- 1 -

3장 행렬과 행렬 수

3.1 행렬연산

행렬표기와 용어

행렬은 성분, 행과 열, ×크기

행렬은 문자로, 성분은 소문자로, ×행렬

행x열의 행렬: 크기 의 정사각행렬(정방행렬, square matrix of order )

- 2 -

⋯ : 주 각선

간결한 표기로 (1)은

행렬과 성분을 표시할 때 같은 문자 이용

행렬 의 행 열의 성분

- 3 -

행렬연산

정의3.1.1 두 행렬이 크기가 같고 응하는 성분들이 같으면 두 행렬은

같다(equal).

와 가 같은 크기, ⇔모든 와 에 하여

(즉 ).

예제1 행렬의 상등

정의 3.1.2 와 가 같은 크기의 행렬이면, 합(sum) 는 의 성분

을 응하는 의 성분에 더함. 차(difference) .

와 가 같은 크기일 때

- 4 -

예제2 행렬의 더하기와 빼기

정의 3.1.3 행렬 와 스칼라 에 해서 곱(product) 는 의 각 성분

에 를 곱하여 얻는 행렬.

예제3 행렬에 스칼라 곱하기

이면

- 5 -

행과 열 벡터

한 행 행렬은 행벡터, 한 열 행렬은 열벡터, 볼드체 소문자로 표기

일반적인 ×행벡터 과 ×열벡터

열벡터들이나 행벡터들로 나누면

- 6 -

행렬 의 번째 행벡터를

번째 열벡터를

- 7 -

곱

행렬 를 선형계의 계수행렬(coefficient matrix)

첫 단계로 (8)에서

- 8 -

를

정의 3.1.4 가 × 행렬이고 x가 × 열벡터이면 곱 는 의 열

벡터와 의 성분을 계수로 하는 일차결합으로 만들어진 × 열벡터이

다. 보다 엄밀하게는 의 열벡터가 ⋯이면

- 9 -

예를 들면

예제4 선형계를 로 쓰기

이면

- 10 -

정리3.1.5 가 × 행렬이면 의 모든 열벡터 및 와 임의의 스

칼라 에 하여 다음 관계가 성립한다.

참고

곱

- 11 -

정의 3.1.4에 의해 의 열벡터

정의 3.1.6 가 × 행렬, 가 × 행렬이고 의 열벡터가

⋯ 이면 곱(product) 는 × 행렬로서

- 12 -

예제5 행렬곱 의 계산

곱 를 구하라

- 13 -

행렬곱에서 특정한 성분 구하기

곱 의 행, 열의 성분

정리 3.1.7 (행-열 규칙 또는 점곱규칙) 행렬곱 의 행 열의 성분은

의 행벡터와 의 열벡터의 곱, 즉 점곱이다.

- 14 -

행렬곱의 특정한 행과 열 구하기

이 공식에서 의 열은

-- 열규칙(column rule)

의 행은 공식

-- 행규칙(row rule)

- 15 -

예제8 의 특정한 행과 열 구하기

일차결합으로서의 행렬곱

가 ×행렬, 는 성분이 ⋯ 인 열벡터

가 ×행렬, 는 성분이 ⋯ 인 행벡터

의 열규칙은 이고 의 행규칙은

- 16 -

정리 3.1.8

(a) 의 열벡터는 의 열벡터와 의 열벡터의 계수의 일차결합.

(b) 의 행은 의 행벡터와 의 행 계수의 일차결합.

정의 3.1.9 가 × 행렬이면 의 전치행렬(transpose) 는 의

행들을 열로하여 만들어진 × 행렬로 정의

가 정사각행렬이면

- 17 -

정의 3.1.10 정사각행렬 의 각합(trace)은 의 주 각선 위의 성분

들의 합으로 정의하고 tr()로 표기.

행렬내적과 외적

정의 3.1.11 u와 v가 같은 크기의 열벡터이면 곱 를 u와 v의 행렬내

적(matrix inner product). u와 v가 임의의 크기의 열벡터이면 곱 를

u와 v의 행렬외적(matrix outer product).

- 18 -

예제11 행렬내적과 외적

u와 v의 행렬내적(행 곱하기 열)

u와 v의 행렬외적(열 곱하기 행)

- 19 -

u와 v의 행렬내적

u와 v의 행렬외적

두 열벡터의 내적과 외적은 각합 공식

- 20 -

3.2 역행렬 및 행렬의 수적 성질

행렬덧셈과 스칼라곱의 성질

정리3.2.1 a, b는 스칼라이고, 행렬 A, B, C의 크기가 주어진 연산이 가

능하도록 주어지면 다음이 성립한다.

행렬곱셈의 성질

1. AB는 정의되어도 BA는 정의되지 않는다.(A는 2x3이고 B는 3x4)

2. AB와 BA가 정의되어도 서로 다른 크기(A는 2×3이고 B는 3×2)

3. AB와 BA가 정의되고 같은 크기일지라도, 두 행렬은 다를 수 있다

AB=BA이면 A와 B는 교환된다(commute)

- 21 -

정리 3.2.2 a는 스칼라, 행렬 A, B, C는 연산이 정의되는 크기.

영행렬 : 모든 성분이 영인 행렬을 영행렬(zero matrix)

정리 3.2.3 c가 스칼라, 행렬의 크기는 주어진 연산이 수행.

- 22 -

예제2 소거법칙은 행렬에서는 성립하지 않는다.

예제3 영 아닌 행렬들의 곱이 영이 될 수 있다.

이지만 ≠이고≠

항등행렬

주 각선 상의 성분들이 모두 1이고 그 밖에는 모두 0인 정방행렬을 항

등행렬(identity matrix)

n×n 항등행렬을 , A가 임의의 m×n 행렬이면

정리 3.2.4 n×n 행렬 A의 기약 행사다리꼴이 R이면 R은 0인 행을 갖거

나 항등행렬 이다.

- 23 -

정의 3.2.5 A는 정사각행렬이고 AB=BA=I 가 되는 A와 같은 크기의 행

렬 B, A는 가역행렬(invertible matrix) 또는 정칙행렬(nonsingular

matrix), B는 A의 역행렬(inverse matrix).

행렬 B가 존재하지 않으면 A는 특이행렬(singular matrix).

AB=BA=I 이면 A와 B는 서로 역행렬

예제4 가역행렬

- 24 -

역행렬의 성질

정리 3.2.6 A가 가역행렬이고 B와 C가 A의 역행렬이면 B=C이다. 즉

가역행렬은 단 한 개의 역행렬을 갖는다.

정리 3.2.7 행렬

가 가역행렬일 필요충분조건은 ≠ 이다. 이 경우에 역행렬은

정리에서 ad－bc를 2×2 행렬 A의 행렬식(determinant), det(A)로 표기

- 25 -

예제6 2×2 행렬의 역원 계산하기

각 행렬이 가역인지를 판정하라

풀이 (a) A의 행렬식은 det(A)=(6)(2)－(1)(5)=7로서 0이 아니다. 따라

서 A는 가역이고 역원은

풀이 (b) det(A)=(－1)(－6)－(2)(3)=0이므로 행렬 A는 가역이 아니다.

예제7 역행렬에 의한 선형계의 해

- 26 -

만일 2×2 행렬이 가역(즉 ≠)이라 가정하면

정리 3.2.7을 이용하면

- 27 -

예제8 로봇공학에의 응용

산업 로봇의 도형, 고정된 각 와 에 하여, 점 (x, y)에서 일하고 있

는 곳에 팔의 끝이 닿으려면 팔의 길이 과 는 얼마여야 하는가?

풀이

- 28 -

정리 3.2.8 A와 B가 같은 크기의 가역행렬이면 AB는 가역.

행렬의 거듭제곱

A가 정방행렬이면 A의 음이 아닌 정수의 거듭제곱

- 29 -

A가 가역행렬이면 A의 음의 정수의 거듭제곱

정리 3.2.9 A가 가역행렬이고 n이 음이 아닌 정수이면

행렬다항식

A가 n×n 정사각행렬, n×n 다항식 p(A)

A에 관한 행렬다항식(matrix polynomial in A)

- 30 -

임의의 두 다항식

이면

전치행렬의 성질

정리 3.2.10 행렬의 크기가 정해진 연산들이 수행되도록 주어졌을 때

정리 3.2.11 A가 가역행렬이면 도 가역행렬이고

- 31 -

예제13 전치행렬의 역원

일반적인 2×2 가역행렬과 그 전치행렬

이고 이는 가 전치된 행렬과 같다

각합의 성질

정리 3.2.12 A와 B가 같은 크기의 정방행렬일 때

- 32 -

정리 3.2.13 r이 1×n 행벡터이고 c는 n×1 열벡터이면 r•c=tr(cr).

예제15 행벡터와 열벡터의 곱의 각합

전치행렬과 점곱

A 곱하기와 곱하기 사이의 관계, u와 v가 열벡터, A가 n×n 행렬

- 33 -

3.3 기본행렬 및 를 구하는 방법

기본행렬

2.1절에서 행렬에 수행할 수 있는 세 가지 형태의 기본행연산

1. 두 행을 서로 바꾸라.

2. 한 행에 영 아닌 상수를 곱하라.

3. 한 행의 스칼라배수를 다른 행에 더하라.

항등행렬에 한 개의 기본행연산 : 기본행렬(elementary matrix)

- 34 -

정리 3.3.1 A가 m×n 행렬이고, 기본행렬 E는 m×m 항등행렬에 어떤

행연산을 실행, 곱 EA는 A에 같은 행연산을 수행하여 얻어지는 행렬

예제1 행렬곱셈으로 행연산 수행

EA가 A의 첫 행의 4배를 셋째 행에 더해서 얻어진 행렬일 때, E?

풀이

- 35 -

역연산(inverse operation)

예제2 기본행렬에서 항등행렬 복구

- 36 -

정리 3.3.2 기본행렬은 가역행렬이며, 그 역행렬도 역시 기본행렬.

가역성의 특성

정리 3.3.3 A가 n×n 행렬일 때 다음 명제는 동치이다.

(a) A의 기약 행사다리꼴은 이다.

(b) A는 기본행렬의 곱으로 쓸 수 있다.

(c) A는 가역행렬이다.

증명

(a) ⇒ (b)

- 37 -

행동치

기본행연산을 행렬 A에 실행하여 행렬 B

유한 번의 기본행연산을 실행하여 얻는 행렬들:행동치(row equivalence)

정리 3.3.4 A와 B가 같은 크기의 정방행렬이면 다음은 동치이다.

(a) A와 B는 행동치이다.

(b) B=EA를 만족시키는 가역행렬 E가 존재한다.

(c) A=FB를 만족시키는 가역행렬 F가 존재한다.

역행렬로 바꾸는 알고리즘

A에 기본행연산을 실행하여 으로 변화될 때 응되는 기본행렬을

⋯ 라 가정

- 38 -

양변에 역행렬을 취하면

반전알고리즘 가역행렬 A의 역행렬을 찾으려면 A를 I로 변형시키는 기

본행연산들을 찾고 I에 같은 행연산을 실행하여 를 얻는다.

예제3 반전알고리즘 적용

- 39 -

- 40 -

예제4 반전알고리즘은 특이행렬인 경우 계산과정에서

행렬

- 41 -

행렬반전에 의한 선형계 풀기

- 42 -

정리 3.3.5 Ax=b 가 n개의 미지수에 관한 n개의 방정식으로 이루어진

선형계이고 계수행렬 A가 가역행렬이면 선형계는 유일한 해

예제5 행렬반전에 의한 선형계 풀기

선형계는 Ax=b 형태

예제3에서 A는 가역행렬

- 43 -

정리 3.3.6 Ax=0이 n개의 미지수에 관한 n개의 방정식으로 이루어진 동

차선형계이다. 이 선형계가 자명한 해만을 유일하게 가질 필요충분조건

은 계수행렬 A가 가역행렬인 것이다.

정리 3.3.7 A가 n×n 행렬이면 다음 명제는 동치이다.

(a) A의 기약 행사다리꼴은 이다.

(b) A는 기본행렬의 곱으로 쓸 수 있다.

(c) A는 가역행렬이다.

(d) Ax=0은 오직 자명한 해만 갖는다.

- 44 -

정리 3.3.8

(a) 정사각행렬 A와 B가 AB=I 또는 BA=I를 만족시키면 A와 B는 둘 다

가역행렬이고, 서로는 각각의 역행렬이다.

(b) 정사각행렬 A와 B의 곱 AB가 가역행렬이면 A와 B는 가역행렬이다.

정리 3.3.9 A가 n×n 가역행렬이면 다음 명제는 동치이다.

(a) A의 기약행 사다리꼴은 이다.

(b) A는 기본행렬의 곱으로 쓸 수 있다.

(c) A는 가역행렬이다.

(d) Ax=0은 오직 자명한 해만을 갖는다.

(e) 의 모든 벡터 b에 하여 Ax=b는 해를 갖는다.

(f) 의 모든 벡터 b에 하여 Ax=b는 오직 한 개의 해만을 갖는다.

- 45 -

공통계수행렬을 갖는 다선형계 풀기

여러 개의 선형계

(8)에서 계수행렬 A가 가역행렬이면 각 선형계는 유일해를 가지며 모든

k개의 해는 행렬 하나만 반전시키는 행렬곱셈을 k번 수행

A가 가역행렬이 아니면 쓸 수가 없다.

⋯ 를 A에 붙여서 붙인 행렬

기약 행사다리꼴로 전환시킨 후 Gauss-Jordan 소거로 한 번에 모든 k

개 선형계를 푸는 것이다.

- 46 -

예제7 Gauss-Jordan 소거로 다선형계 풀기

다음 선형계를 풀라

선형계 (a)의 해는

(b)의 해는

선형계 해의 존재성

3.3.10 해 존재성 문제 선형계 Ax=b가 해를 갖게 되는 모든 벡터 b

- 47 -

예제8 Gauss 소거에 의한 해 존재성 문제 풀기

선형계가 해를 가지려면 는 어떤 조건을 만족시켜야 하는가?

풀이

- 48 -

를 만족시키는 것, Ax=b가 해를 가질 필요충

분조건은 b

Ax=b가 해를 갖게 되는 에서 벡터들의 집합은 두 벡터

의 일차결합으로 구성된 의 부분공간.

- 49 -

3.4 부분공간과 일차독립

의 부분공간

에서 원점을 지나는 직선과 평면은 각각 와 형태

의 벡터 에 하여 일반형의 방정식

- 50 -

방정식이 인 의 원점을 지나는 평면을 , 가 의 임의

의 벡터이고 가 임의의 스칼라

가 과 의 일차결합이고, 따라서 에 있는 벡터임

′이 과 의 일차결합이고, 따라서 에 있는 벡터임

정의 3.4.1 의 벡터들로 이루어진 공집합이 아닌 집합이 스칼라곱과

덧셈에 하여 닫혀 있으면 이 집합은 의 부분공간(subspace).

영부분공간과 의 자명한 부분공간(trivial subspace)

- 51 -

예제1 부분공간이 아닌 의 부분집합

정리 3.4.2 가 의 벡터이면 모든 일차결합

(3)

들의 집합은 의 부분공간이다.

(3)을 만족시키는 의 벡터들로 이루어진 부분공간을 의 생성

(span) :

벡터 는 W를 생성한다

- 52 -

예제3 원점을 지나는 직선과 평면의 생성

의 원점을 지나는 직선과 평면

직선 는 span{}, 평면 는 span{}

예제4 와에서의 부분공간 목록

의 모든 부분공간은 다음 3 범주로 나누어진다.

1. 영 부분공간

2. 원점을 지나는 직선

3. 전체

의 모든 부분공간은 다음 4 범주로 나누어진다.

1. 영부분공간

2. 원점을 지나는 직선

3. 원점을 지나는 평면

4. 전체

- 53 -

선형계의 해공간

=0이 n개의 미지수를 갖는 동차선형계, 해집합은 의 부분공간.

동차선형계의 해집합이 부분공간, 선형계의 해공간(solution space).

의 부분공간인 해공간은 선형계의 일반해( general solution)

정리 3.4.3

Ax=0가 n개의 미지수를 갖는 동차선형계이면 그 해집합은 의 부분공

간이다.

예제5 동차선형계의 일반해 찾기

2.2절의 예제7에서 동차선형계

- 54 -

해공간은 span{}

예제7 미지수가 세 개인 동차계의 기하

동차계의 모든 계수가 영이면 해공간은 전체

- 55 -

정리 3.4.4

(a) A가 n열을 갖는 행렬일 때, 동차계 Ax=0의 해 공간이 전체가

될 필요충분조건은 A=0이다.

(b) A와 B가 n열을 갖는 행렬일 때, A=B가 될 필요충분조건은 의 모

든 x에 하여 Ax=Bx이다.

일차독립

정의 3.4.5 방정식

(9)

을 만족시키는 유일한 스칼라들 가 =0, =0, ..., =0, 의

벡터들의 집합 S={}는 일차독립(linearly independent). 방정식

을 만족시키는 모두가 영이 아닌 스칼라들이 존재하면 집합 S는 일차종

속(linearly dependent).

- 56 -

예제9 영을 포함하는 집합은 일차종속이다

영벡터를 포함하는 의 벡터들의 공집합이 아닌 집합은 일차종속

정리 3.4.6 에서 두 개 이상의 벡터들의 집합 S={}가 일차

종속일 필요충분조건은 S의 벡터 중 적어도 하나는 다른 벡터들의 일차

결합으로 표현.

예제10 두 벡터의 일차독립

- 57 -

예제11 세 벡터의 일차독립

일차독립과 동차선형계

정리 3.4.7 동차선형계 Ax=0가 자명한 해만을 가질 필요충분조건은 A

의 열벡터들이 일차독립인 것이다.

- 58 -

예제12 일차독립과 동차선형계

풀이 (a)동차선형계

풀이 (b)동차선형계

풀이 (c)동차선형계

- 59 -

정리 3.4.8 에서 n개보다 더 많은 벡터들의 집합은 일차종속이다.

평행이동된 부분공간

형태의 벡터들의 집합은 부분공간

을 만큼 평행이동한 집합, (13)은 W=span{}의 방정식이므로,

(12)를 W의 만큼 평행이동된 집합(translation of W by )

- 60 -

통합정리

정리 3.4.9 A가 n×n 행렬이면 다음 명제들은 동치이다.

(a) A의 기약행 사다리꼴은 이다.

(b) A는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

(c) A는 가역행렬이다.

(d) Ax=0 은 자명한 해만을 갖는다.

(e) 의 모든 벡터 b에 하여 Ax=b는 해를 갖는다.

(f) 의 모든 벡터 b에 하여 Ax=b는 오직 한 개의 해만을 갖는다.

(g) A의 열벡터들은 일차독립이다.

(h) A의 행벡터들은 일차독립이다.

- 61 -

3.5 선형계의 기하학

Ax=b와 Ax=0의 관계

Ax=0를 Ax=b에 부수된(associated)동차계

- 62 -

비동차계 (1)의 해집합은 부수된 동차계(2)의 해집합을 벡터

- 63 -

만큼 평행이동한 것 은 (1)의 특이해

정리 3.5.1 Ax=b가 해를 갖는 비동차선형계이고 W가 부수된 동차계

Ax=0의 해집합이면 Ax=b의 해집합은 평행이동된 부분공간 +W이다.

여기서 는 비동차계 Ax=b의 임의의 해이다.

- 64 -

정리 3.5.1로부터 해를 갖는 비동차선형계의 해집합

는 부수된 동차계의 일반해, 를 Ax=b의 특수해(particular solution)

그리고 (4)를 Ax=b의 일반해(general solution)

정리 3.5.2 해를 갖는 선형계 Ax=b의 일반해는 Ax=b의 특수해에 Ax=0

의 일반해에 더해서 얻을 수 있다.

- 65 -

예제1 둘 또는 세 개의 미지수를 갖는 비동차선형계의 기하학

정리3.5.3 A가 m×n행렬일 때 다음 명제는 동치이다.

(a) Ax=0는 자명한 해만을 갖는다.

(b) 의 임의의 b에 하여 Ax=b는 많아야 한 개의 해를 갖는다(즉

해를 갖지 않거나 유일한 해를 갖는다).

정리 3.5.4 방정식보다 미지수가 많은 비동차선형계는 해가 없거나 또는

무한히 많은 해를 갖는다.

- 66 -

벡터관점에서 본 선형계의 해 존재성

Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 b가 A의 열벡터들의 일차결합

정리 3.5.5 선형계 Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 b가 A의 열공간

에 속하는 것이다.

예제2 일차결합 재분석

벡터 w=(9,1,0)를 벡터

들의 일차결합으로 쓸 수 있는지

판정하고, 그렇다면 그런 일차결합을 구하라.

풀이

- 67 -

초평면

을 만족시키는 의 점()들의 집합을 에서 초평면

(hyperplane), (8)에서 b=0이면 방정식은

으로 간소화되고, 초평면은 원점을 통과한다

방정식 (8)과 (9)는 점곱기호

(11)을 원점을 지나고 법선벡터 a인 초평면(hyperplane through the

origin with normal a)또는 a의 직교 여공간(orthogonal complement

of a) 초평면을 ⊥('a perp'라고 읽으라)으로 표기

- 68 -

예제3 초평면 방정식 찾기

a=(1,-2,4)일 때, 초평면⊥에 한 매개변수방정식과 변수 에 관

한 방정식을 찾으라.

풀이

벡터 a의 직교 여공간은 a ․ x=0인 모든 벡터 x=()들로 이루어진다.

이 방정식을 성분형태로 쓰면

매개변수방정식

- 69 -

해공간의 기하학적 설명

동차선형계의 방정식들

(14)에서 방정식의 형식은 선형계의 해공간이 A의 모든 행벡터에 수직

인 의 모든 벡터 x들로 이루어진다는 것

정리 3.5.6 A가 m×n행렬이면 동차선형계 Ax=0의 해공간은 A의 모든

행벡터에 수직인 의 모든 벡터들로 이루어진다.

- 70 -

예제4 해와 행벡터의 직교성

선형계의 계수행렬은

선형계의 일반해

일반해를 벡터

- 71 -

세 개의 미지수를 포함한 동차선형계에 한 해공간의 차원과 기하학적

모양의 관계

세 개의 미지수를 포함한 동차선형계

- 72 -

3.6 특수형태의 행렬

각행렬

주 각선 밖의 모든 성분이 영인 정사각행렬을 각행렬(diagonal

matrix)

(1)

(1)의 역행렬은

(2)

- 73 -

k가 양의 정수이면, (1)의 k거듭제곱은

(3)

예제1 각행렬의 거듭제곱과 역행렬

각행렬

- 74 -

삼각행렬

주 각선보다 위에 있는 모든 성분이 영인 정사각행렬을 하부삼각행렬

(lower triangular matrix), 주 각선보다 아래에 있는 모든 성분이 영인

정사각행렬은 상부삼각행렬(upper triangular matrix)

삼각행렬(triangular matrix)

- 75 -

예제2 삼각행렬

․ 상부삼각행렬일 필요충분조건은 각 행에서 각성분 왼쪽의 모든 성분

이 영인 것. 모든 에 하여 행은 적어도 -1개의 영으로 시작.

․ 하부삼각행렬일 필요충분조건은 각 행에서 각성분 위쪽의 모든 성분

이 영인 것. 모든 에 하여 열은 적어도 -1개의 영으로 시작.

․ 상부삼각행렬: 주 각성분 왼쪽이 영인 것. >이면 =0.

․ 하부삼각행렬: 주 각성분 오른쪽이 영인 것. <이면 =0

- 76 -

예제3 정사각행렬의 행사다리꼴은 상부삼각행렬이다.

정리 3.6.1

(a) 하부삼각행렬의 전치행렬은 상부삼각행렬이고, 상부삼각행렬의 전치

행렬은 하부삼각행렬이다.

(b) 하부삼각행렬들의 곱은 하부삼각행렬이고, 상부삼각행렬들의 곱은

상부삼각행렬이다.

(c) 삼각행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 그 각성분 모두가 영이 아

니다.

(d) 가역 하부삼각행렬의 역행렬은 하부삼각행렬이고, 가역 상부삼각행

렬의 역행렬은 상부삼각행렬이다.

- 77 -

예제4 삼각행렬이 포함된 계산

삼각행렬

, AB , BA는 상부삼각행렬

칭행렬과 반 칭행렬

정사각행렬 A가 =A이면 칭행렬(symmetric matrix)

=-A이면 반 칭행렬(skew-symmetric matrix)

- 78 -

A=[]가 칭행렬일 필요충분조건 :

A가 반 칭행렬일 필요충분조건 :

정리 3.6.2 A와 B가 같은 크기의 칭행렬이고 k가 임의의 스칼라이면

(a) 는 칭행렬이다.

(b) A+B와 A-B는 칭행렬이다.

(c) kA는 칭행렬이다.

- 79 -

2 칭행렬의 곱은 칭행렬이 아님 : A와 B를 같은 크기의 칭행렬

AB=BA일 때에만 (=AB, 즉 A와 B가 교환

정리 3.6.3 두 칭행렬의 곱이 칭행렬일 필요충분조건은 그 행렬들이

교환될 때이다.

칭행렬의 가역성

정리 3.6.4 A가 가역 칭행렬이면, 는 칭행렬이다.

와 형의 행렬

- 80 -

A가 m×n행렬이면 는 n×m행렬, 곱 와 는 정사각행렬이며

의 크기는 m×m, 의 크기는 n×n.

A의 열벡터들이 ⋯ 이면 의 행벡터들은 이므로

행렬곱의 행-열 규칙 또는 점곱규칙(정리 3.1.7)

⇒는 칭행렬

- 81 -

정리 3.6.5 A가 정사각행렬이면 행렬 , , 는 모두 가역행렬이

거나 모두 특이 행렬이다.

행렬의 고정점

A가 n×n행렬이고 방정식 Ax=x를 만족시키는 의 모든 벡터. 벡터들

은 A를 곱하였을 때 변하지 않고 그 로 남아 있으므로 이 방정식의 해

를 A의 고정점(fixed point), A0=0이므로 벡터 x=0은 임의의 행렬 A의

고정점.

Ax=x를 x-Ax=0으로 또는 동치형태인

해들이 A의 고정점들인 동차선형계

- 82 -

예제6 행렬의 고정점

행렬

의 고정점

풀이

- 83 -

A의 거듭제곱이 영인 행렬일때 I-A의 역행렬을 구하는 방법

가 임의의 실수이고 가 양의 정수이면 수적 항등식

(11)

어떤 양의 정수 에 하여 공교롭게도 =0이면 (11)은

정리 3.6.6 A가 정사각행렬이고 =0가 되는 양의 정수 가 존재하면

행렬 I-A는 가역행렬이고

(12)

양의 정수 에 하여 =0인 정사각행렬 A를 거듭제곱이영인(nilpotent)

행렬, =0인 가장 작은 양의 정수를 멱영지표(index of nilpotency)

- 84 -

예제7 A의 거듭제곱이 영일 때 I-A의 역행렬 구하기

순상부삼각행렬(strictly upper triangular matrix)

순하부삼각행렬(strictly lower triangular matrix)

순삼각행렬(strictly triangular matrix)

- 85 -

거듭제곱수에 의한 I-A의 역행렬 구하기(미적분 사용)

이면 방정식

I-A가 가역이면

일때 근사값

- 86 -

정리 3.6.7 A가 n×n행렬이고 각 열(또는 각 행)의 성분들의 절 값의

합이 1보다 작으면 I-A는 가역행렬이고

(18)

공식(18)을 의 거듭제곱급수표현(power series representation)

예제8 거듭제곱급수에 의한 의 근사값 구하기

행렬

I-A는 가역행렬이고

- 87 -

- 88 -

3.7 행렬 인수분해및 분해

인수분해로 선형계 풀기

정사각행렬 A를 하부행렬 L과 상부행렬 U의 곱의 형

다음과정을 거쳐 선형계 Ax=b를 풀 수 있다.

1단계. 선형계 Ax=b를 다음과 같이 쓴다.

2단계. 새로운 미지수 y를

로 정의하고 (2)를 y=b로 쓴다.

3단계. 선형계 y=b를 미지수 y에 관하여 풀라.

4단계. 이제 구한 벡터y를 (3)에 입하여 x에 관하여 풀라.

- 89 -

분해(decomposition)방법

Ax=b를 푸는 문제를 두 개의 선형계 y=b와 를 푸는 문제

예제1 Ax=b를 분해를 사용하여 풀기

- 90 -

전진 입(forward substitution)

- 91 -

분해 찾기

정의 3.7.1 정사각행렬 A가 하부삼각행렬 L과 상부삼각행렬 U의 곱

A=LU를 분해 또는 인수분해(factorization).

A는 행교환 없이 기본행연산에 의해 행사다리꼴 U로 변환된 n×n행렬

- 92 -

정리 3.7.2 정사각행렬 A를 행교환 없이 Gauss소거로 행사다리꼴로 변

환할 수 있으면 A는 분해를 갖는다.

A의 분해를 구하는 과정

․ 어떤 행도 바꾸지 말고 A를 행사다리꼴 U로 변환하라.

․ 실행된 행연산의 순서에 응하는 기본행렬들을 라고 하자.

․ (11)

․ 는 A의 분해이다.

공식(11)에서 L을 계산할 필요가 없다.

A를 U로 변환시킨 행연산들이 그 순서로 L을 I로 변환

- 93 -

1단계. 선행 1 을 만들기 위해 사용한 곱하는 수와 선행 1 아래 성분을

0으로 만들기 위해 사용한 곱하는 수를 이용하여, 행을 바꾸지

않고 A를 행사다리꼴 U로 변환시킨다.

2단계. L의 주 각선 위치에는 U의 같은 위치에 있는 성분을 선행 1로

만들기 위하여 곱하는 수의 역수를 넣으라.

3단계. L의 주 각선 아래 위치에는 U의 같은 위치에 있는 성분을 0으

로 만들기 위하여 선행 1에 곱하는 수의 음수를 넣으라.

4단계. 분해를 구성하라.

- 94 -

예제2 분해 구성

의 분해

풀이

- 95 -

- 96 -

Gauss 소거와 분해의 관계

Gauss 소거와 분해 사이에는 밀접한 관계, Ax=b는 n개의 미지수에

관한 n개의 방정식의 선형계, A는 행을 바꾸지 않고 행사다리꼴로 변환

시킬 수 있고, 는 응하는 분해

분해 방법에서 선형계 Ax=b는 먼저 Ly=b를 y에 관해서 풀고

Ux=y를 x에 관해서 푼다.

Ax=b의 양변에 ․․․을 곱하면

- 97 -

A를 U로 변환시키는 행연산이 b에 적용되면 벡터 y, Gauss소거 과정은

붙인 행렬 [A｜b]를 [U｜y]로 변환시켜서 마지막 열에서 방정식 Ly=b

의 해를 산출

예제3 분해로 실행된 Gauss소거

예제1에서 계수행렬의 분해를 이용하여 선형계

선형계를 푸는 과정에서 선형계(7)을 풀기 위하여 전진 입을 이용하여

중간벡터

- 98 -

- 99 -

분해에 의하여 역행렬 만들기

A를 n×n 가역행렬

=[․․․] =

의 열벡터들이 n개의 선형계

LDU-분해

L의 각성분들을 각행렬 D로 ‘이동’시켜서 L을 주 각선 성분들이 1

인 하부행렬 L'와 D의 곱

- 100 -

예를들면 (4)는

A가 행교환없이 행사다리꼴로 변환될 수 있는 정사각행렬이면 A는 유일

하게 로 인수분해, L은 주 각선 성분이 1인 하부삼각행렬, D는

각행렬, U는 주 각선 성분이 1인 상부삼각행렬, LDU-분해(또는

LDU-인수분해)

- 101 -

행교환에 응하는 기본행렬을 곱하여 행렬 P를 구성하고 곱 PA를 구성

함으로써 A에 모든 행교환을 실행, 모든 행교환은 이제 하지 않아도 되

므로 행렬 PA는 행교환 없이 행사다리꼴로 변환될 수 있어서 분해

선형계 Ax=b 와 PAx=Pb

선형계를 푸는 데 드는 비용과 플롭스

컴퓨터 용어로 두 실수에 한 연산(+, -, * , ÷)은 ‘부동소수점 연산

(floating-point operation)' 플롭(flop)

Ax=b를 Gauss-Jordan소거

n개의 미지수에 한 n개 방정식의 선형계

- 102 -

1단계. 첫 행에 선행 1을 도입하는 데 n플롭스(곱셈)

2단계. 선형 1밑으로 영을 도입하는 데 n번의 곱셈과 n번의 덧셈

2n(n-1)

1열. 1단계와 2단계를 조합 1열에 필요한 플롭스의 수

- 103 -

2열. 2열에 필요한 플롭스 수

3열.

전체 열의 합계. 플롭스의 총수

후진단계(역 입)를 완료하는 데 필요한 연산의 수

n열. n열의 선행 1위에 영을 도입하는 데 n-1번 곱셈과 n-1번 덧셈

플롭스의 총수는 2(n-1)

- 104 -

(n-1)열. (n-1)열에 필요한 플롭스 수는 2(n-2)

(n-2)열. (n-2)열에 필요한 플롭스 수는 2(n-3)

합계. 후진단계를 완료하는 데 필요한 플롭스 총수

- 105 -

Gauss-Jordan소거에 하여 전진과 후진단계에 필요한 플롭스 수

Gauss-Jordan소거로 선형계를 푸는 데 드는 총 비용

선형계를 푸는 데 드는 비용 계산

- 106 -

예제4 선형계를 푸는 데 드는 비용

초당 10기가 플롭스를 실행할 수 있는 컴퓨터, 10,000개의 미지수를 갖

는 10,000개 방정식의 선형계에 하여 Gauss-Jordan소거의 전진과 후

진단계를 실행하는 데 필요한 시간

풀이

초당 10기가플롭스 속도로 전진과 후진단계에 한 실행시간

- 107 -

- 108 -

선형계를 푸는 알고리즘을 선택할 때 고려사항

분해는 다음과 같은 방법을 선택할 수 있도록 하는 다른 이점

․ Gauss-Jordan소거(또는 Gauss소거)는 붙인 행렬 [A｜b]을 이용하므

로 b는 반드시 알아야 한다. 반면에, [분해는 행렬 A만을 사용하

므로 일단 분해]

․ Ax=b를 풀기 위하여 계산한 분해는 필요하다면, 를 계산하는

데 이용

․ 선형계를 푸는 데 요구되는 메모리양을 줄여 준다.

․ A가 부분 영으로 이루어진 행렬이고 영이 아닌 성분은 주 각선

주위에 집단으로 집중 [Gauss-Jordan소거보다 우월한 분해]

- 109 -

3.8 분할된 행렬과 병렬처리

일반적인 분할

여러 가지방법으로[블록(block)이라고도 부르는]부분행렬(submatrix)들

로 분할(partition)

이 절차를 블록곱셈(block multiplication)

- 110 -

예제1 블록곱셈

분할된 행렬

곱 AB에 한 블록행-열규칙

정리 3.8.1 (열-행규칙) m×s행렬 A와 s×n행렬 B가 열벡터와 행벡터

A=․․․ 와 B=

․․․

- 111 -

로 분할되면

AB= ․․․ (2)

AB를 열벡터와 행벡터의 곱들의 합(외적): 외적규칙(outer product rule)

블록 각행렬

A를 블록 각행렬(block diagonal matrix)

는 정사각행렬

(3)에서 행렬 A가 가역행렬일 필요충분조건은 주 각선 위의 각 행렬이

가역행렬

- 112 -

예제3 블록 각행렬의 역행렬 구하기

블록 각행렬

블록상부삼각행렬

분할된 정사각행렬 A의 주 각선 위의 행렬들이 정사각행렬이고 주 각

선 아래의 모든 행렬들이 영이면 A는 블록상부삼각행렬(bolck upper

- 113 -

triangular matrix)

는 정사각행렬

블록하부삼각행렬(bolck lower triangular matrix)

블록상부삼각행렬

과 가 가역일 때 ⇒ 행렬 A는 가역행렬

(6)

A의 역행렬을 구하는 작업이 병렬처리(parallel processing)

- 114 -

예제4

가역 블록상부삼각행렬임을 확인하고 공식 (6)을 이용하여 역행렬

풀이

정리 3.2.7로부터 과 는 가역행렬

- 115 -