4. Folytonos wavelet transzformáció (CWT)

–folytatás

Speciálkurzus 2009 tavasz

2

Kérdések

1. mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától?

2. szignifikánsak-e a talált csúcsok?

3. a normalizáció korrekt-e?

4. hogyan értelmezzük a kapott eredményeket?

5. okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor?

6. hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz?

7. inverz transzformáció?

3

Statisztikai hipotézisvizsgálatStatisztikai hipotézisvizsgálat:

H0 nullhipotézis

H1 ellenhipotézis (alternatíva)

Statisztikai próba: Minta alapján döntünk a nullhipotézisről

Ha a nullhipotézist

elfogadjuk elutasítjuk

H0 fennáll helyes döntés elsőfajú hiba (α)

H0 nem áll fenn másodfajú hiba (β) helyes döntés

4

KonfidenciaszintA k elemű minta alapján meghatározunk egy tartományt:

ha a H0 hipotézis igaz, csak egy előre adott igen kis α = 1 – p valószínűséggel (p: konfidenciaszint, általában 0,90; 0,95; 0,99) tartalmazza a mintát (kritikus tartomány)

kiegészítő halmaza: (elfogadási tartomány)

αβ

p = 1–αp’ = 1–β

elfogadási tartomány H0-ra kritikus tartomány H0-ra

H0 H1

5

Wavelet spektrum szignifikancia vizsgálata

A nullhipotézis konstrukciójához először megfelelő háttér spektrumot kell választani:

• fehérzaj (minden frekvencián azonos energia)

• vörös zaj (a frekvencia csökkenésével növekvő energia)

Ezután feltételezzük, hogy a sztochasztikus folyamat különböző realizációi e körül a várható (átlagos) háttér spektrum körül fognak ingadozni

Ezek a várható spektrumok adnak lehetőséget a talált csúcsok szignifikancia vizsgálatára (adott konfidencia szinten)

6

Fehér/vörös zaj PSDEgyszerű modell:

egyváltozós 1-késéses AR(1) autoregressziós (Markov) folyamat (speciális csak pólust tartalmazó IIR szűrő)

α: 1-késéses autokorreláció (α = 0 érték: fehérzaj)

zn: Gauss (normál) eloszlású fehérzaj

PSD (ACF (ατ) FT-ja; k =0 ,..., N/2 frekvencia index):

7

AR(1) fehér/vörös zaj PSD

(α = 0 érték: fehérzaj PSD)

Mi legyen α értéke?

8

α becslése zaj PSD-hez

Az AR(1) folyamat ACF függvénye egyszerű:ACF(xj) = α j

1. Becsüljük a folyamat ACF-et:

2. α –nak 1-es, 2-es, stb. időkésésekből számított α1 , α2 , stb. értékeinek az átlagát vesszük.

pl.:

9

α becslése El Niño SST-reMatlab acf.m

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

becsült α érték: 0.72

10

Illeszkedés az El Niño PSD-hezMatlab psd.m

fehérzaj xn:

normalizáció:

11

Illeszkedés az El Niño PSD-hez

10-2

10-1

100

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

frekvencia (ciklus/év)

norm

aliz

ált

PS

D vörös zaj PSD

95%-os konfidencia szint

12

PSD konfidencia szintHa xn normális eloszlású, az xk Fourier transzformáltjának mind valós, mind komplex része szintén normális eloszlásúNormális eloszlású valószínűségi változó négyzete egy szabadsági fokú χ2 eloszlású Ekkor |xk|2 két szabadsági fokú χ2 eloszlású: χ2

2

A 95%-os konfidencia szint meghatározásához a fehér/vörös zaj háttér spektrum PSD-t a χ2

2 eloszlás 95%-os értékével szorozzukMatlab: chi2inv(0.95,2): értéke 5.9915

½ szorzó a szabadsági foktól való függést távolítja el a χ2

2 eloszlásból

13

Lokális wavelet PSDA Wn(s) wavelet transzformált az idősor sáváteresztő szűrő sorozattal történő szűrése

Ha ez az idősor 1-késleltetésű AR folyamat, ésszerű azt feltételezni, hogy a lokális wavelet PSD (a wavelet spektrum egy vertikális „szelete”) szintén Pk-val modellezhető

Torrence és Compo (1998) ezt a hipotézist 100 000 normális eloszlású fehérzaj és 100 000 AR(1) idősor felvételével tesztelték (Monte Carlo szimuláció)Eredmény: az átlagos lokális wavelet PSD azonos a Pk-val modellezett Fourier PSD-vel

14

Wavelet PSD konfidenciaszintA |Wn(s)|2 átlagos lokális wavelet PSD eloszlása

minden n idő és s skála értékre (valós wavelet, pl. DOG esetében nincs ½ szorzó)Pk értéke az s skálának megfelelő k Fourier frekvencián számítandó ki (ez wavelet függő)

A wavelet PSD simításával növelhető a szabadsági fok és javítható a konfidencia a spektrum jelentős jel energiájú részein

15

El-Niño SST konfidenciaszintMatlab: wavesst_signif.m

wave_signif.m (Torrence és Compo)

rajzolás:

16

El-Niño SST konfidenciaszint

normalizációs probléma? úgy tűnik, hogy a wavelet spektrum túlzottan kiemeli az alacsonyabb frekvenciákat

idõ (év)

perió

dus

(év)

NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

1

2

4

8

16

32

64

17

Kérdések

1. mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától?

2. szignifikánsak-e a talált csúcsok?

3. a normalizáció korrekt-e?

4. hogyan értelmezzük a kapott eredményeket?

5. okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor?

6. hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz?

7. inverz transzformáció?

18

Normalizáció – anya waveletanya wavelet FT egységnyi energiára normalizált:

Parseval egyenlőség miatt ψ0 is energiára normalizált:

az anya waveletet átskálázzuk:

illetve:

19

Normalizáció – leány waveletaz átskálázott leány wavelet megőrzi normalizációját:

illetve

a Fourier transzformáció skálázási összefüggése

miatt is normalizált

miatt a leány wavelet normalizált transzformáltja:

20

Normalizáció – diszkrét eltolásdiszkrét n eltolással a normalizált leány wavelet FT:

ezzel mindegyik s skálára:

Matlab wave_bases.m: norm = (2πs/δt)1/2

Matlab wavelet.m: k(2) = 2π / (N δt)

21

Wavelet teljesítmény spektrumTorrence és Compo (1998) definíciója (szokásos):

wavelet teljesítmény spektrum (power spectrum)

Liu et al. alternatív definíciója: Liu et al.(2007):Rectification of the Bias in the Wavelet Spectrum, Journal of Atm. Oceanic Techn. Vol.24, pp. 2093-2102

a skála inverzével van szorozva

22

Normalizáció teszt3 szinuszhullám azonos (egységnyi) amplitúdóval de különböző T periódussal:

Matlab sin3.m:

23

Normalizáció teszt 1.Torrence és Compo (1998) definíciójával

0 20 40 60 80 100 120-5

0

5

idõ (év)

3 sz

inus

z, a

mpl

.

3 szinusz, periódus 1, 4, 16 év

idõ (év)

perió

dus

(év)

3 szinusz Morlet wavelet energiaspektrum, torzított

0 20 40 60 80 100 120

1

2

4

8

16

32

640 50

ampl. négyzet

glob. wavelet spektr.

közel sem azonosak

24

0 20 40 60 80 100 120-5

0

5

idõ (év)

3 sz

inus

z, a

mpl

.

3 szinusz, periódus 1, 4, 16 év

idõ (év)

perió

dus

(év)

3 szinusz Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált

0 20 40 60 80 100 120

1

2

4

8

16

32

640 5

ampl. négyzet

glob. wavelet spektr.

Normalizáció teszt 2.Liu et al. (2007) definíciójával

közel azonosak

peremhatás

25

Korrigált El Niño SST spektrum

a) torzított b) korrigált

idõ (év)

perió

dus

(év)

NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum, torzított

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

1

2

4

8

16

32

64

idõ (év)

perió

dus

(év)

NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

1

2

4

8

16

32

64

de van egy bökkenő...

26

Fehérzaj korrigált spektrumaa fehérzaj korrigált spektruma nem azonos teljesítményű az összes frekvencián!Matlab: wn.m

0 50 100 150 200 250-5

0

5

idõ (év)

fehé

rzaj

, am

pl.

fehérzaj, egységnyi szórás

idõ (év)

perió

dus

(év)

fehérzaj Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált

0 50 100 150 200 250

1

2

4

8

16

32

640 1 2

ampl. négyzet

glob. wavelet spektr.

0 50 100 150 200 250-5

0

5

idõ (év)

fehé

rzaj

, am

pl.

fehérzaj, egységnyi szórás

idõ (év)

perió

dus

(év)

fehérzaj Morlet wavelet energiaspektrum, torzított

0 50 100 150 200 250

1

2

4

8

16

32

640 1 2

ampl. négyzet

glob. wavelet spektr.

tehát a szignifikancia vizsgálathoz a nem korrigált érték kell!