20101028 proof complexity_hirsch_lecture06
TRANSCRIPT
Сложность пропозициональных доказательств
Эдуард Алексеевич Гирш
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ПОМИ РАН
28 октября 2010 г.
1 / 8
Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.
I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.
I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E
xph
∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E
p 6=p′
(¬xph ∨ ¬xp′h).
I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из
уравнений для множества P ′ размером ∈[1
3ρ|P|..23ρ|P|
].
I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.
2 / 8
Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.
I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E
xph
∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E
p 6=p′
(¬xph ∨ ¬xp′h).
I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из
уравнений для множества P ′ размером ∈[1
3ρ|P|..23ρ|P|
].
I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.
2 / 8
Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.
I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E
xph
∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E
p 6=p′
(¬xph ∨ ¬xp′h).
I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из
уравнений для множества P ′ размером ∈[1
3ρ|P|..23ρ|P|
].
I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.
2 / 8
Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.
I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E
xph
∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E
p 6=p′
(¬xph ∨ ¬xp′h).
I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из
уравнений для множества P ′ размером ∈[1
3ρ|P|..23ρ|P|
].
I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная.
2 / 8
Принцип ДирихлеНижняя оценка Ω(n) на ширину вывода
I Сократим ширину аксиом: “забудем” о некоторых возможностях.I G -PHP: двудольный граф G задаёт возможности размещения.I Пусть G = ((P,H),E ) — двудольный расширитель: степень —
константа, имеются константы ε, ρ ∈ (0; 1), т.ч.
∀P ′ ⊆ P (|P ′| ≤ ρ|P| ⇒ |∂P ′| ≥ ε|P ′|),где ∂P ′ — те клетки, где может сидеть ровно один кролик из P ′.
I “Уравнения” кролика p ∨(p,h)∈E
xph
∧ ∧(p,h),(p′,h)∈E
p 6=p′
(¬xph ∨ ¬xp′h).
I Любые ρ|P| уравнений совместны; все |P| — нет.I В выводе есть дизъюнкция C , следующая в точности из
уравнений для множества P ′ размером ∈[1
3ρ|P|..23ρ|P|
].
I Для каждой клетки из ∂P ′ в C должна быть переменная. 2 / 8
Корректность метода резолюций (Reflection)
I Корректность системы док-в Π — невыполнимость формул
Π(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1
(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).
I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .
I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.I . . . и корректности Res(2).
3 / 8
Корректность метода резолюций (Reflection)
I Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1
(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.
I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .
I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.I . . . и корректности Res(2).
3 / 8
Корректность метода резолюций (Reflection)
I Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1
(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .
I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.
I . . . и корректности Res(2).
3 / 8
Корректность метода резолюций (Reflection)
I Корректность метода резолюций — невыполнимость формул
Res(x , y) = 1 ∧ x [z ] = 1
(для конкретного размера формулы x , набора значений z , док-ва y).I В Res нет коротких док-в корректности Res.I Res(2): Res с новыми переменными для 2-конъюнкций:
¬ax ,y ∨ x , ¬ax ,y ∨ y , ¬x ∨ ¬y ∨ ax ,y .
I В Res(2) есть короткие док-ва корректности Res.I . . . и корректности Res(2).
3 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: переменные
I Индексы:I Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).I . . . из m дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..m]).I Вывод из r дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..r ]).I Отрицания указываются индексами b ∈ 0, 1.
I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —
I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,
b — знак резольвируемой переменной,I резольвируемая переменная w`,v .
4 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: переменные
I Индексы:I Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).I . . . из m дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..m]).I Вывод из r дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..r ]).I Отрицания указываются индексами b ∈ 0, 1.
I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.
I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —
I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,
b — знак резольвируемой переменной,I резольвируемая переменная w`,v .
4 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: переменные
I Индексы:I Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).I . . . из m дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..m]).I Вывод из r дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..r ]).I Отрицания указываются индексами b ∈ 0, 1.
I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).
I Док-во —I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,
b — знак резольвируемой переменной,I резольвируемая переменная w`,v .
4 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: переменные
I Индексы:I Формула от n переменных (индексы v ∈ [1..n]).I . . . из m дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..m]).I Вывод из r дизъюнкций (индексы ` ∈ [1..r ]).I Отрицания указываются индексами b ∈ 0, 1.
I Формула — таблица вхождений x`,v ,b.I Набор — значения zv и указатели z`,v ,b (что вып. ` ?).I Док-во —
I дизъюнкции y`,v ,b,I зависимости p`,`′,b: дизъюнкция ` получена резольвированием `′,
b — знак резольвируемой переменной,I резольвируемая переменная w`,v .
4 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.
I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.
I ` не с потолка упало:∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .
I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.
I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.
I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийТочная формулировка: дизъюнкции
I Каждая дизъюнкция чем-то выполнена:∨v ,b
z`,v ,b.
I Тем, что есть в ней: ¬z`,v ,b ∨ x`,v ,b.I Набор согласован с указателями: ¬z`,v ,0 ∨ zv , ¬zv ∨ ¬z`,v ,1.
I Формула — часть вывода: ¬x`,v ,b ∨ y`,v ,b.I Для надёжности, ¬y`,v ,0 ∨ ¬y`,v ,1.I ` не с потолка упало:
∨`′<`
p`,`′,b,∨v
w`,v .
I Резольвента по одной переменной: ¬w`,v ∨ ¬w`,v ′ .I Которая была: ¬w`,v ∨ ¬p`,`′,b ∨ y`′,v ,b.I Остальные переменные на месте: ¬p`,`′,b ∨ ¬w`,v ∨ ¬y`′,v ,b′ ∨ y`,v ,b.I «В общем, все умерли»: ¬y`,v ,b.
5 / 8
Корректность метода резолюцийВерхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор zвыполняет все дизъюнкции вывода y , включая последнюю (пустую):∨
v
(y`,v ,0 ∧ zv ) ∨ (y`,v ,1 ∧ ¬zv ).
I Доказываем при условии p`,`′,0, p`,`′′,1, w`,v ,когда-нибудь потом воспользуемся существованием `′, `′′, v .
I Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,модицифируем старые д. в новую.
I Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаемзнак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталосьсрезольвировать).
6 / 8
Корректность метода резолюцийВерхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор zвыполняет все дизъюнкции вывода y , включая последнюю (пустую):∨
v
(y`,v ,0 ∧ zv ) ∨ (y`,v ,1 ∧ ¬zv ).
I Доказываем при условии p`,`′,0, p`,`′′,1, w`,v ,когда-нибудь потом воспользуемся существованием `′, `′′, v .
I Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,модицифируем старые д. в новую.
I Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаемзнак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталосьсрезольвировать).
6 / 8
Корректность метода резолюцийВерхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор zвыполняет все дизъюнкции вывода y , включая последнюю (пустую):∨
v
(y`,v ,0 ∧ zv ) ∨ (y`,v ,1 ∧ ¬zv ).
I Доказываем при условии p`,`′,0, p`,`′′,1, w`,v ,когда-нибудь потом воспользуемся существованием `′, `′′, v .
I Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,модицифируем старые д. в новую.
I Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаемзнак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталосьсрезольвировать).
6 / 8
Корректность метода резолюцийВерхняя оценка в Res(2)
Последовательно доказываем, что выполняющий набор zвыполняет все дизъюнкции вывода y , включая последнюю (пустую):∨
v
(y`,v ,0 ∧ zv ) ∨ (y`,v ,1 ∧ ¬zv ).
I Доказываем при условии p`,`′,0, p`,`′′,1, w`,v ,когда-нибудь потом воспользуемся существованием `′, `′′, v .
I Уцелевшие переменные наследуются из резольвированных д.,модицифируем старые д. в новую.
I Пропавшая явно указывает, какой из членов ∨ выполнен (знаемзнак переменной), остаётся zv (а для другой — ¬zv , осталосьсрезольвировать).
6 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):
I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k
2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k
2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k
2 даёт k2 7→ k2 .
I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.
Теорема (Alon, Boppana)
3 ≤ k ≤ K и K√
k ≤ m/(8 logm) =⇒ монотонные схемы,отделяющие k-раскрашиваемые графы с m вершинами от
содержащих K -клики, имеют размер ≥ 18
(m
4K√
k log m
)(√k+1)/2.
Осталось извлечь схему для раскрашиваемости из доказательствдля Reflection.
I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):
I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k
2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k
2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k
2 даёт k2 7→ k2 .
I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).
I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):
I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k
2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k
2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k
2 даёт k2 7→ k2 .
I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).
I В первом случае F выполнима.
I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):
I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k
2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k
2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k
2 даёт k2 7→ k2 .
I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).
I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):
I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k
2 ;иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k
2 .I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k
2 даёт k2 7→ k2 .
I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).
I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,
какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k2 ;
иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k2 .
I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k2 даёт k2 7→ k
2 .I повторим log k раз.
7 / 8
Корректность метода резолюцийНижняя оценка для метода резолюций
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих k2-клику.Граф G 7→ формула F о k-раскрашиваемости + доп. переменныедля всех конъюнкций длины (log n)O(1).
I В первом случае F выполнима.I Во втором случае F имеет “короткое” док-во невыполнимости:
I среди её дизъюнкций есть принцип Дирихле k2 7→ k ;I у него есть док-во размера 2(log n)O(1)
в Res((log n)O(1)):I разделим кроликов на k стай по k штук, клетки на 2 по k/2 штук,
какая-то стая целиком в первой клетке =⇒ инъекция k 7→ k2 ;
иначе каждая даёт кролика во вторую =⇒ инъекция k 7→ k2 .
I композиция инъекций k2 7→ k, k 7→ k2 даёт k2 7→ k
2 .I повторим log k раз.
УпражнениеДоделать док-во принципа Дирихле k2 7→ k в Res((log k)O(1)).
7 / 8
Корректность метода секущих плоскостейНижняя оценка для CP
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.I Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:
обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что это
можно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь
I обе части действительно монотонно от них зависят,I а остальное делается так же, как в док-ве теоремы Кука-Левина об
NP-полноте SAT.
8 / 8
Корректность метода секущих плоскостейНижняя оценка для CP
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.I Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:
обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!
I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что этоможно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь
I обе части действительно монотонно от них зависят,I а остальное делается так же, как в док-ве теоремы Кука-Левина об
NP-полноте SAT.
8 / 8
Корректность метода секущих плоскостейНижняя оценка для CP
I Короткое док-во 7→ маленькая монотонная схема, отделяющаявыполнимые формулы от имеющих короткие док-ва.
I Отделим k-раскрашиваемые графы от содержащих (k + 1)-клику.I Дальнейшее аналогично резолюции, только проще:
обычный принцип Дирихле имеет короткие док-ва в CP!I Осталось сформулировать корректность CP — ясно, что это
можно сделать, сохранив условие на монотонность вхожденийпеременных формулы, ведь
I обе части действительно монотонно от них зависят,I а остальное делается так же, как в док-ве теоремы Кука-Левина об
NP-полноте SAT.
8 / 8