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§2.1 概述－光腔理论的一般问题谐振腔的作用无源谐振腔理论依据开放式光腔开腔的分类无源谐振腔的模式光腔的损耗

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• Laser cavities differ in several significant ways from the closed microwave cavities that are commonly treated in electromagnetic theory textbooks.

• Optical resonators first of all usually have open sides, and hence always have diffraction losses because of energy leaking out the sides of the resonator to infinity.

• Optical resonators are also usually described in scalar or quasi plane-wave terms, with emphasis on the diffraction effects at apertures and mirrors edges, rather than in vector terms with emphasis on matching boundary conditions.

• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.

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一 谐振腔的作用

• 模式选择。保证激光器单模（或少数轴向模）振荡，从而提高激光器的相干性； 控制腔内振荡光束的特性

（直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率及光束发散角等）

提供轴向光波模的反馈

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二 无源谐振腔

• 不考虑腔内激活介质的影响• 无源腔模式可以作为具有激活介质腔（有

源腔）的激光模式的良好近似• 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在

振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化

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三 采用的理论

• 几何光学理论 -- 推导腔的稳定性条件（不能得到腔的衍射损耗）

• 衍射光学理论 -- 深入了解模式特性

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四 开放式光腔

• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的，即侧面没有光学边界（理想化的处理方法），称为开式光学谐振腔，简称开腔。

• 气体激光器是采用开腔的典型例子。• 对固体激光器，如果棒的直径远大于激光波

长，棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。• 半导体激光器采用介质波导腔，光纤激光器

的光谐振腔也属介质波导腔。

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五 开腔的分类

• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定腔、非稳腔和临界腔。

• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗

• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往返就逸出腔外，具有较高的几何损耗

• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间，只有少数特定光线能在腔内往返传播

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• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)

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• 稳定腔、非稳腔、临界腔• 球面腔与非球面腔• 驻波腔与行波腔• 两镜腔与多镜腔• 简单腔与复合腔• 端面反馈腔与分布反馈腔

本章仅讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔

谐振腔可以按不同的方法分类：

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六 无源谐振腔的模式

模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模

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模的概念——腔与模的一般联系

• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。

• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。

• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征也就随之确定下来 ------腔与模的一般联系。

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• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。

• 模的基本特征包括： 每一个模的电磁场分布，特别是在腔的横截

面内的场分布； 模的谐振频率； 每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损

耗； 与每一个模相对应的激光束的发散角• 原则上，只要知道了腔的参数，就可以唯一

地确定模的基本特征。

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• 开腔中的振荡模式以 TEMmnq 表征。 TEM 表示纵向电场为零的横电磁波， m 、 n 、 q 为正整数，其中 q 为纵模指数， m 、 n 为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向电磁场分布与横模指数有关。

• m 与 n 为零的模称作基模， m>=1 或 n>=1的模称作高阶模。

• 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成驻波（驻波型谐振腔）。横模与纵模体现了电磁场模式的两个方面，一个模式同时属于一个横模和一个纵模。

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纵模和谐振频率

• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件

• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。

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• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相（即相差是 2 的整数倍）。

22 2

q

L q

2

qL q

L

cqq 2

L

cq

2

结论： L' 一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐振； F-P 腔的谐振频率是分立的。

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• 此式又称为驻波条件。表明：达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。

• 满足此条件的平面驻波场称为腔的本征模式• 特点：腔内光强沿 z 轴的分布不是均匀的，

而是强弱相间地分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。

• 通常将由整数 q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不同的 q 相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。

• 纵模间隔与 q 无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的。

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• The oscillation frequency is determined by the requirement that phase delay per round trip be some integer, say q, of 2.

• The integer q corresponds to the number of maxima of the standing wave interference pattern between the two reflectors.

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七 光腔的损耗 (losses in optical resonators)

An understanding of the mechanisms by which electromagnetic energy is dissipated in optical resonators and the ability to control them are of major importance in understanding and operating a variety of optical devices. For historical reasons as well as for reasons of convenience, these losses are often characterized by a number of different parameters. This book uses the concepts of loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q to describe losses in resonators.

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损耗类型 (loss mechanisms ) 1 、几何偏折损耗 2 、衍射损耗 (diffraction losses) 3 、腔镜反射不完全引起的损耗 (loss

resulting from nonperfect reflection) 4 、固有损耗 (absorption and scattering in the

laser medium)

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• 光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。

• 取决于腔的类型和几何尺寸• 几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶

横模损耗大于低阶横模损耗• 是非稳腔的主要损耗

1 、几何偏折损耗

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• 腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上

发生衍射时形成的损耗• 与腔的菲涅尔数（ ）有关， N愈大，

损耗愈小 （ a: 腔镜半径）• 与腔的几何参数有关• 与横模阶次有关 (the higher the transverse

mode indices m,n, the greater the loss)

L

aN

2

2 、衍射损耗

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• 反射镜的吸收、散射和透射损耗。(Reflection loss is unavoidable, since without some transmission no power output is possible. In addition, no mirror is ideal; and even mirrors are made to yield the highest possible reflectivities, some residual absorption and scattering reduce the reflectivity to somewhat less than 100 percent )

3 、腔镜反射不完全引起的损耗

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• 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入物所引起的损耗。 (Transitions from some of the atomic levels, which are populated in the process of pumping, to higher lying levels constitute a loss mechanism in optical resonators when they are used as laser oscillators. Scattering from inhomogeneities and imperfections is especially serious in solid-state laser media.)

4 、固有损耗：

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• 后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。

• 几何偏折损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何偏折损耗和衍射损耗各不相同。

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损耗参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)

1 、平均单程损耗因子• 如果初始光强为 I0 ，在无源腔内往返一周后光强衰减到 I1 ，则

• 如果各种因素引起的单程损耗因子用 i

来表示，则总的单程损耗是 =∑i 。

1

0ln2

1

I

I)2exp(01 II

=?

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另一种定义：

0 1

0

2I I

I

单程渡越时光强的平均衰减百分数

当损耗很小时

20 1 0 0

0 0

2 1 (1 2 ) 2I I I I e

I I

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例：由腔镜反射不完全所引起的损耗

• 以 r1 和 r2 分别表示腔的两个镜面的反射率（功率反射系数），则初始光强为 I0 的光在腔内往返一周经两个镜面反射后，其强度 I1

应为

• 按的定义，对由腔镜反射不完全所引入的损耗 r 应有

2101 rrII

reII 201

21ln2

1rrr

1 2

1[(1 ) (1 )]

2r r r 1 21, 1r r 当

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1 2 1 2 1 2

1 1 1 1ln ln(1 )(1 ) ln(1 ) ln(1 )

2 2 2 2r r r t t t t

1 21, 1r r 1 1 2 21 0, 1 0t r t r

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2r t t t t t t

1 2

1[(1 ) (1 )]

2r r r

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2 、光子在腔内的平均寿命 R 和线宽 c

)2exp(0 mIIm cLt

m 2

)exp()( 0R

tItI

c

LR

取 t=0时刻的光强 I0 为初始光强，到 t时刻为止在腔内往返 m 次后

R 称为腔的时间常数。由于腔内存在损耗，光场不再为简谐振动，而是振幅随时间指数衰减的阻尼振荡，其强度按频率的分布有一宽度 C=1/(2R) (full width at the half-power points)

m=?

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求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均 寿命

• 设 t时刻腔内光子数密度为 N(t) ， N0 表示t=0时刻光子数密度

htNtI )()( )exp()( 0R

tNtN

dttN

tdNRR

)exp()( 0

ttdN

Nt )(

1

0

0

0 0

1exp( )

R R

N tt tdt

N

Rt

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3 、无源谐振腔的品质因数 Q

PQ

2

VNh

dt

dP

RQ 2

：储存在腔内的总能量； P ：单位时间内损耗的能量

腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。 Q 值大，表示光腔的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。

)exp()( 0R

tNtN

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• Optical resonators are used primarily in order to build up large field intensities with moderated power inputs. A universal measure of this property is the quality factor Q of the resonator. Q is defined by the relation

resonatorby dissipatedpower

resonatorby storedenergy fieldQ

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• 平均单程损耗因子• 光子在腔内的平均寿命 R 和模式线宽 c

• 无源谐振腔的品质因数 Q

• 四者之间的关系：

c

LQ

cR

22

c

LR

L

c

Rc

22

1

Qc

L

2

损耗参数小结：

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损耗举例• 由镜反射不完全所引起的损耗• 腔镜倾斜时的几何损耗 平行平面腔的调整精度要求极高• 衍射损耗

Nd

1

2aN

L N愈大，损耗愈小

N ：腔的菲涅尔数，即从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅尔半周期带的数目（对平面波阵面而言）

end