4 双因素试验的方差分析品种和土壤对农作物的影响

A B C

A C A

C B B

B A C

A B C

C A B

B C A

影响试验结果的因素不止一个，要用双因素

或

多因素的方差分析；

确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的

影

响是否显著；

它们之间是否有交互作用。

（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析

设有两个因素 A ， B 作用于试验的指标。rAAA ,,, 21

SBBB ,,, 21 因素 B 有 s 个水平

对因素A,B 的水平的每对组合 (Ai,Bj) ， sjri ,,2,1,,,2,1

都作 t (t≥2) 次试验（称为等重复试验），得到如下结果

因素 A 有 r 个水平

tX

XX

11

112111

,

,,

tX

XX

12

122121

,

,,

st

ss

X

XX

1

2111

,

,,

tX

XX

21

212211

,

,,

tX

XX

22

222221

,

,,

st

ss

X

XX

2

2212

,

,,

tr

rr

X

XX

1

1211

,

,,

tr

rr

X

XX

2

2221

,

,,

rst

rsrs

X

XX

,

,, 21

因素 B因素 A B1 B2 … Bs

A1 …

A2 …

Ar …

设： ,,,2,1,,,2,1,,~ 2 sjriNX ijijk

,,,2,1 tk

各 ijkX 独立， 2, ij 均为未知参数。或写成：

.,,2,1

,,,2,1,,,2,1

,,0~

,2

tk

sjri

N

X

ijkijk

ijkijijk

独立各

（ 4.1）

引入记号：

.,,2,1,.

,,,2,1,.

,,,2,1,1

.

,,,2,1,1

.

,1

1

1

1 1

sjj

ri

sjr

ris

rs

j

ii

r

iijj

s

jiji

r

i

s

jij

易见：

r

i

s

jji

1 1

0,0

称 为总平均， ia 为水平 iA 的效应，称 j 为水平 jB

的效应 .

ij 表示成

.,,2,1,,,2,1

),..(

sjri

ja iijjiij

记

,,,2,1,,,2,1

,..

sjri

jiijij

.ijjiij a （ 2.4 ）

ji作用引起的，易见：

s

jij

r

iij

ri

sj

1

1

.,,2,1,0

,,2,1,0

（ 4.2 ）

（ 4.3 ）

此时

称为水平 Ai 和水平 Bj 的交互效应，这是由 Ai , Bj 联合

（ 4.1 ）可写成

r

i

r

i

s

jijij

s

jji

ijkijk

ijkijjijki

a

tk

sjri

N

aX

1 1 11

2

,0,0,0,0

,,,2,1

,,,2,1,,,2,1

,,,0~

,

独立各

其中 2,,, 及ijjia

双因素试验方差分析的数学模型。

（ 4.5 ）

都是未知参数。（ 4.5 ）式就是

对于这一模型要检验以下三个假设：

,,,,:

,0:

2111

2101

不全为零r

r

aaaH

aaaH

（ 4.6 ）

,,,,:

,0:

2112

2102

不全为零r

r

H

H

（ 4.7 ）

,,,,:

,0:

121113

121103

不全为零rr

rs

H

H

（ 4.8）

与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建

立在平方和的分解上。引入记号：

,,,2,1,1

,,,2,1,,,2,1,1

.

,1

1 1

..

1

1 1 1

riXst

X

sjriXt

X

Xrst

X

s

j

t

kijki

t

kijkij

r

i

s

j

t

kijk

.,,2,1,1

1 1

.. sjXrt

Xr

i

t

kijkj

总偏差平方和（称为总变差）

r

i

s

j

t

kijkT XXS

1 1 1

2.

ST 写成：

r

i

s

jjiij

s

jj

r

i

s

j

t

k

r

i

iijijk

r

i

s

j

t

kjijjiijijk

r

i

s

j

t

kijkT

XXXXtXXrt

XXstXX

XXXXXXXXX

XXS

1 1

2

1

2

1 1 1 1

22

1 1

2

1

..

1 1 1

2

,.......

..

......,

即得平方和的分解式：

,BABAET SSSSS （ 4.9）

其中

r

i

s

j

t

k

ijijkE XXS1 1 1

2,.

（ 4.10 ）

r

i

iA XXstS1

2..

（ 4.11 ）

r

jjB XXrtS

1

2,.. (4.12)

r

i

s

jjiijBA XXXXtS

1 1

2. .....

SE 称为误差平方和， SA,SB 分别称为因素 A 、因素 B 的效应平

方和， BAS 称为 A,B 交互效应平方和。

（ 4.13 ）

可以证明 BABAET SSSSS ,,,,

),1)(1(,1,1),1(,1 srsrtrsrst

且有：

,)1(

2

trsS

E E （ 4.14 ）

,11

1

2

2

r

ast

r

SE

r

ii

A （ 4.15 ）

,11

1

2

2

s

rt

s

SE

s

ji

B

（ 4.16）

的自由度依次为

.11111 1

2

2

sr

t

sr

SE

r

i

s

jij

BA

0: 2101 raaaH 为真时，可以证明

.1,1~1/

1/

trsrFtrsS

rSF

E

AA

取显著性水平为 ，得假设 01H

.1,11/

1/

trsrFtrsS

rSF

E

AA

下，假设 H02 的拒绝域为

.1,11/

1/

trssFtrsS

sSF

E

BB

（ 4.20）

（ 4.17 ）

当

（ 4.18 ）

的拒绝域为

（ 4.19 ）

类似地，在显著性水平

在显著性水平

.1,11

)1(/

11

trssrF

trsS

srSF

E

BABA

下，假设 H03 的拒绝域为

（ 4.21 ）

上述结果可汇总成下列的方差分析表：

表 9.9 双因素试验的方差分析表

1r

SS AA

E

A

AS

SF

1s

SS BB

E

B

BS

SF

11

sr

SS BA

BA

E

BABA S

SF

1trs

SS EE

方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值

因素 A SA r-1

因素 B SB s-1

交互作用 SA×B(r-1)(s-

1)

误 差 SE rs(t-1)

总 和 ST rst-1

记

r

i

s

j

s

kijkXT

1 1 1... ,

,.1

t

kijkji XT

,,,2,1;,,2,1 sjri

s

j

t

kijki XT

1 1

,..

,,,2,1 ri

s

j

t

kijkj XT

1 1.. ,

,,,2,1 ri

可以按照下述（ 4.22 ）式来计算上表中的各个平方和。

.

,1

,1

,1

,

1 1

2...2

.

1

22..

1

2...2

..

1 1 1

2...2

BABATE

BA

r

i

s

jijBA

s

jjB

r

iiA

r

i

s

j

t

kijkT

SSSSS

SSrst

TT

tS

rst

TT

rtS

rst

TT

stS

rst

TXS

（ 4.22）

例 1 ：在上一节例 3 中，假设符合双因素方差分析模型所需的条件，试在水平 0.05 下，检验不同燃料（因素A ），不同推进器（因素 B ）下的射程是否有显著差异？交互作用是否显著？

解：需检验假设 030201 ,, HHH

........ ,,, jiij TTTT

现在 2,3,4 tsr ，故有

,67500.261

24

8.13196.3464.3425.2963.334

6

1

,29833.263824

8.13194.416.522.58

22222

2222

A

T

S

S

计算

6.52

2.582.41

2.56

8.60

3.65

8.42

1.49

5.50

1.54

4.48

6.51

3.58

1.60

2.73

9.70

7.40

2.39

5.71

8.75

0.51

2.58

4.41

7.48

BA B1 B2 B3 Ti..

A1 (110.8) (97.4) (126.1) 334.3

A2 (91.9)

(104.6) (100) 296.5

A3 (118.4)

(144.1) (79.9)

342.4

A4 (147.3)

(109.2) (90.1)

346.6

T.j. 468.4 455.3 396.1 1319.8

.95000.236

,69250.176824

8.13191.909.918.110

2

1

,98083.37024

8.13191.3963.4554.468

8

1

2222

2222

BABATE

BA

BA

B

SSSSS

SS

S

S

得方差分析表如下：

表 9.11 例 1 的方差分析表

方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值

因素 A 261.675 00 3 87.225 0 FA=4.42

（燃料）

因素 B 3709.980 83

2 185.490 4 FB=9.39

（推进器）

交互作用 A×B

1768.692 50

6 294.782 1 FA×B=14.9

误 差 236.950 00 12 19.745 8

总 和 2638.298 33

23

由于 ,89.3)12,2(,49.312,3 05.005.0 BA FFFF

拒绝假设 0201,HH

即，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的。

BAFF 00.3)12,6(05.0

拒绝 H03 。

交互作用效应是高度显著的。

又，

例 2 ：在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素 B ）与时间（因素 A ）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如表 9.12 所示。在同一条件下每个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取 =0.05 ）？

表 9.12

6.38

0.38

8.44

0.47

8.43

0.45

8.40

4.42

BA

B1 B2 Ti..

A1 (76.6) (91.8) 168.4

A2 (88.8) (83.2) 172

T.j. 165.4 175 340.4

解：按题意需检验假设 (4.6)~(4.8) ，作计算如下：

.6.482.71

,08.5452.1162.102.1448424.14551

,52.118

4.3401754.165

4

1

,62.18

4.3401724.168

4

1

,82.718

4.3408.406.380.38

222

222

2222

BABAE

BA

B

A

T

SSSS

S

S

S

S

得方差分析表如表 9.13

表 9.13 例 2 的方差分析表

4.1AF

0.10BF

0.47BAF

方差来源 平方和 自由度 均 方 F 比

因素 A

因素 B

1.62

11.52

1

1

1.62

11.52

A×B 54.08 1 54.08

误差 4.6 4 1.15

总和 71.82 7

由于 ,71.74.105.0 F

而温度的影响显著，且交互作用的影响也显著。

所以认为时间对强度的影响不显著，

（二）双因素无重复试验的方差分析 为要检验交互作用的效应是否显著，对于两个因素的每一组合 ji BA ,

如果已经知道不存在交互作用，或交互作用对试验的指标影响很小，则可以不考虑交互作用，减少试验次数。也能对因素 A 、因素 B 的效应进行分析。现设对于两个因素的每一组合 ji BA , 只做一次试验，所得结果

至少要做 2 次试验。

如下：

1B 2B sB

rA

A

A

2

1

1

21

11

rX

X

X

2

22

12

rX

X

X

rs

s

s

X

X

X

2

1

因素 B因素 A

…

2,~ ijij NX

各 ijX 独立， ,,,2,1 ri

,,,2,1 sj 其中

2,ij 均为未知参数，或写成

.

,,0~

,,,2,1

,,,2,1,

2

独立各 ij

ij

ijijij

N

sj

riX

（ 4.23）

设

现在假设不存在交互作用，此时

.,,2,1,,,2,1,0 sjriij 故由 (4.4) 式知

jiij a

于是（ 4.23 ）可写成

r

i

s

jji

ijij

ijjiij

a

sjri

N

aX

1 1

2

.0,0

,,,2,1,,,2,1

,,,0~

独立各 （ 4.24）

这就是双因素无重复试验要研究的方差分析的模型。

.,,,:

,0:

.,,,:

,0:

2112

2102

2111

2101

不全为零

不全为零

s

s

r

r

H

H

aaaH

aaaH

可得方差分析表如下：

（ 4.25 ）

这个模型要检验的假设有以下两个：

AS 1r1

r

SS AA EAA SSF

BS 1s1

s

SS B

B EBB SSF

ES 11 sr 11

sr

SS EE

TS 1rs

方差来源 平方和 自由度 均方 F 值

因素 A

因素 B

误差

总和

取显著性水平为a ，得假设

0: 2101 raaaH 的拒绝

域为 .11,1 srrF

S

SF a

E

A

A

假设 0: 2102 sH 的拒绝域为

.11,1 srsFS

SF a

E

B

B

,

,1

,1

1

22.

1

22.

1 1

2..2

BATE

s

jjB

r

iiA

r

i

s

jijT

SSSS

rs

TT

rS

rs

TT

sS

rs

TXS

.,,2,1,,11 1

riXTXTs

jiji

r

i

s

jij

.,,2,1,1

sjXTr

iijj

（ 4.27 ）

其中

表 9.15 中的平方和可按下述式子来计算：

例 3 下面给出了在某 5 个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物（以mg/m3 计）的含量的数据：

iT

jT.

因素 B （地点）

1 2 3 4 5

因素A︵时间︶

1975年 10月

1976年 1月

1976年 5月

1996年 8月

76

82

68

63

67

69

59

56

81

96

67

64

56

59

54

58

51

70

42

37

331

376

290

278

289 251 308 227 200 1275

设本题符合模型（ 4.24 ）中的条件，试在水平 05.0a

解现在 .5,4 sr 由（ 2.27 ）得到：

.30.44150.194795.118275.3571

,50.194720

1275200251289

4

1

,95.118220

1275278290376331

5

1

,75.357120

1275376776

2222

22222

2222

E

E

A

T

S

S

S

S

下检验：在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异，在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异。

得方差分析表如下：表 9.16 例 3 的方差分析表

30.441

50.1947

95.1182

E

B

A

S

S

S

24.13

72.10

B

A

F

F

75.3571TS

方差来源 平方和 自由度 均方 F 值

因素 A因素 B

误差

34

12

394.32486.8836.78

总和 19

由于 ,24.1326.312,4,72.1049.312,3 05.005.0 FF 故拒绝及01H 及 02H

显著差异，也认为不同地点下颗粒状物含量的均值有显著差异。即时间和地点对颗粒物的含量的影响均为显著。

，即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有

5. 正交试验设计简介

正交设计是一种安排和分析试验的方法。特点：

• 一对因素的任一水平组合必须在试验中出现，且出现次数相同。

• 试验次数比全面试验次数（所有因素的任一水平组合都要进行搭配）要少许多，例如 7 因素 2 水平的全面试验要进行 27＝ 128 次，而用正交表安排试验只需 8 次。

例 . 某印染厂生产漂白布，增白处理配方是：

A ：增白剂 3g/L

B ： 100％ FFG蓝 6mg/L

C： 300％ FFRN莲 4.8mg/L

长期以来，漂白白度总是在 99左右。为提高白度，降低成本，需提出合理配方。

解：（ 1 ）确定试验因素。三因素： A 增白剂、 B FFG蓝、 C FFRN莲；

（ 2 ）确定因素变化范围： A 1.7~2.5, B 13~18, 10~15;

（ 3 ）确定每个因素所取的水平。每个因素取二个水平，见表。

（ 4 ）试验设计。一种办法全面试验：共需做 23＝ 8 次

A1B1C1,A1B2C1,A1B2C2,A1B1C2

A2B1C1,A2B2C2,A2B2C1,A2B1C2

按正交表试验：用 L4 （ 23 ）： L表示正交表， 4 表示试验次数 4 次，

2 表示 2 水平， 3 表示最多可安排 3 个因素。

水平 A B C

1

2

1.7

2.5

13

18

10

15

按正交表安排试验：

比较，较好的生产方案是 A1B2C2

试验号 1（ A ）

2（ B ）

3（ C）

白度

1

2

3

4

1 （ 1.7 ）1 （ 1.7 ）2 （ 2.5 ）2 （ 2.5 ）

1 （ 13 ）

2 （ 18 ）

1 （ 13 ）

2 （ 18 ）

1 （ 10 ）2 （ 15 ）2 （ 15 ）1 （ 10 ）

100.6

102.5

101.6

100.4