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3.8 相關變化率

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3.8 相關變化率

學習目標 檢查相關變數。 解相關變化率問題。

P.3-64 第三章 微分

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相關變數

在本節，將探討變數隨著時間改變的問題。如果兩個以上變數彼此相關，則它們對時間的變化率也是相關的。

P.3-64 第三章 微分

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相關變數

例如，假設 x 和 y 的關係由方程式 y ＝ 2x 所決定，如果兩個變數都隨著時間改變，則它們的變化率也會有關係。

P.3-64 第三章 微分

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相關變數

在這個簡單的例子中，因為 y 的值都是 x 的兩倍，所以 y 對時間的變化率也都是 x 對時間變化率的兩倍。

P.3-64 第三章 微分

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範例 1 　計算兩個相關的變化率

P.3-64 第三章 微分

變數 x 和 y 都是 t 的可微函數，其關係為y ＝ x2 ＋ 3

當 x ＝ 1 時， dx/dt ＝ 2 ，求 x ＝ 1 時的 dy/dt 。

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範例 1 　計算兩個相關的變化率 （解）

方程式的兩邊用連鎖律對 t 微方。

當 x ＝ 1 以及 dx/dt ＝ 2 ，則

P.3-64 第三章 微分

2

2

3

[ ] [ 3]

2

y x

d dy x

dt dtdy dx

xdt dt

t

寫出原方程式

對 微分

應用連鎖律

2( )( )1 2

4

dy

dt

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檢查站 1

當 x ＝ 1 時， dx/dt ＝ 3 ，求若 y ＝ x3 ＋ 2 ， x ＝ 1 時的 dy/dt 。

P.3-64 第三章 微分

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解相關變化率的問題

在範例 1 中，數學模型已給定。給定方程式： y ＝ x2 ＋ 3

給定變化率：當 x ＝ 1 ，

求：當 x ＝ 1 ， 的值

在下一個範例，將示範如何建立相似的數學模型。

2dx

dt

P.3-65 第三章 微分

dy

dt

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範例 2 　改變面積

一顆鵝卵石丟進平靜的池塘，引起同心圓的漣漪 ( 如照片所示 ) 。外圈漣漪的半徑 r 是以 1 呎 / 秒的速率增加。當半徑為 4 呎時，起漣漪水面的總面積 A 的變化率為何？

P.3-65 第三章 微分

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範例 2 　改變面積 （解）

變數 r 和 A 的關係為圓面積 A ＝ π r2。利用半徑的變化率為 dr/dt 的事實，就可解本題。　　方程式： A ＝ π r2

給定變化率：當 r ＝ 4 ，

求：當 r ＝ 4 ， 的值

使用這個模型，可參照範例 1 來進行運算。

P.3-65 第三章 微分

1dr

dt

dA

dt

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範例 2 　改變面積 （解）

當 r ＝ 4 且 dr/dt ＝ 1 ，則

當半徑為 4 呎時，此面積的變化率是 8 平方呎 / 秒。

P.3-65 第三章 微分

2

2

2

[ ] [ ]

2

t

A r

d dA r

dt dtdA dr

rdt dt

寫出原方程式

對 微分

應用連鎖律

2 ( )( ) 8 4 1 /dA

dtr dr dt 4代入 以及 1代入

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檢查站 2

如果在範例 2 中，外圈漣漪的半徑 r 是以 2 呎 / 秒的速率增加，則當半徑為 3 呎時，總面積的變化率為何？

P.3-65 第三章 微分

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學習提示

在範例 2 中，半徑以等速率改變 ( 即對所有的 t ， dr/dt ＝ 1) ，但是面積以非等速率變化。

P.3-65 第三章 微分

2 2 2 2

1 2 3 4

2 4 6 8

r r r r

dA dA dA dA

dt dt dt dt

當 呎 當 呎 當 呎 當 呎

/呎 秒 /呎 秒 /呎 秒 /呎 秒

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解相關變化率的問題

範例 2 的解法說明解相關變化率問題的步驟。

準則的步驟 2 則是要求必須寫出決定給定變數關係的方程式。

P.3-66 第三章 微分

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學習提示

P.3-66 第三章 微分

注意，在準則中步驟 3 和 4 的順序。在還沒有完成微分前，不要將已知的變數值代入。

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解相關變化率的問題

下表列舉一些常見之變化率的數學模型，在求解相關變化率問題時可參考使用。

P.3-66 第三章 微分

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範例 3 　體積的變化

P.3-66 第三章 微分

將空氣以 4.5 立方吋 / 分的速率灌進一顆球狀氣球，見圖 3.37 。求當半徑為 2 吋時半徑的變化率。

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範例 3 　體積的變化

P.3-66 圖 3.37 第三章 微分

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範例 3 　體積的變化 （解）

令 V 表示氣球的體積以及 r 表示半徑。因為體積以 4.5 立方吋 / 分的速率增加，所以 dV/dt ＝ 4.5 ， V 和 r 的關聯方程式是 V ＝ ，本問題可用下面模型來表示。

方程式： V ＝

給定變化率：

求：當 r ＝ 2 ， 的值

P.3-66 第三章 微分

4 33

r

4.5dV

dt

dr

dt

34

3r

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範例 3 　體積的變化 （解）

對方程式微分，可得

當 r ＝ 2 以及 dV/dt ＝ 4.5 ，半徑的變化率為

P.3-67 第三章 微分

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檢查站 3

如果球狀氣球的半徑是以 1.5 吋 / 分的速率增加，求當半徑為 6 吋時球的表面積 ( 球的表面積公式： S ＝ 4r2) 。

P.3-67 第三章 微分

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解相關變化率的問題

注意，範例 3 中的體積是以等速率增加，但是半徑以可變的速率增加。在本例中，當 t 增加時，半徑增加的速率越來越慢，可見下表的說明。

P.3-67 第三章 微分

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範例 4 　分析利潤函數

某公司銷售 x 單位產品的利潤 P ( 美元 ) 模型為

銷售量以每天 10 單位的速率增加，求銷售 500 單位時利潤的變化率 ( 美元 / 日 ) 。

P.3-67 第三章 微分

21500

4p x x

利潤的模型

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範例 4 　分析利潤函數 （解）

因為所求的變化率是以美元 / 日為單位，所以應該將給定的方程式對時間 t 微分。

因為銷售量是以等速率 10 單位 / 日增加，所以

2

1 500

4

1500 2 (

4 ) t

p x x

dP dx dxx

dt dt dt

寫出利潤的模型

對 微分

P.3-67 第三章 微分

10dx

dt

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範例 4 　分析利潤函數 （解）

當 x ＝ 500 單位且 dx/dt ＝ 10 時，利潤的變化率是

利潤函數 ( 以 x 為變數 ) 的圖形顯示在圖 3.38 。

P.3-68 第三章 微分

1500( ) 2 ( )( )

4

5000 2500

10

$25

5

00

0

/

00 1dP

dt

日 化簡

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範例 4 　分析利潤函數 （解）

P.3-68 圖 3.38 第三章 微分

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學習提示

注意，在範例 4 中，在應用問題成功使用微積分的關鍵之一，就是將變化率視為導數。

P.3-68 第三章 微分

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檢查站 4

如果銷售量以每天 10 單位的速率增加，以及

求銷售 50 單位時利潤的變化率 ( 美元 / 日 )。

P.3-68 第三章 微分

21200

2P x x

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範例 5 ： 決策－ 增加產量

某公司以每週 200 單位的速率增加一項產品的產量，週需求函數的模型為

p ＝ 100 － 0.001x

其中 p 是單價 ( 美元 ) 以及 x 是一週的生產單位數。求每週產量為 2000 單位時，收入對時間的變化率。收入的變化率將會大於每週20,000 美元嗎？

P.3-68 第三章 微分

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範例 5 　增加產量 （解）

方程式：R ＝ xp ＝ x(100 － 0.001x) ＝ 100x － 0.001x2

給定變化率：

求：當 x ＝ 2000 ， 的值

P.3-68 第三章 微分

200dx

dt

dR

dt

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範例 5 　增加產量 （解）

由方程式微分可得

。

2

2

100 0.001

[ ] [100 0.001 ]

(100 0.002)

R x x

d dR x x

dt dtdR dx

dt dt

t

寫出原方程式

對 微分

應用連鎖律

P.3-68 第三章 微分

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範例 5 　增加產量 （解）

使用 x ＝ 2000 以及 dx/dt ＝ 200 ，則

收入的變化率將不會大於每週 20,000 美元。

P.3-69 第三章 微分

[100 0.002( )]( )

2

00

$19,200

0 0

/

20dR

dt

週

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檢查站 5

若範例 5 中的週需求函數為 p ＝ 150 － 0.002x ，求該公司收入對時間的變化率。

P.3-69 第三章 微分