3. előadás3. előadás

A sokaság/minta A sokaság/minta eloszlásának jellemzéseeloszlásának jellemzése

tipikus értékek meghatározása;az adatok különbözőségének

vizsgálata, a sokaság/minta eloszlásgörbéjének

elemzése.

EloszlásjellemzőkEloszlásjellemzőkKözépértékek Szóródási mérőszámok

helyzeti (Me, Mo) számított

szórás ( ) relatív szórás (V) terjedelem (R) interkvartilis

terjedelem (IQR) Aszimmetria mérése Egyéb jellemzők

Pearson-féle mutató (A)

F mutató β1 mutató grafikus ábrázolás

koncentráció kvantilisek momentumok grafikus ábrák

Középértékekkel szembeni Középértékekkel szembeni követelményekkövetelményekegyértelmű számítás;tipikus, jellemző értékek legyenek;szemléletes, jó értelmezhetőség;közepes helyzet Xmin K Xmax

Középértékek jellemzőiKözépértékek jellemzőiA mennyiségi ismérvet egyetlen

számmal jellemzik.Dimenzió: az ismérv

mértékegysége.

Középértékek :Középértékek :

x

hx

gx

qx

SzámtaniSzámtani átlagátlag

Az a szám, amelyet az átlagolandó értékek helyére téve azok összege változatlan marad.

SzámtaniSzámtani átlagátlagEgyedi értékeknél:

Súlyozott forma:

n

x

n

xxxx

n

ii

n

121 ...

i

n

iii

f

xfx 1

A számtani átlag matematikai A számtani átlag matematikai tulajdonságaitulajdonságaiAz egyes elemek - átlagolandó értékek -

átlagtól való eltéréseinek összege 0:

Ha minden egyes elemhez hozzáadunk egy "a" konstans értéket, az így kapott elemek számtani átlaga "a"-val tér el az eredeti elemek átlagától.

Ha minden egyes elemet megszorzunk egy "b" konstans értékkel, akkor az így kapott elemek átlaga "b"-szerese lesz az eredeti elemek átlagának.

i=1

n

ix - x = 0

A számtani átlag matematikai A számtani átlag matematikai tulajdonságaitulajdonságai

Ha az x1, x2, ..., xn elemek átlaga , az y1, y2, ..., yn elemek átlaga ,

akkor az x1 + y1; x2 + y2; ...; xn + yn átlaga lesz.

Az elemek mindegyikéből egy tetszőleges "a" állandót levonva ezen eltérések négyzetösszege akkor lesz minimális, ha az "a" állandó éppen az ,azaz

yx

xy

x

i=1

n

ix - a 2minimális, ha a = x

Példa a számtani átlag Példa a számtani átlag tulajdonságairatulajdonságaira

xi xi+50 xi·1,1 Z=

100 150 110 210

150 200 165 315

210 260 231 441

240 290 264 504

300 350 330 630Σ 1000 1250 1100 2100

200 250 220 420x

A számtani átlag előnyös A számtani átlag előnyös tulajdonságaitulajdonságaiVilágos, érthető fogalom, számítása

egyszerű.

Minden adathalmaznak létezik számtani átlaga, s egy van belőle.

Minden elem figyelembe vételével kerül kiszámításra.

Kiszámításához nem szükséges az egyedi értékek ismerete, elegendő azok összegét tudni.

A számtani átlag hátrányos A számtani átlag hátrányos tulajdonságaitulajdonságai

A kiugró értékekre (ún. outlier-ekre) érzékeny. (nyesett átlag –trimmed mean)

Osztályközös gyakorisági sor alkalmazása esetén nem tudjuk figyelembe venni az egyedi értékeket.

Nyitott osztályközök használatakor adatvesztés.

Geometriai átlag

Geometriai átlag az a szám, amelyet az egyedi értékek helyére írva azok szorzata változatlan marad.

Egyedi értékek esetén:

x xg

n

in

i 1

Súlyozott átlagforma:

n fi

n

1ig

ixπx

A GDP volumenindexének A GDP volumenindexének alakulása Magyarországonalakulása Magyarországon

Időszak Előző negyedév=100%

2008. I. n.év 100,9

2008. II. n.év 99,8

2008. III. n.év 99,0

2008. IV. n.év 98,1Forrás: KSH Gyorstájékoztató

%4,99994,0978,04981,099,0998,0009,14 gx

A változás átlagos üteme:

Megoszlási viszonyszám és Megoszlási viszonyszám és dinamikus viszonyszám közötti dinamikus viszonyszám közötti kapcsolatkapcsolat

TelepÁrbevétel (MFt) Árbevétel

megoszlásaDinamikus viszonyszá

m (%)t0 t1 t0 (%) t1 (%)

A 30 36 20 19 120

B 40 60 27 32 150

C 70 77 47 41 110

D 10 14,5 6 8 145

Összesen

150 187,5 100 100 125

25,1

4,15,14

1,177

5,160

2,136

5,187

VA

AV

25,11

45,106,01,147,05,127,02,12,0

B

VBV

25,1150

45,1101,1705,1402,130

B

VBV

25,1150

5,187

B

AV

i

i

i

i

ii

i

ii

Súlyozott átlagokSúlyozott átlagok

xi: átlagolandó értékek

fi: súlyok

A súlyozott átlag nagysága függ:az átlagolandó értékek abszolút

nagyságától,a súlyarányoktól (a súlyok

egymáshoz viszonyított arányától),súlyként fi/n=gi is használható.

Mennyiségi csoportosító Mennyiségi csoportosító sorok fajtáisorok fajtáiEgy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok

Vízfogyasz-tás (m3)

Lakások

száma

f’ g(%) g’(%) s(m3) z(%)

– 15 5 5 10 10 50 3

15 – 25 17 22 34 44 340 24

25 – 35 15 37 30 74 450 32

35 – 45 8 45 16 90 320 23

45 – 5 50 10 100 250 18

Összesen 50 - 100 1410 100

Köszönöm a figyelmetKöszönöm a figyelmet