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第九章重积分

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高等数学（ XAUAT）

典型例题

重点难点重点难点

内容提要

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练习题解答练习题解答

习题课结构

练习题

练习题


一、本章的重点、难点、此次习题课达到的目的

重点：二重积分、三重积分的计算。

难点：二从重积分、三重积分计算中坐标系的选择，积分次序的选择与定限

习题课达到的目的：熟练掌握二重积分的计算（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。


1 2

01 2 1 2

, , , ,

2

, , ,

D D D

D D D

kf x y l g x y d k f x y d l g x y d

D D D D D

f x y d f x y d f x y d

0 1

若，且与处公共边界外，再无公共区

（2）.

域

二重积分的性质

则 D2D

1D

1. 二重积分

, 0

,

,D

f x y

f x y d D

z f x y

当时，

的几何

（1）.二重积分

意义是以积分

的几何意义：

区域为底，以

为顶的曲柱

体的体积

二、内容提要


0 ,

, ,

6

,D

f x y D D

f x y d f

D

设函数在闭区域上连续，是的面积，则在

内至少存在一点，使：

03 1 .D D

d d D 为积分域的面积

0

,

4 , ,

, ,

,D

D

D

D

D f x y g x y

f x y d g x y d

f x y d f x y d

若在上则有:

特别有：

05 ,

,

,

D

M m f x y D

m f yD x d M 设分别是在闭区域上的最大值和最小值，

是的面积，则有：


2

1

1 2

( )

( )

, , ,

, ,b x

a xD

b f x y D x y a x b x y x

f x y d dx f x y dy

设在X-型区域

上可积,则:

1 .o利用直角坐标计算二重积分3 .（）二重积分的计算

2

1

1 2, , ,

, ,d y

c yD

c f x y D x y c y d y x y

f x y d dy f x y dx

设在y-型区域

上可积,则:

, , ,

, , ,b d d b

a c c aD

a f x y D x y a x b c y d

f x y d dx f x y dy dy f x y dx

设在矩形区域

上可积,则:


D o

1

o

2

02 利用极坐标计算2 2x y当被积函数含有( )或积分域为园域、部分园域时考虑

用极坐标计算

2

0 0, cos , sin

D

f x y d d f d

2

1

, cos , sinD

f x y d d f d

(4). 二重积分的应用:01曲面面积的计算

: , , , ,xy xyS z f x y x y D D S xoy 设，曲面为曲面在面上的投影区域

（a）区域D包围极点,

1 2:{ , , }D (b) 区域D不包围极点,


02 .物理上的几种应用

, ,x y D x ya 设为平面薄片在点的面密度，则有

,D

M x y dxoy平面薄片质量平面薄片的重心

22

,

1Dxy

xy

z zA d

z zD

x

x yx y

y

d

在上连续。则曲面S的面积

2 2 2 2

, ,

1 1Dyz Dxz

x x y z y y x z

x x y yA dydz A dxdz

y z x z

类似：曲面、的面积分别为

和


薄片对轴上单位质点的引力z

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx ，假定 ),( yx 在D上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点

),0,0(0 aM 处的单位质点的引力． )0( a

},,,{ zyx FFFF

,)(

),(23

222d

ayx

xyxfFD

x ,

)(

),(23

222d

ayx

yyxfFD

y

.)(

),(23

222d

ayx

yxafF

D

z 为引力常数f

(b) 引力

( , )

( , )D

D

y x y d

yx y d

( , )

( , )D

D

x x y d

xx y d


2

2 3

1,2,, 3 ,k k k

D

x y I I

d kI d x yx y

y

d x 1

(c) 转动惯量平面薄片关于轴、轴、坐标圆点的转动轴惯量分别为I ，，

其中分别为点到轴，

轴及坐标原点的距离

1 2

1 2

, , , , , ,

, ,

f x y z z z x y z z x y

z x y z x y z

o 1利用直角坐标计算

设在上连续由

及母线平行于轴的柱面围成.

2. 三重积分

三重积分具有与二重积分类似的性质

1）.三重积（分的性质

2）.三重积（分的计算


1

1 2

,

, ,

,xy

yz

z

D

x

x y z x x y z D

yoz

f x y z dv dydz

2

（x, y）

z（x, y）

（“先一后二” 法)

类似地，若积分区域边界面与任何穿过内部，且

f (x, y, z

平行于轴

的直线至多交于两点，即有为在

面

)

上的投影域

xyD xoy为在面上的投影区域，则

2

1

,

,

, , , ,yz

x y z

D x x y

f x y z dv dydz f x y z dz

则

注：根据积分域的情况还可“ 先二后一” 进行计算


2

2

cos sin 0

sin sin 0 sin

cos 0 2

, , ( cos sin , sin sin , cos ) sinr

x

y d d d d

z

f x y z dv f r r r d d d

体积微元

2

1

,

,

cos 0

sin 0 2

, , cos , sin ,z

D z

x

y dv d d dz

z z z

f x y z dv d d f z dz

体积微元

则

2o用柱面坐标计算，柱面坐标与直角坐标的关系为

3 ,o用球面坐标计算球面坐标与直角坐标的关系为


（ 10 ）、三重积分的应用

.

dvM 其中

1,x x dv

M

设物体占有空间闭区域，在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx ，假定 ),,( zyx 在上连续，

(a) 物体的重心1

,y y dvM

1

.z z dvM

(b) 转动惯量设该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯分别为

2 x,y,k kdd dv

k则分别为点（ z)

到坐标面、坐标轴、坐标原点的距离， k=

I

1, 2, 3。

1 2 3I I I、、


6

6 6

cos

cos 120 0 0

cos

xxy

xxx

dx

dx dy xdx

解: 积不出来,考虑交换积分次序后计算

原式

2 2

2

0 0

2 4 20

6 3

32 3 6

4

d d

z2 22z x y

2 2 2x y

y

x

o

2 26 2z x y

. 三典型例题 cos x

x dx

6 6

0 y 1.计算二重积分 dy

2 2 2 26 2 2xyD

x y x y d 解：V

2 2 2 22 6 2z x y z x y 2. 求由二次曲面所围成立体的体积V


24

0

tan

64

D

ya c dxdy

x

d

2

1

解：

d

y x

2

2

1

1

o

y

x2

2 2 2 21 4 0

tanD

D x y x y y y x

ya c dxdy

x

3. 设是圆和圆及直线和围成的

第一象限的区域。计算积分


2

1 1 1

2 2 2

a a a a a

o o o o o

dy f x f y dx f x f y dy f u du

x

y

a

o

y x

a

2

1

2

a x a

o o o

dx f x f y dy f u du

4. 证明：等式

,a a a ax y

o y o x

dy f x f y dx dx f y f x dy 互换

而

a x a a

o o o y

dx f x f y dy dy f x f y dx 交换积分次序

证：

1

2

a x a x a a

o o o o o x

dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy


2

1 212

2 3o

zd

:ZD

z

x

yo

1

2 2 , 1zdv z x y z

5. 计算积分其中是由曲面所围成的，

并将此积分化为球面坐标系下的累次积分。

1 1

0 3zo D

dz zdxdy z zdz 原式

解一：利用柱面坐标计算

2

2 1 1

o o

d d z dz

原式

解二：利用“ 先二后一” 法计算

4

2

4

sec22

0 0 0

tan csc22

0 0

= d cos sin

cos sinc

d r r dr

d d r r dr

原式

2 2x y z


解：z

2 2z x y

x

yo

z 2 22z x y

2 22

2 2

21 12

x yx

o o x y

dx dy z dz

6. 将积分化为柱面坐标和球面坐标

下的累次积分，并计算该积分的值。

22122

o o

d d z dz

原式柱

22 42 2 2cos sin

o o o

d d d

球

242 4

42

cos sin2

2 2 5cos cos 2 2 1

2 5 12

o o

o

d d

d


2 21 1

0 0

1 15 21 1 1

2 2 6 3

x x

D o o

o o

k xy k dxdy dx xydy k dx dy

kx dx k x dx

2

, , ,

, , 1 ,

D

f x y f x y xy f u v dudv

D y o y x x f x y

7. 设函数连续，且

其中是由所围区域，求。

, , ,

D

f x y dxdy k f x y xy k 解：设则

1 1,

8 8k f x y xy


x

y y x

y x

1

1 2

2

3 4o

x

y

2x1

1

2

2

3

o

2

22 2

1 1

2 3( )

2

x xyyy yy

y

dy e dx ye dy

e e

(2) 由所给累次积分知己积分区域如图

原式

若按原序累次积分不能作出

2 21 2 4

0 1

2 4 2

1 2

8.

, ,x x

o o

xx yy x

x x

dx f x y dy dx f x y dy

dx e dy dx e dy

改变下列累次积分的积分次序

（1）

（2）

4 41 3

0 1 1

( , ) ( , )y y

y

dy f x y dx dy f x y dx

解：1 由所给累次积分知己分区域如图

原式


: OBA

cos sinD D

y

x

xydxdy x ydxdy

解连接OB，则区域关于轴为对称区域CBO关于轴为对称。

原式

y

xO

C

ABD

( , ) 0

( , ) cos sin

cos sin 2 cos sin

D

D D

f x y xy x y xydxdy

f x y x y x y

x ydxdy x ydxdy A

因为函数对和对都是奇函数所以

关于是偶函数，关于是奇函数

故，应选

1 1

1

1

1 1

cos sin

2 cos sin ( )2

( )4 cos sin ( )0

D

D D

D

D xoy

D D xy x y dxdy

A x ydxdy B xydxdy

C xy x y dxdy D

9. 设是平面上以 1，1，（-1，1），，为顶点的三角形

区域是在第一象限的部分，则等于（）


2 2

1

2 3

1 1

1

3

nl xe

D o

e e

n n

I x t d dx x t dy

x t l xdx l xd x t

解：

x

1

1 2 eo

y

ny l x

3 3

1

1

3 2 2

1 1

3

2 1 1 1

9 2 2 9

ee

nx t l x x t dxx

e e t t t

,ny l x x x e

x t I t

I

10. 设有曲线轴及直线所围成的（密度为1）

匀质薄板，求此薄板对轴的转量惯量及当为何值时，最小？

0

2' 2

0

2''

1 1 12 0

2 2 4

12 0

4

t

t

eI e t t

eI t I

得

当时，最小


例 11

解

.10,11:.2 yxDdxyD

其中计算

1D2D

3D

先去掉绝对值符号，如图

dxydyx

dxy

DDD

D

321

)()( 22

2

12

1

10

21

1 2

2

)()(x

x

dyxydxdyyxdx .1511


一、选择题:

1、x

dyyxfdx1

0

1

0),( =( )

(A) 1

0

1

0),( dxyxfdy

x

； (B) x

dxyxfdy1

0

1

0),( ；

(C) 1

0

1

0),( dxyxfdy ； (D)

ydxyxfdy

1

0

1

0),( .

2、设D为 222 ayx ,当a( )时,

D

dxdyyxa 222.

(A) 1 ； (B) 32

3 ；

(C) 34

3； (D) 3

2

1 .

四 . 练习题


3、设 D

dxdyyxI )( 22 ,其中 D由 222 ayx 所

围成,则 I=( ).

(A) 4

0

22

0ardrad

a

;(B) 4

0

22

0 21ardrrd

a

;

(C) 3

0

22

0 32adrrd

a

;(D) 4

0

22

02 aadrad

a

.

4、设是由三个坐标面与平面 zyx 2 =1所围成的空间区域,则

xdxdydz=( ).

(A) 48

1 ； (B)

48

1 ；

(C) 24

1 ； (D)

24

1 .


5、设是锥面 ,0(2

2

2

2

2

2

ab

y

a

x

c

z)0,0 cb 与平面

czyx ,0,0 所围成的空间区域在第一卦限

的部分,则

dxdydzz

xy=( ).

(A) cba 22

361 ； (B) bba 22

361 ；

(C) acb 22

361 ； (D) abc

361

.

22 yxz xyx 222 s

( ) 3A 2

( ) 5C 22

6 、曲面包含在圆柱

内部的那部分面积 ( ).

； (B)

； (D)

.


7、由直线 2,2,2 yxyx 所围成的质量分布均匀 (设面密度为 )的平面薄板,关于x轴的转动惯量 xI =( ). (A) 3 ； (B) 5 ； (C) 4 ； (D) 6 .

二、计算下列二重积分: 1、

D

dyx )( 22 ,其中 D是闭区域:

.0,sin0 xxy 域: 222 Ryx 2、

D

dyx 222 ,其中D: 322 yx .

yy

dxyxfdydxyxfdy3

0

3

1

2

0

1

0),(),(

2111

0),(

x

xdyyxfdx

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的序 :

2 、

；1 、


2、 ,)( 22

dvzy 其中是由xoy平面上曲线

xy 22 绕 x轴旋转而成的曲面与平面 5x 所围成的闭区域 .

3、 ,1

)1ln(222

222

dv

zyx

zyxz其中是由球面

1222 zyx 所围成的闭区域 .

五、求平面 1c

z

b

y

a

x被三坐标面所割出的有限部分

的面积 . .

四、计算下列三重积分: 1、

,)cos( dxdydzzxy :抛物柱面 xy

2

,,

zxozoy及平面所围成的区域 .


一、 1、D； 2、C； 3、B； 4、A； 5、A； 6、B； 7、C.

二、1、9

402 ；2、 .25

三、1、 x

x dyyxfdx3

2

2

0),( ；

2、

22 2

0

2

10

1

0),(),(

yyydxyxfdydxyxfdy ；

四、1、21

16

2

； 2、

3250

； 3、0.

五 . 练习题答案

五、 222222

2

1accbba

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