1. 餘弦的差角公式：

cos( ) cos cos sin sin 。

2 2 2(cos cos ) (sin sin )AB

2 2cos 2cos cos cos

2 2(cos cos sin sin )

2 2 21 +1 2 1 1 cos( ) 2 2cos( )BA


y

O

x

A

B

12 2sin 2sin sin sin

cos sin c( , ) os si( n )A B 設，為單位圓, 上兩點，

1. 餘弦的差角公式：證明：

又由餘弦定理知：

一、差角與和角公式一、差角與和角公式

To be continued To be continued (2) A(2) A 、、 B B 兩點重合兩點重合 & (3) A& (3) A 、、 BB 、、 O O 三點三點共線共線

(1) A(1) A 、、 BB 、、 O O 三點不共線三點不共線：


(2) A(2) A 、、 B B 兩點重合兩點重合：此時 = 。

餘弦的差角公式：

cos( ) 左式

cos cos sin sin 右式

cos( ) cos cos sin sin

To be continued To be continued (3) A(3) A 、、 BB 、、 O O 三點共三點共線線

= 1 。

= 1 。

cos 0

2 2cos sin

180 180 若，則，

cos cos(180 ) cos ，sin sin(180 ) sin ，

cos( ) cos cos sin sin 。餘弦的差角公式：

(3) A(3) A 、、 BB 、、 OO 三點共線三點共線：此時 = 180 ( 或 = 180) 。

cos( ) 左式 cos180 = 1 。

cos cos sin sin 右式


180 cos( ) cos cos sin sin 若，同理可得：。

cos co 398 s sin sin4 34 98 例如： 84 3cos( )9 cos 45

2 2(cos sin ) = 1 。

( cos )cos ( sin )sin

2

2

。

本段結束本段結束


cos( ) co ( ))s(

(cos cos sin s) in( )

cos cos sin sin 。

cos co 243 s sin sin6 26 43 例如：

36 2cos( )4

cos 60

1

2 。

2. 餘弦的和角公式：

證明：


sin cos 90 ( )

cos (90 )

cos(90 )cos sin(90 )sin

sin cos cos sin 。

(1) sin( ) sin cos cos sin 。

sin co 154 s cos sin5 15 54 例如： 45 1sin( )5 sin 60 3

2 。

To be continued To be continued (2) sin ( (2) sin ( ) )

3. 正弦的和角與差角：

證明：

sin( ) sin cos cos sin 。(2) 正弦的差角公式：

sin( ) si ( ))n(

(sin cos cos s) in( )

sin cos cos sin 。

證明：

sin co 407 s cos sin0 40 07 例如：

70 4sin( )0

sin 30

1

2 。本段結束本段結束

0 90 90 180 設，，4 5

cos sin5 13

且，，sin( ) cos( ) 求與的值。

5

3sin ，

590 180

13sin 且

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin O

x12

y

513

O

x4

y

355

13

3 12 4 5( )

5 5 13

13

4 12 3 5( )

5 5 13

16

65

。

63

65

。

40 90 cos

5 且

12cos

13

，

4. 範例：

解：

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

4sin

5 設為第三象限角且，

7cos

25 為第四象限且，

sin( ) cos( ) 求與的值。

5

4sin 為第三象限角且

7cos

25 為第四象限且

sin( ) sin cos cos sin

25 25

4 7 3 24( ) (

5(

5) )

cos( ) cos cos sin sin 3 7 4 24

( ) ( )2

( )5 255 5

O x

24

y

7

2525

O

x

4

y

3

55

5

3cos

，

2sin

25

4 ，

100

125

75

125

馬上練習 .

解：

4

5 。

3

5 。＃＃

1AC AB BC CD 公共邊且，

(1) sin (2)DAB DE AB E DE 求：的值設於，求的長。

2 21 1 2AC ，

2s

2n

1 2i ，

6

33os

2c ，

(1) sin( ) sin cos cos sin

2 6 2 3

2 3 2 3

(2) sin( )DE AD

A B

C

D

E

1

1

1

2 2( )2 1 3AD ，

2c

2s

1 2o ，

1 3

33sin ，

2 3 6

6

。

2 3 63

6

2 2

2

。

23

5. 範例：如右圖，兩直角三角形有一

解：


25AB 直徑，

7 15 cosAD BC CAD CD ，，求與的長。

24si

25n ，

15 3

2 5sin

5 ，

cos cos( )DAC

7 4 24 3

25 5 25 5

2 2 22 cosACD CD AD AC AD AC DAC 中，

225 15CD 。

A B

C

D

7c s

25o ，

20 4

2 5cos

5 ，

100

125

22 427 72 20

50

25

77151520

馬上練習 . 如右圖， ABCD 為圓內接四邊形，

解：

cos cos sin sin

4

5 。

= 225

2424

＃＃

4 7cos , cos , 6

5 25ABC A B AB 在中，，

2 241 cos ( )

5sin 1AA

2 2si7

1 cos 1 ( )25

n B B

sin sin 180 ( )C BA

sin( )BA

sin cos cos sinBA A B

7 4

25

3

55

24

25

75 3

125 5 。

2 sin

cR

C由正弦定理知

6 2

35

R 5R 。

A

B

6 C

6. 範例：求其外接圓半徑。

解： ( sin 0)3

5A

24

25

＃＃

7. 正切的和角與差角公式：

(1) 正切的和角公式：tan

tan( )1 t

an

a

t

tan n

。

sin( )tan( )

cos( )

sin cos cos sin

cos cos sin sin

sin sincos cos

sin sin1

cos cos

tat nan

a tan1 t n

。

證明：

同除 cossin

tan105 t 4an( 5 0 )6 例：

1

tan 60

tan 6

tan 45

t 0an 45

231( )

2

1

1 3

31

(2 3 )。

To be continued To be continued (2) tan ( (2) tan ( ) )3

1

1

3

(1) 正切的和角公式：tan

tan( )1 t

an

a

t

tan n

。

(2) 正切的差角公式：t

ta

ann

ta( )

an

1 n

t

tan

tan( ) ta ( ))n(

1

tan( )

tan( )

tan

tan

tat nan

a tan1 t n

。

證明：

tan15 ta 45 3 )0n( 例：

1

tan30

tan3

tan 45

t 0an 45

1

3

3

1

11

1

1

3

3

1

2(

2

3 1) 4 2 3

2 32

。


1(1) tan

3FBE 中，；

1tan

2FCE 中，；

tan 1FDE 中，，

tan tan

tantan( )

1 n+

ta

1

123

312

1

1

(2) tan( + ) 1 + ，且為銳角

45 45

A

B D E

C

FGH

56

56

+ 45 ，

8 範例：如右圖，由 3 個一樣大小的正方形組成四邊形，設 FBE = ， FCE = ， FDE = ，

求： (1) tan(+) 之值。 (2) + + 的度數。

解：

= 1 。

= 90 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

1 3 4AB BC CD DE ，，，

4(1) tan

3ECD 中，；

1tan

3ACB 中，；

tan tan

tantan( )

1 n+

ta

1

133

313

4

4

tan tan 180 ( + )ACE

3(2) tan tan 3

1ACE

3

sin10

。

1sin

2ACE CA CE ACE 面積

O x1

y

3

10

A

B

C D

E

1

4

33

53

59

tan( + )

1 310 5

2 10 15

2 。

5510

馬上練習 . 如圖， ABC 與 ECD 均為直角三角形，

求： (1) tanACE 之值。 (2) ACE 的面積。

解：

= 3 。

= 3 。

＃＃

tan tan

tantan( )

1 n+

ta

1 1

41

11

4

A

B

Q

P

C

90 ( )PBQ 令，

5tan( )

3

tan tanPBQ

5

3

5

33+

3

5 。

9 範例：如右圖，由 6 個一樣大小的正方形組成多邊形，求 tanPBQ 之值。

解：設 ABP = ， CBQ = ，

＃＃

sin 2 2sin cos 。

sin( ) sin cos cos sin ，

當 sin 2 2sin cos 。

二、二倍角公式二、二倍角公式

1. 正弦二倍角公式：

證明：

22 2cos cos cosin( ) 2 ssin sin

si n cos1 sin2 = 。

si1 sin = n2

|os| c2

xxx 特別地，。

3sin

5 例：設為銳角且 4

cos5

ssin 2 2 cosin 5

243

5

1 sin 2

24

25 。

注意：


AB 求的長。

sin15AB OB ，

8cos c 1os 10 in 53 s5AB

4cos (2co 1530 s sin15 )

304cos sin 30

302(2cos sin 30 )

2sin 60

32

2

1515

30

8

O A

B

C

D

cos15OB OC ， cos30OC OD ，

3 。

2. 範例：右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，已知最上方的直角三角形斜邊長為 8 ，

解：


AB BC且，3

10面積為，

cos , 0 90sinB 令，，

11 1 sin

2OAB 的面積

3 3sin 2

10 5 4

cos5

。

11 1 sin 2

2OAC 的面積

1(2sin cos )

2

1 3 42

2 5 5

Ox

y

A(1,0)

C

B

cos 2 ,sin 2C ，

3

10

12

25 。

(cos2, sin2)

(cos, sin)

求 △ OAC 的面積。

已知銳角三角形 OAB 的A(1, 0) ， B ， C ，馬上練習 . 坐標平面上，以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點

解：

＃＃

2 2cos s ncos 2 i 22cos 1 21 2sin 。

3. 餘弦二倍角公式：

cos( ) cos cos sin sin ，

當

2 2cos s ncos 2 i 2 2cos (1 cos )

2 2(1 sin ) (sin )

2 2cos 2 cos sin 。

證明：

注意： cos 2 有三種型式：

22cos 1 21 2sin 。

3sin

5 例：設為銳角且

2cos 2 1 2sin 231 2 ( )

5

7

25 。本段結束本段結束

6 5C AD BC AB 為邊上的點，已知，，

BD 求之長。

AB

C

D

ABC 設，

os 6

5c ，

2cos 2c 12 os

25 52 ( ) 1

6x

90

7x 。

66

5

x

2 xBD BDA ，，

os 25

cx

，

4. 範例：如右圖，直角三角形 ABD 中， A 為直角，

ABD 2ABC ，

解：


2sin

30cos

，且

sisi n cn 2 2 os

22 22c2

sio5

coss n (3

2 ( ))3

O

y

x5

32

為第四象限角，

2sin cos 0 sin 2 cos 2

3 已知且，求與的值。

5cos

3 且，如圖。

22

3

5

3

45

9 9

4 5

9

。

1

9 。

2( 5, )A

馬上練習 .

解：

＃＃

2

2 tantan 2

1 tan

。

tan tantan( )

1 tan tan

，

當

3sin

5 例：設為銳角且 3

tan4

2

2 tantan 2

1 tan

2

2 tantan 2

1 tan

。

2

32

43

1 ( )4

24

7 。

5. 正切二倍角公式：

證明：


1sin cos

cos

且、、成等差數列，

1sin 2cos

cos

2sin cos 2cos ( c s1 o ) 同乘2sin cos 12cos

1sin 2 cos 2

2

sin 22

cos 2

tan k 設

2 1 0k k 1 5tan ( )

2k

所求負不合。

2

tan22 tan 2

1 tan

6. 範例：設為銳角，求 tan 之值。

解：

tan 2 2

2

1

k

k k


tan( )2

求的值。

a8

7tant n

由根與係數得

tan7

tan1

tan tan

tan

87tan( )11 1 7

tan

tan( ) tan 22

令

24 6tan ta 4 0n

8

7 ，

4

3 ，

2

tan

t

2 4

3an1

馬上練習 . 設 tan 與 tan 為方程式 7x2 8x + 1 = 0 的兩根，

解：

1 2

2tan or 解之得。

＃＃

360cos cos 2 cos 4

7

設，求的值。

cos cos 2sin

s

cos 4

i

n

原式

1sin 2 cos 2 cos 4

s n2

i

1 1sin 4

si2

n

cos 42

1 1 1sin8

i2

s2

n2

1

8 。

( 7 360 sin8 )sin

7. 範例：

解：

＃＃

餘弦三倍角： cos3 = 4cos3 3cos ( 台語口訣：元 3 = 4 元 3 3 元 )

證明： cos3 = cos(2 + )

= cos2cos sin2sin

= (2cos2 1)cos (2sincos)sin

= 4cos3 3cos 。= 2cos3 cos 2(1cos2)cos

正弦三倍角： sin3 = 3sin 4sin3 ( 即與 cos3 前後對調 )

= 3sin 4sin3 。= 2sin(1sin2) + sin 2sin3

= (2sincos)cos + (12sin2 )sin

= sin2cos + cos2sin

證明： sin3 = sin(2 + )

三三 . . 三倍角公式三倍角公式1. 三倍角公式：


1sin cos

3

已知，

s sn 3 3i co

3 33( ) 4sin sico )s(s cn o

2 213 4(sin cos )(sin sin cos cos )

3

11 4 (1+sin cos )

3

2 21(sin cos ) 1 2sin cos ( )

3 又

4 sin cos

9 。

4 41 (1+ )

3 9 故所求

求 sin3 + cos3 的值。

3 33sin 4sin( ) (4c o )os 3c s

25

27 。

2. 範例：

解：

＃＃

22 2 4 4 ( 1)sin

2 4

sin18 0 又

3. 範例：求 sin18 的值。

解：令 = 18 5 = 90

2 = 90 3

sin2 = sin(90 3) = cos3

2sincos = 4cos3 3cos

同除 cos 得 2sin = 4cos2 3

2sin = 4(1sin2) 3

整理得 4sin2 + 2sin 1 = 0

1 5

4

5 1 sin18

4

。＃＃

( ) sin9

f x x

求除以的餘式。

( )fb

a

3 = ( )sin sin sin9

8 6 1f 所求，其中。

3si2(3 4 ) 1n sin

sin2 13

sin2 13

32 1

2 3 1 。

4. 範例：設 f(x) = 8x3 6x + 1 ，

解：由餘式定理： f(x) 除以 (ax b) 的餘式為

＃＃

A

B3 C

2

x2

2 3AB BC 、，

AC 求之長。

AC x C 設，，

3 2

sin 3 si sin 2 n

x

3 2

sin 2 sin

3cos

4

2

sin 3 sin

x

22 3 4(1 cos )x 9

2( 1+4 )16

2 180 3A B ，

由正弦定理得

3 2(2sin cs s )n oi

32(3sin 4si

si

n

n

)x

180 3

5

2

。

22(3 4sin )

5. 範例：已知 △ ABC 中，且 A 2C ，

解：< 99 學測 >

＃＃22( 1+4cos )

四四 . . 半角公式：半角公式：

sin ( )2 2

1 cos

2

由所在象限決定1. 正弦半角公式：

2cos 2 1 2sin 由二倍角公式：

2

當 1sin

2 2

cos 。

2 1 sin

2

cos 2 ，

2 sin 2 2

1 cos

證明：

馬上練習：1

scos 45

in 22.52

12

2

2

2 2

2

。


cos ( )2 2

1 cos

2

由所在象限決定2. 餘弦半角公式：

證明： 2cos 2 2cos 1 由二倍角公式：

2 1 cos

2

cos 2 ，

2 cos o

2 2

1 c

2

s 當

1cos

2 2

cos 。

1c

cos 45os 22.5

2

12

2

2

2 2

2

。

To be continued To be continued 注意注意

馬上練習：

(1) 1 sin sin cos2 2

2(sin cos ) 1 2sin cos2 2 2 2

1 sin sin cos2 2

2(sin cos ) 1 2sin cos2 2 2 2

(2) 1 co os s2

2c 2 1 cos

cos2 2

21+cos 2cos2

。

1 cos 2sin2

2 1 cossin

2 2

21 cos 2sin2

。

1 sin 。

1 sin 。

注意：


4270 360 sin

5

已知且，

sin cos tan2 2 2

求，與的值。

4270 360 sin

5 且

135 1802 2

，即為第二象限角，

1

2

35

cocos

2

s1

2

c1 os

ctan

2 os1

1sin

2 2

cos

51

2

3

351

1 35

1

5

4

5

2

8

3cos

5 ，

3. 範例：

解：

cos 02

tan 02

sin 02

1

5 。

2

5 。

1

2 。


4225 270 sin 2

5

已知且，

sin cos tan 求，與的值。

4 3sin cos

5 52 2

為第三象限角

31

2

( )5

cos 21ta

s1 o 2n

c

1 cin

o

2

s 2s

1 cos

o

2

s 2c

3( )

)5

1 531 (

2450 540 ，

1

5

31

2

( )5

8

2

4

5

馬上練習 .

解：

第二象限角第二象限角

1

5 。

2

5 。

= 2 。

sin 0

tan 0

cos 0

＃＃

3 4(1, 0) , ( , )

5 5A B AP BP 若，且弧長弧長，

4sin

5( , ) (

3cos ,

5 )B 令

(cos , sin )2 2

P

( , 11 co os

)2 2

c s

( , 31

)2 2

1 ) 53( 5 ( )

1 2

( , ) 5 5

。

Ox

y

P

A(1,0)

3

5( )

5,4

B

2

求 P 點坐標。

解：

4. 範例：如右圖， A ， B ， P 是圓心為原點 O 的單位圓上三點，

＃＃

2 1 cos 2sin

2

； 2 1 cos 2

cos2

。

1 cosin

2

2s

2 1 cos

sin2

2

。

1 cosos

2

2c

2 1 cos

cos2

2

。

2 11.251 cos

sin22.5

2

例如：；

2 1 coscos

211.2

.5

22 5

。 To be continued To be continued 範例範例

5. 半角平方表示法：

說明：1 cos

sin2 2

1 coscos

2 2

4 4cos (11.25 ) sin (11.25 ) 求的值。

2 21 cos 22.5 1 cos 22.5

2 2

原式

2 2cos 22.5 cos 22cos 22.5 2cos 22.5

4

1 5

4

21 .

22co

2s 2 .

42 5

4

1 1 cos 45

2 2

1

2

6 2

8

。

範例：

解：

＃＃1 1 2

(1 )2 22 2

1

1 cos

1 cot ( )

2

san

2

由所在象限決定

22

2sit

c sa

o

nn

由

2 tan1 cos2

co

2

1 s

當

1 cos 22tan112

1.

255

c

5

os 2

21 ( )

( )2

221

(2 2)

(2 (2

(

2))

2 2)

2

2 2

2

2 1 cos 2sin

2

； 2 1 cos 2cos

2

； 2 1 cos 2t

o 2an

1 c s

。

1

1 cos 2

cos 2

，

1 cota

s

2 1 cosn

6. 正切半角公式：

證明：

馬上練習：

注意：半角平方表示法：( 2 1) 。


1tan cos 4

2 已知，求的值。

2

2 tantan 2

1 tan

12

21 1

12 2

2 1

1 ctan 2

4

s

s

4

o

o

c

由半角公式知

2 1 cos

1

4

co

4(

4)

s3

7cos4

25 。

4

3

7. 範例：

解：

＃＃

cos16 41 9 46 os9 c

2 20 180 ( ) sin 2 6cosx f x x x 設，求函數

2 2( ) sin 2 6cosf x x x

2cos 2 3cos 2 2x x

0 180x

cos 2 01 9xx 當，

1 0cos 2x x 當，

23 1(cos 2 )

2 4x

0 36 12 1o 20 c sx x 且，

2 2cos 23 1 3 1

( ) ( ) ( )2 4 2

14

xf x 此時有最大值

2 23 1 3 1( ) ( ) ( )

2 4cos 2

2 41f xx 此時有最小值

2 1 cos 2(1 cos 2 ) 6( )

2

xx

本節結束本節結束

解：

的最大值與最小值。8. 範例：

= 0 。

= 6 。

cos( ) cos0 1 左式，2 2cos cos sin sin cos sin 1 右式。


180 180 若，則，cos cos(180 ) cos ， sin sin(180 ) sin ，

cos( ) cos180 1 左式，

cos cos sin sin ( cos )cos ( sin )sin 右式


180 cos( ) cos cos sin sin 若，同理可得：。

cos co 398 s sin sin4 34 98 例如： 84 3cos( )9 2cos 45

2 。

(3) A 、 B 、 O 三點共線：此時 = 180 ( 或 = 180) 。

(2) A 、 B 兩點重合：此時 = 。

2 2(cos sin ) 1 。

cos( ) cos cos sin sin 。1. 餘弦的和角公式：


1. 餘弦的差角公式：

Documents