PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

Soluções numéricas via método dos elementos finitos para a equação de Helmholtz escalar

01- IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO - Título: Soluções numéricas via método dos elementos finitos para a equação de Helmholtz escalar - Área de concentração ( CNPq): Matemática Aplicada, Análise Numérica - Três palavras-chave: Equação de Helmholtz; Métodos dos Elementos Finitos; Estabilização - Local de realização do Projeto na UFF: EEIMVR 02- RESUMO Processos nos quais ondas interagem com um meio são modelados por equações em derivadas parciais (EDP) de segunda ordem. Só poucos problemas de ondas possuem solução analítica. Isto mostra a importância de se desenvolver métodos numéricos para obter soluções aproximadas. A técnica numérica mais usada é o método de elementos finitos (MEF) de Galerkin. Entretanto, sua solução numérica perde estabilidade para o regime de freqüências médias e altas. A equação de Helmholtz é o modelo matemático linear que descreve os harmônicos temporais de ondas acústicas, elásticas e eletromagnéticas. A solução do MEF de Galerkin apresenta o conhecido efeito de poluição do erro. À medida que o comprimento de onda diminui a solução aproximada torna-se mais instável, impedindo obter soluções numéricas para o regime de freqüências médias e altas. Varias formulações têm sido propostos como alternativa à formulação de Galerkin para contornar o efeito da poluição do erro. Todavia, estas alternativas, até hoje, para o caso bidimensional não são formulações livres de poluição. Dependendo da direção de propagação da onda as soluções numéricas apresentam uma dispersão de fase da onda, que pode ser muito significativa na medida em que o comprimento de onda diminui. O objetivo deste projeto é despertar o interesse do aluno dos cursos de matemática, física e engenharias na área de matemática aplicada e análise numérica. Iniciar o aluno nos diversos métodos numéricos para resolver a equação de Helmholtz, no uso de computadores para o cálculo científico e na linguagem de programação FORTRAN. Além de iniciar-lo na elaboração e exposição de relatórios e artigos. Como resultado esperamos que o aluno absorva tudo o ferramental mencionado de forma que lhe permita continuar aprofundando seus conhecimentos nesta área. Fomentar no aluno atitudes éticas e responsável perante o trabalho. Iniciar o aluno no convívio de um grupo de pesquisa, que lhe permita continuar sua formação futura como mestre, doutor e pesquisador. Divulgar o trabalho realizado em boletins, congressos e seminários. Além de fortalecer o grupo de pesquisa em Matemática Aplicada e Computacional do Pólo Universitário do Sul Fluminense, cadastrado e reconhecido pela PROPP/UFF e pelo CNPq em 2006. Vale ressaltar que este grupo junto com outros dois grupos de pesquisa da EEIMVR/UFF submeteram a CAPES, em 2009, uma proposta de Mestrado Acadêmico Multidisciplinar em Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia.

03- IDENTIFICAÇÃO DO ORIENTADOR - Nome: Prof. Gustavo Benitez Alvarez - Matrícula SIAPE: 1528650 - Unidade: EEIMVR - Escola de engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda - Departamento: Departamento de Ciências Exatas

- Categoria Funcional: Professor Adjunto, Regime de Trabalho: DE, Titulação: Doutor.

04- INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES - Projeto de Pesquisa do Orientador: Projeto novo

- Infra-estrutura disponível para a realização do Projeto:

O novo Laboratório de Informática da Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda permite que o aluno desenvolva este projeto de iniciação científica. Além disto, o grupo de pesquisa Matemática Aplicada e Computacional do Pólo Universitário do Sul Fluminense criou o Laboratório de Computação Científica da EEIMVR. 05- COMPOSIÇÃO DO PROJETO - Objetivos: Este projeto de pesquisa tem como objetivo geral iniciar o aluno no entendimento das técnicas de elementos finitos já existentes para a equação de Helmholtz. E com isto, futuramente aplicar estas formulações para simular processos e fenômenos que aparecem com freqüência na engenharia metalúrgica, ambiental, mecânica, nuclear, civil e outras áreas da ciência e da tecnologia. Especificamente os objetivos propostos são: 1- Estudar e consolidar os conhecimentos sobre as formulações, estáveis e precisas, em elementos finitos contínuos para a equação de Helmholtz escalar. 2- Familiarizar-se com o uso de códigos computacionais (Linguagem Fortran 90/95) baseados no método de elementos finitos. 3- Iniciar-se na elaboração e exposição de relatórios e artigos. 4- Criar na EEIMVR/UFF um ambiente de pesquisa nesta área do conhecimento, que futuramente poderá servir de suporte matemático e computacional a outros grupos de pesquisa da EEIMVR. - Benefícios Esperados e viabilidade técnica: O maior beneficio do projeto consiste na formação de um jovem pesquisador na área de matemática aplicada, especificamente em métodos numéricos para a resolução de equações em derivadas parciais. Podemos dizer que a pesquisa em Matemática Aplicada tem-se iniciado recentemente na EEIMVR. Por conta disto, este tipo de pesquisa ainda não está muito consolidada na escola. Em 2006 foi criado e cadastrado no CNPq o grupo de pesquisa Matemática Aplicada e Computacional do Pólo Universitário do Sul Fluminense. Em 2007 vários integrantes do grupo tiveram seus projetos de pesquisas contemplados pela FAPERJ no edital Primeiros Projetos de Pesquisa. Isto garantirá uma infra-estrutura mínima em termos de equipamentos. Porém, bolsas de Iniciação Científicas serão decisivas na consolidação do referido grupo de pesquisa. Do ponto de vista científico, o projeto mostra-se viável, considerando a experiência adquirida e os resultados parciais já obtidos. Em essência, o projeto é a continuidade de uma linha de pesquisa, na área de matemática aplicada e computacional, que o orientador do projeto vem desenvolvendo

há algum tempo nesta área do conhecimento. Além disto, este projeto de iniciação científica é parte de um projeto de pesquisa, aprovado e registrado na PROPP/UFF e coordenado pelo Prof. Gustavo Benitez Alvarez: “Novas formulações em elementos finitos contínuos / descontínuos para duas equações em derivadas parciais de segunda ordem e o uso da técnica de decomposição do domínio”, que em 2007 teve financiamento da FAPERJ na modalidade APQ1: E26-171.416/2006. Como outros benefícios esperados com a realização do projeto de IC podemos mencionar: - A assimilação e aprofundamento no entendimento destas técnicas de elementos finitos pode propiciar e facilitar a interação entre a área de matemática aplicada e outras áreas de pesquisa, que pode trazer resultados concretos na área da nanotecnologia, biotecnologia, bioinformatica, petróleo, geociências, meio ambiente e outras. - Realização de seminários, palestras e reuniões para divulgar resultados parciais, finais e as possíveis potencialidades dos conhecimentos adquiridos no processo de pesquisa. Pretende-se realizar estas atividades com grupos de pesquisa da própria instituição e de outras instituições, procurando sempre facilitar a interação entre as varias áreas do conhecimento. - Apresentação e publicação dos resultados em congressos nacionais e internacionais. - Fundamentação Teórica: Modelar processos nos quais ondas interagem com um meio (problema da dispersão, entre outros) são de suma importância. Devido à natureza oscilatória da solução da EDP que caracteriza o comportamento das ondas, este problema tem sido um grande desafio para matemáticos, físicos e engenheiros. Só poucos problemas de ondas possuem solução analítica e o desempenho dos métodos numéricos tradicionais (método de diferenças finitas e de elementos finitos) está estreitamente relacionado ao comprimento de onda. A necessidade por métodos numéricos precisos para resolver as EDP, que modelam ondas com comprimentos de ondas corta em geometrias complexas, se faz evidente para um amplo campo de aplicações. Apenas citaremos algumas destas aplicações que vão desde a ciência pura, passam por vários tipos de tecnologias e chegam até as aplicações na área da saúde. Por exemplo, podemos mencionar testes não destrutivos, exploração sismológica e ultra-som biomédico para o diagnóstico e terapia. Entre as aplicações em testes não destrutivos encontramos a tomografia por impedância elétrica (TIE), na qual imagens do interior dos objetos podem ser reconstruídas baseadas nas propriedades elétricas dos mesmos. Na área terapêutica encontramos o uso de feixes de ultra-som dirigidos sobre um tecido profundo (Focused Ultrasound Surgery), no qual a absorção do som causa um aumento de temperatura que acaba destruindo o tecido (técnica usada fundamentalmente em cirurgia do cérebro, mas também é usada para outras partes do corpo). Na área militar aparecem também varias aplicações: o problema do “sonar” para submarinos e do “radar” para aeronaves, neste caso se busca aperfeiçoar os mecanismos de detecção e projetar estruturas “invisíveis” aos sistemas de detecção. O fenômeno físico da propagação de ondas é descrito pela equação escalar da onda (ondas acústicas), a equação vetorial da onda (ondas elásticas) ou um sistema de equações vetoriais da onda (ondas eletromagnéticas). No caso dos harmônicos temporais, as equações da onda se transformam nas correspondentes equações de Helmholtz. As componentes das equações vetoriais de Helmholtz satisfazem a equação escalar de Helmholtz. Por isto, um conhecimento profundo da equação escalar de Helmholtz (ondas acústicas) é de muito valor para o melhor entendimento do problema de propagação de ondas elásticas e eletromagnéticas. A equação de Helmholtz é o modelo matemático linear que descreve os harmônicos temporais de ondas acústicas, elásticas e eletromagnéticas, que estão caracterizados por um parâmetro físico, o número de onda k. As questões fundamentais sobre existência e unicidade da solução foram resolvidas a finais da década dos anos 50. Métodos numéricos, como por exemplo o MEF,

freqüentemente são usados para obter soluções numéricas do problema de Helmholtz. O comportamento oscilatório da solução exata e a qualidade da solução numérica dependem do número de onda k. A resolução da malha n (número de elementos por comprimento de onda) deve ser ajustada ao número de onda seguindo a regra de “thumb” n=(2π)/(kh)≥8, onde h é o diâmetro do elemento da malha [1]. Esta regra visa controlar o erro do interpolante nodal. Para número de onda pequeno (k<30) a solução aproximada do MEF de Galerkin continuo apresenta resultados da mesma ordem de aproximação da interpolante [2]. Todavia, o desempenho do MEF de Galerkin deteriora-se quando k aumenta. O erro da solução aproximada cresce com o número de onda mesmo em malhas onde a regra de “thumb” é satisfeita. Isto hoje é conhecido como poluição da solução de elementos finitos. O erro na norma H1 só é limitado se a malha é adequadamente refinada: kh<<1 para a região preasintotica de convergência [3] e k2h<<1 para a região asintotica de convergência [4,5,6]. Isto é claro que impede a analise numérica da equação de Helmholtz via MEF no regime de freqüências médias e altas. Métodos de elementos finitos estabilizados têm sido propostos como alternativa à formulação de Galerkin para contornar o efeito da poluição do erro. Se usarmos como critério a descontinuidade das funções de interpolação através dos contornos do elemento, podemos classificar todas estas tentativas em dois grandes grupos: métodos estabilizados de elementos finitos contínuos e métodos estabilizados de elementos finitos descontínuos [6-11]. Muitas destas formulações funcionam bem para o caso unidimensional. Todavia, para o caso bidimensional até hoje não se tem uma formulação de elementos finitos estabilizada com funções formas bi-lineares, cuja solução seja invariante com a direção de propagação da onda, ou seja, livre de poluição. Dependendo da direção de propagação da onda as soluções aproximadas de elementos finitos apresentam uma dispersão de fase da onda (retardo de fase), que pode ser muito significativa na medida em que o número de onda k aumenta. - Metodologia: O MEF clássico (Galerkin) é inapropriado para resolver numericamente a equação de Helmholtz, porque sua solução apresenta o conhecido efeito de poluição no erro [3]. No caso de uma dimensão é possível eliminá-lo [6]. Já em duas dimensões não existe um MEF com funções formas bi-lineares livre de poluição para qualquer direção de propagação da onda plana [7,8]. Em [13,15,16] aplicamos à equação de Helmholtz um MEF descontínuo [12], que permite descontinuidades das funções formas através dos contornos dos elementos e introduz dois parâmetros livres que devem ser determinados para cada problema. Em [13,15,16] determinamos, através de experimentos numéricos, os dois parâmetros livres para um problema modelo em uma dimensão e generalizamo-los para o caso de duas dimensões. Os teste numéricos indicaram a boa precisão e estabilidade desta formulação para uma e duas dimensões. Os resultados obtidos apenas validam, numericamente, o método para funções formas lineares ou bi-lineares, elementos quadriláteros e malhas uniformes. Por outro lado, a formulação [13,15,16] introduz novos graus de liberdade aumentando o custo computacional. Em [14,17], foi desenvolvido um outro MEF descontínuos, no qual os graus de liberdade introduzidos pelas descontinuidades são eliminados a nível de elemento usando a técnica da condensação estática. Como resultado se obteve uma formulação estável e condensada com um custo computacional equivalente ao dos MEF contínuos. Também, em [14,17] usando a estratégia do estêncil que minimiza o erro de poluição se consegue obter uma expressão analítica para os dois parâmetros livres da formulação. Os bons resultados obtidos em [14,17] apenas são validos para malhas uniformes e elementos quadriláteros bilineares. Este projeto pretende iniciar o aluno no estudo das técnicas mencionadas de forma a permitir seu posterior uso em outras áreas do conhecimento onde estes métodos matemáticos tornam-se uma poderosa ferramenta para simular processos e fenômenos. Todas estas metodologias devem ser transformadas em algoritmos computacionais e implementadas em softwares (Linguagem de programação Fortran 90/95) possibilitando a iniciação do aluno na computação científica.

- Bibliografia:

[1] I. Harari and T.J.R. Hughes, Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: Model problems, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. v. 87, 1991, pp. 59-96. [2] Bayliss, C.I. Goldstein, E. Turkel, On accuracy conditions for the numerical computation of waves, J. Comp. Phys. 59, 1985, pp. 396-404. [3] F. Ihlenburg and I. Babuška, Finite element solution of the Helmholtz equation with high wave number Part I: The h-version of the FEM, Comput. Math. Appli., 30, No. 9, 1995, pp. 9-37. [4] A.K. Aziz, R.B. Kellogg and A.B. Stephens, A two point boundary value problem with a rapidly oscillating solution, Numer. Math. 53, 1988, pp. 107-121. [5] J. Douglas Jr., J.E. Santos, D. Sheen and L. Schreiyer, Frequency domain treatment of one-dimensional scalar waves, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 3 No. 2, 1993, pp. 171-194. [6] I. Harari and T.J.R. Hughes, Galerkin/least squares finite element methods for the reduced wave equation with non-reflecting boundary conditions in unbounded domains, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. v. 98, 1992, pp. 411-454. [7] Lonny L. Thompson and Peter M. Pinsky, A Galerkin Least-Squares finite element method for the two-dimensional Helmholtz equation, International Journal for Nuemrical Methods in Engineering, vol. 38, (1995) pp. 371-397. [8] Ivo Babuska, Frank Ihlenburg, Ellen T. Paok, Stefan A. Sauter, A generalized finite element method for solving the Helmholtz equation in two dimensions with minimal pollution, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 128 (1995) pp. 325-359. [9] C. Farhat, I. Harari, U. Hetmaniuk, A discontinuous Galerkin method with Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems in the mid-frequency regime, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. v. 192, 2003, pp. 1389-1419. [10] C. Farhat, A. Macedo, M. Lesoinne, F. X. Roux, F. Magoules, A. de La Bourdonnaie, Two-level domain decomposition methods with Lagrande multipliers for the fast iterative solution of acoustic scattering problems, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 184, 2000, pp. 213-239. [11] U. Hetmaniuk and C. Farhat, A finite element-based fictitious domain decomposition method for the fast solution of partially axisymmetric sound-hard acoustic scattering problems, Finite Elements in Analysis and Design 39, 2003, pp. 707-725. [12] E. G. Dutra do Carmo and A. V. C. Duarte, New formulations and numerical analysis of discontinuous Galerkin methods, Computational and Applied Mathematics 21 No. 3, 2002, pp. 661-715. [13] Gustavo Benitez Alvarez, Abimael Fernando Dourado Loula, Eduardo Gomes Dutra do Carmo, Fernando Alves Rochinha, A discontinuous finite element formulation for Helmholtz equation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195, 2006, pp. 4018–4035. [14] Abimael Fernando Dourado Loula, Gustavo Benitez Alvarez, Eduardo Gomes Dutra do Carmo, Fernando Alves Rochinha, A discontinuous finite element method at element level applied to Helmholtz equation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196, 2007, pp. 867–878.

[15] Rochinha, Fernando Alves; Alvarez, Gustavo Benitez; Carmo, Eduardo Gomes Dutra do; Loula, Abimael Fernando Dourado. A locally discontinuous enriched finite element formulation for acoustics. Communications in Numerical Methods in Engineering, v.23, issue 6, p. 623-637, 2007. [16] Carmo, Eduardo Gomes Dutra do; Alvarez, Gustavo Benitez; Rochinha, Fernando Alves; Loula, Abimael Fernando Dourado. Galerkin projected residual method applied to diffusion-reaction problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. , v. 197, p. 4559–4570, 2008. [17] Carmo, Eduardo Gomes Dutra do; Alvarez, Gustavo Benitez; Loula, Abimael Fernando Dourado; Rochinha, Fernando Alves. A nearly optimal Galerkin projected residual finite element method for Helmholtz problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. , v.197, p.1362 - 1375, 2008. 06- PLANO DE TRABALHO DO ALUNO, INCLUINDO CRONOGRAMA

Atividade Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Estudo das seguintes formulações de elementos finitos para a equação de Helmholtz:

1) Método de Galerkin 2) Método de Galerkin + Mínimos

Quadrados (GLS) [6,7] 3) Método Quase Estabilizado

(QSFEM) [8] 4) Método de Elementos Finitos

Descontínuos [13] 5) Método das bolhas

descontínuas (DBFEM) [14, 17]

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Pesquisa bibliográfica sobre o tema X Familiarização com códigos computacionais para a equação de Helmholtz.

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Obtenção, análise, processamento e preparação dos resultados para divulgação.

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Divulgação dos resultados no SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA da UFF e se possível em congressos.

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Local Volta Redonda

Data 06/4/2009

Orientador Gustavo Benitez Alvarez

Candidato