07 -grede_412_i_413

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i prezime ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG

PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 70

6. STATIČKI PRORAČUN GREDA POZ 412 i POZ 413

(Nije potrebno proračunavati u programu – dano samo radi primjera)



30

45

30

15

6. Statički proračun greda POZ 412 i POZ 413 6.1. Analiza opterećenja

Slika 6.1. Poprečni presjek grede

Slika 6.2. Položaj greda POZ 412 i POZ 413 u tlocrtu



135

130

185

P3

P2

P1

L3

L2

L1

Pozi

cija

413

Pozicija 412

Grede na ovim pozicijama međusobno su okomite i spojene te na mjestu spajanja neoslonjene. Takav sustav preporuča se proračunati tako da se greda pozicije 412 (pogledati tlocrt) proračuna kao slobodno oslonjena greda s lijeve strane oslonjena na zid, a s desne na prijepust grede pozicije 413. Greda pozicije 413 proračunava se kao greda s prijepustom opterećena odgovarajućim opterećenjem, i dodatno, koncentriranom silom ležajne reakcije grede pozicije 412.

Slika 6.3. Shematski prikaz greda pozicija 412 i 413



r2 = 2,00

r2 =

2,9

9

r2 = 8,51

r2 =

36,

34r2

= 1

1,41

r2 = 5,01

r2 =

3,7

0r2

= 2

,03

r2 =

3,2

1r2

= 5

,08

r2 = 16,32

r2 = 25,52

r2 = 3,86

r2 = 14,59

r2 =

5,8

0

r2 = 4,05

r2 =

3,4

9

r2 = 7,17

r2 = 0,02

r2 =

0,0

3

r2 = 1,10

r2 =

7,4

2r2

= 4

,24

r2 = 1,82

r2 =

1,0

8r2

= 1

,21

r2 =

-0,4

3r2

= 0

,03

r2 = -0,10

r2 = 1,67

r2 = 0,23

r2 = 4,96

Slika 6.4. Reakcije ploče od stalnog opterećenja

Slika 6.5. Reakcije ploče od mjerodavnog uporabnog opterećenja



Za analizu opterećenja od ploče, treba očitati ležajne reakcije na pozicijama 412 i 413 dobivene statičkim proračunom na računalu (slika 6.4. i 6.5.) te im pridodati vlastite težine greda. Stalno opterećenje na P1

Vlastita težina donjeg dijela grede 0,3 0,3 25⋅ ⋅ ......................................................2,25 kN/m

Reakcija ploče ........................................................................................................8,51 kN/m

Ukupno stalno opterećenje........................................................................... P1g = 10,76 kN/m

Uporabno opterećenje na P1

Ukupno uporabno opterećenje........................................................................ P1q = 1,10 kN/m

Stalno opterećenje na P2

Vlastita težina donjeg dijela grede 0,3 0,3 25⋅ ⋅ ...................................................... 2,25 kN/m

Reakcija ploče ......................................................................................................36,34 kN/m



Ukupno uporabno opterećenje....................................................................... P2q = 7,42 kN/m

Stalno opterećenje na P3

Vlastita težina donjeg dijela grede 0,3 0,3 25⋅ ⋅ ...................................................... 2,25 kN/m

Reakcija ploče ......................................................................................................11,41 kN/m



Ukupno uporabno opterećenje....................................................................... P3q = 4,24 kN/m



185

qg

6.2. Statički proračun 6.2.1. Greda POZ 412

Slika 6.6. Statički sustav grede POZ 412 Momenti savijanja u polju: – od stalnog opterećenja

2 2polje P1G

10 76 1 85 4 608 8

g L , ,M ,⋅ ⋅= = = kNm

– od uporabnog opterećenja

2 2polje P1Q

110 1 85 0 478 8

q L , ,M ,⋅ ⋅= = = kNm

– proračunski moment savijanja u polju:

polje polje poljeEd G Q1 35 1 5 1 35 4 60 1 5 0 47 6 915 kNm 691 5 kNcmM , M , M , , , , , ,= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =

– proračunski moment savijanja nad ležajem (25% vrijednosti momenta u polju):

sup poljeEd Ed0 25 0 25 6 915 1 729 kNm 172 9 kNcmM , M , , , ,= ⋅ = ⋅ = =

Poprečna sila (ležajna reakcija): – od stalnog opterećenja

P1G

10 76 1 85 9 952 2

g L , ,V ,⋅ ⋅= = = kN

– od uporabnog opterećenja

P1Q

110 1 85 1 022 2

q L , ,V ,⋅ ⋅= = = kN



135

qg

130

R412

-13.7 kN/m

-38.6 kN/m

-9.9 kN

-7.4 kN/m

-1.0 kN

– proračunska vrijednost poprečne sile (ležajne reakcije):

Ed G Q1 35 1 5 1 35 9 95 1 5 1 02 14 96 kNV , V , V , , , , ,= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = NAPOMENA: Za slobodno oslonjenu gredu (prostu gredu) reakcija nad ležajem jednaka je poprečnoj sili na tom ležaju. 6.2.2. Greda POZ 413

Slika 6.7. Statički sustav grede POZ 413 Statički proračun za stalno i korisno opterećenje proveden je u računalnom programu

STAAD.Pro 2007. (proračun se može napraviti i ručno)

Slika 6.8. Stalno opterećenje na gredu

Slika 6.9. Uporabno opterećenje na P2



-4.2 kN/m

-7.4 kN/m

-1.0 kN

Max: 45.544 kNmMax: 45.544 kNm

Max: 7.596 kNmMax: 7.596 kNm

Slika 6.10. Uporabno opterećenje na P3

Slika 6.11. Uporabno opterećenje na P2 i P3

Karakteristične vrijednosti momenata savijanja:

Slika 6.12. Moment savijanja od stalnog opterećenja

Slika 6.13. Moment savijanja od uporabnog opterećenja (slučaj 2)

-4.2 kN/m



43.0 kN24.5 kN

-10.0 kN

-60.1 kN

8.5 kN2.8 kN-1.0 kN

-10.7 kN

Karakteristične vrijednosti poprečnih sila:

Slika 6.14. Poprečne sile od stalnog opterećenja

Slika 6.15. Poprečne sile od uporabnog opterećenja (slučaj 2)

Proračunske vrijednosti momenta savijanja i poprečne sile:

( ) ( )413 413 413Ed g q1,35 1,5 1,35 45,54 1,5 7,59 72,86 kNmM M M= ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −

L2 L2 L2

Ed g q1,35 1,5 1,35 60,1 1,5 10,7 97,19 kNV V V= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =



6.3. Dimenzioniranje Materijal: Beton: C20/25 ( ck ck,cubeC f / f valjak/kocka) cdf – proračunska čvrstoća betona

2 2ckcd cc

c

201 0 13 33 N/mm 1 333 kN/cm1 5

ff , , ,,

αγ

= ⋅ = ⋅ = =

Čelik: B500B ( yk tk 500 540f / f /= )

ydf – proračunska granica popuštanja čelika

yk 2 2yd

s

500 434 78 N/mm 43 478 kN/cm115

ff , ,

,γ= = = =

Visina grede: 45h = cm

Zaštitni sloj betona (razred izloženosti XC1): 2 0c ,= cm

Udaljenost do težišta armature: s1 v

1 42 0 0 8 3 52 2

,d c , , ,φφ= + + = + + = cm

Statička visina presjeka: 1 45 3 5 41 5d h d , ,= − = − = cm 6.4.1. Dimenzioniranje uzdužne armature Pozicija 412 – polje – sudjelujuća širina 0 1,0 1,0 185 185cmL L= ⋅ = ⋅ = – slobodno oslonjena greda 1 220 / 2 110cmb = = – raspon polja lijevo od grede iznosi 220 cm

2 235 / 2 117,5cmb = = – raspon polja desno od grede iznosi 235 cm

1 w 2 110 30 117,5 257,5cmb b b b= + + = + + =

00,2 0,2 185 37cmL⋅ = ⋅ = 1. eff,1 1 00,2 0,1 0,2 110 0,1 185 40,5cm 37cmb b L= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = >



2. eff,2 2 00,2 0,1 0,2 117,5 0,1 185 42,0cm 37cmb b L= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = >

eff eff,1 w eff,2 37 30 37 104cm < 257,5cmb b b b b= + + = + + = =

Odabrana sudjelujuća širina je eff 104cm.b = Bezdimenzijski moment savijanja:

412Ed

Ed lim2 2eff cd

692 0 003 0 296104 41 5 1 333

M , ,b d f , ,

μ μ= = = < =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Za Rd 0 004,μ = očitano:

cε = -0,4 ‰ ξ = 0,020 s1ε = 20,0 ‰ ζ = 0,993 Potrebna površina armature:

412412 2Eds1,req

yd

692 0 39 cm0 993 41 5 43 478

MA ,d f , , ,ζ

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Minimalna armatura za polje:

2s1,min w0 0013 0 0013 30 41 5 1 62 cmA , b d , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno

2ctms1,min w

yk

2 20 26 0 26 30 41 5 1 42 cm500

f ,A , b d , , ,f

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Maksimalna armatura za polje:

2s1,max eff0 040 0 040 104 45 187 2 cmA , b h , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

– za betone ≤ C50/60 i f 0 45 15 cm 0 45 41 5 18 68 cmh , d , , ,< ⋅ → < ⋅ = – gdje je fh visina pojasnice

2s1,max c eff f0 022 0 022 2 5 0 022 2 5 104 15 85 cmA , A , , b h , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

→ mjerodavno

Odabrana armatura mora biti veća od potrebne i mora se nalaziti u području između minimalne i maksimalne armature: maxs1,provs1,mins1, AAA << ODABRANO: 412 2 412 2

s1,prov s1,req2 ( =2,26 cm ) 0 39 cmA A ,φ12 > =



Pozicija 412 - oslonac

Uslijed vrlo malog momenta savijanja u polju, a time i nad osloncem, dovoljno je u gornjoj zoni postaviti: ODABRANO: L1 2

s1,prov2 8 ( =1,00 cm )Aφ Pozicija 413 Vlačna armatura se postavlja u područje koje se u ovom slučaju nalazi gore, dakle, tlačno područje je dolje, te mu je stvarna širina wb , a ne effb . Bezdimenzijski moment savijanja:

413Ed

Ed lim2 2w cd

7286 0 106 0 29630 41 5 1 333

M , ,b d f , ,

μ μ= = = < =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Za Rd 0 110,μ = očitano:

cε = -3,4 ‰ ξ = 0,145 s1ε = 20,0 ‰ ζ = 0,940 Potrebna površina armature:

413413 2Eds1,req

yd

7286 4 30 cm0 940 41 5 43 478

MA ,d f , , ,ζ

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Minimalna armatura u gornjoj zoni:

2s1,min w0 0013 0 0013 30 41 5 1 62 cmA , b d , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno

2ctms1,min w

yk

2 20 26 0 26 30 41 5 1 42 cm500

f ,A , b d , , ,f

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Maksimalna armatura u gornjoj zoni:

2s1,max w0 040 0 040 30 45 54 0 cmA , b h , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2s1,max w0 022 0 022 30 45 29 7 cmA , b h , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno

Odabrana armatura mora biti veća od potrebne i mora se nalaziti u području između minimalne i maksimalne armature: maxs1,provs1,mins1, AAA <<



ODABRANO: 413 2 413 2s1,prov s1,req3 ( =4,62 cm ) 4 30 cmA A ,φ14 > =

Radi oblika momentnog dijagrama, u donjoj zoni dovoljno je postaviti: ODABRANO: L1 2

s1,prov2 12 ( =2,26 cm )Aφ 6.4.2. Dimenzioniranje poprečne armature Pozicija 412 Ed 14 96V ,= kN – nosivost grede na poprečnu silu bez poprečne armature:

( ) ( )1 3

Rd,c Rd,c l ck 1 cp w min 1 cp w100 /V C k f k b d v k b dρ σ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ Rd,c 0 18 1 5 0 12C , / , ,= =

200 2001 1 1 69 2 0415

k , ,d

= + = + = <

( ) 262122s ,A == φ cm2

02000181054130

262

w

1s1 ,,

,,

dbA

<=⋅

=⋅

=ρ

cp 0σ =

( )1 3Rd,c Rd,c l ck 1 cp w100 /V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

( )[ ] 7738N38768415300020001810100691120 31cRd, ,,,,V / ==⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= kN

– minimalna vrijednost za Rd,cV je:

3 2 1 2 3 2 1 2

min ck0 035 0 035 1 69 20 0 344/ / / /v , k f , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ( ) ( ) kN8342N4282841530003440cp1minminc,Rd, ,,dbkvV ==⋅⋅+=⋅⋅⋅+= σ – maksimalna vrijednost poprečne sile:



Rd,max cw w 1 cd1

ctg tgV b z fα ν

Θ Θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

cw 1 0,α =

[ ] [ ]1 ck0 6 1 250 0 6 1 20 250 0 6 0 92 0 552, f / , / , , ,ν = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ = 0 9 0 9 415 373 5mmz , d , ,= ⋅ = ⋅ = 39 8,Θ = °

Rd,max11 0 300 373 5 0 552 13 33 412240 9 N 412,2 kN

ctg39,8 tg39,8V , , , , ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

° + °

– provjera:

kN2412kN8342kN9614 maxRd,cRd,Ed ,V,V,V =<=<= → Nije potreban proračun poprečne armature. – maksimalni razmak spona (minimalna poprečna armatura):

a) prema EN 1992-1-1:

ckw,min

yk

200 08 0 08 0 00072500

f, , ,

fρ = ⋅ = ⋅ =

b) prema hrvatskom nacionalnom dodatku:

ctmw,min

yd

2 20 15 0 15 0 00076434 78

f ,, , ,f ,

ρ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– odabrati veću vrijednost w,minρ

swl max

w,min w

1 01 44 29 cmsin 0 00076 30 0 1 0,

A ,s ,b , , ,ρ α

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) prema tablici 5.11. (Betonske konstrukcije 1; Sorić, Kišiček), najveći uzdužni razmak spona: – za: kN661232412300,3 kN9614 maxRd,

'Ed ,,,V,V =⋅=⋅<=

– slijedi: l max 0 75 0 75 41 5 311 cm 30 0 cm,s , d , , , ,= ⋅ = ⋅ = </

Mjerodavni maksimalni razmak spona prema uvjetu c) iznosi 30 cm. Gredu armirati minimalnom poprečnom armaturom cm, 2mφ8/30,0 = . (obavezno navesti)



Pozicija 413 – smanjenje poprečne sile na osloncu: ( ) ( ) ( ) ( )Ed sup1 35 1 5 2 1 35 38 59 1 5 7 42 0 3 2 0 415V , g , q b / d , , , , , / ,Δ = ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ +

Ed 35 72V ,Δ = kN

Ed Ed Ed 97 19 35 72 61 47'V V V , , ,Δ= − = − = kN – nosivost grede na poprečnu silu bez poprečne armature:

( ) ( )1 3

Rd,c Rd,c l ck 1 cp w min 1 cp w100 /V C k f k b d v k b dρ σ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ Rd,c 0 18 1 5 0 12C , / , ,= =

200 2001 1 1 69 2 0415

k , ,d

= + = + = <

( )s 2 14 3 08A ,φ= = cm2

s11

w

3 08 0 00247 0 0230 41 5

A , , ,b d ,

ρ = = = <⋅ ⋅

cp 0σ =

( )1 3Rd,c Rd,c l ck 1 cp w100 /V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

( )1 3Rd,c 0 12 1 69 100 0 00247 20 0 300 415 430011 N 43 00/V , , , , ,⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =⎣ ⎦ kN

– minimalna vrijednost za Rd,cV je:

3 2 1 2 3 2 1 2

min ck0 035 0 035 1 69 20 0 344/ / / /v , k f , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

( ) ( )Rd,c,min min 1 cp 0 344 0 300 415 42828 N 42 83 kNV v k b d , ,σ= + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = = – maksimalna vrijednost poprečne sile:

Rd,max cw w 1 cd1

ctg tgV b z fα ν

Θ Θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ cw 1 0,α = [ ] [ ]1 ck0 6 1 250 0 6 1 20 250 0 6 0 92 0 552, f / , / , , ,ν = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =



0 9 0 9 415 373 5 mmz , d , ,= ⋅ = ⋅ = 39 8,Θ = °

Rd,max11 0 300 373 5 0 552 13 33 412240 9 N 412,2 kN

ctg39,8 tg39,8V , , , , ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

° + °

– provjera:

'

Rd,c Ed Rd,max43 00 kN 61 47 kN 412 2 kNV , V , V ,= < = < = → potrebno je proračunati spone za preuzimanje naprezanja od

poprečnih sila Proračun poprečne armature: 1 2

sw 2 0 5 1 01 cmA , ,= ⋅ = – pretpostavljaju se dvorezne (m=2) spone 90α = ° 39 8,Θ = ° 0 9 0 9 41 5 37 4 cmz , d , , ,= ⋅ = ⋅ =

2 2ywd

500 434 78 N/mm 43 478 kN/cm115

f , ,,

= = =

swl ywd

Ed

1 01ctg 37 4 43 478 1 2 32 06 cm61 47'

A ,s z f , , , ,V ,

Θ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = – razmak spona

– maksimalni razmak spona (minimalna poprečna armatura):

c) prema EN 1992-1-1:

ckw,min

yk

200 08 0 08 0 00072500

f, , ,

fρ = ⋅ = ⋅ =

d) prema hrvatskom nacionalnom dodatku:

ctmw,min

yd

2 20 15 0 15 0 00076434 78

f ,, , ,f ,

ρ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– odabrati veću vrijednost w,minρ

swl max

w,min w

1 01 44 29 cmsin 0 00076 30 0 1 0,

A ,s ,b , , ,ρ α

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅



30

4530

15

2O8

2O12

vilice O8/30 cm

2O12

vilice O8/30 cm

30

45

30

15

3O14

2O12

2O8

c) prema tablici 5.11. (Betonske konstrukcije 1; Sorić, Kišiček), najveći uzdužni razmak spona: – za: '

Ed Rd,max61 47 kN 0,3 0 3 412 2 123 66 kNV , V , , ,= < ⋅ = ⋅ =

– slijedi: l max 0 75 0 75 41 5 311 cm 30 0 cm,s , d , , , ,= ⋅ = ⋅ = </

Mjerodavni maksimalni razmak spona prema uvjetu c) iznosi 30 cm. ODABRANO: cm, 2mφ8 / 30,0 =

Slika 6.16. Skica armiranja grede POZ 412

Slika 6.17. Skica armiranja grede POZ 413

07 -grede_412_i_413

Documents