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随机信号分析

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第 2 章 随机信号

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2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号

目 录

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2.1 定义与基本特性

A

( )X

2.1.1 概念与定义

1. 典型例子

（ 1 ）贝努里实验 : 其样本空间只有两个样本点，即

只有两个可能结果 : A 和 。

在掷币实验中，贝努里随机变量 可以表示为 : 1

( )0

X

正面表示基本可能结果

正面

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有概率

若重复在 t = n (n=1, 2, …) 时刻上，独立进行相

[ ( ) 1] , [ ( ) 0] , 1P X p P X q p q

同的掷币实验 ,

1 2( ), ( ), , ( ),nX X X

构成一随机变量序列

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( )nX

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则有

其概率

( )nX

[ ( , ) 1] , [ ( , ) 0] , 1P X n p P X n q p q

1

0t n

正面时刻

正面( , )X n

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n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1( , )X n

2( , )X n

所有随机变量序列的集合就是随机信号。

每一个随机变量序列称为一个样本，也叫一个实现。

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（ 2 ）时间连续的随机现象

观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。

每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。

所有波形的集合就是随机信号。

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2. 随机信号的定义

定义 : 设随机实验的样本空间 ，对于空间

的每一个样本 ，总有一个时间函数

与之对应 , 对于空间的所有样

本 ，可有一族时间函数 与之

对应，这族时间函数称为随机信号。

( )t T

( , )iX t

( , )X t

i

i

定义 : 设 是随机实验 E 的样本空间，若对于每 个样本点 , 都有唯一的实数 与之对应 , 且对于任意实数 ，都有确定 的概率与之对应，则称 为随机变量。

x

( )X

( )X

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3. 随机信号的表征 ( 数学模型 )

（ 1 ）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量

随机信号可视为许多随机变量的集合；

X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)

X(t,ξ4)

X(t1,ξ) X(t2,ξ) X(tn,ξ)

X(t,ξ)

t

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n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1( , )X n

2( , )X n

(9, )X (1, )X

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（ 2 ）随机信号可视为所有样本函数的集合；

X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)

X(t,ξ4)

X(t,ξ)

t

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n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1( , )X n

2( , )X n

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（ 3 ）当时刻 t 与样本 都固定时，随机信号是

一个实数，称之为状态；

X(t,ξ1)

X(t,ξ2)

X(t,ξ3)

X(t,ξ4)

X(t,ξ)

tt1

3

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( , )X n 1

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（ 4 ）当时刻 t 与样本 都发生变化时，就构成随

机信号的完整概念。

X(t,ξ1)

X(t,ξ2)

X(t,ξ3)

X(t,ξ4)

X(t,ξ)

t

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( , )X n

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4. 随机信号的分类及举例

（ 1 ）时间离散、取值离散 D.R.Seq.

例：贝努里 r.s.

n0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( , )X n

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例：一脉冲信号发生器传送的信号

（ 2 ）时间连续、取值离散 D.R.P.

1

2

0

2

t1

X t

0T 02T 04T03T

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（ 3 ）时间连续、取值连续 C.R.P.

例：正弦型信号 ( ) sin( )X t A wt

t

( )X t

R

,

.V.w

A －

－常数①

②R

,

.V.

A w

－－常数

③R

,

.V.A

w －

－常数

t

( )X t

t

( )X t

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（ 4 ）时间离散、取值连续 C.R.Seq.

例：每隔单位时间对噪声电压抽样

n0

2

1 2 3 4 5

( )X n

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2.1.2 基本概率特性1. 例子

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23/116

2. 一阶（维）概率分布和密度函数

( ; ) [ ( ) ]XF x t P X t x

一阶概率分布函数定义：

一阶概率密度函数定义：

( ; ) ( ; )X X

df x t F x t

dx

24/116

tt

xx

ffXX((x; tx; t))

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2 1

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联合密度函数：

( , ) ( , )XY ij i ji j

f x y p x x y y

联合分布函数 ：

( , ) ( , )XY ij i ji j

F x y p u x x y y

离散型二维随机向量的概率特性

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3. 二阶（维）概率分布和密度函数

二阶概率分布函数定义：

二阶概率密度函数定义：

1 2 1 2 1 1 2 2( , ; , ) [ ( ) , ( ) ]XF x x t t P X t x X t x

2

1 2 1 2 1 2 1 21 2

( , ; , ) ( , ; , )X Xf x x t t F x x t tx x

4. 分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量

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2.1.3 基本数字特征

任取 t 时，随机变量 X(t) 的统计平均，定义为

t1 t2 t3

1. 随机信号的均值

t4

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iii

xX

PRDxtXPx

PRCdxtxxf

tXEtm

...])([

...);(

)()( )(

对 R.Seq. :

iii

xX

SeqRDxnXPx

SeqRCdxnxxf

nXEnm

...])([

...);(

)()( )(

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例：求随机过程正弦波 的数学期望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是区间 [0 ， ] 上均匀分布的随机变量。

0( ) sin( )x t t

0 2

解：由题可知： 0 0 0( ) [ ( )] [sin( )] [sin cos cos sin ]xm t E x t E t E t t （ 1 ）

0 0 0 0[sin cos ] [cos sin ] sin [cos ] cos [sin ]E t E t t E t E ＝

2 2

0 0

1[cos ] cos ( ) cos 0

2E f d d

[sin ] 0E 同理

( ) 0xm t

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（ 2 ） 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]x x x xt t m t t E x t

20 0 0

1 1[sin ( )] [1 cos(2 2 )] [1 cos(2 2 )]

2 2E t E t E t

＝

0 0

11 [cos(2 )cos 2 ] sin 2 sin 2 ]

2E t E t ＝

0 0

1[1 cos 2 [cos 2 ] sin 2 [sin 2 ]

2t E t E ＝

可知

[sin 2 ] [cos 2 ] 0E E

2 1( )

2x t

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0 2 0 1 0 1 2

1 1cos( ) cos ( )

2 2t t t t

（ 3 ） 1 2( , )xR t t 1 2[ ( ) ( )]E x t x t＝

1 20 0sin( )sin( )]E t t ＝

1 2 2 10 0 0 0

1[cos( 2 ) cos( )]

2E t t t t

＝

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2. 随机信号的自相关函数

任取 时，两个随机变量 的相

关矩，定义为

Ttt 21 , )(,( 21 tXtX ）

1 2( , )X tR t 1 2( ) ( )E X t X t

C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( )

1 2

( , ; , ) . . .

[ ( ) , ( ) ] . . .

x x

i j i ji j

x x f x x t t dx dx C R P

x x P X t x X t x D R P

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自相关函数的性质：

（ 1 ）相关的概念表征了随机信号在两时刻之间

的关联程度；

（ 2 ）同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻

之间的相关性；

（ 3 ）实际中的大多数随机信号，当两观察时刻

越远，相应随机变量的相关性通常越弱；

（ 4 ）自相关函数具有功率的量纲。

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3. 随机信号的协方差函数与方差函数

(1) 协方差函数

任取 时，两个随机变量 的联联合

中心矩，定义为

Ttt 21 , )(,( 21 tXtX ）

1 2( , )X tC t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( )

1 2 1 2

( ) ( ) ( , ; , ) . . .

( ) ( ) [ ( ) , ( )] . . .

x x

i j i ji j

x m t x m t f x x t t dx dx C R P

x m t x m t P X t x X t x D R P

C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )X XE X t m t X t m t

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当 时，协方差函数退化为方差函数21 ttt

(2) 方差函数

2

( )

2

( ( )) ( ; ) . . .

( ( )) [ ( ) ] . . .

x

i ti

x m t f x t dx C R P

x m t P X t x D R P

C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。

[ ( )]Var X t ( , )XC t t 2( ) ( )XE X t m t

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)]([)( tXVartX

X(t) 的均方差（或标准差）函数为

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4. 相关系数

类似于随机变量的相关系数，定义为

1 2( , ) 1X t t

1 2( , )X t t

同样，有关系式：

当 时，ttt 21( , ) 1X t t

1 2

2 21 2

( , )

( ) ( )X

X X

C t t

t t

1 2

1 1 2 2

( , )

( , ) ( , )X

X X

C t t

C t t C t t

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2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号

目 录

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2.2 典型信号举例

2.2.1 随机正弦信号

( ) cos( ), ( , )X t A t t

电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收

正弦振荡信号，它本质上都是随机的。

,A 与 部分或全部是随机变量。

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随机相位信号（随相信号）：

讨论随相信号 X(t) 的基本特性：

1. 均值

[ ( )] [ cos( )]E X t E A t

2

0

1= [ ] cos( )

2E A t d

[ ] [cos( )]E A E t

0

44/116

1 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )] [ cos( ) cos( )]XR t t E X t X t E A t A t

21 2[ ] [cos( ) cos( )]E A E t t

22 1 2 1 2

0

cos( 2 ) cos( )12

2 2 2

t t t td

21 2 1 2 [ ] cos( 2 ) cos( ) / 2E A E t t t t

2 22 2 / 2 220

[ ] 2aaE A a e da

2. 自相关函数

21 2cos ( )t t

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都服从都服从一维高斯分布一维高斯分布：：

22 ~ (0, )X N

2

221

2( ; )

x

Xf x t e

21 ~ (0, )X N

4. 一阶概率密度函数

1 2,X X

2~ (0, )iX N 即

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2.2.2 伯努利随机序列

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n

X （ n,ξ

n ）

0

1

……

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X （ 9 ， ξ ）

n

X （ n,ξ1 ）

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。

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1. 均值

2. 自相关函数

[ ( )]E X n p ( )m n p或

1 2 1 2( , ) ( ) ( )XR n n E X n X n

21 2[ ]pq n n p

21 21 2

21 21

[ ( )] [ ( )],

[ ( )]

n nE X n E X n p

n nE X n p

讨论伯努利随机序列 X(n) 的基本特性：

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3. 一阶概率密度函数

( ; ) ( 1) ( )Xf x n p x q x

( 1) ( )pU x qU x

( ; ) ( )XF x n P X n x 0, 0

, 0 1

1, 1

x

q x

x

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2.2.3 半随机二进制传输信号

52/116

t

t

t

1( , )X t ( , )iX t

3( , )X t

2( , )X t

53/116

DD11

DD22

DD33

t

t

t

1( , )X t

2( , )X t

3( , )X t

( , )iX t

54/116

1. 均值

p q

( ) [ ( )]Xm t E X t，

讨论半随机二进制传输信号 X(t) 的基本特性：

, 0t

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2. 自相关函数

令令

若位于若位于同一时隙 同一时隙 ，有 ，，有 ，

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) 0, 0XR t t E X t X t t t

1 1 2 2/ 1, / 1n t T n t T

1 2n n

，

21 2( , ) [ ( )]XR t t E X n 1p q

若位于若位于不同时隙 不同时隙 ，有 ，有 , ,

合并两种情况，有合并两种情况，有

1 2n n

2 11 2( , ) 4 ( / / ) 1 4X pq tt t qR t T T p

1 2 1 2( , ) [ ( )] [ ( )]XR t t E X n E X n 1 4pq 则则

则则

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当 ， 有当 ， 有0.5p q

( ) 0Xm t

2 11 2( , ) / /XR tt T Tt t

1 2

1 2

1

0

n n

n n

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3. 一阶密度函数

[ ( ) 1] , [ ( ) 1]P X t p P X t q

( ; ) ( 1) ( 1)Xf x t q x p x

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随机信号还可以分为：随机信号还可以分为：

可预测随机信号可预测随机信号（或称（或称确定的随机信号确定的随机信号）：）：

信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确

定，即样本函数有确定的形式。定，即样本函数有确定的形式。

不可预测随机信号不可预测随机信号（或称（或称不确定的随机信号不确定的随机信号）： ）：

信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确

定，即样本函数没有确定的形式。定，即样本函数没有确定的形式。

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2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号

目 录

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2.3 一般特性与基本运算

1. n维概率分布与密度函数

n 个随机变量 的 n维联合概 率分布函数为：

)(),...,(),( 21 ntXtXtX

1 2 1 2 1 1 2 2( , ,..., ; , ,..., ) ( ) ; ( ) ;...; ( )X n n n nF x x x t t t P X t x X t x X t x

2.3.1 n 阶概率特性

t1 t2 t3 tn

X(t)X(t)

tt

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2 1

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( , ,..., ; , ,..., )

... ( , ,..., ; , ,..., ) ...n

X n n

x x x

X n n n

F x x x t t t

f x x x t t t dx dx dx

成立

则称 为其 n维概率密度函数。1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., )X n nf x x x t t t

如果存在 ，使

1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., )X n nf x x x t t t

2. n维特征函数

Tttt n ,...,, 21n

n Rvvv ,...,, 21

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., ) n nj v X t v X t v X t

X n nv v v t t t E e

任取 与

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1. 随机信号的 n＋m 维联合概率分布和密度函数

两个不同 r.s.X(t) 与 Y(t) 之间的联合概率特性。

对随机信号 X(t) 任取 时，获得 n 个

随机变量 ;

nttt ,...,, 21

)(),...,(),( 21 ntXtXtX

2.3.2 联合特性

对随机信号 Y(t) 任取 时，获得m 个

随机变量 。

msss ,...,, 21

)(),...,(),( 21 msYsYsY

63/116

t1 t2 t3 tn

X(t)X(t)

tt

s1 s2 s3 sm

Y(t)Y(t)

tt

64/116

定义 n＋m维联合概率分布函数为 :

定义 n＋m维联合概率密度函数为 :

1 1 1 1

1 1 1 1

( , , ; , , ; , , ; , , )

( ) ; ; ( ) ; ( ) ; ; ( )XY n m n m

n n m m

F x x y y t t s s

P X t x X t x Y s y Y s y

1 1 1 1

( )1 1 1 1

1 1

( , , ; , , ; , , ; , , )

( ,..., ; ,..., ; ,..., ; ,..., )

... ...

XY n m n m

n mXY n m n m

n m

f x x y y t t s s

F x x y y t t s s

x x y y

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2. 随机信号的互相关函数与互协方差函数

两个不同随机信号 X(t) 与 Y(t) 的联合矩特性

互相关函数定义为 :

1 2( , )XYR t t

互协方差函数定义为 :

1 2( , )XYC t t

1 2 1 2( , ) ( ) ( )XY X YR t t m t m t

1 2( ) ( )E X t Y t

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )X YE X t m t Y t m t

66/116

互相关系数定义为 :

1 21 2

1 2

( , )( , )

( ) ( )XY

XYX Y

C t tt t

t t

67/116

2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( )X Y XY YX

X Y X Y

a R t t b R t t abR t t abR t t

am t bm t am t bm t

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )Z Z Z ZC t t R t t m t m t

[ ( ( ) )] () X Yam t bmZ t tE 解：

1 2 1 1 2 2( , ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )]ZR t t E aX t bY t aX t bY t

2 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )X Y XY YXa R t t b R t t abR t t abR t t

2 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )X Y XY YXa C t t b C t t abC t t abC t t

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3. 两个随机信号正交、线性无关与统计独立

21, tt(1) 正交 : 对于任意时刻 , 都有

则称 X(t) 与 Y(t) 正交。

1 2 1 2( , ) ( , ) 0XY YXR t t R t t 成立

(2) 线性无关 : 对于任意时刻 ,都有 21, tt

1 2 1 2( , ) ( , ) 0XY YXC t t C t t 成立

则称 X(t) 与 Y(t)线性无关。

69/116

（ 3 ）统计独立 : 对于 X(t) 和 Y(t) 的任一组随机

变量 ,都有

1 1 1 1

1 1 1 1

( , , , ; , , , )

( , ; , ) ( , ; , )XY n n n m

X n n Y n m

F x x y y t t s s

F x x t t F y y s s

成立

则称 X(t) 与 Y(t)彼此统计独立。

两个随机信号的正交、线性无关与统计独立

三者关系与两个随机变量间的完全相同。

70/116

★ 统计独立性，线性无关性和正交性的关系

1. 两个随机信号统计独立，它们必然是线性无关的；

2. 两个随机信号线性无关，不一定互相独立；

3. 在两个随机信号中任一均值为零时，线性无关

性与正交性是等价的；

4. 在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零

时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。

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(a) 一般情况下

统 计 独 立

线 性无 关

相 互 正 交

任一随机信号

均值为零

72/116

当 和 均为高斯随机信号时 :( )X t ( )Y t

统计独立性和线性无关性是等价的；

(b) 高斯随机信号 线 性 无 关

统 计 独 立

进一步，且有一个均值为零时 :

独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。

(c) 高斯随机信号，且 有一个均值为零

线 性 无 关

统 计 独 立

相 互 正 交

73/116

1 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2

( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Z

X Y XY YX

R t t

a R t t b R t t abR t t abR t t

2 21 21 2 12 ( , ) (( ) ), ,X YZ a R t tR t t b R t t

2 21 21 2 12 ( , ) (( ) ), ,X YZ a C t tC t t b C t t

若 X(t)与 Y(t)正交，则

若 X(t)与 Y(t)无关，则

解 :

1 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2

( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Z

X Y XY YX

C t t

a C t t b C t t abC t t abC t t

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2.3.3 相关函数与协方差函数的性质性质 1 ：随机信号 X(t) 的自相关函数等满足

（ 1 ）对称性

1 2 2 1( , ) ( , )X XR t t R t t 1 2 2 1( , ) ( , )X XC t t C t t

（ 2 ）均方值为非负实数2 ( ) ( , ) 0XE X t R t t

（ 3 ）方差为非负实数2 2( ) ( , ) ( ) 0X X Xt R t t m t

（ 4 ） 1 2( , ) 1, ( , ) 1X Xt t t t

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（ 2 ）

（ 3 ）

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )XY XY X YC t t R t t m t m t

1 2( , ) 1XY t t

对信号进行中心化与归一化处理，则有

0 01 2 1 2( , ) ( , )XY X YC t t R t t

1 2 1 2( , ) ( , )XY XYt t R t t

性质 2 ：随机信号 X(t) 与 Y(t) 的联合矩特性满足

（ 1 ）对称性

1 2 2 1( , ) ( , )XY YXR t t R t t

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2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号

目 录

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2.4 多维高斯分布与高斯信号

2.4.1 多维高斯分布

一维高斯分布

2

2

1exp

22X

xf x

记为 2,~ NX

1. 一维与二维高斯分布

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一维高斯分布的特征函数为

2 21exp

2X v j v v

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二维高斯分布

2 2

1 1 2 22 22

1 21 2

12

2 1

21 2

1, e

2 1

x x y y

XYf x y

;,;,~, 222

211NYX记为

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二维高斯分布的特征函数为

1 2

2 2 2 21 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2

,

1exp 2

2

XY v v

j v v v v v v

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2.4.3 高斯随机信号

1. 定义

n 1, , nt t T n

1( ), , ( )nX t X t n

若对任意正整数 及 ， 元随机

的联合分布为

高斯分布，则称 该信号为高斯信号（或正态

变量 维

信号）。

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2. 高斯随机信号的概率特性与数字特征

均值函数： )(tm

自相关函数： 1 2( , )R t t

协方差函数： 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )C t t R t t m t m t

方差函数： 2( ) ( , ) ( , ) ( )D t C t t R t t m t

记为 )(),(~)( tDtmNtX

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概率密度函数： 2( )1

; exp2 ( )2 ( )

X

x m tf x t

D tD t

特征函数： 21, exp ( ) ( )

2X v t jm t v D t v

一阶

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( )m t ( , )C s t（ 1 ）所有分布由其 和 决定；

（ 2 ）经过线性变换 ( 或线性系统 )后仍然是高

斯信号；

（ 3 ）它是独立信号的充要条件是

( , ) 0, ( )C s t s t

3. 高斯随机信号的性质

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2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号

目 录

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2.5 独立信号 1. 定义

指它自身的任意随机变量之间彼此统计独立。

2. 概率特性

其 n 维概率分布 ( 或密度、特征 ) 函数满足：

1 2 1 21

( , ,..., ; , ,..., ) ( , )n

X n n X i ii

F x x x t t t F x t

1 2 1 21

( , , , ; , , , ) ( ; )n

X n n X i ii

f x x x t t t f x t

1 2 1 21

( , , , ; , , , ) ( ; )n

X n n X i ii

v v v t t t v t

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自相关函数：

1 2 1 2( , )XR t t E X t X t

协方差函数：

自相关系数：

3. 数字特征

均值函数： ( )Xm t 方差函数： 2X t

21 1 2

1 2 1 2

,

,

E X t t t

m t m t t t

1 2( , )XC t t 2

1 1 2

1 2

,

0,

t t t

t t

1 2

1 2

1,

0,

t t

t t

1 2( , )X t t