1. · 2011-06-11 · numerikus módszerek tételek 1. a lebegőpontos számábrázolás egy...

Numerikus módszerek tételek

1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a

legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input

függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. Példák a véges számábrázolás miatt

előforduló furcsaságokra.

Definíció: Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha

, , és .

( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika)

Jelölés:

Gépi számhalmaz:

Gépi számhalmaz tulajdonságai:

1)

2) a -ra szimmetrikus

3) A legnagyobb pozitív szám:

4) A legkisebb pozitív szám:

5) Relatív hibakorlát: az -et követő gépi szám

Gépi szám megfeleltetése valós számnak:

Definíció: Az függvényt input függvénynek nevezzük, ha

Tétel: Ha , , akkor az ábrázolt szám hibája:

Következmény:

ha

Azaz az ábrázolt szám relatív hibakorlátja , vagyis csak -től függ.

az -hez

legközelebbi gépi szám a kerekítés szabályai szerint


-ben előforduló furcsaságok

1) , ahol

Pl.

2) Asszociativitás nem teljesül:

Pl.

bal oldal:

jobb oldal:

3) Kivonási jegyveszteség

a.

b. átalakítás a pontosabb számításért:

c. másodfokú egyenlet gyökei

d. részeredmény nem ábrázolható, de a végeredmény igen:


2. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba ill. hibakorlát fogalma. Tétel az alapműveletek

abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. A függvény „ ” pontbeli

kondíciószámának fogalma.

Definíció: : pontos érték, : közelítő érték

: közelítő érték (pontos) hibája

: közelítő érték abszolút hibája

: közelítő érték egy abszolút hibakorlátja

(gyakorlatban): közelítő érték relatív hibája

: közelítő érték relatív hibakorlátja

Következmény:

Tétel: Az alapműveletek hibakorlátai

problémás műveletek: kis számmal osztás, közeli számok kivonása

Bizonyítás:

Összeadás:

Tegyük fel, hogy és azonos előjelű.

Abszolút értéket véve, felülről becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva:

, tehát

Összeg relatív hibakorlátja:

Kivonás:

Tegyük fel, hogy és azonos előjelű.

Abszolút értéket véve, felülről becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva:

, tehát


Különbség relatív hibakorlátja:

Szorzás:

ugyanis

Tehát

Szorzat relatív hibakorlátja:

Osztás:

Tegyük fel, hogy és azonos nagyságrendű.

Hányados abszolút hibakorlátja:

Hányados relatív hibakorlátja:


A függvényérték hibája:

Tétel: , ekkor , ahol

és

Bizonyítás: Lagrange-tétellel:

Tétel: , ekkor

, ahol

Bizonyítás: Taylor-formulával: ( : középpont)

Jó közelítés, ha kicsi.

Következmény: ha kicsi.

Definíció: A

mennyiséget az függvény -beli kondíciószámának nevezzük.


3. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a

visszahelyettesítés műveletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes

főelemkiválasztás.

Gauss-elimináció

Jelölések: (eredeti)

1. lépés: 1. egyenlet változatlan

új . egyenlet . egyenlet –

. egyenlet //ha

Egyenletek:

. lépés: . egyenlet változatlan

új . egyenlet . egyenlet –

. egyenlet //ha

. lépés után: felsőháromszög alak

Visszahelyetteítés:


Műveletigény

1) Gauss-elimináció

. lépés: osztás

szorzás

összeadás, kivonás

: olyan függvény, melyet -tel osztva korlátos függvényt kapunk.

2) Visszahelyettesítés

osztás

meghatározása:

osztás

szorzás

összeadás, kivonás

Megjegyzések:

1) Ha , akkor sort vagy oszlopot kell cserélni. Sorcsere nem változtatja a megoldást,

oszlopcsere esetén a megoldás komponensei felcserélődnek.

2) A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága menet közben kiderül.

3) Számítógépes megvalósítások

a. Részleges főelemkiválasztás

A . lépésben az

elemek közül a maximális abszolút értékű sorát

felcseréljük a . sorral. A megoldás nem változik.

sor: vektor

Ebben cserélünk. Minden hivatkozás ezen keresztül történik.

sok megoldás

nincs megoldás


b. Teljes főelemkiválasztás

A . lépésben a . sorok, . oszlopok által meghatározott mátrix részben a maximális

abszolút értékűt keressük.

Sorát a . sorral, oszlopát a . oszloppal cseréljük. A megoldás változik.

sor: , oszlop: vektorok

Ezekben cserélünk, hivatkozások.


4. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek

megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzásokkal. Kapcsolata az LU

felbontással.

A Gauss-elimináció alkalmazásai:

1) Determináns számítása felsőháromszög alakból

: a sor- és oszlopcserék inverzióinak együttes száma

2) Azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása

, ,

(Gauss-elimináció végrehajtása)

3) Mátrix inverzének meghatározása

mátrixegyenletet kell megoldani. Ez darab mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását

jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk, a 2) pont alapján csak egyszer kell eliminálni,

tehát az kiegészített táblázatra alkalmazott Gauss-eliminációval meghatározhatjuk az

inverzet.

Gauss-elimináció felírása speciális mátrix szorzásokkal

jelentése:

1) Az . oszlopa változatlan

2) Az új . sor . sor – . sor

3) A Gauss-elimináció . lépése:

Következmény: A főelemkiválasztás nélküli Gauss-elimináció felírható a következő alakban:

Ahol alsóháromszög mátrix a főátlóban -esekkel és felsőháromszög mátrix.

1

1 0

1

0

0

1

1


Állítás:

Bizonyítás:

Állítás:

Bizonyítás: Teljes indukció

Tfh -ra igaz, bizonyítsuk -re

Megjegyzés: -t összepakoljuk nem elemeiből.

1. Gauss-

eliminációs lépés után

2. GE lépés után

Egy mátrixban van és .

az eredeti oszlopot

-gyel végigosztjuk


5. Az LU felbontás, tétel az -ről. A főminorok és az LU felbontás kapcsolata. és elemeinek

meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Műveletigénye.

Definíció: LU felbontás

, ahol alsóháromszög mátrix főátlóban -esekkel és felsőháromszög mátrix.

1)

2)

Az LU felbontás ismeretében két háromszögmátrixú egyenletrendszer megoldásával

(visszahelyettesítéssel) megoldható a lineáris egyenletrendszer.

Tétel: Az LU felbontás GE végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül.

Bizonyítás: Ha a Gauss-elimináció nem akad el miatt (tehát nincs szükség sor- vagy

oszlopcserére), akkor a . lépés felírható alsóháromszög mátrixszal történő szorzással. Az elimináció

végén kapott és

mátrixok a felbontásban szereplő

mátrixok.

Tétel: Jelöljük

-val a . főminort.

Ha , akkor felbontás és

Bizonyítás: teljes indukcióval

Tfh felbontás és . Készítsük el felbontását!

1)

2)

3)

4)

és elemeinek meghatározása az szorzásból

Fontos a jó sorrend: sorfolytonos, oszlopfolytonos vagy „parketta-szerű”.

Műveletigény: 2/3 n3 * (n2)


6. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigorúan diagonálisan domináns a sorokra ill.

oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei.

Definíció:

1) szimmentrikus, ha .

2) pozitív definit, ha .

3) soraira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha

oszlopaira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha

4) fél sávszélessége , ha , de .

5) profilja a (sorra) és (oszlopra) számok, ha

rögzített, , de és

rögzített, , de .

6) Tfh és invertálható.

Ekkor az az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementere.

Megmaradási tételek:

Tétel: A GE során (LU felbontás) a következő tulajdonságok nem változnak:

1) A szimmetrikus => [A|A11] is szimmetrikus

2) Det(A) ≠ 0 => det (*A|A11+) ≠ 0

3) A poz. def => [A|A11] is poz. def.

4) A félsévszélessége > *A|A11] félsévszélessége

5) [A|A11]-ben az li, kj értékek nem csökkennek


7. Az LDU felbontás és a Cholesky-féle felbontás, kapcsolatuk az LU felbontással. Tétel a Cholesky-

féle felbontásról.

LDU felbontás:

A = L * D * U, ahol L felső háromszög, egyes diagonálissal; U alsó, 1-es diagonálissal; D diagonális.

Visszavezetjük az LU felbontásra:

A = L * U~ = L * D <=> D-1 * U~ = U; D diag(u~11, …, u~

nn)

Áll.: A szimmetrikus => A = L * D * U-ban U = LT

Biz.: L-1 *\ A = L * D * U /* (L-1)T

L-1 * A * (L-1)T = D * U * (LT)-1

Szimmetrikus [0\0] [01

1---] => U * (LT)-1 = I => U = LT

LLT (Cholesky-féle) felbontás:

A szimmetrikus; A = L * LT, ahol L teljes felső háromszög, és lii > 0.

Tétel: Ha A szimmetrikus és poz def, akkor ! A = L * LT felbontás.

Biz.: : A = L *D * LT felbontásból A poz def => det(Ak) > 0 => ukk > 0 => dkk > 0 √ D diag(√d11, …, √dnn) A = (L * √D) * (√D * LT) L~ L~T Megj.: LU-ból ugyanígy !: Indirekt TFH L1

≠ L2: A = L1 * L1

T = L2 * L2T; Di = diag(l11

(i), …, lnn(i))

(L1 * D1-1) * (D1 * L1

T) = (L2 * D2-1) * (D2 * L2

T)

Mivel az LU felbontás egyértelmű, => D1 * L1T = D2 * L2

T <=> D12 = D2

2 (mivel dii > 0) D1 = D2 => L1

T = L2T ELLENTMONDÁS!


8. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval. Tétel a létezésről, egyértelműségről.

QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval:

TFH q1, …, qk-1 ismert

Tétel: Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = Q * R felbontás.

Ha feltesszük, hogy rkk > 0 k-ra, akkor egyértelmű is.

Biz.: : lásd levezetés.

!: Indirekt: TFH két különböző QR felbontás

A = Q1 * R1 = Q2 * R2

Q Q2T * Q1 = R2 * R1

-1 =: R

Q * QT = (Q2T * Q1) * (Q2

T * Q1)T = Q2T * (Q1 * Q1

T) * Q2 = I

I

I = QT * Q = RT * R

=> R = I <=> R2 * R1-1 = I => R2 = R1ELLENTMONDÁS.


18. A Newton-módszer és konvergencia tételei (monoton, lokális).

f(x) = 0-ra, x0 tetszőleges kezdőérték

A k. lépésben az (xk, f(xk)) ponton átmenő érintővel közelítjük az f-et. Xk+1 az érintőnek az x tengellyel

vett metszéspontja.

Érintő: y - f(xk) = f’(xk) * (x – xk)

m

X tengellyel vett metszéspont:

-f(xk) = f’(xk) * (xk+1 - xk)

-f(xk)/f’(xk) = xk+1 – xk

xk+1 xk - f(xk)/f’(xk)

Globális vagy monoton konvergencia tétel:

TFH f C2 *a,b+ és

1) x* [a,b] : f(x*) = 0

2) f’ és f’’ állandó előjelű

3) x0 [a,b] : f(x0) * f’’(x0) > 0

Ekkor x0-ból indított Newton módszer konvergens x*-hoz.

Biz.: Spec. Eset: f’, f’’ > 0 (a többi ugyan így megy)

Taylor-formula alkalmazása: xk kp. ϕ (x; xk) v. (xk; x)

x xk+1

:

=> f(xk+1) > 0 k-ra

f(x0) > 0 3. feltétel => f(xk) > 0 k .

T á k) konv.:


L ká k v g é

TFH f C2 *a,b+ és

1) x* [a,b] : f(x*) = 0

2) f’ állandó előjelű

3) 0 < m1 ≤ |f’(x)|, x [a,b]

4) |f’’(x)| ≤ M2, x [a,b] M M2/2*m1

5) X0 [a,b]

Ekkor az x0-ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens, és hibabecslése:

Biz.: Taylor-formula alkalmazása: xk kp., x x* hely.

Becslés:

Belátjuk teljes indukcióval, hogy az xk kr(x*):

|x0 – x*| < r. OK 5. feltétel

TFH |xk – x*| < r

εk

Vizsgáljuk:

Hibabecslésből folytatjuk a konvergencia bizonyítását:

εk+1 ≤ M * εk2 /*M

M * εk+1 ≤ (M * εk)2

dk+1 ≤ dk2

dk+1 ≤ dk2 ≤ (dk-1

2)2 ≤ … ≤ (d0)2^k+1


M * εk+1 ≤ (M * ε0)2^k+1

εk+1 ≤ 1/M * (M * ε0)2^k+1 →k→ 0

k+1 hiba <1

konvergencia rend bizonyítása: -ból xk → x* (k→)


19. Húrmódszer, szelőmódszer, többváltozós Newton-módszer.

Húrmódszer:

f(x) = 0-ra, x0 a, x1 b, és f(a)*f(b) < 0.

A k. lépésben az (xk;f(xk)) és (xs;f(xs)) pontokon átmenő egyenes

közelíti f-et, ahol

xs: a legnagyobb indexű pont, melyre f(xk)*f(xs) < 0

xk+1: az egyenes metszéspontja x tengellyel.

Tétel: TFH f C2*a,b+ és

1) f(a) * g(b) < 0

2) M M2/2*m1 (mint a Newton-módszernél)

3) M * (b-a) < 1

Ekkor az x0-ból indított húrmódszer konvergens, és |xk+1 – x*| ≤ 1/M * (M * |x0 – x*|)2

NEM BIZ!

Szelőmódszer:

Húrmódszerből származtatható, úgy, hogy i k+1, és nincs előjel feltétel.

Tétel: Ha teljesülnek a Newton-módszer lokális

konvergencia tételének feltételei, akkor a szelőmódszer

konvergens

rendben, és

NEM BIZ!

Többváltozós Newton-módszer:

F-nek az elsőfokú Taylor-polinómja:

x(k+1) : Taylor-poli = 0

Végrehajtása:


á é


20. A Horner algoritmus polinom és deriváltja helyettesítési értékeinek gyors számolására. Becslés

a polinom gyökeinek elhelyezkedésére.

Horner algoritmus: Polinomok helyettesítése értékeinek, és derivált értékeinek számolására

Algoritmus:

Állítás:

é

Biz.:

é

Állítás:

NEM BIZ!

Polinomok gyökeinek becslése:

Tétel: A P(x) polinom bármely xk gyökére


Biz.: a)TFH |x| ≥ R belátjuk, hogy |P(x)| > 0 => x nem gyök

b) x 1/y hely

1. · 2011-06-11 · numerikus módszerek tételek 1. a lebegőpontos számábrázolás egy...

Documents