2מכניקת מוצקים

ליפשיץ. י' פרופ

מהדורה שניה

הפקולטה להנדסת מכונות מכון טכנולוגי לישראל–הטכניון

2004אוקטובר ד"תשס

החומר בחוברת זו מבוסס על הרצאות שנתנו במשך שנים רבות בפקולטה להנדסת

" אלסטיות יישומית", "תורת החוזק"מכונות בטכניון בקורסים שנשאו שמות כגון

".2מכניקת מוצקים "ולאחרונה

אתו היו לי שיחות ארוכות על , אלטוס. א' שנים רבות לימדתי קורסים אלו יחד עם פרופ

חלק ניכר מהחוברת מבוסס על . מבנה הקורס וצורת העברת החומר לסטודנטים

.רעיונותיו ועל כך נתונה לו תודתי והערכתי

שעיקרם הוספת , במהדורה השניה המופיעה כאן לראשונה הוכנסו מספר שינויים

.דוגמאות והרחבת ההסברים בפרקי היסוד הראשונים

הציורים שורטטו בידי אמיר ראובן

ברניס הירש–הדפסת נוסחאות

נירית בודוך–הדפסת עברית

כל הזכויות שמורות למחבר

© Copyright 2001 by Jacob M. Lifshitz No part of this book may be reproduced in any form,

or by any means, without written consent of the author

2 מוצקים - תוכן העניינים

מאמצים .1

1-1.........................................................................................מבוא 1-1

1-1..............................................................................וקטור מאמץ 1-2

1-3............................................מימדית-וקטור מאמץ בהעמסה תלת 1-3

1-8......................................................הטנזור כבעית ערכים עצמיים

1-12.........................................................................בעיות מישוריות 1-4

1-13.............................................................מאמץ נורמאלי מכסימלי

1-14................................................................מאמץ גזירה מכסימלי

1-17.........................................................טרנספורמציה של מאמצים 1-5

עיבורים .2

2-1.........................................................................................מבוא 2-1

2-1............................................................................צירי-עיבור חד 2-2

2-3..............................................................מימדית-דפורמציה תלת 2-3

ijωA לשינוי בוקטור תרומת 2-4

ijε

.....................................................2-5

A לשינוי בוקטור תרומת 2-5

11

......................................................2-7

ε..................................................................2-7משמעות 2-5.1

12ε 2-9..................................................................משמעות 2-5.2

iiε 2-11..................................................................משמעות 2-5.3

2-13..........................................................טרנספורמציה של עיבורים 2-6

2-16..........................................................................שושנת עיבורים 2-7

עיבור-קשרי מאמץ .3

3-1.........................................................................................מבוא 3-1

3-2......................................................עיבור תלת מימדי-חוק מאמץ 3-2

3-3...........................................................................(3D)חוק הוק 3-3

מצים מורכביםיישום קריטריוני כשל במא .4

4-1.........................................................................................מבוא 4-1

4-2...........................................................................קריטריוני כשל 4-2

4-2.................................................... מאמץ נורמאלי מכסימלי .א

4-3........................................................מאמץ גזירה מכסימלי .ב

4-6............................................................ אנרגית שינוי צורה .ג

4-9..........................................................אנרגיית עיבורים אלסטית 4-3

4-11...........................................................השוואה בין הקריטריונים 4.4

4-11.....................................................................גזירה טהורה .א

4-11.....................................................................כפיפה וגזירה .ב

ם בכפיפהמאמצים נורמאליי .5

5-1.........................................................................................מבוא 5-1

5-1...........................................................................כפיפה משופעת 5-2

5-8..........................................................מומנטי אינרציה של החתך 5-3

5-15..................................................................העמסה אקסצנטרית 5-4

5-16................................................................כפיפת קורה הטרוגנית 5-5

5-23.................................................מאמצים פלסטיים בכפיפת קורה 5-6

מאמצי גזירה בכפיפת קורות .6

6-1.........................................................................................מבוא 6-1

6-1.....................................................מאמצי גזירה בחתכים מלאים 6-2

6-6...............................מאמצי גזירה בקורות בעלות חתכים דקי דופן 6-3

6-11..............................................................................מרכז הגזירה 6-4

דפורמציות אלסטיות בכפיפה .7

7-1.........................................................................................מבוא 7-1

7-1......................................המשואה הדיפרנציאלית לחישוב שקיעות 7-2

7-9............................................שקיעות בעזרת פונקציות סינגולריות 7-3

7-15..............................................................................סופרפוזיציה 7-4

7-15................................................סופרפוזיציה של עומסים 7-4.1

7-17......סופרפוזיציה על ידי חלוקת המבנה לאלמנטים פשוטים 7-4.2

7-23................... קורות נמשכות – משוואת שלושת המומנטים

7-26..................................................מטריצת מקדמי השפעה

שיטות אנרגיה לחישוב דפורמציות .8

8-1.........................................................................................מבוא 8-1

8-1...............................אנרגיה אלסטית כפונקציה של מקדמי השפעה 8-2

8-2........................................................משפט ההדדיות של מקסוול 8-3

8-5.............................................................. קסטיליאנו השנימשפט 8-4

8-6..........................................................משפט קסטיליאנו הראשון 8-5

8-8..............................................אנרגיה אלסטית של מוטות וקורות 8-6

8-8..........................................אנרגיה במוט עמוס בכח צירי 8-6.1

8-9.....................................)חתך מעגלי(ה במוט פיתול גיאנר 8-6.2

8-10..................................................אנרגית כפיפה של קורה 8-6.3

8-11...................................................אנרגית גזירה של קורה 8-6.4

8-14.........................................רה כלליאנרגיה אלסטית במק 8-6.5

8-15...............................................חישוב דפורמציות בשיטות אנרגיה 8-7

8-15........................................................דפורמציות בקורות 8-7.1

8-19......................................................דפורמציות במסגרות 8-7.2

8-24.......................................................דפורמציה במסבכים 8-7.3

8-25...............................................כוחות במסבך לא מסויים 8-7.4

8-29...............................................................................עומסי הולם 8-8

עמודיםקריסת .9

9-1.........................................................................................מבוא 9-1

9-3................................................................... אוילרעמודיקריסת 9-2

9-11......................................................ום השימוש בנוסחת אוילרתח 9-3

9-13.....................................................................עמוד-קריסת קורה 9-4

9-17..........................................................................קריסת מסגרות 9-5

1- 1

מאמצים: 1פרק

מבוא) 1-1(

D הכרתם " 1מכניקת מוצקים "בקורס B F F (stress)" מאמץ"את המושג

. חד מימדי-במקרה פשוטC

לחיצה /תחילה דנתם במאמץ מתיחה

הידוע גם כמאמץ נורמאלי

σ

C

B

D

F AF

=σ

F

אבל הסתבר שפילוגו לינארי עם המרחק , גזירה

σו -τ כוללים את כל האינפורמציה הדרושה לנו

במצבים . מוט או מחבר המזלג כך שלא ישברו

. ינפורמציה נוספת על המאמציםיש צורך בא, ם

.יר מושגי יסוד הקשורים במאמצים

2e

1e

F

D

C

. ר

F

B

. עליו הוא פועל(A)הניצב לשטח החתך

τ( (shear stress) )לאחר מכן נדון מאמץ גזירה

=τ

(A)המשיק לשטח החתך

.עליו הוא פועל

:מאמץ הגזירה בקונפיגורציה הבאה

: המאמץ הממוצע הוא

F

A2F

)…..Aשטח חתך רוחבי של הפין במחבר .(

בהמשך נדונה בעית פתול וגם שם הופיע מאמץ

. ממרכז החתך

צבים הפשוטים שתוארו כאן סביר להניח כי במ

בכדי שנוכל לתכנן את ה, על המאמצים בחומר

כאשר העמסים אינם חד ציריי, מורכבים יותר

נתחיל במקרה הפשוט של מתיחת מוט בכדי להגד

וקטור מאמץ) 1-2(

כמתואFעל חתך רוחבי של המוט פועל כח שקול

י החלק הימני "כח זה מופעל על החתך ע

). שאינו מצוייר כאן(של המוט

2- 1

כאשר בכל , נעשית באופן שווה על כל החתך) BCDבחתך (אלי העברת הכח מהחלק הימני לשמ

) מאמץ(נקודה פועל כח ליחידת שטח AF

=σ . וכוון מאחר ולמאמץ יש גודל ,

. בעל מימד tהוא מוגדר כוקטור המאמץ

=σ

AF( )1e

שטח

כח

) 1-1( 11 eeAFt σ==

ולכן יכולנו לרשום , T בסימון e - הפועל על חתך רוחבי הניצב לtנהוג לסמן וקטור מאמץ

.T הסימון החדש אתtבמקום ) 1-1(באגף שמאל של

1 1

1

).Cדרך אותה נקודה (המאמץ הפועל על חתך משופע כעת נבדוק מהו וקטור

השאלה . ישתנה לא Cבנקודה " σהמאמץ "גם , מאחר והעומס החיצון על המוט לא השתנה

?שתנהמלא , Cהפועל על המישור המשופע בנקודה , tהמתעוררת היא האם גם וקטור המאמץ

n

θ

2e

1eθ

C FF

G

E

, ואר כאןמשקולי שווי משקל של קטע המוט המת

1eF . פועל כח שקול GCEברור כי בחתך

מתחלק בצורה אחידה (F)כח זה

).Sי "שיסומן ע(על פני שטח החתך

הניצב למישור המשופע כך שכוונו מתוך nי וקטור יחידה " עGCEנגדיר את המישור המשופע

)n,n,0( :הםציור ב רכיבי וקטור היחידה .קטע המוט המצויר וכלפי חוץ 21

θ .S לשטח החתך המשופע A קובעת את הקשר בין שטח חתך רוחבי הזוית

,במקרה המתואר בציור

( )0,n,nn;SnenScosSA 2111 =⋅=θ=

11111 : הואוקטור המאמץ על המישור המשופעו neneAFe

SFt σ===

ובציור חתך כזה , -הניצב ל וקטור המאמץ הפועל על חתך רוחבי הוא , כאמור למעלה

נובע מכך כי הקשר בין .: י "מוגדר ע 0=tל - T2-1(י " נתון ע(,

1T1e

θ1

(1-2) ( ) 1111 nTnet =σ=

י "המוגדר ע, אלא גם כוון המישור הוא פונקציה לא רק של המאמץ t וקטור המאמץ :מסקנה σ

n. על כל מישור הנוטה בזויתθמשוואה זו . )2-1(י "הנתון ע, פועל וקטור מאמץ שונה, שונה

3- 1

מאפשרת ידיעת וקטור המאמץ , הלחיצ/של מוט במתיחה, מראה כי במקרה החד כווני הפשוט

.nי "חישוב וקטור המאמץ על כל חתך מישורי הנתון ע

iT =

CDE

1T

וכאשר המאמצים משתנים , )3D -ותלת מימדיים , 2D -מימדיים -דו(במקרים מורכבים יותר

.יש לערוך ברור נוסף כמפורט בהמשך, מנקודה לנקודה

) י "עסומן מ ie -וקטור מאמץ הפועל על חתך רוחבי הניצב ל, םלסיכו )ie;t σ

) .י "עסומן מ n -הניצב ל מאמץ הפועל על חתך ווקטור )n;tt σ=

וקטור מאמץ בהעמסה תלת מימדית) 1-3(

)e;(t −σ

n

3SG

S

B

C D

E

H

3e

2e1e

1S2S

)e;(t 1−σ)e;(t 2−σ

)n;(t σ

מרית ובציור מתוארת פירמידה ח

. שנחתכה מתוך גוש חומר עמוס

בכדי שגם מקרים בהם

המאמצים משתנים

, מנקודה לנקודה יכללו באנליזה

וסהידה חומרית עמ

, , ר המשופע ( )( )n;t σ

ם על הפאות השונות כאל

3e

3α

E

B

G

חתך מישורי בפירמידה

רמ

שו

צי

n

1 :(

3

פי): 1-1(ציור

מאמץ על המי

321 .ם e,e,e

קטורי המאמ

(B.

H

2-(ציור

נבחר לפירמידה מידות קטנות

) שואפות לאפס(

.כך שוקטור המאמצים על כל פאה יהיה אחיד

נחפש קשר בין וקטור ה, כמו במקרה החד מימדי

על הפאות הניצבות לכווני לבין וקטורי המאמץ iT

אפשר להתיחס לוהיות והפירמידה קטנה מאוד

(באותה נקודהוקטורי המאמץ על מישורים שונים :קשרים גיאומטריים

BG ... וקטור מהנקודהB , הניצב למישורCDE

:מהציורBEBGcosn 33 =α=

: באופן דומהBDBGn 2 =

BCBGn1 =

4- 1

BES: נפח הפירמידה31BDS

31BCS

31BGS

31dV 321 ⋅=⋅=⋅=⋅=

-נכפיל את כל הביטויים בBG3

in : התוצאה. הרשומות למעלה ונשתמש בהגדרות

(1-3) 3,2,1i,SnSnS

nS

nS

S ii3

3

2

2

1

1 ==→===

:)ידהשל הפירמ. ח.ג.ד (שווי משקל של כחות

(1-4) ( ) ( ) ( ) ( ) 0e;tSe;tSe;tSn;tS 332211 =−σ+−σ+−σ+σ

הניצבים לצירים " השליליים"על המישורים ( מופיעים וקטורי מאמץ (1-4)במשוואה

").חיוביים"על המישורים ה (זרת נים לבטא וקטורים אלה בעיבגלל נוחיות מעוני.

( )ie;t −σ

( )ie;t σ

12

1P

ie

:לשם כך נערוך חישוב עזר

Bm . המתואר בציור הוא חלק מגוף עמוס Pהחלק

Bf

Am

Af

2P1P

S P

B A

P ( P- ו(נחלק אותו לשני חלקים

.Sבאמצעות משטח כלשהו

f A שקול פועלים כחעל החלק

A. A בנקודה m שקולומומנט

2 f B שקול פועלים כחPעל החלק

B גוש חומרי עמוס בשווי משקל): 1-3(ציור .B בנקודה m שקולומומנט

שקולים שהחלק ונוסיף על כל חלק את הכח והמומנט ה) Sבמשטח (כעת נפריד את שני החלקים

:השני מפעיל עליו כמתואר

f

*C

Bm

B

*Cf

2P

m

Cm

1P

A

C

B

*Cm

A

f

Cf

S

S

A

ומסים שביניהם

והע) 1

3-(שני חלקי הגוש החומרי מציור ): 1-4(ציור

5-1

:Pחות ומומנטים על החלק ושווי משקל של כ

(1-5)

=×+×++=+

0fxfxmm0ff

BBAABA

BA

B.( B , A - וAרדיוסי וקטור מנקודת יחוס רצונית לנקודות .... ( xx

iP

1P

:שווי משקל כחות ומומנטים על כל חלק

:על

(1-6)

=×+×++=+

0fxfxmm0ff

CCAACA

CA

2P

:על

(1-7)

=×+×++=+

0fxfxmm0ff

*C*CBB*CB

*CB

: יתנו(1-5) וחיסור (1-7) (1-6)חיבור משוואות הכוחות

(1-8) f *CC f−=

ואחרי הבחנה (1-8)-לאחר שימוש ב[ יתנו (1-5) וחיסור (1-7) (1-6)חיבור משוואות המומנטים

CC* ]:כי xx =

(1-9) *CC mm −=

). החוק השלישי( מבטאות את חוק הפעולה והתגובה של ניוטון (1-8) (1-9)

שווה למינוס Sמסקנת הפתוח כאן היא כי וקטור המאמץ הפועל על צד אחד של משטח החתך

:וקטור המאמץ הפועל על הצד השני של משטח החתך

(1-10) )n;(t)n;(t −σ−=σ

:(1-3)- ושימוש בS-ולאחר חלוקה ב, (1-10) - תוך שימוש ב(1-4)נחזור כעת למשוואה

(1-11) 0)e;(tn)e;(tn)e;(tn)n;(t 332211 =σ−σ−σ−σ

6-1

e;(t)(T( יתן סימון שימוש ב ii σ=σ

(1-12) )(Tn)(Tn)(Tn)n;(t 332211 σ+σ+σ=σ

:ובהשמטת הפרמטרים שבסוגריים

(1-13) jj332211 nTnTnTnTt =++=

, הפועלים על מישורי הצירים , T וקטורי המאמץ 3 רואים כי ידיעת (1-13)ממשוואה

הוקטורים 3 , לפיכך. העובר בנקודהכל מישור הפועל על tמאפשרת חישוב וקטור המאמץ

".מצב המאמצים בנקודה"ת מגדירים א

ie i

iT

:הערת ביניים לסוגי גדלים פיזיקליים

.וקטורים) 2(סקלרים ) 1: (עד כה הכרתם שני סוגים של גדלים פיזיקליים

. שאינו תלוי במערכת הצירים)…, אנרגיה, טמפרטורה(י מספר אחד " גודל סקלרי מוגדר ע-

המשתנים ממערכת צירים .)…תאוצה, דרך, ירותמה( רכיבי הוקטור 3י " גודל וקטורי מוגדר ע-

כאשר קיים קשר בין רכיבי מערכת אחת לשניה באמצעות נוסחאות , אחת לשניה

.טרנספורמציה

וקטורים3-באשר בכדי להגדירו בצורה שלמה יש צורך " מאמץ"דל חדש וכאן פגשנו לראשונה ג

שינוי כיוון מערכת הצירים יוביל .לצירי מערכת הציריםניצבים ה , מישורים3הפועלים על

בהמשך נראה כי קיימת תלות בין . שאר ללא שינויי בנקודה המאמץאם כי , הוקטוריםלשינוי

.י משוואות טרנספורמציה"ע, במערכות צירים שונות"רכיבי המאמץ"

iT

iT

.(stress tensor)לגודל חדש זה קוראים טנזור

רכיבי טנזור המאמץ

1e

2e

3e

32σ

22σ31σ

23σ

13σ

33σ

21σ

11σ

1e

3e

2T

2e

3T−

1T− 3T

1T

2T−

σ

12

(b) (a)

i על הפאות החיוביות T רכיבי (b); על מישורי הצירים T וקטורי המאמץ i

.

(a) ): 1-5(ציור

7-1

ijσiT :כדלהלן הם רכיבי וקטורי המאמץ הרכיבים

(1-14)

σ+σ+σ=⋅+⋅+⋅=σ+σ+σ=⋅+⋅+⋅=σ+σ+σ=⋅+⋅+⋅=

3332231133332321313

3322221123232221212

3312211113132121111

eeee)Te(e)Te(e)Te(Teeee)Te(e)Te(e)Te(T

eeee)Te(e)Te(e)Te(T

iijj (1-15): ובקיצור eT σ=

tijσ תתן קשר ישר בין (1-13) - ב(1-15)הצבת : לרכיבי טנזור המאמצים

ijkkj enet ⋅σ=

≠=

=δ=⋅⋅σ==⋅ikfor 0ikfor 1

ee;neetet kiikjikkjii

jiji

jkikji

nt

nt

σ=

(1-16) δσ=

(1-17)

σσσσσσσσσ

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

nnn

ttt

ij

טנזור המאמצים

והאינדקס , מציין את כוון הפעולה של רכיב המאמץ σ (i)שימו לב כי האינדקס הראשון של

. מתאר את המישור עליו פועל וקטור המאמץ (j)י השנ

הם ) לאורך האלכסון( הרכיבים 3. מגדירים את מצב המאמצים בנקודהטנזור המאמצים רכיבי 9

.מאמצים נורמאליים ויתר המאמצים הם מאמצי גזירה

8-1

ijσ :סימטריות

ijσjiij

נוכיח ממשוואת שווי המשקל של מומנטים כי

σ=σ . : כלומר, סימטרייםבי רכי

עם החלק הרלוונטי , נצייר מבט על על קוביה

.של המאמצים הפועלים

3e ):למשל סביב מרכז הקוביה (שווי משקל מומנטים בכוןן

[ ] 3213321121 dxdxdx:0edxdx)dx(dx) =σ−

01221

221dx(σ

11σ1e

22σ

12σ

21σ2e

11σ21σ

12σ

22σ

1dx

2dx

מוסהמבט על קורה ע): 1-6(ציור

=σ−σ

(1-18) 1221 σ=σ

23321331 יתן1e- ו2eשווי משקל של מומנטים בכוונים , באופן דומה ; σ=σσ=σ

jiij σ=σ :ובאופן כללי

המגדירים את מצב המאמצים , לויים לטנזור המאמצים רכיבים בלתי ת6לפיכך קיימים רק

.בנקודה

ijσ : בכל נקודה בצורה' טנזור המאמצים'מעכשיו אפשר לרשום את

σσσσσσσσσ

332313

232212

131211

.כאשר ניצלנו את הסימטריה של מאמצי הגזירה

הטנזור כבעית ערכים עצמיים

הקשר .n -אינו מקביל ל , nיחידה הפועל על מישור הניצב לוקטור , t כלל וקטור המאמץ בדרך

אשר כעת אנו מעוניינים לדעת האם קיים במרחב מישור . )16-1 (- נתון בn לרכיבי tבין רכיבי

, אם קיים מישור כזה. הניצב למישור ) n(מקביל לוקטור היחידה ) t ( וקטור המאמץ הפועל עליו

:הבא הקשר מתקיים

iiii enet

ntλ=

λ=

.על המישורהפועל הוא גודל וקטור המאמץ λכאשר

אפשר לרשום ,בשני אגפי המשוואה eוהשוואת מקדמי ) 16-1(ממשוואה tלאחר הצבת רכיבי

:שלוש משוואות סקלריות

i

ijij nn λ=σ

9-1

:ובצורה מפורשת

0n)(nn0nn)(n0nnn)(

333232131

323222121

313212111

=λ−σ+σ+σ=σ+λ−σ+σ=σ+σ+λ−σ

in

התנאי שקיים . ידועה כבעיית ערכים עצמיים, משוואות הומוגניות3י "המתוארת ע, ה זובעי

). של ( איפוס דטרמיננט המקדמים ,ן לבעיה הואפתרו

ערכים "ו הם הערכים אל . λ -ולפיכך נסמנם ב, λ פתרונות של 3מסתבר כי קיימים

"). וקטור עצמי"הידוע בשם (in" כיוון עצמי"ולכל ערך עצמי קיים , "העצמיים

3 21 , , λλ

"מאמצים ראשיים"הערכים העצמיים ידועים בשם , בו אנו דנים בטנזור המאמצים, בהקשר שלנו

21 3 -ולכן נחליף את הסימון מ( , , λλλל - σ( והכיוונים העצמיים ידועים בשם

".מישורים ראשיים" למישורים הניצבים לכיוונים הראשיים נקרא ".כיוונים ראשיים"

3 21 , , σσ

ולכן אלו מאמצי מתיחה או , המאמצים הראשיים ניצבים למישורים הראשיים, על פי הגדרתם

נוכל לבטא את רכיבי לאחר שנמצא את הכיוונים הראשיים).להבדיל ממאמצי גזירה(לחיצה

טנזור המאמצים במערכת זו . המקבילה לכיוונים הראשייםטנזור המאמצים במערכת הצירים

:יהיה מלוכסן

σσ

σ

3

2

1

000000

והמאמץ הקטן מבין , הקיים בנקודההמאמץ הגדול ביותרמבין השלושה הוא המאמץ הגדול

. הקיים בנקודההמאמץ הקטן ביותרהשלושה הוא

או שלושה מהמאמצים הראשיים שווים זה לזה ואז קיימים יותר משלושה לפעמים שניים

.נחזור לנושא זה כאשר נדון בטרנספורמציות של רכיבי טנזור המאמצים. כיוונים ראשיים

t )על מישור שאינו מישור ראשי (רכיב נורמאלי ורכיב גזירה של וקטור המאמץ

(CDE)הפועל על מישור , tנותנת את רכיבי וקטור המאמץ (1-16)משוואה

שהניצב אליו הוא וקטור היחידה

i

nijσ

jn

והוקטור באמצעות רכיבי טנזור המאמץ , )1-1ראה ציור (

לשני רכיבים ניצבים tאפשר להפריד את , כמו בכל וקטור אחר. n שונה מכוון tכ כוון "בד.

רכיב שני ו) t עליו פועל CDEניצב למישור (nנעשה זאת כאשר רכיב אחד יהיה בכוון . זה לזה

.CDEכלומר במישור , n-יהיה בניצב ל

( )jiji nt σ=

10-1

-נסמנו ב: וכוונו מוגדר היטב) CDEניצב למישור (הוא מאמץ נורמאלי ) nבכוון (הרכיב הראשון

nnσ) הקו מעלnבא להדגיש שאין כאן הסכם סכימה .(!

(1-19) jiijjijiiinn nnnntntn σ=σ==⋅=σ

ונמצא במישור הנוצר , CDEהפועל במקביל למישור , הוא מאמץ גזירה) n-בניצב ל(הרכיב השני

רכיב הגזירה . sי "נסמן את וקטור היחידה שבכוונו פועל רכיב הגזירה ע. n- וtי הוקטורים "ע

: יהיהtשל

(1-20) jiijjijins nsnsts σ=σ=⋅=σ

MPa 2001003040104050

−−

−

כולו " מאוכלס" הן כלליות ומתאימות גם למצב בו טנזור המאמצים (1-19) (1-20)הנוסחאות

מצב כזה הוא מורכב מאוד ובדרך כלל לא נעסוק בו לא בלימודים ואף . ברכיבים השונים מאפס

, בעיות מישוריות, לפני שנעבור למקרים פרקטיים יותר .ודה סטנדרטית לאחר הלימודיםלא בעב

.(1-3)נביא דוגמא לחומר שנלמד בפרק

דוגמא

,Bבנקודה חומרית נתון טנזור המאמצים

:דרוש

B. iTוביה בנקודה הפועלים על פאות קלצייר את רכיבי וקטורי המאמץ .א

, ))1-1(ראו ציור (B הפועל על חתך מישורי משופע דרך tלחשב רכיבי וקטור המאמץ .ב

BC. ; 3BE ; 1BD ; 2כאשר ===

.CDEלחשב גודל המאמץ הנורמאלי הפועל על המישור .ג

.CDEלחשב גודל וכיוון מאמץ הגזירה הפועל על המישור .ד :פתרון

. א

2e

3e

40

10

10

20

30

1e

40

50

313

212

3211

e20e10Te30e40T

e10e40e50T

⋅−⋅−=⋅+⋅=

⋅−⋅+⋅=

11-1

1-3על פי הקשרים בעמוד . הניצב למישור המשופע יחידה שלב ראשון הוא לחשב רכיבי וקטור. ב

, מתקבל

3

BGBEBGn ;

1BG

BDBGn ;

2BG

BCBGn 321 ======

1BG :הוא וקטור יחידה nמהתנאי כי 911

41 1nnn

223

22

21 =

++⇒=++

72n ;

76n ;

73n

76BG 321 ===⇒=

:(1-16)משוואה מ

( )

( )

( ) 1022031071nnnnt

7300630340

71nnnnt

7370210640350

71nnnnt

nt

333232131jj33

323222121jj22

313212111jj11

jiji

−=×−×−=σ+σ+σ=σ=

=×+×=σ+σ+σ=σ=

=×−×+×=σ+σ+σ=σ=

σ=

:(1-19)משוואה מ. ג

( ) MPa 53.5649

277070230063703491tn iinn

==×−×+×==σ

: וחוקי חיבור וקטורים(1-20)משוואה מ. ד

( ) ( )

[ ] 321321

ns321ns

321321nnns

e67.0e14.0e73.0s e15.26e60.5e63.2818.39

1s

MPa 18.39 e15.26e60.5e63.28s

e2e6e3749

2770e70e300e37071nts

⋅−⋅−⋅=⇒⋅−⋅−⋅=

=σ⇒⋅−⋅−⋅=⋅σ

⋅+⋅+⋅×

−⋅−⋅+⋅=⋅σ−=⋅σ

12-1

בעיות מישוריות) 1-4(

" :מאמצים מישוריים"מאחר ורוב הבעיות שתטפלו בהן משתייכות לקטגוריה הידועה בשם

(1-21)

σσσσ

=σ00000

2212

1211

ij

σσσσσ

=σ

33

2212

1211

ij

0000

"מאמצים מישוריים מוכללים: "או

(1-22)

(1-19) (1-20)-נרשום ביטויים מפורשים ל

n

nsσ

1e

2e

θ

ts

θ1T−

2T−

nn

σ

".המישוריים"עבור המקרים

212211 e)(sine)(cosenenn θ+θ=+=

212211 e)(cose)sin(esess θ+θ−=+=

מינסרה חומרית במצב מאמצים מישורי): 1-7( ציור

: תתן(1-20)- ו (1-19)- בs- וnהצבת רכיבי

(1-23)

θ−θσ+θθσ−σ−=σ

θθσ+θσ+θσ=σ22

122211ns

122

222

11nn

sin(coscossin)(

cossin2sincos

θθ=θ :שימוש בקשרים הגיאומטריים cossin22sin ; θ−θ=θ 22 sincos2cos

)2cos1(212 θ+=θcos ; )2cos1(

21sin2 θ−=θ

13-1

:יתן

θσ+θ

σ−σ−=σ

θσ+θ

σ−σ

+σ+σ

=σ

2cos2sin2

2sin2cos22

122211

ns

1222112211

nn

(1-24)

=τ

=σ

מאמץ נורמאלי מכסימלי

סימלי ואת מכעליו פועל מאמץ נורמאלי מאפשרת קביעת המישור (1-24)משוואה

) עליו פועל מאמץ גזירה המישור )θ(אינפורמציה זו בעלת חשיבות בתהליך התכן. מכסימלי ,

ואיפוס לפי (1-24)י גזירת "נעשה זאת ע. כאשר יש לקבוע מידות חלקים שונים כך שלא יכשלו

.הנגזרת

( )σ ( )θ)τ

θ

(1-25(a)) 02cos2sin2

2dd

122211 =

θσ+θ

σ−σ

−=θσ

τ

(1-25(b)) 2211

122)2tan(minmax σ−σ

σ=θ σ

1- 14

≥π≤θ שני פתרונות בתחום ((b)1-25)-ל 220

θ

( )maxσθ

αtan

απ

π

2π π2π

23

2-כאשר ההפרש בין הפתרונות ל

π ).כנראה בציור (הוא ההפרש בין שני הפתרונות

הוא לכן θשל

2π

.

המגדירה לפיכך אם מוצאים הזוית

, , maxσאת המישור שעליו פועל

-יודעים גם כי על מישור הנוטה ב2π

. פועל מאמץ נורמאלי - לmaxσθminσ

(1-26) 2maxmin

π±θ=θ σσ

θ2

):לאחר קצת אלגברה( נותנת (1-24)- ב(1-25)- מהצבת הזוית

(1-27)

2/1

212

222112211

22minmax

σ+

σ−σ

±σ+σ

=σ

על איזה משני אבל לא יודעים, σ-וmaxσמקבלים את ערכי ) 1-27(שימו לב כי ממשוואה

בכדי לדעת זאת יש להציב את . σ ועל איזה פועל פועל ((b)1-25) - בהכוונים שחושבו

ולחשב את ) 1-24(-הערך של אחת הזויות ל

min

nnσדוגמא לחישוב זה מופיעה לאחר . הפועל שם

.פיתוח משוואות הטרנספורמציה

min

maxσ

פועלים רק מאמצים נורמאליים , θ- וmaxσθי "חשוב להבחין כי על המישורים המוגדרים ע

שרואים במשוואה כפי , מאמצי הגזירה על מישורים אלה מתאפסים). בהתאמה- ו(

(1-25(a)).

minσ

maxminσ σ

מאמץ גזירה מכסימלי

בות מאמץ נורמאלי שהגיע לערך קריטי הנסיון המצטבר מראה כי יש חמרים הנשברים בעק

למטרה זו חשבנו מאמץ נורמאלי ). ב"ברזל יציקה וכיו, כמו קרמיקה- brittle -חמרים פריכים (

.עבור מקרה של מאמצים מישוריים) 1-27במשואה (מכסימלי

י שבירה לשני חלקים בעקבות מאמץ "הנכשלים לא ע!) רוב המתכות(קיימים גם חומרים אחרים

נקודת כניעה זו ". נקודת הכניעה הפלסטית"אלא הכשל מתרחש כשהחומר מגיע ל, רמאלינו

1- 15

מתרחשת כאשר מאמץ הגזירה בחומר מגיע לערך קריטי ומתרחשת תנועת נקעים ודפורמציה

חשוב לנו לזהות , לפיכך. שצריך להילקח בחשבון" כשל"מבחינת המתכנן זה מצב של . פלסטית

במקרה (תשובה לכך . ימלי הקיים בחומר ועל איזה מישור הוא פועלמהו מאמץ הגזירה המכס

. ואיפוס הנגזרתθ לפי (1-24) במשוואה τי גזירת "נקבל ע) (1-21)י "מימדי המתואר ע-הדו

02sin2cos2

2dd

122211 =

θσ+θ

σ−σ

−=θτ

(1-28)

σσ−σ

−=θ τ12

2211

2)2tan(

minmax

וההפרש בין , ((b)1-25)כפי שהיה למשוואה , 0 פתרונות בתחום 2ו גם למשוואה ז

τθ2 הוא θ- לπ , (1-26)כמו.

π≤θ≤ 22

maxminτ

:1- נותנת (1-28)- ו ((b)1-25)מכפלת המשוואות , בנוסף

1)2tan()2tan(minmax

minmax

−=θ⋅θ τσ

הם , )המגדירים מישור ראשי ומישור שפועל עליו , ש הדבר כי שני הכוונים פרו

והזוית , ניצבים זה לזה minmaxτ

o45

σ

)minmax

θלכוון המישורים הראשיים- נוטה ב .

( )θ2)minmaxτ

)מאמץ הנורמאלי את הנותנת (1-24)-ל (1-28) -הצבת הזויות מ ומאמץ הגזירה (

)מינימלי /המכסימלי

τהפועלים על מישורי הגזירה המכסימלית :

(1-29) 22

212211

minmax

σ+σ=

σ+σ=σ

τθ

(1-30)

2/1

212

22211

2minmax

σ+

σ−σ

±=τ

minmax

τ−=τ

1- 16

:מסקנות

. שווה בעצמתו והפוך בסימנו למאמץ הגזירה המינימלי מלי מאמץ הגזירה המכסי .1

, ijs והגדרת כווני וקטור היחידה σהסימטריה של , קביעה זו מתאימה להגדרת רכיבי

:אכמתואר בציור הב

maxτminτ

ijσ

1e

2e

n

s

n

ns

2e

12σ

12σ

)( min12 τσ

)( max12 τσe

. הצירים

ערכו . א מתאפס בהכרח

. שיים

:י"בל ע

σ

minmax

maxσ

4

מלי

n

ss

1

מאמצי גזירה וכווני וקטורי יחידה על פאות): 1-8(ציור

ל על מישורי הגזירה המכסימליים )המאמץ הנורמאלי .2

.(1-29)י "נתון ע

τ

minmax )σ

למישורים הרא-מינימלית נוטים ב/מישורי הגזירה המכסימלית .3

מתקבל כי ערך הגזירה המכסימלית מתק(1-30) (1-27)ממשוואה

4π

(1-31)

τ−=τ

σ−σ=τ

maxmin

minmaxmax 2

22minmax2211 σ+σ

=σ+σ

minσ

22minmax

21

212

22211 σ−σ

±=

σ+

σ−σ

o5

מאמצים ראשיים ומאמץ גזירה מכסי): 1-9(ציור

1- 17

. מימדי מורחבת גם למקרה התלת3מסקנה .4

minmax . נובע כי מאמץ הגזירה מתאפס כאשר (1-31)ממשוואה .5 σ=σ

−=σ

100010001

pij : י"הנתון ע pבהעמסת לחץ הידרוסטטי , לפיכך

).יהיה ברור יותר לאחר הטרנספורמציות(מאמץ הגזירה מתאפס על כל מישור בחומר

טרנספורמציה של מאמצים) 1-5(

בונן באלמנט חומרי אינפיניטסימלי נת

. בגוף עמוס הנמצא בשווי משקלBהנמצא בנקודה

B

B-ברור כי מצב המאמצים ב

) כמו בכל יתר נקודות הגוף(

מסים הפועלים על הגוף ונקבע על ידי הע

, ועל תכונות החומר ממנו הגוף עשוי

.אך אינו תלוי במערכת הצירים שבוחרים כדי לבצע את האנליזה

אפשר לבטא את רכיבי המהירות במערכות . מסוימתvלמטוס הנע במהירות ? למה הדבר דומה

i'e ובכל מערכת יהיו למהירות רכיבים שונים) או (צירים שונות ie

ie: 332211במערכת evevevv ++=

i'e: 332211במערכת 'e'v'e'v'e'vv ++=

ובין אם eברור כי המטוס יגיע ליעדו באותו זמן ובאותו מסלול בין אם האנליזה תעשה במערכת

בהתאם לשיפועי המערכת האחת , v'-ולכן חייב להתקיים קשר בין הרכיבים . eבמערכת iv

) ביחס לשניה )i'eijσ י " עB-נובע מההסבר למעלה כי אפשר לבטא את מצב המאמצים ב.

'i המתיחס למערכת ij'σי " או ע,ieהמתיחס למערכת

ij

eואין יתרון לבחירה האחת על השניה .

i

i'i

( )ie

ij'σi'e .- וie ביןפוע היחסי יהתלוי בש, - לσכמו כן חייב להתקיים יחס בין

ie :מתקיים, ))1-15( ,) 1-14( ות משווא (בדומה להגדרת וקטורי המאמץ על מישורי

(1-32)

⋅=σ→σ=

⋅=σ→σ=

jiijiijj

jiijiijj

'T'e''e''T

TeeT

1- 18

ijσe2' בעזרת ביטויי המאמץ - לijσנוכל לקבל את היחס בין

, (1-24)אה הנורמאלי ומאמץ הגזירה שבמשוו

'e s. 2'e- ל- וn- לeי הצמדת "וזאת ע 1'2

'12σ 'e' 1σ 11

σ 11θ

e

:התוצאה

(1-33)

θσ−θ

σ−σ

−σ+σ

=

π

+θσ≡σ

θσ+θ

σ−σ−=θτ≡σ

θσ+θ

σ−σ

+σ+σ

=θσ≡σ

2sin2cos222

'

2cos2sin2

)('

2sin2cos22

)('

1222112211

22

122211

12

1222112211

11

MPa 00005322000200440

MPa 8.280 ; MPa 2.691 21 =σ=σ

00 5.51 ; 5.38 =θ−=θ

1

או (1-21) למצב מאמצים מישורי מתאימות (1-33)שימו לב כי משוואות הטרנספורמציה

.(1-22)" ורי מוכללמיש"

דוגמא למאמצים וכיוונים ראשיים

: י טנזור המאמצים"מצב המאמצים בנקודה נתון ע

.מאמצים וכיוונים ראשיים: דרוש

: פתרון

,: מתקבלים המאמצים הראשיים(1-27)ממשוואה

: מתקבלים הכיוונים הראשיים((b)1-25)ממשוואה

2σ מציבים בנוסחת הטרנספורמציה , - ואיזו לσ -מאחר ואיננו יודעים איזו זווית שייכת ל

)5.51(MPa 2.691.05 : ומקבלים)51נניח ( הראשונה את אחת הזוויות (1-33) 0'11 =σ

1 והכיוון הראשי בו פועל , 51 הוא σהכיוון הראשי בו פועל : המסקנה 05.2σ 05.38 הוא−

--------------------------------------------

112σ

σ22

1- 19

"קוסינוסי כוון"נגדיר תחילה מקדמי , (3D)רה הכלל בכדי לקבל נוסחאות טרנספורמציה למק

בין המערכות irAieו -: i'e

(1-34) )x;'xcos(e'eA ririir =⋅=

במערכת קשור לקואורדינטההאינדקס הראשון של , שימו לב כי על פי הגדרתנו

.תג קשור לקואורדינטה במערכת ללא ) (rוהאינדקס השני

irAi'e

( )re

irA : נקשור את שתי המערכותבעזרת

(1-35) ( ) rirrrii eAee'e'e =⋅=

:(1-16) בעזרת tנבטא את

(1-36) )en(enete)n;(t srsrsrsrrr ⋅σ=σ==σ

'j :(1-35)- ו (1-36) - נקבל מn בכוון eואם נבחר את

(1-37) jsrsrsjrsrjj Ae)e'e(e)'e;(t'T σ=⋅σ=σ=

:(1-32)- ב(1-37)הצבת

(1-38) ( ) Tsjrsirjsrsirjsrsriij AAAAAe'e' σ=σ=σ⋅=σ

σσσσσσσσσ

=

σσσσσσσσσ

332313

322212

312111

332313

232212

131211

333231

232221

131211

332313

232212

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

'''''''''

:ובצורת מטריצות

(1-39)

1- 20

:מימדית- נוסף של טרנספורמציה דותאור גרפי

12σ

12σ11σ

22σ

22σ

11σ

12σ

12σ

1e

2e

1e

2e

1T

1T−

2T−

2T

'1e '

2eθ

'22σ '

12σ

'11σ '

12σ

'11σ

'12σ

'22σ

'12σ

'1e

θ

'2T

'1T−

'1T

'2T−

'2e

B B

' 'σ

שימו לב כי מאמצי הגזירה על פאות סמוכות

לפינההניצבות זו לזו פועלים או בכיוון

").זנב אל זנב"או " ראש אל ראש(", מהפינהאו בכיוון

)נהוג גם להגדיר פאה שהניצב אליה )nבכוון

. בכוון שלילי הפאה מוגדרת כשליליתnואם , "אה חיוביתכפ"חיובי

e. iמכוונים בכוון הצירים , מאמצים חיוביים הפועלים על פאה חיובית

−ie .מכוונים בכוון הצירים , מאמצים חיוביים הפועלים על פאה שלילית

22σ

11σ

12σ

12σ

22 11σ

2-1

(strains)עיבורים : 2פרק

מבוא) 2-1(

כ את מקומה "כל נקודה בגוף משנה בד) מומנט, כוח(כאשר מפעילים על גוף כלשהוא עמס

ופעמים ) דינמיקה(כמו במקרים בהם הגוף אינו קשור למקומו , לפעמים ההזזות גדולות. במרחב

).חוזק-טיקהסט(ההזזות קטנות מאוד עד כדי כך שאינן ניתנות להבחנה בעין

כ במסלול הגוף במרחב ומתעלמים מהמאמצים "מתרכזים בד) דינמיקה(במקרה הראשון

במקרה השני ). מאמצים מהאינרציה-למשל(הפנימיים המתעוררים בגוף בעקבות התנועה

. הבעיה המרכזית היא המאמצים המתעוררים בגוף בעקבות העומס החיצון) חוזק-סטטיקה(

. ר תאוריות חוזק שונות בכדי לקבוע האם הגוף יעמוד בעומס או יכשלמאמצים אלו נבדקים לאו

במסגרת הקורס הנוכחי אנו . לאור שיקולים אלה קובעים את מימדי הגוף כך שיעמוד במאמצים

.כהכנה לתכן, לומדים כיצד מחשבים מאמצים בבעיות אופיניות

שגרמו למצב מאמצים ,טפלתם בשני מקרים פשוטים של העמסה" 1מכניקת מוצקים "בקורס

:פשוט

מתעורר מאמץ מתיחה נורמאלי אחיד על פני. F בכח Aמתיחת מוט בעל חתך רוחבי .1

י " שעוצמתו נתונה ע,החתך AF

=σ

p

.

. Tבמומנט פתול , Iבעל מומנט אינרציה פולרי , פתול מוט בעל חתך רוחבי עגול .2

ממרכז rועוצמתו תלויה במרחק , מאמץ גזירה המשתנה באופן לינארי על פני החתךמתעורר

החתך

rIT

p

=τ

.בשני המקרים חישוב המאמץ אלמנטרי ואינו דורש חישובי הזזות וסיבובים

חישוב המאמצים ) ריתומים בשני הקצוות-למשל (ל מאולצים בקצותיהם "כאשר המוטות הנ

בהמשך נפגוש מקרים נוספים המחייבים חישובי ). וסיבוב(מוקדם של הזזות מחייב חישוב

).בעיות סטטיות לא מסוימות(הזזות

ובעזרת , סיבה נוספת לעסוק בהזזות המתרחשות בגוף עמוס היא היכולת למדוד אותן במעבדה

בהעמסות מורכבות יכולת זו בעלת. על גודל המאמץ) מדודה(המדידה לקבל אינפורמציה

.מאחר ואין אפשרות פשוטה למדוד מאמץ באופן ישיר, חשיבות רבה

צירי-עיבור חד) 2-2(

ונתווה את הדרך להרחבת " 1מכניקת מוצקים "בסעיף זה נחזור תחילה על חומר שנלמד בקורס

.נושא העיבורים והקשר בינם לבין הזזות

2-2

x∆xn∆=l

X∆

XnL ∆=

1iu −

iu1iu +

1 2 3 4 5 i i+1 n F F

1 3 4 5 n 2

i i+1

כאשר הכח מופעל . רכותו גורמת להתאF בכח (A)מתיחת מוט בעל חתך רוחבי אחיד , כאמור

מאמץ המתיחה , בקצה המוטAF

=σX∆

X∆

X∆

x∆x

X

לאורך המוט וכל קטע , אחיד לאורך כל המוט

.מתארך באותה מידה כמו שכנו

.(b) ואחריו (a)מתואר המוט לפני הפעלת העמס ) 2-1(בציור

(a)

(b)

. אחרי הפעלת העמס (b), לפני הפעלת העמס(a). מוט במתיחה): 2-1(ציור

ושטח חתך Lאורך המוט . קטעים בעלי אורך אחיד nלפני הפעלת העמס מסמנים על המוט

הופך קורי אורך כל קטע מ, l המוט מתארך לאורך חדש Fלאחר הפעלת העומס . Aרוחבי

, קבוע∆מאחר ומאמץ המתיחה על פני כל הקטעים . ושטח החתך הרוחבי קטן קמעה, -ל

. זהה להתארכות יתר הקטעים בעלי אותו אורך∆סביר להניח כי התארכות כל קטע

∆X . הקטעים באורך nת המוט כולו שווה לסכום ההתארכות של התארכו

ku

נווכח כי ההזזות , של כל קו המתאר חתך רוחבי במוט(displacement) אם נתבונן בהזזת

)בהנחה שהקצה השמאלי של המוט קבוע . שונות מחתך לחתך )0u 0 =ku ת החתכים הזז,

של המוט כגודל המתאים ההתארכות היחסיתהבחנה זו הובילה להגדרת . גדלk-עולה ככל ש

, לתאר את הדפורמציה במוט

( )Xu

Xuu

XXuuX

XXx

XnXnxn

LL i1ii1i

∆∆

=∆−

=∆

∆−−+∆=

∆∆−∆

=∆⋅

∆⋅−∆⋅=

− ++l (2-1)

.εהתארכות יחסית זו הוגדרה בסמסטר הקודם כעיבור

(2-2) Xu

∆∆

=ε

2-3

הגדרת , ∆- אחידה ושווה לכאשר התארכות כל קטע , במקרה הפשוט של מתיחת המוט

נלקח ' 1מוצקים 'למעשה ב (מבלי להגביל את אורך האלמנט , מתאימה(2-2)במשוואה

).L - כאורך המוט כולו ורך הא

X∆uε

X∆

X∆

X∆

מוט תלוי אנכית בשדה -למשל (כאשר העומס משתנה מחתך לחתך , במקרים מורכבים יותר

תשתנה אף היא על פי מיקום התארכות הקטעים , )ויטציה ועמוס במשקלו העצמיוהגר

י לקיחת אלמנטים " בכל חתך לאורך המוט עεדיר את במקרה כזה יש להג. החתך לאורך המוט

X ; קצרים מאוד∆

(2-3) dXdu

Xu

im0X

=∆∆

=ε→∆l

-מודל יאנג ( בעזרת מקדם קשיחות של החומר σ למאמץ εבהמשך נרשום קשר בין העיבור

E.(

(2-4) ε=σ E

כאשר גוף . לחיצה של מוט/מתיחה: מתיחסות להעמסה פשוטה מאוד(2-4), (2-3)משוואות

מצב המאמצים בכל נקודה , ובנוסף צורתו אינה פשוטה כצורת מוט, עמוס בצורה יותר מורכבת

סביר להניח כי גם . מציםכפי שנלמד בפרק הקודם על מא, יכול לכלול מאמצים בכוונים שונים

.את המשך הפרק נקדיש לנושא זה. (2-3)-הדפורמציות תהיינה מורכבות יותר מהרשום ב

דפורמציה תלת מימדית) 2-3(

בסעיף הקודם ראינו כי הגודל הרלוונטי לחישוב מאמצים הוא לא הזזת הנקודה אלא נגזרת

בוסס על ערכי הפונקציה בנקודות כידוע תהליך גזירה מ. י קואורדינטת המקום"ההזזה עפ

, (P) בחומר באמצעות הזזת נקודה סמוכה אליה (Q)לפיכך נרשום הזזת נקודה , סמוכות זו לזו

.י שימוש בטור טיילור"ע

1x

ix

Q,

'Q,'

:מקרא

. מערכת צירים קבועה במרחב-

P - ישתי נקודות סמוכות בגוף במצב התחלת

P -במצב הסופי, שתי הנקודות הסמוכות

puu P וקטור הזזת הנקודה - ≡

Quud ≡+u - וקטור הזזת הנקודה Q

דפורמציה של גוף עמוס): 2-2(ציור

A- מ) אינפיניטסימלי( וקטור-Pל -Q ,לפני הפעלת העומס.

'Q

2x

P′

uduu Q +=

A

AdAA +=′

uu P ≡

3x

Q P

'A- מ) אינפיניטסימלי( וקטור-P'ל -Q' ,אחרי הפעלת העומס.

2-4

בכדי להימנע מהתעסקות בבעיות לא רלוונטיות לעניננו , הדיון מתקיים בשדה הזזות רציף וגזיר

).כגון היווצרות סדקים או דחיסת מספר נקודות חומריות שונות לנקודה אחת(

:ורת לטור טיילורתזכ

הוא גודל h( ונגזרותיה f(x)י הפונקציה "ע, התלויה במשתנה אחדf(x+h)תיאור פונקציה -

). קטן מאוד

elementsorder higher....hdx

fd!2

1hdxdf)x(f)hx(f 2

2

2

+

+

+=+

ונגזרותיה x(u(י הפונקציה "ע, התלויה במשתנה וקטוריu)A+x(תיאור פונקציה וקטורית -

)Aהוא וקטור מרחק קטן מאוד .(

elementsorder higher....Axu)x(u)Ax(u j

j

+

∂∂

+=+

: ופתוח טור טיילורPי הזזת " מבוטאת עQהזזת הנקודה

+ איברים מסדר גבוה (2-5)

∂∂

+=+= j

PjPPQ A

xuuuduu

פרט , מכאן והלאה נדון בגרדיאנטים קטנים של שדה ההזזות ולכן נזניח את כל האיברים בטור

.לנגזרת הראשונה

:(2-2)מציור

(2-6) AduA'Auu PPQ +=−+=

:(2-5) (2-6)השוואת מ

(2-7) j

pj

AxuAdud

∂∂

==

:ובצורת רכיבים

(2-8) jj

iii A

xudAdu∂∂

==

Q- וPהמיקום היחסי בין הנקודות הסמוכות , uשדה ההזזות השינוי בכתוצאה מ: במילים

-משתנה מ

i

Aשנוי באורך ובכוון( - ל.(! 'A

והגודל האחראי לשנוי זה הוא גרדיאנט ההזזות , (2-8)י "השינוי מוגדר עj

i

xu∂∂

ijε

ij

נבדוק כעת מה .

רכיב סימטרי : ותחילה נחלקו לשני רכיבים , המשמעות הגיאומטרית של רכיבי הגרדיאנט

:ωסימטרי -ורכיב אנטי

2-5

(2-9)

44 344 2144 344 21ijסימטריאנטי

xu

xu

21

ijסימטרי

xu

xu

21

xu

i

j

j

i

i

j

j

i

j

i

−ω

∂

∂−

∂∂

+

ε

∂

∂+

∂∂

=∂∂

jiij jiij ε=ε ω−=ω

:(2-8)- ב(2-9)הצבת

(2-10)

( ){

( )321ω

ω+ε=

εii dA

A

dA

AdA jijjiji

( )

ε

idAij Q iA- לP בין לשנוי בוקטור ε תרומת -

( )ωiij dA - תרומת ω לשנוי בוקטור A בין Pל -Q i

ij

A לשינוי בוקטור ωתרומת )2-4(

ω−ω=ω+ω+ω=ω−ω=ω+ω+ω=ω−ω=ω+ω+ω=

ω

ω

ω

113232333232131)(

3

332121323222121)(

2

221313313212111)(

1

AAAAAdAAAAAAdAAAAAAdA

. משוואות3 נרשום במפורש (2-10)-מההגדרה ב

(2-11)

:ובצורה שונה

(2-12)

321

211332

321)(

AAA

eeeAd ωωω=ω

. מזכירה בטוי הקשור לתנועת סיבוב של גוף קשיח(2-12)משוואה

φd ,[ , ]dtdי וקטור סיבוב " ע,ωבמהירות זויתית , כאשר גוף מסתובב כגוף קשיח ω=φ

כתוצאה מהסיבוב A השנוי בוקטור . שנצייר בתוך הגוף הקשיח יסתובב אף הואA וקטור כל

dי המכפלה הוקטורית" נתון ע. )(A φ

2-6

(2-13)

321

321

321)(

AAAdddeee

AdAd φφφ=×φ=φ

ij

י" הם רכיבי וקטור הסיבוב המוגדר עωורכיבי , מראה מבנה זהה(2-13)- ל(2-12)השוואת

(2-14) 321213132 eeed ω+ω+ω=φ

ijω . אחראי לסיבוב הגוף כגוף קשיח: מסקנה

1e

2e

AA

′A

3eφ

φd

d

דוגמא

במקרה פשוט (2-13)נדגים את האמור במשוואה

.של דיסקה מסתובבת

φd עור ידיסקה סובבת סביב צירה בש

(a) 3edd ⋅φ=φ

A: 'Aרכיבי הוקטור . כמתוארAd הוא - לA וההבדל בין - יסתובב לAהקו 'A

(b) 21 esinAecosAA φ+φ=

:(2-13)- ל(a) (b)הצבת

(c) ( )21

dA

321

ecosesindA0sinAcosA

d00eee

AdAd ⋅φ+⋅φ−φ⋅=φφ

φ=×φ= 321

φ

φd

Ad

A

′Aφ

φ

:נגדיל את הציור של סיבוב הוקטור

Adרואים כי אכן וקטור השינוי

(c)זהה לבטוי

Adφ

φsindA

φcosdA

2-7

ijεA לשינוי בוקטור תרומת ) 2-5(

ij :(2-9)על פי משוואה , במפורשεם את רכיבי נרשו

(2-15)

+=ε=ε

+=ε=ε

+=ε=ε

)uu(21u

)uu(21u

)uu(21u

3,11,3313,333

2,33,2232,222

1,22,1121,111

: כאשרj

ij,i x

uu∂∂

≡

ij

112233 ,,

מבטאים דפורמציות הקשורות לשינויי אורך של סיבי חומר ולשינויי צורה של εנראה כי רכיבי

נתחיל במשמעות ). או מכדור לאליפסואיד, וע למעויןהפיכת צורת אלמנט חומרי מרב(החומר

εεε הרכיבים עם שני אינדקסים שווים

11ε משמעות ) 2-5.1 (

) )אינפיניטסימלי(נתון וקטור )0,0,AA 1

1x

המתאר אלמנט חומרי המקביל

.פורמציה לפני הד- ל

( )321 u,u,uu וקטור הזזת הנקודהP.

( )321 du,du,duud תוספת הזזה בנקודה סמוכהQ . דפורמציה של סיב ): 3-2(ציורA

P

2x

3x

1x

uudu +

A

A′P′ Q′

Q

( )3211 du,du,duA' +A וקטור המתאר אתA

idu

1x1

1x

===

11,33

11,22

11,11

AuduAuduAudu

. לאחר הדפורמציה

כאשר מתחשבים רק , בעזרת פיתוח טור טיילור אפשר לבטא את רכיבי תוספת ההזזה

!).מניחים גרדיאנטים קטנים(באיבר הראשון בטור

ולכן בפיתוח טיילור) Aבשעור (משתנה רק הקואורדינטה Q - לPבמעבר מהנקודה

.-מופיעות רק נגזרות ביחס ל

(2-16)

2-8

:י" נתון עAשינוי האורך היחסי של האלמנט החומרי

(a) A

A'A −

:A'נחשב את אורך האלמנט הסופי

( ) 23

22

211

2 dududuA'A +++=

idu (2-16)- מ י הצבת "ע

( ) ( ) ( )211,32

11,22

11,112 AuAuAuA'A +++=

(b) ( )21,3

21,2

21,11,1

21

2 uuuu21A'A ++++=

1u j,i

>> חזקות(b)-אפשר להזניח ב, , מאחר ודנים בדפורמציות עם גרדיאנטים קטנים

j,iu :ולקבל, ביחס למעלה ראשונה ממעלה שניה של

(c) 1,11 u21A'A +=

: לפי הבינום נותן(c)פיתוח

(d) ( )1,112

1,11,11 u1Au!2

1u1A'A +≅

+++= K

1AA : נותנתכאשר זוכרים כי , (a)- ב(d)הצבת =

(2-17) 111,1uA

A'Aε==

−

11ε1x

11ε

2x3x22ε

2x33ε

:ובמילים

. לפני הפעלת העומסומרי אשר הקביל לציר הוא ההתארכות היחסית של סיב ח) החיובי(

. משמעותו התקצרות יחסית של אותו סיבערך שלילי של

מוביל לקביעה כי ) לפני הדפורמציה (- וטיפול דומה בסיבים המקבילים לצירים

-ו, לפני הפעלת העומסהוא התארכות יחסית של סיב חומרי המקביל לציר ) חיובי(

3x . לפני הפעלת העומסהוא התארכות יחסית של סיב חומרי המקביל לציר ) חיובי(

2-9

) מהמאמצים (ים מתרחשים כתוצאה מהעומס המופעל על החומר שינויי האורך של הסיב

ובהמשך נמצא את הקשר בין

ijσ

ijεו -. ijσ

בנקודה חומרית והפועלים " לייםא נורממאמצים" המתארים , 11σ ,22σבדומה למאמצים

בנקודה " עיבורים נורמאליים" הם , 11ε ,22εכך גם , מישורי הצירים בהתאמה3על

יחסית של סיבים חומריים העוברים בנקודה ) התכווצות(המתארים התארכות , חומרית

ix . בהתאמהירים ומקבילים לצ

33σ

33ε

≠i. j כאשר ijεכעת נעבור לבדיקת משמעות הרכיבים

B

D

2x C′ D′

A′

C′

B

C

α

β

φ B′

1x

B′

C

A

12ε משמעות ) 2-5.2(

C- וB עוברים שני סיבי חומר Aמרית ודרך נקודה ח

12x

,

x ).לפני הדפורמציה( בהתאמה - והמקבילים לצירים

- ו'- זזים לC- וBהסיבים , בעקבות העומס B'כמתואר . C

.B ,C דפורמציה של זוג סיבים ניצבים ): 4-2( ציור

התכווצות סיבים / יכולה לכלול התארכותAבדרך כלל הדפורמציה של האזור בגוף סביב

אך גם , )עיבורי גזירה(ויות בין סיבים ניצבים זה לזה והגדלת ז/והקטנת) לייםאעיבורים נורמ(

.סיבוב כגוף קשיח שאינו קשור במאמצים בחומר

נניח שאין סיבוב גוף קשיח ונתרכז רק בדפורמציות הקשורות במאמצים בגוף בהמשך הדיון כאן

.בורים שהם גורמיםיובע

: סימון

) 1x -סיב מקביל ל )0,0,BB 1

) 2x -סיב מקביל ל )0,C,0C 2

) דפורמציה לאחר הBהסיב ) ( )3211321 dB,dB,dBB'B'B,'B,'B'B +←

) לאחר הדפורמציה Cהסיב ) ( )3221321 dC,dCC,dC'C'C,'C,'C'C +←

iidC

השינויים בוקטורים (- והערכים dBBו -C

ij

, (2-10)ה י משווא"נתונים ע) בהתאמה

.ω=0כלומר , לאחר שמניחים כי אין סיבוב גוף קשיח

2-10

jiji BdB ε= jiji CdC ε=

:ובפרוט מלא

232

222

212

CCC

ε=ε=

3

2

1

dCdCdC

1313

1212

1111

BdBBdBBdB

ε=ε=ε= ε=

:נותנת C'-וiidC'B בי הוקטורים ברכי- וdBהצבת

(2-18)

2C)

1313

1212

1111

B'BB'B

B)1('B

ε=ε=

ε=ε+=

ε=

2323

222

2121

C'C1('C

C'C

ε+=

לפני - ו1eשהקבילו לצירים , C- וBוית הישרה בין הסיבים וכעת נראה כי הקטנת הז

.2ε-שווה ל, הדפורמציה

2e

12

- ו'לשם כך נרשום את המכפלה הסקלרית של B'בשתי שיטות : C

(a) ( ) ( )[ ] 21323122211211ii CB11'C'B'C'B εε+ε+ε+εε+==⋅

(b) ( )[ ] ( )[ ] φε+ε++εε+ε+ε+=φ=⋅ cosC1B1cos'C'B'C'B 2

2/1232

222

2121

2/1231

221

211

ijε

( )[ ] [ ]

:(b)נבצע קרובים אחדים באיברים המופיעים במשוואה , קטנים מאוד ביחס ליחידה-מאחר ו

(c) [ ] 112/1

112/12

31221

21111

2/1231

221

211 121211 ε+≈ε+≈ε+ε+ε+ε+=ε+ε+ε+

( )[ ] 22

2/1232

222

212 11 ε+≈=ε+ε++ε KK

(d)

:נותנת (a)- והשואה ל(b)- ב(d) (c)הצבת

2-11

( ) ( ) ( )( ) φε+ε+=εε+ε+ε+εε+ cos1111 2211323122211211

(e) ( ) φεε+ε+ε+=εε+εε+εε+ε+ε cos1 221122113231222112112112

1<<φ

ונשאר עם ) cosזכור כי גם (את כל האיברים הקטנים מסדר שני ושלישי (e)-נזניח ב

:הקשר

)()sin()(2

coscos2 122112 β+α≈β+α=

β+α−π

=φ=ε=ε+ε

12

:εוית הישרה שווה לפעמיים והקטנת הז: כלומר

(2-19) )(21

12 β+α=ε

12ε

וית הישרה בין שני סיבי חומר שהיו מקבילים ו הקטנת הזלמחצית הוא עיבור גזירה השווה

2 . לפני הדפורמציהe- ו1eלכוונים

פני ל- ו1eוית הישרה בין שני סיבים שהקבילו לכוונים ובאופן דומה יכולנו לחשב הקטנת הז

, - ו2e-ל לגבי סיבים שהקבילו ל" וכנε 2 -ווכח שההקטנה שווה ליהדפורמציה ולה

.2והתוצאה

3e

133e

23ε

, רת את מצב העיבורים בכל נקודה בחומר המתא היא מטריצה סימטרית : סיכום

הם העיבורים הנורמאליים והאיברים משני צידי האלכסון ε)כאשר האלכסון

הוסברה לית של כל אחד מרכיבי אהמשמעות הפיזיק. הם עיבורי הגזירה

. (2-5.1) (2-5.2)בסעיפים

( )23ijε

ii

13 ,ε12 , εε

ijε( )33×

)332211 ,, εε

ε משמעות) 2-5.3(

332211ii .שווה לשינוי נפח יחסי נראה כי סכום רכיבי האלכסון ε+ε+ε=ε

ie . וקטורים ניצבים3י "המוגדרת ע, נתבונן בקוביה המקבילה לצירים

321 ecc;ebb;eaa ===

V = abc :הנפח לפני הדפורמציה

2-12

c′

b′a′

δ

a'b'c' :-לאחר הדפורמציה משתנים הוקטורים המקוריים ל

) -הופך ל a האורך )a1 11ε+

) -הופך ל b האורך )b1 22ε+

) -הופך ל c האורך )c1 33ε+

.קוביה חומרית לאחר הדפורמציה): 2-5(ציור

- הופכת לb- לaין וית הישרה בוהז

ε−π

1222

) קטנה אך במעט' b' למישור של cית בין והזו ) a δמ -2π

. '

:('V) וביה במצב המעוותנפח הק

(a) )cos(22

sin'c'b'a'V 12 δ

ε−π

=

:(a)-נבצע הקרובים הבאים ב

( )( )( ) ( )abc1abc111'c'b'a1)cos(

122

sin

332211332211

12

ε+ε+ε+≈ε+ε+ε+=≈δ

≈

ε−π

:(a)-ולאחר הצבה ב

(b) ( )3322111V'V ε+ε+ε+=

:י"שנוי הנפח היחסי מוגדר ע

(2-20) ( )

332211332211

V11V

VV'V

ε+ε+ε=−ε+ε+ε+

=−

.ל.ש.מ

132-

טרנספורמציה של עיבורים) 2-6 (

ולאחר מכן הראינו ijε-הגדרנו את החלק הסימטרי של גרדיאנט וקטור ההזזה כ) 2-9(במשוואה

.ke מבטאים עיבורים נורמאליים ועיבורי גזירה בכווני הצירים ijεשרכיבי המטריצה

)חרנו לעבוד במערכת צירים אחרתאילו ב )'el , יש להניח כי רכיבי העיבורים המבוטאים במערכת

עם תג

′ε ij היו בעלי ערך שונה מרכיבי העיבורים במערכת ללא תג ( )ijε . מצב "אבל

למערכת חדשה keלפת מערכת הייחוס בנקודה הנדונה לא היה משתנה על ידי הח" העיבורים

′le . מטרת סעיף זה לבדוק את הקשר בין רכיבי העיבוריםijε לרכיבי העיבורים במערכת שונה

′ε ij ,באותה נקודה חומרית.

נפתח כעת , x ביחס לוקטור המיקום uקטור ההזזה י גזירת ו"מאחר והעיבורים מתקבלים ע

)ביטויים הקושרים רכיבי וקטור במערכת אחת )ie לרכיבי וקטור במערכת אחרת

′

je.

: מבוטא בשתי המערכותuוקטור

(2-21) jjii 'e'ueuu ==

- ובie-י הכפלת שני אגפים ב"הקשר בין הרכיבים בשתי המערכות מתקבל ע′

jeבהתאמה ,

). 1-34(ושימוש בהגדרת קוסינוסי הכוון ממשוואה

ie: ijjii-הכפלה ב e'e'uueu ⋅==⋅

(2-22) jjii 'uAu =

-והכפלה ב′

je: jkkjj 'eeu'u'eu ⋅==⋅

(2-23) kjkj uA'u =

לפיכך . קיימים לגבי כל וקטור ולא רק לוקטור ההזזה, הם כלליים(2-23)- ו(2-22)הביטויים

.xאפשר לרשום ביטוי דומה לוקטור המיקום

(2-24) 'xAx jjii =

142-

-כעת אפשר לחזור למטרתנו העיקרית ולרשום ביטוי ל′ε ij 2-22) (2-23( ולפתחו בעזרת משוואות (

)2-21.(

∂∂

+∂∂

=εi

j

j

iij 'x

'u'x'u

21'

( ) ( )

∂∂

+∂∂

=

∂

∂+

∂∂

=i

kjk

j

kik

i

kjk

j

kik

'xuA

'xuA

21

'xuA

'xuA

21

:נבצע את הגזירה לפי כלל השרשרת ונקבל

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=εi

kjk

j

kikij 'x

xxuA

'xx

xuA

21' l

l

l

l

' לפי lxגזירת jx) נותנת את קוסינוסי הכוון )) 2-24(ראהljA ,ומתקבל :

∂∂

+∂∂

=εl

l

l

l xuAA

xuAA

21' k

ijkk

jikij

ועל כן אפשר להחליפו בכל 3 עד 1-אינדקס כפול באותה מכפלה מעיד על סכימה מ, כידוע

ננצל אפשרות זו במכפלה הימנית של . כפול בעל שם אחראינדקס′ε ijונחליף , האחרון

:התוצאה המתקבלת . k- בlוהאינדקס , l- בkהאינדקס

(2-25) lll

l

l kjikk

kjikij AA

xu

xu

AA21' ε=

∂∂

+∂∂

=ε

הקושרת בין רכיבי העיבור , יה של העיבוריםהיא למעשה נוסחת הטרנספורמצ) 2-25(נוסחה

לרכיבי העיבור במערכת ieבמערכת 'ie.

כאשר עסקנו ) 1-38(לצורה שפגשנו במשוואה ) 2-25(צורת כתיבה שונה במקצת תביא את

:בטרנספורמציה של מאמצים

(2-26) Tjkikjkikij AAAA' llll ε=ε=ε

152-

:ת מטריצותובצור

(2.27)

εεεεεεεεε

=

εεεεεεεεε

332313

322212

312111

332313

232212

131211

333231

232221

131211

332313

232212

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

'''''''''

כל . התקבל כי נוסחת הטרנספורמציה לעיבורים זהה לנוסחת הטרנספורמציה של המאמצים

ומקבלים את , ijεברכיבי העיבור , )1-39(או ) 1-38(- בijσשעלינו לעשות הוא להחליף את רכיבי

).2-27(ו א) 2-26(

קיימת הקבלה בין טרנספורמצית עיבורים לטרנספורמצית , מובן כי גם במקרה הדו מימדי

:כדלהלן) 1-33(מאמצים והתוצאה מתקבלת ממשוואה

(2-28)

θε+θ

ε−ε−=ε

θε−θ

ε−ε

−ε+ε

=ε

θε+θ

ε−ε

+ε+ε

=ε

2cos2sin2

'

2sin2cos22

'

2sin2cos22

'

122211

12

1222112211

22

1222112211

11

או " סיעיבור גזירה הנד" בשם 122εבהרבה ספרים הנדסיים נהוג לקרוא למכפלה : הערה

) 2-28(יש להקפיד ולרשום בנוסחאות הטרנספורמציה . 12γ-ולסמנה ב, "עיבור הגזירה"בקיצור

!.עותמובילה לט) 2-28(- ב12γ- ב12εהחלפת . 12γ את ולא 12εאת רכיב הגזירה

.12εמשמעותו ) 1-2במישור ("עיבור גזירה" הקורס המושג במהלך

:סיכום

ijεכפי ש, הוא טנזור סימטרי מדרגה שניה המתאר את מצב העיבורים בנקודה-ijσ הוא טנזור

מתנהגים על )ε- וσ(שני גדלים אלו . קודהסימטרי מדרגה שניה המתאר את מצב המאמצים בנ

כוונים ", "עיבורים ראשיים"ולכן גם בעיבורים אפשר לדבר על , פי אותם חוקי טרנספורמציה

המשוואות שפותחו למאמצים מתאימים , בהקשר זה". עיבורי גזירה מכסימליים"ו, "ראשיים

.ijε ברכיבי ijσי החלפת רכיבי "ע, ריםגם לעיבו

2-16

שושנת עיבורים) 2-7(

המודבקים (strain gages)" מדי עיבורים"מקובל למדוד עיבורים על פני משטח חיצון של גוף באמצעות

כאשר . המהווה חלק מגשר ויטסטון, מד עיבור בודד מורכב מחוט דקיק מוליך חשמל. על גבי המשטח

שינוי . אורכו יחד עם החומר עליו הוא מודבקהחוט המודבק עליו משנה את, בגוף עמוס נוצרים עיבורים

שינוי המתח . אורך החוט גורם לשינוי בהתנגדותו החשמלית וזה מוביל לשינוי מתח הנמדד על פני הגשר

מד . כלומר לעיבור האורכי בכיוון בו הודבק מד העיבור, קשור לינארית בשינוי האורך היחסי של החוט

.בכיוון בו הוא מודבק) התארכות או התקצרות(ורכי עיבור בודד מודד איפוא עיבור א

מדביקים בה , על משטח חיצון של גוףכאשר רוצים לקבל אינפורמציה נוספת על מצב העיבורים בנקודה

שנוכל העיבורים ).1-2(נניח כי המשטח החיצון של גוף מקביל למישור . מספר מדי עיבור בכיוונים שונים

כאשר , בכוונים שונים) קרובים זה לזה( מדי עיבור 3יש להדביק לשם כך .)( בנקודה הם קבלל

חישובים אלמנטריים מאפשרים קבלת העיבורים . כל מדיד נותן את העיבור האורכי בכיוון הדבקתו

שני סוגים של שלישיות מדי עיבור המודבקים על מצע משותף והם נקראים קיימים בשוק . הדרושים

ובו כיוון המדידים (a ,2-6)סידור אחד מתואר בציור . (Rosettes)שושנות עיבורים

−90 . ובו כיוון המדידים הוא (b ,2-6)סידור שני מתואר בציור . הוא

122211 ,, εεε

oooo 120600 −−

21 x,ooo 90450 −−

oo 450 −

o0

o60 o120o0

oo90

1e

2e1'e

45

(b) (a)

שני סידורי שושנת עיבורים): 2-6(ציור

. xאפשר לחשב את העיבורים במישור ) 2-28(בעזרת הנוסחה הראשונה של

.כדוגמא נפתח הנוסחאות המתאימות לסידור

ooo oooo

ooo 90sin90cos22

)45( ; ; 12900900'

452290110 11ε+

ε−ε+

ε+ε=ε=εε=εε=ε

:והתוצאה

0011 ε=ε

(2-29) 09022 ε=ε

2

000

9004512

ε+ε−ε=ε

2-17

הקשר בין העיבורים , 0אפשר להראות כי בשושנת עיבורים מטיפוס , באופן דומה

:הנמדדים בכל אחד משלושת מדי העיבור לבין רכיבי העיבור הסטנדרטיים בנקודה הוא

ooo 12060 −−

3

3)(2

00

000

0

1206012

01206022

011

ε−ε=ε

ε−ε+ε=ε

ε=ε

(2-30)

:ערהה

). בדרך כלל זהו משטח ישר(מדי העיבור מודבקים על משטח חיצון של הגוף העמוס

, )1-2(אם המשטח החיצון מקביל למישור . מעומסים חיצונייםחופשי , אזור ההדבקה הוא משטח חיצון

0313233 : רכיבי המאמצים המתאפסים במשטח החיצון הם =σ=σ=σ

בפרק הבא ננצל אינפורמציה זו לקביעת . יבורים קיים מצב מאמצים מישוריבאזור מדידת הע, כלומר

.מאמצים ועיבורים באזור המדידה

3 - 1

עיבור-קשרי מאמץ: 3פרק

מבוא )3-1(

אשר גודלם תלוי , נוצרים בו גם עיבורים, )הגורם למאמצים(כאשר מפעילים על מבנה עומס

האחד עשוי פלדה והשני , אם נמתח שני מוטות זהים בצורתם, למשל. בתכונות החומר

מהעיבור ) בערך (3 כי העיבור האורכי במוט הפלדה נמוך פיכוחניוו, F כוחבאותו , אלומיניום

המתיחה תגדיל את העיבורים בשני המוטות באופן כוחהגדלת . האורכי במוט האלומיניום

מטרת פרק זה לדון בקשר בין המאמצים לעיבורים ולנסח חוק אשר ישמש . כוחפרופורציונלי ל

שר ואפ, קיימים חוקים שונים הקושרים מאמצים לעיבורים. אותנו בהמשך הלימודים והעבודה

מתחת לנקודת הכניעה או (או על פי רמת המאמצים ) פלסטיק, מתכת(לסווגם או על פי החומר

). בתחום הפלסטי–מעליה

המתאים בעיקר לתכן מכונות ומבנים מחמרים , אנו נגביל את הדיון לתחום אלסטי לינארי

:תוצאות מתיחת מוט יראו כך, בניסוי מעבדתי. מתכתיים

ε

σ

.צירית של מוט בתחום האלסטי לינארי-העמסה חד : )3-1(ציור

.אולם הדיון בכך נדחה לפרק הבא, העלאת העומס על המוט תגרום למצב לא אלסטי

אולם בנוסף לכך נוצרים עיבורים בכיוון ניצב לציר , 11ε גורמת לעיבור מתיחת מוט במאמץ

: םוערכ, המוטE11σ

ν1122 −=νε−=11σ

11

33ε=ε . לעיבורים השונים הבחנה זו והקשרים בין

אילו ). ε -כגון (לרכיבי עיבורים שונים ) σלמשל (מעידים על הקשר בין רכיב מאמץ

היינו , ים שכוונם שונה מכיוון ציר המוטמתחנו לא מוט מתכתי אלא מוט מחומר משוריין בסיב

מסקנת הנאמר . למרות שאין שם מאמץ גזירה, מגלים גם עיבורי גזירה על חתך רוחבי של המוט

במצב העמסה תלת , )בתחום האלסטי לינארי(כאן היא כי כאשר מדובר בחומר כללי ביותר

ijε .כמפורט בהמשך, עיבורים לרכיבי הקיימת תלות הדדית בין רכיבי המאמצים , מימדי

11σ

112233 ,, εε

ijσ

3 - 2

עיבור תלת מימדי–חוק מאמץ ) 3-2(

:קשר לינארי כללי ביותר בין מאמצים לעיבורים מבוטא בשתי המשוואות הבאות

)3-1( ll kijkij C ε=σ

)3-2( ll kijkij S σ=ε

lijk (stiffness)של החומר " מטריצת הקשיחות"הם רכיבי Cכאשר

lijk

lijkC

lijkS

εεεεεεεεε

=

σσσσσσσσσ

21

13

32

12

31

23

33

22

11

212121132132211221312123213321222111

132113131332131213311323133313221311

322132133232321232313223323332223211

122112131232121212311223123312221211

312131133132311231313123313331223111

232123132332231223312323233323222311

332133133332331233313323333333223311

222122132232221222312223223322222211

112111131132111211311123113311221111

21

13

32

12

31

23

33

22

11

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

819

(compliance)של החומר " מטריצת ההיענות" הם רכיבי S -ו

אפשר לחשב את רכיבי ) למשל(ואם יודעים , רכיבי כל מטריצה מבטאים תכונות של החומר

.C שהיא היפוך המטריצה את רכיבי

: משוואות היכולות להרשם כדלהלן9מיצגת )) 3-2(וגם ) (3-1(משוואה

×= .9: מספר הקבועים במקרה הכללי ביותר הוא 3 שפגשתם בקורסים קודמים היה עיבוריםעד כה מספר הקבועים הקושרים בין מאמצים ל

( של קבועים מופיע רק ) 81(מסתבר כי מספר עצום זה ? מה קורה עם יתר הקבועים. (

אם כי לא . במציאות קיימים אילוצים המקטינים את מספר הקבועים. במודל הכללי שהצגנו

.נראה חלק מהם, נעבור את כל שלבי הקטנת מספר הקבועים הרלוונטיים

E,G,ν

ij כ מספר "וע, ε רכיבי 6 - ל רכיבי 6 מכתיבה כי מספיק קשר בין - וσסימטריה של -

הקבועים הדרוש הוא לא

ijσij

8199 .6 אלא ×=

ijε

366 =×

3 - 3

כפי (יה האלסטית ביחידת נפח בחומר המבטאת את האנרגקיומה של פונקציה סקלרית -

, י הכפלת רכיבי המאמץ ברכיבי העיבור המתאימים "ע, )4שיפותח בפרק

ונובע מכך כי מספר : מוביל למסקנה כי רכיבי מטריצת הקשיחות סימטריים

כאשר , מכל צד שלו15האלכסון ועוד קבועים לאורך 6 (21-הקבועים הבלתי תלויים יורד ל

).קיימת סימטריה משני צידי האלכסון

ijkijk CC ll =

εσ= ijij2

1U

ijklC

klεijε

המקדמיםכוחהו סימטרית מאחר והאנרגיה האלסטית היא פונקציה סקלרית של : ת

לאחר מכן נשתמש . ij ; kl, "שונים"נרשום אותה באמצעות אינדקסים , מצב המאמצים

. עם וף נחליף את סדר כתיבת העיבורים ולבס(3-1)במשוואה

klijijklijklklijklijklijijklijkl

klklijij

CC CCC =⇒εε=εε=εε

εσ=εσ

מישורי סימטריה 3. אפשר להראות שמספר הקבועים יורד, אם לחומר יש מישורי סימטריה

גבישים . חמר כזה נקרא אורתוטרופי. 9-ניצבים זה לזה מורידים את מספר הקבועים ל

.מסוימים הם דוגמא לחומרים אורתוטרופיים

". איזוטרופיה"לחמרים הסטנדרטיים בהם אנו משתמשים בחיי יום יום יש תכונה נוספת והיא

.תכונות החומר אינן תלויות בכוון: פרוש המושג

, מבדקים בעלי גיאומטריה זהה2ופי נחתוך מפח העשוי חומר איזוטר: דוגמא לחומר איזוטרופי

חות שווים ונבדוק וכעת נפעיל על שני המבדקים כ. אבל כל מבדק נחתך מכוון אחר בפח

.אם התארכות שני המבדקים שווה החומר הוא איזוטרופי. התארכותם

מתיחת מבדק שנחתך בכוון . לוח מחוזק בסיבים חד כווניים: דוגמא לחומר לא איזוטרופי

!) חובאותו כ(בעוד שמתיחת מבדק שנחתך בכוון ניצב לסיבים , התארכות קטנהנותנתהסיבים

. התארכות גדולהנותנת

2e

33σ

1e

3e

22σ

11σ

(3D)חוק הוק ) 3-3(

ליים א מאמצים נורמ3נפעיל על קוביה

.בזה אחר זה ונמדוד את העיבורים בכל שלב

3 - 4

11σ : תגרום לעיבוריםהפעלת .1

E

; E

11)1(11

)1(33

)1(22

11)1(11

σν−=νε−=ε=ε

σ=ε

22σ

: עיבוריםלתוספת תגרום הפעלת .2

ε

E ;

E22)2(

22)2(

33)2(

1122)2(

22

σν−=νε−=ε=ε

σ=

33σ : עיבוריםלתוספת תגרום הפעלת .3

E

; E

33)3(33

)3(22

)3(11

33)3(33

σν−=νε−=ε=ε

σ=ε

:וים לסכום העיבורים החלקייםוהעיבורים הסופיים יהיו ש

)33- (

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

σ+σν−σ=σ

ν−σ

ν−σ

=ε

σ+σν−σ=σ

ν−σ

ν−σ

=ε

σ+σν−σ=σ

ν−σ

ν−σ

=ε

221133221133

33

331122331122

22

332211332211

11

E1

EEE

E1

EEE

E1

EEE

.לייםאלעיבורים נורמ!) בחומר איזוטרופי(שימו לב כי המאמצים הנורמאליים גורמים

:והקשר הוא, תוליכפי שנלמד בפ, עיבורי גזירה יתקבלו כאשר על הקוביה יפעלו מאמצי גזירה

)3-3 ( G2

; G2

; G2

3131

2323

1212

σ=ε

σ=ε

σ=ε

12

המראה כי מאמץ נורמאלי בכוון אחד גורם לעיבור נורמאלי גם ) 3-3(בניגוד לחלק הראשון של

ולא משפיע על שני גורם לעיבור גזירה ) σנניח (מאמץ גזירה בכוון מסוים ; 3- ו2בכוונים

(הכוונים האחרים

12ε

23ε31 ).- וε

ε=σ . מס חד ציריו הוא מקרה פרטי בעוהקשר , (3D)היא חוק הוק המורחב ) 3-3(משוואה E

3 - 5

נראה . G - קבועים אלסטיים בכדי להגדיר הקשר בין מאמץ לעיבור 3לכאורה דרושים

ה כחדרך ההו. והשלישי תלוי בשניים האחרים, ם קבועים בלתי תלויי2כעת כי מספיקים

בכל , עם אותם קבועים אלסטיים, בחומר איזוטרופי מתקיים) 3-3(מתבססת על כך שחוק הוק

האחת ביחס המסובבות בזוית - ונתיחס לשתי מערכות צירים . מערכת צירים קרטזית

:לשניה כמתואר

E,,ν

ix'ixθ

'ix

θ1x

′1x

2x′2x

3x

: משוואות חוק הוק כשהיא מיוחסת למערכת 6-נרשום את אחת מ

(a) G2

'12'

12σ

=ε

'12ε'

12σ

ix

בעזרת העיבורים והמאמצים ) במצב מאמצים מישורי ( והמאמץ נבטא כעת את העיבור

).1-33(-ו) 2-28(י משוואות הטרנספורמציה "ע, ערכת במ

(b) θε+θ

ε−ε

−=ε 2cos2sin2 12

2211'12

(c) θσ+θ

σ−σ−=σ 2cos2sin

2 122211'

12

:י המאמצים כדלהלן" ע(b)נבטא את העיבורים שבמשוואה ) 3-3(בעזרת חוק הוק

(d) ( )[ ] ( )22113322331122112211 E1

E1

σ−σν+

=σ−σ−σ+σν+σ−σ=ε−ε

(e) G212

12σ

=ε

:נותנת (b)- ב(d) (e)הצבת

(f) θσ+θ

σ−σν+

−=ε′ 2cosG212sin

2E1

122211

12

'12σ'

12

: ונקבל לאחר צמצום(a)- ב(f)- מε- ו(c)-מכעת נציב את G21

E1

=ν+

( )

: ובצורה אחרת

)3-4( ν+

=12EG

3 - 6

אפשר לבטא את כל ששת משוואות חוק הוק בצורה ) 3-4(ם בעזרת הקשר בין הקבועים האלסטיי

:קומפקטית

)3-5( ijkkijij EE1

δσν

−σν+

=ε

ij

. זהיםijσ ושל εממשואה זו רואים כי הכוונים הראשיים של

כאשר כי נובע מכך . σונים הראשיים של הם הכונניח כי כווני הצירים : הכחהו

σ .של (אבל במקרה זהi

ixijji ≠

0ij =j≠ ( ממשוואה , לפיכך. לפי הגדרתוגם)גם , )3-5

ε כאשר i . 0 . הם הכוונים הראשיים של משמעות הדבר כיij =j≠ijε

ij

ix

0ij =δ

אפשר להפוך נוסחה זו . εנוחה לשימוש כאשר ידועים רכיבי המאמץ ומעונינים בחישוב ) 3-5(

:צים כפונקציה של העיבוריםולקבל את המאמ) קצת מסורבלות(י פעולות אלגבריות "ע

)3-6(

δε

ν−ν

+ε

ν+=σ ijkkijij 211

E

ijkkijij G2

:ובצורה מקובלת אחרת

)3-7( δλε+ε=σ

המסומן (Gהמקדם השני הוא מודול הגזירה ( Lamé הוא אחד משני מקדמי המקדם החדש

י האות "בספרי אלסטיות ע

λ

µ ( והקשר ביןλי" למודול יאנג ויחס פואסון נתון ע:

)3-8( )( )( ν−ν+

ν=λ

211E

.קשרים נוספים בין הקבועים האלסטיים מצויים בסוף חוברת ההרצאות והתרגילים

) " ול נפחימוד", נגדיר קבוע נוסף, בנוסף לקבועים האלסטיים שהכרנו עד כה )E,G,ν

,(bulk modulus) Kהמודול הנפחי קושר בין . ונראה את הקשר בינו לבין המודולים האחרים

י הלחץ "להקטנת הנפח היחסית הנגרמת ע, הפועל בנקודה חומרית(p)הלחץ ההידרוסטטי

).צירי להתארכות היחסית- הקושר בין מאמץ המתיחה החדEבדומה למודול יאנג (באותה נקודה

3 - 7

: י" נתון עpמאמצים בנקודה בה שורר לחץ הידרוסטטי שעוצמתו מצב ה

−

p000p000p

: י שליש סכום האלכסון"נתון ע" ההידרוסטטי הממוצעמאמץה"ברור כי

(g) p3

ii −=σ

אפשר להתיחס אליו כאל , ) כללימאמץאלא , הידרוסטטימאמץ אינו מאמץבמקרים בהם ה

שליש סכום האלכסון י "המוגדר ע" הידרוסטטימאמץ" האחד הוא : המורכב משני חלקיםמאמץ

)השני הוא מאמץ הסוטה מהמאמץ ההידרוסטטי ו, )של )ijs . למאמץ סוטה זה קוראים

. מצים שווה למאמץ הכללי המקוריברור כי סכום שני המא. "מאמץ דביאטורי"

)ijσ

)ijσ

:דוגמא פשוטה להפרדה זו במתיחה חד צירית נתונה להלן

σ−σ−

σ+

σσ

σ=

σ

0000002

31

000000

31

00000000

: ובמקרה זה החלק ההידרוסטטי הוא

σσ

σ

000000

31

:והחלק הדביאטורי הוא

σ−σ−

σ=

0000002

31sij

בה , בנקודה" עומס הידרוסטטי" החדש של כעת נוכל להגדיר את המודול הנפחי בעזרת המושג

.שורר מאמץ כללי

3 - 8

:יתן) 3-3(שימוש בחוק הוק . iiεי " נתון עכידוע שנוי נפח יחסי VV∆

(h) ( )[ ] ( )

σν−

=ν−σ=ε+ε+ε=ε3E

21321E1 ii

ii332211ii

הערך, כפי שהוסבר למעלה3

iiσ

( )

.דרוסטטי של המאמץ הוא החלק ההי

-ב (h)של הכפלת שני האגפים ii213

Eεν−

:Kמובילה להגדרת המודול הנפחי

)3-9( ν−

=εσ

=213

E3

Kii

ii ( )

4-1

קריטריוני כשל : 4פרק

מבוא(4-1)

לשבר החומר והפרדתו . א: מתכוונים בדרך כלל לאחת משתי אפשרויות, של חומרי מבנהכשלכאשר דנים ב

האפשרות הראשונה היא דרסטית וברורה ומתקימת בחומרים . לדפורמציה פלסטית. ב; )או יותר(חלקים לשני

האפשרות השניה פחות דרסטית ולפרקים קשה . ורת החדר כגון ברזל יציקה או זכוכית בטמפרטפריכים

מאחר ורוב חומרי המבנים . 'נחושת וכיוב, אלומיניום, כגון פלדותמשיכיםהיא קיימת בחומרים . לזהותה

.נקדיש להם את רוב הפרק הנוכחי, בהם אנו עוסקים שייכים לקבוצת החומרים המשיכים

ארי בין מאמץ לעיבור כל עוד המאמץ י מאופיינות על ידי קשר לינחלק ניכר מהפלדות המשמשות כחומרי מבנה

אם מנסים להעלות את המאמץ המופעל על החומר מתברר שנוצרות . (σy)אינו עולה על ערך קריטי מסוים

בכדי לאפשר טיפול . או שהוא עולה רק במקצת, מבלי שהמאמץ עולה כלל) ובלתי הפיכות(דפורמציות גדולות

הידוע בשם ) אידיאלי(נהוג להגדיר את התנהגות החומר על ידי מודל , מסוג זה בצורה פשוטהאנליטי בבעיות

מתיחה צירית של , לעומתו. (a.4-1)מתיחה חד צירית של חומר כזה מתוארת בציור . אלייאיד-אלסטי פלסטי

. כאשר החומר נשבר בהגיעו לנקודה העליונה בגרף, (b.4-1)חומר פריך מתוארת בציור

(a)

ε

σ

σy

ε yε

σ

(b)

. אלסטי פריך(b), אידיאלי- אלסטי פלסטי(a). מודלים להתנהגות חומר בהעמסה חד צירית : (4-1)ציור

כל שהיה עלינו לעשות הוא . אוריות כשליתלא היינו זקוקים ל, אילו עסקנו רק בהעמסות חד ציריות בלבד

לאות של תכונות והמצוי בטב( הנמדד במעבדה σyלמאמץ , להשוות את המאמץ הצירי השורר בחומר

אבל במציאות המצב שונה ובדרך כלל החומר . החומר לא יכשלσy -כל עוד המאמץ בחומר נמוך מ). פיזיקליות

כאשר על , תוליבמומנט פגם דוגמא אופיינית ראינו במתיחת קורה העמוסה . עמוס לא רק בכיוון חד צירי

השאלה העומדת בפנינו היא מה ההשפעה . (σ12) ומאמץ גזירה (σ11)אלמנט בתוך הקורה פועל מאמץ נורמאלי

, בכדי לענות על שאלה זו פותחו תיאוריות כשל. ההדדית בין רכיבי טנזור המאמץ בנקודה על כשל החומר

ככל שההתאמה בין התיאוריה להתנהגות החומר בתנאי העמסה . המתבססות על הנחות פיזיקליות שונות

מאמץ : בפרק הנוכחי נסקור בקצרה שלוש תיאוריות כשל. תרהתיאוריה מוצלחת יו, מורכבים טובה יותר

). וון מיזס(ואנרגית שינוי צורה מכסימאלית ; )טרסקה(מאמץ גזירה מכסימאלי ; )ראנקין(נורמאלי מכסימאלי

. רק האחרונה מניחה כי הכשל נקבע על ידי אינטראקציה בין רכיבי טנזור המאמצים בנקודה, מבין השלוש

4-2

וני כשל קריטרי(4-2)

(Rankine)מאמץ נורמאלי מכסימאלי . א

חומר נכשל כאשר מאמץ , על פי תיאוריה זו. קריטריון זה שימושי בעיקר לחומרים פריכים כגון ברזל יציקה

הוא למצוא את המאמץ , אם כן, תפקידנו. σyמגיע לערך הקריטי , על חתך כלשהו בנקודה הנדונה, נורמאלי

בכדי לקבוע מהו . מאמץ בנקודה מוגדר על ידי רכיבי טנזור המאמצים, כידוע. ההנורמאלי המכסימאלי בנקוד

המאמץ החיובי הגדול מבין . המאמץ הנורמאלי המכסימאלי יש לחשב תחילה את המאמצים הראשיים בנקודה

בערכו ( הקיים בנקודה והמאמץ השלילי הגדול ביותר הגדול ביותר המאמצים הראשיים הוא מאמץ המתיחה 3

שימו לב כי ערכם של . בנקודההגדול ביותר המאמצים הראשיים הוא מאמץ הלחיצה 3מבין ) חלטהמו

למרות שכל אחד מרכיבי טנזור , שאנו בוחרים באופן שרירותי,המאמצים הראשיים אינו תלוי במערכת הצירים

לוי במערכת למעשה אנו מצפים כי קריטריון כשל לא יהיה ת. המאמצים כן תלוי בבחירת מערכת הצירים

של באינוריאנטהקריטריון צריך להיות תלוי : במלים אחרות. הצירים שאנו בוחרים אלא רק במצב העומס

.המאמצים

אור יבמקרה כזה הת. מתאפס) σ3נניח (בהן אחד המאמצים הראשיים , בדרך כלל נעסוק בבעיות מישוריות

לכל מצב . (4-2)ריבוע כמתואר בציור יהיה σ1,σ2 הגרפי של הקריטריון במישור המאמצים הראשיים

כאשר הנקודה מגיעה . אין כשל, כל עוד הנקודה נמצאת בתוך הריבוע. מאמצים מתאימה נקודה במישור הגרף

.המודל שלנו אינו מאפשר מאמצים מחוץ לריבוע. לגבול הריבוע מתרחש כשל

−σ y

−σ y

σ y

σ y σ

σ 2

σ 3 = 0

1

(σ3=0)ון מאמץ נורמאלי מכסימאלי אור גרפי של קריטריית : (4-2)ציור

.σ3=0 במקרה המישורי בו )σ1,σ2 (להשלמת סעיף זה נרשום את הנוסחה לחישוב המאמצים הראשיים

( ) ( )

( ) ( )

σ+

σ−σ−σ+σ=σ

σ+

σ−σ+σ+σ=σ

212

2

221122112

212

2

221122111

21

21

21

21

(4-1)

4-3

(Tresca)מאמץ גזירה מכסימאלי . ב

סס על ההבחנה כי דפורמציה הוא מתב. קריטריון זה שימושי בעיקר לחומרים משיכים כגון פלדות ואלומיניום

לפיכך יש לחשב מהו מאמץ הגזירה הגדול ביותר הקיים בנקודה . פלסטית מתרחשת בהשפעת מאמץ גזירה

בפרק על אנליזה של . הגורם כניעה פלסטית בניסויי מעבדהτy)(בחומר ולהשוותו למאמץ גזירה קריטי

למחצית ההפרש בין המאמץ הראשי שוה כי מאמץ הגזירה הגדול ביותר בנקודה חומרית, מאמצים נלמד

משואות אותן יש ) שש(הקריטריון ירשם כשלוש , באופן כללי. הגדול ביותר לבין המאמץ הראשי הקטן ביותר

.לבדוק בכדי לקבוע האם מתרחש כשל פלסטי

τ=σ−σ±τ=σ−σ±τ=σ−σ±

⇒

τ=σ−σ

±

τ=σ−σ

±

τ=σ−σ

±

y13

y32

y21

y13

y32

y21

2)(2)(2)(

2)(

2)(

2)(

max (4-2)

τyיא על ידי ביצוע ניסוי פיתול של צינור דק דרך ישירה למדידתו ה. הוא מאמץ הגזירה הגורם לכניעה פלסטית

τ יופיע σאלא שבמקום המאמץ , (a.4-1)הגרף הקושר את מאמץ הגזירה לעיבור הגזירה יראה כמו ציור . דופן

.τyעל סמך הגרף ניתן לקבוע את ). γ הנדסיאו בסימון ( ε 12 יופיע עיבור הגזירהε11ובמקום העיבור הצירי

אנליזת מאמצים . σyהיא לבצע ניסוי מתיחה חד צירית ולקבוע את , ונוחה יותראך מקובלת, דרך עקיפה

שווה למחצית , )σ(המתעורר בחומר במתיחה חד צירית ) τ(אלמנטרית מראה כי מאמץ הגזירה המכסימאלי

מאמץ הגזירה הפועל על מישור , ) לכיוון המתיחה45º -ב(היות והכשל הוא כשל פלסטי . σ=2τ: מאמץ המתיחה

2τyנוכל להחליף איפוא את . σyהגורם לכשל והוא שווה למחצית מאמץ המתיחהτyהגזירה ברגע הכשל הוא

:קריטריון הכניעה ירשם כך. σy בגודל הנפוץ יותר (4-2)שבמשואות

(4-3)

σ=σ−σ±σ=σ−σ±σ=σ−σ±

y13

y32

y21

)()()(

σy. -יהיה נמוך מ ) 4-3(ה ההפרש בין כל זוגות המאמצים הראשיים במשווא, כאשר החומר לא מגיע לכניעה

החליףנהוג ל, בכדי לדעת פי כמה אפשר להגדיל את העומס על הגוף עד שיגיע להתחלת כניעה פלסטית

σy.ומשווים אותו למאמץ הכניעה ") אקויולנטי"מאמץ ( σeq - בσy כניעה את קריטריון הב

yeq . וףאפשר להגדיל את העומס על הג , אם σ<σ

yeq σ=σ .הגוף נמצא במצב של התחלת כניעה , אם

yeq σ>σ .העומס על הגוף גדול מהמותר ויש להקטינו , אם

4-4

את העומס על הגוף ) או להקטין(להגדיל ) או צריך(אפשר לקבוע פי כמה אפשר , n " מקדם בטחון"י הגדרת "ע

.תחלת כניעהבכדי להגיע למצב של ה

eq

ynσ

σ=

n=1פירושו התחלת כניעה ;n>1 פי )להגדילו ( פירושו אין כניעה ואפשר להכפיל את העומס n ;

.n-ב!) להקטינו(ומס העכפיל את יש לה , n<1אם

σ1,σהתאור הגרפי של הקריטריון במישור המאמצים הראשיים

−σy

.(4-3)נתון בציור ) σ3=0כאשר (2

−σy

σy

σyσ1

σ2

σ3 = 0

σ1−σ2 = −σy

σ1−σ2 = σy

קריטריון טרסקה) : 4-3(ציור

, כאשר מגיעים להיקף המצולע . אין כשל, כל עוד מצב המאמצים בחומר מתואר על ידי נקודה בתוך המצולע

כאשר סימני שני המאמצים הראשיים שווים זה , שימו לב כי ברביע הראשון והשלישי. מתרחש כשל פלסטי

ברביעים , לעומת זאת.קריטריון טרסקה נותן תחזית כשל כמו קריטריון המאמץ הנורמאלי המכסימאלי, לזה

קריטריון טרסקה חוזה כשל במאמצים , היכן שסימני המאמצים הראשיים הפוכים זה לזה, השני והרביעי

נוח לראות את השוני . נמוכים בהרבה ממאמצי הכשל החזויים לפי קריטריון המאמץ הנורמאלי המכסימאלי

.כמוסבר להלן, )(4-5) - ו(4-4)ציורים (ר בין הרביעים השונים על ידי רישום המאמצים הראשיים לאורך צי

(a) 321 σ>σ>σ

(b) 312 σ>σ>σ

yσ

1σ2σ03 =σσ

yσ

1σ 2σ03 =σσ

.מאמצים ראשיים ברביע ראשון במצב כניעה לפי טרסקה : (4-4)ציור

4-5

:ברביע הראשון

- ישווה ל(σ3=0)ביותר למאמץ הקטן (σ1)נקבל כשל כאשר ההפרש בין המאמץ הגדול ביותר : σ1>σ2אם

σy.

- ישווה ל(σ3=0) למאמץ הקטן ביותר (σ2)נקבל כשל כאשר ההפרש בין המאמץ הגדול ביותר : σ2>σ1אם

σy.

:ברביע השני

. σ3 הפוכים בסימנם זה לזה ונמצאים משני הצדדים של המאמץ המתאפס σ2 - וσ1כאן המאמצים הראשיים

. (4-5)כמתואר בציור , השליליσ1לבין , החיוביσ2ין במצב כזה ההפרש המכסימאלי הוא ב

.הסבר דומה קיים לגבי שני הרביעים הנוספים

σ 132 σ>σ>σ

yσ

1σ 2σ03 =σ

.מאמצים ראשיים ברביע שני במצב כניעה לפי טרסקה : (4-5)ציור

לפי , אמצים של כשלאלמנט של חומר הנמצא במצב מ, (4-6)בציור , לפני שנעבור לקריטריון הבא נתאר

מישור זה נוטה . τmaxהדפורמציה הפלסטית תתרחש על ידי החלקה במישור שעליו פועל . ברביע השני, טרסקה

.2 - ו1 לכיוונים הראשיים 45º -ב

> σ3

> σ2σ

1

σ3= 0

τmax = 1

2σy

σ1

σ2

.במצב כשל לפי טרסקה) ברביע השני(מאמצים על אלמנט : (4-6)ציור

4-6

(von Mises)אנרגית שינוי צורה . ג

והוא מתבסס על ההבחנה כי , מרים משיכים בהם הכשל הוא כשל פלסטיומתאים לח, כקודמו, ן זהגם קריטריו

החידוש בקריטריון הנוכחי הוא בהיותו . אינה גורמת לכשל פלסטי) לחיצה או מתיחה(העמסה הידרוסטטית

שפיעה על כשל המ, פרוש הדבר שיש אינטראקציה בין רכיבי טנזור המאמצים בנקודה. קריטריון אינטראקטיבי

. החומר

בדרך כלל בנקודה חומרית כולל )σ (מצב מאמצים, בדיון על המודול הנפחי , 3כפי שהוסבר בסוף פרק

(רכיבים של העמסה הידרוסטטית

ij

3iiσ

כדוגמא הוצג פירוק של מאמץ מתיחה חד ). sij(ה דביאטורית והעמס)

:לןצירית כדלה

σ−σ−

σ+

σσ

σ=

σ

0000002

31

000000

31

00000000

כי שינוי הנפח הקשור למצב המאמצים ,)3 בפרק (h)משוואה (על ידי שימוש בחוק הוק, אפשר להראות

. מתאפס-)הוא החלק הדביאטורי של טנזור המאמצים(המתואר בטנזור הימני שבנוסחה

על ידי הורדת הרכיבים של ,)sij(המאמצים הדביאטוריים טנזור נרשום כעת בצורה מפורשת את הגדרת

) s12, s23, s31(שימו לב כי רכיבי מאמצי הגזירה הדביאטוריים . העומס ההידרוסטטי מרכיבי המאמץ הכללי

σ(: 312312( למאמצי הגזירה המקוריים שווים , , σσ

kkijijij 31s σδ−σ= (4-4)

( )3322111111 31s σ+σ+σ−σ=

( )3322112222 31s σ+σ+σ−σ=

( )3322113333 31s σ+σ+σ−σ=

313123231212 s;s;s σ=σ=σ=

שקריטריון הכשל חייב להתבסס על , המסקנה מההנחה שהכשל אינו מושפע על ידי העמסה הידרוסטטית היא

.בלבד (sij)המאמצים הדביאטוריים

ת מבלי להתחשב וזא, הבחנה נוספת היא שחומר מגיע למצב כשל כאשר העומס עליו מגיע לעומס קריטי

טנזור המאמצים משתנים בהתאם למערכת רכיבי, כידוע. במערכת צירים שכל אחד יכול לבחור כראות עיניו

המסקנה הנובעת מכך היא . למרות שהעומס הגורם למאמצים נשאר ללא שינוי, הצירים שאנו בוחרים

4-7

אלא חייב להיות תלוי , ראישקריטריון הכשל אינו יכול להיות תלוי ברכיבי טנזור המאמצים באופן אק

אינוריאנטפונקציה כזאת נקראת . שאינה תלויה במערכת הצירים) הדביאטוריים( של המאמצים בפונקציה

כי שני האינוריאנטים הראשונים של טנזור , על ידי בדיקה, אפשר לראות). הדביאטוריים(של המאמצים

:המאמצים הדביאטוריים הם

ijij2ii1 ss21J;sJ ==

. אינו יכול להופיע בקריטריון הכשלJ1 ולכן J1=0 באינוריאנט הראשון מראה כי (4-4)הצבה ממשואה

f(J2)=0יהיה איפוא מהצורה , הלוקח בחשבון את הנקודות שהודגשו למעלה, הקריטריון הפשוט ביותר

: והפונקציה הפשוטה ביותר היא

const J2 = (4-5)

.לאחר שנציב בה את הערך המתאים לקבוע, von Mises היא למעשה קריטריון (4-5)משואה

σijפעם באמצעות ; sijפעם באמצעות רכיבי : בצורה מפורשתJ2נרשום את , לפני שנקבע מהו ערכו של הקבוע

. במערכת צירים ראשיתσijופעם באמצעות ; (4-4)לאחר שנשתמש במשואה ) במערכת צירים לא ראשית(

( ) 231

223

212

233

222

2112 ssssss

21J +++++= (4-6)

( ) ( ) ( )[ ] 231

223

212

21133

33322

222112 6

1J σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ= (4-7)

( ) ( ) ([ 213

232

2212 6

1J σ−σ+σ−σ+σ−σ= ) ] (4-8)

הניסוי הפשוט והמקובל . מתקבל בניסוי מעבדתי בו נקודת הכשל ניתנת לזיהוי ברור(4-5)הקבוע במשואה

ע של הקריטריון מתקבל על ידי הקבו. (a.4-1)הנותן תוצאה כמתואר בציור , ביותר הוא ניסוי מתיחה חד צירית

.(4-8) שבמשואה J2בביטוי של , השורר ברגע הכשל, הצבת רכיבי המאמץ

( )[ ] const31)0(00)0(

61J 2

y2

y22

y2 =σ=σ−+−+−σ= (4-9)

,מיזס-קריטריון ווןהמצב בו מתקבל כשל על פי את מגדירה למעלה J2הצבת הקבוע לביטויים השונים של

.בצירים לא ראשיים ובצירים ראשיים

4-8

ובשלבי התכן הראשוניים איננו יודעים לכוון את העומסים על המבנה כך שהמאמצים בו יגרמו להתחלת מאחר

ובדרך כלל הצבת המאמצים בנקודה בקריטריון וון מיזס תוביל לערך השונה מהקבוע ,כשל3

2yσ

נהוג לפיכך,

לא לערך הקריטי J2להשוות את 3

2yσ

. בדומה למה שנעשה בקריטריון טרסקה, אלא לערך אקויולנטי 3

2eqσ

eqσ , ולפיו קובעים האם ניתן להגדיל העומס או יש להקטינו מגדירים מקדם בטחון לאחר חישוב

.כפי שמפורט בדיון על קריטריון טרסקה

eq

ynσ

σ=

eq

:למקרה תלת מימדי, במערכת צירים כללית ובמערכת צירים ראשית, על פי קריטריון וון מיזס σחישוב

( ) 2eq

231

223

212

21133

23322

22211 3])()()[(

21

σ=σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (4-10)

2eq

213

232

221 ])()()[(

21

σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ (4-11)

:הקריטריון מקבל צורה פשוטה יותר, σ3=0המוגדרות על ידי , כאשר דנים בבעיות מישוריות

(4-12) 2eq

2122211

222

211 3 σ=σ+σσ−σ+σ

(4-13) 2eq21

22

21 σ=σσ−σ+σ

מתקבלת אליפסה הנוטה בזוית . (4-13)מתקבל על ידי שרטוט משואה σ3=0תאור גרפי של הקריטריון במישור

נקודות על היקף . נקודות בתוך האליפסה מתארות מצב ללא כשל. (4-7)כמתואר בציור , לצירים450של

.ת מצב כשלהאליפסה מתארו

−σ y

−σ y

σy

σyσ 1

σ2

σ3 = 0

מיזס-קריטריון וון): 4-7(ציור

4-9

.(4-8)ציור , לשם השואה נצייר את שלושת הקריטריונים בציור אחד

−σ y

−σ y

σy

σyσ1

σ 2

σ3 = 0

(a)(c)

(b)

;(Tresca) מאמץ גזירה מכסימאלי (b); מאמץ נורמאלי מכסימלי(a): שלושה קריטריוני כשל : (4-8)ציור

(c) אנרגית שינוי צורה מכסימאלית(von Mises).

למרות שבאופן מקורי הוא פותח על פי , שינוי צורה מוצג בדרך כלל כקריטריון אנרגית von Misesקריטריון

.של הקריטריון" הקשר האנרגטי"נביא כעת את , לשם השלמה. השיקולים שפורטו למעלה

אנרגיית עיבורים אלסטית (4-3)

הקשר בין רכיבי המאמץ לרכיבי העיבור . הפועל בנקודה חומרית גורם לדפורמציות סביב הנקודהמאמץ

. ותלוי בתכונות האלסטיות של החומר, הוא קשר ליניארי המבוטא בחוק הוק) ורמציותהמהווים מדד לדפ(

בכיוון ( ואינטגרציה של הכוח לאורך הדפורמציה שהוא גורם ,מכפלת מאמץ בשטח עליו הוא פועל שווה לכוח

מאחר ובדרך כלל המאמצים משתנים מנקודה . נותנת את העבודה שהושקעה ביצירת הדפורמציה)הכוח

עבודה זו נאגרת באלמנט החומר . נדון בעבודה הנעשית על אלמנטי חומר זעירים, קודה בגוף העמוסלנ

י הגורם החיצון "כפי שקפיץ מתוח אוגר בתוכו אנרגיה אלסטית שהושקעה בו ע "אנרגית עיבורים אלסטית"כ

ס במתיחה חד הנאגרת בקוביית חומר העמו, ליחידת נפח, נתחיל בחישוב אנרגיה אלסטית.שמתח אותו

.כיוונית

11σ11σ

e3

e2

e1

dx2

dx1

dx3

11σ :העמסה במאמץ

11 . כמתוארσ פועל מאמץ dx1 ; dx2 ; dx3על קובייה שמידותיה

. נתון אף הוא11εהגרף המתאר את הקשר בין המאמץ לעיבור

3211 : הכוח הפועל על האלמנט הוא dxdxσ111dxε : התארכות האלמנט בכיוון הכוח היא

11σ

11ε

י הכוח "שנעשתה ע, י השטח מתחת לקו ההעמסה"המיוצגת ע, העבודה

)dx)(dxdx( : היא, עד הגיעו לערכו הסופי21dW 1113211 εσ=

4-10

קבלת אנרגית יה מתיי חלוקת העבודה בנפח הקוב"ע. יהיעבודה זו נאגרת כאנרגית עיבורים אלסטית בקוב

11112 : העיבורים האלסטית ליחידת נפח1dU εσ=

12σ

3112 dxdx

:העמסה במאמץ e2

,בדומה להעמסת המתיחה הקודמת

σ: הכוח הפועל על האלמנט הוא

122ε : הדפורמציה בכיוון כוח הגזירה היא

.יתר כוחות הגזירה אינם עובדים עבודה, בהפיכת המלבן למקביליתשימו לב כי

12σ

e3

e1

dx2

dx1

dx3

dW : העבודה על האלמנט היא = )dx2)(dxdx(21

2123112 εσ

1212dU

122ε2e

1e

12σ

dx

dx1

12σ

122ε

=εσ : האנרגיה האלסטית ליחידת נפח היא

:משולבתהעמסה

אנרגית העיבורים סדר הפעלת הכוחות על גוף אינו משנה את גודל , שהיא מערכת משמרת, אלסטיתבמערכת

.הגורם הקובע הוא רמת המאמצים הסופית בגוף. והאלסטית הנאגרת ב

שווה לסכום העבודות , בעקבות העמסתה, ה אלסטית למצבה המעוותילפיכך העבודה המושקעת בהבאת קובי

ורך דרך אינו עובד עבודה לא e1בכיוון נורמאלי יש לשים לב לכך שכוח . של כל הכוחות הסופיים הפועלים עליה

312312 .וגם לא בעקבות דפורמצית גזירה , בכיוונים ניצבים לו ; ; εεε

אנרגית העיבורים האלסטית ליחידת נפח שווה לסכום האנרגיות של ההעמסות בכיוונים , לאור האמור כאן

:הניצבים

313123231212333322221111 )(21dU εσ+εσ+εσ+εσ+εσ+εσ=

:ובכתיב מקוצר

ijij21dU εσ= (4-14)

אפשר לבטא את , )ראה טבלה בסוף הספר(על ידי שימוש בחוק הוק ובקשרים בין הקבועים האלסטיים השונים

נבחר את ההצגה בעזרת המאמצים ונחלק . בעזרת המאמצים בלבד או העיבורים בלבדdUהאנרגיה האלסטית

ית הקשורה בשינוי נפח מתאר את האנרגיה האלסט, dUv -שיסומן כ, החלק האחד: את האנרגיה לשני חלקים

מתאר את האנרגיה האלסטית הקשורה , dUd -שיסומן כ, החלק השני; )העמסה הידרוסטטית(של האלמנט

:התוצאה רשומה להלן. בשינוי צורה בלבד של האלמנט

4-11

dv dUdUdU += (4-15)

2iiv )(

E621dU σν−

= (4-16)

( )[ ]231

223

212

21133

23322

22211d 6)()()(

G121dU σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ= (4-17)

מיזס אומר -לפיכך קריטריון וון. (2G) הוא קבוע dUd - לJ2 מראה כי היחס בין (4-7) - ל(4-17)ואת השו

.למעשה כי מתקבל כשל כאשר אנרגית שינוי הצורה מגיעה לגודל קריטי

dG6G2

2y2

d

σJU == (4-18)

השוואה בין הקריטריונים(4-4)

ושני הקריטריונים האחרים , מתאים לחומרים פריכים בלבדקריטריון המאמץ הנורמאלי המכסימלי, כאמור

מיזס מתאים יותר טוב -קריטריון וון, מבין שני הקריטריונים האחרונים. מתאימים לחומרים משיכים בלבד

ההבדל הגדול ביותר בין שני , למעשה. אך ההבדלים בין שני הקריטריונים אינם גדולים, לתוצאות ניסויים

במצבים אחדים , נשווה כעת את התחזיות של שני הקריטריונים לחמרים משיכים. 15% -הקריטריונים הוא כ

.של עומס

גזירה טהורה. א

:טנזור המאמצים יראה כך. τ -נציין את מאמץ הגזירה בדופן כ. בפיתול צינור דק דופן, למשל, מצב זה קיים

τ

τ

0000000

. σy/2יגיע לערך הקריטי (τ) מאמץ הגזירה המקסימלי על פי קריטריון טרסקה נקבל כשל כאשר

3τ2=σy: כאשר(4-12)מיזס נקבל כניעה על פי משואה -וון על פי קריטריון2 .

:ווכח כי מאמץ הכניעה החזוי הואינ, τy -אם נסמן את מאמץ הגזירה ברגע הכשל כ

:על פי טרסקה2

yy

σ=τ

:מיזס-על פי וון3y

y

σ=τ

כפיפה וגזירה. ב

המאמצים בנקודה , תוליח מתיחה צירי ומומנט פואו כ, כאשר בחתך של קורה שורר מומנט כפיפה וכוח גזירה

אופיינית הם

4-12

τ

τσ

000000

,מתקבל. יש לחשב תחילה את המאמצים הראשיים, טרסקהעל פי

22

22

2

1 22;

22τ+

σ−

σ=στ+

σ+

σ=σ

σ1-σ2 במקרה כזה ההפרש הגדול ביותר בין המאמצים הראשיים הוא .: σ1>0 ; σ2<0 ; σ3=0י רואים מיד כ

22yy

22

21 42

2 τ+σ=σ⇒σ=τ+

σ=σ−σ (4-19)

, ומקבלים(4-12) -מציבים את רכיבי המאמצים ב, מיזס-ווןעל פי

22y 3τ+σ=σ (4-20)

כאשר שורר מצב מאמצים של כפיפה וגזירה , י הקריטריונים מראה כי ההבדל בין שנ(4-20) - ו(4-19)השוואת

.τ הוא במקדם של, תוליאו של מתיחה ופ

השימוש בקריטריון כשל , כמו למשל במיכל דק דופן העמוס בלחץ פנימי, כאשר המאמץ אחיד בכל חלקי המבנה

, כמו קורה בכפיפה, ריםבמקרים אח. הוא פשוט היות ואין צורך לחפש מהי הנקודה הקריטית שתכשל ראשונה

.כפי שיוסבר בדוגמאות, אין זה ברור מראש מהי הנקודה המסוכנת ויש לבדוק מספר אפשרויות

.דוגמא א

בהזנחת . pבמיכל שורר לחץ פנימי . ומשתי כיפות כדוריות Rבעל רדיוס מיכל דק דופן בנוי מחלק גלילי

, יש לחשב את הלחץ הפנימי שיגרום לכשל המיכל, המאמצים השוררים בתפר בין החלק הגלילי לחלק הכדורי

,R . y,t: של כפונקציה σ

1

1

חישוב מאמצים בדפנות מיכל כדורי ומיכל גלילי–הקדמה

מיכל כדורי .1

.t ועובי Rבעל רדיוס , בציור מתואר חצי מיכל כדורי דק דופן

פועל ) AAבמישור (לאורך טבעת החיתוך . pבמיכל שורר לחץ

המאזן את הכוח שהלחץ הפנימי מפעיל על , σמאמץ נורמאלי

מבוסס על איזון הכוחות בכיווןσחישוב . מחצית קליפת הכדור

p

θ

θd

1σ1σ

θpRd

R

A

A

.אנכי

4-13

בהיטל שטח הקליפה על p שווה למכפלת ,י הלחץ הפנימי"תחילה נוכיח כי הכוח המופעל על מחצית הכדור ע

.דהיינו , מישור החתך

p

2Rπ

. AA מעל למישורוהיא ממוקמת בזווית , θRdהפועל על קשת שאורכה ) ליחידת אורך(נתחיל בחישוב הכוח

.: רכיב הכוח בכיוון אנכי הוא. pRd: הוא) שכיוונו רדיאלי כמתואר בציור(גודל כוח זה

θ

θθθsinpRd

BB: θcosRנותנת כוח אנכי המופעל על הטבעת , שרדיוסו ,הכפלת כוח אנכי זה באורך המעגל האופקי

θθθπ dcossinpR2 2θ :י אינטגרציה על הזווית "בכיוון האנכי מתקבל ע, על הכיפה, F1, הכוח הכולל.

∫π

π=θθθπ=2

0

221 pRdcossinpR2F

1σ

י מכפלת השטח "וערכו מתקבל ע , AAבמישור הוא הכוח הפועל על החתך הטבעתי 1Fהכוח המאזן את

:הטבעתי במאמץ

t2pR

Rt2pRF

1

12

1

=σ

σπ=π=

.מאמץ זה שורר גם בחתך רוחבי הניצב לציר גליל בעל חתך מעגלי

2σ2σ p

מיכל גלילי .2 .בציור לשמאל מתוארת מחצית קליפה גלילית באורך יחידה

הניצבים לציר) מלפנים ומאחור( על החתכים הרוחביים , כאמור

.שאינו מתואר בציור, האורך של הגליל פועל מאמץ t2

pR1 =σ

2 וחישובם נעשה באופן σעל שני החתכים האורכיים פועלים מאמצים

1σ .דומה לחישוב

Rp2F2 =

2t2

: הוא, שבגלילpעקב הלחץ , הפועל על הקליפה שבציור בכיוון אנכיF 2הכוח

σ: על שני החתכים האורכיים הואוהכוח הפועל

: מהשוואת הכוחות מתקבלt

pR2 =σ

.כעת אפשר לחזור לפתרון הדוגמא

פתרון

1 ): בכוון ציר הגלילe( המאמצים הראשיים באיזור הגלילי

t

prt2

pr;0000000

212

1

=σ=σ

σ

σ

4-14

:)בגלל הסימטריה הכדורית (יזור הכיפותהמאמצים הראשיים בא

t2

pr;0000000

=σ

σ

σ

σmax-σmin=σy: קובע כי כשל יתרחש כאשרקריטריון טרסקה

y232 ולכן יתרחש כשל כאשרσ2>σ1>σ3 הגליליבאיזור tpR0 σ==−σ=σ−σ

yy ,הלחץ שיגרום כשל יהיה איפוא Rtp σ=

321 σ>σ=

y3 ולכן יתרחש כשל כאשר ותהכיפבאיזור 0t2

pRσ=−=σ−σ σ=σ

yy ,הלחץ שיגרום כשל יהיה איפוא Rt2p σ=

בלחץ, הנמוך משני הלחצים הוא זה שיגרום כשל ומאורע זה יתרחש באיזור הגלילי

yy Rtp σ=

2 , י כשל יתרחש כאשרקובע כקריטריון וון מיזס y21

22

21 σ=σσ−σ+σ

yyy , לאחר הצבת המאמצים, באיזור הגלילי נקבל Rt155.1

Rt

32p σ=σ=

yy ,ובאיזור הכיפות נקבל Rt2p σ=

:אשר יתרחש באיזור הגלילי וערכו, הלחץ הנמוך מהשניים הוא זה שיגרום כשל

yy Rt155.1p σ=

15% - מיזס קובע כי לחץ הכשל גבוה בכ-וקריטריון וון, הקריטריונים קובעים כשל ראשוני באיזור הגלילישני

.יותר מהלחץ שעל פי קריטריון טרסקה

4-15

.דוגמא ב

.מיזס-על פי קריטריון וון, יש לקבוע את קוטר הציר המתואר בציור

. f=1.59 Hz בתדירות, H=20 Kw הספק המנוע המועבר לציר הוא :נתונים

. H1=10 Kwהספק המועבר בכל שרשרת הוא ה

. τa=40 MPaמאמץ גזירה מותר

מובן כי יש לפתור את . וזאת מטעמי נוחיות וחסכון בציורים, בציור כלולים שלבים שונים של הפתרון: הערה

.הבעיה מבלי להסתמך על שלבי הפתרון שבציור

lll

DzR

1P

AyR

DyR

2P

1T

2T

AzR

y

z

T

1 Bending moment from P

2/3 P = 617 Nm 1 l

M z

2/3 P 896 Nm = 2 l

Bending moment from P 2

M y

A B C D

20 KW

M x 1 T = 1000 Nm T = 2000 Nm

Torsion moment

D 270 mm pitch =1

P1

P2

D = 186 mm pitch 2

x

פתרון

, הפיתול המועבר לציר על ידי המנוע החשמלימומנט

H fT2T π=ω⋅=

]s][mN[]Watt[ 1−⋅= 1smN1Watt1 −⋅⋅=

4-16

]mN[100059.12

000,10f2

HT 121 ⋅=

⋅π=T

π==

T ]mN[2000TT 21 ⋅=+=

,חישוב הכוחות בשרשרות

]N[938,4P32R;]N[407,7

270.02000

DT2P 1Ay

1

11 =====

]N[584,3P31R;]N[753,10

186.02000

DT2P 2Az

2

22 =====

.ים הנגרם על ידי כוחות אלה מתואר בציור למעלהפילוג המומנט

וממנו Mנחשב את מומנט הכפיפה השקול , מאחר ומומנט הכפיפה בציר פועל בשני מישורים ניצבים זה לזה

ומומנטי , תוך הבחנה כי בתוך עגול כל כוון הוא כוון ראשי, (σ11)נחשב את המאמץ הצירי המכסימאלי בחתך

. שבנוסחה הוא רדיוס הציר אותו עלינו לחשבrהרדיוס . זה לזההאינרציה הראשיים שווים

2y

2z

2 MMM +=

3322

4

11 II4rI;

IMr

==π

==σ

Tפועל באותה נקודה גם מאמץ גזירה הנובע ממומנט הפיתול , בנוסף למאמץ הכפיפה הפועל בהיקף הציר

:ערכו

2rI2I;

ITr 4

pp

π===τ

קריטריון וון מיזס קובע שנקבל , פועלים בנקודה מאמץ גזירה ומאמץ נורמאליכאשר, כפי שנלמד בפרק זה

.(4-20)כניעה כאשר המאמצים בחתך המסוכן ימלאו את משוואה

2211y 3τ+σ=σ

הצבת הערכים המתאימים . C -מראים כי החתך המסוכן הוא ב) ובדיקה(עיון בפילוג המומנטים לאורך הציר

.d=2r=66.2 [mm]: התוצאה המתקבלת. פורטות כאן יובילו לערך הרדיוס הדרושבנוסחאות המ

5-1

ליים בכפיפהאמאמצים נורמ: 5פרק

מבוא(5-1)

) עיבורים והקשרים ביניהם, מאמצים(עם סיום ארבעת הפרקים הראשונים אשר טפלו במושגים היסודיים

נעבור בפרק הנוכחי לפתרון בעיות מעשיות של , "2מכניקת מוצקים "ו" 1מכניקת מוצקים "של המקצועות

כבר נלמדו , "1מכניקת מוצקים ", בקורס הקודם. וסות בכפיפהחישובי מאמצים בקורות ובמסגרות העמ

בפרק האחד חושבו מאמצים נורמאליים הפועלים בחתך רוחבי . שני פרקים העוסקים בחישוב מאמצים

בפרק השני חושבו מאמצי גזירה הפועלים בחתך רוחבי של מוט . של מוט העמוס במתיחה או בלחיצה

ח צירי שקול והצעד הראשון בתהליך חישוב המאמצים היה חישוב כ. תוליהעמוס במומנט פ, תוליפ

ח והמומנט השקולים והכלים שבעזרתם התקבלו הכ. תול שקול הפועל בחתך רוחבי של המוטותיומומנט פ

תול יבבעית הפ. ודיאגרמת גוף חופשי) או חלק ממנו(בחתך הם משוואות שיווי משקל של המוט כולו

ארי של מאמצי הגזירה יאומטריים ושיקולי סימטריה בכדי להגיע לפילוג הלינהשתמשנו גם בשיקולים גי

.בחתך

גם חישוב המאמצים הנורמאליים הנובעים מכפיפה מצריך קביעה מוקדמת של מומנט הכפיפה השקול

בעזרת הבחנה גיאומטרית . על פי עקרונות שווי משקל ודיאגרמת גוף קשיח שנלמדו בקורס הקודם, בחתך

נפתח , ימיםוקרובים מסו) נולי שיוסברו בהמשךבר-הנחות אוילר(י הדפורמציות הנוצרות בכפיפה של אופ

בו הקורה יכולה להתכופף ביותר מאשר , פתוח הנוסחה יערך עבור מקרה כללי ביותר. את נוסחת הכפיפה

דר המוג, המקרה הפשוט של כפיפה במישור אחד". כפיפה משופעת"ועל כן מוגדרת כ, מישור אחד

. יתקבל כמקרה פרטי של הנוסחה הכללית,"כפיפה ישרה"כ

הטומן בחובו אינפורמציה על צורת החתך של , במהלך פתוח נוסחת הכפיפה נכיר גודל גיאומטרי חדש

למרות שאין אנו (של החתך " מומנט האינרציה"הידוע בשם , גודל זה הוא מומנט שני של החתך. הקורה

הוא טנזור סימטרי מדרגה " מומנט האינרציה"נראה כי גם ). מטריה בלבדעוסקים באינרציה אלא בגיאו

ולפיכך נוכל לנצל תכונות הטנזור שנלמדו בפרק הראשון , בדומה לטנזורי המאמץ והעיבור, שניה

).ב"ערכים וכוונים ראשיים וכיו, טרנספורמציות(

.של חמרים שוניםהעשויות משכבות , בהמשך נפתח את נוסחת הכפיפה לקורות הטרוגניות

נראה כי הקורה . אל התחום הפלסטי, אריילינ-נחתום את הפרק בקפיצה מעל מחסום התחום האלסטי

נבדוק מהו הגבול העליון לעומס . כלילנהרסתיכולה לשאת עומסים מעל לגבול האלסטי לפני שהיא

. של הקורה" עומס ההרס"בקורות בעלות חתכים שונים ונגדיר את

ה משופעת כפיפ(5-2)

משקולי , שקולים הפועלים בחתך רחבי של קורות ומסגרות)M(ומומנט )R( ח ובעבר למדנו לחשב כ

הוזכר גם כי פעולת החיתוך של . ח השקולובאותו שלב לא התעמקנו במיוחד מה קו פעולת הכ. סטטיקה

אמצים כדאי לעבוד נאמר כי בשלב חישוב המ. האחד חיובי והשני שלילי: הקורה יוצרת שני מישורי חתך

.(5-1)דוגמא לחתך חיובי של קורה נתון בציור . בכדי למנוע טעויות בסימני המאמצים, עם חתך חיובי

5-2

1e

2e

3e

M

R

קטע של קורה חתוכה : (5-1)ציור

.M - וRח ומומנט שקולים ונניח כי בחתך פועלים כ

332211 eReReRR ++= (5-1)

332211 eMeMeMM ++= (5-2)

. N1י "ובהמשך נסמנו ע) בהתאם לסימן, מתיחה או לחיצה(ח צירי וח הוא כו של הכR1הרכיב

.V3 - וV2י "ובהמשך נסמנם ע, חות גזירהושני הרכיבים האחרים הם כ

.ושני הרכיבים האחרים הם מומנטי כפיפה, תולי של המומנט הוא מומנט פM1הרכיב

- וM2 וממומנטי הכפיפה N1ח הצירי והנגרמים מהכ, σ11יים בחתך הקורה פועלים מאמצים נורמאל

M3 , ומאמצי גזירהσ12ו - σ13 ,ח הגזירה והנגרמים מרכיבי כV2ו - V3תול י וממומנט הפM1 . היות ואין

בפרק . נוכל לטפל בכל מאמץ באופן בלתי תלוי, השפעה הדדית בין המאמץ הנורמאלי ומאמצי הגזירה

לפיכך נניח כי . גזירה לפרק הבאמאמצי ה ונדחה את הטיפול בσ11ם נורמאליים הנוכחי נדון רק במאמצי

: ח והמומנט הפועלים בחתך הםוהכ

11eNR = (5-3)

3322 eMeMM += (5-4)

:חישוב המאמץ הנורמאלי יתבסס על שתי הנחות

אפשר להניח , בקורה העמוסה בכפיפהאורך הקורה גדול בהרבה ממימדי החתך הרוחבי ולכן . 1

σ. 03322 :בקרוב טוב מאוד כי ≈σ≈

ברנולי הקובעת כי חתכים מישוריים הניצבים לציר הקורה לפני הפעלת העומס -הנחת אוילר. 2

.נשארים מישוריים וניצבים לציר הקורה המכופפת אחרי הפעלת העומס

.11σ11=Εε: עיבור של העמסה חד צירית-ר מאמץמההנחה הראשונה וחוק הוק נובע הקש

5-3

, ארית של קואורדינטות החתך הרוחבייפונקציה לינ הוא ε11מההנחה השניה נובע כי העיבור

.במודול יאנג ובעומס המופעל על הקורה, תלויים בגיאומטרית החתךa3 - וa0 ,a2כאשר הקבועים

3322011 xaxaa ++=ε (5-5)

:ןנות עיבור -אמץ שימוש בקשר מ

( )3322011 xaxaaE ++=σ (5-6)

צירי וממומנט כפיפה הנתונים במשוואות מכוח, כאמור, פילוג מאמצים זה על החתך נובע

.(5-4) - ו(5-3)

של (.C.G)נרשום את הגדרת מרכז כובד , לפני שנפתח את הקשר בין המאמץ לעומסים הגורמים אותו

.Aשטח

2x3x

3x 2x

2x3x

0xx 32 ==

C.G

C.G

(a) (b)

. דרך מרכז הכובד(b); בנקודה שרירותית(a). מערכת צירים בחתך : (5-2)ציור

:הנוסחה לחישוב מרכז הכובד היא

∫∫ ==A

33A

22 dAxA1x;dAx

A1x (5-7)

. (a ,5-2)כמוראה בציור

5-4

נקבעה במרכז הכובד של החתך ולכן במערכת זאת ראשית הצירים , (b), בחלק השני של הציור

0xx .: ייםמתק 32 ==

11σ

בעלת הפילוג מערכת אחת היא : נבדוק כעת הקשר בין מערכות אקויולנטיות של עומסים בחתך

ר כבר כי נאמRלגבי . השקולים הפועלים בחתך והמומנט ח וומערכת שניה היא הכ, ארייהלינ

.נדון רק ברכיב

( )M ( )R

1N

:נותנתעל פני שטח החתך ) (5-6). משו (σ11אינטגרציה של המאמץ

(5-8) ( ) ∫∫∫∫ ++=++=σ=A

33A

220A

33220A

111 dAxEadAxEaAEadAxaxaaEdAN

x: מתקיים , כאשר ראשית הצירים נקבעת במרכז הכובד של החתך ולכן שני האינטגרלים , =

, מתאפסים ומתקבל הקשר(5-8)אה באגף ימין שבמשו

0x32 =

EANa 1

0 = (5-9)

נחשב את המומנט . (5−6)לפי משוואה , ארי על פני החתךי משתנה באופן לינσ11המאמץ הנורמאלי

!).המתלכד עם ראשית הצירים(שפילוג זה נותן ביחס למרכז הכובד של החתך

dAerM 111A

σ×= ∫ (5-10)

וביצוע המכפלה (5−10) - בσ11 ושל לאחר הצבת הערך של הרדיוס וקטור

:מתקבל, הוקטורית

3322 exexr +=

3A A A

32322220

2A A A

23332230

edAxxadAxadAxaE

edAxadAxxadAxaEM

++−

++=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (5-11)

0dAxdAx .: שני אינטגרלים מתאפסים, היות ומרכז הצירים נקבע במרכז הכובד של החתך

A3

A2 ∫∫ ==

dAxxI jA

iij ∫=

32xx

: והם בעלי הצורה הבאה" מומנט שני של שטח"יתר האינטגרלים מבטאים

ווכח כי פעולות מתמטיות שונות מספקות אינפורמציות ינ, אם נתבונן בשטח כלשהו הנמצא במישור

.שונות הקשורות בשטח

5-5

.דל השטחאינפורמציה על גו מספקת אינטגרציה פשוטה -

∫A

dA

∫A

idAxix

∫A

ji dAxx

. מספק אינפורמציה על מיקום מרכז השטח לאורך ציר מומנט ראשון של השטח -

. מספק אינפורמציה כיצד שטח הגוף ממוקם ביחס למערכת הציריםמומנט שני של השטח -

משתנה אולם גודל המומנט השני , שמרכזם באותה נקודה, A יתכנו מספר חתכים בעלי אותו שטח

משפיע על גודל ונוסחת הכפיפה שתפותח ממנה מסתבר כי הגודל ) 5-11(על פי משוואה . מחתך לחתך

.המאמץ הנורמאלי המתפתח בחתך הקורה

ijI

( )ijI

הרלוונטיים לחישוב המאמצים הנורמאליים בכפיפה הם רכיבי המומנט השני של השטח

:י"המוגדרים ע,

( )ijI

223323 I;I;I

(5-12) dAxxI;dAxI;dAxIA

3223A

2333

A

2222 ∫∫∫ ===

לת מכפ" ידוע בשם והאחר. של החתך" מומנטי אינרציה" ידועים בשם שני הראשונים

.של החתך" אינרציה

ון ( )2233 I;I( )23I

:שימוש בהגדרות אלו יתן

( ) ( ) 32332222333232 eIaIaEeIaIaEM +−+= (5-13)

,שירשמו בצורת מטריצות, בשתי משוואות סקלריות(5−13)נחליף את המשוואה הוקטורית

=

−3

2

2322

3323

3

2

aa

IIII

EME

M

(5-14)

; של מומנטי האינרציה; כפונקציה של המומנטים בחתךa3 - וa2ן את המקדמים נותפתרון המשוואות

.ושל קשיחות החומר

3322

223

2222333

3322223

3332322 III

IMIME1a;

IIIIMIM

E1a

−+

−=−+

= (5-15)

נותנת את הנוסחה לחישוב , (5-6) במשוואה (5-15), (5-9) ממשוואות a0 ; a2 ; a3הצבת המקדמים

,המאמץ הנורמאלי בחתך

5-6

( ) ( )2233322

22323333233222111 III

xIMIMxIMIMAN

−+−+

+=σ (5-16)

ומומנטי , שמרכזם במרכז הכובד של החתך לצירים מחושבת ביחס(5-16)יש לזכור כי משוואה

הגדרה זו ידועה כהגדרה טנזוריאלית ומשמשת בדרך כלל . (5-12)האינרציה מוגדרים במשוואה

. בעבודות מדעיות

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

בכדי . מקובל להגדיר מומנטי אינרציה בצורה שונה) ובספרות הנדסית מקצועית(בשימושים הנדסיים

2,3 בשיטה ההנדסית במקום האינדקסים y,zנשתמש באינדקסים , למנוע בלבול בין שתי ההגדרות

נרשום כעת את מומנטי האינרציה ההנדסיים והקשר בינם למומנטי האינרציה . בשיטה הטנזוריאלית

.טנזוריאלייםה

(5-17) 23yzA

332

yyA

222

zz II;IdAzI;IdAyI ===== ∫∫

,להשלמת התמונה נרשום את נוסחת הכפיפה גם בסימון ההנדסי

( ) ( )

2yzzzyy

yzyyyzyzzzzy111 III

yIMIMzIMIMAN

−

+−++=σ (5-18)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

אשר מכפלת ) גם ראשיתה ממוקמת במרכז הכובד של החתך(אפשר למצוא מערכת צירים , ידועכ

מערכת צירים ראשיתמערכת כזאת נקראת . I23=0: כלומר, האינרציה של החתך ביחס אליה מתאפסת

:הביטוי של המאמץ הנורמאלי יופשט לצורה, במערכת ראשית. של החתך

, בסימון מטריציוני

222

33

33

2111 x

IMx

IM

AN

−+=σ (5-19)

, ובסימון הנדסי

yIMz

IM

AN

zz

z

yy

y111 −+=σ (5-20)

מתנוונת לנוסחת (5-20)משוואה , )My=0נניח (כאשר לא פועל כוח צירי והכפיפה מופעלת במישור אחד

.הכפיפה הפשוטה הנלמדת בקורס בסיסי בתורת החוזק

yIM

zz

z11 −=σ (5-21)

5-7 ציר ניטראלי

מעל מישור החתך , בכיוון ציר הקורה(5-18) או (5-16) נקצה את המאמץ הנורמאלי שבמשוואה אם

קו החיתוך של שני מישורים אלה מתאר קו . יתקבל מישור משופע ביחס למישור החתך, הרוחבי

י הצבת " המתקבלת ע,משוואת הקו. ציר ניטראליקו זה נקרא . שלאורכו המאמץ הנורמאלי מתאפס

בסימון טנזוריאלי ובמערכת צירים . ידועה כמשוואת הציר הניטראלי, הנורמאלי המאמץאפס במקום

:התוצאה היא, לא ראשית

( ) ( ) 0III

xIMIMxIMIMAN

2233322

223233332332221 =−

+−++ (5-22)

:ובמערכת צירים ראשית

0xIMx

IM

AN

222

33

33

21 =−+ (5-23)

. בר דרך ראשית הציריםהציר הניטראלי עו, (N1=0)ח צירי שקול וכאשר לא פועל בחתך כ, במקרה פרטי

יתכן גם מצב בו הציר הניטראלי . הציר אינו עובר בראשית, ח צירי שקולוכאשר קיים כ, במקרה אחר

או כולו , או כולו במתיחה: ובמקרה כזה כל החתך יהיה במצב עמיסה אחד, יעבור מחוץ לשטח החתך

. בלחיצה

: המאמצים בו מחליפים סימן, )א שוויםלאו דוק(כאשר הציר הניטראלי מחלק את החתך לשני חלקים

גדל , ככל שמתרחקים מהציר הניטראלי. לחיצה-בצד אחד של הציר קיימים מאמצי מתיחה ובצד האחר

.הערך המוחלט של המאמץ והוא מגיע לערכו המכסימאלי בנקודה הרחוקה ביותר מהציר הניטראלי

ר מומנט הכפיפה השקול הפועל בו נוטה אש, מתואר מצב של חתך ללא כוח צירי שקול(5-3)בציור

בציור . מתואר אף הוא, ביחס לצירβהנוטה בזווית , הציר הניטראלי. x ביחס לצירαבזווית

hמשני צדדיו , מסומנים גם המרחקים של הנקודות הרחוקות ביותר מהציר

33x

שם שוררים , h2) - ו(1

. לחיצה ומתיחה-המכסימליים המאמצים

2x

Neutral Axis

1h

2h

α β M

3x

.ציר ניטראלי בחתך קורה העמוסה בכפיפה : (5-3)ציור

5-8 מומנטי אינרציה של החתך) 5-3(

ijI :אשר הוגדר כמומנט אינרציה , בפתוח נוסחת הכפיפה הופיעו ביטויים שכללו מומנט שני של שטח

∫=A

jiij dAxxI

ijI

ijijI

jkA

kjk'j xAx =

llxAx i'i =

)5-24(

ל מה שפותח עבור טנזור הוא טנזור סימטרי מדרגה שניה ולפיכך כנראה כעת כי מומנט האינרציה

כל שעלינו לעשות הוא להראות כי . Iהוא בר תוקף גם לגבי טנזור האינרציה ) והעיבורים(המאמצים

נענה לטרנספורמציה ממערכת צירים אחת לשניה לפי אותן משוואות טרנספורמציה כמו עיבורים

.ומאמצים

: כדלהלןעיבורים ראינו כי רכיבי וקטור עוברים טרנספורמציה בעזרת קוסינוסי הכוון בפרק ה

(a)

:ובאופן דומה

(b)

k : כאשר'jjk eeA ⋅=

kjki'j

'i xxAAxx ll=

rsjsir'ij AA σ=σ

ll kjik'ij AA ε=

ji xx

ji xxijIji xx

ji xxijI

233322 I,I,I( )1x

: (b)- ב (a)הכפלת

)5-25(

): 2-25(ושל העיבורים , )1-38(זהה לנוסחת הטרנספורמציה של המאמצים ) 5-25(משואה

)1-38(

)2-25( ε

, ניה הוא טנזור סימטרי מדרגה שמסיקים כי )) 2-25(או ) (1-38(-ו) 5-25(מנוסחאות הטרנספורמציה

.וכל מה שנלמד לגבי כוונים וערכים ראשיים תופס גם כאן

שהיא למעשה , האינטגרציה. A על פני השטח י אינטגרציה של " מתקבל ע- ל-המעבר מ

ולכן נוכל לקבוע כי מומנט האינרציה אינה משנה את האופי הטנזורי של , הכפלה בסקלר וסכימה

.הוא טנזור סימטרי מדרגה שניה

) 5-12(רכיבי הטנזור הרלוונטיים הם אלו הרשומים במשוואה , כפי שראינו בפיתוח נוסחת הכפיפה

הניצבת לחתך , ים לפחות קואורדינטה אחכולל)) 5-24(ראה (רכיבי הטנזור האחרים .

יש לרדיוס וקטור ) 10-5(היות ובפתוח נוסחת המומנט השקול בחתך . הרוחבי של הקורה

ת

r רכיבים רק

30x1 :ציה של החתך נראה כך ולכן טנזור האינר =נובע כי , e- ו2eבכוון

5-9

)c(

=

3323

2322ij

II0II0000

I

הוא כאשר הכוון , "עיבורים מישוריים"או " מאמצים מישוריים" דומה למצב של (c)-המצב המתואר ב

תמש בנוסחאות בכדי שנוכל להש. הוא מומנט האינרציה הראשי בכוון זה=כוון ראשי והערך

" מישוריים"עבור מומנטי אינרציה , xשפותחו למאמצים מישוריים במישור , )1-33(הטרנספורמציה

לרשום אינדקס ' 1'במקום אינדקס : כדלהלן) 1-33(יש לערוך חילוף אינדקסים במשוואות , במישור

,)5-4(כפי שנובע מציור ', 3'שום אינדקס לר' 2'ובמקום אינדקס ', 2'

21x

3

21xx32xx

32x

θ

2xx

1e

0I11

1x 2x

3x

2x′

3x′

θ

1x

2x

3x

2x′

1x′

θ

(b) (a)

. במישור (b), במישור (a), סיבוב מערכת צירים): 5-4(ציור

מערכת צירים כתוצאה מסיבוב , xמשוואות הטרנספורמציה למומנטי האינרציה של שטח במישור

:הן)) 5-4 ((b)ראה ציור (בזוית

)5-26(

θ+θ

−

−=

θ−θ

−

−+

=

θ+θ

−

++

=

2cosI2sin2

III

2sinI2cos2

II2

III

2sinI2cos2

II2

III

233322'

23

2333223322'

33

2333223322'

22

32xx23

מתקבלים מנוסחת המאמצים , I ,I- אשר יסומנו במומנטי האינרציה הראשיים במישור

:)1-27(הראשיים

)5-27( 2

1

223

233223322

32 I

2II

2III

+

−

±= +

32xx

):1-25( מתקבלת מהמשוואה והזוית המגדירה את כיוון הצירים הראשיים במישור

5-10

)5-28( 3322

23

III2

2tan−

=θ

2I3I'22I2I3I

בכדי לדעת לאיזה . הניצבים זה לזה, נותנת שני פתרונות לכוונים הראשיים) 5-28(חשוב להדגיש כי

לחשב , )5-26(- ב)5-28(המתקבלות מפתרון θת והזויאחת מיש להציב את , ולאיזה נים שייך מהכוו

. או ולראות האם הערך המתקבל הוא את

כיצד נוכל : נשאלת השאלה. בפיתוח נוסחת הכפיפה ראינו את חשיבות הצירים הראשיים של החתך

? צירים אלוקבועל

ציר סימטריה לפחותכאשר בחתך יש : קיים מצב בו אפשר לקבוע את כיוון הצירים הראשיים באופן מיידי

I23 (product of inertia)ינרציה מכיוון שמכפלת הא, ציר זה והציר הניצב אליו הם צירים ראשיים, אחד

. מתאפסת

:הוכחה

dAxxI . ,על פי ההגדרה 3A

223 ∫=

2x

3xי לקיחת זוגות " עI23נבצע את האינטגרציה לחישוב . הוא ציר סימטריה של החתך ציר(5-5)בציור

שני האלמנטים נמצאים במרחק אופקי שווה . מצירx2הנמצאים באותו מרחק , dAשל אלמנטי שטח

לפיכך תרומת שני . אולם אלמנט אחד נמצא במרחק חיובי והשני במרחק שלילי, מציר הסימטריה

חזרה על תהליך זה על כל שטח החתך מראה כי האינטגרל . האלמנטים הסימטריים לאינטגרל מתאפסת

מובן כי גם בחתכים ללא ציר סימטריה ניתן למצוא צירים . שייםכולו מתאפס ולכן הצירים הם צירים רא

).5-28(שימוש בנוסחה ' עי, ראשיים

3x

2x

dA

. x2 חתך בעל ציר סימטריה : (5-5)ציור

ולפעמים , (5-17) או (5-12)על פי ההגדרה , י אינטגרציה ישירה"דרך אחת לחשב מומנטי אינרציה היא ע

בל ברוב המקרים הפרקטיים נטפל בחתכים המורכבים מחלקים מלבניים א. זו הדרך המהירה ביותר

י "מומנטי האינרציה של חתך מורכב כזה מתקבלים ע). ויתנים שוניםו או זT ,Iפרופילים בצורת , למשל(

דרך . המחושבים ביחס למרכז הכובד המשותף של החתך כולו, סכום מומנטי האינרציה של חלקי החתך

, )5-26(לפעמים טרנספורמצית סיבוב על פי משוואות : בנוסחאות טרנספורמציההחישוב דורשת שימוש

.כמפורט להלן, )שטיינר(ולרוב טרנספורמצית העתקה

5-11

)שטיינר(טרנספורמצית העתקה

-ו, Aדרך מרכז הכובד של שטח : מתוארות שתי מערכות צירים מקבילות) 5.6(בציור

:הקשר בין שתי מערכות הצירים הוא .)שהי דרך נקודה כל

32 'x,'x32 x,x)x~,x~ 32

333222 x~'xx;x~'xx −=−= (5-29)

3x′

2x′

2x

3x

3x~

2x~C.G A

.טרנספורמצית העתקה של מומנטי אינרציה : (5-6)ציור

האינרציה נניח כי ידועים מומנטי האינרציה במערכת עם תג ומעונינים לחשב בעזרתם את מומנטי

.נתחיל בחישוב לפי ההגדרה. במערכת ללא תג

∫∫ ∫∫∫ +−=−==A

22

A A22

22

A

222

A

2222 dAx~dA'xx~2dA)'x(dA)x~'x(dA)x(I

חישוב שני . ולכן האינטגרל השני באגף הימני מתאפס, ראשית המערכת עם תג נקבעה במרכז כובד החתך

,תןנוהאינטגרלים הנותרים

Ax~'II 222222 +=

. (5-30)תן את נוסחאות הטרנספורמציהנומה חישוב מומנטי האינרציה הנותרים באופן דו

+=+=+=

Ax~x~'IIAx~'IIAx~'II

322323

233333

222222

(5-30)

" עצמית"שווים למומנטי האינרציה במערכת " כללית" מומנטי האינרציה במערכת :במילים

של ראשית המערכת נטות בקואורדיAפלוס מכפלת השטח , ) A דרך מרכז הכובד העצמי של (

.הכללית

)I( ij)'I( ij

jix~x~

5-12

2x

3x

b

a

מומנט אינרציה של מלבן - דוגמא

ba יש לחשב מומנטי האינרציה של המלבן × .כמתואר, שראשיתם במרכז המלבןx2,x3ביחס לצירים

2x

3x

2x 2dx

.I22נתחיל בחישוב

12ba)bdx(xdAxI

32a

2a

222

A

2222 === ∫∫

−

x2 -אורך צלע המלבן המקבילה ל, I22שימו לב כי בחישוב

.מופיעה בחזקה שלישית

, והתוצאהI22 - דומה ל I33חישוב

2x

3x

3x

3dx

12ab)adx(xdAxI

32b

2b

323

A

2333 === ∫∫

−

x3 -אורך צלע המלבן המקבילה ל , I33שימו לב כי בחישוב

.מופיעה בחזקה שלישית

I23=0: מכפלת האינרציה מתאפסת, הם צירי סימטריהx2 , x3 ירים מאחר והצ

).י אינטגרציה ישירה"ל תוצאה זו ענסו לקב(

----------------------

".חתך דק דופן"המושג הוא . נסביר מושג חדש הקשור בחישוב מקורב, לפני שנעבור לדוגמא הבאה

אורך או ( קטן בהרבה מהמימד האופייני (t)עוביים כאשר חתך רוחבי של קורה מורכב מענפים מלבניים ש

לפי נוסחת שטיינר(אפשר לחשב מומנטי אינרציה ומרכז כובד של החתך הכללי , של החתך כולו) רוחב

.Iנדגים זאת על חתך . מבלי לפגוע בדיוק החישובים בצורה קשה, י קרובים מסוימים"ע ))5-30(

t

h

b b

h=a-t

t

t

b

a

ב א ג

.יתי עם המידותמתואר החתך האמ' בציור א

5-13

hמסומנת המידה , (a)במקום לסמן את גובהו הכולל אך , 'מתואר אותו חתך כמו א 'בציור ב a מהמידה t -מידה זו קטנה ב. בין קו האמצע של קטע החתך העליון לקו האמצע של קטע החתך התחתון

.'שבציור א

החישוב המקורב נותן . המקורביםאשר עליו נערוך את החישובים " דק הדופן"מתואר החתך ' בציור ג

. הקרוב טוב יותר, )ביחס לרוחב החתך או גובהו(ככל שהעובי קטן יותר . t<<bתוצאות טובות כאשר

.ולהשוות התוצאות, האחד מדויק והשני בהנחת חתך דק דופן, מומלץ לערוך על אותו חתך שני חישובים

------------------------------

בצורת אינרציה של חתך פרופיל דק דופןמומנט - דוגמא

,המתואר ) t(יש לחשב מומנטי אינרציה של החתך דק הדופן

,של החתך ) CG(שראשיתם במרכז הכובד x2,x3ביחס לצירים

).t<<a(בהנחת חתך דק דופן

.קביעת מיקום מרכז הכובד: שלב ראשון

6a

atat2

]0)at2(2a)at[(

x

3a2

atat2]0)at(a)at2[(x

3

2

=+

+=

=++

=

Ax

2a

2x

3x

2x

3x

C.G.

t

a

.חישוב מומנטי האינרציה: שלב שני

2aהמלבן האנכי באורך (נשתמש לגבי כל אחד משני המלבנים המהווים את החתך הרוחבי של הקורה

x~II~ ): 5-30(בנוסחת הטרנספורמציה של שטיינר , a)והמלבן האופקי באורך ji'ijij +=

'ijI

ijI

ix

.ביחס לצירים דרך מרכזו, הם מומנטי האינרציה של מלבן בודד

.ביחס לצירים דרך מרכזו, הם מומנטי האינרציה של החתך כולו

צלע של (במערכת העצמית של כל מלבן ) xi,xj( הן קואורדינטות ראשית מערכת הצירים הכללית ~

).חתךה

; 0I -האופקית בצלע 12taI ; 0

12atI '

23

3'33

3'22 ==≅=

a32x~2 = ;

3ax~3 = ; A=at

0I ; 0 -האנכית בצלע 12at2I ; ta

32

12)a2(tI '

23

3'33

33

'22 =≅===

3ax~2 −= ;

6ax~3 −= ; A=2at

.נותנת את מומנטי האינרציה של החתך )5-30(-הצבת הערכים של כל מלבן ב

5-14

ta31)

6a)(

3a(at20)

3a)(

3a2(at0I

ta41)

6a(at20)

3a(at

12taI

ta34)

3a(at2ta

32)a

32(at0I

323

3223

33

323222

=−−+++=

=−+++=

=−+++=

אלא לרשום את תרומות , כבתרגיל זה, בנפרד) 5-30 (-אין צורך לפרט כל שלב ב, עם רכישת ניסיון

).5-30(המלבנים המרכיבים את החתך ישירות במשוואה

2x

3x

a

A Bl2 l2

1x

q F

⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 2a

2x

דוגמא

בכוח Bבקצה ועמוסה Aרתומה בקצה , aמלאבעלת חתך מלבני , באורך ABקורה

.ובמרכזה בכוח מחולק 2eqF l−= l4a2×

3eqq −=

:דרוש

.ולציירו, לרשום את משוואת הציר הניטראלי בחתך רוחבי צמוד לרתום .א

.לקבוע מאמצי מתיחה ולחיצה מכסימליים בקורה .ב

:פתרון

. ללא כוח צירי, )5-23(משוואת הציר הניטראלי היא , הם צירים ראשיים של החתך x2,x3 והצירים מאחר

.A - הפועל על החתך החיובי ביש לרשום תחילה את רכיבי המומנט

0

2

3

2324

2

34

2

222

33

33

211

23

22

32

22

2131Fq

153.4 21

xx

tan

0x2x x12

a8q4x

12a2q2x

IM

xIM0

q4M ; q2M

eq4eq2)eq(e4)eq2(eFxq2xM

=β⇒−==β

=+⇒+=−==σ

−==

−=−×+−×=×+×=

ll

ll

lllllll

ובו מסומן מומנטA -בציור מתואר חתך רוחבי ב

2x

3x β

2

1 N.A

M

שימו לב כי הציר הניטראלי. הכפיפה הפועל בחתך

.)A.N( אינו מתלכד עם כיוון המומנט M.

י אינטגרציה של המאמצים"מאחר והמומנט מתקבל ע

אלי שוררים מאמצי ברור כי משמאל לציר הניטר, בחתך

.ומימינו שוררים מאמצי לחיצה, מתיחה

5-15

שורר מאמץ המתיחה המכסימאלי 1בנקודה . 2 - ו1הן הנקודות המרוחקות ביותר מהציר הניטראלי

. שורר מאמץ הלחיצה המכסימאלי2ובנקודה

x2=a ; x3=0.5a : 1' קואורדינטות נק

3 )מתיחה: (1 -המאמץ ב

2

4

2

4

2

11 aq12a

aq6a5.0

aq12 lll

=⋅+⋅=σ

x2=-a ; x3=-0.5a : 2' קואורדינטות נק

3 )לחיצה: (2 -המאמץ ב

2

4

2

4

2

11 aq12)a(

aq6)a5.0(

aq12 lll

−=−⋅+−⋅=σ

העמסה אקסצנטרית(5-4)

לא במרכז הכובד של החתך וגם לא על אחד הצירים ) מתיחה או לחיצה(כאשר פועל על עמוד עומס צירי

.דוגמא לכך מופיעה בציור הבא. כפיפה משופעת ושל העמסה ציריתנוצר בעמוד שילוב של , הראשיים

F

y y

ξ

0y

0zx

b

h

D

C B

A

z

.מתיחה אקסצנטרית של עמוד : (5-7)ציור

ומנוגדים (F)וים בעוצמתם לעומס החיצון וחות השושני כ, של חתך העמוד, אם נוסיף במרכז הכובד

עומס זה הוא אקויולנטי לשלושה . טיתהעומס על העמוד לא ישתנה מבחינה סט, בכיוונם זה לזה

ומומנט ; M2=Fz0מומנט כפיפה ; )במרכז הכובד של החתך( N1=Fמתיחה צירית : עומסים חלקיים

.(5-19)נשתמש בנוסחה , מאחר והצירים הם ראשיים. M3= -Fy0 כפיפה

5-16

++=+−=σ z

IAzy

IAy1

AF

IzM

IyM

AF

33

0

22

0

33

2

22

311 (5-31)

ך בתו(y,z)אלא רק במיקום , מקצה העמודξך המאמץ הנורמאלי במקרה זה אינו תלוי במרחק החת

.החתך הרוחבי

יש לזכור כי . כפי שנעשה בעבר. ח.ג.י ד"ח בחתך רוחבי כלשהו עולחשב את המומנט והכ, כמובן, אפשר

.חתך חיוביח והמומנט הפועלים על וחייבים להציב את הכ (5-19) במשוואה

.(5-8)ר תאור סכמטי של פילוג המאמצים בחתך מתואר בציו

= +

+ +

-

+

.פילוג מאמצים בהעמסה אקסצנטרית : (5-8)ציור

כפיפת קורה הטרוגנית(5-5)

דוגמא קלסית היא בטון . חומרים) או יותר(לפעמים יש צורך לחשב מאמצים בקורות העשויות משני

. ים חיצוניים וביניהם ליבה של חלת דבשהמורכב מפח', מזויין ודוגמה מודרנית יותר היא מבנה סנדויץ

נפתח נוסחה לחישוב . שני החומרים המרכיבים את המבנה מחוברים זה לזה ועובדים כמקשה אחת

. כאשר כל שיכבה נמשכת לאורך כל הקורה, מאמצים ועיבורים בקורה העשויה שכבות מחומרים שונים

.(5-2)בסעיף , צורת החישוב דומה לזו שפותחה בראשית הפרק

בתוקף ולכן פילוג העיבורים הוא לינארי ) חתכים מישוריים(ברנולי -הקו המנחה הוא שהנחת אוילר

. (5-5)כפי שתואר במשוואה , ורציף בכל חלקי החתך

3322011 xaxaa ++=ε (5-5)

ל השוני בגל, קימת אי רציפות במאמץ במעבר מחומר אחד למשנהו, בניגוד לפילוג הרציף הנשמר בעיבור

,יהיה) (i)שיסומן במציין עליון (לפיכך המאמץ בכל חומר . במודולי יאנג של כל חומר

( )33220)i()i(

11 xaxaaE ++=σ (5-32)

5-17

) (i)של חומר מיקום מרכז כובד נגדיר כעת, בדומה לטיפול בחתך הומוגני ))i(3

)i(2 x;x

∫∫ ==)i()i( A

3)i()i(

3A

2)i()i(

2 dAxA

1x;dAxA

1x (5-33)

)i( .(i) הוא שטח חלק החתך מחומר Aכאשר

)i(A

:י"נתון ע, אשר מרכז הכובד של כל אחד מהם ידוע, מרכז כובד של שטח המורכב ממספר חלקים

++++

=

++++

=

K

K

K

K

)2()1(

)2(3

)2()1(3

)1(

3

)2()1(

)2(2

)2()1(2

)1(

2

AAxAxAx

AAxAxAx

(5-34)

י הכפלת כל שטח חלקי "נשקלל את השטח ע, שונה יש מודול מאחר ולכל שטח חלקי

.(5-34) בדומה למשוואה החתך המשוקלל ונגדיר את מרכז הכובד של במודול המתאים

)i(A)i(E)i(A)i(E

++++

=

++++

=

K

K

K

K

)2()2()1()1(

)2(3

)2()2()1(3

)1()1(

3

)2()2()1()1(

)2(2

)2()2()1(2

)1()1(

2

AEAExAExAEx

AEAExAExAEx

(5-35)

, רצוניE0 נירמול כל המודולים ביחס למודול י"ע, בצורה שונה(5-35)נוכל גם לרשום את משוואות

:והגדרת יחסי מודולים כדלהלן

( )

0

i

i EEn = (5-36)

,התוצאה

++=

++=

AxAnxAnx

AxAnxAnx

)2(3

)2(2

)1(3

)1(1

3

)2(2

)2(2

)1(2

)1(1

2

K

K

(5-37)

A .הוא שטח החתך המשוקלל כאשר

5-18

K++= )2(2

)1(1 AnAnA (5-38)

י "ע, הפועלים בחתך והמומנט N1קול ח השוכעת אפשר לחשב את הכ

.N1ח ונתחיל בכ. אינטגרציות מתאימות

3322 eMeMM +=

( )∫∑ ++=)i(A

33220)i(

i1 dAxaxaaEN (5-39)

, תתן(5-33)הצבה ממשוואה

( )

( )

( )K

K

K

+++

+++

++=

)2(3

)2()2()1(3

)1()1(3

)2(2

)2()2()1(2

)1()1(2

)2()2()1()1(01

xAExAEa

xAExAEa

AEAEaN

, נותנת(5-38) - ו(5-36), (5-35) ממשוואה N1והצבה למשוואת

( ) AExaxaaN 0332201 ++= (5-40)

הקובעות (ולכן הקואורדינטות , עד כה לא הקפדנו לקבוע את ראשית הצירים בנקודה מסוימת

אבל אם נקבע את ראשית . יהיו בדרך כלל שונות מאפס) את מיקום מרכז הכובד של החתך המשוקלל

xx=0 : יתקיים הקשר, הצירים בנקודת מרכז הכובד של החתך המשוקלל 32 (5-40) ומשוואה =

-תופשט ל

32 x;x

AE

Na0

10 = (5-41)

. מצדיק בחירת נקודת מרכז הכובד של החתך המשוקלל כנקודת ראשית הציריםa0הביטוי הפשוט של

.מכאן והלאה נעבוד אם כן במערכת צירים שראשיתה במרכז הכובד של החתך המשוקלל

מתקבלים מחישוב המומנט של המאמצים הנורמאליים הפועלים על , a3 - וa2, ים הנותריםשני המקדמ

כאשר , אלא שהאינטגרציה נעשית בקטעים, (5-11) - ו(5-10)דרך החישוב כמו במשוואות . פני החתך

. M2נדון תחילה ברכיב המומנט . בכל קטע משתמשים במודול המתאים לחומר שבאותו קטע

5-19

dAx3A

)i(11

i )i(∫∑ σM2 =

, נקבל(5-6)ולאחר הצבה ממשוואה

( ) dAxxaxaaEM 333220

A

)i(

i2

)i(

++= ∫∑

,טוייפתיחת הסכימה מובילה לב

++

+

+++

++=

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

)1( )2(

)1( )2()1( )2(

A A

23

)2(23

)1(3

A A32

)2(32

)1(2

A A3

)2(3

)1(02

dAxEdAxEa

dAxxEdAxxEadAxEdAxEaM

K

KK

(5-33)נובע ממשוואות , היות וראשית מערכת הצירים נקבעה במרכז הכובד של החתך המשוקלל

. מתאפסa0 כי הביטוי בסוגריים הכופלים את (5-35) - ו

:ויסומנו כך, A(i) הם מכפלות האינרציה של השטחים החלקיים a2ינטגרלים בסוגריים הכופלים את הא

(5-42) ∫=)i(A

32)i(

23 dAxxI

:ויסומנו כך, A(i) הם מומנטי האינרציה של השטחים החלקיים a3והאינטגרלים בסוגריים הכופלים את

(5-43) ∫=)i(A

23

)i(33 dAxI

, נותנים(5-36) ושימוש במשוואה M2 אלו בביטוי של הצבת הגדרות

[ ] [ ]KK +++++= )2(332

)1(33103

)2(232

)1(231022 InInEaInInEaM (5-44)

23I , הם מכפלת האינרציה של החתך המשוקללa2הסוגריים הכופלים את

33I . הם מומנט האינרציה של החתך המשוקללa3והסוגריים הכופלים את

,תקבללאחר הצבה מ

3332320

2 IaIaEM

+=

, והתוצאהM3חישוב דומה עושים לרכיב המומנט

2332220

3 IaIaEM

+=−

5-20

,(5-14)כמו , שתי המשוואות האחרונות יכולות להרשם בצורה מטריצית

=

− 3

2

2322

3323

0

3

0

2

aa

IIII

EMEM

(5-45)

,(5-16)וא למשוואה ולפיכך הביטוי למאמץ ידמה אף ה(5-15) דומה לפתרון (5-45)פתרון

−

+−++=σ 2

233322

223233332332221i

)i(11 III

x)IMIM(x)IMIM(AN

n (5-46)

מתאימה לחישוב מאמצים נורמאליים בחתך רוחבי של קורה העשויה ממספר כלשהו (5-46)משוואה -

(i) של חומרים .

.הן תכונות של השטח המשוקלל, המסומנות בקו עליון, התכונות הגיאומטריות של השטח-

.(5-37) או (5-35)על פי משוואה , מרכז הכובד של החתך המשוקללראשית הצירים קבועה ב-

דוגמא

ומומנט N1כאשר בחתך פועל כח צירי , העשויה משני חומרים, חישוב מאמצים בקורה בעלת חתך מלבני

3322 כפיפה eMeMM +=

:נתון

h 1 = 0.2h ; h 2 = 0.8h ; h = 2b

E 0 = E 1 ; E 2 = 0.2E 1

1

2

b

h 2

h 1

x 2

x 3

פתרון

.ך המשוקללקביעת מרכז כובד של החת: 'שלב א

.כמתואר בציור, נבחר בפינה שמאלית תחתונה. לשם כך יש לקבוע ראשית מערכת צירים במקום נוח

:והגדלים המופיעים בה רשומים להלן, (5-37) או (5-35)הנוסחה המתאימה לחישוב היא

5-21

2h

hx;2b 1

2)1(

3 +=x;bhA )1(21

)1( ==

2

hx;2bx;bhA 2)2(

3)2(

22)2( ===

2)2(2

)1(1 b72.0AnAnA =+=

:(.C.G) נותנת את ערכי מרכז הכובד של החתך המשוקלל (5-35)משוואה הצבה ב

h678.0x;2bx 32 ==

.מכאן והלאה נקבע ראשית מערכת הצירים במרכז כובד זה

ממרכז הכובד , הוספנו בציור את מרחקי מרכזי הכובד של שני החומרים, לשם נוחיות המשך החישוב

.המשוקלל

:קבלים הםהערכים המספריים המת

x3(1) = (0.8 − 0.678)h + 0.1h = 0.222h

x3(2) = (0.678 − 0.4)h = 0.278h

1

2

b

h2

h1

x 2

x 3

C.G.

x3- (1)

x3- (2)

חישוב מומנטי אינרציה של החתך המשוקלל: 'שלב ב

43

)1(22 b033.0

12hb2.0I ==

43

)2(22 b133.0

12hb8.0I ==

423

)1(33 b084.0)h222.0)(bh2.0(

12)h2.0(bI =+=

423

)2(33 b836.0)h278.0)(bh8.0(

12)h8.0(bI =+=

0II )2(23

)1(23 ==

5-22

,(5-44)האינרציה של החתך המשוקלל שבמשוואה הצבת ערכים אלה בהגדרות מומנטי

4)2(332

)1(33133 b25.0InInI =+=

4)2(222

)1(22122 b06.0InInI =+=

,(5-46)המאמץ הנורמאלי מחושב לפי משואה

−+=σ 24

334

22

1i

)i(11 x

b06.0Mx

b25.0M

b72.0Nn

ומומנט , N1כאשר לא פועל בחתך כח צירי , בציור מתוארים פילוג עיבורים ומאמצים בחתך ההטרוגני

הממוקמים במרכז הכובד של , הציריםלפיכך הציר הניטראלי עובר בראשית . 2e2M=Mהכפיפה הוא

ואילו במאמץ חלה קפיצה במעבר , פילוג העיבורים רציף במעבר מחומר אחד למישנהו .החתך המשוקלל

.בהתאם לקפיצה במודולי האלסטיות של החומרים השונים, מחומר לחומר

2x

3x

Neutral axis

2

1

σ ε b

.בלבד M2ה במומנט כפיפה פילוג עיבורים ומאמצים בחתך קורה הטרוגנית העמוס) : 5-9(ציור

5-23

מאמצים פלסטיים בכפיפת קורה(5-6)

אשר הוביל σ=Εε כי הקשר , נוסחת הכפיפה אינה מתקימת, כאשר הקשר בין המאמץ לעיבור אינו לינארי

, אם וקטור מומנט הכפיפה אינו לאורך ציר סימטריה של החתך, בנוסף. לנוסחת הכפיפה אינו מתקיים

פלסטי -מאחר ורוב המתכות מתנהגות באופן אלסטו. הציר הניטראלי לא יעבור במרכז הכובד של החתך

נצטרך לפתח נוסחת . הנוסחה שפיתחנו לא תתאים יותר, כאשר המאמצים בהם עולים מעל רמה מסוימת

פלסטית שונה ואנליזה מדויקת -בדרך כלל לכל חומר התנהגות אלסטו. כפיפה בהתאם להתנהגות החומר

בעיקר פלדות עם נקודת (אימה להתנהגות חמרים רבים המת, קימת אנליזה מקורבת, עם זאת. היא קשה

).כניעה ברורה

c2

σ

εyε

yσ

אידאלי-פלסטי , מודל אלסטי : (5-10)ציור

:האנליזה מבוססת על ההנחות הבאות

ומעבר לו יש זרימה פלסטית ללא אפשרות להגדלת (σy)ארי עד מאמץ הכניעה י לינ σ −εהקשר . 1

.המאמץ

.ברנולי בדבר חתכים מישוריים נשארת בתוקף גם בתחום הפלסטי-הנחת אוילר. 2

.משואות שיווי המשקל הסטטי נשארות בתוקף. 3

b, מלאמלבניבעלת חתך לשם פשטות נדון תחילה בקורה כאשר מומנט הכפיפה פועל לאורך ציר , ×

3eMM . ,ראשי =

yMM

: שלושה מצבים בהעמסת הקורהמתוארים (5-11)בציור

(a) בסיבים הקיצוניים של (פילוגי עיבורים ומאמצים ברגע התחלת הדפורמציה הפלסטית

=.כאשר , )החתך

(b) עדיין בתחום האלסטי) הפנימי(בו חלק מהקורה הופך פלסטי וחלקה , מצב ביניים.

(c) עומס ההרס של הקורה(M=M0) , כל החתך הופך להיות פלסטיבו.

c מחצית גובה הקורה

h מחצית גובה התחום האלסטי

b רוחב הקורה

5-24

yMM = (a)

yε 2x

M

yσ yε

yσ

M

Elastic

1x

0y MMM << (b)

yε yσ

yεyσ

2x

1x

Elastic Plastic

M

h c M

0MM = (c)

yσ

yσ

∞

∞

2x

1x

M M

Plastic

פלסטי מלא(c), פלסטי-אלסטו (b), אלסטי(a): שלושה שלבים בהעמסת קורה: (5-11)ציור

-המומנט הגורם למצב זה מסומן כ. σyבתחום הראשון רק הסיבים הקיצוניים מגיעים למאמץ הכניעה

My.

, המאמצים. εyהעיבורים בשכבות הקיצוניות גדלים מעל , My -כאשר מגדילים את המומנט מעבר ל

יהיה , שהגיעו לתחום הפלסטי, ת הקיצוניות ולכן המאמץ בשכבוσyאינם יכולים לעלות מעל , לעומת זאת

.σyקבוע וערכו

5-25 ים עד אשר בשלב מסו, וון מרכז הקורההתחום הפלסטי מתפשט בכי, עם גידול המומנט המופעל על הקורה

. M0 -המומנט הגורם למצב זה נקרא מומנט ההרס של החתך ומסומן ב. כל החתך הופך להיות פלסטי

נוהגים לקרוא ). ביחס לתוספת מומנט(מומנט והחתך מתנהג כפרק במצב כזה אי אפשר להגדיל את ה

.פרק פלסטילחתך במצב כזה

. בחתך מלבניM0 - וMyחישוב המומנטים

Myמנוסחת הכפיפה, מחושב על פי הגדרתו:

y2

y

3y

y bc32

c12)c2(b

cI

M σ=σ=σ

= (a)

M0 מחושב על ידי אינטגרציה של המאמצים על פני החתך כמתואר בציור (5-11,c):

(b) y2

y0 bcc)bc(M σ=σ=

אפייני 1.5יחס זה של ). My( מהמומנט הגורם להתחלת הכניעה 1.5גדול פי ) M0(רואים כי מומנט ההרס

. וח הביטחון שיש לנו בין התחלת דפורמציה פלסטית ועד להרס החתךולחתך מלבני והוא ממחיש את מר

דרך חישוב המומנטים דומה . נטים יקבל ערכים שוניםהיחס בין שני המומ, בחתכים בעלי צורות אחרות

. לדרך שהודגמה כאן

מהלך המומנטים כפונקציה של עקמומיות הקורה

לעקמומיות , נתאר את הפונקציה המתארת את הקשר בין המומנט המופעל על הקורה, להשלמת התמונה

ור מומנטים גבוהים יותר יתקיים עב. ארייהקשר הוא לינ, Myברור שכל עוד לא מגיעים למומנט . הקורה

אור סכמתי מופיע בציור ית. M0רה הוא וארי והגבול העליון למומנט שאפשר להפעיל על הקיקשר לא לינ

(5-12).

yκκ

yMM

Elastic Elasto - plastic

4 3 2 1

0.5

1.0

1.5

מומנט כפיפה כפונקציה של עקמומיות קורה בעלת חתך מלבני : (5-12)ציור

ב בו הכניעה מתחילה בסיבים הקיצוניים והעקמומיות במצ, κ -כאשר עקמומיות הקורה מסומנת ב

.κy -מסומנת ב

5-26 בתחום האלסטי. א

המומנט הפועל בחתך , κארי בין עקמומיות הקורה י קיים קשר לינבתחום האלסטי נראה כי 7בפרק

נקבל את הקשר בין העקמומיות , עיבור-על ידי שימוש בנוסחת הכפיפה ובקשר מאמץ. וקשיחותה לכפיפה

. קמומיות והעיבורוהמאמץ ובין הע

2222 xExEI

MR1 ε

−=σ

−==κ= (5-47)

.העקמומיות של הקורה הוא רדיוס R כאשר

κ=κyבמצב זה . M=Myכולל במצב הגבולי כאשר , בתחום האלסטי, כאמור, נוסחאות אלו תקפות

cx2( ,נותנת (5-47)הצבת ערכים אלה במשואה . σ=−σy הוא )והמאמץ בסיב העליון של החתך =

cEI

M y

22

yy

ε==κ (5-48)

:(5-48) - ב(5-47)חלוקת משואה

yyM

Mκκ

= (5.49)

פלסטי-בתחום האלסטו. ב

על ידי אינטגרציה של המאמצים המופיעים מתקבל, (b,5-11)המומנט הפועל בחתך הקורה שבציור

.באותו ציור

(c)

σ+σ−= ∫ ∫

h

0

c

h2222 dxxdxxb2M

, בתחום האלסטי

hx0;h

x2y

2 ≤≤σ−=σ

,בתחום הפלסטי

cxh; 2y ≤≤σ−=σ

:תתן , (c)הצבת המאמצים המתאימים באינטגרל

y

22

h

0

c

h22y2

22

y

ch

311bcdxxdxx

hb2M σ

−=

σ+

σ= ∫ ∫ (d)

,נותנת) (a)משואה (My - ב(d)חלוקת

5-27

−=

2

y ch

311

23

MM (5-50)

האחד ממשואה : בשני ביטוייםεyלשם כך נבטא את . κ/κyחס בין ביh/cאנו מעונינים להחליף את היחס

תוך , כאשר מיחסים אותה לקטע האלסטי המרכזי של חתך הקורה, (5-47)השני ממשואה , (5-48)

hx2 ,נקבל. ε=−εyשורר עיבור , הבחנה שבסיב עבורו =

κ

κ=⇒

κ=ε⇒−κ=ε⇒− y

y

yy

ch

h)475(c)485(

(e)

. את הפונקציה המבוקשתנותנת (5-50) - ב(e)הצבת

κ

κ−=

2y

y 311

23

MM (5-51)

.(5-12) מופיע בציור (5-51) - ו(5-49)אור הגרפי של משואות יהת

מתעורר קושי נוסף שלא , כאשר לחתך יש רק ציר סימטריה אחד ווקטור המומנט ניצב לציר הסימטריה

במצב ההרס אינו עובר , במקרה כזה ,אשר, יטראליהכוונה לקביעת מקום הציר הנ. למעלהטופל בדוגמא

ובהתחשב , !)כפיפה בלבד(מהתנאי כי סכום הכוחות בחתך חייב להתאפס . דרך מרכז הכובד של החתך

נובע כי הציר הניטראלי מחלק את , הוא אחיד במצב של פרק פלסטיבעובדה שגודל המאמצים על החתך

.וים בשטחםולשני חלקים ששטח החתך

אדוגמ

t

1.5a

t

a הגורם ליצירת פרקM0 יש לחשב את גודל המומנט

פלסטי בחתך של קורה העמוסה במומנט כפיפה בכיוון

. הניצב לציר הסימטריה של החתך המתואר

.t=0.1a: עובי דפנות החתך הוא

.יש לערוך חישוב מדויק ולהשוותו לחישוב המבוסס על חתך דק דופן

a

N.A. c

1.5a

.חישוב מדויק .א

.י השוואת שטחים"נעשית ע (c)הניטראלי קביעת מיקום הציר

a275.04t

4ac

t)ca5.1(t)2tca(

=+=

−=−+

5-28

השוררים על , , י אינטגרציה של מאמצי הכניעה"גודל המומנט הגורם ליצירת פרק פלסטי מתקבל ע

.ובצידו השני מאמצי לחיצה, חהבצידו האחד של הציר הניטראלי שוררים מאמצי מתי. פני כל החתך

yσ

y3

y)1( a0275.0atcM σ=σ=

אפשר לפשט את האינטגרציה למכפלת , והמאמצים עליו בעלי גודל אחיד, מאחר והחתך מורכב ממלבנים

סביב הציר ) בגלל נוחיות(את המומנטים של כל כוח שקול נחשב . כוחות שקולים בזרועות מתאימות

.הניטראלי

:מומנט הכוח במלבן העליון האופקי

y :מומנט הכוח במלבן האנכי מעל הציר הניטראלי3

y2

)2( a00253.02t)

2tc(M σ=σ−=

y :מומנט הכוח במלבן האנכי מתחת הציר הניטראלי3

y2

)3( a0750.02t)ca5.1(M σ=σ−=

y3

)3()2()1(0 a105.0MMMM σ=++=

,המומנט הכללי שווה לסכום שלושת המומנטים החלקיים

a ):ןהנחת חתך דק דופ(חישוב מקורב .ב

1.5a

N.A. c קביעת מיקום הציר הניטראלי(c)י השוואת שטחים" נעשית ע.

a25.0

4ac

t)ca5.1(t)ca(

==

−=+

y :מומנט הכוח במלבן העליון האופקי3

y)1( a025.0atcM σ=σ=

y :מומנט הכוח במלבן האנכי מעל הציר הניטראלי3

y)2( a003125.02cctM σ=σ=

y : האנכי מתחת הציר הניטראלימומנט הכוח במלבן3

y2

)3( a078125.02t)ca5.1(M σ=σ−=

y3

)3()2()1(0 a106.0MMMM σ=++=

,המומנט הכללי שווה לסכום שלושת המומנטים החלקיים

.1% -ההפרש בין שני החישובים הוא כ

5-29

ח צירי ומומנט כפיפהו הרס פלסטי של חתך עם כ-דוגמא

b×h חתך מלבני :נתון

N -קול במרכז החתךח מתיחה צירי שוכ

3eMM -מומנט כפיפה שקול בחתך −=

1x

2x

h

b

M N

. הגורם להרס פלסטי של החתךMגודל המומנט : דרוש

: פתרון

y0 :בהעדר מומנט, הגורם להרס פלסטיN0ח צירי ותחילה נגדיר כ bhN σ=

y : ציריחובהעדר כ, הגורם להרס פלסטיM0ומומנט כפיפה 2

0 bh41M σ=

:פילוג המאמצים בחתך במצב הרס פלסטי

Yσ

Yσ

ζ

ζ−hh

M

(+)

(-)

N

:קביעת מיקום הציר הניטראלי

,חות מקבליםומשיווי משקל כ

+=ζ⇒σζ−−ζ=σ= ∫

0Ay N

N12h)]h([bdAN

5-30

:קביעת מומנט ההרס

ח המרוכז וי הכ"כדי לחסוך חישוב המומנט הנגרם ע, סביב נקודה על מרכז החתך(משיווי משקל מומנטים

N(,

2)]h(h[b)h(

2h)b(dAxM yy

A2

ζ−−σζ−+

ζ−σζ=σ= ∫

ח בחלקוכ זרוע ח בחלקוכ זרוע עליון עליונה תחתון תחתונה

00 : מתקבלת משוואת עקום הכשל הפלסטי מלמעלה ושימוש בהגדרות ζלאחר הצבת M;N

2

00 NN1

MM

−=

: הכשל מתואר בציורעקום

0MM

0NN

1

1

. M=M0החתך הופך לפרק פלסטי כאשר , Nח צירי ובהעדר כ

. N=N0החתך הופך לפרק פלסטי כאשר , Mבהעדר מומנט כפיפה

ח ונוצר פרק פלסטי כאשר הנקודה המתארת את גודל הכ, ח צירי ומומנט כפיפה ביחדוכאשר פועלים כ

.והמומנט נופלת על העקום

6-1

מאמצי גזירה בכפיפת קורות: 6פרק

מבוא(6-1)

הנחת אוילר ברנולי (ארי יפיתוח הנוסחה לחישוב מאמצי כפיפה התבסס על הנחת פילוג עיבורים לינ, עד כה

אחר כך נעשה שימוש בחוק הוק . והזנחת מאמצים נורמאליים בניצב לציר הקורה) של חתכים מישוריים

הצעד . ארייאמצים הנורמאליים על פני החתך הרוחבי של הקורה הוא לינאשר הוביל לקביעה כי פילוג המ

אשר , על ידי פעולת אינטגרציה, הבא היה חישוב המומנט השקול של המאמצים הנורמאליים בחתך הקורה

.ידיעת מומנט הכפיפה בחתך איפשרה לחשב את המאמצים השוררים בו. נתן את נוסחת הכפיפה הידועה

נעשה בדרך שונה מאחר ואין לנו בסיס , הנובעים מכוח גזירה שקול הפועל בחתך, רהחישוב מאמצי הגזי

השיקולים אשר יובילו לקביעת פילוג מאמצי הגזירה מבוססים על שיווי . להניח צורת פילוג עיבורי גזירה

חתכים (הנחת אוילר ברנולי , עם זאת. משקל של אלמנטים קטנים של הקורה כפי שיוסבר בהמשך

למרות שחישובים מדויקים יותר מראים כי מאמצי גזירה הפועלים בחתך , נשארת בתוקף...) יםמישורי

.גורמים לכך שחתך מישורי מלפני ההעמסה הופך ללא מישורי בעקבות העומס

. מאמצי גזירה בחתכים מלאים(6-2)

.Vירה שורר בחתך רוחבי של הקורה כוח גז, כאשר מהלך מומנטי הכפיפה לאורך הקורה משתנה

י "ע )M(קשורים לנגזרות רכיבי המומנט )V( הגזירה רכיבי וקטור, "1מכניקת מוצקים "כפי שנלמד בקורס

:הקשרים

1,231,32 MV;MV =−= (6-1)

ונבחן את המאמצים הנורמאליים הפועלים על שני החתכים שבציור נחתוך מהקורה קטע באורך

(6-1.a) . כיוון המאמציםσ לשם הדגמה בלבד, שבציור נקבע באופן שרירותי.

1dx

x3

x2

t c c'

d ˜ A

(a)

x2

a d

b c

dx1

x1

σ σ+ d σ

(b)

a

b c

d

τ c'

c'

dx1

b

c τ b'

. מאמצי גזירה(b), מאמצים נורמאלייםdx1 .(a)פילוג מאמצים על אלמנט קורה : (6-1)ציור

6-2

שונים ) (a)של (יהיו המאמצים הנורמאליים על החתך הימני , בהנחה שקיים פילוג מומנטים לאורך הקורה

ניווכח כי , של קטע הקורה, abcd, אם נחתוך כעת את החלק העליון. dσ בשיעור, מאלו בחתך השמאלי

בכדי לקיים שיווי משקל של .חות בכיווןוהמאמצים הנורמאליים אינם ממלאים תנאי שיווי משקל של כ

גם כאן כיוון . (b.6-1) כמתואר בציור 'bb'cc על החתך τחייבים לשרור מאמצי גזירה , abcdהאלמנט

בהמשך נראה דרך המאפשרת קביעת כיוון המאמצים בצורה ומאמצי הגזירה נקבע בינתיים באופן שרירותי

של t אינם משתנים לרוחבו, הפועלים על שני צידי החתך, אנו מניחים כי מאמצי גזירה אלו. חד ערכית

השינוי , ) (מאחר ואורך החתך זעיר. אינו משתנה לרוחב החתךי כשם שהמאמץ הנורמאל, החתך

לאחר שנקבע את גודל וכיוון . הם קבועים גם לאורכובהם לאורך הזעיר של החתך זניח ואפשר להניח כי

על פי חוק , אנכירה בחתך רוחבי נוכל לקבוע גם את מאמצי הגזי, 'bb'cc האופקימאמצי הגזירה בחתך

פועלים אותם מאמצי , בין החתך האופקי והחתך האנכי('cc)לאורך קו המפגש : הזוגיות של מאמצי גזירה

או מקו המפגש , 'ccכיוון המאמצים בשני המישורים הניצבים זה לזה הוא או כלפי קו המפגש . τגזירה

.והלאה

1x

11σ1dx

1xA

של abcdנביא עוד ציור המראה שני מבטים של אותו קטע , וכיוונםבכדי לחשב את עוצמת מאמצי הגזירה

.הקורה

τ

A~ A~ofG.Cc′

3x

2x

c

d

t

+

1dxτ

σσ dσ

d a

b c

.מאמצים נורמאליים ומאמצי גזירה על קטע מהקורה : (6-2)ציור

ששטח חתכו הרוחבי , של חלק המוט העליון חות בכיוון צירונבצע שיווי משקל של כ~

:

∫ =⋅⋅τ+⋅σA~

111 0dxtdAd

1x

1dxt ⋅

ח בכיוון חיובי של ורושו כיוסימן חיובי פ, חוכשימו לב כי כל אחד משני הביטויים שבמשואה מבטא

.ציר

: והעברת אגף נותנים -חלוקה ב

∫ σ−=τA~

1,11 dAt1

11

:נותנת) 5-16(ממשוואה ) לאחר גזירתו( σ הצבת הביטוי של המאמץ

( ) ( )

dAIII

xMIMIxMIMIA

Nt1

A~2233322

21,2231,33331,3231,2221,1∫

−

+−++−=τ

6-3

בדרך כלל שינויים אלה . ח הצירי הפועל לאורך הקורהו מתאר שינויים בכ(N1,1)האיבר הראשון באינטגרל

את נגזרות . N1,1 ניתן להזניח את ל כןאו בעלי ערך נמוך בהרבה מיתר האיברים באינטגרל וע, מתאפסים

.(6-1)לפי משוואה , ח הגזירהורכיבי מומנט הכפיפה אפשר להחליף ברכיבי כ

.~A של שטח חלקיQחדש והוא מומנט סטטי ) וקטורי(נגדיר מושג , להשלמת ההצגה של האינטגרל

:י הביטויים"רכיבי המומנט הסטטי מוגדרים ע

2x

3x

A~

dA

C.G

. ~Aת שטח חלקיהגדר: (6-3)ציור

(6-2) ∫∫ ==A~

3A~

322 dAxQ;dAxQ

ה במרכז הכובד של שטח ראשיתנמדדות במערכת צירים ש, dA הן קואורדינטות אלמנט שטח xiכאשר

מערכת צירים שראשיתה במרכז הכובד של חתך –במלים אחרות (A הרוחבי הכולל של הקורה החתך

.)הקורה

: ביטוי כללי למאמץ הגזירהנותנתיטויים באינטגרל למעלה הצבת כל הב

( ) ( )2233322

22333233223322

IIIQVIVIQVIVI

t1

−−−−

−=τ (6-3)

-הביטוי מצטמצם ל, ראשיתכאשר עובדים במערכת צירים

+−=τ

33

33

22

22

IQV

IQV

t1 (6-4)

: קובע את כיוון הגזירה בחתך בדרך הבאהτהסימן של מאמץ הגזירה

הפועלים בכיוון ציר כוחות היא שיווי משקל של (6−3) (6−4)משוואות נזכור כי נקודת המוצא בפתוח ה

הפועל על המישור τנובעת מהמאמץ , ח בכיוון ציר הקורהותרומת מאמץ הגזירה לכ. של הקורה(x1)האורך

bb'cc' התוחם את הקטע העליון של הקורה (abcd) שבציור (6-1,b) . ערך חיובי שלτ לאחר ( מתאים

xהפועל בכיוון החיובי של ציר , ח חיוביולכ) tdx-הכפלתו ב לאחר קביעת . (b,6-1)כפי שמצויר בציור , 11

על פי כלל , שהוא חתך רוחבי של הקורה, בחתך הניצב לוτאפשר לקבוע את כיוון , בחתך אופקי זהτכיוון

6-4

2x

A

ירה זה הוא המאמץ אותו בקשנו מאמץ גז"). זנב אל זנב"ו" ראש אל ראש("הזוגיות של מאמצי גזירה

. בין שני המישורים'ccלמצוא והוא פועל לאורך קו המפגש

,)6-4(לשם פשטות נתיחס למשוואה . τ וכעת הערות אחדות לגבי הגורמים המשפיעים על סימנו של

ח ונניח שבחתך רוחבי של הקורה פועל רק כ. ונדון בחתך רוחבי חיובי,המוגדרת במערכת צירים ראשית

יקבע τהסימן של , הוא חיובי, הרלוונטי לחישוב, I22 היות ומומנט האינרציה . במקביל לציר(V2)גזירה

של השטח החלקיQ2ח הגזירה שבחתך הרוחבי וסימן המומנט הסטטי ועל פי סימן כ~

כאשר שטח זה .

, היכן שמתקיים , )(b,6-1)כמו בחלק העליון של הקורה שבציור ( מעל לציר ) ברובו(נמצא

Qהמומנט הסטטי

3x0x2 >

2x

לכן . חיובי אף הואQ2 הוא חיובי והמומנט הסטטי τ כיוון (b,6-1)בציור הנדון . חיובי2

על פי חוק הזוגיות רואים . לכיוון צירבניגוד , כלומר לפעול כלפי מטה, חייב להיות שליליV2ח הגזירה וכ

, ח גזירה כלפי מטהו אכן פועל כלפי מטה ולכן גם אינטגרציה על כל החתך הרוחבי נותנת כτבציור כי

.ח שליליוהמוגדר ככ

τ השוה למכפלת מאמץ הגזירה, q" זרימת הגזירה"נגדיר מושג נוסף הקשור בגזירה והוא , לשם השלמה

.ח ליחידת אורךו הוא כq מבחינה מימדית. של החתך(t)ברוחב המקומי

tq τ= (6-5)

פילוג מאמצי גזירה בקורה בעלת חתך מלבני : 1דוגמא

2x

1x

aveτ

maxτ

y3x

2xA~

2x

h

V

e

f d

c

b

(b) (a)

. כמתוארVזירה שקול ח גואשר פועל בה כ, (a)יש לחשב את פילוג מאמצי הגזירה בחתך מלבני של קורה

:cdef של השטח Q2נתחיל בחישוב

+=

−== 222 x

2h

21y;x

2hbA~;yA~Q

6-5

−

= 2

2

2

2 x2h

2bQ

,נותנים -ו A=bhושימוש בקשרים ) 6-4(-הצבה ל 12bhI

3

22 =

−−=

−

−=τ

222

2

2

22 hx41

A2V3x

2h

I2V

. מתקבל כי במקרה הנוכחי הכיוון הוא כלפי מעלה, על פי ההסבר לקביעת כיוון מאמץ הגזירה

0x2 , )(הערך המכסימאלי הוא במרכז =

avemax 23

A2V3

τ==τ

. למעלה(b)פילוג המאמצים מופיע בציור

המאמץ מתאפס , שימו לב כי בגבול העליון והתחתון של החתך מאמץ הגזירה מתאפס ולפי חוק הזוגיות

מצב זה תואם את המציאות בה השפות . של הקורה) העליונה והתחתונה(גם על השפות החיצוניות

.מס חיצוןהחיצוניות חופשיות מע

חישוב מסמרות בחיבורי קורות

נניח כי הקורה בדוגמא למעלה מורכבת משני חלקים המחוברים זה לזה בעזרת שורת מסמרות הנמצאות

.(6-4)החלק התחתון של הקורה המסומררת מתואר בציור . זו מזוx∆במרחק

1e

x∆

3e

2ex∆

τ

t

.חלק של קורה מסומררת : (6-4)ציור

6-6

באורך , ח הגזירה שהיה מועבר בחתך אורכי של הקורהוגודל כ, לקי הקורה היו מיקשה אחתאילו שני ח

∆x וברוחב tהיה :

xI

VQxqxtF22

2B ∆=∆⋅=∆⋅⋅τ=

חייב להיות מועבר FBח והכ, אלא מסומררים זה לזה, היות ושני חלקי הקורה אינם מיקשה אחת

ח ו הוא איפוא כFB. בכיוון ציר הקורהחות ובאמצעות המסמרה בכדי לשמור על שיווי המשקל של כ

שהיה פועל ) המחולק(ח הגזירה והבא במקום כ, במישור החיבור בין שני חלקי הקורה, הגזירה במסמרה

. אילו הקורה היתה מיקשה אחתt∆xעל שטח

. אפשר לבחור קוטר מסמרה והחומר ממנה היא עשויה-ח גזירה זה נתוןוכאשר כ*

. בין המסמרותx∆אפשר לקבוע את המרחק -כאשר נתונה המסמרה*

ח במסמרה תשתנה במקצת ונוסחת הכ, שורות של מסמרותnאם שני חלקי הקורה מחוברים בעזרת *

:ותהיה

xq

n1x

nIVQF

xqxI

VQnF

22

2B

22

2B

∆⋅=∆=

∆⋅=∆=

(6-6)

מאמצי גזירה בקורות בעלות חתכים דקי דופן (6-3)

כמתואר , הפועל בחתך חייב להיות מקביל לדופןכיוון מאמץ הגזירה, כאשר קורה עשויה מפרופיל דק דופן

היה לו גם רכיב ניצב לדופן ולפי חוק הזוגיות גם על , אילו המאמץ לא היה מקביל לדופן. (6−5)בציור

על השפה החופשית לא פועל והיות . היה חייב להיות מאמץ גזירה, שהיא שפה חופשית, השפה החיצונית

.אין מאמץ גזירה הניצב לדופן) ליד הדופן(הרוחבי נובע שגם בתוך החתך , מאמץ גזירה

לכן מאמץ הגזירה הפועל בה מקביל לדופן לא רק ליד , מאחר והדופן דקה: כעת מגיעים להנחה השניה

. עוצמת מאמץ הגזירה קבועה על פני עובי הדופן-יתר על כן . הדפנות אלא בכל העובי

1dx t

1e 1dx

11σ

1e1111 dσ+σ

A~τ

t

ק דופןמאמץ גזירה בחתך ד: (6−5)ציור

6-7

באותה דרך שפתחנו לגבי , מהקורה על בסיס הנחות אלו מבצעים שיווי משקל של אלמנט באורך

מאמץ שחישבנו היה τהמאמץ , ההבדל העיקרי בין שני המקרים הוא שבחתכים עבים. חתכים עבי דופן

τבחתכים דקי דופן . מהמאמץ האמיתיולפעמים ערכו שונה בהרבה של החתך (t)על פני הרוחב ממוצע

פתוח המשוואות נשאר כשהיה . החתך ולכן הערך המחושב הוא הנכון) רוחב(בעובי ) כמעט(אינו משתנה

. (6-4) - ו(6-3)והתוצאות הסופיות הן משוואות

V

2x

1x

3x

1dxA~ 11dσ

τ

1dx11dσ

A~ττζ

c c

b

b

a

a

t

b

b

a

a t

1dx

2x

.הגזירהאת נחשב מאמצי .h וגובה bבעלת רוחב , I קורה בעלת פרופיל י"נדגים את הנאמר כאן ע

(b)

(c)

(a)

. של חתך דק דופן(flange) מאמצי גזירה באוגן (6-6) : ציור

V3=0 - וV2=V: כלומר, בכיוון החיובי של צירVח גזירה ונניח שבחתך פועל כ

:a-aלאורך הקו , מאמץ גזירה בחלק ימני של אוגן עליון

נת לביטוי ו מתנו(6-4)משוואה 22

2

tIVQ

−=τ

A של השטח החלקי Q2המומנט הסטטי ~

: 2b0;

2htQ2 <ζ<ζ=

)hו - bבהתאמה, הם גובה ורוחב חתך הפרופיל.(

ζ−=τ : בביטוי הגזירה Q2הצבת 22I2

Vh

1dx1x

3x

. ארית עם המרחק מקצה החתךיהמוחלט גדל לינ וערכו ζ שלילי בכל התחום של τרואים כי

כמתואר בציור, הפוך לכיוון ציר) לאורך(הסימן השלילי מעיד שכיוון הגזירה בחתך האורכי

(6-6.b) . מחוק הזוגיות מסיקים שכיוון הגזירה לאורךa-aבחתך הרוחבי הפוך לכיוון ציר .

6-8

:b-bלאורך הקו , מאמץ גזירה בחלק שמאלי של אוגן עליון

כאן . אותו מבודדיםהשוני היחיד הוא בבחירת השטח החלקי . הטיפול דומה לפתרון בחלק הימני

. b-b הקו מהקצה השמאלי של האוגן ועדζונגדיר את המרחק , נבודד את הקצה השמאלי של האוגן

.x בחתך הרוחבי יהיה הפעם בכיוון צירb-b לאורך τורק כיוון , התוצאה זהה לזו שבחלק הימני

A~

3

:c-cלאורך הקו , )web( הטבור– מאמץ גזירה בחלק המרכזי

ζ c c

מבודדים את הקטע שמעליו , c-cכדי לחשב מאמץ הגזירה לאורך הקו

.י חלוקתו לשני מלבנים"ע, של חלק זה(Q2)ים המומנט הסטטי ומחשב) כמתואר בציור(

.במרכז הכובד של חתך הפרופיל של הקורהשראשיתם , מחושב ביחס לציריםQ2 נזכור כי

2

)h(t2hbtQ2

ζ−ζ+=

. את פילוג הגזירה לאורך החלק המרכזינותנת למעלה τהצבה בביטוי של

.כאן הפילוג הוא פרבולי, ארי שהיה באוגןיבניגוד לפילוג הלינ

לפי הכללים . לגזירה ערך שלילי, ) עובר מתחת לציר c-cגם אם הקו ( חיובי Q2מאחר והסימן של

חבי ולכן בחתך הרו, x כיוון הגזירה מנוגד לכיוון צירc-cשהוסברו בעבר מתקבל שבחתך האופקי דרך

.כפי שאנו מצפים, כיוון הגזירה כלפי מעלה

3x

1

.והזנחנו גדלים מסדר גודל שני' חתך דק דופן' התיחסנו לחתך לפי הנחת Q2 בחישובי :הערה

ח גזירה וכאשר שורר בו כ, הציור הבא מתאר את כיוון מאמצי הגזירה בחלקים השונים של החתך, לסיכום

. (shear flow)" זרימת הגזירה"מצי הגזירה ידועים בשם החיצים המתארים את כיוון מא. שקול חיובי

, הנכנסת לצומת(q)כמות הזרימה . ואל זרימת הגזירה כאל זרימת נוזל, אפשר להתיחס לחתך כאל תעלות

. שווה לזרימה היוצאת מהצומת

מהציר כי הוא נמצא במרחק קבוע, אריילאורך האוגן הפילוג לינ. בציור מתואר גם פילוג עוצמת הגזירה

(web)הפילוג לאורך הטבור ). ציר (הניטראלי ורק השטח גדל כאשר זזים מקצה האוגן כלפי המרכז

.כמו שפותח בדיון על חתך מלבני מלא, הוא פרבולי

2x

τ

τ

.Iזרימת הגזירה ופילוג מאמצי גזירה בחתך : (6-7)ציור

6-9

.זירה בחתך טבעתי דק דופןפילוג ג: 2דוגמא

. יש לחשב את פילוג מאמצי הגזירה בחתך רוחבי של צינור דק דופן

3x

2x

θ

V

R

t

θ θ

(b) (a)

. בניגוד לחתך הפתוח בו עסקנו עד כה, סגורהחידוש בדוגמא הנוכחית הוא בכך שהחתך

מאמץ . ~A ששטחו חדש רוחבי חלקי יצרנו חתך, כאשר חתכנו חלק מהחתך הרוחבי הפתוח של הקורה

היה הנעלם ,dxואורכו ששטחו , אשר בודדנו על ידי פעולת החיתוך קטע הקורההגזירה הפועל על

.(6-4) או (6-3)חישבנו אותו מנוסחה . היחיד

A~1

2

אלא נצטרך ,הרוחבי של הקורה על ידי חתך אחדלא נוכל לבודד קטע מהחתך , כאשר דנים בחתך סגור

יהיו מאמצי הגזירה , אם נבחר את שני החתכים באקראי. של הציור(b)כמוראה בחלק , לחתוך שני חתכים

הוא τלא נדע האם . (6-4) או (6-3) שונים זה מזה ולא נוכל לחשבם ממשואה בחתכים אלוהשוררים

וים זה לזה ו נדע מראש שהמאמצים על שני החתכים שרק אם. המאמץ על החתך האחד או על השני

.רק אז נוכל לחשב את המאמץ בחתך, או שעל אחד החתכים המאמץ מתאפס, )מטעמי סימטריה, למשל(

נוכל לומר כי מטעמי סימטריה , x בכיוון ציר Vח גזירה שקול וכאשר פועל בחתך הצינור שבציור כ

ויות אלו ולפיכך נבצע חיתוך בשתי ז. מאמצי גזירה בעוצמה שווהθ− ובכיוון θ+בכיוון ישררו על חתכים

שבנוסחה tובמקום רוחב החתך , (b) יהיה של הקטע שבציור (6-4) בנוסחה Qהמומנט הסטטי ). (b)ציור (

. מאחר ויצרנו שני חתכים2tנציב

Q ( )( ) θ−=ϕ−⋅ϕ⋅= ∫θ

θ−θ± sintR2cosRtdR 2

( )( ) ∫∫ππ

π=θθπ=ϕ⋅ϕ⋅=2

0

2322

022 dcos;tRcosRtdRI

6-10

( ) θπ

=−

=θτ sinRtV

)t2(IVQ

22

Rt2A ; AV2

RtV

max π==π

=τ

. של הציור הבא(a)פילוג המאמצים נתון בחלק

maxτmaxτ

V V

(b) (a)

נוכל לחתוך את הצינור בנקודה , מאמץ הגזירה מתאפס) כמו גם בנקודה העליונה(מאחר ובתחתית הצינור

. של הציור(b)כפי שמצויר בחלק , מאמציםמבלי ליצור הפרעה כלשהי בפילוג ה, זו לאורכו

בתנאי שגם כוח , שצורתו סימטרית,בגישה דומה נוכל לפתור מהלך מאמצי גזירה בכל צינור סגור דק דופן

.הגזירה בחתך סימטרי

6 - 11

מרכז הגזירה (6-4)

כמו למשל חתך ,סיון מלמד כי בכפיפת קורות בעלות חתך דק דופן שאין לו סימטריה כפולהיהנ

(6-8)ח הפועל על הקורה שבציור ואם הכ. יכול להתקבל מומנט פיתול שיפתל את הקורה,

, (b) -נקודה המתוארת ב לפרטאו בכל נקודה , (d) - או ב(c) -יפעל בנקודות המתוארות בציור ב

נסביר את הגורם לתופעה זו ואת דרך החישוב של מיקום הנקודה דרכה צריך . הקורה תתפתל

. של החתךמרכז הגזירהנקודה זאת נקראת . ח בכדי למנוע פיתולולעבור קו פעולת הכ

(d) (c) (b) (a)

.הגזירה לא במרכז(c,d); הגזירה דרך מרכז(b): ח מרוכזו עמוסה בכ(a) קורת זיז : (6-8)ציור

נניח כי הקורה מתכופפת בלבד ולא נגרם כל : קביעת מיקום מרכז הגזירה תעשה בדרך הבאה

.ח החיצון כך שהפיתול אכן ימנעוהבעיה שתעמוד לפנינו היא היכן להפעיל את הכ. פיתול

ל הציור מתואר פילוג ש(a)בחלק . (6-8) של הקורה מציור A-A מתואר חתך רוחבי (6-9)בציור

חות ו של הציור מסומנים כ(b)בחלק . (6-4)כפי שחושב מנוסחאות , מאמצי הגזירה בחתך

חות אלו מחושבים על ידי אינטגרציה של וכ. בכל ענף של החתךהפועלים (Fi)השקולים הגזירה

.של הציור נדון בהמשך (c)על החלק השלישי . כפי שיפורט בהמשך, בענף הגזירהמאמצי

1x

2x

3x2x

3x2x

3x2x

3x

F

A

A

F F

F

1F

3x

2x

1F

2F

•

τ

aτ

aτ 2x

1F

2F3x

1F

b

A

e

s

V

t

t

h

(c) (b) (a)

,חות גזירה בחלקי החתךו כ(b), פילוג מאמצי גזירה(a). מהלך גזירה בחתך קורה: (6-9)ציור (c) מרכז הגזירה.

6 - 12

: מחושב כדלהלןF1ח והכ, בענף העליון והתחתוןזירה בגלל הפילוג הליניארי של מאמץ הג

22

2

1222222

22a

a1 I4

htVbF I2

bhVtI

V2

bthtI

VQ;bt2

F =⇒−=−=−=ττ

=

. אולם לא נזדקק לו(F2=V)ח הגזירה הכללי שבחתך ווה בעוצמתו לכוח בענף האנכי שוהכ

פרט למאמצי (חות הפועלים בחתך ו של הציור הם הכ(b) המתוארים בחלק Fiחות הגזירה וכ

). הכפיפה הנורמאליים

ח שקול אחד בתנאי שיתקיימו תנאי וחות בכו מערכת כלהחליף הסטטיקה ידוע שאפשר מתורת

סכום . ב. ח השקולווה לוקטור הכוש) וקטורי(חות וסכום הכ. א: האקויולנטיות הבאים

. ח השקול סביב אותה נקודהווה למומנט הכו ש,חות סביב נקודה רצוניתוהמומנטים של הכ

. Vח השקול הוא והכ. F1,F2, F1, רכאמו, חות הפועלים בחתך הםוהכ

:מהתנאי הראשון מקבלים

22223131 eFVeFeFeFV =⇒+−=

כנקודת ייחוס אשר ביחס אליה יחושב Aנבחר את הנקודה , כדי ליישם את התנאי השני

אינם בענף התחתון F1ח ו והכF2ח ועל ידי בחירה זו הכ). )6-9 ( בציור(c)ראה חלק (המומנט

סימן הוקטור הושמט בחישוב המומנטים מאחר וכל . יש בכך חסכון בחישובתורמים למומנט ו

.A ביחס לנקודת הייחוס חות בהם מדובר נותנים מומנט בכיוון השעוןוהכ

22

221

1 I4thbeh

VFehFVe =⇒=⇒=

, משמאל לדופן החתך eבמרחק עובר Vמראה כי קו פעולת ) Aסביב (משואת המומנטים

.F1חות והוא יוצר ישווה בסימנו למומנט של זוג הככי רק כך המומנט ש, כמתואר

תכונה ח הגזירה הפועל בחתך אלא הוא ו אינו תלוי בכeהבחנה חשובה נוספת היא שהגודל

.בצורת החתך ובמימדיורק של החתך התלוי גיאומטרית

:סיכום דרך החישוב של מיקום מרכז הגזירה

.כם היא מרכז הגזירהנקודת חיתו, שני צירי סימטריהלפחות אם לחתך .א

)?מדוע (.נקודת המפגש היא מרכז הגזירה, אם כל ענפי החתך נפגשים בנקודה אחת .ב

ם מרכז בכדי לקבוע את מיקו. מרכז הגזירה נמצא עליו, ציר סימטריה אחדיש אם לחתך .ג

: לאורך ציר הסימטריה יש לפעול כדלהלןהגזירה

.ולחשב מאמצי הגזירה בענפי החתך בניצב לציר הסימטריה V להפעיל כוח גזירה 1-ג

.ביחס אליה יחושבו המומנטים של כוחות הגזירה בענפים, לקבוע נקודת ייחוס נוחה2-ג

. לחשב כוחות הגזירה השקולים בכל הענפים הרלוונטיים3-ג

6 - 13

השוות את המומנטים של כוחות הגזירה בענפים למומנט כוח הגזירה השקול ל4-ג

מנקודת V של קו פעולת eמהמשוואה מחלצים את המרחק . (Ve)שבחתך

.הייחוס

. עם ציר הסימטריה היא מרכז הגזירהV נקודת החיתוך בין קו פעולת 5-ג

ח החיצון ווהכהפועל בחתך רוחבי של הקורה Vח הגזירה השקול ובכדי להראות את הקשר בין כ

F כולל מיקום הכוח, הקורהבקצה הפועל F, (6-10)קטע הקורה המתואר בציור נתבונן ב.

2x

s

V

e

O

1x

3x

•

F c

2xa

1x

.קטע קורהדיאגרמת גוף חופשי של : (6-10)ציור

שעדיין ( cכוח זה פועל במרחק . Fח חיצוןובציור מתואר קטע קורה שבקצהו מופעל כ

ראשית הצירים .ובד של קצה הקורה ממרכז הכa+cממרכז הדופן האנכית ובמרחק ) לא נקבע

)O ( הנמצא במרחק , רוחביהחתך הנקבעה במרכז הכובד שלx1בחתך הרוחבי . מקצה הקורה

בשלב זה נתיחס למומנט כאל גודל ). שאינו מופיע בציור ( Mומומנט ) V(פועל כוח גזירה שקול

.בעל שלושה רכיבים, נעלם

2eF−=

.V=F : ם על הקורה מתקבלממשוואות שווי משקל של הכוחות הפועלי

6 - 14

כאשר המומנטים מחושבים , כעת נרשום משוואת שווי משקל של המומנטים הפועלים על הקורה

:היאמשקל המשוואות שווי ). בחתך הרוחביOנקודה (ביחס לראשית הצירים

[ ]0eMeMeM]e)ea(e)ca(ex[F

0MeVe)ea()eF(e)ca(ex

3322111131

232311

=++++−++=+×++−×++−

:נותן שלוש משוואות סקלריותהוקטוריאלית פתרון המשוואה

13

2

1

FxM0M

)ce(FM

−==

−=

13משתי המשוואות האחרונות מסיקים כי מדובר בכפיפה ישרה FxM −=.

עובר דרך F החיצון

1

ם מומנטע,

כלומר קו הפעולה של הכוח , c=eמהמשוואה הראשונה מסיקים כי אם

גורם רק כפיפה ולא F והכוח החיצון מתאפסM1מומנט הפיתול , של חתך הקורהרה מרכז הגזי

ce(FM(בכל מקרה אחר קיים בחתך מומנט פיתול . פיתול הגורם למאמצי גזירה נוספים =−

ומומנט הפיתול c=-aקרה כזה פועל דרך מרכז הכובד Fכדוגמה נניח כי . בחתך

כפי שנלמד , )6-11(ר בציומאמצי הגזירה הנובעים מהפיתול מתוארים. M1=F(e+a)בחתך הוא

כדאי לזכור כי כיוון מאמצי הפיתול משתנה ברוחב דופן . בפרק על פיתול חתכים דקי דופן

, לפיכך בצד אחד של הדופן מאמצי הפיתול יתווספו למאמצי הגזירה הנובעים מכפיפה. החתך

.ובצד השני המאמצים יוחסרו זה מזה

במ. של החתך

. קורה שלא דרך מרכז הגזירהבכפיפת, הנובעים מפיתולמאמצי גזירה : (6-11)ציור

פועלים בשני , הפועל בחתך רוחבי של הקורהV וכוח הגזירה השקול Fשימו לב כי הכוח החיצון

e+a

3x 2x

V

e

F

.x1המקבילים זה לזה ומרוחקים האחד מהשני מרחק , מישורים שונים

6 -

15

( ) ( ) ( θ−=ϕϕ=θ ∫θ

cos1tRsinRRtdQ 2

0

מרכז גזירה של חתך מעגלי פתוח : 3דוגמא

אם נחתוך את הצינור במקום בו . קבלנו את פילוג מאמצי הגזירה בחתך מעגלי סגור2בדוגמא

על ידי כך נשבש את . ניצור שפה חופשית ממאמצים, כמתואר בציור למטה,קיים מאמץ גזירה

, ריה אחד בלבדהחיתוך הופך את החתך לבעל ציר סימט, נוסף לשיבוש. מהלך המאמצים בחתך

השאלה העומדת בפנינו היא קביעת מקום מרכז הגזירה של .בניגוד למצב אשר לפני החיתוך

. החתך המעגלי הפתוח

.x3 הניצב לציר הסימטריה Vמפעילים בחתך כוח גזירה , בסיכום למעלה' כפי שנאמר בסעיף ג

עם הקו θ היוצר זוית על ידי חיתוך קטע, θית ונחשב את מאמצי הגזירה כפונקציה של הז

: של הקטעQתחילה נחשב את . האופקי

)

tRI 322 π=

V ( ) ( )θ−π

−=−=θτ cos1RtV

tIVQ

22

AV4

RtV2

max =π

=τ=τ π=θ

θ3x

2x

t

R

e

O

מאמץ להכפלת גורמת ) θבמקום בו (פתיחת חריץ לאורך הצינור במשטח הניטראלי

.ואה לצינור השלםובהש, רההגזי

0=

θכאשר מבודדים קטע מחתך הצינור החל מהחריץ ועד זוית , כיוון הגזירה נקבע בשיטה הרגילה

מאמץ הגזירה מתקבל שלילי ולכן כיוונו על החתך הניצב לדף ). נניח בחצי העליון(כלשהיא

רה בחתך הרוחבי הוא כיוון הגזי, על פי חוק הזוגיות. 1xמנוגד לציר ) במקביל לציר הצינור(

.כמתואר בציור

חות הגזירה הפועלים לאורך וכעת נוכל לקבוע את מרכז הגזירה על ידי השוואת המומנט של כ

מטעמי . ביחס לאותה נקודהVח הגזירה השקול ועם המומנט של כ, המעגלי של הצינורהחתך

.מומנטחוס אשר ביחס אליה יחושב הינוחיות נבחר את מרכז העיגול כנקודת הי

( ) ( ) RV2dcos1RttVRRRtdVe

2

0

22

0

=ϕϕ−π

=ϕτ= ∫∫ππ

⇒ R2e =

7-1

דפורמציות אלסטיות בכפיפה: 7פרק

מבוא) 7-1(

הקורה בין הסמכים התומכים ' שקיעת'עמס חיצון הפועל על קורה גורם לדפורמציה המתבטאת ב

מבלי להתיחס , אפשר לפתור הבעיה ולחשב מאמציםסטטיות מסוימותכל עוד דנים בבעיות . בה

יש מקרים בהם . רק על מאמצים אבל גם במקרים אלו לא תמיד התכן מתבסס . לדפורמציות

להלן מספר ). או כל אלמנט מבנה אחר(ידיעת הדפורמציות חיונית ועל פיה נקבעים מימדי הקורה

:דוגמאות

ודא כי הדפורמציות לא יגרמו לאי התאמות בין ויש ל. חלקי מכונה עמוסים סובלים דפורמציות -

.החלקים עד כדי גרימת הפרעות בסיבוב ציר או נעילה

.כנף מטוס צריכה להיות מספיק קשיחה כדי שקצה הכנף לא יפגע בקרקע בעת ההמראה -

להבי טורבינות הסובבים בתוך מיכל צילינדרי מתארכים ועשויים לפגוע במיכל אם לא נודא -

.שהדפורמציות יהיו בגבולות המותר

וכל להרשות לא נ, גם אם רצפת אולם היתה מחזיקה מעמד מבחינת המאמצים המתפתחים בה -

שטיפת , העמדת רהיטים(מצב כזה לא רצוי הן מהבחינה המעשית . ששקיעתה תהיה גדולה

.והן מהבחינה הפסיכולוגית) רצפות

אין אפשרות לחשב את הריאקציות על סמך משוואות , סטטית לא מסוימתכאשר דנים בבעיה

י ניצול האילוצים " ע,יש להסתמך על שיקולים נוספים של דפורמציות . שווי המשקל הסטטי

.העודפים) או הריתומים(הגיאומטריים של הסמכים

חשיבות נוספת ללימוד חישובי דפורמציות נובעת מהעובדה שפתרון בעיות של גופים רוטטים

.קשורה בחישוב דפורמציות של אותם גופים) תנודות(

הנחת שקיעות קטנות

השקיעה המקסימלית . חום האלסטי לינאריבמסגרת הקורס נדון בעמסים הגורמים למאמצים בת

השינויים הגיאומטריים החלים בקורה . כ על אחוז או שניים מאורך הקורה"לא תעלה בד

יערכו ביחס לגיאומטרית הקורה לפני ) כגון מהלך המומנטים(העמוסה יהיו זניחים וכל החישובים

החופשי ממאמצי המשטח הוא ,המשטח הניטראליהשקיעה שתחושב היא שקיעת . העמסתה

.הדפורמציות בעובי הקורה זניחות. לחיצה/מתיחה

המשואה הדיפרנציאלית לחישוב שקיעות) 7-2(

ברנולי אשר היוותה יסוד לפיתוח נוסחת -ההנחה הבסיסית בחישוב שקיעות היא הנחת אוילר

מנט טובה מאד כאשר על הקורה פועל מו) הנחת חתכים מישוריים(נזכיר כי הנחה זו . הכפיפה

היות וחתכים , הנחת אוילר ברנולי מאבדת קצת מדיוקה, ח גזירהואם פועל גם כ. כפיפה טהור

עם זאת הבעיה אינה רצינית ברוב . מישוריים מתעוותים קמעה ומאבדים את מישוריותם

לקראת סוף . ברנולי-המקרים המעשיים של קורות ארוכות ולכן נמשיך לדבוק בהנחת אוילר

. ונראה כי ההנחה מבוססתאלה זו שנית במסגרת הדיון בשיטות אנרגיה נתיחס לש8פרק

של סיב ראינו כי קיים קשר ליניארי בין העיבור האורכי , בפרק הדן בחישוב מאמצי הכפיפה

של ) R(ות כעת נפתח קשר בין רדיוס העקמומי. )למרחקו מהציר הניטראלי,לאורך הקורה

)( 11ε

)x 2

7-2

של הקורה המכופפת ) מתואר קטע קצר )7-1(ציור ב .לעיבור האורכי של סיב , הקורה

).(במישור

)x(v 1

)x1∆ )( 11ε

21xx

2x

1x∆

2x

θ∆

2θ∆

R

קטע קורה מכופפת: (7-1)ציור

)a( : מהגדרת רדיוס העקמומיות מתקבלRx1∆

=θ∆

=∆b( θ( : מהציר הניטראליx2גודל התכווצות הסיב הנמצא במרחק θ∆

=δ 22 x2

x2

)c( :העיבור האורכי של הסיב 1

11 x∆δ

−=ε

:נותנת) c (-ב) a) (b(הצבת

(7-1) Rx2

11 −=ε

מתארת את הזזת המשטח הניטראלי במצב של קורה עמוסה הפונקציה ) 7-2(בציור

.יחסית לקורה הבלתי עמוסה, )העמס אינו מופיע בציור(

R

1x

θ

V

קטע ממשטח ניטראלי: (7-2)ציור

7-3

:v - לRבספרי גיאומטריה אנליטית פותח קשר בין

[ ] 2/32)'v(1"v

R1

+=

1dx/dv'v

= :כאשר

ניתן להזנחה ביחס ליחידה ומתקבל הקשר הפשוט בין רדיוס ולכן v'<<1ברוב המקרים

:לנגזרת השניה של פונקצית השקיעה, העקמומיות של הקורה

2)'v(

(7-2) "vR1=

: )M3על ידי מומנט , כפיפה ישרה(ובנוסחת הכפיפה ; בחוק הוק; ) 7-1 (-שימוש ב

22

3

22

23

22

11

2

11

EIM

IxM

Ex1

ExxR1"v =

−−=

σ−=

ε−==

22EI :הקו האלסטי את המשואה הדיפרנציאלית של נותנת -הכפלת שני האגפים ב

"vEIM 223

(7-3) =

)V( : לנגזרת הראשונה של המומנטח הגזירה בחתך ושימוש בקשר הדיפרנציאלי בין כ 21

32 dx

dMV −=

2 : לבין הנגזרת השניה של המומנט(q)רך הקורה וא-ליחידת-חוובין הכ1

32

dxMdq =

vEIV 222

:וביל לשתי משואות דיפרנציאליות נוספות של הקו האלסטימ (7-3)במשואת הקו האלסטי

(7-4) ′′′−=

(7-5) IV22vEIq =

)x(v 1

"wEI33−

הן משואות דיפרנציאליות אלטרנטיביות לקביעת השקיעה של (7-5), (7-4), (7-3)משואות

לוג יבתנאי שאפשר לרשום את פ, היא הנוחה ביותר לשימוש(7-3)הראשונה מהן .קורה עמוסה

עדיף להתחיל , אם פועל עמס מחולק מסובך. רך הקורה ללא קשיים רביםוהמומנטים לא

שנצטרך לבצע ובתנאי ) 4(חיר שנשלם יהיה במספר האינטגרציות הגדול והמ(7-5)ממשואה

משואת הקו הידועה בשם תן את פונקצית השקיעה נופתרון המשואה . הגבול המתאימים

.האלסטי

,והתוצאה (7-5) ,(7-4) ,(7-3) -אפשר לפתח משואות דומות ל , x1x3מתרחשת במישור הכפיפה ב

M 2 = '''333 wEIV −=IV

33wEIq =

.x3 היא ההזזה בכיוון הציר w כאשר

7-4

:הערה

וציר הקורה בכיוון בהמשך הפרק נעסוק בכפיפה ישרה כאשר מומנט הכפיפה מקביל לכיוון

e .מומנט האינרציה , ) נשמיט את האינדקסים של המומנט מטעמי נוחות הכתיבה

. וציר האורך )הרלוונטי

)M3

3e

1

)I22)x( 1

1M

1דוגמה

לחשב משואת הקו האלסטי של זיז העמוס בקצהו במומנט 1M

l

x

V

12

2

Mdx

vdEI =

Mdxdx

vdEIx

0

x

012

2=∫ ∫

M(dxdxdvEI

x

0

x

0

=∫ ∫

הקבועים יחושבו , )v של

.(x=0 @)קורה

1M)x(M

):א(פתרון

=: הקורה קבוע וערכומהלך מומנטים לאורך

,ושתי אינטגרציות יתנו) 7-3(- בM(x)הצבת

AxMdxdvEIdx 1 +=⇒ (a)

BAxxM21EIvdx)Ax 2

11 ++=⇒+ (b)

)A,Bלחישוב הקבועים (תנאי גבול

v; 0)0(v '(0)0 : תנאי גבול ברתום הם, כידוע ==

נגזרת שניה(היות והתחלנו את האינטגרציה ממשואת המומנט

בראשית ה(v) ושקיעה ('v) המתארות שיפוע (b) - ו(a)ממשואות

0AA0M0)0('EIv 1 =⇒+==

0BB0M210)0(EIv 1 =⇒+==

, את משואת הקו האלסטינותנת (b) -הצבת הקבועים ל

21 xEI2

M)x(v = (c)

. קובע כי כוון הדפורמציה כלפי מעלהvהסימן החיובי של

7-5 :)ב(פתרון

q=0): רך כל הקורהולא(כאשר מציבים , (7-5)אפשר להתחיל ממשואה

0EIvIV =

(a) A'''EIv =

(b) BAx"EIv +=

CBxAx21'EIv 2 ++= (c)

DCxBx21Ax

61EIv 23 +++= (d)

:תנאי גבול

ואכן בדוגמא יהיו . ('''v)ח גזירה ו וגם על כ(''v)ל מומנט כפיפה כעת התנאים יכולים להיות גם ע

.x=l - ושני תנאי עמס בx=0 -שני תנאים גיאומטריים ב

0AA)("'EIv0)(V)a( =⇒−=−==→ ll

11 MBB0)("EIvM)(M)b( =⇒+===→ ll

0CC000)0('EIv)c( =⇒++==→

0DD0000)0(EIv)d( =⇒+++==→

:ה כמו בדרך הראשונה אותה תוצאנותנת (d) -הצבת הקבועים ב

21 xEI2

M)x(v =

.השימוש בדרך הראשונה במקרה זה עדיף

:2דוגמא

. qמס מחולק קבוע ולחשב משואת הקו האלסטי של קורה על שני סמכים העמוסה בע

l

q

x

V

:)א(פתרון

,)7-5(הפעם נתחיל ממשואה

(a) qEIvIV −=

A (b) qx'''EIv +−=

7-6

BAxqx21"EIv 2 ++−= (c)

CBxAx21qx

61'EIv 23 +++−= (d)

DCxBx21Ax

61qx

241EIv 234 ++++−= (e)

:תנאי גבול

, כאן תנאים אלה הם.ידועים עוד לפני פתרון הבעיהתנאי גבול הם תנאים , כזכור

( ) ( ) ( ) ( ) 0M;00M;0v;00v ==== ll

: (c) ; (e)טויים הכלליים יהצבתם בב

⇒++=== B00)0("EIv0)0(M 0B =

( ) ( ) ⇒++−=== 0Aq21"EIv0M 2 llll lq

21A =

( ) ⇒++++== D000000EIv 0D =

( ) ⇒++++−== 0C0q121q

2410EIv 44 llll 3q

241C l−=

: את משואת הקו האלסטינותנת (e) -הצבת הקבועים ב

( ) ( )334 xx2xEI24

qxv ll +−−= (f)

: ולהציב (7-3)לנו להתחיל ממשואה וגם בדוגמא זו יכ

2qx21xq

21M −= l

.(f)יובילו לתוצאה ) בשני קצות הקורהv=0(שתי אינטגרציות ושני תנאי גבול

7-7 )שני שדות (3דוגמא

.לחשב משואת הקו האלסטי של הקורה הנתונה

lBRAR

l

Fb)x1(Fa

l−x

M

b F

a

v

B A

x

פתרון

ביחס לקודמותיה היא העובדה שבכל אחד משני קטעי הקורה הנוכחית יש פונקציה המיחד דוגמה זו

לפיכך יש לפתור את המשואה הדיפרנציאלית בכל קטע בנפרד . שונה המתארת את מהלך המומנטים

.למשנהואחד במעבר מקטע ) של שקיעה ושיפוע(ולהשתמש בתנאי רציפות

ונציין זאת x<a>0 לקטע (7-3)נרשום את . RB ; RAמשיקולי סטטיקה נחשב הריאקציות בסמכים

>>l .2נציין באינדקס aאת הקטע . 1באינדקס x

l

FbR A = l

FaR B =

ax0 ≤≤ l≤≤ xa

xEIFb

EIM"v 1

1l

==

−==

l

x1EIFa

EIM"v 2

2

12

1 AxEI2Fb'v +=l

2

2

2 A2xx

EIFa'v +

−=

l

113

1 BxAxEI6Fbv ++=l

22

32

2 BxA3xx

EI2Fav ++

−=

l

:תנאי גבול ורציפות

( ) ⇒= 00v1 0B1 =

( ) ⇒= 0v2 l 0BA3EI

Fa22

2

=++ ll

( ) ( ) ⇒= avav 21 22

32

13 BaA

3aa

EI2FaaAa

EI6Fb

++

−=+

l

( ) ( ) ⇒= a'va'v 21 2

2

12 A

2aa

EIFaAa

EI2Fb

+

−=+

ll

7-8

נותן A1,A2,B1,B2 הקבועים 4 המשואות עבור 4פתרון

( )221 b

EI6FbA −−= ll

0B1 =

( )222 a2

EI6FaA +−= ll

EI6

FaB3

2 =

, למשל. את משואות הקו האלסטי לכל תחוםתנותנ , v1(x) , v2(x)בבטויי , הצבת הקבועים למעלה

:1בתחום

( ) [ ]x)b(xEI6Fbxv 223

1 −−= ll

ח פועל במחצית אורך וכאשר הכ רק ,חויש לשים לב כי השקיעה המכסימלית תהיה במקום פעולת הכ

. ובאותו מקום תהיה השקיעה מקסימליתv'(x)=0במקרים אחרים יש למצוא את המקום בו . הקורה

-השקיעה המקסימלית תהיה ב, a אם, חיתבדוגמא הנוכ 2/l> ( )

−= 22 b31x l

: שםגודלהוl

l

EI39bFbv

2/322

max

−=

2/ba l=

( )

:נקבל =רק כאשר EI48

Fv3

max

l=

מה עוד . בלהחישוב נהיה מסור, בדוגמא האחרונה ראינו כי אם יש בקורה אפילו שני שדות בלבד

למקרים כאלו . שיתכנו מצבים של מספר שדות גדול ואז הבעיה נעשית מסורבלת יתר על המידה

.כפי שיפורט להלןפונקציות סינגולריות פותחה שיטת פתרון בעזרת

7-9

שקיעות בעזרת פונקציות סינגולריות) 7-3 (

: x-a>n>תחילה נגדיר פונקציה סינגולרית

<>−

=>−<axfor 0 axfor )ax(

axn

n

.x>a ובעלת ערך יחידה עבור x<aכי הפונקציה מתאפסת עבור , יש לכאורה בעיהn=0 - וx=aכאשר

.x=aקצית מדרגה בנקודה זאת פונ: תכונה זו היא המאפינת את הפונקציה הסינגולרית ופרושה

; M0מומנט מרוכז ; Pח מרוכז וכ: מסים כלליים מסוגים שוניםוכעת נתאר קורה כללית העמוסה בע

כוללים את חות אלו וחשוב להדגיש כי כ . qארית ניח מחולק משתנה ליווכ ; q0ח מחולק קבוע וכ

!תומיםיהריאקציות הפועלות על הקורה בסמכים ובר

q 0M 0q 1q

f e

d

c

b

a

P v

x

קורה עמוסה : (7-3)ציור

במעבר . החל מהקצה השמאלי, בכל חתך של הקורה ,M,השיטה מבוססת על רישום המומנט הפנימי

('v)לקבלת השיפוע , נבצע שתי אינטגרציות. משדה לשדה הביטוי של המומנט הפנימי ישתנה כמובן

קבועי 4ה שתשאיר אותנו עם פעול(לאחר ביצוע התהליך בשני שדות סמוכים . בשדה(v)והשקיעה

שני ). רציפות בשיפוע ורציפות בשקיעה(נשתמש בשני תנאי רציפות במעבר משדה לשדה !) אינטגרציה

. נחזור על תהליך זה עד שנגמור את כל השדות). 4-במקום ה(תנאים אלה ישאירו שני קבועים לא ידועים

ים אלה הם השקיעה והשיפוע בראשית יסתבר כי קבוע. קבועים בלבדשניבסוף התהליך נשאר עם

.נתחיל אם כן בפיתוח . (θ0 ; v0)הקורה בהתאמה

7-10

EI=D:סימון

x<a>0: בתחום

(a) 0"Dv =

(a.1) 1K'Dv =

(a.2) 21 KxKDv +=

a<x<b:בתחום

(b) 00 axM"Dv >−<=

(b.1) 31

0 KaxM'Dv +>−<=

4320 KxKax

!2MDv ++>−<= (b.2)

כתיבה כזאת מתאימה למעשה גם . שימו לב כי המומנט בקטע הנדון נכתב בעזרת הפונקציה הסינגולרית

, המבטאת את המומנט, הפונקציה הסינגולרית x<a כי לפי ההגדרה כאשר (x<a)לשדה הקודם

.מתאפסת

K1=K3 :נותנת ) (b.1) (a.1)משואות (x=a -ואת השיפועים בוהש

K1a+K2=K3a+K :נותנת )(b.2) (a.2)משואות (x=a -ואת השקיעה בוהש

K2=K4 : נותן K1=K3ניצול השוויון

. K1 , K2:נשארנו איפוא עם שני קבועים בלבד

b<x<c:בתחום

(c) 100 bxPaxM"Dv >−<+>−<=

521

0 Kbx!2

PaxM'Dv +>−<+>−<= (c.1)

65320 KxKbx

!3Pax

!2M

Dv ++>−<+>−<= (c.2)

K1=K5: נותנים K1=K3וניצול הקשר ) (b.1) (c.1)משואות (x=b -ואת השיפועים בוהש

K2=K6.: נותנים ; K1=K3=K5 K2=K4וניצול הקשר ) c.2) (b.2)משואות (x=b -ואת השקיעה בוהש

K1 , K2: עם שני קבועים בלבד יםשוב נשאר

7-11

c<x<d:בתחום

20100 cx

!2q

bxPaxM"Dv >−<+>−<+>−<= (d)

73021

0 Kcx!3

qbx

!2PaxM'Dv +>−<+>−<+>−<= (d.1)

8740320 KxKcx

!4q

bx!3

Pax!2

MDv ++>−<+>−<+>−<= (d.2)

K1=K7: נותנחם K1=K5וניצול הקשר ) (d.1) (c.1)משואות (x=c -ואת השיפועים בוהש

K2=K8.: נותנים ; K1=K5=K7 K2=K6וניצול הקשר ) c.2) (d.2)משואות (x=c -ואת השקיעה בוהש

K1 , K2: עם שני קבועים בלבד יםשוב נשאר

d<x<e:בתחום

על מנת לשמור על הצורה האחידה של , מתחום זה ועד קצה הקורה הימני עלינו להשתמש בתחבולה

, M0<x-a>0: למומנט בחתך הקורה היאM0תרומת המומנט . כמפורט בהמשך, רישום המשואות

: למומנט בחתך הקורה היאPח ותרומת הכ, בדומה לכך. רך כל הקורהוטוי זה הוא בתוקף לאיוב

P<x-b>1 , ח המחולק ותרומת הכ, לעומת זאת. רך כל הקורהוטוי זה בר תוקף לאיוגם בq0 למומנט

ח המחולק לא ובגלל העובדה שהכ , x>dבתחום . x<d רק בתחום 0.5q<x-c>2: בחתך הקורה היא

, טוי כזהיכדי שלא נזדקק לב . q0(d-c)[x-(c+d)/2]: טוי עבור המומנט שונה וערכויהב, פועל שם

לא השתנה על ידי כך. ועד קצה הקורה הימניx=d -החל מ , q0מוסיפים וגורעים עמס מחולק בעצמה

המקורית למומנט בחתך הקורה נשארת בצורה המקורית לכל q0אולם תרומת , העמס הכולל על הקורה

. המקוריq0 - בכוון הפוך לx>d - הפועל כעת מ-q0עם זאת צריך להוסיף את השפעת . קורהאורך ה

:טוי במשואות הבאותיפעולה זאת באה לידי ב

2020100 dx

!2q

cx!2

qbxPaxM"Dv >−<−>−<+>−<+>−<= (e)

9303021

0 Kdx!3

qcx

!3q

bx!2

PaxM' +>−<−>−<+>−<+>−<=Dv (e.1)

109

4040320

KxK

dx!4

qcx!4

qbx!3

Pax!2

MDv

++

>−<−>−<+>−<+>−<= (e.2)

K: נותנים וניצול הקשר ) (d.1) (e.1)משואות (x=d -ואת השיפועים בוהש 71 KK =

97182 KKK;K =

1=K9

== Kוניצול הקשר ) e.2) (d.2)משואות (x=d -ואת השקיעה בוהש

K2=K10.: נותנים

. K1 , K2: עם שני קבועים בלבד יםשוב נשאר

7-12

e<x<f: בתחום

ונרשום את המומנט השורר , q=q1(x-e)/(f-e): ארייתחילה נגדיר את פונקצית העמס המחולק הלינ

:לאחר שתי אינטגרציות נקבל. בחתך הקורה

31

2020100

ex!3)ef(

qdx

!2qcx

!2qbxPaxM"Dv

>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<= (f)

11

41

3030210

Kex!4)ef(

qdx

!3qcx

!3qbx

!2PaxM'Dv

+>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<= (f.1)

1211

51

4040320

KxKex!5)ef(

qdx

!4qcx

!4qbx

!3Pax

!2MDv

++>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<= (f.2)

.; K1=K11 K2=K12: נותנים x=e -פוע ושקיעה ביואת שוהש

אבל אם אורך הקורה . ין צרך להמשיך ברישום משואות נוספות אf -וה לואם אורך הקורה קטן או ש

כדי שיתקיים המצב של , x>fיש צרך להפחית מהקורה עמס מחולק בצורת טרפז בתחום , f -גדול מ

:התוצאה תהיה . x>fקורה ללא עמס עבור

213131

2020100

fx!2

qfx!3)ef(

qex!3)ef(

q

dx!2

qcx!2

qbxPaxM"Dv

>−<−>−<−

−>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<=

1314141

3030210

Kfx!3

qfx!4)ef(

qex!4)ef(

q

dx!3

qcx!3

qbx!2

PaxM'Dv

+>−<−>−<−

−>−<−

+>−<−>−<+>−<+>−<=

21415151

4040320

KxKfx!4

qfx!5)ef(

qex!5)ef(

qdx

!4qcx

!4qbx

!3Pax

!2MDv

++>−<−>−<−

−>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<=

: K1 , K2 מעות הקבועים מש

. בשיפוע ראשית הקורהDמכפלת הקשיחות , כלומר K1=Dv'(0) ונוכח כי (a.1) (a.2)נחזור למשואות

0θ . -נסמן שיפוע זה ב

7-13

.v0 -נסמן שקיעה זו ב. בשקיעת ראשית הקורהDמכפלת הקשיחות , כלומרK2=Dv(0)כמו כן נראה כי

: את המשואות איתן עובדיםנותנת, פועיטויים האחרונים של השקיעה והשימונים אלה בבהצבת סי

415151

404032000

fx!4

qfx!5)ef(

qex!5)ef(

q

dx!4

qcx

!4q

bx!3

Pax!2

MxDDvDv

>−<−>−<−

−>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<+θ+=(7-6)

314141

30302100

fx!3

qfx!4)ef(

qex!4)ef(

qdx

!3qcx

!3qbx

!2PaxMD'Dv

>−<−>−<−

−>−<−

+

>−<−>−<+>−<+>−<+θ= (7-7)

:4דוגמא

.יש לרשום את משואת הקו האלסטי של הקורה הנתונה

P=4qa =2qa2 MD ;: נתונים

DM

P

A B a 2a a 2a

q P

, מסטטיקהחישוב ריאקציות

⇒=Σ 0M B qa6R A =

⇒=Σ 0Fy qa4R B =

לפיכך נוכל להסתפק ברישום . הם שקיעות אפס בסמכים; v0תנאי הגבול מהם יחושבו הקבועים

(7-6)' משו

0θ

400 )a2(

24qa2DDv0)a2(Dv −θ+== (a)

333A4400 a

6P)a3(

6P)a4(

6R)a4(

24q)a6(

24qa6DDv0)a6(Dv −−++−θ+== (b)

: את שני הקבועיםנותן (a) , (b)פתרון תנאי הגבול

7-14

Dv0=2qa4 ):כלפי מעלה(הזזת הראשית

Dθ0=-(2/3)qa3 :פוע הראשית יש

. את משואת הקו האלסטינותנת (7-6) -הצבת הקבועים ל

( )

3B33

3A4434

a6x6

Ra5x6Pa3x

6P

a2x6

Ra2x24qx

24qxqa

32qa2xDv

>−<+>−<−>−<−

>−<+>−<+−−= (c)

Pחות והשקיעה בין שני הכ, למשל. דה בקורה וגם כל שיפועכעת אפשר לרשום שקיעת כל נקו

433A4434 qa3

10a6P)a2(

6R)a2(

24q)a4(

24qa4qa

32qa2)a4(Dv −=−++−−=

.x=4a -מסים הפועלים ימינה מו לא השתמשנו בתרומת הע-x=4aיש לשים לב כי בחישוב השקיעה ב

.c או לגזור את משואת הקו האלסטי (7-7) -אפשר להציב את הקבועים ב, פועיכדי לקבל ש

: הואAפוע מעל הסמך יהש, למשל

333 qa2)a2(6qqa

32)a2('Dv −=−−=

7-15

סופרפוזיציה) 7-4(

לנו להסתפק בשיטה זו ולעבור ויכ, לאחר פיתוח השיטה לחישוב שקיעה בעזרת פונקציות סינגולריות

למרות , היא שיטת הסופרפוזיציה, אולם יש טעם להוסיף שיטה נוספת לחישוב שקיעות. לנושא הבא

פוזיציה כאן היא הסיבה להכללת שיטת הסופר. שבבעיות מורכבות השיטה מסורבלת ואינה כדאית

. וחשיבותו הרבה בענפים שונים של המדע וההנדסהסופרפוזיציה כלליות המושג

סופרפוזיציה של עומסים (7-4.1)

גורם !) כאשר הוא פועל לבדו על המבנה (1 הפועל בנקודה P1ח ואם כ, אריתי במערכת אלסטית לינ

2גורם בנקודה !) ר הוא פועל לבדו על המבנהכאש (3 הפועל בנקודה P3ח ווכ ; v21 דפורמציה 2בנקודה

תהיה הדפורמציה , )כל אחד במקום פעולתו המקורי(חות ביחד וכאשר יפעלו שני הכ ; v23דפורמציה

. v2=v21+v23: וה לסכום הדפורמציות החלקיותו ש2הכללית בנקודה

3P

1

1P

21v23v

1P

21v

3P

23v

3 2

2

1

3 2

.2שקיעה בנקודה : (7-4)ציור

מסים כל ומפעילים את הע. מסיםוהעמוסה במספר ע, או בכל מבנה אחר, בקורהאפשר לנצל עיקרון זה

חיבור כל . אחד בנפרד ומשתמשים בפתרונות מוכנים מטבלאות לקבלת הדפורמציה מכל עמס בנפרד

כאשר מעונינים ,ברור ששיטה זו יעילה במקרים פשוטים. את הדפורמציה הכוללתנותןהדפורמציות

.ביא מספר דוגמאותנ. בדפורמציה נקודתית

:5דוגמא

.חותו של הקורה העמוסה בשני כCיש לחשב השקיעה בנקודה

F

a a a

l

D C

R

A B

7-16

. Rח ו קורה עם כF , (II) ח ו קורה עם כ(I) :מפרידים הבעיה לשתי בעיות פשוטות המצויות בטבלאות

F

( )[ ]l

ll EI6

Fa7aaaEI6Fa)a(v

4322

I−

=−−−

= a

l

D A B

( )[ ]l

ll EI6

Ra8aa)a2(EI6

a2R)a(v4

322II =−−=

R a

l

C A B

, שווה לסכום השקיעות החלקיות Cהשקיעה הכללית בנקודה

)a(v)a(v)a(v III += (a)

)R8F7(EI6a)a(v

4+−=

l

. קיים שם סמך פרקיR ח וכאשר במקום הכ, דומהסטטית לא מסוימת אפשר לנצל תוצאה זו לפתרון בעיה

-הצבת תנאי זה ב . v(a)=0י ניצול התנאי הגיאומטרי "ע, סמך המתעוררת ב (R)נוכל לחשב את הריאקציה

(a) ח הריאקציה ו את כנותנת:R=(7/8)F .

קורה על שני (המבנה . בכלל הסופרפוזיציה בצורתו הפשוטה ביותר, כאמור, השתמשנו) 5דוגמה (בדוגמה שנתנו

- וF(י שעשינו היה לפרק את העומס הכולל השינו. נשאר ללא שנוי בתהליך חישוב השקיעות החלקיות) סמכים

R (מסים חלקייםולע :Fכ " לבד ואחRכ "שימוש זה בכלל הסופרפוזיציה הוא פשוט ומשתמשים בו בד. לבד

התנאי לאפשרות השימוש בשיטה . כאשר רוצים לחשב דפורמציה בנקודה מסוימת בעקבות עומסים מורכבים

.כאשר פועלים העומסים הבודדים, בנקודה הרצויה, פורמציההוא שיהיו בידנו טבלאות הנותנות את הד

:דוגמאות לבעיות מתאימות

:שקיעה ושיפוע קצה הקורה *

l

q P

7-17 P

:שקיעה במרכז הקורה ושיפועים בקצוות *

l

0M

:מסוימת-לא-חישוב הריאקציות בבעיה הסטטית *

l

0M

:חישוב שקיעה במרכז הקורה *

q

2l

C

אולם גם בו הקורה נשארת כשהיתה ורק העומס המקורי מוחלף , ן מסובך קצת יותר מקודמיוהמקרה האחרו

:כפי שנראה בציור הבא, ם אשר התשובה לכל אחד מהם נתונה בטבלאותייולנטיומסים אקובע

l

2q

2l

2l

2q

2q

+

.מסים חלקיים פשוטיםומסים הנתונים לעואת הע" מפרקים" אנו -במלים אחרות

סופרפוזיציה על ידי חלוקת המבנה לאלמנטים פשוטים(7-4.2)

.לפעמים יש למבנה צורה שאינה מופיעה בטבלאות ולכאורה אין יכולת לטפל בו בשיטת הסופרפוזיציה

2l

1l

C

B A

:דוגמה

שלא נוכלם כןמבנה כזה לא מופיע בטבלאות ונדמה

. בשיטה הסופרפוזיציהCלחשב את הזזת הקצה

P

7-18

י חלוקת המבנה לאלמנטים "וזאת ע, בשיטת סופרפוזיציהCלנו לחשב את הזזת כעת נראה דרך שתאפשר

.BC - וAB : של שני קטעים ישרים" פשוטים"

)b(cu)a(cu

cu

Bθ

A

B

C

:חואת צורת המבנה לאחר הפעלת הכ) בהגזמה(תחילה נתאר

P

: נובעת משני מקורותCפקית של וההזזה הא

(a) הדפורמציה של הקטע ABוית ו הגורמת להיווצרות זθBב - B . כתוצאה מכך הקטעBC מסתובב באותה

: עורי זזה בכוון אופקי בשCוית והנקודה וזEI

Pu 122B2)a(c

llll =θ=

( )

והיינו מקבלים אותה גם אילו , BCפקית זו אינה תלויה כלל בתכונות האלסטיות של הקטע ושימו לב כי הזזה א

כגוף היה זז BCבמקרה כזה הקטע ). מקבל כל דפורמציהכך שלא היה (קשיחות אינסופית היה בעל BCהקטע

. היתה כרשום למעלהCפקית של ווההזזה הא, קשיח

(b) הדפורמציה של הקטע BC .

וכתוצאה מכך ) בגלל מומנט הכפיפה הפועל בו( הוא בעל קשיחות סופית הוא יקבל עקמומיות BCכאשר

:עור נוסף שלי תזוז ימינה בשCהנקודה EI3

Pu32

)b(cl

=

)הזזת קצה זיז עמוס בקצהו(

והיינו מקבלים אותה גם אילו AB אינה תלויה כלל בתכונות האלסטיות של הקטע uc(b)שימו לב כי ההזזה

אנו uc(b)בחישוב של , למעשה בגלל ההנחות של דפורמציות קטנות. היה בעל קשיחות אינסופיתABהקטע

. הוא בעל קשיחות אינסופית ABמניחים כאילו הקטע

: שווה לסכום ההזזות החלקיות Cפקית הכללית של וההזזה הא

EI3P

EIPuuu

32

221

)b(c)a(cclll

+=+=

גמישABקטע קשיחABקטע קשיחBCקטע גמישBCקטע

: שווה לסכום הסיבובים החלקייםCוית הסיבוב הכללית ב ווזEI2

PEI

P 2221

clll

+=θ

:θc וסיבוב הקצה ucרפי של שלבי חישוב ההזזה אור גינוסיף ת

7-19

)a (AB גמיש ,BCקשיח :

EI

Pu EI

P 221

B2)a(c21

Bcll

lll

=θ=⇒=θ=θ

)a(cu

BθA

B

C P

)b (AB קשיח ,BCגמיש :

EI3Pu

EI2P 3

2)b(c

22

cll

=⇒=θ

)b(cu

A

B

C P

:6דוגמא

.Cדרוש לחשב הזזת הקצה

q

2a

2a

B A

C

:פתרון .רפוזיציה ונחלק את הזיז לשנייםנשתמש בשיטת הסופ

AB (a)גמיש ,BCקשיח .

q

Bθ

2V

1V

CV

C B

A

EIqa

38

EI6)a2(q

2a

EIqa2

2a

EI8)a2(qvvv

434

B

4

21c =+=θ+=+=

AB (b)קשיח ,BCגמיש .

q

! מתאפסBCאין שקיעה בקונפיגורציה זו כי המומנט בקטע

C B A

).בסעיף הקודם( היא זו שחושבה למעלה Cהשקיעה הכללית של

7-20

:7דוגמא .A הקצה דרוש לחשב הזזת

2a a

C B

A

q P=qa

:פתרון

.נפתור בשני שלבים

AB (a)קשיח ,BCגמיש . AB (b)גמיש ,BCקשיח .

+

P=qa

q

C B A

P=qa

q

C B

A

(a) (b)

) גמישa() :BC(פתרון חלק

:מסים לדפורמציהו ע3יש להתחשב בתרומת , BC) הגמיש(בפתרון הקטע q

A

B C

(a.1) EI

qa31

EI24)a2(qaav

43

1B1A ==θ−=

P

A

C B

(a.2)) אפקט של מומנט מרוכז בסמךB( EI

qa32

EI3a2)Pa(aav

4

2B2A −=−=θ−=

7-21

q

A

C B

(a.3)) בסמך אפקט של מומנט מרוכזB( EI

qa31

EI3

a22

aqaav

4

2

3B3A −=

−=θ−=

:(a) את השקיעה הכללית של חלק נותן העומסים 3 -סכום השקיעות הנובעות מ

EIqa

32vvvv

4

3A2A1A)a(A −=++=

) גמישb() :AB(פתרון חלק

:AB העומסים על 2גם כאן יש להתחשב בתרומת

P

EI3

qaEI3

Pav43

1A −=−= (b.1) A B C

q

EI8

qav4

2A −= (b.2) A

B C

):(b את השקיעה הכללית של חלק נותן העומסים 2 -סכום השקיעות הנובעות מ

EIqa

2411vvv

4

2A1A)b(A −=+=

: מתקבלת מסכום הדפורמציות של שני החלקיםAדפורמציה כללית של

EIqa

89

EIqa

2427

EIqa

2411

32vvv

444

)b(A)a(AA −=−=

+−=+=

. השקיעה כלפי מטההסימן השלילי מעיד כי

7-22

פתרון {ABלא היה צורך לחשב הדפורמציות בקטע , C - לB אילו רצינו לחשב שקיעה בין :הערה

)b( {לנו להסתפק רק בפתרון וויכ)a.(

8דוגמא

:דרוש ?B בנקודה 0ם לשקיעה הגורמהו המומנט .א

?B לסגירת המרווח בנקודה םהגורמהו המומנט .ב

.יש לחשב הריאקציה בו, יש סמך פרקיB -כאשר ב .ג

0M

l l l

δ D C B

A

q

:פתרון

אינן מענינות ויש CDהדפורמציות של הקטע , בלבדACהיות ומעונינים בדפורמציה בקטע .א

": קשיחCD - גמיש וAC: "לפתור רק את המקרה של

:C -ח ומומנט מרוכזים בו מופיעה ככCD של הקטע העומסהשפעת

lq

l2CM

C B A

0Mq

:Bv חישוב

:M0 תרומת ( )

EI4M

EI162Mv

20

20

)M(B 0

ll==

:qתרומת EI

q245

EI2q

3845v

44

)q(Bll

−=−=

( )

( )

:Mcתרומת EI8

qEI162Mv

42c

)M(B c

ll==

0v )q(B =l

0vvvv )M(B)q(B)M(BB c0=++=

:C בסמך qlתרומת

vB = 0 :: הדרישה

7-23

08

q24q5

4M 22

0 =+−ll

20 q

31M l=

0vv לסגירת המרווח מציבים במקום .ב BB =←δ−=

2 ) : -בהנחה ש(ומקבלים 0 qM lα=( ) 431

EI12qlα−

δ=

:עוד איבר) א( מסעיף vBיש להוסיף לאיברי השקיעה .גEI48

)2(Rv3

B)R(B

l=

: ונקבל EI48

)2(REI16

)2(MEI

)2(q384

5EI16

)2(M0v3

B2

c42

0B

llll++−==

ולאחר הצבת 2

qM;qM2

c2

0l

l =α=תהיה הריאקציה המבוקשת : lq2

)31(R Bα−

=

n,nθ

1n,n +θ1n,nn,n +

קורות נמשכות-משואת שלושת המומנטים

שיטה אפשר לפתור הבעיה הבלתי מסוימת ב, כאשר קורה נסמכת על מספר רב של סמכים

השיטה . שפותחה במיוחד למקרה זה ויש בה יתרונות על השיטה של הסרת סמכים עודפים

על פעולה . מבוססת על בידוד קטע קורה בין שני סמכים ורישום שיפוע הקו האלסטי מעל לסמך

ן לסמך ואת הזוית מימיי " עnמסמנים את הזוית משמאל לסמך . זו חוזרים עבור כל סמך

אם הקורה . המומנטים3 מובילה למשואת הפעלת תנאי הרציפות .י"ע

המומנטים 3 משואות Ν−2 ונזקקים ל Ν−2 דרגת אי המסוימות היא , סמכים Ν נסמכת על

.N=4 למטה (7-5)בציור . לפתור הבעיה

θ=θ

q v

x

2 3 4 1

n-1 n n+1

קורה נמשכת: (7-5)ציור

כאשר כל קטע בין שני סמכים חתוך מסביבתו 4 - ו2 מתואר חלק הקורה בין הסמכים (7-6)בציור

כי אינם , אך אלו לא צוירו, חות גזירהובחתכים קיימים גם כ(ובחתך צוירו המומנטים הפנימיים

1n,nn,n ).משפיעים על הזויות +θθ

7-24

1n+l

1n,n +θ

1nM +nM

1nI +

nl

n,nθnI

nM1nM −

n n-1

n+1

n

)P(n,nθ

(a) (b) י קטעי קורהשנ: (7-6)ציור

(a.7-6) ציור : θn,nחישוב

,רכבת מתרומות שלושה גורמים ו מθn,nהזוית

- יסומן ב-תרומת העומס החיצון ) א(

Mn-1תרומת ) ב( n

n1n1nn,n EI6

M)M( l−− =θ

Mnתרומת ) ג( n

nnnn,n EI3

M)M( l=θ

:n הזוית הכללית משמאל לסמך

n

nn

n

n1nn,nn,n EI3

MEI6

M)P( ll++θ=θ − (7-8)

(b.7-6)ציור : θn,n+1חישוב

, מורכבת מתרומות שלושה גורמים θn,n+1הזוית

P(1n,n( - יסומן ב-תרומת העמס החיצון ) א ( +θ

Mnתרומת ) ב( 1n

1nnn1n,n EI3

M)M(+

++ −=θ

l

+1Mn תרומת ) ג( 1n

1n1n1n1n,n EI6

M)M(+

++++ −=θ

l

: nזוית הכללית מימין לסמךה

1n

1n1n

1n

1nn1n,n1n,n EI6

MEI3

M)P(+

++

+

+++ −−θ=θ

ll (7.9)

, המומנטים 3 את משואת נותנת n : θn,n=θn,n+1השואת הזויות משני צידי הסמך

7-25

[ ])P()P(EI6IIM

IIM2M n,n1n,nn

1n

n1n1n

1n

n1nnnn1n θ−θ=+

++ +

+++

++− llll (7-10)

באגף ימין יש להציב את ערכי הזויות . אגף שמאל של המשואה חוזר בכל הבעיות של קורות נמשכות

.מס החיצון של הבעיה הנתונהוהמתאימים לע

טפול בריתום

מחליפים אותו בסמך ומאריכים את הקורה , (a,7-7)ציור ,(E)כאשר יש ריתום באחד מקצוות הקורה

אורך הקטע הפיקטיבי . (b,7-7) כמתואר בציור (F)פים עוד סמך ובקצהו מוסי , (EF)בקטע פיקטיבי

על ידי כך החלפנו את המומנט בריתום . גבוהות מאדF,E שואף לאפס והריאקציות בסמכים

היות ושלושת , כפי שמוכתב על ידי הריתום, תהיה אפסEהזוית מימין לסמך . חות גבוהיםובצמד כ

ארך הקטע ; אין עמס חיצון : תורמים כל אחד בניפרד אפס)) 7-9(ראה משואה (זוית מרכיבי ה

. שוה אפסFוהמומנט בסמך ; שוה אפס

1n +l

1n +l

1n+l

E D C

C D E F (a) (b)

החלפת ריתום בשני סמכים צמודים: (7-7)ציור

1R 2R 3R

1R 2R

2V

2M

(b) (a)

חישוב הריאקציות בסמכים: (7-8)ציור

הסמכים החיצוניים 2המומנטים מעל ( הסמכים הפנימיים N-2לאחר חישוב מומנטים פנימיים מעל

חותכים את הקורה : הסמכים כדלהלןN -ניגשים לחישוב הריאקציות ב) מחושבים בצורה ישירה

רושמים משוואת שווי משקל של . (M2) ומוסיפים את המומנט הפנימי השורר בו 2' בסמך מס

ומוסיפים את המומנט הפנימי 3 ' כעת חותכים בסמך מס . R1 סביב החתך ומקבלים את מומנטים

7-26

ממשיכים בדרך זו . R2שווי משקל של מומנטים סביב החתך החדש יתן את . (M3)השורר בו

אפשר לבצע חיתוך בצד ימין של הקורה לפי הצורך אם זה מקל על . ומקבלים את כל הריאקציות

. החישוב

הצגת הנוסחאות בצורה מטריציונית

1N −l Nl 2l 3l 4l

1 N-2 3 2

N N-1

סמכיםNקורה בעלת : (7-9)ציור

נמספר את הסמכים . המומנטים3 משואות N-2, כאמור, דרושות) 7-9ציור ( סמכים Nעלת לקורה ב

עמודות N - שורות וN-2והמפתחים אשר ביניהם כמתואר בציור ונרכז את המשואות במטריצה של

):N=6עבור (

θ−θθ−θθ−θθ−θ

=

+

+

+

+

−−−−

−−−−

)]P()P([I)]P()P([I)]P()P([I)]P()P([I

E6

MMMMMM

II

II

2000

0II

II200

00II

II

20

000II

II2

1N,1NN,1N1N

4,45,44

3,34,33

2,23,22

N

5

4

3

2

1

N

1NN

N

1NN1N1N

5

45

5

4544

4

34

4

3433

3

23

3

2322

llll

llll

llll

llll

מטריצת מקדמי השפעה

כללית המתאימה בעיקר לשימוש כאשר פותרים בעיות נרחיב עתה את שיטת הסופרפוזיציה לצורה

כשנדון בשיטות אנרגיה , המושגים שנלמד כאן ישמשו אותנו גם בפרק הבא. מורכבות בעזרת מחשב

. לחישוב שקיעות

.qi" הזזות מוכללות"-ו ; Qi" כחות מוכללים: "תחילה נגדיר שני מושגים חדשים

על הגוף . במצב סטטי מסויםוהתמיכות מחזיקות אותו , קשיחנתון גוף הנתמך כך שנמנעת תנועת גוף

, חוכ(מסים יכולים להיות בעלי אופי שונה והיות והע. חות ומומנטים בנקודות שונותו כnפועלים

,....)זוית סיבוב , שקיעה נקודתית(וגם הדפורמציות בעלות אופי שונה , ) 'ח מחולק וכווכ, מומנט

7-27

. Qi -ונסמנם בות מוכללים חוכ-מסים כו נגדיר את הע

.qi -ונסמנן בהזזות מוכללות -נגדיר את הדפורמציות כ

qi היא הדפורמציה בנקודה i) ח ונקודת פעולתו של הכQi ( ח ובכוון הכ Qi.

ההנחה היא . חות המוכללים והדפורמציות המוכללות לא יודגשו בדפוס עבהומכאן והלאה הכ(

).החדשים ואין צרך להמשיך ולהדגישםשהקוראים התרגלו למושגים

.נדגים המושגים החדשים בעזרת קורה עמוסה

1Q

1q

2 1

2q

2Q

חות והזזות מוכלליםוכ : (7-10)ציור

. dW=Qidqiהוא עובד עבודה , בכוון פעולתו dqiרך דרך ו זז לא Qiח וכאשר כ

רך ועובד עבודה לא) מומנט (Q2מוכלל ח הוהכ . q1וית ורך הדרך הקו עובד עבודה לאQ1 ח המוכללוהכ

.q2הדרך הזויתית

חות החיצוניים והדפורמציה בכל נקודה במבנה נובעת מפעולת כל הכ, על פי עקרון הסופרפוזיציה

אם על , באופן כללי . Q2 - אלא גם מQ1 - למעלה אינה נובעת רק מq1, כלומר. הפועלים על המבנה

הדפורמציה המוכללת בכל נקודה שווה לסכום השקיעות , כלליםחות מוו כnמבנה אלסטי פועלים

. חותו הכnי "החלקיות הנגרמות ע

(7-12)

+++=

+++=+++=

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

QfQfQfq

QfQfQfqQfQfQfq

KKK

LMM

KKK

KKK

: נתונות להלן (7-12)צורות רישום אקויולנטיות של

7-28

(7-13) ∑=

=n

1jjiji Qfq

(sum over the double indices j) (7-14) jiji Qfq =

{ } [ ]{ }Qfq = (7-15)

ככל . (flexibility influence coefficients)" מקדמי השפעה של גמישות" נקראים fij המקדמים

המבנה . מסים קטנים יותר בכדי לקבל דפורמציה קבועהוידרשו ע, גדולים יותר fijברי המקדמים ישא

.יותר" גמיש"הוא איפוא

כתוצאה מהפעלת , Qiבכוון העמס , iזאת הדפורמציה המוכללת בנקודה : fijבר בודד משמעות אי

.jעמס יחידה מוכלל בנקודה

ידועים וניתן לחשב את הדפורמציות (7-12) במשואה Qiמסים וכל הע, בבעיה סטטית מסוימת

.qiהמוכללות

העודפים ומפעילים במקומם את ) םאו הריתומי(מסלקים חלק מהסמכים , בבעיה סטטית לא מסוימת

אולם חלק , בלתי ידועים (7-12)' מסים במשוכעת חלק מהע). הבלתי ידועים עדיין(מסי הריאקציה וע

מסים הנעלמים שוה למספר הדפורמציות הידועות ולכן ומספר הע. מהדפורמציות המוכללות ידועות

. מערכת המשואות פתירה

באמצעות הדפורמציות Qi חות המוכללים ו ולבטא את הכ(7-12)-(7-15)אפשר להפוך את המשואות

.qiהמוכללות

(7-16) ∑=

=n

1jjiji qkQ

(sum over the double indices j) (7-17) jiji qkQ =

{ } [ ]{ }qkQ = (7-18)

]כאשר (Stiffness influence coefficients)." הקשיחותמטריצת " נקראת [k] המטריצה .[

kברי המקדמים יככל שא

[ ] 1fk −=

ij המבנה . חות נתונהונקבל שקיעות קטנות יותר במערכת כ, גדולים יותר

.יותר" קשיח"הוא איפוא

kijח המוכלל הפועל בנקודה ו הוא הכi כאשר הדפורמציה המוכללת בנקודה jוכל יתר , שוה ליחידה

.המוכללות מתאפסותהדפורמציות

בפיתוח , הדן בשיטות אנרגיה, מטריצות מקדמי ההשפעה שהוגדרו כאן ישמשו אותנו בפרק הבא

.משפטי קסטיליאנו

8-1

שיטות אנרגיה לחישוב דפורמציות : 8פרק

מבוא(8-1)

בשיטה המבוססת על עקרונות , בפרק זה נפתח טכניקה לחישוב דפורמציות בגוף הנמצא בשווי משקל סטטי

אם כי קימת , אריות ונבסס את הפיתוח על חוק שימור האנרגיהינגביל את הדיון לבעיות לינ. אנרגטיים

נדון בבעיות שאין . אריותיגם בבעיות לא לינ) חותואו כ(ישוב דפורמציות אפשרות לפתח חוק המתאים לח

כך שהאנרגיה הקינטית של המבנה , בהן תוספת או גריעת אנרגית חום והפעלת העומס נעשית באיטיות

נאגרת במבנה , שהעומסים החיצוניים עובדים לאורך הדפורמציות , (W)בהגבלות אלו העבודה . מתאפסת

: חוק שימור האנרגיה בתנאים אלו קובע כי . (U)רים אלסטית כאנרגית עיבו

WU = (8-1)

, המשפט הראשון". משפט קסטיליאנו השני"הידועה בשם , מקשר זה מפתחים את השיטה לחישוב הזזות

נעסוק ובו לא" משפט קסטיליאנו הראשון"ידוע בשם , חות הגורמים לדפורמציה נתונהוהעוסק בחישוב כ

. נציג מספר שלבי ביניים הדרושים להמשך הפיתוח, לפני שנפתח את המשפט. במסגרת הקורס

אנרגיה אלסטית כפונקציה של מקדמי השפעה (8-2)

אנו מעונינים איפוא .(W)חות החיצוניים ווה לעבודת הכו ש(U) אנרגית העיבורים האלסטית (8-1)על פי

Qח מוכלל בודד ולשם פשטות נניח כי על גוף פועל כ. f בעזרת מקדמי ההשפעה Wלבטא את ij1

.8-1ח לדפורמציה מתואר בציור והקשר בין הכ . q1והדפורמציה המוכללת השייכת לו היא

11dqQdW =

1dq

1Q

1q

הזזה מוכללים-גרף עמס : (8-1)ציור

: היאq1 לאורך הדרך Q1ח ועבודת הכ

(8-2) ∫=1q

0

11dqQW

:-(8-2) נקבל מ Q1=k11q1ולאחר הצבת הקשר

11qQ21W = (8-3)

8-2

בהעמסה (המופעלים באופן סימולטני מאפס ועד לערכם הסופי , חות מוכלליםו כnכאשר פועלים על הגוף

העבודה תהיה , )חות הסופיים זה לזה לאורך כל ההעמסהובה שומרים על יחסי הכ, "פרופורציונית"

:וה לסכום העבודות החלקיותוהכללית המושקעת בגוף ש

ii

n

1i

qQ21W ∑

=

= (8-4)

:נותנת (8-4) - ב Qi=kijqj הצבת

jiij

n

1i

n

1j

qqk21W ∑∑

= =

= (8-5)

:נותנת (8-4) - ב qi=fijQjוהצבת

jiij

n

1i

n

1j

QQf21W ∑∑

= =

= (8-6)

. בשווי משקל סטטיהפועלים על גוף הנמצא חות חיצוניים וכהם (8-6) - המופיעים ב Qiהכחות המוכללים

.כי תהיה גם אנרגיה קינטית , U - ל Wלא נוכל להשוות בהמשך את , אם הגוף אינו בשווי משקל סטטי

:כעת יש להפריד בין שני מצבים

חות הריאקציה הניתנים לחישובופרט לכ(חות החיצוניים ו הם הכQi , סטטי מסויםבגוף .א

Qiבמצב כזה נוכל לחשב את האנרגיה האלסטית הנאגרת בגוף כפונקציה של ). Qi כפונקציה של

העיבורים והאנרגיה , י רישום מהלך מומנטים במבנה ומהמומנטים נחשב את המאמצים"ע

∫ .האלסטית εσ=v

ijij dv21U

י סטטיקה ולכן לא חות הריאקציה משיקולואין אפשרות לחשב את כ, סטטי לא מסוים בגוף .ב

.Qiנוכל לרשום את האנרגיה האלסטית הנאגרת בגוף כפונקציה של

עד שהגוף יהיה , ...) ריתום, סמך(נסיר את האילוצים העודפים : הבא 'טריק'בכדי להתגבר על הבעיה נשתמש ב

הוא . כל דברלח חיצון וכאל כבמקום כל אילוץ שהסרנו נוסיף כח ריאקציה ונתיחס אליו . במצב סטטי מסוים

ואם לא נטיל עליו כל מגבלה תהיה בנקודת פעולתו גם , יוכל לקבל כל ערך ,Qiח חיצון נוסף ויופיע ככ

בהמשך נטיל הגבלה על הדפורמציות . למעשה יצרנו בתהליך זה בעיה חדשה השונה מהמקוריתqiדפורמציה

. נחזור למעשה לבעיה המקוריתדי כךעל י). נדרוש שהדפורמציות שם יתאפסו(בנקודות בהן הוסרו הסמכים

חות המוכללים ו הככלכפונקציה של , י שימוש בטריק זה נוכל לבטא את האנרגיה האלסטית הנאגרת בגוף"ע

Qi) והשוררים במקומות שהסרנו את האילוצים, החיצוניים .(

משפט ההדדיות של מקסוול (8-3)

וניתן fij=fji: כלומר , היא מטריצה סימטרית ) kijת ומטריצת הקשיחו (fijנוכיח כי מטריצת הגמישות

ולחשב את , האחד אחר השני, מסיםודרך ההוכחה תהיה להעמיס מבנה בשני ע. הסבר פיזיקלי לשוויון

אבל בסדר הפוך ונחשב , מסיםובאותם הע, לאחר מכן נשוב ונעמיס את אותו המבנה. האנרגיה שהושקעה

8-3 ניגש כעת . השוואתן תוביל להוכחת הסימטריות. האנרגיות שוות זו לזוברור ששתי. את האנרגיה שהושקעה

.להוכחה

2דה ו ובנקיגרום בנקודת הפעלתו לדפורמציה אשרח מוכלל ו נפעיל על המבנה כ:1העמסה

אשר ח מוכלל שני ו כעת נוסיף כ.: ובד היאח עוהעבודה שהכ . יגרום לדפורמציה

עור י יגרום לשקיעה נוספת בש2 ובנקודה עור י לשקיעה נוספת בש1יגרום בנקודה

1Q111Qf

121Qf2111Qf)2/1(2Q

22Q

( )

2Q12f2f

2Q

121f2q

1Q

1 111f21f

1Q

111f1q

Q

Q Q

2 1

Q

ידח מוכלל יחוקורה עמוסה בכ : (8-2)ציור

2Q1Q

1 111f21f

2Q12f 2Q22f

321 1q

1Q

11f 1 212f

321

2Q

121f

2q

222f

321321

Q Q

Q Q

Q Q

2 1

ח מוכלל שני על קורה עמוסהוהוספת כ : (8-3)ציור

עם העמסתו Q1ח ועבודת הכ: חות עבדו על המבנה מורכבת משלושה מרכיביםוהעבודה הכללית שהכ

Q1ח וועבודת הכ; רך הדפורמציה בנקודת העמסתו ו לאQ2ח ועבודת הכ; ]

יש לשים לב שתרומת הרכיב האחרון אינה כוללת . Q2 שנגרמה בעת הפעלת 1רך הדרך הנוספת בנקודה ולא

.בערכו המלא Q1רך הדרך הנוספת פעל ו כי לא1/2 -הכפלה ב

[ ]2222Qf)2/1( ]2

111Qf2/1

12122222

2111

)1( QQfQf21Qf

21W ++= (8-7)

תחילה יופעל :אך בסדר הפוך, חות ובאותן הנקודותוכעת נשוב ונעמיס את המבנה באותם הכ: 2העמסה

Q2 אחריו נפעיל את . ) ויבצע עבודה בשיעורQ 2222Qf)2/1

2111Qf)2/1(

רך קו פעולתו עבודה בשיעור ו אשר יבצע לא1

בשיעור ) Q2של ( ולעבודה נוספת f21Q1 בשיעור 2ובנוסף יגרום לדפורמציה נוספת בנקודה

f21Q1Q2 . העבודה הכוללת היא:

8-4

21212111

2222

)2( QQfQf21Qf

21W ++= (8-8)

. f12=f21 :נותנת -(8-7) , (8-8)השוואת ביטויי העבודה ב

,אפשר להרחיב ולרשום, הן שרירותיות ויכולנו לבחור נקודות אחרות כרצוננו2 , 1היות והנקודות

jiij ff = (8-9)

,הקשיחות סימטריתבאופן דומה אפשר להוכיח כי גם מטריצת

jiij kk = (8-10)

:משמעות פיזיקלית

הנגרמת וה לשקיעה וש, ח יחידהו מופעל כ1 כאשר בנקודה 2 הנגרמת בקורה בנקודה השקיעה

ח יחידהו מופעל כ2 כאשר בנקודה 1בנקודה

21f12f

1 1

21f 12f

2 1 2 1

עקרון ההדדיות של מקסוול בקורה: (8-4)ציור

Q1נדגים את האמור כאן בעזרת קורה העמוסה בכוח

2l

2l

1q2q

Q2

Q1

. הפועל בקצה הימניQ2ובמומנט , הפועל במרכזה

על ידי רישום הדפורמציות , fijנתחיל בחישוב מקדמי ההשפעה

שימוש בטבלאות ועיקרון . בנקודות בהם פועלים העומסים

:לביטויים הבאים יםהסופרפוזיציה מוביל

2221212

21

2

212111

22

31

1

QfQfEI3

QEI16

Qq

QfQfEI16

QEI48

Qq

+=+=

+=+=

ll

ll

).7-12(האגף הימני בביטויי הדפורמציות הועתק ממשוואות

: הימני עם המרכזי בכל משוואה מובילה למקדמי ההשפעהףהשוואת האג

8-5

EI3f ;

EI16f

EI16f ;

EI48f

22

2

21

2

12

3

11

ll

ll

==

==

[ ]

. שימו לב כי מימדי מקדמי ההשפעה שונים זה מזה

[ ] [ ] [ ] 122

12112

111 )mN(f ; Nff ; mNf −−− ====

כתוצאה , )1נקודה (נניח כי מעונינים לדעת את גודל שקיעת מרכז הקורה. זור לקורה על שני סמכיםנח

.f12כלומר את , )2בנקודה (מפעולת מומנט יחידה בקצה

כתוצאה , 2גודל זה שווה בערכו לגודל שיפוע המשיק לקורה בנקודה עיקרון ההדדיות של מקסוול קובע כי

. f21 -כלומר ל, )1בנקודה (רכז הקורה מהפעלת כוח יחידה במ

אולם יש מקרים מעשיים בהם קל יותר לחשב , f21 על חישוב f12יתרון בחישוב אמנם במקרה הקורה אין

. חשיבות העיקרוןמקדם אחד על מישנהו ובזה

משפט קסטיליאנו השני (8-4)

דפורמציות המוכללות השייכות להם והQiמסים חיצוניים וארי פועלים עיכאשר על גוף אלסטי לינ

נרשום העבודה . (8-6) -העבודה שהם עובדים על הגוף נתונה ב , qi -יסומנו ב) ושלאורכן הם עובדים עבודה(

,בצורה מפורשת

{

}2nnn1n1n

n2n222221221

n1n121122111

QfQQf

QQfQfQQfQQfQQfQf

21W

+++

++++

+++=

LLLLLLM

LLL

LLL

(8-11)

,Q1גזירה לפי

{

}n1n331221

nn12121111

QfQfQf

QfQfQf221

QW

++++

+++=∂∂

LLL

LLL (8-12)

:נותן (8-12) - בfijמוש בסימטרית יש

n,,2,1jQfQW

jj11

K==∂∂ (8-13)

,נקבל , Qi חותו לפי יתר הכ (8-11)אם נחזור על הגזירה של

n,,2,1j,iQfQW

jiji

K==∂∂ (8-14)

8-6

,ןנות (8-14) -שימוש ב

ii

qQW

=∂∂ (8-15)

: נקבל את משפט קסטיליאנו השני(8-1)ומהקשר

ii

qQU

=∂∂ (8-16)

נותנת את מקדמי הגמישות Qjלפני סיום סעיף זה כדאי להוסיף כי גזירה נוספת של האנרגיה האלסטית לפי

fij וגזירה כפולה של האנרגיה האלסטית לפי הדפורמציה המוכללת נותנת את מקדמי הקשיחות kij.

ijji

2

fQQ

U=

∂∂∂ (8-17)

ijji

2

kqq

U=

∂∂∂ (8-18)

משפט קסטיליאנו הראשון (8-5)

מבלי להסתמך על שיקולים אנרגטיים , התקף גם במקרים לא ליניאריים, נפתח בקצרה את המשפט הראשון

.אלא על עקרון העבודה המדומה

.(8-5)הגוף נתמך בסמכים כמתואר בציור . המצוי בשווי משקלQiמסים חיצוניים ונתון גוף עמוס בע

1Q

1 2

3

3Q

2Q

גוף עמוס : (8-5)ציור

בגוף בצורת אנרגיה אלסטית " נשמרים"ה, בכל הגוף ולמאמצים פנימייםqiמס הנתון גורם לשדה הזזות והע

U . נניח כי מהמצב המתואר בציור אנו מוסיפים שדה הזזות קטןδqi) מסים ועל ידי שינויים קלים בע

.יםובתנאי ששדה ההזזות ימלא את דרישות אילוצי הסמכ) δQiהחיצוניים

8-7

יעבדו עבודה לאורך התוספת הקטנה בשדה (Qi)מסים החיצוניים המקוריים והע, כתוצאה מפעולה זו

). כבר פועלים בערכם המלאQi כי 1/2 -כאן אין הכפלה ב: שימו לב( δW = Qiδqi :בשיעור, (δqi)ההזזות

לאורך תוספת δQiחות וכלעבודה זו יש להוסיף אמנם תוספת קטנה הנובעת מתרומת העבודה של תוספת ה

. ולכן תוזנחQiδqi -אבל תרומה זו קטנה בסדר גודל מ , δqiהדרך

(δU)ולכן גורם לשינוי , גורם לשינויים בשדה העיבורים והמאמצים הפנימייםδqiשדה ההזזות הנוסף

(δU)טית לשינוי באנרגיה האלס(δW)חות החיצוניים והקשר בין עבודת הכ. באנרגיה האלסטית שבגוף

.מוכח על בסיס תורת האלסטיות במקומות אחרים

) : נבטא כעת את האנרגיה האלסטית כפונקציה של ההזזות n21 q,,q,qUU KK= ) : נתון על ידי δqi בעקבות הפעלת U -השינוי ב

nn

22

11

qqUq

qUq

qUU δ

∂∂

++δ∂∂

+δ∂∂

=δ KK (8-19)

וכל יתר ההזזות ) δq3נניח (ספנו רק הזזה אחת נדון במקרה בו הו, רצוניות הן δqiהיות וההזזות הנוספות

:עבור מקרה זה מתקבל . מתאפסות

3333

qQW;qqUU δ=δδ

∂∂

=δ

: נותנתδq3 - וצמצום ב δW = δUאת הביטויים והשו

3

3 qUQ

∂∂

=

:מסים ונקבלוהעn אפשר לחזור על תרגיל מחשבתי זה לכל

i

i qUQ

∂∂

= (8-20)

. מבטאת את משפט קסטיליאנו הראשון והיא תקפה גם למקרים לא ליניאריים(8-20)משואה

נפתח בסעיף הבא ביטויים עבור , )משפט קסטיליאנו השני(לפני שנעבור לחישוב הזזות בשיטת האנרגיה

ח ו כפיפה וכמומנט, פיתול, מתיחה: אנרגיה אלסטית הנאגרת בקורה כתוצאה מהעמסות סטנדרטיות כגון

).בכפיפה(גזירה

8-8

אנרגיה אלסטית של מוטות וקורות(8-6)

נתונה על ידי הקשרליחידת נפח אנרגית עיבורים אלסטית , כידוע

ijij21dU εσ= (8-21)

,Vבגוף שנפחו האלסטית והאנרגיה

∫ εσ=V

ijij dV21U (8-22)

.עיות מעשיות המופיעים בבבסיסיים עבור מספר מקרים U -נעבור כעת לפיתוח ביטויים ל

ח ציריואנרגיה במוט עמוס בכ (8-6.1)

.Pח צירי ו מתואר מוט עמוס בכ(8-6)בציור

l

x

A y

P P

מוט במתיחה : (8-6)ציור

, טנזורי המאמצים והעיבורים של כל נקודה במוט רשומים להלן

σ=σ

0000000011

ij

εε

ε=ε

33

22

11

ij

000000

,ם מתאפסים נתונים בביטויים להלןכאשר המאמצים והעיבורים שאינ

AP

11 =σ (a)

11332211

11 ;E

νε−=ε=εσ

=ε (b)

:נותנת (8-22) -הצבת המאמצים והעיבורים ב

AdxEA

P21dV

E21dV

21U

02

2

V

211

11V

11 ∫∫∫ =σ

=εσ=l

(8-23) U = dxEAP

21

0

2

∫l

.יתמחולק בפעמיים הקשיחות הרלוונט) P(של ריבוע העומס , האנרגיה מתקבלת כאינטגרל לאורך המוט

8-9

האינטגרל , אף היא אחידהEAח אחיד לאורך הקורה והמכפלה וכאשר הכ, במקרה הפשוט המתואר בציור

:הוא מיידי

EA2

PU2l

= (8-24)

(8-23) -כאשר אחד או יותר מהגורמים המופיעים תחת סימן האינטגרל ב, במקרים מסובכים יותר

.ית ההשתנות המתאימה ומבצעים את האינטגרציהמציבים את פונקצ, xמשתנים כפונקציה של

)חתך מעגלי(אנרגיה במוט פיתול (8-6.2)

.M1 מתואר מוט עמוס במומנט פיתול (8-7)בציור

y

τ

R

B

l

PGI

1M1M

x

y

2R

z

מוט פיתול : (8-7)ציור

(8-8)בציור , מסומנים על התיבה האינפיניטסימלית סביב הנקודהz אשר על ציר Bהמאמצים בנקודה

τ=σ=σ 2112

21σ

12σ

y

x

z

Bמאמצים בנקודה : (8-8)ציור

, טנזורי המאמצים והעיבורים בנקודה רשומים להלן

σ

σ=σ

0000000

12

12

ij

ε

ε=ε

0000000

12

12

ij

,כאשר המאמצים והעיבורים שאינם מתאפסים נתונים בביטויים להלן

8-10

p

112 I

rM=τ≡σ (a)

G2212

12σ

=γ

≡ε (b)

נותנת את האנרגיה האלסטית הנאגרת במוט (8-22) -הצבת המאמצים והעיבורים שאינם מתאפסים ב

,המפותל

dxdArGI2MdV

G2dV2

21U

A

2

02P

21

V

212

12V

12

=

σ=εσ= ∫∫∫∫

l

. dx ואורך dA נבחר באינטגרל האחרון כטבעת מעגלית בשטח dVשימו לב כי אלמנט הנפח

. אינטגרל לאורך המוט. ב , Aאינטגרל על שטח חתך רוחבי . א: םהאינטגרל על נפח המוט מבוצע בשני שלבי

(8-25) dx1 l

GIM

2U

0 p

21∫=

.מחולק בפעמיים הקשיחות הרלוונטית, מופיע באינטגרל ריבוע העומס , (8-23) -כמו ב

,האינטגרל מיידי וערכו, רך המוטוכאשר מומנט הפיתול והקשיחות לפיתול אחידים לא, גם כאן

P

21

GI2MU l

= (8-26)

אנרגית כפיפה של קורה (8-6.3)

ח גזירהו וכ M3 בקורה פועלים מומנט כפיפה. Pח ו מתוארת קורה שלוחה העמוסה בקצה בכ(8-9)בציור

V2הגורמים למאמצים ועיבורים כפי שרשום להלן :

P y

dA

b

h

l

x

y z

קורה בכפיפה : (8-9)ציור

σ

σσ=σ

000000

12

1211

ij

εεεεε

=ε

33

2212

1211

ij

0000

8-11

,המאמצים והעיבורים מחושבים מנוסחאות הכפיפה ומחוק הוק וערכם

tI

QV;I

xM

22

2212

22

2311 −=σ−=σ (a)

G2

;E

1212

1111

σ=ε

σ=ε (b)

ח ובסעיף זה נחשב רק את תרומת מומנט הכפיפה לאנרגית העיבורים ובסעיף הבא נחשב את תרומת כ

. הגזירה

לאחר החלפת האינטגרציה (נותנת (8-22)במשואה , נט הכפיפההנובעים ממומ, הצבת המאמצים והעיבורים

:)באינטגרציה על שטח חתך רוחבי ולאחריה אינטגרציה לאורך הקורה, על נפח הקורה

dxdAxE1

IM

21dV

E1

IxM

21dV

E21dV

21U

A

22

V 0

2

22

32

22

23

V

211

11V

11

=

=

σ=εσ= ∫∫ ∫∫∫

l

(8-27) M1 l

dxEI2

U0 22

23∫=

.מחולק בפעמיים הקשיחות הרלוונטית, מופיע באינטגרל ריבוע העומס , (2-23) -כמו ב, גם כאן

אם חתך הקורה . את הפונקציה המתאימה לבעיה המסוימת ונבצע אינטגרציהM3בכל בעיה נציב במקום

.xנציב את מומנט האינרציה כפונקציה של , אינו אחיד

, ביטוי דומה(8-27)היינו מקבלים במקום משואה , M3 ולא M2אילו מומנט הכפיפה היה

(8-28) 2U = dx

EIM1

0 33

22∫

l

אנרגית גזירה של קורה (8-6.4)

נצייר שנית את הקורה ונדגיש . כעת נחשב את האנרגיה האלסטית הנאגרת בקורה כתוצאה מכח הגזירה

.מושגים שנלמדו בפרק הדן בחישוב מאמצי גזירה בקורות

P y

l

A~

h

b

z

x

y

) לחישוב הגזירה(קורה בכפיפה : (8-10)ציור

8-12

המקווקו בציור השטח של, המופיע בביטוי הוא המומנט הסטטיQ2. (a)מאמץ הגזירה נרשם למעלה

(8-10) ,Q . האנרגיה האלסטית הנובעת ממאמצי הגזירה מתקבלת על ידי הצבת מאמצי

.(8-22)במשואה , למעלה(b) (a)ועיבורי הגזירה ממשואות

A~

dAxA~

22 ∫=

dVtQV

GI21dV2

21U

2

V

22222

12V

12 ∫∫

=εσ=

. אינו משתנה על פני החתךV2ח הגזירה ו ונזכור כי כdAdx נציב את המכפלה dVבמקום אלמנט הנפח

רך ועל פני שטח החתך ולאחריה לא: באינטגרציה כפולה, לפיכך נחליף את האינטגרציה על נפח הקורה

,התוצאה תהיה. הקורה

dxVdAt

QGI21U

0

22

2

A

2222

∫∫

=

l

(8-29)

, (8-23), (8-25),משוואות מאחר ואין אפשרות לרשום את האנרגיה האלסטית של כוח הגזירה בצורה של ה

:כדלהלן" מקדם צורת החתך" הנקרא ,κ2מקובל להגדיר פרמטר חסר מימד , (8-27)

dAt

QIA 2

A

2222

2 ∫

=κ (8-30)

:לקודמותיה" דומה" בצורה תרשם(8-29)אנרגית הגזירה , בעזרת פרמטר זה

(8-31)

dxGAV

2U

0

222 ∫

κ=

l

,zח גזירה הפועל בכוון ציר והקשורה בכבאפן דומה אפשר לרשום ביטוי לאנרגיה האלסטית

(8-32) V

∫κ

=l

dxGA2

U0

233

מוגדר על ידיκ3כאשר מקדם צורת החתך

dAt

QIA 2

A

3233

3 ∫

=κ (8-33)

.נדגים חישוב של מקדם צורת חתך לשני חתכים, לפני שנעבור לחישובי דפורמציות בשיטת האנרגיה

חתך מלבני. א

:המומנט הסטטי של החלק המקווקו

−= 2

2

2

2 x4h

2bQ

8-13

:מומנט האינרציה של כל החתך12bhI

3

22 =

y

2x

b

h z

,נותנת) 8-30(-הצבת ביטויים אלה ב. t=b): בתחתית החלק המקווקו(רוחב החתך A=bh; : שטח החתך

( ) 5

6bdxx4

h2b

b1

12/bh

bh2

222

22

2

2h

2h

232 =

−

=κ ∫

−

.6/5אותו ערך של היינו מקבלים , עבור החתך המלבני κ3ברור כי אילו חישבנו את

חתך מעגלי דק דופן. ב

=θ :)6 בפרק 2ראו דוגמא (המומנט הסטטי של החלק המקווקו sintR2Q 22

tRI 322 π= :מומנט האינרציה של כל החתך

y

θ

t

R

z

. 2t: החלק המקווקושני צידירוחב A=2πRt ; : שטח החתך

,נותנת, ואינטגרציה(8-30) -בהצבת ביטויים אלה

( )

( )( )

2dsin4Rd2t2sintR2

tR

Rt2 2

02

22

0232 =θθ

π=θ

θ

π

π=κ ∫∫

ππ

8-14

אנרגיה אלסטית במקרה כללי (8-6.5)

(V2 ; V3),חות גזירה ווכ; (M3 ; M2)מומנטי כפיפה ; (P)ח צירי וכ, lבאורך , כאשר פועלים על קורה

מאמצים המאחר ו. σומאמצי גזירה , 11σמתעוררים בקורה מאמצים נורמאליים

P, M: נובעים משלושה עומסיםהנורמאליים

1312 ; σ

11σ

11

3, M2 , מתעוררת שאלה האם ניתן לקבוע כי

כלומר , σ -כל העומסים הגורמים ל שווה לסכום התרומות של σ -האנרגיה הכללית הנובעת מ

שראשיתה במרכז החתך ,ם ראשיתלשם פשטות ההוכחה נתיחס למערכת צירי . (28 ,27 ,8-23)

,(5-19)ונרשום את המאמץ הנורמאלי כפונקציה של העומסים הגורמים אותו , הרוחבי

11

222

33

33

211 x

IM

xIM

AP

−+=σ

3211 cxbxa

σ=++ ,או בצורה פשוטה יותר

11

: בקורה היאσהאנרגיה האלסטית מהמאמץ

∫∫ ++=σ=V

232

V

211 dV)cxbxa(

E21dV

E21U

,נתהביטוי בסוגריים מתחת לסימן האינטגרל נותשל ריבוע העלאה ב

(a) ∫ +++++=V

32322

32

22 dV)]xbcxacxabx(2)cx()bx(a[

E21U

∫A

idAx

000)dAxacdAxab(dxdV)acxabx(V A A

320

132 =+=+=+∫ ∫ ∫∫l

0Ibc)dAxx(dxbcdVxxbc 230 A

321V

32 === ∫ ∫∫ ll

כפי (כאשר ראשית הצירים נקבעת במרכז החתך , (5-7)של שטח חתך ) כובד(על פי הגדרת מרכז

:ומתקבל, שצורתם (a) -במתאפסים האינטגרלים ) שנעשה במקרה בו אנו דנים

ומאחר I23הוא מכפלת האינרציה (a) - בהאינטגרנד האחרון המופיע תחת סימן אינטגרל האנרגיה

,מכפלת האינרציה מתאפסת, ומערכת הצירים היא מערכת ראשית

היא (a) -התרומה שאינה מתאפסת בחישוב האנרגיה ב

∫ ++=V

23

22

2 dV])cx()bx(a[E21U

ואינטגרל A והחלפת האינטגרל הנפחי באינטגרל על פני שטח החתך a, b, cהמקדמים ולאחר הצבת

:מתקבל הביטוי הבא, לאורך הקורה

∫∫∫ ++=lll

01

22

23

01

33

22

01

2

dxEIM

21dx

EIM

21dx

EAP

21U

8-15 :האנרגיה האלסטית בקורה תהיה

(8-34)

dxVGA2

dxVGA2

dxEIM

21dx

EIM

21dx

EAP

21U

0

23

3

0

22

2

0 22

23

0 0 33

22

2

∫∫∫∫ ∫κ

+κ

+++=llll l

ירשמו , )8-34(כפי שרשום במשוואה , בחתכים רוחביים לאורך הקורההמומנטים והכוחות הפועלים

כפונקציה של Uגזירת . הפועלים על הקורהכפונקציה של העומסים החיצוניים הבלתי תלויים

:Qבכוון פעולת הכח המוכלל , תעשה לפי כלל השרשרת ותתן את הדפורמציה המתאימה

( )iQiQ

iqi

Klll

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=∂∂

= ∫∫∫ dxQM

EIM

dxQM

EIM

dxQP

EAP

QUq

i

3

0 22

3

i

2

0 33

2

i0ii (8-35)

( )l−= xP3

חישוב דפורמציות בשיטות אנרגיה (8-7)

מסוימות ובלתי (נתחיל בקורות . נעבור עתה לחישוב דפורמציות במבנים שונים בשיטת קסטיליאנו

.ואחר כך נדון במסגרות ובמסבכים) מסוימות

דפורמציות בקורות (8-7.1)

:1דוגמא

). זיז( יש לחשב את שקיעת קצה הקורה השלוחה

δξl

x

P v

b

h

.(δb)תחילה נחשב את השקיעה הנובעת ממומנט הכפיפה בלבד

מס החיצון ולגזור לפי ו כפונקציה של הע(M3)רך הקורה ושלב ראשון הוא לחשב את מומנט הכפיפה לא

לכן . אין חשיבות לסימן המומנט, בחזקה שניה(8-27)טוי האנרגיה מאחר והמומנט מופיע בבי. מסוהע

מבלי לטרוח ולוודא מהו סימן המומנט , אפשר לבחור מערכת צירים הנוחה ביותר לחישוב המומנט

: יהיה המומנט, הנתונהx,yאם נרשום המומנט במערכת , בדוגמא הנדונה . באותה מערכת

M .יהיה המומנט, ובכוון שמאלה, חות ראשית הצירים במקום פעולת הכאם נקבע א :

M3=Pξ . ביטוי זה נוח יותר ובו נשתמש.

8-16

וביצוע הגזירה (8-35)הצבתה במשואת השקיעה . (8-27)אנרגית הכפיפה נתונה במשואה

,נותניםוהאינטגרציה

22

3

0 22

23

0 22

3b EI3

PdEIPd

PM

EIM

PU l

ll

=ξξ

=ξ∂∂

=∂∂

=δ ∫∫

.δs, ח הגזירהוכעת נחשב את השקיעה הנובעת מכ

כפי שחושב בדוגמא (6/5 ומקדם צורת החתך למלבן הוא (8-31)אנרגית הגזירה נתונה במשואה

∫ ,נותניםהצבה ואינטגרציה ). קודמת =ξ×

=l

l

0

22

GA5P3dP

GA256U

:ח הגזירה בחתךווהשקיעה הנובעת מכ22

2

s GI10hP

GA5P6

PU ll

==∂∂

=δ

,וה לסכום שני מרכיבי השקיעהוהשקיעה הכוללת ש

+=+=δ+δ=δ 2

2

22

3

22

2

22

3

sb G10Eh31

EI3P

GI10hP

EI3P

l

lll

. ח הגזירהו את תרומת כ-האיבר הראשון בסוגרים מבטא את תרומת מומנט הכפיפה והאיבר השני

גדלו של האיבר , ν∼0.25 -היות ו . E/G=2(1+ν): שימוש בקשרים בין הקבועים האלסטיים נותן

הביטוי המבטא את , ה החתךמאחר ואורך קורה גדול ביחס לגוב. 0: השני הוא בקרוב

ח ולפיכך נהוג להזניח את תרומת כ. ח הגזירה לשקיעה הכללית מהוה אחוז קטן בלבד ממנהותרומת כ

.הגזירה כאשר מחשבים שקיעת קורה

22 /h75. l

:2דוגמא

. (a)יש לחשב את שקיעת אמצע הקורה השלוחה שבציור

1Q

2l

l

0p

p

x

2l

l

0p

p

x

(b) (a)

ח מרוכז ולכן לא נוכל לגזור את האנרגיה שבקורה לפי והמיוחד בדוגמא זו הוא שבמרכז הקורה אין כ

) (b)ציור (Q1ח מרוכז ובמקרה כזה מוסיפים במרכז הקורה כ). יתובכדי לקבל הזזה קו(ח מרוכז וכ

) יקטיביהפ(ח ו והן בכ(p)התוצאה תהיה תלויה הן בעומס האמיתי . ומחשבים את השקיעה כמקובל

Q1 . אם נציב בתוצאה את הערךQ1=0 ,נקבל את התוצאה לשאלה המקורית.

8-17

בתחום2

x0 l≤≤

p

x V

M

xpp0 =

l

0QM;

6xp

3x

2pxM

1

30 =

∂∂

=⋅=l

l בתחוםl

≤≤ x2

V

x

2l

1Q

p M

2

xQM;

2xQ

6xpM

11

30 ll

l−=

∂∂

−+=

:Q1ח והשקיעה מתחת לכ

dx2

x2

xQ6xp

EI1dx0

EIMdx

QM

EIM

QUq

2

1

30

2

0100Q11

1

−

−++⋅⋅=

∂∂

=∂∂

= ∫∫∫=

ll

l

l

l

l

l

EI3840p49

8x

5x

EI6pdx

2xx

EI6p 4

0

2

450

2

30 ll

l

l

l

l

l

l

l

=

−=

−= ∫

.Q1 מעיד כי כוון השקיעה ככוון הפעולה של q1הסימן החיובי של

גוזרים את , ) פיקטיבי(מוסיפים בה מומנט , אם רוצים לחשב שיפוע הקו האלסטי בנקודה כלשהי

. האנרגיה על פיו ולאחר מכן מאפסים את המומנט הפיקטיבי

8-18

:3 דוגמא

.Bבסמך , (a)יש לחשב את שיפוע הקו האלסטי של הקורה הנתונה

l

1Q

2QA B

p

l

A B

(b) (a)

מטעמי אחידות . Q2ח ו בכBולכן נחליף את הסמך , וימת מדרגה ראשונה

החלפה זאת היא רצונית ואינה משפיעה כלל על מהלך (Q1 -מס המחולק ל

שיגרום לאיפוס Q2ח והכ . q2 קימת שקיעה Q2לכל ערך : סוף פתרונות

וממנו נחשב את q2=0נציב איפוא את התנאי . יאקציה הקיים בסמך

.הבעיה תהיה סטטית מסוימת ידועה ונוכל להמשיך ולחשב את השיפוע

1Q

2Q

x

V

M

xQM;xQ

21xQM

2

212 =

∂∂

−=

∫∫

−=

∂∂

⋅=∂∂

==ll

0

21

2202

2 2xQxQ

EI1dx

QM

EIM

QU0q

lll83Q

83Q0Q

81Q

31

124

13

2 ==⇒=−

בציור B בסמך Q3) פיקטיבי(על ידי הוספת מומנט , Bת השיפוע בסמך

ונקציה נרשום את המומנט השורר בחתך כפ. מנט הוא בניגוד לכוון השעון

שימוש במשפט . Q3 -הנחה שהם בלתי תלויים זה בזה ונגזור ביחס ל

.ה הנדרשת

הבעיה היא סטטית לא מס

בסימונים נחליף את שם הע

).וןהפתר

יש אינ(b)לבעיה שבציור

ח הרו הוא כq2השקיעה

, לאחר חישובה. הריאקציה

xdx

lp

יוכעת נוכל לגשת לחישוב ז

(b)נניח שכוון המו. למעלה

ב, מסיםושל שלושת הע

את התוצאנותןקסטיליאנו

8-19

1Q

2Q x

V

M

3Q

1QM;xQ

21xQQM

3

2123 =

∂∂

−+=

−=

−+=

∂∂

=∂∂

==θ ∫ ∫ 31

22

0 0

212

333B Q

31Q

EI21dxxQ

21xQ0

EI1dx

QM

EIM

QUq ll

l l

כפי שחושב (Bך הקיים בסמQ2אם נציב את הערך של . θB נקבל שיפוע Q2 - וQ1עבור כל עמס

.נקבל את השיפוע הנדרש בשאלה, )למעלה

EI48

Q 31

Bl

=θ

:הערת הבהרה

.בשם שונהח ומציינים כל כ, והומסים בעלי עצמה שומספר ע ,בנקודות שונות ,אם על מבנה פועלים

.הדרושה לחישוב דפורמציה, על ידי כך נוכל להבדיל בין עמס למשנהו בזמן פעולת הגזירה

1Q 2Q P P

דפורמציות במסגרות (8-7.2)

:4דוגמא

יש לחשב שקיעת הנקודה . בקצה השני Pח ונתונה מסגרת מישורית רתומה בקצה האחד ועמוסה בכ

Dח ו בכוון הכP . רך חלקי המסגרתובציור סומן פילוג המומנטים לא. P

ll

l

{}

lP

lP

A B

x y

D C

8-20

CD : ; x:בקטע P

M )1( =∂

∂l≤≤ x0PxM )1( =

l ≥≥ CB : ; M:בקטע y0l=∂

∂

PM )2(

lP)2( =

ll 2x AB : ; x:בקטע P

M )3( =∂

∂PxM )3( = ≤≤

:Dשקיעת הנקודה

dyEI

PdxEI

PxdxP

MEI

Mdy

PM

EIM

dxP

MEI

MPU

0

22

0

2)3(

2)3()2(

0

)2()1(

0

)1(D ∫∫∫∫∫ +=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

=δlll

l

lll

EIP

311 3

Dl

=δ

.Pח והסימן החיובי של ההזזה מעיד כי כוונה ככוון פעולת הכ

:5דוגמא

יש לחשב את . כמתוארPח ועל המסגרת פועל כ. נתונה מסגרת המחוברת לשני סמכים פרקיים קבועים

.הריאקציות בסמכים

AxR

AyRByR

2QH =

1QP =

l

a

h

C

B A

( ) ( )14 MM = ( )1M

( )2M( )3M

C

, ) בכל סמך2 (4היות ומספר הריאקציות בסמכים הוא , 1הבעיה היא סטטית לא מסוימת מדרגה

נהפוך הבעיה לסטטית מסוימת על ידי שחרור אחד האילוצים בסמך . ואות מהסטטיקהו מש3ולרשותנו

B .פקי וח אובמקום האילוץ המשוחרר נוסיף כHח החיצון ו בלתי תלוי בכחו ונתיחס אליו כאל כP . כעת

. שיפעל בסמך יהיו ריאקציות מתאימותHח ולכל כ. שהיא סטטית מסוימת" חדשה"עלינו לפתור בעיה

. מתאפסתBפקית של ויתקבלו מהתנאי שההזזה הא, השוררות בבעיה המקורית, הריאקציות האמיתיות

,נתחיל בחישוב הריאקציות

8-21

( ) ( )aPRaPR0M ByByA −=⇒−−==∑ ll

ll

l

lPaRPaR0M AyAyB =⇒−==∑

HRHR0F AxAxx =⇒−==∑נגזור ונציב במשפט , נרשום ערכי המומנטים בקטעים השונים. פילוג המומנטים במסגרת מצויר למעלה

,קסטיליאנו

hx0: ,בעמוד הימני ≤≤ xH

MHxM )1(

)1( =∂

∂⇒=

:ax0 ≤≤ hH

MxRHhM )2(

By)2( =∂∂

⇒−=

, בקורה העליונה

:l≤≤ xa ( ) hH

MaxPxRHhM )3(

By)3( =∂

∂⇒−+−=

:נותנת ,Bפקית בסמך והצבה בתנאי של העדר הזזה א

0HU=

∂∂

dxH

MMdx

HM

MdxH

MM20 )3(

)3(a

)2()2(

a

0

)1()1(

h

0 ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ∫∫∫

l

לתוצאהמביאה, הצבת המומנטים ואינטגרציה

( )

+

−=

ll

l

3h21h2

aPaH

:6 דוגמא

. כמתוארPח ורך קוטרה בכומתחת לאנתונה טבעת הנ

.לחשב מהלך מומנטים בטבעת א :דרוש

.פקי של הטבעתולחשב הקטנת הקוטר הא ב

A

R

A

1Q

2Q

θ= Rdds

θR

P

8-22 .חישוב מהלך המומנטים. א

טבעת או , קורה(כאשר רוצים לקבוע מהלך מומנטים וכוחות פנימיים בחתך רוחבי לאורך מבנה כלשהו

עונינים לחשב את המומנט והכוחות הפנימיים ולרשום משוואות שווי יש לחתוך במקום בו מ) מסגרת

חיתוך אחד לא יבודד מהטבעת , במקרה הנדון של הטבעת. משקל על דיאגרמת הגוף החופשי המתקבל

. כל מה שנקבל הוא טבעת פתוחה במקום טבעת סגורה". דיאגרמת גוף חפשי"קטע שנוכל להתייחס אליו כ

)ח צירי ו הם כהנוצר על ידי פעולת החיתוךעלים בחתך העומסים הפנימיים הפו ח גזיוכ, (

)ומומנט כפי פ חוק "ע(עומסים פנימיים אלה פועלים בכוונים מנוגדים זה לזה על שני צידי החתך . (

שוואות שווי המשקל לא יעזרו לנו בחישוב שלושת הכוחות ועל כן מ, )הפעולה והתגובה של ניוטון

תסטטית לא מסוימת "בעיה כזו מוגדרת כ. המוכללים הנעלמים

1Q( )3Q

2Q

רה

פה

במבט ראשון נראה . 3מדרגה " פנימי

אולם נוכל . את שלושת הכוחות הפנימיים על מנת לחשב תנאים של דפורמציות בעזרתם 3שנצטרך

). סביב קוטר אנכי וסביב קוטר אופקי(רבה אם נבחין שהבעיה בעלת סימטריה כפולה לחסוך עבודה

, האינפורמציה על הסימטריה הכפולה מאפשרת לקבוע שניים מהכוחות הפנימיים בצורה פשוטה ביותר

.כמוסבר להלן

iQ

.רכמתוא, נחתוך את הטבעת לאורך קוטר אופקי ונוסיף בחתכים הנוצרים את העומסים הפנימיים

P בשני הצדדים של כל חתך הכוחות הפנימיים הפוכים בסימנם זה לזה

2Q3Q

3Q2Q

1Q

3Q

2Q

3Q

1Q

2Q

בשני חתכים הנמצאים בשני צידי הקוטר האנכי. חוק ניוטוןפי ל ע

כווני הכוחות ועצמתם נקבעו, )נניח בחצי העליון של הטבעת(

.כך שימלאו את תנאי הסימטריה סביב קוטר אנכי

P

: ימשווי משקל של חצי טבעת מקבלים מיד כ2PQ1 =

3Q

3Q

3Q

o1803

2

.

שמשמעותה , כעת נעבור לניצול הסימטריה סביב הקוטר האופקי

ח בצד אחד של הקוטר האופקי הוא תמונת ראיוכי כוונו של כל כ

אם כוון,לפי דרישה זו. ח מצידו השני של הקוטר האופקיו של הכ

על מחצית הטבעת התחתונה חייב להיות גם כוון , רכז כלפי חוץעל מחצית הטבעת העליונה הוא מהמ

אבל לפי חוק הפעולה והתגובה של ניוטון ראינו כי הכוונים בשני חצאי הטבעת . כן מהמרכז כלפי חוץ

ירה ח הגזוכ) ניוטון וסימטריה(המסקנה מכך היא כי בכדי לענות על שתי הדרישות . הפוכים זה לזה

מי שמתקשה בהסבר זה יוכל להיעזר בתיאור גרפי של הטבעת . (חייב להתאפס בחתך המופיע בציור

חייב ישכנע את המתבונן כי -סיבוב הציור סביב הציר האופקי ב. החתוכה על ניר שקוף

).אחרת כוונו יהיה באותו חתך פעם ימינה ופעם שמאלה. להתאפס

Q

אותו נחשב משקולי דפורמציה הקובעים כי קו משיק , Qהנעלם היחיד שנותר בחתך הוא מומנט הכפיפה

. מסנשאר אנכי גם אחרי הפעלת העו, שהיה אנכי לפני הפעלת העומס החיצון, לטבעת בנקודת החתך

0 .: זוית הסיבוב של משיק זה היא אפס: במילים אחרותQU

2

=∂∂

8-23 בגלל . י ניצול הסימטריה הכפולה" בטבעת וגזירתה עUאפשר לפשט את תהליך חישוב האנרגיה

מצב זה הוא תנאי של . פקיונשאר א) למטהPובנקודת הפעלת ( המשיק לטבעת בנקודת הסמך ,הסימטריה

ועל כן נוכל לדון ברבע טבעת הרתומה בקצה העליון כמתואר ) העדר שקיעה וזוית שיפוע מתאפסת(ריתום

.נגזור ונבצע אינטגרציה כמקובל, נרשום כעת את מהלך המומנטים ברבע הטבעת. בציור בראשית השאלה

( ) 1QM;cos1RQQM

212 =

∂∂

θ−−=

( )θ∂∂

=∂∂

= ∫π

RdQM

EIM

QU0

2

2

02

:נותניםהצבה ואינטגרציה

PR182.0212

PRQ2 ≅

π−=

). ראה ציור למעלה(כעת הבעיה הופכת סטטית מסוימת ואפשר לשרטט מהלך מומנטים

: וערכו)ובסמך( P ןח החיצוומתקבל כי המומנט המקסימלי שורר במקום פעולת הכ

( ) PR318.001PR21PR182.0MM 90max −≅−−== =θ

.פקיוחישוב הקטנת הקוטר הא. ב

מס חיצון ומוסיפים ע, מס חיצון מתאיםונקודה שאין בה עכרגיל במקרים בהם רוצים לחשב דפורמציה ב

,מתוארת בציור הבא, אם כן, הבעיה אותה אנו פותרים . ואחרי הגזירה מאפסים אותו

; 2

34

QQ = Q Q

3Q 3

2Q

1Q

4

P

P

( ) θ−=∂∂

θ−θ−−= sinRQM

;sinRQcos1RQQM4

3412

( )[ ]EI

PR068.0411

EIPRdsinR0cos1RQQ

EI1

QUq

332

2

012

44 ≅

−π

=θθ+θ−−−=∂∂

= ∫π

: q4 –פקי כפולה מ והקטנת הקוטר האEI

PR137.0212

EIPRq2

33

4 ≅

−π

==δ

8-24

דפורמציות במסבכים (8-7.3)

אשר העומסים החיצוניים פועלים עליהם בנקודות הצומת , רכבים ממוטות ארוכיםונדון במסבכים המ

חות ציריים ובתנאים אלו ניתן להניח בקרוב טוב מאד כי במוטות פועלים כ). נקודות החיבור של המוטות(

. חות הציריים שבכל המוטותווה לסכום האנרגיות של הכואגרת במסבך שהאנרגיה האלסטית הנ. בלבד

, (8-23)ראה משואה (, תהיה האנרגיה במסבך כולו , Pi על ידי iח במוט ואם נסמן את הכ

ii

i2i

i AE2PU l∑= (8-36)

נותנת , Qjמס וגזירת האנרגיה לפי ע . Qjמסים החיצוניים ו בעזרת העיםבוטאמ, שבמוטות Piחות והכ

.את הדפורמציה המוכללת המתאימה

j

i

ii

ii

ijj Q

PAE

PQUq

∂∂

=∂∂

= ∑ l (8-37)

.מפורט בדוגמא שבהמשךכנוח לפתור בעיות מסוג זה בעזרת טבלה

על ידי חיתוך , " 1מכניקת מוצקים "כפי שנלמד בקורס , חות במוטות היאונזכיר כאן כי דרך חישוב הכ

ח וכ, כמקובל. חות הפועלים על הצומתויצוע שיווי משקל של הכהמוטות הנפגשים בצומת משותפת וב

.סומן כשלילימח לחיצה ווכ, ח חיוביוצוין ככממתיחה במוט

:7 דוגמא

. במסבך הנתון Dפקית של הנקודה ויש לחשב הזזה א

2F

4P

5P

l

l

l

l

l

1F

CRAyR

AxR

2F

5

4

3

2

1

C

D B

A

D

.Dחות במוטות הנפגשים בצומת ונחשב הכ, כדוגמא

חות בכוון אנכי מכתיב ותנאי שווי משקל של כ , P4הצומת עם רכיב אנכי הוא ח היחיד הפועל על והיות והכ

P4=0 . מכתיב , פקיוחות בכוון אושל שווי משקל של כ, תנאי נוסף :P5=F2 . באפן דומה מחשבים את

) .(8-37)לפי (נרשום כעת את הטבלה לחישוב ההזזה . חות במוטותויתר הכ

8-25

Rod #

Force in rod iP

2

i

FP

∂∂

iA

il

2

i

ii

ii

FP

AEP

∂∂l

1-AB 12 F

31F −

1

A

l AE

)3/FF(

1

12 l−

2-AC 12 F

321F

21

+ 21

A

l

K

3-BC 12 F

31F −−

-1

A

l

K

4-CD 0 0 A l K

5-BD 2F 1 A l K

∑=

=5

1i2q KK

.הדפורמציה מתקבלת כאשר מסכמים את העמודה הימנית

חות במסבך לא מסויםוכ (8-7.4)

חות ולנו לחשב את הכוויכ) וגם חיצונית(מבחינה פנימי " סטטי מסוים"המסבך בדוגמא הקודמת היה

קיימים גם מסבכים שאין אפשרות לחשב בהם את . במוטות משיקולי שיווי משקל סטטי בלבד

אלא ) גם אם מבחינה חיצונית המבנה הוא סטטי מסוים(ת משיקולים סטטיים בלבד חות במוטווהכ

דרגת אי המסוימות . פנימית" לא מסוימים"אלו הם מסבכים . עזר בשיקולי דפורמציותיחייבים לה

(r) , נקבעת על ידי הנוסחה הבאה :

3j2mr +−= (8-38)

(members)מספר המוטות במסבך m כאשר

j במסבך יםמספר הצמת (joints)

אפשר גם לקבוע את דרגת אי המסוימות על ידי ספירת המוטות שאפשר להסיר מן המסבך מבלי

אפשר להסיר מוט אחד מבלי שהמסבך , (8-11)במסבך אשר בציור , למשל". מכניזם"להפכו ל

נפתח כעת השיקולים שיביאו . 1היא ) הפנימית(לפיכך דרגת אי המסוימות ). יהפוך למכניזם(יתמוטט

. כמוט העודף6. נבחר באפן שרירותי את מוט מס". עודף"ח במוט ולחישוב הכ

8-26

5 6 l

l

4

3

2

1

C D

B A

F F

1Q2Q

)F,Q,Q(UU 21=

1Q

1מסבך לא מסוים מדרגה : (8-11)ציור

בכדי . ח שפעל במוט לפני חיתוכווומוסיפים בשני צידי החתך את הכ" העודף"חותכים את המוט

אך נזכור כי , חות שונים זה מזה ונסמנם כשני כ, )השווים בעצמתם(חות ושנוכל להבדיל בין שני הכ

: התלות הפונקציונלית פשוטה ביותר. (Q)ח האמיתי הקיים במוט וחות הם פונקציה של הכושני הכ

Q1=Q ; Q2=Q. התנאי ממנו מחשבים אתQוים את הזזת הקצה האחד של ו מתקבל כאשר מש

. הצד השני של החתך תוך הקפדה על סימנים מתאימיםלהזזת , (q1), המוט החתוך

: האנרגיה האלסטית במסבך תרשם כך

:חוובכוון הכ , הזזת הנקודה בה פועל 1

1 QUq

∂∂

=

2Q

:חוובכוון הכ , הזזת הנקודה בה פועל 2

2 QUq

∂∂

=

: זהה ירשם כךבגודל יהיו סימניהם הפוכים זה לזה והתנאי של הזזה , q1 הפוך לכוון q2 היות וכוון

q1=-q2 ולאחר הצבה נקבל:

0QU

QU

21

=∂∂

+∂∂ (a)

נניח . התלויים כל אחד במשתנה נוסף, כעת נזכר בכלל השרשרת בגזירת פונקציה של מספר משתנים

x=x(η) y=y(η): מן הפרמטרים קשורים בפרמטר נוסף כדלהלןשנים. f=f(x,y,z)ה פונקציה כי נתונ

:נותנת ηגזירה ביחס למשתנה הבלתי תלוי

η∂∂

∂∂

+η∂∂

∂∂

=η∂∂

∂∂

+η∂∂

∂∂

+η∂∂

∂∂

=η∂∂ y

yfx

xfz

zfy

yfx

xff

f=U ; x=Q1 ; y=Q2 ; z=F ; η=Q: כאשר, ניישם גזירה זו למקרה שלנו

1QQ

QQ;

QQ

QU

QQ

QU

QU 212

2

1

1

=∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

,נותנת למעלה (a)ה בביטוי הצב

8-27

0QU=

∂∂ (8-39)

בכדי למצוא את . ימת בכל מבנה לא מסוים פנימיתי אופי כללי ומתקתהיא בעל) 8-39(תוצאה זו

Qח הנעלם ויש לגזור את האנרגיה במבנה ביחס לכ, )במסבך או במסגרת(ח המוכלל הנעלם והכ

: היהQ התנאי למציאת המומנט הנעלם ,בעתנזכור כי גם בט. ולאפס את הנגזרת 2 0QU

2

=∂∂

0iP

'iP

חות במוטות המסבך ונבטא את הכ, )8-39( במשוואה Qח וכדי שנוכל לגזור את האנרגיה לפי הכ

:חותוכסכום של שני כ

).Q ללא( מסים חיצונים בלבד וח במוטות בהשפעת עוכ

.מס חיצון נוסףוכאשר אין ע, ח יחידה הפועל על שני צידי החתךוח במוטות בהשפעת כוכ

(8-40) 'i

0ii QPPP +=

,נותנים (8-39) וגזירה לפי (8-36) -הצבה ב

( ) 0PQPPAEQ

PAE

PQU '

i'i

0i

ii

i

i

i

ii

ii

i

=+=∂∂

=∂∂ ∑∑ ll (8-41)

, את הערך המבוקשנותן (8-41) ממשואה Qחילוץ

∑

∑−=

i ii

2'ii

i ii

'i

0ii

AEPAE

PP

Ql

l

(8-42)

.בהנחה שכל המוטות זהים מבחינת שטח חתך וחומר, בעזרת טבלה Qנחשב כעת את

Rod # il 0iP '

iP 'i

0ii PPl 2'

ii Pl

1 l

F 2

1−

2Fl−

2l

2

l

F 2

1−

2Fl−

2l

3

l

0 2

1−

0 2

l

4

l

F 2

1−

2Fl−

2l

5 l2 F2− 1 F2l− l2

6 l2 0 1 0 l2

( )212F22

3i

+

+−=∑ ll

8-28

:6במוט מספר Qח ו את הכנותנים (8-42) - סיכום שני הטורים הימניים בטבלה והצבתם ב

F224223Q

++

=

).8-39(נביא דוגמא נוספת לשימוש בנוסחה , הדן בעומסי הולםלפני המעבר לסעיף הבא

:8דוגמא

קשיחות . בקפיץ בקצה השנינתון מבנה המורכב משתי קורות רתומות בקצה אחד ומחוברות זו לזו

פועל ) A(בקצה הקורה התחתונה . E2Aהיא ) למתיחה( וקשיחות הקפיץ E1Iהקורות לכפיפה היא

. כמתוארFכוח

l

IE1

IE1

AE 2

1

2

3

A F

h

.Aלחשב את שקיעת הנקודה : דרוש

פתרון

,1מדרגה ) פנימית(הבעיה היא סטטית לא מסוימת

אינוFהנגרם מהפעלת הכוח ) N(כי הכוח הפנימי בקפיץ

.וע ואין אפשרות לחשבו משיקולי שיווי משקל סטטייםיד

,לחישוב כוח המתיחה בקפיץ) 8-39(נשתמש במשוואה

בשלושת מרכיבי המבנה ) Ui(במבנה מורכבת מסכום האנרגיות ) U(ונזכור כי האנרגיה האלסטית

).שתי הקורות והקפיץ(

).הכוח בקפיץ (Nהקורה העליונה עמוסה בכפיפה בכוח

M1, xיפה בקורה הוא מומנט הכפN

M ; NxM 11 =

∂∂

=

).P-N(הקורה התחתונה עמוסה בכפיפה בכוח

M2, xמומנט הכפיפה בקורה הוא N

M ; x)NP(M 22 −=

∂∂

−=

.Nהקפיץ עמוס במתיחה בכוח

):8-39(ממשוואה

0dxNN

AENdx

NM

EIMdx

NM

EIM

0N

)UUU(NU

h

0 20

2

1

2

0

1

1

1

321

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

++∂=

∂∂

∫∫∫ll

:משוואה למעלה נותנתב, והמתיחה בקפיץ ונגזרתה, הצבת המומנטים ונגזרותיהם

0AE

Nh]3

)NP(3

N[IE

1dxAE

NdxIE

x)NP(dxIE

Nx

0

h

0 2

33

121

2

0 1

2

=+−

−=+−

−∫ ∫∫ll

ll

8-29 :פתרון המשוואה נותן את הכוח בקפיץ

32

1

AEIhE32

PN

l+

=

הערת ביניים

IEAE הוא בקירוב Nוהכוח , 2 -האיבר הימני במכנה קטן מאוד ביחס ל, כאשר 12

2 >>l2PN =

IEAE 12

2 <<l

.

).ביחס לכפיפת הקורות( מאוד שהתארכותו זניחה מצב זה מתאים לקפיץ קשיח

במקרה זה המכנה הוא מספר גדול מאוד . , מקרה קיצוני אחר הוא קפיץ רך מאוד

והקפיץ אינו מסוגל לכופף , מצב זה רק הקורה התחתונה מתכופפתב . =N 0: והכוח בקפיץ מתאפס

.את הקורה העליונה

: שקיעת קצה הקורה התחתונה היא , Nלאחר שחישבנו את IE3)NP(q

1

3

Al−

=

עומסי הולם (8-8)

דפורמציות כתוצאה מטפל בחישובי מאמצים ו, הסעיף האחרון בפרק הנוכחי של שיטות אנרגיה

הנופלת מגובה mהמסה : (8-12)דוגמא לעומס דינמי מתוארת בציור . מעומס דינמי המופעל על מבנה

hפוגעת בקורה וגורמת לה לשקוע .

. הבעיה העומדת בפנינו היא לחשב את השקיעה והמאמצים הדינמיים המתעוררים בקורה

δ

l

a b

m

h

עמס הולם על קורה : (8-12)ציור

עם זאת אפשר לקבל פתרון . פתרון מדויק של הבעיה מסובך וכולל טיפול ברעידות המתעוררות בקורה

במצב זה אפשר להזניח את מסת . בתנאי שמסת הקורה קטנה מהמסה הנופלת, מקורב טוב מאד

:ההנחות הנוספות הדרושות להמשך הפתרון הן. הקורה ולהתעלם מהתנודות המתפתחות בה

).אין הפסדי אנרגיה(הולם הוא אלסטי לחלוטין תהליך ה .1

וה לצורת הקו האלסטי בעת כפיפה וצורת הקו האלסטי של הקורה תוך כדי תהליך ההולם ש .2

.סטטית

כפי , ח הדינמי לשקיעה הדינמיתו פונקציונאלי בין הכאותו קשר היא שקיים 2' משמעות הנחה מס

: בצורה מתמטית נוכל לרשום זאת כך. טיתח סטטי לשקיעה סטושקיים בין כ

8-30 δ= kP (8-43)

, מתקבל (8-12)בדוגמא שבציור , למשל. של הקורה" קבוע הקפיץ" מתאר את k כאשר

( )2ab

EI3k l= (8-44)

, דיח לשקיעת אמצע הקורה נתון על יוהיה היחס בין הכ, ח היה פועל באמצע הקורה ואילו הכ

3EI48kl

= (8-45)

עד אשר בשלב מסוים הקורה , האנרגיה הקינטית של המסה הופכת בהדרגה לאנרגית עיבורים בקורה

, במצב זה כל האנרגיה הקינטית של המסה. מגיעה למצב בו שקיעתה מכסימלית ומהירות המסה אפס

. הפכה לאנרגית עיבורים בקורה

נוכל להשוות את האנרגיה המועברת לקורה לאנרגיה , יה הקינטית של המסהבמקום להשתמש באנרג

אליה המסה, נקבע את הנקודה הנמוכה ביותר. הפוטנציאלית של המסה לפני שהתחילה בנפילה

. mg(h+δ): האנרגיה המועברת לקורה היא , לפיכך. כרמת האפס של האנרגיה הפוטנציאלית, מגיעה

ח ומאחר והכ . δ הפועל על הקורה עובד לאורך הדרך P) הדינמי(ח ו שהכוה גם לעבודהואנרגיה זו ש

.Pδ/2 -העבודה שהוא עובד שווה ל , גדל בהדרגה מאפס לערכו המלא

,נותנתח והשוואת האנרגיה הפוטנציאלית לעבודת הכ

( )δ+=δ hmgP21

(8-46)

.ח והשקיעה הם הערכים הדינמייםונזכור כי במשואה זו הכ

גם למקרה הדינמי וגם (8-43)נוכל להשתמש במשואה , על פי ההנחה השניה עליה מבוססת האנליזה

שבמשואה kבשני המקרים יהיה לקבוע . באיטיות על הקורהmבו מניחים את המסה , למקרה הסטטי

לאחר הצבת (8-46) -נקבל מ , δst -אם נסמן את השקיעה הסטטית של הקורה ב. אותו הערך

stkδδ - ו mg = ,k - וצמצום ב= kP

( )δ+δ=δ h21

st2

0h22 stst2 =δ−δδ−δ

δ++δ=δ

stst

h211 (8-47)

, המתאר את השקיעה הדינמית המכסימלית בנקודת הפגיעה של המסה הנופלת , (8-47)הפתרון

.ל המשואה הריבועית שהחיוביתקבל על ידי לקיחת הפתרון מ

8-31

נגדיר את המקדם בסוגריים שבמשואה. רואים כי השקיעה הדינמית גדולה מהשקיעה הסטטית

. DF -ונסמנו ב" מקדם הגברה דינמי" כ(8-4)

δ++=

st

h211DF (8-48)

stDF δ⋅=δ (8-49)

לווה בהגדלת מ, מהדפורמציה הסטטית DFהגדלת הדפורמציה הדינמית פי , על פי ההנחה השניה

ח גורמת והגדלת הכ, אריתיהיות והבעיה לינ. (mg) מהכח הסטטי DF גם כן פי (P)ח הדינמי והכ

, בקורה י כלשהנקודההמתעורר ב) הסטטי(כאשר המאמץ . להגדלת המאמצים בחתך באותו שיעור

כאשר , נקודה הבאות) נמיהדי( נוכל לחשב את המאמץ -ידוע , על הקורהmבעקבות הנחת מסה

.DFעל ידי הכפלת המאמץ הסטטי במקדם , hהמסה נופלת על הקורה מגובה

stdyn DF σ⋅=σ (8-50)

) או במבנה אחר(פקי ופוגעת בקורה וכאשר המסה הפוגעת נעה בכוון א, נעבור כעת להעמסה דינמית

ח הדינמי לאנרגיה ואת עבודת הכהשוני מהמקרה הראשון הוא שבמקום השוו . vבמהירות

.נשווה את העבודה לאנרגיה הקינטית של המסה, )(8-46)ראה משואה (הפוטנציאלית של המסה

22 mgvg2

1mv21P

21

==δ (8-51)

, (8-43)בעזרת משואה , בדפורמציות הדינמיות והסטטיות בהתאמה, ח הדינמי והסטטיוהחלפת הכ

,k לאחר צמצום בקבוע נותנת

st22 v

g21

21

δ=δ

stst

2

gv

δδ

=δ (8-52)

אלא שמקדם ההגברה , פקית וכל השיקולים מהדיון במסה הנופלת מתקיימים במקרה ההתנגשות הא

:כרשום להלן, הדינמי מקבל ערך שונה

mk

gv

gvDF

st

2=

δ= (8-53)

k כפי , )סטטי או דינמי(ורה בתנאי הפעלת העומס של הק" קבוע הקפיץ"הוא ) 8-53( המופיע בנוסחה

.עומס לדפורמציה במקום הפעלת העומסהוא מתאר את היחס בין ). 8-45 (-ו) 8-44(שנרשם במשוואות

9-1

עמודיםקריסת : 9פרק

מבוא) 9-1(

, מצב כזה רצוי למתכנן. מס חיצון לדפורמציהועד כה עסקנו בבעיות בהן התקיים קשר ליניארי בין ע

תוספת , למשל. מסוכי הוא יודע להעריך מה יהיו המאמצים והדפורמציות גם כאשר יהיו שינויים בע

.מאמצים בדפורמציה וב20% מס תגרום לתוספת של ו בע20%של

מס עלולה לגרום וארי אינו מתקיים ותוספת קטנה בעיקיימים מצבים בהם הקשר הלינ, לרוע המזל

בעיות . חלטווהוצאת המבנה משווי משקל סטטי עד כדי הרס מ, לתוספת גדולה מאד של הדפורמציה

בגלל התופעה המיוחדת המתעוררת . בלחיצהמוטכאלה מתעוררות בדרך כלל כאשר מעמיסים

מסים והסיכון הקיים בע. העמוסים בלחיצהמוטותלגבי " עמוד"נשתמש במושג , עמסת הלחיצהבה

בגלל תוספת , םולכאורה המבנה נראה יציב ובטוח ופתא: כאלה נובע מהאופי הלא יציב של התופעה

נביא דוגמא הממחישה , מאחר ונראה כי הבעיה קשורה ביציבות. כל המבנה מתמוטט, מסוקטנה של ע

. (9-1)יור זאת בצ

ח לחיצה ו פועל כעמודעל ה . kתול בעל קבוע י קשיח מחובר בבסיסו אל סמך פרקי ואל קפיץ פעמוד

תול י מומנט פהעמודתול לא מפעיל על יקפיץ הפ, במצב אנכיהעמודכאשר . כמתוארPאנכי

.במצב כזה נשמר שווי משקל. היא אנכיתAוהריאקציה בסמך

l θ

A k

P P

עמודמודל לחישוב יציבות : (9-1)ציור

נשאלת השאלה האם , θ,(θ<<1)עור י סוטה קמעה מהאנך בשהעמודח צדדי מקרי ואם כתוצאה מכ

,)בהנחת זוית סטיה קטנה (Aלשם כך נרשום את סכום המומנטים סביב . ישמר שווי משקל סטטי

(9-1)

=<>

θ−θ=Σ)c(0)b(0)a(0

kPMA l

:בהתאם לערך יתכנו המצבים הבאים. שלילי או אפס, חיובי: יתכנו שלושה ערכים(9-1)ואה ולמש

0MkP (a) :כאשר. א A >Σ⇒>l

.ח הצידי כבר סולקולמרות שהכ, הסטיה תלך ותגדל

9-2

0MkP (b) :כאשר. ב A <Σ⇒<l

. יחזור למצבו הישרהעמוד, ח הצידי ועם הסרת הכ

0MkP (c) :כאשר. ג A =Σ⇒=l

. ישאר במצבו הנטויהעמוד, ח הצידי ועם הסרת הכ

.ח הצידיו גדלה עם הסרת הכθכי , מתאר מערכת לא יציבה. מקרה א

.ח הצידיו חוזרת לאפס עם הסרת הכθכי , מתאר מערכת יציבה. מקרה ב

.והוא המעבר ממצב יציב ללא יציב, מתאר מערכת בשווי משקל אדיש. מקרה ג

מס הקריטי וערכוו מוגדר כע.ח המתואר במקרה גוהכ

l

kPcr = (9-2)

המבנה יהיה לא יציב וכל דחיפה קלה תגרום , Pcr -מ, אפילו במעט, הגדול Pח ו כהעמודאם נפעיל על

גם " יפול "העמוד, כאשר יש תמיד סטיה קלה מקו ישר אידיאלי, במציאות. אשר תלך ותגדלθלסטיה

.ללא דחיפה מהצד

שלושת המקרים אינם , )הנחת זויות קטנות(וב להבחין כי על פי האנליזה הפשוטה שהוצגה כאן חש

ח ולאחר הסרת הכ (θ לזוית Pח וגרף המתאר את הקשר בין הכ . θתלויים בגודל הזוית ההתחלתית

, יה לא יכולה להיות סטPcr -מתחת ל : a האופקי ומתואר על ידי הקו(9-2)נתון בציור , ) הצידי

. המבנה אינו מסוגל כלל לשאתPcr -ח גדול יותר מוכ. כל סטיה אפשריתP=Pcrוכאשר

0 π

lkP

a

b

1

0

(9-1)גרף קריסה של מודל : (9-2)ציור

היינו מקבלים , ולא מתבססים על הנחת זויות קטנות , (9-1)אם היינו מדייקים יותר ברישום משואה

את המשואה . במקרה ג

θ

θ=⇒=θ−θ=Σ

sin/kP 0ksinPMAl

l (9-3)

9-3

בקו (9-2)כמתואר בציור , θ לזוית Pח ויש קשר חד ערכי בין הכ , (9-3)רואים מיד כי לפי משואה

b ,ח וולכל כP הגדול מהערך הקריטי k/lהערך של האגף בנקודה . מתאימה הזזה אחת בלבד

כי תוספת קטנה , הוא מסוכןP= k/lהערך , מכל מקום. הימני מתקבל לפי כלל לופיטל כשווה ליחידה

. ולא נוכל להרשות לעלות מעליו או אפילו להתקרב אליו,בעומס גורמת לתוספת גדולה בדפורמציה

0=θ

עמודי אוילרקריסת ) 9-2(

השאלה . (9-3) דן במספר מקרים בסיסיים של לחיצת עמודים המתוארים בציור (1744)אוילר

פרט למצב הטריביאלי של עמוד , יתכנו מצבי שווי משקל של העמודים הנלחצים האם: ששאל היתה

מצב Pחות והוא בקש לדעת באיזה כ, ) כפי שיסתבר בהמשך(אם התשובה לשאלה היא חיובית . ישר

.חות קריסהוחות קריטיים והם ידועים גם בשם כו יוגדרו ככPחות ואותם כ. זה אפשרי

1

P P

2

P

3 4 5 l

P P

k = 1 k = 2.05 k = 0.25 k = 1 k = 4 ll =e l698.0le = l2le = ll =e2/e ll =

עמודי אוילרחמשת : (9-3)ציור

: דרך הפתרון

ניחים כי קימת אפשרות לשווי משקל כאשר מ, תוליעם קפיץ הפהקשיח העמודכפי שעשינו בבעיית

אכן יוכל העמוד צריך למלא על מנת שPח וובודקים מה התנאים שהכ, במצב עקום כלשהו העמוד

המצוין בציור , יים רק בין שני סמכים פעמודנתחיל במקרה של . להיות במצב עקום של שווי משקל

. זה ידוע כמקרה הבסיסי של אוילרעמוד . 5' במס

:פרקי - פרקיודעמ

במצב קריסה5' אוילר מסעמוד): 9-4(ציור

l

B A

P P v

x A

M ,v y

P P

9-4 אנו מניחים שמצב , כאמור( במצב שווי משקל כאשר הוא סוטה מהקו הישר העמודמתואר ) 9-4(בציור

העמודגם כאן איננו מגבילים את צורת העקמומיות של , בהתאם למודל שהוסבר במבוא). זה אפשרי

הדן , 7 יהיה בו פילוג מומנטים וכידוע מפרק העמוד בגלל עקמומיות .ואת גודל הדפורמציה

בכדי לחשב את המומנט )). 7-3(משואה ( לעקמומיות העמודיש קשר בין המומנט בחתך , בדפורמציות

, ח והמומנט הפנימיים הפועלים בוו ונוסיף בחתך את הכהעמודנחתוך קטע מ, בחתך רוחבי כלשהו

ח וולכן גם בחתך לא יתכן כ , yב כי בסמכים אין ריאקציות בכוון ציר יש לשים ל. כמתואר בציור

: כולוהעמוד בסמכים היא משיקולי שווי משקל של yהסיבה להעדר ריאקציות בכוון . גזירה פנימי

ואם הריאקציות , לא היה מתקיים התנאי , אם הריאקציות בשני הסמכים היו באותו כוון

. לא היה מתקיים התנאי , הסמכים היו בכוונים הפוכים בשני

0Fy =Σ

0MA =Σ

צריך xחות בכוון ציר ומהתנאי שסכום הכ. החתוך ונרשום תנאי שווי משקלהעמודנחזור לקטע

ומהתנאי של איפוס סכום . P -שווה אף הוא ל , xבכוון , ח הפנימי בחתךולהתאפס מסיקים כי הכ

, נקבלהעמודהפועלים על קטע המומנטים

0PvM0M =+⇒=Σ (9-4)

,(7-3) -הצבה במקום המומנט מ

0Pv"EIv =+

יוכל ש למלא כדי ך צריעמוד את המשואה הדיפרנציאלית שהנותנים λ והגדרת מקדם EI -חלוקה ב

.כמתואר בציור, להימצא בשווי משקל במצב שאינו ישר

EIP;0v"v 22 =λ=λ+ (9-5)

. נבדוק כעת איזה פונקצית דפורמציה היא אפשרית

, הוא הרמוני(9-5)הפתרון של , כידוע

( ) ( )xsinBxcosAv λ+λ= (9-6)

.הנקבעים מתנאי הגבול, יקבל ערכים מסוימים בלבד λוזאת בתנאי שהפרמטר

) :תנאי גבול ) ( ) 0v0v == l

,נותנת בתנאי הגבול (9-6)הצבת הפתרון

( ) 00BA0v =⋅+=

( ) ( ) 0sinB)cos(Av =λ+λ= lll

:ובצורת כתיבה מטריציונית

=

λλ 0

0BA

)sin()cos(01ll

9-5 התנאי שלמערכת כזאת , כזכור מאלגברה. שתי משוואות אלגבריות הומוגניותבת מתקבלת מערכת

.יש פתרון לא טריביאלי הוא שדטרמיננט המקדמים מתאפס

KKllll

,3,2,1,0n;n 0)sin(0)sin()cos(

01n =π=λ⇒=λ⇒=

λλ

הפתרונות n - ב (9-5)אם נציב את הקשר . P=0היות והוא מתאר מצב בו , אינו מעניןn=0הפתרון

:Pn -נסמן אותם ב . ח צירי אשר יאפשרו פתרון לא טריביאלי לשקיעהו ערכים של כn נקבל , האחרים

Kl

,3,2,1n;EInP 2

22

n =π

= (9-7)

.ח הקריטי אשר יגרום לקריסהוהוא הכ , n=1כאשר , רח הנמוך ביותוהכ

2

2

crEIPl

π= (9-8)

l/cr .: המתאים הוא--והפרמטר π=λ

נשאר B ואילו A=0חוזרים לתנאי הגבול ומקבלים , לאחר שנקבע כי יש פתרון לא טריביאלי לשקיעה

.נעלם

:(9-6) מתקבלת על ידי הצבה במשואה n=1 -ל המתאימה העמודאת קו הקריסה של ומש

π=

l

xsinBv (9-9)

). (Eigenvalue problemsערכים עצמיים בעיות שלבעיות מתמטיות מסוג זה נקראות

ערכים עצמייםנקראים , מסים המאפשרים פתרונות לא טריביאלייםוהמתארים את הע, λnהפתרונות

(Eigenvalues) פנים וא השונות נקראות העמוד והקונפיגורציות של צורות(Eigenfunctions).

, נתונות על ידיn>1 כאשר Pnמסים ו המתאימות לעהעמודואות ומש, לפיכך

π=

l

xnsinBv n (9-10)

של Bnהאמפליטודה שימו לב כי . (9-5) הראשונים מתוארים בציור (modes)פני הקריסה ושת אושל

.ח הקריסה יושפע מכךומבלי שכ, ל אופן אינה מוגדרת ויכולה לקבל כל ערךכ

הוא יקרוס על , ) פרט לסמכים הפרקיים בקצוות( חפשי מכל תמיכה נוספת בין קצותיו העמודכאשר

נבטל את , חביתו תמיכה אשר תמנע הזזה רהעמודאם נוסיף במרכז . (n=1)פי האופן הראשון

ח ו מכ4ח הגדול פי ו ובכ(n=2) יקרוס לפי האופן השני העמודהראשון ואפשרות הקריסה באופן

9-6

יגרמו לקריסה לפי האופן השלישי , זה מזהl/3במרחקים , שתי תמיכות . (9-8)הקריסה שבמשואה

(n=3)(9-8)ח הקריסה שבמשואה ו מכ9ח הגדול פי ו ובכ.

3l

3crP

3crP

n=3

2crP

2crP

2l

crlP

l

crlP

n=2 n=1

וניםפני קריסה ראשושלושה א : (9-5)ציור

המופיע בנוסחת הקריסה הוא המינימאלי וכידוע מומנט האינרציה Iחשוב לציין כי מומנט האינרציה

מומנט האינרציה סביב הציר . המינימאלי של חתך הוא סביב אחד הצירים הראשיים של החתך

כיון הקריסה תתקיים במישור , (9-6)בציור . הראשי השני הוא בעל הערך המכסימאלי

.שמומנט האינרציה המינימאלי בשני החתכים הוא

21xx

22I

2x

3x

2x3x

וצירים ראשייםעמודיםחתכי : (9-6)ציור

:פרקי - רתוםעמוד

BRAV

AM

l

P A B

P

AV

AM

x

v

y M

A

V

P

P

במצב קריסה4' אוילר מסעמוד : (9-7)ציור

9-7

מסים ועם הע, עמודו קטע שנחתך מן הוליד, פרקי במצב קריסה- רתוםעמוד מתואר (9-7)בציור

היות והרתום מאפשר ריאקציה של , בניגוד למקרה הקודם, ח גזירה בחתךוכאן יש כ. הפנימיים בחתך

. של הקו האלסטי, מדרגה שניה נפתור את בעית הקריסה על ידי רישום משואה דיפרנציאלית. מומנט

לחשב את הריאקציות בסמכים על סמך הבעיה היא לא מסוימת מדרגה ראשונה ולכן לא נוכל

אבל נוכל לרשום את הקשר בין הריאקציות כך שתשאר רק . משואות שווי משקל סטטי בלבד

ח וצמת הריאקציה בכדי לחשב את כולא נזדקק לחשב את ע, כפי שיסתבר. ריאקציה אחת נעלמת

,נותנת (9-7) שבציור העמודאות הסטטיקה על והפעלת משו. הקריסה

l

l ABABA

MR0MRM =⇒=−=Σ (9-11)

l

AAABy

MV0VRF =⇒=−=Σ (9-12)

על ידי ביצוע שווי משקל מומנטים על קטע , כעת נרשום את המשואה הדיפרנציאלית של הקו האלסטי

. שבציורהעמוד

0MxVPvM AA =−++

−=+

l

x1MPv"EIv A

−λ=λ+

l

x1P

Mv"v A22 (9-13)

:מקבלים משואה לא הומוגנית שפתרונה, שהתקבלה במקרה הקודם(9-5)וגנית במקום משואה הומ

( ) ( )

−+λ+λ=

l

x1P

MxcosBxsinAv A (9-14)

. תנאי גבול3 -זדקק ל ולכן נ3הוא ) ח הקריסהובנוסף לכ(מספר הנעלמים

( )P

MB00v A+==

( ) ( ) ( )lll λ+λ== cosBsinA0v

( )lP

MA00'v A−λ==

. רכת של שלוש משואות הומוגניות שניתן לרשום אותן בצורה מטריציוניתתנאי הגבול הם מע

( ) ( )

=

−λ

λλ000

MBA

P10

0cossinP110

Al

ll (9-15)

:התוצאה. פוס דטרמיננט המקדמיםיהתנאי לקיום פתרון לא טריביאלי הוא א

( )ll λ=λ tan (9-16)

9-8 ח הקריסה ו אשר יגדיר את כאך אותנו מענין הערך הנמוך ביותר, למשואה זו יש אינסוף פתרונות

y .(9-8)הפתרון מתואר בציור . הקריטי

lλπ2

3π2π

4.493

(9-16)פתרון גרפי של משואה : (9-8)ציור

493.4cr ,) רוביבק(ח המתאים לערך זה הוא ווהכ : הפתרון הנמוך ביותר הוא =λ l

2

2

crEI05.2Pl

π= (9-17)

נותנת את משואת הקו האלסטי ) 9-14(- והצבה ל כפונקציה של )9-15(- מB, Aחילוץ המקדמים

: במצב קריסה העמודשל

AM

( ) ( )

−+λ−λ

λ=

ll

x1xcosxsin1P

Mv crcr

cr

A (9-18)

. (MA)גם כאן רואים כי הפתרון מתקבל עד כדי קבוע

ולה להרשם התוצאה יכ. הנותריםעמודי אוילרח הקריסה בכל אחד מופן דומה ניתן לחשב את כובא

בהתאם לתנאי הגבול עמוד מקבל ערך המתאים לכל kכאשר המקדם , העמודיםבצורה אחידה לכל

.(9-3)כפי שרשום בציור ) חפשי, פרקי, רתום(

2

2

crEIkPl

π= (9-19)

:עמודי אוילרהשואה בין

עמודי אוילר של וי הקריסהו תוך כדי התבוננות בציורי ק(9-19) ממשואה kאם נבחן את ערכי

רך ו הוא ריבוע היחס בין אkכח כי הגורם הקובע את ערכו של יוונוכל לה, )9-3ציור (המתאימים

והמרחק הוא העמודרך ואם א, במלים אחרות. למרחק בין הנקודות בהן המומנט מתאפסהעמוד

, נתון על ידיkיהיה , בין הנקודות בהן המומנט מתאפס הוא

l

el

2

ek

=

l

l (9-20)

כמו למשל במוט אוילר , רק נקודה אחת אשר בה המומנט הפנימי מתאפסהעמודלפעמים קימת על

במקרה . וערכו הולך וגדל עם ההתקרבות לרתוםהעמודבמוט זה המומנט מתאפס רק בקצה . 3' מס

9-9

ll

ll 2e =

lll 2e

ח ולוג המומנטים והכיפ, בגלל הסימטריה . (9-9) כמתואר בציור העמודכזה מציירים תמונת ראי של

האמיתי העמודלפיכך . שבתמונת הראיעמוד האמיתי יהיו זהים לאלו השוררים בהעמודרך ולא

שכעת , הואודהעממה שהשגנו בהארכת ). 2בארך ( המוארך העמודח כמו ויקרוס באותו כ) בארך (

תנאי הגבול . והמרחק ביניהן הואהעמודשתי הנקודות בהן המומנט מתאפס נמצאות על

סמכים (5' אוילר מסעמודזהים למעשה לתנאי גבול של ) קצוות חפשיים( זה עמודבשני קצות

כאשר מציבים , (9-8)ל ממשואה מתקב) רתום חפשי (3' מסעמודח הקריסה של ולפיכך כ). פרקיים

(9-19) שבמשואה kפעולה זו מובילה לתוצאה כי הקבוע . =את המרחק , רך ובמקום הא

.1/4 -וה לוש

נקודות בהן המומנט מתאפס מאופינות על ידי איפוס הנגזרת השניה של השקיעה וכפי שנלמד

מובילים , שימוש בתכונה זו ובשיקולי סימטריה. אלה הן נקודות התפתלות, ריה אנליטיתבגיאומט

, עמוד עבור כל לאחר קביעת האורכים . (9-9) בדוגמאות הבאות שבציור לקביעת האורכים

כאשר , )פרקי-פרקי (5' מסעמודשל ח הקריסה על ידי שימוש בנוסחת הקריסה ונוכל לחשב את כ

.רך האקויולנטי ו את האהעמודרך האמיתי של ומציבים במקום הא

elel

el

2e

2

crEIPl

π= (9-21)

P P

ell =

ll 2e =

l

P P

l

4l

2ell = 4

l

P P

ll =e

l l

P P

עמודי אוילראורכים אקויולנטיים של : (9-9)ציור

9-10 האחת עוסקת ביחס בין . נוסיף שתי הערות, עמודי אוילר הסעיף על חישוב כוחות הקריסה של לסיכום

והשניה מציגה משואה דיפרנציאלית נוספת , ובין עוצמתו של כוח הקריסהעמודהאילוצים בקצוות ה

. לחישוב כוח הקריסה) מדרגה רביעית(

, יותר" קשיח "עמודים כי ככל שהאילוץ בקצה הרואים , kובערכי הקבוע ) 9-3(מהתבוננות בציור

כל . 1,4,5 עמודיםהתמונה ברורה במיוחד כאשר מתבוננים ב. עמיד יותר בפני סכנת קריסהעמודה

.י הקצוותנהשלושה נתמכים בש

אך אינם מפעילים מומנט ריאקטיבי ולכן אינם , נתמך בסמכים פרקיים המונעים הזזה רוחבית5 עמוד

.(k=1) הוא הנמוך מבין השלושה5 עמודכוח הקריסה של . זוית שיפוע בקצוותמונעים יצירת

החלפה זו מקשיחה את התמיכה ומונעת יצירת זוית . מוחלף אחד הסמכים הפרקיים ברתום4 עמודב

.(k=2.05) 5 עמוד התוצאה היא הגדלת כוח הקריסה בקצת יותר מפי שניים ביחס ל.ברתום

התוצאה היא הגדלת כוח . השני מוחלף ברתום וההקשחה גדלה בהתאם גם הסמך הפרקי 1 עמודב

.(k=4) 5 עמודהקריסה פי ארבעה ביחס ל

לקראת סוף הפרק נראה כי מסקנה זו נכונה באופן כללי וככל שמקשיחים את האילוצים המתנגדים

.כן גדל כוח הקריסה, ממצבו הישרעמודלסטיית ה

במקום (סה על ידי משואה דיפרנציאלית מדרגה רביעית הקריבעית ההערה השניה עוסקת בהצגת

מובילים למשואה , )שלא יפותחו כאן (עמוד לאורך הdx שיקולי שיווי משקל של אלמנט ).דרגה שניה

,הדיפרנציאלית הבאה

(a) EIP ;

EIq

dxvd

dxvd 2

2

22

4

4

=λ=λ+

sxCev =

. עמוד הוא כוח ליחידת אורך הפועל על הqכאשר

כמו חישוב ריאקציות ומהלך (אין צורך לערוך חישובים מקדימים היתרון של משואה זו הוא בכך ש

המוביל לארבעה קבועי ) ארבע(החיסרון הוא במספר האינטגרציות הדרוש ). עמודמומנטים בחתכי ה

).רתום, סמך פרקי (4 אוילר מספר עמוד נדגים השימוש בנוסחה על .אינטגרציה

הפתרון הוא מהצורה . שווה אפס (a)של ימין אגף , עמוד לאורך הqמאחר ולא פועל עומס מחולק

,sמובילה לארבעה ערכים עבור החזקה הצבתו למשואה הדיפרנציאלית .

1-j ; j- ,j ,0 ,0s =λλ=

4321 CxCxcosCxsinCv

,והפתרון הכללי הוא

(b) ++λ+λ=

l

A B

x

v

:תנאי גבולP

lll

llll

λλ−λλ−==

++λ+λ==+λ==

+==

cosCsinC0)(''v

CCcosCsinC0)(vCC0)0('v

CC0)0(v

22

21

4321

31

42

9-11

l=x . -ב, תנאי הגבול האחרון מבטא איפוס המומנט בסמך הימני

ll λ=

אפשרי ) שונה מאפס( פתרון לא הומוגני . משוואות הומוגניות4ארבעת תנאי הגבול מהווים מערכת של

איפוס הדטרמיננט מוביל למשואה שקבלנו בשיטה . מתאפס ) Ciשל (בתנאי שדטרמיננט המקדמים

קבועי האינטגרציה מתקבלים ). לקבל תוצאה זו באופן עצמאימומלץ ( , הקודמת

,) )9-18(משואה (והתוצאה זהה לקודמת ) כפונקציה של אחד הקבועים(מפתרון תנאי הגבול

λtan

[ ]xxcosxsinCv 1

λ−λ+λλ−λ= ll

r/el

.שניהבהמשך הפרק נקודת המוצא תהיה בדרך כלל המשואה הדיפרנציאלית מדרגה

תחום השימוש בנוסחת אוילר) 9-3(

: (slenderness ratio)" תמירות"נגדיר גודל חסר מימד

: בכוון בו הקריסה מתרחשת, עמוד הוא רדיוס האינרציה של חתך הrכאשר AIr =

,(9-21)מתקבל ממשואה !) (צב ישר עדיין במעמודהכאשר ( במצב הקריסה עמודמאמץ הלחיצה ב

( )2

e

2

2e

2cr

cr r/E

AEI

AP

ll

π=

π==σ (9-22)

נוסחת המאמץ ברת , : כלומר, כל עוד מאמץ זה נמוך ממאמץ הכניעה הפלסטית

השיקולים שהביאו לחישוב מאמץ הקריסה אינם , אבל אם המאמץ עולה על מאמץ הכניעה. תוקף

ח ו שהיה נקודת המוצא בחישוב כ''M=EIvא מתקיים הקשר האלסטי במיוחד ל. תופסים יותר

לשם כך נבחן . נבדוק מהי התמירות הגבולית המפרידה בין התחום האלסטי לתחום הפלסטי. הקריסה

שאינו תלוי , מודול אלסטיות ו בעלת מאמץ כניעה,חומר אפייני כמו פלדה פשוטה

את הערך המבוקש של נותנת (9-22)הצבת ערכים אלה במשואה . E=200GPa, בסוג הפלדה

).גבול התמירות המאפשר שימוש בנוסחת אוילר" (התמירות הקריטית"

MPa 200

y2e

2

)r/(E

σ≤πl

y =σ

100Er y

e ≅σ

π≥

l (9-23)

המאמץ במצב הקריסה נמוך ממאמץ הכניעה ,100 -בוהה מג) הפלדה הנדונהעמודשל (אם התמירות

σyח ו נוסחת אוילר אינה מתארת את כ,100 -כאשר התמירות נמוכה מ. ונוסחת אוילר תקפה

.(9-10)הקריסה ויש צורך לתקן את הגרף כמתואר בציור

9-12

rel

crσ

300

ום שימושיתח בנוסחת אוילר

100 200

200

100

0

מעיכה ם בינוניי ארוכים: עמודים

בעלי תמירויות שונותעמודיםמאמצי קריסה ב : (9-10)ציור

-המציג גרף מאמץ) 9-11(מוסבר בעזרת ציור " הבינונייםעמודיםה"צורת בנית קו הקריסה בתחום

כאשר . (Et) ואיזור פלסטי עם מודול משיקי משתנה, )עיבור של חומר עם נקודת כניעה פלסטית

. E נמוך ממודול האלסטיות המודול המשיקי , )Bנניח בנקודה (yσ -מאמץ הלחיצה גבוה מ

נקבל קשר ריאלי יותר , Eעל ידי ) 9-22(ה כי אם נחליף את מודול האלסטיות שבנוסחה הנסיון מרא

. (9-10))בציור " בינונייםעמודים"המוגדר כ (לקריסה בתחום הפלסטי

)yσ

tE

t

tE

ε

yσB

E

פלסטי-עיבור בחמר אלסטו-גרף מאמץ : (9-11)ציור

( )2e

t2

cr r/E

l

π=σ (9-24)

יתנו את ערך התמירות (9-24) בנוסחה Bהצבת המאמץ והמודול המשיקי המתאימים לנקודה

בצורה זו בונים את הקו עבור ערכים ). Bהשורר בנקודה ( במאמץ הפלסטי עמודהמתאים לקריסת ה

.שונים של מאמץ מעל לכניעה

נעזר בטבלאות , לסטיכאשר יש לבדוק קריסה בתחום הפ, באופן מעשי. דרך זו היא מקורבת בלבד

, השימוש בתקנים בכל הנוגע לקריסה חשוב גם בתחום האלסטי. תכנון המעוגנות בתקנים מתאימים

ח הקריסה וכדאי לשים לב לרגישות הרבה של כ. בגלל האופי ההרסני שיכול להיווצר במצב קריסה

ריסה המחושב בו ח הקואשר כ, הנראה כרתוםעמוד. לתנאי הגבול היכולה לגרום טעויות מסוכנות

9-13 למותר לציין כי . אינו אידיאלי" רתום"ח נמוך מהחישוב באפן ניכר רק בגלל שהויכול לקרוס בכ, גבוה

.אין רתום אידיאלי במציאות

(Beam-Column)עמוד -קריסת קורה) 9-4(

ח ויה כהבעיה העומדת בפנינו בסעיף זה היא כיצד מתנהגת קורה העמוסה בכפיפה ובאותה עת פועל על

הפועל בכיוון Fח ונוצר על ידי כה , הנוסףבמיוחד מעונינים לדעת כיצד משפיע מומנט הכפיפה. Pצירי

אולם אותן ,F הנוסף נובע מהכוח בדוגמא שנפתור מומנט הכפיפה. ח הקריסהועל עצמת כ, רחבי

כמו למשל , גם במקרים בהם מומנט הכפיפה נובע מגורמים אחריםקימותמסקנות שנקבל בדוגמא זו

היא שהמומנט הנוסף המגבלה שנטיל על מקור מומנט הכפיפה. ח צירי אקסצנטריומומנט מרוכז או כ

.(9-12) בה נדון מתוארת בציור עמוד-הקורה. חביתושהוא יוצר לא יהיה תלוי בדפורמציה הר

l

2

a b

F

1 A B

P

חביוח רועמוד עם כ-קורה : (9-12)ציור

נטפל בבעיה הנוכחית על ידי רישום , הבסיסייםעמודי אוילרריסה של ח הקוכפי שטיפלנו בחישוב כ

המשואה הדיפרנציאלית של קו השקיעה של כל אחד משני השדות של הקורה ונבצע אינטגרציה כפולה

. לקבלת פונקצית השקיעה

ax0 בתחום ≤≤

l

FbR A =

0xFbPvM 1 =++l

x

1v

1v

AR

P V

M

P

xPFbx

EIFbv"v 2

12

1ll

λ−=−=λ+

) (a) פתרון המשואה הלא הומוגנית הוא ) ( ) xPFbxcosBxsinAv 111l

−λ+λ=

9-14

≥≥l בתחום xa

l

FaV −=

2v

2v

AR

P V

M

x

F

0xFaFaPvM 2 =−++l

−λ−=

−=λ+

ll

x1PFa1x

EIFav"v 2

22

2 P

) פתרון המשואה הלא הומוגנית הוא ) ( ) (b) v

−−λ+λ=

l

x1PFaxcosBxsinA 222

: משני תנאי גבול ושני תנאי רציפות כדלהלןנקבעים : A1,B1,A2,B2בועים הק

( ) 11 B00v ==

( ) ( ) ( )lll λ+λ== cosBsinA0v 222

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−λ+λ=−λ+λ⇒=

ll

a1PFaacosBasinA

PFbaacosBasinAavav 221121

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ll P

FaasinBacosAPFbasinBacoxAa'va'v 221121 +λλ−λλ=−λλ−λλ⇒=

:ובצורת כתיבה מטריציונית

( )

=

λλλλ−λλ−λλλ−λ−λλλλ

P/F000

2BABA

)asin()acos()asin()acos)acos()asin()acos()asin(

)cos()sin(000010

2

1

1

ll

המשואות עמודי אוילרנזכור כי ב. ומוגניתכאשר הרביעית בלבד אינה ה, מתקבלות ארבע משואות

חבית התאפשר רק ושהתקבלו מתנאי הגבול היו כולן הומוגניות ולפיכך המצב של קיום דפורמציה ר

ופתרון לא ) כי לא כל המשואות הן הומוגניות(כעת המצב שונה . ח הציריועבור ערכים מסוימים של הכ

.Pח צירי וכל ערך של כטריביאלי מתקיים עבור

,נותןפתרון ארבע המשואות

( ) ( )( ) 0B;

tanasinacos

PFA 11 =

λλ

−λλ

=l

( )( ) ( )asin

PFB;

tanasin

PFA 22 λ

λ=

λλ

λ−=

l

9-15

A)שני הקבועים , taכאשר 0)n( =λl

n ; n =

1 & A2)המתקיים כאשר , מצב זה. גדלים לאינסוף

. מוגדר כמצב הקריסה )5 אוילר מספר עמודי שהתקבל בקריסת כפ (....,1,2,3

. n=1כלומר כאשר , )tan לקיום המצב של הגורםח הנמוך ביותר ויסה מוגדר ככח הקרוכ

: ח הקריסה ו את כ נותנת(9-7) במשואה n=1הצבת

π=λl

0) =λl

2

2

crEIPl

π=

על פי (ח הקריסה וערכו של כ: כלומר. ח הרוחביו בהעדר הכ(9-8) התוצאה זהה לזו שהתקבלה

. Fח הרוחבי ואינו מושפע מהכ) יתנה כאןההגדרה החדשה שנ

אוילר האידיאלי מתבטא בכך שבמקרה עמודהשוני בין התוצאה הנוכחית לבין זו שהתקבלה בקריסת

אוילר עמודבעוד אשר ב, ח הקריסהו נמוך מכPח וח הרוחבי מתקבלת שקיעה גם כאשר הכועם הכ

השקיעה הולכת וגדלה ככל . הח הקריסו נמוך מכPח והאידיאלי לא תתכן שקיעה כאשר הכ

העמוד -או במילים אחרות, וכאשר מגיעים אליו השקיעה גדלה לאינסוף, ח הקריסהושמתקרבים לכ

.נהרס

השוה (עמוד השמאלי של הוהשקיעה בחלק, עמודח הרוחבי פועל במרכז הובמקרה הפרטי בו הכ

, והתוצאה(a)טוי השקיעה ילבמתקבל על ידי הצבת הקבועים ) לשקיעה בחלק הימני מטעמי סימטריה

( )( ) x

P2F

2/cosxsin

P2Fv1 −

λλ

λ=

l (9-25)

, וערכהעמודלית היא במרכז האהשקיעה המקסימ

λ−

λ

λ==

22tan

P2Fv

2v max1

lll (9-26)

מתואר בציור, ח רוחביועבור ערכים שונים של כ, ח הציריולית לכא הקשר בין השקיעה המקסימ

(9-12).

P

F=0

maxv

crP

321 FFF <<

1 3F F F 2

חות רוחביים שוניםועמוד בכ-שקיעת קורה : (9-12)ציור

9-16

ח הקריסה השקיעה יכולה לקבל ווכאשר מגיעים לכ , P<Pcr רואים כי אין שקיעה כל עוד F=0כאשר

כפי , ח ציריומתקבלת שקיעה רוחבית גם בהעדר כ, כלשהוח רוחבי וכאשר קיים כ. כל ערך שהוא

מגבירה את השקיעה בצורה לא ליניארית Pח הצירי והוספת הכ. יעת קורות הדן בשק7שלמדנו בפרק

ח הרוחבי וברור גם כי ככל שהכ. השקיעה שואפת לאינסוף, )המקורי(ח הקריסה ווכאשר מתקרבים לכ

.כמתואר בציור, השקיעות גדולות יותר, גדול יותר

iF

. כמקובלעמוד של מחצית ה מתקבל בעזרת ציור דיאגרמת גוף חפשיעמודמומנט הכפיפה במרכז ה

:התוצאה

λ

λ−=

−−=

2tan

2F

2Pv

4FM

2M 1max

llll

)2

(v1l

2F

2l

)2

(M l

2F

P

P

סימאלי הנובע ממומנט קסימאלי על ידי חיבור מאמץ הלחיצה המקכעת אפשר לחשב את המאמץ המ

.כפי שנעשה בפרק על לחיצה אקסצנטרית, Pח הצירי והכפיפה עם מאמץ הלחיצה הישירה הנובע מהכ

λ

λ+=+=σ

2tan

I2Fc

AP

IcM

AP max

maxl (9-27)

טחוןימקדם ב

Pיש לזכור כי ((9-27)כפי שמתבטא במשואה , Pח הצירי ובגלל הקשר הלא ליניארי בין המאמץ והכ

". טחוןימקדם ב"זהר בשימוש במושג ייש לה, )λבפרמטר " מסתתר"

קטן Fח רוחבי והציור מתאים לכ ((9-13) מתואר באופן איכותי בציור (9-27)הקשר שבמשואה

אך אין הדבר פוגע בכלליות הדיון , ח הצירי מתאפסומאוד ולכן הקו שואף למאמץ אפס כאשר הכ

maxσ ).שבהמשך

yσ

yP)2(aP)1(

aP

P

ח ציריוסימאלי כפונקציה של כקמאמץ מ : (9-13)ציור

9-17

ונקבע (σy)סימאלי יגיע למאמץ הכניעהקנניח כי דרישת התכן היא להתרחק ממצב שהמאמץ המ

. 3 -וה לוש, למשל,טחון יהיהישמקדם הב

ח הצירי ו ולחשב את הכσy את σmax במקום (9-27)הדרך למלא את הדרישה היא להציב במשואה

ונקבל את ) במקרה שלנו3(טחון י במקדם הבPyכעת נחלק את . Py -ח בונסמן הכ. שיגרום למאמץ זה

Pa)ח העבודה שמותר להפעיל על העמוד וכ(1)).

בכדי לקבל (9-27)טחון ולהציבו במשואה י במקדם הב σyלה את המאמץ היא לחלק תחישגויהדרך

Pa)ח העבודה ואת כ כאשר פועל 3טחון של יבחינת הציור מראה כי אם נחשוב שיש לנו מקדם ב. ((2)

Paח לחיצה וכנעבור בכך את המצב המסוכן ונגיע למאמץ גבוה , 3ח זה פי וואנו יכולים להכפיל כ, (2)

. יעהבהרבה ממאמץ הכנ

מסגרותקריסת (9-5)

כאשר , הפועל על עמוד הנתון ללחיצה צירית,בכיוון רוחבי) F(בסעיף הקודם דובר על עומס חיצון

בסעיף הנוכחי נרחיב את הדיון . עומס חיצון זה היה בלתי תלוי בדפורמציה הרוחבית של העמוד

נראה כי תלות זו בדפורמציה .למקרים בהם גודל העומס החיצון הנוסף תלוי בדפורמציה הרוחבית

.(9-14)נדגים זאת באמצעות העמוד בציור . הרוחבית משנה את אופי הפתרון שראינו בסעיף הקודם

l

P B

A

v

x

קורה עם אילוץ פיתול-עמוד: (9-14)ציור

המצויר כעיגולים (k מחובר קפיץ פיתול בעל קבוע B לסמך . נתמך בשני סמכים פרקייםABהעמוד

B -כאשר המשיק לעמוד ב, kקפיץ הפיתול מפעיל על העמוד מומנט מחזיר בגודל . )םאקסצנטריי

סוטה מהקו האופקי שבציור בזוית

Bθ

Bθ . בקצהA ציריפועל כוח לחיצה P .

.לחשב את הכוח הקריטי הגורם לקריסת העמוד: דרוש

:פתרון

על ידי שיקולים , נצייר מצב זה ונבדוק, ווי משקל בו העמוד סוטה מהקו הישרבהנחה כי קיים מצב שי

. באילו תנאים מצב זה אפשרי, של שיווי משקל

BRAR

BB kM θ=

BθAθ

l

x

PP

v

:תחיל בציור דיאגרמת גוף חופשי של העמוד השלםנ

.מצב הקריסה מתואר בקו המרוסק

,הריאקציות בסמכים שוות בעוצמתן והפוכות בסימן

. בכיוון המתוארMBוקפיץ הפיתול מפעיל מומנט

9-18

: משיווי משקל מתקבלl

BBA

MRRR ===

v

v x

M V

R

המשואה הדיפרנציאלית של הקו האלסטי במצב קריסה P מתקבלת משיווי משקל של קטע מהעמוד, P

xPRv''v

0RxPvM

22 λ=λ+

=−+

,והפתרון

xPRxcosBxsinAv +λ+λ=

:תנאי גבול

kR

kM)('v

0)(v0)0(v

BB

ll

l

−=−=θ−=

==

, ונגזרתה בתנאי הגבול ורישום המשוואות בצורת מטריצותvהצבת הפונקציה

=

+λλ−λλ

λλ000

PRBA

kP1sincos

cossin010

lll

lll

B

הדן )9-4(נזכור כי בסעיף .כמו במקרי הקריסה של עמודי אוילר, הומוגניתמתקבלת מערכת משוואות

מערכת המשוואות שהתקבלה מתנאי הגבול לא היתה , קבועFעמוד עם עומס רוחבי -בבעית קורה

גורם לכך שהבעיה נשארת ) θ(התלוי בדפורמציה ) MB( שהאילוץ הרוחבי משמעות הדבר. תהומוגני

.בעית ערכים עצמיים: ובמלים אחרות, "קלסית"בעית קריסה

:והתוצאה, על ידי איפוס דטרמיננט המקדמים, כמו בעבר, הפתרון לכוח הקריסה מתקבל

(9-28)

kP1

tanl

ll

+

λ=λ

,אפשר להבחין בתוצאה שני מקרים קיצוניים

)קפיץ קשיח מאוד .א )lPk >>ll λ=λtan

)Pk( l

. של אוילר4כמו עמוד , קריסה מתקימת כאשר ,

0tan>> . של אוילר5כמו עמוד , קריסה מתקימת כאשר , קפיץ רך מאוד .ב =λl

9-19

ופותרים עבור kקבוע הקפיץ את ערכו של (9-28)בשאר המקרים מציבים במשואה הטרנסצנדנטית

.כוח הקריסה

כאשר קצה , מקרה הקריסה בנוכחות קפיץ פיתול משמש דוגמא למקרים רבים של קריסת מסגרות

. המהווה התנגדות ליצירת שיפוע בקצה העמוד הנלחץתך לקורה של העמוד הנלחץ מרו) או שניים(אחד

קיים יחס ישר בין זוית הסיבוב של קצה העמוד ובין המומנט המתנגד לסיבוב שמפעילה נראה כי

. ולפיכך הקורה משמשת כקפיץ פיתול, הקורה

.(9-15) בציורלקורה המשמשת כקפיץ פיתול נתונהדוגמא

1l

l 1l

D

C

BA P

קריסת מסגרת עם אילוץ אלסטי :(9-15)ציור

הנתמכת CBD מרותך לקורה Bהקצה . Pעמוס בכוח לחיצה , על שני סמכים פרקיים, ABעמוד

כמו במקרי הקריסה הקודמים נבדוק האם קימת אפשרות שעמוד . בקצותיה על שני סמכים פרקיים

ABיש לשים . ה אפשרית זוהקו המקווקו מתאר סטי. יהיה בשיווי משקל במצב של סטיה מהקו הישר

, Bבנקודת החיבור . CBD אינה יכולה להתקיים ללא סטיה מתאימה בקורה ABלב כי סטית

רק במקרה (כיון שאנו עוסקים בדפורמציות אלסטיות בלבד, שמריקורה חיבת להלהניצבות של העמוד

שר גוררת כפיפת הוצאת העמוד ממצבו הי. ) הניצבות לא היתה נשמרתB-של יצירת פרק פלסטי ב

הוא מומנט CBDהעומס היחיד היכול לגרום לכיפוף הקורה . ים המקווקוויםכמתואר בקו, הקורה

ראו ציור ( על דפורמציות בכפיפה 7כפי שנלמד בפרק . של העמודBכפיפה המופעל עליה דרך הקצה

ופעל על הקורה המ MBחס בין המומנט הי, )בטבלת דפורמציות בסוף חוברת ההרצאותורביעי שלישי

:) באופן עצמאייש לפתח הנוסחה ( הואB של הצומת Bθלבין זוית הסיבוב

(9-29) kEI6M

1B

B ==θ l

מקדם " של הקורה במבנה הנתון והוא מחליף את "מקדם הקפיץ" הוא k,יחס זה אשר סומן באות

".קפיץ פיתול"שמשת כ מCBDהקורה . (9-28)במשואה " קפיץ הפיתול

9-20

:(9-28) - ב(9-29)ממנה מחשבים את כוח הקריסה מתקבלת לאחר הצבת הטרנסצנדנטית המשואה

16

1tan

61

1

EI6P

1tan

1

11

=

λ

+λ

λ

λ+

λ

=+

λ=λ

l

ll

l

l

ll

ll

l

השינוי היחיד , )במקום השלושה( הנתמכת על שני סמכים BC מוחלפת בקורה CBDאם הקורה

ך הפתרון זהה לדוגמה שהוצגה כאן דר. BC המתבקש הוא חישוב מקדם הקפיץ של הקורה הקצרה

הקשר בין המומנט המאלץ לבין הזוית שהוא באמצעות , קבוע הקפיץ של הקורה החדשהמציאת : והיא

.יוצר

בעל רתום בקצהו האחד ונתמך בקפיץ ליניארי באורך דוגמאות נוספות לעבודה עצמית הן עמוד

יש לחשב את הכוח הגורם . P על העמוד פועל כוח לחיצה צירי . השניבקצהו) הניצב לעמוד ( kקבוע

.לקריסה

.כתיבת משואת שיווי משקל של קטע מהעמוד נותנת משואה דיפרנציאלית מדרגה שניה

ואיפוס דטרמיננט המקדמים מספק את המשואה , תנאי הגבול נותנים שלוש משוואות הומוגניות

:המשואה הטרנסצנדנטית היא. את גודל כוח הקריסהקובע הטרנסצנדנטית אשר פתרונה

−λ=λ

lll

kP1tan