北京市朝阳区第二实验小学 夏青峰 邮箱：xiaqingfeng5@vip.sina.com 博客：xiaqingfeng858.blog.163.com

新课标理念下若干小学数学教育问题的思考

一、关于方向：1. 手段与目的

不能把数学学习看成是学生生活的全部，不能因为数学的学习，而让孩子们形成了不良的心理状态，包括对自己、对他人、对社会。

2. 达标与竞技学生成绩的好坏，应该是与标准相比较，而非是学生横向之间的比较。

二、关于教师：1. 专业化的核心

与儿童心灵沟通的能力 对学科本质的理解

2. 以好奇心培养好奇心好胜心可以让人变得优秀，但只有好奇心才能让人走向卓越。

1. 是客观，还是主观？2. 是形式，还是实质？3. 是封闭，还是开放？4. 是模仿，还是创新？5. 是技能，还是思想？

三、关于数学：

1. 是客观，还是主观？含有未知数的式子叫方程。

圆的周长与直径成正比例的关系。 3.5 的小数部分是 5 。

4×0.5 是表示 4 的 0.5 倍是多少。

我们不能动摇数学的客观性，但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时，更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态，从客观走向主客观的结合……

怎样画角？

圆柱的表面积一定大于侧面积。

2. 是形式，还是实质？

草地上有 9 只白兔， 5 只黑兔，白兔比黑兔多几只？

9 － 5=4 （只）

如果我们关注数学的结构与算理多于关注孩子们的认知现实，如果我们总试图训练孩子们的“专家思维”，那么“老师不教我还会，老师越讲我越糊涂”的现象就会逐渐增多，所谓的“数学差生”也就普遍了。本来为孩子们发展服务的数学，竟然让孩子们越学越玄乎……摈弃那些人为的“烦琐分析”，让数学回归本真与简单吧。有价值的数学一定能够给孩子们带来信心与乐趣的。

3. 是封闭，还是开放？

48×53= 48 48

×53 ×53 ——— ——— 2024

24 12 12

40 40 ——— 20 2544

———

2544 面对数学，我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学，我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭，走向开放。

• 一个人正常心跳 100万次大约需要多长时间？ 100万小时相当于多少年？ 100万张纸有多少厚？

如果一个人的寿命是 76岁，这个人一生的心跳大约有多少次？光速大约每秒 30万千米，光从太阳到达地球大约需要多长时间？如果把 100万张纸叠加起来，会有珠穆朗玛峰那么高吗？

某学校为每个学生编号，设定末尾用 1 表示男生，用 2 表示女生； 9713321 表示“ 1997年入学的一年级三班的 32号同学，该同学是男生”。那么， 9532012 表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号是多少？是男生还是女生？ 某学校为学生编号，设定末尾用 1 表示男生，用 2 表示女生，例如， 200903321 表示“ 2009年入学的三班的 32号同学，该同学是男生”。那么， 201004302 表示什么？

李阿姨想买两袋米（每袋 35.4元）、 14.8元的牛肉、 6.7元的蔬菜和 12.8元的鱼。李阿姨带了 100元，够吗？

李阿姨去商店购物，带了 100元，她买了两袋面，每袋 30.4元，又买了一块牛肉，用了 19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条 25.2元，小一些的每条 15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？

4. 是模仿，还是创新？34 － 8=□

想： 4 减 8 不够减，要把 34 分成 20 和 14 。先算 14 减 8 ，得□；再把 20和□合起来，得□。

1.你觉得 34－ 10=24 ，能帮助你吗？2.你觉得 8 ＋ 6=14 ，能帮助你吗？3.你觉得从 8数到 34 ，能帮助你吗？

《三角形的面积》教学

A 教学：用两个三角形拼在一起，能拼成一个什么图形？拼成的图形与三角形的底、高和面积的联系是怎样的？怎样求三角形的面积？

B 教学：我们原来学过哪些求面积的方法，它对我们有帮助吗？我们原来学过哪些图形的面积，它对我们有帮助吗？今天我们还可以想出哪些方法求图形的面积呢？

数学的价值不在模仿而在创新，数学的本质不是技能而是思想。数学学习的过程不能只是一个遵照指令进行程序操作的过程，而是一个不断地运用自己的知识经验进行自我建构的过程。学生需要的，不是去复制别人的数学，而是去建构自己的数学。

《面积单位》教学 A 教学：师：通过刚才的学习，我们已经知道了 1 平方米、 1 平方分米和 1 平方厘米究竟是多大了。你们能解答以下问题吗？6 平方分米 = （ ）平方厘米 12平方米=1200 （ ）928平方分米 = （ ）平方米（ ）平方分米……

5. 是技能，还是思想？

《面积单位》教学 B 教学：师：咱们知道了 1 平方米、 1 平方分米和 1 平方厘米的大小。谁能很快地撕出 1 平方分米和 1 平方厘米大小的纸片。看谁撕得最接近。生：……师：你们能想象出 2 平方分米（平方厘米）、 3 平方分米（平方厘米）……的大小吗？试着把它画出来。不一定要画正方形的形状。生：……师：观察一些物体，想象一些物体，它们表面的面积大概是多大呢？在小组中交流一下。等会再在全班交流。……

真正有价值的数学，一定是进入学生内心的数学，而不是浮于一些文字之上。对数学概念的把握，理解它的定义是必要的，但体验它的实际意义与建构心理表象更是不可忽视。而反思我们的数学教学，一直在关注着什么呢？

《两位数乘法》练习 A 练习：计算下面各题： 43×65= 29×47= 63×75= 86×91= 29×44=

B 练习：1.用计算器算出 15×15=？2.根据这个结果，不计算，你能知道 14×15等于多少吗？

14×16呢？3.用计算器算出 25×25=？根据这个结果，不计算，你能

知道 24×26等于多少吗？4.不计算，你能知道下面的结果各是多少吗？ 35×35=？ 34×36=？ 45×45=？ 44×46=？ ……5.你发现了什么？ 你能表述它吗？ 你能证明它吗？

当我们津津乐道于我们良好的数学基础的时候，是否想过我们为此花费了多少宝贵的时间？是否想过这些究竟对人的生活有多大价值？它对孩子的思维发展是促进了，还是禁锢了？数学课程标准已经作了很大的改进，但是我们的数学课堂呢？大量的机械繁琐的计算练习仍然充斥于我们的课堂。当算术占去了数学的绝大部分内容时，它的价值已经走向了负面……

《圆的周长》练习

1.求下面各圆的周长：d=3厘米 d=7分米 d=19厘米r=5厘米 r=8 米 r=4.2 分米2. 一个圆形花坛的半径为 3米，它的周长是多少米？3. 一个圆形水池，周长是 37.68 米。它的直径是多少米？4. 一个圆的半径扩大了 2 倍，它的周长扩大多少倍？

A 练习：

1.用圆规在纸上画一个圆。你能知道它的周长吗？

2. 手指的截面形状近似圆形。量量算算，估计每个手指尖的粗度大约在什么范围之内。

3.每位同学拿出自己的墨水瓶。有办法知道它底面的周长大概是多少吗？

B 练习：

当学生未学圆周长计算公式之前，让他去求墨水瓶底面的周长，兴许他还知道用绳子一绕就行了，但是学习过后再让他去求时，他是怎么也想不到用绳子去绕绕，而是想方设法地测量底面的直径，可测量直径却是很费劲……

教什么，就学什么；学什么，就练什么，数学学习的过程成为了技能不断训练的过程。技能是熟练了，但很多时候思维却僵化了。爱迪生的助手计算灯泡体积时出现的现象，在我们数学教学中也是屡见不鲜……

四、关于学数学：

1. 自主探索2. 合作交流3. 动手实践4. 教师的引导作用5. 学习更富有个性

1. 自主探索●起点在哪？

我已经知道什么？ ——学生实际的认知状态。

自学课本，我又能知道什么？ ——学生实际的学习能力与理解水平。

●空间多大？ 《两位数减一位数》教学A 教学：口算： 15-7= 10+8=出示例题： 25-7=（教师让学生尝试解答后汇报，结果大多数学生的算法都是：

把 25 分成 15 和 10 ， 15-7=8 ， 10+8=18 ）B 教学：直接出示例题： 25-7＝

《简单的统计》教学

A 教学： 教师给每个学生发了一张班级学生年龄情况的统计表格。表格上面的年龄段均已划分好。然后让学生轮流站起来报自己的岁数，全班同学在相应的表格栏里画“正”。

B 教学： 教师给每个学生发了一张白纸。要求同学们统计出班

上的年龄情况。怎样才能知道每个人多大岁数呢？通过讨论，决定让班上的同学轮流站起来报自己的岁数。用什么方法统计呢？老师没有明确，要求自己想办法。一轮结束后，大家交流结果与方法，并相互评价。

给学生进行铺垫，看似明确了思维指向，提高了学习的效率。实质上是设置了思维通道，缩小了孩子探索的空间。只能勉强地说学生“学会”了，但离“会学”还是很有距离的。

《异分母分数加减法》的教学

出示例题 + ＝

师：这两个分数能直接相加吗？生：不能。师：为什么？生：因为分数单位不同。师：能把它们的分数单位转化成相同的吗？生：能。师：怎么转化？生：通分。师：怎样将这两个分数通分呢？…… 还给孩子自主探索的空间，首先要摈弃一种“打乒乓式”的问答。

在琐碎的、一对一式的问答中，学生的思考永远是被动的，永远是被老师牵着在走。如同“猜谜”，学生只会不断地猜测老师的意图。

3

4

2

5

《比的基本性质》教学●效果如何？

A 教学：出示三个比： 2 ： 4 4 ： 8 6 ： 12师：请大家求出这三个比的比值。生计算。并汇报结果，比值都是等于 0.5 。师：也就是说，这三个比之间可以画等号了。2 ： 4= 4 ： 8= 6 ： 12从左往右，仔细观察一下这三个比，它们的前项、后项分别发生了怎样的变化？你能得出一个规律吗？……

《比的基本性质》教学

出示三个比： 2 ： 4 4 ： 8 6 ： 12师：观察一下，这些比有哪些相同的地方？（生说）师：哪一个比的比值最大呢？（生说，最后得出三个比的比值相等）师：你还能写出很多比值为 0.5 的比吗？看谁写的又多又快。（生写出很多。汇报交流）

师：只要怎样，就可以写得又多又快呢？（生……）师：比值相等的比，是不是只有这样的一组呢？生：不是！还可以写出很多组。师；好！谁来说一个比，大家再写出几组与它比值相等的比。看谁写的多。（一生说

一个比，其他同学马上写，再交流）师：自己随便写一个比，看能不能也能写出一些和它比值相等的比。（生写，交流）师：我们写出了很多比值相等的比，从中我们可以得出一条什么规律呢？……

B 教学：

当学习材料缺乏思维的挑战性，研究的目标是显而易见的时候，学生探索的兴趣和动力就不会太强。只有通过竞赛等形式，激发起学生的挑战欲，让学生进入紧张的思维状态，让探索成为一种需要时，学习的效果才会是好的。改被动地观察，为主动地探索，让学生在“创造”数学的过程中“体验”数学，而其中教师的引导作用也是非常重要的。

《利息》的教学

课始。 教师 A ：这节课咱们学习利息这一内容。什么是利息呢？请同学们看书上……

教师 B ：这几天，大家已经收集了很多关于利息的知识材料。这节课，咱们就来个交流，好吗？

课末。 教师 A ：通过这节课的学习，咱们知道了什么叫利息，

以及利息的计算方法。课后作业为书上练习…… 教师 B ：这节课大家交流得非常好！利息的知识，除

了我们今天交流的这些以外，还有很多方面值得我们去关注。老师建议，大家可以用这些知识，办个小报，开辟一个网站，和我们全校的小朋友进行交流。也可以自己去体验一下存款和取款的过程……

学习的效果，不能仅仅限于了解了什么，更重要的是学生是怎样了解的。自主探索的空间，也不能仅仅局限于课内。课堂之外的自主探索具有更为深远的意义，课内课外的一体化是数学教育应孜孜以求的目标。

2. 合作交流 ●是主动，还是被动？

《平面图形面积的复习》

《分数的意义》教学片段 学生被分为 6人一小组，每人手上有 6根小棒。

A教学：师：大家手上都有 6根小棒。你们能拿出其中的 2/3吗？生动手操作。师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。

B教学：师：大家手上都有一些小棒，试着按要求拿出其中的一部分。要求

是：每组从第一位同学到第六位同学，拿出的小棒分别占原来手中的 1/2 、 1/3 、 1/4 、 1/5 、 1/6、 1/7。

师：不能损坏小棒，但可以交流小棒。看那组最迅速。

让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。

以组际竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。

《循环小数》教学片段：学习完循环小数的概念后，出示下列七个数：①5.2 ②3.444…… ③3.08181…… ④9.87676

⑤9.7676……⑥9.4303208…… ⑦3.1415926……A 教学：师：观察这些数，哪些数有相同的特征呢？小组开始讨论。 生开始在小组内讨论。不到一分钟。师：（拍了几下手掌）好，时间到！谁来说说，哪些数具有相同的特征？

生 1 ：……生 2 ：……师：这几个同学刚才说得都非常好！我们看……

●是形式，还是实质？

《循环小数》教学片段：

B 教学：师：仔细观察这七个数，你能发现什么呢？有些数具有相同的特征吗？生 1 ：①和④的后面都没有省略号，而其他各数后面都有。师：真好！就象这样，还能发现其他的特征吗？把具有相同特征

的数写在一起。同时思考两个问题：⑴你能根据它们的特征，分别给它们取个名称吗？⑵你能用画图的形式，把这些数的关系表现出来吗？生开始独立地想、写和画。师：好！小组长组织一下，每位成员把自己的思考在小组中交流，集中成小组意见。等会我们看哪个小组取的名字和画的图最好！（小组开始讨论，确定最佳方案。）

师：哪一小组愿意交流一下你们的名称和图案……小组 1 代表：我们认为……

小组学习的机制

学生在合作交流前，经历过独立思考吗？

学生在合作交流时，有充分的时空吗？

学生在合作交流时，需要明确的角色分工吗？

● 是评判，还是促进？

《循环小数》教学片段：讨论完分类和名称以后，讨论用图形来表示他们之间的

关系。师：用怎样的图形，可以把它们的关系表示出来呢？哪个小组愿意第一个交流？

小组代表发言。（用画韦恩图的形式，表示出有限小数、无限小数、循环小数、无限不循环小数以及纯循环小数和混循环小数之间的关系）

A 教学：师：这个小组用这个大圆圈代表着所有的无限小数，然后分为两部分，一部分是循环小数，一部分是无限不循环小数。可以吗？

生：可以。师：是啊！我们可以……B 教学：师：他们用这样的图形来表示这些数的关系。有道理吗？让我

们请这一小组的同学来给我们解释一下，好吗？ 老师有个建议，咱们来个小组比赛。等他们解释完以后，咱

们针对这个图形来个现场提问，谁提出的问题，这一小组的同学都回答不出，提问题的小组就加一分。但提出的问题自己要能回答，否则倒扣一分。如果没有问倒这个小组，他们就加五分。同意吗？

在学生进行小组讨论时和讨论结束后，教师应做些什么呢？

●教师要满怀热情地深入到小组讨论中去。 ●在小组汇报合作结果的时候，教师不能作为

一个中介者，更不能作为唯一的评判者，教师要做的工作应该是组织、指导和促进小组之间的合作交流。

●营造出一种宽松愉悦、畅所欲言的氛围。

●是环节，还是方式？《圆的认识》教学片段。（课始）A 教学：师：同学们，大家知道，这是什么图形吗？生：是圆形。师：真好！在生活中哪些地方有圆形呢？生：……B 教学：师：同学们，咱们今天一起研究圆的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关圆的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗？

各个小组代表开始交流。

《百分数应用题的复习》教学片段（临近下课）

A 教学：师：同学们，我们已经学会解答百分数应用题。在解答百分数应用题时，我们应注意些什么呢？

生：……师：好！大家回去后，把练习十的第 2——5题解答在家庭作业本

上。B 教学：师：同学们，这几天我们一直在学习解答百分数应用题。你对这

段时间的学习感受怎样呢？明年这个时候，五年级的同学也要学习这个内容了，你们有什么学习经验告诉他们吗？你们能以小组为单位，把你们的感受和经验用数学小报的形式表示出来吗？

好！老师期待着大家精彩的小报。哪组办好了，就把它贴在后面的黑板上，让我们全班同学分享。

一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢？

建立大的课程观和教学观

3. 动手实践

●是知行，还是行知？《轴对称图形》教学A 教学：师：同学们，观察这几个图形，它们有什么共同的特征吗？（屏幕上出现圆、长方形、等腰梯形等图形，并演示分别把它们对折重合的情形）

生：这些图形对折后，两边大小相等。师：像这些对折后两边完全重合的图形，我们叫它对称图形。观察

一下，下面图形是对称图形吗？（出示几个图形）生：……

师：（媒体再次演示对折的情形）大家看见这条对折后留下的折痕吗？（生：……）

师：这条折痕，我们就把它称为对称轴。每个同学拿出你们的长方形、正方形与圆形纸片，折折看，并画出它们的对称轴。

B 教学：师：咱们做个试验。在纸上滴一滴墨水，然后马上将纸一折为

二。再展开，我们能发现什么呢？生做试验。师：谁来交流与展示一下，你们是怎样做的？发现了什么？ 生：……（图 1 ）

（图 1 ） （图 2 ） （图 3 ）师：（媒体出现图 2 ）小明用颜料在四张纸上分别画了以上图形，

他很快将纸对折后再展开，这四张纸上会出现什么样的图形呢？生：……

师：（屏幕出示图 3 ）你也能用这样的方法，画出如同屏幕上的三个图形吗？生：……师：你还能用这种方法画出其他的图形吗？能画出我们曾经学过的平面图形吗？生画，师组织交流。 师：小华用这种方法画出了这样的图形。想想看，他是怎样画的？又是怎样折的？你能把折痕描出来吗？……

“听过的，忘记了；看过的，记住了；做过的，掌握了。”没有亲身的体验，没有积极的活动，很多知识便如同“过眼烟云”，很难扎根在学生脑海中。把“学数学”变为“做数学”，把“书本的数学”变为“活动的数学”，让学生在活动与应用的过程中去体悟与理解知识，是建构主义所大力倡导的理论，也是我们一线教师必须积极实践的课题。

●是复制，还是探索？

《长方体的认识》教学

动手必须与动脑相结合。如果学生的动手实践变成了简单地执行老师的任务，变成了一种对书本的模仿与复制，只需手的运动而无需脑的兴奋，那么它的功效将会大大降低。动手实践，需要一定的思维空间与思维坡度，需要一种积极探索的心理状态，需要具有鲜明个性特征的思维活动。让“ Hands on” 的理念建立在自主探索的基础上吧。

●是小课堂，还是大社会？

《毫升的认识》教学

动手实践，它不仅仅是课堂学习中的一个环节，它更是一种贯穿始终的学习方式和学习意识。它不能仅仅局限在小课堂中，它更应延伸到整个家庭和社区。让学生试着用一种数学的眼光观察周围事物，以一种数学的活动投身到整个生活，他们的视野和能力会不一样的。课堂只是一个交流碰撞的场所，真正的功夫在课外！

●道而弗牵《长方形的面积 》教学 A 教学：屏幕上打出一长方形。师：同学们，我们已经学过面积单位。我们能知道这个长方形的面积吗？生：可以用面积单位去量。师：好的。同学们的材料纸上有一个长方形，请你们用材料袋里的面积单位去度量一下它的面积。（学生度量）师：谁来汇报一下。

4. 发挥教师的引导作用

生：这个长方形的面积是 12平方厘米。师：长方形的长和宽各是多少呢？生：长方形的长与宽应分别是 4 厘米、 3 厘米。师：你们发现了什么吗？生：长方形的面积等于长乘以宽。师：真好！这就是长方形的面积计算公式。……

B 教学：

师：你能用边长为 1厘米的正方形纸片摆成下面的长方形吗？

（图 1 ） （图 2 ） （图 3）（学生按照老师的要求在桌子上摆）师：根据刚才的操作，在下表中添入数据，并思考：每排

摆几个、一共摆几排分别与长方形的长和宽有什么关系？图形 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米）图 1

图 2

图 3（生添数据，并汇报）

师：长方形的面积与长、宽有什么关系呢？ （出示一长方形，长是 5 厘米、宽是 2 厘米）师：老师在这个长方形的上面摆了一排 5 个边长为 1 厘米的正方形。想象一下，这个长方形上面能摆多少个这样的正方形？它的面积是多少呢？生：可以摆 5×2=10个这样的正方形。面积为 10平方厘米。师：下面这个长方形呢？

（长为 7 厘米，宽为 3 厘米）

生：可以摆 7×3=21个这样的正方形。面积为 21平方厘米。师：那下面这个长方形，你也能想象出它上面能摆多少个小正方形吗？面积是多少呢？

生：可以摆 5×4=20个小正方形。它的面积是 20平方厘米。师：如此看来，我们计算长方形的面积，只要怎样？生：只要把长乘以宽。……

C 教学：课前，教师要求每个学生准备张材料纸，并在材料纸上画出 6 个大小不一的长方形（其中有四个长方形的长、宽至少要超过 4 厘米），并标上长与宽的长度。另外，每个学生再准备几个 1 平方厘米的正方形纸片（不超过 8 个）。

师：同学们都在纸上画出了漂亮的长方形。你们能知道这些长方形面积分别是多少吗？

生：能。我们只要用小纸片去度量，就知道了。师：好的。那我们就去度量一下吧。我们看谁最先

知道答案。如果有什么困难的话，可以随时举手询问，我们一起讨论。

学生开始用小纸片度量长方形的面积。

有学生开始举手。师：有什么问题吗？生：只有 8 个小纸片，不够用。师：不够用？那怎么办呢？生：我们两个人合用。师：这样真好。生：老师，我们两人合起来也不够用。师：那倒是有些麻烦了。谁有什么好办法？生：把它的位置空出来，就行了。师：大家还是自己动动脑筋，试试看。学生继续度量。

师：好的。大家基本上都度量出了自己的长方形的面积。谁能交流一下吗？生：……师：老师很想知道，你们刚才都说小纸片不够了。可后来又是怎样解决这个问题的呢？……

●强而弗抑

《量长度》教学

编写教材时，我们可以预计或假设学生的思维。但在实际的教学中，我们决不能为了“体现教材的意图”，为了追求所谓的多样化，而去生拉硬拽，勉强学生。披着新课程的外衣，做着“强制”的事情。方法的多样化，更重要的是，鼓励每个学生用自己最喜欢的方法去做、把最真实的方法表露出来，而不是去体验或运用每一种方法。教师的引导作用体现在启发和激励上，而非勉强与抑制。

●开而弗达

《分数的意义》教学

如其让学生去理解书本上的概念，还不如让学生去创造自己的概念，并让书本概念与自己的概念能够相融。如何能让学生“水到渠成”地创造出概念，是教师作为一个引导者必须努力探索的课题。

5. 让学生的数学学习更富有个性

●是控制，还是服务？

《分数大小的比较》教学： 和 谁大？ 2

5

3

5

我们总喜欢循循善诱，而很多时候，我们的这种循循善诱是在一种“打乒乓”式的问答中进行的。在“启发”的光环下，教师的思维代替或控制了学生的思维。学生还需要自己个性化的想法吗？真正的教学，是要把学生带入一个“渔场”，让他们有一个探索的空间与交流的阵地，而不一定就是要提供多少现成的“鱼”或“渔”。

《小数的性质》教学 通过人民币单位的换算、长度单位的换算等例子，老师在黑板上写出了三个算式：0.3=0.30=0.300 0.5=0.50=0.500 0.8=1.80=1.800 A 教学：师：请同学们仔细观察上面的三个算式，并思考下面的问题：从左往右看，你发现了什么？从右往左看，你又发现了什么？你能得出什么结论吗？ B教学：师： 1.你也能写出几个和它相类似的算式吗？并说说几个数之间为什么可以画等号。2.你能写出多少个这样的算式？为什么？ 3.你能用语言把你的发现描述出来吗？

我们好象是引导学生在主动发现规律。但深究其实质，学生需要动多少脑筋呢？面对一个数学现象（或问题情景）时，我们老师能不能“少规定些路线”、“少插一些路标”，而让学生自己去探索、体验和感悟呢？

《角的认识》教学

●是抱怨，还是赏识？

偶尔的一次否定并不足为奇，但是如果学生因为数学的严密而经常地遭到否定，那么他对数学的认识会是怎样的呢？他还愿意尝试吗？他还会积极地动脑筋想出自己的方法吗？更何况，所谓的数学严密性真的就那么重要吗？“从一点引出两条射线就组成了角”是对的，但是我们仅仅因为这句话，就能规定“角的两边一定是射线”、“画角时一定要按照画射线的方法”吗？

《多一些、少一些》教学

教师出示选择题：苹果有 60个，梨的个数比苹果少得多，梨有多少只？a 28 b 48 c 50师：应该怎样选择呢？生 1 ： 28 只。师：还有不同意见吗？生 2 ： 48 只。

A 教师： 48 只对吗？生 3 ：不对，应该是 28 只。因为……

B 教师：你选 48 只，能说说你的想法吗？

教师的作用不是评判，而是激励；教师需要的是倾听，而非主观臆断。学生在学习中应该有犯错误的空间，更应该有表达自己的权利。即使我们认为学生的答案是绝对错误的时候，多问一句“你是怎样想的”，又费多大力气呢？简单的一句问话，也许会给我们带来许多意料不到的惊喜。

●是填空，还是选择？

《三角形面积》练习

A 练习：三角形的底是 3 厘米，高是 4 厘米，它的面积是多少？

B 练习：画一个面积为 6 的三角形。你能画出几种？

固定的材料，固定的方法，固定的结果，何以构建个性化的学习？把空间增大，让教学开放，需要我们关注每个教学细节。只有当学生真正地有了“自决权”的时候，个性学习才会有可能。

家庭作业的布置

A 教师：今晚回家，做练习×的第×到第×题。

B 教师：同学们可以继续选定自己的家庭作业。可以做今天学的内容，也可以做明天将要学的内容。可以写数学日记，也可以作预习笔记……

大量的统一的家庭作业，对于很多基础好的同学来说，其实是一种精力浪费，他们完全可以把精力花在更有价值的学习上。而对于基础较差的同学，又是一项沉重的负担。为何不让他们各得其所呢？相信他们，给他们自己以选择的机会和责任，对于孩子个性与主动性的培养，对于孩子良好学习习惯的养成，都会有很大的益处。

五、关于数学学习评价

1. 是甄别，还是激励？

2. 是知识，还是能力？

3. 是结果，还是过程？

1. 是甄别，还是激励？

师：这道题该怎样解答呢？谁愿意把你的解题过程写到黑板上来？（一学生上台在黑板上书写，其他方面都写对了，唯有在写单位时忘记了加括号）

A 教师：同学们，他的解法对吗？ 生：对。 师：对？仔细看看，他丢掉了什么？ 生：丢掉了括号。 师：是啊，还是太粗心了。（随手在黑板上画了个“ ×” ）

《解决问题》教学

B 教师： ×× 同学，你能向同学们解释一下你的解题过程吗？ 生说。 师：同学们，你们赞同他的解法吗？ 生：…… 师：真好， ×× 同学的解法很有道理。我们再完整地看一下他的书写过程，按照规定，这里写单位时好象应该……？ 生：加上括号。 师： ×× 同学，你愿意上来补写一下吗？ 生上台在黑板上添上括号。 师：真好！（随手在黑板上写了个“优”） ……

严格不等于挑剔，求全责备的教学只会换来孩子们对学习的自卑。《美国数学课程标准》把“对自己的数学学习有信心”作为数学教育的第二大目标，能给我们一些启迪吗？评价不是甄别，评价最应该发挥的功能就是激励。

“曝光式”评价

他真是我们班最聪明的同学！

2. 是知识，还是能力？

A 练习 :观察下列统计图（关于降水量的条形统计图，图略）

1 、该地区 5月份的平均降水量是多少？ 2 、该地区 6月份的平均降水量是多少？ 3 、该地区 5月份的平均降水量相当于 6月份的百分

之几？

《统计知识》考试题

B 练习 :

上面是一个画好的统计图，请观察这个图，回答以下的问题：1 、  你认为这个图可能用来表示什么？2 、  按你的想法给这个图起名。3 、  写下根据这个统计图你所想到的任何事情。……

《统计知识》考试题

评价学生对书本知识的理解是重要的，但评价学生的数学创造力和想象力更为重要。从知识考试扩展到能力考试，是数学教育应当探索的重点课题。

《长方体表面积》的考试题 A 习题：一个教室长 8 米，宽 6 米，高 3.5米，用石灰粉刷四周墙壁，扣除门窗面积 20平方米。问粉刷部分面积是多少平方米？B习题：你班的教室墙壁需要粉刷，要求用两种涂料粉刷两层。为了准

备与一个公司谈合同，你需要事先做一些准备。请计算出粉刷教室所要花费的资金。完成这样的问题，你需要计算涂料的桶数和所需要的费用。为

此至少需要做下面的事：1.测量并计算出教室墙壁的面积；2.计算出一桶涂料能粉刷多大的面积；3.计算出涂两层涂料所需要的桶数。……

有关考试题的比较 这里有几道题， A类型和 B类型，究竟哪一种对孩子数学思维的发展，才更为有利呢？

2. A.三角形的底是 3厘米，高是 4厘米，它的面积是多少？ B. 画一个面积为 6平方厘米的三角形。你能画出几种？ 3. A. 把一个长 240厘米、宽 100厘米的长方形分解为 10个长为 60厘米的小长方形。小长方形的宽为多少？ B. 把一个长 240厘米、宽 100厘米的长方形分解为 10个长为 60厘米的小长方形。试着把它画出来。

1. A.下面哪些数是质数？哪些数是合数？ 81 、 2 、 53 、 111 、…… B. 小明说， 91 与 93都是质数，因为它们的个位上的数都是奇数。你认为呢？能说出理由吗？

有关考试题的比较

发挥评价的引导功能，让学生的学习淡化记忆与演练，而强化一种有联系、有现实意义、有挑战性的活动，学生的数学素养将会日益提高。

4. A. 把 化成分数、小数。 B. （图：把一个长方形，按长边 10等份、宽边 4等份分成若干个小长方形，上面画出一些阴影部分）你能分别用分数、小数和百分数解释上面的阴影部分吗？

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5. A. B 、你能把 在方格中表示出来吗？ ……

3. 是结果，还是过程？

《分数乘法》单元教学 A 教学：按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。整个

单元教完以后，进行单元测试，记下每位同学的单元考试成绩。

B 教学：也是按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。

但是在单元学习之前，向学生宣布：每位同学都可以不按照老师的教学进度，自学该单元知识。如果自我感觉对该单元知识已经掌握，随时都可以向老师申请单元考试。

考试包括三项内容 当老师。向全班同学讲解今天（按常规进度）所学习的内容，

要求同学们都能听明白，并能回答老师与同学的提问。 出试卷。出一份该单元的测试题，要求能全面考察该单元的

知识点。老师给予定性评价。 做考题。一份闭卷，老师从学生出的试卷里或题库里抽取。

一份开卷，考察综合运用该单元知识解决实际问题的能力。 三项考察都获通过的同学，可以不做老师布置的常规作业，

上课可以看课外书籍或自学下一单元知识。 同时，老师准备的试卷至少分 A 、 B 、 C三种，每种的难度

系数不一样。针对不同思维水平的同学，老师有意识地抽取相应的试卷让其考。不同的学生在对单元知识掌握的程度上可以不一样。

……

学生的学习有“时间差”与“路径差”，我们不能以同样的试卷、同样的进度来评价不同的人。让评价适应学生并促进学生，而非学生适应统一的评价。

《素质报告单 》

A 教师：在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是期末考试成绩。

B 教师：同样也在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是单元考试的平均成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照一定比例的折合。

《素质报告单 》

C 教师：在一张特制的素质报告单的数学栏目里，写的不是分数，而是一段评语。素质报告单放在学生的《成长档案袋》里。学生的《成长档案袋》里，一般还含有以下材料：

1. 学生的单元测试卷和期中、期末试卷。 2. 学生的 1—2 本作业本。 3. 学生自己做的兴趣作业。 4. 学生的实践活动作业报告。 5. 学生自己出的试卷。 6. 学生的数学日记。 7. 本学期数学学习总结。……

学生的数学学习状况，仅仅通过一个分数去描述，是很不全面的。探索表现性的评价方式，淡化结果，关注过程， 是学生数学学习成效评价的一个重要选择。

谢谢老师们！