40151914 teoria de funciones de variable compleja

TEORIA DEFUNCIONESDE VARIABLECOMPLEJA

A. L. Cauchy (1789–1857)

Editado por

Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruizsobre apuntes del Area de Analisis matematico

B. Riemann (1826–1866) K. Weierstrass (1815–1897)

“La teorıa moderna de las funciones analıticas ha tenido cuatro fundadores: Gauss,Cauchy, Riemann y Weierstrass.Gauss no publico nada en vida; por ası decir, no habıa comunicado nada a nadie y susmanuscritos no se han reencontrado hasta mucho despues de su muerte. No ha ejercidopor ello ninguna influencia.Los otros tres geometras que han contribuido a crear la nocion nueva de funcion hanseguido caminos bien diferentes.Cauchy ha precedido a los otros y les ha mostrado el camino; pero no obstante las tresconcepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos ası tresinstrumentos entre los que podemos elegir y cuya accion podemos combinar a menudo.. . .La teorıa de Cauchy contenıa en germen a la vez la concepcion geometrica de Riemann y laconcepcion aritmetica de Weierstrass, y es facil comprender como podıa, al desarrollarseen dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra.Para Riemann, la imagen geometrica juega el papel dominante; una funcion no es mas queuna de las leyes segun las cuales pueden transformarse las superficies; uno busca repre-sentarse estas transformaciones y no analizarlas; su posibilidad misma no es establecidamas que por un razonamiento sumario al que no se ha podido, mucho mas tarde, dar rigormas que al precio de modificaciones profundas y rodeos complicados.Weierstrass se situa en el extremo opuesto; el punto de partida es la serie de potencias, elelemento de la funcion que esta confinado en un cırculo de convergencia; para proseguir lafuncion fuera de este cırculo, tenemos el procedimiento de la continuacion analıtica; tododeviene ası una consecuencia de la teoria de series y esta teorıa esta establecida sobrebases aritmeticas y solidas. Nos desembarazamos de las dudas que, en el siglo pasadoy en la primera mitad de este, asaltaban a menudo a los pensadores a proposito de losprincipios del calculo infinitesimal, y tambien de las que podıa provocar por sus lagunasla teorıa de funciones analıticas de Lagrange . . . ”(Henri Poincare, ‘La obra matematica de Weierstrass’, en Acta mathematica 22 (1899),pp. 1–18.)

INDICE

0 NÚMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Introducción 2. Propiedades algebraicas de los números complejos 3. El plano complejo 4. Raices n-ésimas de un número complejo 5. La topología de C 6. Compactificación de C 7. Continuidad de las funciones de variable compleja

1 FUNCIONES HOLOMORFAS 1. Introducción 2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja 3. Condiciones de Cauchy-Riemann 4. Funciones holomorfas. Funciones armónicas 5. Apéndice: cálculo de armónicas conjugadas y método de Milne-

Thomson 2 FUNCIONES ANALÍTICAS

1. Introducción 2. Series en C: generalidades 3. Series de potencias 4. Funciones analíticas 5. Principio de prolongación analítica

3 FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS 1. Introducción 2. Función exponencial 3. Funciones seno y coseno 4. Determinaciones del argumento y del logaritmo 5. Exponenciales y potencias arbitrarias 6. Otras funciones elementales

4 INTEGRACIÓN DE CAMINOS 1. Introducción 2. Integración de funciones complejas en intervalos reales 3. Curvas y caminos en C 4. Integración de funciones complejas sobre caminos 5. Integrales dependientes de un parámetro complejo

5 INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO 1. Introducción 2. Definición y primeras propiedades 3. Interpretación geométrica del índice 4. Ejemplos y ejercicios 5. Apéndice: superficies de Riemann

6 TEORÍA LOCAL DE CAUCHY 1. Introducción 2. Teorema y fórmula de Cauchy 3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy 4. Avance: el teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales 5. Apéndice: sumación de series.

7 TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY 1. Introducción

2. Ciclos. Homología 3. Teorema nomológico de Cauchy 4. Conexión simple

8 CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT 1. Introducción 2. Ceros de una función holomorfa 3. Singularidades aisladas 4. Funciones meromorfas 5. Singularidades en el infinito 6. Series de Laurent 7. Ejercicios resueltos

9 TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES 1. Introducción 2. Prólogo: residuos 3. El teorema de los residuos 4. Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series 5. Aplicaciones a la localización de ceros 6. Valores locales de una función holomorfa 7. Teorema de la aplicación abierta 8. Teoremas de la función inversa 9. Ejercicios resueltos

CAPITULO 0

Numeros complejos:conocimientos previos.

0.1 INTRODUCCION

Recopilamos en este capıtulo las propiedades basicas de los numeros complejos,ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usar-se, por ejemplo, Apostol, T.M.: Analisis Matematico (segunda edicion). Reverte,Barcelona (1991) (algunas explicaciones estan mas detalladas en Apostol, T.M.:Calculus, vol. I (segunda edicion). Reverte, Barcelona (1989)); para practicar conoperaciones y representaciones graficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. Mc-Graw Hill (coleccion Schaum) (1971).

Comencemos recordando que se definıa

C = (a, b) : a, b ∈ Rcon las operaciones

SUMA: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

PRODUCTO: (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)

Observese que, como conjunto, C es en realidad R2. La novedad (y lo intere-sante como veremos) esta en introducir el producto, pues se comprueba facilmenteque C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con(0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos.

Ademas, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmacion:

- La aplicacion a ∈ R −→ (a, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo decuerpos.

Esta identificacion de R como subcuerpo de C nos permite usar la notacionsimplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puedeescribir como

(a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1),

si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos

(a, b) = a + ib.

1

2 Numeros complejos: conocimientos previos.

Esta forma de escribir un numero complejo (forma binomica) hace mas facilla multiplicacion. En efecto, teniendo en cuenta que

i2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1

comprobamos que

(a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)

se traduce en(a + ib).(c + id) = ac − bd + i(bc + ad),

donde para hacer esta operacion solo hace falta recordar las reglas habituales de lamultiplicacion y las identificaciones anteriores.

Cuando se utiliza una sola letra para denotar un numero complejo, se sueleelegir la z, y si z = a + ib con a, b ∈ R, los numeros a, b se llaman partes real eimaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = m z.

Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que solucionael defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de queexistan ecuaciones polinomicas con coeficientes reales que no tienen solucionesreales. El ejemplo mas aparente es x2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C.

0.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta:

1. C es un espacio vectorial sobre R de dimension 2 (1, i es la base canonica).

2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R.

3. Existe un elemento de C solucion de z2 + 1 (precisamente i es solucion).

Pero, mucho mas general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomiocon coeficientes complejos tiene una solucion en C.

Este hecho no es facil de demostrar con argumentos elementales pero, masadelante, sera una consecuencia sencilla del analisis que desarrollaremos sobre C.

Ademas, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R.Con mayor precision, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpoisomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.

4. Aplicacion conjugacion. La aplicacion de C en C definida por

z = a + ib −→ z = a − ib

Numeros complejos: conocimientos previos. 3

tiene las siguientes propiedades:

4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw).

4.2. Es una proyeccion (z = z).

4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R).

5. Aplicacion modulo. La aplicacion de C en R+ definida por

z = a + ib −→ |z| = +√

zz = +√

a2 + b2

tiene las siguientes propiedades:

5.1. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0.

5.2. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular).

5.3. |zw| = |z||w|.Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad

triangular inversa,

5.4. |z − w| ≥ ||z| − |w||.6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que

extienda el orden de R.

En efecto, si este fuera el caso los elementos i y 0 deberıan ser comparables.Entonces, o i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendrıamosi2 = −1 > 0, o i < 0, en cuyo caso y por la misma razon, tambien se tendrıai2 = −1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R.

Observaciones.

1. En la construccion de los numeros se busca siempre solucionar un defecto,pero con una propiedad de minimalidad. Ası, en los contenidos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C,

Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene aZ, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpoalgebraicamente cerrado que contiene a R.

2. Hay otros contextos matematicos que llevan a construcciones de C, es decira la construccion de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son lossiguientes:

b= Im z

O a = Re z

|z |

φ

z=(a,b )


i) Sea R[x] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes reales(con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por elpolinomio x2 +1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operacionesinducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

ii) Sea M(2 × 2; R) el anillo de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales,con las operaciones habituales. El subanillo

M = (

a b−b a

): a, b ∈ R

es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

0.3 EL PLANO COMPLEJO

Debido a la identificacion entre C y R2, todo numero complejo z = a + ib lo pode-mos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero ademas,es de gran interes la llamada representacion polar de un numero complejo. Ob-servemos que todo punto del plano z = 0 queda unıvocamente determinado porsu distancia al origen y por el angulo que forma el segmento [0, z] con el eje real.Dicha distancia ya sabemos que es el modulo, y el angulo va a dar lugar al conceptode argumento de un numero complejo.

Mirando la figura, tenemos las igual-dades

e z = |z| cos φ, m z = |z| sen φ,

de dondez = |z|(cos φ + i sen φ) = |z|eiφ .

Aquı hemos utilizado la notacioneiφ = cos φ + i sen φ.

De momento, la igualdad anterior sedebe interpretar como una definicion,aunque mas adelante se corresponderacon el valor en iφ de la funcion expo-nencial compleja.

Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y cosenodel Analisis matematico se corresponden con las funciones definidas graficamenteen Trigonometrıa, sin que para ello tengamos ninguna justificacion rigurosa. Paraser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definicion rigurosade las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existen-cia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funcioneselementales basicas.


Observacion importante.

La definicion de modulo no plantea ninguna ambiguedad, pero no ası la delangulo (o argumento) puesto que φ y φ + 2kπ con k ∈ Z hacen el mismo papel.Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definicion de argumento.

Definicion. Dado z ∈ C \ 0,arg z = φ ∈ R : cos φ = e z/|z|, sen φ = m z/|z|.

Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma

φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z.Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de este

en un multiplo entero de 2π . De esta forma, en cualquier intervalo semiabiertode longitud 2π , [α, α + 2π) o (α, α + 2π ], α ∈ R, existe un unico elementoperteneciente al conjunto arg z. A este elemento se le denota por

Arg[α,α+2π) z (respectivamente, por Arg(α,α+2π ] z).

Normalmente, se toma el intervalo (−π, π ] y se escribe simplemente

Arg(−π,π ] z = Arg z.

A este argumento se le llama argumento principal (precaucion: en algunostextos se llama argumento principal al que esta en el intervalo [0, 2π)).

La expresion eiφ , φ ∈ R (recuerdese que, de momento, es cos φ + i sen φ pordefinicion) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real.

eiφeiψ = ei(φ+ψ), φ, ψ ∈ R,

(eiφ)n = einφ, φ ∈ R, n ∈ N,

(eiφ)−1 = ei(−φ), φ ∈ R.

0.4 RAICES n-ESIMAS DE UN NUMERO COMPLEJO

La representacion polar tiene especial importancia en este estudio, pues usandola,es facil ver que, dado z = 0 y n ∈ N, la ecuacion wn = z tiene exactamente nsoluciones, que son:

w = |z|1/nei Arg z+2kπ

n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Si queremos alguna notacion, n√

z deberıa denotar el conjunto de estos n

elementos, aunque en algunos textos, n√

z indica solamente el valor |z|1/nei Arg zn (que

nosotros llamaremos raız n-esima principal).


0.5 LA TOPOLOGIA DE C

La topologıa (estandar) en C viene dada por la aplicacion modulo, que al cumplirlas propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal dalugar a una distancia

d(z, w) = |z − w|Mirado en R2, esta es la distancia euclıdea. Por tanto, la topologıa de C es,exactamente, la topologıa euclıdea de R2. Nos limitaremos a recordar los aspectosde esta topologıa que seran de interes en el desarrollo de la asignatura.

1. Dado un punto z0 ∈ C y un ε > 0,

D(z0; ε) = z ∈ C : |z − z0| < εse llama disco (abierto) de centro z0 y radio ε. Es lo que en espacios metricosabstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en unpunto z0, (D(z0; ε))ε>0 es una base de entornos del punto z0.

2. Un subconjunto de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir,si

∀z ∈ , ∃ε > 0 tal que D(z; ε) ⊆ .

3. Una sucesion zn −→ z0 si (por definicion)

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, |zn − z0| < ε.

Es muy facil comprobar que

zn −→ z0 ⇐⇒ e zn −→ e z0 ∧ m zn −→ m z0.

Por tanto, la convergencia de una sucesion de numeros complejos se remiteal estudio de la convergencia de dos sucesiones de numeros reales. A partirde aquı es sencillo ver que (C, d) es un espacio metrico completo. Es decir,toda sucesion de Cauchy es una sucesion convergente.

4. Un subconjunto A ⊆ C es cerrado si su complementario es abierto, o equi-valentemente, coincide con su clausura A. Recordemos que z ∈ A si

∀ε > 0, D(z; ε) ∩ A = ∅.

Como estamos en un espacio metrico, es interesante observar que esta propie-dad se puede caracterizar por sucesiones:

z ∈ A ⇐⇒ ∃(zn) ⊆ A zn → z.

5. Un subconjunto A ⊆ C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Comoconsecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass:

Toda sucesion acotada posee una subsucesion convergente.

6. Conexion. Recordemos la definicion, en general.

O

z

w

O

• γ (a)

γ (b) .

O

z1

z2

zn


Definicion. Un espacio topologico X se dice conexo si no es union de dos conjuntosabiertos no vacıos disjuntos (o, equivalentemente, si los unicos subconjuntos de Xcerrados y abiertos a la vez son ∅ y X ).

Un subconjunto X ⊆ C se considera espacio topologico con la topologıainducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la interseccion de los abiertos deC con X .

Para el concepto de conexion por arcos, hace falta recordar algun conceptoprevio.

i) Una curva en C es una aplicacion γ : [a, b] −→ C continua. γ (a) y γ (b)

son los puntos inicial y final de la curva (se dice tambien que la curva une lospuntos γ (a) y γ (b)). El subconjunto de C, γ ([a, b]) se llama soporte de lacurva. Se dice que la curva esta contenida en un subconjunto A de C, si loesta el soporte.

ii) Un arco es una curva inyectiva.

iii) Dados z, w ∈ C, z = w, el arco γ : [0, 1] −→ C tal que t → (1 − t)z + tw,se llama segmento de extremos z y w. Efectivamente, el soporte de este arcoes el segmento con dichos extremos.

Esta notacion que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muyconveniente como se vera en capıtulos posteriores. Pero, para los aspectos queestamos aquı tratando no importa esta confusion.

iv) Dados z1, z2, . . . zn ∈ C, llamaremos poligonal de vertices z1, z2, . . . zn a launion de los n − 1 segmentos consecutivos que unen zi y zi+1. Es facil verque esta union corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es unarco.

v) Un conjunto A ⊆ C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de suspuntos pueden unirse por un arco contenido en A. Analogamente se puede darla definicion mas especıfica de conexo por poligonales.

En C y para abiertos, tenemos el siguiente:


Teorema. Sea abierto de C. Son equivalentes:

i) es conexo.

ii) es conexo por arcos.

iii) es conexo por poligonales.

Tambien podrıamos haber anadido es conexo por poligonales de ladosparalelos a los ejes.

Es importante la hipotesis de que sea abierto. Si la quitamos, la implicacioni i) ⇒ i) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C,

A = [−i, i] ∪ x + iy : y = sen(1/x), x ∈ (0, 1)es un conjunto conexo que no es conexo por arcos.

7. Componentes conexas. Sea ∅ = X ⊆ C. Una componente conexa (o,simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal.

Es decir, X1 es componente conexa de X si X1 ⊆ X , X1 es conexo y no existeA conexo tal que X1 ⊂ A ⊆ X .

Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente:

7.1. Si X es conexo, su unica componente conexa es X .

7.2 Las componentes son disjuntas.

7.3 Cada subconjunto conexo de X esta contenido en una (y solo una) com-ponente.

7.4 Si ⊆ C es abierto, cada componente conexa de es un abierto de Cy existen, a lo mas, un numero contable de componentes conexas.

7.5 Si X ⊆ C es un conjunto acotado, C\X = Xc posee una sola componenteno acotada.

0.6 COMPACTIFICACION DE C

En este apartado, vamos a introducir ‘el punto del infinito complejo’, ∞, con elobjetivo de manejar conceptos como

lim zn = ∞, limz→∞ f (z) = α, lim

z→z0

f (z) = ∞.

En C solo aparecera un punto del ∞. Los conceptos +∞ y −∞ estan asociadosa R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado.

La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compactificacionde Alexandrov de topologıa general, aunque posteriormente el concepto se manejacon facilidad. El resultado general dice lo siguiente:


Teorema. Cualquier espacio topologico localmente compacto puede ser sumergidoen un espacio compacto X , de forma que X \ X consta de un solo punto.

Dicho de otra forma, al espacio X le podemos anadir un punto que no esta enX , al que se suele denotar ∞, y al espacio X ∪ ∞ se le dota de una topologıaque restringida a X es la de X , y ademas con esta topologıa X ∪ ∞ es un espaciocompacto.

Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particularde C.

- C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene unentorno relativamente compacto).

- Anadimos un punto ∞ y denotaremos C∞ = C ∪ ∞.- Si G es la topologıa de C, es decir, G es el conjunto de los abiertos de C,

definimos la topologıa en C∞ como

G∞ = G ∪ C∞ \ K : K compacto de C.

Notese que estos conjuntos que anadimos son los entornos abiertos del puntodel ∞.

Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos:

a. G∞ es una topologıa en C∞.

b. G∞|C = G.

c. (C∞,G∞) es compacto.

La descripcion de esta topologıa por base de entornos es muy sencilla:

- Si el punto es un z0 ∈ C, una base de entornos son los discos D(z0, ε).

- Si el punto es ∞, una base de entornos es C∞ \ D(0, R)R>0.

Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del ∞, veamosque significa zn → ∞, cuando zn ⊂ C.

zn → ∞ ⇐⇒ ∀R > 0, ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, zn ∈ C∞ \ D(0, R).

Como zn ∈ C∞ \ D(0, R) significa |zn| > R, la definicion anterior es equivalentea que la sucesion de numeros reales |zn| tienda a +∞.

(0,0,1)

s = ( x1, x 2, x3)

π(s) = ( , , 0) x 1 1 – x 3

x2 1 – x3


Observacion.

Es un hecho teorico importante que esta topologıa de C∞ es metrizable. Esdecir, se puede definir una metrica en C∞ que da lugar a dicha topologıa. No esfacil describir una tal metrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la metricade C. Se puede demostrar que no existe ninguna metrica en C∞ que de lugar a latopologıa de C∞ y que extienda la metrica de C. No obstante, y por completar esteestudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas metricas.

9. Representacion geometrica de C∞. La esfera de Riemann.

El plano no puede ser una representacion geometrica de C∞, pues no quedasitio para dibujar el punto del ∞. No obstante, en la practica, conviene imaginarseal punto del ∞ como algo que esta mas alla en todas las direcciones, es decir, comola circunferencia de un cırculo imaginario de centro el origen y radio +∞.

Una buena representacion geometrica la dio Riemann utilizando la esferaunidad de R3. Denotamos por

S = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x2

2 + x23 = 1

a dicha esfera y la dotamos de la topologıa relativa que le da la euclıdea de R3.Vamos a identificar C∞ con S algebraicamente (obteniendo una biyeccion entreambos) y topologicamente (dicha biyeccion sera homeomorfismo).

La biyeccion es muy intui-tiva si nos fijamos en la figuraadjunta. Se proyectan los puntos(x1, x2, x3) de S desde el “polonorte” (0, 0, 1) sobre el “planodel ecuador” x3 = 0 y a (0, 0, 1)

[unico punto que queda sin ima-gen] se le asocia el punto del in-finito ∞ ∈ C∞.

Denotando por π : S −→ C∞ a esta biyeccion, es un sencillo problema degeometrıa elemental obtener expresiones explıcitas de π y π−1:

π(x1, x2, x3) = x1 + i x2

1 − x3, si (x1, x2, x3) ∈ S \ (0, 0, 1),

y π(0, 0, 1) = ∞.

π−1(z) = (2e z

|z|2 + 1,

2m z

|z|2 + 1,|z|2 − 1

|z|2 + 1)

y π−1(∞) = (0, 0, 1).

Se prueba que:


Teorema. La aplicacion π , llamada proyeccion estereografica, es un isomorfismoentre los espacios topologicos S (con la topologıa euclıdea relativa de R3) y C∞(con la topologıa G∞).

Una vez tenemos este resultado, como S es metrico (con la metrica euclıdead3), podemos tener una metrica sobre C∞ como imagen de la euclıdea por laaplicacion π ,

d∞(z1, z2) = d3(π−1(z1), π

−1(z2)).

Esta metrica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une lospuntos π−1(z1), π−1(z2)).

Haciendo las operaciones tenemos:

Proposicion. C∞ es metrizable y una de las metricas que origina su topologıa es

d∞(z1, z2) = 2|z1 − z2|((1 + |z1|2)(1 + |z2|2))1/2

, z1, z2 ∈ C,

d∞(z, ∞) = 2

(1 + |z|2)1/2, z ∈ C,

d∞(∞, ∞) = 0.

0.7 CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por funcion compleja de variable compleja, entendemos una funcion cuyo do-minio es un subconjunto de C y los valores que toma estan en C. Es decir,

f : A ⊆ C −→ C.

Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,

u(z) = e f (z), v(z) = m f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funcionesde dos variables reales que toman valores en R y, ası, es muy frecuente escribir

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.

Es decir, tener una funcion compleja de variable compleja es tener dos funcionesreales de dos variables reales.

Los conceptos de lımite y continuidad de funciones son totalmente analogosa los ya conocidos para R, ası como sus propiedades, ya que en la definicion de


estos solo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R comoen C.

Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulacion de A. Es decir,

D(z0; ε) ∩ (A \ z0) = ∅, ∀ε > 0

(notese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).

Diremos quelim

Az→z0

f (z) = α ∈ C

si (por definicion)

∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z0| < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε.

Como C es un espacio metrico, esta definicion (ε, δ) es equivalente a la definicionpor sucesiones. Es decir, a que ocurra

∀(zn) ⊂ A \ z0 zn → z0 ⇒ f (zn) → α.

Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A si

∃ limAz→z0

f (z) = f (z0).

Notese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la funcion.

Observacion.

Principalmente, trataremos con funciones f : ⊆ C −→ C, definidas en

abierto de C. Entonces, todo punto z0 ∈ es de acumulacion de y considerandoδ’s suficientemente pequenos, no nos tenemos que preocupar de que los z’s estenel dominio. En este caso, acudiendo a la definicion, tendremos:

f es continua en z0 ∈ si y solo si∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que D(z0; δ) ⊆ y |z − z0| < δ ⇒ | f (z) − f (z0)| < ε.

Diremos que f es continua en si lo es en z0, ∀z0 ∈ .

A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempreun abierto de C.


Las propiedades de los lımites y funciones continuas (con demostracionesanalogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.

Sean f, g : ⊆ C −→ C y z0 ∈ tal que

limz→z0

f (z) = α, limz→z0

g(z) = β.

Entonces:

1. Si f (z) = u(z)+ iv(z) = u(x, y)+ iv(x, y), z = x + iy ∈ , z0 = x0 + iy0,

limz→z0

f (z) = α ⇐⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = e α ∧ lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = m α.

2.limz→z0

(f (z) + g(z)

) = α + β.

3.limz→z0

(f (z) · g(z)

) = α · β.

4. Si β = 0,

limz→z0

f (z)

g(z)= α

β.

5. Si f y g son continuas en z0, tambien lo son las funciones f + g y f · g.Asimismo, lo es f/g siempre que g(z0) = 0.

Observacion.

Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el usodel modulo y la estructura de cuerpo, tambien sera cierta en C. Por ejemplo, ellımite del producto de una funcion que tienda a 0 por otra funcion acotada en unentorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general,propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich.

Lımites infinitos y en el infinito.

Sea f : A ⊆ C −→ C, tal que ∞ es punto de acumulacion del dominio A.Por la definicion de los entornos del ∞ vista anteriormente, esto querra decir que:

∀R > 0, A ∩ (C \ D(0; R)) = ∅


En estas condiciones, podemos hablar de lımites en el ∞, considerando la topologıade C∞.

6. Diremos quelim

Az→∞f (z) = α ∈ C

si (por definicion)

∀ε > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε

o, equivalentemente, por ser C∞ espacio metrico, la definicion por sucesiones,

∀(zn) ⊂ A zn → ∞ ⇒ f (zn) → α.

7. Diremos quelim

Az→∞f (z) = ∞

si (por definicion)

∀S > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > S.

o, equivalentemente,

∀(zn) ⊂ A zn → ∞ ⇒ f (zn) → ∞.

8. Si f : A ⊆ C −→ C y z0 es un punto de acumulacion de A, diremos que

limAz→z0

f (z) = ∞

si (por definicion)

∀R > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z0| < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > R.

o, equivalentemente,

∀(zn) ⊂ A \ z0 zn → z0 ⇒ f (zn) → ∞.

Tambien se cumplen las propiedades habituales, de las que senalamos comomuestra las dos siguientes:


i) Silimz→z0

f (z) = α ∈ C \ 0 y limz→z0

g(z) = 0

entonces

limz→z0

f (z)

g(z)= ∞.

ii) Silimz→z0

f (z) = α ∈ C \ 0 y limz→z0

g(z) = ∞entonces

limz→z0

(f (z)g(z)

) = ∞.

Y tambien se producen los casos de indeterminacion habituales.

Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo lasdefiniciones, algunas de ellas.

Ejemplos.

1. Las funciones constantes ( f (z) = C, ∀z ∈ C) y la funcion identidad( f (z) = z, ∀z ∈ C) son funciones continuas en todo punto de C.

2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicacion), todo poli-nomio

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + . . . a1z + a0, ai ∈ C

es una funcion contınua en todo C.

3. Toda funcion racional, puesta como cociente de dos polinomios, R(z) =P(z)/Q(z), en forma irreducible, es continua en C salvo en los ceros delpolinomio Q.

4. En el mismo ejemplo anterior, si α es un cero de Q, entonces P(α) = 0 y

limz→α

P(z)

Q(z)= ∞.

5.

limz→∞

3z + 5

z2 + 1= 0, lim

z→∞6z3 + 5

2z3 + 4z + 1= 3.

6. La funcion argumento principal

Arg : z ∈ C \ 0 −→ Arg z ∈ (−π, π ](⊂ C)


es continua en C \ (−∞, 0].

En cualquier punto z0 ∈ (−∞, 0) no es continua, pues si

zn −→ z0 m zn > 0, entonces Arg zn −→ π

y sizn −→ z0 m zn < 0, entonces Arg zn −→ −π.

De forma analoga, la funcion Arg[α,α+2π) es continua en C \ reiα : r ≥ 0.

Imagenes continuas de conexos y compactosFinalmente, recordemos un par de resultados topologicos que usaremos con

frecuencia.Sea f : A ⊆ C → C continua y X ⊆ A. Si X es conexo, f (X) es conexo. Si

X es compacto, f (X) es compacto.

CAPITULO 1

Funciones holomorfas

1.1 INTRODUCCION

La definicion y primeras propiedades de la derivacion de funciones complejas sonmuy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, comosiempre, las ligadas directamente a la relacion de orden en R, como por ejemploel teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco quela derivabilidad compleja es una condicion mucho mas fuerte que la derivabilidadreal, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. Laexplicacion final la encontraremos en resultados posteriores.

Para las primeras secciones de este capıtulo puede usarse como libro de con-sulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales,ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).

1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. Definicion y primeras propiedades.

Como C es un cuerpo y tiene sentido la division, podemos imitar literalmentela definicion de derivabilidad de funciones reales.

Definicion. Sea abierto de C. Sea f : −→ C y sea z0 ∈ . Diremos que fes derivable en z0 si existe

limz→z0

f (z) − f (z0)

z − z0= f ′(z0) ∈ C.

Al valor de dicho lımite f ′(z0) lo llamaremos derivada de f en z0.

Observacion. Aunque, formalmente, la definicion es como en R, la existenciade lımite es aquı mas exigente, al tener que existir de cualquier modo que nosacerquemos a z0 por el plano. Esto hara que las funciones derivables en C seanmejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teorıa mucho masredonda para estas.

Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestranimitando punto por punto lo que se hace en R.

17

18 Funciones holomorfas

1. f derivable en z0 ⇒ f continua en z0.

2. Si f y g son derivables en z0,

i) f + g es derivable en z0 y ( f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).

ii) f · g es derivable en z0 y ( f · g)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + g′(z0) f (z0).

iii) (Si f (z0) = 0), 1/ f es derivable en z0 y (1/ f )′(z0) = − f ′(z0)/ f (z0)2.

3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f (1) ⊆ 2.Si f derivable en z0 y g es derivable en f (z0), entonces g f es derivable enz0, y

(g f )′(z0) = g′( f (z0)) f ′(z0).

4. Derivacion de la funcion inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva,derivable en z0 con f ′(z0) = 0. Supongamos ademas que f () es abierto yque f −1 es continua en f (z0). Entonces, f −1 es derivable en f (z0) y

( f −1)′(

f (z0)) = 1

f ′(z0).

Veamos, a modo de ejemplo, como este ultimo resultado se prueba igual quepara funciones reales:

La derivabilidad de f en z0 es equivalente a la continuidad en z0 de la funciong : → C dada por

g(z) = f (z) − f (z0)

z − z0si z ∈ \ z0;

f ′(z0) si z = z0.

Esta funcion permite escribir para todo z ∈

f (z) − f (z0) = g(z)(z − z0),

y como ahora g es continua en z0 con g(z0) = f ′(z0) = 0, se verificara g(z) = 0en un entorno de z0. Poniendo w0 = f (z0), si tomamos w ∈ f () y z = f −1(w),

w − w0 = g(

f −1(w)) (

f −1(w) − f −1(w0)),

y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0, para w en un entorno reducidode w0,

1

g(

f −1(w)) = f −1(w) − f −1(w0)

w − w0;

Funciones holomorfas 19

usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z0 = f −1(w0), vemosque existe

limw→w0

f −1(w) − f −1(w0)

w − w0= 1

f ′(z0).

Ejemplos de funciones derivables.

1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.La funcion identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente1.

2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es deri-vable en C y su derivada tiene la misma expresion que en R. Del mismo modo,toda funcion racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo Csalvo los ceros del denominador.

1.3 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemosque dar una funcion de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variablesreales. Nos vamos a preguntar por la relacion que existe entre la derivabilidad dela funcion compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones.

En este apartado emplearemos sin mas comentarios la notacion:

f : −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),

z = x + iy ∈ , z0 = x0 + iy0 ∈ .

Tenemos:

Teorema. f es derivable en z0 si y solo si

i) u, v son diferenciables en (x0, y0).

ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

,∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

Demostracion. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones.Primero, es claro que f derivable en z0 se puede escribir de la forma

limh→0

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

h= 0. (1)


Por otra parte, recordemos la nocion de diferenciabilidad. u diferenciable en(x0, y0) significa que existe una forma lineal

L : R2 −→ R (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl

tal que

lim(k,l)→(0,0)

u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − L(k, l)√k2 + l2

= 0.

Recuerdese ademas que

a = ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

, b = ∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

.

⇒) Supongamos que f es derivable en z0 y sea su derivada f ′(z0) = α + iβ.Escribimos h = k + il para el parametro complejo h.

(1) implica que

limh→0

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

|h| = 0. (2)

porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una funcion acotada.Ahora,

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

|h| = u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − (αk − βl)√k2 + l2

+iv(x0 + k, y0 + l) − v(x0, y0) − (βk + αl)√

k2 + l2

(3)

luego, las partes real e imaginaria de esta expresion tienen que tender a 0 cuandoh → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)).

Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0, y0)

con∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= α = ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

y∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −β = −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

⇐) Si u y v son diferenciables en (x0, y0) y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, llamamos

∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= α = ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

y∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −β = −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)


y se tiene que cumplir que la expresion en (3) tiende a 0.

Por tanto, se cumple (2) y de aquı (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2)multiplicando por |h|/h). Ası, f es derivable en z0 con derivada f ′(z0) = α + iβ.

Observacion.

De paso, hemos visto en la demostracion que la derivada de f se puede obtenera partir de las derivadas parciales de u y de v,

f ′(z0) = ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

− i∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

− i∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

+ i∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

+ i∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

Observacion.

En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja esmas exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como funcion de R2

en R2, ser diferenciable significa sin mas que lo sean sus dos componentes u y v,mientras que ser derivable exige, ademas de esto, que se cumplan las condicionessobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se veran al final del capıtulo.

NOTA. En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverte,Barcelona (1990), pags. 77 y ss. se da una interpretacion fısica de las condicionesde Cauchy-Riemann, en terminos del estudio del flujo bidimensional de un fluidoideal.

Para una interpretacion geometrica de las condiciones de Cauchy-Riemann yotras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demas conceptos,con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. ClarendonPress, Oxford (1997).

1.4 FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMONICAS.

Definicion. Sea abierto de C. Sea f : −→ C. Diremos que f es holomorfaen un punto z0 ∈ (o tambien, que z0 es un punto regular para f ) si f es derivableen todos los puntos de un entorno de z0. Diremos que f es holomorfa en si f esholomorfa en z0, ∀z0 ∈ .

Claramente, f es holomorfa en ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de (pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos).


Denotaremos

H() = f : −→ C : f es holomorfa en .

Por otra parte, recordemos el concepto de funcion armonica.

Definicion. Sea abierto de R2. Sea u : −→ R. Diremos que u es armonicaen si u es de clase C2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y soncontinuas) y cumple

u = ∂2u

∂x2+ ∂2u

∂y2= 0

en todo punto del abierto .

Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:

Corolario. Si f ∈ H(), f = u + iv, y u, v son de clase C2, entonces u, v sonarmonicas en .

Demostracion. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene

∂2u

∂x2= ∂

∂x

(∂u

∂x

)= ∂

∂x

(∂v

∂y

),

∂2u

∂y2= ∂

∂y

(∂u

∂y

)= − ∂

∂y

(∂v

∂x

)

y, como u es de clase C2, las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u esarmonica. Analogamente se razona con v.

Observacion.

Veremos mas adelante que si f ∈ H() entonces f es indefinidamente deri-vable, lo cual implicara que la hipotesis C2 del corolario es innecesaria.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funcionesholomorfas a partir de funciones armonicas en abiertos de R2. Empecemos con lasiguiente definicion:

Definicion. Dada u armonica en un abierto de R2, diremos que v es armonicaconjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en . O, equivalentemente, porlas condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones

vx = −uy, vy = ux

en todo punto de .

Es inmediato demostrar que una funcion armonica conjugada de otra es,asimismo, armonica.


Ejemplo 1.

Tomemos la funcionu(x, y) = ex cos y.

Es una comprobacion inmediata que dicha funcion es armonica en todo R2. Paratratar de encontrar una armonica conjugada, planteamos las ecuaciones:

vx (x, y) = −uy(x, y) = ex sen y

vy(x, y) = ux (x, y) = ex cos y

Es facil resolver este sistema, obteniendo que la funcion

v(x, y) = ex sen y

es solucion en todo R2. Por tanto, hemos obtenido que la funcion

f (z) = ex cos y + iex sen y, z = x + iy

es una funcion holomorfa en todo C. Si utilizamos la notacion polar, podemosponer

f (z) = ex eiy

Con lo que esta funcion compleja parece tener derecho a llamarse la funcionexponencial compleja. En efecto lo sera, aunque la introduciremos de forma oficialcon las series de potencias.

Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sidocasual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertosde C, una funcion armonica siempre tiene armonica conjugada.

Teorema. Sea abierto estrellado de R2. Sea u armonica en . Entonces, existev armonica conjugada de u en .

Demostracion. El resultado es una simple aplicacion del lema de Poincare paraabiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencialcerrada es exacta. Entonces, dada nuestra funcion u, consideramos la forma

ω(x, y) = −uy(x, y)dx + ux (x, y)dy

El ser u armonica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, locual quiere decir (por definicion) que existe una funcion v diferenciable tal quevx = −uy y vy = ux . Luego v es armonica conjugada de u.


Observacion.

Mas adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos mas gene-rales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrarque no es ampliable a abiertos cualesquiera.

Ejemplo 2.

Sea el abierto = C \ 0 y sea la funcion

u(x, y) = 1

2log(x2 + y2)

que se comprueba sin dificultad que es armonica en .

Esta funcion u no tiene armonica conjugada en .

En efecto, si existiera v armonica conjugada de u en , consideramos lafuncion de variable real

g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π ].

g es una funcion continua en [0, 2π ] (por composicion de funciones continuas). Laderivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamoslas ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo

g′(t) = −vx (cos t, sen t) sen t + vy(cos t, sen t) cos t

= uy(cos t, sen t) sen t + ux (cos t, sen t) cos t = 1.

Esto implica que g(t) = t + C , lo cual no puede ser porque g(0) = g(2π).

Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema yaprobado, la funcion anterior debe tener armonica conjugada o, lo que es lo mismo,ser la parte real de una funcion holomorfa. Esta funcion holomorfa cuya parte reales u veremos mas adelante que es la funcion logaritmo principal.

4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad va-rios resultados para funciones holomorfas, apoyandonos en el conocimiento defunciones reales de dos variables.

1. Sea una region (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en yf ′(z) = 0 para todo z ∈ , entonces f es constante.


En efecto, si f = u + iv, f ′ = ux − iuy = vy + ivx = 0 en implica queux = uy = vy = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y,por tanto f constante.

2. Sea region. Si f es holomorfa en y e f (z) = C (o m f (z) = C) paratodo z ∈ , entonces f es constante.

En efecto, si u = cte, entonces ux = uy = 0. Luego, por Cauchy-Riemann,tambien sera vx = vy = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante.Analogamente se razonarıa si fuera constante la parte imaginaria.

3. Sea region. Si f es holomorfa en y | f (z)| = C para todo z ∈ , entoncesf es constante.

En efecto, la hipotesis es u2 + v2 = cte. Derivando en esta expresion conrespecto a x e y, tenemos

2uux + 2vvx = 0, 2uuy + 2vvy = 0.

Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos

2uux − 2vuy = 0, 2uuy + 2vux = 0

Multiplicando la primera × u y la segunda × v, nos da

(u2 + v2)ux = 0,

de donde ux = 0. De forma parecida se obtiene uy = vx = vy = 0. Por tanto,u y v son constantes y en consecuencia lo es f .

Observacion.

Notese como las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una funcionholomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazonentre las partes real e imaginaria, esta fuerza a que la funcion holomorfa sea cons-tante.

Por ejemplo, resultados de esta naturaleza serıan:

i) Si f = u + iv es holomorfa en region y u3 = v entonces f ≡ C .

ii) Si f = u + iv es holomorfa en region y 5u + 2v = cte entonces f ≡ C .

Comprobamos ası que la derivabilidad en C es muy exigente, y no solo a nivellocal.


1.5 APENDICE: CALCULO DE ARMONICAS CONJUGADASY METODO DE MILNE-THOMSON

La Teorıa de funciones analıticas constituye un autentico filon

de metodos de gran eficacia para resolver importantes problemas

de Electroestatica, Conduccion del calor, Difusion, Gravitacion,

Elasticidad y Flujo de corrientes electricas. La gran potencia del

Analisis de variable compleja en tales campos se debe, principal-

mente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una funcion

analıtica satisfacen la ecuacion de Laplace.

Este parrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., pag. 77, da idea de que labusqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidases una cuestion importante en muchas aplicaciones de la teorıa de funciones devariable compleja.

Hemos visto una solucion de este problema mediante el calculo de funcionesarmonicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemosdenominar “el metodo real”: dada una funcion u armonica en un abierto conexo

de R2, nos son conocidas las derivadas parciales de su armonica conjugada v (¡siexiste!) a traves de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el calculo deprimitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el calculode las funciones potenciales de la forma diferencial −uy(x, y) dx + ux (x, y) dy]nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explıcitas para la(s) funcion(es)v. Este procedimiento es facilmente “automatizable”, y resulta comodo llevarlo acabo mediante programas de calculo simbolico como Mathematica.

Esquematicamente, podrıamos proceder ası: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- “integrar −uy(x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y)

de −uy(x, y) como funcion solo de x ;4.- calcular su derivada parcial respecto de y, Wy(x, y);5.- calcular ϕ(y) = ux (x, y) − Wy(x, y)

6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva (y) de ϕ(y);7.- calcular W (x, y) − (y): esta sera una funcion v(x, y) armonica conjugada

de u (y las demas diferiran de ella en la adicion de una constante real).

Tengase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integracion”.Ademas, el numero de funciones cuyas primitivas puede calcular “explıcitamente”es limitado.


Hay tambien un “metodo complejo” para tratar el problema, el denominadometodo de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable com-pleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis.Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condi-ciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con partereal prefijada u. Su justificacion se basa en resultados importantes que probaremosposteriormente: toda funcion holomorfa es analıtica (y su derivada tambien), y dosfunciones analıticas en un abierto conexo son iguales si y solo si coinciden enun conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulacion dentrode ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongacion analıtica).

Sea, pues, un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual lainterseccion de con R contendra al menos un segmento abierto (¿por que?)

Dada entonces una funcion u armonica en , notemos que la funcion g dadaen por f1(x + iy) = ux (x, y) − i uy(x, y) es holomorfa en (¿por que?).Supongamos que sabemos encontrar una funcion g holomorfa en tal que g′(x) =f1(x) = ux (x, 0)−i uy(x, 0) para todo x ≡ (x, 0) ∈ ∩R: entonces g′(z) = f1(z)por el principio de prolongacion analıtica, y la parte real de g difiere de u en unaconstante real (¿por que?). La funcion f = g + C , para una constante real Cadecuada, tiene como parte real u.

El metodo de Milne-Thompson es tambien facilmente “traducible” a Mathe-matica. Pero tanto si se usa este metodo como el anterior, sigue siendo necesarioverificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos em-pleados, muy especialmente debido a que los programas de calculo simbolico, engeneral, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, mani-pulando tan solo “nombres” de funciones o “funciones dadas por formulas”, pordecirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector quepruebe a aplicar los metodos descritos a la ‘malvada’ funcion u(x, y) = ln(x2+y2),definida y armonica en R2 \ (0, 0). ¿Cuales son sus armonicas conjugadas, segunMathematica?

NOTA. El metodo de Milne-Thompson puede esquematizarse ası: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- calcular ux (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en ux (x, y);4.- calcular uy(x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en uy(x, y);5.- “sustituir x por z” en ux (x, 0) − i uy(x, 0) para obtener f1(z);6.- “integrar f1(z) respecto de z”, es decir, obtener una primitiva g(z) de f1(z);7.- calcular f (z) = g(z) − e g(x0) + u(x0, 0) para cualquier x0 ∈ ∩ R.

Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u;8.- si se busca una funcion armonica conjugada de u, hallar la parte imaginaria

de f (z).

CAPITULO 2

Funciones analıticas

2.1 INTRODUCCION

Para definir las series de potencias y la nocion de analiticidad a que conducen, solose necesitan las operaciones de suma y multiplicacion y el concepto de lımite. Estonos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definirexactamente igual que en R y gozara de las mismas propiedades y con identicasdemostraciones que en R (¡si no dependen de la ordenacion de R!).

Por tanto, este capıtulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un sim-ple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detallespueden consultarse en Apostol, T.M.: Analisis Matematico (segunda edicion). Re-verte, Barcelona (1991).

2.2 SERIES EN C: GENERALIDADES.

1. Dada una sucesion (zn)∞n=0 ⊂ C, la serie infinita

∞∑

n=0

zn se dice convergente

si

∃ limN→∞

N∑

n=0

zn ∈ C.

Al valor de dicho lımite se le denota tambien por∞∑

n=0

zn y se le llama suma

de la serie.

2. Criterio de convergencia de Cauchy.

∞∑

n=0

zn converge ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N si n > m > n0,

∣∣∣∣∣

n∑

k=m

zk

∣∣∣∣∣< ε.

3. Decimos que la serie∞∑

n=0

zn converge absolutamente si converge la serie de

numeros reales∞∑

n=0

|zn| (recordemos que podemos poner mas abreviadamente

∞∑

n=0

|zn| < +∞).

28

Funciones analıticas 29

Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el recıproco no escierto.

4. La serie∞∑

n=0

zn converge si y solo si convergen las dos series de numeros reales

∞∑

n=0

e zn y∞∑

n=0

m zn . Ademas

∞∑

n=0

zn =∞∑

n=0

e zn + i∞∑

n=0

m zn.

5. Producto de Cauchy de series.

Consideremos dos series de numeros complejos,∞∑

n=0

an ,∞∑

n=0

bn . Para cada

k ∈ N ∪ 0, definimos

ck =∑

n+m=k

anbm =k∑

n=0

anbn−k = a0bk + a1bk−1 + . . . + akb0.

La serie∞∑

k=0

ck se llama producto de Cauchy de las series∞∑

n=0

an y∞∑

n=0

bn .

En principio, esta es una definicion formal, que no atiende a la convergenciade las series que intervienen. Si efectuaramos “la multiplicacion de las sumasinfinitas” de an y bm , colocando todos los “sumandos del producto” an bm en unatabla (infinita) de doble entrada, asociandolos segun las diagonales secundarias, elresultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada “sumando producto”an bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, portanto, que cuando sea lıcito reagrupar terminos (si disponemos de las propiedadesconmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serieconvergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio,que sera todo lo que necesitemos, es el siguiente.

Teorema (Mertens). Si las series∞∑

n=0

an y∞∑

n=0

bn son absolutamente convergentes,

entonces la serie∞∑

k=0

ck es absolutamente convergente y ademas,

( ∞∑

n=0

an

) ( ∞∑

n=0

bn

)

=∞∑

k=0

ck .

30 Funciones analıticas

6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass.

Recordemos la siguiente:

Definicion. Sean fn, f : A ⊆ C −→ C. Diremos que fn −→ f uniformementeen A si

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N si n ≥ n0, | fn(z) − f (z)| < ε, ∀z ∈ A,

Equivalentementesupz∈A

| fn(z) − f (z)| −→ 0.

Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual encada punto de A.

Definicion. Dado abierto de C, y fn, f : −→ C, diremos que fn −→ fcasi uniformemente en si fn −→ f uniformemente sobre cada subconjuntocompacto de .

Como el lımite uniforme de funciones continuas es una funcion continua y lacontinuidad es una propiedad local, tenemos:

Proposicion. Sea abierto de C, y fn, f : −→ C. Si para cada n ∈ N, lasfunciones fn son continuas en y fn −→ f casi uniformemente en , entoncesf es continua en .

Para series de funciones, se tienen las definiciones analogas (como limite delas funciones sumas parciales).

El siguiente resultado sera de uso frecuente.

Criterio M de Weierstrass. Dadas fn : A ⊂ C −→ C. Si podemos encontraruna sucesion (Mn) de numeros positivos tal que

| fn(z)| ≤ Mn, ∀z ∈ A ∧∞∑

n=0

Mn < +∞

entonces,∞∑

n=0

fn(z) converge uniformemente y absolutamente en A.


2.3 SERIES DE POTENCIAS

Definicion. Dado a ∈ C, llamaremos serie de potencias centrada en a a todaserie de la forma

∞∑

n=0

an(z − a)n = a0 + a1(z − a) + a2(z − a)2 + . . . ,

donde los coeficientes (an) ⊂ C.

El primer problema es saber para que puntos de C converge. Es claro que,sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a.

El siguiente resultado (con demostracion totalmente analoga a la de R) dejaclaro este problema de convergencia de una serie de potencias.

En el enunciado utilizamos la notacion D(a; +∞) = C.

Teorema 1 (Abel). Sea∑∞

n=0 an(z − a)n una serie de potencias centrada en a.Entonces, existe un numero R ∈ [0, +∞] tal que

1.∑∞

n=0 an(z−a)n converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R).

2.∑∞

n=0 an(z − a)n no converge en C \ D(a; R).

3. Formula de Cauchy-Hadamard: R = (lim sup |an|1/n

)−1.

Observaciones.

i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) discode convergencia. Si R = 0, la serie solo converge en z = a, y si R = +∞,la serie converge en todo punto de C.

En los casos intermedios 0 < R < +∞, el teorema asegura que la serieconverge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No seafirma nada en relacion a lo que ocurre en la frontera z : |z − a| = R. Esteproblema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debeser analizado en cada caso particular.

ii) Notese que R no depende de a. A efectos de convergencia, lo que le ocurre ala serie viene determinado por los coeficientes (an). Por ello, es suficiente queestudiemos series centradas en 0,

∑anzn , pues los resultados se trasladaran

de forma obvia a la serie∑

an(z − a)n .


iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una funcion

f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n, z ∈ D(a; R),

que, al ser lımite casi uniforme de funciones continuas, es una funcion continuaen D(a; R).

iv) En muchos casos, la formula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recor-damos el siguiente resultado sobre lımites.

Dada una sucesion (an), con an = 0, ∀n, si

∃ limn→∞

|an+1||an| ∈ [0, +∞],

el valor de dicho lımite coincide con lim sup |an|1/n . Por tanto, en los casos enque esto ocurra (en la practica sera frecuente), tendremos la siguiente formulapara el radio de convergencia,

R = limn→∞

|an||an+1| .

v) Aun en casos en que no sepamos calcular el radio por la formula de Cauchy-Hadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena infor-macion.

Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z0 ∈ C,forzosamente debe ocurrir que R ≥ |a − z0|.Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z1 ∈ C, forzosamenteR ≤ |a − z1|.Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la

frontera de su cırculo de convergencia es suficiente en los casos mas sencillos elsiguiente criterio.

Criterio de Dirichlet. Sea (an) una sucesion de numeros reales, no creciente yconvergente a 0. Sea

∑bn una serie de numeros complejos cuyas sumas parciales

forman una sucesion acotada. Entonces la serie∑

anbn es convergente.

En lo que sigue, por abreviar notacion y teniendo en cuenta la observacion ii),bastara que consideremos series de potencias centradas en 0. El numero R colocadosin mas al lado de la serie, sera su radio de convergencia.

El primer resultado que vemos a continuacion nos indica que las series depotencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista analıtico (sonindefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivartermino a termino).


Teorema 2. Sea∑∞

n=0 anzn , R ∈ (0, +∞]. Sea f (z) = ∑∞n=0 anzn , |z| < R.

Entonces,

i) f es derivable en D(0; R), y ademas

f ′(z) =∞∑

n=1

nanzn−1, |z| < R.

ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R), y para cada k ∈ N,

f (k)(z) =∞∑

n=k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)anzn−k, |z| < R.

iii) Para cada k ∈ N ∪ 0,ak = f (k)(0)

k!.

iv) La serie “antiderivada” o “primitiva termino a termino”

∞∑

n=0

an

n + 1zn+1

converge en D(0; R) a una funcion cuya derivada es f .

Observacion.

Notese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismoradio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que:

Si∑∞

n=0 anzn tiene radio R y P es cualquier polinomio y k ∈ N, las series

∞∑

n=0

an+k zn,

∞∑

n=0

P(n)anzn

tienen radio R.

El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinadospor el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer estas, solohace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente


Corolario. Si dos series de potencias∑∞

n=0 anzn y∑∞

n=0 bnzn con radios R1, R2 >

0 son tales que coinciden en un entorno de 0, entonces

an = bn, ∀n ∈ N ∪ 0.

Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del cırculode convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z| = R ¿hay algunarelacion entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores?He aquı una respuesta parcial.

Teorema del lımite de Abel. Sea f (z) = ∑∞n=0 anzn , |z| < R, R ∈ (0, +∞).

Supongamos que la serie converge tambien para z = R. Entonces existe el lımiteradial (a traves del segmento (0, R)) de la funcion f y vale

limx→R

0<x<R

f (x) =∞∑

n=0

an Rn.

Operaciones con series de potencias.

Sean f (z) = ∑∞n=0 anzn , R1; g(z) = ∑∞

n=0 bnzn , R2.

1. Suma.

f (z) + g(z) =∞∑

n=0

(an + bn)zn, R ≥ minR1, R2.

2. Producto.

f (z) · g(z) =∞∑

n=0

cnzn, cn =n∑

k=0

akbn−k, R ≥ minR1, R2.

3. Division. Si f (0) = 0 entonces ∃δ > 0 tal que

1

f (z)=

∞∑

n=0

γnzn, |z| < δ.

Este resultado afirma que la funcion 1/ f es una serie de potencias en unentorno del origen. Pero no es facil dar una expresion explıcita de loscoeficientes γn en terminos de los an .


4. Composicion. Si para un z ∈ D(0; R2),∞∑

n=0

|bnzn| < R1, entonces tiene

sentido la funcion composicion f g, y ademas

f g(z) =∞∑

n=0

δk zk

en un entorno del origen.

La demostracion de estos dos ultimos resultados es bastante farragosa.Teoricamente nos dicen que la division y composicion de series de poten-cias son series de potencias, pero en la practica son de difıcil aplicacion.

4. Cambio de centro. Sea f (z) = ∑∞n=0 anzn , R > 0 y sea b ∈ D(0; R).

Entonces, ∃δ > 0 tal que

f (z) =∞∑

n=0

bn(z − b)n, |z − b| < δ.

Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco deconvergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada enese punto.

Principio de identidad de series de potencias.

Teorema 3. Sea f (z) = ∑∞n=0 anzn , R > 0. Sea E = z ∈ D(0; R) : f (z) = 0.

Son equivalentes:

i) E = D(0; R) (es decir, f es identicamente nula).

ii) an = 0, ∀n

iii) E ′ ∩ D(0; R) = ∅ (i.e., E tiene puntos de acumulacion en D(0; R)).

Demostracion. i) ⇔ i i) es consecuencia inmediata del corolario del teorema2 y la implicacion i) ⇒ i i i) es obvia.

Veamos que i i i) ⇒ i). Llamemos A = E ′ ∩ D(0; R) = ∅. A es cerrado enla topologıa relativa de D(0; R) porque E ′ siempre es un cerrado de C. Si vemosque tambien A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R)

es abierto), por conexion tendremos que A = D(0; R) y de aquı es muy facil verque E = D(0; R), lo que concluirıa la demostracion.

Sea pues a ∈ A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que aes un punto interior, es decir, existe un disco D(a; δ) ⊂ A.


Por el cambio de centro, f sera una serie de potencias en un entorno de a,

f (z) =∞∑

n=1

bn(z − a)n, en D(a; δ) ⊂ D(0; R)

(la serie empieza en 1, pues f (a) = 0).

Si bn = 0, ∀n tendremos claramente que D(a; δ) ⊂ A.

En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces,

f (z) = (z − a)k∑

n=k

bn(z − a)n−k = (z − a)k g(z)

donde g es una funcion continua (pues es una serie de potencias) con g(a) = 0, loque implica que g(z) = 0 en un entorno U de a. Por tanto, f (z) = 0 en U \ a,lo que contradice que a ∈ E ′. Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, ∀n,y esto demuestra el resultado.

El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un sub-conjunto del disco abierto de convergencia que tenga algun punto de acumulacionen dicho abierto, entonces la serie es identicamente nula.

2.4 FUNCIONES ANALITICAS

Definicion. Sea = ∅ un abierto de C. Una funcion f : −→ C se diceanalıtica en a ∈ , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0tal que

f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n, |z − a| < δ.

Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a.

f se dice analıtica en si lo es en cada punto a ∈ .

Ejemplos.

1. Todo polinomio es una funcion analıtica en C. En efecto, siempre podemoscambiar de base y expresar, para cualquier a ∈ C,

P(z) = a0 + a1z + . . . + anzn = b0 + b1(z − a) + . . . + bn(z − a)n.


2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) =∞∑

n=0

anzn con radio R > 0 es analıtica en D(0; R). Analogamente, f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n es analıtica en D(a; R).

3. La funcion racional f (z) = 1

1 − zes analıtica en C \ 1. En efecto, es claro

que es analıtica en 0, pues

1

1 − z=

∞∑

n=0

zn, |z| < 1.

Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C \ 1,1

1 − z= 1

1 − a − (z − a)= 1

1 − a

1

1 − ( z−a1−a )

1

1 − a

∞∑

n=0

(z − a

1 − a

)n

=∞∑

n=0

(z − a)n

(1 − a)n+1

siempre que

∣∣∣∣z − a

1 − a

∣∣∣∣ < 1. Es decir, en el entorno de a, |z − a| < |1 − a|.De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es difıcil probarque toda funcion racional es analıtica en su dominio de definicion, esto es, entodo C menos los ceros del denominador.

Proposicion. Si f es analıtica en entonces f es holomorfa. Es mas, f esindefinidamente derivable en .

Demostracion. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemosque una serie de potencias es indefinidamente derivable.

Operaciones con funciones analıticas.

1. La suma y el producto de funciones analıticas son analıticas.

2. Si f es analıtica en a y f (a) = 0 entonces 1/ f es analıtica en a.

3. Sean f : −→ C, g : 1 −→ C con f () ⊆ 1. Si f es analıtica en a y ges analıtica en f (a), entonces g f es analıtica en a.

Observacion.

Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones paraserie de potencias. No merece la pena insistir en la demostracion porque, masadelante, veremos que, en C, una funcion es analıtica si y solo si es holomorfa, ypara funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1, 2 y 3.


2.5 PRINCIPIO DE PROLONGACION ANALITICA

El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series depotencias.

Teorema (P.P.A.). Sea una region de C. Sea f : −→ C analıtica en . Sonequivalentes:

i) f ≡ 0 en .

ii) ∃a ∈ con f (n)(a) = 0, ∀n ∈ N ∪ 0.iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulacion en .

Demostracion.

i) ⇒ i i) Inmediato.

i i) ⇒ i i i) En un entorno de a, D(a; δ),

f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n y an = f (n)(a)

n!.

Ası, f = 0 en todo D(a; δ) al menos, y obviamente D(a; δ) ⊆ tiene punto deacumulacion en .

i i i) ⇒ i) Por hipotesis, un subconjunto de E = f −1(0) ⊆ tiene puntos deacumulacion en , luego tambien los tiene el propio E , de modo que E ′ ∩ = ∅.Usemos el clasico argumento de conexion.

E ′ ∩ es cerrado en .

E ′ ∩ es abierto en . En efecto, sea a ∈ E ′ ∩ . En un entorno de a,D(a; δ) ⊆ ,

f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n.

Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulacion en D(a; δ) (precisa-mente el punto a ∈ E ′ ∩ D(a; δ)). Por tanto, por el principio de identidad paraseries de potencias la serie es nula. Ası, f = 0 en D(a; δ), es decir, D(a; δ) ⊆ E ,de donde se deduce facilmente que D(a; δ) ⊆ E ′ ∩ .

Entonces, como es conexo, E ′ ∩ = . Luego todo z ∈ esta en E ′ y deaquı, como f es continua, f (z) = 0.

..a

Ω


Corolario. Sea una region de C. Sean f y g funciones analıticas en . Sonequivalentes:

i) f ≡ g en .

ii) ∃a ∈ con f (n)(a) = g(n)(a), ∀n ∈ N ∪ 0.iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulacion en .

Demostracion. Basta tomar la funcion f − g.

Si denotamos, para abierto

A() = f : −→ C : f es analitica en ,tenemos esta otra consecuencia:

Corolario. Sea region. Sean f, g ∈ A() tales que la funcion f g ≡ 0 en .Entonces, o f ≡ 0 en , o g ≡ 0 en . Dicho de otra manera, A() es un dominiode integridad.

Demostracion. Si para un z0 ∈ , f (z0) = 0, entonces, por continuidad, f = 0 enun entorno de z0. Luego debe ser g = 0 en dicho entorno, y como este tiene puntosde acumulacion en , por el teorema, g ≡ 0 en .

Observacion.

Segun la definicion, si f ∈ A(), en un punto a ∈ , coincide en un entornode a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serietambien es analıtica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad

f (z) =∞∑

n=0

an(z − a)n

es valida en la componente conexa de ∩ D(a; R) que contiene al punto a.

(Cuidado: aunque y D(a; R) sonconexos, su interseccion ∩ D(a; R) notiene por que serlo, como se ve en la figura,de manera que hay que evitar la tentacion‘natural’ de escribir la igualdad para todoz de la interseccion; puede haber desigual-dad en los puntos de las componentes co-nexas de la interseccion que no contenganal punto a.)

CAPITULO 3

Funciones elementales basicas

3.1 INTRODUCCION

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial,el logaritmo, las funciones trigonometricas, pueden habernos hecho olvidar queen realidad nunca hemos establecido una definicion ‘analıtica’ rigurosa de ellas.Mediante consideraciones graficas, en algunos casos, o confiando en la autoridadde turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos quesu existencia), de las que hemos ido deduciendo las demas.

Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buenlugar para ofrecer esa definicion rigurosa mediante series de potencias en el campocomplejo y mostrar como de la definicion van saliendo las propiedades que nosson tan ‘conocidas’. No es esta, desde luego, la unica via de construccion posible(pueden introducirse tambien mediante integrales indefinidas, o como solucionesde ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudable-mente es la mas adecuada al presente curso.

3.2 FUNCION EXPONENCIAL

Funcion exponencial

La serie de potencias+∞∑

n=0

zn

n!tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos

definir en todo C una funcion como suma de tal serie.

Definicion 3.1. Se llama funcion exponencial a la definida por

exp : z ∈ C → exp(z) =+∞∑

n=0

zn

n!∈ C.

El numero exp(1) se denota por e, y suele escribirse ez en lugar de exp(z)[notacion justificada por la propiedad que probaremos a continuacion en (1.4)].

40

Funciones elementales basicas 41

Propiedades de la exponencial compleja.(1.1) La funcion exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella

misma: para cada z ∈ C,

exp′(z) = exp(z).

(1.2) exp(0) = 1.(1.3) Para cada z ∈ C,

exp(−z) = 1

exp(z)

con lo que, en particular, exp(z) = 0. Ademas, para cualesquiera z, w ∈ C,

exp(z + w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Dados n ∈ N y z ∈ C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z),

exp(nz) = exp(z)n· · · exp(z);

en particular, exp(n) = en· · · e.

(1.5) Para cada x ∈ R, tambien exp(x) ∈ R.

Demostracion. (1.1) Basta aplicar la regla de derivacion de una funcion definidamediante una serie de potencias.

(1.2) Obvio.(1.3) Puede verse directamente a partir de la definicion y de la multiplicacion de

series de potencias. Otra demostracion que usa solo las ‘propiedades diferenciales’de la exponencial es la siguiente:

Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos

f : z ∈ C → f (z) = exp(−z) exp(z + w) ∈ C.

Derivando de acuerdo con (1.1),

f ′(z) = − exp(−z) exp(z + w) + exp(−z) exp(z + w) = 0,

luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w).Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que

sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z + w) =f (0) = exp(w) podemos despejar

exp(z + w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Se prueba por induccion sobre n utilizando (1.3).(1.5) Si x ∈ R, los terminos de la serie que define exp(x) son todos reales.

La restriccion de exp a R puede verse entonces como una aplicacion de R en R.Denotaremos provisionalmente por Exp esta funcion, de modo que Exp : R → R,y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades mas importantes.

42 Funciones elementales basicas

Propiedades de la exponencial real.(1.6) Para cada x ∈ R,

Exp(x) > 0.

(1.7) La funcion exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particu-lar, es inyectiva.

(1.8) Se tienelim

x→+∞ Exp(x) = +∞ , limx→−∞ Exp(x) = 0.

En consecuencia, el conjunto imagen de la funcion exponencial real es (0, +∞).

Demostracion. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0.(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funcion exponencial

real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.(1.8) Puesto que la funcion exponencial real es estrictamente creciente,

e = Exp(1) > Exp(0) = 1,

luego limn

Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monotonıa de la funcion exponencial,

esto basta para probar que

limx→+∞ Exp(x) = +∞.

Finalmente,

limx→−∞ Exp(x) = lim

y→+∞ Exp(−y) = limy→+∞

1

Exp(y)= 0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que lafuncion exponencial aplica R sobre (0, +∞).

Observese que, segun la exposicion anterior, todas las propiedades basicas dela funcion exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentidopueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorpren-dente sin pensamos en la unicidad de solucion de la ecuacion diferencial y′ = ycon la condicion inicial y(0) = 1.

En lo que sigue volveremos ya a la notacion tradicional, ez , para la exponencialde z.

Funcion logarıtmica real

Una vez conocidas las propiedades basicas de la funcion exponencial real, pode-mos definir la funcion logarıtmica real como su funcion inversa, y deducir de ahısus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencialcompleja, como se vera mas adelante.


Definicion 3.2. La funcion logarıtmica real

ln : x ∈ (0, +∞) → ln x ∈ R

es la inversa de la funcion exponencial, de modo que ln x = y si y solo si ey = x.

Por tanto, esta caracterizada por cumplir

ln(ex ) = x cualquiera que sea x ∈ R

yeln x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funcion exponencial.

Propiedades del logaritmo real.(2.1) La funcion logarıtmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la

funcion 1/x .(2.2) ln 1 = 0, ln e = 1.(2.3) Para cada x ∈ (0, +∞),

ln1

x= − ln x .

(2.4) Dados x, y ∈ (0, +∞),

ln(xy) = ln x + ln y .

(2.5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),

ln(xn) = n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la funcion logarıtmica real es R.(2.7) La funcion logarıtmica real es estrictamente creciente y concava. En particular,

es inyectiva.(2.8) Se tiene

limx→+∞ ln x = +∞, lim

x→0+ln x = −∞ .

Demostracion. Recordar las propiedades de la funcion inversa estudiadas parafunciones reales de variable real.


3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno

Definicion 3.3. La funcion seno esta definida por

sen : z ∈ C → sen z =∞∑

n=0

(−1)nz2n+1

(2n + 1)!∈ C ,

y la funcion coseno por

cos : z ∈ C → cos z =∞∑

n=0

(−1)nz2n

(2n)!∈ C .

Estas funciones estan bien definidas, pues las series de potencias que figuranen las formulas tienen radio de convergencia +∞. Recordando la definicion de lafuncion exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

sen z = eiz − e−i z

2i, cos z = eiz + e−i z

2

para cada z ∈ C, con lo que la funcion exponencial aparece como “mas elemental”que el seno y el coseno, en el sentido de que estas son combinaciones lineales deexponenciales.

Propiedades del seno y coseno complejos.(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple

para todo z ∈ C

sen′(z) = cos z, cos′(z) = − sen z.

(3.2) El seno es una funcion impar, mientras que el coseno es una funcion par: esdecir, cualquiera que sea z ∈ C se tiene

sen(−z) = − sen z, cos(−z) = cos z .

(3.3) Para todos z, w ∈ C,

sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w,

cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.


(3.4) Para cada z ∈ C essen2 z + cos2 z = 1 .

Demostracion. (3.1), (3.2), (3.3)

Se siguen directamente de la definicion mediante series de potencias o a partirde la expresion en terminos de exponenciales.

(3.4)

Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w = −z.Es instructivo ver como tambien puede probarse esta identidad usando derivacion:definiendo f : z ∈ C → f (z) = sen2 z + cos2 z ∈ C, a partir de (3.1) obtenemos

f ′(z) = 2 sen z cos z − 2 cos z sen z = 0

para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1.

De las formulas anteriores se deducen mediante los calculos de costumbreotras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en elsiguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que

sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w;cos(z − w) = cos z cos w + sen z sen w;sen z cos w = 1

2[sen(z + w) + sen(z − w)];

sen z sen w = −1

2[cos(z + w) − cos(z − w)];

cos z cos w = 1

2[cos(z + w) + cos(z − w)];

sen 2z = 2 sen z cos z;cos 2z = cos2 z − sen2 z = 2 cos2 z − 1;sen 3z = 3 sen z − 4 sen3 z;cos 3z = 4 cos3 z − 3 cos z

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno.

Funciones seno y coseno reales

Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos verlas restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real.Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se lesatribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, loprimero que necesitamos es definir el numero real π .


Propiedades del seno y coseno reales.(4.1) La funcion seno tiene ceros reales positivos, es decir,

x > 0 : sen x = 0 = ∅ .

Este conjunto posee un elemento mınimo, que denotaremos por π :

πdef= minx > 0 : sen x = 0 .

En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos.

(4.2) cos π = −1; cosπ

2= 0; sen

π

2= 1.

(4.3) Para conocer la funcion seno en R es suficiente conocerla en el intervalo[0,

π

2

]. En concreto,

(4.3.1) para cada x ∈ R es

sen (π − x) = sen x = − sen(x + π);

(4.3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,

sen(x + 2kπ) = sen x,

es decir, el seno real es una funcion periodica de periodo 2π .(4.4) Para conocer la funcion coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo[

0,π

2

]. En concreto,

(4.4.1) para cada x ∈ R es

cos (π − x) = − cos x = cos(x + π);

(4.4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,

cos(x + 2kπ) = cos x,

es decir, el coseno real es una funcion periodica de periodo 2π .

(4.5) La restriccion de la funcion seno al intervalo[−π

2,π

2

]es una aplicacion

estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].(4.6) La restriccion de la funcion coseno al intervalo [0, π ] es una aplicacion es-

trictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].(4.7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y solo si para algun k ∈ Z es x = kπ .


(4.8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y solo si para algun k ∈ Z es x = π

2+kπ .

Demostracion. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

sen x > x − x3

3!> 0 siempre que 0 < x ≤ 1

y que

sen 4 < 4 − 43

3!+ 45

5!− 47

7!+ 49

9!< 0,

de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, segun el teorema deBolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto,esta perfectamente determinado el numero real

π = infx > 0 : sen x = 0y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el mınimo del conjunto,o sea, que pertenece a el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjuntoy emplear la continuidad del seno.

Ası sen x = 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantenerel signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemosescrito, debe ser estrictamente positivo en el.

(4.2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tantocos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolledarıa la existencia de algun punto t ∈ (0, π) en el que se anularıa la derivada delcoseno, con lo cual serıa sen t = 0 contra lo que acabamos de probar.

Puesto que cos π = 2 cos2 π

2− 1, debe ser cos

π

2= 0, lo que obliga a que

sen2 π

2= 1. Como 0 <

π

2< π , sen

π

2debe ser positivo y por tanto igual a 1.

(4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las formulas de adicion yde los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba por induccion.

Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo[0,

π

2

], podemos

obtener los valores en el intervalo[π

2, π

]usando que sen x = sen (π − x); por ser

el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π ] y ya por periodicidada todo R.

(4.4) Similar al apartado anterior.(4.5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x+cos2 x = 1 asegura que | sen x | ≤ 1,

| cos x | ≤ 1. Como senπ

2= 1 y por tanto sen

(−π

2

)= −1, la continuidad del seno

y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de[−π

2,π

2

]exactamente

el intervalo [−1, 1].


Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en[−π

2,π

2

], usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el

coseno (que en cada punto x tiene por derivada − sen x) sera estrictamente decre-ciente en [0, π ], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo[0,

π

2

)son estrictamente mayores que cos

π

2= 0; como el coseno es par, lo mismo

vale en(−π

2,π

2

); y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos

que este ultimo es estrictamente creciente en[−π

2,π

2

].

(4.6) Repasar la demostracion anterior.(4.7) Es inmediato que si para algun k ∈ Z es x = kπ , se verifica que

sen x = 0.Recıprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z sera

x ∈((

k − 1

2

)π,

(k + 1

2

)π

]. Entonces t = x − kπ ∈

(−π

2,π

2

]y sen t =

sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ .(4.8) Similar a la anterior.

Funciones trigonometricas y Trigonometrıa

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘version analıtica’que venimos explorando y la ‘version geometrica’ de la Trigonometrıa (=medida deangulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposicion,que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de unnumero complejo no nulo.

Proposicion. Dados x , y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modoque

cos α = x, sen α = y .

Ademas, para que un β ∈ R cumpla igualmente que

cos β = x, sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ .

Demostracion. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x .Entonces sen2 t = y2, de donde o bien sen t = y, y tomarıamos α = t , o biensen t = −y, y bastarıa tomar α = −t .

Por periodicidad, igualmente cos(α+2kπ) = x , sen(α+2kπ) = y para todok ∈ Z.

Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x , sen β = y.Entonces

sen(β − α) = y x − x y = 0,


luego por (4.7) existira un m ∈ Z tal que β − α = mπ . Si m fuese de la forma2k + 1, k ∈ Z, resultarıa cos(β − α) = −1, mientras que

cos(β − α) = x x + y y = x2 + y2 = 1,

por lo que debe ser m = 2k para algun k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ .

Graficamente, esta proposicion significa que para cada punto sobre la circun-ferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un numero real que mide elangulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y quedicho numero esta unıvocamente determinado salvo multiplos enteros de 2π . Unainterpretacion algebraica nos dirıa que la aplicacion t ∈ R → eit ∈ T (que es unhomomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectivay tiene por nucleo el semigrupo 2πZ, de modo que T es isomorfo al grupo cocienteR/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Theorie elementaire des fonctionsanalytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querrıamos definir la funcion logaritmo como la inversa de la funcion exponencial.Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la funcion expo-nencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramientaen la teorıa de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle.

Valores de la exponencial compleja

Proposicion.(5.1) Dado z ∈ C, sea x = e z, y = m z. Entonces

ez = ex+iy = ex (cos y + i sen y)

(5.2) Para cada z ∈ C

e(ez

) = ee z cos(m z), m(ez

) = ee z sen(m z),∣∣ez

∣∣ = ee z, m z ∈ arg(ez

).

(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periodica de periodo 2π i . Conmayor precision, dados z, w ∈ C, se tiene ez = ew si y solo si z = w + 2kπ ipara algun k ∈ Z.

(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ 0. Ademas, paracada w ∈ C \ 0, ez = w si y solo si

z = ln |w| + i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg w.


Demostracion. (5.1) Segun la formula de adicion

ez = ex eiy,

y las formulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan

cos y + i sen y = eiy .

(5.2) Aplicar lo anterior.(5.3) Si z = w + 2kπ i para algun k ∈ Z, ez = ew e2kπ i = ew.Recıprocamente, sea ez = ew. Tomando modulos,

ee z = ∣∣ez∣∣ = |ew| = ee w,

luego por la inyectividad de la exponencial real

e z = e w.

Pero entonces

cos(m z) + i sen(m z) = cos(m w) + i sen(m w),

o seacos(m z) = cos(m w), sen(m z) = sen(m w),

lo que, segun hemos visto en la proposicion anterior, solo es posible si m z =m w + 2kπ para algun k ∈ Z.

(5.4) Dado w ∈ C \ 0, sea φ ∈ arg w y

z = ln |w| + iφ.

Obviamente ez = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w

sera de la forma z + 2kπ i para algun k ∈ Z por lo que acabamos de probar en(5.3).

Esta informacion engloba asimismo informacion sobre el comportamiento deotras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los unicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresadode otro modo, si z ∈ C,

sen z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, cos z = 0 ⇐⇒ z = π

2+ kπ, k ∈ Z.

Demostracion. Notese que

sen z = 0 ⇐⇒ eiz = e−i z ⇐⇒ e2i z = 1 = e0,

cos z = 0 ⇐⇒ eiz = −e−i z ⇐⇒ e2i z = −1 = eiπ .

Determinaciones del argumento y del logaritmo.

La no inyectividad de la funcion exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a lahora de abordar una definicion de logaritmo.


Definicion. Dado 0 = z ∈ C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z.

Por tanto, un numero complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos aque formula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parteimaginaria un argumento de z,

exp w = z ⇐⇒ w = ln |z| + i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg z.

Podrıamos definir el conjunto

log z = w : exp w = z

y se tendra la igualdad entre conjuntos,

log z = ln |z| + i arg z

Cuando queramos tener una funcion logaritmo, bastara fijar una ‘funcion argu-mento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendrıamos la funcionlogaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos mas flexibles.

Definicion. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ .

1. Diremos que φ : −→ R es una determinacion del argumento en si:

i) φ es continua en .

ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈ , (i.e., eiφ(z) = z

|z| ).

2. Diremos que f : −→ C es una determinacion del logaritmo en si:

i) f es continua en .

ii) f (z) ∈ log z, ∀z ∈ , (i.e., e f (z) = z).

Estos dos conceptos estan muy relacionados. En efecto,

Proposicion 1. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ . Entonces,

φ es una determinacion del argumento ⇐⇒ f (z) = ln |z| + iφ(z) es una determi-nacion del logaritmo.

Demostracion.

⇒) Si φ es continua, es claro que f (z) = ln |z| + iφ(z) es continua, y

e f (z) = |z|eiφ(z) = |z|(z/|z|) = z.


⇐) Si f es una determinacion del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe

ser ln |z| y su parte imaginaria φ(z) = f (z) − ln |z|i

es una determinacion del

argumento, pues es continua y

eiφ(z) = e f (z)e− ln |z| = z/|z|.

Proposicion 2. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ .

i) Si φ1, φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces

∃k ∈ Z, φ1(z) = φ2(z) + 2kπ, ∀z ∈ .

ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

∃k ∈ Z, f1(z) = f2(z) + 2kπ i, ∀z ∈ .

Demostracion. i) Si φ1(z), φ2(z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1(z) −φ2(z) = 2k(z)π , con k(z) entero. La funcion k : −→ Z es continua, y como

es region, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser unpunto. Es decir, k(z) ≡ k es constante.

ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

Ejemplos.

1. El ejemplo mas aparente es Arg z, que es una determinacion del argumentoen la region C \ (−∞, 0].

La correspondiente determinacion del logaritmo en C \ (−∞, 0]

Log z = ln |z| + i Arg z

se llama funcion logaritmo principal.

Notese que el dominio de definicion de esta funcion es C \ 0, pero solo escontinua en C \ (−∞, 0]. Su restriccion a (0, +∞) es el logaritmo real.

2. Analogamente, fijado α ∈ R, la funcion Arg[α,α+2π) es una determinacion delargumento en C \ reiα : r ≥ 0. Y, la correspondiente determinacion dellogaritmo es Log[α,α+2π) z = ln |z| + i Arg[α,α+2π).

3. Las anteriores no son, obviamente, las unicas determinaciones del argumentoy del logaritmo. Veamos algun ejemplo mas:

Ω

Ω=Α∪Β

Α Β

γ

Β

Α

Β


La funcion φ : −→ R, definida por

φ(z) = Arg z, si z ∈ A,

φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B,

(el segmento de R− lo debemos incluiren A), es continua eny, en cada punto,φ(z) ∈ arg z. Por tanto, es una determi-nacion del argumento en .

4.Sea = C \ γ , (γ une continuamente0 e ∞).

La funcion φ : −→ R, definida por

φ(z) = Arg z, si z ∈ A,

φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B,

es una determinacion del argumento en.

5.Sea = D(0; 2) \ D(0; 1). En noexiste determinacion continua del argu-mento. Supongamos que φ : −→ Rlo es. En la region ∗ = \ R−, φ yArg z son dos determinaciones del ar-gumento y, por tanto, para algun k ∈ Z

φ(z) = Arg z + 2kπ, z ∈ ∗.

Pero entonces, φ no puede ser continua en porque si z0 ∈ (−2, −1), los lımites deφ(z) para z → z0 a traves de z ∈ : m z > 0 o a traves de z ∈ : m z < 0difieren en 2π .

Proposicion. Si f es una determinacion del logaritmo en entonces f es holo-morfa en . Ademas,

f ′(z) = 1

z, ∀z ∈ .

Demostracion. Fijemos un punto z0 ∈ . Como la derivada de la funcion expo-nencial es 1 en el punto 0, se tiene

limw→0

ew − 1

w= 1.


A partir de aquı, deducimos,

∀ε > 0, ∃δ > 0 |w| < δ ⇒∣∣∣∣

w

ew − 1− 1

∣∣∣∣ < ε|z0|.

Por otro lado, como f es continua en z0, se tiene,

∃δ1 > 0 |h| < δ1 ⇒ | f (z0 + h) − f (z0)| < δ.

Juntando estos dos hechos, y usando que e f (z) = z, si |h| < δ1,

∣∣∣∣f (z0 + h) − f (z0)

h− 1

z0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

f (z0 + h) − f (z0)

e f (z0+h) − e f (z0)− 1

e f (z0)

∣∣∣∣

= 1

|z0|∣∣∣∣

f (z0 + h) − f (z0)

e f (z0+h)− f (z0) − 1− 1

∣∣∣∣ < ε.

Luego, f es derivable en z0 con derivada 1/z0.

Todavıa tenemos mucho mas.

Proposicion. Si f es una determinacion del logaritmo en entonces f es analıticaen .

Demostracion. Sea z0 ∈ . Se verifica

1

z= 1

z0

1

1 + z − z0

z0

=∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n

zn+10

, |z − z0| < |z0|.

Por tanto, la serie de potencias “primitiva termino a termino” de la anterior

∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n+1

(n + 1)zn+10

es derivable en D(z0; |z0|) y su derivada es 1/z. Como este tambien es el caso def en un entorno (conexo) de z0, tendremos

f (z) = C +∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n+1

(n + 1)zn+10

en un entorno de z0. Por tanto, f es analıtica en z0.


Observacion.

La funcion Log(1 + z) es holomorfa (y analıtica) en C \ (−∞, −1], porcomposicion. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostracion anterior,obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:

Log(1 + z) = C +∞∑

n=0

(−1)n zn+1

n + 1, |z| < 1

Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 =0.

Finalmente, cambiando el parametro de sumacion,

Log(1 + z) =∞∑

n=1

(−1)n+1 zn

n, |z| < 1.

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambien para|z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1 + z) (¿por que?).

Observacion.

En la practica, convendra tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claroque si φ ∈ arg z, ψ ∈ arg w, entonces φ + ψ ∈ arg(zw), pero al particularizara determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce esto en unaigualdad. Ası, en general,

Arg z + Arg w = Arg(zw).

De forma analoga, en general,

Log z + Log w = Log(zw),

por ejemplo Log(−1)+Log(−1) = 2π i = 0 = Log((−1)(−1)

), aunque siempre

ocurre queLog z + Log w ∈ log(zw).

3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciacion.


Definicion. Dados u, v ∈ C, con u = 0, se define el conjunto

uv = exp(vα) : α ∈ log u

Podrıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),

uv = exp(v log u)

Los elementos del conjunto uv son, por tanto,

expv(ln |u| + i Arg u + 2kπ i), k ∈ Z.

Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodici-dad de la funcion exponencial, estos elementos podrıan repetirse y dar un conjuntofinito. De hecho, es muy facil probar que:

i) Si n ∈ N, un consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n) u.

ii) u0 = 1.

iii) Si n ∈ Z−, un = 1

u−n.

iv) Si n ∈ N, u1/n consta de n elementos, justamente las n raıces n-esimas de u.

Ahora, bastara precisar la eleccion de logaritmos para tener funciones expo-nenciales y potenciales

1. Dado a = 0, la funcion

f (z) = az = exp(z Log a)

es la funcion exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique locontrario, la expresion az indicara que estamos tomando el logaritmo principal.

Es claro que es una funcion entera (de hecho, analıtica en C), pues solo sediferencia de la exponencial por el factor constante Log a.

2. Dado α ∈ C, tambien usaremos la notacion zα para indicar la eleccion dellogaritmo principal.

f (z) = zα = exp(α Log z), z ∈ C \ 0.

Su dominio de definicion es C\0, pero solamente es holomorfa (y analıtica),por composicion de ellas, en C \ (−∞, 0].


Cuando el parametro α es entero, es claro que, de hecho zα es holomorfa enC \ 0. Y si es natural, es holomorfa en C (definiendola como 0 en 0). Encualquier otro caso, no puede ser holomorfa mas alla de C \ R−, pues es facilver que en los puntos de R− no es contınua.

Desarrollo de (1 + z)α en serie de potencias centrada en 0.

Por razones obvias, se considera (1+z)α (y no zα) para desarrollar en potenciasde z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la informacionde una funcion a otra.

Denotemos

f (z) = (1 + z)α = exp(α Log(1 + z)), z = −1.

Esta funcion es analıtica en C \ (−∞, −1] (por composicion de analıticas) y, portanto, es analıtica en 0. Esto, teoricamente, nos dice que existe una serie de potenciascentrada en 0 con radio R > 0, tal que

f (z) =∞∑

n=0

anzn

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,

f ′(z) = α f (z)

1 + z

y, ası, se debe cumplir la ecuacion

(1 + z) f ′(z) − α f (z) = 0. (1)

Por otra parte, la derivada de f es

f ′(z) =∞∑

n=1

annzn−1

Entonces, la ecuacion (1) queda

∞∑

n=1

annzn−1 +∞∑

n=1

annzn − α

∞∑

n=0

anzn

= (a1 − αa0) +∞∑

n=1

((n + 1)an+1 + (n − α)an)zn = 0


en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea,

(n + 1)an+1 = (α − n)an, n = 0, 1, 2, . . .

Empezando con a0 = f (0) = 1, es facil comprobar por induccion que

an = α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!

Llamaremos a esta ultima cantidad numero combinatorio generalizado y deno-taremos (para α ∈ C)

(α

n

)= α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!, n ∈ N;

(α

0

)= 1.

Por tanto, hemos obtenido

(1 + z)α =∞∑

n=0

(α

n

)zn, (2)

en un entorno del origen.

Por ultimo, observemos que si α es un numero natural,(α

n

) = 0 si n > α y laecuacion (2) no es otra cosa que la formula del binomio de Newton.

En otro caso, es facil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f comola serie son analıticas en D(0; 1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces,por el P.P.A. tendremos

(1 + z)α =∞∑

n=0

(α

n

)zn, |z| < 1.

Raız cuadrada principal.

Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemosel conjunto de las raıces cuadradas y la raız cuadrada principal. Nos encontramosahora con un buen lıo de notacion: ¿que significa z1/2? ¿que significa

√z? Los

convenios utilizados varıan de unos textos a otros, por lo cual, ante la menorambiguedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que seesten empleando.


En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos:(i) ±√

z para el conjunto de las raıces cuadradas de z, es decir,

±√z

def= w ∈ C : w2 = z.

(Ojo: no es una notacion estandar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluidoz = 0.

(ii)√

z o z12 para la raız cuadrada principal de z, es decir,

√z

def= z12

def= e(1/2) Log z .

Tiene sentido para todo z ∈ C \ 0, aunque por comodidad puede ser conve-niente a veces escribir tambien

√0 = 0

12 = 0.

(ii.1) Segun este convenio, para todo z ∈ C es

±√z = √z, −√

z = z 12 , −z

12 .

(ii.2) Cuando z sea un numero real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0 oArg z = 0 se obtiene como raız cuadrada principal de z justamente suraız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidasson consistentes con las que empleamos para numeros reales.

Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo elproceso visto anteriormente o bien calculando

(1/2

n

)= (−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3)

2 · 4 · 6 · · · (2n), n ≥ 2,

que suele abreviarse mediante factoriales dobles en

(1/2

n

)= (−1)n−1 (2n − 3)!!

(2n)!!,

queda, incluso si |z| = 1 (los coeficientes son del tamano de n−3/2),

√1 + z = 1 + 1

2z +

∞∑

n=2

(−1)n−1 (2n − 3)!!

(2n)!!zn

= 1 + 1

2z − 1

8z2 + 1

16z3 − 5

128z4 + . . . , |z| ≤ 1.


Otro desarrollo importante, correspondiente a α = −1

2, es

1√1 + z

= 1 +∞∑

n=1

(−1)n (2n − 1)!!

(2n)!!zn

= 1 − 1

2z + 3

8z2 − 5

16z3 + . . . , |z| < 1.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del lımite de Abel se sigue que eldesarrollo es valido siempre que |z| ≤ 1, z = −1.

3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones trigonometricas e hiperbolicas complejas.

Funciones trigonometricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, asıcomo las funciones hiperbolicas, se pueden definir en C usando las formulas quelas definen en R. Las funciones obtenidas son las unicas extensiones analıticas aldominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre lasmuchas relaciones y propiedades que podemos deducir facilmente, nos limitamosa senalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.

Proposicion. Dado z ∈ C,

Sh z = −i sen(i z), Ch z = cos(i z).

Otras funciones inversas

La funcion arco tangente compleja.

Para su definicion, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque lafuncion tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver laecuacion

tan w = z

para z ∈ C fijado. Aplicando la definicion

tan w = z ⇐⇒

eiw + e−iw = 0eiw − e−iw

eiw + e−iw= i z

⇐⇒

e2iw = −1e2iw − 1

e2iw + 1= i z

⇐⇒ (1 − i z) e2iw ∗= 1 + i z ⇐⇒

z = i, −i

e2iw = 1 + i z

1 − i z[⇒= −1]


Observamos en ∗ que si z = i o z = −i no puede haber solucion. Si z no es unode estos valores, las soluciones w son tales que

2iw ∈ log(

1 + i z

1 − i z

)⇔ w ∈ 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

Hemos demostrado con esto que la funcion tangente

tan : C \ π2

+ kπ : k ∈ Z −→ C \ i, −i

es suprayectiva, y dado z ∈ C \ i, −i,

tan w = z ⇔ w ∈ 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

Ası, podrıamos escribir, para z ∈ C \ i, −i, el conjunto

arctan z = 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

y, para tener una funcion, elegimos algun logaritmo. Por supuesto, lo mas logico estrabajar (casi siempre) con el principal. Ası, la funcion arco tangente principal,que escribiremos Arctan z, sera

Arctan z = 1

2iLog

(1 + i z

1 − i z

), z = i, −i.

El dominio de definicion es C\i, −i. Veamos donde es analıtica. Por composicionde analıticas lo sera en todos los puntos, salvo a lo mas en aquellos en que

1 + i z

1 − i z∈ R−.

Hallemos estos z’s:1 + i z

1 − i z= λ ⇐⇒ z = i

1 − λ

1 + λ.

Cuando λ recorre los numeros reales negativos, z recorre el conjunto

I = i x : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞).

Por tanto, la funcion Arctan z es analıtica en el abierto = C \ I . (Que no lo esen los puntos de I se prueba como siempre.)

Ii

-i

O

.

.


Notemos que, en particular, es analıticaen el disco unidad. Vamos a hallar sudesarrollo en serie de potencias de z.Por la regla de la cadena, es facil llegara que

Arctan′(z) = 1

1 + z2, z ∈ .

Si tenemos en cuenta que

1

1 + z2=

∞∑

n=0

(−1)nz2n, |z| < 1,

por igualdad de derivadas en D(0; 1) (conexo),

Arctan z =∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

2n + 1, |z| < 1,

salvo la adicion de una constante C , de valor C = Arctan 0 = 0.

La funcion Arctan es una extension analıtica (la unica posible en ) de lafuncion arco tangente real arc tg, inversa de la restriccion de la tangente al intervalo(−π/2, π/2). (¿Por que?)

Argumento principal y arco tangente real.

Para ciertos calculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer deexpresiones del argumento principal mas manejables que su definicion. Para cadaz = 0 se tiene

x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z),luego tg (Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue

Arg(x + iy) =

Arctany

xsi x > 0;

Arctany

x+ π si x < 0, y ≥ 0;

Arctany

x− π si x < 0, y < 0;

en esquema, repartido por cuadrantes,

Arg(x + iy) = Arg(x + iy) =Arctan

y

x+ π Arctan

y

xArg(x + iy) = Arg(x + iy) =Arctan

y

x− π Arctan

y

x


La funcion arco seno compleja.

Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuacion sen w = z. Con nuestranotacion

sen w = z ⇔ eiw − e−iw = 2i z ⇔ (eiw)2 − 2i zeiw − 1 = 0

⇔ eiw ∈ i z ±√

1 − z2. (1)

Notese que ±√1 − z2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado

nos dan 1 − z2).

Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de i z ± √1 − z2 es 0, ya que

i z ∈ ±√

1 − z2 ⇐⇒ −z2 = 1 − z2.

Por tanto, la ecuacion (1) siempre tiene solucion, a saber, aquellos w tales que

w ∈ 1

ilog(i z ±

√1 − z2).

Hemos demostrado entonces que

sen : C −→ C

es suprayectiva, y ademas, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto

arcsen z = 1

ilog(i z ±

√1 − z2)

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de√

1 − z2.

Si queremos una funcion Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto enel logaritmo, como en la raiz interior.

Arcsen z = 1

iLog(i z +

√1 − z2), z ∈ C.

El dominio de esta funcion es todo C (si z = ±1, entendemos√

0 = 0).

Veamos donde es analıtica. Empezamos por la raız interior. Sera analıtica,excepto a lo mas en los z’s tales que

1 − z2 ∈ (−∞, 0] ⇔ z2 ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1].


Por tanto, la determinacion principal de√

1 − z2 es analıtica en C \ ([1, +∞) ∪(−∞, −1]).

Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s talesque i z + √

1 − z2 ∈ R−. Pero,

i z +√

1 − z2 = λ ∈ R− ⇔√

1 − z2 = λ − i z (2)

De aquı, tiene que ser

1 − z2 = (λ − i z)2 ⇒ z = i

(1 − λ2

2λ

). (3)

Al elevar al cuadrado, se pueden anadir soluciones. Entonces, tenemos que llevarla expresion (3) a (2) y tenemos

√

1 + (1 − λ2)2

4λ2= λ + 1 − λ2

2λ⇒

√(1 + λ2)2

4λ2= 1 + λ2

2λ.

Pero, comprobamos que la raiz principal de este numero es el numero positivo(1 + λ2)/2|λ|, de donde

(1 + λ2)

2|λ| = 1 + λ2

2λ⇒ λ = |λ| = −λ.

Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z + √1 − z2 ∈ R−. Por tanto,

la unica limitacion es la del principio, y concluimos que:

La funcion Arcsen es analıtica en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).

En particular, lo es en D(0; 1). Para hallar el correspondiente desarrollo enserie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que

Arcsen′(z) = 1√1 − z2

, z ∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).

Por otro lado,

1√1 − z2

= (1 − z2)−1/2 =∞∑

n=0

(−1/2

n

)(−1)nz2n, |z| < 1.

Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0),

Arcsen z =∞∑

n=0

(−1/2

n

)(−1)n z2n+1

2n + 1, |z| < 1.

La funcion Arcsen es una extension analıtica (la unica posible enC \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1])) de la funcion arco seno real. (¿Por que?)

CAPITULO 4

Integracion sobre caminos

4.1 INTRODUCCION

La integracion sobre caminos fue el instrumento principal del que se sirvio Cauchypara crear la teorıa de funciones analıticas de variable compleja, estableciendo loque actualmente suele denominarse ‘teorıa de Cauchy’, para distinguirlo de los en-foques posteriores de Riemann (con una vision mas geometrica) y de Weierstrass(basado en los desarrollos locales en serie de potencias). Gracias a la representacion(bajo ciertas condiciones) de una funcion holomorfa mediante una integral depen-diente de un parametro, Cauchy logro probar que, en C, las nociones de holomorfıay analiticidad son las mismas, culminando su obra con lo que el donomino ‘calculode residuos’. De todo esto nos ocuparemos mas adelante.

El concepto de integral sobre un camino esta muy relacionado con el deintegracion sobre caminos de formas diferenciales reales de dos variables. Estohace que los resultados iniciales (y sus demostraciones) sean bastante parecidos alo ya estudiado en la teorıa de funciones de varias variables reales.

4.2 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPLEJASEN INTERVALOS REALES

Empecemos recordando algun concepto previo de derivabilidad e integrabilidadpara funciones de variable real, pero con valores complejos. Lo mas destacableen este punto es que la variable toma solamente valores reales.

Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C.

1. g es derivable en t0 ∈ [a, b] si

∃ limt→t0

g(t) − g(t0)

t − t0= g′(t0) ∈ C

(cuando t0 = a o t0 = b, los lımites son laterales).

No estamos introduciendo ninguna definicion nueva de derivabilidad: la nove-dad estriba en la naturaleza del dominio de la funcion, que excepcionalmenteno es un abierto del plano complejo sino un intervalo compacto real, lo quenos situa mas cercanos a la derivacion en R. De hecho, la definicion anterior

65

66 Integracion sobre caminos

es equivalente a que las dos funciones reales e g, m g : [a, b] ⊆ R → Rsean derivables en t0, siendo en tal caso

g′(t0) = (e g)′(t0) + i(m g)′(t0).

2. Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C y f : −→ C con abierto de C y g([a, b]) ⊂ .Si g es derivable en t0 (definicion actual) y f es derivable en g(t0) (definicionanterior), entonces f g es derivable en t0 y

( f g)′(t0) = f ′(g(t0))g′(t0).

Esto es un sencillo ejercicio, que puede abordarse directamente o usando laregla de la cadena para funciones de varias variables y las ecuaciones deCauchy-Riemann.

3. g es integrable (Lebesgue) en [a, b] si, por definicion, lo son e g e m g, yel valor de la integral es

∫ b

ag(t) dt =

∫ b

ae g(t) dt + i

∫ b

am g(t) dt.

Para estas funciones con valores complejos, siguen siendo ciertos los resulta-dos importantes de integracion. Resaltamos los que mas utilizaremos:

Acotacion. ∣∣∣∣

∫ b

ag(t) dt

∣∣∣∣ ≤∫ b

a|g(t)| dt.

(No es tan obvio como puede parecer: intentelo el lector por su cuenta antesde ver la demostracion que sigue.)

Para probarlo, sea z = ∫ ba g(t) dt . Entonces existe c ∈ C con |c| = 1 tal que

|z| = c z. Pongamos u = e (c g), con lo cual u ≤ |c g| = |g|. Ası

∣∣∣∣

∫ b

ag(t) dt

∣∣∣∣ = |z| = c∫ b

ag(t) dt =

∫ b

ac g(t) dt

∗=∫ b

au(t) dt ≤

∫ b

a|g(t)| dt,

verificandose∗= porque teniendo en cuenta que

∫ ba c g(t) dt = |z| ∈ R, se deduce

que∫ b

a c g(t) dt = e(∫ b

a c g(t) dt)

= ∫ ba e

(c g(t)

)dt .

Integracion sobre caminos 67

Regla de Barrow ‘ampliada’. Si g : [a, b] −→ C es continua y existe unaparticion t0 = a < t1 < t2 < · · · < tn = b de [a, b] de manera que g esderivable en cada (tk−1, tk), 1 ≤ k ≤ n y g′ (extendida arbitrariamente a lospuntos tk) es integrable-Riemann en [a, b], entonces

∫ b

ag′(t) dt = g(b) − g(a).

La regla de Barrow que conocemos solo es aplicable en cada uno de losintervalos [tk−1, tk] de la particion. Pero entonces,

∫ b

ag′(t) dt =

n∑

k=1

∫ tk

tk−1

g′(t) dt =n∑

k=1

(g(tk) − g(tk−1)) = g(b) − g(a).

Teorema de la convergencia dominada. Sean gn, g : [a, b] −→ C tales quegn(t) −→ g(t) para casi todo t ∈ [a, b] y, supongamos que ∃h : [a, b] −→R+ tal que ∀n ∈ N, |gn(t)| ≤ h(t), t ∈ [a, b] y

∫ ba h(t) dt < +∞. Entonces,

limn→∞

∫ b

agn(t) dt =

∫ b

ag(t) dt.

O la version continua de este teorema

T.C.D. Version continua. Si tenemos una funcion g de dos variables,z ∈ D(z0; δ), t ∈ [a, b], con valores complejos, tal que

limz→z0

g(z, t) = g0(t), para casi todo t ∈ [a, b],

|g(z, t)| ≤ h(t), ∀z ∈ D(z0; δ), ∧∫ b

ah(t) dt < +∞

Entonces,

limz→z0

∫ b

ag(z, t) dt =

∫ b

ag0(t) dt.

Cambio del orden de integracion. Sea g : [a, b] × [c, d] → C continua.Entonces

∫ b

a

(∫ d

cg(s, t) ds

)dt =

∫ d

c

(∫ b

ag(s, t) dt

)ds.

(Es un caso particular del teorema de Fubini.)


4.3 CURVAS Y CAMINOS EN C

Definicion. Una curva en C es una funcion γ : [a, b] → C continua (a, b ∈ R,a < b).

Observacion. Una curva no debe identificarse con la imagen de la funcion γ ([a, b])(denominada el soporte de la curva). Por ejemplo,

γ1 : [0, 2π ] −→ C, γ1(t) = eit

γ2 : [0, 2π ] −→ C, γ2(t) = e2i t

son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte.

Notese que el soporte de una curva siempre es un subconjunto conexo ycompacto de C.

Definicion. Un camino (o curvaC(1 a trozos) es una funcion continuaγ : [a, b] → Ctal que existe una particion a = t0 < t1 < . . . < tk = b de forma que γ

∣∣[tj−1 ,tj ]

es

una curva de clase C(1 ( j = 1, . . . , k).

Observacion.

Lo anterior significa que γ : [tj−1, tj ] −→ C es derivable en sentido real (laspartes real e imaginaria son derivables). Es decir,

∀t ∈ [tj−1, tj ], ∃ lims→t

γ (s) − γ (t)

s − t= γ ′(t) = (e γ )′(t) + i(m γ )′(t) ∈ C

(en tj y tj−1 los lımites son laterales) y ademas, γ ′ : [tj−1, tj ] −→ C es continua.

En los puntos de la particion tj , existe derivada γ ′(tj ) por la derecha y por laizquierda, pero estas derivadas pueden coincidir o ser distintas.

Sea γ : [a, b] −→ C un camino. Se llama origen de γ al punto γ (a); sellama extremo de γ al punto γ (b).

Se dice que γ es un camino cerrado si γ (a) = γ (b).

Se llama longitud de γ a

long γ =∫ b

a|γ ′(t)| dt ( < +∞)

Si A ⊆ C, se dice que γ esta contenido en A si γ ([a, b]) ⊆ A.


Opuesto de un camino. Se llama camino opuesto aγ al camino−γ : [−b, −a] −→C dado por (−γ )(t) = γ (−t). El camino opuesto tiene el mismo soporte, perocambia el origen por el extremo y viceversa. Se dice que −γ recorre el soporte delcamino en sentido contrario al de γ .

Union de caminos. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C dos caminos talesque γ1(b) = γ2(c). Se llama γ1 ∪ γ2 (union o suma de γ1 y γ2) al camino dado por

γ1 ∪ γ2 : [a, b + d − c] −→ C,

(γ1 ∪γ2)(t) = γ1(t) si t ∈ [a, b]; (γ1 ∪γ2)(t) = γ2(t −b+c) si t ∈ [b, b+d −c].

Es claro que la union de dos caminos es un camino que cumple

i) sop(γ1 ∪ γ2)=sop(γ1)∪sop(γ2)

ii) origen (γ1 ∪ γ2)=origen(γ1)

ii) extremo (γ1 ∪ γ2)=extremo(γ2).

Definicion. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C. Diremos que sonequivalentes y escribiremos γ1 ∼ γ2, si tienen el mismo numero de puntos noregulares (donde no son C1)) y si a = t0 < t1 < . . . < tn = b y c = s0 < s1 <

. . . < sn = d son las particiones asociadas, existe una aplicacion

τ : [a, b] −→ [c, d]

que es biyeccion con

τ∣∣[tj ,tj+1] : [tj , tj+1] −→ [sj , sj+1], j = 0, 1, . . . , n − 1

derivable con τ ′(t) > 0 y de forma que

γ1 = γ2 τ.

1. Se prueba facilmente que ∼ es una relacion de equivalencia compatible conla operacion de camino opuesto y la union de caminos. Serıa mas ajustado ala practica habitual definir camino como una clase de equivalencia por estarelacion y si γ1 ∼ γ2, decir que γ1 y γ2 son parametrizaciones del mismocamino. La aplicacion τ que liga γ1 y γ2 se llama cambio de parametro.

2. Los caminos equivalentes solo se diferencian en que se recorre el mismosoporte y en el mismo sentido, pero a diferente velocidad. A efectos de la


utilizacion de los caminos en nuestra teorıa, dos caminos equivalentes escomo si fueran iguales.

3. Por ejemplo, son equivalentes los caminos

γ1 : [0, 2π ] −→ C, γ1(t) = eit

γ2 : [0, π ] −→ C, γ2(t) = e2i t

(donde la aplicacion cambio de parametro es clara).

4. Podremos suponer, cuando ası nos convenga, que un camino esta parametrizadoen el intervalo [0, 1].

Ejemplos.1. Dados z0 = z1 ∈ C, el segmento orientado [z0, z1] es el camino

γ : t ∈ [0, 1] → γ (t) = z0 + t (z1 − z0) = (1 − t) z0 + t z1 ∈ C.

La notacion que se emplea es la misma que para su soporte, pero el contextodejara claro en cada ocasion a cual de las dos nociones nos estamos refiriendo.Por comodidad, diremos ‘segmento’ [z0, z1], sobreentendiendose ‘segmentoorientado’.Su longitud es igual a |z1 − z0| (¡comprobar!).

2. Dados z0, z1, . . . , zn ∈ C, la poligonal de vertices z0, z1, . . . , zn , es el camino[z0, z1] ∪ [z1, z2] ∪ · · · ∪ [zn−1, zn].Su longitud es igual a |z1 − z0| + |z2 − z1| + · · · + |zn − zn−1| (¡comprobar!).

3. Dados z0 ∈ C, r > 0, la circunferencia de centro z0 y radio r orientadapositivamente es el camino

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = z0 + r eit ∈ C.

Lo representaremos por ∂ D(z0; r). La circunferencia de centro z0 y radior orientada negativamente es el camino opuesto −∂ D(z0; r). Cuando no seespecifique orientacion, se sobreentiende la positiva.La longitud de ambos es 2πr (¡comprobar!).

3. Dados z0 ∈ C, r > 0, k ∈ Z, el camino

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = z0 + r eikt ∈ C.

es la circunferencia de centro z0 y radio r recorrida k veces en sentido positivosi k ≥ 0 o recorrida −k veces en sentido negativo si k < 0. La representaremospor k · ∂ D(z0; r). En particular, 1 · ∂ D(z0; r) = ∂ D(z0; r), 0 · ∂ D(z0; r) es elcamino constante con soporte z0 y (−1) · ∂ D(z0; r) = −∂ D(z0; r) (salvoajustes en la parametrizacion). Su longitud es igual a 2|k|πr (¡comprobar!).


4.4 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CAMINOS

Definicion. Sea γ : [a, b] −→ C un camino y sea f : sop γ −→ C una funcioncontinua. Se llama integral de f sobre γ a

∫

γ

f =∫

γ

f (z)dz =∫ b

af (γ (t))γ ′(t) dt.

Notese que la funcion que integramos, ( f γ ) ·γ ′ : [a, b] −→ C, es continua,salvo en un numero finito de puntos (donde las discontinuidades son de salto). Portanto, es integrable-Lebesgue (incluso integrable-Riemann) en [a, b].

La definicion podrıa haberse dado para funciones mas generales que las con-tinuas, con tal de que ( f γ ) · γ ′ fuera integrable en [a, b]. Pero, para nuestrospropositos, basta con esto.

Propiedades.

1. Si γ1 ∼ γ2, entonces∫

γ1

f =∫

γ2

f .

Basta acudir a la definicion y hacer en la integral el cambio de variable τ(t) =s, donde τ es el cambio de parametro.

2.∫

−γ

f = −∫

γ

f .

3.∫

γ1∪γ2

f =∫

γ1

f +∫

γ2

f .

4.∫

γ

( f + g) =∫

γ

f +∫

γ

g,∫

γ

λ f = λ

∫

γ

f .

5. Regla de Barrow. Sea f : ⊃ sop γ −→ C. Supongamos que ∃F ∈ H()

tal que F ′(z) = f (z), ∀z ∈ . Entonces,

∫

γ

f (z)dz = F(γ (b)) − F(γ (a)).

En efecto, podemos subdividir el intervalo [a, b] en intervalos parciales [tj−1, tj ]en los que la restriccion de F γ es derivable, con derivada (lateral en losextremos) dada por la regla de la cadena

(F γ )′(t) = F ′(γ (t))γ ′(t) = f (γ (t))γ ′(t),


continua a trozos (luego finalmente integrable en [a, b]). Entonces, aplicandola regla de Barrow ‘ampliada’,

∫

γ

f (z)dz =∫ b

af (γ (t))γ ′(t) dt =

∫ b

a(Fγ )′(t) dt = F(γ (b))−F(γ (a)).

Observacion. En las hipotesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ (a) =γ (b)) resulta

∫

γ

f (z) dz = 0.

6.∣∣∫

γ

f (z)dz∣∣ ≤ long γ · sup

z∈sop γ

| f (z)|.

En efecto,

∣∣∫

γ

f (z)dz∣∣ = ∣∣

∫ b

af (γ (t))γ ′(t) dt

∣∣ ≤∫ b

a| f (γ (t))γ ′(t)| dt

≤(∫ b

a|γ ′(t)| dt

)· sup

t∈[a,b]| f (γ (t))|.

Observacion. Notese que sop γ es un compacto, y como | f | es continua, elsupremo es un maximo (Weierstrass).

7. Sean fn, f : sop γ −→ C continuas, y tales que fn −→ f uniformementeen sop γ . Entonces,

limn→∞

∫

γ

fn(z)dz =∫

γ

f (z)dz

Es decir, bajo la hipotesis de convergencia uniforme en el soporte, el lımiteconmuta con la integral.

Para demostrar el resultado, basta observar que

∣∣∫

γ

fn(z)dz−∫

γ

f (z)dz∣∣ ≤ long γ · sup

z∈sop γ

| fn(z)− f (z)| −→ 0, (n → ∞).

8. Cambio del orden de integracion. Sea γ1 un camino en un abierto 1, γ2 uncamino en un abierto 2, φ : 1 × 2 → C continua. Entonces

∫

γ1

(∫

γ2

φ(z, w) dw

)dz =

∫

γ2

(∫

γ1

φ(z, w) dz

)dw.


Pues sea t0 < t1 < . . . < tn una particion del dominio de γ1 tal que cadarestriccion γ1|[tk−1,tk ] tiene derivada continua, y analogamente sea s0 < s1 <

. . . < sm una particion del dominio de γ2 para la que cada restriccion γ2|[sj−1,sj ]

tiene derivada continua. Aplicando el resultado de intercambio ya visto,

∫

γ1

(∫

γ2

φ(z, w) dw

)dz

=∑

k, j

∫ tk

tk−1

(∫ sj

sj−1

φ(γ1(t), γ2(s)) γ ′2(s) ds

)

γ ′1(t) dt

=∑

j,k

∫ sj

sj−1

(∫ tk

tk−1

φ(γ1(t), γ2(s)) γ ′1(s) dt

)γ ′

2(s) ds

=∫

γ2

(∫

γ1

φ(z, w) dz

)dw.

4.5 INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARAMETRO COMPLEJO

Derivacion bajo el signo integral.

Vamos a obtener un resultado similar a los de la integral de Lebesgue en R,pero con derivada compleja, en vez de derivada real.

Proposicion. Sea γ un camino, un abierto no vacıo de C. Sea

φ : (w, z) ∈ sop γ × −→ φ(w, z) ∈ C

una funcion de dos variables complejas continua. Entonces, la funcion de unavariable

g(z) =∫

γ

φ(w, z)dw, z ∈

es continua en .

Demostracion. Fijemos z0 ∈ . Acudiendo a la definicion de integral, se trata dedemostrar que

limz→z0

∫ b

aφ(γ (t), z)γ ′(t) dt =

∫ b

aφ(γ (t), z0)γ

′(t) dt.

Pero esto es cierto por la version continua del T.C.D., pues tenemos el limite puntual

limz→z0

φ(γ (t), z)γ ′(t) = φ(γ (t), z0)γ′(t), ∀t ∈ [a, b]


y la dominacion trivial, (en un entorno de z0 tal que D(z0; ε) ⊂ )

|φ(γ (t), z)γ ′(t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z0; ε) con∫ b

aC dt < +∞

(ya que sop γ × D(z0; ε) es un compacto, y φ es continua).

Teorema. Con las hipotesis y notacion de la proposicion precedente, supongamosademas que:

(i) Para cada w ∈ sop γ fijado, la funcion de z, φ(w, z) es derivable en y

denotamos∂φ

∂za esta derivada.

(ii) La funcion derivada∂φ

∂z: sop γ × −→ C es continua.

Entonces, la funcion g es holomorfa en , y ademas

g′(z) =∫

γ

∂φ

∂z(w, z)dw

Es decir, con estas hipotesis, se puede derivar bajo el signo integral.

Demostracion. Fijemos z0 ∈ . Tenemos que demostrar que

limz→z0

(g(z) − g(z0)

z − z0−

∫

γ

∂φ

∂z(w, z0)dw

)= 0.

Escribimos

g(z) − g(z0)

z − z0−

∫

γ

∂φ

∂z(w, z0)dw =

∫

γ

(φ(w, z) − φ(w, z0)

z − z0− ∂φ

∂z(w, z0)

)dw

=∫

γ

ψ(w, z)dw =∫ b

aψ(γ (t), z)γ ′(t) dt

y se trata de ver que esta integral tiende a 0 cuando z → z0.

De nuevo, podemos aplicar la version continua del T.C.D., ya que, por unlado, tenemos la convergencia puntual

limz→z0

ψ(γ (t), z) = 0, ∀t ∈ [a, b]

pues la derivada∂φ

∂zexiste por hipotesis, y por otro lado tenemos la dominacion

|ψ(γ (t), z)γ ′(t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z0; ε).


Para demostrar esto ultimo, acotamos cada uno de los dos sumandos que formanψ . Por continuidad en un compacto,

∣∣∣∣∂φ

∂z(w, z0)

∣∣∣∣ ≤ C, ∀w ∈ sop γ

Y, para el segundo, usamos el truco∣∣∣∣φ(w, z) − φ(w, z0)

z − z0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1

z − z0

∫

[z0,z]

∂φ

∂z(w, η)dη

∣∣∣∣

≤ supη∈[z0,z]

∣∣∣∣∂φ

∂z(w, η)

∣∣∣∣ ≤ C, ∀w ∈ sop γ, ∀z ∈ D(z0; ε)

donde [z0, z] es el segmento que une z0 y z, y hemos usado la regla de Barrow yque ∂φ

∂z es continua en el compacto sop γ × D(z0; ε).

Construccion de funciones analıticas mediante integrales.

Aquı se desvela el principal papel de la integral sobre caminos en C. Permiteconstruir funciones analıticas en abiertos muy amplios a partir de una pequenapremisa: tener una funcion continua en el soporte de un camino. Aunque podrıamosdar un resultado mas general, nos limitaremos al caso particular que se usa, tal cual,en el desarrollo posterior de la teorıa.

Teorema. Sea γ un camino y f : sop γ −→ C continua. Entonces, la funcion

g(z) = 1

2π i

∫

γ

f (w)

w − zdw, z ∈ C \ sop γ

es analıtica en C \ sop γ .

Demostracion. Observemos primero, que si z ∈ C \ sop γ , g(z) esta bien definidapuesto que la funcion de variable w que integramos, f (w)/(w − z), es continuaen sop γ (si z ∈ sop γ , el denominador se anularıa en un punto del soporte).

Si solo pretendieramos ver que g es holomorfa en C \ sop γ , el resultado esuna simple aplicacion del teorema anterior, pues

φ(w, z) = f (w)

w − zes continua en sop γ × C \ sop γ,

y

∃∂φ

∂z(w, z) = f (w)

(w − z)2y es continua en sop γ × C \ sop γ.

γ

rRw

a


Para demostrar la analiticidad, recurrimos a la definicion. Sea a ∈ C \ sop γ .

Tenemos que demostrar que g se puedeescribir como una serie de potenciascentrada en a. Lo que va a ser facil esdesarrollar la funcion interior. A partirde aquı, nuestro problema sera sacar unsumatorio fuera de la integral.

Denotemos R = d(a, sop γ ) > 0. Siw ∈ sop γ ,

1

w − z= 1

w − a· 1

1 − z−aw−a

=∞∑

n=0

(z − a)n

(w − a)n+1

siendo el desarrollo valido para aquellos z’s tales que |z − a| < |w − a|.Tomemos un 0 < r < R. Si z cumple |z −a| < r entonces, |z −a| < |w−a|,

∀w ∈ sop γ . Por tanto, si |z − a| < r podemos escribir

g(z) = 1

2π i

∫

γ

( ∞∑

n=0

f (w)(z − a)n

(w − a)n+1

)

dw

Para sacar fuera el sumatorio, bastara demostrar que la serie converge uniforme-mente en sop γ . Y, esto es cierto por el criterio M de Weierstrass. En efecto:

∀w ∈ sop γ,∣∣ f (w)

(z − a)n

(w − a)n+1

∣∣ ≤ Crn

Rn, con

∞∑

n=0

Crn

Rn< +∞.

Hemos usado que f al ser continua en sop γ esta acotada. Por tanto,

g(z) =∞∑

n=0

(1

2π i

∫

γ

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n, |z − a| < r

Luego, hemos probado que g es analıtica en a.

Observacion

El razonamiento anterior se puede hacer para cualquier r < R = d(a, sop γ ),luego, en definitiva, podemos asegurar

g(z) =∞∑

n=0

(1

2π i

∫

γ

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n, |z − a| < d(a, sop γ ).

CAPITULO 5

Indice de un puntorespecto de un

camino cerrado

5.1 INTRODUCCION

El numero de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (elındice, the winding number de los textos en ingles) juega un papel insospechadoen la teorıa de funciones de variable compleja, como se ira desvelando a lo largodel desarrollo de la misma; ello es debido a que tal numero puede expresarse comouna integral, ligada con la variacion del logaritmo y, por ende, del argumento.

Tenemos aquı un punto mas en el que el analisis complejo presenta una fuertecomponente geometrica, que va a hacer de los esquemas graficos un elementoauxiliar muy util.

En la primera parte del capıtulo definimos analıticamente el concepto de ındicey probamos sus propiedades basicas. En la segunda parte, vemos que el ındice secorresponde efectivamente con el ‘numero de vueltas’, estudiando variaciones delargumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos ylogaritmos continuos a lo largo de un camino, emparentados (pero no equiparables)con las determinaciones del argumento y del logaritmo.

Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, esPalka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York(1991); un enfoque muy geometrico se encuentra en Needham, T.: Visual ComplexAnalysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel mas elevado, Burckel, R. B.:An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkhauser, Basel (1979).

5.2 DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES

Definicion. Sea γ un camino cerrado. Para z /∈ sop γ ,

Indγ (z) = 1

2π i

∫

γ

dw

w − z

se llama ındice de z respecto de γ .

77

78 Indice de un punto respecto de un camino cerrado

Propiedades.

1. La funcion Ind : C \ sop γ −→ C es analıtica.

Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas me-diante integrales.

2. Indγ (z) ∈ Z, ∀z ∈ C \ sop γ .

En efecto, sea γ : [a, b] −→ C, a = t0 < t1 < . . . < tn = b tal que larestriccion de γ a cada [tj−1, tj ] tenga derivada continua. Entonces,

Indγ (z) = 1

2π i

∫ b

a

γ ′(t)γ (t) − z

dt = 1

2π i

n∑

j=1

∫ tj

tj−1

γ ′(t)γ (t) − z

dt. (1)

Para cada j = 1, 2, . . . , n, definimos las funciones

gj : s ∈ [tj−1, tj ] −→ gj (s) =∫ s

tj−1

γ ′(t)γ (t) − z

dt ∈ C.

Por el teorema fundamental del calculo, las gj son derivables, siendo

g′j (s) = γ ′(s)

γ (s) − z.

De aquı,

d

ds

(egj (s)

γ (s) − z

)= egj (s)

(g′

j (s)

γ (s) − z− γ ′(s)

(γ (s) − z)2

)= 0,

por tanto,egj (s)

γ (s) − z= Cte = egj (tj−1)

γ (tj−1) − z= e0

γ (tj−1) − z

(la constante es, por ejemplo, el valor en s = tj−1). Ası,

egj (tj ) = γ (tj ) − z

γ (tj−1) − z. (2)

De la ecuacion (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos:

Indγ (z) = 1

2π i

n∑

j=1

gj (tj ).

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 79

Entonces, por (2),

e∑n

j=1gj (tj ) =

n∏

j=1

γ (tj ) − z

γ (tj−1) − z= γ (b) − z

γ (a) − z= 1,

pues el camino es cerrado. Por ultimo, esto implica que existe k ∈ Z tal que

n∑

j=1

gj (tj ) = 2kπ i ⇒ Indγ (z) = k ∈ Z.

3. La funcion Indγ es constante en cada componente conexa de C \ sop γ .

Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros.

4. Indγ = 0 en la componente no acotada de C \ sop γ .

En efecto, basta observar que

| Indγ (z)| ≤ 1

2πlong γ · sup

w∈sop γ

1

|w − z| .

Como sop γ es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada conmodulo suficientemente grande para que | Indγ (z)| < 1. Como debe ser unentero, no queda otra posibilidad que Indγ (z) = 0.

Ejemplos. 1. Sea γ = ∂ D(a; r) la circunferencia de centro a y radio r (orientadapositivamente). Entonces Indγ (z) = 1 si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r .En efecto: puesto que D(a; r) es conexo, para todo z ∈ D(a; r) sera

Indγ (z) = Indγ (a) = 1

2π i

∫ 2π

0

r i eit

r eitdt = 1.

Por otra parte, z ∈ C : |z − a| > r es la componente no acotada de C \ sop γ ,luego para estos z el ındice es 0.

2. De manera analoga, si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorridak veces en sentido positivo (k ∈ N), es decir,

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r eikt ∈ C,

se obtendrıa Indγ (z) = k si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r . Y si γ es lacircunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N),es decir,

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r e−ikt ∈ C,

γ1

γ2γ3

0


se obtendrıa Indγ (z) = −k cuando |z − a| < r , Indγ (z) = 0 cuando |z − a| > r .3. El calculo directo del ındice se complica incluso en situaciones aparente-

mente muy sencillas. Por ejemplo, sea γ “el cuadrado de vertices ±1± i”, es decir,la poligonal [1 + i, −1 + i] ∪ [−1 + i, −1 − i] ∪ [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i].

Entonces

Indγ (0) = 1

2π i

∫

γ

dz

z

= 1

2π i

(∫

[1+i,−1+i]

dz

z+

∫

[−1+i,−1−i]

dz

z+

∫

[−1−i,1−i]

dz

z+

∫

[1−i,1+i]

dz

z

)

= 1

2π i

∫

[−1−i,1−i]∪[1−i,1+i]∪[1+i,−1+i]

dz

z+ 1

2π i

∫

[−1+i,−1−i]

dz

z

= 1

2π i

(Log(−1 + i) − Log(−1 − i)

)

+ 1

2π i

(Log[0,2π)(−1 − i) − Log[0,2π)(−1 + i)

)

= 1

2π i

(3π i

4−

(−3π i

4

))+ 1

2π i

(5π i

4− 3π i

4

)= 1

puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C\(−∞, 0] (que contiene al soporte de[−1− i, 1− i]∪ [1− i, 1+ i]∪ [1+ i, −1+ i]) y Log[0,2π)(z) lo es en C\ [0, +∞),que contiene al soporte de [−1 + i, −1 − i].

En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el calculo el camino por otromas comodo, concretamente por la circunferencia unidad ∂ D(0; 1). En efecto:

Sean γ1 = [1, 1 + i], γ2 = [1 + i, i] y γ3 el primercuadrante de la circunferencia orientado negativa-mente, como se indica en la figura. Puesto que 0queda (“a ojo”) en la componente conexa no aco-tada del complementario del soporte del caminocerrado γ1 ∪ γ2 ∪ γ3, tendra ındice 0 respecto delmismo. Por tanto

1

2π i

∫

γ1∪γ2∪γ3

dz

z= 0,

con lo cual ∫

γ1∪γ2

dz

z= −

∫

γ3

dz

z=

∫

−γ3

dz

z.

Repitiendo el proceso en los demas cuadrantes y sumando convenientemente, sinperder de vista las orientaciones, llegamos a

1

2π i

∫

γ

dz

z= 1

2π i

∫

∂ D(0;1)

dz

z= 1.


Con “ayudas visuales” como esta podremos ir ampliando la complejidad de lassituaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todavıade la intuicion geometrica viendo que el ındice corresponde, como senalabamos enla introduccion, al numero de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que dael camino alrededor del punto. La manera mas obvia de medir estas vueltas es seguirla variacion del angulo que va formando el segmento [z0, γ (t)] con el segmento[z0, γ (a)] cuando t va recorriendo el intervalo [a, b] en el que esta definida γ .En C, hablar de angulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parteimaginaria de los logaritmos. Si repasamos los calculos efectuados anteriormente,se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmaradecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el ındice,que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalizacion deestos procedimientos es el objeto de la seccion siguiente.

5.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DEL INDICE

Comenzamos con las definiciones de los conceptos que recogen las ideas queacabamos de apuntar.

Definicion. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que γ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b].Diremos que:

1. f : [a, b] −→ C es un logaritmo continuo a lo largo de γ , si f es continuaen [a, b], y f (t) ∈ log γ (t), ∀t ∈ [a, b].

2. h : [a, b] −→ R es un argumento continuo a lo largo de γ , si h es continuaen [a, b], y h(t) ∈ arg γ (t), ∀t ∈ [a, b].

Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (deter-minaciones en regiones), pero existe una gran diferencia: aquı, la variable es real,no atendemos prioritariamente al punto γ (t) del soporte camino sino que ponemosenfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. Ası, puede suceder quesea γ (t1) = γ (t2) sin que f (t1) = f (t2) o h(t1) = h(t2), con las notaciones de ladefinicion.

Sin dificultad se prueba:

i) Si f1, f2 son dos logaritmos continuos a lo largo de γ , entonces

∃k ∈ Z f1(t) = f2(t) + 2kπ i, ∀t ∈ [a, b].

ii) Si h1, h2 son dos argumentos continuos a lo largo de γ , entonces

∃k ∈ Z h1(t) = h2(t) + 2kπ, ∀t ∈ [a, b].

-2 0 2 4x

-4

-2

0

2

4

y


iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ , entonces h(t) = m f (t) esun argumento continuo a lo largo de γ .

iv) Si h es un argumento continuo a lo largo deγ , entonces f (t) = ln |γ (t)| + i h(t)es un logaritmo continuo a lo largo de γ .

Ejemplos.1. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ (−∞, 0] = ∅, Arg γ (t) es un argu-

mento continuo a lo largo de γ . (¿Por que?)2. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ [0, +∞) = ∅, Arg[0,2π) γ (t) es un

argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por que?)3. Sean k ∈ Z, r > 0 y

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = r eikt ∈ C.

Entoncesh : t ∈ [0, 2π ] → h(t) = k t ∈ C

es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por que?)4. Si se conocen argumentos continuos h1 y h2 de dos caminos γ1 : [a, b] → C,

γ2 : [a, b] → C, y se define mediante su producto un nuevo camino

γ : t ∈ [a, b] → γ (t) = γ1(t)γ2(t) ∈ C,

entonces h1 + h2 es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por que?)Esta observacion es mas util de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = e3i t + 3 e2i t ∈ C.

(en la figura se tiene su representaciongrafica).

Como e3i t + 3 e2i t = e2i t (3 + eit ),h(t) = 2t + Arg(3 + eit ) sera un argu-mento continuo a lo largo de γ (noteseque e (3 + eit ) > 0 para todo t ∈[0, 2π ]).

A diferencia de las determinaciones del logaritmo en regiones (que puedenno existir), sobre caminos siempre hay logaritmos continuos.


Teorema. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que 0 /∈ sop γ . Entonces, existe

f : [a, b] −→ C logaritmo continuo a lo largo de γ . Ademas, f es derivable dondelo sea γ .

Demostracion. Con las mismas notaciones que en la demostracion de la propiedad2 del ındice, consideremos como entonces la particion a = t0 < t1 < . . . < tn = by, para cada j = 1, 2, . . . , n,

gj : s ∈ [tj−1, tj ] −→ gj (s) =∫ s

tj−1

γ ′(t)γ (t)

dt ∈ C.

Nuevamente, cada gj es derivable en [tj−1, tj ] y egj (s) = γ (s)

γ (tj−1). Por tanto, en

cada trozo,egj (s)+Log γ (tj−1) = γ (s), s ∈ [tj−1, tj ]

Llamemos f j (s) = gj (s)+Log γ (tj−1) y tendremos que e fj (s) = γ (s). Esto quieredecir que hemos demostrado el teorema por trozos. Ahora, tendremos que ajustarbien los empalmes, pero esto no es ninguna dificultad, pues, por ejemplo, en t1,f1(t1) y f2(t1) son logaritmos de γ (t1), luego se diferencian en un 2kπ i , conk ∈ Z. Digamos que los saltos en los extremos de los intervalos son del tamano2kπ i , con determinados k ∈ Z. Entonces, al modificar las funciones sumandoel correspondiente 2kπ i , arreglamos la continuidad sin perder el hecho de serlogaritmos. En otras palabras, la solucion a nuestro problema sera la funcion

f (t) =

f1(t) (t0 ≤ t ≤ t1)f2(t) + 2k1π i (t1 ≤ t ≤ t2)f3(t) + 2k2π i (t2 ≤ t ≤ t3)

. . . . . . . . . . . .

fn(t) + 2kn−1π i (tn−1 ≤ t ≤ tn)

donde los k1, k2, . . . , kn−1 son los enteros adecuados para que f sea continua sinexcepcion en [a, b]. Es claro que

e f (t) = γ (t), ∀t ∈ [a, b]

y f es derivable salvo en los puntos ti , es decir, donde lo es γ .

Corolario. Sea γ : [a, b] −→ C un camino cerrado tal que 0 /∈ sop γ . Sea h unargumento continuo cualquiera a lo largo de γ . Entonces

Indγ (0) = h(b) − h(a)

2π.

γ γ(t)

arg γ(t)

“1 vuelta”


La cantidad h(b) − h(a) se suele represen-tar por ARG

a≤t≤bγ (t), arg γ o alguna no-

tacion similar, y se lee variacion de un ar-gumento continuo a lo largo del camino.Indγ (0) es ası la suma algebraica del nume-ro de veces que el argumento varıa en 2π .Graficamente, pues, Indγ (0) correspondeal numero de vueltas que da la curvaalrededor del 0.

Demostracion. Usamos las mismas notaciones que en la demostracion del teorema,y sea h(t) = m f (t) (que es un argumento continuo). Tenemos

2π i Indγ (0) =∫

γ

dw

w=

n∑

j=1

∫ tj

tj−1

γ ′(s)γ (s)

ds =n∑

j=1

(gj (tj ) − gj (tj−1))

=n∑

j=1

( f j (tj ) − f j (tj−1)) = f (b) − f (a) = i(h(b) − h(a)).

Notemos para la ultima igualdad que f (b), f (a) son logaritmos del mismo numeroγ (a) = γ (b), y por tanto, tienen la misma parte real. Por ultimo, esta variacion nodepende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencianen una constante 2kπ .

Observaciones.

1. Quede claro una vez mas que no se debe confundir ‘argumento continuo a lolargo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre elsoporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva

γ : [0, 2π ] −→ C γ (t) = eit

no existe H : sop γ −→ C continua tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ .

Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sop γ −→ Ccontinua, tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ , entonces H γ es un argumentocontinuo a lo largo de la curva.

2. Para otro punto, distinto de 0, que no este en sop γ tenemos lo siguiente:

Si γ : [a, b] −→ C, y z0 /∈ sop γ , trasladamos el camino mediante

γ − z0 : t ∈ [a, b] −→ γ (t) − z0 ∈ C.

z0

γ(t)

γ

arg( γ(t)-z0)

Indice 1

Indice 2

Indice 3

Indice 0

0000 E


Entonces es claro que

Indγ (z0) = Indγ−z0(0)

= 1

2π arg(γ − z0),

es decir, el ındice respecto de γ delpunto z0 es la variacion de un argu-mento continuo a lo largo de la curvaγ − z0 y esto, geometricamente, sig-nifica el numero de vueltas que da lacurva γ alrededor del punto z0.

Por ejemplo, sobre esta idea, es facil para la curva dibujada a continuacion ver cuales el ındice de cualquierpunto del plano que noeste sobre su soporte. Fi-jado un punto z0 /∈ sop γ ,seguimos graficamente lavariacion del angulo queforma el radio vector queune z0 con un punto quevaya recorriendo la curva,medida esta variacion res-pecto de la semirrecta deorigen z0 que pasa por elpunto inicial (y final) E .

Por supuesto, el ındice se mantiene constante en cada componente conexa.3. El ındice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales.

La razon de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a /∈ sop γ ,

∫

γ

(z − a)ndz = 0, ∀n = −1, n ∈ Z,

ya que las funciones (z − a)n tienen primitiva (z − a)n+1/(n + 1) en C \ a,abierto que contiene a sop γ . Solo queda saber que ocurre con n = −1, y deaquı la nocion de ındice.

Ası por ejemplo, para integrar una funcion racional sobre un camino cerrado,

∫

γ

P(z)

Q(z)dz


(P/Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples solo hara faltaconocer los ındices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto:supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una raız doble z1, una raız simplez2 y una raız triple z3, y que el grado de P es dos unidades mayor que el deQ. Entonces

P(z)

Q(z)= az2 + bz + c + A

(z − z1)+ A′

(z − z1)2+ B

(z − z2)

+ C

(z − z3)+ C ′

(z − z3)2+ C ′′

(z − z3)3,

de donde∫

γ

P(z)

Q(z)dz = A

∫

γ

dz

z − z1+ B

∫

γ

dz

z − z2+ C

∫

γ

dz

z − z3

(los terminos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo),y ası

∫

γ

P(z)

Q(z)dz = 2π i

(A Indγ (z1) + B Indγ (z2) + C Indγ (z3)

).

Mas adelante veremos una importantısima generalizacion de este resultado,el teorema de los residuos.

4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, mas en general,para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostracion anterior laconstruccion del logaritmo mediante integrales por una construccion directa(mas delicada). Esto hace que se pueda extender la nocion de ındice para curvascerradas mediante la variacion de un argumento continuo. Las propiedadesbasicas que acabamos de obtener siguen siendo validas en esta situacion masgeneral. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.)

5. Curvas de Jordan e ındice. Recordemos que un espacio topologico se de-nomina curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. Elcelebre teorema de la curva de Jordan establece:Una curva de Jordan J en el plano C (≡ R2) separa a C en dos regionescon frontera comun J , una acotada (el interior de J ) y otra no acotada (elexterior de J ); en otras palabras, C \ J tiene una sola componente acotadaG, el interior de J (se dice entonces que G es una region de Jordan); lacomponente no acotada es el exterior de J , y ambas tienen J como frontera.Si J es una curva de Jordan y cualquier homeomorfismo de T sobre J ,poniendo γ : [0, 2π ] → γ (t) = (eit ) ∈ C puede definirse una curva en el


sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, pag. 103) que paratodos los puntos del interior de J el valor constante del ındice respecto de γ es1 o −1. En el primer caso, se dice positivamente orientado, y negativamenteorientado en el segundo.Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicacion continua γ : [a, b] → Ctal que γ (a) = γ (b) y γ |[a,b) inyectiva, su soporte sop γ es una curva deJordan. Para todos los puntos del interior de sop γ , el ındice respecto de γ

es, pues, constantemente 1 o −1. En el primer caso, γ se dice positivamenteorientada, y negativamente orientada en el segundo. Si G es el interior desop γ , se pone a veces γ = ∂G cuando γ esta positivamente orientada paraindicar esta relacion.

5.4 EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Ejemplos.

1. En los caso mas sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) quedaa la vista que Analisis y Geometrıa encajan perfectamente.2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ : [a, b] → Cno corta al semieje real negativo (−∞, 0], entonces Indγ (0) = 0, pues 0 esta enla componente no acotada de C \ sop γ . Por la misma razon, Indγ (0) = 0 paratodo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con ∞ en la esfera deRiemann.3. Para el camino

γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = e3i t + 3 e2i t ∈ C,

el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Indγ (0) = 2, y elmismo valor tendra Indγ (a) para todos los a en la componente conexa de C\sop γ

que contiene al origen. En la componente conexa no acotada sabemos que el ındicevale 0.

En la otra componente conexa acotada de C\sop γ , observamos graficamenteque el ındice vale 1. Puede justificarse analıticamente, por ejemplo, hallando suvalor en z = 3; para ello escribimos

γ (t) − 3 = eit (e2i t + 6i sen t)

y comprobamos que m (e2i t + 6i sen t) = 2 sen t (cos t + 3) solo se anula sisen t = 0, en cuyo caso e (e2i t + 6i sen t) = cos(2t) = 1. En consecuenciae2i t + 6i sen t /∈ (−∞, 0] para ningun t ∈ [0, 2π ], y por tanto,

t + Arg(e2i t + 6i sen t), t ∈ [0, 2π ],

es un argumento continuo de γ − 3, de donde Indγ (3) = 1.


Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos mas), sea

γ : t ∈ [−R, R] → t3 − (1 + 2i) t2 − (3 − 7i) t + 8 − 4i ∈ C.

Hallar la variacion de un argumento continuo a lo largo de γ .

Respuesta.Para situar γ (t) segun los valores de t , estudiemos la variacion de signos de

x(t) := e γ (t) = t3 − t2 − 3t + 8,

y(t) := m γ (t) = −2t2 + 7t − 4,

extendidas a todo t ∈ R.

Como x ′(t) = 3t2 −2t −3 se anula para t ′ = 1 − √10

3< 0 y t ′′ = 1 + √

10

3> 0,

mantendra su signo en los intervalos (−∞, t ′), (t ′, t ′′), (t ′′, +∞). Y puesto quelimt→−∞ x ′(t) = limt→+∞ x ′(t) = +∞; x(t ′′) > 1 − (6/3)2 − (1 + 4) + 8 = 0y x ′(0) = −3 < 0, siendo 0 ∈ (t ′, t ′′), podemos resumir esta informacion en elcuadro siguiente:

t → −∞ ∈ (−∞, t ′) = t ′ ∈ (t ′, 0) = 0 ∈ (0, t ′′) = t ′′ ∈ (t ′′, +∞) → +∞x ′(t) → +∞ > 0 = 0 < 0 = −3 < 0 = 0 > 0 → +∞x(t) → −∞ = 8 > 0 → +∞

del que se deduce que x(t ′) > 0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞, t ′) y uno solocon x(t0) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t ′′) > 0 para todo t ∈ [0, +∞).

Por otra parte y(t) = −2t2 + 7t − 4 = −2(t − t1)(t − t2) con t1 = 7 − √17

4,

t2 = 7 + √17

4, de modo que t0 < t ′ < 0 < t1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos

la siguiente evolucion de signos para x(t), y(t), con la ubicacion deγ (t) = x(t) + i y(t):

t → −∞ ∈ (−∞, t0) = t0 ∈ (t0, t1) = t1 ∈ (t1, t2) = t2 ∈ (t2, +∞) → +∞x(t) → −∞ < 0 = 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 → +∞y(t) → −∞ < 0 < 0 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 → −∞γ (t) ∈ C3 ∈ −iP ∈ C4 ∈ P ∈ C1 ∈ P ∈ C4

donde hemos puesto P = (0, +∞), C1 = z ∈ C : e z > 0, m z > 0,C3 = z ∈ C : e z < 0, m z < 0, C4 = z ∈ C : e z > 0, m z < 0.

Elegimos R de modo que −R < t0 < t2 < R.


Vemos ası que el soporte de γ no corta al semieje real negativo (−∞, 0] (enparticular, que 0 /∈ sop γ ), por lo que Arg γ (t) es un argumento continuo a lo largode γ , y, puesto que −R < t0 < t2 < R, podemos concluir que

ARG−R≤t≤R

γ (t) = Arg γ (R) − Arg γ (−R)

= arc tgy(R)

x(R)−

(arc tg

y(−R)

x(−R)− π

)= π + α(R),

donde

α(R) = arc tgy(R)

x(R)− arc tg

y(−R)

x(−R),

que tiene lımite 0 cuando R → +∞ (este tipo de informacion nos sera util poste-riormente).

-20 -10 0 10 20 30

-40

-20

0

20

-4 -2 0 2 4 6

-10

-5

0

5

10

Grafica de γ (t) Graficas de x(t) e y(t)

Ejercicio. Sea P(z) = zk + a1 zk−1 + · · · + ak un polinomio de grado k ≥ 1, ypara cada R > 0, sea

γR : t ∈ [0, π ] → γR(t) = P(R eit ) ∈ C.

Probar que limR→+∞

ARG0≤t≤π

γR(t) = kπ .

(Nos encontraremos mas adelante en la necesidad de estudiar lımites de estetipo.)

Respuesta.Notemos que

P(z) = zk g(z),

dondelim

z→∞ g(z) = limz→∞

(1 + a1

z+ · · · + ak

zk

)= 1.

0

1


Existira por tanto un R0 > 0 talque si |z| > R0

|g(z) − 1| < 1,

y, en particular, g(z) /∈ (−∞, 0]. Toman-do, pues, R > R0,

γR(t) = Rkeikt g(R eit ),

con g(R eit ) /∈ (−∞, 0] para todo t ∈[0, π ], por lo cual

t ∈ [0, π ] → kt + Arg g(R eit ) ∈ R

es un argumento continuo a lo largo de γR . En consecuencia

ARG0≤t≤π

γR(t) = kπ + Arg g(−R) − Arg g(R)

si R > R0. Pero entonces

limR→+∞

ARG0≤t≤π

γR(t) = kπ + limR→+∞

(Arg g(−R) − Arg g(R)

)

= kπ + Arg 1 − Arg 1 = kπ.

5.5 APENDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN

NOTA. Lo que a continuacion se expone es solo una descripcion intuitiva, sin ninguna pretension de

rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones mas desenfadadas que las habituales en un texto

de Matematicas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se

quieren reflejar.

Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de queel logaritmo complejo es una funcion multivaluada, que para cada complejo z nonulo nos obsequia con infinitos valores. Evidentemente, demasiados para poderactuar sobre ellos con las tecnicas habituales del Analisis matematico.

Para salir del paso hemos recurrido primeramente, de la manera mas drastica,a podar las ramas, seleccionando en ciertas regiones del plano un valor entre losinfinitos posibles, con habilidad suficiente para enlazar los valores seleccionadosde forma que se consiga una funcion holomorfa (una determinacion del logaritmo,tambien denominada una rama del logaritmo). Pero en otras regiones del planoesto no soluciona las dificultades: cuando hemos necesitado movernos a lo largo decurvas que rodeen al origen, hemos tenido que fabricar un nuevo apano, los loga-ritmos continuos a lo largo de curvas. Esto da una pista para intentar uniformizar el


logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a el tratandolo como a una “funcionverdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del loga-ritmo tras una variacion continua del mismo, podemos interpretar que este puntoesta situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano original perodistinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuestion entonces escomo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructurarazonable.

Para lograrlo, Riemann imagino infinitas copias de C, llamemosles [C, n] porejemplo (n ∈ Z), cortadas a lo largo del semieje real [0, +∞); partiendo de [C, 0],le unimos [C, 1] enganchando el borde inferior del corte de [C, 0] con el bordesuperior del corte de [C, 1]; luego seguimos el proceso uniendo [C, 1] con [C, 2]enganchando el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del cortede [C, 2], y ası sucesivamente. De forma similar se va uniendo [C, 0] con [C, −1](recordemos que [C, 0] aun tiene libre el borde superior), [C, −1] con [C, −2],etc.

Se obtiene ası un ‘objeto imposible’, una especie de helice infinita completa-mente aplastada, que se denomina la superficie de Riemann del logaritmo. Cadauna de las copias de C es una hoja de la superficie, y es posible considerar ellogaritmo como una funcion genuina con dominio en su superficie de Riemann,que va adjudicando valores segun la hoja en la que este situado el punto (tal comoel logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores segun el parametro).

La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplomas sencillo es la raız cuadrada: una raız cuadrada continua a lo largo de la cir-cunferencia unidad (definicion obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nosdevolverıa a este punto tras completar la vuelta con el valor −1 (si continuasemosgirando, tras la siguiente vuelta recuperarıamos el valor 1). Ahora serıa suficientecontar con dos copias [C, −1], [C, −2] de C, cortadas otra vez a lo largo del semiejereal no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte de [C, 1] con el bordesuperior del corte de [C, 2], y despues el borde inferior del corte de [C, 2] con elborde superior del corte de [C, 1], dejandolo todo de una sola pieza.

La descripcion del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas diceası:

“Para muchas investigaciones, tales como la investigacion de funciones al-gebraicas y abelianas, es conveniente representar el modo en que se ramifica unafuncion multivaluada en la siguiente manera geometrica. Pensemos que el plano(x, y) esta cubierto por otra superficie coincidente con el (o apoyado sobre el a unadistancia infinitesimal) en tanto en cuanto la funcion este definida. Al continuar lafuncion la superficie se extiende correspondientemente. En una parte del plano enla que la funcion tenga dos o mas continuaciones la superficie es doble o multiple;consta allı de dos o mas hojas, cada una de las cuales representa una rama de la


funcion. Alrededor de un punto de ramificacion de la funcion una hoja de la super-ficie continua en otra, de manera que en el entorno de tal punto la superficie puedemirarse como una superficie helicoidal con eje a traves del punto y perpendicular alplano (x, y), y pendiente infinitesimal. Cuando la funcion retorna a su valor previotras un numero de vueltas de z alrededor del punto de ramificacion (como, porejemplo, con (z − a)m/n , cuando m, n son primos relativos, despues de n vueltasde z alrededor de a), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de masarriba baja a traves de las otras a unirse con la inferior.

La funcion multivaluada tiene solo un valor para cada punto de esta superficieque representa su ramificacion, y por tanto puede ser vista como una funcioncompletamente determinada sobre la superficie.”

Puede darse una definicion satisfactoria de las superficies de Riemann delas “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definiciongeneral de superficie de Riemann abstracta que introdujeron basicamente Weyl yRado. Tecnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexade dimension 1 (por tanto, de dimension real 2) dotada de una estructura analıtica.Esto ultimo significa que si dos cartas (U, ϕ), (V, ψ) se cortan, los cambios decoordenadas ϕ ψ−1 y ψ ϕ−1 son funciones (complejas de variable compleja)analıticas.

Continuar por este terreno nos acercarıa mas a la Topologıa diferencial o a laGeometrıa diferencial que a los intereses centrales de este curso, por lo que dejamosaquı este asunto, remitiendonos para una introduccion al tema a Narasimhan, R.:Complex Analysis in one variable. Birkhauser, Boston (1985). Dedicada exclu-sivamente a las superficies de Riemann es la monografıa clasica Springer, G.:Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1957); masactuales, Farkas, H. M.; Kra, I.: Riemann Surfaces. (2nd. ed.) Springer, New York(1992), Forster, O.: Lectures on Riemann Surfaces. Springer, New York (1981).

CAPITULO 6

Teorıa local de Cauchy

6.1 INTRODUCCION

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangon en la teorıa defunciones de una o varias variables reales. La llave: la formula de Cauchy, que alexpresar el valor en un punto de una funcion holomorfa —en abiertos estrellados, demomento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un caminocerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la funcioncomo una integral dependiente de un parametro, con consecuencias adivinables enalgunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisiblesen otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del algebra, . . . )

La formula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexio-nando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultadosse sustenten, finalmente, en algo que podrıa parecer una simple curiosidad: la in-tegral de una funcion holomorfa en un disco (o, con la misma demostracion, enun abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (tambien si la funcion dejade ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta sera nuestraprimera version del teorema de Cauchy: mas adelante nos ocuparemos de extendersu alcance (comenzando por ampliar el ambito de validez de la formula de Cauchyen la denominada “teorıa global de Cauchy”).

Sin embargo, el examen de la demostracion del teorema de Cauchy revela lacausa de esta pequena maravilla, situandonos en terreno mas conocido. Basta encon-trar una primitiva de la funcion dada para saber que la integral es nula, y esto reduceel problema a probar la anulacion de la integral sobre el contorno de un triangulo(teorema de Cauchy-Goursat). Una exposicion inmejorable de este planteamientopuede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series.The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa pagina seencuentra perfectamente desglosada y explicada la demostracion, si bien bajo lahipotesis de derivabilidad en todos los puntos.

Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentranbasicamente en

Rudin, W.: Analisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,Madrid (1987).

Como complemento en algunos detalles,Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, NewYork (1978).

93

94 Teorıa local de Cauchy

6.2 TEOREMA Y FORMULA DE CAUCHY

1 Teorema. Sea un abierto no vacıo de C, f : → C continua. Son equiva-lentes:

(1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una funcion F ∈ H() tal queF ′ = f ;

(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en ,∫

γ

f (z) dz = 0;

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1, γ2 contenidos en que tengan losmismos orıgenes e iguales extremos,

∫

γ1

f (z) dz =∫

γ2

f (z) dz.

Demostracion. (Recuerdese el teorema de los campos conservativos para formasdiferenciales reales).

(1.1) ⇒ (1.2) Visto.(1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2) es un camino cerrado contenido en .(1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos

disjuntos dos a dos cuya union es . Por tanto, para construir una primitiva de fen es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de.

Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F :G → C haciendo

F(z) =∫

γz

f (w) dw,

donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la funcionF esta entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Estafuncion F es derivable, y para cada z0 ∈ G es F ′(z0) = f (z0). En efecto: dadoz0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z0; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado caminocontenido en G con origen a y extremo z0, para cada z ∈ D(z0; ε) sea γz la unionde γ0 con el segmento [z0, z], que por ser un camino contenido en G con origen ay extremo z nos permite escribir

F(z) − F(z0)

z − z0= 1

z − z0

(∫

γz

f (w) dw −∫

γ0

f (w) dw

)

= 1

z − z0

∫

[z0,z]f (w) dw

Teorıa local de Cauchy 95

y por tanto∣∣∣∣

F(z) − F(z0)

z − z0− f (z0)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1

z − z0

∫

[z0,z]f (w) dw − 1

z − z0

∫

[z0,z]f (z0) dw

∣∣∣∣

≤ supw∈sop[z0,z]

| f (w) − f (z0)| ,

que tiende a 0 cuando z tiende a z0 por la continuidad de f en z0.

2 Teorema de Cauchy para un triangulo (Cauchy-Goursat). Sea un abiertono vacıo de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ p).Para cualquier triangulo cerrado contenido en ,

∫

∂

f (z) dz = 0.

Demostracion. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234.

3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado deC, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ p). Para cualquiercamino cerrado γ contenido en ,

∫

γ

f (z) dz = 0.

Demostracion. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234.

4 Formula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de Cy f ∈ H(). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de

que no este en el soporte de γ es

f (z) · Indγ (z) = 1

2π i

∫

γ

f (w)

w − zdw.

Demostracion. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235.

5 Corolario (Formula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vacıo de C,D(a; r) un disco cerrado contenido en , f una funcion holomorfa en . Entonces,para cada z ∈ D(a; r),

f (z) = 1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

w − zdw.

Demostracion. Puesto que D(a; r) ⊆ , la distancia d(a, c) de a al complemen-tario de es estrictamente mayor que r . Si r < R < d(a, c), el disco D(a; R)

es un abierto estrellado contenido en , en el que f sera holomorfa.Llamando γ a la circunferencia ∂ D(a; r), γ es un camino cerrado contenido

en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r) es Indγ (z) = 1, luego basta aplicar el resultadoanterior para obtener la formula del enunciado.


6.3 CONSECUENCIAS DE LA FORMULA DE CAUCHY

1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda funcion holomorfaes analıtica. Precisando mas: Si es un abierto no vacıo de C y f ∈ H(), paracada a ∈ existe una serie de potencias

∑∞n=0 an (z −a)n con radio R ≥ d(a, c)

(donde d(a, c) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ sic = ∅, o sea, si = C) tal que

f (z) =∞∑

n=0

an (z − a)n

siempre que |z − a| < d(a, c).

Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.

Demostracion. Elegido a, sea z tal que |z − a| < d(a, c). Tomando r de modoque |z −a| < r < d(a, c), el disco cerrado D(a; r) esta contenido en , y puestoque |z − a| < r , la formula de Cauchy nos da

f (z) = 1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

w − zdw.

Pero el teorema de construccion de funciones analıticas nos dice que

1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

w − zdw = 1

2π i

∞∑

n=0

(∫

∂ D(a;r)

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n

con tal que z no este en la circunferencia |w − a| = r , y ası

f (z) =∞∑

n=0

an (z − a)n

donde

an = 1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

(w − a)n+1dw.

En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es este el caso, ya que

an = f (n)(a)

n!.


Ejemplos.

1. La funcion f definida en = (C \ 2π iZ) ∪ 0 por

f (z) = z

ez − 1si z ∈ y z = 0

1 si z = 0

es holomorfa en , luego sera analıtica en y en particular existiran coeficientesBn (los llamados numeros de Bernoulli) de modo que

f (z) =∞∑

n=0

Bn

n!zn

al menos siempre que |z| < 2π . De hecho, el radio de convergencia de la serie esexactamente 2π , ya que si fuese mayor f admitirıa una extension continua en 2π i ,lo que es falso.2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno delpunto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c). ¿Siemprevamos a encontrar esta situacion? La respuesta, en general, es NO: basta tomar = C \ (−∞, 0] y f : z ∈ → f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈

el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que sie a < 0 es d(a, c) = | m a| < |a|.

La formula de Cauchy permite obtener una representacion de las derivadasde una funcion holomorfa en terminos de la propia funcion, de la que podremosextraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teorıade funciones en R.

2 Formula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vacıo de C yf ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r) ⊆ . Entonces, si |z − a| < r ,para cada n ∈ N,

f (n)(z) = n!

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

(w − z)n+1dw.

Demostracion. Para cada z ∈ D(a; r) es

f (z) = 1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

w − zdw.

Aplicando reiteradamente el teorema de derivacion bajo el signo integral se obtienela formula deseada.

Un corolario es que el tamano de las derivadas sucesivas en un punto no puedecrecer “descontroladamente”.


3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vacıo de C y f ∈ H().Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r) ⊆ . Entonces, poniendo M(r) =sup|w−a|=r | f (w)|, para cada n ∈ N se tiene la acotacion

| f (n)(a)| ≤ n! M(r)

rn.

Demostracion. Obviamente

| f (n)(a)| =∣∣∣∣

n!

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

(w − a)n+1dw

∣∣∣∣ ≤ n! M(r)

2π rn+12πr.

4 Teorema de Liouville. Sea f una funcion entera, es decir, f ∈ H(C). Si f estaacotada, necesariamente es constante.

Demostracion. Supongamos que para algun K > 0 es | f (z)| ≤ K cualquiera quesea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendra

| f ′(a)| =∣∣∣∣

1

2π i

∫

∂ D(a;R)

f (w)

(w − a)2dw

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

K

R22π R = K

R,

expresion que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f ′(a) = 0 en todo a ∈ C,para lo que f debe ser constante.

5 Teorema fundamental del algebra. Todo polinomio no constante tiene al menosuna raız en C.

Demostracion. En caso contrario, si P(z) = a0 zn + . . . + an fuese un polinomiono constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la funcion definida por

f (z) = 1

P(z)

serıa una funcion entera no nula. Pero como

limz→∞ f (z) = lim

z→∞1

zn(a0 + . . .)= 0,

se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definicionde lımite, existira un R > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para|z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Segun el teoremade Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente serıa constante1/ f = P , contradiciendo la hipotesis de partida.


6 Principio del modulo maximo. Sea f una funcion holomorfa en una region

de C. Si su modulo | f | tiene algun maximo local, entonces f es constante.

Demostracion. Supongamos que para algun a ∈ sea posible encontrar un R > 0tal que D(a; R) ⊆ y | f (a)| ≥ | f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que| f (a)| = | f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| = r < R, como

f (a) = 1

2π i

∫

∂ D(a;r)

f (w)

w − adw = 1

2π

∫ 2π

0f (a + r eit ) dt

se deduce que

| f (a)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0| f (a + r eit )| dt ≤ 1

2π

∫ 2π

0| f (a)| dt = | f (a)|,

con lo cual

1

2π

∫ 2π

0(| f (a)| − | f (a + r eit )|) dt = 0.

El integrando es una funcion continua no negativa, luego | f (a)| = | f (a + r eit )|para todo t ∈ [0, 2π ] y en particular | f (a)| = | f (z)|.

Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R)

(consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constanteen (por el principio de prolongacion analıtica).

Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado:— o bien f es constante o, en caso contrario, su modulo | f | no tiene maximos

locales;— si f no es constante, su modulo | f | no tiene maximos locales.

7 Teorema de Morera. Sea f una funcion continua en un abierto no vacıo deC tal que para todo triangulo cerrado ⊆ se tenga

∫

∂

f = 0.

Entonces f ∈ H().


Demostracion. Hemos de probar que cada a ∈ posee un entorno en el que f esderivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r) ⊆ ; en el, f admiteuna primitiva F que podemos construir poniendo

F(z) =∫

[a,z]f (w) dw, z ∈ D(a; r).

(La comprobacion de que F es una primitiva de f es estandar: usando la hipotesisdel enunciado, para cada z0 ∈ D(a; r) tenemos

F(z) − F(z0)

z − z0= 1

z − z0

∫

[z0,z]f (w) dw, 0 < |z − z0| < r − |z0 − a|,

lo que implica que por ser f continua∣∣∣∣

F(z) − F(z0)

z − z0− f (z0)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1

z − z0

∫

[z0,z]

(f (w) − f (z0)

)dw

∣∣∣∣

≤ maxw∈[z0,z]

| f (w) − f (z0)|

tiende a 0 cuando z → z0.)Pero si F ∈ H(D(a; r)), es analıtica y en particular su derivada f es a su vez

derivable en D(a; r).

El teorema de Morera da una especie de recıproco del teorema de Cauchy-Goursat.

8 Corolario. Sea un abierto no vacıo de C, p ∈ , f : → C continua en

y holomorfa en \ p. Entonces f es holomorfa en .

Demostracion. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que∫

∂

f = 0

para todo triangulo ⊆ , y el teorema de Morera asegura entonces que f esholomorfa.

Podemos incluso rebajar exigencias:

9 Corolario. Sea un abierto no vacıo de C, p ∈ , f una funcion holomorfaen \ p y acotada para algun r > 0 en el disco reducido D∗(p; r) = z ∈ C :0 < |z − p| < r. Entonces f admite una extension holomorfa en .

Demostracion. La funcion h definida en por

h(z) =

(z − p)2 f (z) si z ∈ \ p0 si z = p

Rr-r-R

iR


es holomorfa en y h′(p) = 0 por la hipotesis de acotacion de f , con lo cualpodremos escribir

h(z) =∞∑

n=2

cn(z − p)n, z ∈ D(p; r),

y ası

f (z) =∞∑

n=0

cn+2(z − p)n, z ∈ D∗(p; r),

de manera que basta extender f a p definiendo f (p) = c2.

6.4 AVANCE: El teorema de Cauchy y el calculo de integrales reales.

Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de maneramas completa y sistematica, veamos como el uso de la integracion compleja permiteel calculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta difıcil de calcular.Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad

∫ +∞

0

sen x

xdx = π

2,

teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, esdecir, ∫ +∞

0

sen x

xdx = lim

r→0+, R→+∞

∫ R

r

sen x

xdx .

Comencemos por considerar la funcion f ∈ H(), donde

= C \ iy : y ∈ (−∞, 0] y f (z) = eiz

z, z ∈ .


Sea γ (r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento[r, R], la semicircunferencia γR : t ∈ [0, π ] → γR(t) = R eit ∈ C, el segmento[−R, −r ] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π ] → γr (t) = r eit ∈ C.Puesto que es un abierto estrellado y sop γ (r, R) ⊆ , teniendo en cuenta elteorema de Cauchy podemos escribir

0 =∫

γ (r,R)

f (z) dz

=∫

[r,R]f (z) dz +

∫

γR

f (z) dz +∫

[−R,−r ]f (z) dz −

∫

γr

f (z) dz

=∫ R

r

eix

xdx +

∫

γR

f (z) dz +∫ −r

−R

eix

xdx −

∫

γr

f (z) dz

=∫ R

r

eix − e−i x

xdx +

∫

γR

f (z) dz −∫

γr

f (z) dz;

equivalentemente,

∫ R

r

eix − e−i x

xdx =

∫

γr

f (z) dz −∫

γR

f (z) dz. (∗)

Ahora bien:

∫

γr

f (z) dz =∫ π

0

ei r eit

r eitr i eit dt = i

∫ π

0ei r (cos t+i sen t) dt,

y para cada t ∈ [0, π ] la funcion del integrando tiene lımite (cuando r → 0+) iguala e0 = 1. Ademas, la acotacion

∣∣ei r (cos t+i sen t∣∣ = e−r sen t ≤ e0 = 1, t ∈ [0, π ],

muestra que el integrando esta dominado por una funcion (constante) integrableen [0, π ] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergenciadominada se obtiene

limr→0+

∫

γr

f (z) dz = i∫ π

0dt = i π.

Analogamente ∫

γR

f (z) dz = i∫ π

0ei R (cos t+i sen t) dt,


pero ahora, para t ∈ (0, π), es

limR→+∞

∣∣ei R (cos t+i sen t∣∣ = lim

R→+∞e−R sen t = 0,

∣∣e−R sen t∣∣ = e−R sen t < e0 = 1,

y por la misma razon de antes

limR→+∞

∫ π

0e−R sen t dt = 0.

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan,se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotacion∫ π

0e−R sen t dt ≤ π

R(1 − eR), deducida de la desigualdad sen t ≥ 2t

πpara

0 ≤ t ≤ π

2.)

Como consecuencia,

limR→+∞

∫

γR

f (z) dz = 0,

y llevando los resultados obtenidos a la igualdad (∗) y pasando al lımite parar → 0+, R → +∞, queda

2i∫ +∞

0

sen x

xdx = i π + 0,

luego ∫ +∞

0

sen x

xdx = π

2.

CAPITULO 7

Teorıa global de Cauchy

7.1 INTRODUCCION

Los exitos logrados con la teorıa local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramien-tas basicas —teorema de Cauchy, formula de Cauchy— para ampliar su alcance.Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertosestrellados, solo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas quedependen en ultima instancia del comportamiento de la funcion en un entorno decada punto de su dominio (propiedades de caracter local). Si queremos estudiarpropiedades de caracter global, hemos de profundizar en la validez del teorema yde la formula de Cauchy en abiertos cualesquiera.

Con este proposito extenderemos la integracion a ‘colecciones de caminoscerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homologos respecto de unabierto. Ası podremos obtener una version muy general de la formula y del teoremade Cauchy en el teorema homologico de Cauchy, viendo ademas que son justamentelos ciclos homologos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral detoda funcion holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos mas generalespara los que va a ser valido el teorema de Cauchy si no imponemos restriccionesal abierto. En el plano practico, esto nos libera de la busqueda (engorrosa a veces)de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar,mirando tan solo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el quese integra sea homologo a 0.

Cerrando este capıtulo aparece el concepto de conexion simple y diferen-tes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos‘anomalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interesde saber en que abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomor-fas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplementeconexos) los mas generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si noqueremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra.

Referencias basicas:— Rudin, W.: Analisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).

104

Teorıa global de Cauchy 105

7.2 CICLOS. HOMOLOGIA.

Damos una definicion “ingenua” de ciclo. Para una definicion mas rigurosa, aunquemenos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247.

Definicion 7.1. Un ciclo es una sucesion finita de caminos cerrados, distin-tos o repetidos, que denotaremos por = [γ1, γ2, . . . , γn], en la que no te-nemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y ′ son iguales cuandoconsten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, ′ =[γσ(1), γσ(2), . . . , γσ(n)] para alguna permutacion σ ).

Denominaremos a γ1, γ2, . . . , γn los caminos que componen , y usaremosla notacion γ ∈ para indicar que γ es uno de los caminos que componen .

El soporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn] es la union de los soportes de γ1,γ2, . . . , γn:

sop = sop γ1 ∪ sop γ2 ∪ · · · ∪ sop γn.

El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, noes en general conexo (ejemplo: = [γ1, γ2] donde γ1, γ2 son dos circunferenciasconcentricas distintas).

Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo esta contenido en un con-junto para indicar que el soporte del ciclo esta contenido en el conjunto.

Definicion 7.2. Dado un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn], el ciclo opuesto − es el cicloobtenido tomando los opuestos de los caminos que componen :

− = [−γ1, −γ2, . . . ,−γn].

La union o suma de dos ciclos ′ = [γ ′1, γ

′2, . . . , γ

′m], ′′ = [γ ′′

1 , γ ′′2 , . . . , γ ′′

n ], esel ciclo

′ ∪ ′′ = [γ ′1, γ

′2, . . . , γ

′m, γ ′′

1 , γ ′′2 , . . . , γ ′′

n ].

Definicion 7.3. Integracion sobre ciclos. Dada una funcion f continua sobre elsoporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn], se define

∫

f =n∑

k=1

∫

γk

f =∑

γ∈

∫

γ

f.

Consecuentemente, el ındice de un punto a /∈ sop respecto de es

Ind(a) = 1

2π i

∫

dz

z − a=

∑

γ∈

Indγ (a).

106 Teorıa global de Cauchy

Definicion 7.4. Sea un abierto no vacıo de C y un ciclo contenido en .Diremos que es homologo a 0 respecto de , y pondremos

∼ 0 ()

si para todo a ∈ C \ esInd(a) = 0.

Cuando consta de un solo camino γ , suele ponerse directamente γ ∼ 0 ().Dos ciclos 1 y 2 contenidos en se dicen homologos respecto de ,

1 ∼ 2 (),

si para todo a ∈ C \ es

Ind1(a) = Ind2(a)

o, equivalentemente, si 1 ∪ (−2) ∼ 0 ().

Ejemplos. Consideremos 0 ≤ r < r1 < r2 < R y sea = z ∈ C : r < |z| < Rel anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahoraγ1 : t ∈ [0, 2π ] → γ1(t) = r1e−i t ∈ C la circunferencia de centro el origeny radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0, 2π ] → γ2(t) = r2eit ∈ C lacircunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces = [γ1, γ2] es un ciclo homologo a 0 respecto de , mientras que no lo son losciclos 1 = [γ1] ni 2 = [γ2]. Obviamente, el ciclo 1 es homologo del ciclo −2

respecto de (y −1 de 2).

7.3 TEOREMA HOMOLOGICO DE CAUCHY

Lema 7.5. Si f ∈ H() y g esta definida en × por

g(z, w) = f (z) − f (w)

z − wsi w = z,

f ′(z) si w = zentonces g es continua en × .

Demostracion. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243.

Teorema 7.6. Sea un abierto no vacıo del plano complejo y f ∈ H(). Sea

un ciclo homologo a 0 respecto de . Entonces:para cada z ∈ \ sop

Ind(z) · f (z) = 1

2π i

∫

f (w)

w − zdw

(formula de Cauchy) y ∫

f (w) dw = 0.

(teorema homologico de Cauchy).


Demostracion. Rudin, loc. cit., Teor. 10.35, pp. 248–249.

NOTA. Las demostraciones clasicas de este resultado eran bastante menos directas.En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostracionmas simple y elemental que ahora se ha hecho estandar (Dixon, J. D.: A brief proofof Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626).

Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vacıo del plano com-plejo y f ∈ H(). Sea un ciclo homologo a 0 respecto de . Entonces:para cada z ∈ \ sop y n ∈ N es

Ind(z) · f (n)(z) = n!

2π i

∫

f (w)

(w − z)n+1dw.

Corolario 7.8. (Homologıa e integracion). Sea un abierto no vacıo del planocomplejo y , 1, 2 sendos ciclos contenidos en . Entonces:(i) es homologo a 0 respecto de si y solo si

∫

f (w) dw = 0

para toda funcion f ∈ H().(i i) 1 y 2 son homologos respecto de si y solo si

∫

1

f (w) dw =∫

2

f (w) dw

para toda funcion f ∈ H().

Demostracion. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema ho-mologico de Cauchy. Para obtener los recıpocos, basta considerar para cada a /∈

la funcion f ∈ H() definida por

f (z) = 1

z − a.

Vemos ası que lo que realmente importa a la hora de integrar una funcionholomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestion como la clase de homologıaasociada a el (esta idea es la que se toma como guıa en la definicion de ciclo quese da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la practica, este hecho permite muchasveces simplificar calculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a lafuncion’ por otro homologo mas conveniente (o un camino cualquiera γ1 por otroγ2 con los mismos extremos siempre que γ1 ∪ (−γ2) sea homologo a 0).


7.4 CONEXION SIMPLE

Definicion 7.9. Diremos que un subconjunto no vacıo de C es simplementeconexo si es una region tal que para todo ciclo ⊆ y para toda f ∈ H() severifica ∫

f (z) dz = 0.

Evidentemente, esta ultima condicion equivale a que la integral de toda f ∈H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en .

Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexion simple). Sea una region deC. Las siguientes propiedades son equivalentes entre sı:(1) es simplemente conexo.(2) Todo camino cerrado γ contenido en es homologo a 0 respecto de .(3) todo ciclo contenido en es homologo a 0 respecto de .(4) (Existencia de primitivas) Toda funcion f ∈ H() admite una primitiva en

, es decir, f = F ′ para alguna F ∈ H().(5) (Existencia de armonica conjugada) Para toda funcion u armonica en existe

f ∈ H() tal que u = e f en .(6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda funcion f ∈ H() tal que

f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que exp(g(z)) = f (z) para todoz ∈ .

(7) (Existencia de raıces cuadradas holomorfas) Para toda funcion f ∈ H()

tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que g2(z) = f (z) paratodo z ∈ .

Demostracion. Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o conse-cuencia inmediata de resultados anteriores.(4) ⇒ (5). Dada una funcion u armonica en construimos la funcion h =ux − i uy , que, por ser u armonica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemanny de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de hy U = e H , puesto que h = H ′ = Ux − i Uy y es conexo debe existir unaconstante C ∈ R tal que u = U + C . La funcion f = H + C es entonces unafuncion holomorfa en tal que e f = u.(5) ⇒ (6). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , pongamos u = e f ,

v = m f . Es facil comprobar que α = ln | f | = 1

2ln

(u2 + v2

)es una funcion

armonica en , luego existira h ∈ H() tal que e h = α = ln | f |. Pero entonces∣∣eh∣∣ = ee h = | f |, con lo cual ∣∣∣∣

eh

f

∣∣∣∣ = 1


y por tanto la funcion eh/ f , holomorfa y no nula en la region , debe mantenerseconstante. Si c es el valor de esa constante, g = h−Log c es una funcion holomorfaen para la que

eg = eh−Log c = eh

c= f.

(6) ⇒ (7). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , si para algunag ∈ H() es eg = f , para la funcion holomorfa

h = e12 g

es h2 = eg = f .(7) ⇒ (2). Sea a /∈ y γ un camino cerrado contenido en . La funcion f ∈ H()

definida por f (z) = z−a no se anula en , luego existe f1 ∈ H() tal que f 21 = f .

Reiterando, se encuentra para cada n ∈ N una fn ∈ H() tal que f 2n = fn−1 y ası

( fn)2n = f, n ∈ N.

Derivando2n ( fn)

2n−1 f ′n = 1, n ∈ N,

con lo cual

2n f ′n(z)

fn(z)= 1

f (z)= 1

z − a, n ∈ N, z ∈ .

Se sigue que para todo n ∈ N ha de ser

1

2nIndγ (a) = 1

2n

1

2π i

∫

γ

dz

z − a= 1

2π i

∫

γ

f ′n(z)

fn(z)dz = 1

2π i

∫

fnγ

dw

w

= Ind fnγ (0) ∈ Z,

lo que solo es posible si Indγ (a) = 0.

Observaciones.(1) Notese que para que no sea simplemente conexo es, pues, necesario y sufi-

ciente que haya al menos una funcion holomorfa en que no tenga primitiva.(2) Se pueden anadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor.

13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripcion geometrico-topologica de los conjuntos simplemente conexos de C.Esta nueva caracterizacion necesita un lema previo, facil de visualizar pero

de demostracion un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee aun compacto K contenido en un abierto . La idea basica consiste en tomar unacoleccion finita de segmentos que constituye la frontera de una ‘imagen digitali-zada de K ligeramente ampliada’. El punto delicado de la demostracion esta encomprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respectodel cual los puntos de K resulten tener ındice 1 y los puntos fuera de tenganındice 0.


Lema 7.11. Sea un abierto no vacıo de C y sea K un conjunto compacto contenidoen . Existe entonces un ciclo en \ K tal que(1) para a /∈ se tiene Ind(a) = 0, es decir,

∼ 0 (),

(2) para cada z ∈ KInd(z) = 1.

Demostracion. Ver Rudin, loc. cit., Seccion 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306.

Dado que Ind(z) = 1 para z ∈ K , esta justificada la expresion “ rodea aK en ”; en cierto modo, podrıamos decir que K queda ‘en el interior’ de y elcomplementario de en ‘el exterior’ de . El ciclo sirve como ‘contorno’ de Ken diferentes contextos, no solo en la teorıa de funciones holomorfas.

Teorema 7.12. Sea una region de C. Entonces es simplemente conexo si y solosi C∞ \ es conexo en la esfera de Riemann C∞.

Demostracion. Si C∞ \ es conexo, es simplemente conexo. En efecto: tome-mos un ciclo cualquiera contenido en . El conjunto C \ sop tendra unacoleccion finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas exceptouna que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C∞ \ sop

seran las componentes acotadas de C \ sop mas B ∪ ∞. Dado que C∞ \

es conexo y esta contenido en C∞ \ sop , necesariamente C∞ \ ⊆ B ∪ ∞,o lo que es lo mismo C \ ⊆ B. Puesto que el ındice respecto de es 0 en B,componente no acotada de C \ sop , en particular para cualquier a ∈ C \ ⊆ Bse tiene Ind(a) = 0.

Para demostrar el recıproco, probaremos que si C∞ \ no es conexo, nopuede ser simplemente conexo.

Supongamos, pues, que C∞ \ no sea conexo, con lo que existiran conjuntosA y B no vacıos disjuntos cerrados en C∞ tales que C∞ \ = A ∪ B. Sea ∞ ∈ B:entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A), luego compacto,contenido en C∞ \ B que es un abierto de C. Segun el lema anterior en estascondiciones existe un ciclo contenido en (C∞ \ B)\ A = tal que Ind(a) = 1para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C \ , con lo que no es homologo a 0 respecto de y no es simplemente conexo.

Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simple-mente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de las componentes acotadas de C∞ \ .


Ejemplos.(1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en parti-

cular, C, C \ (−∞, 0], los discos, todos los abiertos convexos, . . . )(2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado?

(Hay muchos ejemplos sencillos)(3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos

D(a; r, R) = z ∈ C : r < |z − a| < R,a ∈ C, 0 ≤ r < R ≤ +∞. En particular, C \ 0 no es simplemente conexo.

(4) En relacion con lo anterior, ¿que puede decirse del abierto

D(0; r, R) \ [r, R]

si 0 < r < R < +∞?

Comentario final: homotopıa. No podemos tratar la conexion simple sin nom-brar al menos su caracterizacion mas importante quiza desde el punto de vistaestrictamente topologico, que se expresa en terminos de homotopıa. El conceptode homotopıa se define mediante conceptos puramente topologicos, lo que permitehablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topologicos arbitrarios.

Dado un espacio topologico X , una curva en X es, como sabemos, una apli-cacion continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos doscurvas γ0 y γ1, parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ0(0) = γ0(1),γ1(0) = γ1(1)). Se dice que γ0 y γ1 son homotopas si existe una aplicacion continuaH : I × I → X tal que para s, t ∈ I cualesquiera se verifica

H(s, 0) = γ0(s), H(s, 1) = γ1(s), H(0, t) = H(1, t).

Intuitivamente, que γ0 y γ1 sean homotopas corresponde a que podamos deformarγ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1, siendo γt = H(·, t) lascurvas intermedias en la deformacion.

Si toda curva cerrada γ es homotopa en X a una curva constante, se dice queX es simplemente conexo.

En esta definicion, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellosen los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjuntohasta reducirla a un punto. No es evidente que para subconjuntos del plano estosea exactamente lo mismo que todo camino cerrado no de ninguna vuelta alrede-dor de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterizacion homologica), oque el conjunto ‘no tenga agujeros’. Un estudio de la relacion entre homotopıay homologıa en C, entre homotopıa e integracion, y la prueba de la equivalenciaentre la definicion homotopica de la conexion simple y las anteriores puede verseen Rudin, loc. cit., Seccion 10.38, pp. 251–253, y en Conway, loc. cit., Cap. IV,Sec. 6, pp. 87–95.

CAPITULO 8

Ceros y singularidades.Series de Laurent.

8.1 INTRODUCCION

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tenerel conocimiento de los ceros de una funcion en la determinacion y el manejode la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de susceros es tambien un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera seccionde este capıtulo recogeremos informacion ya conocida (para funciones analıticas,que como sabemos coinciden con las holomorfas), anadiendo algunas propiedadessencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pen-dientes resultados importantes, algunos de los cuales se trataran el curso proximo.

Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfasse comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que noshemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nues-tros metodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomalıa’en algunos puntos? ¿Que se mantiene y cuanto se pierde? Contestar a esta preguntaes el proposito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holo-morfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificacion de los mismos entres tipos, viendo de que manera tan distinta afecta al comportamiento local de lafuncion la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos.

Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en unabierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominadorno se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular impor-tante de funcion meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente seccion,examinando de momento unicamente sus propiedades algebraicas.

Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas quetienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos como su comportamiento eneste punto puede en algunos casos suministrar una informacion adicional intere-sante sobre la funcion.

Por ultimo, en la parte final de este capıtulo, veremos un importante teoremade Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una funcion holomorfaen un disco, probando que si una funcion es holomorfa en una corona circular (en

112

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 113

particular, en un disco privado de su centro), la funcion se puede representar comosuma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteroscualesquiera y no solo con exponentes enteros no negativos, como son las series deTaylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten ası mismo caracterizarlos diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejerciciosque muestran como hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas,un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento.

Referencias basicas:— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).— Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).— Rudin, W.: Analisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).

8.2 CEROS DE UNA FUNCION HOLOMORFA

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser identicamente nulo. La situaciones algo menos drastica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos fun-ciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto nosignifica que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una funcionholomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funcionesholomorfas y las funciones analıticas, el principio de prolongacion analıtica nosinforma de que el conjunto de ceros de una funcion holomorfa no nula, si su do-minio es conexo, no puede poseer puntos de acumulacion dentro del dominio. Estono significa que no pueda haber puntos de acumulacion de ceros: por ejemplo, lafuncion sen(π/z) es holomorfa en C \ 0 y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z(en este caso 0 es un punto de acumulacion de ceros); lo que sucede es que, si elconjunto de ceros tiene puntos de acumulacion, estos deberan estar en la fronteradel dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho.

Proposicion 8.1. Sea una region de C y f ∈ H() no identicamente nula.Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1(0). Entonces(1) Z f es un conjunto discreto.(2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Z f ∩ K es finito o vacıo.(3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable).

Demostracion.(1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede

encontrar un r > 0 tal que z /∈ Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, queningun punto de Z f es punto de acumulacion de Z f .

114 Ceros y singularidades. Series de Laurent.

(2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendrıa al menosun punto de acumulacion en K ⊆ y por tanto Z f tendrıa al menos un puntode acumulacion en .

(3) puede ponerse como union numerable de compactos, = ∪n Kn paraalguna sucesion (Kn) de compactos. Entonces Z f = ∪n(Z f ∩ Kn) y cadaZ f ∩ Kn es finito o vacıo.

Definicion 8.2. Sea un abierto de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , diremos que aes un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que

f (a) = f ′(a) = . . . = f (k−1)(a) = 0, f (k)(a) = 0.

Notese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cerode f y que f no se anule en la componente conexa de que contiene a a; dichode otra forma, que a sea un cero aislado de f .

Proposicion 8.3. Sea un abierto de C, a ∈ , k ∈ N y f ∈ H(). Las siguientespropiedades son equivalentes entre sı:(1) a es un cero de f de orden k.(2) En un disco D(a; r) ⊆ es

f (z) =∞∑

n=k

an (z − a)n, z ∈ D(a; r),

con ak = 0.(3) Existe una funcion g ∈ H() tal que g(a) = 0 y

f (z) = (z − a)k g(z)

para todo z ∈ .

Demostracion.(1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediantelas derivadas de f en a.(2) ⇒ (3) La funcion g definida en por

g(z) = f (z)

(z − a)ksi z = a

ak si z = aes claramente holomorfa en \ a y en a es analıtica (luego holomorfa), puestoque para todo z ∈ D(a; r) es

g(z) =∞∑

n=k

an (z − a)n,

y por tanto cumple las condiciones de (3).(3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definicion deorden de un cero.


8.3 SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto y una funcionf : → C se dice que un punto a ∈ es un punto regular para f o que f tieneen a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r) ⊆ y f es derivableen cada punto de D(a; r). Los puntos que no son regulares se denominan puntossingulares. En esta seccion estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, quedenominaremos singularidades aisladas.

Definicion 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una funcion f tiene una singularidadaislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfaen

D∗(a; r) = z ∈ C : 0 < |z − a| < r.

Clasificacion de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguien-tes situaciones:(1) existe limz→a f (z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad

evitable o que a es una singularidad evitable de f .(2) existe limz→a f (z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a

es un polo de f .(3) no existe limz→a f (z) en C∞. Se dice entonces que f tiene en a una singu-

laridad esencial o que a es una singularidad esencial de f .

Ejemplos.(1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas.

Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regularestodos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0].

(2) Todos los puntos en los que no esta definida la funcion f dada por

f (z) = z

ez − 1

son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Lospuntos de la forma z = 2kπ i , k ∈ Z \ 0, son polos de f .

(3) La funcion f dada por

f (z) = e1/z

tiene una singularidad esencial en z = 0.

Observacion. El conjunto Sf de singularidades aisladas de una funcion f esdiscreto y contable (incluıda la posibilidad de que sea vacıo).


Proposicion 8.5. Sea un abierto no vacıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ a).Entonces(1) Si a es una singularidad evitable de f , la funcion f definida por

f (z) =

f (z) si z ∈ \ alimz→a f (z) si z = a

es holomorfa en .Recıprocamente, si f admite una extension holomorfa en , tiene en a unasingularidad evitable.

(2) Si para algun r > 0 la funcion f se mantiene acotada en D∗(a; r) =z ∈ C : 0 < |z − a| < r, entonces f tiene una singularidad evitable en f .

Demostracion. (1) f es holomorfa en \ a y continua en , luego holomorfaen . El recıproco es obvio.

(2) Ya se probo que, en estas condiciones, f admite una extension holomorfa enD(a; r).

La primera parte de la proposicion anterior justifica el nombre de singularidadevitable. Notese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no estadefinida en a o bien f no es continua en a.

Definicion 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funcion f . Entonces la

funcion1

ftiene en a una singularidad evitable y lımite nulo, de manera que para

algun δ > 0 la funcion

h(z) =

1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ

0 si z = a

es holomorfa en D(a; δ).Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden

k o que a es un un polo de orden k de f .

Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polosmultiples (dobles, triples, . . . )

Proposicion 8.7. Sea un abierto no vacıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ a). Lassiguientes propiedades son equivalentes:(1) f tiene en a un polo de orden k;(2) existe limz→a(z − a)k f (z) ∈ C \ 0, y en consecuencia

limz→a(z − a)n f (z) = ∞ si 0 ≤ n < k,limz→a(z − a)n f (z) = 0 si n > k;


(3) existe una funcion g ∈ H() tal que g(a) = 0 y

f (z) = g(z)

(z − a)k

para cada z ∈ \ a;(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ 0), unıvocamente deter-

minados, con Ak = 0, y un r > 0, tales que

f (z) = Ak

(z − a)k+ · · · + A2

(z − a)2+ A1

z − a+

∞∑

n=0

an (z − a)n

siempre que 0 < |z − a| < r .

(La funcion racional S( f ; a)(z) = Ak

(z − a)k+· · ·+ A2

(z − a)2+ A1

z − ase denomina

parte singular o parte principal de f en a.)

Demostracion. (1) ⇒ (2) Yendo a la definicion, h(z) = (z − a)k g(z) para algunafuncion g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a(z − a)k f (z) = 1/g(a).

(2) ⇒ (1) Si h es como en la definicion, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dadapor

g(z) =

h(z)

(z − a)k= 1

(z − a)k f (z)si 0 < |z − a| < δ

1/(limz→a(z − a)k f (z)

)si z = a,

que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a.(2) ⇒ (3) La funcion dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a.(3) ⇒ (4) Para algun r > 0 puede ponerse

g(z) =∞∑

n=0

cn (z − a)n, |z − a| < r,

luego

f (z) = c0

(z − a)k+ · · · + ck−2

(z − a)2+ ck−1

z − a+

∞∑

n=0

ck+n (z − a)n

siempre que 0 < |z − a| < r .Puesto que g esta unıvocamente determinada por f , hay unicidad para los

coeficientes.(4) ⇒ (2) Evidente.

Observacion. Segun el resultado anterior, la funcion f − S( f ; a) tiene en a unasingularidad evitable. Ademas, el orden de a como polo de f es el menor valor den tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a.


NOTA. Cuando f es una funcion racional, solo tiene en C un numero finito desingularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cadauno de ellos, encontramos la descomposicion de f en fracciones simples (v. detallesen Conway, ob. cit., pp. 105–106.)

Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracteri-zacion en terminos de los valores de la funcion:

Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea un abierto no vacıo deC, a ∈ y f ∈ H( \ a). Las siguientes propiedades son equivalentes:(1) a es una singularidad esencial de f .(2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆ \ a de a.(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en \ a tal que zn → a y

f (zn) → w.

Demostracion.(1) ⇒ (2) En caso contrario existirıan r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| >

δ para todo z ∈ D∗(a; r). Entonces, la funcion g dada por

g(z) = 1

f (z) − w, z ∈ D∗(a; r),

es holomofa y acotada en D∗(a; r), con lo cual puede extenderse a una funcion gholomorfa en D(a; r).

Si fuese g(a) = 0, se deduce que f estarıa acotada en un entorno de a, y enconsecuencia a serıa una singularidad evitable de f .

Pero si g tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podrıamos escribir

g(z) = (z − a)k g1(z), z ∈ D(a; r),

para una funcion g1 holomorfa en D(a; r) con g1(a) = 0; por tanto

limz→a

((z − a)k f (z)

) = limz→a

((z − a)k w + 1

g1(z)

)= 1

g1(a)∈ C \ 0,

con lo cual a serıa un polo de orden k de f .(2) ⇒ (3) Evidente.(3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipotesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito.

Se sabe mucho mas: si a es una singularidad esencial de f , en cualquierentorno reducido de a la funcion f alcanza todos los valores complejos, exceptouno a lo mas. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp.376–377. (Mas facil de probar es el ‘teorema pequeno de Picard’, que establece quecada funcion entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno alo mas. La funcion exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.)Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas mas poderosas quelas que disponemos por ahora.


8.4 FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas unicas singularidades son polos aparecen con frecuencia su-ficiente como para merecer un nombre especial.

Definicion 8.9. Diremos que una funcion f es meromorfa en un abierto si encada punto de o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma,si existe un conjunto Pf ⊆ tal que(1) Pf no tiene puntos de acumulacion en ;(2) f ∈ H( \ Pf );(3) f tiene un polo en cada punto de Pf .

Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆

el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Estaincluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplosde funciones meromorfas. Tambien lo son las funciones racionales.

El conjunto de las funciones meromorfas en lo denotaremos por M().Notese que una funcion es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente

conexa del abierto. Supuesto conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en los cocientes de funciones analıticas (con denominador no nulo, por descontado):de hecho, esta es la unica forma de obtener funciones meromorfas en abiertosconexos, si bien la demostracion de esta afirmacion requiere conocer primero laposibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de losceros igualmente prefijado (teorema de factorizacion de Weierstrass, que se probarael proximo curso).

Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado.

Proposicion 8.10. Dado un abierto no vacıo en C, el conjunto M() de lasfunciones meromorfas en es un algebra sobre C respecto de las operacionesusuales con funciones. Si ademas es conexo, M() es un cuerpo conmutativo.

Demostracion. Es una verificacion rutinaria, basada en las factorizaciones asocia-das a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos.

Observaciones.(1) El comentario hecho anteriormente indica que si es una region, M() es

el cuerpo de cocientes del dominio H().(2) Cuando no es conexo, M() no es un cuerpo: por ejemplo, si = A ∪ B

con A, B abiertos no vacıos disjuntos, la funcion f que vale 1 en A y 0 enB esta en M() [de hecho, en H()] y no tiene inverso en M() [es undivisor de cero en H()].


8.5 SINGULARIDADES EN EL INFINITO

Definicion 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una funcion f siexiste R > 0 tal que f ∈ H(AR), donde AR = z ∈ C : |z| > R.

Podemos establecer una clasificacion similar a la considerada para singulari-dades finitas.

Definicion 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una funcionf . Entonces:(1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singu-

laridad evitable de f si existe

limz→∞ f (z) ∈ C.

(2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si

limz→∞ f (z) = ∞.

(3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singu-laridad esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞.

Ejemplos.(1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞.(2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞.(3) f (z) = ez tiene una singularidad esencial en ∞.(4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞.

8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para algun R > 0 es f ∈ H(AR),donde como antes AR = z ∈ C : |z| > R, la funcion f ∗ definida por

f ∗(z) = f(1

z

)

es holomorfa en D∗(0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗. Estopermite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidadesaisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞(o un polo, o una singularidad esencial) si y solo si f ∗ tiene en 0 una singularidadevitable (o un polo, o una singularidad esencial).

Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞.

Definicion 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es unpolo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funcion f ∗ definida porf ∗(z) = f (1/z).


Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos,podemos enunciar:

Proposicion 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para unafuncion f . Las siguientes propiedades son equivalentes:(1) f tiene en ∞ un polo de orden k;

(2) existe limz→∞f (z)

zk∈ C \ 0;

(3) existen un R > 0 y una funcion g holomorfa en AR = z ∈ C : |z| > R conlimz→∞ g(z) ∈ C \ 0 y que verifica

f (z) = zk g(z)

para cada z ∈ AR.(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ 0), con Ak = 0,

unıvocamente determinados, y un R > 0, tales que

f (z) = Ak zk + · · · + A1 z +∞∑

n=0

an

zn

siempre que |z| > R.

(El polinomio Ak zk + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal def en ∞.)

Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamosque ∞ es una singularidad aislada para una funcion f . Las siguientes propiedadesson equivalentes:(1) ∞ es una singularidad esencial de f .(2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞.(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en el dominio de f tal que zn → ∞

y f (zn) → w.

Es conveniente extender el concepto de funcion meromorfa a funciones defini-das en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito.

Definicion 8.17. Sea un abierto de C tal que C\D(0; R) ⊆ para algun R > 0,es decir, tal que ∞ = ∪ ∞ sea un abierto en C∞. Diremos que f : → Ces meromorfa en ∞, en sımbolos f ∈ M(∞), si f es meromorfa en y tieneen ∞ una singularidad evitable o un polo.

Proposicion 8.18.(1) Si f es una funcion entera y meromorfa en C∞, entonces f es un polinomio.(2) f ∈ M(C∞) si y solo si f es una funcion racional.


Demostracion.(1) Si ∞ es una singularidad evitable, f serıa constante por el teorema de Liouville.Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces

limz→∞

f (z)

zk∈ C \ 0

y por tanto existen R, M > 0 tales que

| f (z)| ≤ M |z|k, |z| > R;

en consecuencia (generalizacion del teorema de Liouville) f es un polinomio degrado ≤ k.(2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞), solo puede tener un numero finitode polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada.

Sean, pues, a1, . . . , an los polos finitos de f y k1, . . . , kn sus respectivosordenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la funcion

(z − a1)k1 · · · (z − an)

kn f (z)

se puede extender a una funcion g holomorfa en C (es decir, entera) que tendra en∞ un polo de orden k = k0 + k1 +· · ·+ kn , con lo cual g es un polinomio de grado≤ k segun acabamos de probar, luego

f (z) = g(z)

(z − a1)k1 · · · (z − an)kn

es una funcion racional.

Corolario 8.19. Si f es una funcion entera, o es constante o f (C) = C.

Demostracion. Si f es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada paraf .— Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por elteorema de Liouville.— Si ∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C.— Si ∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de Casorati-Weierstrass.

NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si f es una funcion entera no constantees cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo mas.


8.6 SERIES DE LAURENT

Fijemos la notacion D(a; r, R) para la corona z : r < |z − a| < R, donde0 ≤ r < R ≤ +∞.

Lema 8.20. Sea (an) una sucesion de numeros complejos y r = lim sup n√|an|.

Entonces

(1) la serie∞∑

n=1

an(z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la

corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos com-pactos de D(a; r, +∞);

(2) en el disco D(a; r) la serie no converge (en a ni siquiera esta definida);(3) la funcion f definida en D(a; r, +∞) por

f (z) =∞∑

n=1

an(z − a)−n

es holomorfa.

Demostracion. Sabemos que la serie∞∑

n=1

an wn converge absolutamente en cada

w ∈ D(0; 1/r), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0; 1/r) una funcionholomorfa g(w). Tomando w = 1/(z−a), se deducen las tesis del enunciado salvola convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un sub-conjunto compacto de D(a; r, +∞), existira un R > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞)

(¿por que?), de manera que para todo z ∈ K sera

∞∑

n=1

∣∣an(z − a)−n∣∣ ≤

∞∑

n=1

|an| R−n < +∞,

luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass.

NOTA. Si r = +∞, la serie no converge en ningun punto. Si r = 0, converge enC \ a.Definicion 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesion (zn)n∈Z de

numeros complejos, si las series∞∑

n=0

zn y∞∑

n=1

z−n convergen, diremos que la serie

∞∑

n=−∞zn converge, en cuyo caso su suma es el numero complejo

∞∑

n=−∞zn =

∞∑

n=0

zn +∞∑

n=1

z−n.


Observese que si∞∑

n=−∞zn converge, la sucesion de sumas simetricas

(N∑

n=−N

zn

)

es convergente con lımite igual a la suma de la serie, pero que este lımite puedeexistir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z0 = 0 y zn = 1/n paran = 0.

Diremos que la serie∞∑

n=−∞zn converge absolutamente si las dos series

∞∑

n=0

zn

y∞∑

n=1

z−n convergen absolutamente.

De manera analoga, dada ( fn)n∈Z, donde las fn son funciones complejas

definidas en un conjunto S ⊆ C, diremos que la serie∞∑

n=−∞fn converge (puntual-

mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S) si y solo si las dos

series∞∑

n=0

fn y∞∑

n=1

f−n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente

sobre compactos de S)

NOTA. Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≥ 0 y losn < 0, es evidente que la separacion puede llevarse a cabo en cualquier otroındice, pues se trata de anadir o quitar un numero finito de sumandos al trozocorrespondiente.

Definicion 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada ena a toda serie de la forma

∞∑

n=−∞an(z − a)n.

Proposicion 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a

∞∑

n=−∞an(z − a)n,

sean

R1 = lim sup n√

|a−n|, R2 =(

lim sup n√

|an|)−1

.

Entonces:(1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1, R2), a

la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformementeen los subconjuntos compactos de D(a; R1, R2);

(2) la serie no converge en ningun punto z /∈ D(a; R1, R2) exterior a la corona;


(3) R1 y R2 son los unicos valores en [0, +∞] para los que se cumplen laspropiedades (1) y (2);

(4) la funcion f definida en D(a; R1, R2) como suma de la serie

f (z) =∞∑

n=−∞an(z − a)n

es holomorfa en D(a; R1, R2), y su derivada esta dada en cada punto por

f ′(z) =∞∑

n=−∞n an(z − a)n−1.

NOTA. El enunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2. En caso contrario,D(a; R1, R2) es vacıo. Si R1 > R2, no hay convergencia para la serie en ningunpunto. Si R1 = R2, ¿cual es la situacion?

Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una funcion holomorfa en una coronaD(a; R1, R2) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞]. Entonces:(1) f puede representarse en D(a; R1, R2) como suma de una serie de Laurent

f (z) =∞∑


que converge absolutamente en cada z ∈ D(a; R1, R2) y converge uniforme-mente en cada compacto contenido en D(a; R1, R2) o, equivalentemente, encada corona D(a; r1, r2) para la que R1 < r1 < r2 < R2.

(2) Los coeficientes de la serie estan dados por la formula

an = 1

2π i

∫

γ

f (z)

(z − a)n+1dz,

donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a yradio r , con R1 < r < R2.

(3) La serie esta unıvocamente determinada por f .

Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis (1)

afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad, mientras que(2) proporciona (teoricamente, al menos) una manera de calcular los coeficientesdel desarrollo.


Demostracion. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.)Unicidad. Si existe la representacion de (1), D(a; R1, R2) estara contenida

en la corona de convergencia de la serie, y esta convergera uniformemente en cadacompacto contenido en D(a; R1, R2). Si γ = ∂ D(a; r) con R1 < r < R2, sop γ

es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie termino a termino paraobtener ∫

γ

f (z) dz =∞∑

n=−∞an

∫

γ

(z − a)n dz = 2π i a−1,

y, en general, para cada n ∈ Z, de modo similar,

∫

γ

f (z)

(z − a)n+1dz =

∞∑

k=−∞ak

∫

γ

(z − a)k−n−1 dz = 2π i an,

luego los coeficientes del desarrollo estan unıvocamente determinados por la sumade la serie.

Existencia. Comencemos por senalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1, γ2 son,respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1, r2 (orientadas positiva-mente), entonces γ1 y γ2 son homologas respecto de D(a; R1, R2) (comprobarlo).Por el teorema homologico de Cauchy se tiene, pues, que para toda funcion gholomorfa en D(a; R1, R2) es

∫

γ1

g(w) dw =∫

γ2

g(w) dw.

En particular, tomando

g(w) = 1

2π i

f (w)

(w − a)n+1, n ∈ Z,

se deduce que

1

2π i

∫

γ1

f (w)

(w − a)n+1dw = 1

2π i

∫

γ2

f (w)

(w − a)n+1dw

da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, esun complejo independiente de cual sea el radio que se considere.

Definamos, pues, para cada n ∈ Z,

an = 1

2π i

∫

γ

f (w)

(w − a)n+1dw,


donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radioestrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2. Comprobaremos acontinuacion que para todo z ∈ D(a; R1, R2) la serie

∞∑


(i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema(¿POR QUE?)

Sea, pues, z ∈ D(a; R1, R2). Elegimos r , s de manera que

R1 < r < |z − a| < s < R2

y denotamos con γr , γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadaspositivamente. Poniendo Ms = max| f (w)| : |w − a| = s, como para todo w talque |w − a| = s (> |z − a|) y para todo entero n ≥ 0 es

∣∣∣∣f (w) (z − a)n

(w − a)n+1

∣∣∣∣ ≤ Ms |z − a|nsn+1

= Ms

s

( |z − a|s

)n

,

aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar termino a terminolas series uniformemente convergentes resulta

1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw = 1

2π i

∫

γs

( ∞∑

n=0

f (w) (z − a)n

(w − a)n+1

)

dw

=∞∑

n=0

(1

2π i

∫

γs

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n =

∞∑

n=0

an (z − a)n.

De manera similar, si Mr = max| f (w)| : |w −a| = r y w es tal que |w −a| = r(< |z − a|), de

∣∣∣∣f (w) (w − a)n−1

(z − a)n

∣∣∣∣ ≤ Mr rn−1

|z − a|n = Mr

|z − a|(

r

|z − a|)n−1

,

n ∈ N, se sigue analogamente

1

2π i

∫

γr

f (w)

z − wdw = 1

2π i

∫

γr

( ∞∑

n=1

f (w) (w − a)n−1

(z − a)n

)

dw

=∞∑

n=1

(1

2π i

∫

γr

f (w) (w − a)n−1 dw

)(z − a)−n =

∞∑

n=1

a−n (z − a)−n.


Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma

∞∑

n=−∞an(z − a)n = 1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw + 1

2π i

∫

γr

f (w)

z − wdw,

y ası tenemos (i). Pero ademas = [γs, −γr ] es un ciclo homologo a 0 respectode D(a; R1, R2) para el que Ind(z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la formulade Cauchy,

f (z) = 1

2π i

∫

f (w)

w − zdw = 1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw − 1

2π i

∫

γr

f (w)

w − zdw

=∞∑

n=−∞an(z − a)n,

lo que demuestra (ii).

Disponemos ahora de otro util para analizar las singularidades aisladas. Sia es una singularidad aislada de una funcion f , esta sera holomorfa en algunacorona D∗(a; R) = D(a; 0, R), y sera por tanto desarrollable en serie de Laurenten dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo desingularidad que presenta f en a.

Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funcion f , holomorfaen D∗(a; R) = D(a; 0, R) para algun R > 0, y sea

f (z) =∞∑


su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces:(1) a es una singularidad evitable si y solo si an = 0 para todo n < 0;(2) a es un polo de orden k si y solo si a−k = 0 y an = 0 para todo n < −k;(3) a es una singularidad esencial si y solo si an = 0 para infinitos valores

negativos de n.

Demostracion. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109.

En el punto del infinito ‘se invierten los terminos’, como cabıa esperar. Si unafuncion f tiene una singularidad aislada en ∞, sera holomorfa en D(0; R, +∞)

para algun R > 0, y segun el teorema de Laurent

f (z) =∞∑

n=−∞an zn, z ∈ D(0; R, +∞).

Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito.


Corolario 8.26. Sea f una funcion con una singularidad aislada en ∞, holomorfaen D(0; R, +∞) para algun R > 0, y sea

f (z) =∞∑

n=−∞an zn

su desarrollo en serie de Laurent en D(0; R, +∞). Entonces:(1) ∞ es una singularidad evitable si y solo si an = 0 para todo n ≥ 1;(2) ∞ es un polo de orden k si y solo si ak = 0 y an = 0 para todo n > k;(3) ∞ es una singularidad esencial si y solo si an = 0 para infinitos valores

positivos de n.

Demostracion. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la funcion f ∗

definida en D(0; 0, 1/R) por

f ∗(z) = f

(1

z

),

que tendra como desarrollo de Laurent

f ∗(z) =∞∑

n=−∞an z−n.

8.7 EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio. Dados a, b ∈ C con a = b, sea

f (z) = Logz − a

z − b.

¿Cual es el maximo abierto en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, eldesarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en que dominio esvalido el desarrollo.

Respuesta. La funcion f esta definida en C \ a, b. Puesto que la composicionde funciones holomorfas es una funcion holomorfa, f sera holomorfa al menos en

C \ z : z = b oz − a

z − b∈ (−∞, 0] = C \ [a, b]

[[notese que

z − a

z − b= −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = 1

1 + λa + λ

1 + λb

⇐⇒ z = t a + (1 − t) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a, b)]]


En los puntos de (a, b) no hay continuidad (menos aun holomorfıa) para f , puessi z0 = t a + (1 − t) b, 0 < t < 1, tomando para n ∈ N

zn = z0 + i

n(b − a) → z0, wn = z0 − i

n(b − a) → z0, (n → +∞),

resulta

zn − a

zn − b= (1 − t)(b − a) + (i/n)(b − a)

t (a − b) + (i/n)(b − a)= −t (1 − t) + (1/n2) − (i/n)

t2 + (1/n)2,

wn − a

wn − b= −t (1 − t) + (1/n2) + (i/n)

t2 + (1/n)2,

con lo cual limn f (zn) = ln

(1

t− 1

)− i

π

2, limn f (wn) = ln

(1

t− 1

)+ i

π

2.

En consecuencia, = C\[a, b] es el maximo abierto en el que f es holomorfa.Vemos ası que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la maxima corona

D(0; R, +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max|a|, |b|. Por elteorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Paracalcular este, es preferible aprovechar que la derivada f ′ es igualmente holomorfaen dicha corona, verificandose

f ′(z) = 1

z − a− 1

z − b=

∞∑

n=0

an − bn

zn+1=

∞∑

n=1

an − bn

zn+1, |z| > max|a|, |b|.

Como D(0; R, +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que

f (z) = c +∞∑

n=1

bn − an

n

1

zn, |z| > max|a|, |b|.

Pero limz→∞ f (z) = Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente

Logz − a

z − b=

∞∑

n=1

bn − an

n

1

zn, |z| > max|a|, |b|.

Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la funcion

f (z) = 1

z − 2Log

z − i

z + i

en D(0; 1, 2) y en D(0; 2, +∞).


Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es facil probar que f sera holomorfajustamente en = C \ ([−i, i] ∪ 2). Ademas, sabemos que

(a) Logz − i

z + i=

∞∑

n=0

(−i)n − i n

n

1

znsi |z| > 1;

(b)1

z − 2= −

∞∑

n=0

zn

2n+1si |z| < 2;

(c)1

z − 2=

∞∑

n=0

2n

zn+1si |z| > 2.

Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2:

1

z − 2Log

z − i

z + i= −

∞∑

k=−∞

∑

−n+m=k

n≥1,m≥0

(−i)n − i n

n

1

2m+1

zk .

Cuando k ≥ −1, el coeficiente de zk resulta ser

ak =∞∑

n=1

(−i)n − i n

n

1

2k+n+1= 1

2k+1

∞∑

n=1

(−i)n − i n

n

1

2n

= 1

2k+1Log

2 − i

2 + i= − i

2kArc tg

1

2,

mientras que el coeficiente de1

zksi k ≥ 2 es

a−k = 1

2k+1

∞∑

n=k

(−i)n − i n

n

1

2n,

con lo cual, siempre que n ≥ 1,

a−2n = 22k i

(

Arc tg1

2−

k−1∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)22m+1

)

,

a−(2n+1) = 22k+1 i

(

Arc tg1

2−

k−1∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)22m+1

)

.

Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∑∞n=2 bn z−n , donde

bn =n−1∑

k=1

(−i)k − i k

k2n−k−1 = 2n−1

n−1∑

k=1

(−i)k − i k

k2−k

= 2n−1n−1∑

k=1

(−i/2)k − (i/2)k

k.


Otra respuesta (mediante integracion). Sea, como antes, = C \ ([−i, i] ∪2),y sean

f (z) =∞∑

n=−∞an zn, 1 < |z| < 2;

f (z) =∞∑

n=−∞cn zn, |z| > 2,

los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas.Poniendo γr = ∂ D(0; r) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0 < ε < 2;

γR = ∂ D(0; R) para R > 2, es [γr ] ∼ [γR, −γε] (), luego aplicando suce-sivamente el teorema de Laurent y el teorema homologico de Cauchy podemosdeducir

an = 1

2π i

∫

γr

f (w)

wn+1dw = 1

2π i

∫

γR

f (w)

wn+1dw − 1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw

= cn − 1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw.

Pero la funcion

g(w) = 1

wn+1Log

w − i

w + i

es holomorfa en D(2; 2), luego aplicando la formula de Cauchy en discos resulta

1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw = − 1

2π i

∫

γε

1

wn+1Log

w − i

w + iw − 2

dw = 1

2π i

∫

γε

g(w)

w − 2dw

= g(2) = 1

2n+1Log

2 − i

2 + i= − i

2nArc tg

1

2.

Por otra parte, como limz→∞ z f (z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue

cn = limR→+∞

1

2π i

∫

γR

f (w)

wn+1dw = 0

(sin mas que usar la acotacion habitual de la integral). Para n ≤ −2, sea k = −n


(con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn . Entonces

bk = 1

2π i

∫

γR

wk−1 f (w) dw = 1

2π i

∫

γR

wk−1

w − 2Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−1 − 2k−1

w − 2+ 2k−1

w − 2

)Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw

+ 2k−1 · 1

2π i

∫

γR

1

w − 2Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw

+ 2k−1 · c−1

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw.

El polinomio del integrando es la derivada del polinomio

P(w) = 1

k − 1wk−1 + 2

k − 2wk−2 + · · · + 2k−3

2w2 + 2k−2 w,

que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicandola formula de Cauchy llegamos a

bk = 1

2π i

∫

γR

P(w)

(1

w − i− 1

w + i

)dw = P(i) − P(−i)

=k−1∑

m=1

2m−1

k − m

(i k−m − (−i)k−m

),

que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.

CAPITULO 9

Teorema de los residuos.Aplicaciones.

9.1 INTRODUCCION

Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminacion de lo que hemosencuadrado bajo el nombre generico de ‘teorıa global de Cauchy’. Incorpora yextiende al teorema de Cauchy y a la formula de Cauchy, y tiene innumerablesconsecuencias teoricas y practicas. De estas apuntamos su uso para calcular inte-grales reales y sumas de series, limitandonos a senalar referencias donde encontrarel tema desarrollado en detalle.

La primera aplicacion teorica que presentamos se refiere a la localizacionde ceros, en la que tratamos de averiguar el numero de ceros de una funcion enun subconjunto de su dominio. Los resultados basicos en esta direccion son eldenominado principio del argumento y el teorema de Rouche.

De aquı pasamos al estudio del comportamiento local de una funcion analıtica,viendo su analogıa con el de la funcion zm en torno al 0, en el sentido que seprecisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicacion abierta y alguna desus aplicaciones, y finalizamos el capıtulo con una version global y otra local delteorema de la funcion inversa, llegando a una representacion integral de esta inversaque nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor.

Referencias basicas:— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).— Mitrinovic, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966).— Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New

York (1991).— Rudin, W.: Analisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).

134

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 135

9.2 PROLOGO: RESIDUOS

Agazapada en el teorema de Laurent hay una informacion importante. Por lo quevimos en su demostracion, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a,

∫

γ

f (z) dz = 2π i a−1,

donde a−1 es el coeficiente de (z − a)−1 en el desarrollo en serie de Laurent def y γ = ∂ D(a; r), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2π i)es, pues, “el unico vestigio”, el residuo que deja la funcion al ser integrada sobreuna “pequena” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente estenombre.

Definicion 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funcion f . Recibe elnombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en seriede Laurent de f en el punto a, de manera que si

f (z) =∞∑

n=−∞an(z − a)n, z ∈ D(a; 0, R),

y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es

Res( f ; a) = a−1.

En el punto del infinito la definicion es ligeramente distinta:Sea f una funcion con una singularidad aislada en ∞, y sea

f (z) =∞∑

n=−∞an zn

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R, +∞). Llamaremosresiduo de f en el infinito al numero

Res( f ; ∞) = −a−1

(coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo).

¿Que hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento,sabemos que su valor es lo unico que necesitamos conocer a la hora de calcular laintegral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

i

–i

1–1 2–2

136 Teorema de los residuos. Aplicaciones.

ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situacionesmas complicadas.

Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como

∫

Log(z + 2) z3 ctg π z

(1 − cos 2π z) (z2 + 1)dz,

donde es el ciclo contenido en = D(0; 2) formado por los caminos que seindican en la figura.

Horrible, ¿no es cierto? “¿Quees lo mejor que podemos hacer pararesolver este problema? Dejarlo einventar otro”, como recomienda el“profesor tradicional de matematicas”en el retrato que de el hace Polya.Vamos a ello.

Segun hemos senalado antes, trascalcular los residuos en los puntosz1 = 1, z2 = i , z3 = −1, z4 = −ide la funcion f (z) a integrar, tareano extremadamente difıcil, serıamos

capaces de hallar la integral en el caso mas sencillo de que constase de unacircunferencia γ o

j = ∂ D(zj ; rj ) alrededor de uno de los puntos zj , suficientemente

pequena para que el disco cerrado D(zj ; rj ) quede dentro de y no incluya aninguno de los restantes puntos zk , k = j , obteniendo entonces

∫

γ oj

f (z) dz = 2π i Res( f ; zj ).

Pero esto ¿de que sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que elteorema homologico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean homologosrespecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que

Ind(z1) = 1, Ind(z2) = 2, Ind(z3) = −1, Ind(z4) = 0,

i

–i

1–1 2–2

γ2o

γ3o

γ1o

i

–i

1–1 2–2

γ2o

γ3o

γ1o


podemos “fabricar” un ciclo homologo a respecto de \z1, z2, z3, z4 tomando

0 = 1 ∪ 2 ∪ 3, donde

1 = [γ o1 ], 2 = [γ o

2 , γ o2 ], 3 = [−γ o

3 ],

y γ oj (1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con esto

∫

f =∫

0

f =∫

γ o1

f + 2∫

γ o2

f −∫

γ o3

f

= 2π i (Res( f ; z1) + 2 Res( f ; z2) − Res( f ; z3) + 0 · Res( f ; z4))

= 2π i4∑

j=1

Ind(zj ) Res( f ; zj ).

Estos son los ingredientes esenciales de la demostracion general del teorema de losresiduos, que se expone en el siguiente apartado.

9.3 EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea un abierto no vacıo de C y sea funa funcion holomorfa en \ A, donde A ⊆ consta de singularidades aisladasde f . Para todo ciclo homologo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ severifica

1

2π i

∫

f (z) dz =∑

a∈A

Res( f ; a) Ind(a).


Demostracion. Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmenteen el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, exami-nemos el conjunto

A0 = a ∈ A : Ind(a) = 0.Si fuese A0 = ∅, se tendrıa Ind(a) = 0 para todo a ∈ A, con lo cual la sumaresultarıa nula; pero se sigue tambien que es homologo a 0 respecto de \ A,abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud delteorema homologico de Cauchy.

En caso contrario, A0 es un conjunto finito. En efecto:• A0 no tiene puntos de acumulacion en , porque entonces tambien A tendrıa

puntos de acumulacion en , lo que es falso;• A0 no tiene puntos de acumulacion fuera de , ya que si z0 ∈ C \ ,

Ind(z0) = 0 por ser ∼ 0 (); tomando r > 0 tal que D(z0; r) ⊆ C\sop ,para todo z del conexo D(z0; r) se tendrıa Ind(z) = Ind(z0) = 0, con locual D(z0; r) ∩ A0 = ∅;

• A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0 de manera que sop ⊆D(0; R), sabemos que es Ind(z0) = 0 para todo z0 /∈ D(0; R) (C \ D(0; R)

esta contenido en la componente no acotada de C\sop ), y ası A0 ⊆ D(0; R).En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulacion

en C, luego forzosamente ha de tener un numero finito de puntos. Sean estos a1,a2,. . . , an , distintos entre sı.

Ahora, asociamos a los aj ∈ A0 (1 ≤ j ≤ n) sendos discos D(aj ; Rj )

contenidos en , elegidos de tal manera que D(aj ; Rj )∩ A = aj . Para 1 ≤ j ≤ n,tomemos 0 < rj < Rj , y sean γj = ∂ D(aj ; rj ) la circunferencia de centro aj yradio rj orientada positivamente, Nj = Ind(aj ) y

j =

[γj ,(Nj ). . ., γj ] si Nj > 0,

[−γj ,(−Nj ). . . , −γj ] si Nj < 0,

el ciclo formado por |Nj | caminos iguales a γj o a −γj , para el que en cualquiercaso Indj (z) = Nj Indγj (z). Veamos que el ciclo

0 = 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ n

es homologo a respecto de \ A. En efecto: para cada z ∈ C \ sop 0,

Ind0(z) =n∑

j=1

Indj (z) =n∑

j=1

Nj Indγj (z)

y por tanto


∗ si z ∈ C \ , Ind(z) = 0 por hipotesis, Ind0(z) = 0 porque cuandoz /∈ D(aj ; Rj ) es Indγj (z) = 0 (1 ≤ j ≤ n), y tenemos D(aj ; Rj ) ⊆ ;

∗ si z ∈ A \ A0, Ind(z) = 0 por la definicion de A0; y como para 1 ≤ j ≤ nes D(aj ; Rj ) ∩ A = aj , igual que antes z /∈ D(aj ; Rj ), Indγj (z) = 0 ,Ind0(z) = 0;

∗ si z = am ∈ A0, Indγm (am) = 1, Indγj (am) = 0 si j = m (am /∈ D(aj ; Rj )),luego Ind0(am) = Nm = Ind(am).

Como f ∈ H( \ A), se sigue del teorema homologico de Cauchy que

1

2π i

∫

f (z) dz = 1

2π i

∫

0

f (z) dz = 1

2π i

n∑

j=1

Nj

∫

γj

f (z) dz.

Usando ahora que f ∈ H(D(aj ; 0, Rj )

), 1 ≤ j ≤ n, del teorema de Laurent

1

2π i

∫

γj

f (z) dz = Res( f ; aj )

con lo cual, finalmente,

1

2π i

∫

f (z) dz =n∑

j=1

Nj Res( f ; aj ) =n∑

j=1

Indj (aj ) Res( f ; aj )

=∑

a∈A0

Ind(a) Res( f ; a) =∑

a∈A

Ind(a) Res( f ; a).

Corolario 9.3. Sea un abierto no vacıo de C y f una funcion meromorfa en ,y sea A el conjunto de los puntos de en los que f tiene polos. Para todo ciclo

homologo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica

1

2π i

∫

f (z) dz =∑

a∈A

Res( f ; a) Ind(a).

Esta es la version que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con unalınea de demostracion ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares def en los puntos de A0.

Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p. 113, ‘el teorema de los residuos esuna espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una funcion, se puedencalcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo,se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta direccion senecesita un metodo para calcular el residuo de una funcion’.


A veces, partiendo de desarrollos en serie conocidos, es posible determinar eldesarrollo de Laurent o, al menos, suficientes terminos del mismo, para averiguarel valor del residuo. No siempre esto es factible o, aunque lo sea, puede haber algunprocedimiento mas comodo para hallar el residuo. Comencemos por examinar elcaso a ∈ C.

— Por supuesto, si a es una singularidad evitable de f , no hay necesidad deningun calculo: obviamente, Res( f ; a) = 0 en este caso.

— Si a es un polo simple de f , habitualmente lo mas facil es usar que

Res( f ; a) = limz→a

[(z − a) f (z)] .

Sobre esta base, en cada caso particular se pueden aprovechar las carac-terısticas propias de las funciones que se manejen; por ejemplo, si 1/ f es unafuncion facil de derivar en a (se sobreentiende, completada por continuidaden a con el valor 0), el lımite anterior es justamente el inverso de la derivadade 1/ f en a.

— Si a es un polo de orden k de f , podemos tener en cuenta que, escribiendo eldesarrollo de Laurent de f en a, se tiene evidentemente

Res( f ; a) = limz→a

(1

(k − 1)!

dk−1

dzk−1

[(z − a)k f (z)

]),

que para k = 1 se reduce a la formula anterior. A veces se encuentra estaexpresion en forma simplificada

Res( f ; a) = 1

(k − 1)!

dk−1

dzk−1

[(z − a)k f (z)

]z=a

,

sobreentendiendo que (z − a)k f (z) se completa en a por continuidad.

En el punto del infinito:— Si para un R > 0 es f ∈ H(D(0; R, +∞)) y definimos g ∈ H(D(0; 0, 1/R))

por

g(z) = f

(1

z

),

resulta

Res( f ; ∞) = − Res

(g(z)

z2; 0

),

porque si f (z) =∞∑

n=−∞anzn en D(0; R, +∞), hemos definido

Res( f ; ∞) = −a−1; pero g(z) =∞∑

n=−∞a−nzn , con lo que a−1 es el coeficiente

de 1/z en el desarrollo de g(z)/z2.


— En situaciones especiales es mas facil recurrir a otro tipo de argumentos. Porejemplo, si f ∈ H(C \ a1, . . . , an)

Res( f ; a1) + . . . + Res( f ; an) + Res( f ; ∞) = 0.

(Probarlo como ejercicio a partir del teorema de los residuos.)

9.4 APLICACION AL CALCULO DE INTEGRALESY A LA SUMACION DE SERIES

Ver Conway, ob. cit., pp. 113 y ss.; Palka, ob. cit., pp. 326 y ss. Para un tratamientomas amplio y sistematico, la referencia obligada en este tema es el librito de Mitri-novic, ob. cit. De caracter enciclopedico es Mitrinovic, D. S.; Keckic, J. D.: TheCauchy Method of Residues. (Theory and Applications). Reidel, Dordrecht (1984),que incluye ademas una breve nota historica sobre Cauchy y el desarrollo delcalculo de residuos.

9.5 APLICACIONES A LA LOCALIZACION DE CEROS

Teorema 9.4. (Principio del argumento: forma analıtica). Sea f una funcionmeromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Denotemos con Z f elconjunto de ceros y con Pf el conjunto de polos de f . Para a ∈ Z f sea z f (a) elorden de a como cero de f , y para a ∈ Pf sea pf (a) el orden de a como polo def . Si es un ciclo homologo a 0 respecto de cuyo soporte no corta a Z f ∪ Pf ,se verifica

1

2π i

∫

f ′(z)f (z)

dz =∑

a∈Z f

Ind(a) z f (a) −∑

a∈Pf

Ind(a) pf (a).

Notese que la integral esta bien definida, ya que f y f ′ son continuas en sop

y f no se anula en sop ; ademas, solo hay un numero finito de ceros y polos quedan ındice no nulo, de modo que en realidad las sumas que aparecen se reducen aun numero finito de sumandos.

Demostracion. Si f tiene en a un cero de orden k,

f (z) = (z − a)k g(z)

para alguna funcion g, holomorfa donde lo sea f , tal que g(a) = 0; por tanto, enun entorno de a sera g(z) = 0 y ası

f ′(z) = k (z − a)k−1 g(z) + (z − a)k g′(z),f ′(z)f (z)

= k

z − a+ g′(z)

g(z)


en un entorno reducido de a en el que g′/g es holomorfa. Por consiguiente, f ′/ ftiene en a un polo simple con residuo igual a k.

Analogamente, si f tiene en a un polo de orden p, en un entorno reducido dea es

f (z) = (z − a)−p g(z)

para alguna funcion g holomorfa sin ceros, de manera que

f ′(z)f (z)

= −p

z − a+ g′(z)

g(z)

y f ′/ f tiene en a un polo simple con residuo igual a −p.

Puesto que f ′/ f solo puede tener singularidades en Z f ∪ Pf , aplicando elteorema de los residuos se obtiene la conclusion del enunciado.

Corolario 9.5. (Principio del argumento: interpretacion geometrica). Sea f unafuncion meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Sea = [γ ] unciclo homologo a 0 respecto de , formado por un solo camino γ cuyo soporte nocontiene ceros ni polos de f , y sea h un argumento continuo a lo largo del camino“transformado” f γ , con valor inicial h0 y valor final h1. Con la notacion delteorema anterior, se verifica

∑

a∈Z f

Ind(a) z f (a) −∑

a∈Pf

Ind(a) pf (a) = Ind f γ (0) = h1 − h0

2π.

Demostracion. Basta tener en cuenta que

1

2π i

∫

γ

f ′(z)f (z)

dz = 1

2π i

∫

f γ

dw

w= Ind f γ (0) = h1 − h0

2π.

NOTA. El nombre de “principio del argumento” proviene de este resultado; infor-malmente, cuando z = γ (t) “recorre” γ , “se produce una variacion continua delargumento” de f (z) igual a 2π N , donde N es el entero del enunciado.

El principio del argumento puede utilizarse para averiguar el numero de cerosde una funcion analıtica en un subconjunto del plano complejo. Veamos un ejemplosencillo.

Ejercicio. Sea f ∈ H(D(0; R)), con R > 1, tal que e f (z) > 0 si |z| = 1.Entonces f no tiene ceros en D(0; 1).

[En efecto: si γ es la circunferencia unidad, sop( f γ ) no corta al semiejereal negativo, por lo cual Ind f γ (0) = 0 en estas condiciones.]


En la practica, al aplicar el principio del argumento nos encontraremos fre-cuentemente con la siguiente situacion: el ciclo considerado tiene la propiedadde que para ciertos conjuntos disjuntos G y E se verifica C \ sop = G ∪ E y

Ind(z) =

1 si z ∈ G0 si z ∈ E .

(Necesariamente G y E son abiertos, G acotado y E no acotado.) Como senalamosal comentar el teorema de la curva de Jordan, esto es lo que sucede cuando esun ciclo formado por un solo camino cerrado simple orientado positivamente, peroinmediatamente mostraremos ejemplos de otro tipo.

Para describir esta situacion no hay en la literatura una denominacion estandar.Nosotros nos referiremos a ella diciendo que limita o encierra a G y que G es elrecinto limitado o encerrado por . Conforme a la nomenclatura empleada en elteorema de la curva de Jordan, se llama a G el interior de y a sus puntos puntosinteriores a , mientras que E es el exterior de y los puntos de E , los puntosexteriores a .

Se emplea a veces la notacion = ∂G para indicar que limita o encierraa G.

Ejemplos. En las siguientes figuras, los ciclos de la primera fila encierran el recintosombreado, mientras que los de la segunda no encierran ningun recinto.

(Graficamente, se observa que el interior queda siempre “a la izquierda del reco-rrido”. Cf. Palka, ob. cit., p. 160.)


Con esta nomenclatura, podemos enunciar:

Corolario 9.6. Sea f ∈ H(), un ciclo en que limita un recinto G ⊆ demanera que sop no contenga ceros de f . Entonces la integral

1

2π i

∫

f ′(z)f (z)

dz

es igual al numero de ceros de f interiores a , contados segun su multiplicidad.

Demostracion. Aplicamos el principio del argumento, teniendo en cuenta que

es homologo a 0 respecto de puesto que los z ∈ C \ son puntos exteriores a, que f no tiene polos en , que los ceros interiores a tienen ındice 1 respectode , y los exteriores tienen ındice 0 respecto de .

El principio del argumento admite una version mas general:

Teorema 9.7. Sea f meromorfa en una region con ceros z1, z2, . . . , zn y polosp1, p2, . . . , pm contados segun su multiplicidad. Si g es analıtica en y es unciclo homologo a 0 respecto de que no pasa por los ceros ni los polos de f ,entonces

1

2π i

∫

gf ′

f=

n∑

j=1

g(zj ) Ind(zj ) −m∑

k=1

g(pk) Ind(pk).

Demostracion. Conway, ob. cit., Teor. 3.6, p. 124.

Una consecuencia importante del principio del argumento es el teorema deRouche, que permite la localizacion de ceros de funciones desconocidas a partirdel numero de ceros de funciones conocidas.

Teorema 9.8. (Teorema de Rouche). Sean f , g ∈ M(), un ciclo en quelimita un recinto G ⊆ de manera que sop no contenga ceros ni polos de f ode g. Si para todo z ∈ sop es

| f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|,entonces:

el numero de ceros de f interiores a contados segun su multiplicidadmenosel numero de polos de f interiores a contados segun su multiplicidades igualal numero de ceros de g interiores a contados segun su multiplicidadmenosel numero de polos de g interiores a contados segun su multiplicidad.


Observese que la desigualdad del enunciado implica que f y g no puedenanularse sobre sop .

Demostracion. El conjunto 1 de los puntos de que no son ceros ni polos de fni de g es un abierto que contiene a sop . Definiendo

2 = z ∈ 1 : | f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|,tambien 2 es un abierto que contiene a sop . Ademas, para cada z ∈ 2,

∣∣∣∣f (z)

g(z)+ 1

∣∣∣∣ <

∣∣∣∣f (z)

g(z)

∣∣∣∣ + 1,

con lo cualf (z)

g(z)no podra ser un numero real no negativo. Si L es un logaritmo

holomorfo en C \ [0, +∞), F = L ( f/g) es una funcion holomorfa en 2, porlo que

0 = 1

2π i

∫

F ′(z) dz = 1

2π i

∫

( f/g)′(z)( f/g)(z)

dz

= 1

2π i

∫

f ′(z)f (z)

dz − 1

2π i

∫

g′(z)g(z)

dz

y basta aplicar el principio del argumento.

NOTA. La demostracion anterior aparece en Glicksberg, I.: A remark on Rouche’stheorem, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 186–187.

En los textos ‘tradicionales’ suele imponerse la hipotesis mas fuerte

| f (z) + g(z)| < |g(z)|para z ∈ sop , o, cambiando g por −g,

| f (z) − g(z)| < |g(z)|,quiza la mas frecuentemente manejada en la practica.

Como muestra de cual es la forma en que puede sacarse partido al teorema deRouche en el estudio de los ceros de una funcion, veamos una nueva demostraciondel teorema fundamental del algebra. Otros ejemplos, con interesantes comentarios,pueden verse en Palka, ob. cit., pp. 342 y ss.

Corolario 9.9. Si p(z) = zn +a1zn−1+· · ·+an, entonces p tiene n raıces (contadassegun su multiplicidad).

Demostracion. Puesto que p(z)/zn tiende a 1 cuando z tiende a ∞, para algun Rsera ∣∣∣∣

p(z)

zn− 1

∣∣∣∣ < 1

siempre que |z| = R, es decir, |p(z) − zn| < |zn|. Por el teorema de Rouche, p(z)ha de tener n ceros interiores a ∂ D(0; R).


9.6 VALORES LOCALES DE UNAFUNCION HOLOMORFA

Definicion 9.10. Sea f una funcion holomorfa en un abierto , z0 ∈ ,w0 = f (z0), m ∈ N. Diremos que f aplica z0 en w0 m veces [abreviadof (z0) = w0 m veces] o con multiplicidad m si z0 es un cero de orden m dela funcion f (z) − w0.Equivalentemente, si f (z0) = w0, f ′(z0) = · · · = f (m−1)(z0) = 0, f (m)(z0) = 0.

Evidentemente, si w0 = f (z0), f (z)−w0 siempre tiene un cero en z0. ¿Podraafirmarse siempre, pues, que f (z0) = w0 m veces para algun m ∈ N? Un mo-mento de reflexion permite concluir que no: nada impide, por ejemplo, que f seaconstante en algun disco D(z0; r) ⊆ (equivalentemente, que f sea constanteen la componente conexa de que contiene a z0), de manera que z0 no sea uncero aislado de la funcion f (z) − w0. Pero es claro que esta es la unica situacionexcepcional en la que la respuesta es negativa:

Para que f (z0) = w0 m veces para algun m ∈ N, es necesario y suficienteque z0 sea un cero aislado de f (z) − w0 (equivalentemente, que f no seaconstante en la componente conexa de que contiene a z0.)

El siguiente resultado muestra que en el entorno de un punto en el que unafuncion analıtica f tome un valor w0 m veces, la funcion f alcanza los valoresproximos a w0 justamente en m puntos distintos, “grosso modo” como lo hace lafuncion g(z) = w0 + (z − z0)

m (ver Palka, ob. cit., pp. 344 y ss., donde se da aeste teorema el nombre de branched covering principle, “el principio del espaciorecubridor ramificado o cubierta ramificada”).

Teorema 9.11. Sea f una funcion holomorfa en un abierto no vacıo arbitrario .Sean z0 ∈ , m ∈ N, f (z0) = w0 m veces. Entonces existen entornos abiertos V ,W de z0 y w0 respectivamente, tales que f (V ) = W y cada punto w ∈ W \ w0es imagen por f exactamente de m puntos distintos z1, . . . , zm de V \ z0.Precisando mas:

Tomemos cualquier disco D = D(z0; r) tal que(∗) D ⊆ ,(∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ z0.(∗ ∗ ∗) f ′(z) = 0 para todo z ∈ D \ z0Poniendo entonces

= min| f (z) − w0| : |z − z0| = r = d(w0, f (∂ D)),

W = D(w0; ),

V = D ∩ f −1(W ) = z ∈ D : | f (z) − w0| < ,


se verifica:(1) W = f (V );(2) para todo w ∈ W \ w0 existen exactamente m puntos distintos z1, . . . , zm

en V \ z0 tales que f (zj ) = w con multiplicidad 1, 1 ≤ j ≤ m.

Demostracion. Puesto que f (z0) = w0 m veces para algun m ∈ N, z0 sera un ceroaislado de f (z) − w0. Si f ′(z0) = 0, para algun disco D(z0; δ) ⊆ tiene queser f ′(z) = 0 para todo z ∈ D \ z0, ya que en caso contrario z0 serıa un puntode acumulacion de ceros de f ′ y f ′ se anularıa en toda la componente conexa de que contiene a z0; en consecuencia f (n)(z0) = 0 para todo n ∈ N, contra lahipotesis de que f (z0) = w0 m veces para algun m ∈ N. Tanto en este supuestocomo si f ′(z0) = 0 (por continuidad de f ′ en tal caso), es posible entonces elegirun r > 0 de manera que si D = D(z0; r),

∗ D = D(z0; r) ⊆ ;∗ f (z) − w0 no se anula en D \ z0;∗ f ′(z) = 0 para todo z ∈ D \ z0.

Tomemos cualquier r en las condiciones anteriores. Poniendo como en elenunciado = min| f (z) − w0| : |z − z0| = r, obviamente > 0 y paraW = D(w0; ), V = D ∩ f −1(W ) = z ∈ D : | f (z) − w0| < , es claro que Wy V son abiertos, w0 ∈ W , z0 ∈ V , V ⊆ y f (V ) ⊆ W .

Para completar la demostracion basta, pues, probar que para todo w ∈ W \w0existen m ceros simples distintos de f (z) − w en V \ z0.

Pero f (z) − w0 tiene exactamente m ceros en D (z0 contado m veces), y paratodo z ∈ ∂ D

|( f (z) − w) − ( f (z) − w0)| = |w − w0| < ≤ | f (z) − w0|,luego por el teorema de Rouche f (z)−w tiene m ceros (no necesariamente distintosen principio) z1, . . . , zm en D. Estos puntos estan en V , pues

| f (zj ) − w0| = |w − w0| < , 1 ≤ j ≤ m,

y son ceros simples, ya que

( f (z) − w)′(zj ) = f ′(zj ) = 0

por ser zj ∈ D \ z0.NOTA. Tambien puede afirmarse que el abierto V del enunciado es conexo. Comono necesitaremos esta propiedad de V , no la probamos; hay una demostracion enPalka, ob. cit., pp. 345–346, seguida de unos comentarios muy ilustrativos quedesentranan la “estructura geometrica local” de f en el entorno de z0.

Las aplicaciones tales que cada elemento de la imagen tiene exactamentem antiimagenes suelen denominarse “aplicaciones m → 1”. Por esta razon enalgunos textos el teorema anterior recibe el nombre de “teorema m → 1”. Con estanomenclatura, podemos reescribirlo en la siguiente forma:


Corolario 9.12. Sea un abierto de C, f una funcion holomorfa en , z0 ∈ ,m ∈ N, f (z0) = w0 m veces. Entonces existen abiertos V , W , tales que

• z0 ∈ V ⊆ ;• f (V ) = W (y, en particular, w0 ∈ W );• f : V \ z0 → W \ w0 es suprayectiva y m → 1.

Si convenimos en que w0 tiene z0 como antiimagen m veces, tambien podemosponer

• f : V → W es suprayectiva y m → 1.

Hay variantes de este teorema que reflejan de forma “analıtico-algebraica” lasemejanza local de f (z) con w0 + (z − z0)

m . Por ejemplo:

Proposicion 9.13. Sea un abierto de C, f una funcion holomorfa en , z0 ∈ ,m ∈ N, f (z0) = w0 m veces. Entonces existen un abierto V y una funcionϕ ∈ H(V ) tales que

• z0 ∈ V ⊆ ;• f (z) = w0 + [ϕ(z)]m (para todo z ∈ V );• la derivada ϕ′ no tiene ceros en V y ϕ es una aplicacion invertible de V sobre

un disco D(0; r).

Demostracion. Ver Rudin, ob. cit. (Teor. 10.32, p. 245).

El ejemplo siguiente ilustra en una situacion concreta los conjuntos que inter-vienen en la demostracion del teorema m → 1.

Ejemplo. Sea = C \ 0, f ∈ H() definida por

f (z) = z + 1

z,

z0 = 1, w0 = f (z0) = 2. Comprobar que f toma el valor 2 en 1 dos veces, y verpara que valores de r > 0 se consigue, si D = D(z0; r), que

∗ D ⊆ ;∗ f (z) − w0 no se anule en D \ z0;∗ f ′(z) = 0 para todo z ∈ D \ z0.

Para tales r , hallar = min| f (z) − w0| : |z − z0| = r.Dibujar, para algun valor de r , los conjuntos

Jr = f (z) : |z − z0| = r, K = z : | f (z) − w0| = .


Respuesta.

f ′(z) = 1 − 1

z2= 0 ⇐⇒ z = 1 o z = −1,

y f ′′(1) = 2 = 0. Ademas

f (z) − w0 = (z − 1)2

z,

luego las condiciones ∗ se verifican exactamente para los r tales que 0 < r < 1.Para estos r ,

= min| f (z) − w0| : |z − z0| = r = min

|z − 1|2|z| : |z − 1| = r

= r2

1 + r,

que es una funcion de r creciente en (0, 1), de modo que 0 < <1

2.

Para dibujar Jr , tengamos en cuenta que

|z − z0| = r ⇐⇒ z = z0 + r eit = 1 + r eit , t ∈ [0, 2π ],

y ası

f (z) = z + 1

z= 2 + (z − 1)2

z= 2 + r2 e2i t + r eit

1 + 2r cos t + r2, t ∈ [0, 2π ],

expresion que permite describir parametricamente con comodidade f (z),m f (z).Para dibujar K, comencemos por observar que

f (z) = z + 1

z= w ⇐⇒ z = 1

2

(w +

√w2 − 4

)o z = 1

2

(w −

√w2 − 4

),

que para w = 2 + eit , t ∈ [0, 2π ], supone, abreviando la notacion,

z = 1 +

2eit ± 1

2

√

(4 eit + e2i t

).

Recordando que

√a + bi = x + iy ⇐⇒

x = ±√

a + √a2 + b2

2,

y = ±√

−a + √a2 + b2

2,

sig xy = sig b,

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

1.5 2 2.5 3 3.5x

-1

-0.5

0

0.5

1

y


vamos a parar a

e z = 1 +

2cos t ± 1

2

√

2

(4 cos t + cos 2t +

√16 + 8 cos t + 2

)

m z =

2sen t ± 1

2

√

2

(−4 cos t − cos 2t +

√16 + 8 cos t + 2

)

con los signos ± combinados para que el signo del producto coincida con el de4 sen t + sen 2t = (4+2 cos t) sen t , t ∈ [0, 2π ], que es igual al signo de sen t .

Ası quedan las graficas de K y Jr para r = 2/3:

f

−→

K Jr

NOTA. Algunos programas de ordenador permiten obtener graficos animados quemuestran, de manera espectacular, la evolucion de los conjuntos K y Jr segunvarıa r .

9.7 TEOREMA DE LA APLICACION ABIERTA

Corolario 9.14. (Teorema de la aplicacion abierta). Sea un abierto de C, funa funcion holomorfa en no constante en ninguna componente conexa de .Entonces f es abierta.

En particular, f () es un abierto de C; y si es una region, f () tambienes una region.


Demostracion. Recordemos que f es abierta cuando la imagen f (U ) de cadaabierto U ⊆ es un abierto en C.

Sea, pues, w0 ∈ f (U ) y tomemos z0 ∈ U de modo que f (z0) = w0. Apli-cando el teorema m → 1 en z0 a la restriccion de f a U , encontramos abiertos V ,W tales que z0 ∈ V ⊆ U , w0 ∈ W = f (V ) ⊆ f (U ), y ası w0 es interior a f (U ).

El teorema de la aplicacion abierta permite dar nuevas demostraciones deresultados conocidos.

Corolario 9.15. (Principio del modulo maximo). Sea f una funcion holomorfano constante en ninguna componente conexa de un abierto de C. Entonces | f |no puede tener un maximo local en ningun punto de .

Demostracion. Por ser f abierta, dado z0 ∈ y D(z0; R) ⊆ , si w0 = f (z0)

existe un disco D(w0; r) ⊆ f (D(z0; R)) con infinitos puntos w para los que resulta| f (z0)| = |w0| < |w| = | f (z)|, z ∈ D(z0; R).

Ejercicio. Sea f una funcion holomorfa en una region y supongamos, porejemplo, que (e f )3 = m f . Entonces f es constante.

[Indicacion: f () no puede ser abierto en C al estar contenido en el conjuntox + iy : x, y ∈ R; x3 = y.]

(Tenemos ası otra “explicacion” de resultados obtenidos como consecuenciade las condiciones de Cauchy-Riemann.)

9.8 TEOREMAS DE LA FUNCION INVERSA

Teorema 9.16. (Teorema global de la funcion inversa). Sea f una funcion holo-morfa e inyectiva en un abierto no vacıo . Entonces

• f () es abierto;• f −1 : f () → es continua;• f ′(z) = 0 para todo z ∈ ;• f −1 es holomorfa en f (), y para cada w0 ∈ f () es

(f −1

)′(w0) = 1

f ′(z0),

donde z0 = f −1(w0).

Demostracion. Como f es inyectiva, no es constante en ninguna componenteconexa de , con lo que f sera abierta y por ello f () es abierto y f −1 escontinua.


Si en algun punto z ∈ fuese f ′(z) = 0, tendrıamos f (z) = w m veces, conm ≥ 2; en consecuencia, la restriccion de f a algun entorno V de z serıa m → 1,contra la inyectividad de f .

Por ultimo, el teorema de derivabilidad de la funcion inversa en un punto esası aplicable en cada punto de f (), de manera que f −1 ∈ H() ya que f −1 esderivable en cada punto de f (), y su derivada viene dada, como ya sabıamos, porla formula del enunciado.

Observacion. Para que una funcion holomorfa sea inyectiva es condicion necesariapero no suficiente que la derivada no se anule en ningun punto. Por ejemplo, lafuncion exponencial tiene derivada no nula en todos los puntos sin ser inyectiva.Tal como sucede en el caso de funciones de varias variables reales, en el recıprocosolo se llega a un resultado local, que es una ligera mejora del “teorema 1 → 1”.

Teorema 9.17. (Teorema local de la funcion inversa). Sea f una funcion holomorfaen un abierto no vacıo arbitrario . Sean z0 ∈ , w0 = f (z0), f ′(z0) = 0.Entonces existen entornos abiertos V , W de z0 y w0 respectivamente, tales quef aplica biyectivamente V sobre W y ( f |V )−1 : W → V es holomorfa en W .Precisando mas:

Tomemos cualquier disco D = D(z0; r) tal que(∗) D ⊆ ,(∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ z0.Poniendo entonces

= min| f (z) − w0| : |z − z0| = r = d(w0, f (∂ D)),

W = D(w0; ),

V = D ∩ f −1(W ) = z ∈ D : | f (z) − w0| < ,

se verifica:(1) f : V → W biyectivamente;(2) f ′(z) = 0 para cada z ∈ V ;(3) ( f |V )−1 : W → V es holomorfa.

Demostracion. Notese que siempre existen discos D = D(z0; r) para los quese cumplen las hipotesis (∗) y (∗∗), pues en caso contrario encontrarıamos unasucesion de puntos zn ∈ \z0 con lımite z0 de manera que f (zn) = w0 = f (z0)

para todo n, y resultarıa f ′(z0) = 0.(1) Evidentemente f (V ) ⊆ W , luego para probar que f aplica biyectivamente

V sobre W basta ver que para cada w ∈ W existe un z ∈ V y solo uno tal quef (z) = w, o equivalentemente, que para cada w ∈ W el numero de ceros de lafuncion f (z) − w en V sea 1.


Tomemos, pues, w ∈ W = D(w0; ). Por hipotesis, el numero de ceros def (z) − w0 en D es exactamente 1, y si γ es la circunferencia de centro z0 y radior orientada positivamente, para cada z ∈ sop γ = ∂ D,

|( f (z) − w) − ( f (z) − w0)| = |w − w0| < ≤ | f (z) − w0|,

luego por el teorema de Rouche f (z) − w tiene un cero simple en D, que estaraen V porque si f (z) = w, | f (z) − w0| = |w − w0| < .

(2) Como la restriccion de f a V es inyectiva, f no es constante en ningunacomponente conexa de V , con lo cual f es abierta. Denotando por comodidad conf −1 la inversa de la restriccion de f a V , esto significa que f −1 : W → V escontinua y, de paso, implica que V es conexo por serlo W . Si aplicamos el teoremaglobal de la funcion inversa, necesariamente f ′(z) = 0 para todo z ∈ V .

(3) Basta tener en cuenta que, segun acabamos de ver, f −1 : W → V escontinua y f ′(z) = 0 para los z ∈ V .

Teorema 9.18. (Representaciones de la funcion inversa). Sea f una funcion holo-morfa en un abierto no vacıo arbitrario . Sean z0 ∈ , w0 = f (z0), f ′(z0) = 0.Consideremos un disco D = D(z0; r) tal que(∗) D ⊆ ,(∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ z0.Sea, como antes,

= min| f (z) − w0| : |z − z0| = r = d(w0, f (∂ D)),

W = D(w0; ),

V = D ∩ f −1(W ) = z ∈ D : | f (z) − w0| < .

Llamando γ a la circunferencia de centro z0 y radio r orientada positivamente,siempre que |w − w0| < se verifica

f −1(w) = 1

2π i

∫

γ

z f ′(z)f (z) − w

dz;(1)

f −1(w) =∞∑

n=0

[1

2π i

∫

γ

z f ′(z)( f (z) − w0)n+1

dz

](w − w0)

n;(2)

f −1(w) = z0 +∞∑

n=1

1

n!

[dn−1

dzn−1

(ψ(z)n

)]

z=z0

(w − w0)n,(3)

donde ψ(z) = z − z0

f (z) − w0(formula de Lagrange para la inversion de una

serie) .


Demostracion. El ciclo formado por γ es homologo a 0 respecto de : los puntosde D son los unicos con ındice no nulo respecto de γ .

(1) Dado w ∈ W = D(w0; r), hemos probado anteriormente que hay ununico punto a ∈ D = D(z0; r) tal que f (a) = w. Ademas, para cada z ∈ ∂ D es

| f (z) − w0| ≥ > |w − w0|,luego a es el unico punto en D para el que f (a) = w.

Por consiguiente, la funcion

g(z) = z f ′(z)f (z) − w

es meromorfa en , no tiene singularidades sobre sop γ y a es la unica singularidadcon ındice no nulo (= 1) respecto de γ . Aplicando el teorema de los residuos,

1

2π i

∫

γ

z f ′(z)f (z) − w

dz = Res(g; a).

Puesto que

limz→a

[(z − a) g(z)] = limz→a

(z − a

f (z) − f (a)z f ′(z)

)= 1

f ′(a)a f ′(a) = a,

g tiene en a un polo simple (o una singularidad evitable si a = 0); en cualquiercaso, Res(g; a) = a y ası

1

2π i

∫

γ

z f ′(z)f (z) − w

dz = a = f −1(w).

(2) Teniendo en cuenta que si z ∈ sop γ , entonces | f (z)−w0| ≥ > |w−w0|,desarrollando en potencias de w − w0 el integrando de (1) e integrando termino atermino como de costumbre obtenemos la igualdad deseada.

(3) Integrando por partes, para n ≥ 1 resulta

1

2π i

∫

γ

z f ′(z)( f (z) − w0)n+1

dz = 1

2π in

∫

γ

dz

( f (z) − w0)n

y esta ultima integral podemos calcularla a traves del teorema de los residuos, puesel integrando presenta una unica singularidad en z0, que es exactamente un polode orden n, y ası

1

2π in

∫

γ

dz

( f (z) − w0)n= 1

nRes

(1

( f (z) − w0)n; z0

)

= 1

n

1

(n − 1)!

[dn−1

dzn−1

((z − z0)

n

( f (z) − w0)n

)]

z=z0

.


Ejemplo. Sea = C, f (z) = z ez , z0 = 0, w0 = f (z0) = 0. En este casof (z) = w0 = 0 solo para z = 0, luego para cualquier r > 0 el disco D(z0; r)

cumple (∗) y (∗∗). Como

= min| f (z) − w0| : |z − z0| = r = min|z ez| : |z| = r= minr ee z : |z| = r = r e−r ,

el valor maximo para se obtiene si r = 1, en cuyo caso = e−1.El desarrollo en serie de f −1 : D(0; 1/e) → D(0; 1) se halla muy facilmente

por el metodo de Lagrange, pues ahora ψ(z) = e−z y

[dn−1

dzn−1

(ψ(z)n

)]

z=z0

= (−1)n−1 nn−1,

con lo cual

f −1(w) =∞∑

n=1

(−1)n−1 nn−1

n!wn, |w| <

1

e.

(La serie tiene radio de convergencia 1/e).

NOTA. En Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable (Vol. II).Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 94 y ss., pueden verse ejemplosmuy interesantes de aplicaciones de la formula de Lagrange al estudio de lospolinomios de Legendre y de la ecuacion de Kepler para la anomalıa excentrica.

9.9 EJERCICIOS RESUELTOS

Comenzaremos por aplicar el teorema de los residuos al calculo de una integralreal.

Ejercicio. Estudiar la existencia y, en su caso, calcular el valor de

∫ +∞

−∞

x sen x

x2 + 4x + 20dx .

Respuesta. El integrando es una funcion (llamemosle g) definida y continua entodo R. Sin embargo no es una funcion integrable-Lebesgue en R, pues si lo fuese

lo serıa tambien (comparando por cociente) la funcionsen x

x, que ya sabemos que

no es integrable-Lebesgue en R.La integral tiene sentido como integral impropia, convergente por el criterio

de Abel: “si ϕ es una funcion impropiamente integrable en un intervalo (a, b) y

iR

O R-R ψR

γR

p1

p2 •

•


ψ es una funcion monotona y acotada en dicho intervalo,∫ b

a ϕ ψ es convergente”.

En nuestro caso: g = ϕ ψ para ϕ(x) = sen x

x, ψ(x) = x2

x2 + 4x + 20; puesto

que ψ ′(x) = 4x (x + 10)

(x2 + 4x + 20)2y limx→±∞ ψ(x) = 1, ψ esta acotada en R y es

monotona en (0, +∞), (−∞, −10); por la convergencia de la integral de ϕ enambos intervalos, g es impropiamente integrable en los mismos, y es integrable(es continua) en [−10, 0]. Ensamblando estos resultados, obtenemos que g esimpropiamente integrable en R.

De todas formas, los calculos que haremos a continuacion probaran que la in-

tegral tiene sentido al menos como valor principal, es decir, que existe limR→+∞

∫ R

−Rg.

La funcion f definida por

f (z) = z eiz

z2 + 4z + 20

es meromorfa en C, y sus unicas singularidades son los polos simples p1 = −2+4i ,p2 = −2 − 4i .

Si R es el ciclo formado por elcamino γR ∪ ψR , donde (ver figura)γR : t ∈ [0, π ] → γR(t) = R eit ∈ C,ψR : t ∈ [−R, R] → ψR(t) = t ∈ C,siempre que R > |p1| = √

20 sera R

un ciclo homologo a 0 en C para el queIndR (p1) = 1, IndR (p2) = 0. Pode-mos ası aplicar el teorema de los resi-duos para obtener

∫

R

f = 2π i Res( f ; p1) = 2π i limz→p1

(z − p1)z eiz

(z − p1)(z − p2)

= 2π i

(1

2+ i

4

)e−4−2i =

(−1

2+ i

)π e−4−2i .

Pero ∫

R

f =∫

γR

f +∫

ψR

f =∫

γR

f +∫ R

−Rf (x) dx,


y puesto que limR→+∞(R2 −4R −20) = +∞, existira un R0 >√

20 tal que, paratodo R > R0, R2 − 4R − 20 > 0; siempre que R > R0 podremos poner, pues,

∣∣∣∣

∫

γR

f

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

∫ π

0f (R eit ) Ri eit dt

∣∣∣∣ ≤∫ π

0

∣∣ f (R eit )∣∣ R dt

≤ R · R

R2 − 4R − 20

∫ π

0

∣∣∣ei R eit∣∣∣ dt = R2

R2 − 4R − 20

∫ π

0e−R sen t dt.

Dado que para t ∈ (0, π) es limR→+∞

e−R sen t = 0 y∣∣e−R sen t

∣∣ = e−R sen t < e0 =1 ∈ L1([0, π ]), por el teorema de la convergencia dominada

limR→+∞

∫ π

0e−R sen t dt = 0.

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan,se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotacion∫ π

0e−R sen t dt ≤ π

R(1 − eR), deducida de la desigualdad sen t ≥ 2t

πpara

0 ≤ t ≤ π

2.)

Como consecuencia,

limR→+∞

∫

γR

f = 0,

lo que permite deducir la existencia y valor del lımite

V.P.

∫ +∞

−∞f (x) dx = lim

R→+∞

∫ R

−Rf (x) dx =

(−1

2+ i

)π e−4−2i

y de aquı∫ +∞

−∞

x sen x

x2 + 4x + 20dx = m

(V.P.

∫ +∞

−∞f (x) dx

)= (cos 2+ 1

2sen 2) π e−4.

En el proximo ejercicio aplicaremos el teorema de Rouche y el principio delargumento para localizar ceros de un polinomio en conjuntos de distinto tipo.

Ejercicio. Hallar el numero de ceros que tiene el polinomio

P(z) = z3 − (1 + 2i) z2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i

en la corona D(0; 1/2, 5) = z ∈ C :1

2< |z| < 5.

¿Cuantos de ellos estan en el semiplano superior H ′ = z ∈ C : m z > 0?¿Cuantos de ellos estan en el semiplano inferior H ′′ = z ∈ C : m z < 0? ¿Porque?

iR

O R-R •ψR

γR

•

•

•


Respuesta. Sea g(z) = z3, z ∈ C. Si |z| = 5,

|P(z) − g(z)| = | − (1 + 2i) z2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i |≤ |1 + 2i | · 52 + |3 − 7i | · 5 + |8 − 4i | =

√3 · 25 +

√58 · 5 +

√80

< 3 · 25 + 8 · 5 + 9 = 113 < 125 = |z|3 = |g(z)|,con lo cual:

• P(z) y g(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre lacircunferencia z ∈ C : |z| = 5;

• podemos aplicar el teorema de Rouche para concluir que P y g tienen elmismo numero de ceros (contados segun su multiplicidad) en el interior dedicha circunferencia, es decir, 3.

Sea ahora h(z) = 8 − 4i , z ∈ C. Si |z| = 1

2, analogamente

|P(z)−h(z)| ≤(

1

2

)3

+√

5

(1

2

)2

+√

581

2<

1

8+1

4·3+1

2·8 < 5 < |8−4i | = |h(z)|,

con lo cual:• P(z) y h(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la

circunferencia z ∈ C : |z| = 1

2;

• podemos aplicar el teorema de Rouche para concluir que P y h tienen elmismo numero de ceros (contados segun su multiplicidad) en el interior dedicha circunferencia, es decir, 0.En consecuencia, P(z) tiene 3 ceros en la corona D(0; 1/2, 5). (Puesto que a

lo mas puede tener 3 ceros en C, se sigue que todos los ceros de P quedan dentrode la corona).

Para ver cuantos de ellos estan en H ′ bastara, pues, averiguar simplementecual es el numero N de ceros que tiene P en H ′. Como el polinomio P tiene unnumero finito de ceros, si M es el maximo de los modulos de todos ellos, los N queesten en H ′ quedaran en el interior del ciclo R formado por el camino γR ∪ ψR ,donde (ver figura)

γR : t ∈ [0, π ] → R eit ∈ C;ψR : t ∈ [−R, R] → t ∈ C,

y R es cualquier valor mayor que M .Por consiguiente, dado que P es holo-

morfa en = C y trivialmente R ∼ 0 (C),si P no se anula en el soporte de R , podemoshallar N aplicando la version geometrica delprincipio del argumento.


Comprobemos que P no se anula en sop R . Por la eleccion de R, es obvioque P no se anula en el soporte de γR ; tampoco se anula en el soporte de ψR , comose vio en el Capıtulo 5, Seccion 5.4.

Ası pues, siempre que R > M se tendra

N = IndP(γR∪ψR)(0),

y en consecuencia tambien

N = limR→+∞

IndP(γR∪ψR)(0),

que nos llevara mas facilmente al calculo de N .Es inmediato comprobar (¡comprobar!) que P(γR∪ψR) = (PγR)∪(PψR)

y que arg(P (γR ∪ ψR)) = arg(P γR) + arg(P ψR). Aplicando elrazonamiento del final de la Seccion 5.4 a nuestro polinomio P ,

limR→+∞

ARG0≤t≤π

P(R eit ) = 3π.

Tambien se probo entonces que si

x(t) := e (P ψR)(t) = e P(t) = t3 − t2 − 3t + 8,

y(t) := m (P ψR)(t) = m P(t) = −2t2 + 7t − 4,

se obtenıa, para valores “suficientemente grandes” de R,

ARG−R≤t≤R

(P ψR)(t) = π + arc tgy(R)

x(R)− arc tg

y(−R)

x(−R),

de donde se sigue que

limR→+∞

ARG−R≤t≤R

(P ψR)(t) = π,

lo que unido a lo anterior permite concluir que

2π N = 2π · limR→+∞

IndP(γR∪ψR)(0) = 3π + π = 4π,

es decir, que N = 2.Como P tiene 3 ceros, ninguno de ellos real, esto implica que el numero de

ceros de P en H ′′ es necesariamente 1.

- — o O o — -

40151914 teoria de funciones de variable compleja

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