集合論の基礎（１）

集合演算、デカルト積（教科書：1.1～1.3）

藤田 聡

（広島大学）

集合と要素

対象(object)の集まりを集合(set)という

集合を構成する対象を、集合の要素(element)、または元という

例: Vを英語の母音の集合とすると、

V ＝｛ a,e,i,o,u ｝であり、

たとえばaはVの要素

集合はその要素を含む(contain)あるいは要素は集合に属す(belong to)という

要素aが集合Sに属すとき、a∈Sとかく

２つの集合A,Bが条件a∈A ↔ a∈B を満たすとき、AとBは等しい(equal)といい、A=Bと記す

例

要素を明示することによって集合を表記することができる。たとえば

• N ＝{ 0,1,2,… ｝ 自然数全体の集合

• Z ＝{ …, -2, -1, 0, 1, 2, … } 整数集合

• R ＝{ x | xは実数 } 実数集合– Nはnatural number, Rはreal numberからきており、Zはドイツ語のZahlenからきている

定義から、{1,3,5} ＝{5,3,1}

空集合

要素をひとつも含まない集合を空集合(empty set)と呼びΦであらわす

Φ＝{ }

部分集合

AがBの部分集合(subset)であるとは、Aの要素がつねにBの要素であるときであり、A⊆Bと表示する

A⊆B ＝ ∀x（x∈A→x∈B）

任意の集合Sに対して

Φ⊆S ∧ S⊆S

真部分集合

A⊆BかつA≠Bのとき、AをBの真部分集合(proper subset)と呼びA⊂Bと表記する

集合の濃度

集合Sがちょうどn個の要素をもつとき、Sを有限集合(finite set)と呼ばれる。またこのときnをSの濃度(cardinality)と呼び、|S|などであらわす

有限集合でない集合は無限集合である

例

定義からΦは有限集合であり、|Φ|＝0

いっぽうN, R, Zは無限集合

• 無限集合の濃度については後述する

べき集合

• 集合Sを与えたときSのべき集合(power set)はＳの部分集合の集合であり、P(S)と表記する

例

• S ＝ { 0,1,2 }ならば、

• P(S) ＝ { Φ, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1,2}, {2,0}, {0,1,2} }

• S ＝ Φならば P(S) ＝ {Φ}

• S ＝{Φ}ならばP(S)＝P({Φ})＝{Φ, {Φ}}

直積（デカルト積）

• 順序対を(a1, a2, …, an)と表記する

• AとBの直積(Cartesian product)をA×Bであらわす: A×B＝{(a,b)｜a∈A∧b∈B }

例

• A＝{ 0,1,2 }, B＝{ a,b }とすると、

• A×B＝{ (0,a), (1,a), (2,a), (0,b), (1,b), (2,b) }

集合演算

集合和(union): A∪B＝{ x｜x∈A∨x∈B ｝

集合積(intersection):

A∩B＝{ x｜x∈A∧x∈B }

集合差(difference):

A－B＝{ x｜x∈A∧x∉B }

補集合(complement):

A＝{ x｜x∉A｝＝U－A （U: universe）

例

• 等式 A∩B＝A∪B を証明しよう

例

• x∈ A∩Bとせよ

• x ∉A∩Bすなわちx∉A又はx∉Bが成立

• これはx∈A∪B、したがって

A∩B ⊆ A∪B

例

• 逆に、x∈ A∪Bとせよ

• x∉A又はx∉Bすなわちx∉A∩Bが成立

• これはx∈A∩B、したがって

A∩B⊇A∪B

両方から

A∩B＝A∪B

集合論の基礎（２）

関係（教科書：1.4～1.8）

二項関係

• 集合Aと集合Bの直積A×Bの部分集合Rを二項関係と呼ぶ

• A=Bのとき、RをA上の関係という

• (a,b)∈Rのとき、aとbはRの関係にあるといい、aRbまたはR(a,b)などとかく

• 項の数をnとしたn項関係も自然に定義できる

関係の定義域と値域

• 関係R⊆A×Bの定義域(domain)は、

{ a∈A | (a,b) ∈ R }

• 関係R⊆A×Bの値域(range)は、

{ b∈B | (a,b) ∈ R }

例

• A = { 1, 2, 3, 4 }

• A上の大小関係Rは以下のように定義される：

• R = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }

• Rの定義域は{ 1,2,3 }、Rの値域は{ 2,3,4 }

関係の性質(1)

• 反射性–任意のa∈Aについて(a,a)∈Rのとき、Rは反射的であるという

• 対称性–任意のa,b∈Aについて(a,b)∈Rならば(b,a)∈Rのとき、Rは対称的であるという

• 推移性–任意のa,b,c∈Aについて(a,b)∈Rかつ(b,c)∈Rならば(a,c)∈Rのとき、Rは推移的であるという

関係の性質(2)

• 反反射性

–任意のa∈Aについて(a,a)∉Rのとき、Rは反反射的であるという

• 反対称性

–任意のa,b∈Aについて(a,b)∈Rかつ(b,a)∈Rならばa=bであるとき、Rは反対称的であるという

同値関係

• 集合A上の関係Rが反射的、対称的、推移的であるとき、Rは同値関係であるという

• 「通常の意味での」同値をイメージすればOK

–数字に対する等号

–集合の意味での等号

– リストの意味での等号、etc..

– 「３で割った余りが等しい」というのも同値関係

同値類と代表元

• A上の同値関係Rを考える。任意のa∈Aに大して集合[a]R = { x | (a,x)∈R }をaのRによる同値類といい、aを同値類[a]Rの代表元と呼ぶ

集合の分割

• Aが空でないとき、{ S1, S2, …, Sm }は以下の条件を満たすときAの分割(partition)という：

1. 各Si が空でないこと

2. 任意のi,jについて(i≠j)、Si∩Sj =φであること

3. S1∪S2∪ … ∪Sm= Aであること

商集合

• Aの同値関係Rに対して、すべての同値類の集合{ [a]R | a∈A }をAのRによる商集合と呼び、A/Rとかく

• Aの同値関係Rによる商集合A/Rはひとつの分割である

順序関係(ordered relation)

• 以下の３つの法則が成立するような関係≦を順序関係(ordered relation)と呼ぶ

１） 反射法則(reflexive law)： ｘ≦ｘ

２） 反対称法則(asymmetric law)：

ｘ≦ｙ かつ ｙ≦ｘ ならば ｘ＝ｙ

３） 推移法則(transitive law)：

ｘ≦ｙ かつ ｙ≦ｚ ならば ｘ≦ｚ

順序集合(ordered set)

• 元の間に順序関係が定義された集合Xを順序集合と呼ぶ

• 元a∈Xは、任意のｘ∈Xに対してｘ＜aとならないとき極小(minimal)であるという

ハッセ図

111

011101110

001010100

000

整列集合(well ordered set)

• 順序集合Xが、条件∀ｘ、ｙ∈X（ｘ≦ｙ∨ｙ≦ｘ）を満たすとき、全順序(total ordered)であるという

• 全順序集合Xの空でない任意の部分集合が極小元(実際には最小元）をもつとき、Xを整列集合という

例

• 非負整数の集合は，通常の順序のもとで整列集合である

• 整数の集合は整列集合ではない

• X={a,b,c,d}とし、２Xを考える。通常の集合間の包含関係で順序を定めると，２Xは全順序ではないので整列集合ではない

• 非負実数の集合は通常の順序のもとで整列集合ではない。たとえば部分集合（１，２）は最小元をもたない

数学的帰納法(Mathematical Induction)

• 非負整数ｎに対する性質P(n)を証明するとき，

１．基底段階(base step)：

P(0)が正しいことを示す

２．帰納段階(induction step)：任意の非負整数ｎについて、P(n)→ P(n+1)が正しいことを示す（P(n)を帰納法仮定(induction hypothesis)と呼ぶ）

数学的帰納法(Mathematical Induction)

• 要するに，

（P(0)∧∀n （P(n)→P(n+1))）→∀n P(n)

※∀n P(n)を仮定しているわけではないことに注意

数学的帰納法が正しいことの証明（１）

• （P(0)∧∀n（P(n)→P(n+1))）がTであるにも関わらず∀nP(n)がFであると仮定する

• したがってあるｎが存在してP(n)=F

• S=｛ n： P(n)=F ｝とすると、S≠Φであるから、最小元ｋが存在する(整列集合だから）

数学的帰納法が正しいことの証明（２）

• P(0）＝Tであるからk≠０である

• k-1は非負整数であり，k-1<kであるから、k-1はSには属さない。すなわちP(k-1)=T

• ところがP(k-1)→P(k)はTだからこれは矛盾。証明終わり

集合論の基礎（３）

関数，濃度(教科書： 1.9, 1.10)

藤田 聡

（広島大学）

関数(function)とは？

• AとBを集合とする

• AからBへの関数とは、Aの各要素に対するBの要素の割当てである

• b∈Bをa∈Aに対して割当てられた要素とすると、b＝f(a)とあらわす

• Aを領域(domain)、Bを終集合(co-domain)、b＝f(a)をaの像、f(A)＝｛f(a)｜a∈A｝を値域(range)とよぶ

例

• A＝{ 春, 夏, 秋, 冬 },

• B＝{ コーヒー, 紅茶, ミルク }とする

f

春 コーヒー

夏 紅茶

秋 ミルク

冬

関数の種類（１）

• 単射(injective)又は一対一(one-to-one)

※ f(x)＝f(y) ⇒ x＝y を満たすとき

a １

b ２

c ３

こんなことが起こらない

関数の種類（２）

• 全射(surjective)又は上への関数(onto) ※B＝f(A)であるとき

a １

b ２

c ３

こんなものがないとき

関数の種類（３）

• 全単射(bijection)又は一対一対応(one-to-one correspondence)

a １

b ２

c ３

関数の合成(composition)

• g: A→B, f: B→Cとする

• f○gを(f○g)(x)＝f(g(x))で定義する

A B Cｇ ｆ

例

• f(x)=2x+3, g(x)=3x+2とする

(f○g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)

=2(3x+2)+3 = 6x+7

(g○f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)

=3(2x+3)+2=6x+11

逆関数

• f: A→Bを全単射とする

• f－１: B→Aを、

f(A)=B のときf-1(B)=A

によって定義する

例

• f(x)=x+1のとき、

f-1(y)=y-1

濃度(cardinality)

• 集合AとBの間に一対一対応があるとき、AとBの濃度は等しいという

• 自然数と同じ濃度をもつ集合を可算集合(countable set)とよぶ

例

• 奇数の自然数のみならなる集合は可算である

f(n)=2n-1

とすれば、f(n)は奇数の集合と自然数の集合との間の一対一対応を与える

なぜか？

例

１） f(n)は単射である

f(n)=f(m) とすると、2n-1=2m-1よりn=mが結論される

２） f(n)は全射である

あきらか

例

• 実数集合は非可算(uncountable)である

なぜか

（対角線論法という方法で証明できる）

例３

• 実数区間(0,1)ですら可算でないことを示す（可算であるとして矛盾を導く）

• 可算であるから、N(自然数の集合）と(0,1)の間の一対一対応が存在する

r0 0.d00d01…

r1 0.d10d11…

r2 0.d20d21…

…

例３

r 0.d1d2… を以下のように定める：

もしdnn≠4ならばdn=4

もしdnn=4ならばdn=5

するとあきらかにr≠rn(n=0, 1, 2, …)

よって矛盾 →実数集合は非可算である

列(sequence)とは？

• 非負整数（あるいは自然数）の集合からある集合への関数を列という

• 数ｎに対する像をAnとかき、その列の項(term)とよぶ

• geometric progression, arithmetic progression, etc.

級数(summation)

• nのことを上限(upper limit)、ｍのことを下限(lower limit)、ｊのことを和の添字(index of summation)とよぶ

nm

n

mj

mj aaaa

1

例 幾何数列(等比数列)

※幾何級数のことをgeometric series、

等差級数のことをarithmetic seriesという

n

j

jarS0

例 幾何数列(等比数列)

1

)1( 1

r

raS

n

)1( 11

00

1

nnn

j

jn

j

j raSaraararrS

関数の増加速度

• ビッグO記法（Big-O notation)

f(x)＝O(g(x))であるのは、ある定数c>0とk>0が存在して、任意のx>kに対して

|f(x)| ≦ c|g(x)|

を満たすことである

例

• f(x)＝6x2＋2x＋3とすると、

f(x) = O(x2)

f(x) = O(x3） だけれども

f(x) ≠ O(x)

例

• n!を考える

n! = 1・2・…・n ≦ nn

したがって

log(n!) ≦ n log n ＝O(n log n) ＝ O(n2)

関数の増加速度（２）

• ビッグΩ記法（Big-Ω notation)

f(x)=Ω(g(x))であるのは、ある定数c>0とk>0が存在して、任意のx>kに対して

|f(x)| ≧ c|g(x)|

を満たすことである

例６

• f(x)=6x2＋2x＋1とすると、

f(x) = Ω(x2)

f(x) = Ω(x) だけれど

f(x) ≠ Ω(x3)