4. loeng - taltechisc.ttu.ee/materials/martin/mht0110/m_12_l4.pdf4. loeng 1. mõõtetehnika...

ISS0050 Mõõtmine. Loengumärkmed L4.1

4. Loeng

1. Mõõtetehnika põhimõisted

......................(jätkub)

Kuidas hinnata ja esitada mõõtetulemust viga, hälve, mõõtemääramatus, mõõtetulemus

Juhuslikud vead juhuslik suurus, hinnangud

Mõõtetäpsuse piirid on olemas põhimõtteline piir, täpsemalt mõõta ei õnnestu

[1] Mõõtmise alused. 2.1-2.3, 3.1-3.4 või

[2] Mõõtetulemuste usaldatavus. 1.1-1.8, 2.1-2.4


Mõõtmine /measurement/и мерение/

mõõteseade

võrdlust teostav füüsikaline seade

mõõtesuurus /measurand/измеряемая в./

mõõtmise objektiks olev suurus,

on füüsilise objekti omadus

mõjur /influence/влияющая в./

ei ole mõõtesuurus kuid mõjutab mõõtetulemust

(temperatuur, õhurõhk, ...)

mõõtetulemus / /реультат/

mõõtmise teel saadud mõõtesuuruse hinnang

mõõteprintsiip

mõõtmise aluseks olev füüsikaline effekt

mõõteprotseduur

toimingute jada, juhendmaterjal, algoritm

mõõtemeetod

võrdluse aluseks olev füüsikaline nähtus

katsetaja, operaator

koostab, juhib, haldab, loeb

etalon mõõtesuuruse ühiku füüsiline realisatsioon

mõõteseade mõõteseade

mõõtetulemus mõõtesuurus

mõjur

-mõõteprintsiip -mõõtemeetod -mõõteprotseduur


Üldised märkused mõõtmise kohta:

objektiivsus, mõõtmine ei sõltu vaatlejast

-kes mõõdab (isik)

-kuskohas mõõdetakse (koht)

-kuidas mõõdetakse (seadmed)

-millal mõõdetakse (aeg)

mõõtmisel on eesmärk mis mää’rab täpsuse

objekti mudel (lisainfo)

-aprioorne info

-täpsustused, lisamõõtmised

-erinevad objekti mudelid

mudel võimaldab interpreteerida tulemusi

mõõtmine on protsess

koosneb etappidest: ettevalmistus

mõõtmine

tulemuste töötlus

mõju objektile

viiakse kokku objekt ja mõõtevahend,

mõõtevahend koormab objekti


mõõtmisel: küsime midagi (mida ei tea) ja

saame vastuse (mõõtetulemuse)

suuruse väärtus /value/значение/

suuruse koguse väljendus tema ühikutes

[arv] + [ühik]

4,3 m; 81 kg

arvväärtus on esitatav numbrite jadana

-mõõtetulemused on ratsionaalarvud (n/m)

lõpliku pikkusega kümnend/kahendarvud

-irratsionaalarvud (tähistusega: π, √2) ei saa olla tulemuseks

väärtusi saadakse: (1) omistamisega -> /primaaretalon/

(2) mõõtmisega -mõõtetulemus

arvväärtus

M = c Mo

kogus, väärtus

ühik

0 1 Xc1 Xc2 X

a

b c

arvväärtus

ühiste omadustega objektid

1

ühik

(empiiriline maailm)

(abstraktne maailm)


Miks mõõtetulemus ≠ mõõtesuurusega ?

on mõõtesuuruse ~ hinnang

mõõtetulemus on mittetäielik info mõõtesuuruse kohta, sest

mõõteseade ei ole täiuslik, komponendid hajuvad,

etaloni väärtus on ligikaudne

mõõtesuurus ei ole täpselt määratud (resistor: R, C,)

mõõteseade koormab mõõtesuurust

mõjuvad häired ja mürad (keskkond, temperatuur, ..)

mõõtemeetod on ligikaudne

student ei ole läbinud ainet ISS0050 „Mõõtmine“

kõik mõõtmised on ebatäpsed, seda ebatäpsust saab hinnata


1.3 Mõõtetulemuse hindamine

mõisted: „mõõteviga, mõõtehälve, mõõtemääramatus“

(1) subjektiivselt

„head andmed“ –mida ootasime,

-on kooskõlas meie ettekujutusega ...

„halvad andmed“ -mitteootuspärased

-ei ole kooskõlas ettekujutusega ...

ekse outlier выбросы

andmepunkt, mis ei sobi

teiste andmetega >8σ

põhjus: aparatuur, inimene, häire, mudel, ...

(2) ajalooliselt esimesena kasutati mõistet viga

-----iseloomustab lähedust tõelisele väärtusele

mõõteviga = mõõtetulemus - tõeline väärtus

= Xm – Xt /error/погрешность/ viga (e. absoluutne viga) on märgiga ja ühikuga suurus:

+3cm, -0,001 mV, +5 C, ...

midagi ei ole valesti vea korral ≠ ошибка

tõeline väärtus Xt on teadmata (selle leidmine on

mõõtmise eesmärgiks), on teoreetiline mõiste, selle

määramine ei ole põhimõtteliselt teostatav

„tõeline väärtus“ (e. mõõtesuuruse täpne väärtus) on olemas,

kuid seda on ebamugav kasutada


(3) hälve --lähedus väärtusele mida saab arvutada või mõõta

mõõtehälve = mõõtetulemus - tugiväärtus

= Xm - Xt

Hälbe saab määrata kui tugiväärtuseks valida

mõõtmiste keskväärtus, siis saame juhusliku hälbe

teise (täpsema) mõõtevahendiga leitud hinnang

(nn. leppeväärtus),

--Mõõtehälbe saab katseliselt määrata („kalibreerimine“).

Kui eeldada et =const (sellel seadmel, antud

mõõtepiirkonnas), siis saab hälvet hiljem kasutada teistes

mõõtmistes parand correction C

Xt = Xm +(- )= Xm + C, [näide: parand]

--Mõõtesuurusel võib anda palju väärtusi (mõõtesuuruse

hinnangud), mõõtetulemus (näit e. mõõdis) on üks nendest. U=9,00 V; kas U=9,007 V on mõõteuuruse hinnanguks?

Mõõteriista maksimaalset lubatud hälvet/viga kirjeldab

piirviga accuracy max|Δ| < Δp

e. „lubatud viga, riistaviga, näiduhälve“

Mõõtesuuruse väärtust Xt kirjeldatakse:

-kahe võrratusega: Xm-Δp ≤ Xt ja Xt ≤ Xm+Δp (P=1)

-punktina intervallis X = Xm ± Δp

mõõtesuuruse graafiline esitus mõõtetulemuse ja piirveana

error bar Exceli diagrammis

Xm Xm+Δp Xm-Δp


suhthälve , suhteline viga mille suhtes?

X =1%

=1 cm; X=1 km --> =0,001%

Xp


Kuidas veel hinnata mõõtetulemust ?

(4) mõõtemääramatus /uncertainty/неопределенность/

Hinnatakse mõõtetulemuse mitteteadmist

hindamise aluseks on kogu teadaolev info,

kõik mitteteadaolevad mõjud põhjustavad mõõtetulemuse

hajumise, mis omistatakse mõõdetavale suurusele

On vaja et mõõtemääramatus :

oleks kasutatav kõikidel mõõtmistel

võimaldaks komponentide andmetest arvutada

summaarse

on esitatav usaldusvahemikuna U(X) teadaoleva

usaldustõenäosusega P

Mõõtemääramatus

kirjeldab kõiki väärtusi mida võib omistada mõõdetavale

suurusele

on hinnang olemasoleva info alusel, kuid see hinnang võib ka

muutuda kui saame mõõtmisest lisainformatsiooni.

on mõõtetulemuse omadus, ei ole mõõtevahendi omadus!

Mõõtemääramatus kui hinnang on esitatav

-standardhälbe kujul u(X) „standardmääramatus“

-intervallhinnang U(X) „laiendmääramatus“

(usaldusvahemik ja -tõenäosus)

X

Xm U(X)


Mõõtetulemus (näiteks: 14,50 V ± 0,5 V) koosneb

mõõtesuuruse arvväärtustest ja ühikust ning

mõõtemääramatuse arvväärtustest ja ühikust

arvväärtus on lõpliku pikkusega kümnendarv

ei esine selliseid arve nagu: π, √2 !

arvväärtuse viimane kümnendkoht on noorem järk

arvu olulised e. tähenduslikud e. kehtivad numbrikohad

0,01430 4 numbrikohta significant digit

0,0025 2 numbrikohta

45,2 3 numbrikohta sisaldab olulist infot

12000 3 numbrikohta

oluline numbrikoht algab esimese mittenullise numbriga

-mõõteseadme poolt väljastatav väärtus on oluline

-arvutustulemus 10/3=3,333333333 ?

Kuidas esita arvväärtuses ainult olulised numbrikohad

1. kujus x.xx...x∙10-y scientific

123400 m = 1,234∙105 m, raske lugeda ja aru saada, või

2. kasuta kord- ja osaühikuid (x1000)

123400 m = 123,4 km, 1,34∙10-2 V = 13,4 mV

1,007∙108 Hz = 100,7 MHz


Loetlemise tulemus on täisarv, mis esitatakse täpselt.

Kui tulemused saadakse läbi arvutuste, arvutuste täpsus

sõltub arvutist, ei ole mõttekas arvutada väga täpselt.

Ümardamine rounding on arvu esitamine väiksema arvu

oluliste numbrikohtadega. Kui eemaldatavas kümnendkohas

on numbrid 5, 6, 7, 8, 9 siis eelnevale kohale liidetakse +1.

Arvu muutus ümardamisel ei ületa ±½ viimast kohta.

/Tehted oluliste numbrikohtadga arvudega: korrutis, .../

45,2 ± ½·0,1 = (45,15 ... 45,25)=45,2

arvväärtus esindab kõiki neid arve milliste ümardamisel

saadakse antud arv: arv ±½· noorem järk

esitatud tulemust mõistetakse nii

U=3 V U= (2,5 ... 3,5) V

U=3,00 V U= (2,995 ... 3,005) V

U=3,000000 V ..........

kümnendarvud ##.# 45,1

pidev arvtelg

45,2 45,3 45,0


Kui täpselt tuleb esitada mõõtetulemus?

kui mõõteseade näitab mõõtesuuruse arvväärtust siis

kirjuta (salvesta) see näit, ära ümarda tulemusi

jooksvalt, ära lisa näidule nulle ! 3,12 V ≠ 3,120 V

mõõtemääramatusel kui hinnangul on omakorda

mõõtemääramatus, ei ole määratud mis see on ja kuidas

kasutada

mõõtemääramatust ei ole vaja teada täpselt,

--esitataksekahe tähendusliku numbrikohaga:

väärtustega 10 ...99 (1% ...5%), ± 0,042 V --kuid võib esitada ka ühe numbrikohaga kui esimene

number on >2, väärtustega 3...9 (täpsusega 5% ...15%)

± 0,04 V esita mõõtesuurus ja mõõtemääramatus sama

kümnendkohtade arvuga, vajadusel ümarda

mõõtesuuruse (või mõõtemääramatuse) arvväärtust

14,85 V ± 0,15 V

VALE ESITUS 1,1±0,1; 1,1±0,10; 1,104±0,104; ...

X u(X)


Kui suuruse Xt väärtusele on mitmeid hinnanguid siis

tulemused võivad olla kooskõlas või vasturääkivad

Näide1: suurust mõõdetakse kahe mõõtevahendiga MV1, MV2

tulemuseks on 4 arvu: mõõteväärtused Xm1, Xm2 ja

veapiirid Δ1, Δ2; ehk 2 intervalli X1, X2

Kas mõõtetulemused sobivad omavahel?

a)

hinnangutes on ühisosa, intervallid lõikuvad ,

ehk |Xm1-Xm2|‹ Δ1+Δ2

tulemused on omavahel kooskõlas

b)

puudub ühisosa , mingi eeldus ( ) on vale

tulemused ei ole omavahel kooskõlas põhjused:

-üks mõõteriist ei ole töökorras

-ei mõõdeta sama suurust

-mõõtmistingimused erinevad

.....

X1

X2

X1

X2

MV1

MV2

Xm1 ±Δ1

Xm2 ±Δ2

Xt


Näide2: mõõdetakse teadaoleva väärtusega suurust

nimiväärtus e. nominaalväärtus

resistor R=10 kΩ ±5% kaalupomm m=1 kg ±10 mg

Kas mõõdetud suurus Xi vastab nimiväärtusele?

Millistel mõõtetulemustel (Xmi, Δi) võib järeldada et

-mõõdetud väärtus vastab nimiväärtusele (Xn, Δn)

-mõõdetud väärtus ei vasta nimiväärtusele

Mõned mõõtmised ei anna vastust sellele küsimusele.

Nende hinnangute aluseks on võrratused tõenäosusega P=1.

Täpsemad tulemused saame kui arvestame vigade juhuslikku

iseloomu ja jaotust piirvea intervallis ±Δp

MV

Xn ±Δn nimiväärtus Xn + tolerants

X = Xm ±Δ

Xt

Xnimi = Xn ±Δ

X1 = Xm1 ±Δ1

X2 = Xm2 ±Δ2

X3 = Xm3 ±Δ3


vahepala ----------------------------------

mõõtevigade liigitus ülevaade terminitest mõistel viga

(1) tekkepõhjuste järgi

--subjektiivsed vead eksperimentaatori vead: vale lugem, hooletus,

--objektiivsed vead instrumentaalne viga –mõõtevahendi (seadme) viga mõõtemeetodi viga –on seotud mõõtmiste läbiviimisega mõõdetakse teist lähedast suurust,

ADM viga diskreetsusest

(2) esinemise seaduspärasuse järgi

--süstemaatilised vead jäävad mõõtmise ajal konstantseks või muutuvad

teadaoleva seaduspärasuse järgi

kellaajast (temperatuurist) sõltuv viga

avastatakse kalibreerimisel

mõõtetulemust saab korrigeerida

--juhuvead korduvatel mõõtmistel on tulemus mitteennustatav


(3) mõõtmistingimuste järgi

--põhiviga -viga normaaltingimustel temperatuur: 20 C 5 C, toitepinge: 220V 5%

--lisaviga veakomponent mis lisandub põhiveale kui tingimused väljuvad normaaltingimustest

0,05%/ C

(4) muutumise järgi

--staatilised vead, viga muutumatu signaali mõõtmisel --dünaamilised vead, dX/dt 0

(5) vea tekke koha järgi

anduri viga, muundamise viga, ülekande viga, ...

vahepala lõpp -------------------------------

Mõõtevahend Mõõdetav

suurus

Mõõtetulemu

s

Mõjurid

mõjur

töötingimused

normaaltingimused

t

Xm Xt

X


Xt

X

X

t

X

kui sama suuruse X korduvatel mõõtmistel

sama mõõtevahendiga, või

sama tüüpi kuid erineva mõõtevahendiga

saame erinevad mõõtetulemused: Xm1, Xm2, Xm3, ...

siis mõõtetulemus Xm on juhuslik suurus

Mõõtetulemustest Xmi (i=1, 2, ...) mitte ükski üksik

mõõtetulemus ei ole rohkem esinduslik kui mingi teine

ei tohi valida suvaliselt nn. „parimaid“

kõik sisaldavad sama informatsiooni

ei ole teada et üks on lähedasem „tõelisele“ väärtusele

kaks probleemi: erinevus tegelikust ja tulemuste hajumine

Täpsus –mõõtetulemuse lähedus tõelisele väärtusele,

Korratavus – mõõtetulemuse hajumise kirjeldus.

Korratavus /precision/

< (väike) > (suur)

Täp

sus

/acc

urac

y/

> (s

uur)

< (v

äike

)

Xt

X

X

t

X


S=1 x

f(x)

Juhuslikud suurused mõisted:

sündmus событие

realiseerub või mitte: 0,1

sündmuse tõenäosus P вероятность

sündmuste kordumiste arvu Ns suhe katsete arvuga

N

NsP lim

N

P=0 –võimatu sündmus

P=1 –kindlalt toimuv sündmus

juhuslik suurus случ. величина

mitteennustatava väärtusega suurus

/ühemõõtmeline, reaalarvuline/

jaotusfunktsioon F(x)=P( x) ф. распределения

jaotustihedus )x(Fdx

d)x(f

ф.плотности вероят.

-ühtlane jaot.

-normaaljaot.

piirteoreem: mitme juhusliku suuruse summa (keskmine)

ligineb normaaljaotusele

valim x1, x2, x3, x4, ... , xn sample выборка

F(x)

x 0

1


hinnangud: punkthinnangud, intervallhinnangud

o punkthinnangud -arvud

aritmeetiline keskmine („keskväärtus“) среднее ариф. n

ixn

xkx1

1 (parim hinnang!)

valimi hajumist iseloomustab valimi:

dispersioon n

i xxn

D1

2

1

1 variance дисперсия

ruutkeskmine hälve e. standardhälve D (arvuta Exeli funktsioonidega COUNT, AVERAGE, STDEV, VAR, ...)

o intervallhinnangud -tõenäosuse P ja intervalli x seos

довер.интервал

usaldustõenäosus P(x1


Millised on kasutatavad tõenäosuse P väärtused?

P=0,5 -sõjaväes,

(pooled mürsud mööda, pooled pihta)

P=0,9; 0,95 -tehnikas mõõtmistel

P=0,997 -olulistel ja ohtlikel juhtudel

Tõenäosus (P) ja intervall (X k ) normaaljaotusel:

k -kattetegur

-teistel jaotustel see ei kehti !

aga teised jaotused?

on üks eriline intervall Xk 1,6 , mille P 0,9 mitmetel

jaotusseadustel (normaal, ühtlane, kolmnurk, eksp., ..)

intervall tõenäosus

Xk 0,67 P=0,5

Xk 1 P=0,68

Xk 2 P=0,95

Xk 3 P=0,997 Xk P=1

x

f(x)

Xk k


Maks. rajad a ja standardhälve on seotud järgmiselt

Kui ei tea ka jaotusseadust, kuidas hinnata tõenäosusi

olgu valim: x1, x2, x3, x4, ... , xn

-korrastame kasvavas järjekorras

intervallid on võrdtõenäosuslikud, loeme intervalle

Tõenäosus et mõõtetulemus on vahemikus Xmin – Xmax

1

1

n

nP

jaotusseadus: standardhälve

ühtlane

3/a

kolmnurk

6/a

trapets

622 /ba

+a -a

+a -a

+a -a +b -b

..... Xmi

n

Xmax X

n+1 intervalli

n -punkti

1 n 2 - +


Juhuslike vigade põhjusteks on kontrollimatud väikesed

muutused

mõõdetavas suuruses

mõõteseadmes

keskkonnas

Parim hinnang juhuslikule suurusele on keskväärtus,

enamus meie mõõtetulemustest hajub normaaljaotusega,

korduvatel mõõtmistel arvutatud normaaljaotuse

keskväärtus Xk on (Studenti jaotusega) juhuslik suurus

kui n 10 siis keskväärtuse hajumine on kirjeldatav ~

normaaljaotusega mille dispersioon ja standardhälve

on arvutatavad valimi dispersioonist ja

standardhälvest: D(Xk)=D(X)/n , n/k

ning usaldusvahemik /e. laiendmääramatus U(Xk) /

tõenäosuse P=0,95 korral on Xk±2·σk kui n‹ 10 siis keskväärtuse hajumine on kirjeldatav

Studenti teguriga tν,β ning usaldusvahemik

tõenäosuse P=β korral on Xk±tν,β·σk

10 mõõtmise keskväärtus hajub 3x vähem,

100 mõõtmise keskväärtus hajub 10x vähem,

juhuslike vigade avastamiseks ja elimineerimiseks: -hoia tingimused samad, mõõda korduvalt-

saab tõsta mõõtetäpsust kuid koondub halvasti.

ettevaatust triivi korral, triiv muudab keskväärtust (korrelatsioon, mõõtetulemused ei ole sõltumatud)


Süstemaatilised vead

Viga mis jääb mõõtmise kordamisel muutumatuks

-ei vähene keskmistamisega, kuid

-saab: avastada, hinnata, vältida (raske!)

Liigid:

1. Tuntud päritoluga , kontrollitava suurusega viga

temperatuur, deformatsioon, maakera kumerus, arvutuste

ligikaudsus, ...

saab arvestada parandustena

2. Tuntud päritoluga, tundmatu suurusega viga

mõõteriista viga (instrumentaalne viga)

on teada piirveana

3. Tundmatud vead

mudeli viga

Süstemaatilise vea vähendamine:

-täpsemad mõõtevahendid

-mitu erinevat mõõtevahendit

-asendusmeetod (kordamine erinevas olukorras)

-paranduste arvutus (lisainfo)

süstemaatiliste vigade avastamiseks ja elimineerimiseks: -muuda tingimusi, mõõda korduvalt-

(erinevad meetodid ja protseduurid)


1.4 Mõõtmistäpsuse piirid täpsust piiravad:

1) aine diskreetne iseloom

-aatomid 10-10 m

-laeng (elektronid) e=1,6 10-19 C

2) kvanteffektid (muutused portsukaupa)

-energia E=h , h=6,62 10-34 J/Hz

-magnetvoo kvant =2,06 10-15 Wb

3) termodünaamiline müra

osakeste soojusliikumine

__________ XIX saj.: “mõõtmistäpsuse põhimõtteline piir puudub”

mõõtmistäpsuse määrab:

-seadme ehitus,

-eksperimentaatori oskused

XXsaj. alguse

täppismõõteriist:

galvanomeeter

pool magnetväljas

Me=Mm = , jäikus

(1925 –piir käes?)


on põhimõtteline piir: aatomite soojusliikumine

1827.a. Robert Brown -botaanik

1900 .a. A.Einstein

termodünaamika: energia ühe vabadusastme kohta on kT/2,

k=1,38 10-23 J/K Boltzmann

Galvanomeetril on potets. ja kineetiline energia

Wp Wk =kT/2

20J

TkTk -keskmine kõrvalekalle müra tõttu

Ühekordsel mõõtmisel mõõteviga ei saa olla väiksem kui

müraga määratud nivoo .

Mida teha?

Vähendada temperatuuri

T=300 K --> T=4 K ehk 100x

signaal väheneb 10x ( T ),

raskerti realiseeritav

suurendada jäikust

muutub ka signaal

suurendada mõõteaega, teha korduvaid mõõtmisi


meie signaalid on elektrilised

Termomürad elektriahelates

vabade elektronide kaootiline liikumine thermal noise

1928 Johnson, Nyquist

P=4kT f -resistori müravõimsus (“valge müra”)

Toatemperatuuril kehtib sagedusteni f< 600 GHz

P =i2 R =u2/R

Iga kadudega keskkond (R≠0, T>0) genereerib kiirgust

mis on võrdeline T-ga ja ei sõltu keskkonnast (R)

-mõõteriista ülekantav võimsus (kui R’=R’’) on P’=kT f

fT

'P -228,6 dBW/(Hz K)

toatemperatuuril 20 C = 293 K on müra:

P’/ f= 4 10-21 W/Hz = -174 dBm/Hz (sat-tv, mobiiltelefonid)

omavahel on seotud allika temperatuur T ja müra võimsus P

Energia W = 4 10-21 f t

R u(t)

resistor

R’

R’’

mõõteriist P’

P’’


omavahel on seotud ajaintervall t ja signaali spekter f

Järgmine mõõtmine on eelmisest sõltumatu.

f t=const =(0,35 - 8)

Energeetiline tundlikkuse lävi Wo=3,5 10-20 J (+20 C )

Kui mõõtevahendile antakse sisendisse sellise energia, siis

signaal sellest on võrdne signaaliga mürast (100% viga).

See on põhimõtteline piir (ühekordsel mõõtmisel).

Reaalne mõõtevahend on alati halvem.

Näide. Voltmeeter pingele U=10 mV, täpsusega 0,01%,

sisetakistusega 10M , ajaga 10 ms. Kas see on võimalik?

Näide. Kas on võimalik eraldusvõime 1 nV ribas 1 MHz?

Analoogne probleem on infoülekande korral

Infot on võimalik eraldada mürast kui ühe biti

ülekandeks vajalik energia on > kui 0.7 kT

-teoreetiline piir, raske saavutada

spekter

f t

t f

ajavallas sagedusvallas


4. Loeng KOKKUVÕTE

mõõtmistulemuse hinnangud: viga, hälve,

mõõtemääramatus

mõõtmistulemuse esitamine: mõõtesuurus ja

mõõtemääramatus koos ühikuga

juhusliku suuruse hinnangud

mõõtetäpsuse piirid

Järgmine loeng L5 käsitleme mõõtevahendeid

loe läbi loeng L5 http://www.dcc.ttu.ee/Automaatika ...
http://www.dcc.ttu.ee/Automaatika

4. loeng - taltechisc.ttu.ee/materials/martin/mht0110/m_12_l4.pdf4. loeng 1. mõõtetehnika...

Documents