2001_grad

GRADUL II 2001 BUCURES , TI 1. a) Definit , i not , iunile de sistem de vectori liniar independent , i, sistem de generatori s , i bază într-un spat , iu vectorial. b) Să se arate că polinoamele cu coeficient , i reali f 1 (X )=(X − a)(X − b), f 2 (X )=(X − b)(X − c), f 3 (X )=(X − c)(X − a) sunt liniar independente peste R dacă s , i numai dacă (a − b)(b − c)(c − a) =0. c) Fie p> 0 un număr prim. Să se arate că toate grupurile cu p elemente sunt izomorfe. Este afirmat , ia de mai sus adevărată dacă p nu este prim? Justificat , i răspunsul. 2. Fie f : R → R o funct , ie continuă pentru care există α> 1 astfel încât |f (x) − f (y) ≥ α ·|x − y|, (∀) x, y ∈ R. Să se arate că funct , ia f este injectivă, strict monotonă s , i surjectivă. 3. Se consideră unghiul X 1 OX 2 de măsură 2α, 0 <α< π 2 · O sferă variabilă în spat , iu S (C, r) este tangentă laturilor unghiului dat în punctele A, respectiv B. Se notează cu H proiect , ia centrului sferei C pe planul unghiului dat. a) Să se arate că OH 2 sin 2 α + CH 2 = r 2 . b) Să se determine locul geometric al centrelor sferelor care au raza constantă r s , i care sunt tangente laturilor unghiului dat. 4. Definit , ia probabilităt , ii unui eveniment. Analiza statistică a datelor cantitative. 5. Compunerea funct , iilor. Funct , ii injective, surjective, bijective, inversabile. Inversa unei funct , ii bijective (Considerat , ii teoretice s , i metodice). 1

2001_grad

Documents