1

線性規劃與整數規劃模式線性規劃與整數規劃模式Linear and Integer Linear and Integer

Programming ModelsProgramming Models

線性規劃與整數規劃模式線性規劃與整數規劃模式Linear and Integer Linear and Integer

Programming ModelsProgramming Models

Chapter 2

2

• 線性規劃模型 (Linear Programming model) 是在一組「線性」的限制式 (a set of linear constraints) 之下，尋找極大化 (maximize) 或極小化 (minimize)一個特定的目標函數 (objective function)

• 線性規劃模型由下列三個部分組成 :– 一組決策變數 (A set of decision variables)– 一個特定的目標函數 (An objective function)– 一組「線性」的限制式 (A set of constraints)

2.1 2.1 線性規劃簡介 線性規劃簡介 Introduction to Linear ProgrammingIntroduction to Linear Programming

3

線性規劃簡介 線性規劃簡介 Introduction to Linear ProgrammingIntroduction to Linear Programming

• 線性規劃重要性–許多現實問題本身就適用線性規劃模型 –已存在許多有效的求解技巧–已存在許多著名的成功應用實例

• Manufacturing• Marketing• Finance (investment)• Advertising• Agriculture

4

• 線性規劃重要性– 線性規劃套裝軟體之所產生的結果提供有用的「如果…則」 “ what… if” 的分析資訊

線性規劃簡介 線性規劃簡介 Introduction to Linear ProgrammingIntroduction to Linear Programming

5

線性規劃模型之假設線性規劃模型之假設 Assumptions for Linear ProgrammingAssumptions for Linear Programming

– 參數具有「確定性」 (certainty)– 目標函數與限制式符合「固定規模報酬」之假設

(constant returns to scale)

– 「疊加性」之假設：決策變數間沒有互動性 ，即某函數之總價值只能藉由線性加總求得

– 「連續性」 (Continuity) 之假設變數值必須再某一個可行範圍內

1 1 單位產品單位產品 $4$4 ，，3Hrs3Hrs 生產生產

500500 單位產品單位產品$4*500=$2000$4*500=$2000，， 3*500=1,500Hrs3*500=1,500Hrs生產生產

6

典型範例 典型範例 The Galaxy Industries Production Problem The Galaxy Industries Production Problem

• Galaxy 生產兩種玩具模型 :– 宇宙光 Space Ray. – 射擊手 Zapper.

• 資源限制 (Resources)– 1000 磅特殊塑膠化合物 (special plastic)– 每週 40 小時生產時間 (40 hrs of production

time per week)

7

• 市場需求 (Marketing requirement)– 每週總產量至多 700 打– Space Rays 週產量不能過 Zappers 350 打以上

• 技術係數 (Technological inputs) (Table 2.2) – Space Rays 每打需要 2 pounds 塑膠與 3 分鐘

生產時間– Zappers 每打需要 1pound 塑膠與 4 分鐘生產

時間

典型範例 典型範例 The Galaxy Industries Production ProblemThe Galaxy Industries Production Problem

8

• 生產需求 : – Space Ray 每打利潤 (profit) $8， Zappers 每打利潤 (profit) $5

– 盡量多生產 Space Ray ，剩餘資源再生產Zapper

• 目前生產計畫 :

Space Rays = 450 dozenZapper = 100 dozenProfit = $4100 per week

典型範例 典型範例 The Galaxy Industries Production ProblemThe Galaxy Industries Production Problem

8(450) + 5(100)

9

管理是尋求一個生產排程為了是能增加公司的利潤 Management is seeking a production schedule that will

increase the company’s profit.

10

線性規劃模式可以提供一種深入與聰明之方法來解決此問題

A linear programming model can provide an insight and an

intelligent solution to this problem.

11

• 決策變數決策變數 ((Decisions variables)::

– X1 = 每週生產的 Space Rays 打數– X2 = 每週生產的 Zappers 打數

• 目標函數目標函數 ((Objective Function):

– 極大化每週總利潤

典型範例線性規劃模式典型範例線性規劃模式The Galaxy Linear Programming ModelThe Galaxy Linear Programming Model

12

Max 8X1 + 5X2 ( 每週總利潤 )subject to2X1 + 1X2 1000 ( 塑膠原料 ,Plastic)

3X1 + 4X2 2400 ( 生產時間 ,Production Time)

X1 + X2 700 ( 最大產量 ,Total production)

X1 - X2 350 ( 組合 )

Xj> = 0, j = 1,2 ( 非負值 ,Nonnegativity)

典型範例線性規劃模式典型範例線性規劃模式The Galaxy Linear Programming ModelThe Galaxy Linear Programming Model

13

2.3 2.3 線性規劃模式圖形分析 線性規劃模式圖形分析 Graphical Analysis of Linear Graphical Analysis of Linear ProgrammingProgramming

滿足模型全部限制式的所有點集合稱為

The set of all points that satisfy all the constraints of the model is called a

可行區域可行區域FEASIBLE FEASIBLE REGIONREGION

14

圖形表示法 (graphical presentation)

―所有限制式所有限制式 (all the constraints)(all the constraints)

―目標函數目標函數 (objective function)(objective function)

―可行點可行點 (three types of feasible points)(three types of feasible points)

15

The non-negativity constraints( 非負限制式 )

X2

X1

圖形分析 圖形分析 – – 可行區域可行區域Graphical Analysis – the Feasible RegionGraphical Analysis – the Feasible Region

16

1000

500

Feasible

X2

Infeasible

Production Time 限制式3X1+4X2 2400

Total production 限制式 X1+X2 700 ( 多餘 )

500

700

Plastic 限制式2X1+X2 1000

X1

700

圖形分析 圖形分析 – – 可行區域可行區域Graphical Analysis – the Feasible RegionGraphical Analysis – the Feasible Region

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1000

500

Feasible

X2

Infeasible

Production Time 限制式3X1+4X22400

Total production 限制式 X1+X2 700 ( 多餘 )

500

700

Mix 限制式X1-X2 350

Plastic 限制式2X1+X2 1000

X1

700

圖形分析 圖形分析 – – 可行區域 可行區域 (p. 67~68)(p. 67~68)Graphical Analysis – the Feasible RegionGraphical Analysis – the Feasible Region

• 可行點 (feasible points) 有三種內部點 Interior points. 邊界點 Boundary

points.端點 Extreme points.

18

以圖形求解是為了尋求最佳解以圖形求解是為了尋求最佳解Solving Graphically for an Solving Graphically for an

Optimal SolutionOptimal Solution

19

尋求最佳解圖解程序 尋求最佳解圖解程序 (p.71)(p.71)The search for an optimal solutionThe search for an optimal solution

由任一個 profit 開始 , say profit = $1,250.

往利潤增加方向移動 increase the profit, if possible...

持續平行移動到無法增加為止 continue until it becomes infeasible

Optimal Profit =$4360

500

700

1000

500

X2

X1

紅色線段 Profit =$1250

20

最佳解 最佳解 (p.69)(p.69) Summary of the optimal solutionSummary of the optimal solution

Space Rays X1 * = 320 dozen

Zappers X2 * = 360 dozen

Profit Z * = $4360

– 此最佳解使用了所有的塑膠原料 (plastic) 與生產時間 (production hours).

2X1 + 1X2 = 1000 ( 塑膠原料 ,Plastic)

3X1 + 4X2 = 2400 ( 生產時間 ,Production Time)

Excel試算表

束縛方程式 (Binding Constraints): 等式被滿足之限制式

21

最佳解 最佳解 (p.70~71)(p.70~71) Summary of the optimal solutionSummary of the optimal solution

– 總產量 (Total production) 680 打 (not 700 打 )

– Space Rays 產量只超過 Zappers 40 打

非束縛方程式 (Non-Binding Constraints) ：最佳點不在其等式之限制式

寬鬆 (Slack) ：限制式右邊與左邊的差額，代表資源的剩餘數量

X1 + X2 = 680 < 700 ( 總產量 )X1 - X2 = -40 < 350 ( 產品組合 )

總產量有 700-680=20 的寬鬆產品組合有 350-(-40) = 390 的寬鬆

22

– 若一個線性規劃問題有一組最佳解，此最佳解一定發生在”端點”上 ( 端點最佳解之候選人 ,True/False)

– 兩個束縛方程式的交點形成一個”端點”或”角點”

端點與最佳解 端點與最佳解 (p.72)(p.72)Extreme points and optimal solutionsExtreme points and optimal solutions

端點：可行區域的角點 2X1+ X2 = 1000

X1-X2 = 350 之解(450,100)

(320,360)

2X1+ X2 = 10003X1+4X2 = 2400 之解

(0,600)

3X1+4X2 = 2400 X1 = 0 之解

23

• 若多重最佳解存在，則目標函數必定平行其中一個限制式

多重最佳解多重最佳解Multiple optimal solutionsMultiple optimal solutions

•多重最佳解之任何加權平均值亦為一組最佳解

X1=(350,0) 最佳解 1

X2=(0,600)最佳解 2

X=αX1+(1-α)X2 , α∈[0,1] 亦為最佳解

目標函數 Z

24

2.4 2.4 最佳解敏感性分析之角色最佳解敏感性分析之角色 The Role of Sensitivity Analysis The Role of Sensitivity Analysis

of the Optimal Solution (p.75)of the Optimal Solution (p.75)

• 輸入參數之變動對於最佳解之敏感度為何 ?

• 從事敏感性分析之原因：–輸入參數可能只是估計值或最佳估計值–模型建立在一個動態環境，因此有些參數可能變動

–“如果 ..會” (“What-if”)分析可以提供經濟地與作業地資訊 .

25

• 最佳範圍 (Range of Optimality) (p.76)

– 當其他因素保持不變時，在不改變最佳解之情況下，目

標函數某係數可以變動多少 ?– (p.77)最佳解將不會改變，若

• 目標函數係數仍在最佳範圍內• 不改變其他輸入參數

– 目標函數某係數乘上一個非零正數，則目標函數會改變 .

(1) (1) 目標函數係數之敏感性分析目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Sensitivity Analysis of

Objective Function Coefficients.Objective Function Coefficients.

26

600

1000

500 800

X2

X1Max 8X

1 + 5X2

Max 4X1 + 5X

2

Max 3.75X1 + 5X

2

Max 2X1 + 5X

2

目標函數係數之敏感性分析目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Sensitivity Analysis of

Objective Function Coefficients.Objective Function Coefficients.

最佳解仍為(320,360)

(320,360)C1 係數 =2 ，最佳解為 (0,600)而 (320,360) 不再是最佳解

(0,600)

減少 C1 係數由 8→3.75

27

600

1000

400 600 800

X2

X1

Max8X1 + 5X

2

Max 3.75X1 + 5X

2

Max 10 X

1 + 5X2

C1 係數的最佳範圍 : [3.75, 10]

目標函數係數之敏感性分析目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Sensitivity Analysis of

Objective Function Coefficients.Objective Function Coefficients.

增加 C1 係數，由 8→10最佳解仍包含 (320,360)

(320,360) 同理， C2 係數的最佳範圍 : [4, 10.67] (Can you find it ?)

28

― 一個變數 Xj =0 的縮減成本 RCj為目標函數係數需要增加量的負值 (-Zj) ，使得最佳解中該變數為正數 (Xj >0)

― 縮減成本 RCj為此變數 Xj 每增加一單位(Xj=1) ，目標函數會改變的值

C1=2 X*=(0,600) X1=0→C1=3.75 X*=(320,360) X1=320>0 RC1 =-∆Z1=-(3.75-2)=-1.75

縮減成本 縮減成本 Reduced cost (p.78)Reduced cost (p.78)

29

600

1000

500 800

X2

X1

Max 3.75X1 + 5X

2

Max 2X1 + 5X

2

目標函數係數之敏感性分析目標函數係數之敏感性分析縮減成本 縮減成本 (p.79)(p.79)

(1,599.25)Z=2998.25

(0,600)Z=3000

X1 ≥1

∆X1=1 ( 由X1=0→X1=1)∆Z=2998.25-3000 = -1.75 RC1 =-1.75

30

• 問題：– 若其他參數不變之前提下，若右手值變動一個單位，對於目標函數之最佳解有何影響 ?

– 多少變動單位 ( 增加或減少 ) ，可以保持目前最佳解

(2) (2) 右手邊數值 之敏感性分析 右手邊數值 之敏感性分析 (p.78) (p.78) Sensitivity Analysis of Sensitivity Analysis of Right-Hand Side ValuesRight-Hand Side Values

31

• 發現：– 任意變動束縛函數 (Binding Constraints)之右手值，都會改變目前最佳解

– 非束縛函數 (Non-Binding Constraints)之右手值，當變動數量少於寬鬆 (slack)或剩餘(surplus)量時，都不會改變目前最佳解

– 此結果可以由影子價格 (Shadow Price) 來解釋

右手邊數值 之敏感性分析 右手邊數值 之敏感性分析 Sensitivity Analysis of Sensitivity Analysis of Right-Hand Side ValuesRight-Hand Side Values

32

影子價格 影子價格 Shadow Prices (p.80)Shadow Prices (p.80)

• 若其他輸入參數不變之前提下，限制式的影子價格 是當其對應的右手值增加一個單位時，對最佳目標函數值的變動量

33

1000

500

X2

X1

500

2X1 + 1x

2 <=1000

最佳解由(320,360)→(320.8,359.4)

Production time限制式

X*=(320,360) Z*= $4360

2X1 + 1x

2 <=1001

X* =(320.8,359.4) Z* = $4363.4

當右手值增加 ( 例如由 1000→1001) 則可行區域擴大

影子價格影子價格 Shadow Price – Shadow Price – 圖形表示 圖形表示 graphical demonstrationgraphical demonstration

Plastic 限制式

Shadow price = 4363.40 – 4360.00 = 3.40

34

可行性範圍 可行性範圍 Range of Feasibility (p.81)Range of Feasibility (p.81)

• 若其他輸入參數不變之前提下–右手值的可行性範圍是影子價格依然不變的 右手值可以變動的範圍 .

–在可行性範圍內，目標函數之改變量 Change in objective value = [ 影價 Shadow price]*[ 右手值變量 Change in the right hand side value]

35

塑膠的可行性範圍 塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility Range of Feasibility (p.81) (p.81)

1000

500

X2

X1

500

2X1 + 1x

2 <=1000

塑膠原料的數量可以增加到一個新限制式成為 Binding 為止

Plastic 限制式

此處為不可行解Production time限制式

Total Production限制式X1 + X2 700 Total Production 成為

新的束縛限制式(New Binding Constraint)

36

塑膠的可行性範圍 塑膠的可行性範圍 Range of FeasibilityRange of Feasibility

1000

500

X2

X1

600

Plastic 限制式

Production time限制式3X1+4X2 ≤ 2400

請注意看：請注意看：當塑膠數量增加時最佳解的變化當塑膠數量增加時最佳解的變化

Total Production限制式X1+X2 ≤ 700 塑膠的可行性範圍塑膠的可行性範圍 上限上限

= 2X1 + 1X2 = 2X1 + 1X2 =2*(400)+300=1100=2*(400)+300=1100

X1+ X2 = 700X1+ X2 = 7003X1+4X2 = 2400 3X1+4X2 = 2400 之解 之解 X*=(400,300)X*=(400,300) 為最佳解為最佳解

2X1 + 1x

2 1000

37

塑膠的可行性範圍 塑膠的可行性範圍 Range of FeasibilityRange of Feasibility

1000

500

X2

X1

600

Plastic 限制式2X1 + 1X2 1000

請注意看：請注意看：當塑膠數量減少時最佳解的變化當塑膠數量減少時最佳解的變化

XX11 = 0 = 0 成為新的束縛限制式

Infeasiblesolution

3X3X11+ 4X+ 4X22 = 2400 = 2400XX1 1 = 0 = 0 之解 之解 X*=(0,600)X*=(0,600) 為最佳解為最佳解

塑膠的可行性範圍塑膠的可行性範圍 下限下限 =2X=2X1 1 + 1X+ 1X22

= 2*(0)+1*600=600= 2*(0)+1*600=600

Production time限制式3X1+4X2 ≤ 2400

38

– 已投入成本 (Sunk costs): 未被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本 - Shadow Price 為該資源額外一單位的價值

– 淨利潤可以將已投入成本 $3800 由目標函數值中扣除

影子價格的正確解釋 影子價格的正確解釋 The correct The correct interpretation of shadow prices (p.83)interpretation of shadow prices (p.83)

1000 磅塑膠每磅 $3 → Total Cost = $3000Production Time $20/hr → Total Cost =$20*40=$800 不管一週實際使用多少塑膠與 Production Time ，$3000+$800=$3800 都必須支付，故為已投入成本

39

– 已包括成本 (Included costs): 被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本─ Shadow Price 為高於該資源之現有單位價值之額外的價值

– 見 p.84 表格 2.5 說明

影子價格的正確解釋 影子價格的正確解釋 The correct The correct interpretation of shadow prices (p.83)interpretation of shadow prices (p.83)

塑膠每磅 $3 → 塑膠影價每磅 =$3.4 →管理者願意為額外塑膠磅數多支付 $6.8( 已包括成本 )

Production Time $0.33/min (or $20/hr) ，Production Time 影價每分鐘 =$0.4 →管理者願意為額外 Production Time 多支付 $0.73

40

其他後最佳性變動 其他後最佳性變動 (p.84)(p.84)Other Post - Optimality Changes Other Post - Optimality Changes

• 加入一個新限制式 (Addition of a constraint)

• 刪除一個限制式 (Deletion of a constraint)

決定最佳解是否滿足此限制式Yes, the solution is still optimalNo, re-solve the problem (the new objective function is worse than the original one)

決定刪除的限制式是否為束縛限制式•Yes, re-solve the problem (the new objective function is better than the original one)•No, the solution is still optimal

41

其他後最佳性變動 其他後最佳性變動 (p.84)(p.84)Other Post - Optimality Changes Other Post - Optimality Changes

• 刪除變數 (Deletion of a variable)

• 增加變數 (Addition of a variable)─ 考慮淨邊際利潤

(Net Marginal Profit)

決定被刪除變數在最佳解中是否為 0Yes, the solution is still optimalNo, re-solve the problem (the new objective function is worse than the original one)

42

其他後最佳性變動 其他後最佳性變動 (p.85)(p.85)Other Post - Optimality Changes Other Post - Optimality Changes 【範例 】 X3= 新產品大水槍產量 每一個大水槍需 3lb 塑膠與5min 生產時間 每打利潤 $10

Max 8X1 + 5X2+ 10X3 ( 每週總利潤 )subject to

2X1 + 1X2 + 3X3 ≤ 1000 ( 塑膠原料 ,Plastic ,Shadow Price = $3.4)3X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 2400 ( 生產時間 ,Production Time, SP = $0.4) X1 + X2 +X3 ≤ 700 ( 最大產量 ,Total production, SP = $0) X1 - X2 ≤ 350 ( 組合 , SP = $0) Xj> = 0, j = 1,2,3 ( 非負值 ,Nonnegativity)

淨邊際利潤 =$10-($3.4*(3)+$0.4*(5)+$0*(1)+$0*(0)) = -$2.2 <0 大水槍不具生產價值

X*=(320,360,0) 仍為最佳解

43

其他後最佳性變動 其他後最佳性變動 (p.85)(p.85)Other Post - Optimality Changes Other Post - Optimality Changes

• 左手係數的變動 (Changes in the left - hand side

coefficients.)

目前解仍

為最佳

No Yes

最佳解與影子

價格都會變動

模型需重解

束縛限制式

Yes

目前解是否

為最佳

No

44

2.5 2.5 使用使用 Excel Solver Excel Solver 尋找最佳解尋找最佳解與分析結果與分析結果• 點選 Galaxy.xls，可見輸入試算表• 點選工具 \ 規劃求解 (Solver)，可見下列對話視窗 .

Equal To:

By Changing cells這些儲存格包含 決策變數

$B$4:$C$4

加入限制式按此鍵…

Set Target cell $D$6此儲存格包含 目標函數值

$D$7:$D$10 $F$7:$F$10

所有具有相同方向之限制式必須包含在一個” Excel 限制式” .

45

使用使用 Excel SolverExcel Solver

•點選 Galaxy.xls，可見輸入試算表.

Equal To:

$D$7:$D$10<=$F$7:$F$10

By Changing cells這些儲存格包含 決策變數

$B$4:$C$4

Set Target cell $D$6此儲存格包含 目標函數值

點選 “選項 /Option”並勾選”線性規劃”與 “非負” .

46

• 點選 Galaxy.xls，可見輸入試算表

Equal To:

$D$7:$D$10<=$F$7:$F$10

By Changing cells$B$4:$C$4

Set Target cell $D$6

使用 使用 Excel SolverExcel Solver

按 Solve 以求最佳解

47

Space Rays ZappersDozens 320 360

Total LimitProfit 8 5 4360

Plastic 2 1 1000 <= 1000Prod. Time 3 4 2400 <= 2400

Total 1 1 680 <= 700Mix 1 -1 -40 <= 350

GALAXY INDUSTRIES

使用使用 Excel Solver – Excel Solver – 最佳解最佳解

48

Space Rays ZappersDozens 320 360

Total LimitProfit 8 5 4360

Plastic 2 1 1000 <= 1000Prod. Time 3 4 2400 <= 2400

Total 1 1 680 <= 700Mix 1 -1 -40 <= 350

GALAXY INDUSTRIES

使用使用 Excel Solver – Excel Solver – 最佳解最佳解

Solver 能提供分析報告與最佳解

49

使用使用 Excel Solver –Excel Solver – 解答報表 解答報表 Answer Answer ReportReport

Microsoft Excel 9.0 Answer ReportWorksheet: [Galaxy.xls]GalaxyReport Created: 11/12/2001 8:02:06 PM

Target Cell (Max)Cell Name Original Value Final Value

$D$6 Profit Total 4360 4360

Adjustable CellsCell Name Original Value Final Value

$B$4 Dozens Space Rays 320 320$C$4 Dozens Zappers 360 360

ConstraintsCell Name Cell Value Formula Status Slack

$D$7 Plastic Total 1000 $D$7<=$F$7 Binding 0$D$8 Prod. Time Total 2400 $D$8<=$F$8 Binding 0$D$9 Total Total 680 $D$9<=$F$9 Not Binding 20$D$10 Mix Total -40 $D$10<=$F$10 Not Binding 390

50

使用使用 Excel Solver –Excel Solver – 敏感性分析報敏感性分析報表表 Sensitivity ReportSensitivity Report

Microsoft Excel Sensitivity ReportWorksheet: [Galaxy.xls]Sheet1Report Created:

Adjustable CellsFinal Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease$B$4 Dozens Space Rays 320 0 8 2 4.25$C$4 Dozens Zappers 360 0 5 5.666666667 1

ConstraintsFinal Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease$D$7 Plastic Total 1000 3.4 1000 100 400$D$8 Prod. Time Total 2400 0.4 2400 100 650$D$9 Total Total 680 0 700 1E+30 20$D$10 Mix Total -40 0 350 1E+30 390

51

• 不可行性 (Infeasibility): 一模型中無可行點 (p.96)

• 無窮性 (Unboundness): 一模型中可行解存在，但目標函數沒有限制。目標函數值為無限大 ( 在極大化問題 ) 或無限小 ( 在極小化問題 ) (p.98)

• 多重解 (Alternate solution): 一模型中有一個以上的可行點使目標函數為最佳 (p.98)

無單一最佳解之模型無單一最佳解之模型

52

1

No point, simultaneously,

lies both above line and

below lines and

.

1

2 32

3

不可行模型 不可行模型 Infeasible ModelInfeasible Model

53

不可行模型 不可行模型 Solver Solver 呈現之結果呈現之結果

Solver 呈現無法找到可行解之結果

54

無窮性Unbounded solutionUnbounded solution

可行區域

Maximize

目標函數

55

無窮性模型 無窮性模型 Solver Solver 呈現之結果呈現之結果Solver 呈現 Set Cell 值無法收斂之結果

56

• Solver 沒有提醒”多重最佳解”存在的情形• 有”多重最佳解”的 LP 模型，則某個變數 Xj 的目標函數的 allowable increase or allowable decrease 為 0.

• 以 Solver 尋找多重最佳解的程序如下： (p.99)

– 觀察到某個變數 Xj中

多重最佳解模型 多重最佳解模型 Solver Solver 呈現之結果呈現之結果

Allowable increase = 0, 或Allowable decrease = 0.

57

• 加入一個限制式 :Objective function = Current optimal value.

– If Allowable increase = 0, change the objective to Maximize Xj

– If Allowable decrease = 0, change the objective to Minimize Xj

Excel試算表

多重最佳解模型 多重最佳解模型 Solver Solver 呈現之結果呈現之結果

58

成本最小化問題成本最小化問題

• 海軍海上糧食 : Texfoods, Calration.

• 最小化海上糧食總成本• 維持維他命 A ， D 與鐵之基本需求

59

• 決策變數 (Decision variables)– X1 (X2) -- The number of two-ounce portions of

Texfoods (Calration) product used in a serving.

• The ModelMinimize 0.60X1 + 0.50X2Subject to

20X1 + 50X2 100 Vitamin A 25X1 + 25X2 100 Vitamin D 50X1 + 10X2 100 Iron X1, X2 0

Cost per 2 oz.

% Vitamin Aprovided per 2 oz.

% required

成本最小飲食問題成本最小飲食問題

60

10

2 44 5

Feasible RegionFeasible Region

Vitamin “D” constraint

Vitamin “A” constraint

The Iron constraint

成本最小飲食問題成本最小飲食問題 – – 圖解法圖解法

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• Summary of the optimal solution– Texfood product = 1.5 portions (= 3 ounces)

Calration product = 2.5 portions (= 5 ounces) – Cost =$ 2.15 per serving. – The minimum requirement for Vitamin D and iron are met with

no surplus. – The mixture provides 155% of the requirement for Vitamin A.

成本最小飲食問題成本最小飲食問題

Excel試算表

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• 線性規劃軟體可以求解大型線性模型• 大多數線性規劃軟體使用的技巧

– 單形法 (Simplex Method) ( 原理部分見補充CD3)

– 內點法 (Interior Point Method)

• 整數線性規劃軟體使用的技巧– 如切面法 (Cutting Plane Method)– 分支界限法 (Branch and Bound Point Method)

( 原理部分見補充 CD3)

LPLP 程式的代數解法程式的代數解法