2282720 analisis de funciones de variable compleja

Analisis de Funciones de Variable Compleja

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingenierıa

Departamento de Matematica

Universidad de Buenos Aires

2005

V 1.011

1Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripcion de este documento.

Indice general

1. Numeros Complejos 9

1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Igualdad de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Estructuracion de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Estructuracion de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Estructuracion de C como estructura de espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Propiedades generales de la funcion distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2. Notacion para la funcion distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.3. Modulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Estructuracion de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Forma binomica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente

nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.3. Forma binomica de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Representacion geometrica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10. Forma Polar de un Numero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1. Forma Polar de un Numero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.4. Potencia en forma polar. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10.5. Interpretacion geometrica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11. Forma exponencial de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11.1. Expresion de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.2. Definicion de la funcion ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 32

1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Elementos de Topologıa en el Campo Complejo 35

2.1. Definicion de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Clasificacion de puntos: Interiores, exteriores y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Clasificacion de puntos de adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 INDICE GENERAL

2.9.1. Concepto de punto infinito en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9.2. Conjunto Complejo Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9.3. Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9.4. Diversas acepciones de “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y Lımite 51

3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Funciones de variable compleja. Caracterısticas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.1. Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.1. Definicion de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.2. Operaciones con lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8. Homotopıa de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8.1. Homotopıa de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8.2. Homotopıa de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.8.3. Homotopıa a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9. Clasificacion de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9.2. Conjuntos multiplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Derivacion en el Campo Complejo 75

4.1. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Relacion entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4. Derivacion y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5. Funciones monogenas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7. Holomorfıa y ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7.1. Las componentes de una funcion holomorfa como funciones armonicas . . . . . . . 824.7.2. Propiedades de funciones conjugadas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.7.3. Obtencion de la conjugada armonica de una funcion en el entorno de un punto . . 87

4.8. Holomorfıa en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.9. Representacion conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

INDICE GENERAL 5

4.9.2. Transformacion de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.9.3. Transformacion de vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.9.4. Aplicacion conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9.5. Transformacion de areas e integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.9.6. Los problemas de la representacion conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.9.7. La inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.9.8. La funcion homografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. Representacion del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2. Representacion del complejo z en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3. Representacion geometrica de la suma de dos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4. Representacion geometrica de la diferencia de dos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5. Representacion geometrica del producto de dos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Raıces quintas de un numero complejo z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Conjugado de un numero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. Clasificacion de puntos en un espacio metrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5. Puntos aislados y puntos de acumulacion del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6. Clasificacion de conjuntos segun contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funcion inversion. . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.10. Proyeccion estereografica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas. 48

2.11. Proyeccion estereografica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . . 48

3.1. Transformacion de regiones en R2 mediante una funcion de variable compleja. . . . . . . . 52

3.2. Transformacion de caminos mediante la funcion f(z) = z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Funcion de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4. Funcion de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5. Composicion de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.13. Homotopıa de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.14. Homotopıa de los lazos γ1 y γ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.16. Conjunto multiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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8 INDICE DE FIGURAS

4.1. Incremento de z a traves de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Dominio restringido de una funcion de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3. Incremento de una funcion a traves de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . . 794.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas armonicas . . . . . . . . . . . 874.5. Integracion a traves de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.10. Transformacion de caminos por una funcion de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . 974.11. Conservacion del angulo entre dos caminos mediante una aplicacion conforme f . . . . . . 1004.12. Transformacion de angulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . . 1024.13. Lıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representacion conforme. 1054.14. Transformacion de vectores mediante una inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.15. Construccion geometrica para obtener la recıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 1064.16. Construccion geometrica alternativa para hallar la recıproca de un numero complejo. . . . 107

Capıtulo 1

Numeros Complejos

1.1. Definicion

Se llama numero complejo a todo par ordenado (x y) de numeros reales.

z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R

z := Numero complejo

Al numero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente

del numero complejo.Asimismo, al numero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria osegunda componente del numero complejo.

Re(z) := x

Im(z) := y

Re(z) := parte real de z

Im(z) := parte imaginaria de z

Observacion: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un numero complejo(a pesar de su denominacion), son ambos numeros reales.

Al conjunto de todos los numeros complejos, se lo simboliza con C.

C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R }

C := Conjunto de todos los numeros complejos

Observacion: A partir de la definicion de C es inmediato que:

C = R× R o sea que C = R2

Sin embargo, la introduccion del nuevo sımbolo C para representar al conjunto de los complejos, envez de usar directamente R2, es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 ylos demas Rn.

Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambien estructura de espacio euclıdeo.En el caso particular de R2, ademas de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuracion en

cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracterıstica no se extiende a ningun Rn con n ≥ 3.

La razon de esta diferencia es porque en C, ademas de definirse la suma como en todo Rn, se establecetambien la multiplicacion, condicion que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano.

9

10 CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

1.2. Igualdad de numeros complejos

La igualdad de los numeros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, ysu aplicacion sobre los pares ordenados. Resulta entonces:

(x y) = (x′ y′)⇔{

x = x′

y = y′

Es decir, dos numeros complejos son iguales, si y solo si simultaneamente, las respectivas partes realese imaginarias son iguales entre sı. Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R.

1.3. Estructuracion de C como cuerpo abeliano

Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composicion interna:

T : C× C −→ C

((x y), (x′ y′)) 7−→ (x + x′ , y + y′)

P : C× C −→ C

((x y), (x′ y′)) 7−→ (xx′ − yy′ , xy′ + yx′)

T := Ley suma de numeros complejos

P := Ley producto de numeros complejos

Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composicion interna, suma y producto de numeros reales.El conjunto de los numeros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de

composicion interna suma de numeros complejos ”T ” y producto de numeros complejos ”P”.

T : C× C −→ C

((x y), (x′ y′)) 7−→ (x + x′ , y + y′)

P : C× C −→ C

((xy) , (x′y′)) 7−→ (xx′ − yy′ , xy′ + yx′)

=⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano

La demostracion de esta aseveracion es inmediata.

Algunos elementos destacables en el cuerpo C son:

(0 , 0) ∈ neutro de C respecto de T

(−x , −y) ∈ simetrico de (x y) respecto de T

(1 , 0) ∈ neutro de C respecto de P(

x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)

∈ simetrico de (x y) respecto de P , ∀(x y) 6= (0 0)

Los sımbolos con los cuales se identificaran estos elementos son:

s := (0 , 0)

z∗ := (−x , −y)

u := (1 , 0)

z• :=

(

x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)

1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO 11

1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado

El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ningunarelacion sobre C× C que cumpla simultaneamente:

(a) Relacion de orden amplio sobre C.

(b) Relacion de orden total.

(c) Relacion de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo.

Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo generico (E T P ), llamando RO a la relacion deorden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera:

RO ∈ Relacion de orden amplio :=

∀x ∈ E (xx) ∈ RO Reflexividad

(x y) ∈ RO(y x) ∈ RO

}

⇒ x = y Antisimetrıa

(x y) ∈ RO(y z) ∈ RO

}

⇒ (x z) ∈ RO Transitividad

RO ∈ Relacion de orden total :={

∀x ∈ E, ∀y ∈ E {x y} =⇒ (x y) ∈ RO o (y x) ∈ RO

RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto :=

(x y) ∈ RO∀z ∈ E

}

=⇒ (xTz , yT z) ∈ RO

(x y) ∈ RO(s z) ∈ ROs :=Neutro de (E , T )

=⇒ (xPz , yPz) ∈ RO

A partir de estas definiciones se establece entonces:

(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado :=

(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano

RO ∈ Relacion de orden amplio

RO ∈ Relacion de orden total

RO ∈ Relacion compatible con la suma y el producto

Observacion 1: Al cumplirse simultaneamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resultasuperflua la condicion de reflexividad, como se muestra a continuacion:

A partir de la condicion de orden total, tomando x = y se obtiene:

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∣

∣

∀x ∈ E {xx} =⇒ (xx) ∈ RO o (xx) ∈ RO

resultando entonces:

∀x ∈ E =⇒ (xx) ∈ RO

Observacion 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el textose ha preferido el uso de esta ultima para evitar confusiones.

A continuacion se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede serordenado.


El esquema de prueba se basa en que para dos numeros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (masadelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relacion de orden que satisfaga lascondiciones anteriores.

(C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado

1. Orden total {(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO o ((0 1) , (0 0)) ∈ RO

Suponiendo la primera de lasdos posibilidades:

2. ((0 0) (0 1)) ∈ RO

3. Compat. P((0 0) (0 1)) ∈ RO

((0 0) (0 1)) ∈ RO

}

⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

4. Compat. P((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

}

⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO

5. Compat. T((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

(1 , 0) ∈ C

}

⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO

6. (4.), (5.) y antisim.((0 0) (1 0)) ∈ RO

((1 0) (0 0)) ∈ RO

}

⇒ (0 0) = (0 1) (prop. falsa)

Como la primera posibilidadha conducido a una proposicionfalsa, se prueba con la segunda:

7. ((0 1) (0 0)) ∈ RO

8. Compat. T((0 1)(0 0)) ∈ RO

(0 , −1) ∈ C

}

⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO

9. Compat. P((0 0)(0 , −1)) ∈ RO

((0 0)(0 , −1)) ∈ RO

}

⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

Este resultado es el mismo obte-nido en (3.). Si se sigue un pro-cedimiento igual al ya realizado,se obtiene tambien:

10. =⇒ (0 0) = (1 0) prop. falsaSe deben descartar entonces lasdos posibilidades. De donde:

1.5. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13

11. (1.), (6.) y (10.) ∄ RO sobre C :

RO ∈ Relacion de orden amplio

RO ∈ Relacion de orden total

RO ∈ Relacion de compatibilidad

con la suma y producto complejo

Observacion 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como unico Rn que cumple talcondicion al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia.Observacion 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposicion:

z > z′

Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notacion, es sencillamente un grave error.

1.5. Estructuracion de C como estructura vectorial

El conjunto de los numeros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K,respecto de las leyes de composicion interna T (suma de numeros complejos) y composicion externa Poportunamente definida:

P : C× C −→ C

(λ, (x y)) 7−→ (λx, λy)

P := Ley de composicion externa de C sobre K.

K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares.

La proposicion mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2, es decir un caso particular deRn.

Tiene particular interes tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructuravectorial.

C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R}(R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales

T : C× C → C

((x y) , (x′ y′)) 7→ (x + x′ , y + y′)

P : C× C → C

((x y) , (x′ y′)) 7→ (xx′ − yy′ , xy′ + yx′)

=⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial

Observacion 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferenciasque existen entre las leyes:

- Producto de numeros reales: ·

- Producto de numeros complejos: p


- Producto de C sobre K: P

Observacion 2: Para evitar interpretaciones erroneas se hace notar que la convencion adoptada para ladenominacion de la sextupla (E K + · T P ) y el conjunto E es:

(E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial

E := Espacio vectorial

1.6. Estructuracion de C como estructura de espacio metrico

El conjunto C conforma una estructura de espacio metrico, y en particular una estructura de espacioeuclıdeo, al definirse la funcion distancia por la expresion pitagorica:

d : C× C −→ R

(z , z′) 7−→√

(x− x′)2 + (y − y′)2 = d(z z′)

d(z z′) := distancia de z a z′

Esta caracterıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2, es decir un caso particular de Rn.

C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R }

d : C× C −→ R

(z , z′) 7−→√

(x− x′)2 + (y − y′)2 = d(z z′)

=⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio euclıdeo

Observacion 1: Para evitar confusiones se senala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) ypara el conjunto E son:

(E , d) := Estructura de espacio metrico o estructura metrica

E := Espacio metrico

El hecho de poder estructurar E como espacio metrico tiene enorme importancia.En efecto, se logra con ello la base (funcion distancia) para construir una estructura topologica.De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simultaneamente una estructura algebraica

de cuerpo, y una estructura topologica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir losconceptos que son fundamento del analisis matematico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial.

1.6.1. Propiedades generales de la funcion distancia en C

Las propiedades mas importantes para destacar de la funcion distancia sobre el conjunto de loscomplejos, se desprenden directamente del caso mas general, funcion distancia sobre los espacios euclıdeos.

Para facilitar su presentacion es conveniente usar los sımbolos

e := (0 0)

z∗ := (−x , −y)

respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambien seagregara el nuevo sımbolo:

z − z′ := z T z′∗

z − z′ := Diferencia entre los numeros complejos z y z′

1.6. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO 15

El detalle de las propiedades mencionadas es:

I. d(z e) = 0⇔ z = e

II. z − z′ = w − w′ =⇒ d(z z′) = d(w w′)

III. d(z + z′ , z) = d(z′ e)

IV. d(z − z′ , e) = d(z z′)

V. d(z − z′ , e) = d(z′ − z , e) λ ∈ R

VI. d(λz , λz′) = |λ|d(z z′)

VII. d(z e)− d(z′ e) 6 |d(z e)− d(z′ e)| 6 d(z + z′ , e) 6 d(z e) + d(z′ e)

VIII. d(z e)− d(z′ e) 6 |d(z e)− d(z′ e)| 6 d(z − z′ , e) 6 d(z e) + d(z′ e)

IX. |Re(z)| 6 d(z, e)|Im(z)| 6 d(z, e)

Es buen ejercicio demostrar estas formulas en forma directa a partir de la definicion de distancia sobreC.

1.6.2. Notacion para la funcion distancia sobre C

La notacion de la funcion distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquierRn es:

|z − z′| := d(z z′)

|z − z′| := Distancia de z a z′

De acuerdo a esta ultima convencion resulta:

d(z e) = |z|

En efecto:

d(z e) = |z − e|= |z T e∗ |= |z T e|= |z|

La distancia d(z e) tiene una gran aplicacion e importancia, tanto como para adjudicarle una deno-minacion particular. Esto se tratara en el apartado 1.6.3.

La introduccion del nuevo sımbolo |z − z′| para representar la funcion distancia, es justificada por elhecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del parrafo anterior asimilandolas a las analogas dela funcion valor absoluto en el campo real.

En efecto, si formalmente se opera d(z z′) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sindificultad las propiedades vistas en 1.6.1:

I. |z − e| = 0⇔ z = e|z| = 0⇔ z = e


II. z − z′ = w − w′ =⇒ |z − z′| = |w − w′|

III. |(z + z′)− z| = |z′|

IV. |(z − z′)− e| = |z − z′|

V. |z − z′| = |z′ − z|

VI. |λz − λz′| = |λ||z − z′|

VII. |z| − |z′| 6 ||z| − |z′|| 6 |z + z′| 6 |z|+ |z′|

VIII. |z| − |z′| 6 ||z| − |z′|| 6 |z − z′| 6 |z|+ |z′|

IX. |Re(z)| 6 |z||Im(z)| 6 |z|

Observacion: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacioeuclıdeo, pues:

d(x y) =√

(x− y)2

= |x− y|

Entonces, la distancia del espacio euclıdeo Rn puede entenderse como una generalizacion del valorabsoluto definido para R.

1.6.3. Modulo de z

Se define como modulo de z, tambien llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e).

|z| := d(z e)

|z| := Modulo de z

Esta definicion es complementaria de la notacion de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas noson independientes, como se demuestra acto seguido:

Teorema 1.6.1.

d(z z′) = |z − z′| ⇐⇒ d(z e) = |z|

Demostracion. La demostracion de la condicion necesaria es:

d(z e) = |z − e|= |z|

La condicion suficiente:

d(z z′) = d(z − z′ , e)

= |z − z′|

La asignacion de una denominacion especıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por lafrecuencia con que aparece en las formulas anteriores, sino tambien para resaltar el papel muy importanteque desempena en todo el algebra y analisis complejo.

Basta para ello mencionar que su empleo permite:

1.7. ESTRUCTURACION DE C COMO ESPACIO NORMADO 17

a. La definicion de la forma polar del numero complejo.

b. El hallazgo de metodos operativos mas sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicacion,division, potencia, radicacion y logaritmacion.

c. Establecer una norma sobre C

Todos estos conceptos seran desarrollados mas adelante.

El modulo de z, de acuerdo con la definicion es una aplicacion del conjunto de los complejos sobre losreales.

| | : C −→ R

(x y) 7−→√

x2 + y2

Las propiedades mas importantes del modulo de z son las detalladas en el parrafo anterior.A ellas conviene agregar:

|z| = |z′| ⇔ |z|2 = |z′|2

cuya demostracion es inmediata, y ademas:

Teorema 1.6.2. El modulo del producto es igual al producto de los modulos.

(zz′) ∈ C =⇒ |z P z′| = |z||z′|

Demostracion.

|z P z′|2 = (xx′ − yy′)2 + (xy′ + yx′)2

= x2x′2 + y2y′2 + x2y′2 + y2x′2

= (x2 + y2)(x′2 + y′2)

= |z|2|z′|2

1.7. Estructuracion de C como espacio normado

Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicacion sobre los reales nonegativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuacion:

(E K + · T P N) :=

(E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial)

N : E −→ R

x 7−→ N(x) :

N(x) = 0⇔ x = e

N(λx) = |λ|N(x)

N(xTy) 6 N(x) + N(y)

N(x) := Norma del vector x

A partir de las propiedades I, V I y V II del parrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funcion modulode z es efectivamente una norma.

| | : C −→ R

(x y) 7−→√

x2 + y2

}

=⇒ (E K + ·T P ) ∈ Estr. de espacio normado


En todo espacio normado, la funcion distancia d(zz′) = N(z− z′) lo estructura como espacio metrico.

d : C× C −→ R

(z z′) 7−→ N(z − z′)

}

=⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio metrico

La norma establece una elacion directa entre los espacios vectoriales y los espacios metricos.

La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operacionesvectoriales suma y producto externo.

1.8. Forma binomica de los complejos

1.8.1. Isomorfismos entre estructuras

Se dice que una aplicacion f del conjunto E sobre el conjunto E′ establece un isomorfismo entre lasestructuras (E T ) y (E′ T ′), donde T y T ′ son leyes de composicion interna definidas respectivamentesobre E y E′, cuando:

a. f es biyectiva

b. La composicion interna T ′ de la aplicacion de dos elementos de E sobre E′ es igual a la aplicacionsobre E′ de la composicion interna T de dichos elementos de E, es decir:

f(a T b) = f(a)T ′ f(b)

En resumen:

((E T ) (E′ T ′) f) ∈ Estructuras isomorfas :=

E = {abc . . .}T : E × E −→ E

E′ = {a′b′c′ . . . }T ′ : E′ × E′ −→ E′

f : E −→ E′

a 7−→ a′ :

{

f ∈ biyectiva

a T b 7−→ a′ T ′ b′

Ejemplo: La funcion logaritmo natural

L : R+ −→ R

x 7−→ L(x)

establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).

1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 19

Generalizando, una funcion f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E′ T ′ P ′)dotadas cada una de ellas con dos leyes de composicion interna, cuando:

((E T ) (E′ T ′) f) ∈ Estructuras isomorfas :=

E = {abc . . .}T : E × E −→ E

P : E × E −→ E

E′ = {a′b′c′ . . . }T ′ : E′ × E′ −→ E′

P ′ : E′ × E′ −→ E′

f : E −→ E′

a 7−→ a′ :

f ∈ biyectiva

a T b 7−→ a′ T ′ b′

a P b 7−→ a′ P ′ b′

1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda

componente nula

Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula.

C1 := {(x, 0)}

C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes

La funcion pr1 que se llamara primera proyeccion,

pr1 : C1 −→ R

(x, 0) 7−→ x

establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·).Teorema 1.8.1.

C1 = {(x, 0)}(x (x, 0)) ∈ pr1

}

=⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1) ∈ Estructuras isomorfas

Demostracion. Se demuestra en primer lugar que la relacion pr1 es una aplicacion biyectiva.

∀x ∃ (x, 0)

x = x′ ⇔{

x = x′

0 = 0

⇔ (x, 0) = (x′, 0)

Enseguida se vera como la aplicacion pr1 establece el isomorfismo.

x 7−→ (x, 0)

y 7−→ (y, 0)

x + y 7−→ (x, 0)T (y, 0) = (x + y, 0)

x · y 7−→ (x, 0)P (y, 0) = (x · y, 0)


Observacion 1: El par (x, 0) no es un numero real a pesar de que es frecuente denominarlo ası, en unevidente abuso de notacion.El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a traves del isomorfismo definido.

Observacion 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambienpuede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales atraves de la funcion:

pr2 : {(0, y)} −→ R

(0, y) 7−→ y

como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicacion.

1.8.3. Forma binomica de los numeros complejos

Todo numero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera com-ponente nula, respectivamente:

(x y) = (x 0)T (0 y)

Por el otro lado tambien se verifica

(0 y) = (y 0)T (0 1)

y entonces se concluye que un numero complejo puede ser representado como:

(x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1))

que es la llamada forma cartesiana o binomica de los numeros complejos.

Es conveniente tomar:

i := (0 1) i := Unidad imaginaria

Queda entonces:

(x y) = (x 0) T ((y 0) P i)

Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad dela existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iyoperados formalmente con las reglas del algebra de los numeros reales.

En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy,

B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R}

la funcion

f : C −→ B

(x y) 7−→ x + iy

establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composicion interna sobreel conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al algebra de los numeros reales.

1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 21

Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece senalarse unica-mente que es necesario convenir que:

i2 := −1

Observacion 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas dei porque sin distintas.Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales.

En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos

i = (0 1)

lo cual lleva a

i2 = i P i

= (−1, 0)

y por lo tanto de acuerdo a la Observacion 1 del parrafo 1.8.2

i2 6= −1

siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R:

pr1 : i2 7−→ −1

En el segundo caso, que no es una definicion operacional de elementos de C sino de entes de B, elsımbolo i2 representa a:

i2 = i · i

es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”:

i2 = −1

El planteo del isomorfismo de las estructuras es:

(C T P ) ∈ Cuerpo complejo

+ : B× B −→ B

((x + iy), (x′ + iy′)) 7−→ (x + x′) + i(y + y′)

· : B× B −→ B

((x + iy), (x′ + iy′)) 7−→ xx′ + ixy′ + iyx′ + yy′i2 =

(xx′ − yy′) + i(xy′ + yx′)

i · i 7−→ −1

f : C −→ B

(x y) 7−→ x + iy

=⇒ ((B + ·) (C T P ) f) ∈ Estr. isomorfas

La demostracion de este isomorfismo surge directamente de la definicion de las leyes de composicioninterna definidas sobre B.

La denominacion de forma binomica del numero complejo es justificada con claridad por el isomorfismodemostrado.


Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma binomica permite operar conlos numeros complejos como simples numeros reales, con la condicion de sustituir en la multiplicacion ai2 por −1.

Observacion 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nocionesdiferentes, tambien lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy.Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notacion. Esto no produce dificultades al operarcon complejos si se toman las precauciones del caso.

Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entrelas leyes de composicion interna complejas y reales, se usaran, por razones tradicionales, a partir de ahoralos signos + y · tambien para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones.

1.9. Representacion geometrica de los complejos

De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el numero real x y el punto x de unarecta, tampoco existe ninguna diferencia entre el numero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R×R.

Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distincion entre el “alge-bra”y la “geometrıa”.

La representacion geometrica de un numero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, esdecir, otra forma de escribirlos o representarlos.

Sin embargo, historicamente ha sido, y todavıa es, un modelo muy conveniente para estudiar e inter-pretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejosteniendo siempre presente su significado geometrico.

La representacion mas frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un planoque se denominara plano complejo.

Un numero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas:

x = Re(z) como abscisa

y = Im(z) como ordenada

Observacion 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas mas arriba, las palabras numerocomplejo y punto del plano son sinonimos.Tambien son equivalentes los terminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componentey ordenada, etc.; que se usaran indistintamente a lo largo del texto.

En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente.

De acuerdo a las convenciones establecidas para la representacion en coordenadas cartesianas , elcomplejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.

1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 23

y

x

z

y

x

(0 y) (x y)

(0 0) (x 0)

b

Figura 1.1: Representacion del complejo (x y) en el plano cartesiano.

Observacion 2: La denominacion de forma cartesiana como equivalente de la binomica surge evidentementede la representacion grafica de los complejos.

El origen de coordenadas representa al par (0 0)

Otra interpretacion del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y verticeen el punto (x y). La representacion polar permitira estudiar en detalle este nuevo enfoque.Esta simple observacion destaca como la representacion geometrica ayuda a estudiar las propiedades delnumero complejo. En este caso, la relacion entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentosorientados.

1.10. Forma Polar de un Numero Complejo. Propiedades

Los numeros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, ademas de las ya vistas.

Dada una funcion biyectiva

f : C −→ C

(x y) 7−→ (u v) : f ∈ biyectiva

Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundopar como una nueva forma o representacion del primer par.

En particular adquieren importancia por su facilidad de operacion la forma polar, y su derivada, laforma exponencial.

1.10.1. Forma Polar de un Numero Complejo

En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representacion geometrica, que cualquier par(x y) 6= (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son:

r := Distancia al origen de coordenadas

w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x

El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del numero complejo.

Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores:

{

r = 0

θ = θ1


donde θ1 es un numero real arbitrario.

La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el modulo de zestudiado en 1.6.3.

y

x

z

b

y

x

z

r

θ

Figura 1.2: Representacion del complejo z en coordenadas polares.

r := |z| = d(z e)

r := modulo de z

El modulo de z esta definido para cualquier numero complejo, aun el (0 0), por la aplicacion:

| | : C −→ R

(x y) 7−→ |z| =√

x2 + y2

ya estudiada anteriormente.

La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el angulo entre el segmento o z y el ejex. Debe elegirse entonces analıticamente, de manera que satisfaga el sistema:

{

r cos(θ) = x

r sen(θ) = y

A todos los valores de θ, raıces del sistema, se los llama argumento de z.

arg(z) := θ : θ ∈ arctan(y

x

)

arg(z) := argumento del complejo z

La solucion de este sistema, no esta unıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es solucion, tambien loes θ1 + 2kπ : k ∈ Z (angulos congruentes entre sı).Por lo tanto, para establecer una relacion uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe


asignarse un solo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera:

Arg : C− {(0 0)} −→ R

(x y) 7−→ Arg(z) =

− π + Arctan( y

x

)

x < 0, y < 0

− π

2x = 0, y < 0

Arctan( y

x

)

x > 0, ∀ y

π

2x = 0, y > 0

π + Arctan(y

x

)

x < 0, y > 0

Arg(z) := Determinacion principal del argumento de z o valor principal.

Esta determinacion llamada principal del argumento de z se identifica por el sımbolo Arg(z), encabe-zado con A (mayuscula).Observacion 1: La funcion

Arctan : R −→ (−π/2 , π/2)

x 7−→ Arctan(x)

escrita con A mayuscula, es por convencion la determinacion principal de la funcion multiforme (que porlo tanto no es una aplicacion) {x , arctan(x)}, relacion inversa de la tangente:

tan : R− {(n + 1/2)π : n ∈ Z} −→ R

x 7−→ tan(x)

En resumen, la transformacion biyectiva

f : C −→ C

(x y) 7−→ (r θ) =

(

√

x2 + y2 , Arg(z))

z 6= (0 0)

(0 , θ1) z = (0 0) , θ1 ∈ R

es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares deun punto del plano complejo.

A su vez, la funcion inversa de F es:

F−1 : C −→ C

(r θ) 7−→ (x y) = (r cos θ , r sen θ)

a partir de la cual puede deducirse la forma binomica a:

x + iy = r (cos θ + i sen θ)

llamada forma polar o forma trigonometrica del numero complejo.

Observacion 2: Para definir las coordenadas polares, podrıa elegirse cualquier otra determinacion delargumento de z, en vez de la principal, obteniendose resultados equivalentes.Las diferentes determinaciones tienen tambien su utilidad, como por ejemplo para el calculo de logaritmosy potencias complejas.


1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia

A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene:

(r θ) = (r′ θ′)⇔{

r = r′

θ = θ′

Es decir, la igualdad de dos numeros complejos es condicion necesaria y suficiente de la igualdad de susrespectivos modulos y argumentos.

Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia.Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes ; con distinta o igual determinaciondel argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa:

(r θ) , (r′ θ′) := r(cos θ + i sen θ) = r′(cos θ′ + i sen θ′)

(r θ) , (r′ θ′) := (r θ) es congruente con (r′ θ′)

La congruencia para z 6= (0 0) se reduce a la igualdad solo en el caso de la igualdad de los argumentos.Es decir que dos complejos expresados en forma polar con modulo no nulo (z 6= (0 0)) son congruentes,

cuando tienen los modulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π.

En el caso de que el modulo sea nulo, esta es condicion suficiente para la igualdad de dos complejos;con independencia del valor de los respectivos argumentos.

r 6= 0

(r θ) , (r′ θ′)⇔{

r = r′

θ = θ′

r = 0

(r θ) , (r′ θ′)⇔ r = r′ = 0

Observacion 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. Enalgunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo,puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o mas planoscartesianos (uno para cada determinacion) que geometricamente se tienen por superpuestos. Estos planosse llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biunıvoca aplicable paratrabajar con funciones multiformes.

1.10.3. Producto en forma polar. Cociente

Una primera aplicacion donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo:

r(cos θ + i sen θ) · r′(cos θ′ + i sen θ′) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ))

= r r′ (cos(θ + θ′) + i sen(θ + θ′))

donde se comprueba que:

I. El modulo del producto es igual al producto de los modulos, teorema ya demostrado en1.6.3

II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argu-mentos de los factores


Aquı, la suma de los argumentos puede cambiar la determinacion elegida, pero no afecta los resultadosen cartesianas. esto es un ejemplo de la ventaja de la creacion de artificios como los mencionados en laObservacion 3 de este apartado.En rigor, si se deseara mantener la determinacion principal para el argumento del producto, se debeconvenir:

Arg(z · z′) =

θ + θ′ − π θ + θ′ > π

θ + θ′ π > θ + θ′ > −π

θ + θ′ + π −π > θ + θ′

La forma polar tambien es de sencilla aplicacion para la obtencion del cociente de dos complejos, condivisor no nulo, donde se generaliza la expresion del producto

r′ 6= 0

r(cos θ + i sen θ)

r′(cos θ′ + i sen θ′)=

r

r′(cos(θ − θ′) + i sen(θ − θ′))

1.10.4. Potencia en forma polar. Radicacion

En el caso de potencia natural, aplicando la formula del producto y el principio de induccion completa,se obtiene:

(r(cos θ + i sen θ))n = rn(cosnθ + i sennθ)

expresion que puede generalizarse para todo n entero si se conviene:

z−1 :=1

z

La formula de la potencia se puede emplear tambien para la extraccion de la raız enesima de uncomplejo no nulo.En efecto, si un complejo r′(cos θ′ + i sen θ′) es raız enesima de otro complejo r(cos θ + i sen θ), estossatisfacen:

(r′(cos θ′ + i sen θ′))n = r(cos θ + i sen θ)

equivalente a un sistema en coordenadas polares, cuya solucion no es unica para n > 1 pues existendiversas determinaciones que lo satisfacen y que originan raıces diferentes:

{

r′n = r

nθ′ = θ + 2kπ k ∈ Z

se sigue{

r′ = r1/n

θ′ = θ+2kπn

a partir de la cual se obtiene la expresion de la raız,

(r(cos θ + i sen θ))1/n = r1/n (cosθ + 2kπ

n+ i sen

θ + 2kπ

n)

la cual produce numeros complejos diferentes para todo k ∈< 0, n− 1 >.Existen, por lo tanto, n raıces diferentes para un complejo no nulo; y son solamente n como se puedecomprobar analizando su congruencia.La ultima de las formulas halladas, permite generalizar la expresion de la potencia, ahora tambien paraexponentes fraccionarios.


1.10.5. Interpretacion geometrica de las operaciones complejas

Suma y diferencia

Dados dos complejos z y z′, representados como segmentos orientados, su suma z + z′ esta represen-tada por la diagonal del paralelogramo de acuerdo con el diagrama anexo.

La suma geometrica de dos numeros complejos se reduce entonces a la ley del paralelogramo.

La representacion de los complejos por medio de segmentos orientados permite observar claramentesu caracterıstica de estructura vectorial.

El significado geometrico de la diferencia de dos complejos es facil de interpretar a partir de la suma.En el segundo grafico se ha representado esta operacion.

Un buen ejercicio es analizar los significados geometricos del neutro de la suma y del opuesto de uncomplejo.

y

x

z

x

y

x′

y′

z′

z

z + z′

Figura 1.3: Representacion

geometrica de la suma de dos

complejos.

y

x

z

z′

z

z′ − z

Figura 1.4: Representacion

geometrica de la diferencia de dos

complejos.

Producto y cociente

El producto dedos complejos se puede representar recordando que:

a. El modulo del producto es el producto del modulo de los factores.

b. El argumento del producto es la suma del argumento de los factores.

A partir de esta construccion se obtiene tambien por analogıa la representacion del cociente.

Un caso particular de interes es la construccion de la recıproca de un complejo no nulo, que se deja acargo del lector.

1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 29

y

x

z z′

z′

r r′

zr

1

θθ′

θ

α

α

Figura 1.5: Representacion geometrica del producto de dos complejos.

Potencia y radicacion entera

La representacion grafica de la potencia es simplemente una aplicacion reiterada de la realizada parael producto.

Es de mayor interes el analisis de la radicacion.

Las n raıces enesimas no congruentes de un complejo (r θ) tienen:

a. Modulo: r1/n, igual para todas las raıces; lo que significa que se hallan sobre una circunfe-rencia de radio r1/n.

b. Argumento: θ+2kπn k ∈< 0, n − 1 >. Una raız tiene argumento θ/n, el resto se ubica sobre la

circunferencia en forma sucesiva con intervalos 2π/n.

En la figura 1.6 se han representado a tıtulo de ejemplo las raıces quintas de un complejo (r θ)

x

z0

z1

(r θ)

z2

z3

z4

r

r1/n

θ/5θ

2π/52π/5

Figura 1.6: Raıces quintas de un numero complejo z.

1.11. Forma exponencial de un numero complejo

Una nueva expresion de la forma polar, llamada forma exponencial, tiene gran importancia debido ala simplicidad operativa que entrana su empleo.Ejemplo de ello es que toda la trigonometrıa puede deducirse en forma inmediata de las propiedades dela forma exponencial. Otra aplicacion para destacar es la definicion del logaritmo y de la potencia en elcampo complejo, que se hace por medio de dicha forma exponencial.


1.11.1. Expresion de la forma exponencial

La base de la forma es la formula de Euler:

eiθ = cos θ + i sen θ

la cual permite introducir a la forma exponencial de un numero complejo como:

r eiθ := r(cos θ + i sen θ)

r eiθ := forma exponencial de un numero complejo

La validez de esta expresion se reduce a la discusion de la formula de Euler, que se hace a continuacion.

1.11.2. Definicion de la funcion ez

Los caminos para llegar a la formula de Euler son dos, basados ambos en la definicion de la funcioncompleja ez

Primer metodo de definicion de ez:

El primer metodo consiste en la definicion de la funcion ez por medio de una serie:

ez :=+∞∑

k=0

zk

k!= 1 +

z

1!+

z2

2!+ · · ·+ zn

n!+ . . .

que se estudiara en el capıtulo especıfico. Esta serie es entera, es decir convergente para cualquier com-plejo z.

A partir de la definicion se pueden verificar las propiedades:

z = x =⇒ ez = ex

que muestra como la exponencial compleja se reduce a la real cuando z tambien lo es. Ademas

∀ (z z′) =⇒ ez+z′

= ez · ez′

que es la propiedad fundamental de la funcion ez, llamada ley de los exponentes, que tambien es cumplidaen el campo real por la funcion ex.

Ambas propiedades muestran como con esta definicion de ez se obtiene un extension de la funcionreal ex al campo complejo, manteniendose sus principales propiedades.

Una tercera propiedad que se obtiene de la serie, tomando z = x + iy y recordando los desarrollos delas funciones reales cos y y sen y es la formula de Euler

∀ y =⇒ eiy = cos y + i sen y

Observacion 1: La introduccion de la formula de Euler para obtener la forma exponencial, se justifica porla gran simplicidad que implica su empleo en el producto complejo; donde se reduce dicha operacion alalgebra de los exponentes:

r(cos θ + i sen θ) · r′(cos θ′ + i sen θ′) = r eiθ ·r′ eiθ′

= r r′ ei(θ+θ′)

= r r′ (cos(θ + θ′) + i sen(θ + θ′))

1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 31

Esta es la razon del porque adelantar la definicion de ez como una serie.No debe pensarse por ello, sin embargo, que se ha caıdo en un cırculo vicioso, porque los desarrollosposteriores para llegar a dicha serie no son afectados por el uso que se hara de la forma exponencial.Esta forma puede ser considerada sencillamente como una expresion formal (una forma de escribir) de laforma polar, para ser usada como regla mnemotecnica en el producto de dos complejos.El segundo metodo se basa en un enfoque de esta ındole para definir la formula de Euler.

Segundo metodo de definicion de ez:

Las dificultades de la introduccion anticipada de una serie para definir ez se obvian con una definicionde tipo formal como la que sigue:

ez := ex(cos y + i sen y)

Las propiedades principales de ez deducidas anteriormente tambien se obtienen como corolario de estadefinicion:

z = x =⇒ ez = ex

∀ (z z′) =⇒ ez+z′

= ez · ez′

∀ y =⇒ eiy = cos y + i sen y

y ademas es en el capıtulo de series se podra demostrar que:

ez = 1 +z

1!+

z2

2!+ · · ·+ zn

n!+ . . .

Observacion 2: Hay otro razonamiento, de tipo heurıstico, para indicar la razonabilidad de este segundometodo de definicion de ez . Si se desea hacer una extension de la funcion real ez al campo complejo demodo tal que se mantengan las siguientes propiedades:

a. Para z real la funcion ez se reduce a ex.

b. Se mantiene la validez de la ley de los exponentes.

c. Se mantienen las propiedades formales de la derivacion del campo real en el campo complejo.

el problema se reduce a la definicion de la exponencial eiy (formula de Euler) por ser:

ex+iy = ex · eiy

de acuerdo con la ley de los exponentes y sabiendo que ex es la funcion de variable real conocida.Por ser eiy un numero complejo se tiene:

eiy = u(y) + iv(y)

derivando como en el campo real,

i eiy = u′(y) + iv′(y)

− eiy = u′′(y) + iv′′(y)

obteniendose entonces el sistema

{

u′′ + u = 0

v′′ + v = 0


Como para y = 0 ez se reduce a ex, y aplicando la ley de los exponentes

ex+i0 = ex

ei 0 = 1

de donde se deducen las siguientes condiciones iniciales,

{

u(0) = 1 u′(0) = 0v(0) = 0 v′(0) = 1

que aseguran al sistema de ecuaciones anterior a una solucion unica:

{

u(y) = cos y

v(y) = sen y

Este razonamiento por supuesto no es una demostracion, sino es una orientacion a la definicion de laexponencial eiy.

1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma expo-

nencial.

Empleando la forma exponencial; el producto, el cociente y la potencia entera en el conjunto de loscomplejos, adquieren su expresion mas reducida.

r eiθ ·r′ eiθ′

= r r′ ei(θ+θ′)

r eiθ

r′ eiθ′=

r

r′· ei(θ−θ′) (r′ 6= 0)

(r eiθ)n = rn ei nθ

(r eiθ)1n = r

1n ei( θ+2kπ

n )

formulas que se verifican facilmente por su reduccion a la forma polar y que son ejemplo de la facilidadde operacion que entrana la forma exponencial.

1.12. Conjugado de un complejo

Se define como conjugado de un numero complejo z a otro numero complejo, simbolizado por z, deigual parte real y parte imaginaria opuesta.

z := (x,−y)

z := Conjugado de z

La funcion conjugado de z, definida por:

− : C −→ C

z 7−→ z = (x,−y) = x− iy

es biyectiva y ademas cumple

I. z1 + z2 = z1 + z2

1.12. CONJUGADO DE UN COMPLEJO 33

II. z1 · z2 = z1 · z2

con lo cual establece un isomorfismo entre el cuerpo (C + ·) y sı mismo.

Otras propiedades para destacar del conjugado de un complejo son:

III. z = z

IV. z + z = 2x

V. z − z = i 2x

VI. z z = |z|2

VII. z′

z = z′·z|z|2

VIII. Pn(x) =∑n

k=0 ak zk : ak ∈ R =⇒ Pn(z) = Pn(z)

Graficamente, el conjugado de un complejo z es el simetrico respecto del eje x.

Y

Xx

z

z

r

r

y

−y

Figura 1.7: Conjugado de un numero complejo.

En coordenadas polares, el conjugado es el complejo de igual modulo y argumento opuesto. Por lotanto para la forma exponencial resulta:

z = r eiθ ⇔ z = r e−iθ

La nocion de complejo conjugado aparece en la resolucion de ecuaciones algebraicas con coeficientesreales, donde las raıces o son reales, o son complejas conjugadas.

Ademas de esta aplicacion, el conjugado se introduce por la comodidad que implica su empleo en lasoperaciones de producto y cociente de acuerdo a las propiedades VI y VII.

Capıtulo 2

Elementos de Topologıa en el Campo

Complejo

Como ha sido desarrollado en el parrafo 1.6, el conjunto de los complejos C conforma estructura deespacio metrico.

Mas en particular, es un espacio euclıdeo; al definirse sobre el una distancia de acuerdo con la expresionpitagorica que caracteriza dichos espacios.

De este hecho se arrastra entonces que en C puede construirse una estructura topologica, que acopladaa la caracterıstica de cuerpo, permite llegar al desarrollo de los conceptos de continuidad y diferencial.

Es conveniente, por lo tanto, analizar la aplicacion de los elementos basicos de topologıa al campocomplejo.

2.1. Definicion de bola

En un espacio metrico general se define como bola de centro c y radio r, cuyo sımbolo es B(c r), a:

B(c r) := {x : d(x c) < r , r > 0}

B(c r) := Bola de centro c y radio r

d(x c) := Distancia del elemento x al elemento c

b

c

r

B(c r)

Figura 2.1: Bola de centro c y ra-

dio r.

En particular, en el campo complejo

B(c r) = {z : |z − c| < r , r > 0}

se llama tambien disco, y desde el punto de vista geometrico representa un cırculo de centro en elcomplejo c y radio r, sin la circunferencia |z − c| = r.

Observacion: Conviene senalar que en la definicion de bola (tambien llamada bola abierta) es indispensableque las desigualdades sean estrictas (r > 0 y d(x c) < r), porque en caso contrario carecerıan de sentidolas definiciones posteriores de puntos interiores, exteriores y fronteras, como ası tambien las definicionesde puntos de acumulacion y aislados, con todas las consecuencias resultantes.

35

36 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOGIA EN EL CAMPO COMPLEJO

De la definicion de bola se implica inmediatamente que su centro siempre le pertenece y por lo tantoella es un conjunto no vacıo.

∃B(c r) =⇒ c ∈ B(c r)

=⇒ B(c r) 6= ∅

2.2. Entorno de un punto c

Se llama entorno de un punto c a todo conjunto del espacio metrico (y en particular C) que contengauna bola de centro c.

b

c

r

U(c)

Figura 2.2: Entorno

de un punto c.

U(c) ∈ Entorno de c := ∃B(c r) : B(c r) ⊂ U(c)

De esta definicion se extraen dos consecuencias inmediatas:

a. Toda bola B(c r) es un entorno de c.

∃B(c r) =⇒ B(c r) ∈ Entorno de c

b. La existencia de un entorno de c es condicion necesaria y suficiente de la existencia de unabola de centro c.

∃ U(c)⇔ ∃B(c r)

2.3. Vecinal de un punto c

Se llama vecinal (o tambien entorno reducido) de un punto c, en un espacio metrico (en particularC), a todo entorno de c al cual se le excluye el mismo punto c.

2.4. CLASIFICACION DE PUNTOS: INTERIORES, EXTERIORES Y FRONTERA 37

bcc

r

V (c)

Figura 2.3: Vecinal

de un punto c.

V (c) := U(c)⋂

C ◦ {c}

V (c) := Vecinal de c

C ◦ {c} := Conjunto complementario de {c}

Observacion 1: Es usual representar a A⋂

C ◦ {c}, por la notacion de conjuntos

A−B := A⋂

C ◦ {c}

con ella la notacion de vecinal se expresarıa:

V (c) = U(c)− {c}

Observacion 2: Se ha preferido el empleo del termino vecinal (del frances “voisinage”), en vez del mascomun entorno reducido, porque este ultimo puede inducir a error.

En efecto, cuando a un sustantivo se agrega un adjetivo, se establece una subclase particular de la clasegeneral definida por dicho sustantivo. Ejemplo: Conjunto definido por el sustantivo: hombre. Subconjuntodefinido por el sustantivo y el adjetivo: hombres altos.

Sin embargo, este no es el caso de los entornos reducidos, pues no son entornos.

Observacion 3: A diferencia de los entornos que nunca pueden ser vacıos, los vecinales si pueden serlo

2.4. Clasificacion de puntos: Interiores, exteriores y frontera

Los puntos de un espacio metrico E pueden ser clasificados como: puntos interiores, puntos exteriores

o puntos frontera de un conjunto A (incluido en E) segun la relacion de inclusion que puede establecerseentre los entornos del punto y el conjunto A.

Las definiciones son las siguientes:

Un punto se dice que es interior a un conjunto, cuando existe un entorno suyo que es parte del con-junto. Es decir, existe un entorno del punto en el cual todos sus puntos pertenecen al conjunto.

Un punto se dice que es exterior a un conjunto cuando existe un entorno suyo, que es parte del com-plemento de dicho conjunto en el espacio metrico considerado. Es decir, existe un entorno del punto queno contiene ningun punto del conjunto.

Un punto se dice que es frontera de un conjunto (al cual puede o no pertenecer) cuando no existeningun entorno del punto incluido totalmente en el conjunto o en su complemento. Esto quiere decir que


en todo entorno de un punto frontera, hay puntos del conjunto y puntos del complemento del conjunto.

(E d) ∈ Estr. Espacio Metrico

A ⊂ E

a ∈ Punto interior de A := ∃ U(a) : U(a) ⊂ A

a ∈ Punto exterior de A := ∃ U(a) : U(a) ⊂ C ◦A

a ∈ Punto frontera de A := ∄ U(a) :

{

U(a) ⊂ A

U(a) ⊂ C ◦A

En el esquema adjunto se han representado ejemplosde los distintos tipos de puntos en el plano complejo.Debe observarse que el conjunto A (representado encolor) consta de tres “partes”, una de ellas reducidaa un punto.Los centros de los entornos en los puntos considera-dos se han representado con punto negro en el casode que pertenezcan a A, y con punto rojo en casocontrario.

Ab

b

b

b

b

Pt. frontera

Pt. interior Pt. exterior

Figura 2.4: Clasificacion de puntos en un espacio metri-

co.

Observacion 1: La nocion de interior establecida a traves de la definicion de punto interior, es relativa alespacio dentro del cual se define. Por ejemplo, el centro de un cırculo plano (conjunto A) es un puntointerior del mismo si se toma como espacio metrico de referencia al plano mencionado, pero no es unpunto interior del conjunto A si se toma como espacio de referencia a R3.

Observacion 2: Conviene remarcar que un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto del cual esfrontera.

La clasificacion de puntos introducida permite ahora definir:

A los conjuntos formados por los puntos interiores, exteriores y frontera, se los llama respectivamente,

2.5. ADHERENCIA 39

Interior, Exterior y Frontera del conjunto A.

INT (A) := {a : a ∈ Pt. interior a A}EXT (A) := {a : a ∈ Pt. exterior a A}

FR(A) := {a : a ∈ Pt. frontera a A}

INT (A) := Conjunto de puntos interiores a A

EXT (A) := Conjunto de puntos exteriores a A

FR(A) := Conjunto de puntos frontera a A

Estos tres conjuntos son una particion del conjunto E porque:

INT (A) ∩ EXT (A) = ∅EXT (A) ∩ FR(A) = ∅FR(A) ∩ INT (A) = ∅INT (A) ∪ EXT (A) ∪ FR(a) = E

De esta manera se comprueba que la clasificacion de puntos de un espacio metrico en interiores, exterioresy frontera, es exhaustiva.

Las propiedades resultantes de las anteriores definiciones son:

I. INT (A) ⊂ A

(a ∈ Pt. int. A =⇒ a ∈ A)

II. EXT (A) = INT (C ◦A)

III. EXT (A) ⊂ C ◦A

IV. A⋂

C ◦ (INT (A)) = FR(A)

a ∈ A

a /∈ Pt. int. A

}

=⇒ a ∈ Pt. fr. A

V. FR(A) = FR(C ◦A)

VI. FR(E) = ∅FR(∅) = ∅

2.5. Adherencia

Un elemento de un espacio metrico E se dice que es punto de adherencia de un conjunto A ⊂ Ecuando cualquier entorno suyo contiene puntos del conjunto A.


A ⊂ E

a ∈ Punto de adherencia de A := ∀U(a) =⇒ U(a)⋂

A 6= ∅

Al conjunto de los puntos de adherencia de un conjunto A se lo llama Adherencia de A.

ADH(A) := {a : a ∈ Pt. de adherencia de A}

ADH(A) := Conjunto de los puntos de adherencia de A


Algunas propiedades que se pueden extraer de las definiciones son:

I. A ⊂ ADH(a)

II. INT (A) ⊂ ADH(A)

III. FR(A) ⊂ ADH(A)

IV. EXT (A)⋂

ADH(A) = ∅V. EXT (A)

⋃

ADH(A) = E

VI. ADH(A) = INT (A)⋃

FR(A)

VII. FR(A) = FR(ADH(A))

VIII. FR(A) = ADH(A)⋂

ADH(C ◦A)

IX. ADH(A) = ADH(ADH(A))

X. ADH(E) = EADH(∅) = ∅

XI. A ⊂ B =⇒ ADH(A) ⊂ ADH(B)

XII. ADH(A⋃

B) = ADH(A)⋃

ADH(B)

XIII. ADH(A⋂

B) = ADH(A)⋂

ADH(B)

2.6. Clasificacion de puntos de adherencia

Los puntos de adherencia de un conjunto A ⊂ E se clasifican en dos tipos: puntos de acumulacion ypuntos aislados.

Estos conceptos tienen particular importancia por su aplicacion en la definicion de lımite y conver-gencia, como ası en otros temas que se trataran en el texto.

Esta segunda clasificacion para los puntos de un espacio metrico (reducida a los puntos de adherencia)se caracteriza porque se realiza de acuerdo a la relacion de inclusion que puede establecerse entre losvecinales de un punto y el conjunto A.

La clasificacion realizada en 2.4 tenıa en cuenta los entornos de un punto en vez de los vecinales.

Un punto se dice que es de acumulacion de un conjunto A, cuando la interseccion de cualquier vecinalsuyo con el conjunto A no es vacıa. Es decir, en todo vecinal del punto de acumulacion hay puntospertenecientes al conjunto A. Es claro que todo punto de acumulacion es de adherencia.

Un punto perteneciente al conjunto A se dice que es aislado cuando existe un vecinal suyo cuyainterseccion con A es vacıa. Esto significa que existe un vecinal del punto que no contiene ningun puntodel conjunto A.


A ⊂ E

a ∈ Pt. de acumulacion de A := ∀V (a) =⇒ V (a) ∩A 6= ∅

a ∈ Pt. aislado de A :=

{

a ∈ A

∃V (a) : V (a) ∩A = ∅

2.6. CLASIFICACION DE PUNTOS DE ADHERENCIA 41

Observacion 1: La nocion de punto de acumulacionnos es relativa al espacio dentro del cual se define(comparar con Observacion 1 del punto 2.4)Un punto que tiene esa cualidad, la mantiene si seextiende el espacio a un superconjunto del primero.Las definiciones que se han introducido de punto deacumulacion y punto aislado permiten ahora creardos nuevos conjuntos:

Ab

b

b

b

b

Pt. acumulacion

Pt. aislado

Figura 2.5: Puntos aislados y puntos de acu-

mulacion del conjunto A.

ACUM(A) := {a : a ∈ Pt. acumulacion de A}AISL(A) := {a : a ∈ Pt. aislado de A}

ACUM(A) := Conjunto de puntos de acumulacion de A

AISL(A) := Conjunto de puntos aislados de A

Observacion 2: El conjunto de puntos de acumulacion de A suele llamarse tambien derivado de A, otambien clausura de A.

Las propiedades que se desprenden de las definiciones son:

I. INT (A) ⊂ ACUM(A)

II. EXT (A) ⊂ ACUM(C ◦A)

III. EXT (A)⋂

ACUM(A) = ∅IV. ACUM(A) ⊂ ADH(A)

V. AISL(A) ⊂ FR(A)

VI. AISL(A) ⊂ ADH(A)

VII. ACUM(A)⋂

AISL(A) = ∅VIII. ACUM(A)

⋃

AISL(A) = ADH(A)

IX. ACUM(E) = E

X. ACUM(∅) = ∅XI. AISL(E) = ∅

XII. AISL(∅) = ∅Las propiedades VII a VIII aseguran que los conjuntos ACUM(A) y AISL(A) son una particion delconjunto ADH(A). Esto permite escribir el siguiente teorema:

{

a ∈ Pt. adherencia de A

a ∈ Pt. acumulacion de A⇔ a /∈ Pt. aislado de A

De esta manera se verifica que la clasificacion de puntos de la adherencia en acumulacion y aislados esexhaustiva. Ademas de esto, no debe olvidarse que los puntos de adherencia se pueden dividir en interioresy frontera.


2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

La condicion de abierto y/o cerrado de un conjunto definido en un espacio metrico, se introduce paraestablecer una caracterıstica de su frontera. En el primer caso, ningun punto de la frontera pertenece alconjunto, en el segundo caso le pertenecen todos.

Se define entonces:

Un conjunto se llama abierto si ningun punto de su frontera le pertenece.

Un conjunto se llama cerrado si todos los puntos de su frontera le pertenecen.

A ∈ Ab := FR(A) ∩A = ∅A ∈ Cr := FR(A) ∩A = FR(A)

A ∈ Ab := A es un conjunto abierto

A ∈ Cr := A es un conjunto cerrado

Observacion 1: Esta clasificacion no es exhaustiva, nidebe pensarse que ambas caracterısticas no puedencumplirse simultaneamente.En efecto, si un conjunto no es abierto, no significaque sea cerrado, y viceversa,

A /∈ Ab ; A ∈ Cr

A /∈ Cr ; A ∈ Ab

Abierto Cerrado

No abierto y no cerrado

Figura 2.6: Clasificacion de conjuntos segun contengan

o no a sus fronteras.

Basta analizar para ello que si la frontera esta compuesta por puntos del conjunto y por puntos delcomplemento, no es ni abierto ni cerrado el conjunto en cuestion.En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de conjunto abierto, otro cerrado y un tercero que no es ni lo unoni lo otro.Por otro lado, existen conjuntos que son abiertos y cerrados simultaneamente. Son los que no tienenfrontera: el universo E y el conjunto vacıo ∅.

Observacion 2: Los conceptos de conjunto abierto y cerrado dependen del espacio metrico E, pues deacuerdo con la Observacion 1 realizada en 2.4 la nocion de interior es relativa al espacio de referencia E.Por ejemplo, en una extension del espacio E, un punto interior se puede transformar en frontera, segunel caso mencionado en 2.4.

Observacion 3: La terminologıa usada por los textos en toda esta tematica es todavıa muy diversificada.En cada caso se aconseja precisarla para evitar confusiones. Un sinonimo de conjunto cerrado es conjunto

completo.

2.8. CONJUNTO ACOTADO Y CONJUNTO COMPACTO 43

Algunos teoremas que el lector puede demostrar como ejercicio son:

A ∈ Ab⇔ A = INT (A)

⇔ FR(A) ⊂ C ◦A

A ∈ Cr ⇔ A = ADH(A)

⇔ A = ACUM(A)

⇔ FR(A) ⊂ A

A ∈ Ab

B ∈ Ab

}

=⇒ A ∪B ∈ Ab

=⇒ A ∩B ∈ Ab

A ∈ Cr

B ∈ Cr

}

=⇒ A ∪B ∈ Cr

=⇒ A ∩B ∈ Cr

A ∈ Ab⇔ C ◦A ∈ Cr

Es interesante ver tambien como se caracterizan, de acuerdo con las definiciones de conjunto abiertoy cerrado, algunos de los conjuntos creados en los parrafos precedentes

B(c r) ∈ Ab

INT (A) ∈ Ab

EXT (A) ∈ Ab

FR(A) ∈ Cr

ADH(A) ∈ Cr

ACUM(A) ∈ Cr

AISL(A ∈ Cr

Observacion 4: Como se ha visto, toda bola de un espacio metrico es un conjunto abierto. Esta es la razonpor la cual tambien suele designarse como bola abierta.

2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto

Un conjunto de un espacio metrico se llama acotado si existe una bola B(c r), de radio finito, que locontenga.

Visto de otra manera, un conjunto es acotado cuando el supremo de la distancia entre dos cualesquierade sus puntos esta acotado.

A ∈ Acotado := ∃B(c r) :

{

r < k

A ⊂ B(c r)

A ∈ Acotado⇔ sup[ d(z z′) ] < r : (z z′) ∈ A2


Los conjuntos cerrados y acotados juegan un papel muy importante por sus propiedades particulares.Por esta razon se los designa con el nombre de compactos.

A ∈ Compacto :=

{

A ∈ Cr

A ∈ Acot

Si un conjunto es compacto y esta incluido en un abierto, entonces para todo punto del compactopuede construirse una bola con centro en ese punto y que este contenida en el abierto

A ∈ Compacto

D ∈ Ab

A ⊂ D

=⇒ ∀ x ∈ A ∃B(x r) ⊂ D

Este teorema no es cierto para los conjuntos no acotados y tampoco para los conjuntos que no son cerrados.

En los conjuntos compactos se pueden generalizar los teoremas de funciones continuas de una variablereal definidas sobre un intervalo determinado, a funciones reales de varas variables y continuas, definidassobre un compacto.

Por ejemplo, una funcion f real y continua definida sobre un compacto A cumple:

f esta acotada

f alcanza su maximo y su mınimo absoluto en el compacto A.

f es uniformemente continua en A.

2.9. Infinito en el Campo Complejo

2.9.1. Concepto de punto infinito en C

Para analizar el comportamiento de funciones devariable compleja en el lımite, para valores no aco-tados de la variable, resulta conveniente introducirdos nuevas definiciones: el infinito complejo y elentorno de infinito.

Con ellas se pueden generalizar, en primer lugar,las definiciones conjuntistas de lımite y continui-dad, y posteriormente se aprovechan tambien parala extension de otros conceptos de variable compleja.

b

r

|z| > r

Figura 2.7: |z| > r.

La base del razonamiento para crear los nuevos conceptos, es que el conjunto

{z : |z| > r}

puede ser asimilado y tratado como una bola del conjunto C por medio del artificio de crear un nuevoente llamado infinito complejo o punto infinito, que no es un elemento de C.

2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO 45

Uno de los medios para definir el punto infinito es a traves de la funcion inversion:

inv : C−{0} −→ C−{0}z 7−→ 1/z

definida sobre todo el campo complejo excepto el origen de coordenadas.

Esta funcion es una biyeccion de C−{0} a C−{0}, y tiene la propiedad de transformar a:

Cırculos del plano z en cırculos del plano w cuando el origen de coordenadas es exterior al primero.

Cırculos del plano z en conjuntos exteriores a un cırculo en el plano w, cuando el origen de coorde-nadas es interior al primero.

En la figura 2.8 se han representado dos ejemplos de la transformacion que produce la inversion.

En particular, el segundo caso muestra como el cırculo |z| < a se convierte en el conjunto |z| > 1/a,por supuesto que hacemos excepcion del origen.

A −→ A′

FR(A) −→ FR(A′)

B −→ B′


y

x

z

AB

v

u

w

A′B′

y

x

z

A

B

|z| < a

v

u

w

B′

A′

|z| > 1/a

Figura 2.8: Diversos conjuntos transformados mediante la funcion inversion.

El analisis geometrico indica que un medio de interpretar a |z| > r como un cırculo (bola del planocomplejo) es introduciendo dos definiciones:

a. Se introduce un nuevo ente ideal, no representable, llamado punto infinito que es el correspondientedel origen de coordenadas a traves de la funcion inversion.

b. Se considera que la parte “exterior”de un cırculo es tambien un cırculo.

De esta manera, la funcion inversion se generaliza, pudiendo enunciarse entonces: “Todo cırculo queno tiene por frontera el origen se transforma en otro cırculo”.

Ademas, la inversion da el medio de reducir el estudio de las funciones para valores no acotados de lavariable al entorno de 0.

Desde el punto de los espacios metricos, la idea anterior significa una extension de los conceptos debola y de entorno para el campo complejo. El planteo analıtico es:


1o Se define un nuevo ente (que no es un elemento de C) simbolizado por ∞, y llamado punto infinito,de manera tal que generalice la inversion de la siguiente forma:

∃ ∞ : Inv : C ∪ {∞} −→ C ∪ {∞}

z 7−→

1/z z 6= 0, z 6=∞∞ z = 00 z =∞

∞ := Punto infinito o punto impropio

Esta funcion tambien es biyectiva

2o Se define bola de centro en ∞:

B(∞ r) := {z : |z| > r}

Con esta definicion se extienden automaticamente los conceptos de entorno y de vecinal al puntoinfinito, siempre en el conjunto C ∪ {∞}.Cabe senalar, sin embargo, que V (∞) esta compuesto totalmente por puntos de C y por ende esuna nocion aplicable en ese conjunto.

2.9.2. Conjunto Complejo Extendido

Se llama conjunto complejo extendido a:

C := C ∪ {∞}

C := Conjunto complejo extendido

Algebraicamente, se puede intentar extender las definiciones de suma y producto a C, postulando:

∀ a ∈ C ∞+ a = a +∞ =∞ z/∞ = 0

b 6= 0 ∞ · b = b · ∞ =∞ z/0 =∞

Quedan sin definir ∞+∞ y 0 · ∞, porque se vulnerarıan las leyes de la aritmetica. De todos modos,estas definiciones son de relativa eficacia porque el conjunto C no alcanza ni la estructura de espaciovectorial ni la estructura de cuerpo.

2.9.3. Esfera de Riemann

Los conceptos de punto infinito, conjunto complejo extendido, entorno y vecinal de infinito puedenser concebidos a traves de una equivalencia que puede establecerse entre el plano complejo y una esferatangente a el, llamada esfera de Riemann.

La equivalencia se establece en lo siguientes terminos:


Si se proyectan, con centro en N , los puntos de la es-fera sobre el plano, se define una aplicacion biyectivaentre los puntos de la esfera (exceptuando el puntoN) y los puntos del plano.

f : Esf−{N} −→ C

Z 7−→ z b

b

N

Z

z

x

y

Figura 2.9: Esfera de Riemann.

Esta aplicacion puede extenderse tambien a N si se define un nuevo elemento arbitrario que le corres-ponde, es decir, el punto infinito.

f : Esf −→ C

Z 7−→{

z Z 6= N∞ Z = N

Las caracterısticas mas destacadas de esta correspondencia son:

I. La esfera tambien es un espacio metrico, provisto de una distancia definida por la geodesica entredos puntos (mınima distancia).

II. A circunferencias en el plano C le corresponden circunferencias sobre la esfera que no pasan por N .

III. A un entorno del punto z del plano C, le corresponde un entorno del punto Z (aplicacion de z) dela esfera de Riemann.

N

x

y

Figura 2.10: Proyeccion estereografica de

una circunferencia que no pasa por el origen

de coordenadas.

N

x

y

b

b

b

b

Figura 2.11: Proyeccion estereografica de una circunfe-

rencia que pasa por el origen de coordenadas.

Esta ultima es la propiedad mas importante y se hace una de ella cuando se desea interpretar a unentorno del punto infinito a traves de la equivalencia plano complejo - esfera de Riemann.

En la figura 2.11 se muestra como un casquete esferico con centro en el punto N (bola del espaciometrico constituido por la esfera) se transforma en una bola del plano complejo con centro en el puntoinfinito.


Si el casquete esferico no contiene a N se transforma en un cırculo plano.

Observacion 1: La proyeccion usada se llama estereografica, y por esta razon a la esfera de Riemann se lasuele llamar tambien esfera estereografica.

2.9.4. Diversas acepciones de “infinito”

La palabra “infinito”tiene una gran variedad de acepciones en el lenguaje matematico y en el lenguajecorriente.

El infinito complejo no debe ser confundido po lo tanto con otros significados dados de “infinito”.Algunos de los diferentes sentidos que se le atribuyen son:

1o Dado un conjunto D incluido en R, se dice que tiene cota superior k si:

D ⊂ R

k ∈ cota sup. D := ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ D =⇒ x 6 k

Se dice que el conjunto D tiene extremo superior infinito cuando no esta acotado.

Esta primera acepcion de infinito se refiere a una propiedad de un conjunto real, la de no estaracotado.

Este concepto puede ser generalizado a cualquier conjunto ordenado y por lo tanto no puede serloen el campo complejo. Analogamente, puede decirse que un conjunto D real tiene por extremoinferior a menos infinito cuando no existe cota inferior.

2o Una segunda definicion de infinito se emplea al agregar al conjunto de los reales des elementosnuevos llamados mas infinito (+∞ )y menos infinito (−∞), para conformar el conjunto de los

reales extendidos, simbolizado por R.

Se establece convencionalmente la extension de la suma y el producto a R.

∀ x ∈ R −∞ < x < +∞

∀ x ∈ R x + (+∞) = (+∞) + x = +∞x + (−∞) = (−∞) + x = −∞

x− (+∞) = −(+∞) + x = −∞x− (−∞) = −(−∞) + x = +∞

x

+∞ =x

−∞ = 0

x > 0 x · (+∞) = (+∞) · x = +∞x · (−∞) = (−∞) · x = −∞

x < 0 x · (+∞) = (+∞) · x = −∞x · (−∞) = (−∞) · x = +∞

Quedan sin definir entre otros +∞+ (−∞) y 0 · (+∞).

Esta interpretacion de “infinito”tiene un paralelo con la vista en 2.9.2 pero son concepciones dis-tintas. Basta ver para ello que para pasar del C al C se crea un solo elemento, el infinito complejo,mientras que en el caso de extender R a R se crean dos: mas infinito y menos infinito.

Tampoco en el caso de R se alcanza la estructura de cuerpo.


3o Un tercer empleo de la palabra infinito se hace en la frase “x tiende a +∞”, la cual no tiene depor sı ningun significado particular. En el contexto de “f(x) tiende al lımite L cuando x tiende a+∞”quiere decir que los valores para los cuales se analiza la variable independiente, pertenecen aconjuntos del tipo x > k.

Como corolario de este parrafo se aconseja no usar desprejuiciadamente el termino “infinito”, y esconveniente precisar en cada caso su significado.

Capıtulo 3

Funciones de Variable Compleja.

Continuidad y Lımite

3.1. Funciones de variable compleja

Se llama funcion de variable compleja a una aplicacion cuyo dominio D y rango R son subconjuntosde C.

La notacion habitual para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D yw = (u v) para un elemento de R.

f ∈ func. var. compleja :=

D ⊂ C

R ⊂ C

f : D −→ R

z=(x y) 7−→ w=(u v)=f(z)

Se desprende de la definicion que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales dedos variables.

f : z 7−→ f(z) = u(x y) + i v(x y)

Observacion 1: Para designar a las funciones de variable compleja es usual tambien emplear el termino“funcion compleja”.

3.2. Interpretacion geometrica

El analisis geometrico de las funciones de variable compleja requiere de cuatro dimensiones: dos parala variable z y dos para la variable w.

Una solucion para ello es representar los elementos del dominio de la funcion sobre un plano (llamado|z ) y los elementos del rango sobre otro plano (llamado |w ).

51

52 CAPITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y LIMITE

y

x

zv

u

w

A zγ

b

A′

w

Γ

b

f(z)

Figura 3.1: Transformacion de regiones en R2 mediante una funcion de variable compleja.

De esta manera puede decirse que una funcion de variable compleja establece una relacion entre unpunto z del plano |z y un punto w del plano |w .

Una forma de caracterizar geometricamente a las funciones de variable compleja es a traves de larepresentacion de las transformaciones que produce a curvas y conjuntos en general, de un plano a otro.

Esta representacion es util para resolver diversos problemas fısicos de campos y potenciales.

Ejemplo: Para analizar un caso determinado, se elige la funcion:

f : C −→ C

z 7−→ z2 = x2−y2 + i 2xy

que define el sistema:{

u = x2−y2

v = 2xy

Para caracterizar la transformacion se eligen dos familias de rectas, la primera de las paralelas al ejey (familia γ1), y la segunda de las paralelas al eje x (familia γ2).

La funcion z2 transforma las familias γ1 y γ2 del plano |z en las familias Γ1 y Γ2, respectivamente,del plano |w , que representan familias de parabolas como se demuestra a continuacion.

γ1

x = k

y = y

y ∈ R

z2

−→ Γ1

u = k2−y2

v = 2ky

y ∈ R

=⇒

u = k2− v2

4k2k 6= 0

{

u 6 0

v = 0k = 0

γ2

x = x

y = k

x ∈ R

z2

−→ Γ2

u = x2−k2

v = 2kx

x ∈ R

=⇒

u =v2

4k2− k2 k 6= 0

{

u > 0

v = 0k = 0

La funcion z2 transforma rectangulos del plano |z en rectangulos de lados parabolicos en el plano |w.Se mantienen los angulos salvo en el caso cuando z = 0.

3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTERISTICAS Y EJEMPLOS 53

Este hecho no es casual, es una propiedad general de ciertas funciones complejas que se estudiaran enlos proximos capıtulos.

El lector puede verificar que las familias Γ1 y Γ2 son ortogonales entre sı.

y

x

z

v

u

w

γ2

γ1

A

b

b

A′

Γ2

Γ1

Figura 3.2: Transformacion de caminos mediante la funcion f(z) = z2.

3.3. Funciones de variable compleja. Caracterısticas y ejemplos

3.3.1. Caracterısticas

Se definen algunas propiedades de las funciones complejas.Sea una de estas,

f : D −→ R

z 7−→ f(z)

entonces se define como funcion acotada a aquella cuyo modulo tiene cota superior.

f ∈ Acotada := ∃ k ∈ R : ∀ z ∈ D =⇒ |f(z)| < k

k := Cota del modulo de la funcion

Se llama funcion periodica de perıodo T a aquella que cumple:

f ∈ Periodica := ∃ T ∈ C : f(z + T ) = f(z)


3.3.2. Ejemplos

En el transcurso del texto ya se han visto diversas funciones complejas como:

Parte real

Parte imaginaria

Modulo de z

Argumento de z

Conjugado de z

Inversion

las que se completaran con algunas otras de empleo frecuente:

Constante

Cte : C −→ C

z 7−→ k= w

Polinomio complejo de grado n

Pn : C −→ C

z 7−→n∑

k=0

ak zk = Pn(z) n ∈ N0 , an 6= 0

Esta definicion es una extension de los polinomios reales. Como en ese caso n se llama grado delpolinomio.

Funcion racional

Rac : C−{r : Qm(r) = 0} −→ C

z 7−→ Pn(z)

Qnz

La funcion racional esta definida entonces por el cociente de dos polinomios con dominio valida solopara aquellos complejos que no anulan el denominador.

Exponencial

La definicion de la funcion exponencial ha sido discutida detalladamente en el apartado 1.11.2.Si se sigue la segunda orientacion allı presentada, se tiene:

exp : C −→ C

z 7−→ ez = ex cos y + i sen y

3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTERISTICAS Y EJEMPLOS 55

definicion valida sobre todo el campo complejo, como extension de la funcion exponencial real.

Algunas de las propiedades para destacar son:

Re(ez) = ex cos y

Im(ez) = ex sen y

| ez | = ex

arg(ez) = y

ez = ez

1

ez= e−z

∄ z : ez = 0

ez = 1 =⇒ z= i 2kπ k ∈ Z

La exponencial compleja es periodica con perıodo T = 2πi

Funciones trigonometricas

A partir de la funcion exponencial pueden extenderse al campo complejo las funciones trigonometricasreales:

sen : C −→ C

z 7−→(

eiz − e−iz)

2i

cos : C −→ C

z 7−→(

eiz + e−iz)

2

Las demas funciones trigonometricas, tangente, cotangente, secante y cosecante se definen a partir delas anteriores, formalmente igual a sus homonimas reales.

El desarrollo de la funcion sen en forma binomica es:

sen z =e−y

2i(cosx + i senx) − ey

2i(cos x− i senx)

= sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y)

de donde se implica que es una funcion no acotada.

Para estas funciones se prueba:

sen2 z + cos2 z = 1

sen(z + z′) = sen(z) cos(z′) + cos(z) sen(z′)

cos(z + z′) = cos(z) cos(z′)− sen(z) sen(z′)

ademas, tanto sen z como cos z tienen perıodo real 2π.


Funciones hiperbolicas

Como extension de las funciones homonimas reales se define en el plano complejo a las funciones seno

hiperbolico y coseno hiperbolico:

senh : C −→ C

z 7−→ (ez − e−z)

2

cosh : C −→ C

z 7−→ (ez + e−z)

2

Las restantes funciones hiperbolicas se definen tambien de la manera habitual.

Estas funciones se relacionan con las trigonometricas a traves de:

sen z = −i senh(iz)

cos z = cosh(iz)

y son evidentemente periodicas con perıodo 2πi.

Queda a cargo del lector el analisis de las propiedades semejante a las de las funciones trigonometricasy exponencial.

3.4. Continuidad

3.4.1. Definicion

Para dotar de rigor al tratamiento del calculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesarioprecisar la nocion de continuidad.

Esta, es una de las ideas mas importantes y fascinantes del analisis matematico, que ha abierto lanecesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creacion, entre ellos por ejemplo los espaciosmetricos y los espacios topologicos en general.

Para introducirse en la concepcion de la nocion de continuidad es mas sencillo pasar por el significadode su opuesto logico: la falta de continuidad.

Un primer acercamiento a la idea podrıa ser : “Los puntos x proximos al punto a no tienen unaaplicacion f(x) proxima a f(a)”.

3.4. CONTINUIDAD 57

x

b

bc

a

f(a)

U(a)

U(f(a))

Figura 3.3: Funcion de una va-

riable real discontinua en a.

bb

b

b

a

U(a)

D

U(f(a)) f(a)

R

Imagen de U(a)

Figura 3.4: Funcion de una variable compleja disconti-

nua en a.

Sin embargo, esta expresion carece de sentido porque la palabra “proximidad”es indefinida, y tieneen el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser proximo en uncaso, puede no serlo en otro.

La nocion de distancia con la consiguiente definicion de entorno es la que permite dotar de rigor a lasdefiniciones buscadas.

Se puede decir con precision entonces para una funcion

f : D −→ R

X 7−→ Y =f(X)

donde D y R son subconjuntos de los espacios metricos E y E′, si dado un entorno de f(a), U(f(a)), nopuede encontrarse ningun entorno de a, U(a), de modo tal que todos los elementos de U(a) ∩D, tenganaplicacion en U(f(a)), entonces la funcion f es discontinua en a.

Simbolicamente:

f /∈ C/a := ∃ U(f(a)), ∄ U(a) : ∀ x ∈ U(a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))

f /∈ C/a := La funcion f no es continua en a

En el grafico anterior se han representado dos ejemplos de discontinuidad, uno para una funcion devariable real, y otro para una funcion de variable compleja. Sobre el rango de cada una de las aplicacionesse ha coloreado la imagen de U(a), que como se observa no esta incluida en U(f(a)).

El opuesto logico de esta definicion nos asegura que no hay “salto”, es decir que la funcion es continua.La definicion es valida para cualquier funcion f entre dos espacios metricos o subconjuntos de dichos

espacios metricos. Se incluye como caso particular, por supuesto, a los casos de funciones reales de unao varias variables y a las funciones complejas.

f : D −→ R :

{

D ⊂ E

R ⊂ E′

X 7−→ f(X)

f ∈ C/a := ∀ U(f(a)) , ∃ U(a) : ∀X ∈ U(a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))


Observacion 1: Debe observarse que en la definicion no se exige ninguna condicion especial al punto a,salvo que pertenezca al dominio de la funcion para que exista f(a).Observacion 2: En la definicion se interseca a U(a) con D, dominio de la funcion, para asegurar que paralos puntos X considerados exista imagen f(X).En particular, el conjunto U(a) ∩D nunca es vacıo porque por lo menos contiene al punto a.

A partir de la definicion de continuidad se extrae el siguiente teorema:

Teorema 3.4.1. Toda funcion es continua en los puntos aislados de su dominio.

a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a

Demostracion.

Por definicion de Pt. aisl:

∀ U(f(a)) ∃ U(a) : U(a) ∩D = {a}

Luego

∀X ∈ U(a) ∩D =⇒∀X ∈ {a} =⇒ f(a) ∈ U(f(a))

Observacion 3: Se ha introducido la nocion de continuidad precediendo al concepto de lımite por dosrazones:

1o Porque desde un punto de vista heurıstico el lımite es una extension de la nocion de continuidad,y tambien por ello desde el punto de vista pedagogico se puede explicar y entender mejor dichoconcepto.

2o Hay funciones continuas que no tienen lımite, las definidas sobre un punto aislado.

Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definicion de continuidad se puede reducira una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f(a) respectivamente en los planos|z y |w.

U(a) = {z : |z − a| < δ}U(f(a)) = {w : |w − f(a)| < ǫ}

resultando:

f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩D =⇒ |f(z)− f(a)| < ǫ

3.4.2. Continuidad sobre un conjunto

La definicion de continuidad se referıa a un punto especıfico a del dominio de la funcion.

Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la funcion es continua sobre

el, y se escribe:

f ∈ C/A := ∀ a ∈ A =⇒ f ∈ C/a

f ∈ C/A := La funcion f es continua sobre el conjunto A.

3.5. LIMITE 59

3.5. Lımite

3.5.1. Definicion de lımite

Puede hacerse una extension del concepto de continuidad a los puntos de acumulacion del dominio deuna funcion f (pertenezcan o no a el), cuando existe un elemento L del espacio E′ (donde se aplica f),que pueda hacer las veces de f(a) en la definicion de continuidad.

No se toma en cuenta lo que sucede en a, punto para el cual puede existir o no la funcion.

Es decir, el lımite L es el valor hipotetico que habrıa que asignarle al punto a para que la funcionfuera en el continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el lımite.

La terminologıa usada para expresar la existencia de tal numero L es: “f(X) tiende a L cuando Xtiende a a”.

La frase “X tiende a a”no tiene significado propio sino como parte de la expresion anterior.

Simbolicamente se define entonces:

f : D −→ R :

{

D ⊂ E

R ⊂ E′

X 7−→ f(X)

a ∈ Pt. acumulacion de D

f(X) −−−−→X−→a

L := ∀ U(L) , ∃ V (a) : ∀X ∈ V (a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(L)

f(X) −−−−→X−→a

L := f tiende a L cuando X tiende a a.

Otra notacion usual para representar a la definicion de lımite es:

lımX→ a

f(X) = L

Observacion 1: La diferencia formal de esta definicion con respecto a la de continuidad es que se haempleado el sımbolo V (a) en lugar de U(a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debetenerse en cuenta si existe o no la funcion en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f(a).

Observacion 2: Para asegurar el sentido de la definicion de lımite, es necesario que V (a)∩D 6= ∅. Esta esla razon para postular que el punto a debe ser de acumulacion de D.De acuerdo a la Observacion 2 del parrafo 3.4.1 esto no era necesario en la definicion de continuidad.

Observacion 3: La definicion del lımite de una funcion no permite su obtencion, sino simplemente suverificacion. El llamado “calculo de lımites”se reduce a la aplicacion de teoremas que ligan lımites defunciones conocidas y tabuladas.

La definicion de vecinal de infinito en el plano complejo permite la extension de la definicion de lımitea ese caso sin necesidad de modificaciones.

En particular, si la definicion de lımite se expresa para funciones de variable compleja tomando como


entorno a bolas del plano, resulta:

f(z) −−−→z→a

L := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩D =⇒ |f(z)− L| < ǫ

f(z) −−−→z→∞

L := ∀ ǫ > 0 , ∃ r : ∀ z ∈ {|z| > r} ∩D =⇒ |f(z)− L| < ǫ

f(z) −−−→z→a

∞ := ∀M , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩D =⇒ |f(z)| > M

La ultima expresion significa que en el vecinal del punto a la funcion no esta acotada.

La relacion entre las definiciones de continuidad y lımite esta dado por el siguiente teorema:

Teorema 3.5.1. Para que una funcion f : D −→ R sea continua en un punto a de acumulacion de D,

es condicion necesaria y suficiente que exista lımite de la funcion para X tendiendo a a, que exista f(a)y tambien que el lımite sea igual al valor de la funcion f(a).

H1 f(X) −−−→X→a

L

H2 f : a 7−→ f(a)

H3 L = f(a)

⇐⇒{

a ∈ Pt. acum D

f ∈ C/a

Demostracion. En primer lugar se encara la condicion necesaria

f ∈ C/a =⇒{

a 7−→ f(a)

∀ U(f(a)) , ∃ U(a) : ∀X ∈ U(a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))

Eligiendo V (a)

V (a) = U(a)− {a}a ∈ ACUM(D) =⇒ V (a) ∩D 6= ∅

Resulta entonces:

∀ U(f(a)) , ∃ V (a) : ∀X ∈ V (a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U((f(a)))

Aplicando la definicion de lımite, se observa que existe y es f(a)

L = f(a)

Se pasa a la condicion suficiente

H1 =⇒ ∀ U(L) , ∃ V (a) : ∀X ∈ V (a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(L)

H3 =⇒ ∀ U(f(a)) , ∃ V (a) : ∀X ∈ V (a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))

H2 =⇒ {a} = {a} ∩D =⇒ f(a) ∈ U(f(a))

Eligiendo entonces

U(a) = V (a) ∪ {a}

3.5. LIMITE 61

Resulta

∀ U(f(a)) , ∃ U(a) : ∀X ∈ U(a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))

Con lo cual queda probado que la funcion es continua. Que a es un punto de acumulacion esta implıcitoen la definicion de lımite.

H1 =⇒ a ∈ Pt. acumulacion de D

3.5.2. Operaciones con lımites

El enfoque hecho en los conceptos de lımite y continuidad por medio de las estructuras de los espaciosmetricos permite demostrar una sola vez propiedades que son comunes a determinados conjuntos.

Esto tambien significa que si dos conjuntos tienen leyes de composicion formalmente iguales, las pro-piedades y teoremas demostrados para uno son validos para el otro.

Muchas de las propiedades estudiadas en las funciones reales pueden ser extendidas.

En el caso de las funciones compuestas en cualquier espacio metrico, el lımite de una funcion compuestaes igual a la composicion de los lımites. En cuanto a la continuidad, la composicion de dos funcionescontinuas es continua, como lo expresa el siguiente teorema:

Teorema 3.5.2.

f : D −→R

g : D′ −→R′ : R ⊂ D′

f ∈ C/a

g ∈ C/f(a)

}

=⇒ g ◦ f ∈ C/a

b

b

a

X

U(a)

D

b

b

f(a)

U(f(a))

Y = f(X)

R

D′

b

b

g(f(a))

g(Y )

U(g(f(a)))

R′

fg

Figura 3.5: Composicion de funciones de una variable compleja.

Demostracion. La existencia de la funcion compuesta esta asegurada porque R ⊂ D′.

H2 =⇒ ∀ U(g(f(a)) , ∃U(f(a)) : ∀ Y ∈ U(f(a)) ∩D′ =⇒ g(Y ) ∈ U(g(f(a)))

H1 =⇒ ∀ U(f(a)) , ∃ U(a) : ∀X ∈ U(a) ∩D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))


Eligiendo en la segunda expresion un U(f(a)) conveniente

∀ U(g(f(a))) , ∃U(a) : ∀X ∈ U(a) ∩D =⇒ g ◦ f(X) ∈ U(g(f(a)))

La continuidad y el calculo de lımites para las operaciones vectoriales se extiende a todos los espaciosnormados.

Esta es la relacion esencial entre las dos estructuras del espacio normado, la metrica y la vectorial.

f(X) −→ F

g(X) −→ G

}

=⇒ f + g −→ F + G

f(X) −→ F =⇒ λf −→ λF

λ −→ Λ =⇒ λf −→ Λf

La prueba de estas propiedades de la suma y producto vectorial, es inmediata aplicando la definicion delımite y teniendo en cuenta que

N((f + g)− (F + G)) 6 N(f − F ) + N(g −G)

N(λf − λF ) = |λ| N(f − F )

N(λf − Λf) = |λ− Λ| N(f)

Todas las propiedades vistas hasta el momento pueden ser aplicadas a funciones complejas.Pero, ademas, como las definiciones de continuidad y de lımite hechas para dichas funciones, coinciden

formalmente con las correspondientes a las funciones reales de una variable.

La consecuencia de este analisis es que la continuidad y el calculo de lımite de las operaciones delcuerpo de los reales se extienden al cuerpo de los complejos.

En concreto, suponiendo que los lımites existan, la suma, diferencia, producto y cociente (exceptuandoel caso de denominador cero) de lımites es igual al lımite de la suma, diferencia, producto y cociente delas funciones complejas, siempre suponiendo que los lımites son finitos.

Para el caso de continuidad, el resultado de la extension de las funciones reales de una variable esanalogo.

Un teorema relativo al lımite de la parte real e imaginaria de una funcion de variable compleja es:

Teorema 3.5.3. Una funcion de variable compleja tiende a un lımite si y solo si su parte real tiende a

la parte real del lımite, como ası tambien la parte imaginaria tiende a la parte imaginaria del lımite.

u(x y) −−−→z→a

U

v(x y) −−−→z→a

V

⇐⇒ u(x y) + i v(x y) −−−→z→a

U + i V

Demostracion. La condicion suficiente se puede demostrar directamente a partir del teorema del lımitede la suma, pero ademas se puede demostrar directamente a partir de

|(u + i v)− (U + i V )| 6 |u− U |+ |v − V |

Como puede acotarse el segundo miembro por la suma de dos numeros arbitrarios, reales no negativos,el primer miembro tambien esta acotado arbitrariamente, y por lo tanto hay lımite.

3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 63

Del mimo modo la condicion necesaria:

|Re(z)| 6 |z| ∧ |Im(z)| 6 |z|

de acuerdo con las propiedades de 1.6.2

|u− U | 6 |(u + i v)− (U + i V )||v − V | 6 |(u + i v)− (U + i V )|

entonces por razonamiento analogo al anterior existen los lımites de la parte real e imaginaria de lafuncion compleja y son U y V , respectivamente.

Una consecuencia inmediata de este teorema es la siguiente:

Corolario 3.5.3.1. Una funcion compleja es continua si y solo si son continuas sus partes real e ima-

ginaria.

u ∈ C/a

v ∈ C/a

}

⇐⇒ u + i v ∈ C/a

3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos

Para el desarrollo de la derivacion e integracion en el campo complejo, se trabaja con conjuntos talescomo curvas, caminos, lazos,etc. conceptos que conviene precisar y analizar con detenimiento.

3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales

Una funcion de variable real, se dice que es continua por partes sobre un intervalo cerrado y aco-tado (compacto) [a b] cuando salvo para un numero finito de puntos es continua sobre dicho intervalo,y ademas en los puntos de discontinuidad existen los lımites de la funcion por la derecha y por la izquierda.

No es necesario para esta definicion que la funcion tome valores en los puntos de discontinuidad.

Simbolicamente:

f ∈ CP�[a b] := f : I = [a, b]− {ak} −→ Rn :

k ∈ <0, n>

a = a0 < a1 < a2 < · · · < an = b

f ∈ C�I

∀ k , ∃ f(a+k ) = lım

x→akx>ak

f(x)

∃ f(a−k ) = lım

x→akx<ak

f(x)

f ∈ CP�[a b] := La funcion f es continua por partes sobre el intervalo [a b]

Observacion: De acuerdo con la definicion, el intervalo I se puede descomponer en un numero finito deintervalos

[a0, a1], [a1, a2], . . . , [an−1, an]


donde para cada uno de ellos se puede definir

fk [ak, ak+1] −→ Rn

x 7−→

f(a+k ) x = ak

f(x) x ∈ (ak, ak+1)f(a−

k ) x = ak+1

y a partir de allı la integral definida segun Cauchy se extiende como suma de un numero finito de integralesdefinidas (las funciones fk son continuas sobre un compacto):

∫ b

a

f(x) dx =

n−1∑

k=0

∫ ak+1

ak

fk(t) dt

3.6.2. Camino

Se llama camino a toda aplicacion continua de un intervalo real cerrado y acotado (compacto) [a b]sobre el conjunto de los complejos C, con la condicion adicional de que la aplicacion tenga derivadacontinua por partes.

γ ∈ Camino := γ : I = [a b] −→ C

t 7−→ x(t) + i y(t) :

a 6= b

γ ∈ C�[a b]

γ′ ∈ CP�[a b]

Observacion: Por ser γ′ ∈ CP entonces

γ(t) = C +

∫ b

a

γ′(s) ds

La terminologıa usada con relacion a los caminos es la siguiente:

γ(a) := Origen del camino o extremo inicial.

γ(b) := Extremo final del camino.

t := Parametro

Tambien se suele expresar que γ es un camino que une los puntos origen γ(a) y el extremo γ(b).

Desde el punto de vista geometrico γ(t) describe una trayectoria γ(I) (imagen de I) con las carac-terısticas:

I. γ′ ∈ C�c ∧ γ′ 6= 0

II.

γ′ /∈ C�d

∃ γ′(d+)

∃ γ′(d−)

=⇒ ∃ puntos angulosos con dos tangentes

III. La trayectoria puede tener puntos multiples, es decir, para diferentes valores de t puede correspon-derle el mismo par (x y). Ejemplo el punto m.


| ||b

a bt0

b

b

b

b

b

γ(a)

m

c = γ(t0)

d

γ(b)

Figura 3.6: Camino en el campo complejo.

Otra definicion util para los desarrollos posteriores es:

γ ∈ Camino contenido en D := γ ∈ Camino : γ(I) ⊂ D

3.6.3. Lazo

Se dice que un camino es un lazo cuando los extremos son iguales:

γ ∈ Lazo := γ ∈ Camino : γ(a) = γ(b)

Es usual decir tambien que el lazo γ tiene origen en γ(a).

| ||b

a bt0

b

b

γ(t0)

γ(a) = γ(b)

Figura 3.7: Lazo en el campo complejo.

3.6.4. Curva

Se llama curva a la imagen de γ, γ(I).No deben confundirse los conceptos de camino y curva, pues entre ambos existe la misma diferencia

que entre funcion e imagen de la funcion.

Puede haber varios caminos con la misma curva.Si un camino pasa varias veces por un mismo punto (para diferentes valores del parametro t), corres-

ponden un solo elemento de la curva (un solo elemento de γ(I)).


Ejemplo: Los tres caminos

cf1 : [0 2π] −→ C

t 7−→ cos t + i sen t = eit

cf2 : [0 2π] −→ C

t 7−→ e2it

cf2 : [0 2π] −→ C

t 7−→ i eit

tienen por imagen a una misma curva, la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1,|z| = 1.

Sin embargo son caminos diferentes, basta para ellos comparar:

cf1 cf2 cf3

origen (1; 0) (1; 0) 0; 1extremo (1; 0) (1; 0) 0; 1no de vueltas 1 2 1sentido giro + + -longitud 2π 2π 2π

Nota: Se ha designado con signo positivo al sentido de giro contrario al de las agujas del reloj ynegativo al opuesto.

Observacion: La diferencia de las nociones de camino y curva es importante y debe ser tenida en cuenta enel calculo de integrales complejas. Caminos diferentes con igual imagen pueden dar resultados diferentes.

3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos

Camino opuesto

Un camino se llama opuesto de otro γ definido sobre I, y simbolizado por γ∗, a:

γ∗ ∈ Camino opuesto de γ :=

γ : I = [a b] −→ C

γ∗ : I = [a b] −→ C

t 7−→ γ(a + b − t)

El origen y el extremo de γ∗ son respectivamente γ(b) y γ(a). Desde el punto de vista geometrico, lacurva que representa al camino γ y a su opuesto es la misma, pero “recorrida en sentido inverso”.


Caminos yuxtapuestos

Un camino es la yuxtaposicion de otros dos γ1 y γ2 cuando al extremo del primero es el origen delsegundo y se define de acuerdo a las condiciones siguientes.

γ1 : I1 = [a b] −→ C

γ2 : I1 = [c d] −→ C

γ1(b) = γ2(c)

γ1 ∨ γ2 : [a, b + d− c] −→ C

t 7−→ γ(t) =

{

γ1(t) t ∈ [a b]

γ2(t + c− b) t ∈ [b, b + d− c]

γ1 ∨ γ2 := Camino yuxtaposicion de γ1 y γ2

| | | | |

a b b + d − c c d

I1 I2

b

b

b

γ1(a)

γ1(b) = γ2(c)

γ2(d)

γ1(I1)

γ2(I2)

Figura 3.8: Caminos yuxtapuestos.

Se deduce inmediatamente de la definicion que si

γ := γ1 ∨ γ2

entonces se cumple

γ(a) = γ1(a)

γ(b) = γ1(b) = γ2(c)

γ(b + d− c) = γ2(d)

Un camino puede ser considerado como la yuxtaposicion de otros dos, obtenidos dividiendo el intervalode la siguiente manera:

γ : [a b] −→ C

∀ c : a < c < b

γ1 : [a c] −→ C

γ2 : [c b] −→ C

=⇒ γ = γ1 ∨ γ2

Eligiendo un punto c de este modo, se puede considerar un lazo tambien como yuxtaposicion de doscaminos, γ1 ∨ γ2. El camino γ2 ∨ γ1 tambien es un lazo, pero de origen en el punto γ(c).


3.6.6. Ejemplos de caminos

Algunos casos de interes particular son:

Camino constante

Se dice que un camino es constante si su imagen se reduce a un solo punto.

γ ∈ Camino constante := γ(I) = {a}

Arco de circunferencia unidad

Esta funcion es:

cf(α) : [0 1] −→ C

t 7−→ e2πiαt : α ∈ R

y es un camino cuya imagen es parte (o todo) de la circunferencia de radio unitario |z| = 1.

Si α es entero no nulo, la imagen γ(I) es la circunferencia unidad recorrida α veces (ver ejemplo delparrafo 3.6.4). Si α = 0 la funcion se reduce a un camino constante.

Segmento

El clasico segmento de recta se representa analıticamente por:

Sgm : I = [a b] −→ C

t 7−→ ct + d : c ∈ C , d ∈ C

Poligonal o lınea quebrada

Toda yuxtaposicion de segmentos se llama poligonal.

P : I = [a b] −→ C :

a=a0 < a1 < · · · < an =b

P = S1 ∨ S2 ∨ · · · ∨ Sn

Sk : [ak−1, ak] −→ C k ∈<1, n>

t 7−→ ck t + dk

ck ak + dk = ck+1 ak+1 + dk+1

b

b

P (a)P (b) | | | |

a0

a

a1 a2 an

bI1 I2

Figura 3.9: Camino poligonal.

La ultima condicion es la de yuxtaposicion, pues Sk(ak) = Sk+1(ak).


3.6.7. Camino simple. Lazo simple

Un tipo de camino particularmente importante es el que se llamara camino simple o arco de Jordan.

Ası se designa a todo camino γ determinado por una funcion inyectiva, esto significa geometricamenteque no hay puntos multiples, hecha excepcion de los extremos del camino.

Si γ es un lazo y camino simple, se dice que es un lazo simple.

b b

Camino simple

b

b

b

b

Caminos no simples

Lazo simple

b

b

Lazos no simples

Figura 3.10: Ejemplos de caminos y lazos.

Analıticamente:

γ : I = [a b] −→ C

γ ∈ Camino simple := ∀ (t s) ∈ I × I − {(a b)} =⇒ (γ(t) = γ(a)⇔ t = a)

3.6.8. Caminos equivalentes

Des caminos se dicen equivalentes cuando puede establecerse una biyeccion creciente entre los respec-tivos intervalos de definicion, de acuerdo con las condiciones

(γ1 γ2) ∈ Caminos equiv. :=

γ1 : I1 = [a b] −→ C

γ2 : I2 = [c d] −→ C

∃ ϕ : I2 −→ I1 :

ϕ ∈ biyectiva

ϕ ∈ creciente

ϕ ∈ C/I2

ϕ′ ∈ CP/I2

γ2(t) = γ1(ϕ(t))


Los caminos equivalentes, tienen igual imagen, origen y extremo.

(γ1 γ2) ∈ Caminos equiv. =⇒

γ1(I) = γ2(I)

γ1(a) = γ2(c)

γ1(b) = γ2(d)

Un camino

γ2 : t 7−→ γ1 (λt + µ) : λ > 0

es siempre equivalente al camino γ1. Este resultado permite reducir todo camino a un equivalente conintervalo de definicion I = [0 1].

3.7. Conjuntos conexos

Un conjunto D de un espacio Rn se dice conexo, cuando todo par de puntos de D puede ser unidopor un camino contenido en D.

D ∈ Conexo :=

D ⊂ Rn

∀ (x y) ∈ D ×D =⇒ ∃ γ : I = [a b] −→ Rn :

γ(a) = x

γ(b) = y

γ(I) ⊂ D

En particular, el camino γ puede ser una poligonal.

Un cırculo en el plano complejo |z − a| < r (bola en el campo complejo) es conexo.

Geometricamente algunos ejemplos son:

A

B

DC

Figura 3.11: Ejemplo de conjuntos conexos.

E

F

Figura 3.12: Ejemplo de conjuntos no conexos.

3.8. Homotopıa de caminos y lazos

3.8.1. Homotopıa de caminos

La idea de homotopıa entre dos caminos significa intuitivamente que puede pasarse de uno a otro atraves de una deformacion continua.

3.8. HOMOTOPIA DE CAMINOS Y LAZOS 71

Matematicamente puede definirse:

(γ1 γ2) ∈ h(D ϕ) :=

D ∈ abierto

D ⊂ Cγ1 : I = [a b] −→ C : γ1(I) ⊂ Dγ2 : I = [a b] −→ C : γ2(I) ⊂ D

∃ ϕ : I × J −→ D :

J = [c d]

ϕ ∈ C/I × J

ϕ(t c) = γ1(t)

ϕ(t d) = γ2(t)

(γ1 γ2) ∈ h(D ϕ) := γ1 y γ2 son caminos homotopos en D por la homotopıa ϕ

ϕ := Homotopıa de γ1 y γ2 en D

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

γ1(I)

γ2(I)

Figura 3.13: Homotopıa de los caminos γ1 y γ2 en D

Observacion: Se destacan algunas particularidades de la definicion de caminos homotopos:

γ1 y γ2 estan definidos sobre el mismo intervalo I.

ϕ es continua respecto de dos variables, (t s) ∈ I × J .

No se exigen condiciones de derivacion para ϕ salvo las impuestas a γ1 y γ2.

3.8.2. Homotopıa de lazos

Se llama homotopıa de lazos a aquella que para todo elemento de J da un lazo. Esto significa quetodos los caminos de la homotopıa son lazos.

(γ1 γ2) ∈ h⊙(D ϕ) := (γ1 γ2) ∈ h(D ϕ) : ∀ s ∈ J =⇒ ϕ(a s) = ϕ(b s)

(γ1 γ2) ∈ h⊙(D ϕ) := γ1 y γ2 son homotopos por la homotopıa de lazos ϕ en el conjunto D.


Observacion: Si D ⊂ D′ puede no existir homotopıaen D, pero si en D′.

Tanto la homotopıa de caminos como la de lazos sonrelaciones de equivalencia.Su verificacion es inmediata

γ1(I) γ2(I)

Figura 3.14: Homotopıa de los lazos γ1 y γ2.

3.8.3. Homotopıa a un punto

Se dice que un lazo es homotopo a un punto en D si existe una homotopıa de lazos ϕ de dicho lazo allazo constante (cuya imagen es un punto).

(γ1 γ2) ∈ h•(D ϕ) := (γ1 γ2) ∈ h⊙(D ϕ) : γ2(I) = {P}

3.9. Clasificacion de conjuntos conexos en C

3.9.1. Conjuntos simplemente conexos

Un conjunto D del plano complejo, abierto y conexo se dice que es simplemente conexo cuando todolazo contenido en el es homotopo a un punto.

Es decir, sobre D existe una sola clase de equivalen-cia de homotopıa de lazos, que ademas es homotopıaa un punto.

En forma intuitiva, el conjunto simplemente conexoes aquel que no tiene “agujeros”.

Una propiedad de estos conjuntos que puede ser em-pleada para definirlos es:

D ∈ Abierto y conexo

D ∈ Simplemente conexo =⇒ C⊙(D/C) ∈ Conexo

b

Figura 3.15: Conjunto simplemente conexo.

3.9.2. Conjuntos multiplemente conexos

Un conjunto se llama multiplemente conexo cuando no es simplemente conexo.

3.9. CLASIFICACION DE CONJUNTOS CONEXOS EN C 73

Desde el punto de vista intuitivo significa que tieneuno o mas “agujeros”.

Ejemplos:

Un anillo en el campo complejo.

Una bola en el campo complejo sin su centro.

Figura 3.16: Conjunto multiplemente conexo.

La definicion de conjuntos multiplemente conexos es el contrario logico de la definicion de simplementeconexo. Esto quiere decir que tiene que haber mas de una clase de equivalencia de lazos homotopos.

Tal observacion permitira una clasificacion de los conjuntos multiplemente conexos.

Otro metodo para ello es por medio de cortaduras, que se vera a continuacion.

3.9.3. Cortadura

Se llama cortadura en un conjunto abierto y conexo,a la exclusion del mismo de un camino simple (arcode Jordan) cuyos puntos deben ser todos interiorescon excepcion de los extremos, que pueden no serlo.

En otras palabras, como D es abierto, los puntos noextremos del camino deben ser de D.

Figura 3.17: Ejemplos de cortadura.

γ ∈ Cortadura de D := γ : [a b] −→ C :

{

γ ∈ Camino simple

∀ t ∈ (a b) =⇒ γ(t) ∈ INT (D)

3.9.4. Grado de multiplicidad

Se llama grado de multiplicidad de un conjuntomultiplemente conexo a la mınima cantidad decortaduras que deben hacerse para transformarlo ensimplemente conexo.

El grado de multiplicidad tambien es llamado orden

de conexion.

La cantidad de clases de lazos homotopos esta rela-cionada con el grado de multiplicidad.

Figura 3.18: Conjunto con grado de multi-

plicidad=3


En efecto,

q = 2n

q := Cantidad de clases de lazos homotopos

n := Grado de multiplicidad de conexion

Esta relacion puede usarse para definir el grado de multiplicidad sin introducir el concepto de corta-dura.

Observacion: Algunos textos definen como orden de conexion a n− 1.

Intuitivamente, el grado de multiplicidad representa la cantidad de “agujeros”que tiene un conjuntomultiplemente conexo.

Capıtulo 4

Derivacion en el Campo Complejo

4.1. Derivacion

Dada una funcion de variable compleja,

f : D −→ R :

{

D ⊂ C

R ⊂ C

se define como derivada de la funcion f en un punto a del dominio D, simbolizada por f ′(a), a:

f ′(a) := lım∆z→0

f(a + ∆z)− f(a)

∆z

f ′(a) := Derivada de f en el punto a

Cuando existe la derivada, es decir el lımite del cociente incremental, se suele decir que la funcion fes derivable en el punto:

f ∈ DER/a := ∃ f ′(a)

f ∈ DER/a := La funcion f es derivable en el punto a

Observacion: La definicion anterior de derivada esformalmente igual a la de funcion de una variablereal.Sin embargo, a pesar de que se aprovechara la seme-janza formal para extraer conclusiones sobre algunaspropiedades de la derivada de las funciones de varia-ble compleja, no debe caerse en un analisis superfi-cial.

ba

b

∆z

γ D

V (a)

V (a) ∩ D

Figura 4.1: Incremento de z a traves de un

camino γ.

La definicion de derivada para variable compleja lleva implıcito que el lımite es doble, es decir, elincremento ∆z debe tomarse sobre todo un vecinal V (a) en su interseccion con el dominio.

75

76 CAPITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO

Por lo tanto si se incrementa z sobre un camino cualquiera γ, el lımite del cociente incremental esconstante.

En particular, el lımite del cociente incremental es el mismo (e igual a la derivada en el punto) alo largo de cualquier recta que pase por a. Esta es una condicion necesaria pero no suficiente, como severifica en la funcion,

f : z 7−→ f(z) =

x3y

x4 + y2+ i

x2y2

x4 + y2z 6= 0

0 z = 0

que tiene derivada nula en el origen segun cualquier direccion, pero no por un camino parabolico y = kx2,y entonces se asegura que no es derivable en modo complejo.

4.2. Diferencial

Se dice que una funcion de variable compleja f es diferenciable cuando su incremento ∆f puedeescribirse:

f ∈ DIF/a := ∆f = A∆z + δ(∆z)∆z :

{

A ∈ C

δ(∆z) −−−−→∆z→0

0

f ∈ DIF/a := La funcion f es diferenciable en el punto a

La definicion de diferenciabilidad significa que el incremento de una funcion puede escribirse como lasuma de:

Producto de una constante A por el incremento de la variable z.

Producto de un infinitesimo δ(∆z) por el incremento de la variable z.

y por lo tanto la diferenciabilidad asegura la aproximacion lineal de la funcion f .Esta es la importancia del diferencial, que se define como

df := A ∆z

df := Diferencial de f

Observacion: La definicion de diferenciabilidad de THOMAE para funciones de varias variables reales,particularizando el ejemplo a dos dimensiones, es:

u : D −→ R

(x y) 7−→ u(x y) : D ⊂ C

u ∈ DIF/(a b) := ∆u = A ∆x + B ∆y + δ1∆x + δ2∆y :

A ∈ R

B ∈ R

δ1 −−−−→∆z→0

0

δ2 −−−−→∆z→0

0

u ∈ DIF/(a b) := La funcion u es diferenciable en el punto (a b)

4.2. DIFERENCIAL 77

Este enunciado pone en evidencia que la diferenciabilidad asegura la aproximacion lineal de la funcionu.

Desde el punto de vista geometrico, dicha aproximacion lineal se materializa en la existencia de planotangente para varias variables y recta tangente para una.

La derivabilidad en variable real significa geometricamente que existe la tangente en una sola direccion,mientras que el diferencial asegura la existencia de todas las tangentes (en las direcciones donde puedeincrementarse) y ademas ligadas todas entre sı, por pertenecer a un mismo plano.

Por esta razon, el segundo concepto tiene mucha mas importancia que el primero.Las propiedades que se enuncian a continuacion marcan algunas de las diferencias existentes entre

ambos conceptos.

Teorema 4.2.1.

f ∈ DIF/P =⇒ f ∈ C/P

Demostracion. La demostracion es inmediata aplicando la definicion de diferencial.

La derivabilidad no arrastra la continuidad.

Pueden existir funciones diferenciables no derivables (sin derivadas parciales) y tambien funcionesderivables, aun en todas las direcciones sin ser diferenciables.

El primer caso se presenta cuando el dominio de lafuncion esta restringido, y no puede incrementarseen la direccion de los ejes, sin embargo en todaslas demas direcciones las tangentes definen un plano.

Este caso solo puede presentarse en puntos de fron-tera.

y

x

z

∆x

∆y D

P

Figura 4.2: Dominio restringido de una fun-

cion de variable compleja.

El segundo caso es aquel en el cual las tangentes no estan en un plano, por ejemplo en el vertice deun cono.

Si se obvian los problemas de frontera, la diferenciabilidad implica la derivabilidad. Esta es la razonpor la cual se postula que el punto P es interior y se trabaja con conjuntos abiertos mas adelante.

(a b) ∈ Pt. interior de D

f ∈ DIF/(a b) =⇒{

A = f ′x

B = f ′y

No es cierto que una funcion de varias variables reales, continua y derivable sea diferenciable. Bastaanalizar el caso del vertice del cono.

Pero si es valido,

f ′x ∈ C

f ′y ∈ C

}

=⇒ f ∈ DIF


es decir, si una funcion admite derivadas continuas es diferenciable (en rigor es suficiente la continuidadde una sola derivada y la existencia de ambas).

En funciones de una variable real, el concepto de derivada y diferencial se confunden, porque hay unasola tangente. Lo mismo se produce en funciones de variable compleja como se vera a continuacion, perodebe tenerse en cuenta que son conceptos diferentes.

En resumen, para un punto interior del dominio:

func. 1 var. real recta tg⇔ f ∈ DIF ⇔ f ∈ DERfunc. n var. reales (n 6= 2) plano tg⇔ f ∈ DIF ⇒ f ∈ DERfunc. var. compleja f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER

4.3. Relacion entre derivada y diferencial. Existencia

Teorema 4.3.1. Dada una funcion de variable compleja f , condicion necesaria y suficiente de derivabi-

lidad es la diferenciabilidad.

f ∈ DER/a⇐⇒ f ∈ DIF/a

Demostracion. Se demuestra la condicion suficiente:

∆f

∆z− f ′(a) = δ(∆z)

|δ(∆z)| < ǫ

f ′(a) ∈ C

}

=⇒ ∆f = f ′(a)∆z + δ(∆z)∆z

con lo cual se cumple la definicion de diferencial.

La condicion necesaria:

∆f = A∆z + δ(∆z)∆z :

{

A ∈ C

δ −−−−→∆z→0

0

∆f

∆z−A −−−−→

∆z→00

Por lo tanto existe derivada, que ademas es igual a la constante A

f ′(a) = A

Observacion 1: En la demostracion anterior no es necesario que el punto a sea interior al dominio D.

Condicion necesaria y suficiente de diferenciabilidad es que las funciones u y v (parte real e imaginariade f) sean diferenciables y que se verifiquen las igualdades siguientes:

{

ux = vy

uy = −vx

4.3. RELACION ENTRE DERIVADA Y DIFERENCIAL. EXISTENCIA 79

llamadas comunmente de Cauchy-Riemann.

En este caso es necesario que se asegure la posibilidad de incrementar la funcion en direcciones paralelasal eje x y al eje y. Segun la observacion realizada en 4.2 es condicion suficiente que el punto sea interiora D. Esto da paso al siguiente teorema:

Teorema 4.3.2.

f ∈ DIF/c⇐⇒

u ∈ DIF/c

v ∈ DIF/c

ux = vy

uy = −vx

Demostracion. Por ser f ∈ DIF y tomando A = a + ib:

∆f = A ∆z + δ∆z ⇐⇒⇐⇒ ∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y) + (δ1 + iδ2)(∆x + i∆y)

⇐⇒{

∆u = a∆x− b∆y + δ1∆x− δ2∆y

∆v = b∆x + a∆y + δ2∆x + δ1∆y

⇐⇒

u ∈ DIF/c

v ∈ DIF/c

a = ux = vy

b = vx = −uy

Esta condicion es necesaria y suficiente como resulta de observar la doble implicacion entre todas lasproposiciones.

Este teorema demuestra entonces que la diferenciabilidad (o derivabilidad) de f no solo implica ladiferenciabilidad de u y de v sino ademas una estrecha relacion entre ellas dada por las ecuaciones deCauchy-Riemann.

Observacion 2: Las condiciones que ligan las derivadas de la parte real e imaginaria de una funcion com-pleja, son llamadas tradicionalmente de Cauchy-Riemann pero son originalmente de D’Alembert-Euler.

Es interesante interpretar el significado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Ellas representan la igualdad de los lımites de los cocientes incrementales segun caminos rectos para-

lelos a los ejes coordenados.

En efecto, segun la observacion hecha en el parrafo4.1, una funcion compleja que es derivable (diferen-ciable) implica que el lımite del cociente incrementalsobre las infinitas rectas que pasan por el punto, esinvariable. a γ1

γ2

∆x

∆y

b

Figura 4.3: Incremento de una funcion a

traves de caminos rectos paralelos a los ejes.


En particular, segun los dos caminos γ1, γ2 paralelos a los ejes:

∆f

∆z=

∆u + i∆v

∆x + i∆y

γ1{∆y = 0∆f

∆z

∣

∣

∣

∣

γ1

=∆u + i∆v

∆x−−−−→∆x→0

ux + ivx = f ′x = f ′(a)

γ2{∆x = 0∆f

∆z

∣

∣

∣

∣

γ2

=∆u + i∆v

i ∆y−−−−→∆y→0

1

i(uy + ivy) = f ′

y = f ′(a)

De la igualdad de estas dos derivadas direccionales, resulta:

{

ux = vy

vx = −uy

Las condiciones de Cauchy-Riemann son entonces necesarias pero no suficientes.

Sin embargo, si se agrega la hipotesis de continuidad de las derivadas parciales de u y de v de acuerdoa la observacion del parrafo 4.2, entonces u y v son diferenciables, y por lo tanto:

ux = vy

vx = −uy

ux ∈ C

=⇒ f ∈ DIF

Observacion 3: De acuerdo a lo mencionado en 4.2 es suficiente la continuidad de una sola derivadaparcial.

4.4. Derivacion y continuidad

Teorema 4.4.1. Toda funcion de variable compleja f derivable, es continua.

f ∈ DER/a =⇒ f ∈ C/a

Demostracion. La demostracion es consecuencia inmediata de la diferenciabilidad.

f ∈ DER =⇒ |∆f | < |A ∆z|+ |δ ∆z|

Este teorema es semejante al de una variable real. Para funciones de varias variables reales no escierto. La diferenciabilidad en todos los casos, funciones de uno o varias variables reales y complejas,implica la continuidad.

4.5. Funciones monogenas y holomorfas

Todas las propiedades y conceptos desarrollados hasta el momento son de caracter local o puntual.

Para entender el analisis diferencial a conjunto conviene precisar nuevas definiciones.

4.5. FUNCIONES MONOGENAS Y HOLOMORFAS 81

Las funciones derivables en un punto y en un entorno del mismo tienen especial interes en la teorıade las funciones potenciales y en la teorıa de integrales complejas de Cauchy.

Se dice que una funcion es monogena en un punto a si tiene derivada en ese punto. La monogeneidades sinonimo de derivabilidad.

f ∈ monogena/a := f ∈ DER/a

Se dice que una funcion de variable compleja es holomorfa si tiene derivada en todos los puntos deun entorno de a.

f ∈ H/a := ∃ U(a) : ∀ z ∈ U(a) =⇒ f ∈ DER/z

f ∈ H/a := f es holomorfa en el punto a

A partir de las definiciones es evidente que:

f ∈ H/a =⇒ f ∈ monogena/a

Hay funciones que son monogenas pero no holomorfas

Ejemplo I

f : C −→ C

z 7−→ |z|2 = x2 + y2

u = x2 + y2

v = 0

}

son diferenciables pero las condiciones de Cauchy-Riemann solo valen paraz = (0 0) pues:

ux = 2x uy = 2y vx = 0 vy = 0

Ejemplo II

f : C −→ C

z 7−→ x2 + iy2

u = x2

v = y2

}

son diferenciables y las condiciones de Cauchy-Riemann solo valen parala recta y = x porque:

ux = 2x uy = 0 vx = 0 vy = 2y

Una funcion f es monogena sobre un conjunto D cuando es monogena en todos sus puntos.

f ∈MON/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ monogena/z

f ∈MON/D := f es monogena sobre el conjunto D

Una funcion f es holomorfa sobre un conjunto D cuando es holomorfa en todos sus puntos.

f ∈ H/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ H/z

Observacion 1: La monogeneidad sobre un conjunto D exige la derivabilidad sobre cada uno de sus pun-tos, incluso los frontera que pertenecen a el.


Para los abiertos ambos conceptos coinciden.

Observacion 2: Muchos autores no diferencian los conceptos de monogeneidad y holomorfıa. En otrostextos se confunde holomorfıa con analiticidad.

Se llama funcion analıtica a la desarrollable en serie de Taylor. Es claro que en principio las funcionesanalıticas son conceptos diferentes de las funciones holomorfas.

Sin embargo, uno de los grandes resultados de Cauchy fue probar la equivalencia de los conceptos deholomorfıa y analiticidad sobre conjuntos abiertos y conexos en el campo complejo.

Observacion 3: El origen de la palabra monogena hace referencia a la propiedad que todas las derivadasdireccionales son iguales (mono=uno, gena=generada).La palabra holomorfa significa “de forma entera”, en contraposicion de las funciones meromorfas, que seestudiaran mas adelante.Sinonimo de holomorfa es regular.

Se dice tambien que una funcion de variable compleja tiene un punto singular, cuando en el no esholomorfa.

4.6. Reglas de derivacion

Como la definicion de derivada para las funciones complejas es formalmente igual a la de funciones deuna variable real, se implica que las reglas de la suma, multiplicacion, division (denominador no nulo),funcion de funcion, funcion inversa, etc. se extienden en forma analoga al campo complejo.

Por lo tanto, la suma, diferencia, producto o cociente (excepto el caso de denominador nulo) de fun-ciones holomorfas sobre un abierto es tambien holomorfo.

En particular, los polinomios son holomorfos sobre todo el plano. Las funciones racionales, sobre todosu dominio, es decir el conjunto complementario de los ceros del denominador.

4.7. Holomorfıa y ecuacion de Laplace

4.7.1. Las componentes de una funcion holomorfa como funciones armonicas

Sea f una funcion holomorfa en un punto a, si se hace la hipotesis suplementaria de la existencia ycontinuidad de las derivadas segundas de la parte real e imaginaria de f en el entorno de a (las funcionesreales u y v respectivamente), entonces se verifica:

{

uxx + uyy = 0

vxx + vyy = 0

es decir, tanto u como v satisfacen la ecuacion de Laplace.

La ecuacion de Laplace es la que aparece en el estudio de los potenciales gravitatorios, electricos,magneticos, de velocidades en fluidos, de la transmision del calor (regimen estacionario), etc.

Esta relacion permite vislumbrar, la importancia de las funciones holomorfas en el analisis de proble-mas bidimensionales de potencial.

4.7. HOLOMORFIA Y ECUACION DE LAPLACE 83

Observacion 1: Los analisis realizados hasta el momento son de caracter puntual, pues han requeridosolamente de la hipotesis de la monogeneidad de la funcion en un punto.

Sin embargo, para el estudio de las relaciones existentes entre las componentes de una funcion comple-ja y las funciones que satisfacen la ecuacion de Laplace, es necesario imponer condiciones de derivabilidaden el punto y tambien en su entorno.

Esto es, porque en primer lugar, para la existencia de las derivadas segundas en el punto es necesarioque ux y uy puedan ser incrementadas en el entorno del punto.

En segundo lugar, porque como se vera es fundamental en la teorıa de Cauchy, a traves de la intro-duccion de la integral curvilınea en el campo complejo, el uso de conjuntos abiertos y conexos. Entreotras propiedades de las funciones derivables sobre tales conjuntos (abiertos y conexos) se destaca sudesarrollabilidad en series de Taylor (analiticidad).

De aquı la importancia del concepto de holomorfıa.

Observacion 2: La hipotesis de continuidad de las derivadas segundas de u y v (o de alguna de ellas) hechaal comienzo del parrafo es superflua, porque como se demostrara en el proximo capıtulo, toda funcionholomorfa tiene derivadas de todos los ordenes.

Para llegar a este resultado, que una funcion holomorfa tiene derivadas de cualquier orden, y por endecontinuas, no se usa en absoluto los desarrollos que siguen en este parrafo.

Por lo tanto, no se entra en un cırculo vicioso, si se obvia la continuidad de las derivadas segundas enel siguiente teorema:

Teorema 4.7.1.

f ∈ H/a⇐⇒{

∇2 u = 0

∇2 v = 0

Demostracion. Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la primera respecto de x y la segundarespecto de y, se obtiene:

{

uxx = vyx

uyy = −vxy

sumando, teniendo en cuenta el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas,

∇2 u = 0

y analogamente

∇2 v = 0

Una funcion real de dos variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, que satisfacela ecuacion de Laplace, se llama armonica.

u ∈ Armonica/a :=

u : C −→ R

(x y) 7−→ u(x y) :

uxx ∈ C/a

uyy ∈ C/a

∇2 u = 0


Si una funcion es armonica sobre todos los puntos de un conjunto D, se dice que es armonica en D.

u ∈ Armonica/D := ∀ z ∈ D =⇒ u ∈ Armonica/z

Si dos funciones reales u y v son armonicas y satisfacen en D las ecuaciones de Cauchy-Riemann,entonces se dice que v es conjugada armonica de u.

(u v) ∈ Conjugadas armonicas/D :=

u ∈ Armonica/D

v ∈ Armonica/D{

ux = vy

uy = −vx

Teorema 4.7.2. Condicion necesaria y suficiente para que una funcion sea holomorfa sobre un conjunto

D es que su parte real e imaginaria sean conjugadas armonicas en D.

f ∈ H/D ⇐⇒ (u v) ∈ Conjugadas Armonicas/D

Demostracion. Que una funcion holomorfa tiene partes real e imaginaria (u v) conjugadas armonicas yaha sido demostrado.

Ademas, si u y v son armonicas tienen derivadas primeras continuas ux, uy, vx, vy , que aseguranla diferenciabilidad de dichas funciones. Por lo tanto, de acuerdo al teorema 4.3.1, se implica que f esholomorfa.

Es cierto entonces que las partes real e imaginaria de una funcion holomorfa no pueden ser arbitrarias,llevan una estrecha relacion entre sı, establecido por el concepto de conjugadas armonicas.

4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas armonicas

1o

Conviene remarcar en primer termino que si un par de funciones reales (u v) son conjugadas armonicas,el par (v u) no lo es.

(u v) ∈ Conjugadas armonicas/a =⇒ (v u) /∈ Conjugadas armonicas/a

es decir que no existe la simetrıa en la relacion de conjugadas armonicas y en la expresion “v es conjugadaarmonica de u”no debe trastocarse el orden de las funciones.

Pero por otra parte sı se cumple el siguiente teorema:

Teorema 4.7.3.

(u v) ∈ Conjugadas armonicas/a⇐⇒ (−v u) ∈ Conjugadas armonicas/a

Demostracion. La demostracion es inmediata, teniendo en cuenta que,

f ∈ H/a⇐⇒ if ∈ H/a

(u + iv) ∈ H/a⇐⇒ (−v + iu) ∈ H/a

Otra demostracion es por verificacion directa de las condiciones de Cauchy-Riemann.


2o

Teorema 4.7.4. una funcion de variable compleja es constante si y solo si su derivada compleja es nula,

en un entorno de un punto.

U(a) ⊂ D

k ∈ C

}

=⇒ ∀ z ∈ U(a) , f(z) = k ⇐⇒ f ′(z) = 0

Demostracion. La condicion suficiente es inmediata, la condicion necesaria se demuestra,

∀ z ∈ U(a) =⇒ f ′(z) = 0

=⇒{

ux = 0

uy = 0

Aplicando el teorema del valor medio

∆u = ux(a + ξ ∆z)∆x + uy(a + ξ ∆z)∆y ξ ∈ [0 1]

El complejo a + ξ ∆z pertenece al entorno de a, y como en todo punto de dicho entorno las derivadasparciales se anulan, resulta:

∆u = 0 =⇒ u = k1 k1 ∈ R

analogamente,

v = k2 k2 ∈ R

luego,

f(z) = k = k1 + ik2

Es claro entonces que la conjugada armonica de una constante es otra constante, arbitraria.

3o

Teorema 4.7.5. La funcion v, conjugada armonica de u, es unica salvo constante.

∃ v : (u v) ∈ Conj. arm./D

∃ V : (u V ) ∈ Conj. arm./D

}

=⇒ v − V = k k ∈ C

Demostracion. Por definicion de conjugadas armonicas:

{

ux = vy = Vy

−uy = vx = Vx

De acuerdo con el teorema 4.7.4,

v − V = k k ∈ C


4o

Teorema 4.7.6. Una funcion holomorfa f , cuyas partes real e imaginara son respectivamente u y v, con

derivada no nula, asegura que las familias

{

u(x y) = k1

v(x y) = k2

son trayectorias ortogonales entre sı.

f(z) = u + iv ∈ H/a

f ′(z) 6= 0

}

=⇒ (u(x y) = k1, v(x y) = k2) ∈ Trayectorias ortogonales

Demostracion. Basta verificar que a partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∇u • ∇v = uxvx + uyvy = 0

Expresion que demuestra la ortogonalidad salvo en el caso de derivada nula1.

Por lo tanto, si una funcion armonica v es conjugada armonica de otra u, en los campos vectoriales∇u, ∇v, las lıneas equipotenciales de uno son lıneas de campo del otro y viceversa.

Ejemplo

f : C −→ C

z 7−→ z2 = x2 − y2 + i2xy

Entonces, son trayectorias ortogonales:

{

u = x2 − y2 = k1

v = 2xy = k2

1El sımbolo • se utiliza para representar el producto interno entre vectores


y

x

z

v

u

w

Figura 4.4: Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas armonicas

En el grafico se han representado las dos familias que son ortogonales entre sı, salvo en z = 0.Este analisis esta relacionado con las propiedades de las funciones complejas mencionado en 3.2 (ver

ejemplo) y se explicara en detalle en el estudio de la representacion conforme en 4.9.

4.7.3. Obtencion de la conjugada armonica de una funcion en el entorno de

un punto

Un problema que se plantea es, dado un u (funcion real de dos variables y armonica sobre un deter-minado conjunto), hallar otra funcion v que sea conjugada armonica de u.

Este problema, como veremos, siempre tiene solucion sobre conjuntos abiertos conexos.Ademas, la solucion es unica (salvo constante) para el entorno de un punto, como se desprende del

teorema 4.7.5. Este resultado se puede generalizar tambien para conjuntos simplemente conexos.Con esta conclusion se puede aseverar que cualquiera sea el metodo empleado para obtener la conju-

gada armonica, esta solo puede diferir en una constante.

El problema planteado, de hallar la conjugada armonica de una funcion u, es equivalente a cualquierade estos planteos:

a. Hallar una funcion potencial v, conocido su gradiente, ∇v = (vx, vy) = (−uy, ux)

b. Hallar la familia de funciones ortogonales de la familia u(x y) = k

Estos problemas significan, en todos los casos, resolver la ecuacion diferencial exacta

dv = vx dx + vy dy

que de acuerdo a las condiciones de Cauchy-Riemann, se transforma en:

dv = −uy dx + ux dy


Para la resolucion de esta ecuacion diferencial, pueden encararse diferentes metodos que se desarrollana continuacion.

Primer metodo

Con este metodo se resuelve la ecuacion diferencial en forma general, expresando v como integralcurvilınea a lo largo de un camino contenido en un conjunto D, para el cual u es armonica.

Este analisis, se reduce en primer lugar al caso de que D sea una bola en el campo complejo, pudiendoextenderse sin dificultad a conjuntos simplemente conexos y abiertos.

El caso de conjuntos multiplemente conexos se estudiara una vez analizada la integral en el campocomplejo, sobre las cuales v puede no ser unica.

Sea una bola B(c r) del plano complejo, sobre la cual u es armonica, entonces, existe una funcion devariable real que es conjugada armonica de u.

En primer termino conviene investigar, por medio de una discusion heurıstica, las caracterısticas quepuede tener v; suponiendo que exista.

Partiendo de las condiciones de Cauchy-Riemann

{

ux = vy

uy = −vx

Partiendo de la primera de ellas e integrando respecto de y:

v(x y) =

∫ y

b

vy(x t) dt + ϕ(x)

=

∫ y

b

ux(x t) dt + ϕ(x)

donde b es un numero real, de manera tal que (x b) ∈ B y ϕ es una funcion de x que hace las veces deconstante de integracion.

Derivando bajo el signo integral, posible porque las derivadas primera y segunda de u son continuasal ser armonica, a efectos de aplicar la segunda condicion de Cauchy-Riemann:

vx(x y) =

∫ y

b

uxx(x t) dt + ϕ′(x)

recordando ademas que uyy = −uxx

−uy(x y) = −∫ y

b

uyy(x t) dt + ϕ′(x)

= −uy(x y) + uy(x b) + ϕ′(x)

Por lo tanto

ϕ′(x) = −ux(x b)

ϕ(x) =

∫ x

a

−uy(t b) dt + C


donde a es un real tal que (a b) ∈ B y C es una constante de integracion. Se llega entonces a:

v(x y) =

∫ x

a

−uy(t b) dt +

∫ y

b

ux(x t) dt + C

Esta es la solucion del problema de hallar la funcion v, conjugada armonica de u, sobre B(c r).

La integral obtenida, puede ser considerada comouna integral curvilınea a lo largo del camino γ (poli-gonal) contenido en B:

v(x y) =

∫

γ

−uy dx + ux dy

que es tambien la circulacion del vector

∇v = (vx, vy)

= (−uy, ux)

a lo largo de dicha poligonal

v(x y) =

∫

γ

(−uy, ux) • dγ dγ = (dx, dy)

b

b

b

(a b)

(x y)

c

r

γ

B(c r)

Figura 4.5: Integracion a traves de un ca-

mino poligonal.

Este estudio de orientacion permite justificar la definicion de una funcion v(x y) como la integralcurvilınea anterior, y a partir de allı probar que sobre una bola del campo complejo, v es conjugadaarmonica de u(x y) y por lo tanto existe y es unica, de acuerdo a 4.7.5 (salvo constante). Esta proposicionse demuestra a continuacion.

Teorema 4.7.7.

u ∈ Armonica/B(c r)

γ ∈ Poligonal contenida en B

v(x y) :=

∫ x

a

−uy(t b) dt +

∫ y

b

ux(x t) dt

=⇒ (u v) ∈ Conjugadas armonicas/B

Demostracion. Derivando v respecto de y:

vy(x y) = ux(x y)

y tambien respecto de x

vx(x y) = −uy(x b) +

∫ y

b

uxx(x t) dt

= −uy(x b) +

∫ y

b

−uyy(x t) dt

= −uy(x b)− uy(x y) + uy(x b)

= −uy(x y)

por lo tanto, se cumplen las dos condiciones de Cauchy-Riemann y siendo las derivadas de v continuas,el par (u v) son conjugadas armonicas.

Este resultado puede generalizarse extendiendo la validez de v como integral curvilınea a lo largo deun camino generico γ contenido en conjuntos abiertos y simplemente conexos.


Para ello basta recordar que una integral curvilınea no depende del camino sino solamente de losextremos cuando:

D ∈ Abierto y simplemente conexo

γ ∈ Camino contenido en D :

{

γ(a) = A

γ(b) = B

Px, Py, Qx, Qy ∈ C

Py = Qx

=⇒ ∃ V (x y) :

∫

γ

P dx + Q dy = V (B)− V (A)

Esto significa que existe una funcion potencialV (x y). Es esencial que D sea simplemente conexo,pues en caso contrario no puede asegurarse la inde-pendencia del camino.

b

b

A

B

D

γ

Figura 4.6: Reemplazo de un camino γ por

otro poligonal.

Aplicando este teorema a nuestro caso, se obtiene:

Teorema 4.7.8.


γ ∈ Camino contenido en D

u ∈ Armonica/D

v(x y) :=

∫

γ

−uy dx + ux dy

=⇒ (u v) ∈ Conjugadas armonicas/D

Demostracion. En primer termino se cumplen las hipotesis del teorema anterior, pues:

u ∈ Armonica/D =⇒{

uxx, uxy, uyx, uyy ∈ C/D

−uyy = uxx

y entonces, como la integral curvilınea es independiente del camino γ, puede elegirse una poligonal P talcomo lo muestra la figura 4.6.

La poligonal formada por un numero finito de segmentos paralelos a los ejes existe siempre porque,por hipotesis, D es abierto y conexo, y γ es cerrado y acotado (compacto).

D ∈ Ab. Conexo =⇒ ∃ P :

∫

γ

=

∫

P

A partir de aquı puede aplicarse el resultado anterior del estudio sobre una bola

(u v) ∈ Conjugadas armonicas/D

Este analisis se retomara una vez estudiada la integral en el campo complejo. En particular se estu-diara el caso de los conjuntos multiplemente conexos.


Segundo metodo

Conociendo el resultado del metodo anterior, que asegura la existencia de v, conjugada armonica deu, sobre un conjunto abierto y simplemente conexo, puede aplicarse el procedimiento visto al comienzodel parrafo anterior.

Este metodo, que suele convenir en la resolucion de ejercicios, consiste en resolver el sistema deecuaciones diferenciales:

ux = vy uy = −vx

por calculo de primitivas (integracion indefinida), por ejemplo:

v(x y) =

∫

ux dy + ϕ(x)

derivando

vx = −uy =∂

∂x

∫

ux dy + ϕ′(x)

de donde puede despejarse ϕ′(x), y por lo tanto calcular ϕ(x) y v(x y)

ϕ′(x) = −uy −∂

∂x

∫

ux dy

o tambien, de acuerdo a lo visto en el primer metodo:

ϕ′(x) = −uy(x b)

Llegando al resultado final:

v(x y) =

∫

ux(x y) dy + ϕ(x)

v(x y) =

∫

ux(x y) dy +

∫

−uy(x b) dx

Tercer metodo. Milne-Thomson.

El metodo de Milne-Thomson permite resolver en forma elegante y directa casos que con los metodosanteriores son dificultosos.

La demostracion es una modificacion de la original, y no es simple, pero la aplicacion del metodo,como se vera, es muy sencilla.

Como hipotesis se toma un conjunto abierto y simplemente conexo, que contenga el origen (0 0), parasimplificar. Si no lo contuviera, el problema se reduce al primero con una traslacion.

Teorema 4.7.9 (Milne-Thomson).


(0 0) ∈ D

U(x y) ∈ Armonica/D

U(x) = lımy→0

U(x y)

V (x) =

∫

lımy→0

Uy(x y) dx

=⇒{

U(z) + iV (z) ∈ H/D

(U, V ) ∈ Conjugadas armonicas/D


Demostracion. En base al estudio realizado para el primer metodo se asegura que sobre D existe conju-gada armonica de u, que se llamara v. De acuerdo entonces al teorema 4.7.1, u + iv es holomorfa sobreD.

∃ f(z) = u + iv : f ∈ H/D

un primer paso de la demostracion es el siguiente lema: Una funcion f de imagen f(z) tiende a f(x) para

y → 0. Esto significa que el lımite para y → 0 se obtiene reemplazando formalmente x por z.Si f es holomorfa en el entorno de (0 0) se asegura la existencia de dicho lımite.

f(z) = f(x + iy) −−−→y→0

f(x)

Viceversa, este resultado dice que si se conoce f(x) puede obtenerse f(z) reemplazando formalmente xpor z.

Ejemplos:

{

sen x −→ sen z

ex −→ ez

El lımite para y → 0 adquiere entonces, para el caso de una funcion holomorfa, la siguiente forma:

f(x + iy) = u(x y)

y→0��

+ i v(x y)

y→0��

f(x) = U(x) + i V (x)

Donde U(x) y V (x) representan respectivamente los lımites de u(x y) y de v(x y) que existen por lacontinuidad de f en (0 0), debida a la holomorfıa.

En nuestro caso, la U(x) se obtiene facilmente y entonces el problema se reduce a la busqueda deV (x).

Para ello se demuestra que:

lımy→0

∂

∂xv =

∂

∂xlımy→0

v

es decir:

v(x y)

y→0��

∂

∂x// vx(x y)

y→0��

V (x)∂

∂x// V ′(x) = V1(x)

En efecto, como v es armonica tiene derivadas continuas, y por el teorema de Heine-Cantor de lacontinuidad uniforme 2 se asegura que V ′(x) = V1(x).

Aplicando, por lo tanto, las condiciones de Cauchy-Riemann:

V (x) =

∫

lımy→0

vx(x y) dx

=

∫

lımy→0

uy(x y) dx

2 El teorema de Heine-Cantor, aplicado a una funcion f : Rn −→ R, afirma que si f esta definida sobre un compacto D:

∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ x′, x′′ ∈ D : ||x′ − x′′|| < δ =⇒ |f(x′) − f(x′′)| < ǫ

Esto quiere decir que se puede elegir un ǫ tal que toda la imagen de f en D este contenida en una banda uniforme

[f(x − ǫ), f(x + ǫ)].


Puede formarse entonces

f(x) = U(x) + iV (x)

y de acuerdo al resultado del lema analizado al comienzo

f(z) = U(z) + iV (z)

Esta funcion, de acuerdo con lo visto, es holomorfa y sus partes real e imaginaria son:

{

u(x y) = Re(U + iV )

v(x y) = Im(U + iV )

Que son armonicas conjugadas.

La practicidad del metodo lo prueba el ejemplo siguiente:

u =x + 1

(x + 1)2 + y2

u verifica la ecuacion de Laplace para todo z 6= (−1, 0) y ademas tiene las derivadas segundas continuas,siendo por lo tanto armonica. Eligiendo entonces, un conjunto D abierto y simplemente conexo que nocontenga a (-1,0):

u −−−→y→0

U(x) =1

x + 1

Por otra parte

uy =−2y(x + 1)

((x + 1)2 + y2)2−−−→y→0

0 = V ′(x)

V (x) = k k ∈ R

resultando entonces

f(z) = U(z) + iV (z)

=1

z + 1+ ik

cuyas partes real e imaginaria son conjugadas armonicas:

u =x + 1

(x + 1)2 + y2

v =−y

(x + 1)2 + y2+ k

Observacion: Si se deseara plantear el problema de obtener u, conocida la funcion v de manera tal que(u v) sean conjugadas armonicas, basta recordar que (−v u) son conjugadas armonicas, y por lo tanto sonde aplicacion los metodos anteriores.


4.8. Holomorfıa en el infinito

Cuando se trabaja con funciones definidas en el complejo extendido C, aunque no se conserva la es-tructura de espacio vectorial, es posible dar un sentido al concepto de funcion holomorfa en ∞.

Esta definicion es de especial utilidad para el calculo de integrales en el campo complejo.

Sea una funcion f definida en el complejo extendido:

f : D −→ C : D ⊂ C , ∞ ∈ D

z 7−→ f(z)

de acuerdo a lo visto en 2.9.1, el 0 es imagen del punto ∞ por la inversion:

Inv : C −→ C

z 7−→

1/z z 6= 0, z 6=∞∞ z = 00 z =∞

o tambien por una restriccion de la inversion al entorno de ∞:

Inv’ : U(∞) −→ C

z 7−→{

1/z ∀ z ∈ U(∞)− {∞}0 z =∞

y entonces el problema del estudio de la funcion f en ∞ se reduce a un problema en el entorno de 0 dela funcion compuesta

f ◦ Inv’ : U(∞) −→ C

z 7−→{

f(1/z) z 6=∞f(0) z =∞

Observacion: La necesidad de restringir la inversion surge de asegurar la existencia de la funcion com-puesta f ◦ Inv’, pues debe cumplirse que el rango de la Inv’ debe estar incluido en el dominio D de lafuncion f . Esto se muestra en la figura 4.7.

b

∞

U(∞)

RD

C

Inv’ f

Figura 4.7: Dominio e imagen de Inv’ y f

El analisis anterior permite definir:

D ∈ abierto y conexo

f : D −→ C : ∞ ∈ D

f ∈ H/∞ := f ◦ Inv’ ∈ H/D

Ejemplo:

sen(1/z) ∈ H/∞⇐= sen(z) ∈ H/D

4.9. REPRESENTACION CONFORME 95

4.9. Representacion conforme

La transformacion de caminos por medio de funciones holomorfas tiene caracterısticas tales como paramerecer un estudio particular.

La aplicacion de estas propiedades permite resolver, en dos dimensiones, problemas de potencial encampos gravitatorios, electricos, magneticos, de temperatura, etc. y en general para cualquier campo con-servativo, ademas de problemas se ingenierıa electrica: diagramas de impedancia-admitancia y problemasde cartografıa.

4.9.1. Angulo entre caminos

Vector tangente a un camino

Para definir el angulo orientado entre dos caminos, conviene establecer previamente el concepto devector tangente a un camino.

Se llama vector tangente al camino γ, en el punto γ(c), a:

T (γ, γ(c)) :=

(

x′(c)y′(c)

)

: (x′(c), y′(c)) 6= (0 0)

T (γ, γ(c)) := Vector tangente al camino γ en el punto γ(c)

El vector tangente T (γ, γ(c),) no es mas que γ′(c) expresado en notacion matricial.

b

| | |

γ(c)

T (γ, γ(c))

a c b

Figura 4.8: Vector tangente a γ en el punto γ(c).

La condicion impuesta, que γ′(c) 6= (0 0), equivalente a que el vector tangente es no nulo, es indispen-sable para definir la recta tangente en el punto γ(c):

Tg : R −→ C

t 7−→ γ(c) + t γ′(c)

Tg := Recta tangente al camino γ en el punto γ(c)

Es usual tambien introducir la siguiente terminologıa:

Se dice que un camino es regular en el punto γ(c) si γ′(c) 6= 0, es decir, si existe vector tangente enese punto.

Asimismo, un camino se dice que es regular a secas, si lo es en todos sus puntos.

γ ∈ Camino regular/γ(c) := γ′(c) 6= 0

γ ∈ Camino regular := ∀ c ∈ [a b] =⇒ γ′(c) 6= 0


Angulo entre dos caminos

Dados dos caminos

γ1 : [a1 b1] −→ C

γ2 : [a2 b2] −→ C

que se cortan en el punto zc, es decir:

∃ c1 ∈ [a1 b1]

∃ c2 ∈ [a2 b2]

}

: γ1(c1) = γ2(c2)

zc := γ1(c1)

entonces se llama angulo orientado de γ1 a γ2, de-signado en la figura 4.9 por α, al angulo orientadoentre los respectivos vectores tangentes en el puntode corte zc.

b γ1

γ2

T (γ1, zc)

T (γ2, zc)

αzc

Figura 4.9: Angulo entre los caminos γ1 y

γ2 en el punto zc.

Analıticamente, el angulo orientado de γ1 a γ2 es el numero real definido por:

Ang(γ1, γ2) := Arg(γ′2(c2))−Arg(γ′

1(c1))

Ang(γ1, γ2) := Angulo orientado entre los caminos γ1 y γ2

Observacion 1: Conviene remarcar que en la definicion anterior se ha empleado la funcion valor principaldel argumento, que establece una unica determinacion del mismo.

Una propiedad del angulo entre dos caminos, que destaca el concepto de orientacion intrınseco a ladefinicion, es:

Ang(γ1, γ2) = −Ang(γ2, γ1)

Una cota superior para el angulo orientado α esta dada por:

|Ang(γ1, γ2)| 6 |Arg(γ′2(c2))|+ |Arg(γ′

1(c1))|6 π + π

6 2π

Observacion 2: El modulo del angulo entre los caminos γ1 y γ2 puede ser expresado bajo forma vectoriala partir de:

cos(α) =T1 • T2

||T1|| ||T2||

4.9.2. Transformacion de caminos

Teorema 4.9.1. Una funcion f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen

derivadas primeras continuas, transforma un camino γ : [a b] −→ C, contenido en D, en otro camino

f ◦ γ contenido en R.


b

b

γD

b

b

f ◦ γ

R

f

Figura 4.10: Transformacion de caminos por una funcion de variable compleja.

γ : [a b] −→ D

t 7−→ x(t) + iy(t)


f : D −→ R

z 7−→ (u v) :

{

ux, uy ∈ C/D

vx, vy ∈ C/D

=⇒ f ◦ γ ∈ Camino contenido en R

Demostracion. Sea la composicion

f ◦ γ : [a b] −→ R

t 7−→ u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))

γ es un camino, y por lo tanto es continua. γ′ es continua por partes:

γ ∈ C/[a b]

f ∈ C/D

}

=⇒ f ◦ γ ∈ C/[a b]

(f ◦ γ)′ = (uxxt + uyyt) + i(vxxt + vyyt)

que es continua por partes porque las derivadas primeras de u y de v son continuas

(f ◦ γ)′ ∈ CP/[a b]

Con las mismas hipotesis del teorema anterior, si f es ademas inyectiva, transforma un camino simple(arco de Jordan) en otro camino simple:

Teorema 4.9.2.

γ ∈ Camino simple contenido en D

f : D −→ R

z 7−→ (u v) :

{

ux, uy ∈ C/D

vx, vy ∈ C/D

f ∈ Inyectiva

=⇒ f ◦ γ ∈ Camino simple contenido en R


Demostracion. De acuerdo al teorema 4.9.1, f ◦ γ es un camino, pero ademas:

γ ∈ Camino simple =⇒ γ ∈ Inyectiva

por lo tanto:

γ ∈ Inyectiva

f ∈ Inyectiva

}

=⇒ f ◦ γ ∈ inyectiva

entonces f ◦ γ es un camino simple.

Las transformaciones de lazos se rigen por los mismos teoremas anteriores. Si f es una funcion de lascaracterısticas indicadas, todo lazo se transforma en lazo y ademas, se f es inyectiva, todo lazo simple setransforma en un lazo simple.

Corolario 4.9.2.1.

γ ∈ Lazo contenido en D

f : D −→ R

z 7−→ (u v) :

{

ux, uy ∈ C/D

vx, vy ∈ C/D

=⇒ f ◦ γ ∈ Lazo contenido en R

Corolario 4.9.2.2.

γ ∈ Lazo simple contenido en D

f : D −→ R

z 7−→ (u v) :

{

ux, uy ∈ C/D

vx, vy ∈ C/D

f ∈ Inyectiva

=⇒ f ◦ γ ∈ Lazo simple contenido en R

4.9.3. Transformacion de vectores tangentes

Dada la funcion f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadasprimeras continuas, como se ha visto transforma un camino γ en otro f◦γ por medio de una transformacionque se puede caracterizar por:

{

ut = uxxt + uyyt

vt = vxxt + vyyt

sistema que escrito en notacion matricial toma la forma:(

ut

vt

)

=

(

ux uy

vx vy

)(

xt

yt

)

que representa la aplicacion lineal que transforma los vectores tangentes al camino γ en el punto γ(c)en los vectores tangentes a f ◦ γ, en el punto (f ◦ γ)(c); siempre y cuando se cumplan las condicionesdetalladas al final de este parrafo.

La aplicacion anterior es llamada aplicacion lineal tangente a f en el punto γ(c) y se caracteriza comosigue:

J(f, γ(c)) : T (γ, γ(c)) 7−→ J(f, γ(c)) · T (γ, γ(c))

J(f, γ(c)) := Aplicacion lineal tangente a f en el punto γ(c)


donde la matriz

J(f, γ(c)) =

(

ux uy

vx vy

)

no es otra que la matriz jacobiana del sistema

{

u = u(x y)

v = v(x y)

y por lo tanto, si el determinante de J no es nulo (|J | 6= 0), se asegura la existencia y unicidad de lafuncion inversa f−1 continua y con derivadas primeras continuas para sus partes real e imaginaria, esdecir:

{

x = x(u v)

y = y(u v)

Se deduce directamente de la definicion de la aplicacion J(f, γ(c)) que:

Condicion necesaria y suficiente para que una aplicacion lineal tangente J(f, γ(c)) transforme el vectortangente al camino γ en el punto γ(c) en el vector tangente al camino f ◦ γ en el punto f ◦ γ(c), es quela matriz J sea regular (|J | 6= 0) y que γ tenga vector tangente γ′(c) 6= 0.

f : D −→ R

z 7−→ (u v) : ux, uy, vx, vy ∈ C/D


γ′(c) 6= 0

|J(f, γ(c))| 6= 0

}

=⇒ (f ◦ γ)′ 6= 0

4.9.4. Aplicacion conforme

Se dice que una funcion f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienenderivadas primeras continuas, es una aplicacion conforme en el punto zc; si la matriz J(f, γ(c)) conservalos angulos orientados de los vectores tangentes a dos caminos.

Esto significa que el angulo orientado entre dos caminos γ1 y γ2 es igual al angulo orientado entre loscaminos transformados f ◦ γ1 y f ◦ γ2.

f ∈ Aplicacion conforme/zc :=

f : D −→ R

z 7−→ (u v) : ux, uy, vx, vy ∈ C/D

∀ (γ1 γ2) : zc = γ1(c1) = γ2(c2) =⇒ Ang(γ1, γ2) = Ang(f ◦ γ1, f ◦ γ2)


b γ1

γ2

αzc

b

f ◦ γ1

f ◦ γ2 α

f(zc)

Figura 4.11: Conservacion del angulo entre dos caminos mediante una aplicacion conforme f .

En particular, una aplicacion conforme transforma caminos ortogonales α = ±π2 en caminos orto-

gonales, caso de interes para el estudio de las lıneas equipotenciales de un campo y sus trayectoriasortogonales: las lıneas de campo.

Observacion 1: Una aplicacion f se dice que es isogonal cuando en su transformacion conserva los angulosde dos caminos en modulo, es decir sin especificar la orientacion.Es decir, la aplicacion isogonal asegura la conservacion del valor absoluto del angulo en la transformacion,pero no asegura la conservacion del signo.Es condicion necesaria entonces, para que una aplicacion sea conforme, que sea isogonal.Condicion necesaria y suficiente, desde el punto de vista vectorial, para que una transformacion seaisogonal es que para todo par de vectores (x1 x2) se cumpla:

∀ (x1 x2)X1 •X2

|X1||X2|=

x1 • x2

|x1||x2|

donde con X mayusculas se has simbolizado los transformados de x minusculas, es decir:

A : x 7−→ Ax = X

Antes de estudiar las condiciones generales que debe cumplir una funcion f de variable compleja paraser una aplicacion conforme es inmediato observar que:

Condicion necesaria para que f sea una aplicacion conforme en zc es que el jacobiano sea distinto decero:

f ∈ Aplicacion conforme/zc =⇒ |J(f, zc)| 6= 0

Es obvio que para que existan los angulos orientados entre caminos, tanto γ como f ◦ γ deben serregulares.

Por lo tanto, (f ◦ γ)′ 6= 0 implica que el jacobiano no es nulo de acuerdo con el resultado obtenido enla seccion anterior “in fine”.


Observacion 2: A los efectos posteriores de estudiar las caracterısticas generales de la aplicacion lineal

J(f, zc) : T −→ J · T : |J | 6= 0

cuyo determinante no es nulo, conviene recordar las propiedades que debe tener una aplicacion lineal dedos dimensiones:

A : x −→ Ax = X

para que conserve los angulos entre dos vectores de la transformacion.

Para ello es condicion necesaria (no suficiente) que se conserve el producto interno, salvo constantepositiva, para cualquier par de vectores (x1 x2)

3:

∀ (x1 x2) X1 •X2 = k x1 • x2 : k > 0

xT1 AT · Ax2 = k xT

1 · x2

Como esta igualdad debe cumplirse para cualquier par (x1 x2) debe ser:

AT ·A = k I

Es decir, A es ortogonal salvo constante

AT = k A−1

La forma general de A se deduce de esta ultima igualdad haciendo:

A =

(

a bc d

)

|A| 6= 0

(

a cb d

)

=k

ad− bc

(

d −b−c a

)

Llamando K = kad−bc resulta

=

(

Kd −Kb−Kc Ka

)

De la igualdad de matrices se obtiene como unica posibilidad:

K = ±1

Por lo tanto, las dos matrices que mantienen el producto interno, salvo constante son:

K = 1 =⇒ A =

(

a −bb a

)

= R

(

cos(α) − sen(α)sen(α) cos(α)

)

K = −1 =⇒ A =

(

a bb −a

)

= R

(

cos(α) sen(α)sen(α) − cos(α)

)

3En el desarrollo siguiente se expresa el producto interno de dos vectores cualesquiera x, y ∈ R2 como x • y = xT · y,donde xT representa el vector transpuesto de x, y · representa el producto usual de matrices.


donde{

R =√

a2 + b2

α = Arg(a, b)

sin embargo, una sola de ellas conserva los angulos orientados, pues:

(

cos(α) − sen(α)sen(α) cos(α)

)(

r cos(θ)r sen(θ)

)

= r

(

cos(α) cos(θ)− sen(α) sen(θ)sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)

)

= r ei(α+θ)

representando entonces la primera de las dos matrices una rotacion para R = 1 o una rotacion condilatacion para R 6= 1 (homotecia), y por lo tanto conservando los angulos orientados, mientras que:

(

cos(α) sen(α)sen(α) − cos(α)

)(

r cos(θ)r sen(θ)

)

=

(

cos(α) cos(θ) + sen(α) sen(θ)sen(α) cos(θ) − cos(α) sen(θ)

)

= r ei(α−θ)

la aplicacion de la segunda matriz es una simetrıa respecto de la recta que pasa por el origen, de pendienteα2 . Si R = 1 es una simetrıa y una dilatacion si R 6= 1, no conservandose por lo tanto los angulos orientados.

y

x

z

x1

x2

X1

X2

K = 1

y

x

z

x1

x2

X1

X2

α

2

K = −1

Figura 4.12: Transformacion de angulos para aplicaciones con distintos valores de K. Para K = 1 es conforme,

mientras que para K = −1 es solo isogonal.

En resumen:

Teorema 4.9.3. Para que una aplicacion lineal en dos dimensiones A : x 7−→ Ax conserve los angulos

orientados, es condicion necesaria y suficiente que la matriz A sea regular y del tipo:

A =

(

a −bb a

)

Es decir:

A : R2 −→ R2

x 7−→ Ax

∀ (x1 x2) Ang(x1, x2) = Ang(Ax1, A x2)⇐⇒

A =

(

a −b

b a

)

|A| 6= 0


Analizando las caracterısticas que debe cumplir una funcion de variable compleja, para que sea unaaplicacion conforme se llega a:

Teorema 4.9.4. Condicion necesaria y suficiente para que una funcion f : D −→ R de partes real e

imaginaria con derivadas primeras continuas, sea aplicacion conforme en zc, es que f sea holomorfa y

de derivada primera no nula en ese punto.

f ∈ H/zc

f ′(zc) 6= 0

}

⇐⇒ f ∈ Aplicacion conforme/zc

Demostracion. De acuerdo al analisis hecho en la Observacion 2 anterior, para que la aplicacion linealtangente conserve los angulos orientados debe ser del tipo

J(f, zc) =

(

a −bb a

)

|J(f, zc)| 6= 0

Como por definicion, J tiene como elementos las derivadas parciales de u y de v, que son continuas,resulta:

J(f, zc) =

(

ux uy

vx vy

)

ux = vy

uy = −vx

ux, uy, vx, vy ∈ C/zc

⇐⇒ f ∈ H/zc

|J | = uxvy − uyvx

= u2x + v2

x 6= 0⇐⇒ f ′(zc) 6= 0

La doble implicacion del teorema surge inmediatamente de la reversibilidad de la demostracion.

De acuerdo con el resultado obtenido, se desprende:

Corolario 4.9.4.1. Condicion necesaria y suficiente para que un camino transformado por una funcion

holomorfa sea regular, es que el camino original sea regular y que la derivada primera sea no nula.


f ∈ H/zc

f ′(zc) 6= 0

γ′(c) 6= 0

}

⇐⇒ (f ◦ γ)′ 6= 0

Bajo las hipotesis anteriores, f es holomorfa en zc y con derivada no nula, resulta:

(f ◦ γ)′ = f ′ · γ′

por lo tanto, la aplicacion lineal tangente J(f, γ(c)) puede ser expresada por:

z 7−→ f ′(zc) · z

que representa una homotecia compleja (rotacion y dilatacion) de γ sobre sı mismo. El coeficiente dedilatacion es |f ′(zc)| y el angulo de rotacion es Arg(f ′(zc)).


En el caso de que f ′(zc) = 0, siendo f una funcion no constante, no se mantiene el angulo orientado.Se puede demostrar que el angulo entre dos caminos, en este caso, se transforma de un valor α a un valornα, donde n es el orden de la menor derivada no nula en zc.

Si la funcion f : D −→ R es una aplicacion conforme sobre todos los puntos del domino D, se diceque f es una representacion conforme de D sobre f(D).

f ∈ Representacion conforme/D, f(D) := ∀ z ∈ D, f ∈ Aplicacion conforme/z

f ∈ Representacion conforme/D, f(D) := La funcion f es una representacion conforme de D sobre f(D)

La existencia de f ′(z) 6= 0 asegura la no nulidad del jacobiano |J(f, z)|; lo cual, de acuerdo a lo yamencionado en 4.9.3, implica la existencia de la funcion inversa de f

f−1 : f(D) −→ D

w 7−→ z : w = f(z)

Existe tambien la derivada de la funcion inversa, segun las reglas normales

(f−1)′ =1

f ′(z)

En este caso, entonces, la funcion f es biyectiva.

La funcion inversa tambien es una representacion conforme de f(D) sobre D.

Quedan explicadas, a la luz de la representacion conforme, las propiedades de las transformacionescomplejas dadas como ejemplo en 3.2 y 4.7.2.

4.9.5. Transformacion de areas e integrales dobles

Sea f una representacion conforme de D sobre f(D). Para estas funciones se puede llegar a unaformula particular de calculo de areas.

Si f(D) es un conjunto sobre el cual puede calcularse la integral que define el area, entonces se acuerdoa las reglas de cambio de variables:

A =

∫∫

f(D)

du dv =

∫∫

D

|J | dx dy

pero como

|J | = u2x + v2

x

= |f ′(z)|2

Resulta entonces:∫∫

f(D)

du dv =

∫∫

D

|f ′(z)|2 dx dy

formula que establece la relacion de areas en una transformacion conforme.


4.9.6. Los problemas de la representacion conforme

Sea una funcion de variable compleja f que transforma un conjunto D en otro f(D).

Se pueden plantear entonces dos problemas llamados directo e inverso de representacion conforme.

I. Problema directo de la representacion conforme.

Dado el conjunto D y la funcion f , hallar la imagen f(D). La funcion f tiene que ser holomorfa yno constante.

II. Problema Inverso de la representacion conforme.

Dados dos conjuntos D y D′, hallar la funcion f holomorfa que sea una representacion conformede D sobre D′.

El problema inverso no siempre tiene solucion y existen teoremas generales que se ocupan del tema,pero tampoco dan solucion en todos los casos.

En la practica se suelen emplear soluciones aproximadas que dan origen a difıciles problemas de calculonumerico.

Otro metodo importante para resolver el problema inverso es la tabulacion de representaciones con-formes segun el problema directo.

El problema inverso tiene especialısimo interes en las cuestiones relacionadas con los campos poten-ciales, es decir, los conjuntos abiertos sobre los cuales se cumple la ecuacion de Laplace:

∇2u = uxx + uyy = 0

que rige en campos electricos, magneticos, gravitatorios, hidrodinamicos y teorıa del calor.

Un problema tipo es el siguiente:Conocido el potencial sobre la frontera de un conjunto abierto D (representada por el lazo γ) que en

particular puede ser una lınea equipotencial, hallar la distribucion de potencial en el interior de D.

Este puede encararse (no siempre tiene solucion) hallando una funcion f que sea una representacionconforme de D sobre un conjunto D′ de geometrıa sencilla (por ejemplo un cırculo) sobre el cual seconozca el potencial en todos sus puntos.

Invirtiendo la funcion f , el problema planteado queda resuelto. En particular pueden hallarse laslıneas equipotenciales y las lıneas de campo en el conjunto D.

D

γ

D′

γ′

f

Figura 4.13: Lıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representacion conforme.


4.9.7. La inversion

El estudio de la funcion inversion tiene particular importancia en las aplicaciones de representacionconforme.

inv : C −→ C

z 7−→

1/z z 6= 0, z 6=∞0 z =∞∞ z = 0

Es facil verificar que la inversion es una biyeccion de C sobre sı mismo.En coordenadas cartesianas las inversion, para z 6= 0 y z 6=∞ puede presentarse como la transforma-

cion que sigue, y su inversa:

(x y) 7−→ (u v) = (x

x2 + y2,−y

x2 + y2)

(u v) 7−→ (x y) = (u

u2 + v2,−v

u2 + v2)

o tambien en coordenadas polares

(r θ) 7−→ (R Θ) = (1r ,−θ)

(R Θ) 7−→ (r θ) = ( 1R ,−Θ)

Las expresiones en coordenadas polares permiten una interpretacion sencilla de la inversion de uncomplejo z = (r θ). El complejo 1

z tiene por modulo al recıproco del modulo de z, y por argumento elopuesto del argumento de z, es decir 1

z = (1r ,−θ). Geometricamente:

x

b

z

θ

r

u

b

1z

−θ

1r

Figura 4.14: Transformacion de vectores mediante una inversion.

Las construcciones geometricas mas sencillas para obtener la recıproca de un complejo son:

Construyendo dos triangulos semejantes, como mues-tra la figura 4.15, se obtiene que R = 1

r , pues:

r

sen(α)=

1

sen(θ)

R

sen(θ)=

1

sen(α)

=⇒ R =1

r x

z

1

z

1

α

αβ

β

θ

θ

r

R

Figura 4.15: Construccion geometrica para

obtener la recıproca de un complejo.


x

b

b

z

1

z

θ

θ1

r

r

1

Figura 4.16: Construccion geometrica alter-

nativa para hallar la recıproca de un numero

complejo.

Un segundo metodo, mostrado en la figura 4.16, sebasa en un metodo semejante al anterior con apoyoen la circunferencia de radio unitario.

Una aplicacion de utilidad es la inversion de la familia γ

γ{

a(x2 + y2) + bx + cy + d = 0

que representa a todas las circunferencias del plano para a 6= 0 y a todas las rectas del plano para a = 0.

Si se aplica la inversion a la familia anterior, resulta:

f ◦ γ{

a + bu− cv + d(u2 + v2) = 0

que es una ecuacion de las mismas caracterısticas de la anterior, representando todas las circunferenciasdel plano para d 6= 0 y a todas las rectas del plano para d = 0.

En el cuadro 4.1, preparado al efecto, se muestran todos los casos posibles de transformacion de cir-cunferencias y rectas por medio de la inversion.

En los respectivos graficos se presentan las construcciones geometricas convenientes para obtener lainversion propuesta. Para ello debe recordarse que el punto z, perteneciente a γ de maximo modulo, setransforma en el punto w, perteneciente a f ◦ γ de mınimo modulo; y que tambien la transformacion esconforme, es decir, mantiene los angulos orientados.

4.9.8. La funcion homografica

Se llama funcion homografica no degenerada u homografıa a la funcion racional:

Hom : C −→ C

z 7−→

az + b

cz + dz 6= −d

cz 6=∞ :

{

a, b, c, d ∈ C

ad− bc 6= 0a

cz =∞

∞ z = −d

c


γ |z f ◦ γ |w

a = 0

d = 0

y

x

z

α

γ

(0 0) ∈ γ

Recta que pasa por (0 0)

v

u

w

α

f ◦ γ

(0 0) ∈ f ◦ γ

Recta que pasa por (0 0)

a = 0

d 6= 0

y

x

z

b

A

α

(0 0) /∈ γ

γ

Recta que no pasa por (0 0)

v

u

w

b

A′

αf ◦ γ

(0 0) ∈ f ◦ γ

Circunf. que pasa por (0 0)

a 6= 0

d = 0

y

x

z

b

A

α

(0 0) ∈ γ

γ

Circunf. que pasa por (0 0)

v

u

w

b

A′

α

f ◦ γ

(0 0) /∈ f ◦ γ

Recta que no pasa por (0 0)

a 6= 0

d 6= 0

y

x

z

b

b

A

B

α

(0 0) /∈ γ

γ

Circunf. que no pasa por (0 0)

v

u

w

b

b

A′

B′

αf ◦ γ

(0 0) /∈ f ◦ γ

Circunf. que no pasa por (0 0)

Cuadro 4.1: Diversas transformaciones mediante la funcion inversion.


Si se supusiera que ad− bc = 0, la funcion homografica se reducirıa a una constante.

Si c = 0, la homografıa se reduce a la funcion lineal

z 7−→ a

dz +

b

d

Si c 6= 0, la homografıa puede llevarse a la forma

w − α =β

z − δ

que representa sucesivamente:

I. Desplazamiento z1 = z − δ

II. Inversion z2 = 1z1

III. Homotecia z3 = β z2

IV. Desplazamiento w = α + z3

y que permite interpretar facilmente la transformacion de circunferencias y rectas por medio de latabla hecha para la inversion.

Recta que pasa por δ ←→ Recta que pasa por α

Recta que no pasa por δ ←→ Circunf. que pasa por α

Circunf. que pasa por δ ←→ Recta que no pasa por α

Circunf. que no pasa por δ ←→ Circunf. que no pasa por α

La homotecia esta caracterizada por un giro definido por el Arg(β) y una dilatacion definida por el |β|.

La homografıa permite tambien estudiar la representacion conforme de cırculos en semiplanos, ocırculos en cırculos, u otras combinaciones de conjuntos del plano limitados por circunferencias y rectas.

2282720 analisis de funciones de variable compleja

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