1

§1 线性规划 一、应用举例例 1 ： [ 生产计划问题 ] 某车间计划安排生产 A 、B 两种产品。它们都需要经过车、铣两个工段完成。已知有关数据如下表所示。 试安排一个总利润最大的生产计划。

2

工 段加工工时定额（小时 /件） 可利用工时

（总小时数）A 产品 B 产品

车工工段 5 10 60铣工工段 4 4 40产品利润 6 元 / 件 8 元件设： A 、 B 产品分别安排生产 x1 、x2 件

列出线性规划模型如下：

3

0404460105

86max

21

21

21

21

xxxxxx

tS

xxz

、

例 2 ： [ 合理下料问题 ] 某工地施工需要 2 米长的钢筋 7 根， 7 米长的钢筋 2 根，配套使用。现有 15 米长的钢筋 150 根。问如何利用现有钢筋满足需要且最省料？

4

7 2222剩料

07

2 2 2

7

2222

1

11

1

方案二：方案三：设：以方案一、二、三分别切割 x1 、 x2 、 x3 根钢筋

分析：下料方案： 方案一：

5

)321(0150

01414

min

321

321

32

、、jxxxxxxx

ts

xxz

j

例 3 ： [ 广告渠道决策问题 ] 某公司拟制定一个广告计划，需在电视、广播、杂志三种渠道间作出选择。已知广告效果如下：见表。 试作出最有利的广告计划。

列出线性规划模型如下：

6

广告渠道广告效果

电视广告时间广播 杂志白昼 热门

1 、每个广告单元费用（万元）2 、每个广告单元所接触未来的顾客人数（万人）3 、每个广告单元所接触未来的妇女人数（万人）

4

40

30

7.5

90

40

3

50

20

1.5

20

10 该公司用于广告的费用支出共有 80 万元 . 要求是 :(1) 接触到的妇女人数至少 200 人次；（ 2 ）电视广告

7

费用不超过 50 万元；（ 3 ）白昼电视至少要订 3 个广告单元，热门电视时间至少要订 2 个广告单元；（ 4 ）广播和杂志的广告单元都要在 10 和 50 个单元之间。 试列出最优广告计划的线性规划模型。设： x1 、 x2 、 x3 、 x4 分别为白昼电视、热门电视、广播和杂志的计划广告单元数。则：线性规划目标函数为： maxz = 40x1 + 90x2 +50x3 + 20x4 约束条件为： （见下页）

8

43210105105

23

505.7420010204030805.135.74

4

3

2

1

21

4321

4321

、、、jxxx

xx

xxxxxxxxxx

ts

j

9

二、线性规划的解法——只含 2 个变量1 、图解法以 [ 生产计划问题 ] 为例

0,0)2(4044)1(60105

.

86max

21

21

21

21

xxxxxx

ts

xxZ

10

目标函数图形表出——目标函数等值线

x2

x1

10

6

10 12

(1)

(2)

O

Z1=24

Z2=48

(8,2)

约束条件线性表出——可行域

11

目标函数等值线，沿箭头方向移动至过（ 8 ，2 ）时，目标函数值达到最大。 得最优解 X* = （ 8 ， 2 ） T 。最优值 maxZ = 64 。 2 、关于解的有关定理

x2

x1

10

12

(1)

(2)

O

B(8,2)

A （ 0 ，6 ）

C （ 10 ， 0）

12

Max （ Z （ A ） =48 ； Z （ B ） =64 ； Z （ C ） =60 ；Z （ O ） =0 ）

= Z （ B ） =64 ；所以：最优解 X* = （ 8 ， 2 ） T ； 最优值 maxZ = 64 。

运用定理：Z （ A ） =48 ； Z （ B ） = 64 ； Z （ C ） = 60 ；Z （ O ） = 0

三、关于解的讨论

13

§ 2 网络计划技术一、 网络计划技术的产生与发展

五十年代，美国最先创立了关键线路法 CPM 和计划评审技术 PERT

14

1956 年，杜邦化学公 司运用网络方法制定 出第一个网络计划， 用于找出关键路线， 称 关键线路法

1957 年，美国海军 特种计划局武器局 在北极星导弹项目 计划中发明、应用 计划评审技术

统称为网络计划技术（ PERT) 以网络图为基础，通过网络分析和计算， 制定出网络计划和实施管理

15

二、网络图的绘制1 、网络图的构成要素 活动（作业、工作）—— 消耗资源才能完成的具有实际内容的实践过程

i j活动名称活动时间活动 的图示

文字表示：活动（ i , j ）或 i – j

16

i结点 的图示

文字表示：结点（ i ）

结点（事项）—— 活动的开始或结束

i j虚活动的表示

虚活动—— 不消耗资源，用于表示活动之间相互依存、制约的逻辑关系。

17

线路：从始结点出发沿箭头方向，连续不断达到终点形成的一条通路。

1

2 4

5

6

3

12

35

56

53

18

线路有

1 2 4 61 2 5

1 2 3 41 3 6 65

1 3 4 6565

其它（略） 共有 6 条 关键线路 CP ：在带有时间参数的网络图中，时间最长的线路为关键线路。 该网络图关键线路为：

1 3 4 6565

19

关键线路时间（网络计划时间）—— 关键线 路上活动时间总和。记为 : CP （ t ） = 5 + 6 + 5 = 162 、网络图绘制规则——双代号法下1) 有向图——时序、方向2) 结点编号；3) 两个结点间只能有一个活动；4) 单一始、众结点5) 虚活动控制

20

3 、网络图的绘制 活动逻辑关系表

活动 紧后活动ABCDEFG

DGEFGG—

活动 紧前活动ABCDEFGH

——

A 、 BA 、 B

BCC

D 、 E 、F

（ 1 ）（ 2 ）

21

绘制网络图举例

1

2

4

5 73

3 4

71

6

5

BA

B

C

D

E

F

C

A

5

E

F

G

D

6G

不完善！

完善！

（ 1 ）

22

（ 2 ）1

2

3 4

6

5B

AC

D

E

FG

H

23

§ 3 网络时间参数计算一、活动的时间参数 活动参数的表示1 ）一种时间表示法：活动中时间以一个固定时间参数表示。记作： Tij 标注在箭线中下方

i jTij

24

2 ）三种时间表示法：活动中的时间以三种时间表示。i j( a, m, b )

乐观时间 最可能时间 悲观时间乐观时间 a ——

最可能时间 m——

悲观时间 b ——

25

活动时间的估计1 ）经验估计法——适用于：计划活动完全相同情况下。2 ）类推比较法—— 适用于：计划中的完全类似的活动3 ）统计分析法—— 适用于：计划中活动部分类似的情况。4 ）技术测定法——适用于：计划中的活动是全新的活动。

26

二、网络 时间参数计算1 ）最早时间参数 结点最早时间 TE （ j ） 活动最早开始时间 TES （ i , j ）—— TES （ i , j ） = TE （ i ） 活动最早结束时间 TEF （ i , j ）—— TEF （ i , j ） = TES （ i , j ） + Tij

27

1

2

5

7

7

0.5 52.5

3

4 6

86

1.5

3

1

8

箭线中下方数字 : 计划活动时间 Tij

28

1

2

5

7

7

0.552.5

5.5

3

4 6

98

6

3

1.5

3

1

0

0.5 5.5 9

3

9

17

3 3

9

38

5.5 70.5 1.5

0.5

0

0 3

08

178

9

9

16

i jTij

TEFTES

TE(i)

网络图中参数图注

29

2 ）最迟时间参数 结点最迟时间 TL （ i ）—— 活动最迟结束时间 TLF （ i , j ）—— TLF （ i , j ） = TL （ j ） 活动最迟开始时间 TLS （ i , j ）—— TLS （ i , j ） = TLF （ i , j ） - Tij

30

1

2

5

7

7

0.552.5

5.5

3

4 6

98

5

6

3

1.5

3

1

0

2 5.5

0

6.5 7.5

3

9 9

3

9

17

9

17

7.5 9

10

6.59

3 3

9

43

87.55.5

97

6.50.5

7.51.5

0.5

60

0 330

0

981

178

9

17

91617

i jTij

TEFTES

TLFTLSTE TL

网络图中参数图注

31

3) 时差 结点时差 S （ i ）—— S （ i ） = TL （ i ） - TE （ i ） 活动总时差 S （ i , j ）—— S （ i , j ） = TLF （ i , j ） - TLS （ i , j ） - Tij

== TLF （ i , j ） - TEF （ i , j ） = TLS （ i , j ） - TES （ i , j ）

32

1

2

5

7

7

0.552.5

5.5

3

4 6

98

5

6

3

1.5

3

1

0

0.5 5.5

0

6.5 7.5

3

9 9

3

9

17

9

17

7.5 9

10

6.59

3 3

9

43

87.55.5

97

6.50.5

7.51.5

0.5

60

0 330

0

981

178

9

17

91617

i jTij

TEFS(I,j)

TES

TLFTLSTE TL

网络图中参数图注

（ 0）

S（ i）

（ 0）

（ 6） （ 0）（ 2）

（ 0）

（ 0）

0

6

10

0

6 2

12

1

33

关键线路 (CP) : 关键线路时间 : CP (t) = 3 + 6 + 0 + 8 = 17 网络时间参数的表格计算 前例 :

61 3 5 7

1

2

5

7

7

0.5 52.5

3

4 6

86

1.5

3

1

8

34

活 动 Tij

(1)

TE(i)

(2)TL(i)

(3)TES

(4)TEF

(5)TLS

(6)TLF

(7) S ( i, j )(7) –(5)

S

(i )(3) - (2)

关键活动 关键结点i j

1 2 0.5 0 0 0 0.5 6 6.5 6 0 √

1 3 3 0 0 0 3 0 3 0 0 1-3 √1 5 8 0 0 0 8 1 9 1 0 √

2 4 1 0.5 6.5 0.5 1.5 6.5 7.5 6 63 4 2.5 3 3 3 5.5 5 7.5 2 0 √

3 5 6 3 3 3 9 3 9 0 0 3-5 √3 6 5 3 3 3 8 4 9 1 0 √

4 6 1.5 5.5 7.5 5.5 7 7.5 9 2 25 6 0 9 9 9 9 9 9 0 0 5-6 √5 7 7 9 9 9 16 10 17 1 0 √

6 7 8 9 9 9 17 9 17 0 0 6-7 √7 - -- 17 17 --- --- --- --- --- 0 √

35

61 3 5 7关键线路 (CP) :

关键线路时间 : CP (t) = 3 + 6 + 0 + 8 = 17

三、寻找关键线路的其它方法 矩阵法

36

三、网络优化网络计划的优化的内容包括： 缩短工程进度缩短的工程进度的途径主要有：1 ）采取技术措施，压缩关键工序的时间；2 ）对关键线路上的工序组织平行或交叉作业；3 ）从非关键工序上抽调部分人力物力集中于关键工序增加关键线路上的投入

37

最低成本进程——时间与费用的转化 网络活动需要消费多种资源，其它资源归结为费用表达时，为缩短网络计划时间就需要付出费用。即“时间费用转换”。 主要的问题有：1 ） 如何调整关键线路上的活动，以最小的费用增加，换取整个项目周期缩短得最多？

38

2 ）当项目工期已经确定，如何安排各项活动使整个工程计划费用最低？ 仅就 1 ）以例说明： 举例：某一承包工程项目的网络图如下。图中标注：

1 2A ，PTij ， T’

ij

活动名称

活动时间

活动费用率（万元 /天）活动所需最短时间

39

1

2

5 78，

7

A ， 2 ，2E，

25

3

4

8

F ， --B ，50

8 ， 6

I ， 50

D ， 150

C ， 7510 ， 9

5 ， 5

20 ， 14

8 ，7

1 ， 1 6 ，3

--

10， 8

H，150

G ，--

J， 1

50

6 9K ， 1506 ， 4

现工程发包方提出：将原定工期（网络计划时间） 48天 提前到 42 天完成。予以追加 550 万元赶工费用。作为承包方，请你分析是否可行？

40

思路：“最小成本加速法”——每加快一天进度所支付的费用最低分析，直至达到新工期，同时，总支出费用不超过 550万元，则可行。 网络计划工期 CP （ t ） = 48天

最小成本加速法做法：从关键线路入手，选择活动费用率最低的活动加快进度，缩短活动时间。……

41

网络（工程项目）的资源平衡 有两类问题：1 ）工程项目工期不变，对所需要的非时间资源（人、物、财力）的需求进行平衡；2 ）在资源供应限定条件下，确定最短的项目工期。

42

仅就 1 ）以例说明：

1

3

4

6

2

5B. 2 (3) E. 3 (8)

C. 2 (6) F. 2 (7)

D. 2 (4) G. 3

(2)

H. 4

(1)

A. 4 ( 9)

ji A , 3 ( 5 )

关键线路 CP ：1

23

5

6

关键线路时间 CP （ t) =11

活动名称活动时间 其他资源

43

现在工期 不变下，将网络所需要资源进行平衡

D.2.(4)

C.2.(6)

B.2.(3)

A . 4 . (9)

E . 3 . (8)

H . 2 . (1)G .3 . (2)F.2.(7)

资源

B . 2 . (3) E . 3 . (8)

A . 4 . (9)

22 24

10

2 1

112 4

2 4 5

5 7

7 11

10 10 1010

0

时间(天 )

44

重点内容 1 、线性规划有关基本概念； 2 、根据实际问题列出线性规划模型； 3 、对两个线性规划问题求解； 4 、理解网络计划中的活动、结点、 关键线路等概念； 5、正确绘制网络图； 6 、会计算时间参数

45

作业 1 ：（ 1 ）设有两发动机生产专业厂 A1 、 A2 ，月产发动机分别为 23台、 27台。供应 3 个飞机总装厂 B1 、B2 、 B3 。各飞机厂需要的数量分别为 17台、 18台和 15台。发动机厂到飞机厂的运费如表所示：

飞机厂发动机厂 B1 B2 B3

A1

A2

5060

6010

70160

单位：百元

列出总运费最低的线性规划模型。

46

作业 2 ： 某家具厂生产两种柜子，产一台 A柜、 B柜的时间分别为 60小时和 50小时；分别占用 10 、20 立方米的仓库空间；家具厂每周有 6000小时的上产时间，仓库空间有 1500 立方米。此外，A 的销售量每周不超过 80台。 A 的售价 150 元，成本 90 元； B 的售价 100 元，成本 65 元。如果每周要使两种柜子的的总收入不低于 6000 元。问如何安排生产计划最有利？（求解最优解）

47

3 题： 某工厂计划安排生产 A 和 B 两种产品，已知生产单位产品所需的设备和原材料如下表所示。该工厂每生产一件 A 产品，可获利 2 元，每生产一件 B 产品可获利 3 元，问应该如何安排生产，可使工厂的获利最多？A B 可用资源

设 备 1 2 8 （台时）原材料 1 4 0 16 （ k g ）原材料 2 0 4 12 （ k g ）

48

作业 5: 绘制网络图 活 动 A B C D E F

紧前活动 — — — A ， B B B

活 动 G H I J K

紧前活动 B ， C F 、 G D 、 E D 、 E I 、 H

习题 4 ：解下列线性规划1 、 minZ = 1.5x1 +2.5x2 2 、 minZ = 2x1 - 10x2

055

0

0233

21

21

21

21

21

21

xxxxxx

xxxxxx

、、

49

作业 6: 绘制下表活动网络图活动 活 动 内 容 紧后

活动A 制定飞机战术、技术性能指标 B

B 确定飞机总体设计方案 C 、 D 、E

C 向发动机研制单位提供技术要求 ND 向机载设备和各系统提供技术要求 OE 向飞机结构设计提技术要求 F

F 飞机零、部件设计 K 、 G 、H 、 I

G 绘制飞机装配图 MH 绘制飞机零件图纸 J

50

I 零件工装及设备制造 JJ 飞机零件加工 LK 飞机装配工装及设备制造 ML 飞机零件表面处理 MM 部件装配 RN 发动机研制 PO 机载设备研制 QP 发动机装配 RQ 机载设备安装 RR 飞机总装 SS 试飞 —

51

作业 7: 绘制下列网络计划的网络图，并以图上标注、计算网络时间参数；确定关键线路。活动 紧前活动 活动时间 活动 紧前活动 活动时间

ABCDE

—AA

B 、 CB 、 C

34577

FGHIJ

CC

D 、 EG

F 、 H 、I

84232

作业 8: 教材 P203 第 8 题

52

思 考 题（ 1 ）线性规划的无界解图形如何？（ 2 ）多重最优解图示怎样？（ 3 ）网络图的关键线路是否只有一条？为什么？（ 4 ）虚活动的运用应该注意那些问题？