3. 학생들은 그래프 y=(a-k)2+ p 가 다음과같은 성질을 가짐을 이해한다 . ( 대수영역 )

1. 피타고라스 정리를 발견학습을 통하여 지도하는 방법을 생각해보자 . ( 기하영역 )

2. 구체적 모델을 이용하여 인수분해하기 .( 기능영역 )

피타고라스 정리를 발견학습을 통하여 지도하는 방법을 생각해보자 .

1 단계 : 문제를 정의한다 .2 단계 : 자료를 모으고 , 분석하고 조직한다 .3 단계 : 가설을 세운다 .

4 단계 : 가설을 증명 ( 검증 ) 한다 .

5 단계 : 응용하기 .

기하영역

1 단계 : 문제를 정의한다. 3

45

1 2

68

10

3

67

8

45

1213

1 단계 : 문제를 정의한다.

4 cm

3 cm 5 cm

34

51

1 단계 : 문제를 정의한다.

4 cm

3 cm 5 cm

S1

S2

S3

S1 = 16

S2 = 9

S3 = 25

2 단계 : 자료를 모으고 , 분석하고 조직한다 .3

45

1 2

68

10

3

67

8

45

1213

4 cm

3 cm 5 cm

S1

S2

S3

S1 = 16

S2 = 9

S3 = 25

2 단계 : 자료를 모으고 , 분석하고 조직한다 .

S1 = 42

S2 = 32

S3 = 52

따라서 , S1 + S2 =S32 2 2

3 단계 : 가설을 세운다 .

a cm

b cm c cm

“ 직각삼각형에서 빗변 ( c ) 의 제곱은 지각을 낀 나머지 두 변 (a, b) 의 제곱의 합과 같다 .”

즉 , a + b = c2 2 2

4 단계 : 가설을 증명 ( 검증 ) 한다 .

△ABC ≡ △DEB ≡ △FGE ≡ △HCG( 왜냐하면 SAS 에 의하여 )

따라서 , BC = BE = EG = GC = a

∠EGC = CBE = GCB = GEB = R∠ ∠ ∠ ∠또 ,

( 왜냐하면 ○ +×=90°인데 , 180-(○+×)=90°)∴□GEBC 는 정사각형이다 .

F

AH

DE

G B

bc

a

C

x

4 단계 : 가설을 증명 ( 검증 ) 한다 .

E

G

C

B

F

AH

DE

G B

bc

a

C

×4=-

a = (b+c) -4× bc ⇔ a = b +2bc + c -2bc2 2 2 2 21 2

∴a = b + c2 2 2

5 단계 : 응용하기 .

a cm

b cm c cm

a + b = c2 2 2

첫째 , 순수 발견적 지도

둘째 , 인도된 발견적 지도

교사가 문제장면 ( 과제 ) 만 제공하고 교사의 도움은 거의 안 받고 학생들 스스로 직관과 구체적 자료를 모으고 , 분석하고 , 조직하여 주어진 과제의 목표에 도달하게 하는 방법이다 .

교사가 수업을 이끌어 가는데 사전에 계획된 절차와 오류를 최소화하면서 질문이 필요하면 핵심 아이디어를 제공한다 .

교사A :

정육면체를 손에 들고 꼭지점 , 면 , 변 등을 지적하면서 V+F=E+2 라고 칠판에 쓴다 . 다음 다른 다면체에서도 이러한 관계가 성립하는가 확인하라고 지시한다 .

오일러 공식의 지도하는 방법에서

교사 B : … 교사는 꼭지점 , 면 , 변을 정사면체에서 지적하고, 다음 표를 완성하도록 한다 . 다음 V+F 와 E+2 와는 어떤 관계가 있는가라는 질문을 한다 .

다면체 꼭지점의 수 (V)

면의 수(F)

변의 수(E)

V+F E+2

정 4 면체정 6 면체정 8 면체정 12면체정 20면체

… 꼭지점 , , 면 , 변을 지적하고 , 학생을 소집단으로 나누어 , F, E, V 의 관계를 구하도록 지도한다 .

교사 C :

교사 D : … 교실에 들어온 즉시 아무 말을 하지 않고 칠판에 “정사면체에서 V, F, E 의 관계를 말하라”라고 쓰고 여러 학생들에게 몇 개의 정다면체를 나누어 준다 .

오일러 공식의 지도하는 방법에서

교사A :

정육면체를 손에 들고 꼭지점 , 면 , 변 등을 지적하면서 V+F=E+2 라고 칠판에 쓴다 . 다음 다른 다면체에서도 이러한 관계가 성립하는가 확인하라고 지시한다 .

오일러 공식의 지도하는 방법에서

교사 B : … 교사는 꼭지점 , 면 , 변을 정사면체에서 지적하고, 다음 표를 완성하도록 한다 . 다음 V+F 와 E+2 와는 어떤 관계가 있는가라는 질문을 한다 .

교사 A 는 발견적 지도방법이 아니다 .

교사 B 는 비교적 자세하게 지침을 준 발견적 지도방법이 이다 .

교사 D : … 교실에 들어온 즉시 아무 말을 하지 않고 칠판에 “정사면체에서 V, F, E 의 관계를 말하라”라고 쓰고 여러 학생들에게 몇 개의 정다면체를 나누어 준다 .교사 D 는 비교적 순수 발견적 지도 방법을 강조하고 있다 .

… 꼭지점 , , 면 , 변을 지적하고 , 학생을 소집단으로 나누어 , F, E, V 의 관계를 구하도록 지도한다 .

교사 C :

교사 C 는 비교적 학생들과 학생들 , 학생들과 교사 간의 상호작용을 강조하고 있다 ..

기능영역에 해당되는 수학내용이라도 이해를 필요로 하는 영역은 이 방법으로 지도할 수 있다 .

기능영역

과제명 : 구체적 모델을 이용하여 인수분해하기 .

목표 : 구체적 모델을 이용하여 다항식을 인수로 분해하고상징 적 수준에서 인수분해의 어떤 규칙을 발견하는 데 있다 .

활동 1 : 교사는 다음 그림과 같은 사각형을 두꺼운 종이에서종이에서 오려낸다 .

x

x

x 2 1x 1x 1x

1 1 1 1

1

1

1

1

(2) 이 때 , 가로와 세로는 어떻게 나타나는가 ?

X +1

X + 2

다음에는 x +3x+2 는 한 개의 정사각형 , 세 개의 직사각형 , 두 개의 정사각형이므로 다음과 같은 질문을 준다 .

2

(1) x +3x+2 에 해당하는 사각형들을 적당히 짜맞추어직사각형 모양을 만들 수 있는가 ?2

x +3x+2 =2

활동 1 : 교사는 다음 그림과 같은 사각형을 두꺼운 종이에서종이에서 오려낸다 .

(x+1)(x+2)

다음 문제를 풀어보자 .

x +6x+6= ( )( ) 2x +7x+3 = ( )( )

x +6x+8= ( )( ) 2x +5x+3 = ( )( )

x +8x+15= ( )( ) 3x +5x+2 = ( )( )

x +7x+12= ( )( ) 2x +7x+6 = ( )( )

x +2x= ( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

x + 1 x + 5 2x+ 1 x + 3

x + 2 x + 4 2x+ 3 x + 1

x + 3 x + 5 3x+ 2 x + 1

x + 3 x + 4 2x+ 3 x + 2

x x + 2

활동 2 : 앞의 연습에서 x +bx+c=(x+p)(x+q) 임을 알았으므로 이제는 다음과 같은 두 개의 질문을 통하여 어떤 규칙을 산출해 내도록 한다 .

(1) p, q 와 c 와는 어떤 관계가 있는가 ?

(2) p, q 와 b 와는 어떤 관계가 있는가 ?

x +6x+6= ( )( ) x +7x+6 = ( )( )

x +6x+8= ( )( ) x +7x+10 = ( )( )

2 2

2 2

x + 1 x + 5 x + 1 x + 6

x + 2 x + 4 x + 2 x + 5

알고리즘을 발견했으면 다음 문제를 인수분해 해보자 .

x +5x+6= ( )( ) x +9x+20 = ( )( )

x +6x+9= ( ) x +10x+9 = ( )( )

2 2

2 2

x + 2 x + 3 x+ 4 x + 5

x + 3 x+ 1 x + 92

2

(1) p, q 와 c 와는 어떤 관계가 있는가 ?

(2) a, p, q 와 b 와는 어떤 관계가 있는가?

알고리즘을 발견했으면 다음 문제를 인수분해 해보자 .

활동 3 : 앞에서 ax +bx+c 형태의 인수분해를 면적을 통해 연습 했으므로 다음 두 가지 질문을 통해 ax +bx+c = (ax+

p) (x+q) 의 알고리즘을 스스로 산출하도록 한다 .

2

2

ax +bx+c = (ax+p)(x+q)2

2x +7x+6=( )( ) 2x +13x+15=( )( )

2x +9x+4=( )( ) 3x +10x+8=( )( )

2

2

2

2

2x+3 x + 2 2x+10 x + 3

2x+1 x + 1 3x+ 4 x + 2

활동 4 : 이번에는 x -3x+2=( )( ) 와 같이 x 의 계수 또는상수의 부호가 음인 경우이다 . 다음과 같은 조작활동을 통해 x -3x+2=(x-2)(x-1) 을 유도한다 . 검은 직사각형은 전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다 .

2

2

x

x 1 1 11

11

x

x 1

11

활동 4 : 이번에는 x -3x+2=( )( ) 와 같이 x 의 계수 또는상수의 부호가 음인 경우이다 . 다음과 같은 조작활동을 통해 x -3x+2=(x-2)(x-1) 을 유도한다 . 검은 직사각형은 전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다 .

2

2

∴ x -3x+2=

(x-1)(x-2)

2

그럼 , 다음 문제를 풀어보자 .

활동 4 : 이번에는 x -3x+2=( )( ) 와 같이 x 의 계수 또는상수의 부호가 음인 경우이다 . 다음과 같은 조작활동을 통해 x -3x+2=(x-2)(x-1) 을 유도한다 . 검은 직사각형은 전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다 .

2

2

x -2x+1=( ) x -5x+6=( )( )

x -6x+8=( )( ) 2x -5x+2=( )( )

2 2

22

x – 1 x – 2 x – 3

x – 2 x – 4 2x- 1 x - 2

2

활동 5 : 활동 2 와 활동 3 과 같은 내용의 발견을 한 다음 , 여기서얻어낸 알고리즘을 다음 보기와 같은 방법으로 연습한다 .

x - 8x + 12 = ( x - 6 )( x - 2 )2

x -6 = -6x

x -2 = -2x

x + x – 6 2x + x – 10

x - 13x +15 3x -14x -5

2

2

2

2

지금까지 제시한 보기들은 주로 활동적인 학습 . 즉 , 구체적인 활동을 용이하게 제시할 수 있는 내용들이었기 때문에 구체물 조작 , 작도 등이 가능한 것들이었으나 대수분야에서는 이러한 활동이 어렵다 .

앞에서 제시한 발견적 지도의 절차를 단계별로 구분하지 않고 다음과 같은 계열로 이끌어 갈 수 있다 .

대수영역

(1) a>0 일 때 , 그래프는 위로 오목하고 , 점 (k ,p)에서최소값을 가진다 .

(2) a<0 일 때 , 그래프는 아래로 오목하고 , 점 (k ,p)에서최대값을 가진다 .

(3) 그래프는 직선 x=k 를 대칭축으로 한다 .

과제 : 학생들은 그래프 y=a(x-k) + p 가 다음과같은 성질을 가짐을 이해한다 .

2

( 가 ) 학생들은 대응표를 만들어 그래프 용지에 다음과 같은이차함수의 그래프를 그린다 .

y=2x, y=-2x, y= x, y=- x2 2 2 21 4

1 4

( 가 ) 학생들은 대응표를 만들어 그래프 용지에 다음과 같은이차함수의 그래프를 그린다 .

다음 교사는 앞의 그래프를 보고 다음을 빨리 그려 보 도록 한다 .

y=4x, y=-4x, y= x, y=- x2 2 2 21 8

1 8

이러한 연습이 끝난 다음 , 교사는 다음을 학생들과 토론한다 .

(1) 마지막 네 문제를 앞의 열 문제에서 보여 준그래프를 이용하여 어떻게 빨리 그릴 수 있는가 ?

(2) y=ax 이 a 의 값 ( 음 , 양 ) 에 따라 그래프의 방향과 폭이 어떻게 변하는가 ?

2

( 나 ) 교사는 다음 문제의 대응표를 만들어 그래프를 그려본다 . y= x + 2 y=-x + 22 2

위의 그래프를 이용해서 대응표 없이 다음 그래프를 그려보게 한다 .

y= x + , y=-x -1 2

1 2

2 2

이러한 연습이 끝난 다음 ( 가 ) 에서 제시한 비슷한 토론을 교사가 유도한다 . 즉 ,

(1) 나중 두 문제의 그래프를 앞의 문제를 통하여대응표 없이 그릴 수 있는가 ?

(2) y=ax + c 의 그래프는 c 의 값에 따라 어떻게모양이 바뀌는가 ?

2

( 다 ) 교사는 두 가지 연습을 시도한다 . 방법은 앞의 ( 가 ), ( 나) 에서와 같이 한다 .

첫째 연습 y=a(x-k) 에서 k 의 역할을 일반화 할 수 있게 하는 연습 및 토론 , 둘째 연습 y=a(x-k) +p 에서 p 의 역할 을 일반화할 수 있게 하는 연습 및 토론 , 이러한 연습이 가능한 학생 스스로 이루어진 다음 교사는 다음과 같은 두 문제를 제시하여 종합하면서 토론을 끝낸다 .

2

2

y=2(x+3) +1, y=2(x-3) +12 2

위의 보기는 대수분야에서 일어나는전형적인 발견적 지도이다 .

여기서는 논증과 같은 증명방법은 없으나 앞에서 제시한 절차를 따라갔다 .

2 단계 : 자료를 모으고 , 분석하고 조직한다 . ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 를 제시한다 .

3 단계 : 가설을 세운다 . 쉽게 가도록 계산식을 제시한다 .

1 단계 : 문제를 정의한다 . ‘ 교사가 발견하려는 과제의 성격을 이야기해 주고 복잡한 그래프 y=a(x-k) +p 를 어떻게 하면 쉽게 그릴 수 있을까’로 동기유발 한다 .

2

4 단계 : 가설을 증명 ( 검증 ) 한다 . y=a(x-k) +p 에서 a, p, k 의 관계를 일반화 시킨다 .

2

5 단계 : 응용하기 . y=ax +bx+c ( a≠0 )

2

중 · 고등학교 교과서에서 대수분야는 이러한 보기를 통해서 가능한 과제를 선택하여 교재개발을 할 수 이다 .

이러한 활동은 학생들에게는 전혀 알지 못하는 수학 분야를 자기가 만들어 본다는 관점에서 유익한 기회가 된다. 교사는 이미 알고 있는 내용이기 때문에 잘못하면 학생들의 발견 분위기를 침해할 수 있으므로 사전 에 지침 ( 질문 ) 의 수준을 계획하여 인도된 발견과정 이 이루어지도록 해야 한다 .

이러한 발견학습은 다음과 같은 관점에서 권장할 만한 지도 방법이다 .

(1) 부르너는 어떤 과제의 성취는 개인의 학습에대한 탐구의욕 , 추측의 지향 , 스스로 문제를 해결할 수 있다는 태도의 개발과 관련이 있다고 말한다 . 학생에게 발견학습은 이러한 분위기를 만들어 준다 .

(2) 발견학습은 익숙하지 않은 문제장면 (예를 들어직장에서 직면하는 수학적인 문제 ) 을 스스로 해결해 보려는 일반적인 문제 해결 전략을 세우게 하는 태도 와 관심을 주게 한다 . 즉 어려운 문제 해결에 도전하려 는 태도 , 알맞은 풀이 전략을 이끌어내려 하는 지적활 동이 보다 중요하다 . 발견학습은 이러한 면에 도움을 줄 수 있는 학습이다 .

이러한 발견학습은 다음과 같은 관점에서 권장할 만한 지도 방법이다 .

(3) 발견학습 과정에서 일어나는 활동 –소집단을 형성하여 자료를 모으고 분석하기 , 가설을 세우고 비교 하기 등 - 은 다른 학생들의 생각을 듣고 비판 하고 , 예측하는 기회를 제공함으로써 합리적인 생 각을 하게 되고 대화기술이 향상되는 효과를 얻을 수 있다 .

(4) 수학을 만드는 과정에서 학생들이 직접 참여했기 때문에 , 단순히 결과만을 중시하고 필요하면 암 기하는 학습보다 오랫동안 이해활동이 지속되어 다른 과제를 해결하는 데 재발견의 기회가 증대된 다 .

그러나 , 수업의 속도를 고려한다면 발견학습은 비효과적일 수밖에 없다 .

이상으로 발표를 마치겠습니다 .