天文観測のためのGRとBHの定性的な解説

— BH直接検出に向けて —

斉田浩見（大同大学）

· 数学は前面に出さず定性的に話しを進めます。2015.10.10 BH地平面研究会at山口2015.09.07 NICT 鹿島宇宙技術センター2015.05.26 京大宇物 火曜雑誌会（セミナー）

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目次

一般相対論とBH時空（レビュー）：『曲がった時空』というアイデアがBHと密接に関係することのまとめ。

BH直接検出の方法の提案：BHは『極端に曲がった時空の構造』であることを踏まえ，『一人時間差相関』という検出原理の提案と，その理論検討の現状。

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1. 一般相対論とBH時空

1.1 実験事実1：特殊相対性理論• 光速不変の原理 ＋ 相対性原理→ 無重力系において特殊相対性理論が成立。

光速がこの宇宙の最高速度 同時刻の概念の相対性 質量エネルギー

→ 重力がある場合，これを局所的（十分短い時間かつ狭い空間）に適用すればよい。（次の話題）

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1.2 実験事実2：等価原理

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

A: ma [kg] B: mb [kg]

t = 0

t = tf

t = 0

t = tf

free fall

star

自由落下:

重力以外の力がない状況で，重力に逆らわず身を任せて漂うこと，と定義。

• 基礎的な事実： 質量が違う物体AとBを同じ重力だけで加速すると（自由落下），AとBの速度の変化率（加速度）は等しい。（同時に手放すと同時に着地。） → 大雑把には身近に体験可。

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• この基礎的な事実が示すこと：3ステップで理解

Step 1： 重力の有無による物体の運動の違い

K

inertia

K

rest w.r.t. star

star

b b

左図（補助的な事実）：無重力状態の物体を慣性系で見ると，等速直線運動する。

（慣性系：重力を感じない観測者）

右図（補助的な事実）：星の重力を受ける物体を星に対する静止系でみると，軌道が曲がる。

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Step 2： 自由落下すると無重力を体感できる

K

K-system

K

free fall

star

K

=

b

b

基礎的な事実から 自由落下系で見ると，物体が等速直線運動するように見える。

→ 体験実験が面白い。

⇓自由落下の加速運動によって重力が打ち消せる！

→ 一つ注意点がある · · ·

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Step 3：重力の打ち消しは十分小さな時空領域だけ

star

free fall for a long time

長い時間・長い距離では，自由落下系から見た物体の運動は，等速直線運動からずれてくる。（補助的事実）

⇓等価原理

自由落下する観測者にとって，十分小さな（局所的な）時間・空間領域は無重力状態になる。つまり，自由落下の加速度が重力を局所的に打ち消す。 ＊ 重力と自由落下加速度が同等，という意味で「等価」原理

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1.3 実験事実3：光の軌道と重力

• 等価原理から分かること → 2段階で理解

K

Inertia

light

A

accelerate !

A

A-system( va increases )

=

A

A-system( if va = constant )

va [m/s]

light light第1段階：加速系から見た

光の軌道 Aの速度 va = 一定⇒ Aが見る光は直進

Aの速度が変化（加速）⇒ Aから見て，光の軌道は曲がる

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第2段階：重力場の中で見た光の軌道

star

A

Kfree fall

K-system(free fall system)

light

=light

等価原理より自由落下系で見ると，光は局所的に直進する。

星に対する静止系で見ると，局所的にも光の軌道は曲がる！

⇓重力場の中の光線

重力によって，光の軌道も曲がってしまう！

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補足：弱い重力レンズ効果

銀河団 Abell1689（おとめ座の方向）

光の軌道も重力で曲がることは確認済み！

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以上は実験事実。

⇓

以下，これらの実験事実をどう理解し体系化するかという推論・仮説。

（実験・観測的な検証が必要）

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1.4 重力を測る基本仮説：曲がった時空

• 思考実験：「曲がった時空」への入り口北極と南極から平行な向きに光線を放射

→ 2つの光線の間隔は一定ではない！（例：重力レンズ）

紙の上では，一旦平行な向きに打ち出した2直線は，間隔が一定なままずっと延びていくではないか！→ 『重力場の中で平行に打ち出した光線』は，平行線を紙に描いたときの日常経験や，数学の非専門課程の学習経験と矛盾する！？

これをどう理解しようか？？？– Typeset by FoilTEX – 12

• 重力を理解するための戦略定性的な基本仮説（アインシュタイン）

重力（物質）があると時空が曲がる，と理解する。

( sphere )

( paper )

時空：時間と空間を一まとめにした考察対象（4次元）

単純な例は曲面（2次元）：∗平行線の間隔が短くなったり長くなったりする。

∗ 三角形の内角の和が180より小さくなったり大きくなったりする。→ 紙で工作して確かめられる。

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1.5 一般相対性理論•基本仮説により，重力を時空の曲がり具合（曲率）だとみなし，最もシンプルな関係を仮定する。

Einstein 方程式（の意味）： R(P) ∝ G

c4ρ(P)

ρ(P) ：事象Pでの物質エネルギー密度 [erg/cm3]

R(P) ：事象Pでの時空曲率 [1/cm2] · · ·下図G/c4 ：[cm/erg]

L1

L2

L3

R1 < R2 < R3

R(P) 1

L(P)2P1

P2

P3

ct

xP

ct

x

L(P)

P=..

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1.6 BH時空：光円錐の向きが強く曲がる

• BH時空の準備：光円錐 light cone

ct

x

lightct

x

y

時空図：

縦軸が時間横軸が空間

のグラフ

世界線：時空図中の曲線・直線。

§1.1：宇宙の最高速度は光速⇓

時空図で『光の世界線を側面とする円錐』の中だけ運動可能。 → この円錐が光円錐。

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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

core of a star M [kg]

lights

LBH = 2GM

c2

BH horizon

Singularity: ρ =Black hole

ct

x

light cone

LBH は自転しないBH地平面の半径

• BH時空星が潰れると，質量密度

が極端に大きくなる。

（超新星爆発の中心部）

アインシュタイン方程式

より，時空が強く曲がり，

光円錐の向きが中心方向

に引かれる。（強い重力）

中心付近に，どんな物体

も必ず中心まで落ちてし

まう領域が出現 → BH！

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• もう少し直観的と思われるまとめ

light

BH

BH領域の表面を，BH地平面という。

BH外側の電灯（光源）

はBHから距離一定の

位置に留まること可能。

BHの内側では，必ず，

電灯も光線も全てが

BH中心に落ちる。

BH地平面の直上では，

動径方向（外向き）に

射出された光線だけが

地平面上に留まり，他のものは全てBH中心に落ちる。

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• 自転しないBH（Schwarzschild BH）の周りで自由運動（重力だけで生じる運動）する粒子

→ 動径方向の運動 r(λ) だけ見ると，(dr(λ)dλ

)2+(L2c2

r2− (µc2)2

)(1− rBH

r

)= E2

→

µ 6= 0 ：有限質量 µ を持つ粒子

µ = 0 ：質量ゼロの粒子（光子）

∗ E：エネルギー，L：角運動量

∗ λ：粒子軌道に沿って等間隔に測る適切なパラメータ

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BH

µ = 0 µ = 0

3_

2 rBH

r

pote

nti

al

3 rBH

→ BHの重力が向心力となる円運動が可能になる。

→ E , L の値によっては· · · 有限質量 µ 6= 0 の粒子：安定な円軌道

不安定な円軌道が可能

質量ゼロ µ = 0 の粒子：不安定円軌道 のみ可能

→ BHシャドウの輪郭を決めるのは，BH地平面でなく，光の不安定円軌道である。

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• 重力ドップラー効果→ 動径方向に進む光（角運動量 L = 0）を

時空図の中で考えると分かり易い。

ct

r

Light Cone

RBH

gravity

Sin

gu

lari

ty

O

Black Hole(Trapped Region)

ct

rRBH

Sin

gu

lari

ty

O

Trapped Region

(Black Hole)

source

world sheet of a wave

Grav. Doppler

Light Cone

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1.7 重力理論の検証とBH観測

問題：一般相対論は正しい重力理論なのか？

• 定性的な論点：『曲がった時空』という考え方で良いのか？

この考え方で実験・観測を説明できる限りは，きっとOKだと信じる。

→ 以下，曲がった時空という考え方が前提。

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• 定量的な論点：アインシュタイン方程式で良いのか？

アインシュタイン方程式でOKな実験・観測 太陽系惑星空間 弱い重力レンズ効果 パルサー周期の時間変化

···

弱い重力場におけるテストは一般相対論でOK

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一般相対論でOKかどうか未検証な領域 現在の宇宙の加速膨張（？） BH周辺や初期宇宙のような強重力場

これらの領域では，アインシュタイン方程式を修正した基礎方程式に基づいた『修正重力理論』で観測を説明・予言する可能性が研究され続けている。

⇓重力理論の検証のフロンティア

アインシュタイン方程式の可否を検証する舞台は， 宇宙論的な巨大スケールでの重力の現象 BH周辺のような極めて強い重力の現象

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• BH観測と重力理論 BHそのものの観測を狙うときの留意点：

(A) BHという時空構造の存在は，曲がった時空の効果を直接観測しなければ示せない。

(B) 修正重力理論の基礎方程式にもBHという解は存在する。

(A)の補足：強い重力場の理論が実験的に確立していない現状では，ニュートン力学に基づいた『質量集中』という観測結果は，BH存在の『示唆』ではあるが，『確証』にはならない。

(B)の補足：重力理論の検証には，BH時空構造の詳細な定量的観測が必要。

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§1 のまとめ

• 等価原理という実験事実により，光の軌道は重力で曲がり，平行線の間隔が一定でなくなる。

• 一般相対論の基本仮説は『物質で時空が曲がり，その曲率が重力である』と考えること。（曲がった時空とは別の仮説で重力を理解できる可能性も残っている。）

• BHとは，極端なエネルギー密度の周囲に現れる『重力が極端に強くて，光円錐が中心に向いてしまう領域』（そのように曲がった時空領域）。

• 強重力場における一般相対論は未検証。

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2. BH直接検出の方法の提案

ひとまず一般相対論が正しいと仮定して，BH直接検出の方法を検討していく。

2.1 一般相対論のBH時空• 一般相対論におけるBH時空の定理BH地平面の剛性定理

BH地平面の回転角速度は「緯度」や「経度」によらず一定（剛体回転）である。

⇓– Typeset by FoilTEX – 26

⇓BH時空の一意性定理

BH時空（の形）は，次の3つのパラメータだけで一意的に決まる（適切な仮定の下で）。

M : 質量

J : 自転の角運動量

Q : 電荷

以下 Q = 0 とする。

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• 無回転BH：Einstein方程式のSchwarzschild解

BH地平面の空間形状は球：

半径 rBH = 2m , m =GM

c2[cm]

光や粒子の自由（重力だけ作用する）運動：空間的に『BH地平面の大円を含む平面』上に束縛される。

→ ニュートン重力における粒子（質量 6= 0）の運動と同様の角運動量保存則。

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• 回転BH（電荷なし）：Einstein方程式のKerr解

BH地平面の空間形状は球：

半径 rBH = m+√m2 − a2 , a =

J

Mc[cm]

（BH存在 ⇔ 0 ≤ a < m） 光や粒子の自由運動：BH地平面の赤道面上には束縛可能。一般には立体的な軌道を描く。

エルゴ領域：rerg = m+√m2 − a2 cos2 θ

（θ：BH回転軸からのずれ角）

どうしても動径方向だけの運動が不可能な領域。r < rerg では必ずBH自転方向に引きずられる。

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Kerr BH周辺の光線（光の測地線）の計算例BH自転のパラメータ a = 0.8m

→ これでも角運動量保存則は成立している。– Typeset by FoilTEX – 30

2.2 BHの直接検出とは？• 以上を踏まえ，『BH直接検出』を

このように定義してよいだろう：BH直接検出

BHの曲がった時空の効果を直接観測して，

M ：質量

a ：自転パラメータ ( a :=J

Mc)

を測定することが，BHの直接検出である。

BH存在 ⇔ 0 ≤ a < m =GM

c2

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2.3 基本方針

• 注目する相対論効果：強い重力レンズ効果→ BHシャドウは強い重力レンズで決まる画像

• BHシャドウ：VLBI観測で写真を撮る

強み：視覚的に強いインパクト

弱点：

複数の電波望遠鏡が必要になる。

現実的には時間平均した画像になる。

この強みと弱点を逆にすることを考えよう

– Typeset by FoilTEX – 32

2.4 基本アイデア

• 観測したい状況： BH周辺は光源以外クリアな環境 光源から見て等方バースト的な発光

W0：0巡光W1：1巡光

source

BH

earth

W0

W1

⇓ この設定で · · ·

– Typeset by FoilTEX – 33

⇓BH直接検出の基本アイデア

W0，W1の二つの観測量

：

∆tobs ：検出時間の差

Eobs =E1

E0：検出電場の振幅比

から，BH質量 M ，自転パラメータ a を得る。

source

BH

earth

W0

W1

∗ とりあえず電波で良いが，後で任意の波長域に議論を拡張。– Typeset by FoilTEX – 34

2.5 時系列データの概要

• Gouy phase shift に注意（半周期の波形の例）

-4

-2

2

4

BH20

source10

earth

∆tobs

oscillation of observed wave at ONE telescope

W0

W1

Hilbert Trans. of W0E1__E0 tobs − ∆tobs

W1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.5 0.5

E0

tobs

W0

0

-0.2

0.2

0.4

-1.0 -0.5

0.5 1.0

E1

Zenginoglu &GalleyPRD86(2012)064030 , YouTube

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• Gouy Phase Shift (GPS)：波動光学の一般論

caustic(ex. non-rot. BH)

BH

For each beam[cross section] = 0

caus

tic

波動としての干渉効果で，光線が火面(caustic)を1回通過するごとに，波の位相がずれる。

正周波数 Fourier 成分→ 位相ずれ −π/2

負周波数 Fourier 成分→ 位相ずれ +π/2

∗ 数学的には Hilbert 変換

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”GPS”光度曲線

tobs

Fobs(tobs)

W0

W1

• 光度曲線で見るとこんな感じ

観測フラックス

Fobs ∝ |Eobs|2（Eobs：測定振幅）

2巡光，3巡光 · · · も同様にHilbert変換した形で振幅が減少していく。

原理的には，一つの望遠鏡で取得した（ノイズに埋もれた）時系列データの中から，GPS光度曲線を見つければBH直接検出ができる！

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2.6 注意：光源運動のドップラー効果

(ex. line emission)

tobs

∆tobs

Τ0

Τ1∆Eobs

Oscillation of observed wave at ONE telescope

W0 W1

Eobs

∆tobs , ∆Eobs：BHの強い重力レンズ効果

T0 6= T1 ：光源速度のドップラー効果

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⇓

求めるべきパラメータは3つ（以上）である。

M : BH質量

a : BH自転パラメータ

ν1/ν0 : 光源速度 (= T0/T1)

→ BHと光源の相対位置の依存性もある。 BHパラメータ（M , a）と光源運動（位置，速度）の両方の依存性を考慮する必要あり。

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発光スペクトル，W0 ，W1 のスペクトル：Gouy Phase Shift による変化はなし

重力ドップラーは全てに一律に掛かる運動論的ドップラーは巡回光ごとに異なるが，周波数には依存しない。

i

nte

nsi

ty(p

ho

ton

no

.)

ν

sourceW0

W1

an example

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2.7 一人時間差相関original data (A)

modulated data (B)

W0 W1 tobs

tobsW0 W1

E

1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3

-0.2

0.2

strong corelation

Step1: データコピー：A, B

Step2: データBの変調 Hilbert変換 定数倍（Eobs） ドップラー効果補正Step3: AとBの相関評価

相関を得るまで2・3繰返し→ W0 ,W1 を見つて ∆tobs , Eobs , ν1/ν0 を得る。相関を取る · · · 電波VLBI技術が使えないか！？と期待

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3. 数値計算の結果

3.1 一人時間差相関の検討課題

• 測定量 (∆tobs , Eobs , ν1/ν0 ) が現在の望遠鏡で観測可能な値になるかどうか？

→ 今回はこれを狙った計算結果を示す。

ただし，Eobs =Fobs (1)

Fobs (0)：Specific Flux の比

• そのような現象がどの程度あり得るか？→ これから検討する課題。

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• 観測される Specific Flux [erg/s cm2Hz] の計算

Fobs(νobs) = Iobs(νobs)∆Ωobs =(νobsνs

)3Is(νs)∆Ωobs

Specific Intensity： I(ν) [erg/s cm2 Hz ste-rad]

ビームに沿った保存量：I(ν)

ν3= const.

像が天球上で占める立体角：∆Ωobs ∝1

ν2obs光源における周波数： νs = νs(νobs)

測地線方程式と測地線偏差方程式を解く。– Typeset by FoilTEX – 43

3.2 計算結果の例

source

φθ = 0.7π

obs.

φ=0

2.2

rBH

BH

vs

• 幾つかのこれ ↓ で計算： BH・光源・観測者 配置 (M , a)の値の組

• 次に見せる計算例は， 右図の配置 M = 1 , a = 0.8

光源速度 vs =『φ 方向にZAMO速度』でW0，W1をシューティング・サーチした結果。

– Typeset by FoilTEX – 44

図A

光源がバースト的に発光

Caustic point onthe light orbit

赤線はエルゴ領域の赤道。光線ではない。

光線これらの光線は、遠方に居る同一観測者に届く。しかし、到着時刻がずれて、観測強度も異なる。

• 観測者の φobs 座標ごとに，輝線放射を仮定し，フラックス比 F1/F0・周波数比 ν1/ν0 を計算。

φobs の色分け：φobs 0 −→ 2π

色 赤 → 緑 → 青

横軸：∆tobs/M — 縦軸：F1/F0（左）・ν1/ν0（右）

結構いい値！？∼ O(0.1) 0.7 ∼ 1.3

測定バンド幅に注意

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• W0 と W1 のスペクトルの計算コードも作った

→ とりあえず

Gaussian

Power law

Planckian

の場合

観測者 (θobs , ϕobs) を固定して計算。 単一周波数で観測する場合の Eobs が読みやすい。→ Mathematica file へ

– Typeset by FoilTEX – 47

3.3 ちょっと考察

•一人時間差をVLBI技術の応用（相関でなく干渉）で実行できそうな場合はあるか？

条件：光源から見たW0 ,W1の射出方向が同じ相対速度が同じ

→ 光源がBHに近いほど，この条件を満たすはず！

• 重力ドップラーは強い。→ 兼ね合いを数値的に評価したい。

source

BH

W0W1

us

– Typeset by FoilTEX – 48

4. まとめ

• 我々は未だBH候補天体しか知らない。→ 相対論効果の観測による M , a の測定が必須。（これがBH直接検出だと言える。）

• BH直接検出の方法として，強い重力レンズ効果に注目した一人時間差相関の方法を提案。

• 測定量 (∆tobs , F1/F0 , ν1/ν0)の計算結果は，実際の観測で捉えられそうな値かな！？

→ 観測家の方々と是非，実現性を検討したい。

– Typeset by FoilTEX – 49