mD .

59. Наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором

изображения этих точек могут быть разрешены в фокальной плоскости объектива:

Dλ22,1 ,

92

где D – диаметр объектива;

λ – длина волны света.

60. Разрешающая способность дифракционной решетки:

mNR δλ

λ,

где λ , δλλ – длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых

решеткой;

m – порядок спектра;

N – общее число штрихов решетки.

61. Закон ослабления света в веществе (закон Бугера):

,α0

xeII

где I0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны соот-

ветственно на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х;

– коэффициент поглощения.

62. Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:

,cos)(1

1 22

0

cV

cVvv

где 0 и – соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемо-

го источником и воспринимаемого приемником;

V – скорость источника электромагнитного излучения относительно прием-

ника;

c – скорость света в вакууме;

– угол между вектором скорости Vи направлением наблюдения, изме-

ряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.

63. Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме

)2π( :

.1 220 cVvv

93

64. Эффект Вавилова-Черенкова:

),(cos nVc

где – угол между направлением распространения излучения и вектором ско-

рости частицы V ;

n – показатель преломления среды.

65. Степень поляризации света:

,minmax

minmax

II

IIP

где Imax и Imin – соответственно максимальная и минимальная интенсивности

частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.

66. Закон Малюса:

,cos20 II

где I – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализа-

тор;

I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор;

– угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.

67. Закон Брюстера:

,tg 21niв

где iв – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является

плоскополяризованным;

n21 – относительный показатель преломления.

68. Оптическая разность хода между обыкновенным и необыкновенным лу-

чами на пути l в ячейке Керра:

,)( 20 klEnnl e

где n0, ne – показатели преломления соответственно обыкновенного и необык-

новенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси;

94

Е – напряженность электрического поля;

k – постоянная.

69. Оптическая разность хода для пластинки в четверть волны:

00 λ)41()( mdnn e ,...),2,1,0( m

где знак «плюс» соответствует отрицательным кристаллам, «минус» – положи-

тельным; 0λ – длина волны в вакууме.

70. Угол поворота плоскости поляризации:

а) для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей:

;α0d

б) для оптически активных растворов:

,α Cd

где d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

α,α0 – удельное вращение;

С – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические

колебания с частотой v = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Опреде-

лить: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию ко-

леблющейся точки.

Решение. Уравнение гармонического колебания:

).cos( 0 tAx

Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки:

);sin( 00 tAdt

dxV

).cos(A- 020 t

dt

dVa

95

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку:

).ωcos(Aω- 020 tmmaF

F = Fmax при ,1)ωcos( 0 t поэтому искомое максимальное значение силы:

AmvmAF 2220max π4ω

(учли, что π2ω0 ).

Полная энергия колеблющейся точки:

.2

ω

2

1 20

22

maxmax

mAmVTE

Подставив сюда 0ω , найдем искомую полную энергию:

.vπ2 222 AmE

Вычисляя, получаем: 1) Fmax = 0,8 мН; 2) Е = 19,7 мкДж.

Пример2. Груз массой m = 50 г, подвешенный на нити длиной l = 20 см, со-

вершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления r = 0,02 м

сН . На

груз действует вынуждающая сила F = 0,1 cost, Н. Определить: 1) частоту вы-

нуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний макси-

мальна; 2) резонансную амплитуду.

Решение. Очевидно, что частота вынуждающей силы, при которой амплиту-

да вынужденных колебаний максимальна, является резонансной частотой:

,2 220 рез (1)

где 0 – собственная частота колебаний системы;

= r/(2m) – коэффициент затухания.

Груз, подвешенный на нити, можно принять за математический маятник, то-

гда .0 lg Подставив значения 0 и в формулу (1), найдем искомую ре-

зонансную частоту:

.2 2

2

m

r

l

gрез

96

Подставив в выражение для амплитуды вынужденных колебаний:

,ω4δ)ω(ω 22222

0

0

m

FA

где F0 – амплитудное значение вынуждающей силы (по условию задачи F0 = 0,1 H).

Подставив значение F0 в формулу (1), найдем искомую резонансную амплитуду:

.

4

δωδ22

2

0

220

0рез

m

r

l

gr

F

m

FA

Вычисляя, получим: 1) рез = 7 рад/с; 2) Aрез = 71,4 см.

Пример 3. В колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью С = 5 нф

и катушку индуктивностью L = 10 мкГн и активным сопротивлением R = 0,2 Ом, под-

держиваются незатухающие гармонические колебания. Определить амплитудное зна-

чение напряжения Umc на конденсаторе, если средняя мощность, потребляемая колеба-

тельным контуром, составляет 5 мВт.

Решение. Средняя мощность, потребляемая контуром,

,2/2mRIР (1)

где Im = Umc C – амплитуда силы тока.

Так как в контуре поддерживаются незатухающие колебания, то

= 0 = LC1 .

Подставив эти выражения в формулу (1), получим

),2/(2/22 LCRUCRUР mcmc

откуда найдем искомое амплитудное значение напряжения на конденсаторе:

.2

RC

LРUmc

Вычисляя, получим Umc = 10 B.

Пример 4. Один конец упругого стержня соединен с источником гармони-

ческих колебаний, подчиняющихся закону = A sin t, а другой конец жестко

закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит

97

от более плотной среды, определить: 1) уравнение стоячей волны; 2) координа-

ты узлов; 3) координаты пучностей.

Решение. Уравнение падающей волны:

),ω(sin),(ξ1 V

xtAtx (1)

а уравнение отраженной:

)(ωsinπ)(ωsin),(ξ1 VxtAVxtAtx (2)

(учли изменение фазы на , так как отражение происходит от более плотной

среды). Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны

),(sin)(sin),(),(),( 21 VxtAVxtAtxtxtx

откуда

.cos)/2sin(2cossin2),( txAtV

xAtx

В точках среды, где mx /2 (m = 0, 1, 2 ...), амплитуда колебаний обраща-

ется в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где )21(/2 mx (m = 0, 1,

2 ...), амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 A (на-

блюдаются пучности).

Таким образом, координаты узлов: 2

mxy (m = 0, 1, 2 ...); координаты

пучностей: 2

)2

1(

mxп (m = 0, 1, 2 ...).

Ответ. 1) ;cos)/2sin(2),( txAtx

2)2

mxy (m = 0, 1, 2 ...);

3) 2

)21(

mxп (m = 0, 1, 2 ...).

Пример 5. Источник монохроматического света с длиной волны 0 = 550 нм

движется со скоростью V = 0,2 с по направлению к наблюдателю. Определить

длину волны, которую зафиксирует приемник наблюдателя.

98

Решение. Согласно формуле, описывающей эффект Доплера для электро-

магнитных волн в вакууме,

)cos1/(/1 220

c

VcVvv , (1)

где 0v и v – соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемо-

го источником и воспринимаемого приемником;

V – скорость источника относительно приемника;

– угол между вектором скорости V

и направлением наблюдения, изме-

ряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.

Так как, по условию задачи, = (cos= -1), a v = с/, то выражение (1)

можно представить в виде

,1

111 22

0 cV

cV

откуда искомая длина волны, фиксируемая приемником наблюдателя:

.1

10 cV

cV

Вычисляя, получим = 449 нм.

Задания

501. Точка совершает гармонические колебания с периодом T = 6 с и на-

чальной фазой, равной нулю. Определить, за какое время, считая от начала

движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

502. Точка совершает гармонические колебания по закону

82cos3

tx . Определить: 1) период T колебаний; 2) максимальную ско-

рость maxV точки; 3) максимальное ускорение maxa точки.

503. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и

периодом T = 5 с. Определить для точки: 1) максимальную скорость; 2) макси-

мальное ускорение.

99

504. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колеба-

ния, задается уравнением ttV 2sin6)( . Записать зависимость смещения этой

точки от времени.

505. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой

Гц1 , в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой

x0 = 5 см, со скоростью 0V = 15 см/с. Определить амплитуду колебаний.

506. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совер-

шающей гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и периодом T = 4 с.

507. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону

)44cos(1,0 tx м. Определить максимальные значения: 1) возвращающей

силы; 2) кинетической энергии.

508. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания

по закону )44cos(1,0 tx м. Определить полную энергию Е этой точки.

509. Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а

максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна 0,5 мН. Написать урав-

нение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фа-

за 4 .

510. Определить отношение кинетической энергии T точки, совершающей гар-

монические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.

511. Определить полную энергию материальной точки массой т, колеблю-

щейся по закону tAx 0ωcos .

512. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с

амплитудой А = 8 см. Определить жесткость k пружины, если известно, что

максимальная кинетическая энергия maxT груза составляет 0,8 Дж.

513. Спиральная пружина обладает жесткостью k = 25 Н/м. Определить, мас-

су m тела, подвешенного к пружине, если за t = 1 мин совершалось 25 колебаний.

100

514. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на

600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определить массу перво-

начально подвешенного груза.

515. При подвешивании грузов массами 1m = 600 г и 2m = 400 г к свобод-

ным пружинам последние удлинились одинаково (I = 10 см). Пренебрегая мас-

сой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при

одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз.

516. На горизонтальной пружине жесткостью k = 800 Н/м укреплен шар мас-

сой M = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без тре-

ния. Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью V = 600 м/с и

имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в

шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха,

определить: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

517. На чашку весов массой М, подвешенную на пружине с жесткостью k, с

высоты h падает небольшой груз массой т. Удар груза о дно чашки является

абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать

колебания. Определить амплитуду этих колебаний.

518. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень

длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть

точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

519. Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизонталь-

ной оси, проходящей на расстоянии l = 15 см от центра диска. Определить пе-

риод Т колебаний диска относительно этой оси.

520. Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и ко-

леблется в плоскости, параллельной стене. Определить период Т колебаний обруча.

521. Тонкий однородный стержень длиной I = 60 см может свободно вра-

щаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня.

Стержень отклонили на угол = 0,01 рад и в момент времени t = 0 отпустили.

Считая колебания малыми, определить период колебаний стержня и записать

функцию ).(α t

101

522. Тонкий однородный стержень длиной I = 60 см может свободно вращать-

ся вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 15 см от его середи-

ны. Определить период колебаний стержня, если он совершает малые колебания.

523. Два математических маятника, длины которых отличаются на l = 16

см, совершают за одно и то же время один n1 = 10 колебаний, другой –

n2 = 6 колебаний. Определить длины маятников l1 и l2.

524. Математический маятник длиной I = 50 см подвешен в кабине самоле-

та. Определить период Т колебаний маятника, если самолет движется: 1) рав-

номерно; 2) горизонтально с ускорением а = 2,5 м/с2.

525. Математический маятник длиной I = 1 м подвешен к потолку кабины,

которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением a1 = g/4. Спустя

время t1 = 3 с после начала движения кабина начинает двигаться равномерно, а

затем в течение 3 с тормозится до остановки. Определить: 1) периоды T1, T2, T3

гармонических колебаний маятника на каждом из участков пути; 2) период T4

гармонических колебаний маятника при движении точки подвеса в горизон-

тальном направлении с ускорением a4 = g/4.

526. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн

и конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлением контура, оп-

ределить, на какую волну этот контур настроен.

527. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн

и конденсатора емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора Qm = 3 мкКл. Пре-

небрегая сопротивлением контура, записать уравнение: 1) изменения силы тока

в цепи в зависимости от времени; 2) изменения напряжения на конденсаторе в

зависимости от времени.

528. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колеба-

тельном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин

конденсатора частота колебаний увеличилась в n = 2 раза. Определить работу,

совершенную против сил электрического поля.

102

529. Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения Um и замкнули на ка-

тушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением контура, определить

амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.

530. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового

периода с амплитудами 41 A см и 82 A см имеют разность фаз = 45°. Оп-

ределить амплитуду результирующего колебания.

531. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении

двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты,

обладающих разностью фаз = 60°, равна 6A см. Определить амплитуду 2A

второго колебания, если 51 A см.

532. Определить разность фаз двух одинаково направленных гармонических

колебаний одинаковых частоты и амплитуды, если амплитуда их результирую-

щего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.

533. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний

одинакового периода T = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см составляет 4 .

Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих ко-

лебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

534. В результате сложения двух колебаний, период одного из которых

T1 = 0,02 с, получают биения с периодом Tб = 0,2 с. Определить период T2 вто-

рого складываемого колебания.

535. Складываются два гармонических колебания одного направления,

имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы, с периодами

T1 = 2 с и T2 = 2,05 с. Определить: 1) период результирующего колебания; 2) пе-

риод биения.

536. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, про-

исходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых урав-

нениями tx ω2cos3 см и ty ω2cos4 . Определить уравнение траектории

точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

103

537. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, про-

исходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых урав-

нениями tAx ωsin и tBy ωcos , где А, В иω – положительные постоянные.

Определить уравнение траектории точки, вычертить ее с нанесением масштаба,

указав направление ее движения по этой траектории.

538. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, про-

исходящих во взаимно перпендикулярных направлениях описываемых уравне-

ниями tx 2cos и ty cos . Определить уравнение траектории точки и вы-

чертить ее с нанесением масштаба.

539. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин

уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

540. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника 30 A см. По

истечении t1 = 10 с t2 = 1 см. Определить, через сколько времени амплитуда ко-

лебаний станет равной A2 = 0,3 см.

541. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных колебаний,

амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность Q системы.

542. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 10 мГн,

конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и резистора сопротивлением R = 20 Oм.

Определить, через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре умень-

шится в е раз.

543. Частота затухающих колебаний в колебательном контуре с доброт-

ностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определить время, за которое амплитуда тока в

этом контуре уменьшится в 4 раза.

544. Собственная частота 0ν колебаний некоторой системы составляет 500 Гц.

Определить частоту ν затухающих колебаний этой системы, если резонансная

частота рез = 499 Гц.

545. Гиря массой m = 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жестко-

стью k = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопро-

тивления r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая

104

сила, изменяющаяся по закону tF cos1,0 H. Определить для данной колеба-

тельной системы: 1) коэффициент затухания ; 2) резонансную амплитуду Арез.

546. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением R = 110 Ом

и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитуд-

ным значением Um = 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установив-

шегося тока в цепи Im = 0,5 А. Определить разность фаз между током и внеш-

ним напряжением.

547. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц после-

довательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, катушка индук-

тивностью L = 0,5 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить: 1) силу

тока в цепи; 2) падение напряжения на активном сопротивлении; 3) падение на-

пряжения на конденсаторе; 4) падение напряжения на катушке.

548. В цепь переменного тока частотой = 50 Гц включена катушка длиной

I = 30 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2, содержащая

N = 1000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если известно,

что сдвиг фаз между напряжением и током составляет 30°.

549. К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С = 0,15 мкФ.

Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное зна-

чение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц.

550. Определить в случае переменного тока ( ν= 50 Гц) полное сопротивле-

ние участка цепи, состоящего из параллельно включенного конденсатора емко-

стью С = 10 мкф и резистора сопротивлением R = 50 Oм.

551. В цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц последовательно включе-

ны резистор сопротивлением R = 100 Ом и конденсатор емкостью С = 22 мкФ.

Определить, какая доля напряжения, приложенного к этой цепи, приходится на

падение напряжения на конденсаторе.

552. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение

напряжения 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой С = 1 нФ.

Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное

сопротивление цепи R = 5 Ом.

105

553. Как и какими индуктивностью L и емкостью С надо подключить ка-

тушку и конденсатор к резистору сопротивлением R = 10 кОм, чтобы ток через

катушку и конденсатор был в 10 раз больше общего тока? Частота переменного

напряжения ν= 50 Гц.

554. Активное сопротивление колебательного контура R = 0,4 Ом. Опре-

делить среднюю мощность <Р>, потребляемую колебательным контуром,

при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитуд-

ным значением силы тока I = 30 мА.

555. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 5 нФ и ка-

тушку индуктивностью L = 5 мкГн и активным сопротивлением R = 0,1 Oм.

Определить среднюю мощность <Р>, потребляемую колебательным контуром,

при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитуд-

ным значением напряжения на конденсаторе Umc = 10 В.

556. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 6 мкГн

и конденсатор емкостью С = 1,2 нФ. Для поддержания в колебательном контуре

незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряже-

ния на конденсаторе Umc = 2 В необходимо подводить среднюю мощность

<Р> = 0,2 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, оп-

ределить добротность данного контура.

557. В сеть переменного тока с действующим значением напряжения 120 В

последовательно включены проводник с активным сопротивлением 10 Ом и ка-

тушка индуктивностью 0,1 Гн. Определить частоту тока, если амплитудное

значение силы тока в цепи равно 5 А.

558. Диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого равна 2,8, использу-

ется в конденсаторе в качестве изолятора. Конденсатор, находясь под напряжением,

поглощает некоторую мощность, причем при ν = 50 Гц коэффициент мощности

cos = 0,1. Определить удельное сопротивление диэлектрика.

559. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включе-

на катушка с активным сопротивлением. Сдвиг фаз между напряжением и

106

током составляет π /6. Определить индуктивность катушки, если известно, что

она поглощает мощность 445 Вт.

560. Цепь, состоящая из последовательно соединенных безындукционного

резистора сопротивлением R = 100 Ом и катушки с активным сопротивлением,

включена в сеть с действующим напряжением U = 300 В. Воспользовавшись

векторной диаграммой, определить тепловую мощность, выделяемую на ка-

тушке, если действующие значения напряжения на сопротивлении и катушке

соответственно равны UR = 150 B и Uz = 250 B.

561. Определить разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и

друг от друга на расстоянии l = 1 м, если длина волны =0,5 м.

562. Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на рас-

стояниях х1 = 4 м и х2 = 7 м. Период колебаний T = 20 мс и скорость V распро-

странения волны равна 300 м/с. Определить разность фаз колебаний этих точек.

563. Волна распространяется в упругой среде со скоростью V = 150 м/с. Оп-

ределить частоту v колебаний, если минимальное расстояние x между точка-

ми среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м.

564. Определить длину волны , если расстояние l между первым и чет-

вертым узлами стоячей волны равно 30 см.

565. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического ре-

зонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей

один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при ко-

тором наблюдается резонанс на частоте = 2500 Гц, составляет I = 6,8 см. Оп-

ределить скорость звука в воздухе.

566. Труба, длина которой I = 1 м, заполнена воздухом и открыта с одного

конца. Принимая скорость звука V = 340 м/с, определить, при какой наимень-

шей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.

567. Средняя квадратичная скорость <Vкв> молекул двухатомного газа при

некоторых условиях составляет 480 м/с. Определить скорость V распростране-

ния звука в газе при тех же условиях.

568. Плотность ρ некоторого двухатомного газа при нормальном давлении равна

1,78 кг/м3. Определить скорость распространения звука в газе при этих условиях.

107

569. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина

моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом

оказался равным t = 2,5 с? Сжимаемость воды 10106,4β Па-1, плотность

морской воды 31003,1ρ кг/м3( β1E ).

570. Найти скорость c распространения звука в воздухе при температурах t,

равных – 20, 0 и 20 °C.

571. Для определения температуры верхних слоев атмосферы нельзя пользо-

ваться термометром, так как, вследствие малой плотности газа, термометр не при-

дет в тепловое равновесие с окружающей средой. Для этой цели пускают ракету с

гранатами, взрываемыми при достижении определенной высоты. Найти темпера-

туру t на высоте h = 20 км от поверхности Земли, если известно, что звук от взры-

ва, произведенного на высоте h1 = 21 км, пришел позже на t = 6,75 с звука от

взрыва, произведенного на высоте h2 = 19 км.

572. Найти показатель преломления n звуковых волн на границе воздух – стек-

ло. Модуль Юнга для стекла 10109,6 E Па, плотность стекла 3106,2 кг/м3,

температура воздуха t = 20 °C.

573. Продольная сейсмическая волна падает на границу раздела между двумя

породами под углом в 10°. Плотности пород 3,6 и 4,9 кг/м3. Определить угол пре-

ломления, считая модули, упругости этих пород одинаковыми.

574. Два звука отличаются по уровню звукового давления на 1 pL дБ.

Найти отношение 1

2p

p амплитуд их звукового давления.

575. Шум на улице с уровнем громкости 1IL = 70 фон слышен в комнате так,

как шум с уровнем громкости I2L = 40 фон. Найти отношение 2

1I

I интенсивно-

сти звуков на улице и в комнате.

576. Интенсивность звука увеличилось в 1000 раз. Насколько увеличился

уровень звукового давления? Во сколько раз увеличилась амплитуда звуко-

вого давления?

108

577. Интенсивность звука 10I мВт/м2. Найти уровень громкости IL и ам-

плитуду p звукового давления.

578. Человеческое ухо способно воспринимать разницу уровней громкостей

1,0 дБ. Каково отношение амплитуд этих звуков, уровней громкости которых

отличаются на эту величину?

579. Найти расстояние l между соседними зубцами звуковой бороздки на грам-

мофонной пластинке для: a) v = 100 Гц; б) v = 2000 Гц. Среднее расстояние от

центра пластинки r = 10 см. Частота вращения пластинки n = 78 мин-1.

580. Два поезда идут на встречу друг другу со скоростями V1 = 72 км/ч и

V2 = 54 км/ч. Первый поезд дает свисток с частотой v = 600 Гц. Найти частоту v

колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда: a) перед встречей по-

ездов; б) после встречи поездов. Скорость распространения звука в воздухе –

340 м/с.

581. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, частота тона

гудка паровоза меняется скачком. Какой процент от истинной частоты тона со-

ставляет скачок частоты, если поезд движется со скоростью V = 60 км/ч ?

582. Два дельфина движутся навстречу друг другу. Один из них издает зву-

ковые импульсы с частотой следования v . С какой частотой 1v приходят эти

импульсы к другому дельфину, если скорость дельфинов относительно воды

равна V? Скорость звука в воде – 0V .

583. Летучая мышь летит перпендикулярно к стене со скоростью V = 6,0 м/с,

издавая ультразвук частотой v = 45 кГц. Какие две частоты звука 1v и 2v слы-

шит летучая мышь? Скорость распространения звука в воздухе – 340 м/c.

584. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой 0v = 400 Гц. На-

блюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой v = 395 Гц.

Принимая скорость звука V = 340 м/с, определить: 1) скорость движения тепло-

хода; 2) приближается или удаляется теплоход от наблюдателя.

585. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза.

Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна 1ν , а когда

109

удаляется – 2ν . Принимая, что скорость V звука известна, определить: 1) скорость

Vист электровоза; 2) собственную частоту 0 колебаний гудка.

586. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от

которой дошел до него за t = 36 мкс. Учитывая, что диэлектрическая проницае-

мость воды ε = 81, определить расстояние от локатора до подводной лодки.

587. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 0,5 нФ и

катушку индуктивностью L = 0,4 мГн. Определить длину волны излучения, ге-

нерируемого контуром.

588. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую на-

строен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конден-

сатора Qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре Im =1,5 А. Активным

сопротивлением контура пренебречь.

589. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная вол-

на. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10 В/м. Опре-

делить амплитуду напряженности магнитного поля волны.

590. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна.

Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Опре-

делить интенсивность волны I, т. е. среднюю энергию, проходящую через единицу

поверхности в единицу времени.

591. Предельный угол полного отражения на границе стекло-жидкость iпр = 65°.

Определить показатель преломления жидкости, если показатель преломления

стекла n = 1,5.

592. Луч света выходит из стекла в вакуум. Предельный угол iпр = 42°. Оп-

ределить скорость света в стекле.

593. На дне сосуда, наполненного водой (n = 1,33) до высоты h = 25 см, на-

ходится точечный источник света. На поверхности воды плавает непрозрачная

пластинка так, что центр пластинки находится над источником света. Опреде-

лить минимальный диаметр пластинки, при котором свет не пройдет через по-

верхность воды.

110

594. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 0,5 мм ( = 0,6 мкм).

Определить расстояние l от щелей до экрана, если ширина x интерференци-

онных полос равна 1,2 мм.

595. Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей поместить

перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку (n = 1,5), то централь-

ная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое пятой свет-

лой полосой. Длина волны λ = 0,5 мкм. Определить толщину пластинки.

596. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления n = 1,33

под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света. Определить, при

какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее силь-

но окрасится в желтый цвет (λ = 0,6 мкм).

597. На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматический

свет (λ = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстоя-

ние между двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном

свете равно 2 мм.

598. На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматический свет.

Угол клина равен 4'. Определить длину световой волны, если расстояние между

двумя соседними интерференционными максимумами в отраженном свете равно

0,2 мм.

599. На тонкую мыльную пленку (n = 1,33) под углом i = 30° падает моно-

хроматический свет с длиной волны = 0,6 мкм. Определить угол между по-

верхностями пленки, если расстояние b между интерференционными полосами

в отраженном свете равно 4 мм.

600. Плосковыпуклая линза радиусом кривизны 4 м выпуклой стороной лежит

на стеклянной пластинке. Определить длину волны падающего монохроматиче-

ского света, если радиус пятого светлого кольца в отраженном свете равен 3 мм.

601. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматиче-

ским светом с длиной волны = 0,6 мкм, падающим нормально. Пространство

между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение

111

ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы R = 4 м. Определить пока-

затель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца r = 1,8 мм.

602. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматиче-

ским светом с длиной волны = 0,55 мкм, падающим нормально. Определить

толщину воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и со-

прикасающейся с ней плосковыпуклой линзой в том месте, где в отраженном свете

наблюдается четвертое темное кольцо.

603. Плосковыпуклая линза с показателем преломления n = 1,6 выпуклой стороной

лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего светлого кольца в отраженном свете

(λ = 0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определить фокусное расстояние линзы.

604. Плосковыпуклая линза с радиусом сферической поверхности R = 12,5 см

прижата к стеклянной пластинке. Диаметры десятого и пятнадцатого темных

колец Ньютона в отраженном свете соответственно равны 1 и 1,5 мм. Опреде-

лить длину волны света.

605. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматиче-

ским светом, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой

и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отра-

женном свете уменьшились в 1,21 раза. Определить показатель преломления жид-

кости.

606. Точечный источник света (= 0,5 мкм) расположен на расстоянии а = 1 м

перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра d = 2 мм. Определить расстояние

b от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три зоны Френеля.

607. Определить радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй зоны

Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.

608. Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояния от точечного

источника света (= 0,5 мкм) до зонной пластинки и от пластинки до места на-

блюдения а = b = 1 м.

609. Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника мо-

нохроматического света ( = 0,5 мкм). Посередине между источником света

и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус

112

отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является

наиболее темным.

610. На экран с круглым отверстием радиусом r = 1,5 мм нормально падает

параллельный пучок монохроматического света с длиной волны = 0,5 мкм.

Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b = 1,5 м от него.

Определить: 1) число зон Френеля, укладывающихся в отверстии; 2) темное

или светлое кольцо наблюдается в центре дифракционной картины, если в мес-

те наблюдения помещен экран.

611. На экран с круглым отверстием радиусом r = 1,2 мм нормально падает

параллельный пучок монохроматического света с длиной волны = 0,6 мкм.

Определить максимальное расстояние от отверстия на его оси, где еще можно

наблюдать наиболее темное пятно.

612. На узкую щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохроматический

свет с длиной волны λ = 694 нм. Определить направление света на вторую светлую

дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).

613. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его на-

правление на четвертую темную дифракционную полосу составляет 2° 12'. Оп-

ределить, сколько длин волн укладывается на ширине щели.

614. На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматический

свет с длиной волны = 0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на эк-

ране, расположенном параллельно щели. Определить расстояние I от щели до

экрана, если ширина центрального дифракционного максимума b = 1 см.

615. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический

свет с длиной волны = 600 нм. Определить наибольший порядок спектра, по-

лученный с помощью этой решетки, если ее постоянная d = 2 мкм.

616. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу

= 30° соответствует максимум четвертого порядка для монохроматического

света с длиной волны = 0,5 мкм.

617. Диаметр D объектива телескопа равен 10 см. Определить наимень-

шее угловое расстояние между двумя звездами, при котором в фокальной

113

плоскости объектива получатся их разрешимые дифракционные изображения.

Считать, что длина волны света = 0,55 мкм.

618. Определить постоянную дифракционной решетки, если она в первом

порядке разрешает две спектральные линии калия ( 1 = 578 нм и 2 = 580 нм).

Длина решетки I = 1 см.

619. Постоянная d дифракционной решетки длиной I = 2,5 см равна 5 мкм.

Определить разность длин волн, разрешаемую этой решеткой, для света с дли-

ной волны = 0,5 мкм в спектре второго порядка.

620. Угловая дисперсия дифракционной решетки для = 500 нм в спектре

второго порядка равна 4,08 105 рад/м. Определить постоянную дифракционной

решетки.

621. Определить концентрацию свободных электронов ионосферы, если для

радиоволн с частотой ν = 97 МГц ее показатель преломления n = 0,91.

622. Свет падает нормально поочередно на две пластинки, изготовленные из од-

ного и того же вещества, имеющие соответственно толщины x1 = 5 мм и х2 = 10 мм.

Определить коэффициент поглощения этого вещества, если интенсивность про-

шедшего света через первую пластинку составляет 82%, а через вторую – 67%.

623. При какой скорости красный свет (690 нм) будет казаться зеленым (530 нм).

624. Известно, что при удалении от нас некоторой туманности линия излучения

водорода (λ = 656,3 нм) в ее спектре смещена в красную сторону на λ = 2,5 нм.

Определить скорость удаления туманности.

625. Определить скорость электронов, при которой черенковское излучение

происходит в среде с показателем преломления n = 1,54 под углом = 30° к

направлению их движения. Скорость выразить в долях скорости света.

626. Определить минимальную кинетическую энергию, которой должен об-

ладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления n = 1,5 возникло че-

ренковское излучение. Ответы выразить в МэВ.

627. Определить степень поляризации частично поляризованного света, если

амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности све-

та, в 3 раза больше амплитуды, соответствующей его минимальной интенсивности.

114

628. Определить степень поляризации Р света, который представляет собой

смесь естественного света с плоскополяризованным, если интенсивность поля-

ризованного света в 5 раз больше интенсивности естественного.

629. Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора со-

ставляет 30°. Определить изменение интенсивности прошедшего через них све-

та, если угол между главными плоскостями равен 45°.

630. Естественный свет интенсивностью I0 проходит через поляризатор и

анализатор, угол между главными плоскостями которых составляет . После

прохождения света через эту систему он падает на зеркало и, отразившись, про-

ходит вновь через нее. Пренебрегая поглощением света, определить интенсив-

ность I света после его обратного прохождения.

631. Определить показатель преломления стекла, если при отражении от не-

го света отраженный луч полностью поляризован при угле преломления 35°.

632. Определить, под каким углом к горизонту, должно находиться

Солнце, чтобы лучи, отраженные от поверхности озера (n = 1,33), были мак-

симально поляризованы.

633. Определить наименьшую толщину кристаллической пластинки в четверть

волны для λ = 530 нм, если разность показателей преломления обыкновенного и

необыкновенного лучей для данной длины волны ne - n0 = 0,01. Пластинкой в чет-

верть волны называется кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно опти-

ческой оси, при прохождении через которую в направлении, перпендикулярном оп-

тической оси, обыкновенный и необыкновенный лучи, не изменяя своего направ-

ления, приобретают разность хода, равную 4 .

634. Кристаллическая пластинка из исландского шпата с наименьшей тол-

щиной d = 0,86 мкм служит пластинкой в четверть волны (см. задачу 618) для

= 0,59 мкм. Определить разность n показателей преломления обыкновен-

ного и необыкновенного лучей.

635. Пластинка кварца толщиной d1 = 2 мм, вырезанная перпендикулярно

оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохромати-

ческого света определенной длины волны на угол 1 = 30°. Определить толщи-

ну d2 кварцевой пластинки, помещенной между параллельными николями, что-

бы данный монохроматический свет гасился полностью.

115

Статистическая физика и термодинамика.

Основы квантовой механики

Основные формулы

1. Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов:

n

iipp

1,

где pi – парциальное давление i-го компонента смеси.

2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева):

pVm = RT (для одного моля газа),

рV = (m/M)RT (для произвольной массы газа),

где Vm – молярный объем;

R – молярная газовая постоянная;

M – молярная масса газа;

m – масса газа;

m/M = v – количество вещества.

3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов:

2кв03

1Vnmp

или

,3

2)

2(

3

22

кв0 ЕVm

NpV

или

,3

1

3

1 2кв

2кв0 VmVNmpV

где квV – средняя квадратичная скорость молекул;

116

Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех моле-

кул газа;

n – концентрация молекул;

т0 – масса одной молекулы;

т = Nm0 – масса газа;

N – число молекул в объеме газа V.

4. Скорость молекул:

а) наиболее вероятная:

;22 0в mkTMRTV

б) средняя квадратичная:

;33 0кв mkTMRTV

в) средняя арифметическая:

;)π(8)π(8 0mkTMRTV

где т0 – масса одной молекулы.

5. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы иде-

ального газа:

.2

3ε0 kT

6. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям:

),2exp()π2

(π4)(

)(2

02230

kTVmV

kT

m

NdV

VdNVf

где функция f (V) распределения молекул по скоростям определяет относитель-

ное число молекул dN (V) / N из общего числа N молекул, скорости которых

лежат в интервале от V до (V + dV).

7. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям

теплового движения:

),exp(ε)(π

2

ε

)ε()ε( 2123

kTkTNd

dNf

117

где функция f (ε ) распределения молекул по энергиям теплового движения оп-

ределяет относительное число молекул dN (ε ) / N из общего числа N молекул,

которые имеют кинетические энергии ,2/ε 20Vm заключенные в интервале от

ε до ( εε d ).

8. Барометрическая формула:

],)()(exp[ 0

0 RThhMgpph

где рh и р0 – давление газа на высоте h и h0.

9. Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле:

],exp[])(exp[ 000 kT

ghmnRTMghnn или ],)(

Пexp[0 kTnn

где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h = 0;

П = m0gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

10. Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с:

,π2 2 Vndz

где d – эффективный диаметр молекулы;

n – концентрация молекул;

V – средняя арифметическая скорость молекул.

11. Средняя длина свободного пробега молекул газа:

.π2

12ndz

V

12. Закон теплопроводности Фурье:

,χ Stdx

dTQ

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за

время t;

118

dT/dx – градиент температуры;

χ – теплопроводность:

,λ3

1χ VcV

где cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

– плотность газа;

V – средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул;

– средняя длина свободного пробега молекул.

13. Закон диффузии Фика:

,ρ

Stdx

dDM

где М – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S

за время t;

d/dx – градиент плотности;

D – диффузия: .λ3

1VD

14. Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости):

,η Sdx

dVF

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S;

dV/dx – градиент скорости;

– динамическая вязкость:

.λρ3

1η V

15. Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящая-

ся на одну степень свободы молекулы:

.2

1ε1 kT

119

16. Средняя энергия молекулы:

,2

ε kTi

где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебатель-

ных степеней свободы (i = nпост + nвращ + 2nколеб).

17. Внутренняя энергия идеального газа:

,22

v RTi

M

mRT

iU

где v – количество вещества;

m – масса газа;

M – молярная масса газа;

R – молярная газовая постоянная.

18. Первое начало термодинамики:

,AUQ

где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею;

U – изменение ее внутренней энергии;

А – работа системы против внешних сил.

19. Первое начало термодинамики для малого изменения системы:

.δδ AdUQ

20 Связь между молярной Сm, и удельной с теплоемкостями газа:

,cMCm

где М – молярная масса газа.

21. Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давле-

нии:

,2

Ri

CV .2

2R

iC p

120

22. Уравнение Майера:

.RCC Vp

23. Изменение внутренней энергии идеального газа:

.dTCM

mdU V

24. Работа, совершаемая газом при изменении его объема:

.δ pdVA

25. Полная работа при изменении объема газа:

2

1

,V

VpdVA

где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа.

26. Работа газа:

а) при изобарном процессе:

)( 12 VVpA или );( 12 TTRM

mA

б) при изотермическом процессе:

1

2lnV

VRT

M

mA или .ln

2

1

p

pRT

M

mA

27. Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):

,constγ pV ,const1γ TV ,constγ1γ pT

где = Ср / СV = (i+2)/i – показатель адиабаты.

28. Работа в случае адиабатического процесса:

)( 21 TTCM

mA V или ,)(1

1γ)(1

11γ

2

1111γ

2

11

V

VVp

V

V

M

mRTA

где T1, T2 и V1, V2 – соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

121

29. Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла):

,1η1

2

1

21

1 Q

Q

Q

QQ

Q

A

где Q1 – количество теплоты, полученное системой;

Q2 – количество теплоты, отданное системой;

А – работа, совершаемая за цикл.

30. Термический коэффициент полезного действия цикла Карно:

,η1

21

T

TT

где T1 – температура нагревателя;

Т2 – температура холодильника.

31. Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:

2

1

2

11221 .

δ

T

AdU

T

QSSS

32. Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа:

,))((2

RTbVV

ap m

m

где Vm – молярный объем;

а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.

33. Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа:

RTbV

V

ap )

v)(

v( 2

2

или ,)v)((2

2

vRTbVV

avp

где v = т / М – количество вещества.

34. Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул:

.' 2mVap

122

35. Связь критических параметров – объема, давления и температуры – с по-

стоянными a и b Ван-дер-Ваальса:

Vk = 3b, pk = a / (27b2); Tk = 8a / (27Rb).

36. Внутренняя энергия реального газа:

U = v (CVT – a / Vm),

где Сv – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

37. Энтальпия системы:

U1 + p1V1 = U2 + p2V2,

где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы.

38. Поверхностное натяжение:

lF / или ,/ SE

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l , ограничи-

вающий поверхность жидкости;

E – поверхностная энергия, связанная с площадью S поверхности пленки.

39. Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для

произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

),11( 21 RRp

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных

сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кри-

визны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если

центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сфериче-

ской поверхности

./2 Rp

40. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

,ρ

θcos2

grh

где – краевой угол;

123

r – радиус капилляра;

– плотность жидкости;

g – ускорение свободного падения.

41. Закон Дюлонга и Пти:

Cv = 3R,

где С – молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.

42. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение

температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при рав-

новесно протекающем процессе:

,)( 12 VVT

L

dT

dp

где L – теплота фазового перехода;

(V2 - V1) – изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую;

Т – температура перехода (процесс изотермический).

43. Закон Стефана-Больцмана:

R* = T4,

где R* – энергетическая светимость (излучательность) черного тела;

– постоянная Стефана-Больцмана;

Т – термодинамическая температура.

44. Связь энергетической светимости R* и спектральной плотности энерге-

тической светимости Tr ,ν ( Tr ,λ ) черного тела:

0 0

,λ,v* .v drdrR TT

45. Энергетическая светимость серого тела:

,σ 4TAR T

где АT – поглощательная способность серого тела.

124

46. Закон смещения Вина:

,/λmax Tb

где max – длина волны, соответствующая максимальному значению спектраль-

ной плотности энергетической светимости черного тела;

b – постоянная Вина.

47. Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической све-

тимости черного тела от температуры:

,)( 5max,λ CTr T

где С = l,30·10-5 Вт/(м3·К5).

48. Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической све-

тимости черного тела )ν( kTh :

,πv2

2

2

,v kTc

r T

где k – постоянная Планка.

49. Энергия кванта:

λ/vε0 hch .

50. Формула Планка:

,1

vπv2)/(v2

2

,v

kThTe

h

cr

.1

1

λ

π2)λ/(5

2

,λ

kThcTe

hcr

51. Связь радиационной Tp и истинной T температур:

,4 TAT Tp

где AT – поглощательная способность серого тела.

125

52. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

= h v = A + Tmax,

где = h v – энергия фотона, падающего на поверхность металла;

А – работа выхода электрона из металла;

Tmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

53. «Красная граница» фотоэффекта для данного металла:

0v = A/h; 0 = hc/A,

где 0 – максимальная длина волны излучения (0 – соответственно минималь-

ная частота), при которой фотоэффект еще возможен.

54. Масса и импульс фотона:

;vε22γ

c

h

cm cm

c

hp γγ

v ,

где h – энергия фотона.

55. Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность:

),ρ1(ω)1( c

Ep e

где Еe = Nh v – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на

единицу поверхности в единицу времени);

– коэффициент отражения;

– объемная плотность энергии излучения.

56. Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском

рассеянии:

,2

sinλ22

sin2

)cos1(λλ'λ 22

00

ccm

h

cm

h

где и ’ – длины волн падающего и рассеянного излучения;

m0 – масса электрона;

– угол рассеяния;

c = h / (т0 с) м121043,2 – комптоновская длина волны.

126

57. Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода:

),11

(v22 nm

R

где – частота спектральных линий в спектре атома водорода;

R – постоянная Ридберга;

т определяет серию (m = 1, 2, 3 ...);

n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m + 1, m + 2, ...):

т = 1 (серия Лаймана),

m = 2 (серия Бальмера),

m = 3 (серия Пашена),

m = 4 (серия Брэкета),

m = 5 (серия Пфунда),

m = 6 (серия Хэмфри).

58. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

meVrn = n (n = 1, 2, 3 …),

где тe – масса электрона;

V – скорость электрона по n-й орбите радиусом rn.

59. Второй постулат Бора (правило частот):

h = En – Em,

где En и Em – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после

излучения (поглощения).

60. Энергия электрона на n-й стационарной орбите:

...)3,2,1(ε8

120

2

42

2 n

h

emZ

nE e

n ,

где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева;

0 – электрическая постоянная.

127

61. Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром в водо-

родоподобном атоме:

,πε4

)(0

2

r

ZerU

где r – расстояние между электроном и ядром.

62. Собственное значение энергии Еn электрона в водородоподобном атоме:

...).3,2,1(ε8

120

2

42

2 n

h

meZ

nEn

63. Энергия ионизации атома водорода:

.ε8 2

02

4

1h

meEEi

64. Связь дебройлевской волны частицы с импульсом р:

= h/p = h/(mV),

где т – масса частицы;

V – ее скорость.

65. Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью V частицы массой m:

Vфаз = /k = E/p = c2/V,

где E = h – энергия частицы ( – круговая частота);

р = hk – импульс (k = 2/ – волновое число).

66. Групповая скорость свободно движущейся частицы:

.Eω

dp

d

dk

du

67. Соотношения неопределенностей:

128

а) для координаты и импульса частицы:

,,,

hpzhpyhpx

z

y

x

где zyx ,, – неопределенности координат;

zyx ppp ,, – неопределенности соответствующих проекций импульса

частицы на оси координат;

б) для энергии и времени:

,htE

где E – неопределенность энергии данного квантового состояния;

t – время пребывания системы в данном состоянии. Вероятность нахож-

дения частицы в объеме dV:

,ψψψ2dVdVdW

где = (х, у, z, t) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

* –функция, комплексно сопряженная с ;

||2 = * – квадрат модуля волновой функции.

68. Для стационарных состояний = (х, у, z) – координатная (амплитуд-

ная) часть волновой функции.

69. Условие нормировки вероятностей:

,1ψ2dV

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по

координатам х, у, z от - до +.

70. Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2:

2

1

.)(ψ2

x

x

dxxW

129

71. Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу,

находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией :

.ψ2dVLL

72. Общее уравнение Шредингера (уравнение Шредингера, зависящее от времени):

,ψ

ψ),,,(ψ2

2

titzyxU

m

где = (x, у, z, t) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

)2/( h ;

m – масса частицы;

– оператор Лапласа

;ψψψ

ψ2

2

2

2

2

2

zyx

1i – мнимая единица;

U = U(x, у, z, t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором

она движется.

73. Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,0ψ)(2

ψ2

UEm

где = (х, у, z) – координатная часть волновой функции

((x, у, z, t) = (х, у, z) )exp( Eti

);

U = U (х, у, z) – потенциальная энергия частицы;

Е – полная энергия частицы.

74. Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:

)],(exp[,ψ xpEti

Ayz x

130

где А – амплитуда волн де Бройля;

kpx – импульс частицы;

ωE – энергия частицы.

75. Собственные значения энергии En частицы, находящейся на n-м энерге-

тическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с беско-

нечно высокими «стенками»:

...)3,2,1(2

π2

222 n

mlnEn

,

где l – ширина ямы.

76. Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному

собственному значению энергии:

xl

n

lxn

πsin

2)(ψ ...)3,2,1( n .

77. Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера

конечной ширины l :

,)(22

exp0

lEUmDD

где D0 – множитель, который можно приравнять единице;

U – высота потенциального барьера;

Е – энергия частицы.

78. Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в

квантовой механике:

,0ψ2

ωE

2ψ 220

22

2

xmm

x

где Uxm 2/ω 220 – потенциальная энергия осциллятора;

0 – собственная частота колебаний осциллятора;

m – масса частицы.

131

79. Собственные значения энергии гармонического осциллятора:

0ω2

1

nEn ...).2,1,0( n

80. Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора:

.ω2

100 E

81. Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра:

),/(min eUch

где е – заряд электрона;

U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

82. Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характери-

стического рентгеновского излучения:

,11

)σ(v22

2

nmZR

где R – постоянная Ридберга;

Z – порядковый номер элемента в периодической системе;

– постоянная экранирования;

т определяет рентгеновскую серию (m = 1, 2, 3...);

n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m + 1, m + 2, ...).

83. Закон Мозли для линии K ( = 1):

.2

1

1

1)1(v

222

ZR

84. Радиус ядра:

,310 ARR

где R0 = 1,4·10-15 м;

А – массовое число (число нуклонов в ядре).

132

85. Энергия связи нуклонов в ядре:

,)()( 22я cmmZAZmcmmZAZmE nHnpсв

где тp, mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра;

Z – зарядовое число ядра (число протонов в ядре);

A – массовое число;

mH =( mp + me )масса атома водорода )H(11 ;

m – масса атома.

86. Дефект массы ядра:

.)()( Hя mmZAZmmmZAZmm nnp

87. Энергия связи во внесистемных единицах – МэВ:

mEсв 4,931 ,

где m – дефект массы в а.е.м.

88. Удельная энергия связи (энергия связи, отнесенная к одному нуклону):

./δ AEE свсв

89. Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt:

,λNdtdN

где N – число нераспавшихся ядер к моменту времени t;

λ – постоянная радиоактивного распада.

90. Закон радиоактивного распада:

),λexp(0 tNN

где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t;

N0 – начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0);

– постоянная радиоактивного распада.

91. Число ядер, распавшихся за время t:

)].λexp(1[00 tNNNN

133

92. Связь периода полураспада T1/2 и постоянной радиоактивного распада

T1/2 = (ln2)/ .

93. Связь среднего времени жизни радиоактивного ядра и постоянной

радиоактивного распада:

= 1/.

94. Активность нуклида:

.λNdt

dNA

95. Символическая запись ядерной реакции:

bYaX AZ

AZ '

' или ,),( ''YbaX A

ZAZ

где XAZ и YA

Z'' – исходное и конечное ядра соответственно с зарядовыми числами Z и

Z' и массовыми числами А и А';

а и b – соответственно бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые)

в ядерной реакции частицы.

96. Энергия ядерной реакции:

,)()( 43212 mmmmсQ

где m1 и m2 – массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы;

(m3 + m4) – суммы масс покоя ядер продуктов реакции.

Если Q > 0 – экзотермическая реакция, Q < 0 – эндотермическая реакция.

97. Энергия ядерной реакции представляется также в виде:

),()( 2143 TTTTQ

где T1, T2, T3, T4 – соответственно кинетические энергии ядра-мишени, бомбар-

дирующей частицы, испускаемой частицы и ядра продукта реакции.

134

Примеры решения задач

Пример 1. В колбе вместимостью V = 0,5 л находится кислород при нор-

мальных условиях. Определить среднюю энергию пW поступательного дви-

жения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия пW поступательного движения всех молекул

может быть выражена соотношением

,NW пп (1)

где п – средняя энергия поступательного движения одной молекулы;

N – число всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно,

,23 kTп (2)

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура.

Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле

AvNN , (3)

где – количество вещества кислорода;

NA – постоянная Авогадро.

Количество вещества найдем из таких соображений: известно, что при

нормальных условиях молярный объем Vm равен 22,4 10-3 м3/моль. Так как, по

условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то ко-

личество вещества кислорода в колбе выражается соотношением

= V/Vm. (4)

Подставив выражение по (4) в (3), получим

N = VNA/Vm. (5)

135

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движения моле-

кул примет вид

.2

3

m

A

V

kTVNW (6)

Проверим, дает ли правая часть расчетной формулы единицу энергии (джо-

уль). Для этого вместо символов величин подставим единицы, в которых эти

величины выражаются:

.ДжмольКм

мольмКДж

/ммолм

мольмДж/К3

3

3

13

пW

Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, найдем

Дж.9,75Дж104,222

1002,6105,02731038,133

23323

пW

Пример 2. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает оди-

наковое давление р = 79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h1 полета

неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с

t = 5 °С до t = 1 °C. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик?

Давление р0 у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

])(exp[00 RTMghpp .

Барометр может показывать неизменное давление р при различных температу-

рах T1 и T2, а за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h1

(которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2 .

Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

];)(exp[1

10 RT

Mghpp ].)(exp[2

20 RT

Mghpp

Найдем отношение р0 / р и обе части полученного равенства прологарифмируем:

;ln1

10

RT

Mgh

p

p .ln

2

20

RT

Mgh

p

p

136

Из полученных соотношений выразим высоты h1 и h2 и найдем их разность:

).()/ln(

120

12 TTMg

ppRhhh (1)

Проверим, дает ли правая часть равенства (1) единицу длины:

1

Н1

Дж1

)м/с()кг/моль1(

)Дж/(моль12

КК

gM

TR м.

Подставим в (1) значения величин (давления в отношении р0 / р можно вы-

разить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный результат):

5,28м)51(8,91029

)79/101ln(31,83

h м.

Знак < – > означает h2 < h1 , следовательно, самолет снизился на 28,5 м по

сравнению с предполагаемой высотой.

Пример 3. Найти изменение S энтропии при нагревании воды массой т = 100 г

от температуры t1 = 0 °C до температуры t2 = 100 °С и последующем превращении

воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии 'S при нагревании воды и

изменение энтропии ''S при превращении ее в пар. Полное изменение энтро-

пии выразится суммой 'S и ''S . Как известно, изменение энтропии выража-

ется общей формулой

2

012 .

T

dQSSS (1)

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затра-

чивается количество теплоты dQ = mcdT, где т – масса тела; с – его удельная

теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), найдем формулу для

вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

.'2

1

T

T T

mcdTS

137

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегриро-

вание, тогда получим

)./ln(' 12 TTmcS

После вычислений найдем

132'S Дж/К.

При вычислении по (1) формуле изменения энтропии во время превращения

воды в пар той же температуры постоянная температура Т выносится за знак

интеграла. Вычислив интеграл, найдем

,1

''2

1 T

QdQ

TS (2)

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар

той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = т, где –

удельная теплота парообразования, получим

.λ

''T

mS (3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

Дж/К605'' S .

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превра-

щении ее в пар:

737''' SSS Дж/К.

Пример 4. Давление монохроматического света с длиной волны λ= 500 нм

на поверхность с коэффициентом отражения = 0,3, расположенную перпенди-

кулярно падающему свету, равно 0,2 мкПа. Определить число фотонов, падаю-

щих ежесекундно на единицу площади этой поверхности.

138

Решение. Давление, производимое светом при нормальном падении на по-

верхность:

),ρ1( c

Ep e

где Ее – облученность поверхности, т. е. энергия всех фотонов, падающих в

единицу времени на единицу поверхности; νNhEe .

Так как /λν c , то

,λ/)ρ1( Nhp

откуда искомое число фотонов, падающих ежесекундно на единицу площади

поверхности:

.)ρ1(

λ

h

pN

Вычисляя, получаем N = 1,16 2010 .см 12

Пример 5. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

шириной l = 200 пм с бесконечно высокими «стенками» находится в возбуж-

денном состоянии (n = 4). Определить: 1) минимальную энергию электрона; 2)

вероятность W обнаружения электрона в первой четверти «ямы».

Решение. Собственные значения энергии электрона, находящегося на n-м

энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с

бесконечно высокими «стенками»,

...),3,2,1(2

π2

222 n

mlnEn

где m = 9,11·10-31 кг – масса электрона; 341005,1)π2/( h Дж·с – постоянная Планка. Минимальную энергию

электрон имеет при минимальном n, т. е. при n = 1:

.2

π2

22

minml

E

139

Вероятность обнаружить частицу в интервале 21 xxx

2

1

,)(ψ2

x

xn dxxW (1)

где ...)3,2,1(π

sin2

)(ψ nxl

n

lxn – нормированная собственная волновая функ-

ция, соответствующая данному состоянию. Возбужденному состоянию n = 4 отве-

чает собственная функция

.π4

sin2

)(4 xll

x (2)

Согласно условию задачи, x1 = 0, x2 = 4/l . Поэтому, подставив (2) в (1), получим

4/

0

2 .π4

sin2 l

xdxll

W

Заменив lxlx /π8cos(1на/π4sin 212 , запишем

.25,00sinπ2sinπ8

1

4

1

8sin

π84

11)/π8cos(

1 4/0

4/

0

4/

0

l

l l

xl

l

ldxlxdx

lW

Вычисляя, получим: 1) Emin = 18105,1 Дж = 9,37 эВ; 2) W = 0,25.

Задания

701. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и

гелий массой 12 г. Определить: 1) давление; 2) молярную массу газовой смеси в

сосуде, если температура смеси Т = 300 К.

702. Определить плотность смеси газов водорода массой т1 = 8 г и кислоро-

да массой т2 = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы

считать идеальными.

140

703. В баллоне вместимостью 15 л находится азот под давлением 100 кПа

при температуре t1 = 27 °С. После того, как из баллона выпустили азот массой

14 г, температура газа стала равной t2 = 17 °С. Определить давление азота, ос-

тавшегося в баллоне.

704. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при

температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определить массу водорода, если масса

смеси равна 150 г.

705. Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа и температуре

T1 = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V2 = 10 л. Оп-

ределить: 1) объем V1 газа до расширения; 2) температуру T2 газа после расши-

рения; 3) плотности газа до и после расширения.

706. В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определить

концентрацию молекул кислорода в сосуде.

707. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных усло-

виях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?

708. В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре T = 290 К находится

некоторый газ. На сколько понизится давление р газа в сосуде, если из него из-

за утечки выйдет N = 1019 молекул?

709. Определить давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его

плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул газа со-

ставляет 480 м/с.

710. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность ко-

торого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

711. Определить: 1) наиболее вероятную вV ; 2) среднюю арифметическую

V ; 3) среднюю квадратичную квV скорости молекул азота (N2) при 27 °С.

712. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям,

найти формулу наиболее вероятной скорости Vв.

713. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям,

найти среднюю квадратичную скорость <Vкв>.

141

714. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уров-

не моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 °С.

715. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что тем-

пература по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а ускорение свободного паде-

ния не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли принять рав-

ным 0p .

716. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е – основание натуральных ло-

гарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру

воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими от высоты.

717. Определить среднюю длину свободного пробега <> молекул кислоро-

да, находящегося при температуре 0 °С, если среднее число <z> столкновений,

испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7 109.

718. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водо-

рода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °С? Диаметр молекулы водо-

рода принять равным 0,28 нм.

719. Определить среднюю продолжительность < τ> свободного пробега мо-

лекул водорода при температуре 27 °С и давлении 5 кПа. Диаметр молекулы

водорода принять равным 0,28 нм.

720. При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободно-

го пробега λ молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число

<z> столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1

первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

721. Определить коэффициент теплопроводности азота, находящегося в не-

котором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота

принять равным 0,38 нм.

722. Кислород находится при нормальных условиях. Определить коэффици-

ент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул

равен 0,36 нм.

723. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью

150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено

142

кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, другая –

при температуре 27 °С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 мин

посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород нахо-

дится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода

считать равным 0,36 нм.

724. Определить коэффициент диффузии D кислорода при нормальных ус-

ловиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36 нм.

725. Определить массу азота прошедшего вследствие диффузии через пло-

щадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикуляр-

ном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а средняя длина свобод-

ного пробега его молекул равна 1 мкм.

726. Определить, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической

вязкости η углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковых

температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать

равными.

727. Определить коэффициент теплопроводности азота, если коэффициент

динамической вязкости η для него при тех же условиях равен 10 мкПаc.

728. Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Опре-

делить коэффициенты диффузии D и внутреннего трения η . Эффективный диа-

метр молекул азота принять равным 0,38 нм.

729. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда

Дьюара, если расстояние между стенками сосуда равно 8 мм, а температура 17 °С?

Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 0,27 нм.

730. Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре

17°С равно 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоком вакууме, если ха-

рактерный размер 0l (расстояние между катодом и анодом трубки) составляет

50 мм? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 0,27 нм.

143

731. Азот массой 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а затем изо-

барно сжали до первоначального объема. Определить изменение энтропии газа

в ходе указанных процессов.

732. Идеальный газ ( ν = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что объем

газа увеличился в n1 = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление его

уменьшилось в n2 = 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных

процессов.

733. При нагревании двухатомного идеального газа ( ν = 3 моль) его термо-

динамическая температура увеличилась в n = 2 раза. Определить изменение эн-

тропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

734. Во сколько раз необходимо увеличить объем ν = 5 моль идеального газа

при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на 57,6 Дж/К?

735. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя T1 = 500 К,

холодильника T2 = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет

2 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла; 2) количество теплоты, отданное

газом при изотермическом сжатии холодильнику.

736. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого ра-

вен 0,4. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотер-

мического расширения составляет 400 Дж.

737. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количе-

ство теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определить: 1) термический

КПД цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника.

738. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты,

полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, полу-

чаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла;

2) работу, совершенную при полном цикле.

739. Рабочее тело – идеальный газ – теплового двигателя совершает цикл, со-

стоящий из последующих процессов: изобарного, адиабатического и изотермическо-

го. В результате изобарного процесса газ нагревается от Т1 = 300К до T2 = 600 К. Оп-

ределить термический КПД теплового двигателя.

144

740. Кислород массой 10 г, находящийся при температуре 370 К, подвергли

адиабатическому расширению, в результате которого его давление уменьши-

лось в n = 4 раза. В результате последующего изотермического процесса газ

сжимается до первоначального давления. Определить: 1) температуру газа в

конце процесса; 2) количество теплоты, отданное газом; 3) приращение внут-

ренней энергии газа; 4) работу, совершенную газом.

741. Кислород, занимающий при давлении pi = 1 МПа объем V1 = 5 л, расширя-

ется в n = 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом. Рас-

смотреть следующие процессы: 1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатиче-

ский.

742. Двухатомный идеальный газ занимает объем V1 = 1 л и находится под

давлением pi = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется

объемом V2 и давлением р2. В результате последующего изохорного процесса

газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление р3 = 0,2 МПа.

Определить: 1) объем V2; 2) давление р2. Начертить график этих процессов.

743. Азот массой m = 1 кг занимает при температуре T1 = 300 К объем

V1 = 0,5 м3. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в

3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру;

3) изменение внутренней энергии газа.

744. При адиабатическом расширении кислорода ( ν = 2 моль), находящегося

при нормальных условиях, его объем увеличился в n = 3 раза. Определить:

1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.

745. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составля-

ет А = 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс

протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.

746. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре T = 300 К

от давления р1 =100 кПа до давления р2 =500 кПа. Определить: 1) изменение внут-

ренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.

145

747. Некоторый газ массой m = 5 г расширяется изотермически от объема V1

до объема V2 = 2 V1. Работа расширения А = 1 кДж. Определить среднюю квад-

ратичную скорость молекул газа.

748. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить,

какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить

его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление

вдвое в результате изохорного процесса.

749. Азот массой m = 280 г расширяется в результате изобарного процесса

при давлении р = 1 МПа. Определить: 1) работу расширения; 2) конечный объ-

ем газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж, а начальная темпера-

тура азота Т1 = 290 К.

750. При изобарном нагревании некоторого идеального газа ( ν = 2 моль) на

T = 90 К ему было сообщенo количество теплоты 2,1 кДж. Определить: 1) ра-

боту, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину

Vγ C

C p .

751. Двухатомный идеальный газ ( ν = 2 моль) нагревают при постоянном

объеме до температуры Т1 = 289 К. Определить количество теплоты, которое

необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в n = 3 раза.

752. Определить количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорно-

го нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление изменилось на р = 100 кПа.

753. Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением

0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повыси-

лось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ на-

грели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.

754. Определить удельные теплоемкости VС и pC , если известно, что некото-

рый газ при нормальных условиях имеет удельный объем V = 0,7 м3/кг. Что это за

газ?

146

755. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m1 = 56 г и кислорода

массой m2 = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если

её охладили на 20.

756. Некоторый газ ( ν = 0,25 кмоль) занимает объем V1 = 1 м3. При расши-

рении газа до объема V2 = 1,2 м3 была совершена работа против сил межмоле-

кулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определить поправку а, входящую в

уравнение Ван-дер-Ваальса.

757. Определить радиус R капли спирта, вытекающей из узкой вертикальной

трубки радиусом r = 1 мм. Считать, что в момент отрыва капля сферическая. По-

верхностное натяжение спирта σ = 22 мН/м, а его плотность ρ= 0,8 г/см3.

758. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, опреде-

лить работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d1 = 6 мм

до d2 = 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным

40 мН/м.

759. Две капли воды радиусом r = 1 мм каждая слились в одну большую кап-

лю. Считая процесс изотермическим, определить уменьшение поверхностной

энергии при этом слиянии, если поверхностное натяжение воды σ = 73 мН/м.

760. В капилляре диаметром d = 100 мкм вода поднимается на высоту h = 30 см.

Определить поверхностное натяжение воды, если ее плотность ρ = 1г/см3.

761. Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом

отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Принимая, что отверстие печи излу-

чает как черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками,

если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт.

762. Энергетическая светимость черного тела R* = 10 кВт/м2. Определить

длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности энергети-

ческой светимости этого тела.

763. Определить, как и во сколько раз изменится мощность излучения черно-

го тела, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной плот-

ности энергетической светимости, сместилась с 1λ = 720 нм до 2λ = 400 нм.

147

764. Черное тело находится при температуре T1 = 3 кК. При остывании тела

длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергети-

ческой светимости, изменилась на λ = 8 мкм. Определить температуру T2, до

которой тело охладилось.

765. Черное тело нагрели от температуры T1 = 600 К до T2 = 2400 К. Опреде-

лить: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как из-

менилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности

энергетической светимости.

766. Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энергетиче-

ской светимости Tr ,λ черного тела, при переходе от термодинамической темпе-

ратуры Т1 к температуре T2 увеличилась в 5 раз. Определить, как изменится при

этом длина волны maxλ , соответствующая максимуму спектральной плотности

энергетической светимости черного тела.

767. В результате нагревания черного тела длина волны, соответствующая мак-

симуму спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с

1λ = 2,7 мкм до 2λ = 0,9 мкм. Определить, во сколько раз увеличилась: 1) энерге-

тическая светимость тела; 2) максимальная спектральная плотность энергетиче-

ской светимости тела. Максимальная спектральная плотность энергетической све-

тимости черного тела возрастает согласно закону 5,λ CTr T , где

5103,1 C Вт/(м3К5).

768. Считая никель черным телом, определить мощность, необходимую для

поддержания температуры расплавленного никеля 1453 °С неизменной, если

площадь его поверхности равна 0,5 см2. Потерями энергии пренебречь.

769. Принимая Солнце за черное тело и учитывая, что его максимальной

спектральной плотности энергетической светимости соответствует длина вол-

ны λ = 500 нм, определить: 1) температуру поверхности Солнца; 2) энергию,

излучаемую Солнцем в виде электромагнитных волн за 10 мин; 3) массу, те-

ряемую Солнцем за это время за счет излучения.

148

770. Определить температуру тела, при которой оно при температуре окру-

жающей среды t0 = 23 °С излучало энергии в 10 раз больше, чем поглощало.

771. Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением, опреде-

лить, какую мощность необходимо подводить к медному шарику диаметром

d = 2 см, чтобы при температуре окружающей среды t0 = –13 °С поддерживать

его температуру равной t = 17 °С. Принять поглощательную способность меди

АТ = 0,6.

772. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке

диаметром d = 0,8 мм, температура которой в вакууме поддерживается по-

стоянной и равной t = 2800 °С. Поверхность проволоки принять в качестве

серой с поглощательной способностью АТ = 0,343. Удельное сопротивление

проволоки при данной температуре смОм1092,0 4 . Температура окру-

жающей проволоку среды t0 = 17 °С.

773. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной электрической лам-

почке T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической

светимости абсолютно черного тела при данной температуре k = 0,3. Найти

площадь S излучающей поверхности спирали.

774. Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии, посылаемой

Солнцем, найти мощность излучения N, получаемую от Солнца горизонталь-

ным участком Земли площадью S = 0,5 га. Лучи от Солнца падают под углом

030 . Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного

тела.

775. На какую длину волны λ приходится максимум спектральной плотно-

сти энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температу-

ру t = 37 °C, равную температуре человеческого тела, т. е. T = 310 К ?

776. Определить температуру тела, при которой оно излучало бы энергии в

10 раз больше, чем поглощало. Температура окружающей среды t0 = 23 °C.

777. Пользуясь формулой Планка 1

1

λ

π2)λ/(5

2

.λ

TkhcTe

hcr , вывести из нее за-

кон Вина.

149

778. Для вольфрамовой нити при температуре T = 3500 К поглощательная

способность AT = 0,35. Определить радиационную температуру нити.

779. Отношение энергетической светимости R серого тела к энергетической

светимости R* черного тела равно AT. Вывести связь между истинной и радиа-

ционной температурами.

780. Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся под углом θ = 120° на перво-

начально покоившемся свободном электроне. Определить кинетическую энер-

гию электрона отдачи.

781. Фотон с энергией 100 кэВ в результате комптоновского эффекта рассе-

ялся при соударении со свободным электроном на угол θ = /2. Определить

энергию фотона после рассеяния.

782. Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом θ = 180° на свободном

электроне. Определить долю энергии фотона, приходящуюся на рассеянный фотон.

783. Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся на первоначально покоив-

шемся свободном электроне. Определить кинетическую энергию электрона от-

дачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20%.

784. Фотон с длиной волны λ = 5 пм испытал комптоновское рассеяние под

углом θ = 90° на первоначально покоившемся свободном электроне. Опреде-

лить: 1) изменение длины волны при рассеянии; 2) энергию электрона отдачи;

3) импульс электрона отдачи.

785. Давление p монохроматического света с длиной волны λ = 600 нм на за-

черненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению,

составляет 0,1 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в световом пучке;

2) число N фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2 поверхности.

786. Давление монохроматического света с длиной волны λ = 500 нм на за-

черненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излуче-

нию, равно 0,15 мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность

площадью 40 см2 за одну секунду.

787. Определить давление света на стенки электрической 150-ваттной лам-

почки, принимая, что вся потребляемая мощность идет на излучение и стенки

150

лампочки отражают 15 % падающего на них света. Считать лампочку сфериче-

ским сосудом радиуса 4 см.

788. На идеально отражающую поверхность площадью S = 5 см2 за время

t = 3 мин нормально падает монохроматический свет, энергия которого W = 9

Дж. Определить: 1) облученность поверхности; 2) световое давление, оказы-

ваемое на поверхность.

789. Давление монохроматического света с длиной волны λ = 500 нм на зачернен-

ную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно

0,12 мкПа. Определить число фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2 поверхности.

790. Найти величину нормального давления на плоскую поверхность при

зеркальном отражении параллельного светового потока с интенсивностью

I = 0,5 Вт/см2, если коэффициент отражения данной поверхности ρ = 0,6, а угол

между направлением света и нормалью к поверхности 30θ .

791. На поверхность площадью S = 0,01 м2 в единицу времени падает световая

энергия E = 1,05 Дж/с. Найти световое давление P в случаях, когда поверхность

полностью отражает и полностью поглощает падающие на нее лучи.

792. Монохроматический пучок света ( 490λ нм), падая по нормали к по-

верхности, производит световое давление P = 4,9 мкПа. Какое число фотонов I

падает в единицу времени на единицу площади этой поверхности? Коэффици-

ент отражения света 25,0ρ .

793. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кине-

тическая энергия была равна энергии фотона, длина волны которого λ = 0,5 мкм.

794. Определить максимальную скорость Vmax фотоэлектронов, вырываемых

с поверхности цинка (работа выхода А = 4 эВ), при облучении γ излучением с

длиной волны λ = 2,47 пм.

795. Фотоны с энергией ε = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из металла с ра-

ботой выхода А = 4,7 эВ. Определить максимальный импульс, передаваемый

поверхности этого металла при вылете электрона.

151

796. Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа выхода

6,4 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для другой пластинки задерживаю-

щее напряжение равно 5,3 В. Определить работу выхода электронов из этой пла-

стинки.

797. «Красная граница» фотоэффекта для некоторого металла равна 500 нм. Оп-

ределить: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) максимальную скорость

электронов, вырываемых из этого металла светом с длиной волны 400 нм.

798. При фотоэффекте с платиновой поверхности электроны полностью за-

держиваются разностью потенциалов U = 0,8 В. Найти длину волны λ применяе-

мого облучения и предельную длину волны 0λ , при которой еще возможен фото-

эффект.

799. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырывае-

мые из металла светом с частотой 151 102,2ν Гц, полностью задерживаются

разностью потенциалов U1 = 6,6 В, а вырываемые светом с частотой

152 106,4ν Гц – разностью потенциалов U2 = 16,5 В.

800. Вакуумный фотоэлемент состоит из центрального катода (вольфрамового

шарика) и анода (внутренней поверхности посеребренной изнутри колбы). Кон-

тактная разность потенциалов между электродами U0 = 0,6 В ускоряет вылетающие

электроны. Фотоэлемент освещается светом с длиной волны λ = 230 нм. Какую за-

держивающую разность потенциалов U надо приложить межу электродами, чтобы

фототок упал до нуля? Какую скорость V получат электроны, когда они долетят

до анода, если не прикладывать между катодом и анодом разности потенциалов?

801. Определить длину волны спектральной линии, соответствующую пере-

ходу электрона в атоме водорода с шестой боровской орбиты на вторую. К ка-

кой серии относится эта линия и которая она по счету?

802. Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1) радиус бли-

жайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) скорость движения элек-

трона по этой орбите.

152

803. Определить, на сколько изменилась кинетическая энергия электрона в

атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны 71086,4λ м.

804. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину вол-

ны де Бройля.

805. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти

протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 нм.

806. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 15 мТл по

окружности радиусом R = 1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.

807. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со

средней квадратичной скоростью при T = 290 К.

808. Определить наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если

рентгеновская трубка работает при напряжении U = 150 кВ.

809. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентге-

новского спектра, если скорость V электронов, бомбардирующих анод рентге-

новской трубки, составляет 0,8 с.

810. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентге-

новского спектра, если при увеличении напряжения на рентгеновской трубке в

два раза она изменилась на 50 пм.

811. Найти для алюминия толщину x1/2 слоя половинного ослабления для

рентгеновских лучей некоторой длины волны. Массовый коэффициент погло-

щения алюминия для этой длины волны 3,5μм м2/кг.

812. При увеличении толщины слоя графита на 0,5 см интенсивность про-

шедшего пучка рентгеновских лучей уменьшилась в 3 раза. Определить линей-

ный коэффициент ослабления графита для данного излучения.

813. Во сколько раз уменьшится интенсивность рентгеновских лучей с длиной

волны λ =20 пм при прохождении слоя железа толщиной d = 0,15 мм? Массовый

коэффициент поглощения железа для этой длины волны 1,1μм м2/кг.

814. Определить плотность ядерного вещества, выражаемую числом нукло-

нов в 1 см3, если в ядре с массовым числом А все нуклоны плотно упакованы в

пределах его радиуса.

153

815. Определить энергию связи ядра атома гелия 42 He. Масса нейтрального

атома гелия равна 6,6467 2710 кг.

816. Считая постоянную λ радиоактивного распада известной и используя

закон радиоактивного распада, вывести выражение для: 1) периода полураспада

T1/2 радиоактивного ядра; 2) среднего времени жизни радиоактивного ядра.

817. Определить, во сколько раз начальное количество ядер радиоактивного

изотопа уменьшится за три года, если за один год оно уменьшилось в 4 раза.

818. Определить, какая часть начального количества ядер радиоактивного

изотопа распадется за время t, равное двум периодам полураспада Т1/2.

819. Период полураспада радиоактивного изотопа актиния Ac22589 составляет 10 сут.

Определить время, за которое распадется 1/3 начального количества ядер актиния.

820. Постоянная радиоактивного распада изотопа 21082 РЬ равна 10 9 с-1. Оп-

ределить время, в течение которого распадется 2/5 начального количества ядер

этого радиоактивного изотопа.

821. Активность некоторого радиоактивного изотопа в начальный момент

времени составляла 100 Бк. Определить активность этого изотопа по истечении

промежутка времени, равного половине периода полураспада.

822. Начальная активность 1 г изотопа радия 22688 Ra равна 1 Ки. Определить

период полураспада Т1/2 этого изотопа.

823. Определить период полураспада Т1/2 некоторого радиоактивного изото-

па, если его активность за 5 сут. уменьшилась в 2,2 раза.

824. Определить, сколько β и α частиц выбрасывается при превращении

ядра таллия Ti21081 в ядро свинца 206

82 РЬ.

825. Радиоактивный изотоп радия 22588 Ra претерпевает четыре распада и

два распада. Определить для конечного ядра: 1) зарядовое число Z; 2) мас-

совое число A.

826. Определить энергию, выделяющуюся в результате реакции

00

01

2311

2312 NaMg e . Массы нейтральных атомов магния и натрия соответст-

венно равны 3,818410-26 и 3,8177 2610 кг.

154

827. Определить, является ли реакция nBeHLi 10

74

11

73 экзотермической

или эндотермической. Определить энергию ядерной реакции.

828. Определить, поглощается или выделяется энергия при ядерной реакции

nHeHH 10

42

31

21 Определить эту энергию.

829. Определить, выделяется или поглощается энергия при ядерной реакции

и HeKHCa 42

4119

11

4420 . Массы ядер, участвующих в реакции:

26Ca

102992,74420

m кг,

27H

106736,111

m кг,

27K

108021,64119

m кг,

27He

106467,642

m кг.

830. Определить, выделяется или поглощается энергия при ядерной реак-

ции OHHeN 178

11

42

147 . Массы ядер, участвующих в реакции:

26N

103253,2147

m кг,

27He

106467,642

m кг,

27H

106737,111

m кг,

26O

108229,2178

m кг.

831. Записать недостающие обозначения х в следующих ядерных реакциях:

1) xn ),(B105 ;

2) ;),(Ar4018 xn

3) ;Ar),( 3718npx

4) H),(He 31

32 px ;

5) H),( 31nx .

832. В ядерной реакции n10

32

21

21 HeHH выделяется энергия E = 3,27 МэВ.

Определить массу атома He32 , если масса атома H2

1 равна 271034461,3 кг.

155

833. Дополнить недостающие обозначения x в следующих ядерных реакциях:

1) ;4LaU 10

14557

10

235 nxnx

2) ;TeZrU 10

1359910

235 nxn xxx

3) ;3XeTh 10

14010

232 nxn xx

4) ;3NdSePu 10

157[

8010 nn x

хx

834. Какую массу М воды можно нагреть от 0 °С до кипения, если использо-

вать все тепло, выделяющееся при реакции 73 Li ( ,p ), при полном разложении

массы m = 1 г лития?

835. Реакция 105 B ( ,n ) идет при бомбардировке бора нейтронами, скорость

которых очень мала (тепловые нейтроны). Какая энергия Q выделяется при

этой реакции? Пренебрегая скоростями нейтронов, найти скорость V и кинети-

ческую энергию W -частицы. Ядра бора считать неподвижными.

156

Приложение

Математические формулы

;βsinαsinβcosαcos)βαcos(

;βsinαcosβcosαsin)βαsin(

αcosαsin2α2sin ;αsinαcosα2cos 22

)α2cos1(2

1αsin 2 );α2cos1(

2

1αcos2

1)( xn nxxdx

d;

2

11

xxdx

d

; ;

11

nn x

n

xdx

d

xx eedx

d)( ;

xx

dx

d 1)(ln ; ;cos)(sin xx

dx

d

xxdx

dsin)(cos ;

xxt

dx

d2cos

1)g( ; ;)1(

1

1

nn

xdxx

nn

xx

dxln ;

xx

dx 12

; ;cossin xxdx

xxdx sincos ; xx edxe ; ;!0

ndxex xn

01

!n

axn

a

ndxex ;

0 2

12

adxxe ax ; ;

2

1

0

23 2

adxex ax

0

2

6

π

1xe

xdx;

0

23

15

π

1xe

dxx; . VduuVudV

Внесистемные величины

1 сут. = 86400 с

1 год = 365,25 сут. = 3,16·107 с

1º = 1,75·10-2 рад

1 = 4,85·10-6 рад

1 = 2,91·10-4 рад

1 мм рт. ст. = 133,3 Па

1 эВ = 1,6·10-19 Дж

157

Астрономические величины

Радиус Земли 6,37·106 м

Масса Земли 5,98·1024 кг

Радиус Солнца 6,95·108 м

Масса Солнца 1,98·1030 кг

Радиус Луны 1,74·106 м

Масса Луны 7,33·1022 кг

Расстояние от центра Земли до центра Солнца 1,49·1011 м

Расстояние от центра Земли до центра Луны 3,84·108 м

Основные физические постоянные

Скорость света в вакууме с = 3,00·108 м/с

Нормальное ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2

Гравитационная постоянная γ = 6,67·10-11 м3/(кг·с2)

Постоянная Авогадро NA = 6,02·1023 моль-1

Молярная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(К·моль)

Постоянная Больцмана k = 1,38·10-23 Дж/К

Элементарный заряд e = 1,60·10-19 Кл

Масса покоя электрона me = 9,11·10-31 кг

Масса покоя протона mp = 1,672·10-27 кг

Масса покоя нейтрона mn = 1,675·10-27 кг

Удельный заряд электрона e/ me = 1,67·1011 Кл/кг

Постоянная Стефана – Больтцмана = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4)

Постоянная Вина b = 2,90·10-3 м·К

Постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с

Постоянная Ридберга R = 3,29·1015 с-1

R’ = 1,10·107 м-1

Первый боровский радиус a0 = 5,28·10-11 м

Комптоновская длина волны электрона с = 2,43·10-12 м

Магнетон Бора в = 9,27·10-24 Дж/Т

Электрическая постоянная 0 = 8,85·10-12 Ф/м

Магнитная постоянная 1/(40) = 9·109 м/Ф

0 = 4·10-7 Гн/м

Атомная единица массы 1 а.е.м. = 1,6606·10-27 кг

Масса изотопа 11 H mH = 1,6736·10-27 кг

158

Плотность веществ, кг/м3

Твердые тела Жидкости

Алюминий............................2,70·103 Вода (при 4 С)..................................1,00·103

Барий....................................3,50·103 Глицерин............................................1,26·103

Ванадий................................6,02·103 Ртуть....................................................13,6·103

Висмут..................................9,80·103 Сероуглерод.........................................1,26·103

Железо..................................7,88·103 Спирт....................................................0,80·103

Литий....................................0,53·103 Масло касторовое...............................0,96·103

Медь......................................8,93·103 Масло машинное................................0,90·103

Никель..................................8,90·103 Газы

Свинец..................................11,3·103 Водород.....................................................0,09

Серебро................................10,5·103 Воздух.......................................................1,29

Цезий....................................1,90·103 Гелий.........................................................0,18

Цинк.....................................7,15·103 Кислород...................................................1,43

Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей, мН / м

Вода............................................................72

Ртуть.........................................................500

Мыльная вода............................................40

Спирт..........................................................22

Эффективный диаметр молекулы газа, м

Азот...................................................3,0·10 10

Гелий.................................................1,9·10 10

Водород.............................................2,3·10 10

Кислород...........................................2,7·10 10

Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ

Вода............................................................81

Парафин.....................................................2,0

Масло (трансформаторное).....................2,2

Стекло, слюда...........................................7,0

159

Удельное сопротивление металлов, Ом*м

Железо..................................................9,8·10-8

Медь.....................................................1,7·10-8

Нихром.................................................1,1·10-6

Серебро................................................1,6·10-8

Показатель преломления

Алмаз........................................................2,42

Глицерин..................................................1,47

Вода..........................................................1,33

Стекло......................................................1,50

Динамическая вязкость жидкостей при 20 С (мПа·с)

ВОДА..........................................................1,00

Глицерин..................................................1480

Масло касторовое......................................987

Масло машинное.......................................100

Ртуть...........................................................1,58

Массы атомов легких изотопов, а.е.м.

Нейтрон.............. n10 ...............1,00867 Бор.................... B10

5 ........................10,01294

Водород.............. H11 ...............1,00783 B11

5 ........................11,00930

H21 ...............2,01410 Углерод............ C12

6 ........................12,00000

H31 ...............3,01605 C13

6 ........................13,00335

Гелий.................. He32 ..............3,01603 C14

6 ........................14,00324

He42 .............4,00260 Азот.................. N14

7 .......................14,00307

Литий.................. Li63 ...............6,01513

Li73 ..............7,01600

160

Периоды полураспада радиоактивных изотопов

Актиний................ Ac22589 ..................10 сут. Йод..................... J131

53 ...............................8 сут.

Кобальт................ Co6027 .................5,3 года Стронций............ Sr90

38 ............................27 лет

Магний................. Mg2712 ..................10 мин Фосфор.............. P32

15 ...........................14,3 сут.

Радий................... Ra22686 ..............1620 лет Церий................. Ce144

58 .........................285 сут.

Радон................... Rn22286 .................3,8 сут.

Относительные атомные массы (округленные значения) А

и порядковые номера Z некоторых элементов

Элемент Символ А Z Элемент Символ А Z

Азот N 14 7 Марганец Mn 55 25

Алюминий Al 27 13 Медь Cu 64 29

Аргон Ar 40 18 Молибден Mo 96 42

Барий Ba 137 56 Натрий Na 23 11

Ванадий V 60 23 Неон Ne 20 10

Водород H 1 1 Никель Ni 59 28

Вольфрам W 184 74 Олово Sn 119 50

Гелий He 4 2 Платина Pt 195 78

Железо Fe 56 26 Ртуть Hg 201 80

Золото Au 197 79 Сера S 32 16

Калий K 39 19 Серебро Ag 108 47

Кальций Ca 40 20 Уран U 238 92

Кислород O 16 8 Углерод C 12 6

Магний Mg 24 12 Хлор Cl 350 17

Энергия ионизации

Вещество Ei, Дж E1, эВ

Водород 2,18·10-18 13,6

Гелий 3,94·10-18 24,6

Литий 1,21·10-17 75,6

Ртуть 1,66·10-18 10,4

161

Подвижность ионов, м2/(В·с)

Газ Положительные ионы Отрицательные ионы

Азот 1,27·10-4 1,81·10-4

Водород 5,4·10-4 7,4·10-4

Воздух 1,4·10-4 1,9·10-4

Работа выхода электронов

Металл А, Дж А, эВ

Калий 3,5·10-19 2,2

Литий 3,7·10-19 2,3

Платина 10·10-19 6,4

Рубидий 3,4·10-19 2,1

Серебро 7,5·10-19 4,7

Цезий 3,2·10-19 2,0

Цинк 6,4·10-19 4,0

Масса и энергия покоя некоторых частиц

m0 E0

Частица кг а.е.м. Дж Мэв

Электрон 9,11·10-31 0,00055 8,16·10-14 0,511

Протон 1,672·10-27 1,00728 1,50·10-10 938

Нейтрон 1,675·10-27 1,00867 1,51·10-10 939

Дейтрон 3,35·10-27 2,01355 3,00·10-10 1876

-частица 6,64·10-27 4,00149 5,96·10-10 3733

Нейтральный

-мезон 2,41·10-28 0,14498 2,16·10-11 135

162

Множители и приставки для образования

десятичных кратных и дольных единиц

Приставка Множитель Приставка Множитель

Наименование Обозначение Наименование Обозначение

Экса Э 1018 деци д 10-1

пэта П 1015 санти с 10-2

тера Т 1012 милли м 10-3

гига Г 109 микро мк 10-6

мега М 106 нано н 10-9

кило к 103 пико п 10-12

гекто г 102 фемто ф 10-15

дека да 101 атто а 10-18

Греческий алфавит

Обозначение букв Название букв Обозначение букв Название букв

, альфа , ню

, бета , кси

, гамма , омикрон

, дэльта , пи

, эпсилон , ро

, дзета , сигма

, эта , тау

, тэта , ипсилон

J, иота , фи

, æ каппа , хи

, ламбда , пси

, мю , омега

163

ПУГАЧЕВ

Юрий Федорович

ФИЗИКА

Методические указания

по решению задач и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

Редактор Никитина Т.В.

Компьютерная верстка Романова Ю.Ю.

Подписано в печать 2007. Формат 60 90 / 16 Бумага газетная

Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,25. Уч.-изд.л. 9,3.

Тираж Заказ

РИО и УОП УВАУ ГА. 432071, Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

164