3.1 Elementarne funkcije

3.1.1 Polinom

Funkcija f : R→ R zadana formulom

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

gdje je n ∈ N0 te su an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R, zadani brojevi takvi da an 6= 0 naziva se

polinom n−tog stupnja. Brojevi an, an−1, . . . , a1, a0 nazivaju se koeficijenti polinoma,

a specijalno se an zove vodeći koeficijent, a a0 slodobni koeficijent.

Teorem 1. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0,

g(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + . . .+ b1x+ b0,

su jednaki ako i samo ako je m = n i ai = bi, ∀i = 0, 1, . . . , n.

Svaki broj α, realan ili kompleksan, za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f.

• Specijalno , ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku

f(x) = c, c ∈ R \ {0}

i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je

paralelan s x−osi. Ako je f(x) = 0, ∀x ∈ R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov

stupanj ne definiramo).

Teorem 2. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 je nul

polinom ako i samo ako su svi koeficijenti ai = 0, ∀i = 0, 1, . . . , n.

Slika 1: Graf konstante

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

1

• Specijalno , ako je n = 1 onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku

f(x) = kx+ l, k 6= 0

i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni

koeficijent odsječak na y−osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: − lk. Linearna

funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0.

Graf linearne funkcije je pravac y = kx+ l.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

(a) k > 0

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

(b) k < 0

Slika 2: Graf linearne funkcije

• Specijalno , ako je n = 2 onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku

f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0

i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj

D = b2 − 4ac.

Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli:

x1,2 = −b±√D

2a .

2

Ako je

� D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednos-

truke nultočke),

� D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku

nultočku),

� D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke.

Tjeme kvadratne funkcije je točka

T (x0, y0) = T (− b

2a,4ac− b2

4a ).

Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y−osi.Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na inter-

valu (−∞, x0), u x0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y0 te je strogo rastuća na

intervalu (x0,+∞).

Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na inter-

valu (−∞, x0), u x0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y0 te je strogo padajuća na

intervalu (x0,+∞).

3

Slika 3: Graf kvadratne funkcije

1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

10

(a) a > 0, D < 0,

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

(b) a > 0, D = 0,

-4 -2 2 4

-5

5

10

(c) a > 0, D > 0,

1 2 3 4 5 6

-8

-6

-4

-2

(d) a < 0, D > 0,

1 2 3 4 5 6 7

-8

-6

-4

-2

(e) a < 0, D = 0,

-1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

(f) a < 0, D < 0,

Zbrajanje i množenje polinoma:

(f + g)(x) := f(x) + g(x),

(f · g)(x) := f(x) · g(x).

Funkcije f + g : R→ R i f · g : R→ R su također polinomi.

Množenje polinoma skalarom:

(λf)(x) := λf(x), λ ∈ R

Funkcija λf : R→ R je također polinom.

4

Zadaci

Zadatak 1. Odredite zbroj polinoma f(x) i g(x) ako je zadano:

a) f(x) = x2 − 3x+ 1; g(x) = 2x2 + x− 1

b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 2x+ 7; g(x) = −3x3 − 2x2 + 5x− 3

c) f(x) = 2x5 − 3x4 + 5x2 − x+ 1; g(x) = −x5 + 3x4 − 5x2 + x− 1

d) f(x) = 3x3 − 2x+ 1; g(x) = x6 − 3x2 − 2x− 1.

Zadatak 2. Odredite razliku polinoma f(x) i g(x) ako je zadano:

a) f(x) = x2 − 3x+ 2; g(x) = 2x2 − 3x+ 5

b) f(x) = 3x3 − 4x+ 1; g(x) = 3x3 − 2x2 − x+ 3

c) f(x) = −x5 − 3x3 + 2x; g(x) = 2x4 − 3x3 + 2x2 + 2x− 1

d) f(x) = 2x6 − 3x2; g(x) = 3x5 − 2x4 − 3x+ 1.

Zadatak 3. Za zadane polinome f(x) i g(x) odredite linearnu kombinaciju (af+bg), gdje je

a) f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 1; g(x) = −2x6 + 5x2 − 3x+ 1; a = 3; b = 2

b) f(x) = 4x3 − 3x2 − 2x+ 1; g(x) = 3x4 − 2x2 − x+ 5; a = 2; b = −3

c) f(x) = 2x3 − 2x2 + 4x− 1; g(x) = 3x3 − 3x2 + 6x+ 1; a = 3; b = −2

d) f(x) = x4 − 3x3 + 5x2 − x+ 2; g(x) = 3x4 − 5x3 + 8x2 − 3x+ 5; a = 5; b = −2

e) f(x) = 3x5 − 2x2 + 2x− 1; g(x) = x4 + x3 − x2 + x− 1; a = 1; b = −2

Zadatak 4. Odredite produkt zadanih polinoma f(x) i g(x):

a) f(x) = 3x2 − x+ 1; g(x) = x− 2

b) f(x) = x3 − x+ 1; g(x) = x5 + x3 + x− 1

c) f(x) = x3 + 2x2 + 2x+ 1; g(x) = x3 − 2x2 + 2x− 1

d) f(x) = x4 − x2 − 2x− 1; g(x) = x3 + x+ 2

e) f(x) = x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x+ 1; g(x) = x+ 1

Zadatak 5. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma:

a) f(x) = (x2 − x+ 1)2000 · (x2 − x+ 2)10

b) f(x) = (x2 − 2x+ 3)1987 · (x2 − 6x+ 5)1987

c) f(x) = (2x2 − 5x+ 2)450 · (2x2 − 5x+ 4)540

d) f(x) = (x2 + 3x+ 2)100 · (x2 − 3x+ 2)100

5

Zadatak 6. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = x2, b) f(x) = x4, c) f(x) = x6, d) f(x) = x3, e) f(x) = x5,

f) f(x) = x7, g) f(x) = −x2, h) f(x) = −x3.

Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x+ 3)(x− 1/2), b) f(x) = 2(3− x)(x+ 7)(x− 4),

c) f(x) = 3(x− 2)2(x− 1)(x+ 4)3, d) f(x) = (1− x)3(x− 2)2(x+ 4)3(x+ 7)4.

6

3.1.2 Racionalne funkcije

Funkcija f : R ⊇ Df → R zadana formulom

f(x) = Pn(x)Qm(x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x+ b0,

gdje su Pn i Qm polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija.

Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj.

Df = {x ∈ R : Qm(x) 6= 0}.

Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od

stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem polinoma

brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinomnog dijela i prave racionalne funkcije.

Slika 4: Graf racionalne funkcije

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

(a) f(x) = 1x

-2 -1 1 2

5

10

15

20

(b) f(x) = 1x2

-6 -4 -2 2 4 6

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(c) f(x) = x−1−x2+x+1

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

(d) f(x) = 2x2−3x+5(x+2)(x−1)(x−3)

7

Zadatak 8. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke:

a) x

x2 − 1 b) x+ 1x2 − 3x

c) 5x+ 4x2 + 2x d) 3x+ 8

x2 − 4x

e) 2x+ 1x3 + x

f) 1x3 − x

g) 1x4 − 1 h) x− 5

x3 − 8

i) x2 − 9x− 6x3 + x2 − 6x j) x+ 3

(x+ 1)(x2 + 1)

k) x+ 2(x− 1)3 l) x+ 3

(x− 1)2(x2 + 2)(x+ 3)

Zadatak 9. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = 2x, b) f(x) = 1

x−3 , c) f(x) = 1x+1 , d) f(x) = − 1

x, e) f(x) = − 1

x+ 2,

f) f(x) = − 1x2 .

8

3.1.3 Opća potencija i iracionalne funkcije

Funkcije zadane formulom f(x) = xr, gdje je r ∈ R zovemo opće potencije. Općenito je

domena opće potencije skup R+, ali se kod nekih funkcija domena može proširiti.

Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : R ⊇ Df → R zadane formulom

f(x) = xq, q ∈ Q.

Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji.

Primjer 1. a) Domena funkcije f(x) = x12 =√x je Df = [0,+∞).

b) Domena funkcije g(x) = x13 = 3√x je Dg = R.

c) Domena funkcije h(x) = x−12 = 1√

xje Dh = (0,+∞).

Slika 5: Graf funkcije f(x) =√x

1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

Zadatak 10. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) =√x+ 1, b) f(x) = 2 3

√x, c) f(x) = x−1/2, d) f(x) = 2

√x+ 5.

9

3.1.4 Eksponencijalna funkcija

Funkcija f : R→ 〈0,+∞〉 zadana formulom

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent.

Eksponencijalna funkcija:

• prima samo pozitivne vrijednosti, tj. ax > 0, ∀x ∈ R,

• strogo je rastuća ako je a > 1, a strogo padajuća ako je 0 < a < 1,

• vrijednost eksponencijalne funkcije u nuli je jednaka jedan, tj. f(0) = a0 = 1,

• je bijekcija.

Neka su x1, x2 ∈ R te a > 0, a 6= 1. Tada vrijede sljedeća svojstva:

• f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), tj. ax1+x2 = ax1 · ax2 ,

• f(x1 − x2) = f(x1)f(x2) , tj. a

x1−x2 = ax1ax2

• (ax1)x2 = ax1·x2 .

Slika 6: Graf eksponencijalne funkcije

-4 -2 2 4

5

10

15

(a) a > 1

-4 -2 2 4

10

20

30

40

(b) 0 < a < 1

10

Zadatak 11. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = 2x, b) f(x) = 3x, c) f(x) = (12)x, d) f(x) = −(1

3)x, e) f(x) = 2x+1,

f) f(x) = 3x−1, g) f(x) = 2|x|, h) f(x) = 2|1−x|, i) f(x) = ex + 1, j) f(x) = (12)x − 3.

Zadatak 12. Riješite jednadžbu(1

2

)x· 0.25x−2 ·

√(13

)−2x· 811−x = 1.

Zadatak 13. Riješite sljedeće nejednadžbe:

a) 2x < 4, b) (12)x ≤ 8, c) 3x ≤ 1

9 , d) 4x > 18 .

3.1.5 Logaritamska funkcija

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: loga(čitamo: logaritam po bazi a), a > 0, a 6= 1. Dakle,

loga : 〈0,+∞〉 → R, loga x = y ⇔ ay = x.

Uočimo da vrijedi

aloga x = x,

tj. logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati

bazu da se dobije broj x.

Dekadski logaritam je logaritam s bazom 10 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam

s bazom e (oznaka: ln).

Logaritamska funkcija:

• definirana je samo za pozitivne realne brojeve, a poprima sve realne vrijednosti,

• je strogo rastuća ako je a > 1, a strogo padajuća ako je 0 < a < 1,

• je bijekcija,

• ima nultočku x0 = 1, tj. loga 1 = 0.

Neka su x1, x2 ∈ 〈0,+∞〉 te a > 0, a 6= 1. Tada vrijede sljedeća svojstva:

• f(x1 · x2) = f(x1) + f(x2), tj. loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2,

• f(x1x2

) = f(x1)− f(x2), tj. loga(x1x2

) = loga x1 − loga x2,

• loga xk = k loga x, k ∈ R,

• logar x = 1r

loga x, r ∈ R \ {0},

11

Slika 7: Graf logaritamske funkcije

1 2 3 4 5

-2

-1

1

(a) a > 1

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

(b) 0 < a < 1

• veza između logaritama različitih baza: loga x = logb xlogb a

⇔ logb a · loga x = logb x.

Zadatak 14. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = log2 x b) f(x) = log3 x, c) f(x) = − log3 x, d) f(x) = log1/2 x,

e) f(x) = log1/3 x, f) f(x) = 12 ln x− 2, g) f(x) = 2 log1/3 x+ 4,

h) f(x) = | log2 x|, i) f(x) = log2 |x|, j) f(x) = log(−x).

Zadatak 15. Riješite sljedeće jednadžbe:

a) log1/3 x = −2, b) log4 x = 0, c) logx 116 = −4, d) logx 0.125 = −2.

Zadatak 16. Izračunajte:

a) (15)log5 10, b) 22 log4 7, c) (√

0.1)log 0.04−2 log 5, d) 5 log1/2√

8− 2 log319 ,

e) log8(4 · 3√32 · 25− log5 4), f) log3 log2√

2(2 · 3√4 · 5− log25 8), g) log2 18− 2 log4 123 log8 4 + log0.5 9 .

12

3.1.6 Trigonometrijske funkcije

Promotrimo jediničnu kružnicu (r = 1) sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog

sustava. Neka je dan brojevni pravac koji je tangenta na tu kružnicu u točki (1, 0) te neka

ishodište koordinatnog sustava na pravcu padne u tu točku. Brojevni pravac predstavlja

skup realnih brojeva (točkama na brojevnom pravcu u 1. kvadrantu su pridruženi pozitivni

realni brojevi, a u 4. kvadrantu negativni).

Promotrimo tzv. eksponencijalno preslikavanje točaka brojevnog pravca na jediničnu kružnicu

(vidi Sliku 9. a)): pravac namatamo na kružnicu tako da se pozitivna realna os namata u poz-

itivnom smjeru, a negativna realna os u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu). Na

svaku točku kružnice padne beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca. Jediničnu kružnicu

na koju su eksponencijalnim preslikavanjem naneseni realni brojevi nazivamo trigonometri-

jska kružnica.

Na taj način se svakom realnom broju x pridružila odgovarajuća točka T (x) na jediničnoj

kružnici. Apscisu točke T (x) označimo s cosx, a ordinatu sa sin x. Na taj način definirali

smo dvije funkcije koje ovise o x. Funkciju koja realnom broju x pridružuje apscisu točke

T (x) nazivamo kosinus i pišemo x 7→ cosx. Uočite da je za svaki x ∈ R, cosx ∈ [−1, 1].

Analogno, funkciju koja realnom broju x pridružuje ordinatu točke T (x) nazivamo sinus i

pišemo x 7→ sin x. Također je sin x ∈ [−1, 1], za svaki x ∈ R. Budući da za svaki x ∈ Rtočka T (x) pripada trigonometrijskoj kružnici vrijedi (Pitagorin poučak!):

sin2 x+ cos2 x = 1

što nazivamo osnovni trigonometrijski identitet.

Pomoću funkcija sin i cos definiraju se i funkcije tangens i kotangens formulama:

tg x = sin xcosx, za cosx 6= 0, i ctg x = cosx

sin x za sin x 6= 0.

Primjer 2. Treba odrediti prirodno područje definicije funkcije tg.

Funkcija tg, prema prethodnoj definiciji, ne prima vrijednost realnog broja u onim točkama u kojima

funkcija cos ima nultočke. To su svi oni x koji namatanjem brojevnog pravca na trigonometrijsku

kružnicu padnu u točke (0, 1) ili (0,−1). Dakle, funkcija tg nije definirana za x = π2 + kπ (k ∈ Z).

Zadatak 17. Odredite prirodno područje definicije funkcije ctg.

Često puta je korisno “zamijeniti” domenu trigonometrijskih funkcija (skup R) sa skupom

svih kutova. To je lako učiniti tako da kutu α pridružimo njegovu mjeru x u radijanima.

13

Slika 8: Definiranje trigonometrijskih funkcija

(a) (b)

Tada pod sinusom kuta α podrazumijevamo sinus njegove mjere x u radijanima. Slično se

definira kosinus, tangens i kotangens kuta α. Sa Slike 3.1.6 b). vidi se da vrijedi

sinα = duljina suprotne katete TT ′

duljina hipotenuze OT, cosα = duljina susjedne katete OT ′

duljina hipotenuze OT,

tgα = duljina suprotne katete TT ′

duljina susjedne katete OT ′, ctgα = duljina susjedne katete OT ′

duljina suprotne katete TT ′.

Za neki realni broj x (odnosno kut α) zbog sličnosti trokuta na Slici 9. b). vidi se da je

tangensu kuta α jednak ordinati točke B u kojoj drugi krak kuta α siječe pravac x = 1.

Analogno značenje ima kotangens realnog broja x, odnosno kuta α.

Navedimo sada neka osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija.

a) Funkcija x 7→ sin x

Funkcija sin : R→ [−1, 1] je neparna, periodična s periodom 2kπ, k ∈ Z (temeljni period je

2π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 10. a).

b) Funkcija x 7→ cosx

Funkcija cos : R → [−1, 1] je parna, periodična s periodom 2kπ, k ∈ Z (temeljni period je

2π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 10. b).

Iz Slike 9. možemo naslutiti vezu koja postoji između funkcija sin i cos:

sin x = cos(x− π

2 ), cosx = sin(x+ π

2 )

c) Funkcija x 7→ tg x

14

Slika 9: Trigonometrijske funkcije sin i cos

ΠΠ

2-Π -

Π

22 Π

5 Π

2

3 Π

2-1

1

(a)

ΠΠ

2-Π -

Π

22 Π

5 Π

2

3 Π

2-1

1

(b)

Funkcija x 7→ tg x neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k ∈ Z(temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 11. a).

d) Funkcija x 7→ ctg x

Funkcija x 7→ ctg x neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k ∈ Z(temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 11. b).

15

Slika 10: Trigonometrijske funkcije tg i ctg

ΠΠ

2-Π -

Π

2

3 Π

2

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

5

-5

(a)

ΠΠ

2-Π -

Π

2

3 Π

2

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

5

-5

(b)

Postoje mnoge trigonometrijske relacije i izrazi koji povezuju trigonometrijske funkcije, spomenimo

neke.

Teorem 3. Adicijski teoremi:sin(x± y) = sin x cos y ± sin y cosx

cos(x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

tg(x± y) = tgx± tgy1∓ tgx · tgy

ctg(x± y) = ctgx · ctgy ∓ 1ctgy ± ctgx .

Teorem 4. Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta:

16

sin(2x) = 2 sin x cosx

cos(2x) = cos2 x− sin2 x

tg (2x) = 2tgx1−tg2x

ctg (2x) = ctg2x−12ctgx .

Teorem 5. Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta:sin2(x2 ) = 1− cosx

2cos2(x2 ) = 1 + cos x

2tg (x2 ) = 1− cosx

sin xctg (x2 ) = 1 + cos x

sin x

Zadaci

Zadatak 18. Izračunajte:

a) cos 105◦, b) sin 75◦, c) cos 15◦, d) sin 22◦30′.

Zadatak 19. Ako je sin x = 1√3,π

2 < x < π izračunajte cos 2x i tg (x2 ).

Zadatak 20. Dokažite da za sve α, β ∈ R vrijedi:

a) sinα + sin β = 2 sin α + β

2 cos α− β2 ,

b) sinα− sin β = 2 cos α+ β

2 sin α− β2 ,

c) cosα+ cos β = 2 cos α + β

2 cos α− β2 ,

d) cosα− cos β = −2 sin α+ β

2 sin α− β2 .

Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak.

Zadatak 21. Riješite sljedeće jednadžbe:

a) sin x = 12 , b) cos x = −

√2

2 , c) tgx = −1, d) ctgx =√

3.

Zadatak 22. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x, c) f(x) = 2 sin(x− π6 ),

d) f(x) = 12 cos(x− π

4 ), e) f(x) = −2 sin(2x− π3 ), f) f(x) = 1

3 cos(2x+ π3 ).

Zadatak 23. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = tg 2x b) f(x) = ctg x2 , c) f(x) = 2tg (x− π

4 ), d) f(x) = ctgx+ 2.

17

3.1.7 Ciklometrijske funkcije

Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne trigonometrijskim. To su funkcije: arkus sinus

(arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg).

a) Funkcija x 7→ arcsin x.

Budući da funkcija sin : R → [−1, 1] nije injekcija jer je primjerice sin 0 = sin 2π = 0, ona

nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:

Sin : [−π2 ,π

2 ]→ [−1, 1] formulom Sin (x) := sin x

Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [−π2 ,

π2 ], što simbolički pišemo:

Sin = sin|[−π2 ,π2 ] .

Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus):

arcsin : [−1, 1]→ [−π2 ,π

2 ].

Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac

y = x (Slika 12.a).

Primijetimo da je arcsinα kut1 (ili luk) čiji je sinus jednak α. Tako je primjerice

arcsin 0 = 0 jer je sin 0 = 0,

arcsin 1 = π

2 jer je sin π2 = 1.

b) Funkcija x 7→ arccosx.

Budući da funkcija cos : R → [−1, 1] nije injekcija jer je primjerice cos 0 = cos 2π = 1, ona

nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:

Cos : [0, π]→ [−1, 1], Cos = cos|[0,π] ,

koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus):

arccos : [−1, 1]→ [0, π].

Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na

pravac y = x (Slika 12.b).

Primijetimo da je arccosα kut (ili luk) čiji je kosinus jednak α. Tako je primjerice

arccos 1 = 0 jer je cos 0 = 1,1lat.: arcus=luk

18

Slika 11: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos

(a)

(b)

arccos 0 = π

2 jer je cos π2 = 0.

c) Funkcija x 7→ arctg x.

Budući da funkcija tg:R → R nije injekcija jer je primjerice tg 0 = tg π = 0, ona nema

inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:

Tg :(−π2 ,

π

2

)→ R, Tg = tg |(−π2 ,π2 ) ,

koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens):

arctg : R→(−π2 ,

π

2

).

Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac

y = x (Slika 13.a).

Primijetimo da je arctgα kut (ili luk) čiji je tangens jednak α. Tako je primjerice

arctg 0 = 0 jer je tg 0 = 0,

19

Slika 12: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg

(a)

(b)

arctg 1 = π

4 jer je tg π4 = 1.

d) Funkcija x 7→ arcctg x.

Budući da funkcija ctg:R → R nije injekcija jer je primjerice ctg(−π

2

)= ctg π

2 = 0, ona

nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:

Ctg : (0, π)→ R, Ctg = ctg |(0,π) ,

koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens):

arcctg : R→ (0, π).

Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na

pravac y = x (Slika 13.b).

Primijetimo da je arcctgα kut (ili luk) čiji je kotangens jednak α. Tako je primjerice

arcctg 0 = π

2 jer je ctg π2 = 0,

arcctg 1 = π

4 jer je ctg π4 = 1.

20

Zadatak 24. Pokažite da vrijedi:

a) tg ( arcctg x) = 1x, x 6= 0 b) ctg ( arctg x) = 1

x, x 6= 0

c) arctg ( ctg x) = π2 − x, d) arcctg ( tg x) = π

2 − x,

e) sin(arccos x) =√

1− x2, f) cos(arcsin x) =√

1− x2,

g) cos(arctg x) = 1√1+x2 , h) sin(arctg x) = x√

1+x2 ,

i) sin(2 arctg x) = 2x1+x2 , j) cos(2 arctg x) = 1−x2

1+x2 .

Zadatak 25. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:

a) f(x) = arcsin(x− 3) b) f(x) = arccos x+ 4, c) f(x) = 2arctg x,

d) f(x) = arcctg (2x+ 2).

21