3.1.1 方程的根与函数的零点
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3.1.1 方程的根与函数的零点. 池州市第八中学 许柳慧. 提出问题 引入新课. 怎么解呢?. 花拉子米 ( 约 780 ~约 850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。. 阿贝尔 (1802 ~ 1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。. 方程解法史话 :. 问题 2 :求下面这个方程的实数根. 怎么解呢?. 怎么解一般的方程. 问题 3. ?. 转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。即:通过研究相应函数去解方程。. 问题 4. ?. 思考探究一. 思考探究一. 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数. y. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
3.1.1 方程的根与函数的零点
池州市第八中学 许柳慧
问题 1 求下列方程的根.
(1) 016 x ;
(2) 0163 2 xx ;
(3) 0163 5 xx ;
怎么解呢?
提出问题 引入新课
花拉子米 ( 约 780 ~约 850)给出了一次方程和二次方
程的一般解法。
阿贝尔 (1802 ~ 1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。
方程解法史话 :
062ln xx
问题 2 :求下面这个方程的实数根
怎么解呢?
问题 3
转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。即:通过研究相应函数去解方程。
怎么解一般的方程 ?0)( xf
问题 4
方 程 0)( xf 的 根 与 函 数
)(xfy 之间有什么样的关系呢?
思考探究一
有什么关系?的图像与二次函数
的根一元二次方程
)0(
)0(02
2
acbxaxy
acbxax
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数
0321 2 xx)方程(
0122 2 xx)方程(
032)3( 2 xx方程
322 xxxf
122 xxxf
322 xxxf
思考探究一
方程 x2 - 2x+1=0
x2 - 2x+3=0
y= x2 - 2x -3
y= x2 - 2x+1函数
函数的图象
方程的实数根 x1= - 1,x2=3 x1=x2=1 无实数根函数的图象与 x 轴的交点
( - 1,0) 、 (3,0)
(1,0) 无交点
x2 - 2x - 3=0
x
y
0- 1 321
1
2
- 1
- 2- 3
- 4
.
.
.
.
.. .
...
x
y
0- 1 321
1
2
5
4
3
.
..
.
.
y
x0- 1 21
1
2
y= x2 - 2x+3
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
x
y
x1 x20x
y
0 x1 x
y
0
函数的图象与 x 轴的交点
两个交点 (x
1,0) , (x2,0)无交点
有两个相等的实数根 x1 = x2
无实数根两个不相等的实数根 x1 、 x2
0,2a
b一个交点
结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与 X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图像与 X轴无交点。
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象,以 .0为例画图a
推广到更一般的情况,得:
轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程
xxfy
xf
)(
0)(
1. 函数的零点:
成立的把使对于函数 0)(),( xfxfy
.)(y 的零点叫做函数 xf
实数x
零点是一个点吗 ?
(1) 零点是一个实数
的有零点函数轴有交点的图象与函数
有实数根方程
)(
)(
0)(
xfy
xxfy
xf
所以:
的零点函数轴交点的横坐标的图象与函数
的实数根方程
)(
)(
0)()2(
xfy
xxfy
xf
xy 2log
12 xxy
2
1
1
0
0
12 xy1. 函数 的零点是: _____
2. 函数 的零点是: _____
4. 函数 的零点个数是: _____
12 xy3. 函数 的零点是: _____
5. 函数 的零点个数是: ____
232)( 2 xxxf 2
练习 1
练习 2
函数 y=f( x) 的图象如下, 则其零点为 .
2 1
3x
y
O
-2,1,3
思考探究二
所有函数都存在零点吗?
什么条件下才能确定零点的存在呢?
观察二次函数 32)( 2 xxxf 的
图象,可以发现
-1
<
5 -4计算 )2(f _______, )1(f _______,
发现 )2(f · )1(f _____0(<或>). ② 在区间 [2,4] 上是否也具有这种特点呢?
① 在区间 [-2,1] 上有零点 ______ 。
思考探究二
零点;无有上在区间 )/___(],[)1( ba
的图象观察下面函数 )(xfy
)(0__)()( 或cfbf
无)零点;(有上在区间 /____,)2( cb)(0__)()( 或bfaf
无)零点;(有上在区间 /__,)3( dc
)(0___)()( 或dfcf
有
有
有
a 0 b c d
y
x
思考探究二
a b x
y
0
a b0
y
x
a b0
y
x
思考探究二
内一定存在零点吗?在区间
则函数义,而且满足上有定在区间若函数
baxfy
bfaf
baxfy
,
,0
],[)(
2. 零点存在性定理:
那么这个使得 ,0)(),,( cfbac
的根。0)( xf
在区间)(xfy 如果函数 上的图象是在区间 baxfy ,)(
的一条曲线,并且 f(a)·f(b)<0 ,( a,b )内有零点,即存在
连续不断
c 也就是方程
( 1 )两个前提条件缺一不可( 2 )“有零点”是指有几个零点呢?
只有一个吗?至少有一个,可以有多个。
在区间)(xfy 那么
如果函数 上的图象是在区间 baxfy ,)(的一条曲线,并且 f(a)·f(b)<0 ,并且是单调函数,
( a,b )内有且只有一个零点。
连续不断
a b x
y
0
( 3 )再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?
abbbb
bbbbb
bb bbbb
b x
y
0
(4) 若函数 y= f( x ) 在区间 (a, b) 内有零点,一定能得出 f( a )·f( b )<0 的结论吗?
反之不成立!
(5) 定理的作用:判定零点的存在,并找出零点所在的区间。
练习 1:在下列哪个区间内 ,函数 f (x)= x3 + 3x- 5 一定有零点( ) A 、 (- 1,0 ) B、 (0,1 ) C 、 (1,2 ) D 、 (2,3 )
C
练习 2:已知函数 f(x) 的图象是连续不断的, 且有如下的 x ,f(x) 对应值表:
–26–12–5 11 –7 9 23f(x) 7 6 5 4 3 2 1 x
那么该函数在区间 [1, 6] 上有( )零点 . A 、只有 3个 B 、至少有 3个 C 、至多有 3个 D 、无法确定
B
练习 2:
小结1. 知识和要求:掌握函数零点的概念;了解函数零点与方程根的关系;学会图象连续的函数在某区间上存在零点的判定方法。
2. 数学思想方法:由特殊到一般的归纳思想,数形结合的思想,函数与方程的思想。
作业
第 88页练习 1;第 92 页 A组第二题。