2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2016年度秋学期 応用数学(解析)
浅野 晃 関西大学総合情報学部
第2部・基本的な微分方程式 変数分離形の変形
第6回
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
変数分離形(復習)
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
変数分離形一般には
両辺それぞれを積分すると
g(x)x′ = f(t)
とするとx′ =dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
∫g(x)dx =
∫f(t)dt+ C
一般解に含まれる積分定数 C は, 初期値を代入して定まり,特殊解が得られる
今日は,変形によって変数分離形に持ち込める方程式です
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1.同次形
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
この両辺を微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
この両辺を微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
この両辺を微分
積の微分
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u = f(u)
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u = f(u)
1
f(u)− udu =
1
tdt
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次形一般には
変数分離形になった
dx
dt= f(
x
t).
x/t の式になっている
とおくと
x
t= u
x = ut
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u = f(u)
1
f(u)− udu =
1
tdt
この両辺を微分
積の微分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次関数
M(x, t)
M(ut, t) = tkM(u, 1)
関数 が k 次の同次関数であるとは
の形になっていること
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次関数
M(x, t)
M(ut, t) = tkM(u, 1)
関数 が k 次の同次関数であるとは
の形になっていることtk をくくり出せる
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次関数
M(x, t)
M(ut, t) = tkM(u, 1)
関数 が k 次の同次関数であるとは
の形になっていること
微分方程式が
M, N がどちらも k 次の同次関数なら,x = ut とおいて
( , )dx
dt=
M(x, t)
N(x, t)
の形で
tk をくくり出せる
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次関数
M(x, t)
M(ut, t) = tkM(u, 1)
関数 が k 次の同次関数であるとは
の形になっていること
微分方程式が
M, N がどちらも k 次の同次関数なら,x = ut とおいて
( , )dx
dt=
M(x, t)
N(x, t)
の形で
tk をくくり出せる
dx
dt=
M(x, t)
N(x, t)
=tkM(u, 1)
tkN(u, 1)=
M(u, 1)
N(u, 1)=
M(xt , 1)
N(xt , 1)
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
同次関数
前ページの 形になる
M(x, t)
M(ut, t) = tkM(u, 1)
関数 が k 次の同次関数であるとは
の形になっていること
微分方程式が
M, N がどちらも k 次の同次関数なら,x = ut とおいて
( , )dx
dt=
M(x, t)
N(x, t)
の形で
tk をくくり出せる
dx
dt=
M(x, t)
N(x, t)
=tkM(u, 1)
tkN(u, 1)=
M(u, 1)
N(u, 1)=
M(xt , 1)
N(xt , 1)
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
とおくと
x
t= u
x = ut
より
dx
dt= t
du
dt+ u
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
とおくと
x
t= u
x = ut
より
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u =
1− u
1 + u
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
とおくと
x
t= u
x = ut
より
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u =
1− u
1 + u
11−u1+u − u
du =1
tdt
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
とおくと
x
t= u
x = ut
より
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u =
1− u
1 + u
11−u1+u − u
du =1
tdt
t と u を分離
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
分母分子を t でわると
dx
dt=
1− xt
1 + xt
同次形
とおくと
x
t= u
x = ut
より
dx
dt= t
du
dt+ u
よって
tdu
dt+ u =
1− u
1 + u
11−u1+u − u
du =1
tdt
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
t と u を分離
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
微分の関係に なっている
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
![Page 37: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/37.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
![Page 38: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/38.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
![Page 39: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/39.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
![Page 40: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/40.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
![Page 41: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/41.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
![Page 42: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/42.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
![Page 43: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/43.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
対数の和→ 真数の積
![Page 44: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/44.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
対数の和→ 真数の積
対数の◯倍→ 真数の◯乗
![Page 45: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/45.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
対数の和→ 真数の積
対数の◯倍→ 真数の◯乗
定数は任意なので,絶対値が外れる
![Page 46: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/46.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。
x′ =t− x
t+ x
上の式の両辺を積分すると
u+ 1
u2 + 2u− 1du = −1
tdt
ここで(u2 + 2u − 1
の微分が 2(u + 1)
になるから,
微分の関係に なっている
1
2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C
log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)
t2(u2 + 2u− 1) = A
対数の和→ 真数の積
対数の◯倍→ 真数の◯乗
定数は任意なので,絶対値が外れる
u =x
t
に戻すと x2 + 2tx− t2 = A
![Page 47: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/47.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 48: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/48.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2.1階線形
![Page 49: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/49.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
![Page 50: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/50.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
と置くと, 一般解は
p(t) = exp(∫
P (t)dt)
x =1
p(t)
(∫p(t)Q(t)dt+ C
)
![Page 51: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/51.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
と置くと, 一般解は
p(t) = exp(∫
P (t)dt)
x =1
p(t)
(∫p(t)Q(t)dt+ C
)
なぜならば(p(t)x)′ = (p(t))′x+ p(t)x′
=
[exp
(∫P (t)dt
)]′x+ p(t)x′
= p(t)P (t)x+ p(t)x′
= p(t){P (t)x+ x′
}= p(t)Q(t)
![Page 52: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/52.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
と置くと, 一般解は
p(t) = exp(∫
P (t)dt)
x =1
p(t)
(∫p(t)Q(t)dt+ C
)
なぜならば(p(t)x)′ = (p(t))′x+ p(t)x′
=
[exp
(∫P (t)dt
)]′x+ p(t)x′
= p(t)P (t)x+ p(t)x′
= p(t){P (t)x+ x′
}= p(t)Q(t)
積の微分
![Page 53: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/53.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
と置くと, 一般解は
p(t) = exp(∫
P (t)dt)
x =1
p(t)
(∫p(t)Q(t)dt+ C
)
なぜならば(p(t)x)′ = (p(t))′x+ p(t)x′
=
[exp
(∫P (t)dt
)]′x+ p(t)x′
= p(t)P (t)x+ p(t)x′
= p(t){P (t)x+ x′
}= p(t)Q(t)
積の微分
指数の合成関数の微分
![Page 54: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/54.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
1階線形微分方程式一般には の形になっているもの
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
と置くと, 一般解は
p(t) = exp(∫
P (t)dt)
x =1
p(t)
(∫p(t)Q(t)dt+ C
)
なぜならば(p(t)x)′ = (p(t))′x+ p(t)x′
=
[exp
(∫P (t)dt
)]′x+ p(t)x′
= p(t)P (t)x+ p(t)x′
= p(t){P (t)x+ x′
}= p(t)Q(t)
積の微分
指数の合成関数の微分
p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって,両辺を積分して
![Page 55: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/55.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
![Page 56: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/56.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると
![Page 57: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/57.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
![Page 58: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/58.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると
![Page 59: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/59.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 60: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/60.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 61: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/61.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 62: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/62.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 63: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/63.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 64: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/64.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 65: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/65.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 66: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/66.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 67: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/67.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 68: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/68.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 69: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/69.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 70: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/70.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
C3
C2= C
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 71: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/71.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
etx =
∫ettdt+ C
= ett−∫
etdt+ C
= ett− et + C
C3
C2= C
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 72: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/72.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
etx =
∫ettdt+ C
= ett−∫
etdt+ C
= ett− et + C
C3
C2= C
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 73: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/73.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
etx =
∫ettdt+ C
= ett−∫
etdt+ C
= ett− et + C
C3
C2= C
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 74: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/74.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると
部分積分
= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
etx =
∫ettdt+ C
= ett−∫
etdt+ C
= ett− et + C
C3
C2= C
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 75: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/75.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題を解いて,一般解を求めよ。x′ + x = t
dx
dt+ P (t)x = Q(t)
にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t
前ページの式から p(t)x =
∫p(t)Q(t)dt+ C
よって p(t) = exp(∫
P (t)dt)
とすると
部分積分
= et+C1 = eC1et
= C2et
C2etx =
∫C2e
ttdt+ C3
etx =
∫ettdt+ C
= ett−∫
etdt+ C
= ett− et + C
C3
C2= C
x = t− 1 + Ce−t
よって
p(t) = exp(∫
1dt)
![Page 76: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/76.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 77: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/77.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2′.ベルヌーイの 微分方程式
![Page 78: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/78.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
![Page 79: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/79.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
![Page 80: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/80.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
![Page 81: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/81.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
![Page 82: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/82.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
![Page 83: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/83.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
![Page 84: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/84.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
![Page 85: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/85.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
![Page 86: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/86.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
u′
u= (1− n)
x′
x
![Page 87: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/87.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
u′
u= (1− n)
x′
x
代入
![Page 88: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/88.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
u′
u= (1− n)
x′
x
1
1− n
u′
u+ P (t) = Q(t)
1
u
u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)
代入
![Page 89: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/89.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
u′
u= (1− n)
x′
x
1
1− n
u′
u+ P (t) = Q(t)
1
u
u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)
代入
![Page 90: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/90.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ベルヌーイの微分方程式一般には
なぜならば
の形
両辺を微分する
dx
dt+ P (t)x = Q(t)xn
(n ≠ 1)
とおくと1階線形微分方程式に変形できるu = x1−n
1
xx′ + P (t) = Q(t)xn−1
log u = (1− n) log x
u′
u= (1− n)
x′
x
1
1− n
u′
u+ P (t) = Q(t)
1
u
u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)
代入
1階線形
![Page 91: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/91.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
![Page 92: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/92.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
![Page 93: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/93.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
![Page 94: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/94.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
![Page 95: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/95.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
![Page 96: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/96.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
−u′
u+ t =
t
u
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
−u′
u+ t =
t
u
-u倍
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
−u′
u+ t =
t
u
u′ − tu = −t
-u倍
![Page 100: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第6回 変数分離形の変形 (2016. 11. 10)](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042604/58819f751a28ab1a398b4e53/html5/thumbnails/100.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
例題が1階線形微分方程式で 表せることを示せ。
x′ + tx = tx2
とおくu = x−1
両辺の対数をとると log u = − log x
両辺をtで微分すると u′
u= −x′
x
両辺をxで割ると x′
x+ t = tx
−u′
u+ t =
t
u
u′ − tu = −t
-u倍1階線形
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
今日のまとめ
同次形 1階線形 ベルヌーイ