7.1 KONUYA BAKIŞ

Buraya kadar parçacığın parçacıklar topluluğunun kinematiği ile kinetiği (hareket denklemi, iş ve enerji, impulsmomentum) anlatıldı. Şimdi biri-kimlerimizi kullanarak, dinamik içeriği daha yoğun olan üç özel konuyu ele alacağız. Bunlar çarpışma, merkezsel hareket (gök mekaniği), sürekli kütle akımı.

7.2 ÇARPIŞMA

İki parçacığın birbiriyle çarpışması, impulsmomentum ilkesi ile çözülür. Çarpışma sırasında oluşan oldukça şiddetli impulsif etkiye sahip kuvvet-ler çok kısa bir zaman aralığı içinde etkirler. Karmaşık bir olay olan çar-pışma sırasında malzemeler önce şekil değiştirirler, sonra bunun tümünü ya da bir kısmını geri kazanırlarken, aynı anda ısı ve ses açığa çıkarırlar. Şimdi Şekil 7.1 den yararlanarak konuyu anlamamıza yarayacak iki tanım yapalım.

Temas Yüzeyi: Çarpışan iki parçacığın birbirleriyle temas ettikleri nokta-da yüzeylerine teğet olan düzlemdir (Bakınız Şekil 7.1a).

Çarpışma Çizgisi: Parçacıkların kütle merkezinden geçen çizgi.

Çarpışma sırasında iki farklı durumla karşılaşılabilir. Eğer Şekil 7.1a da görüldüğü gibi parçacıkların çarpışma öncesindeki hız vektörleri çarpış-ma çizgisi ile çakışıyorsa buna doğrudan merkezi çarpışma, aksi halde Şekil 7.1b de görüldüğü gibi ise eğik merkezi çarpışma denir.

DOĞRUDAN MERKEZİ ÇARPIŞMA: Şekil 7.2a da görüldüğü gibi iki tane bilardo topu düşünelim. Her ikisi de sağ tarafa doğru bir hat üstünde Av

ve Bv hızlarıyla A Bv v> olacak biçimde hareket ettiklerinde, aşağıda

sıralanan süreç yaşanır.

7. PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULAR 187

.ÖRNEK 7-1. Şekil P1.1 deki golf topu 1 70cmh = yükseklikten serbestçe

bırakılıyor. Top rijit yüzeye çarptıktan sonra 2 25cmh = yukarıya zıplı-

yor. Golf topu ile yüzey arasındaki çarpışma katsayısını hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Rijit yüzey:

Kütlesi : Ym =¥

Hareketsiz olduğundan : 0Y Yv v= = (P1.1)

Çarpışma öncesi hız: Golf topunun yüzeye çarpacağı anki hızı Tv yi bul-

mak için enerjinin korunumu ilkesinden yararlanalım (Bakınız Şekil P1.2a). Topun 1 0.7 mh = yükseklikte serbest bırakıldığı anki potansiyel

enerjisi, zemine ulaştığı andaki kinetik enerjisine eşitlenirse:

ÖZET BİLGİ Doğrudan merkezi çarpışma: A ve B parçacıklarının çarpışma

öncesi hızları Av ve Bv birbirlerine paraleldir. Bu iki parçacığın

çarpışma sonrası hızları Av ve Bv yi bulmak için kullanılacak

iki denklem: momentumun korunumu : A A B B A A B Bm v m v m v m v+ = +

çarpışma katsayısı : B A

A B

v ve

v v

-=

-

Eğik merkezi çarpışma: Temas yüzeyine teğet doğrultuya t ve çarpışma çizgisine normal doğrultuya n dersek, hız vektörlerini ( , )t n takımında bileşenlerine ayırabiliriz. Teğet doğrultuda her

iki parçacıkta da doğrusal momentum korunur. Böylece teğet doğrultudaki hız bileşenleri:

( ) ( )A At tv v= , ( ) ( )B Bt t

v v=

Normal doğrultudaki hız bileşenlerini bulmak için kullanılacak iki denklem: ( ) ( ) ( ) ( )A A B B A A B Bn n n n

m v m v m v m v+ = +

( ) ( )( ) ( )

B An n

A Bn n

v ve

v v

-=

-

190 DİNAMİK

( ) ( )1 20.04m/sn , 0.71m/snn n

v v= = (P3.6)

. topun çarpışma donrası hareket doğrultusu:

( ( )( ) ) ( )21 1

2

0.5tan tan 0.61rad 35

0.71t

n

v

v - - -= = =- =-

Şekil P3.3 de görüldüğü gibi beyaz top sağ cebe girmez.

7.3 MERKEZSEL HAREKET - GÖK MEKANİĞİ

Parçacığın hareketi sırasında onun yörüngesini belirleyen F kuvveti Şekil 7.5 deki gibi bir sabit O noktasına yönelmişse, ortada bir merkezsel hareket vardır. Gezegen hareketleri, uyduların dünya etrafındaki hareketi, yüksek irtifalı roketler ile uzay araçlarının hareketleri buna örnek verile-bilir.

Kepler Kanunları: Gezegen hareketlerinin kuramsal çözümü yapılmadan önce, 17. yüzyılın başlarında Kepler (15711630) gözlemlere dayalı üç önemli sonuca varmıştır. Bunlar:

1. Gezegen yörüngeleri, odağında güneşin bulunduğu bir elipstir. 2. Gezegen ile güneş arasındaki yarıçap, eşit zaman diliminde eşit mik-

tarda alan tarar. 3. Gezegen hareketinde, periyodun karesi, gezegenle güneş arasındaki

ortalama uzaklığın küpü ile orantılıdır.

HAREKET DENKLEMLERİ: Şekil 7.5 de odak noktasında sabit duran M kütleli parçacığın etrafındaki bir yörüngede hareket eden m kütleli parça-cığa etkiyen çekimsel kuvvetin şiddeti,

2

MmF G

r= (7.11)

dir. Burada G evrensel çekim sabiti olup, r kütlelerin merkezleri arasın-daki uzaklıktır. Çekimsel harekete en uygun takım Şekil 7.6 daki ( , )r

kutupsal koordinatlardır. Bu durumda hareket denklemleri,

r rF ma

F ma

=

=

( )( )

2

0 2

F m r r

m r r

üï- = - ïïýï= + ïïþ

(7.12)

olur. Şimdi bu iki denklemi sırayla ele alıp biraz inceleyelim.

(7.12) nin ikinci denklemi: Sıfıra eşit denklemde m çarpanı düştükten sonra, ifadeyi r ye bölüp biraz düzenlersek,

7. PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULAR 193

Uydu, dünyanın merkezindeki odak noktasına göre ifade edilen yörüngesine, fırlatma uçuşu denilen hareketle yani roketlerle yönlendirile-rek oturtuluyor ve sonra yörüngeye girince roketlerden ayrılarak serbest uçuş sürecine geçiyor. Fırlatma uçuşu Şekil 7.8 de kesikli çizgiyle gösterilmiştir. Bu noktada uydunun serbest uçuş hızı belli bir değerin altına inerse, uydu dünyaya yönelir ve o da kesikli çizgi ile çarpma yörüngesi olarak Şekil 7.8 de görülü-yor. Ayrıca şekli incelediğimizde yörüngenin belirlenmesinde dışmerkezliğin önemli bir araç olduğu hemen fark ediliyor. Şöyle ki:

0e= dairesel serbest uçuş 0 1e< < eliptik serbest uçuş 1e= parabolik serbest uçuş 1e> hiperbolik serbest uçuş.

YÖRÜNGE DENKLEMİ: açısının ölçüleceği başlangıç ekseni eğer Şekil 7.7a daki gibi bir keyfi x ekseni değil de, koniği dik kesen odak ışını üstündeki x ekseni biçiminde seçi-lirse, (7.19) ve (7.21) de faz açısı 0 = olur.

Şu andan itibaren kendimizi dünya etrafındaki uydu hareketiyle sınırla-yalım ve odak noktasındaki dünyanın kütlesine dM , uydunun kütlesine

m diyelim. Böylece (7.21) ve (7.22) den, uydu için yörünge denklemi,

2

1cosdGM

Cr h

= + (7.23)

biçiminde sadeleşir. Ya da (7.23) de (7.22) yi yerleştirirsek, dışmerkezlik üstünden ifade edilen yörünge denklemi,

( )2

11 cosdGM

er h

= + (7.24)

elde edilir. Dünya yarıçapı 6378kmdR = dir. Göstermek mümkündür ki, 2 14 3 24 10 m /snd dGM gR= = ´ olur (Bakınız Problem 7-3.1). Şekil 7.8 de

odak ışını iki özel noktada eliptik yörüngeyi dik keser. Biri 0 = için

odağa en yakın uzaklık olan günberi noktası, diğeri 180 = için odağa en uzak yer olan günöte noktasıdır.

C ve h sabitlerinin hesabı: Yörünge üzerinde bir noktanın konumu ve burada uydu hızının belli ise bu sabitler belirlenebilir. Şimdi bunu

7. PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULAR 197

Öte yandan, 0 = ve 180 = için (7.24) ü düzenlersek, sırasıyla,

( )21

11dGM

er h= + ve ( )2

2

11dGM

er h= - (7.41)

elde edilir. Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarken 1 1h v r= ile birlikte (7.31),

(7.34) ve (7.35) den de yararlanırsak, bir takım basit işlemler sonrasında günberi noktasındaki hızın karesi,

( )

( )21

1

1dGM e

va e

+=

- (7.42)

bulunur. Şimdi (7.40) da (7.42) ve (7.34) de yerleştirilirse, enerji,

1

2dGM m

E sabita

=- = (7.43)

elde edilir. O noktasından r kadar ötedeki herhangi bir noktada hızı v olan uydunun enerjisi (7.43) e eşit olmalıdır. Buna göre,

21 1

2 2d dGM m GM m

mvr a

- =- (7.44)

( )2 2 1dv GM

r a= - (7.45)

bulunur. (7.45), büyük yarı eksen uzunluğu belli olan periyodik bir mer-kezsel harekette herhangi bir r uzaklığındaki uydunun hızını belirlemekte kullanılan çok yararlı bir ifadedir.

Açısal Momentumun Korunumu: Merkezsel harekette çekim kuvveti hep odak noktası O ya yönelmiş olduğu için parçacığın hareketi sırasında açısal momentum korunur. O nedenle, örneğin Şekil 7.9 da, 1P ve P nok-

taları arasında açısal momentumun eşitliği,

( ) ( )1 1 sinmv r mv r= ( )1 1 sinr v r v = (7.46)

.ÖRNEK 7-4. Dünya merkezinden 1r kadar yükseklikte günberi noktasında

yörüngeye oturtulmaya çalışılan Şekil P4.1 deki uydu, roketlerinde oluşan bir arıza nedeniyle kaçma hızı ile serbest uçuş noktasına geliyor. Bu hızı hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Uydu kaçma hızına çıktığında parabolik yörünge girer ve dış-merkezliği de 1e= (sınır değer) olur. Şu halde (7.22) ve (7.25) den:

2

d

Che

GM=

2

1d

Ch

GM=

2dGM

Ch

=

202 DİNAMİK

olur. Burada moment kolları OBr ile OAr , sırasıyla, O noktası ile A ve B

kesitlerinin geometrik merkezleri arasındaki dik uzaklıktır. Eğer giren ve çıkan akışkanın hızları aynı düzlemde değilse, o zaman yazılacak vektö-rel ifade:

( )d

dO OB B OA A

m

t = ´ - ´M r v r v (7.51)

.ÖRNEK 7-8. Şekil P8.1 deki enjektöre sabit borudan giren suyun statik

basıncı A kesitinde 28kN/mAp = dir. A ve B kesitlerine ait alanlar 20.08mAA = ve 20.04mBA = olup, enjektörü 8m/snBv = lik hızla terk

eden suyun doğrultusunun yatayla yaptığı açı 30 = , suyun yoğunluğu 3 310 kg/ms = tür. Enjektör ağzının geometrik merkezi ile C kesiti ara-

sındaki düşey uzaklık 0.5mh = , enjektörün ağırlığı 200 NeW = , ağırlık

merkezi M nin konumunu veren boyutlar 0.1ma = ve 0.3mb= dir.

Enjektörü düşey boruya bağlayan C kesitinde oluşacak bağ kuvvetleri ile eğilme momentini hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Sabit özgül ağırlıklı düzgün akım nedeniyle,

A A B BA v A v= 0.04

8 4 m/sn0.08Av = ´ =

olur. Şekil P8.2 den yararlanılarak düzgün akım denklemi yazılırsa:

( ) ( )d

dx B Ax x

mF v v

t é ù= -ê úë û

( )( )

( )

( )

3d10 4 0.08 320kg/sn

d0

4m/sn

cos30 6.93m/sn

sin 30 4m/sn

s A A

A x

A Ay

B Bx

B By

mv A

tv

v v

v v

v v

= = ´ ´ =

=

= =

= =

=- =-

( )320 6.93 0 2217 NxC = - = ¬

( ) ( )d

dy B Ay y

mF v v

t é ù= -ê úë û

[ ]d( 4) 4

dA A y e

mp A C W

t- - = - -