第11回「データ解析のための統計モデリング入門」読書会空間構造のある階層ベイズモデル

11.1～11.3

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@gepuro

自己紹介

• @gepuro

• 電通大 修士2年

• 専攻: 信頼性工学

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• 10章では個体差をモデルに組み込んだ

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11.1 例題:一次元空間上の個体数分布

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• 全体が均質でない

• 近所どうしは似ている

というモデルを考える。

まずは、ポアソン分布に従うと仮定

11.2階層ベイズモデルに空間構造を組み込む

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過分散⇒単純なポアソン分布でない

ポアソン分布に従うと仮定

• ポアソン分布 𝑝 𝑦𝑗|𝜆 =𝜆𝑦𝑗exp(−𝜆)

𝑦𝑗!

–平均: 𝜆

–分散: 𝜆

• データでは、–平均: 10.9

–分散: 27.4

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過分散なモデルに対して

• 区画𝑗ごとに平均𝜆𝑗が異なる–と仮定する。

• log 𝜆𝑗 = 𝛽 + 𝑟𝑗–対数リンク関数を用いる

• 𝛽:切片, 大域的なパラメータ–無情報事前分布

• 𝑟𝑗 :場所差–階層事前分布

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なんらかの形で場所差を組み込んだ統計モデルが必要になる

「両隣と似ているかもしれない」

⇒「各𝑟𝑗は独立」と仮定しないほうが良い。

11.2.1空間構造のない階層事前分布

• 𝑝 𝑟𝑗|𝑠 =1

2𝜋𝑠2exp −

𝑟𝑗2

2𝑠2

–第10章で登場

–場所差𝑟𝑗はどれも独立に同じ事前分布

–平均０、標準偏差s の正規分布

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Intrinsic Gaussian CARと呼ばれる

11.2.2空間構造のある階層事前分布

• 𝑝 𝑟𝑗|𝜇𝑗 , 𝑠 =𝑛𝑗

2𝜋𝑠2exp −

𝑟𝑗−𝜇𝑗2

2𝑠2/𝑛𝑗

• 平均𝜇𝑗 =𝑟𝑗−1 +𝑟𝑗+1

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• 標準偏差: 𝑠

𝑛𝑗, 𝑛𝑗は近傍数

• 左右の両端𝑗 = 1, 𝑗 = 50

– 𝜇1 = 𝑟2, 𝜇50 = 𝑟499

ある区画はそれと接している区画とだけ相互作用すると仮定

同時分布の立て方が分からなかったので、教えてください。↓一階差分を展開すれば、二階差分が出てきます。

場所差 𝒓𝒋 = {𝒓𝟏, 𝒓𝟐, … , 𝒓𝒋}全体の事前分布である同時分布

𝑝 𝑟𝑗 |𝑠 ∝ exp1

2𝑠2

𝑗~𝑗′

𝑟𝑗 − 𝑟𝑗′ 2

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ある区画jと別の近傍な区画𝑗′の組み合わせ

11.3空間統計モデルをデータにあてはめる

𝑝 𝛽, 𝑠, 𝑟𝑗 |𝑌 ∝ 𝑝 𝑟𝑗 |𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 𝛽

𝑗

𝑝 𝑦𝑗|𝜆𝑗

𝑝 𝑦𝑗|𝜆 は平均𝜆𝑗 = exp(𝛽 + 𝑟𝑗)のポアソン分布

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事後分布

事前分布 尤度

空間相関のある場所差の階層ベイズモデルの概要

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stanを書いたことないので、

写経しました。 13

http://heartruptcy.blog.fc2.com/blog-entry-141.html

http://heartruptcy.blog.fc2.com/blog-entry-141.htmlより引用14

空間相関を導入することにより、

過分散の問題を解決することが

できた

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