1. 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라 .

1) 모형이란 무엇인가2) 모형에는 어떤 종류가 있는가 ?

3) 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업은 어떤 과정을 거치는가 ?

• 학문이나 산업의 각 분야에서 실험 · 전시 · 교육 등의 다양한 용도를 가진 실용적인 것과 장식물 또는 제작과정을 즐기는 사람들의 취미대상이 되는 것으로 크게 분류한다 . 또 , 확대모형 ·실물크기모형 · 축소모형으로 분류하며 용도에 따라 적절히 구분한다 . 고대의 이집트나 중국에서 부장품 ( 副葬品 ) 으로 사용된 이래 오랜 역사를 지니며 , 학문이나 산업 발전에 호응하여 그 중요성이 높아져서 재료나 장치의 개발도 추진되고 있다 .

• 모형의 종류에는 인체모형 , 수질관리모형 , 생태모형등 여러 가지가 있다 .

• 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업• ① 실세계에서의 문제를 파악한다 . 그 문제에

영향을 주는 중요한 요인들을 관찰한다 .• ② 수학적 모델을 설정한다 . 요인의 관계를

분석하고 , 그 관계를 수학적으로 해석하여 그 현상에 대한 수학적 모델을 세운다 . ( 예를들어 방정식 , 그래프 , 도형 등 )

• ③ 수학적 모델의 결과 ( 모델에서의 해 ) 를 구한다 . 그 모델 내어서 수학적으로 문제를 분석하여 결과를 얻는다 .

• ④ 결론 추측 및 판단 , 본 현상의 상황에 비추어 수학적 결과를 재해석함으로써 최종결론을 얻는다 .

• 모델은 현장에서 얻은 자료와 실험실에서 얻은 실험 결과를 조화시킨 수치를 모델의 매개변수에 대입시켜 외부적인 입력에 한계 (System) 의 다양한 반응을 얻어내는 이론적 구조로써 모델의 보정이 필요하다 . 모델의 보정은 일련의 현장자료를 가지고 모델을 시험하는 첫 번째 단계이며 이론적으로 매개변수와 입력 구성요건의 타당성을 시험한다 . 이후 모델에 대한 검증이 요구되며 모델의 유효성을 입증하기 위하여 여러 가지 외적 조건 하에서 여러 현장의 자료를 이용하여 보증된 모델의 유효성을 지속적으로 시험한다 . 즉 현장 데이터 없이 모델의 보정과 검정은 불가능하다 . 모델의 궁극적 사용목적에 따라 현장조사의 양도 변한다 . 만약 모델이 규제 목적으로 사용된다면 모델 결과에 확신을 가질 수 있도록 충분한 현장데이터가 필요하다 . 종종 이런 경우에 어느 정도 다른 환경 하에서 나온 두 가지의 현장 측정이 필요한데 , 하나는 모델의 보정을 위해 , 또 하나는 검정을 위해서 필요하다 .

2. 환경 모델링의 범위 및 목적에 대하여 기술하라 .

• 환경질 모델링의 범위  • 현상 - 인간과 관계있는 현상 , 지구환경과

관계있는 현상• 자연현상 - 기후변화 ( 기후예측모형 )• 인문 , 사회 현상 - 선거결과 예측 ( 통계모형 )

• 모형 (Model) :• 관심있는 혹은 해석하려는 현상을 서술 ( 설명 ,

나타낸 ) 한 것 .• 함축적으로 , 요약해서 , 논리적으로 , 자세하게 ,

한눈에 볼 수 있게 설명하는 것 .• 대상 : 현상을 해석하거나 이해하기 어려운 대상

• 수학적 모형 - 전산 모형 - 하드웨어 , 소프트웨어 - 정보사회

• 수학식으로 표현하여 미분방정식을 해석하여 예측함 .• 1) 현상을 논리적으로 해석 정리 - 물리 , 화학 ,

생물학적 이론 적용• 인문사회현상 - 인문사회적인 기본 이론 적용

• Universal Conservation Rule ( 범용적 보전 법칙 )• 질량 보전 법칙 - Mass Balance - Mass Transport Equa-

tion • - Water, Mass• 힘 평형 법칙 - Force Balance - Equation of Motion• 에너지 평형 - Energy Balace - Energy Equation• 열 평형 - Thermal Balance

• 2) 수식으로 표현 - 지배방정식으로 나타냄 -편미분방정식

• 3) 관련된 파라미터 분석• 4) 전체 시스템 해석 - 미분방정식의 해를 구함 - • 손으로 계산하거나 - 해석해 ( 엄밀해 )• 컴퓨터로 계산함 - 수치해 ( 전산모형 )

• 실험적 모형 - 실험을 통해서 해석 혹은 예측함 .  • 모델링 : 모형을 이용하여 해석 , 설계하는 과정

3. 국내에서 쓰이는 대표적인 환경 관리 모형에

대하여 특성 등을 기술하라 .

• 나프탈렌 매개체에 의한 클로로벤젠의 전기화학적인 탈염소공법

• 북극곰에서 잔류성유기물이 검출된 것이 계기가 되어 1990 년대 초반 노르웨이에서 이의 심각한 독성문제가 제기되었다 . 이와 관련하여 EU 를 중심으로 REACH 제도를 비롯하여 WEEE, ROHS, ELV 지침 등이 2006년도를 전후해서 실시되고 있고 , 미국에서도 CALIForNIA 주가 화장품안전법을 도입하였으며 , 중앙정부에서도 연관 법률을 심의 중에 있다 .

• 할로겐화 방향족 유기화합물은 잔류성이 높고 , 미생물 또는 유해 해충에 작용하여 농작물의 수확량을 높여주는 역할을 하고 있으나 , 인체에 축적되면 발암성과 생식독성 , 피부독성 및 신경장애 등을 일으킨다 . 또한 이러한 물질은 미생물에 의해서는 분해되기 어렵고 , 일반적인 화학반응에 의해서도 쉽게 처리되지 않는다 . 이러한 난분해성은 벤젠에 치환되는 할로겐원자의 수가 증가하면 더욱 증가된다 .

• 유독 할로겐화 방향족 유기화합물은 지금까지 농축시켜 ,

소각처리하고 있었으나 , 소각과정에서 다이옥신 , 푸란 등 발암물질이 부산물로 발생하고 , 이러한 부산물의 발생량을 감소시키기 위해서는 1,000 ℃ 이상의 고온에서 열분해시켜야 하는 등 처리비용도 크게 증가하였다 .

GOULD-DINCER 저수지 저장 - 생산량 - 신뢰도 추정

저수지 용량 - 생산량 - 신뢰도 (S-Y-R) 관계를 추정하는 데에 사용되는 한 조의 GOULD-DINCER 수식은 연간 유량 통계에 기준한 단순한 수식 형태의 유용한 절차로 알려져 있다 . 이는 지수 상에서 관찰된 연간 유량 성격을 범위로 단일 저장 용량에 대한 S-Y-R 의 관계를 컴퓨터로 계산이 가능한 데에 큰 장점이 있다고 본다 . 몇 가지의 다른 기술이 소개되어 있으나 많은 제약이 있어 새로운 효율적인 통합기술로 보인다 .

4. QUAL2E 모형에 대하여 다음의 질문에

답하라 .1) 본 모형의 지배방정식인 물질이동식을 설명하라 . 2) 본 모형에서는 유량 및 단면 등의 수리 현상을 어떻게 해석하고 있는가 ?3) 모형의 수치해석기법을 설명하라 . ( 후방유한차분법 )4) 본 모형의 수질 모델링 항목 및 상호 관계는 다음과 같다 . 이러한 반응들의 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라 .

• QUAL2E 모형에서는 단지 chlorophy11 a 와 질소 , 인 , 용존산소에 대한 순환만 모의가 가능하며 내부생산 유기물의 증가를 모의할 수 없기 때문에 조류가 많이 성장하는 시기에는 정확한 수질 평가를 할 수 없어 이에 대한 부분으로 보완된 것이다 .

수치해석방법 전체 모형은 완전 혼합형 반응조가

계속적으로 이어져 있는 형태로 표현되고 , 각 구간 내부에서는 구간의

수리학적 또는 지형학적 특성을 고려한 하상경사 , 하천의 종단면적 ,

그리고 마찰계수 등과 각 구간의 매개변수인 BOD 분해율 , 저층의 용출율과

조류의 침강속도 등을 포함한 화학 분해 속도 등이 비슷하다고 가정한다 .

소구간은 특성에 따라 다음과 같이 구분한다 .① 수원소구간 : 본류 및 지류의 최상류 요소② 표준소구간 : 가장 일반적인 소구간으로 다른 범위에 포함되지 않은 요소

③ 합류점상단소구간 : 지류와의 합류점 바로 위의 본류상 구간

④ 합류점소구간 : 지류와 합류되는 지점의 본류 소구간 요소

⑤ 최하류소구간 : 하천의 최하류부 소구간으로서 수계전체에서 하나임

⑥ 오염부하소구간 : 본류상의 요소로서 점오염원이 존재하는 소구간 요소

⑦ 취수소구간 : 취수 등을 통하여 본류구간에서 물이 빠져나가는 소구간 요소

모형의 원리 전산 수질 모형실험 ( 모델링 ) 은 수체를 하나의

시스템으로 가정하고 시스템 내부에서 진행되는 모든 물리 , 화학 , 생물학적 작용을 수식화 하여 이를 적용 , 해석함으로써 수질의 변화정도를 예측하는 기법을 말한다 . 생태계 전산 모형은 유역 , 기상 , 수리 , 생물 등 수많은 요인으로 지배되어 있어서 극히 복잡하다 . 비록 전산 모형이 이들 모든 요인들을 조사 연구하여 만들어졌다고 하여도 , 자연계에 있는 모든 것을 정확하게 표현할 수는 없다 . 그러므로 모형은 자연현상을 수학적으로 알기 쉽게 표현할 수 있다는 가정에서부터 출발한다 . ( 모형의 오차 )

• 일반적으로 자연의 시스템을 어느 정도 정확하게 수식화 하느냐에 따라서 모형의 타당성이 평가되고 모형의 공간성 , 시간성을 어떻게 가정하느냐에 따라서 정확도와 응용의 범위가 결정된다 . 공간성은 모의 실험하고자 하는 수체를 물리 , 화학 , 생물학적 현상이 균일한 일련의 구획으로 나누는데 , 이 구획들의 집합이 갖는 공간적인 형태 즉 모형의 공간적 차원으로 설명된다 . 현재 가장 많이 실용화된 것으로 수체를 수면의 수평방향과 수직방향으로 나누어서 각 구획의 하나하나는 균일한 수질을 유지한다고 가정하는 모형이다 .

시간성은 모의 실험하고자 하는 수체의 시간 간격을 단기간 혹은 장기적으로 보느냐에 따른 것이며 , 시간에 따른 가변성을 기준으로 동적 혹은 정상적으로 해석할 수 있다 . 정상 모형 (Steady State Model) 은 자연 하천과 같이 시간에 대한 흐름이 일정하여 상류에서 하류까지 시간에 대한 수질항목의 변동이 적어 수질이 균일한 모형을 지칭하며 , 동적 모형 (Dynamic, Unsteady State Model) 은 댐에 대한 담수호와 같은 인공 호수에서 시간에 따른 수리현상의 변화 때문에 상류에서 하류에 이르기까지 시간에 대한 수질의 변화가 균일하지 못한 모형이며 , 주로 부영양화 예측과 관리 , 식물성 플랑크톤의 군집 변화로 인한 제반 환경 변화를 추적하는 데 동적 모형이 유용하게 사용된다 .

물질이동방정식인은 1차 선형 미분 방정식의 형태로써 기본적으로 수치해석 기법을 적용하지 않더라고 해를 구할 수는 있으나 물질 반응이 각 수질 항목 간에 연계되어 있어 단순 계산에 의해 해를 구하기는 어려우므로 수치 해석에 의한 반복 계산 기법으로 해를 구한다 .

이 모형에서 사용한 수치해석 기법은 유한차분법으로서 요소간의 수질 농도를 선형적으로 가정하는 방법을 사용하고 있다 . 또한 , 요소 수질농도가 미지의 다른 요소 수질농도들의 함수로 표현되는 음해법으로 차분 방법식이 세워지도록 하고 있다 . 물질이동방정식을 1차 반응을 가정한 선형 방정식에 대입하여 다시 표현하면 다음 식과 같다 .

파라미터 입력자료

여기서는 수질모델을 구성하고 있는 각 Parameter가 모형에서 도출하려고 하는 수질인자의 변화에 미치는 영향을 평가한다 . 즉 모형의 구성인자를 일정한 비율로 변화 입력시킴으로써 이것에 대한 수질인자의 변동정도를 파악한다 . 이 예민도 분석에 의해서 하천의 수질 오염의 주요인자의 파악을 가능케함과 동시에 수질변화에 있어서도 중요한 역할을 갖는 Parameter 를 파악할 수가 있을 것이다 . 이것은 최적의 하천수질관리방법을 모색 하는데 에도 유효하리라고 본다 .

한편 예민도 해석을 통해서 각 Patameter 값의 추정 오차가 모형의 출력에 미치는 영향을 평가 할 수도 있다 .

입력 자료의 변화가 출력에 미치는 영향 정도를 조사함으로써 중요인자를 도출하며 , 장래의 자료 수집 시 중요 인자들을 중점적으로 조사하거나 , 중요인자들의 상호관계를 규명함으로써 수학적 모형의 개선에 지침을 마련할 수 있다 . 특히 국내와 같이 반응계수 자료가 미흡하고 실측할 수 있는 여건이 한정되어 있는 경우에는 예민도 분석을 통해 사업대상 수역에 중요한 영향을 미치는 반응계수를 도출하여 그 인자에 대해 집중적으로 조사 , 활용하는 것이 가장 효율적인 것으로 판단된다 .

그런데 생태학적인 모형은 인자의 수가 대단히 많아서 현재 우리나라에서는 그 값을 정할만큼 자료가 수집되어 있지 않으며 , 가까운 장래에 그 모든 인자의 값을 정확하게 규명하는 것도 어려운 여건이다 . 그러므로 예민도 분석으로부터 이 인자들의 중요도를 조사하여 조사의 우선순위를 정할 필요가 있을 것이다 .

예민도 분석은 입력치의 변화에 따른 결과치의 변화를 평가하는 것으로써 어느 시스템 내에서 관련인자를 정확히 파악할 수 없을 경우 적정치를 계산하거나 , 입력 자료의 변화가 결과 치에 미치는 영향 등을 평가할 때 또는 예민도 분석을 통해 유용한 자료를 도출하거나 투자할 만한 가치가 있는 자료를 도출하고자 할 때 사용된다 .

5. 검사체적을 도시하고 이류유송 , 확산이동 , 생화학적 반응 , 직접 오염 부하항 등을 포함하는 3차원 물질이동식을 유도하라 .

위의 그림은 격자모형에서의 물질평형을 나타낸다 . 이 중 각 요소를 설명해 보면 ,

․ 생화학적 반응 : ․ source or sink : ± S 위의 조건을 따를 때 , 물질평형식은 다음과 같이

나타낼 수 있다 . In flux - Out flux ± Reaction ± Source = Internal In-

crement Rate 이 때의 물의 흐름을 나타내면 다음과 같다 . In flux - Out flux ± Source (Percipication) = I.I.R 

일반적인 삼차원 물질이동식은 다음과 같다 . applying the rule of mass balance

devide by &

6. 다음의 호수에 대하여 물평형 (WATER BAL-

ANCE) 관계로부터 물수지식을 유도하라 .

∆저장량 = ∑ 유입 흐름량 + 지하수의 유입량 - ∑ 유출 흐름량 - 지하수의 유출량 + 직접적인 강우량 - 증발량

포괄적인 물수지는 다음의 차분식으로 표현된다 . 여기서 , = 유량 , m3 d-1 = precipitation rate, m d-1 = 강우강도 , m d-1 = surface area of water body, m2 = 물의 표면적 , m2 E = evaporation rate, m d-1 E = 증발량 , m d-1 = time increment, days = 시간 간격 , days = change in storage volume, m3 = 저류 부피의 변화 , m3

물에 대한 물질 수지식을 세우지 않고는 관심의 대상이 되는 수중 화학종에 대한 정확한 물질 수지식을 얻는 것은 불가능하다 . 호수는 다수의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존물질로 간주될 수 있다 . 물의 축적이란 ‘저장의 변화’라는 말이다 . 만약 계가 온도의 변화가 없다면 저장량은 유입과 유출부피에 의해 설명되어진다 .

  ∆저장량 = ∑ 유입 흐름량 - ∑ 유출 흐름량 + 직접적인 강유량 - 증발량

유입량은 지류와 육상 흐름의 부피유입을 포함한다 . 유출량은 수체로부터의 모든 방출을 뜻한다 . 직접적인 강우량은 표면으로부터 바로 떨어지는 물을 말하고 , 증발은 수체의 표면에서 대기로 나가는 물의 물의 부피를 말한다 . ∆저장량은 호수 또는 강에서 높이 또는 유역의 범위 변화로 측정이 가능하다 .

7. 모형의 보정과 검증은 무엇인가 ? 그

차이점은 ?

수중 화학물질의 수학적 모델링의 과정은① 실세계에서의 문제를 파악한다 . 그 문제에 영향을

주는 중요한 요인들을 관찰한다 .② 수학적 모델을 설정한다 . 요인의 관계를 분석하고 ,

그 관계를 수학적으로 해석하여 그 현상에 대한 수학적 모델을 세운다 . ( 예를들어 방정식 , 그래프 , 도형 등 .)

③ 수학적 모델의 결과 ( 모델에서의 해 ) 를 구한다 . 그 모델 내어서 수학적으로 문제를 분석하여 결과를 얻는다 .

④ 결론 추측 및 판단 , 본 현상의 상황에 비추어 수학적 결과를 재해석함으로써 최종결론을 얻는다 .

• 모델은 현장에서 얻은 자료와 실험실에서 얻은 실험 결과를 조화시킨 수치를 모델의 매개변수에 대입시켜 외부적인 입력에 의 한 계 (System) 의 다양한 반응을 얻어내는 이론적 구조로써 모델의 보정이 필요하다 . 모델의 보정은 일련의 현장자료를 가지고 모델을 시험하는 첫 번째 단계이며 이론적으로 매개변수와 입력 구성요건의 타당성을 시험한다 . 이후 모델에 대한 검증이 요구되며 모델의 유효성을 입증하기 위하여 여러 가지 외적 조건 하에서 여러 현장의 자료를 이용하여 보증된 모델의 유효성을 지속적으로 시험한다 . 즉 현장 데이터 없이 모델의 보정과 검정은 불가능하다 . 모델의 궁극적 사용목적에 따라 현장조사의 양도 변한다 . 만약 모델이 규제 목적으로 사용된다면 모델 결과에 확신을 가질 수 있도록 충분한 현장데이터가 필요하다 . 종종 이런 경우에 어느 정도 다른 환경 하에서 나온 두 가지의 현장 측정이 필요한데 , 하나는 모델의 보정을 위해 , 또 하나는 검정을 위해서 필요하다 .

8. 보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기법을 실험실의 실험치 및 현자 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라 . ( 선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요 .)

생화학적 반응항에 Streeter-Phelps 모형에서 다루고 있는 BOD 의 변환과 이에 따른 DO 변화를 고려해서 비보전성 물질에 대한 모델링 가능성을 검토하였다 . BOD 항목에 대한 반응식은 다음과 같다 .

(3-64) (BOD 분해 ) ( 고형 BOD 침전 ) 여기서 , = BOD 의 반응속도 = 총 BOD 농도 (mg/L) = 탈산소 (BOD 분해능 ) 계수 (mg/L) = 깊이 (m) = 유기물 침전 속도 (m/day) = BOD 용존분율

따라서 간단히 할 수 있다 . 위 식은 앞절의 < 그림 3-5> 에 나타나 있으며 BOD

변화에 관련된 여러 과정중에서 BOD 분해과정 (유기물 산화과정 ) 과 고형 BOD 물질의 침전과정을 나타내고 있다 .

2) 용존산소 (Dissolved Oxygen) DO 에 대한 반응식도 BOD 와 마찬가지로 < 그림 3-

5> 에 나타나 있다 . 그림에 나타난 DO 의 변환과정중에서 이 모형에 적용된 DO 의 변환과정은 재폭기과정 , BOD 의 산화에 의한 DO 소비과정이며 반응식은 다음과 같다 .

(DO 재폭기 ) (BOD 산화 ) (퇴적물 DO 소비 )

(3-65) 여기서 , = DO 의 반응속도 = DO 농도 (mg/L) = 포화 DO 농도 (mg/L) = 침전물 산소요구량 (g/m2/day) = 재포기 계수 (1/day) 따라서 , 반응계수는 이고 , 은 부하항 가 된다 .

9. FICK 의 확산법칙을 설명하라 .

Fick 의 법칙은 확산 flux 에 대한 법칙입니다 . 재료과학개론 책이나 금속상변태 책에서 쉽게 찾을 수 있습니다 . Fick 의 법칙을 유도하는 방법은 D.A. Porter 의 Phase Transformations in Metals and Alloys ( 한글판 금속상변태 ) 에 자세히 나와있습니다 .

간략히 설명하면 , 확산이란 기체분자나 원자 , 고체 /액체 상태를 구성하는 원자가 화학포텐셜(chemical potential)차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하는 현상을 말합니다 . 그런데 대부분의 경우 , 화학포텐셜은 농도에 비례합니다 . 즉 , 대부분의 경우에는 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산을 하게 된다는 것입니다 . 이러한 경우에 , 농도구배( 단위길이당 농도의 변화 ) 에 따른 확산 flux 를 예상하는 법칙이 Fick 의 법칙입니다 .

1차원인 경우 , 제 1 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다 .

J 는 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 Flux 이고 , D_B 는 B 원자의 확산계수 , C는 농도 x 는 방향 , dC/dx 는 x 방향으로의 농도 변화율을 나타냅니다 . 이 식은 정상상태의 경우에만 적용할 수 있습니다 . ( 정상상태란 시간에 따른 농도의 변화율 dC/dt=0 인 상태를 말합니다 ). 이 식으로부터 정상상태에서 flux 는 일정하게 유지되고 , 이 때 확산은 농도구배 (농도차 ) 가 클수록 잘 일어나며 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있습니다 .

 

제 2 법칙은 비정상상태 ( 시간에 따라 농도가 변화하는 경우 dC/dt값이 0 이 아닌경우 ) 의 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙입니다 .

J_B값은 Fick 의 제 1 법칙과 같이 표현되는데 , 확산계수 D 가 농도에 상관없이 일정한경우

위식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다 .

이 식의 의미는 , 농도의 2차미분항이 양의 값을 가지는 경우에 그 위치에서는 시간에 따라 B원자의 농도가 높아짐을 의미합니다 . ( 반대로 음의 값을 가지는 경우에는 시간에 따라 감소 ). 즉 , 위치에 따른 농도를 그래프로 나타내었을 때 , 위로 볼록한 부분 (2차미분값이 0 보다 작다 ) 은 시간이 지남에 따라 농도가 감소하고 , 아래로 볼록한 부분 (2차미분값이 0 보다 크다 ) 은 시간이 지남에 따라 농도가 증가하여 전체적으로 농도가 일정하게 됨을 알 수 있습니다 .

10. 수리학적 분산계수를 다상이론으로부터 유도하고

분자확산계수를 포함하는 분산계수를 설명하라 .

확산계수 (diffusion coefficient) 단위면적을 통과하는 물질의 유속과 농도

기울기 사이의 비례상수 . 확산계수는 Arrhenius형태의 식을 따르면 온도에 크게 의존한다 . 확산계수는 고체상태에서 원자나 이온의 이동이 얼마나 용이하게 진행하는가를 나타낸다 .

확산작용이란 공간적인 화학 성분의 농도 차이 , 혹은 깁스 자유에너지 차이에 의해서 발생하는 작용을 말하며 이는 농도의 차이를 줄이는 방향 또는 local system 의 자유에너지가 줄어드는 방향으로 일어난다 .

문제11. 평면 오염원(오염된 호수 퇴적물)으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산에 대한 오염된 퇴적물의 FICK의 제2법칙을 풀어라. 초기 조건(IC)과 경계조건은 다음과 같다.(IC)경계 조건(BC1, BC2)은 반무한 수주(확산의 초기 단계)로 확산되는 일정한 화학 물질에 대한 것이다. (BC1) (BC2)힌트 : 순간적인 평면 오염원에 대한 시행착오법. 아래 편미분 방정식에 대한 해를 구한다.

여기서 A는 임의의 상수이다. 

제 2 법칙은 비정상상태 ( 시간에 따라 농도가 변화하는 경우 dC/dt값이 0 이 아닌경우 ) 의 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙입니다 .

J_B값은 Fick 의 제 1 법칙과 같이 표현되는데 , 확산계수 D 가 농도에 상관없이 일정한경우

위식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다 .

• 이 식의 의미는 , 농도의 2차미분항이 양의 값을 가지는 경우에 그 위치에서는 시간에 따라 B원자의 농도가 높아짐을 의미합니다 . ( 반대로 음의 값을 가지는 경우에는 시간에 따라 감소 ). 즉 , 위치에 따른 농도를 그래프로 나타내었을 때 , 위로 볼록한 부분 (2차미분값이 0 보다 작다 ) 은 시간이 지남에 따라 농도가 감소하고 , 아래로 볼록한 부분 (2차미분값이 0 보다 크다 ) 은 시간이 지남에 따라 농도가 증가하여 전체적으로 농도가 일정하게 됨을 알 수 있습니다 .

12. 물질이동식을 해석하기 위한 BOX 모형을 설명하라 .

dx, dy, dz 를 검사체적이라 하고 각 축 방향으로 그림에 단위면적당의 질량이 유입또는 유출된다고 가정한다 .

x 방향의 이들의 차는 다음과 같다 . y 방향의 이들의 차는 다음과 같다 . z 방향의 이들의 차는 다음과 같다 . 또한 정류이며 비압축성 유체의 흐름이면

다음과 같다 . 3차원 연속정식에서의 1차원 부정류의

연속방정식은 다음과 같다 .

운동방정식 단위 질량에 작용하는 질량력의 x,y,z 방향의

성분을 각각 X,Y,Z 라고 하고 dydz 평면에 작용하는 xqkdgid 의 정압력을 p 라 하면 dx만큼 떨어진 면에서는 반대방향으로 가 작용한다 .

속도 u=u(x,y,z,t) 이며 , 전미분으로부터 윗 식의 양변을 dt 로 나누어서 다음 식을

유도하고 ,

Newton 의 제 2 의 법칙으로부터 다음 공식을 유도 할 수 있다 .

∴

식을 조합하면

13. 환전혼합조 , 플러그유동조 , 이류확산조에 대하여 다음의

질문에 답하라 .

1) 각 반응조의 지배방정식을 그림을 이용하여 유도하라 .

2) 각 반응조의 주요 파라미터를 기술하라 .3) 각 반응조에 대하여 정상상태의 경우

상미분방정식의 해를 유도하라 .

(1) 완전혼합시스템 (CSTR) 이상적인 완전 혼합 시스템은 그림 1 과 같은 호수를 이용하여 설명된다 . 모형에 포함된 주 가정은 호수에서 화학물의 농도는 일정하고 (완전혼합 ) 배출구의 농도는 C 이며 , 이 농도는 호수 내의 어느 곳에서도 같다는 것이다 . 물질수지는 다음과 같다 .

호수내 질량 변화 유입 질량 유출 질량 호수내 질량 반응 =-±     

이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다 .

= 호수와 유출류의 화학물 농도 , ML-3 = 유입유량 , L3T-1 = 유출유량 , L3T-1 = 호수의 체적 , L3 = 반응율 , ML-3L-1; 양성 (+) 과 음성 (-) 은

각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다 . = 시간 , T

가 Δt 가 0 으로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같다 .

(62) 호수의 체적 , 유량 및 , 그리고

유입농도 는 시간에 따라 변하는 변수가 될 수 있다 . 완전혼합 가정에 덧붙여 , 방정식을 더욱 단순화하기 위하여 가정들을 만들 수 있을 것이다 :

1. 유입농도 는 일정하다 . 2. 호수의 유입 유출 유량은 일정하고 ( = = =

상수 ), 호수의 체적 도 일정하다 . ( ). 3. 호수내에서 일어나는 농도 C 의 변화율은

1차반응에 의해 지배된다 ( ; 음성 (-) 기호는 감소반응을 표시한다 ).

이 모든 가정들을 종합하면 식 (62) 는 다음과 같이 쓰여질 수 있다 .

식 (63) 는 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식이다 .

예를 들면 , 화학물의 배출이 비교적 짧은 기간동안 일어났다면 , 호수내 화학물 누출에 의한 변화는 충격 ( 또는 델타 ) 함수를 이용하여 수식화될 수 있을 것이다 . 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우 , 식 (63)은 다음과 같이 줄어든다 .

플러그 유동 시스템 (PFR)

• 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 5 에 예제로서 강을 사용하여 나타내었다 . 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고 (플러그처럼 ), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것이다 . 이것은 일차원 모형이다 . 물질수지는 증가 체적 V 를 중심으로 다음과 같이 주어진다 .

여기서 , = 단면적 , = 하천의 유한 증가 두께 , = 시간간격 , = 1차 감소율 ,

확산을 가지는 플러그 유동

• 하구의 예를 이용하여 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 6 에 나타내었다 . 플러그 유동 모형에서 기술했던 것처럼 , 물질수지는 유한 체적이 아닌 기본적 검사 체적에 대해서 기술되었다 .