1 Εξισσεις Ροής 1 Εξισσεις Ροής Υολογιστική ... · 2019. 6....

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ 15

1 Εξισώσεις Ροής-Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών

1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

1.1.1 Γενικά θέματα

Η μαθηματική προσομοίωση έχει αναδειχθεί, ιδίως κατά τα τελευταία έτη, ως ένααυτοδύναμο γνωστικό αντικείμενο που αποδεικνύεται από τον εκπληκτικάμεγάλο αριθμό ειδικευμένων επιστημονικών περιοδικών που εκδίδονται κάθε έτοςκαι του αριθμού των επιστημονικών συνεδρίων. Η Υπολογιστική ΜηχανικήΡευστών (Computational Fluid Dynamics, CFD), που είναι μαθηματικήπροσομοίωση, έχει φθάσει στο επίπεδο του να είναι ένα βασικό εργαλείο όχι μόνοανάλυσης αλλά και σχεδιασμού σε θέματα:

· Αεροναυπηγικής· Μηχανολογίας,· Χημικών Μηχανικών,· Περιβαλλοντολογικής Μηχανικής,· Επιστήμης Πολιτικών Μηχανικών,· Πυρηνικής Μηχανικής και ιδίως· Εμβιομηχανικής.


1 Εξισώσεις Ροής-Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών

1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

1.1.1 Γενικά θέματα

Η μαθηματική προσομοίωση έχει αναδειχθεί, ιδίως κατά τα τελευταία έτη, ως ένααυτοδύναμο γνωστικό αντικείμενο που αποδεικνύεται από τον εκπληκτικάμεγάλο αριθμό ειδικευμένων επιστημονικών περιοδικών που εκδίδονται κάθε έτοςκαι του αριθμού των επιστημονικών συνεδρίων. Η Υπολογιστική ΜηχανικήΡευστών (Computational Fluid Dynamics, CFD), που είναι μαθηματικήπροσομοίωση, έχει φθάσει στο επίπεδο του να είναι ένα βασικό εργαλείο όχι μόνοανάλυσης αλλά και σχεδιασμού σε θέματα:

· Αεροναυπηγικής· Μηχανολογίας,· Χημικών Μηχανικών,· Περιβαλλοντολογικής Μηχανικής,· Επιστήμης Πολιτικών Μηχανικών,· Πυρηνικής Μηχανικής και ιδίως· Εμβιομηχανικής.

16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΟΗΣ-ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) των ρευστομηχανικών προβλημάτωνπου ελέγχουν την ροή είναι μη γραμμικές, 3D, ασταθείς, τυρβώδεις και απαιτούνδιαθεματικές προσεγγίσεις προς επίλυση. Οι ΜΔΕ κατατάσσονται ως ελλειπτικές,παραβολικές και υπερβολικές ανάλογα του χώρου επιρροής των διαταραχών οιοποίες δημιουργούνται στο χώρο των υπολογισμών.

Tα περισσότερα των 2D και 3D εφαρμοσμένων προβλημάτων της Μηχανικής τωνΡευστών δεν έχουν αναλυτική λύση, γιατί συνήθως αποτελούνται από μη ομαλέςγεωμετρικές επιφάνειες στις οποίες είναι δύσκολο να εφαρμοσθούν οι οριακέςσυνθήκες. Σε πολλές περιπτώσεις είναι πρόσφορο να χρησιμοποιηθεί αριθμητικήμέθοδος προς επίλυση των ΜΔΕ που ελέγχουν την ροή. Με την ανάπτυξη τουυψηλής ταχύτητας ηλεκτρονικού υπολογιστή οι αριθμητικές λύσειςαναπτύχθηκαν και επεκτάθηκαν έτσι ώστε να μπορούν να δώσουν λύση σχεδόνσε κάθε παρουσιαζόμενο πρόβλημα άσχετα του κατά πόσο είναι αυτό δύσκολο ναεπιλυθεί. Αν και οι λύσεις με τις αριθμητικές μεθόδους δίνουν απάντηση σεδεδομένο αριθμό διακριτών σημείων και μόνον σε διακριτά χρονικά διαστήματα,προκειμένου για ασταθείς ροές, αυτό καθ΄ αυτό το γεγονός δεν αποτελεί σοβαρόμειονέκτημα διότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και διάφορες συναρτήσειςπαρεμβολής αλλά και μεγάλος αριθμός υπολογιστικών κόμβων ώστε η ανάδειξητης λύσης να είναι ικανοποιητική.

1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα

Η αριθμητική επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος Μηχανικής Ρευστών απαιτείστην αρχή την περιγραφή της γεωμετρίας του προβλήματος και στη συνέχεια τηνκατασκευή του υπολογιστικού πεδίου το οποίο συντίθεται από πεπερασμέναστοιχεία ή όγκους στους οποίους στηρίζεται η επίλυση. Η κατασκευή τέτοιωνδικτύων είναι σημαντική εργασία η οποία πρέπει να εκτελεσθεί πριν την επίλυσητου προβλήματος. Στα τελευταία ιδίως χρόνια η ανάπτυξη της επιστήμης τηςκατασκευής υπολογιστικών δικτύων (grid generation) αποτελεί αυτοτελέςγνωστικό αντικείμενο. Ο τρόπος με τον οποίο θα αναγνωσθούν από τοπρόγραμμα τα πεπερασμένα στοιχεία ή οι όγκοι είναι θέμα υπολογιστικήςανάλυσης. Υπάρχουν κατά βάση δύο τεχνικές δημιουργίας υπολογιστικώνδικτύων: τα δομημένα και τα μη δομημένα δίκτυα.

Tα δομημένα (structured) δίκτυα βασίζονται στις καμπυλευμένες συντεταγμένεςοι οποίες προσδιορίζονται στα ορία του προβλήματος (body-fitted coordinates).Τα δίκτυα αυτά είναι δυνατό να αποτελούνται από μη ορθογωνικές υπολογιστικές


Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) των ρευστομηχανικών προβλημάτωνπου ελέγχουν την ροή είναι μη γραμμικές, 3D, ασταθείς, τυρβώδεις και απαιτούνδιαθεματικές προσεγγίσεις προς επίλυση. Οι ΜΔΕ κατατάσσονται ως ελλειπτικές,παραβολικές και υπερβολικές ανάλογα του χώρου επιρροής των διαταραχών οιοποίες δημιουργούνται στο χώρο των υπολογισμών.

Tα περισσότερα των 2D και 3D εφαρμοσμένων προβλημάτων της Μηχανικής τωνΡευστών δεν έχουν αναλυτική λύση, γιατί συνήθως αποτελούνται από μη ομαλέςγεωμετρικές επιφάνειες στις οποίες είναι δύσκολο να εφαρμοσθούν οι οριακέςσυνθήκες. Σε πολλές περιπτώσεις είναι πρόσφορο να χρησιμοποιηθεί αριθμητικήμέθοδος προς επίλυση των ΜΔΕ που ελέγχουν την ροή. Με την ανάπτυξη τουυψηλής ταχύτητας ηλεκτρονικού υπολογιστή οι αριθμητικές λύσειςαναπτύχθηκαν και επεκτάθηκαν έτσι ώστε να μπορούν να δώσουν λύση σχεδόνσε κάθε παρουσιαζόμενο πρόβλημα άσχετα του κατά πόσο είναι αυτό δύσκολο ναεπιλυθεί. Αν και οι λύσεις με τις αριθμητικές μεθόδους δίνουν απάντηση σεδεδομένο αριθμό διακριτών σημείων και μόνον σε διακριτά χρονικά διαστήματα,προκειμένου για ασταθείς ροές, αυτό καθ΄ αυτό το γεγονός δεν αποτελεί σοβαρόμειονέκτημα διότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και διάφορες συναρτήσειςπαρεμβολής αλλά και μεγάλος αριθμός υπολογιστικών κόμβων ώστε η ανάδειξητης λύσης να είναι ικανοποιητική.

1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα

Η αριθμητική επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος Μηχανικής Ρευστών απαιτείστην αρχή την περιγραφή της γεωμετρίας του προβλήματος και στη συνέχεια τηνκατασκευή του υπολογιστικού πεδίου το οποίο συντίθεται από πεπερασμέναστοιχεία ή όγκους στους οποίους στηρίζεται η επίλυση. Η κατασκευή τέτοιωνδικτύων είναι σημαντική εργασία η οποία πρέπει να εκτελεσθεί πριν την επίλυσητου προβλήματος. Στα τελευταία ιδίως χρόνια η ανάπτυξη της επιστήμης τηςκατασκευής υπολογιστικών δικτύων (grid generation) αποτελεί αυτοτελέςγνωστικό αντικείμενο. Ο τρόπος με τον οποίο θα αναγνωσθούν από τοπρόγραμμα τα πεπερασμένα στοιχεία ή οι όγκοι είναι θέμα υπολογιστικήςανάλυσης. Υπάρχουν κατά βάση δύο τεχνικές δημιουργίας υπολογιστικώνδικτύων: τα δομημένα και τα μη δομημένα δίκτυα.

Tα δομημένα (structured) δίκτυα βασίζονται στις καμπυλευμένες συντεταγμένεςοι οποίες προσδιορίζονται στα ορία του προβλήματος (body-fitted coordinates).Τα δίκτυα αυτά είναι δυνατό να αποτελούνται από μη ορθογωνικές υπολογιστικές


γραμμές και ο χώρος ροής να αποτελείται από πολλαπλούς χώρους. Η κατανομήτων κόμβων είναι δυνατό να είναι μη ομοιόμορφη, Σχήμα 1.1.

Σχήμα 1.1 Δομημένο υπολογιστικό δίκτυο 3D

Τα μη δομημένα (unstructured) δίκτυα είναι δυνατό να κατασκευασθούν με τητοποθέτηση κόμβων σε όλα τα εσωτερικά και εξωτερικά όρια της γεωμετρίας τουπροβλήματος. Η κατασκευή των πεπερασμένων στοιχείων ή όγκων γίνεται με τηχρήση της τεχνικής τριγωνοποίησης Delaunay, Σχήμα 1.2. Το κύριο πλεονέκτηματης ανάπτυξης και χρήσης μη δομημένων τεχνικών είναι η πιθανήαυτοματοποίηση στη διαδικασία διακριτοποίησης σύνθετων γεωμετρικώνπροβλημάτων ροής και μετά απ΄ αυτό στη πύκνωση ή αραίωση του δκτύου (gridadaptation) κατά το δοκούν στη διαδικασία επίλυσης.


γραμμές και ο χώρος ροής να αποτελείται από πολλαπλούς χώρους. Η κατανομήτων κόμβων είναι δυνατό να είναι μη ομοιόμορφη, Σχήμα 1.1.

Σχήμα 1.1 Δομημένο υπολογιστικό δίκτυο 3D

Τα μη δομημένα (unstructured) δίκτυα είναι δυνατό να κατασκευασθούν με τητοποθέτηση κόμβων σε όλα τα εσωτερικά και εξωτερικά όρια της γεωμετρίας τουπροβλήματος. Η κατασκευή των πεπερασμένων στοιχείων ή όγκων γίνεται με τηχρήση της τεχνικής τριγωνοποίησης Delaunay, Σχήμα 1.2. Το κύριο πλεονέκτηματης ανάπτυξης και χρήσης μη δομημένων τεχνικών είναι η πιθανήαυτοματοποίηση στη διαδικασία διακριτοποίησης σύνθετων γεωμετρικώνπροβλημάτων ροής και μετά απ΄ αυτό στη πύκνωση ή αραίωση του δκτύου (gridadaptation) κατά το δοκούν στη διαδικασία επίλυσης.


Σχήμα 1.2 Μη δομημένο υπολογιστικό δίκτυο 2D

1.1.3 Βασικές θεωρήσεις και απαιτούμενα βήματα για την ανάπτυξη αριθμητικού αλγόριθμου

Κατωτέρω αναφέρονται σύντομα οι βασικές θεωρήσεις αλλά και τα απαιτούμεναβήματα για ανάπτυξη και εφαρμογή αριθμητικής προσομοίωσης προβλημάτωνΜηχανικής Ρευστών.

α) Αναγνώριση του προβλήματος

· Aναγνώριση του προβλήματος και κατανόηση του μελετητικού ήερευνητικού προγράμματος,


Σχήμα 1.2 Μη δομημένο υπολογιστικό δίκτυο 2D

1.1.3 Βασικές θεωρήσεις και απαιτούμενα βήματα για την ανάπτυξη αριθμητικού αλγόριθμου

Κατωτέρω αναφέρονται σύντομα οι βασικές θεωρήσεις αλλά και τα απαιτούμεναβήματα για ανάπτυξη και εφαρμογή αριθμητικής προσομοίωσης προβλημάτωνΜηχανικής Ρευστών.

α) Αναγνώριση του προβλήματος

· Aναγνώριση του προβλήματος και κατανόηση του μελετητικού ήερευνητικού προγράμματος,


· καθορισμός των επί μέρους αντικειμενικών σκοπών και αναμενόμενα απότην έρευνα αποτελέσματα,

· πλεονεκτήματα και οικονομική θεώρηση ανάπτυξης και χρήσηςαριθμητικών προσομοιώσεων,

· σύλληψη και σχεδιασμός των ορίων της προσομοίωσης,· λήψη δεδομένων και έλεγχος της αξιοπιστίας του αριθμητικού

προσομοίωση.

β) Προσομοίωση του προβλήματος

· Επιλογή των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών τουπροβλήματος,

· επιλογή του είδους της προσομοίωσης και των σχετικών αριθμητικώνπροσεγγίσεων,

· καθορισμός των βασικών εξισώσεων, των αρχικών συνθηκών ροής, γιαασταθή ροή, και των οριακών συνθηκών,

· παραδοχές του προβλήματος,· ανάπτυξη των επί μέρους προγραμμάτων για την ολοκλήρωση του

προβλήματος.

γ) Επίλυση του προβλήματος

· Επιλογή κατάλληλης τεχνικής επίλυσης ή/και κατάλληλου έτοιμουδιαθέσιμου λογισμικού,

· χρήση κατάλληλων υπολογιστικών συστημάτων, desk-top, work-station,κεντρική υπολογιστική μονάδα,

· επαλήθευση των αποτελεσμάτων των υπολογισμών με ακριβείςαναλυτικές λύσεις, εφ΄ όσον αυτές υπάρχουν, ή άλλες αριθμητικέςτεχνικές, ή πειραματικά, ή οπτικά αποτελέσματα,

· παρουσίαση των αποτελεσμάτων, ερμηνεία αυτών και προτάσεις γιαπεραιτέρω μελέτη,

· χρήση του αναπτυχθέντος λογισμικού για ανάλυση, σχεδιασμό και λήψηαπόφασης για περαιτέρω επιστημονική δράση.


· καθορισμός των επί μέρους αντικειμενικών σκοπών και αναμενόμενα απότην έρευνα αποτελέσματα,

· πλεονεκτήματα και οικονομική θεώρηση ανάπτυξης και χρήσηςαριθμητικών προσομοιώσεων,

· σύλληψη και σχεδιασμός των ορίων της προσομοίωσης,· λήψη δεδομένων και έλεγχος της αξιοπιστίας του αριθμητικού

προσομοίωση.

β) Προσομοίωση του προβλήματος

· Επιλογή των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών τουπροβλήματος,

· επιλογή του είδους της προσομοίωσης και των σχετικών αριθμητικώνπροσεγγίσεων,

· καθορισμός των βασικών εξισώσεων, των αρχικών συνθηκών ροής, γιαασταθή ροή, και των οριακών συνθηκών,

· παραδοχές του προβλήματος,· ανάπτυξη των επί μέρους προγραμμάτων για την ολοκλήρωση του

προβλήματος.

γ) Επίλυση του προβλήματος

· Επιλογή κατάλληλης τεχνικής επίλυσης ή/και κατάλληλου έτοιμουδιαθέσιμου λογισμικού,

· χρήση κατάλληλων υπολογιστικών συστημάτων, desk-top, work-station,κεντρική υπολογιστική μονάδα,

· επαλήθευση των αποτελεσμάτων των υπολογισμών με ακριβείςαναλυτικές λύσεις, εφ΄ όσον αυτές υπάρχουν, ή άλλες αριθμητικέςτεχνικές, ή πειραματικά, ή οπτικά αποτελέσματα,

· παρουσίαση των αποτελεσμάτων, ερμηνεία αυτών και προτάσεις γιαπεραιτέρω μελέτη,

· χρήση του αναπτυχθέντος λογισμικού για ανάλυση, σχεδιασμό και λήψηαπόφασης για περαιτέρω επιστημονική δράση.


1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΟΗΣ

Πριν γίνει η ανάπτυξη των βασικών εξισώσεων της ροής, ήτοι της διατήρησης τηςμάζας, διατήρησης των ορμών και της διατήρησης της ενέργειας, είναι χρήσιμο νααναφερθούν, επιγραμματικά, τα βασικότερα από τα είδη ροής τα οποία ήθελαν ναπροκύψουν στη πράξη. Η κατηγοριοποίηση αυτή μπορεί να πάρει την πιο κάτωμορφή, Πίνακας 1.1. Για να λυθούν τα προβλήματα της Μηχανικής των Ρευστώναπαιτείται η ταυτόχρονη ικανοποίηση και των τριών νόμων της,

· διατήρηση της συνέχειας της μάζας,· διατήρηση των ορμών,· διατήρηση της ενέργειας.

Ακολουθεί η ανάπτυξη των εξισώσεων ροής.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

Εσωτερική ροή Εξωτερική ροή

Μη συνεκτική ροή Συνεκτική ροή

Ασυμπίεστη ροή Συμπιεστή ροή Νευτωνική ροή Μη Νευτωνική ροή

1D 2D Q2D 3D Στρωτή Μεταβατική Τυρβώδης

Μόνιμη Μη μόνιμη Ασυμπίεστη ροή Συμπιεστή ροή

1D 2D Q2D 3D

Μόνιμη Μη μόνιμη

Πίνακας 1.1 Κατηγοριοποίηση Μηχανικής Ρευστών


1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΟΗΣ

Πριν γίνει η ανάπτυξη των βασικών εξισώσεων της ροής, ήτοι της διατήρησης τηςμάζας, διατήρησης των ορμών και της διατήρησης της ενέργειας, είναι χρήσιμο νααναφερθούν, επιγραμματικά, τα βασικότερα από τα είδη ροής τα οποία ήθελαν ναπροκύψουν στη πράξη. Η κατηγοριοποίηση αυτή μπορεί να πάρει την πιο κάτωμορφή, Πίνακας 1.1. Για να λυθούν τα προβλήματα της Μηχανικής των Ρευστώναπαιτείται η ταυτόχρονη ικανοποίηση και των τριών νόμων της,

· διατήρηση της συνέχειας της μάζας,· διατήρηση των ορμών,· διατήρηση της ενέργειας.

Ακολουθεί η ανάπτυξη των εξισώσεων ροής.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

Εσωτερική ροή Εξωτερική ροή

Μη συνεκτική ροή Συνεκτική ροή

Ασυμπίεστη ροή Συμπιεστή ροή Νευτωνική ροή Μη Νευτωνική ροή

1D 2D Q2D 3D Στρωτή Μεταβατική Τυρβώδης

Μόνιμη Μη μόνιμη Ασυμπίεστη ροή Συμπιεστή ροή

1D 2D Q2D 3D

Μόνιμη Μη μόνιμη

Πίνακας 1.1 Κατηγοριοποίηση Μηχανικής Ρευστών


1.2.1 Συνέχειας της μάζας

Μονοδιάστατη ροή. Στοιχειώδης «ροϊκός σωλήνας» είναι εκείνος ο υποθετικόςαγωγός ο οποίος σχηματίζεται από ένα σύνολο εσώκλειστων ροϊκών γραμμών.Επειδή εξ ορισμού δεν υπάρχει ροή κάθετη προς τις ροϊκές γραμμές, το ρευστόπρέπει να εισέλθει εντός του «ροϊκού σωλήνος» και να εξέλθει από αυτό από ταάκρα μέρη του και μόνο. Έστω ότι τα στοιχειώδη εμβαδά των διατομών εισόδουείναι δΑ1 και εξόδου δΑ2, ενώ οι αντίστοιχες στοιχειώδεις ταχύτητες είναι u1 καιu2. Είναι προφανές ότι η στοιχειώδης παροχή δQ, δηλαδή η παρεχόμενη ποσότηταρευστού ΔV στη μονάδα χρόνου Δt, δίνεται,

2211 AδuAδuQδ == (1.1)

Μετά την ολοκλήρωση σ΄ όλο τον διαθέσιμο χώρο ροής, η παροχή Q είναι,

2211 AUAUQ == (1.2)

όπου U1 και U2 οι μέσες τιμές των ταχυτήτων, ενώ Α1 και Α2 τα εμβαδά τωνδιατομών στην είσοδο 1 και έξοδο 2, αντίστοιχα του αγωγού. Η τελική εξίσωσητης συνέχειας της μάζας μπορεί να εκφρασθεί ως,

== UAQ σταθερή (1.3)

Η κατωτέρω εξίσωση δίνει τη ποσότητα όγκου δV του ρευστού του διερχόμενουμέσω της διατομής Α στη μονάδα του χρόνου δt, δηλαδή την παροχή. Είναι,

tδVδQ = (1.4)

Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται ο υπολογισμός της ροής μάζας tδ/mδm =& .Επειδή m=ρV, τότε για σταθερά πυκνότητα είναι δm=ρδV και στη μονάδα τουχρόνου, είναι,


1.2.1 Συνέχειας της μάζας

Μονοδιάστατη ροή. Στοιχειώδης «ροϊκός σωλήνας» είναι εκείνος ο υποθετικόςαγωγός ο οποίος σχηματίζεται από ένα σύνολο εσώκλειστων ροϊκών γραμμών.Επειδή εξ ορισμού δεν υπάρχει ροή κάθετη προς τις ροϊκές γραμμές, το ρευστόπρέπει να εισέλθει εντός του «ροϊκού σωλήνος» και να εξέλθει από αυτό από ταάκρα μέρη του και μόνο. Έστω ότι τα στοιχειώδη εμβαδά των διατομών εισόδουείναι δΑ1 και εξόδου δΑ2, ενώ οι αντίστοιχες στοιχειώδεις ταχύτητες είναι u1 καιu2. Είναι προφανές ότι η στοιχειώδης παροχή δQ, δηλαδή η παρεχόμενη ποσότηταρευστού ΔV στη μονάδα χρόνου Δt, δίνεται,

2211 AδuAδuQδ == (1.1)

Μετά την ολοκλήρωση σ΄ όλο τον διαθέσιμο χώρο ροής, η παροχή Q είναι,

2211 AUAUQ == (1.2)

όπου U1 και U2 οι μέσες τιμές των ταχυτήτων, ενώ Α1 και Α2 τα εμβαδά τωνδιατομών στην είσοδο 1 και έξοδο 2, αντίστοιχα του αγωγού. Η τελική εξίσωσητης συνέχειας της μάζας μπορεί να εκφρασθεί ως,

== UAQ σταθερή (1.3)

Η κατωτέρω εξίσωση δίνει τη ποσότητα όγκου δV του ρευστού του διερχόμενουμέσω της διατομής Α στη μονάδα του χρόνου δt, δηλαδή την παροχή. Είναι,

tδVδQ = (1.4)

Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται ο υπολογισμός της ροής μάζας tδ/mδm =& .Επειδή m=ρV, τότε για σταθερά πυκνότητα είναι δm=ρδV και στη μονάδα τουχρόνου, είναι,


UρQρtδ

Vδρtδmδm Α====& (1.5)

Προκειμένου για δύο σημεία 1 και 2 του αγωγού, η ανωτέρω εξίσωση δίνει ,

212111 AUρAUρ = (1.6)

όπου ρ1 και ρ2 οι πυκνότητες του ρευστού στις αντίστοιχες θέσεις. Προφανώς γιαασυμπίεστη ροή, όπου δηλ. ρ1= ρ2 , ισχύει η Εξ.1.2. Όλες οι ανωτέρω περιπτώσειςαφορούν σταθερή ροή.

Στη περίπτωση ασταθούς ροής και μέσα στον όγκο ελέγχου του περικλειόμενουμεταξύ των διατομών 1 και 2, η διαφορά της εισερχόμενης ρ1U1A1 από τηνεξερχόμενη μάζα ρ2U2A2 είναι ίση με τη μεταβολή της μάζας κατά το χρονικόδιάστημα δt. Για δt 0® είναι,

222111 AUρAUρdtdm

-= (1.7)

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της συνέχειας της μάζας. Ας θεωρηθεί οστοιχειώδης όγκος ελέγχου του Σχήματος 1.3. Στο κέντρο αυτού η πυκνότητα τουρευστού είναι ρ και οι συνιστώσες της ταχύτητας, οι παράλληλες προς τουςάξονες x,y,z, είναι u, v και w, αντίστοιχα. Η ροή μάζας GDd ABm& στην επιφάνειαΑΒΓΔ, η οποία είναι κάθετη προς τη u συνιστώσα, είναι,

zδyδ]2xδ

x)uρ(uρ[mδ

¶¶

-=ΑΒΓΔ& (1.8)

Όμοια, η εξερχόμενη ροή μάζας από την επιφάνεια ΕΖΗΘ είναι,


UρQρtδ

Vδρtδmδm Α====& (1.5)

Προκειμένου για δύο σημεία 1 και 2 του αγωγού, η ανωτέρω εξίσωση δίνει ,

212111 AUρAUρ = (1.6)

όπου ρ1 και ρ2 οι πυκνότητες του ρευστού στις αντίστοιχες θέσεις. Προφανώς γιαασυμπίεστη ροή, όπου δηλ. ρ1= ρ2 , ισχύει η Εξ.1.2. Όλες οι ανωτέρω περιπτώσειςαφορούν σταθερή ροή.

Στη περίπτωση ασταθούς ροής και μέσα στον όγκο ελέγχου του περικλειόμενουμεταξύ των διατομών 1 και 2, η διαφορά της εισερχόμενης ρ1U1A1 από τηνεξερχόμενη μάζα ρ2U2A2 είναι ίση με τη μεταβολή της μάζας κατά το χρονικόδιάστημα δt. Για δt 0® είναι,

222111 AUρAUρdtdm

-= (1.7)

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της συνέχειας της μάζας. Ας θεωρηθεί οστοιχειώδης όγκος ελέγχου του Σχήματος 1.3. Στο κέντρο αυτού η πυκνότητα τουρευστού είναι ρ και οι συνιστώσες της ταχύτητας, οι παράλληλες προς τουςάξονες x,y,z, είναι u, v και w, αντίστοιχα. Η ροή μάζας GDd ABm& στην επιφάνειαΑΒΓΔ, η οποία είναι κάθετη προς τη u συνιστώσα, είναι,

zδyδ]2xδ

x)uρ(uρ[mδ

¶¶

-=ΑΒΓΔ& (1.8)

Όμοια, η εξερχόμενη ροή μάζας από την επιφάνεια ΕΖΗΘ είναι,


zδyδ]2xδ

x)uρ(uρ[mδ

¶¶

+=ΕΖΗΘ& (1.9)

επομένως, η καθαρή εισροή μέσω των ανωτέρω δύο επιφανειών των καθέτωνπρος τον άξονα των x είναι,

z

2zδ

z)wρ(wρ

¶¶

+

B Ζ δy

A δz y2yδ

y)vρ(vρ

¶¶

+ Ε

2xδ

x)uρ(uρ

¶¶

-2xδ

x)uρ(uρ

¶¶

+

Γ2yδ

y)vρ(vρ

¶¶

- Η

Δ δx2zδ

z)wρ(wρ

¶¶

- Θ

x

Σχήμα 1.3 Ροή μάζας μέσω στοιχειώδους όγκου ελέγχου

zδyδxδx

)uρ(mδ x ¶¶

-=& (1.10)

Παρόμοιες εκφράσεις μπορούν να γραφούν με τη καθαρή ροή μέσω τωνυπολοίπων ζευγών των επιφανειών. Έτσι, η ολικά καθαρή εισροή μέσα στον όγκοελέγχου θα είναι, zyx mδmδmδmδ &&&& ++= . Από τα πιο πάνω,


zδyδ]2xδ

x)uρ(uρ[mδ

¶¶

+=ΕΖΗΘ& (1.9)

επομένως, η καθαρή εισροή μέσω των ανωτέρω δύο επιφανειών των καθέτωνπρος τον άξονα των x είναι,

z

2zδ

z)wρ(wρ

¶¶

+

B Ζ δy

A δz y2yδ

y)vρ(vρ

¶¶

+ Ε

2xδ

x)uρ(uρ

¶¶

-2xδ

x)uρ(uρ

¶¶

+

Γ2yδ

y)vρ(vρ

¶¶

- Η

Δ δx2zδ

z)wρ(wρ

¶¶

- Θ

x

Σχήμα 1.3 Ροή μάζας μέσω στοιχειώδους όγκου ελέγχου

zδyδxδx

)uρ(mδ x ¶¶

-=& (1.10)

Παρόμοιες εκφράσεις μπορούν να γραφούν με τη καθαρή ροή μέσω τωνυπολοίπων ζευγών των επιφανειών. Έτσι, η ολικά καθαρή εισροή μέσα στον όγκοελέγχου θα είναι, zyx mδmδmδmδ &&&& ++= . Από τα πιο πάνω,


zδyδxδ]z

)wρ(y

)vρ(x

)uρ([mδ¶

¶+

¶¶

+¶

¶-=& (1.11)

Η αύξηση της ροής της μάζας στον όγκο ελέγχου είναι,

t)zδyδxρδ(

tmmδ

¶¶

=¶¶

=& (1.12)

Με εξίσωση των Εξ. 1.11 και 1.12, είναι,

0z

)wρ(y

)vρ(x

)uρ(tρ

=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.13)

Η ανωτέρω εξίσωση είναι η διαφορική μορφή της εξίσωσης της διατήρησης τηςμάζας και ισχύει για όλα τα ρευστά. Προφανώς, για ασυμπίεστα ρευστά ηπυκνότητα είναι σταθερή, άρα,

0zw

yv

xu

=¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.14)

1.2.2 Διατήρηση της ορμής

Γραμμική ορμή στη μονοδιάστατη ροή. Ας εφαρμοσθεί ο δεύτερος νόμος τηςκίνησης του Νεύτωνα. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό η αναπτυσσόμενη δύναμη Fστο σώμα του ρευστού είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής (=mu) στο χρόνο.Είναι,

dt)mu(dF = (1.15)


zδyδxδ]z

)wρ(y

)vρ(x

)uρ([mδ¶

¶+

¶¶

+¶

¶-=& (1.11)

Η αύξηση της ροής της μάζας στον όγκο ελέγχου είναι,

t)zδyδxρδ(

tmmδ

¶¶

=¶¶

=& (1.12)

Με εξίσωση των Εξ. 1.11 και 1.12, είναι,

0z

)wρ(y

)vρ(x

)uρ(tρ

=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.13)

Η ανωτέρω εξίσωση είναι η διαφορική μορφή της εξίσωσης της διατήρησης τηςμάζας και ισχύει για όλα τα ρευστά. Προφανώς, για ασυμπίεστα ρευστά ηπυκνότητα είναι σταθερή, άρα,

0zw

yv

xu

=¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.14)

1.2.2 Διατήρηση της ορμής

Γραμμική ορμή στη μονοδιάστατη ροή. Ας εφαρμοσθεί ο δεύτερος νόμος τηςκίνησης του Νεύτωνα. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό η αναπτυσσόμενη δύναμη Fστο σώμα του ρευστού είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής (=mu) στο χρόνο.Είναι,

dt)mu(dF = (1.15)


Στο χρονικό διάστημα δt η ορμή του ρευστού στη θέση 1 ισούται με δm1u1=ρ δQ1δt u1 στη θέση 2 ισούται με ρδQ2 δt u2. Λόγω της διατήρησης της εξίσωσης τηςσυνέχειας είναι δQ1=δQ2. Επομένως, η στοιχειώδης δύναμη δF η οποία απαιτείταιγια να συντηρήσει τη μεταβολή της ορμής μεταξύ των θέσεων 1 και 2 στο χρονικόδιάστημα δt είναι,

)uu(Qδρtδ

utδQδρutδQδρFδ 1212 -=

-= (1.16)

Με ολοκλήρωση σε δοθείσα περιοχή και με τη παραδοχή ότι η ταχύτητα στιςδιατομές 1 και 2 είναι ομοιόμορφη, η προκύπτουσα δύναμη είναι,

)UU(QρF 12 -= (1.17)

και σε όρους ροής μάζας,

)UU(mF 12 -= & (1.18)

Η δύναμη F λόγω μεταβολής της ορμής μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα όλωντων εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες δρουν στον όγκο ελέγχου και μπορεί ναπερικλείσει τις δυνάμεις λόγω διαφορών πιέσεων FP και τις δυνάμεις FR λόγωαντίδρασης της ρευστομηχανικής κατασκευής, ήτοι )FF(F RP += Σ .

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της γραμμικής ορμής. Ας θεωρηθεί οστοιχειώδης όγκος ελέγχου του Σχήματος 1.4. Στη x-κατεύθυνση και στο κέντροτου όγκου ελέγχου, οι τάσεις είναι, xs (κάθετη), yxt (δια-τμητική), zxt (διατμητική). Στη γενίκευση, οι κάθετες τάσεις σx, σy, και σz δενθεωρούνται ότι είναι ίσες προς την πίεσιη p. Για τις παρακάτω θεωρήσεις ισχύειότι,

3σσσ

p zyx ++= (1.19)


Στο χρονικό διάστημα δt η ορμή του ρευστού στη θέση 1 ισούται με δm1u1=ρ δQ1δt u1 στη θέση 2 ισούται με ρδQ2 δt u2. Λόγω της διατήρησης της εξίσωσης τηςσυνέχειας είναι δQ1=δQ2. Επομένως, η στοιχειώδης δύναμη δF η οποία απαιτείταιγια να συντηρήσει τη μεταβολή της ορμής μεταξύ των θέσεων 1 και 2 στο χρονικόδιάστημα δt είναι,

)uu(Qδρtδ

utδQδρutδQδρFδ 1212 -=

-= (1.16)

Με ολοκλήρωση σε δοθείσα περιοχή και με τη παραδοχή ότι η ταχύτητα στιςδιατομές 1 και 2 είναι ομοιόμορφη, η προκύπτουσα δύναμη είναι,

)UU(QρF 12 -= (1.17)

και σε όρους ροής μάζας,

)UU(mF 12 -= & (1.18)

Η δύναμη F λόγω μεταβολής της ορμής μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα όλωντων εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες δρουν στον όγκο ελέγχου και μπορεί ναπερικλείσει τις δυνάμεις λόγω διαφορών πιέσεων FP και τις δυνάμεις FR λόγωαντίδρασης της ρευστομηχανικής κατασκευής, ήτοι )FF(F RP += Σ .

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της γραμμικής ορμής. Ας θεωρηθεί οστοιχειώδης όγκος ελέγχου του Σχήματος 1.4. Στη x-κατεύθυνση και στο κέντροτου όγκου ελέγχου, οι τάσεις είναι, xs (κάθετη), yxt (δια-τμητική), zxt (διατμητική). Στη γενίκευση, οι κάθετες τάσεις σx, σy, και σz δενθεωρούνται ότι είναι ίσες προς την πίεσιη p. Για τις παρακάτω θεωρήσεις ισχύειότι,

3σσσ

p zyx ++= (1.19)


Η δύναμη η οποία εξασκείται στην επιφάνεια ΑΒΓΔ στη x-κατεύθυνση είναι ίση

με το γινόμενο της κάθετης τάσης (2xδ

xσ

σ xx ¶

¶- ) επί το εμβαδό της στοιχειώδους

επιφάνειας ΑΒΓΔ (=δyδz). ‘Ομοια, η δύναμη η οποία εξασκείται επί της απέναντικείμενης πλευράς ΕΖΗΘ ισούται με το γινόμενο της κάθετης τάσης

(2xδ

xσ

σ xx ¶

¶+ ) επί το εμβαδό της στοιχειώδους επιφάνειας δyδz. Έτσι, η καθαρά

δύναμη στις δύο επιφάνειες στη x-κατεύθυνση είναι ίση με ( zδyδxδx

σ x

¶¶

- ).

Παρόμοιες εκφράσεις, επίσης στη x-κατεύθυνση, μπορούν να αποδειχθούν για τιςδιατμητικές τάσεις τyx,τzx επενεργούσες στις πλευρές του όγκου ελέγχου ΑΒΖΕκαι ΑΕΘΔ, αντίστοιχα. Εάν πέραν των ανωτέρω δυνάμεων, θεωρηθούν και οιδυνάμεις του σώματος του ρευστού π.χ. βαρύτητας (ρXδxδyδz), όπου Χ η δύναμηανά μονάδα μάζας του ρευστού, τότε η ολική δύναμη η οποία δρά στον όγκοελέγχου στη x-κατεύθυνση είναι,

z

2zδ

zτ

τ yxyx ¶

¶+

B Ζ δy

A δz y2yδ

yτ

τ zxzx ¶

¶- Ε

2xδ

xσ

σ xx ¶

¶-

2yδ

yτ

τ zxzx ¶

¶+

2xδ

xσ

σ xx ¶

¶+

Γ Η

Δ δx2zδ

zτ

τ yxyx ¶

¶- Θ

x

Σχήμα 1.4 Ροή σε στοιχειώδη όγκο ελέγχου. Επιφανειακές τάσεις


Η δύναμη η οποία εξασκείται στην επιφάνεια ΑΒΓΔ στη x-κατεύθυνση είναι ίση

με το γινόμενο της κάθετης τάσης (2xδ

xσ

σ xx ¶

¶- ) επί το εμβαδό της στοιχειώδους

επιφάνειας ΑΒΓΔ (=δyδz). ‘Ομοια, η δύναμη η οποία εξασκείται επί της απέναντικείμενης πλευράς ΕΖΗΘ ισούται με το γινόμενο της κάθετης τάσης

(2xδ

xσ

σ xx ¶

¶+ ) επί το εμβαδό της στοιχειώδους επιφάνειας δyδz. Έτσι, η καθαρά

δύναμη στις δύο επιφάνειες στη x-κατεύθυνση είναι ίση με ( zδyδxδx

σ x

¶¶

- ).

Παρόμοιες εκφράσεις, επίσης στη x-κατεύθυνση, μπορούν να αποδειχθούν για τιςδιατμητικές τάσεις τyx,τzx επενεργούσες στις πλευρές του όγκου ελέγχου ΑΒΖΕκαι ΑΕΘΔ, αντίστοιχα. Εάν πέραν των ανωτέρω δυνάμεων, θεωρηθούν και οιδυνάμεις του σώματος του ρευστού π.χ. βαρύτητας (ρXδxδyδz), όπου Χ η δύναμηανά μονάδα μάζας του ρευστού, τότε η ολική δύναμη η οποία δρά στον όγκοελέγχου στη x-κατεύθυνση είναι,

z

2zδ

zτ

τ yxyx ¶

¶+

B Ζ δy

A δz y2yδ

yτ

τ zxzx ¶

¶- Ε

2xδ

xσ

σ xx ¶

¶-

2yδ

yτ

τ zxzx ¶

¶+

2xδ

xσ

σ xx ¶

¶+

Γ Η

Δ δx2zδ

zτ

τ yxyx ¶

¶- Θ

x

Σχήμα 1.4 Ροή σε στοιχειώδη όγκο ελέγχου. Επιφανειακές τάσεις


zδyδxδ)x

σz

τy

τXρ(F xzxyx

x ¶¶

-¶¶

+¶

¶+= (1.20)

Η ροή μάζας, Σχήμα 1.3, στη x-κατεύθυνση είναι zδyδuρmδ x =& και οι ορμέςστις x,y,z κατευθύνσεις είναι (ρuδyδz)u, (ρuδyδz)v και (ρuδyδz)w, αντίστοιχα. Οιπροηγούμενα αναφερθείσες δυνάμεις αφορούν το κέντρο του όγκου ελέγχου. Εάνθεωρηθούν οι δυνάμεις στη x-κατεύθυνση, τότε στην ΑΒΓΔ η δύναμη είναι

zδyδ)2xδ

x)uρ(uρ(

22

¶¶

+ και στην αντίθετα κείμενη επιφάνεια ΕΖΗΘ είναι

zδyδ)2xδ

x)uρ(uρ(

22

¶¶

- , έτσι η καθαρή δύναμη στον όγκο ελέγχου στη x-

κατεύθυνση είναι, zδyδxδx

)uρ( 2

¶¶

. Εάν γίνει η άθροιση των δυνάμεων σ΄ όλες

τις πλευρές του όγκου ελέγχου και μόνο στη x-κατεύθυνση είναι,

zδyδxδ]z

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ([2

¶¶

+¶

¶+

¶¶

. Επειδή η μεταβολή της ορμής στον

όγκο ελέγχου είναι zδyδxδt

)uρ(¶

¶, τότε η γενική εξίσωση της x-ορμής, με την

εξισορρόπηση όλων των δυνάμεων που επενεργούν, είναι,

x-ορμή,

xσ

zτ

yτ

ρz

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ(t

)uρ( xzxyx2

¶¶

-¶¶

+¶

¶+=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ Χ (1.21)

Ανάλογη είναι και η απόδειξη των εξισώσεων με τη y-ορμή και τη z-ορμή. Έτσι,

y-ορμή,

yσ

zτ

xτ

Yρz

)wvρ(y

)vρ(x

)uvρ(t

)vρ( yzyxy2

¶

¶-

¶

¶+

¶

¶+=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ (1.22)


zδyδxδ)x

σz

τy

τXρ(F xzxyx

x ¶¶

-¶¶

+¶

¶+= (1.20)

Η ροή μάζας, Σχήμα 1.3, στη x-κατεύθυνση είναι zδyδuρmδ x =& και οι ορμέςστις x,y,z κατευθύνσεις είναι (ρuδyδz)u, (ρuδyδz)v και (ρuδyδz)w, αντίστοιχα. Οιπροηγούμενα αναφερθείσες δυνάμεις αφορούν το κέντρο του όγκου ελέγχου. Εάνθεωρηθούν οι δυνάμεις στη x-κατεύθυνση, τότε στην ΑΒΓΔ η δύναμη είναι

zδyδ)2xδ

x)uρ(uρ(

22

¶¶

+ και στην αντίθετα κείμενη επιφάνεια ΕΖΗΘ είναι

zδyδ)2xδ

x)uρ(uρ(

22

¶¶

- , έτσι η καθαρή δύναμη στον όγκο ελέγχου στη x-

κατεύθυνση είναι, zδyδxδx

)uρ( 2

¶¶

. Εάν γίνει η άθροιση των δυνάμεων σ΄ όλες

τις πλευρές του όγκου ελέγχου και μόνο στη x-κατεύθυνση είναι,

zδyδxδ]z

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ([2

¶¶

+¶

¶+

¶¶

. Επειδή η μεταβολή της ορμής στον

όγκο ελέγχου είναι zδyδxδt

)uρ(¶

¶, τότε η γενική εξίσωση της x-ορμής, με την

εξισορρόπηση όλων των δυνάμεων που επενεργούν, είναι,

x-ορμή,

xσ

zτ

yτ

ρz

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ(t

)uρ( xzxyx2

¶¶

-¶¶

+¶

¶+=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ Χ (1.21)

Ανάλογη είναι και η απόδειξη των εξισώσεων με τη y-ορμή και τη z-ορμή. Έτσι,

y-ορμή,

yσ

zτ

xτ

Yρz

)wvρ(y

)vρ(x

)uvρ(t

)vρ( yzyxy2

¶

¶-

¶

¶+

¶

¶+=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ (1.22)


z-ορμή,

zσ

yτ

xτ

Zρz

)wρ(y

)vwρ(x

)uwρ(t

)wρ( zyzxz2

¶¶

-¶

¶+

¶¶

+=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.23)

οι ανωτέρω εξισώσεις αναφέρονται ως Navier-Stokes εξισώσεις. Προφανώς, γιαμη συνεκτική ροή οι διατμητικές τάσεις παραλείπονται και οι εξισώσεις,ονομάζονται τώρα Euler, γράφονται ως,

x-ορμή,

xσ

ρz

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ(t

)uρ( x2

¶¶

-=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶ Χ (1.24)

y-ορμή,

yσ

Yρz

)wvρ(y

)vρ(x

)uvρ(t

)vρ( y2

¶

¶-=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ (1.25)

z-ορμή,

zσ

Zρz

)wρ(y

)vwρ(x

)uwρ(t

)wρ( z2

¶¶

-=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.26)

Σε ακίνητο ρευστό, οι τρεις κάθετες τάσεις σx,σy και σz είναι ίσες με τηνασκούμενη πίεση. Κατά την κίνηση όμως ασυμπίεστου ρευστού, οι εκφράσεις τωνκαθέτων τάσεων είναι,

zwμ2pσ,

yvμ2pσ,

xuμ2pσ zyx ¶

¶-=

¶¶

-=¶¶

-= (1.27)

Στην εφαρμογή, οι διαφορές μεταξύ καθέτων τάσεων και πιέσεων είναι μηδαμινέςκαι έτσι αγνοούνται. Για Νευτωνικά, ασυμπίεστα ρευστά, στη στρωτή ροή,ισχύουν οι εξισώσεις,

)xv

yu(μττ yxxy ¶

¶+

¶¶

== (1.28)


z-ορμή,

zσ

yτ

xτ

Zρz

)wρ(y

)vwρ(x

)uwρ(t

)wρ( zyzxz2

¶¶

-¶

¶+

¶¶

+=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.23)

οι ανωτέρω εξισώσεις αναφέρονται ως Navier-Stokes εξισώσεις. Προφανώς, γιαμη συνεκτική ροή οι διατμητικές τάσεις παραλείπονται και οι εξισώσεις,ονομάζονται τώρα Euler, γράφονται ως,

x-ορμή,

xσ

ρz

)uwρ(y

)uvρ(x

)uρ(t

)uρ( x2

¶¶

-=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶ Χ (1.24)

y-ορμή,

yσ

Yρz

)wvρ(y

)vρ(x

)uvρ(t

)vρ( y2

¶

¶-=

¶¶

+¶

¶+

¶¶

+¶

¶ (1.25)

z-ορμή,

zσ

Zρz

)wρ(y

)vwρ(x

)uwρ(t

)wρ( z2

¶¶

-=¶

¶+

¶¶

+¶

¶+

¶¶

(1.26)

Σε ακίνητο ρευστό, οι τρεις κάθετες τάσεις σx,σy και σz είναι ίσες με τηνασκούμενη πίεση. Κατά την κίνηση όμως ασυμπίεστου ρευστού, οι εκφράσεις τωνκαθέτων τάσεων είναι,

zwμ2pσ,

yvμ2pσ,

xuμ2pσ zyx ¶

¶-=

¶¶

-=¶¶

-= (1.27)

Στην εφαρμογή, οι διαφορές μεταξύ καθέτων τάσεων και πιέσεων είναι μηδαμινέςκαι έτσι αγνοούνται. Για Νευτωνικά, ασυμπίεστα ρευστά, στη στρωτή ροή,ισχύουν οι εξισώσεις,

)xv

yu(μττ yxxy ¶

¶+

¶¶

== (1.28)


)yw

zv(μττ zyyz ¶

¶+

¶¶

== (1.29)

)zu

xw(μττ xzzx ¶

¶+

¶¶

== (1.30)

Αντικατάσταση των ανωτέρω εξισώσεων στις Εξ. 1.21-1.23 και με τη θεώρησητης Εξ.1.13 της συνέχειας της μάζας δίνει ,

x-ορμή,

)zu

yu

xu(ν

xp

ρ1

zuw

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶ Χ (1.31)

y-ορμή,

)zv

yv

xv(ν

yp

ρ1Y

zuw

yvv

xvu

tv

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.32)

z-ορμή,

)zw

yw

xw(ν

zp

ρ1Z

zww

ywv

xwu

tw

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.33)

Η πίεση p έχει υπολογισθεί βάσει της Εξ. 1.19.

Με τη προσομοίωση τυρβώδους ροής χρησιμοποιούνται τα k-ε, k-ω μοντέλακαθώς και RNG (ReΝormalization Group) k-ε μοντέλα. Οι εξισώσεις των ορμώνμπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των δυνάμεων οι οποίεςπροκαλούνται λόγω μεταβολής των ταχυτήτων. Μεταξύ άλλων μπορεί ναυπολογισθούν δυνάμεις λόγω έντονων αλλαγών της γεωμετρίας των αγωγών,δυνάμεις σε ακροφύσια και διαχύτες, σε υδραυλικές μηχανές, σε θυροφράγματα,σε αγγεία κ.ά. Προφανώς, με τη επίλυση προβλημάτων του χώρου των τριώνδιαστάσεων απαιτείται χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Τέλος, να αναφερθείότι η γωνιακή ορμή αφορά περιστρεφόμενα συστήματα (αντλίες, στρόβιλοι, κ.ά.)


)yw

zv(μττ zyyz ¶

¶+

¶¶

== (1.29)

)zu

xw(μττ xzzx ¶

¶+

¶¶

== (1.30)

Αντικατάσταση των ανωτέρω εξισώσεων στις Εξ. 1.21-1.23 και με τη θεώρησητης Εξ.1.13 της συνέχειας της μάζας δίνει ,

x-ορμή,

)zu

yu

xu(ν

xp

ρ1

zuw

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶ Χ (1.31)

y-ορμή,

)zv

yv

xv(ν

yp

ρ1Y

zuw

yvv

xvu

tv

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.32)

z-ορμή,

)zw

yw

xw(ν

zp

ρ1Z

zww

ywv

xwu

tw

2

2

2

2

2

2

¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

-=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

(1.33)

Η πίεση p έχει υπολογισθεί βάσει της Εξ. 1.19.

Με τη προσομοίωση τυρβώδους ροής χρησιμοποιούνται τα k-ε, k-ω μοντέλακαθώς και RNG (ReΝormalization Group) k-ε μοντέλα. Οι εξισώσεις των ορμώνμπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των δυνάμεων οι οποίεςπροκαλούνται λόγω μεταβολής των ταχυτήτων. Μεταξύ άλλων μπορεί ναυπολογισθούν δυνάμεις λόγω έντονων αλλαγών της γεωμετρίας των αγωγών,δυνάμεις σε ακροφύσια και διαχύτες, σε υδραυλικές μηχανές, σε θυροφράγματα,σε αγγεία κ.ά. Προφανώς, με τη επίλυση προβλημάτων του χώρου των τριώνδιαστάσεων απαιτείται χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Τέλος, να αναφερθείότι η γωνιακή ορμή αφορά περιστρεφόμενα συστήματα (αντλίες, στρόβιλοι, κ.ά.)


1.2.3 Διατήρηση της ενέργειας

Ενέργεια στη μονοδιάστατη ροή. Στο Σχήμα 1.5 δείχνεται ένα κυλινδρικόστοιχείο του ροϊκού σωλήνα κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής. Το μήκος και τοεμβαδό της διατομής είναι δs και δΑ, αντίστοιχα. Το βάρος του στοιχείου είναι

Aδsδgρ . Η δύναμη η οποία επενεργεί στο πίσω τμήμα είναι Aδp ενώ στο

μπροστινό τμήμα είναι [ sδ)dsdp(p + ] Ad όπου p η στατική πίεση. Οι κάθετες

δυνάμεις οι οποίες δρουν στα πλευρικά τοιχώματα του στοιχειώδους κυλίνδρουβρίσκονται σε ισορροπία. Το ρευστό θεωρείται ότι είναι ιδεατό ή μη συνεκτικόκαι κατά συνέπεια οι ασκούμενες διατμητικές δυνάμεις είναι ίσες με μηδέν. Ηταχύτητα μεταβάλλεται κατά μήκος της ροϊκής γραμμής και άρα υπάρχει μίαδύναμη επιτάχυνσης η οποία πρέπει να ληφθεί υπ΄ όψη στη εξισορρόπηση τωνδυνάμεων οι οποίες δρουν κατά μήκος του άξονα της ροής. Θεωρώντας το ίδιοβάρος του στοιχειώδους όγκου, θα είναι,

dtdU

gAδsδgρAδ)sδ

dsdpp(AδpσυνθAδsδgρ =+-+- (1.34)

ή

dtdUρ

dsdpσυνθgρ =-- (1.35)

Επίσης ισχύει ότι,

dsdzσυνθ = (1.36)

όπου z ο κατακόρυφος άξονας, Σχήμα 1.5. Επειδή,

dtdsU = (1.37)

και άρα,

dsdUU

dtdU

= (1.38)


1.2.3 Διατήρηση της ενέργειας

Ενέργεια στη μονοδιάστατη ροή. Στο Σχήμα 1.5 δείχνεται ένα κυλινδρικόστοιχείο του ροϊκού σωλήνα κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής. Το μήκος και τοεμβαδό της διατομής είναι δs και δΑ, αντίστοιχα. Το βάρος του στοιχείου είναι

Aδsδgρ . Η δύναμη η οποία επενεργεί στο πίσω τμήμα είναι Aδp ενώ στο

μπροστινό τμήμα είναι [ sδ)dsdp(p + ] Ad όπου p η στατική πίεση. Οι κάθετες

δυνάμεις οι οποίες δρουν στα πλευρικά τοιχώματα του στοιχειώδους κυλίνδρουβρίσκονται σε ισορροπία. Το ρευστό θεωρείται ότι είναι ιδεατό ή μη συνεκτικόκαι κατά συνέπεια οι ασκούμενες διατμητικές δυνάμεις είναι ίσες με μηδέν. Ηταχύτητα μεταβάλλεται κατά μήκος της ροϊκής γραμμής και άρα υπάρχει μίαδύναμη επιτάχυνσης η οποία πρέπει να ληφθεί υπ΄ όψη στη εξισορρόπηση τωνδυνάμεων οι οποίες δρουν κατά μήκος του άξονα της ροής. Θεωρώντας το ίδιοβάρος του στοιχειώδους όγκου, θα είναι,

dtdU

gAδsδgρAδ)sδ

dsdpp(AδpσυνθAδsδgρ =+-+- (1.34)

ή

dtdUρ

dsdpσυνθgρ =-- (1.35)

Επίσης ισχύει ότι,

dsdzσυνθ = (1.36)

όπου z ο κατακόρυφος άξονας, Σχήμα 1.5. Επειδή,

dtdsU = (1.37)

και άρα,

dsdUU

dtdU

= (1.38)


Επομένως, η Eξ. 1.35 γράφεται,

0)g

UdUgρpz(

dsd

=++ (1.39)

Με ολοκλήρωση κατά μήκος της ροϊκής γραμμής είναι,

=++g2

Ugρpz

2

σταθερό = Η (1.40)

Aδ z

δs

( Aδ)sδdsdpp +

Αδ ροή

Aδp θ

Αδδρ sg

Σχήμα 1.5 Εξισορρόπηση δυνάμεων σε ροϊκό κυλινδρικό στοιχείο


Επομένως, η Eξ. 1.35 γράφεται,

0)g

UdUgρpz(

dsd

=++ (1.39)

Με ολοκλήρωση κατά μήκος της ροϊκής γραμμής είναι,

=++g2

Ugρpz

2

σταθερό = Η (1.40)

Aδ z

δs

( Aδ)sδdsdpp +

Αδ ροή

Aδp θ

Αδδρ sg

Σχήμα 1.5 Εξισορρόπηση δυνάμεων σε ροϊκό κυλινδρικό στοιχείο


Η ανωτέρω εξίσωση ονομάζεται εξίσωση του Bernοulli και εκφράζει τηνενεργειακή (φορτίο) εξισορρόπηση κατά τη ροή του ρευστού. Εάν κάθε όρος τηςΕξ. 1.40 πολλαπλασιασθεί με το σταθερό ποσό gQρ , είναι,

=++g2

U)gQρ(pgp)gQρ(z)gQρ(

2

σταθερό (1.41)

Κάθε όρος της ανωτέρω εξίσωσης έχει μονάδες ισχύος. Στην Εξ. 1.40 κάθε όροςέχει μονάδες μέτρων και απ΄ αυτό είναι φρόνιμο κάθε όρος να αναφέρεται με τηνέκφραση ύψος. Ο πρώτος όρος είναι το ύψος λόγω θέσης του ρευστού, ο δεύτεροςόρος είναι το ύψος λόγω πίεσης και ο τρίτος όρος το κινητικό ύψος. Το άθροισμαόλων των ανωτέρω όρων δίνει το ολικό ενεργειακό ύψος ή φορτίο Η (m).

Στην περίπτωση όπου η ροή είναι πραγματική αυτή υφίσταται απώλειες φορτίου,δηλ. ενέργειας, λόγω των αναπτυσσόμενων τριβών της ροής με τα τοιχώματα καιμε το ίδιο το ρευστό. Οι απώλειες αυτές hf είναι το άθροισμα των γραμμικών

απωλειώνif

ni

1ihå

=

=

όπου n o αριθμός των αγωγών και το άθροισμα των τοπικών

απωλειώνjL

mj

1jhå

=

=

όπου m ο αριθμός των εμφανιζόμενων τοπικών απωλειών.

Μπορεί να τεθεί,

ji L

mj

1jf

ni

1if hhh åå

=

=

=

=

+= (1.42)

Η ενεργειακή Εξ. 1.40 με μέσες τιμές ταχυτήτων U1 και U2 και βάσει τωνανωτέρω γράφεται,

f

22

22

2

21

11

1 hg2

Uα

gρp

zg2

Uα

gρp

z +++=++ (1.43)

όπου α1 και α2 οι συντελεστές διόρθωσης του κινητικού ύψους στις αντίστοιχεςδιατομές και χάρη απλοποίησης παίρνουν τιμή ίση με την μονάδα.

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της ενέργειας. Με ανάλογο σκεπτικό, τουτρόπου απόδειξης της διαφορικής εξίσωσης της γραμμικής ορμής, μπορεί να


Η ανωτέρω εξίσωση ονομάζεται εξίσωση του Bernοulli και εκφράζει τηνενεργειακή (φορτίο) εξισορρόπηση κατά τη ροή του ρευστού. Εάν κάθε όρος τηςΕξ. 1.40 πολλαπλασιασθεί με το σταθερό ποσό gQρ , είναι,

=++g2

U)gQρ(pgp)gQρ(z)gQρ(

2

σταθερό (1.41)

Κάθε όρος της ανωτέρω εξίσωσης έχει μονάδες ισχύος. Στην Εξ. 1.40 κάθε όροςέχει μονάδες μέτρων και απ΄ αυτό είναι φρόνιμο κάθε όρος να αναφέρεται με τηνέκφραση ύψος. Ο πρώτος όρος είναι το ύψος λόγω θέσης του ρευστού, ο δεύτεροςόρος είναι το ύψος λόγω πίεσης και ο τρίτος όρος το κινητικό ύψος. Το άθροισμαόλων των ανωτέρω όρων δίνει το ολικό ενεργειακό ύψος ή φορτίο Η (m).

Στην περίπτωση όπου η ροή είναι πραγματική αυτή υφίσταται απώλειες φορτίου,δηλ. ενέργειας, λόγω των αναπτυσσόμενων τριβών της ροής με τα τοιχώματα καιμε το ίδιο το ρευστό. Οι απώλειες αυτές hf είναι το άθροισμα των γραμμικών

απωλειώνif

ni

1ihå

=

=

όπου n o αριθμός των αγωγών και το άθροισμα των τοπικών

απωλειώνjL

mj

1jhå

=

=

όπου m ο αριθμός των εμφανιζόμενων τοπικών απωλειών.

Μπορεί να τεθεί,

ji L

mj

1jf

ni

1if hhh åå

=

=

=

=

+= (1.42)

Η ενεργειακή Εξ. 1.40 με μέσες τιμές ταχυτήτων U1 και U2 και βάσει τωνανωτέρω γράφεται,

f

22

22

2

21

11

1 hg2

Uα

gρp

zg2

Uα

gρp

z +++=++ (1.43)

όπου α1 και α2 οι συντελεστές διόρθωσης του κινητικού ύψους στις αντίστοιχεςδιατομές και χάρη απλοποίησης παίρνουν τιμή ίση με την μονάδα.

Διαφορική μορφή της εξίσωσης της ενέργειας. Με ανάλογο σκεπτικό, τουτρόπου απόδειξης της διαφορικής εξίσωσης της γραμμικής ορμής, μπορεί να


αποδειχθεί η διαφορική μορφή της ενεργειακής εξίσωσης. Σε μια των μορφώντης είναι,

z)τwτvτu(

y)τwτvτu(

x)τwτvτu(

z

)zTK(

y

)yTK(

x

)xTK(

z)pw(

y)pv(

x)pu(

z)]2/qe(wρ[

y)]2/qe(vρ[

x)]2/qe(uρ[

t)]2/qe(ρ[

zzyzzxzyyyyxzxyxxx

222

2

¶

++¶+

¶

++¶+

¶

++¶

+¶¶¶

¶+

¶¶¶

¶+

¶¶¶

¶+

¶¶

-¶

¶-

¶¶

-

=¶+¶

+¶+¶

+¶+¶

+¶+¶

(1.44)

Στη ανωτέρω εξίσωση, 2222 wvuq ++= , Κ είναι ο συντελεστής θερμικήςαγωγιμότητας, Τ η θερμοκρασία, ενώ η ειδική ενέργεια δίνεται ως Tce v= με cv

το συντελεστή θερμοχωρητικότητας με σταθερό όγκο.

1.3 ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3.1 Ροϊκή γραμμή

Λόγω της πολυπλοκότητας των εξισώσεων οι οποίες ελέγχουν τη ροή τωνρευστών είναι θεμιτό να γίνουν παραδοχές για τη φύση της ροής οι οποίες θαδιευκολύνουν την επίλυση των προβλημάτων. Συνήθεις χρησιμοποιούμενεςπαραδοχές είναι δυνατό να καταλήξουν στην επίλυση μερικών διαφορικώνεξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την ιδανική ροή γύρω από και μέσα σευδραυλικές κατασκευές. Μερικά είδη ιδανικών ροών είναι δυνατό να περιγραφούνμε τη θεωρία της ροϊκής συνάρτησης καθώς και με τη θεωρία της δυναμικής ροής.Παραδοχές που χρησιμοποιούνται είναι,

· Ιδανικό ρευστό. Ασυμπίεστη ή συμπιεστή αλλά μη συνεκτική ροή. Στηθεώρηση μη συνεκτικής ροής οι διατμητικές τάσεις αγνοούνται πλήρως.


αποδειχθεί η διαφορική μορφή της ενεργειακής εξίσωσης. Σε μια των μορφώντης είναι,

z)τwτvτu(

y)τwτvτu(

x)τwτvτu(

z

)zTK(

y

)yTK(

x

)xTK(

z)pw(

y)pv(

x)pu(

z)]2/qe(wρ[

y)]2/qe(vρ[

x)]2/qe(uρ[

t)]2/qe(ρ[

zzyzzxzyyyyxzxyxxx

222

2

¶

++¶+

¶

++¶+

¶

++¶

+¶¶¶

¶+

¶¶¶

¶+

¶¶¶

¶+

¶¶

-¶

¶-

¶¶

-

=¶+¶

+¶+¶

+¶+¶

+¶+¶

(1.44)

Στη ανωτέρω εξίσωση, 2222 wvuq ++= , Κ είναι ο συντελεστής θερμικήςαγωγιμότητας, Τ η θερμοκρασία, ενώ η ειδική ενέργεια δίνεται ως Tce v= με cv

το συντελεστή θερμοχωρητικότητας με σταθερό όγκο.

1.3 ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3.1 Ροϊκή γραμμή

Λόγω της πολυπλοκότητας των εξισώσεων οι οποίες ελέγχουν τη ροή τωνρευστών είναι θεμιτό να γίνουν παραδοχές για τη φύση της ροής οι οποίες θαδιευκολύνουν την επίλυση των προβλημάτων. Συνήθεις χρησιμοποιούμενεςπαραδοχές είναι δυνατό να καταλήξουν στην επίλυση μερικών διαφορικώνεξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την ιδανική ροή γύρω από και μέσα σευδραυλικές κατασκευές. Μερικά είδη ιδανικών ροών είναι δυνατό να περιγραφούνμε τη θεωρία της ροϊκής συνάρτησης καθώς και με τη θεωρία της δυναμικής ροής.Παραδοχές που χρησιμοποιούνται είναι,

· Ιδανικό ρευστό. Ασυμπίεστη ή συμπιεστή αλλά μη συνεκτική ροή. Στηθεώρηση μη συνεκτικής ροής οι διατμητικές τάσεις αγνοούνται πλήρως.


Στη προκείμενη περίπτωση ο συντελεστής του μοριακού ιξώδους μθεωρείται ότι είναι μηδέν.

· Ομογενές και ισότροπο ρευστό. Οι φυσικές ιδιότητες του ρευστού παρα-μένουν σταθερές στο χώρο και το χρόνο.

Με περαιτέρω απλοποίηση των υπολογισμών είναι δυνατό να θεωρηθεί σταθερήκαι δισδιάστατη ροή. Βέβαια, με τις σημερινές τεχνολογικές δυνατότητες είναιδυνατό οι παραδοχές της σταθερής και δισδιάστατης ροής να αρθούν και αντ΄αυτών να ισχύσουν ασταθείς, συνεκτικές και τρισδιάστατες ροές. Στη θεωρία τηςύπαρξης ροϊκής συνάρτησης Ψ (m2/s), ο καθορισμός των τιμών αυτής στουπολογιστικό χώρο μπορεί να οδηγήσει αμέσως στον υπολογισμό ταχυτήτων σεκάθε κόμβο. Έτσι και είναι γνωστές οι ταχύτητες, τότε από την εξίσωση τουBernoulli, Eξ 1.40, προσδιορίζεται η κατανομή των πιέσεων στο χώρο, διότι τοολικό φορτίο (ολική πίεση) διατηρείται σταθερό στο χώρο ροής. Από τιςκατανομές πιέσεων μεγάλου ενδιαφέροντος είναι εκείνες που υπολογίζονται σταόρια της κατασκευής. Η γνώση των πιέσεων στα όρια οδηγεί στο υπολογισμό τωνασκούμενων δυνάμεων στη κατασκευή.

1.3.2. Ροϊκή συνάρτηση

Μια ροϊκή γραμμή έχει την ιδιότητα, τη στιγμή της θεώρησης, το ρευστό νακινείται παντού κατά μήκος της γραμμής, δηλαδή το διάνυσμα της ταχύτητας ναείναι εφαπτομενικά κείμενο της καμπύλης γραμμής σε κάθε σημείο αυτής. Ησυνισταμένη q, η οποία είναι η ολική ταχύτητα της ροής, Σχήμα 1.6, είναιεφαπτομενική της καμπύλης s. Η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη προς τηκαμπύλη s σε κάθε σημείο αυτής είναι ίση προς μηδέν. Ας θεωρηθεί το Σχήμα 1.7.Η παροχή ανά μονάδα μήκους η διερχόμενη από την ΟΑΡ, η οποία δεν είναιροϊκή γραμμή, έστω ότι είναι Ψ. Τι γίνεται όμως με τη παροχή την εξερχόμενηαπό την ΟΒΡ; Από τη διατήρηση της συνέχειας της μάζας, ο όγκος ρευστού οεισερχόμενος στον χώρο ΟΑΡΒΟ είναι ίσος με τον εξερχόμενο από τον όγκο τουρευστού. Δηλαδή η Ψ εγκάρσια προς την ΟΑΡ είναι ίση προς την Ψ εγκάρσιαπρος την ΟΒΡ και προς πάσαν άλλη καμπύλη η οποία αρχίζει από το Ο καικαταλήγει προς το Ρ. Το σημείο Ρ λέγεται ότι έχει Ψ μονάδες ροής μεταξύ των Οκαι Ρ και εγκάρσια προς οποιαδήποτε γραμμή που συνδέει το Ο με το Ρ. Ηπαροχή μεταξύ του Ο και ενός σημείου Ρ εξαρτάται σε ποιο σημείο του χώρουευρίσκεται το Ρ. Είναι δηλαδή Ψ=f(x,y). To ότι η Ψ είναι σταθερή κατά μήκοςμιας ροϊκής γραμμής ορίζει και την ονομασία της η οποία δίνεται ως ροϊκήσυνάρτηση Ψ.


Στη προκείμενη περίπτωση ο συντελεστής του μοριακού ιξώδους μθεωρείται ότι είναι μηδέν.

· Ομογενές και ισότροπο ρευστό. Οι φυσικές ιδιότητες του ρευστού παρα-μένουν σταθερές στο χώρο και το χρόνο.

Με περαιτέρω απλοποίηση των υπολογισμών είναι δυνατό να θεωρηθεί σταθερήκαι δισδιάστατη ροή. Βέβαια, με τις σημερινές τεχνολογικές δυνατότητες είναιδυνατό οι παραδοχές της σταθερής και δισδιάστατης ροής να αρθούν και αντ΄αυτών να ισχύσουν ασταθείς, συνεκτικές και τρισδιάστατες ροές. Στη θεωρία τηςύπαρξης ροϊκής συνάρτησης Ψ (m2/s), ο καθορισμός των τιμών αυτής στουπολογιστικό χώρο μπορεί να οδηγήσει αμέσως στον υπολογισμό ταχυτήτων σεκάθε κόμβο. Έτσι και είναι γνωστές οι ταχύτητες, τότε από την εξίσωση τουBernoulli, Eξ 1.40, προσδιορίζεται η κατανομή των πιέσεων στο χώρο, διότι τοολικό φορτίο (ολική πίεση) διατηρείται σταθερό στο χώρο ροής. Από τιςκατανομές πιέσεων μεγάλου ενδιαφέροντος είναι εκείνες που υπολογίζονται σταόρια της κατασκευής. Η γνώση των πιέσεων στα όρια οδηγεί στο υπολογισμό τωνασκούμενων δυνάμεων στη κατασκευή.

1.3.2. Ροϊκή συνάρτηση

Μια ροϊκή γραμμή έχει την ιδιότητα, τη στιγμή της θεώρησης, το ρευστό νακινείται παντού κατά μήκος της γραμμής, δηλαδή το διάνυσμα της ταχύτητας ναείναι εφαπτομενικά κείμενο της καμπύλης γραμμής σε κάθε σημείο αυτής. Ησυνισταμένη q, η οποία είναι η ολική ταχύτητα της ροής, Σχήμα 1.6, είναιεφαπτομενική της καμπύλης s. Η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη προς τηκαμπύλη s σε κάθε σημείο αυτής είναι ίση προς μηδέν. Ας θεωρηθεί το Σχήμα 1.7.Η παροχή ανά μονάδα μήκους η διερχόμενη από την ΟΑΡ, η οποία δεν είναιροϊκή γραμμή, έστω ότι είναι Ψ. Τι γίνεται όμως με τη παροχή την εξερχόμενηαπό την ΟΒΡ; Από τη διατήρηση της συνέχειας της μάζας, ο όγκος ρευστού οεισερχόμενος στον χώρο ΟΑΡΒΟ είναι ίσος με τον εξερχόμενο από τον όγκο τουρευστού. Δηλαδή η Ψ εγκάρσια προς την ΟΑΡ είναι ίση προς την Ψ εγκάρσιαπρος την ΟΒΡ και προς πάσαν άλλη καμπύλη η οποία αρχίζει από το Ο καικαταλήγει προς το Ρ. Το σημείο Ρ λέγεται ότι έχει Ψ μονάδες ροής μεταξύ των Οκαι Ρ και εγκάρσια προς οποιαδήποτε γραμμή που συνδέει το Ο με το Ρ. Ηπαροχή μεταξύ του Ο και ενός σημείου Ρ εξαρτάται σε ποιο σημείο του χώρουευρίσκεται το Ρ. Είναι δηλαδή Ψ=f(x,y). To ότι η Ψ είναι σταθερή κατά μήκοςμιας ροϊκής γραμμής ορίζει και την ονομασία της η οποία δίνεται ως ροϊκήσυνάρτηση Ψ.


Σχήμα 1.6 Ροϊκή γραμμή s. Η q είναι εφαπτόμενη της καμπύλης s. Η κάθετος συνιστώσα ροής είναι ίση με μηδέν

Σχήμα 1.7 Ροϊκή συνάρτηση Ψ

Ας θεωρηθούν δύο εγγύς βρισκόμενες ροϊκές γραμμές και δύο σημεία Ρ και Ρ’πάνω σ΄ αυτές, Σχήμα 1.8, των οποίων dΨ είναι η επιπλέον ποσότητα ροής ηδιερχόμενη από το σημείο Ρ’ σχετικά με το Ρ. Για σταθερή και ασυμπίεστη ροή, ηποσότητα παροχής η εισερχόμενη στον χώρο ΡΑΡ’Ρ ισούται με τη ποσότηταπαροχής που εξέρχεται από τον χώρο αυτό. Είναι,

κάθετη συνιστώσα ίση με μηδέν

q s

Ο x

y

A

B

P

διεύθυνση ροήςΨ(m3/s/m)


Σχήμα 1.6 Ροϊκή γραμμή s. Η q είναι εφαπτόμενη της καμπύλης s. Η κάθετος συνιστώσα ροής είναι ίση με μηδέν

Σχήμα 1.7 Ροϊκή συνάρτηση Ψ

Ας θεωρηθούν δύο εγγύς βρισκόμενες ροϊκές γραμμές και δύο σημεία Ρ και Ρ’πάνω σ΄ αυτές, Σχήμα 1.8, των οποίων dΨ είναι η επιπλέον ποσότητα ροής ηδιερχόμενη από το σημείο Ρ’ σχετικά με το Ρ. Για σταθερή και ασυμπίεστη ροή, ηποσότητα παροχής η εισερχόμενη στον χώρο ΡΑΡ’Ρ ισούται με τη ποσότηταπαροχής που εξέρχεται από τον χώρο αυτό. Είναι,

κάθετη συνιστώσα ίση με μηδέν

q s

Ο x

y

A

B

P

διεύθυνση ροήςΨ(m3/s/m)


udyvdxd =+Ψ (1.45)

γιατί vdx και udy είναι οι παροχές ανά μονάδα μάζας, εισερχόμενη κατά την y-διεύθυνση και εξερχόμενη κατά την x-διεύθυνση, αντίστοιχα. Από την ανωτέρωεξίσωση είναι,

vdxudyd -=Ψ (1.46)

και επειδή Ψ=f(x,y), είναι,

dyy

dxx

d¶¶

+¶¶

=ΨΨΨ (1.47)

Από τις ανωτέρω δύο εξισώσεις είναι,

Σχήμα 1.8 Υπολογισμός των συνιστωσών της ταχύτητας u,v από τη Ψ

u dy

Ο x

y

P

P’

Ψ (m2/s)

Ψ+dΨ (m2/s)

A

dΨv

dx


udyvdxd =+Ψ (1.45)

γιατί vdx και udy είναι οι παροχές ανά μονάδα μάζας, εισερχόμενη κατά την y-διεύθυνση και εξερχόμενη κατά την x-διεύθυνση, αντίστοιχα. Από την ανωτέρωεξίσωση είναι,

vdxudyd -=Ψ (1.46)

και επειδή Ψ=f(x,y), είναι,

dyy

dxx

d¶¶

+¶¶

=ΨΨΨ (1.47)

Από τις ανωτέρω δύο εξισώσεις είναι,

Σχήμα 1.8 Υπολογισμός των συνιστωσών της ταχύτητας u,v από τη Ψ

u dy

Ο x

y

P

P’

Ψ (m2/s)

Ψ+dΨ (m2/s)

A

dΨv

dx


xv,

yu

¶¶

-=¶¶

=ΨΨ

(1.48)

Η εξίσωση της συνέχειας της μάζας, Εξ. 1.14, όπως εφαρμόζεται στο χώρο τωνδύο διαστάσεων ικανοποιείται αυτόματα γιατί,

0yv

xu

=¶¶

+¶¶

(1.49)

και με αντικατάσταση των τιμών από την Εξ. 1.48,

0xyyx

22

=¶¶

¶-

¶¶¶ ΨΨ

(1.50)

Δηλαδή, η ροϊκή συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας της μάζας.

1.3.3 Κυκλοφορία-στροβιλότητα

Ας θεωρηθεί η κυκλοφορία δk (m2/s), δηλαδή το γινόμενο της ταχύτητας επί τηνδιανυθείσα απόσταση, γύρω από ένα στοιχειώδες ορθογώνιο διαστάσεων δxδy,Σχήμα 1.9. Έστω ότι η κυκλοφορία είναι θετική κατά τη διεύθυνση την αντίθετηπρος την φορά των δεικτών του ρολογιού. Η στοιχειώδης κυκλοφορία δk είναι,

yδvxδ)yδyuu(yδ)xδ

xvv(xδukδ -

¶¶

+-¶¶

++= (1.51)

ή

yδxδyuyδxδ

xvkδ

¶¶

-¶¶

= (1.52)


xv,

yu

¶¶

-=¶¶

=ΨΨ

(1.48)

Η εξίσωση της συνέχειας της μάζας, Εξ. 1.14, όπως εφαρμόζεται στο χώρο τωνδύο διαστάσεων ικανοποιείται αυτόματα γιατί,

0yv

xu

=¶¶

+¶¶

(1.49)

και με αντικατάσταση των τιμών από την Εξ. 1.48,

0xyyx

22

=¶¶

¶-

¶¶¶ ΨΨ

(1.50)

Δηλαδή, η ροϊκή συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας της μάζας.

1.3.3 Κυκλοφορία-στροβιλότητα

Ας θεωρηθεί η κυκλοφορία δk (m2/s), δηλαδή το γινόμενο της ταχύτητας επί τηνδιανυθείσα απόσταση, γύρω από ένα στοιχειώδες ορθογώνιο διαστάσεων δxδy,Σχήμα 1.9. Έστω ότι η κυκλοφορία είναι θετική κατά τη διεύθυνση την αντίθετηπρος την φορά των δεικτών του ρολογιού. Η στοιχειώδης κυκλοφορία δk είναι,

yδvxδ)yδyuu(yδ)xδ

xvv(xδukδ -

¶¶

+-¶¶

++= (1.51)

ή

yδxδyuyδxδ

xvkδ

¶¶

-¶¶

= (1.52)


Η στροβιλότητα ζ (sec-1) ορίζεται ως ο λόγος της κυκλοφορίας δk γύρω απόστοιχειώδες εμβαδό δxδy ως προς το εμβαδό αυτό. Είναι,

yu

xv

yδxδkδζ

¶¶

-¶¶

== (1.53)

Σχήμα 1.9 Κυκλοφορία γύρω από στοιχειώδες ορθογώνιο

Προκειμένου περί αστρόβιλης ροής είναι ζ=0, επομένως λόγω της Εξ. 1.53 είναι,

0yu

xv

=¶¶

-¶¶

(1.54)

και επειδή ισχύουν οι Εξ. 1.48, είναι,

y

δy

δx

x

v

u

+yδ

yuu¶¶

+

xδxvv¶¶

+


Η στροβιλότητα ζ (sec-1) ορίζεται ως ο λόγος της κυκλοφορίας δk γύρω απόστοιχειώδες εμβαδό δxδy ως προς το εμβαδό αυτό. Είναι,

yu

xv

yδxδkδζ

¶¶

-¶¶

== (1.53)

Σχήμα 1.9 Κυκλοφορία γύρω από στοιχειώδες ορθογώνιο

Προκειμένου περί αστρόβιλης ροής είναι ζ=0, επομένως λόγω της Εξ. 1.53 είναι,

0yu

xv

=¶¶

-¶¶

(1.54)

και επειδή ισχύουν οι Εξ. 1.48, είναι,

y

δy

δx

x

v

u

+yδ

yuu¶¶

+

xδxvv¶¶

+


0yx 2

2

2

2

=¶¶

+¶¶ ΨΨ

(1.55)

Η ανωτέρω είναι η εξίσωση του Laplace. Στη γενική περίπτωση είναι,

ζyx 2

2

2

2

-=¶¶

+¶¶ ΨΨ

(1.56)

1.4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ

Η δυναμική ροή εφαρμόζεται εκεί όπου η ροή είναι αστρόβιλη, όπου δηλαδήείναι, ζ=0. Ο διαχωρισμός αστρόβιλης-στροβιλής ροής είναι δυνατό να γίνειεύκολα κατανοητός με τη θεώρηση της κίνηση των καθισμάτων του μεγάλουτροχού του Luna-Park, Σχήματα 1.10 και 1.11 τα οποία υποτίθεται ότι παριστούντα σωμάτια του ρέοντος ρευστού.

Σχήμα 1.10 Αστρόβιλη ροή. Τα βέλη παριστάνουν τα καθίσματα του τροχούτου Luna-Park. Ta σωμάτια του ρευστού συμπεριφέρνονται όπως τακαθίσματα. Στα ιδανικά ρευστά το ιξώδες αγνοείται και κατά συνέπεια οιδιατμητικές τάσεις. Ύπαρξη πίεσης p

p


0yx 2

2

2

2

=¶¶

+¶¶ ΨΨ

(1.55)

Η ανωτέρω είναι η εξίσωση του Laplace. Στη γενική περίπτωση είναι,

ζyx 2

2

2

2

-=¶¶

+¶¶ ΨΨ

(1.56)

1.4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ

Η δυναμική ροή εφαρμόζεται εκεί όπου η ροή είναι αστρόβιλη, όπου δηλαδήείναι, ζ=0. Ο διαχωρισμός αστρόβιλης-στροβιλής ροής είναι δυνατό να γίνειεύκολα κατανοητός με τη θεώρηση της κίνηση των καθισμάτων του μεγάλουτροχού του Luna-Park, Σχήματα 1.10 και 1.11 τα οποία υποτίθεται ότι παριστούντα σωμάτια του ρέοντος ρευστού.

Σχήμα 1.10 Αστρόβιλη ροή. Τα βέλη παριστάνουν τα καθίσματα του τροχούτου Luna-Park. Ta σωμάτια του ρευστού συμπεριφέρνονται όπως τακαθίσματα. Στα ιδανικά ρευστά το ιξώδες αγνοείται και κατά συνέπεια οιδιατμητικές τάσεις. Ύπαρξη πίεσης p

p


Η κυκλοφορία κατά μήκος της ΟΑΡ είναι k1 ενώ κατά μήκος της ΟΒΡ είναι k2,Σχήμα 1.12. Η συνολική κυκλοφορία κατά μήκος της κλειστής καμπύλης ΟΑΡΒΑείναι k=k1+(-k2)=∫∫ζδxδy=0 για αστρόβιλη ροή (ζ=0). Η κυκλοφορία λοιπόνμέσω οποιασδήποτε διαδρομής είναι μοναδική για την αστρόβιλη ροή. Το σημείοΡ λέγεται ότι έχει ένα δυναμικό κυκλοφορίας μεγαλύτερο της τιμής την οποία είχεστο σημείο Ο κατ΄ αυτή τη μοναδική τιμή. Η κυκλοφορία αυτή μπορεί ναονομασθεί δυναμικό ταχύτητας Φ με μονάδες (m/s m=m2/s). H αστρόβιλη ροήονομάζεται και δυναμική ροή. Η Φ είναι συνάρτηση της απόστασης κατά μήκοςροϊκής γραμμής και αυξάνει στη διεύθυνση ροής. Οι γεωμετρικοί τόποι τωνσημείων τα οποία έχουν σταθερή τιμή Φ είναι γραμμές κάθετες στη ροϊκή γραμμήκαι ονομάζονται ισοδυναμικές γραμμές. Οι ροϊκές και οι ισοδυναμικές γραμμέςείναι κάθετες μεταξύ των, Σχήμα 1.13.

Σχήμα 1.11 Στροβιλή ροή. Τα σωμάτια περιστρέφονται γύρω από τους άξονέςτων. Αυτό γίνεται από τη παρουσία διατμητικών τάσεων τ οι οποίεςπροκύπτουν λόγω του ιξώδους του ρευστού

p

τ


Η κυκλοφορία κατά μήκος της ΟΑΡ είναι k1 ενώ κατά μήκος της ΟΒΡ είναι k2,Σχήμα 1.12. Η συνολική κυκλοφορία κατά μήκος της κλειστής καμπύλης ΟΑΡΒΑείναι k=k1+(-k2)=∫∫ζδxδy=0 για αστρόβιλη ροή (ζ=0). Η κυκλοφορία λοιπόνμέσω οποιασδήποτε διαδρομής είναι μοναδική για την αστρόβιλη ροή. Το σημείοΡ λέγεται ότι έχει ένα δυναμικό κυκλοφορίας μεγαλύτερο της τιμής την οποία είχεστο σημείο Ο κατ΄ αυτή τη μοναδική τιμή. Η κυκλοφορία αυτή μπορεί ναονομασθεί δυναμικό ταχύτητας Φ με μονάδες (m/s m=m2/s). H αστρόβιλη ροήονομάζεται και δυναμική ροή. Η Φ είναι συνάρτηση της απόστασης κατά μήκοςροϊκής γραμμής και αυξάνει στη διεύθυνση ροής. Οι γεωμετρικοί τόποι τωνσημείων τα οποία έχουν σταθερή τιμή Φ είναι γραμμές κάθετες στη ροϊκή γραμμήκαι ονομάζονται ισοδυναμικές γραμμές. Οι ροϊκές και οι ισοδυναμικές γραμμέςείναι κάθετες μεταξύ των, Σχήμα 1.13.

Σχήμα 1.11 Στροβιλή ροή. Τα σωμάτια περιστρέφονται γύρω από τους άξονέςτων. Αυτό γίνεται από τη παρουσία διατμητικών τάσεων τ οι οποίεςπροκύπτουν λόγω του ιξώδους του ρευστού

p

τ


Σχήμα 1.12 Κυκλοφορία για αστρόβιλη ροή. k1=k2

Σχήμα 1.13 Ροϊκές και ισοδυναμικές γραμμές κάθετες μεταξύ τους

Ο x

y

A

B

P

k2

k1

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Φ1

Ψ4

Φ4

Φ2

Φ3

900


Σχήμα 1.12 Κυκλοφορία για αστρόβιλη ροή. k1=k2

Σχήμα 1.13 Ροϊκές και ισοδυναμικές γραμμές κάθετες μεταξύ τους

Ο x

y

A

B

P

k2

k1

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Φ1

Ψ4

Φ4

Φ2

Φ3

900

1 Εξισσεις Ροής 1 Εξισσεις Ροής Υολογιστική ... · 2019. 6....

Documents