4 sistem persamaan simultan

METODE NUMERIK

SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN

Sistem Persamaan Linear

Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas

Matriks:

nnnnnn

n

n

n

C

C

C

C

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

aaa

3

2

1

3

2

1

21

33231

22221

11211

nnmnmmm

nn

nn

Cxaxaxaxa

Cxaxaxaxa

Cxaxaxaxa

332211

22323222121

11313212111

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)

Algoritma Gauss Naif Algoritma Gauss Jordan Algoritma Gauss Seidel Aturan Cramer

Algoritma Gauss Naif

1. Membagi persamaan pertama dengan koefisien a11. Langkah tersebut disebut normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah agar koefisien dari x1 berubah menjadi 1.

2. Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi (dalam hal ini persamaan pertama) dengan koefisien pertama dari persamaan kedua (yaitu a21) => untuk baris ke 2.dan kali dengan koef pertama persamaan ke tiga (yaitu a31) =>untuk bari ke 3

3. Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama. Cttn dari pak : kurangkan pers. Ke 2 dgn pers. Ke2 pada langkah 2 => untuk baris ke 2.Kurangkan pers ke 3 dgn pers. Ke 3 pada langkah ke 2 => untuk baris ke 3

4. (langkah untuk cttnya pak :) :baris ke 2 dibagi dengan koef. A22 => normalisasi utk pers. Ke 2, tujuannya agar koef x2 berubah menjadi 1


4. Kalikan persamaan pertama yang sudah dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a11 = a31.

5. Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah 4.

6. Baris kedua dibagi dengan koefisien a22. Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar koefisien x2 berubah menjadi 1.


7. Kalikan persamaan kedua yang sudah dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan suatu koefisien tertentu sehingga a22 = a32.

8. Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

Diketahui SPL:

2x1 + 2x2 + x3 = 4

3x1 - x2 + x3 = 1

x1 + 4x2 - x3 = 2 Bagaimana penyelesaiannya?


Matriks yang terbentuk:

Langkah:

1.

2

1

4

141

113

122

3

2

1

x

x

x

2

1

2

141

1132

111

21

2

2

1

1

x

x

x

b


2. dan 3.

4. dan 5.

2

5

2

1412

1402

111

3

3

2

1

12

x

x

x

bb

0

5

2

23302

1402

111

3

2

1

13

x

x

x

bb


6.

7. dan 8.

04

52

23308

1102

111

41

3

2

1

2

x

x

x

b

4154

52

815008

1102

111

3

3

2

1

23

x

x

x

bb


Hasil:

24

158

15

3

3

x

x

1281

454

58

1

2

32

x

xx

022112

221

1

321

x

xxx

Algoritma Gauss Jordan

Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :

diubah menjadi C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:

CXIA | CXAI 1|

nn C

C

C

C

x

x

x

x

A

3

2

1

3

2

1

1

1000

0100

0010

0001

nn Cx

Cx

Cx

22

11

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

Diketahui SPL:

2x1 + 2x2 + x3 = 4

3x1 - x2 + x3 = 1

x1 + 4x2 - x3 = 2 Bagaimana penyelesaiannya?


Langkah:

1.

2.

2

1

4

100

010

001

1

1

1

4

1

2

1

3

2

3

2

1

x

x

x

2

1

2

100

010

0021

1

12

1

4

1

1

1

3

1

21

3

2

1

1

x

x

x

b


3.

4.

13

12 3

bb

bb

0

5

2

1021

0123

0021

232

12

1

3

4

1

0

0

1

3

2

1

x

x

x

04

52

1021

041

83

0021

238

12

1

3

1

1

0

0

1

41

3

2

1

2

x

x

x

b


5.

6.

23

21

3bb

bb

4154

54

3

143

813

041

83

041

81

8158

18

3

0

1

0

0

0

1

3

2

1

x

x

x

24

54

3

158

156

1513

041

83

041

81

18

18

3

0

1

0

0

0

1

158

3

2

1

3

x

x

x

b


7.

Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2

32

31

818

3

bb

bb

2

1

0

158

156

1513

151

51

154

51

52

521

1

0

0

0

1

0

0

0

1

3

2

1

x

x

x

Algoritma Gauss Seidel

Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar.

Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0.

Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.

Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.


1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0

2. Hitung

Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka

11

141431321211 a

xaxaxaxaCx nn

11

11 a

Cx


3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk menghitung x2.

Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2

22

232312122 a

xaxaxaCx nn

22

12122 a

xaCx


4. Menghitung x3

Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3

a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn

33

343423213133 a

xaxaxaxaCx nn

33

23213133 a

xaxaCx


5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.

6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1, x2, x3, ..., xn baru

nn

nnnn

nn

nn

a

xaxaxaxaCx

axaxaxaC

x

axaxaxaC

x

111313212111

22

232312122

11

131321211


7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:

8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|

%100

%100

)(

)(

barun

lamanbarunan

barui

lamaibaruiai

x

xxx

x

xxx

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Diketahui SPL:

x1 + 7x2 – 3x3 = –51

4x1 – 4x2 + 9x3 = 61

12x1 – x2 + 3x3 = 8

dan a = 5 %

8

61

51

3112

944

371

3

2

1

x

x

x


Iterasi ke-0

x1 = x2 = x3 = 0 Iterasi ke-1

51151

1

x

25,66451461

4461 1

2

x

x

58,184

325,66518

3128 21

3

xx

x


Iterasi ke-2

78,3407

355,136649,966128

3128

55,13664

58,184949,9664614

9461

49,9661

58,184325,667511

3751

213

312

321

xxx

xxx

xxx


Iterasi ke-3

Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|

11,70189

394,2752219,19840128

3128

94,275224

78,3407919,198404614

9461

19,198401

78,3407355,13667511

3751

213

312

321

xxx

xxx

xxx


Iterasi ke- Nilai x a

0

x1 = 0

x2 = 0

x3 = 0

1

x1 = 51

x2 = 66,25

x3 = 184,58

2

x1 = 966,49

x2 = 1366,55

x3 = 3407,78

a = 105,28 %

a = 104,85 %

a = 105,42 %

3

x1 = 19840,19

x2 = 27522,94

x3 = 70189,11

a = 104,87 %

a = 104,97 %

a = 104,86 %

Koefisien Relaksasi ()

Tujuan:

Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri

berdasarkan masalah yang dihadapi. Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara 0

s/d 1 disebut Under Relaksasi. antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk

mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.

Koefisien Relaksasi ()

Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan

lamai

barui

barui xxx 1

Koefisien Relaksasi () (Ex.)Iterasi

ke-Nilai x

dengan (1,5)

0x1 = 0

x2 = 0

1x1 = 10

x2 = 15

2x1 = 6

x2 = 7,5

x1 baru = 4

x2 baru = 3,75

3x1 = 4

x2 = 3,75

Contoh perhitungan :x1 baru = 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10= 9 + (–0,5) . 10= 4

4 sistem persamaan simultan

Documents