(113~127)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:50 pm 페이지114 mac02...

경부선열차는 서울을 기준으로 달린 거리만 알면 그

위치를 나타낼 수 있다. 또 항해하는 배의 위

치는경도와위도를이용하여그위치를나타낼

수있다.

반면 하늘을 나는 비행기는 경도와

위도뿐만아니라고도도함께표시해

야그정확한위치를나타낼수있다.

한편 인공위성을 이용하면 수신자

의위치뿐만아니라이동속도까지도

알 수 있다. 인공위성을 이용하여 위치를 알아내는 시스템 중 가장 널리

알려진것이GPS(Global Positioning System)인데, GPS는선박

이나항공기의위치확인및정밀한지도제작등에이용된다. 또재난이

일어났을경우구조활동을할때에도GPS를이용하여그위치를파악하

면빠른시간에인명을구할수있다.

다 가 서 기 / 위성 항법 장치 GPS

1학습목표

•좌표공간에서점의좌표를구할수있다.

•좌표공간에서선분의내분점과외분점의좌표를구할수있다.

2

공간좌표

좌표공간과점의좌표

114 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

(113~127)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:50 PM 페이지114 mac02 T

2. 공간좌표 115

알 아 보 기 / 공간에서점의위치를좌표로나타내는방법을알아보자.

공간의 한 점 O를 원점으로 하고, 서로

직교하는세수직선 OX, OY, OZ를정

한다.

공간의 한 점 P를 지나 평면 YOZ, 평

면 ZOX, 평면 XOY에 각각 평행한 평

면을 만들어 이들과 수직선 OX,수직선

OY, 수직선 OZ와의교점을각각A, B,

C라하고, 각수직선에서의그좌표를각각 x, y, z라고하자.

이때, 한점 P가정해지면세실수의순서쌍 (x, y, z)가결정되고, 역

으로세실수의순서쌍 (x, y, z)가정해지면한점P가결정된다. 즉, 공간

의점 P와세실수의순서쌍 (x, y, z)와는일대일대응의관계가있다.

이와같은실수의순서쌍 (x, y, z)를점 P의공간좌표라하고, 기호로P(x, y, z)와같이나타낸다. 여기서 x, y, z를각각점 P의 x좌표,

y좌표, z좌표라고한다.

탐 구 하 기 / 공간의위치를나타내는방법

좌표공간과점의좌표01

에베레스트산정상의위치는

경도:동경 87˘, 위도:북위 28˘, 고도:해발 8848 m

이다. 왼쪽표와같이부호를구분하여이산정상의위치를순서쌍

(경도, 위도, 고도)로나타내면 (87, 28, 8848)이다. 다음물음에답

하여보자.

1.다음지점의위치를순서쌍으로나타내어라.

(1) N서울타워꼭대기:동경 127˘, 북위 38˘, 해발 480m

(2) 잠수함:서경 50˘, 남위 23˘, 해저 50m

2.다음과같이순서쌍으로표시된산정상의위치를말하여라.

(1) 백두산의정상 (128, 42, 2744)

(2) 아콩카과산의정상 (-69, -32, 6959)

C

x

By

AO

Zz

X

Y

P{x,`y,`z}

구분 + -

경도

위도

고도

동경

북위

해발

서경

남위

해저

(113~127)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:53 AM 페이지115 mac01 T


이때, 처음의수직선OX, OY, OZ를각

각 x축, y축, z축이라하고, 이들을통틀어

좌표축이라고 한다. 또 평면 YOZ를 yz평

면, 평면 ZOX를 zx평면, 평면XOY를 xy

평면이라 하고, xy평면, yz평면, zx평면을

통틀어좌표평면이라고한다.

이와같이좌표축이정해진공간을 좌표공

간이라고한다.

｜보기｜ 오른쪽그림과같은직육면체에서꼭

짓점 E의좌표가 E(3, 4, 5)일때,

다른꼭짓점의좌표는

O(0, 0, 0), A(3, 0, 0),

B(3, 4, 0), C(0, 4, 0),

D(3, 0, 5), F(0, 4, 5),

G(0, 0, 5)

다음그림에서세점 P, Q, R의좌표를각각구하여라.

(1) (2)

O

z

x

y-63

5

Q R

P4

63

O

P Q

R

y

x

z

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 97쪽 익힘책 99쪽 익힘책 100쪽

O Yxy`평면

zx평면

zZ

Xx

yz`평면

y

O

z

x

y

A B

C

F

E{3,`4,`5}D

G

오른쪽그림의점 P(a, b, c)에대하여다음

물음에답하여라.

(1) 점 P에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내

린수선의발의좌표를각각구하여라.

(2) 점 P와 xy평면, yz평면, zx평면에 대하

여대칭인점의좌표를각각구하여라.

(3) 점 P와 x축, y축, z축에대하여대칭인점의좌표를각각구하여라.

2z

x

yO

P{a,`b,`c}


2. 공간좌표 117

공간에서선분의내분점과외분점02알 아 보 기 / 좌표공간에서선분의내분점과외분점을구하여보자.

공간의두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)를이은선분AB를m : n

(m>0, n>0)으로내분하는점 P의좌표 (x, y, z)를구하여보자.

세점A, B, P의xy평면위로

의정사영을각각A', B', P'이

라고하면이들의좌표는

A'(x¡, y¡, 0), B'(x™, y™, 0),

P'(x, y, 0)

이다. 이때, 점 P'은선분A'B'

을m : n으로내분하는점이고,

세점A', B', P'은 xy평면위의점이므로

x= , y=

같은방법으로세점A, B, P의 yz평면또는 zx평면위로의정사영을

이용하면 z의좌표를구할수있다. 따라서내분점 P의좌표는

P { , , }

또 두 점 A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)를 이은 선분 AB를 m : n

(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점의 좌표도 같은 방법으로 구할

수있다.

이상을정리하면다음과같다.

mz™+nz¡11112m+nmy™+ny¡11112m+n

mx™+nx¡11112m+n

my™+ny¡11112m+nmx™+nx¡11112m+n

O

z

x

y

B{x™,`y™,`z™}

B'{x™,`y™,`0}

P'̀{x,`y,`0}

A{x¡,`y¡,`z¡}

A'{x¡,`y¡,`0}

P{x,`y,`z}

m

m

n

n

O x

y

y¡

y™

x™ x x¡

y

n

mP'

B'

A'

선분 AB를 1 : 1로 내분하

는 점은 선분 AB의 중점이

고, 이점의좌표는

{ , , }

이다.

z¡+z™1112

y¡+y™1112

x¡+x™1112

두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)를이은선분AB를

(1) m : n (m>0, n>0)으로내분하는점 P의좌표는

P{ , , }

(2) m : n (m>0, n>0, m+n)으로외분하는점Q의좌표는

Q{ , , }mz™-nz¡11112m-n

my™-ny¡11112m-nmx™-nx¡11112m-n

mz™+nz¡11112m+nmy™+ny¡11112m+n

mx™+nx¡11112m+n

선분의내분점과외분점의좌표



두점A(3, 1, 0), B(5, 3, -4)에대하여다음을구하여라.

(1) 선분AB의중점M의좌표

(2) 선분AB를 3 : 1로내분하는점P의좌표

(3) 선분AB를 3 : 1로외분하는점Q의좌표


1


오른쪽그림에서직육면체의꼭짓점

A(0, 0, 0), B(b, 0, 0), D(0, d, 0),

E(0, 0, e)에대하여다음물음에답하

여라.

(1) 대각선AG를 1 : 2로내분하는점 P

의좌표를구하여라.

(2) 삼각형 BDE의무게중심Q의좌표를구하여라.

(3) 두점 P, Q가서로일치함을확인하여라.

2

1

함 께 하 기 /

네점 O(0, 0, 0), A(1, 2, 2), B(a, b, c), C(-1, -2, 1)을

꼭짓점으로하는사각형OABC가평행사변형일때, 점 B의좌표를구

하여라.

｜풀이｜

사각형 OABC는 평행사변형이므로 대각

선 AC의 중점과 대각선 OB의 중점은 일

치한다.

대각선AC의중점의좌표는

{ , , }

={0, 0, ;2#;} yy㉠·

대각선 OB의중점의좌표는　　{;2A;, ;2B;, ;2C;} yy㉡·

㉠, ㉡에서　　;2A;=0, ;2B;=0, ;2C;=;2#; ∴ a=0, b=0, c=3

따라서구하는점 B의좌표는　　B(0, 0, 3)

2+11122

2+(-2)111132

1+(-1)111132


C

A

BO

E

BC

D

H

GA

F

O

z

x

y

e

b

d

평행사변형의 대각선은 서

로다른것을이등분한다.


2. 공간좌표 119

옛날의석공들은커다란돌의대각선의길이를직접측정하였다. 그러

나돌의가로의길이, 세로의길이와높이만알아도돌의대각선의

길이를구할수있다.

이와같이실생활문제를해결하는데공간좌표가이용된다.

다 가 서 기 / 석공들의 지혜: 돌의 대각선의 길이 측정

2 학습목표

•두점사이의거리를구할수있다.

•구의방정식을구할수있다.

구의방정식

이돌의대각선의길이를구해보거라.

네. 스승님

이렇게요?

그것은밑면의대각선의길이가

아니냐?

아,그렇구나!

이렇게재면되지않겠냐?

그건계산으로쉽게구할수있는데.

2

공간좌표



탐 구 하 기 / 정글짐의두지점사이의거리

두점사이의거리01

오른쪽그림과같은정글짐한칸의간격이

1일때, 다음을구하여보자.

1.지점O에서지점B까지의직선거리

2.지점O에서지점A까지의직선거리

3.지점A에서지점B까지의직선거리

알 아 보 기 / 좌표공간에서두점사이의거리를구하여보자.

좌표공간에서두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™) 사이의거리를구

하여보자.

선분 AB가 각 좌표평면과 평

행하지않다고하자.

두 점 A, B의 xy평면 위로의

정사영을각각 A', B'이라하고

점A에서직선 BB'에내린수선

의 발을 C라고 하면 점 A', B',

C의좌표는

A'(x¡, y¡, 0), B'(x™, y™, 0), C(x™, y™, z¡)

이다. 여기서두점A', B'은 xy평면위의점이므로

A'B'” ¤ =(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤

AC” ¤ =A'B'” ¤이므로

AC”¤ =(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤

BC”=|z™-z¡|이므로　　

BC”¤=(z™-z¡)¤

그런데삼각형ABC는직각삼각형이므로

AB”¤ =AC”¤+BC”¤=(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤ +(z™-z¡)¤

즉, AB”="√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡√)¤ +(z™-z¡)¤

O x

|x™-x¡|

|y™-y¡|d

y™

y

y¡

x™ x¡

A'

B'

A

B

O

O

z

x

y

A'

B'

B

C

A

x¡

x™

z™

z¡

y™y¡

|z™-z¡|

|y™-y¡||x™-x¡|


2. 공간좌표 121


두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)사이의거리는

AB”="√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡√)¤ +(z™-z¡)¤

특히원점O와점A(x, y, z)사이의거리는

OA”="√x¤ +y¤ +z¤

두점사이의거리

1

함 께 하 기 /

두점A(-1, 4, 3), B(1, -4, 5)에서같은거리에있는 x축위의

점 P의좌표를구하여라.

｜풀이｜

x축위의점 P의좌표를 P(x, 0, 0)이라고하면

AP”¤ =(x+1)¤ +(-4)¤ +(-3)¤ , BP” ¤ =(x-1)¤ +4¤ +(-5)¤

AP”=BP”이므로 AP”¤ =BP” ¤ , 즉

(x+1)¤ +(-4)¤ +(-3)¤ =(x-1)¤ +4¤ +(-5)¤

∴ x=4

따라서구하는점 P의좌표는　　P(4, 0, 0)


다음두점사이의거리를구하여라.

(1) O(0, 0, 0), P(4, -2, -4)

(2) A(-4, 2, -2), B(2, -1, -4)


1


두점A(4, 3, 1), B(-4, 5, 3)에서같은거리에있는 z축위의점

P의좌표를구하여라.2

｜보기｜ 두점A(1, 2, 3), B(-3, 1, 5)에대하여

AB”="√(-3-1)¤ +(1-2)¤ √+(5-3)¤ ='∂21



탐 구 하 기 / 농구공의방정식

구의방정식02

지름의길이가 24 cm인구모양의농구공위에점P(x, y, z)가있을때,

농구공의중심에서점P까지의거리가 12 cm임을 x, y, z에대한식으로

나타내어보자.

알 아 보 기 / 구의방정식을구하여보자.

공간에서의 한 정점 C로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 구

또는구면이라고한다. 이때, 정점을구의중심, 일정한거리를구의반

지름이라고한다.

점 C(a, b, c)를 중심으로 하고, 반지름

의길이가 r인구의방정식을구하여보자.

구위의임의의점을 P(x, y, z)라고하면

CP ”=r이므로　　CP ” ¤ =r ¤

∴ (x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r ¤

역으로 위의 방정식을 만족하는 임의의 점

P(x, y, z)에대하여 CP ”=r가성립한다.

보여주기

농구공의중심을원점 O위에놓자.

OP”=12이므로

"√x¤ +y¤ +z¤ =122¤

∴x¤ +y¤ +z¤ =144

CP”=12이므로

∴

농구공의중심을 C(24, 12, 36)위에놓자.

활동하기

O

x

y

z

P{x,`y,`z}

12

O

z

y

x

12

P{x,`y,`z}

C{24,`12,`36}

P{x,`y,`z}

C{a,`b,`c}

O

z

y

x

r


2. 공간좌표 123


｜보기｜ 중심이 (3, 2, -4)이고, 반지름의길이가 5인구의방정식은

(x-3)¤ +(y-2)¤ +{z-(-4)}¤ =5¤

∴ (x-3)¤ +(y-2)¤ +(z+4)¤ =25

또중심이원점이고, 반지름의길이가 5인구의방정식은

x¤ +y¤ +z¤ =25

구의방정식

(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r ¤

의좌변을전개하여정리하면

x¤ +y¤ +z¤ -2ax-2by-2cz+a¤ +b¤ +c¤ -r ¤ =0

여기서-2a=A, -2b=B, -2c=C, a¤ +b¤ +c¤ -r ¤ =D로놓으면

위의구의방정식은

x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0 yy㉠⋯

의꼴이된다.역으로방정식㉠을완전제곱의꼴로변형하면

{x+ }2+{y+ }2+{z+ }2=

이므로A¤ +B¤ +C¤ -4D>0이면방정식㉠은

중심이　　{- , - , - }

반지름의길이가　　

인구를나타낸다.

｜보기｜ 방정식 x¤ +y¤ +z¤ +2x-4y-6z+5=0은

(x+1)¤ +(y-2)¤ +(z-3)¤ =3¤

으로변형되므로중심이 (-1, 2, 3)이고, 반지름의길이가 3

인구를나타낸다.

"√A¤ +B¤ +C¤ -4D1111111132

C12B12A12

A¤ +B¤ +C¤ -4D1111111234C12B12A12

중심이 C(a, b, c)이고, 반지름의길이가 r인구의방정식은

(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r ¤

특히중심이원점이고, 반지름의길이가 r인구의방정식은

x¤ +y¤ +z¤ =r ¤

구의방정식



다음구의방정식을구하여라.

(1) 중심이 (3, -2, -1)이고, 반지름의길이가 2인구

(2) 중심이원점이고, 점 (2, -1, -2)를지나는구

(3) 두점 (3, -5, 1), (5, 3, -3)을지름의양끝점으로하는구

(4) 네점 (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, -1), (1, 0, 1)을지나는구


1

다음방정식이나타내는구의중심과반지름의길이를구하여라.

(1) x¤ +y¤ +z¤ +2y-4z=0

(2) x¤ +y¤ +z¤ -4x-2y+6z+10=0

2


1

함 께 하 기 /

다음구의방정식을구하여라.

(1) 두점A(1, 0, 3), B(1, -4, -1)을지름의양끝점으로하는구

(2) 네 점 O(0, 0, 0), P(1, 0, -1), Q(-1, 2, 1), R(1, 3, 0)

을지나는구


｜풀이｜

(1) 선분AB의중점을 C라고하면　　C(1, -2, 1)

(1) 구하는구의반지름의길이는AC”이고

AC”="√(1-1)¤ +(-2-0)¤√+(1-3)¤ =2'2

(1) 따라서 중심이 C(1, -2, 1)이고, 반지름의 길이가 2'2이므로 구하

는구의방정식은

(x-1)¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =8

(2) 구하는구의방정식을

x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0

(2) 이라고하면네점 O, P, Q, R가이구위에있으므로

D=0, 2+A-C+D=0

6-A+2B+C+D=0

10+A+3B+D=0

(2) 이것을연립하여풀면　　A=2, B=-4, C=4, D=0

(2) 따라서구하는구의방정식은　　x¤ +y¤ +z¤ +2x-4y+4z=0


다음그림에서세점 P, Q, R의좌표를각각구하여라.

(1) (2)

Q P

R

2

2-3

-5 O

z

x

y

3

254

P

RO

Q

z

x

y

1공간좌표

세점 A(3, 1, 4), B(1, -2, -2), C(5, 4, 3)에대하여다음을

구하여라.

(1) AB”의중점의좌표

(2) BC”를 1 : 2로외분하는점의좌표

(3) 삼각형ABC의무게중심의좌표

2공간에서 선분의내분점과 외분점

다음구의방정식을구하여라. (단, C는구의중심이다.)

(1) (2) 3구의 방정식

중 단 원

확 인 하 기

_2. 공간좌표새로나온용어와기호

공간좌표, 좌표공간, P(x, y, z)

이해

계산

같은지점을출발하여비행하고있는두열기구 A, B가있다. A 열기

구는 출발점에서 서쪽으로 8 km, 남쪽으로 10 km 지점에서 고도

300m상공에있다. B열기구는출발점에서서쪽으로 4 km, 남쪽으로

8 km지점에서고도 400m상공에있다. 두열기구A, B사이의거리

를구하여라.

4문제 해결

열기구 사이의 거리

2. 공간좌표 125

O

C{1,`3,`2}

x

y

z

1 OC

{-3,`3`,`2}

{1,`-1`,`0}x

y

z

의사소통



뫼비우스의띠수 학

실 험 실

｜그림1｜과같은좁고긴직사각형모양의종이를 180˘(한 번) 꼬아끝을붙이면 ｜그림2｜와같

이 하나의 면을 가진 곡면이 만들어진다. 이러한 곡면을 뫼비우스의 띠(Möbius strip)라고 하는

데, 그이유는독일의수학자뫼비우스(Möbius, A. F. ; 1790~1868)가 처음으로제시하였기때

문이다.

뫼비우스의띠는다음과같은성질이있다.

뫼비우스의띠는안쪽과바깥쪽의구별이없다.

❷ ｜그림3｜과 같이 뫼비우스의 띠의 중심선을 따라 자르면 ｜그림4｜와 같이 두 번 꼬인 띠가

만들어진다.

1. 좁고긴직사각형종이를 360˘(두 번) 꼬아끝을붙여서만든곡면의중심선을따라자르면어떻게

되는지알아보자.

2. 뫼비우스의띠를주제로한예술작품을찾아보고, 어떤의미로뫼비우스의띠를사용했는지말하

여보자.

논술/수행평가과제

｜그림1｜｜그림2｜

｜그림3｜｜그림4｜


2. 공간좌표 127

지구를 좌표공간으로 나타내는 것을 확장한 것으로 적도 좌표계(equatorial coordinate

system)가있다.

적도 좌표계는 지구의 적도면과 천구가 만나

서만드는하늘의적도(원)를 제1기준원으로하

며적경과적위의두요소로목표천체의좌표를

표시하는좌표계이다.

제1요소인적경(a, right ascension)은제1

기준원인하늘의적도상에서춘분점 c로부터목

표천체의발까지반시계방향으로잰각거리로,

0시에서 24시사이의값을가진다.

제2요소인적위 (d, declination)는제2기준원인수직원상에서목표천체의발로부터목표천체

까지잰각거리이다. 이때, 제2기준원인수직원은제1기준원인적도와수직이며목표천체를포함

하고있는원이다. 적위는-90˘에서+90˘ 사이의값을가진다.

예를들어적도좌표계로추분점은 (a, d)=(12, 0˘)으로나타내고, 적경이 12시, 적위가 0도라고

읽는다.

이처럼 천구상의어떤 점을 적도 좌표계로나타내면 관측 시각이변하더라도그 좌표의 값이 변

하지않으므로적도좌표계는항성의위치연구에적합하다고할수있다.

B{0,`1,`0}S(남극)

N(북극)본초 자오선

적도 A{1,`0,`0} Q

PO

y

x

z

å∫

O

Cçå

∂

천체의 발 춘분점

하늘의 적도

수직원 (제2기준원)

(제1기준원)

천체 R

NCP하늘의 북극

동

O x

y

A

Q

P'

-cos`∫

-cos`∫

cos`∫

cos`∫

B

1å

1

-1

-1

다음그림과같이지구본을반지름의길이가 1인구로생각하고, 지구본위의각지점에공간좌

표를정하여보자.

동경 a, 북위 b인 점 P의 xy평면 위로의 정사영을 P'이라고 하면, O’P'”=cos b이므로 점 P'의

좌표는 (cos a`cos b, sin a cos b)이다.

따라서점 P의좌표는 P(cos a cos b, sin a cos b, sin b)이다.

읽 을

거 리

읽 을

거 리 지구본과좌표공간지구본과좌표공간


(113~127)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:50 pm 페이지114 mac02...

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