1.vektor (1)
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
1/34
KULIAH
MATEMATIKA TEKNIK
1. VEKTOR Dosen
SYISKA YANA, ST., MT.
Departemen Teknik Eektro, !ak"tas Teknik
Uni#ersitas S"matera Utara
Me$an, In$onesia
Semester %enap
TA &'1&(&'1)
1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
2/34
Silabus
1. Vektor2. Matrik
3. Bilangan komplek
. !ersamaan "i#erensial or"e 1
$. !ersamaan "i#erensial or"e 2
%. Trans#ormasi lapla&e
'. Deret #o(rier
). Trans#ormasi #o(rier
2 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
3/34
Referensi
*nt+ony ro#t , -Engineering Mat+emati&s, a#o(n"ation #or ele&troni&, ele&tri&al,&omm(ni&ations an" systems engineers, 3r" e"ition,!renti&e /all, 2001
+on Bir", /ig+er Engineering Mat+emati&#t+ e"ition,Elseier 4t"., 200%
3 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
4/34
Evaluasi
T(gas 205 6pokok 7a+asan 18)9 :(i; 105 62 kali9
UTS 3$5 61839
U*S 3$5 68)9
!enilaian !*!
Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
5/34
1. VEKTOR
1.1 Pengantar Vektor1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
1.3 Komponen Cartesian
1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor
1.5 Produk Skalar
1.6 Produk Vektor
1.7 Vektor n Dimensi
$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
6/34
1.1 Pengantar Vektor
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
7/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
Vektor = k(antitas sik yang memiliki 7esar"an ara+
Skalar = k(antitas sik yang +anya memiliki7esar
' Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
8/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
Sim7ol ektor "itan"ai "engan a ata( Vektor @ "ari * ke B se"angkan "ari B ke * Sim7ol a A sim7ol ektor
Sim7ol aA sim7ol skalar
) Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
9/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
1.2.1 Vektor Cegati# Vektor –a a"ala+ ektor a "engan ara+
yang 7erlaanan, tapi memiliki 7esar yangsama "engan ektor a
A 8a
1.2.2 D(a ektor yang sama D(a ektor "ikatakan sama >ika memiliki
7esar "an ara+ yang sama. !er+atikan gam7ar 1 679, ektor "an
a"ala+ sama ala(p(n 7er7e"a posisi
Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
10/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
1.2.3 !en>(mla+an Vektor Dalam pen>(mla+an "(a ektor 7erlak(
+(k(m segitiga
!er+atikan am7ar 2, "itam7a+ ,
"imana (>(ng "iposisikan pa"a(>(ng titik B ses(ai ara+ pana+, translasiti"ak meng(7a+ ara+ "an 7esar .
10 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
11/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
Dari am7ar 2 "iperole+ =
onto+ 1 =
Se7(a+ ken"araan otomatis "i s(at(per(sa+aan 7er#(ngsi memin"a+kankomponen8komponen peralatan listrik "aritempat * ke peker>a "i tempat , il(strasipa"a am7ar 3.
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
12/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
!erpin"a+an "ari B ke "inyatakan "engan U>(ng "ari menyent(+ (>(ng , 7erlak(
+(k(m segitiga "an "iperole+ =
Dan a"ala+ res(ltant "ari "an AC BC AB =+
12 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
13/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
onto+ 2 = !en>(mla+an "(a gayaaya F1 se7esar 2 C 7ergerak ertikal ke7aa+ "an F2 se7esar 3 C 7ergerak +ori;ontalke kanan 6am7ar 9
13 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
14/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
Ges(ltan F1 "an F2 "iperole+ "engan translasiF1 pa"a (>(ng F2 se+ingga "iperole+ =
G A ektor >(mla+ "ari F2 "an F1 "engans("(t se7esar =
Besar ektor G a"ala+ =
R F F =+ 21
2
3tan =θ
N 1332 22 =+
1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
15/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
1.2. !eng(rangan Vektor!eng(rangan ektor 7erarti pen>(mla+anektor "engan ektor negati# misalnya a8b"iperole+ "ari a H 68b9.
onto+ = !er+atikan am7ar $
1$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
16/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
1.2.$ !erkalian ektor "engan skalar Diketa+(i k "an l a"ala+ skalar positi#
aA ektor a, 7 A ektor 7
kaA ektor a "engan pan>ang ka "an ara+
yang sama l7 A ektor 7 "engan pan>ang l7 "an ara+
yang sama
1% Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
17/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
Unt(k sem7arang nilai k "an l, ektor a "an7,maka =
1.2.% Unit Vektor
Vektor yang memiliki pan>ang 1 sat(an"ise7(t (nit ektor
ika a memiliki pan>ang 3 maka (nit ektorpa"a ara+ a a"ala+ 61?39a.
Unit ektor A â
( )
( )
( ) ( )akllak
lakaalk
kbka bak
=
+=++=+
1' Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
18/34
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar
!an>ang a A a, se+inga (nit ektor a"ala+ =
EIer&ises '.2
skalar a1dana
a
aâ
=
=
1) Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
19/34
1.3 Komponen Cartesian
!er+atikan am7ar '. Titik ! "engan koor"inat
6I,y9, garis J! mer(pakan
ektor r
!an>ang J! a"ala+ r ika IAK "an yA> maka =
Vektor K "an > a"ala+ ektor ort+ogonal 6tegakl(r(s θ=900 )
yj xi MP OM OP r
yj MP dan xiOM
+=+==
==
1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
20/34
1.3 Komponen Cartesian
Mengg(nakan teorema p+ytagoras "apat"i+it(ng pan>ang r =
Dapat >(ga "it(lis "alam 7ent(k =
onto+ = D(a titik * "an B memiliki koor"inat6$,9 "an 683,29. Tent(kan posisi ektor * "anB, ektor *B "an *B
22 y xr +=
( ) barisvektor y xOP r
kolomvektor y
xOP r
→==
→
==
,
20 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
21/34
1.3 Komponen Cartesian
!enyelesaian =
−−
=
−
−=
−=
=+
=+
2
8
4
5
2
3 AB
ab AB
b ABa
OB ABOA
−=+−=
=+=
2
323
4
545
jib
jia
21 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
22/34
1.3 Komponen Cartesian
Vektor nol = sem(a komponen ektor 7ernilai 0,skalarA0 "an pan>ang A0.
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
23/34
1.3 Komponen Cartesian
Vektor a, 7 "an & "ikatakan linier "epen"ent6ter+(7(ng linier9
Sala+ sat( "ari ektor "apat "inyatakanse7agai kom7inasi linier "ari 2 ektor lainnya
Sek(mp(lan n ektor 6a1,a2,L..,an9 linier"epen"ent >ika =
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
24/34
1.3 Komponen Cartesian
onto+ =
=
−−
−
−
0
0
0
21
1
13
1
3
2
1
2
9
1
5
3
:karenadependentlinieradalah
21
1
13
9
1
5
3
2
1
:Vektor
2 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
25/34
1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor
onto+ me"an skalar = S(+( r(anganS(+( "ise7(a+ r(angan yang "i(k(r pa"asem7arang titik ! se7esar Φ. Tinggi s(+("alam r(angan tergant(ng pa"a posisi titik
meng(k(r s(+(. ika "i(k(r "isekitar ra"iatormaka s(+( yang ter(k(r akan le7i+ tinggi "aripa"a s(+( yang "i(k(r "i sekitar >en"ela.Se+ingga "apat "inyatakan 7a+a Φ
mer(pakan #(ngsi posisi Φ(x,y,z). Φ "apat >(gase7agai #(ngsi akt(.
Temperat(r ? s(+( a"ala+ skalar, se+ingga"apat "i7(at skala pa"a titik ! 6I,y,;9 "alam
r(angan.2$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
26/34
1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor
onto+ me"an ektor = Fl(i"aFl(i"a pa"a se7(a+ titik akan 7erpin"a+"engan ke&epatan "an ara+ tertent(. Elemen"ari (i"a a"ala+ ke&epatan 6mer(pakan
se7(a+ ektor9, se+ingga "iperole+ se7(a+#(ngsi ektor 6me"an ektor9 =
I,y "an ; mer(pakan #(ngsi skalar I,y "an ;
( )
k v jvivv
vvvv
z y x
z y x
++=
= ,,
2% Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
27/34
1.5 Produk Skalar (perkalian skalar)
!erkalian skalar "ari ektor a "an 7 =
EIer&ises '.$
2' Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
28/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
/asil perkalian ektor a "an 7 a"ala+ =
*t(ran perkalian ektor =
onto+ =a. ika =
r unit vektoˆˆsin =⇒=× eebaba θ
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) skalar :k
distributi
ko!utati aktid
kbabkabak
cabacba
abba
abba
×=×=××+×=+×
×−=×
×≠×
( ) ( ) ( )k baba jbabaibababa
k b jbibbk a jaiaa
122113312332
321321
: buktikan
dan
−+−−−=×++=++=
2) Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
29/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
7. ika =!enyelesaian =
a.
Syarat =
bak jibk jia
×++=++=antentuk ,23dan32
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k k ba jk baik ba
k jba j jbai jbak iba jibaiiba
k b jbibk ak b jbib jak b jbibia
k b jbibk a jaiaba
×+×+××+×+×+×+×+×=
+++++×+++×=++×++=×
332313
322212312111
321332123211
321321
jk ii jk k i j
jik ik jk ji
k k j jii
−=×−=×−=×=×=×=×
=×=×=× 0
( ) ( ) ( )k baba jbabaibababa 122113312332 −+−−−=×
2 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
30/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
7.( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )k ji
k ji
k k jk ik k j
j ji jk i jiii
k jik k ji jk jii
k jik jiba
+−−= −+−−−=
×+×+×+××+×+×+×+×=
++×+++×+++×=++×++=×
"53492#1
13233311
2131122232
23323232
2332
30 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
31/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
!enyelesaian mengg(nakan "eterminanVektor a "an 7 "it(liskan "alam 7ent(k matrik=
Unt(k memperole+ komponen i maka =
321
321
bbbaaa
k ji
2332
321
321
baba
bbb
aaa
k ji−=
+−+
31 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
32/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
komponen > =
komponen k =
( )1331
321
321
baba
bbb
aaa
k ji−−=
+−+
1221
321
321
baba
bbb
aaak ji −=
+−+
32 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
33/34
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)
onto+ = Tent(kan perkalian ektor "ari =
!enyelesaian =
EIer&ises '.%
k jibk jia ++=++= 2dan"32
( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
k ji
k ji
k ji
k ji
ba
++−=
−+−−−=−+−−−=
=×
511
34"2143
13221"122"13
121
"32
33 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
-
8/19/2019 1.VEKTOR (1)
34/34
1.7 Vektor n Dimensi
Vektor yang sering "i7a+as a"ala+ ektor 2"imensi "an 3 "imensi. Vektor n "imensi yait(ektor N3 "imensi.
onto+ = ektor "imensi
onto+ = ektor ar(s mes+
=
=
1
30
1
dan
4
21
3
ba
{ }
=
4
3
2
1
4321 :vektor,
I
I
I
I
I I I I I
3 Syiska Yana DTE FT USU 2013