1 m. en c. gal vargas neri. estadistica i csh, tema iii temario
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M. en C. Gal Vargas Neri
ESTADISTICA I CSH, Tema III TEMARIO
Distribuciones discretas y continuas
Variable Aleatoria Discreta
• Variable Aleatoria: resultados de un experimento expresado numéricamente
Por ejemplo,
Lanzar un dado 2 veces: Contar el número de veces que cae 4 (0, 1, o 2 veces)
Variable Aleatoria Discreta
•Variable Aleatoria Discreta: • Obtenida al Contar (0, 1, 2, 3, etc.)
• Usualmente toma un número finito de diferentes valores
Por ejemplo,
Lanzar una moneda 5 veces. Contar el número de caras. (0, 1, 2, 3, 4, o 5 veces)
Probabilidad Discreta Ejemplo de Distribución
Distribución de Probabilidad Valores probabilidad
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
Evento: Lanzar 2 Monedas. Contar # Caras.
T
T
T T
Distribución de Probabilidad Discreta
Lista de todos los posibles [ xi, p(xi) ] pares
Xi = valores de una variable aleatoria
P(xi) = probabilidad asociada con un valor
Mutuamente exclusivos (nada en común)
Colectivamente exhaustivos (nada queda fuera)0 p(xi) 1
P(xi) = 1
Variable Aleatoria Discreta Medidas Sumarias
Valor esperado (La media) Promedio ponderado de la distribución de probabilidad
= E(X) = xi p(xi) P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular el valor esperado:
= 0 .25 + 1 .50 + 2 .25 = 1
Número de Caras Probabilidad del evento
Variable Aleatoria Discreta Resumen de medidas
Varianza
Promedios ponderados del cuadrado de la desviación estándar alrededor de la media
= E [ (xi - )2]= (xi - )2p(xi)
= E(X 2)-E 2(X)
P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular la varianza:
= (0 - 1)2(.25) + (1 - 1)2(.50) + (2 - 1)2(.25) = .50
Probabilidades Discretas Importantes
Modelos de Distribución
Probabilidad Discreta Distribuciones
Binomial Poisson
Distribución Binomial
‘N’ ensayos idénticos 15 lanzamientos de una moneda, 10 focos
tomados de un almacén
2 resultados mutuamente exclusivos en cada ensayo Águilas o Soles en cada lanzamiento de una
moneda, un foco con defecto o sin defecto
Distribuciones Binomiales
• Probabilidad Constante para cada ensayo:• Probabilidad de obtener sol es la misma que cada vez que arrojamos la moneda y cada foco tiene la misma probabilidad de ser defectuoso
• 2 Métodos de muestreo:• Población infinita sin reemplazo• Población finita con reemplazo
• Los ensayos son independientes:
• Los resultados de un ensayo no afectan los resultados de otros
Probabilidad Binomial Distribución Función
P(X) = probabilidad que x tenga acierto dando un conocimiento de n y p
X = número de éxitos
ejemplo, (X = 0, 1, 2, ..., n)
p = probabilidad de cada ‘éxito’
n = tamaño de ejemplo
caras en 2 lanzamientos de monedas:
X P(X) 0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
pqdondeqpx
nxXP xnx
1)(
Características de la Distribución Binomial
n = 5 p = 0.1
n = 5 p = 0.5
Media
Desviación Estandar
E X np
np p
( )
)
0.2.4.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
Por ejemplo, = 5 (.1) = .5
Por ejemplo, =5(.5)(1 - .5)=
1.118 0
(1
Distribución de Poisson
Proceso de Poisson: Eventos discretos en un ‘intervalo’:
La probabilidad de un éxito en un intervalo es estable
La probabilidad de más de un acierto en este evento es 0
Probabilidad de éxito es independiente de intervalo a intervalo
# Clientes que llegan en 15 min # Defectos por caso de los focos
P X x
x
x
( |
!
e-
Función de Distribución de Poisson
P(X ) = probabilidad de X éxitos dando = valor esperado(media) número de éxitos
e = 2.71828 (base de registros naturales)
X = número de éxitos por unidad
P XX
X
( )!
e
Ejemplo, Encontrar la probabilidad que 4 clientes lleguen en 3 minutos cuando la media es 3.6
P(X) = e-3.6
3.64!
4
= .1912
Características de la Distribución de Poisson
= 0.5
= 6
Media
Desviación Estandar
ii
N
i
E X
X P X
( )
( )1
0.2.4.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0.2.4.6
0 2 4 6 8 10
X
P(X)
Covarianza
X = variable aleatoria discreta X
Xi = valor de los resultados ith X
P(xiyi) = probabilidad de ocurrencia de un resultado i-ésimo de X y resultado i-ésimo de Y
Y = variable aleatoria discreta Y
Yi = valor de los resultados de Y
I = 1, 2, …, N
)YX(P)Y(EY)X(EX iii
N
iiXY
1
Calculando la media para Retorno de Inversión
Retorno de $1,000 para dos tipos de inversiones
P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y
.2 Recesión -$100 -$200
.5 Economía Estable + 100 + 50
.3 Economía en Expansión + 250 + 350
Inversión
E(X) = X = (-100)(.2) + (100)(.5) + (250)(.3) = $105
E(Y) = Y = (-200)(.2) + (50)(.5) + (350)(.3) = $90
Calculando la Varianza de Retorno de Inversión
P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y
.2 Recesión -$100 -$200
.5 Economía Estable + 100 + 50
.3 Economía de Expansión + 250 + 350
Inversión
Var(X) = = (.2)(-100 -105)2 + (.5)(100 - 105)2 + (.3)(250 - 105)2
= 14,725, X = 121.35
Var(Y) = = (.2)(-200 - 90)2 + (.5)(50 - 90)2 + (.3)(350 - 90)2
= 37,900, Y = 194.68
2X
2Y
Calculando la Covarianza para Retorno de Inversión
P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y
.2 Recesión -$100 -$200
.5 Economía Estable + 100 + 50
.3 Economía en Expansión + 250 + 350
Inversión
XY = (.2)(-100 - 105)(-200 - 90) + (.5)(100 - 105)(50 - 90)
+ (.3)(250 -105)(350 - 90) = 23,300La covarianza de 23,000 indica que de dos inversiones están posiblemente relacionadas y podrán variar juntas dentro de la misma dirección.
La distribución Normal
• ‘Forma de Campana’
• Simétrica
• Media, Mediana y Moda son iguales
• ‘Diseminación Media’
Iguales 1.33
• Variables aleatorias tienen rangos infinitos.
Media Moda
Mediana
X
f(X)
El Modelo Matemático
f(X) = frecuencia de variable aleatoria X
= 3.14159; e = 2.71828
= Desviación estándar de población
X = valor variable aleatoria (- < X < )
= media de población
21
2
2
1
2
X
f X e
Variación de los Parámetros y , se obtiene Distribuciones Diferentes de Normal.
Éstas son un número
infinito
Distribución Normal
Distribución Normal: Encontrando Probabilidades
Probabilidad es el área debajo de la curva¡
c dX
f(X)
P c X d( ) ?
¡Infinidad de Distribuciones Normales significa infinidad de tablas para buscar!
¿Cada distribución tiene su propia tabla?
¿Cuál Tabla?
Estandarización de una variable aleatoria normal
Xx1 x2 Zz1 0 z2
)1,0(, NZdondeX
Z
Distribución Normal
Distribución Normal Estandarizada
Asignación de Normalidad
Compare las características de los datos con las Propiedades de la Distribución Normal
• Poner los datos en un arreglo ordenado
• Encontrar correspondencia con los cuantiles de la Distribución normal estandarizada
• Dibujar los pares de puntos
• Ajustar una línea recta
Checar la gráfica normal
30
60
90
-2 -1 0 1 2
Z
X
Gráficas de Probabilidad Normal
Sesgada a la izquierda
Rectangular U
30
60
90
-2 -1 0 1 2
Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2
Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2
Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2
Z
X
Sesgada a la derecha