6.6 전단중심의 개념 -...

Mechanic

6.6 전단

- 단면

전

1 축

- 좌

-

- 부

- P

-

cs of Materials

단중심의 개

이 대칭평면

전단중심(She

대칭 단면을

좌표축의 원점

z -축이 대칭

부재 단면에는

P 는 S 를 통

S : 전단중심

굽힘 중심

s, 7th ed., Jame

개념

면이 아닐

ear Center)에

을 가지는 캔

점 = 도심

칭축이며 xy 평

는 P 에 의해

통과하여야 비

심 (Shear Cen

심 (Center o

es M. Gere &

경우 비틀

에 작용하여야

틸레버 보 (자

평면이 굽힘

해 0M 발생

비틀림이 발생

nter) 혹은

of Flexure)이라

Barry J. Goo

틀림 없이

야 함

자유단에 하

평면

(그림 (b) 참

생하지 않음

라고 부름

dno

보가 굽어지

중 P 작용)

참조)

제 6 장

지기 위해서

장 보의 응력 (

Pa

서는 하중이

심화 주제)

age 06-42

단면의

Mechanic

하중

비

(전단 흐

2 축

- 전

- 도

1 축

- 전

위

- 하

cs of Materials

이 S 가 아닌

비틀림 모멘트

흐름에 의한

대칭보 (그림

전단중심 S

도심에 작용하

대칭 보 (그

전단중심 S

위치함

하중 P 를 y

s, 7th ed., Jame

닌 A 점에 작

트 T 가 추가

모멘트 때문

림 (a))

와 도심 C 는

하는 하중 P

그림 (b))

와 도심 C 는

y 축 성분과

es M. Gere &

작용하는 경우

가로 작용함

문, 6.9 참조)

는 일치함

P 는 비틀림

는 모두 y 축

z 축 성분으

Barry J. Goo

우

없이 굽힘을

축 (대칭축) 상

으로 분해하여

dno

을 일으킴

상의 서로 다

여 해석함

제 6 장

다른 점에

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-43

Mechanic

비대

- 도

- 주

- 하

(

전단

- 2

- 1

- 일

- 일

- 열

cs of Materials

칭 단면

도심 C 를 찾

주축 y z 축

하중을 y 축

(일반축에 대

중심의 계산

2 축 대칭인

1 축 대칭인

일반단면

일부 공학편람

열린 단면: W

s, 7th ed., Jame

찾고,

축을 찾고,

성분과 z 축

대하여 일반이

산방법

경우 도심

경우 대칭

2 축의 위치

람에 전단중

WF 보, 채널,

es M. Gere &

축 성분으로

이론을 사용하

심과 일치

칭축 상에서

치를 모두 계산

심 계산 공식

앵글, T 형 보

Barry J. Goo

분해하여 해

하는 것도 가능

위치를 결정

산 하여야 함

식 제공

보, Z 형 보

dno

해석함

능함)

정하여야 함

함

상용 구조

제 6 장

조용 강재 (비

장 보의 응력 (

Pa

틀림에 취약

심화 주제)

age 06-44

약)

Mechanic

6.7 두께

전단응력

여기서 Q

얇은

- 벽

- 속

cs of Materials

께가 얇은 열

력 구하는 공식

Q 는 전단응

두께의 열린

벽 두께가 단

속이 빈 상자

구

s, 7th ed., Jame

열린 단면

식 (직사각형

력을 구해야

린 단면 (thin

단면의 높이와

자형 보의 경우

구조용 단면

es M. Gere &

보의 전단응

형 보, 원형 보

야 하는 바깥쪽

n-walled op

와 폭에 비하

우와 같이 닫

(Structural

Barry J. Goo

응력

보, 플랜지를

VQIb

쪽 단면의 1

en cross sec

여 작고,

닫힌 단면이

section) 또는

dno

갖는 웨브),

차 모멘트이

ction)

아닌 열린 형

는 프로파일

제 6 장

(식 5.83 에서

다.

형태의 단면

단면 (profile

장 보의 응력 (

Pa

서 유도)

(6-41

e section)

심화 주제)

age 06-45

)

Mechanic

- 임의 단

- y 와 z

- 하중 P

지나서

z 축이

굽힘

발생

보의 임의

cs of Materials

단면의 중앙선

z 축은 주도심

P 는 전단중심

서 y 축에 평

이 중립축이

힘은 xy 평면에

생함.

의의 점에서의

1 0

sF

2 0F

s, 7th ed., Jame

선 mm

심축

심 C

평행

되고,

에서

의 수직응력은

0

s

xMdA

0

s

xMdA

es M. Gere &

은 xM

10

sz

z

M y dAI :

20

sz

z

M y dAI

Barry J. Goo

z

z

M yI (6-

: ad 면에 작

A : bc 면에 작

dno

42)

작용하는 합력

작용하는 합력

제 6 장

력

력

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-46

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-47

ad 단면의 모멘트가 더 크기 때문에 1 2F F 이며 평형을 위하여 전단응력 가 cd 면에 필요함

따라서 2 1 0t dx F F 또는 1 2 t dx F F

2 1

0

1 sz z

z

M M y dAdx I t

여기서 2 1( ) /z zM M dx 는 굽힘 모멘트의 변화율 /dM dx 이며 단면에 작용하는 전단력과 같음,

2 1z z

yM MdM V

dx dx

여기서 yV 는 y 축에 평행하며 y 축의 음의 방향을 양으로 함 (4 장의 부호 규약)

따라서 전단응력은 0

sy y z

z z

V V Qy dA

I t I t , 여기서 0

s

zQ y dA

- 전단응력은 단면의 중앙선을 따라 단면의 가장자리에 평행하게 작용함.

- 이 응력은 벽의 두께 t 에 걸쳐 일정한 세기를 갖는 다고 가정함.

- 두께가 얇은 경우에 유효하며, 벽의 두께는 일정할 필요가 없고 s 의 함수로 변화 가능.



전단흐름 (Shear Flow)

- 그 점에서 전단응력과 두께의 곱. y z

z

V Qf t

I

- 여기서 전단흐름 f 는 yV 와 zI 가 일정하기 때문에 zQ 에 정비례 함.

- 단면의 위와 아래의 가장자리에서 0zQ 0f t

- z 축에 평행한 하중에 의한 굽힙의 경우 (전단중심 통과하는 경우) xz 평면이 굽힘평면

동일한 해석방법에 의해 z y

y

V QI t

, z y

y

V Qf t

I ( y 축이 중립축)

여기서 zV 는 z 축에 평행한 전단력, yQ 는 y 축에 대한 1 차 모멤트임.

전단력이 전단중심을 지나 작용하고, 주도심축의 하나에 평행한 경우 적용가능함

- 전단력이 경사지게 작용하면, 주축에 평행한 성분으로 분해하여 각각 해석하여 중첩함.

Mechanic

6.8 WF

상부

- 단면

- 거리

- 점 a

- 이 면

중립

- 점 a

- 따라

cs of Materials

보의 전단

플랜지의 전

bb 에서의

s 는 a 를

a 와 단면 bb

면적의 도심으

축 까지의 거

a 와 단면 bb

서 z fQ st

s, 7th ed., Jame

응력

단응력

전단응력 고

원점으로 측

b 사이 면적은

으로부터

거리는 / 2h

b 사이 면적은

/ 2f h

es M. Gere &

고려

정

은 1st

은 1st

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-49



- 단면 bb 에서의 플랜지의 전단응력은

( / 2)

2y z f

fz z f z

V Q P st h shPI t I t I

- 응력의 방향은 그림 (c)를 고려함.

- 방향은 그림 (d)에 도시함.

- 응력은 점 a ( 0)s 에서 0 으로부터 / 2s b 에서 최대값 1 까지 변화함.

- 1 4 z

bhPI

, 이에 대응하는 전단흐름은 1 1 4f

fz

bht Pf t

I

- 상부 플랜지의 좌측 부분상의 점 c 로부터 우측으로 s 를 측정하여 플랜지 좌측 계산.



웨브의 전단응력

- 웹의 상단을 수평으로 잘라낸 부분 (플랜지와 웨브의 접합부)을 고려하면, / 2z fQ bt h

- 이에 대응하는 전단응력은 2 2f

z w

bht PI t

, 전단흐름은 2 2 2f

wz

bht Pf t

I (6-51, 52)

- 주목!! 2 12f f 플랜지 좌/우의 전단흐름이 합해져서 웹으로 전단됨.

- 단면 dd 에서는

22/ 2( )

2 2 2 2 2 4f f w

z w

bt h bt h th h r hQ r t r

- 따라서 중립축으로부터 거리 r 떨어진 웹의 전단응력은

22

4 2f

ww z

bt h h Prt I

(6-53)

- / 2r h 일때 이 식은 (6-51, 52)로 축소됨.

- 0r 일때 최대 전단응력 이 구해짐. max 4 2f

w z

bt h Pht I

- 모든 계산은 단면의 중앙선 치수를 근거로 계산 근사계산값임 (cf. 5.10 절 결과)

- 웨브의 전단응력은 포물선 분포, 그리고 max

2

14

w

f

htbt

- 2h b 이고 2f wt t 인 값을 취하면 max 2/ 1.25



하부 플랜지의 전단응력

- 하부 플랜지도 같은 방법으로 해석 가능한.

일반적인 유의사항

- 상/하부 플랜지의 전단력 합계는 서로 상쇄됨.

- 웨브에서의 전단응력은 합력 R 을 가지며, 전단응력을 웨브의 높이에 걸쳐 적분하여 구함.

22/ 2 / 2 2

0 0 2 2

4 2 6 2h h f f w

w ww z w z

bt h bt h t Ph P hR dA t dr t r drt I t I

(6-56)

- I-Beam 의 관성 모멘트는

23

12 2fw

z

bt ht hI , 윗식에 대입하면, R P

Mechanic

6.9 두께

채널

- 플랜

- 따

- 웨

- 중

cs of Materials

께가 얇은 열

단면

지의 최대 전

따라서 플랜지

웨브의 상부에

중립축에서

s, 7th ed., Jame

열린 단면의

전단 응력을

지의 최대 전

에서의 응력은

면적의 1 차

es M. Gere &

의 전단중심

구하기 위해

전단응력은

은 2y

z w

V QI t

모멘트는 Q

Barry J. Goo

심

해 (I-형 보와

1y z

z f

V QI t

2z f y

w w z

Q bt hVt I

2f

z

bt h hQ

dno

동일); zQ

2y

z

bhVI

2 4wht h

제 6 장

/ 2fbt h

4 2w

fht hbt

장 보의 응력 (

Pa

2h

심화 주제)

age 06-53



- 따라서 최대 전단응력은 max 4 2y z f y

z w w z

V Q bt hVhI t t I

- 각 플랜지에 걸리는 수평 전단력

21

1 ( )2 4

f yf

z

hb t VbF tI

(그림 (b)의 삼각형 면적)

- 웹의 수직력은 사각형 면적 + 포물선의 면적

- 즉

23

2 2 max 22 ( )3 12 2

f yww w

z

bh t Vt hF ht htI

- 여기에

23

12 2fw

z

bt ht hI 를 대입하면 2 yF V (예상된 결과)

- 두개의 1F 과 2 ( )yF V 은 전단중심에 대해 비틀림을 유발하지 않아야 함.

- 즉 1 2 0F h F e , 이식을 풀면, 전단중심의 위치는

2 2 234 6

f f

z w f

b h t b te

I ht bt

Mechanic

앵글

- b

- 단

- 여

- 그

cs of Materials

단면

bb 단면의

단면 끝에서

여기서 zI

그러므로

s, 7th ed., Jame

zbQ st

s 떨어진 점

2 2BBtbI

3

32

yV sb

b t

es M. Gere &

/ 22s

; (면적

점의 전단응력

3 3

6 3b tb

(

2s

Barry J. Goo

적중립축에

력은 y

z

V QI t

(부록 D 의 경

dno

서 면적의 도

2z y

z

Q V st I

경우 24 의

제 6 장

도심거리)

2sb

45o 인 경

장 보의 응력 (

Pa

경우)

심화 주제)

age 06-55



- 최대 전단응력은 s b 에서 발생함 max

32 2

yVbt

- 각 변의 전단력은 max2 ( )( )3 2

yVF b t

- 힘 F 의 수평 성분은 서로 상쇄

- 수직 성분은 / 2 / 2yF V , 즉 수직합력은 전단력 yV 와 같다.

- 합력은 두개의 힘 F 의 작용선의 교차점을 통과 전단 중심 S 는 앵글 두 변의 교차점

Mechanic

두 개

- 각

Z 형

cs of Materials

개의 좁은 직

각 단면의 합

단면

s, 7th ed., Jame

사각형을 접

합력을 고려하

es M. Gere &

접합하여 만든

하면 쉽게 S

Barry J. Goo

든 단면

를 구할 수

dno

있음.

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-57

Mechanic

예제

문제

전단중심

풀이

- 전단중

- 점 a 로

단면 b

- 점 a 와

1 차 모

적분하

- Q

- 단

- 여

- 확

cs of Materials

6-8

심의 위치 구하

중심은 z 축상

로부터 s 의

bb 를 고려하

와 단면 bb 사

모멘트는 면적

하여 구할 수

zQ y dA

단면 bb 에서

여기서 zI

확인: 0

s, 7th ed., Jame

하기

상에 위치함.

거리에 위치

하자.

사이의 단면적

적요소 dA 를

있다.

0( cosr

서의 전단응력

3 / 2r t (부

또는

es M. Gere &

치한 점의

적의

를

)( )tr d r

력은 y

z

V QI

부록 D 의 경우

일 때 Barry J. Goo

2 sinr t

2 sinz y

z

Q V rt I

우 22, 23)을

0 dno

n

대입하여

제 6 장

2 sinyVrt

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-58



- / 2 일때 최대 전단응력 발생

- 전단응력의 합력은 수직 전단력 yV

- 중심 O 에 대한 전단응력의 모멘트 0M 는 전단력 yV (전단중심 S 통과)의 모멘트와 동일.

- 즉 0 yM V e (g)

- dA 요소에 의한 모멘트는 0

2 sin 2 sin( ) y yV dA rV d

dM r dAt

- 전단응력에 의한 모멘트는 0 0 0

2 sin 4y yrV d rVM dM

- (g)에 대입하여 0 4 1.27

y

M re rV

Mechanic

*6.10 탄

- 선형 영

- 그림과

- 구조용

- 변형경

이를 고려

항복

중립축에

항복응력

YM

cs of Materials

탄소성 굽힘

영역을 넘어서

과 같은 탄소성

용 강재 (변형

화는 강도의

려할 경우 부

모멘트

에서 가장 멀리

력에 도달할 때

YY

I Sc

s, 7th ed., Jame

힘

서는 하중에

성 거동을 가

경화는 무시

의 증가를 일으

부담할 수 있는

리 떨어진 점

때의 모멘트

es M. Gere &

대한 해석

가정

)

으키므로

는 모멘트가

점 c 가

항복모멘

Barry J. Goo

증가

멘트

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-60

Mechanic

소성모

(c): 최대

(d)(e): 최

- 보

- z

(f) 보 전

- 최

- 모

- 최

* 모든 경

cs of Materials

모멘트와 중립

변형률이 항

최대 변형률은

보의 중앙부(탄

축이 대칭축

전체가 완전소

대 모멘트 저

모든 단면의 응

대변형률은

경우 변형률은

s, 7th ed., Jame

립축

항복 변형률

은 계속 증가

탄성핵심부)는

축이 아니면,

소성 상태가 된

저항 능력에

응력값이 Y

항복변형률

은 선형을 유

es M. Gere &

Y 에 도달함

함

는 탄성을 유

중립축은 도

된 경우

도달함 (이때

Y 이 됨.

Y 보다 매우

유지함.

Barry J. Goo

함: 모멘트의

지하나 바깥

도심이 아님

때의 모멘트를

우 커짐

dno

크기는 항복

영역은 완전

를 소성모멘트

제 6 장

복모멘트 YM

전 소성상태

트 PM 라고

장 보의 응력 (

Pa

Y 가 됨

(응력은 Y

함)

심화 주제)

age 06-61

을 유지)

Mechanic

중립축은

T C

1 2A A

즉, 완전

두개의 같

소성모멘

P

Y

M

혹은

PM C

cs of Materials

은 축방향 힘의

1Y A

/ 2A

소성상태의

같은 면적으로

멘트는 모멘트

1 1( )

A

Y Y

y dA

y A

1 2Cy Ty

s, 7th ed., Jame

의 평형으로부

2Y A

중립축은 단

로 나누어서

트 평형조건으

1

2 2

( )

( )

YA

Y

y

y A

1 2( )2

Y A y y

es M. Gere &

부터,

단면을

구함.

으로부터,

2

1 2(2

YA

Y

dA y

A y y

)

Barry J. Goo

2 )

y dA

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-62



소성계수 및 형상계수

위의 식에서 1 2( )2

A y yZ 를 단면에 대한 소성계수로 정의하면,

P YM Z

소성모멘트/항복모멘트 비율 형상계수 (shape factor) f 라고 부름 (단면 형태만의 함수)

P

Y

M ZfM S

- 항복이 처음 시작된 후의 보의 예비강도의 척도

- 재료가 중립축 가까이 있으면 그 값이 커짐 (e.g. 중실 원형단면)

- 재료가 중립축 멀리 있으면 그 값이 작아짐 (e.g. WF 단면)

Mechanic

직사각

단면계수

따라서 항

1 2y y

소성모멘

형상계수

cs of Materials

각형 단면 보

수는

2

6bhS

항복모멘트 M

4h

이므로

멘트 PM

수는 P

Y

M ZM S

s, 7th ed., Jame

2

6Y

YbhM

소성계수는

2

4Y bh

32

ZS

es M. Gere &

2

1(2

A yZ

Barry J. Goo

2 )2 2

y bh

dno

4 4h h b

제 6 장

2

4h

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-64

Mechanic

YM M

1 1C T

2 2C T

1

Y

M C

cs of Materials

PM M 인 경

2Yhb e

2Y e b

2

2

3 26 2

Y

h e C

bh eh

s, 7th ed., Jame

경우의 고찰

e

2

2

2

43

32

Y

Y

eC

e Mh

es M. Gere &

2

2

2

3 22

Yhb e

eh

Barry J. Goo

2 2Y bh e

dno

42 3be e

M

제 6 장

YM M M

장 보의 응력 (

Pa

PM

심화 주제)

age 06-65



Check: / 2e h 일 때 YM M

Check: 0e 일 때 3 / 2Y PM M M

위 식을 e 에 대해 풀어쓰면,

굽힘모멘트를 알 때 탄성핵심부의 크기를 구할 수 있음

1 32 2 Y

Me hM

Check: YM M 이면 / 2e h

Check: 3 / 2P YM M M 이면 0e

Mechanic

WF 보

(

f

f

Z bt

bt

112

t

S

ZfS

WF 보에

보통 WF

cs of Materials

보

2 2

( )

ff

f w

th

h t t

32w ft h t

대한 Z 값은

F 보의 1f

s, 7th ed., Jame

( )2

2 2

w f

f

ht t

th

31212

2

fbt

h

은 AISC 매뉴

1.1 ~ 1.2

es M. Gere &

2

12 2

1 (4

fh

bh b

2f

thbt

뉴얼(혹은 부록

Barry J. Goo

)( 2

f

w f

t

t h t

2

2ft

록의 단면표)에

dno

2)f

에 있음

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-67

Mechanic

예제

문제

원형 단면

풀이

YM

4dA

(A yZ

PM

P

Y

MfM

cs of Materials

6-9

면에 대한 항

(Y YI dc d

2

1 2 y y

1 2 )2 6

y y d

3

6Y

YdZ

16 1.73

P

Y

s, 7th ed., Jame

항복모멘트/소

4 / 64)/ 2 Y

d

23

d

(부록

3

6

70

es M. Gere &

소성계수/소성

3

32Yd

록 D 의 경우

Barry J. Goo

성모멘트/형상

-9/10)

dno

상계수 구하기

제 6 장

기

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-68

Mechanic

예제

문제

탄소성 재

플랜지는

5.0 b

cs of Materials

6-10

재료 ( 3Y

는 항복상태,

1in, 4.0 b

s, 7th ed., Jame

33 ksi) 의 박

웨브는 선형

in, 9.0 ih

es M. Gere &

박스형 보

탄성거동일

1in, 7.5 ih

Barry J. Goo

때 M 구하기

in

dno

기

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-69

Mechanic

풀이

모멘트를

(1) 탄성핵

(2) 플랜지

1(bS

cs of Materials

를 2 부분으로

핵심부 웨브

지에서의 항

21 1)

6b h

s, 7th ed., Jame

로 나누어서 생

의 모멘트 M

복응력 Y 에

es M. Gere &

생각함

1M

에 의한 모멘

Barry J. Goo

멘트 2M

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-70



21 1

1 1( )

6Y

Yb b hM S

플랜지 부분의 응력에 대한 모멘트를 구하기 위한 플랜지에서의 합력 F 는

1

2Yh hF b

2 21 1

2( )

2 4Yh h b h hM F

2 21 2 1 13 ( 2 )

12YM M M bh b b h

수치를 대입하면, 1330 k-inM

주: 이 예제에서 1196 k-inYM , 1485 k-inPM (문제 6.10-13)에서 구해짐

이 예제의 M 은 YM 와 PM 사이의 값이다.

6.6 전단중심의 개념 -...

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