超强磁场下电子气体性质和

磁星的 X- 射线光度

彭秋和( 南京大学天文

系 )

问题1) 大多数中子星观测到的 1011-1013高斯的强磁场 的物理原因 ? 2) 磁星 (1014-1015 gauss) 的物理本质 ? 3) 磁星高 X- 射线光度 ?

34 36 3(10 10 ) /xL erg cm

4) 磁星的活动性 :x- 射线耀斑 (Flare );

x- 射线短爆发 (Burst)?

( 短时标 )sergsLx /1010~ 4342

我们已有的工作背景我们计算发现 :中子星观测到的 1011-1013高斯的强磁场实质上来源于中子星内超相对论强简并电子气体 的 Pauli 顺磁磁矩产生的诱导磁场。

20( ) ~ 0.927 10 /B e erg gauss

gaussergn /10966.0~ 23中子反常磁矩

电子磁矩Qiu-he Peng and Hao Tong, 2007, “The Physics of Strong magnetic fields in neutron stars”, Mon. Not. R. Astron. Soc. 378, 159-162(2007)

我们计算发现 :磁星超强磁场来自在原有本底 (包括电子 Pauli 顺磁磁化 )磁场下，各向异性中子超流体 3P2 中子 Cooper 对的顺磁磁化现象。Proceedings of Science (Nucleus in Cosmos, X, 2008, 189)

问题 : 1) 磁星的高 x-射线光度 --- 本文探讨的问题 2) 某些磁星的 x-射线耀斑

Landau quantization 2 2 4 2 2 2 2

zE m c p c p c

2( ) (2 1 )e

pn b

m c

n=0n=1n=4

n=3 n=2n=5

n=6

pz

p

/ crb B B

Landau 柱面The overwhelming majority of neutrons congregates in the lowest levels n=0 or n=1, when

( 1)crB B b

The Landau column is a very long cylinder along the magnetic filed, but it is very narrow. The radius of its cross section is p .

More the magnetic filed is, more long and more narrow the Landau column is .

p

pz

超强磁场下 EF （ e ）将明显增高。What is the relation of EF(e) with B ? 根据 Pauli 原理，在完全简并状态下 ,单位体积内所有可能的微观状态数密度等于物质中电子数密度。由此估算 EF （ e ）同 B 的关系

主要思路

在磁场下的 Landau 理论（非相对论）求解在磁场下非相对论 Schrödinger 方程的结论 : Landau & Lifshit

z , < Quantum Mechanism> §112 (pp. 458-460 ) ：1 ）在均匀磁场下自由电子的能量为 (Landau 能级 ) ：

2( 1/ 2 ) / 2B z eE n p m

2 ）沿磁场方向动量在 pz- pz+dpz 间隔 内电子 气体可能的微观状态 数目为(推导过程中利用了非相对论回旋运动方程的解 )

24zdpeB

c

/B ee B m c

磁场下电子的非相对论回旋频率 (Larmor 频率 ) ωB :

垂直于磁场方向电子的能量为量子化的 (n为量子数 ,σ为电子自旋 )

2B eB ( )

在相对论情形下，上述两个结论都需修改

在强磁场下 Landau 能级能量的相对论表达式

2 22 2

2

2( ) ( , , , ) 1 ( ) (2 1 )

1 ( ) (2 1 )

ezz

e e e

z

e

BpEp B n n

m c m c m c

pn b

m c

n: quantum number of the Landau energy level n=0, 1,2,3……( 当 n = 0 时 , 只有 σ = -1)

20e ~ 0.927 10 / serg gaus

2

21e cr

e

B

m c

/ crb B B

( 电子 Bohr 磁矩 )

强磁场下 Landau 能级是量子化的。

中子星和白矮星内电子高度简并状态情形：电子气体的 Fermi 能远远超过电子的静止能量 : EF >>mec2 , 通过求解磁场下相对论的 Dirac 方程，在相对论情形下（包括超强磁场）的 Landau 能级为 :

2134,414 10

2e

cre

m cB gauss

遇到的困难

在磁星超强磁场情形

2 2 3( ) 1 when )B

crcre e

eB BB B

Bm c m c

（

Landau 能级 的非相对论理论中关于电子气体的微观状态数目的推论 (Landau –Lifshitz 教科书上 (p.460) 的第二个结论 ) 需要修正。

原书中关于电子气体的微观状态数目的推导过程中利用了非相对论电子回旋运动 (回旋频率为 (h/2π)ωB 的解。

统计权重（关于微观状态数目）问题在非相对论的 Landau 理论中，沿磁场方向动量在 pz pz+dpz 间隔内、单位体积内电子气体可能的微观状态数目为 :

2( )

4z

phase z z

dpeBN p dp

c

如果把它用于计算中子星内几乎完全简并电子气体的可能的微观状态数目 , 就会导出同前述物理图像完全矛盾的错误结论。理由如下 :我们按照统计物理的常规方法计算中子星内单位体积内电子气体可能的微观状态数目为

2 20

( )4

Fp

Fphase phase z z

EeBN N p dp

c

Landau –Lifshitz < Quantum Mechanism> §112 (p.460)

错误推论及其原因

按照 Pauli 不相容原理 , 在完全简并的电子气体内 ,单位体积内电子可能的微观状态数目就等于电子的数密度

2 2

( )

4F

phase e A e

E eeBN n N Y

c

其中 Ye 为电子丰度 ((5-8)%),ρ 为物质质量密度。 1( )FE e B

这个结论同前述 “磁场愈强、 Landau 柱面愈狭长。在确定的电子数密度条件下 , Fermi 能量 ( 沿磁场方向的动能 )愈高”合理分析图象完全相反。

原因 : 当磁场强度 crB B 时2

B em c

利用非相对论电子回旋运动的解获得的 Landau 推论不再适用 , 需要重新讨论。

教科书中方法在某些统计物理教科书中 ,采用如下方法来计算统计权重 : 在沿磁场方向动量在 pz pz+dpz 间隔内、单位体积内电子气体可能的微观状态数目为

2 12 2 2

41 1 n Bx y n

m Bdp dp p

h h h

n

n+1

这个结果同非相对论情形 Landau 的结论完全一样。我们前面己经指出，它将导致在超强磁场下的错误推论 :

1( )FE e B

如果我们认真地推敲就会发现 : 上述方法实质上是把动量空间中位于能级 n n+1 之间的 Landau园环面全都归属于能于能级 n+1 。这相应于垂直于磁场方向的动量 (或能量 )连续变化。在超强磁场下，这同 Landau 能级量子化的观念是不一致的。因此，我们认为，这种方法不适用于超强磁场 (即相对论情形 )。需要另尋方法

我们的处理方法

3

1phase x y zN dxdydzdp dp dp

h

max

max

/ ( , , 1)3

00

( , , 1)

1

2 ( ) ( ){ ( ) ( 2 )( ) ( )

( ) ( 2( 1) )( ) ( )}

F e z

z

p m c n p be z

phasene e e e

n p b

n e e e

m c p p p pN d g n nb d

h m c m c m c m c

p p pg n n b d

m c m c m c

单位体积内在强磁场下总的能级占有状态数目为( 我们引入 Dirac 的 δ -函数 ):

按照统计物理方法，在 6维相空间中的微观状态数目为

其中， g(n) 为能级 n 的统计权重。

统计权重我们不清楚 g(n) 随 能级量子数 n的具体表达式。作为初步探讨 ,我们采用一种唯象模型 ,假定

0n 1g(n)=g （ ）

我们这种猜测的理由如下：类似于原子中电子能级或原子核能级，（如果不考虑 Pauli 原理的限制 ) 能级愈高、该激发能级上粒子的本均寿命就愈短、相应的能级宽度就愈宽 , 在该激发能级附近的微观状态数目就愈多 (或能级密度愈大 )。当电子气体过渡到处于强简并状态下时，我们假定这种性质不会改变。以后我们将通过己知的信息和观测统计结果来估算系数 g1 和指数 α

总的能级占有状态数目

max max

31

/ ( , , 1) ( , , 1)

0 10

2 ( )

( ){ 2 2( 1) }F e z z

ephase

p m c n p b n p bz

n ne

m cN g

h

pd n nb n n bm c

2 2max 2

1( , , 1) { [( ) 1 ( ) ]}

2F z

ze e

E pn p b Int

b m c m c

2 2max 2

1( , , 1) { [( ) 1 ( ) ] 1}

2F z

ze e

E pn p b Int

b m c m c

max max max

2 2max 2

( , , 1) ( , , 1) ( , )

1( , ) [( ) 1 ( ) ]

2

z z z

F zz

e e

n p b n p b n p b

E pn p b

b m c m c

超强磁场下单位体积内电子的能级状态总数量/7 / 2

1/ 2 3 3/ 2 2 2 3/ 21 2

0

2 1( ) ( ) [( ) 1 ( ) ] ( )

2 3 2

F ep m c

e F z zphase

e e e

m c E p pN b g d

h b m c m c m c

（ ） （ + ）

3 2 411 2

2( )( ) ( )

2 3e F

phasee

m c EN g I

b h m c

2（1 ）（ ）

（ ）

其中 I(α) 为一个具体数值。1

2 ( 3/ 2)

0

( ) (1 )I t dt

在超强磁场下 ,电子气体的能级态密度为

3 2 2 3/ 2e 11 2 2 2

2 1( ) [( ) ( ) ]

2 3e F

e e e

m c E Eg

b h m c m c m c

2（1 ）（ ）

（ ）

磁场愈强、电子气体的能级态密度愈下降。单位体积内电子的能级状态总数量为

Principle of Pauli’s incompatibility

Pauli 不相容原理 :

The total number states ( per unite volume) occupied by the electrons in the complete degenerate electron gas should be equal to the number density of the electrons.

phase A eN N Y

电子的 Fermi 能同磁场的关系3 2 4

11 2

2( )( ) ( )

2 3e F

phase e A ee

m c EN g I N N Y

b h m c

2（1 ）（ ）

（ ）

1 1

2( 2) 2( 2)2

[ ]0.05

eF

e nuc

YEC b

m c

（b>1)）

1 335 102( 2) 2( 2)

1

(2 3)2[6.7 10 ] (2.44 10 )

( )C

g I

1

2( 2) 0FE b （ ）

几种简单模型我们讨论三种简单模型 :1)α= 0 ; 2)α= 0.5 ; 3) α= 1.0

1/ 4 1/ 42

( )[ ]0.05

eF

e nuc

YE eC b

m c

（b>1)）

1/ 4176.69C g

在中子星内部，在磁场不太强时 , 通常采取 : ( ) 60FE e MeV

41

0.511( 76.69) 0.18

60g

1/ 4( ) 60( ) ( )F crcr

BE e MeV B B

B

1)α= 0

电子的 Fermi 能同磁场的关系 (α=0)1/ 4( ) 60( ) ( )F cr

cr

BE e MeV B B

B

B (1014 Gauss) b EF (MeV)

1.0 2.415 74.80

3.0 7.246 98.44

5.0 12.077 111.85

10.0 24.155 133.02

15.0 36.232 147.21

20.0 48.309 158.18

2)模型 : α= 0.5

1/5 0.32

[ ]0.05

eF

e e

YEC b

m c

0.2140.06C g

在中子星内部，在磁场不太强时 , 通常采取 : ( ) 60FE e MeV3

1 4.62 10g

0.31/560[ ]0.05

eF

e

YE b MeV

电子的 Fermi 能同磁场的关系 (α=0.5)

0.3( ) 60( ) ( )F crcr

BE e MeV B B

B

B (1014 Gauss) b EF (MeV)

1.0 2.415 78.16

3.0 7.246 108.69

5.0 12.077 126.69

10.0 24.155 155.97

15.0 36.232 176.15

20.0 48.309 192.03

2)模型 : α= 1.0.

1/ 6 1/32

[ ]0.05

eF

e e

YEC b

m c

1/ 6124.15C g

在中子星内部，在磁场不太强时 , 通常采取 : ( ) 60FE e MeV5

1 7.57 10g

1/31/560[ ]0.05

eF

e

YE b MeV

电子的 Fermi 能同磁场的关系 (α=1.0)

1/3( ) 60( ) ( )F crcr

BE e MeV B B

B

B (1014 Gauss) b EF (MeV)

1.0 2.415 80.50

3.0 7.246 116.10

5.0 12.077 137.66

10.0 24.155 173.44

15.0 36.232 198.54

20.0 48.309 218.52

释放的总热能

3P2 Cooper 对崩溃瓦解后 , 平均每个出射中子的能量为

2 32

1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

3 F F n pn E e E p m m c P

它们转变为热能。当所有 3P2 Cooper 对都被上述过程拆散时，总共释放的热能总量为

33 50 2

2

( )( ) ( ) 3.35 10

0.1ASun

m PE qN m P n ergs

m

磁星的活动性持续时间

AXPs 的 x – 光度 34 3610 10 / secxL ergs

可维持 ~ 107 -108 yr

33 50 2

2

( )( ) ( ) 3.35 10

0.1ASun

m PE qN m P n ergs

m

Phase Oscillation

Afterwards,

en p e Revive to the previous state just before formation of the 3P2 neutron superfluid. Phase Oscillation .

Questions?

1. Detail process:

The rate of the process ee p n Time scale ??

2. What is the real maximum magnetic field of the magnetars?

3. How long is the period of oscillation above?

4. How to compare with observational data

5. Estimating the appearance frequency of AXP and SGR ?

V正在进行的深入研究

1.关于磁星 (13颗 ) 的有关统计关系 (仝号 :2010 年 )2.超强磁场下质子的电子俘获率与磁星高 X-光度的理论计算 （高志福： 2010年）

3. 磁星 Flare与 Burst 的活动性

1)彭秋和 (2010):中子星内 3P2中子超流涡旋的磁偶极辐射的加热机制与 3P2中子超流体 A相 -B 相震荡触发脉冲星的 Glitch

2)内部超流体带动中子星壳层物质突然加快引起物质较差自转、导致磁力线扭曲和磁重联将磁能释放转化为突然能量释放引起磁星 Flare与 Burst 的活动性 (正在构思的探讨中 )

中子星 (脉冲星 )的主要疑难问题1) 高速中子星的物理原因 ?(2003)2) 中子星强磁场 (1011-13 gauss) 的起源 ?(2006)3) 磁星 (1014-15 gauss) 及其活动性的物理本质 ?(2009-2010)4)年轻脉冲星周期突变 (Glitch) 现象的物理本质 ?(2010)5)缺脉冲 (Null-pulse) 和 Some times pulsars 现象6)低质量 X-双星 (LMXB) 内的中子星磁场很低 ; 高质量 X-双星 (HMXB) 内的中子星磁场很强。为什么 ?7)毫秒脉冲星重要特性 : 低磁场 , 无 Glitch, 空间速度不高 , 物理原因 ?

我们的目标 : 统一解释的脉冲星的主要观测现象

8) 脉冲星射电 (X-ray, -ray)辐射机制 ? 辐射产生区域 ?9) 是否存在 (裸 )奇异 (夸克 ) 星 ?

谢谢大家