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3 函數的導數

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3.4 連鎖率 The Chian Rule

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連鎖率

假設我們現在要對以下這樣一個函數微分

我們想說的是，在前面所學到的微分公式都沒有辦法處理

F(x)。而觀察到實際上， F(x) 是一個合成函數：

我們令 y = f (u) = 而 u = g(x) = x2 + 1 ，則此時 y = F (x)

= f (g(x)) ，也就是 F是兩個函數的合成： F = f g。

當我們若知道如何微分 f, g，那麼了解合成函數 F的微分如

何用 f, g 各自的微分表示機會非常的有用。

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連鎖率

一個合理的想法是這樣的，我們用變化率來看待微分。借用前面的符號 y = f(u), u = g(x) ， du/dx 是 u 對 x的變化率，dy/du 是 y 對 u 的變化率，此時 y 對 x 的變化率就可以想成y 對 u的變化率再乘上 u 對 x的變化率。例如： du/dx = 2 ，表示 u 的變化量是 x變化量的兩倍， dy/du = 3 ，則 y 的變化量是 u的變化的三倍，因此我們可以推得 y 的變化量就是x的變化量的 6倍。

也因此最後我們可以知道，合成函數 F 的微分也就會是 f, g

各自的微分相乘，即連鎖變化率的乘積，這件事情我們稱為連鎖率 (Chain Rule) 。

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連鎖率

寫成一個定理：

假設 g 在 x 可微， f 在 g(x) 可微，則合成函數 F(x) =

f(g(x)) 在 x 可微，且 F 對 x 的微分值為 g’(x), f’(g(x)) 兩者之乘積：

[定理] (連鎖率)

以萊布尼茲的符號表示，若 y = f(u), u = g(x) 均為可微函數，則有

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連鎖率

注意到連鎖率可以寫成函數各自微分相乘的形式

(f g)(x) = f (g(x)) g(x)

或者用萊布尼茲的符號寫成分式相乘：

但要特別注意的是， dy/du 是表示 y對 u的變化率，而不是實際的量相除，所以分子分母中同時擁有的 du 不能相消。

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範例一

給定 F(x) = ，試求 F’(x) 之值。

解一:

我們把 F寫成合成函數的形式F(x) = (f g)(x) = f(g(x))

其中 f(u) = ， g(x) = x2 + 1 。

直接計算微分可以得到 及 g(x) = 2x

因此有 F(x) = f (g(x)) g(x)

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範例一 / 解

解二:

如果我們用萊布尼茲的符號來寫：

令 u = x2 + 1 ， y = 則有

cont’d

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連鎖率

在用連鎖率的公式時，我們需要注意的是對於同一個應變量y可是我們關注的是 dy/dx 跟 dy/du 對兩個不同變數的變化率。寫成 y(x) 時表示 y(x) = ，而寫成 y(u) 時會表示成 y(u) = ，雖然是同一個應變量，但分別寫成 u, x的函數會是不同的函數，也因此對兩個變數 u, x的變化率也不同：

1010

連鎖率

再舉例說明，假設 y = sin u, 其中 u是 x的可微函數。

則根據連鎖率：

因此

1111

連鎖率

使用連鎖率的例子當中，有一些特別常見的例子我們可以算算看，其中一個是冪函數。

若 y = [g(x)]n則我們可以改寫成 y = f(u) = un其中 u = g(x) 。

則利用連鎖率以及微分公式可以得到

給定 n 為任意正實數， u = g(x) 為可微函數，則 y = f(u) = un

的微分為

[定理]

或者可以寫成

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範例三

試求 y = (x3 – 1)100之微分

解:

令新的變數 u = g(x) = x3 – 1 及 n = 100 ，利用前述公式我

們可以直接計算：

= (x3 – 1)100

= 100(x3 – 1)99 (x3 – 1)

= 100(x3 – 1)99 3x2

= 300x2(x3 – 1)99

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連鎖率

令一個常見的特別例子是指數函數，我們可以利用連鎖率對任意正底數 a > 0 的指數函數 f(x) = ax微分：

根據指數率我們可以寫成 a = eln a，因此

ax = (eln a)x = e(ln a)x

同時微分

(ax) = (e(ln a)x) = e(ln a)x (ln a)x

= e(ln a)x ln a = ax ln a

於是我們可以寫下這樣的公式

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連鎖率

例如當 a = 2 ，代入公式得到

(2x) = 2x ln 2

在之前定義指數函數時，我們估算過

(2x) (0.69)2x

這個估計的確有意義，因為 ln 2 0.693147。

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連鎖率

我們可以推廣連鎖率，討論三個以上函數的合成。而正如其名，若要對多個不同函數的合成函數微分，其結果會像連鎖反應一樣，一項一項化作各個函數的微分相乘。

假設若 y = f(u), u = g(x)以及 x = h(t)，其中 f, g, h均為可微函數，則有以下的連鎖率

注意到我們用了兩次最基本的連鎖率，先將 y對 t的變化率寫成 y對 x的變化率乘上 x對 t的變化率，在將 y對 x拆成y 對 u以及 u對 x的變化率。

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連鎖率的證明

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連鎖率的證明

雖然前面已經說明過連鎖率的意義，但這裡還是做一個較為嚴格的證明。

假設 y = f(x) ，考慮 x 的變化是從 a 到 a + x，我們可以計算 y 的增量為

y = f(a + x) – f(a)

根據定義，我們有

我們將增量比值與導數的差記作 ε，於是上式改寫成

= f '(a) – f '(a) = 0

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連鎖率的證明

移項之後可以得到

y = f (a) x + ε x

另外，當增量 x = 0, 誤差 ε = 0，也就是說我們可以將誤差ε 視作 x 的連續函數：

y = f (a) x + ε x ，其中 ε 0 當 x 0

這個我們稱為可微函數的線性逼近 (linear approximate) ，

也就是 y的變化量在極小的範圍內，可以用 x 的變化量的倍數逼近。這個性質可以讓我們拿來證明連鎖率。

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連鎖率的證明