第五节 函数的微分

• 一、微分的定义• 二、微分的几何意义• 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则• 四、微分形式不变性• 五、微分在近似计算中的应用• 六、小结

一、微分的定义

实例 : 正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量 .

20xA

0x

0x

,00 xxx 变到设边长由

,20xA正方形面积

20

20 )( xxxA

.)(2 20 xxx

)1( )2(

;, 的主要部分且为的线性函数 Ax ., 很小时可忽略当的高阶无穷小 xx

:)1(

:)2(

x

x

2)( x

xx 0

xx 0

定义

.),(

,)(

,)(

),(

)()()(

,

,)(

00 0

0

0

00

00

xAdyxdfdy

xxxfy

xAxxfy

xA

xoxAxfxxfy

xxx

xfy

xxxx

即或记作

的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立

如果在这区间内及在某区间内有定义设函数

.的线性主部叫做函数增量微分 ydy

).(,)(

)(

00

0

xfAxxf

xxf

且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理

证 (1) 必要性 ,)( 0可微在点xxf

),( xoxAy ,)(

x

xoA

x

y

x

xoA

x

yxx

)(limlim

00则

.A ).(,)( 00 xfAxxf 且可导在点即函数

(2) 充分性

),()( 0 xxxfy 从而

,)( 0

xfx

y即

,)( 0可导在点函数 xxf

),(lim 00

xfx

yx

),0(0 x

),()( 0 xoxxf

.)(,)( 00 Axfxxf 且可微在点函数

).(. 0xfA 可微可导

.)(),(,

,)(

xxfdyxdfdy

xxfy

即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数

例 1

解

.02.0,23 时的微分当求函数 xxxy

xxdy )( 3 .3 2 xx

02.02

2

02.02 3

xx

xx xxdy .24.0

.,

,

xdxdx

xx

即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量

.)( dxxfdy ).(xfdx

dy

".". 微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy

二、微分的几何意义

)(xfy

0x

M

N

T

dy y)( xo

）x

y

o

x

几何意义 :( 如图 )

.

,

对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时

是曲线的纵当dy

y

xx 0

P

.

,,

MNMP

Mx

可近似代替曲线段切线段

的附近在点很小时当

Q

00 )(tan xxdyxfxMQQP

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

dxxfdy )(

求法 : 计算函数的导数 , 乘以自变量的微分 .

1. 基本初等函数的微分公式

xdxxxdxdxxxd

xdxxdxdxxd

xdxxdxdxxd

dxxxdCd

cotcsc)(csctansec)(sec

csc)(cotsec)(tan

sin)(coscos)(sin

)(0)(

22

1

3. 复合函数的微分法则2

)()(

)()(

v

udvvdu

v

ududvvduuvd

CduCuddvduvud

dxx

xddxx

xd

dxx

xddxx

xd

dxx

xddxax

xd

dxeedadxaad

a

xxxx

22

22

11

)cot(1

1)(arctan

1

1)(arccos

1

1)(arcsin

1)(ln

ln1

)(log

)(ln)(

arc

2. 函数和、差、积、商的微分法则

dxxgxgfdxxgufdxydy x )())(()()(

例 2

解

.),ln(sin2

dyexy x 求设

,sin

2cos2

2

x

x

ex

xexy

.

sin

2cos2

2

dxex

xexdy

x

x

例 3

解

.,cos31 dyxey x 求设

)(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx

.sin)(cos,3)( 3131 xxee xx

dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131

.)sincos3(31 dxxxe x

的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论

)(

,

xfy

u

四、微分形式的不变性

;)(,)1( duufdyu 是自变量时若

则微函数的可即另一变量是中间变量时若

),(

,)2(

xgu

xu

),()( ufufy 有导数设函数

dtxgufdy )()(

,)( dudxxg .)( duufdy

duufdy )(

例 5

解

.,sin dybxey ax 求设

)(sin)(cos axdebxbxbxdedy axax

dxaebxbdxbxe axax )(sincos

.)sincos( dxbxabxbe ax

例 4

解

.),12sin( dyxy 求设

.12,sin xuuy

ududy cos )12()12cos( xdx

dxx 2)12cos( .)12cos(2 dxx

?,05.0

,10

问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径

五、微分在近似计算中的应用1. 计算函数增量的近似值

,,0)()( 00

很小时且处的导数在点若

xxfxxfy

例 6

解 ,2rA 设 .05.0,10 厘米厘米 rr

rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘米

.)( 0 xxf 00 xxxx dyy

1. 函数的近似计算;)( 0附近的近似值在点求 xxxf

)()( 00 xfxxfy .)( 0 xxf

.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x

例 7 .0330sin 的近似值计算 o

解

,sin)( xxf 设 )(,cos)( 为弧度xxxf

,360

,6

,3606

03300330

0

00

xx所以取

化成弧度，得把

.2

3)

6(,

2

1)

6(

ff

)3606

sin(0330sin

o

3606cos

6sin

3602

3

2

1 .5076.0

常用近似公式 )( 很小时x

.)1ln()5(;1)4();(tan)3(

);(sin)2(;1

11)1(

xxxexxx

xxxxn

x

x

n

为弧度

为弧度

证明 ,1)()1( n xxf 设 ,)1(1

)(1

1

nxn

xf

.1

)0(,1)0(n

ff

xffxf )0()0()( .1nx

例 8 .计算下列各数的近似值

解

.)2(;5.998)1( 005.03 e

33 5.110005.998)1(

3 )1000

5.11(1000 3 0015.0110

)0015.031

1(10 .995.9

995.0005.01)2( 005.0 e

2. 误差估计

由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差 .

定义：.,

,

的绝对误差叫做那么为

它的近似值如果某个量的精确值为

aaAa

A

.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa

aAa

在实际工作中 , 绝对误差与相对误差通常无法求得，怎么办？

.

,

,

,

,,

的相对误差限

叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末

即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精确值是

A

aA

aA

aA

AA

A

A

通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 .

例 9

.

,,005.041.2

误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为

解 则面积为设正方形边长为 ,, yx .2xy

,41.2 时当 x ).(8081.5)41.2( 22 my

41.241.2 2 xx xy .82.4

,005.0x边长的绝对误差为

005.082.4 y面积的绝对误差为 ).(0241.0 2m

yy

面积的相对误差为8081.5

0241.0 %.4.0