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第 4 章

機率導論

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機率導論

4.1 實驗、計數法則，以及機率指派

4.2 事件與事件機率

4.3 機率的基本關係

4.4 條件機率

4.5 貝氏定理

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機率管理者經常要根據不確定性的分析結果來進行決

策，例如：1. 若提高商品價格，商品銷售額下降的機會有多少？2. 新的裝配方法對提高生產力的可能性有多少？3. 計畫準時完成的可能性有多少？4. 新投資會獲利的機會有多大？

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圖 4.1 機率是發生可能性的一種數值衡量

00 11.5.5

發生的可能性提高

機率：

事件幾乎事件幾乎不可能發生不可能發生

事件發生與否事件發生與否的可能性相同的可能性相同

事件很有事件很有可能發生可能發生

第 4 章機率導論第 141 頁圖 4.1

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4.1 實驗、計數法則以及機率指派

實驗實驗 (experiment)(experiment) 是「產生有清楚定義的結果是「產生有清楚定義的結果的一個過程」的一個過程」實驗實驗 (experiment)(experiment) 是「產生有清楚定義的結果是「產生有清楚定義的結果的一個過程」的一個過程」

樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。

樣本點樣本點 (sample point)(sample point) ，即其為樣本空間的一，即其為樣本空間的一個元素。個元素。樣本點樣本點 (sample point)(sample point) ，即其為樣本空間的一，即其為樣本空間的一個元素。個元素。

第 4 章機率導論第 141 頁

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實驗、計數法則以及機率指派以下為實驗及實驗結果的一些例子。


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實驗與其樣本例如 :

1. 擲一枚硬幣，定義 S 為其樣本空間，則 S 為S = { 正面，反面 }

2. 檢驗一零件，其樣本空間為S = { 不良品，良品 }

3. 擲一顆骰子，樣本空間為S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

第 4 章機率導論第 141-142 頁

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計數法則、組合以及排列實例樹狀圖 (tree diagram) 是協助我們瞭解多重步驟實驗結果

的圖形。圖 4.2 是擲兩枚硬幣的樹狀圖

第 4 章機率導論第 142-143 頁圖 4.2

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計數法則、組合以及排列實例表 4.1 彙整 KP&L 公司擴廠專案各種可能的完成時間，而圖 4.3 以樹狀圖顯示 9 種可能結果 ( 樣本點 ) 。

第 4 章機率導論第 143 頁表 4.1

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圖 4.3 KP&L 專案的樹狀圖



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機率指派機率指派的基本要求

1. 指派到任一實驗結果的機率值必須介於 0 與 1 之間。假設 Ei表示第 i 個實驗結果，而 P (Ei) 表示該事件發生的機率，則

對所有 i 而言 0 ≤ P(Ei) ≤ 1

2. 所有實驗結果出現機率的總和必須等於 1.0 。假設一樣本空間含有 n 個實驗結果，則

P(E1)＋ P(E2)＋…＋ P(En)＝ 1



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機率指派

古典法古典法

相對次數法相對次數法

主觀法主觀法

指派機率適用於各實驗結果出現的可能性皆相等時。

取得資料來估計各實驗結果發生次數的比例。

採用主觀法對實驗結果指派機率時，諸如經驗直覺等任何可用資訊皆可使用。



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古典法實例如果一實驗可能出現 n 個結果，則各實驗結果發生的機率各為 1/n

以擲一骰子為例樣本空間 : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

每一實驗結果被指派的機率值各為 1/6

實例



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相對次數法實例

• 連續20天的上午9點，在醫院X光部門記錄等待檢驗的病人數目，得到以下的結果。



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相對次數法實例以上的資料顯示，在 20 天中的 2 天，等待人數為 0 ；有 1 個病人等待檢驗的天數是 5 天等等。利用相對次數法，我們可以指派沒有病人在等待的機率為 2/20＝ 0.10； 1 個病人在等待的機率為 5/20＝ 0.25； 2 個病人在等待的機率為 6/20＝ 0.30； 3 個病人在等待的機率為 4/20＝ 0.20；4 個病人在等待的機率則為 3/20＝ 0.15 。如同古典法，相對次數法也自然會滿足式 (4.3) 以及式(4.4) 的基本要求。



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主觀法• 適用的情況是，實驗結果出現的可能性並不相等，而且無法得到相對次數的資料。採用主觀法對實驗結果指派機率時，諸如經驗直覺等任何可用資訊皆可使用。

• 當考慮所有可用的資訊之後，指派的機率值表示我們對某特定實驗結果將發生的信心程度 (degreeof belief)(以 0到 1 為範圍 ) 。

• 即使在可以適用古典法或相對次數法的情況下，管理者仍可能採取主觀法進行機率估計。



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主觀法假設湯姆以及茱蒂夫婦在購屋時，提出一個購買價格，這個價格提供給賣方之後，可能有兩種結果：

E1＝他們的出價被接受E2＝他們的出價被拒絕

茱蒂相信出價被賣方接受的機率是 0.8 ，因此，她會設定 P(E1)＝ 0.8 及 P(E2)＝ 0.2 ，然而，湯姆相信出價被賣方接受的機率是 0.6 ，因此，他會設定 P(E1)＝ 0.6 及 P(E2)＝ 0.4 ，由以上的機率顯示湯姆對出價被接受的可能抱持較悲觀的看法。



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KP&L 專案的機率



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KP&L 專案的機率各樣本點的機率值如表 4.3 所示。



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一個事件是指樣本點的集合。一個事件是指樣本點的集合。一個事件是指樣本點的集合。一個事件是指樣本點的集合。

任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機率任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機率的總和。的總和。任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機率任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機率的總和。的總和。

使用這個定義使用這個定義，，只要將構成事件的各樣本點只要將構成事件的各樣本點 (( 實驗結果實驗結果 ))的機率相加，就的機率相加，就可以計算某一特定事件發生的機率。可以計算某一特定事件發生的機率。使用這個定義使用這個定義，，只要將構成事件的各樣本點只要將構成事件的各樣本點 (( 實驗結果實驗結果 ))的機率相加，就的機率相加，就可以計算某一特定事件發生的機率。可以計算某一特定事件發生的機率。

4.2 事件與事件機率



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事件與事件機率實例我們回到 KP&L 的擴廠計畫，假定專案經理感興趣的是擴廠計畫是否能在 10 個月 (含 ) 內完成，參考表 4.3 我們發現有 6 個樣本點── (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6),(3, 7), (4, 6) ── 是在 10 個月 (含 ) 內完成。令 L 代表該計畫在 10 個月 (含 ) 內完成的事件，則

L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)}

事件 L 中任何一個樣本點出現，我們就稱事件L 發生。



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事件與事件機率實例 KP&L 公司管理者可能對下列事件亦有興趣：

L ＝該計畫將在 10 個月以內完成的事件 M ＝該計畫完成時間多於 10 個月的事件

由表 4.3 可得知，這兩個事件所包含的樣本點為

L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6 )}

M ＝ {(3, 8), (4, 7), (4, 8)}

KP&L 專案問題可定義出許多不同的事件，每個事件都是實驗的樣本點所成的集合。



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事件與事件機率實例現在我們可以計算該專案將在 10 個月 ( 含 ) 以內完成的機率，已知該事件 L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)} ，所以事件 L 發生的機率 P(L) 為

P(L)＝ P(2, 6)＋ P(2, 7)＋ P(2, 8)＋ P(3, 6)＋ P(3, 7)＋ P(4, 6) ＝ 0.15＋ 0.15＋ 0.05＋ 0.10＋ 0.20＋ 0.05 ＝0.70

同理，專案完成時間多於 10 個月的事件 M ＝ {(3, 8), (4, 7), (4, 8)} ，所以事件 M 發生的機率為

P(L)＝ (3, 8)＋ (4, 7)＋ (4, 8) ＝ 0.05＋ 0.10＋ 0.15＝ 0.30



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4.3 機率的基本關係

事件的餘集事件的餘集事件的餘集事件的餘集

兩事件的交集兩事件的交集兩事件的交集兩事件的交集

互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件

加法律加法律加法律加法律



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A A 的餘集以的餘集以 AAcc 表示。表示。 A A 的餘集以的餘集以 AAcc 表示。表示。

給定一事件，則事件給定一事件，則事件 AA 的餘集的餘集 (complement of A)(complement of A) 是是指樣本空間中不包含指樣本空間中不包含 AA 事件之所有樣本點所成的集合。事件之所有樣本點所成的集合。給定一事件，則事件給定一事件，則事件 AA 的餘集的餘集 (complement of A)(complement of A) 是是指樣本空間中不包含指樣本空間中不包含 AA 事件之所有樣本點所成的集合。事件之所有樣本點所成的集合。

事件事件 AA AAcc 樣本空間樣本空間 SS樣本空間樣本空間 SS

范氏圖范氏圖

事件的餘集



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聯集的符號表示為聯集的符號表示為 AA ∪ ∪ B B 。聯集的符號表示為聯集的符號表示為 AA ∪ ∪ B B 。

A 和 B 的聯集表示所有屬於 A 或 B 或同時屬於兩者的所有樣本點所成的集合 A 和 B 的聯集表示所有屬於 A 或 B 或同時屬於兩者的所有樣本點所成的集合

樣本空間 S樣本空間 S事件事件 AA 事件事件 BB

兩事件的聯集



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交集的符號表示為交集的符號表示為 AA ∩∩ 。。交集的符號表示為交集的符號表示為 AA ∩∩ 。。

給定兩事件給定兩事件 A A 和和 BB ，則，則 A A 和和 B B 的交集表示在的交集表示在 A A 和和 B B 中中共同出現的樣本點所成的事件。共同出現的樣本點所成的事件。給定兩事件給定兩事件 A A 和和 BB ，則，則 A A 和和 B B 的交集表示在的交集表示在 A A 和和 B B 中中共同出現的樣本點所成的事件。共同出現的樣本點所成的事件。


事件 A 和 B 的交集事件 A 和 B 的交集

兩事件的交集



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加法律加法律 (addition low)(addition low) 用來計算事件用來計算事件 AA 或事件或事件 BB 或兩者皆或兩者皆發生的機率。發生的機率。加法律加法律 (addition low)(addition low) 用來計算事件用來計算事件 AA 或事件或事件 BB 或兩者皆或兩者皆發生的機率。發生的機率。

表示如下：表示如下：表示如下：表示如下：

PP((AA ∪∪BB) = ) = PP((AA) + ) + PP((BB) - ) - PP((AA ∩∩ BB

加法律



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加法律實例假設一工廠有 50 名員工，每一名員工必須準時完成指派的工作，並且能通過最後的檢驗。有些時候，員工疏忽造成進度落後或產生不良品。績效評估的最後階段，產品經理發現， 50 名員工中有 5 名工作進度落後， 50 名員工中有 6 名員工組裝出不良品， 50 名員工中有 2 名工作進度落後且組裝出不良品。令

L ＝工作進度落後事件D ＝組裝出不良品事件



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加法律實例從上述的相對次數資訊可以得到如下的機率：

在看過績效資料後，生產經理決定給予工作進度落後或生產不良品的員工不好的績效評等。因此，生產經理感興趣的應該是 L∪D 。請問生產經理給予員工不好的績效評等的機率有多大？



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加法律實例這是兩事件聯集的機率問題。利用式 (4.6) ，可得

P(L∪D) ＝ P(L)＋ P(D)－ P(L∩D)

將已知的 3 個機率值代入上式右邊，我們可得

P(L∪D)＝ 0.10＋ 0.12－ 0.04＝ 0.18

這表示有 0.18 的機率，一名員工會得到不好的績效評等。



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加法律實例另一個加法律的例子與電腦軟體公司的人事經理所做的研究有關。研究發現，兩年內離職的員工中有 30% 是因為對薪水不滿意，有 20% 是因為對工作不滿意，有 12% 的員工對薪水和工作都不滿意。請問，兩年內離職的員工中有多少是因為對薪水不滿意、對工作不滿意或對兩者皆不滿意？

令 S ＝員工離職是因為對薪水不滿意的事件W ＝員工離職是因為對工作不滿意的事件



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加法律實例我們可得 P(S)＝ 0.30, P(W)＝ 0.20 和 P(S ∩W)＝ 0.12 ，利用式 (4.6) 的加法律，我們可以知道，

P(S ∪W)＝ P(S)＋ P(W)－ P(S ∩W)

＝ 0.30＋ 0.20－ 0.12＝ 0.38

即有 0.38 的機率，兩年內離職的員工是因為對薪水不滿意、對工作不滿意或對兩者皆不滿意而離職。



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兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。

若事件若事件 A A 和和 B B 互斥，表示當一事件發生時，另一事件互斥，表示當一事件發生時，另一事件必不發生。必不發生。若事件若事件 A A 和和 B B 互斥，表示當一事件發生時，另一事件互斥，表示當一事件發生時，另一事件必不發生。必不發生。


互斥事件

第 4 章機率導論第 157-158 頁圖 4.7


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兩事件兩事件 A A 與與 B B 互斥，則互斥，則 PP((AA ∩∩ BB = 0 = 0 。。兩事件兩事件 A A 與與 B B 互斥，則互斥，則 PP((AA ∩∩ BB = 0 = 0 。。

互斥事件的加法律互斥事件的加法律互斥事件的加法律互斥事件的加法律

PP((AA ∪∪BB) = ) = PP((AA) + ) + PP((BB))

不需要包含不需要包含 “ “- - PP((AA ∩∩ BB””

互斥事件



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某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，稱為條件機率。稱為條件機率。某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，稱為條件機率。稱為條件機率。

條件機率：條件機率：

或或

條件機率：條件機率：

或或

條件機率條件機率 (conditional probability)(conditional probability) 記作記作 P P ((A A | | BB)) 。。條件機率條件機率 (conditional probability)(conditional probability) 記作記作 P P ((A A | | BB)) 。。

( )( | )

( )P A B

P A BP B

( )( | )

( )P A B

P A BP B

條件機率

第 4 章機率導論第 160.162 頁

AP

BAPABP

|

AP

BAPABP

|


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條件機率條件機率

( )( | )

( )P A B

P A BP B

( )( | )

( )P A B

P A BP B



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如果事件如果事件 AA 發生的機率不受事件發生的機率不受事件 MM 的影響即的影響即PP((AA︱︱ MM))＝＝ PP((AA)) ，此時稱事件，此時稱事件 AA 和和 MM 為獨立事件為獨立事件(independent events)(independent events) 。。

如果事件如果事件 AA 發生的機率不受事件發生的機率不受事件 MM 的影響即的影響即PP((AA︱︱ MM))＝＝ PP((AA)) ，此時稱事件，此時稱事件 AA 和和 MM 為獨立事件為獨立事件(independent events)(independent events) 。。

兩事件兩事件 AA 和和 BB 是獨立事件，若是獨立事件，若

否則兩事件相依否則兩事件相依

兩事件兩事件 AA 和和 BB 是獨立事件，若是獨立事件，若

否則兩事件相依否則兩事件相依

PP((AA||BB) = ) = PP((AA)) PP((BB||AA) = ) = PP((BB))或或

獨立事件


兩事件兩事件 AA 和和 BB 是獨立事件，則是獨立事件，則兩事件兩事件 AA 和和 BB 是獨立事件，則是獨立事件，則

PP((AABB) = ) = PP((AA)).. PP((BB)) 試證明之試證明之


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條件機率實例美國某大都市警察局的人事升遷狀況如表 4.4 所示。警官總人數為 1,200 人，男性 960 人，女性 240 人。過去兩年中，有 324 人升遷，，詳細資料如表 4.4 所示。



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條件機率實例女性警官看完表 4.4 後，提出性別歧視的指控，因為有 288 位男性升遷，卻只有 36 位女性獲得升遷。主管機關認為並沒有性別歧視，女性警官升遷人數較少是女性警官看完表 4.4 後，提出性別歧視的指控，因為有 288 位男性升遷，卻只有 36 位女性獲得升遷。主管機關認為並沒有性別歧視，女性警官升遷人數較少是

M ＝男性警官的事件 W ＝女性警官的事件 A ＝警官升遷的事件 AC＝警官沒有升遷的事件



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條件機率實例將表 4.4 中的資料皆除以總人數 1,200 ，我們可以獲得如下的機率資

料。

P(M∩A)＝ 288/1200＝ 0.24 ＝隨機抽取一男性警官且升遷的機率

P(M∩Ac )＝ 672/1200＝ 0.56 ＝隨機抽取一男性警官且未升遷的機率 P(W∩A)＝ 36/1200＝ 0.03 ＝隨機抽取一女性警官且升遷的機率 P(W∩Ac )＝ 204/1200＝ 0.17 ＝隨機抽取一女性警官且未升遷的機率上述機率皆為兩事件的交集，稱為聯合機率 (joint probabilities) 。



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條件機率實例表 4.5 為此計算的彙整表，稱為聯合機率表 (joint

probabilities table) 。



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條件機率實例聯合機率表的邊欄 (列 ) 是各事件的機率，如

P(M)＝ 0.80, P(W)＝ 0.20, P(A)＝ 0.27, P(Ac)＝ 0.73 。由於這些機率位於聯合機率表的邊緣，所以稱為邊際機率 (marginal probabilities) 。

邊際機率是由各行或各列的聯合機率值加總而得。例如警官升遷的機率為何？

P(警官升遷 ) =P(A)

＝ P(M∩A)＋ P(W∩A)

= 0.24＋ 0.03＝ 0.27 。邊際機率可知 : 27% 的警官獲得升遷 73% 沒有。



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條件機率實例 P(A︱M) 即指在關心的是 960 位男性警官的升遷狀況。因為 960 位男性警官中有 288 位升遷，因此，男性警官獲得升遷的機率是 288/960＝0.30 。換句話說，在給定警官為男性的條件下，有 30% 的機率會獲得升遷。


MM


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乘法律乘法律 (multiplication law)(multiplication law) 則是用來計算兩事件交集的則是用來計算兩事件交集的機率。機率。乘法律乘法律 (multiplication law)(multiplication law) 則是用來計算兩事件交集的則是用來計算兩事件交集的機率。機率。

乘法律如下所示：乘法律如下所示：

或或

乘法律如下所示：乘法律如下所示：

或或

PP((AA ∩∩BB) = ) = PP((BB))PP((A A | | BB))

乘法律


PP((AA ∩∩BB) = ) = PP((AA))PP((B B | | AA))


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乘法律實例某地區有 84% 的家庭訂閱某報的平日版，令 D表示該地區訂閱平日版的事件，則 P(D)＝ 0.84 。另外，訂閱平日版亦訂閱假日版 (令訂閱假日版的事件為 S) 的機率為 0.75 ，即 P(S︱ D) ＝ 0.75 。請問同時訂閱兩種報紙的機率為何？利用乘法律我們可以計算 P(S∩D) 為：

P(S∩D) ＝ P(D) P(S︱ D)＝ 0.84(0.75)＝0.63

表示該地區的家庭有 63% 同時訂閱兩種報紙。



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要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率相乘即可。相乘即可。要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率相乘即可。相乘即可。

獨立事件的乘法律：獨立事件的乘法律：獨立事件的乘法律：獨立事件的乘法律：

PP((AA ∩∩ BB) = ) = PP((AA))PP((BB))

獨立事件的乘法律



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獨立事件的乘法律實例假設某加油站的經理根據過去的經驗知道，有 80% 的客戶會使用信用卡。請問接下來的兩位顧客都使用信用卡的機率是多少？我們令

A ＝第一位客戶使用信用卡的事件 B ＝第二位客戶使用信用卡的事件

我們有興趣的是 A∩B ，若沒有其他資訊，則可以合理假設 A 和 B 為獨立事件。因此，

P(A∩B)＝ P(A)P(B)＝ (0.80)(0.80)＝ 0.64



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評註請勿將互斥事件與獨立事件混為一談。機率不為

0 的兩個事件不能既獨立且互斥。若兩互斥事件中的一事件發生，則另一事件必不發生，因此互斥事件必為相依。



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4.5 貝氏定理

新的資訊新的資訊新的資訊新的資訊貝式定理貝式定理的應用的應用

貝式定理貝式定理的應用的應用事後機率事後機率事後機率事後機率先驗機率先驗機率先驗機率先驗機率

• 對某特定事件的分析，經常是由初始的或先驗機率 (prior probability) 開始。

• 然後，經由諸如樣本、特定報告或產品測試等資訊，得到某特定事件的額外資訊。

• 在已知的新資訊下，我們對先前的機率進行修正，稱為事後機率 (posterior probabilities) 。

• 貝氏定理 (Bayes’ theorem) 是計算這些機率的方法。機率修正的步驟如圖 4.9 所示。



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貝氏定理實例某製造商向兩個供應商訂購零件，令 A1 表示供應商 1

供應零件的事件， A2 代表供應商 2 供應零件的事件。現在有 65% 的零件是向供應商 1 購買， 35% 的零件是向供應商 2 購買。假設隨機取出一零件，我們指派先驗機率 P(A1)＝ 0.65 與 P(A2)＝ 0.35 。

零件品質因供應來源而異，而供應商供貨品質的歷史資料如表 4.6 所示。令 G 代表零件是好的， B 代表零件是壞的。由表 4.6 可得知如下的條件機率值。

P(G∣A1) = 0.98 P(B∣A1) = 0.02

P(G∣A2) = 0.95 P(B∣A2) = 0.05



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貝氏定理實例

由圖 4.10 樹狀圖可看出，公司從供應商處收到零件，然後檢驗零件的好壞，我們可將這個過程視

為一個兩步驟的實驗，此實驗有 4 個實驗結果：兩個對應到零件是好的，另外兩個對應到零件是壞的。



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貝氏定理實例



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貝氏定理實例每一實驗結果皆是兩事件的交集，因此我們可以用乘法律計算其機率。則：

P(A1, G) = P(A1 ∩ G) = P(A1)P(G∣A1)

上述聯合機率的計算過程可在機率樹狀圖上加以表達 (見圖 4.11) 。從樹的左邊到右邊，步驟 1的每一分枝代表先驗機率，步驟 2 的每一分枝代表條件機率。要找到每個實驗結果的機率，只要將兩階段的分枝機率相乘，即為其對應的實驗結果發生的機率，這些聯合機率如圖 4.11 所示。



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貝氏定理實例



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貝氏定理實例假設將這些零件投入生產製程，發現有一機器因壞的零件而故障。若已知某一零件是壞的，則它來自供應商 1 的機率為何？來自供應商 2 的機率又為何？將這些資訊畫在機率樹上 (見圖 4.11) ，再利用貝氏定理可以找到我們要的答案。

令 B 表示零件是壞的，則事後機率 P(A1︱ B) 和 P(A2︱ B) 可由條件機率公式得知：



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貝氏定理實例參考機率樹狀圖可知：

P (A1∩B) = P (A1 )P(B︱ A1)

要找出 P(B) 的機率，我們注意到只有兩種情況下事件 B 會發生： (A1∩B)和 (A2∩B) ，因此，可得：

P(B) = P (A1∩B) + P (A2∩B)

= P (A1) P(B︱ A1) + P(A2) P(B︱ A2)



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貝氏定理 ( 兩事件的情況 )



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貝氏定理若有 n 個互斥事件分別是 A1, A2, ... , An，且其聯集為整個樣本空間，貝氏定理可用來求任一事後機率 P (Ai︱ B) ，公式如下。



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表格求解法



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評註1. 貝氏定理在決策分析中佔有相當的份量。先驗機

率經常是由決策者主觀估計而來，在取得樣本資訊之後，即可計算事後機率，有助於選出最佳決策。

2. 一事件與其餘事件互斥，它們的聯集為整個樣本空間。貝氏定理經常利用此一特性計算事後機率。



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End of Chapter 4

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